Wprowadzenie do imperfekcyjnej metody projektowania

Leszek Chodor,  7 kwietnia 2019

2019-05-26 – z podręcznika wydzielono rozdział i opublikowano w internecie oraz zaopatrzono w połączenia, odnośnikami z innymi rozdziałami
2019-06-22 – dodano rozdział dotyczące kryteriów stateczności oraz wrażliwości na efekty II rzędu i imperfekcje
2020-12-07) – dodano rozdział dotyczący imperfekcji krytycznych oraz rozdział „Stochastyczny model mnożnika obciążenia
2026-06-04) – odzyskano po poważnej awarii portalu. Zmieniono redakcję z uwględnieniem informacji już zdefinowanych w artykule Niezawodność konstrukcji”
2026-06-06) -doano Dodatek C Dydktryuzacvj alosowo odkształcealnejj konstrukcji

W przypadku nieczytelnych treści, proszę powiadomić: leszek@chodor.co

 W ciągu ostatnich 24 godzin z artykułu korzystało  6 Czytelników

Wstęp do podręcznika 

Wszystkie konstrukcje rzeczywiste są obarczone imperfekcjami geometrycznymi, materiałowymi i technologicznymi. Nie istnieją konstrukcje idealnie proste, idealnie osiowe ani wykonane bez odchyłek montażowych i wykonawczych. Imperfekcje te wpływają na sztywność, stateczność i nośność konstrukcji, a w wielu przypadkach decydują o sposobie jej zniszczenia. 
Stateczność konstrukcji należy do najtrudniejszych zagadnień współczesnej mechaniki budowli. Pomimo ponad stuletniego rozwoju teorii wyboczenia i zwichrzenia nadal obserwuje się znaczące różnice pomiędzy zachowaniem modeli idealnych a zachowaniem konstrukcji rzeczywistych. Szczególnie widoczne jest to w konstrukcjach smukłych, wrażliwych na efekty drugiego rzędu, imperfekcje geometryczne oraz nieliniowości materiałowe.

Rozwój metod komputerowych umożliwił odejście od wielu klasycznych uproszczeń projektowych i przejście do bezpośredniego modelowania konstrukcji z imperfekcjami. Współczesny projektant coraz częściej wykorzystuje analizy geometrycznie i materiałowo nieliniowe, w których imperfekcje są modelowane wprost, a nie uwzględniane pośrednio za pomocą współczynników redukcyjnych. 
Podręcznik przedstawia współczesne podejście do projektowania konstrukcji z wykorzystaniem metod imperfekcyjnych. Obejmuje zarówno podstawy teoretyczne, jak i praktyczne procedury obliczeniowe stosowane w projektowaniu konstrukcji stalowych, żelbetowych, zespolonych, drewnianych, aluminiowych i murowych.

Szczególną uwagę poświęcono związkom pomiędzy imperfekcjami konstrukcyjnymi, utratą stateczności, nośnością graniczną i niezawodnością konstrukcji. Przedstawiono zarówno rozwiązania normowe, jak i autorskie rozwinięcia metod imperfekcyjnych, wynikające z wieloletnich doświadczeń projektowych oraz badań naukowych autora.  a także z obserwacji rzeczywistych obiektów budowlanych zaprojektowanych bezpośrednią metodą imperfekcyjną. \

Aksjomat konstrukcyjny

Podstawą rozważań przedstawionych w niniejszym podręczniku jest aksjomat konstrukcyjny:

Każda konstrukcja rzeczywista posiada imperfekcje geometryczne, materiałowe, technologiczne lub obciążeniowe. Konstrukcja idealna stanowi model abstrakcyjny i nie występuje w praktyce inżynierskiej. Wszystkie metody  analizy konstrukcji należy oceniać przez pryzmat ich zdolności do opisu konstrukcji rzeczywistych, a nie modeli idealnych

Cel i zakres podręcznika

Celem podrecznika jest przedstawienie spójnej metodologii projektowania konstrukcji rzeczywistych, uwzględniającej zarówno wymagania współczesnych norm, jak i możliwości współczesnych programów obliczeniowych. 

Podręcznik poświęcono współczesnym metodom imperfekcyjnym projektowania konstrukcji  Przedstawiono genezę tych metod, ich podstawy teoretyczne, współczesne rozwiązania normowe oraz praktyczne procedury obliczeniowe stosowane w analizie konstrukcji rzeczywistych. Szczególną uwagę poświęcono bezpośrednim metodom imperfekcyjnym wykorzystującym analizę geometrycznie nieliniową konstrukcji oraz ich związkom z klasycznymi metodami wyboczeniowymi. Omówiono zarówno imperfekcje globalne, jak i lokalne, ich źródła, modele obliczeniowe oraz związki z tolerancjami wykonawczymi. 
W podręczniku przedstawiono autorską uogólnioną metodę imperfekcyjną stanowiącą rozwinięcie klasycznej alternatywnej metody imperfekcyjnej. W metodzie tej imperfekcje interpretowane są jako nośniki informacji o możliwych formach utraty stateczności konstrukcji, a analiza stateczności zostaje powiązana z analizą nośności granicznej i niezawodności konstrukcji. Istotnym elementem podręcznika jest probabilistyczny opis imperfekcji oraz mechanizmów zniszczenia konstrukcji. Szczegółowe podstawy teorii niezawodności, teorii wartości ekstremalnych oraz metod probabilistycznych przedstawiono w odrębnym opracowaniu „Niezawodność konstrukcji”. W niniejszym podręczniku wykorzystano te wyniki wyłącznie w zakresie niezbędnym do opisu imperfekcji i stateczności konstrukcji.
Zaprezentowano podstawy metody imperfekcyjnej w odmianach geometrycznych i alternatywnych imperfekcji oraz równoważnych, fikcyjnych obciążeń. Na podstawie wieloletniej praktyki projektowej oraz wielu symulacji numerycznych. przedstawiono praktyczny algorytm inżynierski obliczania i projektowania rzeczywistych konstrukcji obarczonych imperfekcjami z uwzględnieniem nieliniowych efektów geometrycznych oraz wielorakich form niestateczności prętów:  wyboczenia giętnego, skrętnego, i bocznego – zwichrzenia.
Zamieszczono liczne  przykłady rachunkow dla szeregu rodzajów konstrukcji. Przykłady wykonano współczesnym programem obliczeniowym Consteel [1] o siedmiu stopniach swobody (z paczeniem i bimomentem jako dodatkowym przemieszczeniem i siłą przekrojową).

Prezentowany w konkluzji podręcznika algorytm jest uogólnieniem alternatywnej, imperfekcyjnej metody geometrycznej wdrożonej przez  [2] i szczegółowo przedstawionej w pracy [3] oraz kolejnych. Alternatywna metoda imperfekcyjna jest zalecana do stosowania przez współczesne normy do projektowania konstrukcji w tym [4], a polega na założeniu kształtu imperfekcji w formie przeskalowanej, pierwszej  sprężystej postaci wyboczenia. Taka zintegrowana imperfekcja opisuje zarówno imperfekcje łukowe jak i przechyłowe.

Badania nad metodą imperfekcyjną prowadzone w podręczniku zmierzają w kierunku opisu następujących fundamentalnych problemów:

1. Zaprezentowanie metody analizy konstrukcji, umożliwiającej zautomatyzowany proces obliczeń, uwzględniający wielorakie, sprzężone formy utraty stateczności i korelacje między nimi – bez stosowania skomplikowanego systemu normowych współczynników redukcyjnych (wyboczeniowych) przypisanych do wyodrębnianych form utraty stateczności, wraz z systemem współczynników korelacji form wyboczenia wydzielonych elementów,
2. Opisanie imperfekcji kształtem zniszczenia granicznego, wyznaczonym z warunku sprężystej niestateczności oraz zniszczenia plastycznego lub uogólnionych przegubów w konstrukcjach żelbetowych, zespolonych drewnianych i murowych.
3. Opisanie losowego charakteru imperfekcji oraz probabilistycznej reprezentacji alternatywnych postaci utraty stateczności, a także mechanizmów zniszczenia konstrukcji: wyboczenia sprężystego i utworzenia mechanizmu plastycznego.
4. Zdefiniowanie klas wrażliwości konstrukcji i elementów konstrukcyjnych na lokalne (łukowe) imperfekcje geometryczne, których uwzględnienie w modelu konstrukcji i kombinacjach jest utrudnione.

Do rozwiązania postawionych zagadnień uogólniono imperfekcyjną metodę alternatywną poprzez wyznaczenie strzałki imperfekcji sprężysto-plastycznych. Prezentowane uogólnienie polega na ogarnięciu tą metodą:
1) wszystkich form utraty stateczności, możliwych do ujawnienia w numerycznym modelu konstrukcji,
2) traktowaniu imperfekcji, jako „losowej sumy” imperfekcji przeskalowanej z postaci sprężystej utraty stateczności systemu oraz stowarzyszonej z postacią utraty nośności plastycznej. Losowe imperfekcje opisano rozkładem Gumbela maksimów, a alternatywę typów imperfekcji oraz mechanizmów zniszczenia potraktowano, jako losowe zdarzenie łączne niezależnych losowo zdarzeń brzegowych.

W prezentowanej metodzie – sprężystej postaci utraty stateczności systemu – nie traktuje się jako ortodoksyjnego wzorca zintegrowanych (łącznie globalnych -przechyłowych  i lokalnych- łukowych ) imperfekcji systemu. W to miejsce wprowadza się podejście sprężysto-plastyczne i dodatkowo „rozmyte” na skutek losowego charakteru tych zjawisk, to znaczy podejście rzeczywiste, generalnie prowadzące do zwiększenia nośności systemu, ale w szczególnych przypadkach ujawniające niedobory nośności w stosunku do metod dotychczas stosowanych.

Metodę imperfekcyjną projektowania konstrukcji przedstawiono na przykładzie prętowych konstrukcji stalowych, żelbetowych, zespolonych, drewnianych i murowych. Nie analizowano konstrukcji powłokowych [5] , płytowych [6] , blachownic  [7] i innych specjalnych. Konstrukcje te powinny być przedmiotem odrębnych monografii, choć ogólne zasady przedstawione w tym podręczniku wymagają tylko drobnych modyfikacji. Rozważono sytuacje, które nie zawierają wpływów pożaru oraz zmęczenia.

W podręczniku przyjęto trzy podstawowe założenia:

• Wszystkie konstrukcje rzeczywiste są obarczone imperfekcjami, dlatego analiza konstrukcji idealnej ma charakter pomocniczy,
• Podstawową metodą projektowania powinny być bezpośrednie metody imperfekcyjne wykorzystujące analizę geometrycznie nieliniową konstrukcji,
• Uniwersalną miarą nośności konstrukcji jest mnożnik obciążenia $\Lambda$, umożliwiający wspólny opis utraty stateczności, nośności plastycznej oraz innych stanów granicznych.

Rozdział I :  WPROWADZENIE do imperfekcyjnej metody projektowania konstrukcji

Klasyczne metody wyboczeniowe uwzględniają wpływ imperfekcji pośrednio poprzez system współczynników redukcyjnych wyznaczanych dla wydzielonych elementów konstrukcji. Metody imperfekcyjne opierają się natomiast na bezpośrednim modelowaniu imperfekcji geometrycznych lub równoważnych im oddziaływań, a następnie na przeprowadzeniu geometrycznie nieliniowej analizy całego układu konstrukcyjnego.

Przedstawiona w podręczniku metoda stanowi rozwinięcie klasycznej alternatywnej metody imperfekcyjnej poprzez uwzględnienie wielorakich form utraty stateczności, losowego charakteru imperfekcji oraz sprzężenia efektów statecznościowych i plastycznych.  Pokazano, że różne formy utraty stateczności oraz odpowiadające im imperfekcje mogą być interpretowane jako alternatywne mechanizmy zniszczenia konstrukcji. Takie podejście umożliwia bezpośrednie powiązanie analizy stateczności, nośności granicznej oraz niezawodności konstrukcji w ramach jednolitego modelu obliczeniowego.

Probabilistyczne podstawy tego podejścia, teoria niezawodności konstrukcji, teoria wartości ekstremalnych oraz związki pomiędzy prawdopodobieństwem zniszczenia i wskaźnikiem niezawodności przedstawiono w odrębnym opracowaniu „Niezawodność konstrukcji”. W niniejszym podręczniku skoncentrowano się na zagadnieniach specyficznych dla metod imperfekcyjnych oraz ich zastosowaniach w praktyce projektowej.

Klasyczne metody wykorzystujące współczynniki wyboczeniowe i redukcyjne zachowują znaczenie normowe oraz historyczne, jednak współczesna praktyka projektowa coraz częściej opiera się na bezpośrednich metodach imperfekcyjnych wykorzystujących analizę geometrycznie nieliniową konstrukcji. Rozwój metod numerycznych umożliwił odejście od wielu uproszczeń stosowanych w klasycznych procedurach projektowych i przejście do bezpośredniego modelowania rzeczywistych zachowań konstrukcji.

Przedstawiona metoda stanowi rozwinięcie klasycznej alternatywnej metody imperfekcyjnej poprzez uwzględnienie losowego charakteru imperfekcji, wielorakich form utraty stateczności, alternatywnych mechanizmów zniszczenia oraz sprzężenia efektów statecznościowych i plastycznych. W dalszej części podręcznika pokazano, że wielorakie formy utraty stateczności oraz odpowiadające im imperfekcje mogą być interpretowane jako alternatywne mechanizmy zniszczenia konstrukcji. Podejście to umożliwia połączenie klasycznej analizy stateczności z nowoczesną teorią niezawodności konstrukcji, przy zachowaniu bezpośredniej interpretacji fizycznej i inżynierskiej otrzymywanych wyników.

Część I-1  Pojęcia wstępne

Mnożnik obciążenia miarą nośności konstrukcji

Rozważmy dowolną konstrukcję poddaną obciążeniu opisanym konfiguracją odniesienia $F_0$. Obciążenie konstrukcji w rozważanej chwili opisuje konfiguracja $F$, będąca skalowaną wersją konfiguracji odniesienia $F_0$:  $F = \Lambda \cdot F_0$,  skąd: 

\[ \Lambda = \cfrac{F}{F_0 }\tag{I-1.1} \label{L_0} \]

gdzie:
$\Lambda$ – mnożnik obciążenia, 
$F$ – aktualna konfiguracja obciążeń, 
$F_0$ – konfiguracja obciążeń odniesienia, najczęściej stan początkowy lub stan po wprowadzeniu sprężenia wstępnego.

W normie [4] mnożnik obciążenia jest oznaczany małą literą $\alpha$, a mnożnik obciążenia krytycznego przez $\alpha_{cr} .
Zmieniamy to oznaczenie na dużą literę w celu podkreślenia znaczenia pojęcia i wyróżniania go w tekście. Obie wielkości są tożsame $\Lambda_{cr}=\alpha_{cr}$

Załóżmy, że podczas zwiększania wartości obciążenia, działającego na konstrukcję proporcjonalnie do mnożnika $\Lambda$ – pod obciążeniem $ F_R=Λ_R \cdot F_0$ nastąpi utrata nośności konstrukcji na skutek przekroczenia dowolnego stanu granicznego, czyli wystąpienia mechanizmów zniszczenia:

\[ M_k \qquad (k=1,\ldots,N) \tag{I-1.2} \label{M_k} \]

gdzie najczęściej:
\[ M_k= \left\{ \begin{array}{ll} M_{cr} & \text{utrata stateczności},\\ M_{pl} & \text{mechanizm plastyczny},\\ M_{brit}& \text{zniszczenie kruche},\\ M_{env} & \text{oddziaływania środowiskowe},\\ M_{SGU} & \text{przekroczenie stanu użytkowalności},\\ \ldots \end{array} \right. \]

gdzie:
$M_{cr}$ – utrata stateczności konstrukcji, polegająca na utracie stateczności  konstrukcji w dowolnej formie ( wyboczenie, zwichrzenie, dystorsja , itd), w taki sposób, że będzie to prowadziło do załamania konstrukcji lub jej części. W tym sensie nie jest  utratą stateczności miejscowe wyboczenie, jeśli konstrukcja nadal będzie pełniła rolę nośną (np płyty w stanie nośności pokrytycznej),
$M_{pl}$ – mechanizm plastyczny, wskutek utworzenia się wystarczającej liczby przegubów plastycznych  w konstrukcji wykonanej z materiału idealnie sztywno-plastycznego, lub przegubów uogólnionych w konstrukcji wykonanej z materiału złożonego (np. żelbetu),

$M_{brit}$ – zniszczenie kruche, czyli zniszczenie konstrukcji poprzez kruche pękanie.
$M_{env}$ – zniszczenie lub degradacja wywołana oddziaływaniami środowiskowymi (korozja stali, karbonatyzacja i korozja zbrojenia, agresja chemiczna betonu, biodegradacja drewna, pełzanie, relaksacja, starzenie materiału itp.),
$M_{SGU}$ – przekroczenie wymagań użytkowalności (ugięć, drgań, zarysowania, przyspieszeń , itp)

Mnożnik obciążenia przypisany do mechanizmu zniszczenia $M_k \quad (k=1, 2,\ldots, N)$ definiuje się następująco

\[ \Lambda_\bullet= \cfrac{F_\bullet} {F_0} \tag{I-1.3} \label{L_bullet} \]

gdzie:
$F_0$ – konfiguracjaobciążenia odniesienia,
$F_\bullet$ – konfiguracja obciążeń skalowana z konfiguracji odniesienia$F_0$, przy zaistnieniu której realizuje się mechanizm $\bullet$.
$\bullet= dowolny mechanizm $M_k$ (\ref{M_k}) należący do zbioru mechanizmów zdefiniowanych zależnością (I-1.2).

Zwróćmy uwagę, że mnożnik obciążenia (\ref{L_bullet}) jest zdefiniowany dla określonej konstrukcji, identyfikowanej $N$ mechanizmami zniszczenia $M_k, (k=1, \ldots, N)$, które jej dotyczą. Każdemu mechanizmowi zniszczenia $M_k$ odpowiada mnożnik graniczny Λ_M,k, którego wartość zależy od właściwości konstrukcji oraz przyjętej konfiguracji obciążenia odniesienia F₀.

Jako miarę nośności konstrukcji ze względu na stan graniczny $M_k \quad (k=1, 2,\ldots, n)$ przyjmujemy mnożnik $\Lambda_{M,k}$.

Nośność konstrukcji ze względu na stan graniczny $M_k$ wynosi $\Lambda_{M,k}$ , co oznacza, że konstrukcja niszczy się ze względu na stan $M_k$ pod obciążeniem równym $Λ_{M,k} F_0$.

Miarę poziomu obciążenia wygodnie jest zapisywać w postaci względnej i bezwymiarowej, ponieważ umożliwia to uzyskanie uniwersalnych zależności, tabel i wykresów niezależnych od wartości obciążenia krytycznego. Jako podstawową miarę poziomu obciążenia przyjmiemy zatem względny mnożnik obciążenia

\[ \bar{\Lambda} = \cfrac{F}{F_\bullet} = \cfrac{\Lambda}{\Lambda_\bullet} \tag{I-1.4} \label{L_bar} \]

gdzie:
$\Lambda$ (\ref{L_0}),
$\Lambda_\bullet$ (\ref{L_bullet})

Poszczególne stany graniczne mają odmienną interpretację fizyczną i odpowiadają różnym mechanizmom utraty nośności, stateczności lub przydatności użytkowej konstrukcji. W szczególności stan plastyczny ($pl$) odpowiada obciążeniu, przy którym w konstrukcji powstaje wystarczająca liczba przegubów plastycznych umożliwiająca utworzenie mechanizmu plastycznego. Oznacza to utratę zdolności do dalszego przenoszenia obciążenia poprzez redystrybucję sił wewnętrznych. Dalszy rozwój przemieszczeń może następować bez wzrostu obciążenia lub przy jego nieznacznym wzroście. W sensie teorii plastyczności stan ten odpowiada wyczerpaniu nośności konstrukcji.

Mnożnik obciążenia nie jest cechą konstrukcji samą w sobie. Jest on cechą pary  [ konstrukcja ;  konfiguracja obciążenia]  ponieważ zmiana schematu obciążenia prowadzi na ogół do zmiany wartości mnożnika granicznego, nawet przy niezmienionej geometrii i sztywności konstrukcji. Dzięki temu mnożnik obciążenia stanowi uniwersalną miarę nośności konstrukcji niezależną od rodzaju materiału oraz rodzaju analizowanego stanu granicznego. W dalszej części podręcznika pojęcie to będzie stosowane do opisu:

$\Lambda_{cr}$  – nośności krytycznej idealnie sprężystej,
$\Lambda_{lim}$  ​– nośności granicznej konstrukcji sprężystej obarczonej imperfekcjami,
$ \Lambda_{pl}$  ​– nośności plastycznej,
$\Lambda_R$ ​– nośności granicznej konstrukcji rzeczywistej, uwzględniającej interakcję efektów statecznościowych i plastycznych.

W takim ujęciu wszystkie klasyczne pojęcia teorii stateczności i nośności granicznej można interpretować jako szczególne przypadki jednego, wspólnego pojęcia mnożnika obciążenia.

Nośność krytyczna i graniczna idealnie sprężysta

Nośność krytyczna $\Lambda_{cr}$

Mnożnik obciążenia krytycznego

\[ \Lambda_{cr} \tag{I-1.5} \label{L_cr} \]

uzyskiwany w klasycznej analizie LBA jest taką wartością obciążenia konstrukcji przy której element, część lub całość konstrukcji traci stateczność w sensie matematycznym.  $\Lambda_{cr}$ należy traktować jako przypadek szczególny mnożnika obciążenia granicznego $\Lambda_{lim}$, ovserwowany w konstrukcji bez imperfekcji. Położenia sprężystego punktu granicznego nie da się wyznaczyć w klasycznej analizie LBA. Imperfekcje systemu i jego elementów powodują, że idealne zachowanie konstrukcji sprężystej opisywane klasycznym modelem wyboczeniowym, LBA ( Linear Bifurcation Analysis), w którym definiuje się nośność krytyczną $\Lambda_{cr}$ nie jest spotykane w rzeczywistych konstrukcjach. Pręt rzeczywisty nie ulegnie „czystemu” wyboczeniu, bo od początku pracy jest zginany, więc właściwa dla niego jest analiza geometrycznie nieliniowa, a dla słabo lub średnio nieliniowych konstrukcji, stanowiących większość układów inżynierskich – analiza drugiego rzędu.

W niniejszym podręczniku nośność krytyczna $ \Lambda_{cr}$ nie jest traktowana jako odrębna miara nośności konstrukcji, lecz jako szczególny przypadek nośności granicznej $\Lambda_{lim}$​, konstrkcji sprężystej, ale wyidealizowanej, pozbawionej imperfekcji geometrycznych i materiałowych.

Nośność graniczna sprężysta  $\Lambda_{lim}$

Dla konstrukcji sprężystej obarczonej imperfekcjami  geometrycznymi ( i ew. materiałowymi) definiuje się sprężystą nośność graniczną

\[ \Lambda_{lim} \tag{I-1.6} \label{L_lim} \]

Na rys. 1 pokazano różnice pomiędzy nośnością krytyczną systemu idealnego (bez imperfekcji) $\Lambda_{cr}$, a nośnością graniczną $\Lambda_{lim}$ na nieliniowej gałęzi  pobifurkacyjnej ścieżki równowagi konstrukcji idealnie sprężystej .

Nośność plastyczna i sprężysto-plastyczna

Nośność  plastyczna $\Lambda_{pl}$

Nośność graniczna idealnie plastyczna

\[ \Lambda_{pl} \tag{I-1.7} \label{L_pl} \]

jest wyznaczana w ramach klasycznej teorii nośności granicznej dla konstrukcji wykonanej z materiału sztywno-plastycznego.

Graniczny, plastyczny schemat konstrukcji zostanie osiągnięty po ukształtowaniu się ostatniego przegubu plastycznego potrzebnego do uruchomienia mechanizmu plastycznego. Ponieważ w rzeczywistości przeguby plastyczne w stanie granicznym formują się jednocześnie [9] , więc nie trzeba uwzględniać form utraty stateczności w schematach poprzedzających. Obliczenia iteracyjne są potrzebne wyłącznie do opisu stanu granicznego w procesie pushover [10] .

Nośność graniczna sprężysto-plastyczna

Rozróżnienie nośności krytycznej $\Lambda_{cr}$ , granicznej -sprężystej $\Lambda_{lim}$ i plastycznej $\Lambda_{pl}$ omówiono w artykule Nośność graniczna, a nośność krytyczna i plastyczna.

Interakcja sprężystej nośności granicznej $\Lambda_{lim}$ oraz nośności plastycznej $\Lambda_{pl}$ definiuje nośność graniczną konstrukcji $\Lambda_R$, którą można oszacować z klasycznej formuły Rankine-Merchant (10754)  [11], będącej aproksymacją współdziałania efektów statecznościowych i plastycznych i nazywaną formułą  sumowania odwrotności nośności:

\[  \cfrac{1}{\Lambda_R}= \cfrac{1}{\Lambda_{lim}} + \cfrac{1}{\Lambda_{pl }} \tag{I-1.8} \label{L_R} \]

$\Lambda_R$ jest nośnością graniczną konstrukcji rzeczywistej, uwzględniającą jednoczesny wpływ utraty stateczności $\Lambda_{lim}$ oraz uplastycznienia $\Lambda_{pl}$. Wielkość ta stanowi podstawową miarę nośności konstrukcji sprężysto-plastycznej stosowaną w dalszej części pracy.

W konstrukcjach rzeczywistych utrata nośności jest zwykle wynikiem współdziałania imperfekcji, nieliniowości geometrycznych oraz nieliniowości materiałowych. Z tego względu nośność graniczna $\Lambda_R$ jest bardziej realistyczną miarą bezpieczeństwa konstrukcji niż sama nośność krytyczna $\Lambda_{cr}$ uzyskiwana w analizie LBA.

Opisany wyżej model stanowi podstawowe założenie uogólnionej metody stosowanej w pracy.

Założenie jest  zgodne z szerokimi badaniami [12] i innych (np. [13] , [14] ). W pracach tych pokazano, że w sytuacjach rzeczywistych, „czyste” postacie wyboczenia sprężystego praktycznie nie realizują się lub realizują na statystycznie nieistotnym poziomie nawet przy współczynniku niezawodności budynków i budowli β>3 .
Można to wykazać również teoretycznie po zastosowaniu podstawowych twierdzeń metody funkcji ważności, stosowanej w losowych symulacjach Monte Carlo, np. [15] , [16].
To samo można wykazać stosując podejście [17] , a nie [18], to znaczy podejście niesprężyste, opisujące rzeczywistą utratę stateczności.

Nośność losowa  i niezawodność konstrukcji

Stochastyczny model mnożnika obciążenia konstrukcji

Na rys. 2 pokazano model  mnożnika obciążenia konstrukcji (w skrócie obciążenia) jako procesu stochastyczny rozciągnięty w okresie użytkowania konstrukcji $T=\sum T_i$.

Przyjmuje się, że proces \Lambda(t) jest reprezentowany przez ciąg rocznych maksimów obciążenia. Założenie to jest zgodne z interpretacją probabilistyczną przedstawioną
w Dodatku A.

Granicę pomiędzy stanami bezpiecznymi i niebezpiecznym i wyznacza lczerwona inia rys. 3., która uzyskano po normalizacji względem nośności konstrukcji Λ_R. Granica bezpieczeństwa odpowiada wartości

\[ \Lambda = 1 \tag{I-1.9} \label{L=1}  \]  

Konstrukcja może pozostawać w jednym ze stanó

\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\Lambda >1 & \Rightarrow \text{konstrukcja bezpieczna},\\
\Lambda =1 & \Rightarrow \text{osiągnięcie stanu granicznego},\\
\Lambda <1 & \Rightarrow \text{konstrukcja nie spełnia warunku nośności}.
\end{array} \right. \tag{I-1.10} \label{L_state} \]

Nośność konstrukcji  $\Lambda_R$ jest takim mnożnikiem  obciążenia zewnętrznego, przy którym w okresie użytkowania konstrukcji $T=\sum T_i$ nie zrealizuje się  żaden z mechanizmów zniszczenia  $M_1, M_2 ,\ldots M_k , \ldots \quad k=(1, \ldots N)$ , gdzie N jest liczbą mechanizmów zniszczenia.

Nośność konstrukcji można zapisać następująco:

\[ \Lambda_R= \inf \left\{ \Lambda :\bigcup_{k=1}^{N} M_k(\Lambda) \right\} \tag{I-1.11}\label{L_R_def} \] 

czyli  nośność konstrukcji Λ_R jest najmniejszym mnożnikiem obciążenia, przy którym realizuje się pierwszy z mechanizmów zniszczenia M_k.

Równoważnie można powiedzieć, że Λ_R jest największym mnożnikiem obciążenia, dla którego nie został jeszcze zrealizowany żaden z mechanizmów zniszczenia.

Niezawodność konstrukcji Niezawodność konstrukcji jest prawdopodobieństwem zdarzenia polegającego na tym,  że w całym okresie użytkowania konstrukcji $T$ nie zostanie zrealizowany żaden z mechanizmów zniszczenia $M_k \ (k=1,\ldots,N)$, czyli 

\[ p_R = Pr\left\{ \bigcap_{k=1}^{N}\overline{M_k} \right\} \tag{I-1.12} \label{p_R}\]

Prawdopodobieństwo zniszczenia jest dopełnieniem (\ref{p_R}) , czyli

\[ p_f = 1-p_R = Pr \left\{ \max_{0\le t\le T} \Lambda(t) \ge \Lambda_R \right\} \tag{I-1.13}\label{p_f}\]

czyli prawdopodobieństwo tego, w okresie użytkowania wystąpi obciążenie większe od nośności konstrukcji.

Opis stochastycznego mnożnika obciążenia

Rozkład statystyczny obciążenia odniesienia $F_E$

Oddziaływania na konstrukcję przyjmuje się zgodnie regułą (3-1.1).
Ten format jest powszechnie uznawany ze względu na prostotę i został przyjęty przez wiele norm, w tym: normę europejską CEB (1976) [19], Comité Euro-International du Béton, Paris, France.)), ECS (1994) [20], amerykańskie ASCE (1986) [21] i ASCE (1999)  [22], kanadyjską NBCC (1995) [23],  autralijską SAA (1985) [24]  i inne.

Ten też format przyjmiemy do wyznaczania kon figuracji odniesienia $F_E$ mnożnika obciążeń $\Lambda$. Statystyczne parametry tych obciążeń składano z różniących się parametrów obciążeń stałych zmiennych użytkowych oraz klimatycznych : śniegiem i wiatrem. Te parametry przyjęto za pracą   Barlett i in (2003 [25]).

Rozkłady statystyczne obciążenia charakteryzowano dwoma  parametrami stosunkiem wartości średniej $\mu$ do nominalnej $Bias$ oraz współczynnikiem zmienności $Cov$ :

\[  bias_X = \cfrac{ \mu_X}{nom_X} \\ Cov_X = \cfrac{\sigma_X }{\mu_X} \tag{I-1.14} \label{bias} \]

gdzie:
$X$ – typ obciążenia (G, Q, W,S) = (ciężar własny, obciążenie użytkowe, oddziaływanie wiatru, obciążenie śniegiem),
$nom_X$ -wrtośc nominalna – obciążenia – charakterystyczna wg normy dla okresu powrotu właściwego dla danego typu konstrukcji.
$\mu_X$ – wartość oczekiwana zmiennej X –
$ Cov_X = \cfrac{\sigma_X}{\mu_X}$ – odchylenie standardowe (średniokwadratowe )  zmiennej X,

Rozkład statystyczny ciężaru własnego

W tab.1. zestawiono parametry: wartość średnią $ \mu_G = bias_G \cdot nom_G$  oraz współczynnik zmienności $Cov_G$ ciężaru własnego G konstrukcji żelbetowych, metalowych i innych. Ciężar własny ma rozkład normalny $N(\mu_G, \sigma_G)$

Tab.1 Parametry statystyczne rozkładu ciężaru własnego $G_j$ [26] – Appendix B, C,D.

\[ \begin{array}{|l|c|c|}
\hline \text{Zmienna – rozkład normalny } N(\mu,\sigma) & \text{bias}=\mu/\text{nom} & V=\sigma/\mu \\
\hline \text{ciężar materiału (w tym żelbetu)} & \approx 1{,}00 & 0{,}03 \\
\hline \text{płyta 150 mm} & 1{,}00 & 0{,}08 \\
\hline \text{płyty i belki stropowe} & 1{,}00 & 0{,}07 \\ 
\hline \text{słupy} & 1{,}04 & 0{,}04 \\
\hline \text{ogólny ciężar stropu (ok. }0{,}48\ \mathrm{kN/m^2}\text{)} & 1{,}00 & 0{,}06 \\
\hline \text{warstwy wykończeniowe (ok. }0{,}19\ \mathrm{kN/m^2}\text{)} & 1{,}10 & 0{,}15 \\
\hline \text{model obciążeń} & 1{,}00 & 0{,}05 \\ \hline \text{model obliczeniowy obciążeń stałych} & 1{,}00& 0{,}05 \\
\hline\end{array} \]

Uwagi:
(1) Patametry wielkosći z wyłączeniem cieżaru własnego dotyczą kombinacja wymiarów i gęstości:
(2) bias=μ /n stosunek średniej μ do wartości nominalnej nom ( normowej) 
(3) V =σ/μwspólczynnik zmienności, σ – odchylenie standardowe

Rozkład statystyczny obciążeń użytkowych stropów

Parametry statystyczne obciążenia użytkowego stropów i innych powierzchni zależy od wielkości powierzchni na które są przyłożone. Na  rys. 3 pokazano współczynnik zmienności obciążenia użytkowego stropu w budynku mieszkalnym lub użyteczności publicznej wg [25]).

Efekty obciążenia (w belkach, słupach i wg Allen (1975)  [27] nie znajdują zastosowania w naszych analizach, bowiem efekty (siły przekrojowe) będą wyznaczane w odrębnej procedurze).

Rozkład obciążenia użytkowego w długim czasie ma rozkład ekstremalny I typu (Gumbela). W określonej chwili (doraźnie) lub w okresie roku  przyjmujemy jako  rozkład normalny ze wskazanymi parametrami dla okresu 15 lat.

Rozkład statystyczny doraźnego obciążenia wiatrem oraz śniegiem

Rozkład statystyczny obciążenia wiatrem w czasie przyjmuje się najczęściej jako ekstremalny rozkład maksimów I rodzaju , czyli rozkład Gumbela  a śnieg wg rozkładu Weibula maksiumów i jest wyczerpująco omówiony w artykule Niezawodnośc konstrukcji.

W tab. 2 podano wartości parametrów rozkładów obciązeń proponowane w pracy [26]

Tab.2 Parametry statystyczne rozkładu ciężaru własnego $G_j$ [26] – Tab 3.1.

\[\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline \text{Typ obciążenia } X & \mu_X/\mathrm{nom}_X & v_X & \text{Rozkład} \\
\hline \text{Stałe } G & 1{,}05 & 0{,}10 & \text{Normalny} \\
\hline \text{Użytkowe } Q & \text{rys. 3} & 0{,}25 & \text{Gumbel max} \\
\hline \text{Wiatr } W & 0{,}78 & 0{,}37 & \text{Gumbel max} \\
\hline \text{Wiatr roczny } W_1 & 0{,}33 & 0{,}59 & \text{Gumbel max} \\
\hline \text{Śnieg } S & 0{,}82 & 0{,}26 & \text{Weibull max} \\
\hline \text{Śnieg roczny } S_1 & 0{,}20 & 0{,}73 & \text{Lognormalny} \\
\hline\end{array}\]

Inne typy obciążeń (np. sejsmiczne, termiczne) pomija się w tej pracy. 

Rozkład statystyczny  wartości własnej (np. obciążenia krytycznego lub częstotliwości drgań własnych)

Rozkład statystyczny  krytycznego mnożnika obciążenia $\Lambda_{cr}$ wyznaczymy za pracą Bijak, Chodor (1988) [28].

Równanie stateczności systemu zapiszemy w postaci

\[ \left( [K] – \Lambda_{cr} \cdot [K]^g \right) \cdot ||w||=0  \tag{I-1.15} \label{K_sys} \]

gdzie:
$[K]$ i $[K]^g$ są losowymi macierzami sztywności , odpowiednio liniową i geometryczną,
||w|| – wektor własny, opisujący kształt konstrukcji po wyboczeniu

Przyjmijmy, że losowe własności systemu są zestawione w wektor losowy $||X|| =||X_1, X_2, \dots , X_m||$, gdzie $m$ – liczba zmiennych losowych charakteryzujących system. Później pokażemy, że możemy je zredukować do liczebności niezależnych jednostek losowych w systemie [M, K,S,C,]-[Metr, Kilogram, Sekunda, Celsjusz].

Po przemnożeniu obu stron (\ref{K_sys}) przez wektor własny transponowany $||w||^T$, formalnym przeróżniczkowaniu po wektorze współrzędnej $X_i$ wektora [X] i uwzględnieniu zerowych wartości oczekiwanych, otrzymamy wyrażenie na wrażliwość (czułość) mnożnika krytycznego $\Lambda_{cr}$ na losowe zmiany współrzędnej wektora współrzędnej $X_i$

\[ \cfrac{\partial \Lambda_{cr}}{\partial X_i}= \cfrac{||w||^T \left [ \cfrac{\partial [K]}{\partial X_i} – \Lambda_{cr} \cfrac{d[K]^g}{d X_i}\right] ||w|| }{ ||w||^T [K]^g ||w||}  \tag{I-1.16} \label{L_cr/X} \]

W przypadku zagadnienia dynamiki

\[ \left( [K] – \omega^2 \cdot [B] \right) \cdot ||w||=0  \tag{I-1.17} \label{K_dyn} \]

gdzie: $\omega$ – częstotliwość drgań własnych, a $[B]$ macierz bezwładności (mas)

analogicznie do  (\ref{L_cr/X} $) wrażliwość na zmiany parametru losowego przyjmie postać [29]

\[ \cfrac{ \partial \omega}{\partial X_i }= \cfrac{ ||w||^T  \left [ \cfrac{\partial [K]}{\partial X_i}  -\omega^2 \cfrac{\partial [B] }{\partial X_i}\right ] ||w|| }{2 \cdot \omega \cdot ||w||^T [B] ||w||} \tag{I-1.18} \label{L_cr,omega/X} \]

Macierze $[K]^g]$ oraz $[B]$ zależą  od sił węzłowych  $||F|_e$.

Imperfekcje krytyczne (najgorsze)

Ważnym zagadnieniem praktycznym jest wyznaczenie takiego kształtu imperfekcji, który będzie najbardziej zmniejszał nośność graniczną $\Lambda_{lim}$.

Zwykle przyjmuje się propozycję Chladny (1958,1974) [30], [2]  i późniejszą  Brendel-Ramm (1980) [31], by  za krytyczny kształt imperfekcji zwany również najgorszym (ang. „worst”) uznać pierwszą postać wyboczenia, czyli imperfekcje wynikające z przeskalowania krytycznego wektora własnego konstrukcji. Takie podejście jest zgodne z pierwszą pracą na temat współczynnika wyboczeniowego Ayrton i Perry (1886) [32], ale przede wszytskim radykalnie redukuje koszty analizy probabilistycznej imperfekcji dla założonych właściwości probabilistycznych, przedstawione m.in w pracach: Elishakoff (1988) [33]; Lindberg (1988) [34] czy Kirkpatrick i Holmes (1989) [35], choć może być stosowane wyłącznie do geometrycznych imperfekcji systemowych.
Należy zwrócić uwagę, że w układach o silnej nieliniowości materiałowej, wielu bliskich wartościach własnych lub lokalnych mechanizmach zniszczenia pierwsza postać wyboczenia może nie odpowiadać globalnej imperfekcji najbardziej niekorzystnej.

Ikeda i Murota (1990, 1991) [36],  [37], [38] przedstawili ścisłą matematycznie teorię umożliwiającą wyznaczyć układ i wielkości imperfekcji krytycznych nie tylko niedoskonałości (geometrii konstrukcji (ułożenia węzłów w przestrzenie), ale również ścieżkę i układ obciążenia w czasie i przestrzeni, długości  skręcenia elementów, własności mechaniczne przekrojów itd.  W swoich pracach potwierdzili poprawność założenia o tym, że imperfekcje krytyczne ustroju sprężystego można prognozować na podstawie wektora własnego uzyskanego w analizie LBA. Na rys. 1 zilustrowano to na przykładzie mało wyniosłej kopuły prętowej w której obserwuje się utratę stateczności wskutek przeskoku węzła.

Z porównania krytycznego (pierwszego) wektora własnego (rys.1d) z krytyczną imperfekcja (rys.1 e) stwierdzamy, że różnice praktycznie nie występują. Z rys.1. f) wynika natomiast, że imperfekcje zmniejszają nośność graniczną kopuły tym bardziej im są większe.

Tym samym hipotezę o treści ” W ustroju idealnie sprężystym z pojedynczym punktem granicznym, krytyczne (najgorsze) imperfekcje mają kształt podobny do pierwszego (najniższej) postaci wyboczenia systemu”  potwierdzono teoretycznie i jest ona podstawą analizy systemów idealnie sprężystych bez konieczności probabilistycznego badania losowych kształtów imperfekcji geometrycznych.   Ta szybka metoda dotyczy jednak wyłącznie kształtu sprężystej imperfekcji krytycznej a nie amplitudy tej imperfekcji.

Pytanie o tym jaka jest amplituda krytycznych imperfekcji sprężystych nadal pozostaje otwarte.
Z rysunku 1 f) wynika, że obniżenie nośności granicznej systemu zwiększa się wraz ze wzrostem amplitudy imperfekcji.
W pracy Ohsaki (2002) [39] pokazano, że krytyczna imperfekcja w systemie ze statecznym puntem bifurkacji – niewielka niedoskonałość może być gorsza niż duża niedoskonałość.

Wyznaczenie imperfekcji krytycznych dla konstrukcji sprężysto-plastycznej nie było poddane szczególnej analizie ze względu na wielokrotnie złożony problem.  Od VIII wieku do dzisiaj trwają na przykład dyskusje o „paradoksie  plastycznego wyboczenia”, np:  [40], czyli dyskusje o tym, która z dwóch teorii plastyczności : teorię sprężysto-plastycznych odkształceń Hencky-Iljusina (Hencky,(1924) [41] czy też teorię płynięcia  Hill (1950) [42] – należy stosować przy analizie wyboczenia konstrukcji sprężysto-plastycznych. Badania  eksperymentalne  dają bowiem wyniki bliższe jednej lub drugiej teorii w zależności od rodzaju konstrukcji (np. słup z profilu, czy powłoka z blachy), a także rodzaju materiału , z którego jest wykonana (np stal , czy stop aluminium).

Smukłość i współczynnik amplifikacji

Tradycyjną analizą, stosowaną w projektowaniu konstrukcji wrażliwych na efekty niestateczności jest analiza wyboczeniowa. W podejściu inżynierskim jest ona realizowana z użyciem współczynników wyboczeniowych (najczęściej wyboczenia giętnego lub bocznego – zwichrzenia). Istotę współczynnika wyboczeniowego $\chi$ dobrze oddaje jego nazwa angielska reduction factor, czyli współczynnik redukcyjny, bo określa on redukcję (zmniejszenie) nośności elementu $F_{Rb}$  w stosunku do nośności przekroju  sprawczego tego elementu$F_R$.

\[  \chi=\cfrac{F_{Rb}}{F_R} \tag{I-1.19} \label{chi} \]

Współczynnik (\ref{chi}) uwzględnia efekty niestateczności elementu (wyboczenie giętne lub skrętne lub giętno-skrętne, w tym zwichrzenie) i jest nieliniową funkcją smukłości elementu,. Przekrój sprawczy jest przekrojem elementu, który decyduje o jego nośności i jest nazywany również przekrojem wymiarującym lub krytycznym. Tego ostatniego określenia nie używamy, bo słowo „krytyczny” rezerwujemy dla zjawiska utraty stateczności, a ogólniej stateczności.

Smukłość elementu

W przepisach normowych Eurokod wprowadzono  definicję smukłości względnej pręta, jako pierwiastek ze stosunku nośności przekroju do nośności krytycznej elementu. Definicja ta w zapisie obejmującym kilka przypadków wyboczenia (*=_, ,LT, T, TF) i klas przekrojów (•= 1, 2, 3, 4) jest następująca:

\[  \overline \lambda_* =\sqrt{\cfrac{F_{R•}}{F_{cr*}}} \tag{I-1.20}  \label{lambda} \]

gdzie:
indeks przypadków wyboczenia:  _ (spacja) – wyboczenie giętne, LT- zwichrzenie (wyboczenie boczne), T- wyboczenie skrętne, TF – wyboczenie giętno-skrętne
indeks klasy przekroju: 1,2,3,4, które omówiono w artykule Klasy przekroju stalowego. Przekroje żelbetowe oraz zespolone (a także drewniane) rozpatruje się analogicznie jak przekroje stalowe klasy 3 (metodami teorii sprężystości), ale z uwzględnieniem nieliniowego zachowania betonu oraz wpływu czasu i pełzania na wytrzymałość drewna.
$F_{R•}$ – nośność sprężysta (po uplastycznieniu lub utracie wytrzymałości tylko jednego punktu przekroju) – mierzona siłą przekrojową F (siłą osiową N, lub momentem zginającym M, lub momentem skręcającym T, lub bimomentem Bω, itd.), odpowiednia dla klasy przekroju (•=1,2,3,4), na przykład: $N_{R,1,2,3} = A \cdot f_y$, $N_{R4}= A_{eff} \cdot  f_y$; $M_R= W_y \cdot f_y$ , itd.
$F_{cr*}$ – nośność krytyczna elementu przy niestateczności typu *.
Dla przypadku wyboczenia giętnego (*=_)  smukłość (\ref{lambda}) wyraża się formułą

\[  \overline \lambda =\sqrt{\cfrac{N_{R}}{N_{cr}}} \tag{I-1.21} \label{lambda_w} \]

gdzie  nośność przekroju na ściskanie  $N_R=A \cdot f_y$ , ( A- pole przekroju, $f_y$ – wytrzymałość materiału – granica plastyczności dla stali), a $N_{cr}$ jest siłą krytyczną (Eulera), przy której element traci stateczność i wybacza się.
Dla przypadku  wyboczenia bocznego (zwichrzenia) (*=LT):

\[  \overline \lambda_{LT} =\sqrt{\cfrac{M_{R}}{M_{cr}}} \tag{I-1.22} \label{lamda_wLT} \]

gdzie nośność przekroju na zginanie $M_{R}=W\cdot f_y$, ( W – wskaźnik wytrzymałości przekroju, f_y jak wyżej), a $M_{cr}$ jest zginającym momentem krytycznym (Własowa), przy której element traci stateczności przez utratę płaskiej postaci zginania (zwichrzenie).
Osiowa siła krytyczna $N_{cr}$ nazywana często siłą  Eulera $N_E$  jest obliczana ze wzoru:

\[  N_{cr}= \cfrac{\pi^2 \cdot EI} {L^2_{cr}} \tag{I-1.23} \label{N_cr} \]

Moment krytyczny $M_{cr}$ wyraża się bardziej złożonymi zależnościami i w praktyce wyznacza numerycznie, np. z zastosowaniem programu  LTBEAM [43] .

Siła krytyczna (\ref{N_cr}) opisuje wyboczenie giętne idealnie prostego pręta o długości L i momencie bezwładności przekroju I, ściskanego czystą siłą osiową N. Pręt wykonany jest z materiału idealnie sprężystego o module Younga E. Wartość obciążenia osiowego pręta (\ref{N_cr}) pierwiastkiem równania różniczkowego pręta zginanego i ściskanego, które uzyskał Euler już w XVIII w. i oznacza siłę, przy której następuje bifurkacja (rozdwojenie) stanu równowagi pręta, to znaczy punkt na ścieżce równowagi. w którym pręt może przeskoczyć ze stanu równowagi prostoliniowej do stanu równowagi krzywoliniowej. Takie zjawisko nazwano wyboczeniem.

Długość wyboczeniowa $L_{cr}$ jest nazywana długością Eulera $L_E$ i w praktyce wyznacza się ją z zależności:

\[  L_{cr}= \mu \cdot L \tag{I-1.24} \label{Dl_cr} \]

gdzie:
$\mu$ – współczynnik długości wyboczeniowej,
L- długość teoretyczna pręta.

Wprowadzenie wzoru Eulera (\ref{N_cr}) do formuły (\ref{lambda_w}) umożliwia otrzymanie klasycznej, powszechnie stosowanej również dzisiaj, postaci wyrażenia na smukłość względną $ \overline \lambda$ pręta ściskanego o smukłości bezwzględnej  $\lambda$ ( [4]-(6.50):

\[  \overline \lambda = \cfrac {\lambda} {\lambda_1} \tag{I-1.25} \label{lamda_wEuler} \]

gdzie:
bezwzględna smukłość pręta

\[  \lambda = \cfrac{L_{cr}}{I-1} \cdot k_• \tag{I-1.26} \label{lambda_preta} \]

smukłość porównawcza (dla elementu stalowego)

\[  \lambda_1=\pi \sqrt{\cfrac{E}{f_y}}=93,9\cdot \varepsilon \tag{I-1.27} \label{lambda_p} \]

gdzie współczynnik klasy przekroju  $k_•$ =1 dla przekroju klasy (•=1,2 i 3) oraz  $k_•=\sqrt{\cfrac {A_{eff}} {11}}$ dla przekroju klasy (• = 4) oraz współczynnik materiałowy

\[ \varepsilon= \sqrt{\cfrac{235}{f_y}} \tag{I-1.28}\label{eps} \]

jest specyficzny dla konstrukcji stalowych.
Dla elementów żelbetowych, zespolonych i drewnianych wyrażenia (\ref{lambda_p}) i (\ref{eps}) wymagają modyfikacji w sposób pokazany w dalszej części podręcznika.
Długość wyboczeniowa $L_{cr}$ wg (\ref{Dl_cr}) jest nazywana często (np. w konstrukcjach żelbetowych) długością efektywną i oznaczana symbolem $l_0$.

W tym miejscu najczęściej prezentuje się kilka podstawowych schematów statycznych prętów i podaje dla nich współczynniki długości wyboczeniowej (rys.5). Nie powinniśmy tego robić, bo może to  wprowadzić wiele zamieszania, na przykład przez doprowadzenie do przekonania, że maksymalna wartość współczynnika μ wynosi 2 (jak dla wspornika). Jest to szkodliwa informacja, bowiem faktycznie współczynnik długości wyboczeniowej μ  pręta może być znacznie większy od 2 i przyjąć wartości z przedziału:

\[  0,5 \le \mu \le \infty \tag{I-1.29}  \label{l_e} \]

gdzie:
$\mu=0,5$ odpowiada schematowi pręta obustronnie idealnie utwierdzonego (o nieskończonych sztywnościach podpór w tym zamocowania) (rys. 4 d),
$\mu=1,0 $ opowiada prętowi podpartemu nieprzesuwnie i idealnie przegubowo na obu końcach (rys. 4a),
$\mu=\le \infty $ dotyczy pręta obustronnie sprężyście podpartego w podporach o zerowych sztywnościach (czyli pręta swobodnie zawieszonego w przestrzeni) (rys. 4 .g).

Następnie należy stwierdzić, ze rzeczywiste pręty ściskane (słupy) nie są idealne:
1) oś pręta nie jest prosta ze względu na imperfekcje geometryczne osi pręta,
2) przekrój pręta i parametry materiałowe nie są stałe po długości, ze względu na niedoskonałości hutnicze, wpływające na charakterystyki przekroju,
3) siła ściskająca nie jest idealnie stała po długości pręta, ale co ważniejsze ze względu na wstępne mimośrody przyłożenia do głowicy słupa – pręt w zasadzie od początku pracy jest obciążony dodatkowymi momentami zginającymi.
W rzeczywistości nigdy nie będziemy mieli do czynienia z „czystym” ściskaniem, ale ze zginaniem ze ściskaniem, a do analizy takiego zagadnienia właściwe są metody co najmniej drugiego rzędu

Współczynnik amplifikacji

Dla mechanizmu utraty stateczności $M_{cr}$ mnożnik graniczny (\ref{L_bullet}) przyjmuje postać

\[ \Lambda_{cr} = \cfrac{F_{cr}}{F_0} \tag{I-1.30} \label{Lam_cr} \]

Zachodzi zatem $\Lambda_\bullet=\Lambda_{cr}$.

Natomiast względny poziom obciążenia określa zależność (\ref{L_bar}):

\[ \bar{\Lambda} = \cfrac{\Lambda}{\Lambda_{cr}} \]

Przy wzroście obciążenia wartość $\bar{\Lambda}$ rośnie od zera do jedności. Stan krytyczny osiągany jest dla

\[ \bar{\Lambda}=1 \]

co odpowiada spełnieniu warunku

\[ \Lambda=\Lambda_{cr} \]

oraz

\[ F=F_{cr} \]

W pobliżu stanu krytycznego następuje gwałtowny wzrost przemieszczeń i sił wewnętrznych wywołanych efektami drugiego rzędu.

W klasycznej teorii Ayrtona-Perry’ego wpływ efektów drugiego rzędu uwzględnia się za pomocą współczynnika amplifikacji $a_\Lambda$, który opisuje wzrost przemieszczeń i sił przekrojowych wraz ze wzrostem poziomu obciążenia.

Przy przyjętych oznaczeniach współczynnik ten można zapisać w postaci

\[ a_\Lambda = \cfrac{1} {1-\bar{\Lambda}} \tag{I-1.31} \label{a_L} \]

Zależność (\ref{a_L}) pokazuje, że współczynnik amplifikacji jest funkcją względnego poziomu obciążenia $\bar{\Lambda}$ i rośnie wraz ze zbliżaniem się do stanu krytycznego.

Dla

\[ \bar{\Lambda}\rightarrow 1^{-} \]

mianownik dąży do zera, wskutek czego

\[ \lim_{\bar{\Lambda}\rightarrow 1^{-}} a_\Lambda = \infty \]

Stan krytyczny odpowiada więc matematycznej osobliwości modelu sprężystego drugiego rzędu i wyznacza granicę jego stosowalności.

W szczególności:
dla $\Lambda \ll \Lambda_{cr}$  wpływ efektów drugiego rzędu jest niewielki,
dla $\Lambda \approx \Lambda_{cr}$ następuje gwałtowny wzrost przemieszczeń i sił wewnętrznych,
natomiast dla $\Lambda=\Lambda_{cr}$ model prowadzi do osobliwości matematycznej odpowiadającej klasycznemu punktowi bifurkacyjnemu konstrukcji idealnej.

Warto podkreślić, że osobliwość ta nie jest obserwowana w konstrukcjach rzeczywistych. W konstrukcji rzeczywistej zawsze występują imperfekcje geometryczne, materiałowe lub obciążeniowe, które eliminują idealny punkt bifurkacyjny. W rezultacie odpowiedź konstrukcji pozostaje ciągła, a utrata nośności następuje przy skończonych wartościach przemieszczeń i sił wewnętrznych. W tym sensie mnożnik krytyczny $\Lambda_{cr}$ nie powinien być interpretowany jako rzeczywista nośność konstrukcji, lecz jako parametr modelu idealnego określający położenie matematycznego punktu bifurkacyjnego.  Dla konstrukcji rzeczywistych właściwą miarą nośności jest mnożnik graniczny $\Lambda_R$ lub, w przypadku analiz sprężystych, mnożnik $\Lambda_{lim}$.

Wzór Eulera (\ref{N_cr}) nie powinien być bezkrytycznie stosowany w odniesieniu do pręta rzeczywistego, ponieważ jest słuszny wyłącznie dla jakościowo odmiennego przypadku — ściskanego pręta idealnego. Wzór ten ma jednak fundamentalne znaczenie poznawcze, w szczególności jako ważny przykład w teorii katastrof [45] oraz w opisie zjawiska wyboczenia i utraty stateczności układów idealnych w matematyce, fizyce i mechanice.

W niektórych procedurach normowych współczynnik amplifikacji występuje łącznie z dodatkowymi współczynnikami redukcyjnymi (eyboczemniowymi) lub imperfekcyjnymi, oznaczanymi często symbolem $\chi$. W takim przypadku współczynnik $\chi$ nie opisuje samego efektu geometrycznego drugiego rzędu, lecz uwzględnia dodatkowo wpływ imperfekcji, wyboczenia lub uproszczeń przyjętego modelu obliczeniowego. Z tego względu w niniejszym podręczniku współczynnik amplifikacji $a_\Lambda$ jest definiowany niezależnie od współczynnika wyboczeniowego $\chi$, który ma odrębne znaczenie fizyczne.

Klasyfikacja teorii II rzędu

W podręczniku [46] przedstawiono klasyfikację metod drugiego rzędu na tle licznych przykładów obliczeń wykonanych programem S3D [47] , który wykorzystuje teorię dużych przemieszczeń i obrotów z uwzględnieniem przestrzennego zginania i skręcania. S3D jest oprogramowaniem badawczym na Uczelni i nie jest komercyjnie dostępny.
Autorzy pokazują, że nie ma jednej teorii II rzędu, a jej kategorie  należy ustalać wg kryterium  ujętych   efektów II rzędu i opisywanych  zjawisk. Proponują następujące kategorie teorii drugiego rzędu:

Kategorie teorii II rzędu

Kategorie 1 do 3  zdefiniowane w ramach klasycznej teorii  II rzędu  dla prętów krępych (niewrażliwych na skręcanie skrępowane):

• kategoria 1 : zagadnienie zginania jednoosiowego z siła normalną (wyboczenie giętne)
  Teoria zupełnie nieodpowiednia do praktycznych zadań inżynierskich, bowiem zwichrzenie jest obecne nie tylko w konstrukcjach metalowych, ale także żelbetowych i drewnianych,
• kategoria 2 :   zagadnienie zginania dwuosiowego z siła normalną (dwuosiowe wyboczenie giętne)
  Teoria nieodpowiednie do zagadnienia ściskania ze skręcaniem , w szczególności skrępowanym, czyli w istocie też wyłączona z praktycznych zastosowań inżynierskich,
• kategoria 3 : zagadnienie zginania dwuosiowego z siła normalną i skręcaniem (dwuosiowe wyboczenie giętne i skrętne )
  Teoria nieodpowiednia do zagadnienia  skręcania skrępowanego, czyli zwichrzenia i nie powinna być wyłączona z zastosowań inżynierskich

Kategorie  3P : kat 3 z Paczeniem ( w oryginale 3W : kat. 3 mit Wolbrakrafttorsion)  i 3PS: kat 3 ze Skręcaniem od Paczenia (w oryginale 3WS: kat 3. mit Sekundare Schubformungen)
Teorie są zdefiniowane w ramach teorii II rzędu dla prętów cienkościennych ( wrażliwych  na skręcanie skrępowane i paczenie przekroju) i mogą być stosowane do praktycznych inżynierskich zagadnień konstrukcji wrażliwych na utratę stateczności giętne, skretnej i giętno-skrętnej ( w tym zwichrzenia)

• kategoria  3P : zagadnienie skręcania prętów z przekrojem bez oporu skręcania:
  $k=\cfrac {G\cdot I_T} {E \cdot I_{ \omega} } = 0 $
  $ \to \kappa = \cfrac {chi}{1+k} =1$, gdzie
  $ I_T$ – moment bezwładności czystego skręcania (Saint Venanta), G – moduł Kirchoffa,
  $I_{\omega}$ – wycinkowy moment bezwładności, E – moduł Younga,
• kategoria 3PS :  zagadnienie wyboczenia skrętnego prętów  o przekroju z charakterystyką $\kappa < 1$.
  W ramach tej teorii można analizować zjawisko wyboczenia giętno skrętnego (w tym zwichrzenia) zgodnie z teorią Własowa.

Teorie wyższych rzędów (III rząd i wyżej) powinny być stosowane dla konstrukcji cięgnowych i membranowych, co zapewniają specjalizowane programy, np. Abaqus [48] lub Sofistik [49] i in.

Dodatkowo w pracy [46] zamieszczono wyniki testów innego programu badawczego. Natomiast w opracowaniu [50]   przeprowadzono testy dla programu komercyjnego Consteel.  Z testów wynika, że jeśli program KSTAB zalicza się do dokładnych, to program Consteel należy zaliczyć do kategorii wyższej o rząd.

Zadania do testowania oprogramowania inżynierskiego

Przedstawiony w Tab.1 zestaw testów z  pracy [46] jest obecnie  uznany za zadania wzorcowe (ang. benchmark) do testowania oprogramowania stosowanego do analizy konstrukcji wg teorii drugiego rzędu, która jest nieodłączną częścią metod imperfekcyjnych.

Tab. 1-I.1. Zadania Benchmark do testowania oprogramowania drugiego rzędu [46]
(opracowano na podstawie  [50] )

Z dotychczas wykonanych  testów  wynika, że większość zadań inżynierskich można wiarygodnie analizować w ramach teorii II rzędu kategorii 3PS, ale zadania typu 2 (niesymetryczna kratownica Misesa na podporach sprężystych) oraz typu 5 (układ tensegrity) i typu 7 (zwichrzenie z siła normalną – cięgnami zamocowanymi w osi belki) a także typu 10 ( niestateczność przy bardzo dużych ugięciach) – wiarygodna jest wyłącznie teoria dużych przemieszczeń i obrotów.  W tym przypadku należy stosować programy naukowe, np. ABAQUS [48] .

We współczesnej praktyce projektowej, szczególnie konstrukcji metalowych stosuje się powszechnie pręty cienkościenne, których teoria sformułowana przez Własowa [51] jest uogólnieniem teorii prętów o przekroju krępym, a na jej gruncie można wyjaśnić i opisać zjawisko zwichrzenia i wyboczenia giętno-skrętnego.  Pręty cienkościenne nazywane uogólnionymi są podatne na paczenie  i występują w nich  dodatkowe siły przekrojowe: bimoment $B_{\omega}$ oraz  moment giętno-skrętny $T_{ \omega }$.

Dla praktyki inżynierskiej interesująca jest teoria dopiero kategorii 3PS, która jest już implementowana do współczesnych programów MES, w tym w stosowanym w niniejszym podręczniku programie [52].

Wrażliwość konstrukcji na nieliniowości, rząd teorii i imperfekcje

Wrażliwość konstrukcji na nieliniowości geometryczne objawia się tym, że rezultaty uzyskane według teorii liniowej są obarczone zbyt dużymi błędami. Dla konstrukcji wrażliwych na nieliniowości należy stosować teorię nieliniową. Poniżej pokażemy, że można wskazać proste, kryterium wrażliwości na nieliniowości, dotyczące każdej konstrukcji- nawet pręta rozciąganego. Rząd teorii nieliniowej oznacza stopień aproksymacji odkształceń (lub przemieszczeń) nieliniowych poprzez ich rozwinięcie w potęgowy szereg Taylora podług potęg tych odkształceń.

Imperfekcje są pojęciem niezależnym od wrażliwości konstrukcji na nieliniowości i rząd teorii. Ponieważ jednak analiza imperfekcyjna jest nieodłącznie związana z teorią przynajmniej drugiego rzędu, więc można przyjąć, że konstrukcje wrażliwe na efekty drugiego rzędu są wrażliwe na imperfekcje i odwrotnie.

Kryterium „5%” odkształceń i zakres stosowalności teorii kolejnych rzędów

Sformułowanie kryterium

Teoria I rzędu stanowi przybliżenie zagadnienia brzegowego mechaniki konstrukcji obowiązujące dla małych odkształceń i przemieszczeń. Jej podstawowym założeniem jest pominięcie geometrycznych efektów wyższych rzędów, co prowadzi do liniowej zależności pomiędzy obciążeniami, przemieszczeniami i odkształceniami. Założenie to jest poprawne jedynie wtedy, gdy błędy wynikające z linearyzacji pozostają dostatecznie małe z punktu widzenia praktyki inżynierskiej.

Praktycznym i uniwersalnym kryterium oceny wrażliwości konstrukcji na nieliniowości geometryczne jest kryterium „5%” odkształceń, które można sformułować następująco:

Jeżeli w dowolnym miejscu konstrukcji odkształcenia liniowe I rzędu ($\varepsilon$) przekraczają wartość 5%, to konstrukcję należy uznać za wrażliwą na nieliniowości geometryczne i analizować co najmniej teorią II rzędu.

Kryterium to ma charakter praktyczny i empiryczny. Nie stanowi ścisłej granicy matematycznej, lecz uogólnienie wieloletnich doświadczeń inżynierskich oraz obserwacji szerokiej klasy zagadnień mechaniki konstrukcji. Przedstawione w dalszej części podręcznika przykłady mają na celu zilustrowanie tej zasady, a nie jej formalne wyprowadzenie. Pojedynczy przykład może jedynie potwierdzać zasadność kryterium dla określonego przypadku, a a samo kryterium zostało sformułowane na podstawie doświadczeń inżynierskich i ma charakter empiryczny.

Geneza kryterium sięga obszaru technologii plastycznej obróbki metali, gdzie od dawna stosowane jest do oceny zakresu stosowalności miar małych odkształceń. W szczególności Wusatowski wskazywał, że przy odkształceniach przekraczających kilka procent klasyczne miary małych odkształceń przestają być wystarczająco dokładne i powinny być zastępowane miarami skończonymi [53]. Podobne zalecenia można znaleźć również we współczesnej literaturze dotyczącej analiz numerycznych i metody elementów skończonych. Wielu autorów wskazuje, że przy odkształceniach rzędu kilku procent należy rozważyć zastosowanie opisu geometrycznie nieliniowego, ponieważ błędy wynikające z teorii małych odkształceń stają się zauważalne z inżynierskiego punktu widzenia. W praktyce obliczeniowej często przyjmuje się właśnie … granicę około 5% jako orientacyjny próg utraty dokładności teorii małych odkształceń i konieczności uwzględnienia efektów geometrycznie nieliniowych.
Podobne stanowisko prezentowane jest również w literaturze poświęconej analizom MES konstrukcji budowlanych i mechanice materiałów (np. [54] oraz w wielu innych opracowaniach dotyczących analiz MES i nieliniowości geometrycznej.

W niniejszym podręczniku zasadność kryterium „5%” zilustrowano na przykładach pręta rozciąganego oraz pręta ściskanego z imperfekcjami. Przykłady te pokazują, że wraz ze wzrostem odkształceń rośnie błąd teorii I rzędu, natomiast uwzględnienie kolejnych wyrazów rozwinięcia Taylora prowadzi do systematycznej poprawy dokładności rozwiązania.

Należy podkreślić, że kryterium „5%” odnosi się do odkształceń, a nie do przemieszczeń. Duże przemieszczenia nie muszą bowiem oznaczać dużych odkształceń, podobnie jak niewielkie przemieszczenia mogą prowadzić do znacznych odkształceń lokalnych. Z tego względu odkształcenia stanowią bardziej uniwersalną miarę zakresu stosowalności teorii liniowej.

Warto również zauważyć, że kryterium „5%” może mieć zastosowanie także do konstrukcji żelbetowych, mimo że graniczne odkształcenie betonu ściskanego wynosi około 3,5‰. Wynika to z faktu, że zgodnie z normą [55], tab. C.1, charakterystyczne odkształcenie stali zbrojeniowej przy maksymalnej sile dla stali klasy B spełnia warunek ($\varepsilon_{uk} > 5 %$), natomiast dla stali klasy C przekracza 7,5%. Graniczne odkształcenie obliczeniowe stali zbrojeniowej wynosi przy tym

\[ \varepsilon_{ud}=0,9 \cdot \varepsilon_{uk} \tag{I-1.32}\]

Oznacza to, że zakres odkształceń istotnych z punktu widzenia projektowania konstrukcji żelbetowych wykracza poza obszar klasycznej teorii małych odkształceń. Z przedstawionego dalej przykładu pręta ściskanego z imperfekcjami wynika ponadto, że odkształcenia w pręcie mogą przekraczać umowną granicę sprężystości już przy obciążeniach rzędu

\[F \approx 0,5 \, F_{cr} \to \Lambda \approx 0,5 \tag{I-1.33}\]

Oznacza to, że klasyczna teoria wyboczeniowa pręta idealnego wykonanego z liniowo sprężystego Ayrton-Perry (1886) (Ayrton W. E., Perry J. (1886), On Struts, The Engineer, p. 464–513)) materiału osiada ograniczony zakres stosowalności, a ponieważ  rzeczywiste konstrukcje  pracują w obszarze  do ok 30% obciązeń granicznych, więc  nie ma zastosowania do konstrukcji rzeczywistych. Teoria zaczęłaby „działać” dopiero od 97 % F_{cr} tuż przed osiągnięciem obciązenia krtytycznego, ale wówczas konstrukcja jest uplastyczniona w znacznym zakresie i traci nośnosc na skutek odiągniećia plastycznego stani granicznego.

 Potwierdza to jedną z podstawowych tez niniejszego podręcznika, zgodnie z którą klasyczne metody wyboczeniowe należy traktować przede wszystkim jako historycznie ważne przybliżenia, natomiast współczesna analiza stateczności powinna być oparta na teoriach wyższych rzędów oraz analizie imperfekcyjnej.

Przedstawiona niżej analiza nie jest analizą szczególnego przypadku konstrukcyjnego, lecz dotyczy najbardziej elementarnego modelu stateczności, na którym oparto klasyczną teorię Eulera oraz późniejsze uogólnienia Ayrtona–Perry. Z tego względu uzyskane wnioski mają znaczenie szersze niż analiza pojedynczego przypadku. 
Jeżeli dla tak fundamentalnego modelu wykazano, że rzeczywiste odkształcenia konstrukcji osiągają wartości istotne z punktu widzenia nośności materiału przed osiągnięciem asymptoty Eulera, to obciążenie krytyczne Eulera nie może być interpretowane jako uniwersalna miara nośności konstrukcji rzeczywistych. Staje się ono jedynie parametrem referencyjnym opisującym zachowanie modelu idealnego.
W konsekwencji teoria wyboczeniowa pręta idealnego zachowuje znaczenie teoretyczne oraz historyczne, natomiast ocena bezpieczeństwa konstrukcji rzeczywistych wymaga uwzględnienia imperfekcji, nieliniowości geometrycznych oraz konkurujących mechanizmów stanu granicznego. Teza ta będzie dalej rozwijana i weryfikowana w kolejnych rozdziałach podręcznika.

Elementarny przypadek pręta ściskanego z imperfekcją

Podstawienie zadania 

Rozważamy elementarny przypadek swobodnie podpartego pręta o długości $L$, ściskanego siłą $F(\Lambda)$ i obarczonego imperfekcją łukową $e_0$ o przebiegu sinusoidalnym. Imperfekcję opisujemy bezwymiarowym parametrem $n_L=L/e_0$. Dla tego podstawowego modelu stateczności wyznaczymy poziom obciążenia, przy którym błąd teorii niższego rzędu osiąga wartość kryterialną równą 5%, oraz ocenimy zakres stosowalności kolejnych rzędów teorii geometrycznej.

Na rys. 6 przedstawiono element różniczkowy osi pręta ściskanego siłą $F(\Lambda)$ i obarczonego imperfekcją łukową. Pod działaniem obciążenia oś pręta przyjmuje postać $w(x)$, a element o rzucie poziomym $dx$ ulega skróceniu do długości $dx’$, co odpowiada lokalnemu skróceniu geometrycznemu $\Delta(dx)$.

Rysunek stanowi podstawę wyprowadzenia ścisłych zależności geometrycznych opisujących odkształcenie osi pręta. Klasyczna geometria II rzędu oraz teorie kolejnych rzędów mogą być interpretowane jako kolejne przybliżenia rozwiązania ścisłego. Szczegółowe wyprowadzenie przedstawiono w Dodatku B.

Ścisłą zależność na odkształcenie osi ściskanego pręta z imperfekcją łukową 

Ścisłą zależność opisującą lokalne odkształcenie geometryczne osi pręta otrzymujemy bezpośrednio z geometrii przedstawionej na rys. 6.

\[ \varepsilon (x) = \cfrac{\Delta(dx)}{dx} = \cfrac{dx-dx’}{dx} = \cfrac{ dx-\sqrt{(dx)^2-\left(\left(\cfrac{dw}{dx}\right)\right)^2(dx)^2} }{dx} = 1-\sqrt{1-(w’)^2}
\tag{I-1.34} \label{eps_local}\]

Zależność (I-1.39) stanowi ścisłe równanie geometryczne opisujące lokalne skrócenie osi pręta odkształconego. Wszystkie klasyczne teorie małych przemieszczeń, w tym geometria II rzędu, mogą być interpretowane jako kolejne przybliżenia tej zależności. Ścisłe wyprowadzenie równania (I-1.39) oraz rozwiązania dla pręta z imperfekcją sinusoidalną przedstawiono w Dodatku B. Wykazano tam, że dokładne odkształcenie geometryczne pręta można wyrazić za pomocą zupełnej całki eliptycznej drugiego rodzaju, a warunek istnienia rozwiązania ścisłego przyjmuje postać

\[ C_\Lambda \le 1. \tag{I-1.35} \label{CLambda_limit} \]

gdzie parametr geometryczny $C_\Lambda$ dla imperfekcji sinusoidalnej przyjmuje postać (\ref{CLambda})

Po uwzględnieniu definicji współczynnika amplifikacji (\ref{a_L}) parametr geometryczny można również zapisać w postaci (\ref{CLambda_bar})

Parametr $C_\Lambda$ stanowi bezwymiarową miarę kwadratu maksymalnego nachylenia osi pręta. Łączy on geometrię imperfekcji z poziomem amplifikacji przemieszczeń i może być traktowany jako podstawowy parametr opisujący stopień nieliniowości geometrycznej układu.

Dla analizowanej imperfekcji sinusoidalnej warunek (I-1.40) wraz z definicją parametru $C_\Lambda$ prowadzi bezpośrednio do ograniczenia amplitudy ugięcia

\[ a_\Lambda \le \frac{n_L}{\pi}. \tag{I-1.38} \label{aLambda_limit} \]

Warunek ten ma charakter czysto geometryczny i nie wynika z równania równowagi ani z warunku utraty stateczności. Ogranicza on jedynie zakres istnienia rozwiązania ścisłego wynikający z geometrii osi odkształconej.

Po uwzględnieniu zależności (\ref{a_L}) oraz warunku (\ref{aLambda_limit}) otrzymujemy

\[ \frac{1}{1-\bar{\Lambda}} \le \frac{n_L}{\pi}. \tag{I-1.39} \label{Lambda_bar_limit}\]

stąd

\[ \bar{\Lambda} \le 1-\frac{\pi}{n_L}. \tag{I-1.40} \label{Lambda_bar_limit2} \]

Dla zalecanych w normach imperfekcji podstawowych $n_L>150$ otrzymujemy

\[ \bar{\Lambda} < 0.979. \tag{I-1.41} \label{Lambda_bar_limit3} \]

Oznacza to, że geometryczna granica istnienia rozwiązania ścisłego odpowiada poziomowi obciążenia stanowiącemu około 98% obciążenia krytycznego konstrukcji idealnej.

Uzyskane rozwiązanie ścisłe opisuje pełną zależność pomiędzy odkształceniem geometrycznym osi pręta a parametrem nieliniowości $C_\Lambda$.

Analiza procesu odkształcenia osi pręta

Rozwiązanie ścisłe pozwala prześledzić przebieg procesu odkształcenia osi pręta w całym zakresie obciążeń poprzedzających stan krytyczny. W celu oceny znaczenia efektów geometrycznie nieliniowych przeprowadzono obliczenia dla reprezentatywnego pręta z imperfekcją sinusoidalną o smukłości imperfekcji $n_L=200$.

Dla kolejnych poziomów względnego obciążenia $\bar{\Lambda}$ wyznaczono odpowiadające im wartości parametru geometrycznego $C_\Lambda$ oraz odkształcenia geometrycznego $\varepsilon$ wynikającego z rozwiązania ścisłego (\ref{eps_exact_B}).

Wyniki zestawiono w tab. I-1.2. Przedstawiają one przebieg procesu odkształcenia osi pręta niezależnie od przyjętej teorii przybliżonej i mogą być traktowane jako podstawowy wynik rozwiązania ścisłego.

Tab. I-1.2. Analzia procesu odkształcenia osi pręta 

\[ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline \bar{\Lambda} & C_\Lambda & \varepsilon_{sc} \\
\hline [-] & [-] & [\%] \\
\hline0.10 & 0.000305 & 0.0076 \\
0.20 & 0.000386 & 0.0096 \\
0.30 & 0.000504 & 0.0126 \\
0.40 & 0.000685 & 0.0171 \\
\mathbf{0.50} & \mathbf{0.000987} & \mathbf{0.0247} \\
0.60 & 0.001542 & 0.0386 \\
0.70 & 0.002742 & 0.0686 \\
0.80 & 0.006169 & 0.1544 \\
0.85 & 0.010966 & 0.2747 \\
0.90 & 0.024674 & 0.6197 \\
0.92 & 0.038553 & 0.9709 \\
0.94 & 0.068539 & 1.7361 \\
0.95 & 0.098696 & 2.5150 \\
0.96 & 0.154213 & 3.9746 \\
0.97 & 0.274156 & 7.2538 \\
\hline \end{array} \]
Uwagi:
(1) Obliczenia przeprowadzono dla $n_L = 200$,
(2) Parametr geometryczny wyznaczano z zależności  $C_\Lambda = \left( \frac{\pi} {n_L(1-\bar{\Lambda})} \right)^2$.
(3) Odkształcenie \varepsilon_{sc} wyznaczono z rozwiązania ścisłego (\ref{eps_exact_B}).

Odkształcenia materialne 

Odkształcenie geometryczne $\varepsilon_{sc}$ przedstawione w tab. I-1.2 opisuje średnie skrócenie osi pręta wynikające wyłącznie z geometrii jego odkształconego kształtu. Wielkość ta nie jest jednak tożsama z odkształceniami materiałowymi występującymi w przekroju poprzecznym elementu. W konstrukcji rzeczywistej odkształcenia materiałowe zależą od rozkładu krzywizny osi pręta i zmieniają się w obrębie przekroju, osiągając wartości maksymalne we włóknach najbardziej oddalonych od osi obojętnej. Z tego względu sama analiza odkształcenia geometrycznego osi nie pozwala jeszcze ocenić stopnia wytężenia materiału. Do takiej oceny konieczne jest wyznaczenie krzywizny osi odkształconej oraz odpowiadających jej odkształceń materiałowych w poszczególnych punktach przekroju.

Szczegółowe wyprowadzenie zależności wiążących linię ugięcia, krzywiznę osi, odkształcenia materiałowe włókien przekroju oraz naprężenia zginające przedstawiono w opracowaniu: https://chodor-projekt.net/encyclopedia/belka-w-inzynierii-analiza-zginania-belek/

W dalszych rozważaniach wykorzystano w szczególności zależności (\ref{20}), (\ref{22}), (\ref{25}) oraz (\ref{27}) tego opracowania. Zgodnie z teorią Bernoulliego-Eulera odkształcenia materiałowe są proporcjonalne do krzywizny osi oraz odległości włókna od osi obojętnej. W konsekwencji odkształcenie geometryczne osi pręta i odkształcenia materiałowe włókien opisują dwa różne aspekty deformacji konstrukcji. Pierwsze charakteryzuje zmianę geometrii całego elementu, natomiast drugie bezpośrednio opisuje stan materiału.

W dalszej części rozdziału przeanalizowano związek pomiędzy odkształceniem geometrycznym osi pręta a odpowiadającymi mu odkształceniami materiałowymi włókien skrajnych. Pozwala to określić poziom obciążenia, przy którym efekty geometryczne zaczynają prowadzić do istotnego wzrostu odkształceń materiałowych oraz ocenić zakres stosowalności modeli sprężystych.

_________________________
$\varepsilon_{sc} – rozwiązanie ścisłe określone równaniem (\ref{eps_exact_E})$.
$\varepsilon_1 = \frac{1}{4}C_\Lambda$.
$\varepsilon_2 = \frac{1}{4}C_\Lambda +\frac{3}{64}C_\Lambda^2$,
$\varepsilon_3 = \frac{1}{4}C_\Lambda +\frac{3}{64}C_\Lambda^2 +\frac{5}{256}C_\Lambda^3$,
$\varepsilon_4 = \frac{1}{4}C_\Lambda +\frac{3}{64}C_\Lambda^2 +\frac{5}{256}C_\Lambda^3 +\frac{175}{16384}C_\Lambda^4$,
$\Delta_i$ – względny błąd teorii i-tego rzędu obliczony zgodnie z równaniem (\ref{Delta_eps}). 

Wnioski:
(1) Dla analizowanego pręta o imperfekcji podstawowej \(n_L=200\) teoria pierwszego rzędu zapewnia bardzo dobrą zgodność z rozwiązaniem ścisłym w szerokim zakresie obciążeń.
(2) Błąd teorii pierwszego rzędu rośnie stopniowo wraz ze wzrostem poziomu obciążenia i osiąga wartość graniczną 5% dopiero dla  $\bar{\Lambda}\approx 0.97$. 
Oznacza to, że dla analizowanego przypadku teoria pierwszego rzędu zachowuje wymaganą dokładność praktycznie aż do bezpośredniego sąsiedztwa obciążenia krytycznego.
(3) Wyniki potwierdzają bardzo szybką zbieżność rozwinięcia Maclaurina rozwiązania ścisłego względem parametru $ C_\Lambda$.
(4) Dla imperfekcji typowych dla konstrukcji inżynierskich głównym źródłem niepewności obliczeń są zwykle idealizacje modelu konstrukcji i parametrów materiałowych, a nie obcięcie rozwinięcia po drugim lub trzecim wyrazie.

 

 

 

W praktyce inżynierskiej wygodniejsze są jednak zależności przybliżone pozwalające na prostą ocenę wpływu efektów geometrycznie nieliniowych. W tym celu rozwiązanie ścisłe zostanie rozwinięte w szereg Maclaurina względem parametru $C_\Lambda$.

Rozwinięcie rozwiązania ścisłego w teorie kolejnych rzędów

Dla imperfekcji sinusoidalnej odkształcenie geometryczne osi pręta można zapisać w postaci

\[ \varepsilon(C_\Lambda)=  1-\frac{2}{\pi}E(C_\Lambda), \tag{I-1.42} \label{eps_exact_B} \]

gdzie $E(C_\Lambda)$ oznacza zupełną całkę eliptyczną drugiego rodzaju, natomiast parametr $C_\Lambda$ opisuje poziom nieliniowości geometrycznej układu.

Ponieważ rozwiązanie ścisłe jest funkcją parametru $C_\Lambda$, naturalnym sposobem uzyskania zależności przybliżonych jest rozwinięcie go w szereg Maclaurina względem tego parametru.

Punkt rozwinięcia 

\[ C_\Lambda=0 \]

odpowiada granicy małych nachyleń osi pręta, w której efekty geometrycznie nieliniowe zanikają

Rozwijając równanie (\ref{eps_exact_E}) w szereg Maclaurina względem parametru $C_\Lambda$ otrzymujemy

\[ \varepsilon(C_\Lambda)=  \sum_{k=1}^{\infty} a_k C_\Lambda^k , \tag{I-1.43} \label{MacL_eps} \]

gdzie współczynniki $a_k$ wynikają z rozwinięcia zupełnej całki eliptycznej drugiego rodzaju.

Obcięcie szeregu po kolejnych wyrazach prowadzi do teorii kolejnych rzędów. W niniejszej pracy przyjmuje się, że rząd teorii geometrycznej utożsamiany jest z najwyższą potęgą parametru $C_\Lambda$ zachowaną w rozwinięciu rozwiązania ścisłego.

Teoria pierwszego rzędu uwzględnia pierwszy niezerowy wyraz rozwinięcia. Teoria drugiego rzędu zachowuje dwa pierwsze wyrazy szeregu, teoria trzeciego rzędu trzy pierwsze wyrazy, natomiast teoria czwartego rzędu obejmuje cztery pierwsze wyrazy rozwinięcia.

Dla każdej z analizowanych teorii wyznaczono względny błąd aproksymacji odniesiony do rozwiązania ścisłego

\[ \Delta= \frac{\left|\varepsilon_{apr}-\varepsilon_{sc}\right|} {\varepsilon_{sc}} \cdot100%. \tag{I-1.44} \label{Delta_eps} \]

gdzie $\varepsilon_{apr}$ oznacza odkształcenie wyznaczone z teorii przybliżonej, natomiast $\varepsilon_{sc}$ odpowiada rozwiązaniu ścisłemu określonemu równaniem (\ref{eps_exact_E}).

Jako granicę praktycznej stosowalności teorii przyjęto warunek

\[ \Delta\le 5%. \tag{I-1.45} \label{Delta_5} \]

Wartość ta odpowiada typowej dokładności wymaganej w analizie inżynierskiej i stanowi podstawę sformułowanego w niniejszej pracy kryterium „5%” odkształceń.

Dla reprezentatywnego pręta ściskanego z imperfekcją sinusoidalną wyznaczono wartości odkształcenia geometrycznego wynikające z rozwiązania ścisłego oraz z kolejnych teorii przybliżonych.

Tab. I-1.2. Analzia procesu odkształcenia osi pręta 

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \bar{\Lambda_{cr}} & C_\Lambda & \varepsilon_{sc} & \Delta_1 & \Delta_2 & \Delta_3 & \Delta_4 \\
\hline[-]&[-]&[\%]&[\%]&[\%]&[\%]&[\%]\\
\hline0.10 & 0.000305 & 0.0076 & 0.006 & 0.000 & 0.000 & 0.000 \\
0.20 & 0.000386 & 0.0096 & 0.007 & 0.000 & 0.000 & 0.000 \\
0.30 & 0.000504 & 0.0126 & 0.009 & 0.000 & 0.000 & 0.000 \\
0.40 & 0.000685 & 0.0171 & 0.013 & 0.000 & 0.000 & 0.000 \\
0.50 & 0.000987 & 0.0247 & 0.019 & 0.000 & 0.000 & 0.000 \\
0.60 & 0.001542 & 0.0386 & 0.029 & 0.000 & 0.000 & 0.000 \\
0.70 & 0.002742 & 0.0686 & 0.051 & 0.000 & 0.000 & 0.000 \\
0.80 & 0.006169 & 0.1544 & 0.116 & 0.000 & 0.000 & 0.000 \\
0.85 & 0.010966 & 0.2747 & 0.206 & 0.001 & 0.000 & 0.000 \\
0.90 & 0.024674 & 0.6197 & 0.465 & 0.005 & 0.000 & 0.000 \\
0.92 & 0.038553 & 0.9709 & 0.729 & 0.012 & 0.000 & 0.000 \\
0.94 & 0.068539 & 1.7361 & 1.306 & 0.038 & 0.001 & 0.000 \\
0.95 & 0.098696 & 2.5150 & 1.894 & 0.079 & 0.004 & 0.000 \\
0.96 & 0.154213 & 3.9746 & 3.002 & 0.197 & 0.017 & 0.002 \\
0.97 & 0.274156 & 7.2538 & 5.513 & 0.656 & 0.101 & 0.018 \\
\hline \end{array} \]
Uwagi:
(1) Obliczenia przeprowadzono dla $n_L = 200$,
Parametr geometryczny wyznaczano z zależności
$C_\Lambda = \left( \frac{\pi} {n_L(1-\bar{\Lambda})} \right)^2$.
$\varepsilon_{sc} – rozwiązanie ścisłe określone równaniem (\ref{eps_exact_E})$.
$\varepsilon_1 = \frac{1}{4}C_\Lambda$.
$\varepsilon_2 = \frac{1}{4}C_\Lambda +\frac{3}{64}C_\Lambda^2$,
$\varepsilon_3 = \frac{1}{4}C_\Lambda +\frac{3}{64}C_\Lambda^2 +\frac{5}{256}C_\Lambda^3$,
$\varepsilon_4 = \frac{1}{4}C_\Lambda +\frac{3}{64}C_\Lambda^2 +\frac{5}{256}C_\Lambda^3 +\frac{175}{16384}C_\Lambda^4$,
$\Delta_i$ – względny błąd teorii i-tego rzędu obliczony zgodnie z równaniem (\ref{Delta_eps}). 

Wnioski:
(1) Dla analizowanego pręta o imperfekcji podstawowej \(n_L=200\) teoria pierwszego rzędu zapewnia bardzo dobrą zgodność z rozwiązaniem ścisłym w szerokim zakresie obciążeń.
(2) Błąd teorii pierwszego rzędu rośnie stopniowo wraz ze wzrostem poziomu obciążenia i osiąga wartość graniczną 5% dopiero dla  $\bar{\Lambda}\approx 0.97$. 
Oznacza to, że dla analizowanego przypadku teoria pierwszego rzędu zachowuje wymaganą dokładność praktycznie aż do bezpośredniego sąsiedztwa obciążenia krytycznego.
(3) Wyniki potwierdzają bardzo szybką zbieżność rozwinięcia Maclaurina rozwiązania ścisłego względem parametru $ C_\Lambda$.
(4) Dla imperfekcji typowych dla konstrukcji inżynierskich głównym źródłem niepewności obliczeń są zwykle idealizacje modelu konstrukcji i parametrów materiałowych, a nie obcięcie rozwinięcia po drugim lub trzecim wyrazie.

Odkształcenia materiałowe włókien skrajnych

Odkształcenie geometryczne osi pręta $\varepsilon_{sc}$ opisuje średnie skrócenie osi odkształconej i nie stanowi jeszcze odkształcenia materiałowego. O stanie materiału decydują odkształcenia włókien przekroju, które są związane z lokalną krzywizną osi pręta. Dla analizowanego przypadku postać osi odkształconej określa zależność (\ref{w_current}), natomiast odpowiadającą jej krzywiznę można wyznaczyć z zależności geometrii różniczkowej przedstawionych w rozdziale dotyczącym belki Bernoulliego-Eulera. Zgodnie z klasyczną teorią zginania odkształcenia materiałowe włókien przekroju są proporcjonalne do krzywizny osi oraz odległości od osi obojętnej. W konsekwencji odkształcenie geometryczne osi i odkształcenia materiałowe włókien opisują dwa różne aspekty deformacji konstrukcji. Pierwsze określa zmianę geometrii całego elementu, natomiast drugie bezpośrednio charakteryzuje stan materiału w przekroju. Z tego względu analiza procesu odkształcenia pręta wymaga rozpatrywania obu wielkości łącznie.

W dalszej części rozdziału, wykorzystując zależności podane dla belki Bernoulliego-Eulera, przeanalizowano związek pomiędzy odkształceniem geometrycznym osi pręta a odpowiadającymi mu odkształceniami materiałowymi włókien skrajnych. Dzięki temu możliwe jest określenie poziomu obciążenia, przy którym efekty geometryczne zaczynają prowadzić do istotnego wytężenia materiału.

Kryterium 5% odkształceń

Sama możliwość rozwijania rozwiązania ścisłego w szereg Taylora nie odpowiada jeszcze na pytanie, jaki rząd teorii jest wystarczający z punktu widzenia praktyki inżynierskiej. W tym celu konieczne jest przyjęcie kryterium dopuszczalnego błędu aproksymacji. W niniejszej pracy jako granicę istotnej nieliniowości geometrycznej przyjęto stan, w którym względny błąd teorii niższego rzędu osiąga wartość 5%.

Definujemy:

błąd względny wyznaczenia odkształcenia osi (o-o) pręta 

\[ \Delta_{eps,o-o}  = 100\, \frac{ \left| \varepsilon_n-\varepsilon_{exact} \right| } {\varepsilon_{exact}} \tag{I-1.46} \]

Definicja granicy kryterium 

\[ \Delta_{crit}  = 5\% \tag{I-1.47} \]

Interpretacja materiałowa odkształceń geometrycznych

W dotychczasowej analizie rozpatrywano wyłącznie odkształcenia geometryczne osi pręta wynikające z jego ugięcia. Wielkość $ \varepsilon $ opisana równaniami (\ref{eps_exact_E}) oraz (\ref{eps_Mac}) stanowi miarę skrócenia osi środkowej pręta i nie jest bezpośrednio odkształceniem materiałowym włókien przekroju.

W celu powiązania uzyskanych wyników z zachowaniem materiału można przyjąć klasyczne założenie Bernoulliego, zgodnie z którym przekroje płaskie przed deformacją pozostają płaskie po deformacji. Wówczas odkształcenie dowolnego włókna przekroju można przedstawić w postaci. 

Wzory przjścia są następujące:

Dla zadanej imperfekcji 

\[\Delta=\frac{e_0}{L} \tag{I-1.48} \label{Delta_imp} \]

parametr pomocniczy \(C_\Lambda\) można zapisać w postaci

\[ C_\Lambda = \left( \pi a_\Lambda \Delta \right)^2 \tag{I-1.49} \label{C_L_Delta}\]

skąd otrzymujemy

\[ a_\Lambda = \frac{\sqrt{C_\Lambda}} {\pi \Delta} \tag{I-1.50} \label{a_L_C} \]

Maksymalne ugięcie osi wynosi

\[ w_{max}=a_\Lambda e_0. \]

a po uwzględnieniu (\ref{Delta_imp}) i (\ref{a_L_C})

\[ \frac{w_{max}}{L} = \frac{\sqrt{C_\Lambda}}{\pi} \tag{I-1.52} \label{wL_C} \]

Z zależności Ayrtona–Perry (\ref{a_L}) otrzymujemy ponadto

\[ \Lambda_{cr} = \frac{\chi a_\Lambda} {a_\Lambda-\chi} \tag{I-1.53} \label{Lam_C} \]

a dla prostego pręta (\(\chi=1\))

\[ \Lambda_{cr} = \frac{a_\Lambda} {a_\Lambda-1}. \tag{I-1.54} \label{Lam_C_1} \]

Wykorzystanie obciążenia krytycznego Eulera można wyrazić zależnością

\[ \frac{F_{Ed}}{F_{cr}} = \frac{1}{\Lambda_{cr}} \tag{I-1.55} \label{FED_FCR} \]

lub w procentach

\[ 100\frac{F_{Ed}}{F_{cr}} = \frac{100}{\Lambda_{cr}}. \tag{I-1.56} \label{FED_FCR_proc}\]

Wniosek:

Kryterium błędu 5% teorii I rzędu jest osiągane dopiero przy obciążeniu stanowiącym około 97% obciążenia krytycznego Eulera.
 W praktyce pokazuje to , że dla typowych imperfekcji wykonawczych teoria I rzędu zachowuje dobrą dokładność niemal do samej utraty stateczności.

Liniowa teoria małych odkształceń jako pierwszy wyraz rozwinięcia Taylora

Istotę otrzymanego wyniku można zinterpretować znacznie szerzej niż jedynie jako ocenę dokładności kolejnych wyrazów szeregu Maclaurina.

Pierwszy wyraz rozwinięcia Maclaurina rozwiązania ścisłego odpowiada klasycznej teorii małych odkształceń. W geometrii konstrukcji oznacza to zastąpienie dokładnych zależności nieliniowych ich lokalną aproksymacją liniową wokół stanu początkowego. W tradycyjnej mechanice konstrukcji procedura ta znana jest jako zasada zesztywnienia.

W rozpatrywanym przykładzie rozwiązanie ścisłe opisane jest zależnością

\[\varepsilon(x)=1-\sqrt{1-(w’)^2}. ]\

Po rozwinięciu w szereg Maclaurina otrzymujemy

\[ \varepsilon(x) \frac12(w’)^2 + \frac18(w’)^4 + \frac1{16}(w’)^6 +\ldots\]

Pierwszy wyraz szeregu

\[ \varepsilon_I(x)=\frac12(w’)^2 \]

jest właśnie lokalną teorią liniową. Wszystkie wyższe wyrazy opisują kolejne poprawki nieliniowe wynikające z rzeczywistej geometrii układu.

Z tego punktu widzenia klasyczna teoria małych odkształceń nie jest odrębną teorią mechaniki, lecz pierwszym wyrazem rozwinięcia Taylora rozwiązania ścisłego.

Przeprowadzona analiza pokazuje, że błąd tej aproksymacji osiąga poziom 5% dopiero przy obciążeniu stanowiącym około 97% obciążenia krytycznego Eulera. Oznacza to, że pierwszy wyraz rozwinięcia Taylora zachowuje zadowalającą dokładność niemal w całym zakresie pracy konstrukcji.

Wynik ten prowadzi do interesującej interpretacji fizycznej. Powszechnie stosowana zasada zesztywnienia nie jest jedynie wygodnym uproszczeniem rachunkowym. Można ją rozumieć jako pierwszy wyraz rozwinięcia Taylora dokładnej teorii geometrycznej. Jej wyjątkowa skuteczność wynika z faktu, że dla większości konstrukcji rzeczywisty stan pracy pozostaje bardzo blisko punktu rozwinięcia.

W tym sensie klasyczna teoria małych odkształceń stanowi lokalną teorię zerowego przybliżenia geometrii konstrukcji, natomiast teorie wyższych rzędów odpowiadają kolejnym wyrazom rozwinięcia Taylora tej samej zależności fizycznej.

Przykład pokazuje ponadto, że granica praktycznej stosowalności zasady zesztywnienia leży znacznie bliżej stanu krytycznego, niż zwykle się przyjmuje. Dla typowych imperfekcji wykonawczych błąd pierwszego wyrazu rozwinięcia pozostaje mniejszy od 5% niemal do chwili utraty stateczności.

Stateczność konstrukcji

Warunek stateczności konstrukcji jest prosty

\[ \Lambda_{cr} >1  \tag{I-1.57} \label{L_cr>1} \]

i dotyczy globalnego mnożnika obciążeń, to znaczy uzyskanego dla całego systemu konstrukcyjnego, a nie wydzielonego pręta. Oczywiście z  globalnego warunku (\ref{Dl_cr}) wynika, że stabilność będzie zachowana dla każdego fragmentu konstrukcji w tym dla każdego wydzielonego pręta.

Warunek (\ref{Dl_cr}) obejmuje tylko te formy niestateczności, które są uwzględnione w analizowanym modelu matematycznym. Na przykład w klasycznym modelu, złożonym z prętów o sześciu stopniach swobody – nie będzie uwzględnione zwichrzenie prętów. W celu uwzględnienia tej formy niestateczności należy analizować pręty Własowa. Niestateczność lokalna płyt będzie uwzględniona dopiero po zamianie ścianek prętów na panele płytowe.

Kryterium „10x” globalna nośność krytyczna

Wrażliwość na efekty drugiego rzędu, jest stopniem przyrostu odpowiednich sił wewnętrznych lub momentów, lub jakąkolwiek innej zmiany zachowania się konstrukcji w wyniku deformacji. Wrażliwość ta może być oceniona poprzez zbadanie mnożnika obciążenia krytycznego (\ref{L_cr}). W normie do projektowania konstrukcji stalowych [4], kl. 5.2.1(3), wzór (5.1) kryterium  wrażliwości konstrukcji na efekty drugiego rzędu zdefiniowano poprzez graniczny mnożnik krytyczny (nośność krytyczną)  $\Lambda_{cre, lim}$, w taki sposób, że  jeśli dla analizowanej konstrukcji globalnie zachodzi:

\[ \Lambda_{cr} < \Lambda_{cr,lim} \tag{I-1.58}\label{L_cr,lim} \]

to należy stosować analizę drugiego rzędu.

Krytyczny mnożnik $ (\ref{Dl_cr} $)  odniesiono do obciążeń obliczeniowych $\Lambda_{cr} = \cfrac{F_{cr}}{F_{Ed}}$,, więc mówi on o tym ile razy konfiguracja obciążenia $F$ może przekroczyć obciążenia obliczeniowe $F_{Ed}$, by nie nastąpiła jeszcze utrata sprężystej stateczności całej konstrukcji, jej fragmentu lub dowolnego elementu (np panelu płytowego lub pręta).

Wartość graniczna nośności krytycznej) $ \Lambda_{cr,lim}$ wynosi:

\[ \Lambda_{cr,lim} = \begin {cases}
10, \quad \text{w przypadku analizy sprężystej} \\
15 \quad  \text { w przypadku analizy plastycznej}
\end {cases}
\tag{I-1.59} \label{Lam_cr,lim} \]

Wyższa wartość $\Lambda_{cr,lim}$ (\ref{Lam_cr,lim}) w przypadku analizy plastycznej jest uzasadniona tym, że zachowanie się konstrukcji oraz jej stan graniczny mogą być silnie uwarunkowane nieliniowymi właściwościami materiału (np. gdy w ramie tworzą się przeguby plastyczne i dochodzi do redystrybucji momentów, lub gdy w ramie występują węzły podatne powodujące znaczący nieliniowy wzrost odkształceń).

Z praktyki projektowej wynika, że konstrukcje stalowe o nośności krytycznej większej od  (\ref{Lam_cr,lim}) są wyjątkowe i wówczas najczęściej mamy do czynienia z nieoptymalnym ich zaprojektowaniem.

Dla stwierdzenia poprawnego zaprojektowania konstrukcji analizowanego modelu wystarczy spełnienie kryterium stateczności (\ref{Dl_cr} $), Jeśli model konstrukcji nie jest obarczony imperfekcjami , to stwierdzenie stateczności dotyczy konstrukcji idealnej. W tym przypadku Kryterium (\ref{Dl_cr} $) można stosować dla innych niż stalowe konstrukcji (żelbetowe, zespolone, drewniane, murowe). W szczególności dla konstrukcji żelbetowych kryterium to powinno być stosowane równoważnie do „kryterium „10%”. Należy zwrócić uwagę, że analiza LBA wykorzystuje inny algorytm numeryczny od analizy II rzędu ( rozwiązanie problemu własnego i odwracanie macierzy sztywności układu konstrukcyjnego),ale programy w których zaimplementowano analizę LBA wyposażono również w algorytmy II rzędu.

Z praktyki projektowej wynika że:
1) większość konstrukcji inżynierskich (stalowe, zespolone) i dużą część konstrukcji żelbetowych należy analizować metodami drugiego rzędu,
2) w przypadku ograniczenia się do analiz pierwszego rzędu, należy uzasadnić, że spełniony jest warunek $\Lambda_{cr} \ge \Lambda_{cr,lim}$. Warunku tego nie trzeba sprawdzać, jeśli analiza jest „od razu” II rzędu. W przypadku niestateczności konstrukcji należy jednak przeprowadzić analizę LBA, w celu oceny problemu i zidentyfikowania tych miejsc konstrukcji, które są krytyczne dla stateczności.
3) kryterium wrażliwości na efekty drugiego rzędu nie należy traktować jako nakazu projektowania tak stabilnych konstrukcji, bo wystarczy  spełnienie warunku  stateczności (\ref{L_cr>1} $).

4) analizę LBA zaleca się przeprowadzić dla każdej konstrukcji z przewodnim celem innym od wyrażonego kryterium (\ref{Dl_cr}), a mianowicie  jako element  optymalizacji konstrukcji , polegającej na zidentyfikowania krytycznych, lokalnych miejsc konstrukcji, których usztywnienie niewielkim kosztem może doprowadzić do wielokrotnego zwiększenia wskaźnika stateczności $\Lambda_{cr}. Jest to podstawowy sposób optymalizacji konstrukcji obok sposobu polegającego na tym, że w konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych istotne zmniejszenie ciężaru całej konstrukcji można uzyskać poprzez zwiększenie sztywności kliku dominujących elementów i w ten sposób odciążenie (i zmniejszenie ciężaru)  innych słabszych elementów , ale występujących w większej liczbie. W większości współczesnych konstrukcji stosowanie strategii wymiarowania wyodrębnionych elementów jest zawodne z punktu widzenia uzyskania optymalnej konstrukcji

Kryterium ($\ref {Lam_cr,lim}) pozwala zakwalifikować konstrukcje do wrażliwych jeszcze przed wykonaniem obliczeń drugiego rzędu na podstawie pomocniczej, quasiliniowej analizy LBA .
Zwracamy uwagę, że czysta analiza wyboczeniowa LBA polega na wyznaczeniu mnożnika krytycznego konfiguracji obciążeń idealnego systemu konstrukcyjnego i może być  traktowana jedynie jako pomocnicza analiza, służąca do rozpoznania wrażliwości konstrukcji i jej niestatecznych miejsc , ale nie może zastąpić metod imperfekcyjnych stosowanych do sprawdzenia stateczności i wytrzymałości poszczególnych przekrojów konstrukcji.

Wrażliwość konstrukcji na imperfekcje

Każda konstrukcja, która zgodnie z kryterium (\ref{Dl_cr} $), jest niewrażliwa na efekty drugiego rzędu jest również niewrażliwa na imperfekcje. Z praktyki projektowej wynika, że bardzo stabilne są już konstrukcje dla których 

\[ \Lambda_{cr} > 3  \tag{I-1.60} \label{Lam_cr,3} \]

Wymóg przeprowadzenia analizy II rzędu w celu uwzględnienia imperfekcji konstrukcji pociąga za sobą, wniosek, że w konstrukcji  niewrażliwej na efekty drugiego rzędu można pominąć imperfekcje. Kryterium wrażliwości (\ref{Dl_cr}) jest warunkowane statecznością najsłabszego ogniwa zawartego w konstrukcji i wszystkich tych form niestateczności, które są uwzględniane w modelu. Dotyczy więc zarówno imperfekcji globalnych (przechyłowych) jak i lokalnych (łukowych) w konstrukcjach prętowych, a stąd wynika, że w klasycznej metodzie wyboczeniowej dla konstrukcji niewrażliwych na imperefekcje można by nie stosować współczynników wyboczeniowych ( w tym zwichrzenia , jeśli w modelu zastosowano elementy Własowa).

Podatność konstrukcji na nieliniowe efekty geometryczne oraz na imperfekcje może być kontrolowana przez projektanta w drodze doboru rodzaju systemu, prawidłowego układu elementów i poprzez dobór sztywności poszczególnych elementów. Najważniejszy przy tym jest system powiązań elementów między sobą oraz wyposażenie układu we właściwie ulokowane elementy usztywniające (stężenia, żebra, rdzenie itd).

Kryterium „10%” poprawności konstrukcji

Sformułowanie kryterium 10%”

Na podstawie analizy wielu projektów (ostatni rozdział podręcznika sformułujemy kryterium „10%”  jako kryterium poprawności projektu konstrukcji

Poprawność projektu konstrukcji ocenia się według kryterium 10%, zgodnie, z którym projekt jest uznany za wykonany prawidłowo, jeśli sprawcze efekty (przemieszczenia lub naprężenia, które decydują o niezawodności obiektu) ocenione wg teorii geometrycznie nieliniowej są większe, co najwyżej o 10% od efektów tej samej konstrukcji, wyznaczonych wg teorii 1. rzędu. Jeśli wpływ efektów nieliniowych jest większy, to prawdopodobnie projekt zawiera wady, najczęściej wskutek niewystarczającego stężenia układami usztywniającymi. W takim przypadku proste zwiększanie przekrojów i elementów krytycznych nie daje zadowalających rezultatów, a prowadzi do nieuzasadnionego zwiększenia zużycia materiału na konstrukcję.

Sformułowane wyżej kryterium 10%  łączy się pośrednio z warunkiem, dotyczącym dopuszczalności stosowania analizy I rzędu w projektowaniu konstrukcji żelbetowych

.Nazwa kryterium „10%” wywodzi się z wymogu dla analizy sprężystej, a podczas prowadzenia  analizie plastycznej można poprzestać man obliczeniach pierwszego rzędu wówczas, gdy mnożnik obciążenia krytycznego  nie przekracza $100/15=6,7$%

Procedura sprawdzania kryterium „10%”

W celu weryfikacji poprawności projektu z kryterium 10% wrażliwości konstrukcji należy przeprowadzić testowe obliczenia nieliniowe wstępnego modelu całej konstrukcji i obserwować zbieżność procesu iteracji do rozwiązania stabilnego. Brak zbieżności lub wolna zbieżność oznacza wady projektu, najczęściej braki w układach stężeń lub innych usztywniających, albo nieprawidłowe stosunki sztywności elementów – w systemie elementów, występują elementy zbyt sztywne, np. zbyt krótkie, lub za wiotkie. Po takim sygnale inżynier lokalizuje problem, a w tym celu bada pole odkształceń konstrukcji w stanie liniowym lub w stanie krytycznym (wg teorii LBA – liniowej analizy wyboczeniowej.  poprawić go i przystąpić do kolejnego testu nieliniowego.

Dopiero po uzyskaniu modelu konstrukcji poprawnego z punktu widzenia wrażliwości na efekty nieliniowe, można przystąpić do wymiarowania poszczególnych elementów, w tym do doboru zbrojenia betonu.

Należy podkreślić, że kryterium „10%” nie jest bezwzględnie obowiązujące, bo może doprowadzić do zablokowania stosowania innowacyjnych rozwiązań konstrukcyjnych. W przypadku wdrażania takich konstrukcji należy przeprowadzić  bardziej wnikliwą analizę najczęściej wspomaganą badaniami eksperymentalnymi.

Metody projektowania konstrukcji z imperfekcjami

W celu uwzględnienia wpływu imperfekcji na pracę konstrukcji stosowane jest wiele podejść, które można zakwalifikować do jednego z dwóch rodzajów:
1. WM – metody wyboczeniowe (historyczne), polegające na redukcji sztywności konstrukcji poprzez zastosowanie systemu współczynników wyboczeniowych. Zredukowane nośności elementów odnosi się do sił przekrojowych, uzyskanych z analizy 1 rzędu konstrukcji nominalnej (bez imperfekcji).
2. IM – metody imperfekcyjne (współczesne), polegające na amplifikowaniu sił przekrojowych, które odnosi się do nominalnej wytrzymałości przekrojów (a nie elementów). Amplifikacja sił następuje podczas nieliniowych geometrycznie obliczeń na konstrukcji z wymuszonymi geometrycznymi imperfekcjami systemowymi.

W metodach wyboczeniowych WM imperfekcje są uwzględniane w sposób pośredni poprzez współczynniki redukcyjne (wyboczeniowe), specyfikowane mieszanymi metodami eksperymentalno-analitycznymi. Funkcjonuje skomplikowany system kilkunastu współczynników wyboczeniowych i współczynników korelacji form wyboczenia. Metody wyboczeniowe prowadzą do akceptowanych przez inżynierów wyników przybliżonych,

W metodach imperfekcyjnych IM niedoskonałości systemowe są uwzględniane w sposób bezpośredni poprzez wymuszenie fikcyjnych imperfekcji geometrycznych lub obciążenie systemu fikcyjnymi siłami równoważnymi imperfekcjom geometrycznym. Odmiany metod imperfekcyjnych wynikają ze sposobu wyznaczania fikcyjnych wymuszeń imperfekcjami, w tym ze sposobu szacowania amplitudy imperfekcji geometrycznych. Metody imperfekcyjne są w zasadzie wolne od skomplikowanego systemu współczynników wyboczeniowych, a jednocześnie prowadzą do dokładniejszych wyników i z reguły bardziej ekonomicznych projektów, co jest szczególnie ważne w erze energooszczędności i zrównoważonego rozwoju oraz projektowania.

Metody Imperfekcyjne IM wymagają przeprowadzenia analizy geometrycznie nieliniowej (GNA) drugiego lub wyższego rzędu dla całego przestrzennego modelu konstrukcji. Analiza GNA będzie skuteczna, jeśli konstrukcja zostanie wytrącona z położenia równowagi prostej (przedbifurkacyjnej) do położenia równowagi odkształconej. W celu wytrącenia konstrukcji z położenia nominalnego obciąża się ją niewielkimi fikcyjnymi siłami poziomymi lub bezpośrednio wymusza zmianę geometria układu o niewielkie odchylenia od położenia nominalnego. Te niewielkie odchylenia geometryczne, to właśnie imperfekcje systemowe, a siły fikcyjne uzyskuje się poprzez zamianę kinematycznych warunków brzegowych na statyczne warunki brzegowe, co jest możliwe zgodnie z podstawowymi zasadami teorii sprężystości i plastyczności (np [56] ).

Współczesna praktyka projektowania i metody imperfekcyjne są nierozerwalnie związane z rozwojem procedur numerycznych, a szczególnie z implementacją nowoczesnych teorii i metod obliczeń statycznych oraz wymiarowania elementów, których zastosowanie w tradycyjnych sposobach projektowania byłoby żmudne, a często wręcz niemożliwe.

Metody imperfekcyjne stały się dostępne do powszechnego stosowania w związku z zaimplementowaniem stosownych metod i sposobów postępowania w szeregu inżynierskich programach obliczeniowych, a przede wszystkim: Consteel+csJoint [57] , RFEM, RSTAB [58] , SAP2000 [59] , SCIA [60] ,  Sofistik [61].

Wraz z rozwojem inżynierskich programów obliczeniowych coraz szerzej zaczyna być stosowane podejście ogólne OM, polegające na wyznaczeniu jednego współczynnika wyboczeniowego dla całego systemu na podstawie smukłości całego systemu, a nie dla wydzielonych prętów. Autor, nie poleca do stosowania praktycznego również tej metody, mimo że jest nareszcie zgodna z teoretycznymi podstawami teorii konstrukcji, a przez to znacznie dokładniejsza od klasycznych metod wyboczeniowych stosowanych dla wyodrębnionych prętów. W podręczniku polecane są metody imperfekcyjne IM, przede wszystkim  w wersji uogólnionej metody alternatywnej UAIM. 

Fundamentalne zasady metody imperfekcyjnej są wspólne dla podstawowych rodzajów konstrukcji budowlanych: stalowych PN-EN 1993 (2006)  [4], zespolonych PN-EN 1994 (2008) [62], betonowych, żelbetowych i sprężonych  PN-EN 1992 (2008) [44], aluminiowych PN-EN 1999 (2010) [63], mostów stalowych PN-EN 1993-2 (2010) [64], drewnianych PN-EN 1995 (2010) [65], murowych [66]. Normy wymieniono w kolejności publikowania.  W normie  projektowania konstrukcji stalowych (2006) sformułowano oryginalną wersję metod imperfekcyjnych. Wersję tę udoskonalano w kolejnych normach, a w szczególności do projektowania konstrukcji zespolonych (2008), żelbetowych (2008) i aluminiowych (2010), a także mostów stalowych (2010). Najbardziej zaawansowane metody zawarto w tej ostatniej normie. Mniej istotne są zasady podane w normach do projektowania konstrukcji drewnianych (2010) i murowych (2013), gdzie obliczenia drugiego rzędu potraktowano marginalnie.

Z analizy postanowień  różnych normach wynika, że da się sformułować wspólne zasady, a normy późniejsze podają ulepszone zasady w stosunku do normy stalowej. W niniejszym podręczniku usystematyzowano wiedzę w tym zakresie,  podano zasady uogólnione, wspólne dla wszystkich rodzajów konstrukcji, a w konsekwencji zaproponowano uproszczenie zasad projektowania konstrukcji stalowych, w szczególności poprzez ograniczenie liczby krzywych wyboczeniowych (klas imperfekcji łukowych) do jednej istotnej na akceptowalnym poziomie ufności.

Z praktyki projektowej wynika, metody imperfekcyjne stanowią tak istotny przełom dla teorii i praktyki projektowania konstrukcji, że są wprowadzane do praktyki z ostrożnością, a wręcz oporem. Nadal powszechnie stosowana jest metoda współczynników wyboczeniowych, w której stosuje się pół-empiryczne formuły projektowe.

Autor od kilkunastu lat,  jeszcze przed wejściem w życie norm Eurokod, w licznych, ważnych projektach konstrukcji stalowych, żelbetowych i zespolonych zrealizowanych w Polsce i Europie,  stosował  metodę wymiarowania prezentowaną w pracy, a mianowicie metodę imperfekcyjną, polegająca na obciążeniu konstrukcji siłami równoważnymi od imperfekcji i prowadzeniu nieliniowej geometrycznie analizy statycznej, a następnie wymiarowaniu elementów w modelu przestrzennym konstrukcji, bez wydzielania prętów oraz bez stosowania współczynników wyboczeniowych (redukcyjnych). O poprawności metody świadczy to, że konstrukcje są użytkowane bezawaryjnie od wielu lat, a o skuteczności metody świadczy to, że konstrukcje zostały zaprojektowane tak optymalnie, że nie przynosiły efektów wielokrotne próby ich zoptymalizowania przez niezależnych ekspertów.

Dyskretyzacja losowo odkształcalnej konstrukcji

Konstrukcja łącznie z warunkami brzegowymi jest wektorowym polem losowym w czasoprzestrzeni. Losowe cechy konstrukcji, ale także wymuszenia i efekty tych wymuszeń są indeksowane nielosowym czasem oraz współrzędnymi przestrzennymi. Dyskretyzacja losowo odkształcalnych struktur na stochastyczne elementy skończone jest jednym z podstawowych zagadnień losowej mechaniki konstrukcji, szczególnie w stochastycznej metodzie elementów skończonych (np. [67] ). Problemem tym zajmowało się wielu autorów (m in. [68], [69], [70] , [71] i in.).

Dyskretyzacja pola losowego konstrukcji w ogólności polega zastąpieniu badania pola losowego $X(t)$ indeksowanego parametrem nielosowym t przez n-wymiarowy wektor losowy $ X=[ X_1, X_2,…,  X_n ]$.

\[  X(t) \approx c_0(t)+ \sum \limits_{i=1}^n c_i(t) \cdot X_i \tag{I-1.61} \label{Dyskretyzacja} \]

gdzie nielosowe współczynniki $c_i(t)$ są funkcjami nielosowego indeksu t – uogólnionego czasu, który może być również współrzędną pręta lub indeksem (etykietą, liczbą porządkową) fizycznego elementu konstrukcji. Istnieje wiele metod dyskretyzacji, ale większość z nich wykorzystuje podział obszaru konstrukcji, na którym zadane jest pole losowe, na rozłączne, przylegające podobszary, zwane stochastycznymi elementami skończonymi) w sposób podobny do stosowanego w klasycznej, deterministycznej metodzie elementów skończonych. Prowadzi to do uproszczenia implementacji, ale nakłada obowiązek uwzględnienia dodatkowych (wynikających z analizy losowej) kryteriów doboru siatki elementów, a w szczególności wielkości i zagęszczenia siatki. Kryteria deterministyczne i losowe są często przeciwstawne: w analizie deterministycznej zagęszcza się siatkę elementów w obszarze dużych gradientów naprężeń lub odkształceń, a w analizie stochastycznej zbyt małe elementy skończone prowadzą do uzyskania wyników o dużym rozproszeniu własności losowych elementów lub ze złym uwarunkowaniem numerycznym zadania w przypadku zastosowania wielu elementów o dużej korelacji własności. Efekt zwiększania losowego rozproszenia wraz ze zwiększaniem liczby elementów skończonych, jest obserwowany również wskutek deterministycznego efektu „tłumienia pasożytniczego”, czyli zmniejszanie wiarygodności wyników na skutek nawarstwiania się błędów numerycznych. W związku z tym zazwyczaj nie stosuje się tej samej siatki do dyskretyzacji pola losowego w zagadnieniu analizy stochastycznej oraz dyskretyzacji w klasycznym zadaniu MES, Podstawową techniką jest “składanie” elementów stochastycznych z kilku elementów MES.

Można dokonać następującej klasyfikacji metod dyskretyzacji pól losowych [72] :

• dyskretyzacja punktowa (ang. point discretization), w której zmienne losowesą wartościami w punktach dyskretyzowanego pola Ω, będących w charakterystycznymi punktami elementów skończonych (np. [73] ),
• metody lokalnego uśredniania (local average), w których zmienne X są ważonymi całkami pola losowego (np. [74], [75] )

\[  X_i = \int \limits_{\Omega^{(r)}}  \Omega \cdot w(t) d\Omega \tag\tag{I-1.62} \label{X_i} \]

• aproksymacja funkcjami kształtu, wykorzystująca znane z metody elementów skończonych funkcje kształtu oraz skończony zbiór (węzłowych) wartości pola losowego. Aproksymacja funkcjami kształtu jest szczególnym przypadkiem dyskretyzacji punktowej (np. [76] )

W dodatku C przedstawiono 

Przykłady rachunkowe

Przykład I-1 [Kryterium „5%” odkształceń pręta rozciąganego]

Rozpatrzmy odkształcenia skończone pręta rozciąganego lub krępego pręta ściskanego (bez wyboczenia). Przykładem takich prętów są pręty zbrojeniowe w konstrukcjach żelbetowych.

Dane:

długość początkowa pręta  $L_0$
długość końcowa (po rozciągnięciu $L_1$
siła rozciągająca (ściskająca $F$

Odkształcenie (względne skrócenie) pręta można zapisać w postaci

\[ \varepsilon= \cfrac{\Delta L}{L_0} = \cfrac{L_1-L_0}{L_0} \;\Rightarrow\; \cfrac{L_1}{L_0} = 1+\varepsilon \tag{P-I-1.1}\label{eps_e} \]

Rzeczywiste (logarytmiczne) odkształcenie e:

\[ e= \int\limits_{L_0}^{L_1} \cfrac{dL}{L} = \ln\!\left(\cfrac{L_1}{L_0}\right) = \ln(1+\varepsilon) \tag{P-I-1.2} \label{e_odkszt} \]

Ścisłe wyrażenie na odkształcenie rzeczywiste można rozwinąć w szereg Maclaurina względem $\varepsilon$

\[ e = \varepsilon -\cfrac{\varepsilon^2}{2} +\cfrac{\varepsilon^3}{3} -\cfrac{\varepsilon^4}{4} +\ldots \tag{P-I-1.3} \label{e_MacL}\]

Obcięcie szeregu po wyrazie zawierającym określoną potęgę ε\varepsilonε prowadzi do teorii odpowiedniego rzędu. W szczególności teoria I rzędu przyjmuje e≈εe \approx \varepsilone≈ε, natomiast teoria II rzędu uwzględnia dodatkowo człon kwadratowy. W dalszej analizie przez teorię n-tego rzędu rozumie się rozwinięcie szeregu Maclaurina obcięte po wyrazie zawierającym potęgę \varepsilon^n.

W Tab. P-I-1.1 zestawiono wartości odkształceń rzeczywistych obliczonych ze wzoru (\ref{e_odkszt}) z odpowiadającymi im przybliżeniami uzyskanymi z rozwinięcia Maclaurina od I do IV rzędu dla zakresu odkształceń \varepsilon=1\%\div10\%. W kolumnach błędów podano względne odchylenia poszczególnych aproksymacji od rozwiązania ścisłego.

Tab. PI-1-1.1 Dokładność aproksymacji skończonych  odkształceń logarytmicznych

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Dokładne} & \text{I rząd} & \text{I rząd} & \text{II rząd} & \text{II rząd} & \text{III rząd} & \text{III rząd} & \text{IV rząd} & \text{IV rząd} \\
\hline e & e_I & \Delta_{e_I/e} & e_{II} & \Delta_{e_{II}/e} & e_{III} & \Delta_{e_{III}/e} & e_{IV} & \Delta_{e_{IV}/e} \\
\hline(1)&(2)&(3)&(4)&(5)&(6)&(7)&(8)&(9)\\
\hline 0,995&1,000&0,50&0,995&-0,00&0,995&0,00&0,995&0,00\\
1,980&2,000&1,00&1,980&-0,01&1,980&0,00&1,980&0,00\\
2,956&3,000&1,49&2,955&-0,03&2,956&0,00&2,956&0,00\\
3,922&4,000&1,99&3,920&-0,05&3,922&0,00&3,922&0,00\\
4,879&5,000&2,48&4,875&-0,08&4,879&0,00&4,879&0,00\\
5,827&6,000&2,97&5,820&-0,12&5,827&0,01&5,827&0,00\\
6,766&7,000&3,46&6,755&-0,16&6,766&0,01&6,766&0,00\\
7,696&8,000&3,95&7,680&-0,21&7,697&0,01&7,696&0,00\\
8,618&9,000&4,44&8,595&-0,26&8,619&0,02&8,618&0,00\\
9,531&10,000&4,92&9,500&-0,33&9,533&0,02&9,531&0,00\\
\hline\end{array}\]

Przykład ten nie stanowi wyprowadzenia kryterium „5%” odkształceń, lecz jego ilustrację dla prostego przypadku odkształceń skończonych pręta. Pokazuje on jednak ogólną prawidłowość: wraz ze wzrostem odkształceń maleje dokładność teorii I rzędu, natomiast uwzględnienie kolejnych wyrazów rozwinięcia Taylora prowadzi do systematycznej poprawy zgodności z rozwiązaniem ścisłym.

W sensie matematycznym teoria I rzędu zachowuje jedynie wyraz liniowy szeregu, teoria II rzędu wyrazy do \varepsilon^2, teoria III rzędu wyrazy do \varepsilon^3 itd. Liczba zachowanych wyrazów szeregu wyznacza zatem rząd teorii oraz dokładność aproksymacji rozwiązania ścisłego. Z danych tabelarycznych wynika, że błąd teorii I rzędu rośnie systematycznie wraz ze wzrostem odkształceń i osiąga około 5\% dla \varepsilon\approx10\%. Uwzględnienie członu kwadratowego prowadzi do istotnego zwiększenia dokładności, a teorie III i IV rzędu dają wyniki praktycznie zgodne z rozwiązaniem ścisłym.

Przykład potwierdza również, że teorie kolejnych rzędów można interpretować jako kolejne przybliżenia rozwiązania ścisłego uzyskiwane przez obcinanie rozwinięcia w szereg pyęgowy  po wyrazach coraz wyższych potęg zmiennej. W sensie matematycznym teoria I rzędu zachowuje jedynie wyraz liniowy szeregu, teoria II rzędu wyrazy do ε², teoria III rzędu wyrazy do ε³ itd. Liczba zachowanych wyrazów szeregu wyznacza zatem rząd teorii i dokładność aproksymacji rozwiązania ścisłego.

Przykład I-2 [Kryterium „5%” dla stateczności pręta rozciąganego]

Powszechnie przyjmuje się, że pręt rozciągany nie może utracić stateczności. Analiza dużych odkształceń pokazuje jednak, że również pręt rozciągany może osiągnąć stan krytyczny, choć mechanizm ten różni się od klasycznej utraty stateczności Eulera. Zjawisko to zostało opisane przez Panovko i Gubanową [77] dla pręta liniowo-sprężystego przy uwzględnieniu skończonych odkształceń geometrycznych. Schemat pręta oraz odpowiadającą mu ścieżkę równowagi przedstawiono na rys. PI-2.1.

Rys. PI-22.1 Pręt rozciągany oraz ścieżka równowagi według Panovki i Gubanowej[77] .

Dla pręta o początkowej długości (l_0), polu przekroju (A_0) oraz module Younga (E) wprowadzamy bezwymiarowe wydłużenie

[ \eta=\frac{v}{l_0} \tag{P-I-2.1} \label{eta_pr}]

gdzie $v$ oznacza wydłużenie pręta.

Przy założeniu zachowania objętości podczas odkształcenia oraz zastosowaniu logarytmicznej miary odkształcenia Hencky’ego ścieżka równowagi pręta przyjmuje postać

\ [ P=EA_0 \frac{\ln(1+\eta)} {1+\eta} \tag{P-I-2.2} \label{P_scisle} \]

Wzór (\ref{P_scisle}) stanowi rozwiązanie ścisłe problemu. Odpowiadająca mu krzywa została przedstawiona na rys. PI-2.1. W przeciwieństwie do klasycznego modelu małych odkształceń ścieżka równowagi posiada punkt graniczny odpowiadający utracie stateczności pręta rozciąganego.

Rozwinięcie Maclaurina wokół stanu początkowego

Podobnie jak w Przykładzie 1, rozwiązanie ścisłe można rozwinąć w szereg Maclaurina. Korzystając z rozwinięcia funkcji logarytmicznej

\[ \ln(1+\eta) = \eta -\frac{\eta^2}{2} +\frac{\eta^3}{3} -\frac{\eta^4}{4} +\ldots \tag{P-I-2.3} \]

oraz rozwinięcia

\[ \frac{1}{1+\eta} = 1-\eta+\eta^2-\eta^3+\eta^4-\ldots \tag{P-I-2.4} \]

otrzymujemy

\[ \frac{\ln(1+\eta)} {1+\eta} = \eta -\frac{3}{2}\eta^2 +\frac{11}{6}\eta^3 -\frac{25}{12}\eta^4 +\ldots \tag{P-I-2.5} \label{P_MacL} \]

Obcięcie szeregu po kolejnych wyrazach prowadzi odpowiednio do teorii I, II, III i IV rzędu.

Rozwinięcie Maclaurina jest rozwinięciem względem stanu początkowego η=0 i prowadzi do klasycznych teorii małych odkształceń. Dokładność tych teorii maleje jednak wraz ze wzrostem odkształceń i oddalaniem się od punktu rozwinięcia. Powstaje zatem pytanie, czy dokładność aproksymacji można zwiększyć przez rozwijanie funkcji nie wokół stanu początkowego, lecz wokół innych punktów ścieżki równowagi.

Rozwinięcie Taylora wokół punktu krytycznego

W rozpatrywanym przykładzie punkt odniesienia pokrywa się z punktem krytycznym ścieżki równowagi, który  wyznacza warunek ekstremum funkcji P(\eta), równoważny zanikowi stycznej do wykresu obciążenie–wydłużenie:

\[ \frac{dP}{d\eta}=0 \tag{P-I-2.6} \]

Po podstawieniu do tego wzoru (\ref{P_scisle}) otrzymujemy

\[ \eta_{cr}=e-1\approx1,718  \tag{P-I-2.7}\label{eta_cr} \]

oraz

\[  P_{cr}=\frac{EA_0}{e} \tag{P-I-2.8} \label{P_cr} \]

co odpowiada punktowi granicznemu zaznaczonemu na rys. P-I-2.1.

Wprowadzając lokalną współrzędną

\[  \xi=\eta-\eta_{cr} \tag{P-I-2.9} \]

można rozwinąć rozwiązanie ścisłe (\ref{P_scisle}) w szereg Taylora wokół punktu krytycznego

\[ P(\eta) = P_{cr} +\frac{1}{2} \left. \frac{d^2P}{d\eta^2} \right|_{\eta=\eta_{cr}} \xi^2 +\frac{1}{6} \left. \frac{d^3P}{d\eta^3} \right|_{\eta=\eta_{cr}} \xi^3
+\ldots \tag{P-I-2.10} \]

Rozwinięcie (P-I-2.10) jest lokalną reprezentacją rozwiązania ścisłego w otoczeniu punktu krytycznego i zachowuje najważniejszą cechę jakościową rozwiązania, to jest istnienie punktu granicznego.

Ponieważ w punkcie krytycznym spełniony jest warunek

\[ \left. \frac{dP}{d\eta} \right|_{\eta=\eta_{cr}} =0 \tag{P-I-2.11} \]

to w rozwinięciu nie występuje wyraz liniowy. Oznacza to, że zachowanie rozwiązania w otoczeniu punktu krytycznego opisuje przede wszystkim człon kwadratowy.

Rozwinięcie Taylora wokół punktu krytycznego jest lokalną teorią stanu granicznego. W przeciwieństwie do rozwinięcia Maclaurina nie opisuje ono poprawnie całej ścieżki równowagi, lecz pozwala bardzo dokładnie odwzorować zachowanie konstrukcji w bezpośrednim otoczeniu punktu utraty stateczność.  Rozwinięcie Taylora wokół punktu krytycznego zapewnia dużą dokładność jedynie w jego najbliższym otoczeniu. W praktyce konstrukcje najczęściej pracują jednak daleko od stanu krytycznego. Powstaje więc pytanie, czy punkt rozwinięcia można powiązać z rzeczywistym stanem pracy konstrukcji.

Rozwinięcie Taylora wokół punktu rzeczywistego

W poprzednich rozważaniach analizowano rozwinięcie Maclaurina wokół stanu początkowego oraz rozwinięcie Taylora wokół punktu krytycznego. W praktyce inżynierskiej interesujące są jednak stany pośrednie odpowiadające normalnej pracy konstrukcji.

W tym celu wprowadzimy punkt odniesienia $\eta_{ref}$ odpowiadający najbliższemu stanowi granicznemu. W rozpatrywanym przykładzie punkt odniesienia pokrywa się z punktem krytycznym ścieżki równowagi

\[  \eta_{ref}=\eta_{cr}=e-1=1,718 \tag{P-I-2.12} \label{eta_ref} \]

Następnie przyjmujemy współczynnik bezpieczeństwa 

\[ n_{dop}=3,0 \tag{P-I-2.13} \]

oraz definiujemy punkt rzeczywisty $\eta_{real}$ odpowiadający umownemu stanowi pracy konstrukcji

\[ \eta_{real}=\frac{\eta_{ref}}{n_{dop}} \tag{P-I-2.14} \]

skąd otrzymujemy

\[ \eta_{real}=0,573. \tag{P-I-2.15} \label{eta_real} \]

Punkt $\eta_{real}$ leży na stabilnej gałęzi ścieżki równowagi i jest oddalony od punktu odniesienia o współczynnik bezpieczeństwa $n_{dop}$.

Poniżej  funkcja (\ref{P_scisle}) zostanie rozwinięta w szereg Taylora wokół punktu \(\eta_{real}\), a uzyskane wyniki zostaną porównane z rozwinięciem Maclaurina wokół punktu początkowego.

\[ \zeta=\eta-\eta_{real} \tag{P-I-2.18}\label{zeta_real} \]

funkcję (\ref{P_scisle}) można rozwinąć w szereg Taylora wokół punktu \(\eta_{real}\)

\[ P(\eta)= P_{real} + \left. \frac{dP}{d\eta} \right|_{\eta=\eta_{real}} \zeta + \frac{1}{2} \left. \frac{d^2P}{d\eta^2} \right|_{\eta=\eta_{real}} \zeta^2 +
\frac{1}{6} \left. \frac{d^3P}{d\eta^3} \right|_{\eta=\eta_{real}} \zeta^3 +\ldots \tag{P-I-2.19} \label{Taylor_real} \]

W przeciwieństwie do rozwinięcia wokół punktu krytycznego współczynnik przy wyrazie liniowym nie zanika, ponieważ

\[ \left. \frac{dP}{d\eta} \right|_{\eta=\eta_{real}} \neq 0. \tag{P-I-2.20} \]

Rozwinięcie (\ref{Taylor_real}) stanowi lokalną aproksymację rozwiązania ścisłego dostosowaną do rzeczywistego stanu pracy konstrukcji. Dla funkcji (\ref{P_scisle}) mamy następujace pochodne:

\[ \frac{dP}{d\eta} = EA_0 \frac{1-\ln(1+\eta)} {(1+\eta)^2} \tag{P-I-2.21} \] \[\frac{d^2P}{d\eta^2} = EA_0 \frac{2\ln(1+\eta)-3} {(1+\eta)^3} \tag{P-I-2.22} \]

\[\frac{d^3P}{d\eta^3} =EA_0 \frac{11-6\ln(1+\eta)} {(1+\eta)^4} \tag{P-I-2.23}\]

Następnie po podstawieniu $\eta_{real}$ można otrzymać konkretny wielomian Taylora.

Przedstawiony przykład pozwala spojrzeć na rozwinięcia Maclaurina i Taylora nie tylko jako na narzędzia matematyczne, lecz również jako na lokalne modele zachowania konstrukcji. Analiza prowadzi do kilku istotnych wniosków metodologicznych.

Punkt rozwinięcia jako parametr teorii

W klasycznej teorii małych odkształceń rozwinięcie wykonywane jest wokół stanu początkowego $\eta_0=0.$ . Wybór ten jest jednak jedynie szczególnym przypadkiem ogólniejszej procedury. Rozwinięcie Taylora może być bowiem wykonane wokół dowolnego punktu ścieżki równowagi, na przykład wokół punktu rzeczywistego $\eta_{real}$  lub wokół punktu krytycznego $\eta_{cr}$

Oznacza to, że punkt rozwinięcia nie jest własnością konstrukcji, lecz parametrem przyjętej teorii aproksymacyjnej. Każdy wybór punktu rozwinięcia prowadzi do innej lokalnej teorii zachowania konstrukcji.

Znaczenie współczynnika bezpieczeństwa

W rozpatrywanym przykładzie współczynnik bezpieczeństw $n_{dop}$ nie określa jedynie odległości od stanu granicznego. Poprzez zależność $ \eta_{real}=\frac{\eta_{ref}}{n_{dop}}$ wyznacza on również punkt rozwinięcia lokalnej teorii Taylora. W konsekwencji współczynnik bezpieczeństwa wpływa nie tylko na poziom bezpieczeństwa konstrukcji, ale również na obszar największej dokładności modelu matematycznego opisującego jej zachowanie.

Interpretacja kryterium 5%

Wartość $ 5\%$ nie wynika z mechaniki konstrukcji ani z właściwości materiału. Nie jest ona również własnością rozwiązania ścisłego. Kryterium to odnosi się wyłącznie do dokładności teorii aproksymacyjnej.

Warunek $ \Delta_P \le 5\% $ określa maksymalny dopuszczalny błąd modelu uproszczonego względem rozwiązania ścisłego. W tym sensie kryterium 5% nie ocenia konstrukcji, lecz jakość przyjętej teorii obliczeniowej.

Dla każdego punktu rozwinięcia i każdego rzędu aproksymacji można wyznaczyć przedział wartości \(\eta\), w którym spełniony jest warunek $\Delta_P \le 5\%.$. Przedział ten można interpretować jako obszar stosowalności danej teorii.
Im wyższy rząd rozwinięcia, tym większy jest zazwyczaj obszar spełniający zadane kryterium dokładności. Jednocześnie największą dokładność uzyskuje się zawsze w pobliżu punktu rozwinięcia. Oznacza to, że:

– rozwinięcie Maclaurina najlepiej opisuje zachowanie konstrukcji w pobliżu stanu początkowego,
– rozwinięcie Taylora wokół \(\eta_{real}\) najlepiej opisuje zachowanie konstrukcji w pobliżu rzeczywistego stanu pracy,
– rozwinięcie Taylora wokół \(\eta_{cr}\) najlepiej opisuje zachowanie konstrukcji w pobliżu stanu granicznego.

Kryterium 5% pozwala wprowadzić pojęcie promienia użyteczności teorii, rozumianego jako maksymalna odległość od punktu rozwinięcia, dla której zachowana jest wymagana dokładność aproksymacji.
W przeciwieństwie do matematycznego promienia zbieżności szeregu, promień użyteczności posiada bezpośrednią interpretację inżynierską. Określa on zakres, w którym dana teoria może być stosowana bez przekroczenia przyjętego błędu obliczeniowego.

Wnioski końcowe

(1) Przykład pokazuje, że nie istnieje jedna uniwersalna teoria aproksymacyjna zapewniająca największą dokładność w całym zakresie pracy konstrukcji. Każde rozwinięcie jest teorią lokalną, której dokładność zależy od położenia punktu rozwinięcia.
(2) Kryterium 5% pozwala ilościowo określić praktyczny zakres stosowalności poszczególnych teorii. W szczególności rozwinięcie Taylora wokół punktu rzeczywistego \(\eta_{real}\) może zapewniać większą dokładność w obszarze normalnej eksploatacji konstrukcji niż klasyczne rozwinięcie Maclaurina wokół stanu początkowego.
(3)  W tym ujęciu punkt rozwinięcia staje się parametrem teorii, natomiast kryterium 5% stanowi miarę jej praktycznej przydatności inżynierskiej.

Przykład I-3 [Niezawodność sprężysto-plastyczna ramy portalowej] 

Oszacować nośność i niezawodność  ramy portalowej pokazanej na rys. 7 .

Rama jest zaprojektowana na okres $T= 50 lat$

Imperfekcje geometryczne przechyłowe i łukowe ramy przyjąć zgodnie z normą do -projektowania konstrukcji stalowych [4].

Niezawodność sprężysta ramy portalowej

Niezawodność sprężysta konstrukcji jest niezawodnością z warunku  nie przekroczenia mnożnika $\Lambda_{cr}$

Mnożnik  $\Lambda_{cr}$ wyznaczono programem Consteel dla schematu pokazanego na rys. 7b.  Z analizy LBA otrzymano

$\Lambda_{cr}= 5,62$.

Stanowi  to nośność sprężystą $\Lambda_{cr}$ ramy portalowej (ze względu utratę stateczności sprężystej).

Nośnść plastyczna ramy portalowej (ze względu na ($\Lambda_{pl})

Nośność plastyczna  $\Lambda_{pl}$ ramy portalowej (ze względu utratę nośności granicznej- plastycznej )  wynosi

Nośność sprężysto plastyczna (alternatywa nośności sprężystej oraz plastycznej)

Przykład w opracowaniu 

Dodatek A  Stochastyczny model mnożnika obciążenia Dziubdziela–Chodor (1999)

Rys historyczny 

Stochastyczny model obciążeń został opracowany przy współpracv z Prof. Wiesławem Dziubdzielą, autorem m.in prac [78] , [79]. Model został opracowany na użytek wspólnych naukowych prac inżynierskich, pozostawał w oryginale [80] , przez  ok 20 lat w archiwum autora i został po raz pierwszy opublikowany w niniejszej pracy. 

Interpretacja fizyczna modelu Dziubdziela–Chodor (1999). Komentarz autora

Model Dziubdziela–Chodor nie jest modelem przekroczeń poziomu charakterystycznego obciążenia ani modelem okresów powrotu obciążeń normowych. Proces \Lambda(t) opisuje kolejne realizacje obciążenia oddziałującego na konstrukcję w czasie jej użytkowania. W praktycznych zastosowaniach inżynierskich naturalną realizacją procesu są roczne maksima efektów obciążenia (śnieg, wiatr, temperatura itp.).

W takim ujęciu parametr

\[\nu \]

oznacza częstość pojawiania się kolejnych realizacji procesu, a nie częstość przekroczeń określonego poziomu obciążenia. Dla modelu opartego na maksimach rocznych przyjmuje się zwykle

\[ \nu=1\;\mathrm{rok}^{-1}. \]

Wówczas liczba realizacji procesu w okresie użytkowania
konstrukcji $T$ wynosi w przybliżeniu

\[ n \approx T. \]

Przykładowo dla typowego projektowego okresu użytkowania

$ T=50\;\mathrm{lat} $  otrzymujemy $ n=50$ . Dopiero tak zdefiniowany ciąg maksimów rocznych stanowi podstawę estymacji parametrów granicznego rozkładu Gumbela.
Okres powrotu obciążenia (np. 50 lat) jest natomiast wynikiem analizy rozkładu ekstremalnego, a nie parametrem procesu
odnowy występującym w modelu.

W trakcie redakcji niniejszego podręcznika rozważano również alternatywną interpretację parametru \nu jako częstości przekroczeń wybranego poziomu granicznego obciążenia.
Interpretacja taka prowadzi jednak do trudności fizycznych i matematycznych, ponieważ dla obciążeń o dużych okresach powrotu liczba realizacji procesu w okresie użytkowania
konstrukcji może być bliska jedności, co uniemożliwia stosowanie asymptotycznej teorii ekstremów. Z tego względu w dalszej części podręcznika przyjęto zgodną z intencją modelu interpretację parametru \nu jako częstości realizacji procesu obciążenia.

Oznaczenia

$T$ — projektowy okres użytkowania konstrukcji [lata].
$T_n$ — losowy odstęp czasu pomiędzy kolejnymi ekstremami obciążenia.
$ \tau_n=T_1+T_2+\ldots+T_n$ — chwila wystąpienia n-tego ekstremum obciążenia.
$\nu$ — intensywność procesu ekstremów obciążenia, interpretowana jako średnia liczba niezależnych ekstremów obciążenia występujących w ciągu jednego roku.
$\frac{1}{\nu}$ — średni odstęp czasu pomiędzy kolejnymi ekstremami obciążenia.
$ \nu(T)$— liczba ekstremów obciążenia zrealizowanych w okresie obserwacji T,
$ \Lambda(t)$ — stochastyczny mnożnik obciążenia w chwili t.
$ M_T= \max_{0\le t\le T}\Lambda(t)$— maksimum procesu mnożnika obciążenia w okresie użytkowania konstrukcji.
$ a_n$ — parametr normalizujący położenie rozkładu ekstremalnego Gumbela. Fizycznie określa poziom oczekiwanej wartości ekstremalnej maksimum procesu.
$ b_n$ — parametr normalizujący skalę rozkładu ekstremalnego Gumbela. Fizycznie określa rozrzut możliwych wartości ekstremalnych maksimum procesu.
$m$ — wartość średnia procesu \(\Lambda(t)\).
$\sigma$ — odchylenie standardowe procesu \(\Lambda(t)\).
$ \alpha = \sigma a_n+m$ — parametr położenia rozkładu Gumbela opisującego maksimum procesu.
$ \beta =\sigma b_n$ — parametr skali rozkładu Gumbela opisującego maksimum procesu.
$ \Lambda_u $ — analizowany poziom graniczny mnożnika obciążenia.

Przekroczenie tego poziomu odpowiada realizacji rozpatrywanego zdarzenia ekstremalnego.
Prawdopodobieństwo przekroczenia poziomu granicznego \(\Lambda_u\) w okresie użytkowania konstrukcji T. W interpretacji niezawodnościowej jest to prawdopodobieństwo zniszczenia lub realizacji analizowanego mechanizmu zniszczenia.

\[  p_f = Pr\{M_T>\Lambda_u\}\]

Prawdopodobieństwo niezniszczenia konstrukcji (niezawodność) w analizowanym okresie użytkowania wynosi

\[ p_R =1-p_f \]

Sformułowanie problemu 

Proces stochastyczny obciążenia $\Lambda(t), \quad t > 0 $  (mnożnika obciążenia stowarzyszonego z danym mechanizmem zniszczenia $\Lambda = \Lambda_{M,k}) zgodnie z założeniami klasycznymi Borges i  Castanheta (1971) [81], jest  generowany  przez dwa ciągi zmiennych losowych (zob. rys.3):

• ciąg obciążeń $\Lambda_1, \, \Lambda_2 \, \ldots, \, \Lambda_n,$
• ciąg okresów trwania obciążeń  $\tau_1, \, \tau_2, \, \ldots, \, \tau_n$

gdzie: i=(1, \ldots n), n – liczba  odcinków czasu na który podzielono okres użytkowania $T$.

Proces stochastyczny obciążenia $\Lambda(t) $ można opisać formułą:

\[  \Lambda(t) =\Lambda_n \quad , \tau_{n-1}  \le t < \tau_n  , \quad n=1,2,\ldots \tag{A.1 } \label{A.1}  \]

gdzie: $\tau_0 =0 \, , \, \tau_n= T_1 + T_2 + \ldots  + T_n , \quad n = 1, 2, \dots $.

Stochastyczny ciąg mnożników  obciążeń

Zakładamy , że ciąg $\Lambda_1, \Lambda_2, \ldots$ jest ciągiem Gaussa-Markowa (zob. [82], to znaczy:

\[  \Lambda_1 = \sigma \cdot N_1 + m \\ \Lambda_{n+1}=\rho \cdot \Lambda_n + \sigma \cdot \sqrt{1-\rho^2} \cdot N_{n+1} + (1-\rho) \cdot m , \quad n=1,2 \ldots \tag{A.2}\label{A.2}  \]

gdzie:
$N_1,N_2,\ldots$ jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie Gaussa  z wartością oczekiwaną $E [ N_n] =0$ i wariancją $Var [ N_n ]=1$, natomiast 
$ – \infty < m < \infty $,   $ \sigma > 0 $ ,  $ -1 < \rho <1$ – liczby rzeczywiste.

Ponieważ zachodzi:

\[  E [ \Lambda_1 ]  = \sigma \cdot E [ N_1 ] + m = m, \\ E [ \Lambda_{n+1}] =\rho \cdot E [ \Lambda_n]  + \sigma \cdot \sqrt{1-\rho^2} \cdot  E [ N_{n+1} ] + (1- \rho) \cdot m = m , \quad  n=1,2, \ldots \tag{A.3} \label{A.3}  \]

\[  Var [ \Lambda_{n+1} ] = \rho^2 \cdot Var [ \Lambda_n ] + \sigma^2  \left ( 1-\rho^2 \right ) \cdot Var [ \Lambda_{n+1} ] = \rho^2 \cdot \sigma^2 + \sigma^2  \cdot (1- \rho^2) = \sigma ^2 ,  \quad n= 1, 2, \ldots \tag{A.4} \label{A.4}  \]

więc  ciąg obciążeń jest stacjonarnym ciągiem Gaussa z:
wartością oczekiwaną

\[  E [ \Lambda_n] = m  \tag{A.5}\label{A.5}  \]

wariancją

\[  Var [ \Lambda_n ] = \sigma^2 >0  , \quad n \ge 1  \tag{A.6} \label{A.6}  \]

współczynnikiem  korelacji zmiennych $\Lambda_1$ i $\Lambda_n$:

\[ \rho(n) =\cfrac {Cov [ \Lambda_1 , \Lambda_n ]} {{\sqrt{Var [ \Lambda_1]  \cdot Var [\Lambda_n}] }}= \cfrac {1}{\sigma^2} \left ( E [ \Lambda_1 \cdot \Lambda_n ] – m^2 \right), \quad n=2,3 ,\ldots  \tag{A.7} \label{A.7} \]

Mamy ponadto

\[ E [ \Lambda_1 \cdot \Lambda_n ] = E \left [ ( \sigma \cdot N_1 +m) \cdot ( \rho \cdot \Lambda_n + \sigma \cdot \sqrt{1-\rho^2} N_{n+1} + (1-\rho) \cdot m \right ]  \\= \sigma \rho \cdot E[ N_1 \Lambda_n] + m^2 \cdot \rho +(1-\rho) \cdot m^2 = \sigma \cdot \rho \cdot E[N_1 \Lambda_n] + m^2 \tag{A.8} \label{A.8} \]

Ponieważ:

\[ E [ N_1 \cdot \Lambda_2 ] = E \left [ N_1 \cdot [ \rho \cdot ( \sigma \cdot N_1 +m)+\sigma \cdot \sqrt{1- \rho^2} \cdot N_2 +(1-\rho) \cdot m ]  \right ] = \rho \cdot \sigma \cdot E[N_1^2] =\rho \cdot \sigma \tag{A.8a} \]

E [ N_1 \cdot \Lambda_3 ] = E \left [ N_1 \cdot ( \rho \cdot \Lambda_2 + \sigma \cdot \sqrt{1-\rho^2}\cdot N_3 +(1-\rho)\cdot m ) \right ]

$\ldots \ldots \ldots$

\[ E [ N_1 \cdot \Lambda_n ] = \rho^{n-1}\sigma \tag{A.8c} \label{A.8c} \]

więc

\[ \rho(n) =\cfrac{1}{\sigma^2}
\left( \sigma \rho \rho^{n-1}\sigma +m^2-m^2 \right) = \rho^n, \quad n=2,3,\ldots, \quad |\rho|<1 \tag{A.9} \label{A.9} \]

Parametry rozkładu: średnia $m$ i odchylenie standardowe $]\sigma$ rzeczywistego procesu w okresie $T_i$ zależy od długości okresu uśredniania. Tym problemem zajmujemy się w dodatku B Dyskretyzacja losowo odkształcalnej konstrukcji.

W dalszej części zakładamy, że okres $T$ jest podzielony na „n” równych odcinków o długości jednego roku, to znaczy $ T_i=1 rok$, , (i=1, \dots , n). Z danych statystycznych pomiarów rzeczywistego procesu ( np. obciazenia wiatrem) będziemy pobierać średnie i odchylenia standardowe roczne (ang. „annual”).

Stochastyczny ciąg okresów mnożników obciążeń

Zakładamy, że ciąg okresów obciążeń $T_1 ,\, T_2 ,\, \ldots ,\, T_n$ ,\ldots$ jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie wykładniczym z:

wartością oczekiwaną  $0 < E [T_n ]=1/\nu < \infty $.

W dalszej części wyprowadzenia zachowano ogólny model  procesu odnowy z losowymi czasami trwania T_n. W zastosowaniach inżynierskich rozważanych w podręczniku
przyjmuje się najczęściej uproszczenie polegające na reprezentacji procesu przez ciąg maksimów rocznych.

Dystrybuanty zmiennych losowych $T_n$ są postaci

\[ F_T(t)= \begin{cases}
0,& t\le0\\
1-e^{-\nu t},& t>0
\end{cases}
\tag{A.10}  \label{A.10}
\]

Zatem ciąg chwil zmian obciążeń $\{ \tau , \quad n \ge 0 \}$  jest procesem Poissona o intensywności $\nu$.

Jeżeli w rozważanym modelu procesu obciążeń $\Lambda(t)$ przyjmiemy $\rho=0$, to otrzymamy często rozważany proces Poissona fal kwadratowych (Poisson Square Wave Process, przyjęty w pracy [83].
W tej p racy korzystając z  wyników asymptotycznej teorii wartości  ekstremalnych dla ciągów zależnych , podamy aproksymację prawdopodobieństwa przekroczenia danego poziomu  $\Lambda_u > 0 $ przez proces  $\Lambda(t)$ w przedziale $[0,T]$ , gdzie  $T$ jest duże , to znaczy podamy przybliżoną wartość prawdopodobieństwa  

\[ p_f (\Lambda_u,T) = Pr \left\{ \overset{\Large\mathrm{max}}{0 \le t \le T} \quad \Lambda(t) > \Lambda_u \right\} \tag {A.11} \label{A.11} \]

Asymptotyczna aproksymacja  niezawodności konstrukcji

Niezawodność konstrukcji (\ref{p_R}) jest prawdopodobieństwem tego, że w okresie eksploatacji konstrukcji $[0,T]$ , mnożnik obciążenia $\Lambda(t)$ zawsze będzie większy od 1,  czyli

\[ p_R =  Pr \{ max( \Lambda_1, \Lambda_2, \ldots, \Lambda_n ) <1 \} \tag {A.12} \label{A.12} \]

Jeśli T jest duże, rzędu okresu projektowego budowli  T= 50 lat (czyli tyle ile wynosi projektowy okres użytkowy zwykłych konstrukcji budowlanych), to można zastosować aproksymację asymptotyczne stosowane w teorii wartości ekstremalnych (p. dodatek Teoria losowych wartości ekstremalnych).

Jak pokazaliśmy – ciąg obciążeń $ \Lambda_1, \Lambda_2, \ldots $ jest stacjonarnym ciągiem Gausa  dla którego: 
E [ \Lambda_n ] = m (\ref{A.5}),
Var [ \Lambda_n ]=\sigma^2 (\ref{A.6}),
\rho(n)=\rho^n (\ref{A.9}).

Ponieważ:

\[ \lim_{n \to \infty} \rho(n)\cdot \ln(n)=0  \tag {A.13} \label{A.13} \]

to , korzystając ze znanego wyniku S.M. Bermana ( np. [84] -Theorem 3.81, [85] – Theorem 8.8 , mamy dla każdego $x$

\[ \lim_{n \to \infty} Pr \left\{ \max(\Lambda_1,\Lambda_2,\ldots,\Lambda_n) < \sigma b_n x+\sigma a_n+m \right\}  = \exp(-e^{-x}) \tag {A.14} \label{A.14} \]

gdzie:

\[ a_n= \frac{1}{b_n} -\frac12\,b_n \left( \ln\ln n + \ln(4\pi) \right) \tag {A.15} \label{A.15} \]

\[ b_n= (2\ln n)^{-1/2} \tag {A.16} \label{A.16} \]

W celu ustalenia  aproksymacji niezawodności (\ref{A.25}) dla dużych T, wprowadzamy najpierw odwzorowanie chwili obciążenia $\tau_n$ na numer ciągu $\nu(T)$ zależny od przedziału czasu obciążenia:

\[ \nu(T)=\inf\{n:\tau_n>T\} \tag {A.17} \label{A.17} \]

Ponieważ

\[ E[T_n ] =\cfrac{1}{\nu} < \infty \tag {A.18} \label{A.18} \]

to z prawa wielkich liczb wynika, że z prawdopodobieństwem 1

\[ \cfrac{\nu(T)}{T} \to \cfrac{1}{\nu} \text { gdy} T \to \infty \tag {A.19} \label{A.19} \]

(Zapis zgodny z oryginalnym rękopisem Dziubdzieli)

Uwaga:

1)  W klasycznej teorii procesów odnowy dla procesu Poissona o intensywności (\nu) zwykle przyjmuje się $ E[T_n]=\frac{1}{\nu}$ oraz $ \frac{\nu(T)}{T}\rightarrow \nu \qquad \text{gdy} \qquad T\rightarrow\infty.$.
W niniejszym opracowaniu pozostawiono historyczne oznaczenia i zapis zastosowany w oryginalnym rękopisie prof. Wiesława Dziubdzieli, ponieważ dalsze wyprowadzenie prowadzące do aproksymacji rozkładem Gumbela wykorzystuje bezpośrednio wartość $ \left[\frac{T}{\nu}\right]$, wynikającą z przyjętych oznaczeń.
2) ewentualna reinterpretacja parametru (\nu) zgodnie z klasyczną teorią odnowy miałaby niewielki wpływ na przedstawioną teorię. Nie zmienia się bowiem wynikowy rodzaj rozkładu (rozkład Gumbela) ani ogólna konstrukcja modelu. Zmianie ulega jedynie efektywna liczba niezależnych realizacji $n_{\mathrm{eff}} = \left[\frac{T}{\nu}\right]$, a tym samym parametry normalizujące $a_n$, oraz $ b_n$. W praktyce prowadzi to wyłącznie do zmiany liczbowych wartości parametrów rozkładu oraz prawdopodobieństwa zniszczenia $ p_f$, nie wpływając na samą strukturę teorii ani na końcowy wniosek o granicznym rozkładzie ekstremów. 
3) W typowych zastosowaniach inżynierskich proces $\Lambda(t)$ reprezentowany jest przez ciąg maksimów rocznych obciążenia. W takim przypadku przyjmuje się 

\[ \nu \approx 1\;\mathrm{rok}^{-1} \]

i obie interpretacje prowadzą do identycznych wyników.

4) Różnice mogą pojawić się dopiero wtedy, gdy średni odstęp pomiędzy kolejnymi ekstremami istotnie odbiega od jednego roku. W takim przypadku zmienia się efektywna liczba realizacji uwzględnianych w analizie ekstremalnej, a więc również wartości parametrów rozkładu Gumbela i wynikowe prawdopodobieństwo zniszczenia. Nie wpływa to jednak na samą postać rozkładu granicznego ani na zasadnicze wnioski wynikające z przedstawionej teorii.

Zatem maksimum $ M_T= \max _{0< t \le T} \Lambda(t)$  może być aproksymowane przez [82] :

\[ M_{\nu(T)} = \max { ( \Lambda_1, \Lambda_2, \ldots, \Lambda_{\nu(T)} ) } \tag {A.20} \label{A.20} \]

a to z kolei przez

\[ M_{ \left[ \frac{T}{\nu} \right]} = \max {(\Lambda_1, \Lambda_2, \ldots, \Lambda_{ \left[ \frac{T}{\nu} \right]} ) } \tag {A.21} \label{A.21} \]

gdzie symbol [ x ] oznacza cześć całkowitą liczby x (czyli jest funkcją entier ).

Z zależności (\ref{A.14}) otrzymujemy kolejno::

\[ \lim \limits _{T \to \infty}  Pr \{ M_{ \left[ \frac{T}{\nu} \right]} <\sigma \cdot b_ { \left[ \frac{T}{\nu} \right]} \cdot x  + \sigma \cdot a_{ \left[ \frac{T}{\nu} \right]}+m \} = exp \left (  -e^{-x}\right )  , \quad  – \infty < x < \infty \tag {A.22} \label{A.22} \]

\[ \lim \limits _{T \to \infty}  Pr \{ M_T <\sigma \cdot b_ { \left[ \frac{T}{\nu} \right]} \cdot x  + \sigma \cdot a_{ \left[ \frac{T}{\nu} \right]}+m \} = exp \left (  -e^{-x}\right )  , \quad  – \infty < x < \infty \tag {A.23} \label{A.23} \]

Dla dużego T otrzymaliśmy więc aproksymację

\[ Pr \{ M_T <\sigma \cdot b_ { \left[ \frac{T}{\nu} \right]} \cdot x  + \sigma \cdot a_{ \left[ \frac{T}{\nu} \right]}+m \} \approx  \exp {\left (-e^{-x} \right) } , \quad  – \infty < x < \infty \tag{A.24} \label{A.24} \]

a stąd otrzymujemy aproksymację prawdopodobieństwa  przekroczenia  poziomu $u$ przez proces mnożnika obciążenia ( w skrócie obciążenia), czyli prawdopodobieństwo zniszczenia (\ref{A.13}) w dużym okresie $T$:

\[ p_f(\Lambda_u,T) = Pr\{M_T>\Lambda_u\} = 1- \exp \left[ -\exp \left( -\frac{ u-\sigma a_{\left[\frac{T}{\nu}\right]}+m}{ \sigma b_{\left[\frac{T}{\nu}\right]}}\right)
\right] \tag{A.25} \label{A.25} \]

gdzie stałe $b_n>0$ i $ a_n$ dane są wzorami (\ref{A.15}), (\ref{A.16})

Dla poziomu $\Lambda_u=1$ otrzymujemy zawodność w sytuacji przedstawionej na rys.2 i granicy bezpieczeństwa opisanej formułą (\ref{A.9}).  Dla innych ustalanych arbitralnie poziomów $\Lambda_u$   korzystamy z tych samych formuł. W ten sposób możemy przeliczyć poziom bezpieczeństwa $u$ na prawdopodobieństwo zniszczenia p_f i dalej na współczynnik Hasofera-Linda  $\beta_R$, stanowiący współczesną miarę niezawodności konstrukcji budowlanych  wg normy  [86].

Niezawodność systemu (\ref{A.12}) wynosi oczywiście $p_R=1- p_f$.

Mnożnik obciążenia – zmienną losową w rozkładzie Gumbela

Uzyskany wynik wskazuje, że zawodność systemu konstrukcyjnego opisuje dwuparametrowy rozkład maksimów Gumbela (rozkładu podwójnie wykładniczego), który jest zaliczony do uogólnionych rozkładów wartości maksymalnych GEV.  Estymację parametrów rozkładu można dokonać w sposób pokazany w dodatku Teoria losowych wartości ekstremalnych.  Występującą tam zmienną standaryzowaną $\xi$ oraz dwa parametry rozkładu parametr położenia $\alpha$ oraz parametr skali  $\beta$ w drodze porównania symboli zastosowanych w Dodatku oraz w formule (\ref{A.25}) można zapisać w postaci

\[ \xi=\cfrac{u- \alpha}{\beta} \\ \alpha= \sigma \cdot a_{ \left[ \frac{T}{\nu} \right]}+ m ;\quad \\ \beta = \sigma \cdot b_{ \left[ \frac{T}{\nu} \right]} \tag{A.26} \label{A.26} \]

Sposób estymacji parametrów statystycznego rozkładu „obciążenia” w celu oszacowania niezawodności $p_R$ – pokazano w prostym przykładzie  Niezawodność sprężysto-plastyczna ramy portalowej.

W praktycznych zastosowaniach konstrukcyjnych model Dziubdziela–Chodor jest stosowany głównie do opisu ciągów maksimów rocznych obciążeń klimatycznych. W takim przypadku liczba realizacji procesu w okresie użytkowania konstrukcji jest równa w przybliżeniu liczbie lat eksploatacji.Dla typowego okresu użytkowania $T=50\;\mathrm{lat}$ otrzymujemy

\[ n\approx 50, \]

co uzasadnia stosowanie asymptotycznej aproksymacji rozkładem Gumbela przedstawionej w niniejszym dodatku.

Powiązanie z główną częścią podręcznika

Przedstawiony model (Dziubdziela–Chodor) stanowi probabilistyczną interpretację mnożnika obciążenia $\Lambda$ , wykorzystywanego w podręczniku. Otrzymany wynik wskazuje, że maksimum procesu $\Lambda(t)$ w okresie użytkowania konstrukcji można dla dużych T aproksymować rozkładem Gumbela. Dzięki temu poziom bezpieczeństwa konstrukcji, opisany przez mnożnik obciążenia $\Lambda$, może być bezpośrednio powiązany z prawdopodobieństwem zniszczenia $p_f$ lub niezawodnością $p_R=1-p_f$  oraz współczynnikiem niezawodności $\beta$ W podręczniku model ten będzie wykorzystywany wyłącznie jako interpretacja probabilistyczna metody imperfekcyjnej, bez konieczności odwoływania się do szczegółowych wyprowadzeń przedstawionych w niniejszym dodatku.

Dodatek B  Ścisłe rozwiązanie geometryczne pręta ściskanego z imperfekcją

Celem niniejszego dodatku jest ścisłe wyprowadzenie zależności opisujących skrócenie geometryczne pręta ściskanego z imperfekcją łukową. Analizowany układ odpowiada elementarnemu przypadkowi przedstawionemu w rozdziale „Kryterium 5% odkształceń i zakres stosowalności teorii kolejnych rzędów”. 

Punktem wyjścia analizy jest element różniczkowy osi pręta pokazany na rys. 6. Na skutek ugięcia osi pręta odcinek początkowy (dx) przechodzi do położenia (dx’), co prowadzi do skrócenia geometrycznego (\Delta(dx)). Zależność ta wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa i stanowi podstawę klasycznej geometrii różniczkowej pręta.  W odróżnieniu od rozważań przedstawionych w tekście głównym, celem dodatku nie jest ocena dokładności kolejnych teorii przybliżonych, lecz wyprowadzenie rozwiązania ścisłego. W szczególności analizowane będą kolejno: lokalne skrócenie elementu różniczkowego, całkowite skrócenie pręta, odpowiadające mu odkształcenie oraz rozwinięcia szeregowe rozwiązania ścisłego.

Przedstawione wyprowadzenie ma charakter całkowicie analityczny i nie wykorzystuje metod numerycznych ani aproksymacji dyskretnych. Dzięki temu możliwe jest jednoznaczne rozdzielenie błędów wynikających z przyjętej teorii od błędów obliczeniowych związanych z metodą rozwiązania.

Rozważmy element różniczkowy osi pręta przedstawiony na rys. 6. Przed deformacją jego długość wynosi dx. Po deformacji rzut poziomy elementu pozostaje równy dx, natomiast długość odkształconego elementu osi wynosi dx’, co można opisać zależnościami

\[ dx’=\sqrt{(dx)^2-(dw)^2} \tag{B.1} \]

\[  dx’ = dx\sqrt{1-\left(\frac{dw}{dx}\right)^2} = dx\sqrt{1-(w’)^2} \tag{B.2}\]

Lokalne skrócenie geometryczne wynosi

\[ \Delta(dx)=dx-dx’ \tag{B.3} \]

czyli 

\[  \Delta(dx) = dx \left( 1-\sqrt{1-(w’)^2} \right) \tag{B.4} \]

Lokalne odkształcenie wynosi

\[ \varepsilon(x) = \frac{\Delta(dx)}{dx} = 1-\sqrt{1-(w’)^2} \tag{B.5} \]

Równanie (B.5) stanowi ścisłą zależność geometryczną opisującą lokalne skrócenie osi pręta odkształconego. Wszystkie klasyczne teorie małych przemieszczeń, w tym teoria II rzędu, mogą być traktowane jako kolejne przybliżenia równania (B.5).

Całkowite skrócenie pręta

Całkowite skrócenie pręta otrzymujemy przez sumowanie lokalnych skróceń geometrycznych na całej długości elementu

\[ \Delta L = \int_0^L \Delta(dx) \tag{B.6} \]

Po podstawieniu zależności (B.4) 

\[ \Delta L = \int_0^L dx \left( 1-\sqrt{1-(w’)^2} \right) \tag{B.7} \]

czyli

\[ \Delta L = \int_0^L \left( 1-\sqrt{1-(w’)^2} \right) dx \tag{B.8} \]

Dzieląc obustronnie przez długość początkową pręta \(L\) otrzymujemy dokładne odkształcenie inżynierskie

\[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L} = \frac{1}{L} \int_0^L \left( 1-\sqrt{1-(w’)^2} \right) dx \tag{B.9} \label{eps_exact} \]

Równanie (\ref{eps_exact}) stanowi ścisłą zależność geometryczną określającą odkształcenie pręta o dowolnym przebiegu ugięcia \(w(x)\).

Pręt z imperfekcją sinusoidalną

Przyjmijmy imperfekcję początkową w postaci

\[ w_0(x) = e_0 \sin\frac{\pi x}{L} \tag{B.10} \label {w_0}\]

oraz stan po dogięciu

\[ w(x) = a_\Lambda w_0(x) \tag{B.11} \label{w_0_A}\]

gdzie $a_\Lambda$ jest współczynnikiem amplifikacji zdefiniowanym równaniem (\ref{a_L}) w tekście głównym.

Po zróżniczkowaniu

\[ w'(x) = a_\Lambda e_0 \frac{\pi}{L} \cos\frac{\pi x}{L} \tag{B.12} \]

Po wprowadzeniu smukłości imperfekcji

\[  n_L=\frac{L}{e_0} \tag{B.13} \]

otrzymujemy

\[ w'(x) = \frac{\pi a_\Lambda}{n_L} \cos\frac{\pi x}{L} \tag{B.14} \]

oraz

\[ (w’)^2 = \left( \frac{\pi a_\Lambda}{n_L} \right)^2 \cos^2\frac{\pi x}{L}. \tag{B.15} \]

Wprowadzając  oznaczenie 

\[ C_\Lambda= \left( \frac{\pi a_\Lambda} {n_L} \right)^2 \tag{B.16} \label{CLambda} \]

po uwzględnieniu względnego poziomu obciążenia $\bar{\Lambda}=\Lambda/\Lambda_{cr}$  oraz zależności (\ref{a_L}), parametr geometryczny można również zapisać w postaci

\[ C_\Lambda = \left( \frac{\pi} {n_L} \frac{1} {1-\bar{\Lambda}} \right)^2 \tag{B.17} \label{CLambda_bar}\]

Parametr $C_\Lambda$ jest bezwymiarową miarą maksymalnego nachylenia osi pręta i stanowi podstawowy parametr geometryczny rozwiązania ścisłego.

Po podstawieniu zależności (B.15) do równania (B.9) otrzymujemy

\[ \varepsilon = \frac{1}{L} \int_0^L \left( 1- \sqrt{ 1- C_\Lambda \cos^2\frac{\pi x}{L} } \right) dx. \tag{B.18} \]

Po wyłączeniu wyrazu stałego spod całki

\[ \varepsilon = 1- \frac{1}{L} \int_0^L \sqrt{ 1- C_\Lambda \cos^2\frac{\pi x}{L} } \,dx. \tag{B.19} \]

Wprowadzając zmienną pomocniczą 

\[ u=\frac{\pi x}{L}, \qquad dx=\frac{L}{\pi}\,du,  \tag{B.20} \] 

otrzymujemy

\[ \varepsilon = 1- \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sqrt{ 1- C_\Lambda \cos^2u } \,du. \tag{B.21} \]

Całkowana funkcja jest symetryczna względem punktu \( u=\pi/2 \), dlatego

\[ \int_0^\pi \sqrt{ 1- C_\Lambda \cos^2u }\,du = 2 \int_0^{\pi/2} \sqrt{ 1- C_\Lambda \cos^2u} \,du. \tag{B.22} \]

Po podstawieniu zmiennej 

\[ \theta=\frac{\pi}{2}-u \tag{B.23}  \]

otrzymujemy

\[ \int_0^\pi \sqrt{ 1- C_\Lambda \cos^2u } \,du = 2 \int_0^{\pi/2} \sqrt{ 1- C_\Lambda \sin^2\theta} \,d\theta. \tag{B.24}\]

Całka po prawej stronie jest definicją zupełnej całki eliptycznej drugiego rodzaju

\[ E(m) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-m\sin^2\theta} \,d\theta. \tag{B.25} \]

Po przyjęciu

\[ m = C_\Lambda \tag{B.26} \]

otrzymujemy

\[ \int_0^\pi \sqrt{ 1- C_\Lambda \cos^2u } \,du = 2E(C_\Lambda). \tag{B.27}\]

Ostatecznie dokładne odkształcenie pręta ściskanego z imperfekcją łukową wynosi

\[ \varepsilon = 1- \frac{2}{\pi} E(C_\Lambda). \tag{B.28} \label{eps_exact_E} \]

Równanie osi  pręta z imperfekcją pod obciążeniem 

Równanie (\ref{eps_exact_E}) określa ścisły związek pomiędzy globalnym odkształceniem geometrycznym pręta a parametrem geometrycznym $C_\Lambda$. Dla zadanej wartości odkształcenia $\varepsilon$ równanie to wyznacza odpowiadającą jej wartość parametru $C_\Lambda$. Otrzymana zależność ma charakter niejawny i w ogólności wymaga odwrócenia funkcji całki eliptycznej drugiego rodzaju.

Po wyznaczeniu parametru $C_\Lambda$ amplitudę aktualnej osi pręta $w_{max}$ otrzymujemy z definicji 

\[ w_{max}=a_\Lambda e_0.\tag{B.29}\label{w_max} \]

Po wyznaczeniu parametru $C_\Lambda$ współczynnik amplifikacji można obliczyć z zależności

\[ a_\Lambda=\frac{n_L}{\pi}\sqrt{C_\Lambda}, \]

co wynika bezpośrednio z definicji (\ref{CLambda}).

Ponieważ aktualna postać osi pręta stanowi amplifikację imperfekcji początkowej, przyjmuje postać

\[ w(x)=\frac{n_L}{\pi}\sqrt{C_\Lambda(\varepsilon)}\,e_0\sin\frac{\pi x}{L} \tag{B.33} \label{w_axis_exact} \]

gdzie $C_\Lambda(\varepsilon)$ oznacza rozwiązanie równania (\ref{eps_exact_E}) względem parametru $C_\Lambda$.

Zależność (\ref{w_axis_exact}) zamyka rozwiązanie ścisłe problemu, bo pozwala wyznaczyć odpowiadającą mu aktualną geometrię osi odkształconej.

Funkcja $w(x)$ opisana równaniem (\ref{w_axis_exact}) będzie stanowiła wielkość podstawową, względem której rozwinięcie będzie prowadziło do definicji kolejnych teorii mechanicznych.

Rozwinięcia szeregowe rozwiązania ścisłego

Rozwiązanie ścisłe (\ref{eps_exact_E}) wyrażone jest przez zupełną całkę eliptyczną drugiego rodzaju. W celu oceny dokładności teorii kolejnych rzędów wygodnie jest rozwinąć je w szereg potęgowy względem parametru geometrycznego $C_\Lambda$.

Korzystając ze znanego rozwinięcia całki eliptycznej drugiego rodzaju

\[ E(C_\Lambda)  = \frac{\pi}{2} \left( 1 -\frac{C_\Lambda}{4} -\frac{3C_\Lambda^2}{64} -\frac{5C_\Lambda^3}{256} -\frac{175C_\Lambda^4}{16384} -\ldots \right), \tag{B.34} \]

po podstawieniu do równania (\ref{eps_exact_E}) otrzymujemy

\[ \varepsilon = \frac{C_\Lambda}{4} +\frac{3C_\Lambda^2}{64} +\frac{5C_\Lambda^3}{256} +\frac{175C_\Lambda^4}{16384} +\ldots \tag{B.35} \label{eps_Mac} \]

Kolejne wyrazy szeregu odpowiadają kolejnym przybliżeniom geometrycznym. Pierwszy wyraz szeregu odpowiada klasycznej aproksymacji kwadratowej wynikającej z teorii małych nachyleń. Kolejne wyrazy reprezentują poprawki wyższych rzędów wynikające z pełnej geometrii osi odkształconej.

Rozwinięcie (\ref{eps_Mac}) stanowi punkt wyjścia do oceny zakresu stosowalności teorii kolejnych rzędów, ponieważ każda teoria przybliżona odpowiada zachowaniu skończonej liczby wyrazów rozwinięcia rozwiązania ścisłego.

Rozwinięcie osi pręta względem poziomu obciążenia

Rozwinięcie przedstawione w poprzednim punkcie dotyczy ścisłej zależności geometrycznej opisującej odkształcenie osi pręta. W celu powiązania uzyskanych wyników z klasycznym pojęciem rzędów teorii mechanicznej wygodnie jest przeanalizować również rozwinięcie samej osi odkształconej.  Punktem wyjścia jest ścisłe równanie osi pręta uzyskane w poprzednim podrozdziale. W przeciwieństwie do rozwinięcia zależności $\varepsilon(C_\Lambda)$, które prowadzi do kolejnych przybliżeń geometrycznych odkształcenia, rozwinięcie funkcji $w(x)$ opisuje kolejne przybliżenia mechanicznego modelu osi pręta. Dzięki temu możliwe jest bezpośrednie powiązanie kolejnych wyrazów szeregu z pojęciem rzędów teorii mechanicznej.

Ponieważ aktualna postać osi stanowi amplifikację imperfekcji początkowej, jej zależność od poziomu obciążenia może zostać przedstawiona bezpośrednio poprzez współczynnik amplifikacji. Rozwinięcie tej zależności w szereg potęgowy względem parametru obciążenia pozwala jednoznacznie powiązać kolejne wyrazy szeregu z odpowiadającymi im rzędami teorii mechanicznej.

Dla pręta z imperfekcją sinusoidalną aktualna postać osi ma postać (\ref{w_0_A}). Po podstawieniu kształtu  imperfekcji pocżatkoweej   (\ref{w_0})  otrzymujemy

\[ w(x)=a_\Lambda e_0\sin\frac{\pi x}{L}. \tag{B.37} \]

Korzystając z definicji współczynnika amplifikacji (\ref{a_L})

\[ a_\Lambda=\frac{1}{1-\bar{\Lambda}} \]

otrzymujemy zależność

\[ w(x)= \frac{e_0}{1-\bar{\Lambda}} \sin\frac{\pi x}{L}. \tag{B.39} \]

Dla $ |\bar{\Lambda}|<1$ można skorzystać z rozwinięcia Maclaurina

\[ \frac{1}{1-\bar{\Lambda}} = 1+\bar{\Lambda} +\bar{\Lambda}^2 +\bar{\Lambda}^3 +\bar{\Lambda}^4 +\ldots \tag{B.40} \]

co prowadzi do rozwinięcia osi pręta

\[ w(x)= e_0\sin\frac{\pi x}{L} \left( 1+\bar{\Lambda} +\bar{\Lambda}^2 +\bar{\Lambda}^3 +\bar{\Lambda}^4 +\ldots \right). \tag{B.41} \label{w_exact} \]

Pierwszy wyraz szeregu odpowiada geometrii początkowej pręta, natomiast kolejne wyrazy opisują przyrost ugięcia wywołany wzrostem poziomu obciążenia.

W dalszej części rozdziału rozwinięcia te zostaną wykorzystane do wyznaczenia odpowiadających im odkształceń geometrycznych oraz do oceny dokładności kolejnych teorii względem rozwiązania ścisłego.

Powiązanie z tekstem głównym

Pierwszy wyraz rozwinięcia (\ref{eps_Mac}) po uwzględnieniu definicji (\ref{CLambda}) prowadzi do zależności

\[ \varepsilon \approx \frac{\pi^2}{4}\left(\frac{a_\Lambda}{n_L}\right)^2 \tag{B.42} \label{eps_1st_order} \]

Po podstawieniu definicji współczynnika amplifikacji (\ref{a_L}) otrzymujemy

\[ \varepsilon \approx \frac{\pi^2}{4n_L^2}\frac{1}{(1-\bar{\Lambda})^2} \tag{B.43} \label{eps_1st_order_bar} \]

Jest to najniższe niezerowe przybliżenie rozwiązania ścisłego. Zależność ta została wykorzystana w rozdziale „Kryterium 5% odkształceń i zakres stosowalności teorii kolejnych rzędów” jako punkt odniesienia do oceny dokładności teorii wyższych rzędów.

Kolejne wyrazy szeregu (\ref{eps_Mac}) opisują wpływ efektów wyższych rzędów wynikających z geometrii odkształconej osi pręta. Analiza ich udziału stanowi podstawę oceny zakresu stosowalności teorii kolejnych rzędów oraz uzasadnia kryterium 5% przedstawione w tekście głównym.

Warunek istnienia rozwiązania

Z warunku nieujemności wyrażenia podpierwiastkowego w równaniu (B.20)

\[ 1-C_\Lambda\cos^2u \ge 0 \]

otrzymujemy

\[ C_\Lambda \le 1. \tag{B.44} \]

Po podstawieniu definicji (\ref{CLambda})

\[ a_\Lambda \le \frac{n_L}{\pi} \tag{B.45} \label{aLambda_limit} \]

Warunek ten wynika wyłącznie z geometrii pręta odkształconego i zapewnia istnienie rozwiązania ścisłego.

Korzystając z zależności (\ref{w_max}) otrzymujemy

\[ w_{max,gr} = \frac{L}{\pi}. \tag{B.47} \]

więc granica istnienia rozwiązania

\[ w_{max,gr} = \frac{L}{\pi} \approx 0.318L \tag{B.48} \label{wmax_limit} \]

nie zależy od imperfekcji.

Geometryczna interpretacja warunku (\ref{aLambda_limit}) jest bezpośrednia. Z równania (B.2)

$dx’ = dx\sqrt{1-(w’)^2}$

wynika, że długość rzeczywista elementu różniczkowego pozostaje liczbą rzeczywistą wyłącznie wtedy, gdy

$|w’|\le 1.$

Dla imperfekcji sinusoidalnej wartość maksymalna modułu pochodnej występuje w punktach

$|\cos(\pi x/L)|=1,$

co prowadzi bezpośrednio do warunku (\ref{aLambda_limit}). Oznacza to, że granica istnienia rozwiązania ścisłego odpowiada osiągnięciu stanu, w którym styczna do osi pręta staje się pionowa. Jest to ograniczenie czysto geometryczne, niezwiązane z utratą stateczności w sensie Eulera ani z wyczerpaniem nośności materiału.

Dodatek C Dyskretyzacja losowo odkształcalnej konstrukcji

Omówiono podstawowe zasady i twierdzenia dyskretyzacji losowo odkształcalnej konstrukcji na stochastyczne elementy skończone w zakresie potrzebnym do zrozumienia wywodów prezentowanych w podręczniku. Uśrednianie procesu stochastycznego podług okresów czasu również podlega pokazanym zasadom.

Stochastyczny element skończony

Przeprowadzimy dyskretyzację ciągłego procesu stochastycznego X (t) indeksowanego nielosowym parametrem t poprzez zastąpienie go ciągiem zmiennych losowych:

\[ X_i = \cfrac{1}{2 T_i} \int\limits_{t_i -T_i}^{t_i +T_i}  X(t) dt  , \quad (i=1,2, …) \label {3}  \end{equation}$$

rozpiętych na długościach  elementów  o środkach  (Rys. B.1).

Zmienna (\ref{3}) zdefiniowana przez stochastyczną całką Riemanna jest lokalną średnią procesu na przedziale  $[t_i-T_i , \quad t_i+T_i ]$ , to znaczy na długości elementu $2T_i$. Ciągły parametr t (ciągły uogólniony czas) jest redukowany do dyskretnych indeksów i (dyskretnego czasu).

Element [i] jest jednowymiarowym elementem stochastycznym – wektorem cech tego elementu, np. imperfekcji geometrycznych (wstępnych wygięć lub odchyleń od pionu). Element [i] jest materialny, jeśli parametrem t jest współrzędna przestrzenna (a nie czas).

Prowadząc dyskretyzację pola losowego powinno się unikać silnego skorelowania zmiennych stanowiących efekt dyskretyzacji, to znaczy należy stosować maksymalnie duże elementy stochastyczne – grupy podobnych elementów skończonych (np. słupów) zaleca się traktować jak jeden element stochastyczny. Przed przystąpieniem do dyskretyzacji każdorazowo należy przeprowadzić analizę wstępną konstrukcji z punktu widzenia opisanego w poprzednim zdaniu.

Twierdzenia o dyskretyzacji procesu stochastycznego

W pracy [34] podano dowody trzech twierdzeń o dyskretyzacji procesu stochastycznego.

Twierdzenie 1  [o wartości oczekiwanej i kowariancji skończonego elementu procesu stochastycznego]

Niechaj $M_X(t)$, $R_{XX} (t_i, t_j)=E[X(t_i),X^T (t_j)]$ oraz $C_{XX}(t_i, t_j)=R_{XX} (t_i, t_j) – M_X(t_i) M_X^T (t_j)$  będą trendem , funkcją autokorelacji i funkcją autokowariancji procesu $X(t)$ odpowiednio. Funkcja autokowariancji jest scentrowaną funkcją kowariancji.
Jeśli zmienne losowe  $X_i$ oraz $X_j $ są lokalnymi średnimi procesu na elementach o długości $2T_i$  oraz  o długości $2T_j$,

\[ X_i=\cfrac{1}{2T_i}\int \limits_{t_i-T_i}^{t_i+T_i} X(t) dt , \quad  X_j=\cfrac{1}{2Tj}\int \limits_{t_j-T_j}^{t_j+T_j} X(t) dt \]

to wartość oczekiwana i kowariancja tych zmiennych losowych wynosi:

\[ E[X_k] \cfrac {1}{2T_k} \int\limits_{t_k -T_k}^{t_k +T_k}  X(t) dt   \label {5}  \end{equation}$$

\[ Cov [X_i, X_j ] = \cfrac{1}{4 T_i T_j} \int \limits_{t_i-T_i}^{t_i+T_i} \int\limits_{t_j-T_j}^{t_j+T_j} C_{XX} ( \tau_i \tau_j) d \tau_i d \tau_j \label {6}  \end{equation}$$

Wnioski:

1. Twierdzenie 1 dotyczy jednorodnych i niejednorodnych procesów $X(t)$.
2. Jeśli dla elementu $[i]$ charakterystyczny jest proces $X(t)$ , a elementu $[j]$ proces $Y(t)$, to kowariancja zmiennych powinna być obliczona z (\ref{6}) z użyciem funkcji wzajemnej korelacji procesów $X(r)$,i $Y(t)$

\[ Cov [X_i, X_j ] = \cfrac{1}{4 T_i T_j} \int \limits_{t_i-T_i}^{t_i+T_i} \int\limits_{t_j-T_j}^{t_j+T_j} C_{XY} ( \tau_i \tau_j) d \tau_i d \tau_j \label {7}  \end{equation}$$

Twierdzenie 2 [o zależności pomiędzy kowariancją i wariancjami elementów stochastycznych]

Wyznaczmy średnie (\ref{5}) $X_i, X_j, X_{j0}, X_{0j}, X_{ij}$ na odcinkach $2T_i, 2T_j, 2T_{i0}, 2T_{0j}, 2T_{ij}$ odpowiednio. Jeśli te odcinki są wyznaczone przez węzły elementów stochastycznych w sposób pokazany na Rys. B.2, to zachodzi:

\[ Cov [X_i, X_j ] = \cfrac{1}{2 T_i T_j} \left [ T_0^2 Var[ X_0] -T_{i0}^2 Var[X_{i0}] -T_{ij}^2  Var[X_{ij}] -T_{0j}^2 Var[X_{0j}] \label {8} \right ] \end{equation}$$

Wniosek: Na podstawie Twierdzenia 2 można obliczyć kowariancję pomiędzy elementami stochastycznymi na podstawie wariancji obszarów obejmujących te elementy oraz obszar położony pomiędzy tymi elementami. Ta własność jest użyteczna przy wyznaczeniu kowariancji na podstawie danych eksperymentalnych.

Twierdzenie 3  [o kowariancji dyskretyzowanego stacjonarnego procesu stochastycznego]

Kowariancja zmiennych $X_i$ i $X_j$ zdefiniowanych w Twierdzeniu 1 uzyskana przez uśrednienie stacjonarnego procesu po obszarze pokazanym na Rys. B.3. wynosi:

\[ Cov [ X_i, X_j ] = \cfrac {1}{4 T_i T_j}  \int \limits_{ \Delta \tau -\Sigma T}^{ \Delta \tau +\Sigma T} a ( \Delta \tau) \cdot C_{XX} ( \Delta \tau) \, d ( \Delta \tau)  \label {9}  \end{equation}$$

gdzie

\[ a ( \Delta \tau) \begin{cases}
\Sigma T- \Delta \tau & \text {jeśli  } \Delta T < \Delta \tau < \Delta t +\Delta T \\
\Sigma T- | \Delta T – \Delta t |  & \text {w pozostałych przypadkach}
\end {cases} \label {10}  \end{equation}$$

$\Delta T = |T_i-T_j | , \quad \Delta t= t_i -t_j, \quad \Sigma T =T_i+T_j$

Uwagi:

1. W twierdzeniu 3 proces musi być stacjonarny, ale nie musi być ergodyczny. To twierdzenie uogólnia znany rezultat o średnim czasie stacjonarnego procesu ( [87], [88] ). Uogólnienie polega na zastosowaniu do elementów o różnej długości.
2. Zmienna $\Delta \tau$ jest odległością pomiędzy środkami elementów i zastępuje odległość pomiędzy punktami ciągłego procesu.
3. Jeśli  $i \neq j$ , to $ | \Delta t | =\Sigma T $ (Twierdzenie dotyczy kowariancji), a jeśli $i=j$ , to $ | \Delta t | =0$ (Twierdzenie dotyczy wariancji).

Wnioski:

1. 1. Jeśli dyskretyzacja stacjonarnego procesu jest prowadzona na elementach o takiej samej długości $2T_i =2T_j =2T$ , to z Twierdzenia 3 otrzymujemy:

\[ Cov [X_i, X_j ] = \cfrac{1} {2 T}  \int \limits_{ \Delta t- 2T}^{ \Delta t +2T} \left( 1- \cfrac{ | \Delta \tau – \Delta t | } {2T}  \right )  C ( \Delta \tau ) \, d( \Delta \tau ) \label {11} \end{equation}$$

2. W przypadku numeracji porządkowej elementów ułożonych w ciąg mamy $\Delta t = 2T \cdot (i-j) $ , gdzie $i$ oraz  $j$ są numerami porządkowymi elementów. Wariancję średniej lokalnej otrzymamy po podstawieniu  $\Delta t=0$ w (\ref{9}$ ) i uwzględnieniu równości $C_{XX}(\Delta \tau )= C_{XX}( – \Delta \tau )$.

Zastosowanie twierdzeń o dyskretyzacji

Twierdzenia o dyskretyzacji zastosowujemy do kilku klas procesowe stochastycznych stosowanych w niniejszym podręczniku.

Dyskretyzacja procesu klasy wykładniczej

Proces klasy wykładniczej jest  szeroko stosowany do analizy zagadnień niezawodności konstrukcji budowlanych (np.  [89], [90]).

Dyskretyzujemy stacjonarny proces w jednorodnym obszarze z funkcją korelacji klasy wykładniczej

\[ C( \Delta \tau ) = exp \left ( -A \cdot | \Delta \tau | ^{\alpha} \right )  \label {12} \end{equation}$$

gdzie $A>0$, $( \alpha =1.2)$.  Zależność (\ref{12}) opisuje funkcję korelacji stacjonarnego pola losowego w szerszym sensie.

Skala fluktuacji $\Theta$ [69] tego procesu

\[ \Theta= \int \limits_{ – \infty}^{+ \infty} C( \Delta \tau ) d \Delta \tau=  \int \limits_0^{\infty}  exp \left ( -A \cdot | \Delta \tau | ^{\alpha} \right ) d \Delta \tau=\begin{cases} \\
– 2A & \text{  dla  }  \alpha=1 \\
\sqrt{ \cfrac{ \pi}{A}}  & \text { dla } \alpha=2
\end {cases} \label {13} \end{equation}$$

jest skończona $(\Theta < \infty $ ,więc proces może być ergodyczny (można pokazać, że tak jest faktycznie). Z formuły (\ref{8}) mamy

\[  Cov[ X_i, X_j] = \cfrac{1}{2A T_i T_j} \int \limits_{ \Delta t -\Sigma T}^{ \Delta t +\Sigma T} a ( \Delta \tau) \cdot exp \left ( -A \cdot | \Delta \tau | ^{\alpha} \right ) d\Delta \tau \label {14} \end{equation}$$

Jeśli $\alpha=2$, to całka (\ref{14}) nie może być otrzymana analitycznie i całkowanie należy prowadzić numerycznie. Jeśli $\alpha=1$, to otrzymujemy:

\[  Cov[ X_i, X_j] = \cfrac{1}{2A T_i T_j} [ cosh (A \cdot \Sigma T) – cosh  (A\cdot \Delta T) ] \cdot \exp {(-A \Delta T)}  \label {15} \end{equation}$$

\[  Var[ X_i] = \cfrac{1}{2A^2 T_i^2} [ 2AT_i -1+ \exp {( -2AT_i )} ] \label {16} \end{equation}$$

Dyskretyzacja procesu klasy potęgowej

Zdyskretyzujmy stacjonarny proces w jednorodnym obszarze z funkcją korelacji klasy potęgowej:

\[ C( \Delta \tau ) = \cfrac{1}{1+A |\Delta \tau|^{\alpha}}  \label {17} \end{equation}$$

gdzie:$A>0$ ,$\alpha=1,2$ . Zależność (B.15) opisuje funkcję korelacji stacjonarnego pola losowego w szerszym sensie.

Skala fluktuacji dla tego procesu wynosi:

\[ \Theta = \int \limits_0^{\infty}  \cfrac{1}{1+A |\Delta \tau|^{\alpha}}  d \Delta \tau= \begin{cases} \\
\infty  & \text{  dla  }  \alpha=1 \\
\sqrt{ \cfrac{ \pi^2}{A}}  & \text { dla } \alpha=2
\end {cases} \label {18} \end{equation}$$

więc proces na pewno nie jest ergodyczny dla $\alpha=1$ i może być ergodyczny dla $\alpha=2$. Dyskretyzację przeprowadźmy przez podział osi t na elementy o takiej samej długości . Z formuły (\ref{8}) mamy

\[  Cov[ X_i, X_j] = \cfrac{1}{2T} \int \limits_{ \Delta t -\Sigma T}^{ \Delta t +\Sigma T} \quad \cfrac{1-\cfrac { \Delta \tau – \Delta t }{2T}}{1 +\Delta | \Delta \tau |^{\alpha}} d\Delta \tau \label {19} \end{equation}$$

skąd otrzymujemy:

dla $\alpha=1$

\[  Cov[ X_i, X_j] = \cfrac{1} {4 A^2 T^2} [ ( A \Delta t_1 +1) \log {(A \Delta t_1+1)} – \\
2 ( A \Delta t  +1) \log {(A \Delta t+1)} +A \Delta t_2 +1) \log {(A \Delta t_2 +1)} ]  \label {20} \end{equation}$$

\[  Var[ X_i] = \cfrac{1}{2 A^2 T^2} [ (2At+1) log(2At+1) -2AT ] \label {21} \end{equation}$$

dla $\alpha=2$

\[  Cov[ X_i, X_j] = \cfrac {1} {8 A T^2} \cdot \{ 2 \sqrt {A}\cdot \Delta t_1 \cdot [ arctg ( \sqrt{A}\cdot \Delta t_1) – arctg( \sqrt{A}\cdot \Delta t) ] \}+ \\
2 \sqrt{A}\cdot \Delta t_2 \cdot [ arctg ( \sqrt{A}\cdot \Delta t_2) – arctg( \sqrt{A}\cdot \Delta t) ] \} – \\
\log {(A \cdot \Delta t_1^2 +1)}+2 log{(A \cdot \Delta t^2 +1)} – log {(A \cdot \Delta t_2^2 +1)} \}   \label {22} \end{equation}$$

\[  Var[ X_i] = \cfrac{1}{2 A^2 T^2} [ (2At+1) log(2At+1) -2AT ] \label {23} \end{equation}$$

Dyskretyzacja  procesu trygonometrycznego

Stochastyczny proces trygonometryczny może być traktowany jako przybliżenie dowolnej procesu przez rozwnięcie w szereg Fouriera

Proces ten jest szczególnie interesujący w zagadnieniu imperfekcji, bowiem imperfekcje łukowe elementu  najczęściej przedstawia się w postaci sinusoidy $w_0(x)= f_0 \cdot \sin {(x)} $. Pochodna szeregu Fouriera będzie procesem kątów obrotu $\varphi_0=w’_0).

Trygonometryczny proces stochastyczny $X_{[e]}$ na elemencie $[e]$ jest dany formułą:

\[   X_{[e]} ( \tau ) = \sum \limits_ {i=1} ^n  [A_i \cos { \omega_i \tau } + B_i \sin { \omega_i \tau} ] \label {24} \end{equation}$$

gdzie: $A_i$  , $B_i$ są ciągiem nieskorelowanych losowych amplitud ze średnią zero: $E[ A_i A_j ]=E[A_i B_j ]=E[B_i B_j ]=E[ A_i]=E [ B_i ]=0$  oraz z jednorodną wariancją $Var[A_i]=E[A_i^2] =E[B_i^2] =\sigma_i^2$ . Częstotliwości $\omega_i$ są deterministyczne.

Trend i autokorelacja procesu (\ref{24}) wynosi:

\[   M_{[e]} =0 ’ \qquad  R_{[e][e]} = E[ x(\tau – \Delta \tau ) X(\tau) = \sum \limits){(i)} \sigma_i^2 \cdot \cos {(\omega_i \Delta \tau ) } \label {25} \end{equation}$$

czyli proces jest stacjonarny.

Przyjmijmy, że na elemencie  $[s]$przebiega proces $X_{[s]}$ , który jest pochodną procesu (\ref{24}), po zadziałaniu na niego operatora liniowego  $d/dt$ (operatora pochodnej), to znaczy

\[   X_{[s]} ( \tau ) =\cfrac { d X_{[e]} ( \tau – \Delta \tau )} {d \tau} = \sum \limits_ {i=1} ^n  [ – A_i \sin { \omega_i (\tau -\Delta \tau) } + B_i \cos { \omega_i (\tau -\Delta \tau) } ]  \label {26} \end{equation}$$

Wartość oczekiwana i funkcja korelacji procesów wynoszą:

\[   M_{[s]} =\cfrac { d M_{[e]} ( d \tau }=0  ]  \label {27} \end{equation}$$

\[ R_{[e] [s]} ( \Delta\tau ) = \sum \limits_ {i=1} ^n  \omega_i \sigma_i^2 \sin { [ \omega_i ( \Delta \tau + \Delta t)] } \\
R_{[s] [s]} ( \Delta\tau ) = \sum \limits_ {i=1} ^n  \omega_i \sigma_i^2 \cos { ( \omega_i  \Delta \tau ) }
\label {28} \end{equation}$$

Ponieważ funkcje korelacji(\ref{25}) i (\ref{28}) są stacjonarne, to wariancje i kowariancje pomiędzy lokalnymi średnimi można wyznaczyć z Twierdzenia 3.

---

NAWIGACJA:
 ⊗ ⇒ [ I-2: Krótki przegląd metod wyboczeniowych i imperfekcyjnych ]
Podręcznik Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji [ ⇒ Spis treści ]
Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło: Leszek Chodor, (2017-2020), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki, Wydawnictwo Chodor-Projekt, [ https://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]

Literatura

1. Consteel Software, (2020), ConSteel Manual, w którym zaimplementowano uogólniony element prętowy- cienkościenny element Własowa ((Vlasov, V. Z. (1959). Tonkostiennyje uprugije stierzni | Thin-Walled Elastic Beams. PWF-ML | Israel Program for Scientific Translations
2. Chladny E. (1974), Vzper pruzne podopretych tlacenych prutov (Buckling of elastically supported compressed members). Habilitation thesis
3. Chladny E., Stujberova M. (2013). Frames with unique global and local imperfection in the shape of the elastic buckling mode.Part 1. Stahlbau, 82(8), p. 609–617
4. PN-EN 1993-1-1+A1:2006, Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
5. PN-EN 1993-1-6:2010, Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 1-6: Wytrzymałość i stateczność konstrukcji powłokowych
6. PN-EN 1993-1-7 + AC+Ap1:2007, Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych , Część 1-7: Konstrukcje płytowe
7. PN-EN 1993-1-5:2008, Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5: Blachownice
8. Ikeda K, Murota K., (1991) Random initial imperfections od structures, Int. J. Solids Structures, Vol.  28, (8), pp. 1021-1099
9. Chodor L. (1986), Losowa nośność ustrojów zginanych z uwzględnieniem sił stycznych (Praca doktorska PRE 68/86). Instytut Budownictwa Politechniki Wrocławskiej, [https://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/1986-Chodor-Dissertation-Wroclaw.pdf ]
10. Chodor L., Podstawka, R. (2009), Analiza pushover oraz przeguby i załomy nieliniowe w konstrukcjach żelbetowych. Problemy Naukowo-Badawcze Budownictwa, 215–220, [ https://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/2009-Chodor-Podstawka-Pushover-Krynica.pdf ]
11. Merchant W, (1954), The Failure Loads of Rigidly Jointed Frameworks as Influenced by Stability, The Structural Engineer,  32(7), p. 185–190
12. Godoy L. A. (1998), Stresses and pressures in thin-walled structures with damage and imperfections. Thin Walled Structures, 32, 181–206
13. Babcock C. D. (1974), Experiments in shell buckling, In: Thin Shell Structures, Theo-ry, Experiment, and Design. Prentice-Hall, Englewood Cliffs
14. Elishakoff I., Arbocz J. (1985). Reliability of axially compressed cylindrical shells with general nonsymmetric imperfections. Journal of Applied Mechanics, 1985(52), 122–128
15. Chodor L. (2015). Szybka metoda Monte Carlo, Encyklopedia Inżyniera i Architekta πPiWiki, [ https://chodor-projekt.net/encyclopedia/szybka-metoda-monte-carlo/ ]
16. Rolski T. (2013). Symulacje stochastyczne i teoria Monte Carlo, Wykład, Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski, [ http://www.math.uni.wroc.pl/~rolski/Downloads/sym.pdf ]
17. Shanley F. (1947), Inelastic column theory. Journal of the Aeronautical Sciences, 14(5), p. 261–268
18. Ayrton W. E., Perry J. (1886), On Struts, The Engineer, p. 464–513
19. CEB, (1976), Common unified rules of different types of construction and material. Vol. 1. Bulletin d’Information No. 116-E
20. European Committee for Standardization. 1994. ENV 1991-1: 1994 Eurocode 1: basis of design and actions on structures – Part 1: basis of design. European Committee for Standardization, Brussels, Belgium
21. AISC, (1986), Specification for structural steel buildings – load and resistance factor design. American Institute of Steel Construction , Chicago, Ill
22. ASCE, (1999), Minimum design loads for buildings and other structures (ASCE7-98). American Society of Civil Engineers, Reston, Va.
23. NBCC, (1995), National Building Code of Canada. Institute for Researchin Construction, National Research Council of Canada,Ottawa, Ont
24. Standards Association of Australia. 1985. Guidelines for conversion to limit states codes, Committee BD16 — Loading ofStructures. Standards Association of Australia, Canberra, Australia
25. Bartlett F.M., Hong H.P., Zhou W., (2003), Load factor calibration for the proposed 2005 Edition of the National Building Code of Canada:Statistics of loads and load effects, Can. J. Civ. Eng. 30: 429–439 (2003
26. Ellingwood, B.R., Galambos, T.V., MacGregor, J.G., Cornell, C.A., (1980), Development of a probability based load criterion for American National Standard A58. NBS Special Publication 577, National Bureau of Standards, U.S. Department of Commerce, Washington, D.C.
27. Allen, D.E., (1975), Limit states design — a probabilistic study. Canadian Journal of Civil Engineering, 2: 36–49
28. Bijak, Chodor (1988), Stateczność systemów złożonych z prętów cienkościennych  w ujęciu stochastycznej metody elementów skończonych [ https://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/1988-BijakChodor-Stability-Cedzyna.pdf ]
29. Chodor L., (1988), Stochastyczna metoda elementów skończonych w zagadnieniach  losowej mechaniki konstrukcji,  Materiały XXXIV Konferencji  Naukowej PZITB i KN PAN Krynica’88, Tom I, str. 151-156 [https://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/1988-Chodor-SFEM-Krynica.pdf ]
30. Chladny E. (1958), Nosnosť tlačených pásov otvorených mostov (Buckling resistance of compressed chords of open truss bridges), PhD thesis
31. Brendel, B., and Ramm, E. (1980). „Linear and nonlinear stability analysis of cylindrical shells, Comp. Struct., 12(4), 549-558
32. Ayrton W. E., Perry J. (1886), On Struts. The Engineer, p. 464–513
33. Elishakoff, I. (1988). „Stochastic simulation of an initial imperfection data bank for isotropic shells with general imperfections.” Buckling of structures, Studies in applied mechanics, Elishakoff I. et al., eds., 19, Elsevier, Amsterdam, the Netherlands, 195-209
34. Lindberg, H. E. (1988), Random imperfections for dynamic pulse buckling, J. Engrg. Mech., ASCE, 114(7) 1144-1165
35. Kirkpatrick, S. W., and Holmes, B. S. (1989). „Effect of initial imperfections on dynamic buckling of shells.” J. Engrg. Mech., ASCE, 115(5), 1075-1093
36. Ikeda K., Murota, K. (1990), Critical initial imperfection of structures,  Int. J. Solids Struct., 26(8), 865-886
37. Ikeda K., Murota K., Computation of Critical initial imperfection of truss structures, J. Engn. Mech, Vol 116 (10),pp. 2101- 2117
38. Ikeda K, Murota K., (1991) Random initial imperfections of structures, Int. J. Solids Structures, Vol.  28, (8), pp. 1021-1099
39. Ohsaki, Critical Minor Imperfection corresponding to stable bifurcation
40. Shamass R (2020) Plastic Buckling Paradox: An UpdatedReview, Computational Methods in Structural Engineering, a section of the journal Frontiers in Built Environment, 6:35. doi: 10.3389/fbuil.2020.00035
41. Hencky, H. Z. (1924), Theorie Plastischer Deformationen und der hierdurch im Material hervorgerufenen Nachspannungen. Z. Angew. Math. Mech. 4, 323–334.
42. Hill, R. (1950). The Mathematical Theory of Plasticity. New York, NY: OxfordUniversity Press Inc
43. CTICM, (2013), LTBeamN, [ https://www.cticm.com/logiciel/ltbeamn/ ]
44. PN-EN 1992-1-1+AC+Ap 1,2,3: 2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
45. Thom R., Giorello G., Morini S., Duda R. (1991). Parabole i katastrofy: rozmowy o matematyce, nauce i filozofii z Giulio Giorello i Simoną Morini. Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa
46. Lumpe G., Gensichen V. (2014), Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. Ernst
47. Lumpe G. (2011). S3D, Program badawczy. Prętowa teoria dużych przemieszczeń i obrotów (5.09.2011) [Computer software].
48. Simulia (2014). Abaqus 6.13 Documentation
49. Sofistik (2018), SofistikTutorials 2018, Tutorials for Stel Design. Imperfection Con-cept, [ /www.sofistik.de/documentation/2018/en/tutorials/steel-design/imperfection/imperfection.html ]
50. Machowiak, A. (2018). Klasyfikacja i zakres zastosowania Teorii II. rz. Obliczenia wykonane w ConSteel 11 SP3, [Raport Constell], STRENCO
51. Vlasov, V. Z. (1959). Tonkostiennyje uprugije stierzni | Thin-Walled Elastic Beams. PWF-ML | Israel Program for Scientific Translations
52. Consteel Software, (2020), ConSteel Manual, [ https://consteelsoftware.com/downloads/]
53. Wusatowski Z. (1955). Właściwe sposoby określania odkształceń plastycznych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Mechanika (4), s. 3–21
54. Skotny Ł. (2018), Kiedy można zignorować nieliniowość geometryczną? Enterfea, [ https://enterfea.com/kiedy-mozna-zignorowac-nieliniowosc-geometryczna/ ]
55. PN-EN 1992-1-1+AC+Ap 1,2,3:2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
56. Piechnik S. (2007), Mechanika techniczna ciała stałego. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej
57. Consteel Software, (2020), ConSteel Manual, [ https://consteelsoftware.com/downloads/]
58. Dlubal Software, (2019), RFEM, RSTAB Oprogramowanie do analizy statyczno-wytrzymałościowej (Version 8-18-01) [Computer software], [https://www.dlubal.com/pl ]
59. Computer and Structures Inc. (2019). SAP2000. Structural Software for Analysis and Design (Version 21),. [ https://www.csiamerica.com/products/sap2000 ]
60. SCIA, A Nemetschek Company, (2018), Structural An alysis and Design with SCIA Enginee (Version 18). [ https://www.scia.net/en ]
61. Sofistik, (2018). Sofistik. Imperfection Concept. Sofistik Tutorials 2018, Tutorials for Stel Design. Imperfection Concept, [ /www.sofistik.de/documentation/2018/en/tutorials/steel-design/imperfection/imperfection.html ]
62. PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC:2008, Eurokod 4, Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo-betonowych, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
63. PN-EN 1999-1-1:2010, Eurokod 9: Projektowanie konstrukcji aluminiowych, Część 1-1: Reguły ogólne
64. PN-EN 1993-2:2010, Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 2: Mosty stalowe
65. PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E :2010, Eurokod 5: Projektowanie konstrukcji drewnianych, Część 1-1: Postanowienia ogólne – Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków
66. PN-EN 1996-1-1+A1+Ap1,2:2013, Eurokod 6: Projektowanie konstrukcji murowych , Część 1-1: Reguły ogólne dla zbrojonych i niezbrojonych konstrukcji murowych
67. Chodor, L. (1989), Algorytm szacowania losowych odpowiedzi systemów konstruk-cyjnych przy użyciu Stochastycznej Metody Elementów Skończonych, Materiały Kon-ferencji, Krynica 2915. Koferencja Naukowo-Techniczna Krynica 1989, s. 115–122
68. Wilde, P. (1981), Random Fields Discretization in Engineering Calcula-tions. Państwowe Wydawnictwo Naukowe
69. Vanmarcke, E. H. (1983), Random fields: analysis and synthesis. The MIT Press
70. Chodor L. (1991), Discretisation of Structures in the Stochastic Finite Element Meth-od, Materiały X Sc. Conf. „Computers Methods in Mechanics”,s. 70-76, Szczecin-Świnoujście
71. Stocki, R. (2010), Analiza niezawodności i optymalizacja odpornościowa złożonych konstrukcji i procesów technologicznych. IPPT PAN
72. Sudret, B., Der Kiureghian, A., (2000), Stochastic Finite Element and Reliability [A State of the Art. Technical Report]. Departament of Civil and Environmental Engi-neering, University of California
73. Der Kiureghian, A., Ke, J. B. (1988), A Structural reliability under incomplete probability information. J.Eng.Mech. ASCE, 112(10), 85–104
74. Vanmarcke, E. H., Grigoriu, M., (1983), Stochastic finite element analysis of simple beams. J.Eng.Mech. ASCE, 109(5), 1203–1205
75. Zhu, W. Q., Ren, Y. J., Wu, W. Q. (1992), Stochastic FEM Base. On Local Averages of Random Vector Fields. J. Eng. Mech. ASCE, 118(3), 496–509
76. Stocki, R., Liefvendahl, M. (2006), A study on algorithms for optimization of Latin hypercubes. Journal of Statistical Planning and Inference, 136(9), 3231–3247
77. Panovko J., G., Gubanova, I. I. (1967), Ustojčivost i kolebnija uprugich system. Sovremennyje koncepcii, paradoksy i ošibki (4th ed.), Nauka, Moskva
78. Dziubdziela W., (1975), Rozkłady graniczne ekstremalnych statystyk pozycyjnych, Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Seria III: Matematyka Stosowana IX (1977) 45-70
79. Dziubdziela W., Kopociński B., (1979), Oszacowania niezawodności systemów, Mat. Stos., 15,s.61-73
80. Dziubdziela W., Stochastyczny procesu obciążeń, Rękopis,Kielce,1999 – pozostaje w archiuwm Leszka Chodor
81. Ferry Borges, J., Castanhetta M., (1971) Structural Safety. Laborato´rio Nacional de Engenharia Civil, Lisbon, Portugal
82. Rootzén H., (1989), Maxima and excedances of stationary Markov chains , Advances in Applied Probability, 20, pp. 371-390
83. Der Kiureghian A., (1978), Second-moment combination of stochastic loads, Journal of the Structural Divison, Vol 104, No ST 10, pp.1551-1567
84. Galambos J., (1978), The Asymptotic Theory of Extreme Orfer Statistics, Wiley and Sons
85. Castello E., (1970), Extreme Value Theory in Engineering, Academic Press Inc.
86. PN-EN 1990:2004/NA:2010, Podstawy projektowania konstrukcji
87. Papoulis, A., Pillai, S. U. (2002), Probability, random variables, and stochastic pro-cesses (4th ed). McGraw-Hill
88. Bendat, J. S., Piersol, A. G. (2010), Random data: analysis and measurement procedures (4th ed). Wiley
89. Kapur K. C., Lamberson L. R. (1977), Reliability in engineering design. Wiley
90. Murzewski J. (1989), Niezawodność konstrukcji inżynierskich. Arkady, Warszawa

________________________________

Related Baza wiedzy

• Imperfekcje konstrukcji i ich źródła
• Imperfekcje konstrukcji. Metoda ogólna
• Imperfekcje łukowe łuków [R3-6]
• Imperfekcje projektowe z odchyłek wykonawczych
• Imperfekcje w normach światowych
• Imperfekcje, a układy usztywniające konstrukcję
• Krótki przegląd metod wyboczeniowych i imperfekcyjnych
• Ściskane pręty (+)
• Stateczność. Przeskok węzła