Ścinanie belek żelbetowych

Siły i naprężenia poprzeczne

Przekroje betonowe w odróżnieniu od stalowych są bardzo wrażliwe na ścinanie, które jest nieodłącznie związane ze zginaniem. Zbrojenie na ścinanie wykonuje się w formie zamkniętych strzemion, najczęściej pionowych. Rzadziej obok strzemion stosuje się pręty odgięte zbrojenia podłużnego lub strzemiona ukośne. Wprowadzanie prętów odgiętych lub ukośnych można stosować wyłącznie w przypadkach specjalnych, wówczas, gdy maksymalne zbrojenie strzemionami okaże się niewystarczające.Przy tym nośność samych strzemion musi zapewnić przynajmniej 50% nośności całego zbrojenia.

W zagadnieniu ścinania przekrojów żelbetowych posługuje się pojęciem obliczeniowych, poprzecznych sił przekrojowych $V_{Ed}$ i  nośności przekroju $V_{Rd}$ lub naprężeń stycznych $v_{Ed}$ i wytrzymałości przekroju na ścinanie $v_{Rd}$:
$$\begin{equation}  v_{Ed}=\cfrac {V_{Ed}}{A_v}  \quad ; \quad  v_{Rd}=\cfrac {V_{Rd}}{A_v} \label{1} \end{equation}$$

gdzie pole przekroju ścinania $A_v= b_w \cdot z$.
Ramię sił wewnętrznych, występujące w (W-10) przyjmuje się w $(\ref{1})$ jako $z=0,9 \cdot d_l$, gdzie $d_l$ jest wysokością użyteczną przekroju dla zbrojenia rozciąganego (dolnego) $d_l=h-a_l$. Wymiar  $b_w$ jest szerokością  żebra (środnika) przekroju teowego/dwuteowego  lub szerokością przekroju prostokątnego ,

Wymagania konstrukcyjne

Minimalne zbrojenie poprzeczne na ścinanie

W tych miejscach elementu, w których obliczeniowe naprężenia styczne $v_{Ed}$ wywołane obciążeniami zewnętrznymi  spełniają warunek

$$\begin{equation} v_{Ed} \le v_{Rd,c}  \label{2} \end{equation}$$

gdzie $v_{Rd,c}$ – wytrzymałość przekroju nie zbrojonego na ścinanie ($\ref {12}$),

zbrojenie na ścinanie nie jest wymagane, ale w takim przypadku w belkach należy zastosować zbrojenie minimalne na ścinanie, służące do wiązania zbrojenia podłużnego, o polu przekroju spełniającym warunek stopnia zbrojenia (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, wzór (9.4)) :

$$\begin{equation} \rho_w=\cfrac{A_{sw}}{s b_w sin \alpha} \ge \rho_{w,min}\label{3} \end{equation}$$
gdzie:
$A_{sw}$ jest polem przekroju pojedynczego zestawu zbrojenia na ścinanie (np. dwóch strzemion , jeśli zastosowano podwójne),
$s$- rozstaw zestawów zbrojenia po długości pręta.
$\alpha$ – kąta nachylenia zestawu zbrojenia do poziomu.
Minimalny stopień zbrojenia wyznacza się  z zależności (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, wzór (9.5N)):
$$\begin{equation} \rho_{w,min} =0,08 \cdot  \sqrt{f_{ck}} /f_{yk} \label{4} \end{equation}$$

Poprzeczne zbrojenie minimalne należy więc stosować na całej długości belki i zagęszczać w obszarach nie spełniających warunku $(\ref{2})$. Minimalne zbrojenie na ścinanie nie jest wymagane w płytach (pełnych, z żebrami lub kanałami), w których możliwa  jest poprzeczna redystrybucja obciążeń. lub mniej ważnych belkach (np nadproża o rozpiętości mniejszej niż 2 m) , które nie wpływają w istotny sposób na ogólną nośność i stateczność konstrukcji.

Maksymalny rozstaw zbrojenia na ścinanie

Maksymalny rozstaw zbrojenia jest unormowany niezależnie od wymogu minimalnego pola przekroju zestawu zbrojenia $(\ref{3})$ i wynosi (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, (9.6N;9.8N)):
$$\begin{equation} s_{l,max}= 0,75 \cdot d \cdot (1+ctg \alpha) \le 600 \label{5} \end{equation}$$
W przypadku prętów odgiętych ich maksymalny rozstaw podłużny powinien wynosić (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, wzór (9.7N)):
$$\begin{equation} s_{l,max}= 0,6 d(1+ctg \alpha) \label{6} \end{equation}$$
Z wymagań dotyczących minimalnego zbrojenia poprzecznego wynika, że podłużny rozstaw zestawów powinien spełniać warunek:
$$\begin{equation} s \le 12,5 \cdot \cfrac{A_{sw}\cdot f_y}{b_w sin \alpha \cdot \sqrt{f_{ck}}} \label{7} \end{equation}$$
Warunek $(\ref{4})$ powinien być spełniony na całej długości elementu. Dla najczęściej stosowanego żelbetu C30/37-B500 i strzemion pionowych mamy stąd
$$\begin{equation} s_N \le 1141 \cdot \cfrac{A_{sw}}{b_w } \label{8} \end{equation}$$

Minimalny rozstaw zbrojenia na ścinanie

Nie normuje się minimalnego rozstawu zbrojenia na ścinanie. Nie należy jednak dobierać go zbyt małego ze względów technologicznych  (zagęszczenie betonu)  i ekonomicznych ( zbyt duża robocizna).

Zalecamy aby minimalny rozstaw zbrojenia nie był mniejszy niż połowa szerokości przekroju (b/2) i 100 mm.

Wytrzymałość przekroju nie zbrojonego na ścinanie

Nośność na ścinanie elementu betonowego $V_{Rd}$ ogólnie o zbieżnym przekroju, kącie pochylenia $\alpha_c$ do poziomu nachylenia górnego (ściskanego) i kącie $\alpha_t$ pochylenia dolnego (rozciąganego) zbrojenia  oblicza się jako sumę (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, wzór (6.1)):
$$\begin{equation} V_{Rd} = V_{Rd,c} +V_{cd}+V_{td} \label{9} \end{equation}$$
gdzie (rys.1) :
$V_{Rd,c}$ – nośność elementu bez zbrojenia na ścinanie (ale ze zbrojeniem podłużnym na zginanie),
$V_{cd}= N_{su}\cdot sin\alpha_c$ –  obliczeniowa składowa siła  w w nachylonym pasie ściskanym (górnym),
$V_{td}= N_{sl}\cdot sin\alpha_t$ – obliczeniowa siła w nachylonym zbrojeniu rozciąganym (dolnym)

Rys.1. Składowe siły poprzecznej w przekroju zbieżnym

(PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, rys.6.2)

Wytrzymałość  przekroju nie zbrojonego na ścinanie  $v_{Rd,c}$ można wyznaczyć  z zależności
$$\begin{equation} v_{Rd,c}=\max{ \left \{ C_{Rd,c} \cdot k  \cdot (100 \cdot \rho_l \cdot f_{ck})^{1/3}  \, ; \, \nu_{min} \right \} }+ k_1 \cdot \sigma_{cp} \label{10} \end{equation}$$

gdzie obliczeniowy współczynnik korelacji pomiędzy wytrzymałością na ścinanie i  ściskanie wynosi
$C_{Rd,c}=C_{Rk,c}/\gamma_c = 0,18/1,4=0,129$
We wzorze ($\ref{12}$) występują ponadto współczynniki:
$k=1+\sqrt{200/d} \le 2,0$, gdzie d- wysokość użyteczna przekroju w mm,
$\nu_{min}= 0,035 \cdot k^{3/2} \cdot {f_{ck}}^{1/2}$,
$k_1=0,15 \cdot \nu_{min}$,

Naprężenia ściskające przekrój wywołane zrenętrzną siła ścioskającą $N_{Ed}$ wynoszą

$$\begin{equation}\sigma_{cp}=\dfrac{N_{Ed}}{A_c} \le 0,2 f_{cd} \label{11} \end{equation}$$

gdzie:
$A_c$ – pole przekroju betonu,
$N_{Ed}$ wartość przekrojowej siły  osiowej bez znaku.

Stopień zbrojenia na zginanie (i ew. rozciąganie) $\rho_l=\dfrac{A_{sl}}{b_w d}\le 0,02$,  wyznacza się z pola przekroju zbrojenia rozciąganego $A_{sl}$ , które sięga na odległość nie mniejszą niż  $l_{bd}+d$ poza rozważany przekrój, gdzie $l_{bd}$ jest wymagana długością zakotwienia rozciąganego pręta zbrojeniowego. Warunek uwzględnienia zbrojenia podłużnego do stopnia zbrojenia jest klasyczny jak dla zbrojenia na zginanie i został zilustrowany na rys. 2 na przykładzie belki lub płyty zginanej.

Rys.2. Określenie pola przekroju zbrojenia As do wyznaczenia stopnia zbrojenia przekroju na zginanie. lbd – wymagana długość zakotwienia pręta

(PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, rys 6.3)

W przypadku różnych stopni zbrojenia w dwóch prostopadłych kierunkach wyznacza się średnią geometryczną

$$\begin{equation}\rho_l=\sqrt{\rho_{ly}\cdot \rho_{lz}} \label {12} \end{equation}$$

W tab. 1 zestawiono wytrzymałości betonu na ścinanie $v_{Rdc}$ $(\ref{10})$ dla najczęściej stosowanego betonu C30/37 .

Tab.1 Wytrzymałość na ścinanie  $v_{Rd,c}$ [MPa]  $(\ref{10})$ betonu C30/37


W przypadku belek wykonanych z innych betonów wytrzymałość odczytaną z tab.1 należy przemnożyć przez współczynnik korekcyjny $k_v$ z tab. 2

Tab. 2 Współczynnik korekcyjny dla wytrzymałości betonu na ścinanie wg tab.1

Strefy zbrojenia na ścinanie

Przekroje poprzeczne ścinane siłami $V_{Ed}$ , takimi że nie jest spełniony warunek $(\ref{2})$ powinny być zbrojone wkładkami stalowymi na odcinku odcinek belki I-II, pokazanym na na rys. 3  Na tym odcinku wydzielono trzy strefy: A,B,C na których różnicuje się zbrojenie poprzeczne.

Zbrojenie na ścinanie rozpoczyna się w licu podpory, które jest wyznaczane  na siłę poprzeczną w licu.  Z  obliczeń statycznych najczęściej znana jest siła  nad podporą $V_{Ed,0}$. Siła poprzeczna  w licu podpory zależy przede wszystkim od kinematyki – obrotu na podporze (rys.3). Lepszym miernikiem obrotu  na podporze jest moment zginający, którego redukcję nad podporą (ścięcie „ząbka”) można oszacować analogicznie do innych typów konstrukcji na $\Delta M=\cfrac{V\cdot a }{8}$ (patrz artykuł Hale i dźwigary blachownicowe ). Ponieważ siła poprzeczna jest pochodną momentu zginającego, więc zmniejszenie siły poprzecznej wyniesie $ \Delta V=\cfrac{ \Delta M}{a}= \cfrac{V}{8}$, Przyjmiemy, że w licu podpory działa siła poprzeczna $V_{Ed,lico} \cdot(1-(1/8)/2,0 = 0,94 V_{Ed,c}$ , gdzie 2,0  jest współczynnikiem współczynnikiem  losowego odchylenia (bezpieczeństwa), czyli:

$$\begin{equation}V_{lico} = 0,94 \cdot V_{Ed,c} \label {13} \end{equation}$$

Jeśli w licu podpory  warunek $(\ref{2})$) nie jest spełniony , to wyznacza się zbrojenie na ścinanie:

a) najpierw w strefie  Z1 o długości $L_z$ na siłe $V_{Ed,s}$ – minimalną siłę poprzeczną na odcinku o długości d od lica podpory. Często na tym poprzestaje się i wyznaczone zbrojenie rozkłada na całym odcinku I-II, ale jeśli odcinek I-II jest długi, to w celu zoptymalizowania ilości stali różnicuje się zbrojenie w strefach Z2 i Kz, w taki sposób, że

b)  w strefie  Kz o długości $L_z$  daje się minimalne zbrojenie na ścinanie (czyli konstrukcyjne na siłę $ V_{Rd,c}$

c) w pozostałej strefie Z2  na  minimalną siłę $V_{Ed}$ na tym odcinku.

Rys 3. trefy zbrojenia elementu żelbetowego

(opracowano z wykorzystaniem fragmentów rysunku (Knauff, Golubińska, Knyziak, 2015, rys 14.11))

Długość strefy zbrojenia $L_z$ dobiera się po wyznaczeniu kąta nachylenia krzyżulca betonowego

$$\begin{equation} L_z=z \cdot ctg \Theta  \label {14} \end{equation}$$

w którym z=0,9 d – ramię sił wewnętrznych, występujące w $(\ref{1}) $ (d- wysokość użyteczna przekroju), a kąt nachylenia krzyżulca betonowego $\Theta$ wyznaczono w rozdziale: kąt nachylenia krzyżulca betonowego

Ścinanie poprzeczne (pionowe) belek

W normie  (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008)  wprowadzono  metodę wyznaczania nośności przekroju na zginanie z uwzględnieniem działania krzyżulca betonowego nachylonego pod kątem $\Theta$.  Kąt nachylenia krzyżulca betonowego  zmienia się w zależności od siły ścinającej stosowane w sposób pokazany na rys.4.

Rys. 4. Ściskany krzyżulec betonowy tworzony podczas ścinania belki

(Bond, Brooker, Harris, Harrison, Moss, Narayanan, 2006, fig 4)

Maksymalna wytrzymałość betonu na ścinanie ( krzyżulca betonowego)  $v_{Rd,max}$ na podstawie (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, wzór (6.14)) wynosi
$$\begin{equation} v_{Rd,max} =  \alpha_{cw} \cdot \nu_1  \cdot f_{cd} \cdot \cfrac { ctg \Theta + ctg \alpha } {1+ctg^2 \Theta} \label {15} \end{equation}$$

Kąt nachylenia krzyżulca betonowego

Doświadczenia  pokazują, że kąt nachylenia krzyżulca betonowego $\Theta$  (rys.4) może przyjmować wartości z dość dużego zakresu, a mianowicie (wg oryginalnej normy EC2)
$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta \le 2,5 \label{16} \end{equation}$$

W polskim załączniku krajowym do normy (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008) zalecono nieco mniejszy zakres, a mianowicie  :

$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta \le 2,0 \label{17} \end{equation}$$

czyli  $26,7^o \le \Theta \le 45^o$.

Maksymalne  wytrzymałości betonu belki na ścinanie dla skrajnych wartości kąta  $\Theta$ zestawiono w tab3.

Najkorzystniejsze jest nachylenie krzyżulca betonowego pod kątem $45^o$ ($ctg \Theta=1$,),  a dla $ctg \Theta=2,5$ nachylenie jest najmniej korzystne.  Ze względów technologicznych strzemiona najczęściej daje się pionowo,

Tab.3 Maksymalna nośność betonu na ścinanie $v_{Rd,max}$  [MPa] $( \ref{16})$ przy zastosowaniu pionowego zbrojenia na ścinanie
w zależności od kąta nachylenia krzyżulca betonowego

W praktyce konkretna wartość $\Theta$ wyznacza się  w algorytmie przedstawionym na rys. 6.   W pierwszym kroku wyznacza się nośność krzyżulca betonowego z zależności ($\ref{15}$) dla wiekszej z z wartości skrajnych $ctg \Theta$, czyli 2,5 wg Eurokodu lub 2,0  wg polskiego załącznika. Tak wyznaczona nośność najmniejsza nośność krzyżulca porównuje się z naprężeniem ścinającym $v_{Ed}$.

Jeśli nośność $v_{Rd,max} ( ctg \Theta = 2,5 lub 2,0 ) > v_{Ed}$ . czyli jest wystarczająca do przeniesienia siły zewnętrznej, to przyjmuje się, że $ctg\Theta =2,5 (lub 2,0)$ i przechodzi do wyznaczenia zbrojenia

Jeśli nośność $v_{ Rd,max} (ctg \Theta = 1,0 ) <  v_{Ed}$, to przerywa obliczenia w celu korekty (powiększeni) przekroju.

W przypadku pośrednim kąt $\Theta$ wyznacza się w stanie granicznym z równania  $v_{Rd,max}= v_{Ed}$ . W ogólnym przypadku równanie , ($\ref{15}$) = ($\ref{1}$). można rozwiązać iteracyjnie, a dla najczęstszego przypadku: pionowych strzemion,  po  zastosowaniu tożsamości trygonometrycznych:  $ ctg \Theta + tg \Theta = 1/ (sin \Theta \cdot cos \Theta) =  2 / sin(2 \Theta)$ , uzyskamy

$$\begin{equation} \Theta= 1/2 \cdot arcsin \left ( \cfrac{ 2 \cdot v_{Ed}}{ \nu_1 \cdot \alpha_{cw} \cdot f_{cd}} \right) \label{18} \end{equation}$$

Rys. 6. Schemat blokowy projektowania przekroju strzemion pionowych  Asw

( (Bond et al., 2006, fig 2) dostosowane do polskiej normy)

W wyrażeniach powyżej występują:
$\alpha$ – kąt nachylenia zbrojenia na ścinanie (krzyżulców lub prętów ukośnych) do osi belki- dodatni przy pochyleniu zbrojenia w lewo (lewoskrętny),
$\Theta$ – kąt nachylenia do osi belki ściskanego krzyżulca betonowego równoważącego się w zbrojeniu na ścinanie , czyli pochylonego w prawo,
$z$ – ramię sił podłużnych: ściskających $F_{cd}$ oraz rozciągających $F_{td}$ , które zwykle w przekrojach bez działania siły osiowej, przyjmuje się $z=0,9d$.
$b_w$ – szerokość strefy rozciąganej belki. Dla przekrojów teowych jest grubością środnika, a belce o przekroju prostokątnym $b_w=b$,
$A_{sw}$ pole przekroju zbrojenia na ścinanie.,
$f_{ywd}= f_{yd}$ – obliczeniowa wytrzymałość ścinanego zbrojenia  na rozciąganie (obliczeniowa granica plastyczności stali)
Współczynnik redukcji naprężeń w betonie zarysowanym przy ścinaniu (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, wzór (6.6N)):
$$\begin{equation}  \nu_1= \nu= 0,6 \cdot (1-\cfrac {f_{ck}} {250} )  \label{19} \end{equation}$$
Na rys. 5 zilustrowano powyżej zdefiniowane pojęcia.

Współczynnik  naprężeń dla pola ściskanego $\alpha_{cw}$ zależy od stopnia ściskania  przekroju naprężeniami $n_{cp}= \cfrac{\sigma_{cp}}{f_{cd}}$, gdzie  $\sigma_{cp}$ $(\ref{11})$ z zależności

$$\begin{equation}  \alpha_{cw}= \begin{cases}
1,0 , & \text { dla } n_{cp}=0 \\
1+n_{cp}, & \text { dla  } 0 < n_{cp} \le 0,25 \\
1,25 , & \text { dla }  0,25 < n_{cp} \le 0,5 \\
2,5\cdot ( 1 -n_{cp} ), & \text { dla }  0,5< n_{cp} \le 1,0 \\
\end{cases} \label{20} \end{equation}$$

Rys.  5. Model kratownicowy ścinania belki żelbetowej

Przekrój zbrojenia poprzecznego i nośność przekroju zbrojonego

Dla znanego kąta nachylenia krzyżulca betonowego $ \Theta$ potrzebny przekrój zbrojenia poprzecznego $A_{sw}$ rozmieszczony na długości $s$ (rozstawie zestawów) wynosi

$$\begin{equation} \cfrac{A_{sw}}{s}= \cfrac{v_{Ed}\cdot b_w}{f_{ywd} \cdot ctg \Theta} \label{21} \end{equation}$$

Wytrzymałość zbrojenia na ścinanie $v_{Rd,s}$  (strzemion lub prętów odgiętych nachylonych pod kątem $\alpha$ do osi belki ( dodatni przy pochyleniu zbrojenia w lewo (lewoskrętny) – na podstawie (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, wzór (6.13)) wynosi

$$\begin{equation} v_{Rd,s} =  \cfrac {A_{sw}} {s \cdot b_w} \cdot  f_{ywd} \cdot \sin\alpha  \label{22} \end{equation}$$

Wytrzymałość  przekroju zbrojonego na ścinanie jest mniejszą z powyższych wartości $( \ref{15})$ , $(\ref{22})$

$$\begin{equation} v_{Rd} = \min { \left \{ v_{Rd,s} \, ; \,  v_{Rd,max} \,\right  \} }  \label{23} \end{equation}$$

Ścinanie podłużne

Ścinanie podłużne występuje na skutek działania sił rozwarstwiających płytę od żebra. Na rys. 7 przedstawiono wycinek $\Delta x$ płyty z żebrem. Na końcu A-A siły ściskające płytę (od zginania) wynoszą $F_d$, a na końcu przeciwnym $F_d + \Delta F_d$. Różnica tych sił wywołuje siły rozwarstwiające, które ścinają przekrój podłużny płyty i zbrojenie $A_{sf}$.

Rys. 7 Ścinanie podłużne przekroju teowego

(Bond et al., 2006, fig 13)

Badania wykazują, że kąt nachylenia krzyżulca betonowego $\Theta_f$ zależy od tego, czy półka (płyta) jest ściskana , czy rozciągana.
Jeżeli półka jest ściskana, to przyjmuje się
$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta_f \le 2,0 \label{24} \end{equation}$$
Jeżeli półka jest rozciagana , to przujmuje się
$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta_f \le 1,25 \label{25} \end{equation}$$
Mechanizm zmiażdżenia ściskanych krzyżulców betonowych w półce prowadzi do warunku granicznego (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, wzór (6.22))
$$\begin{equation} v_{Ed} \le \nu \cdot f_{cd} \cdot sin \Theta_f \cdot cos \Theta_f \label{26} \end{equation}$$
przy czym zachodzi tożsamość trygonometryczna: $(sin \Theta_f \cdot cos \Theta_f) = \cfrac {ctg \Theta_f}{1+ ctg^2 \Theta_f}$.
Zbrojenie poprzeczne na jednostkę długości wyznacza sie z zależności
$$\begin{equation} \cfrac{A_{sf}}{s_f} > \cfrac{v_{Ed} \cdot h_f}{f_{yd} \cdot ctg \Theta_f} \label{27} \end{equation}$$
Wyznaczenie zbrojenia $A_{sf}$ przeprowadza się według schematu, który pokazano na rys. 8.

Rys.  8 Schemat blokowy do wyznaczania zbrojenia Asf na siły rozwarstwiające

((Bond et al., 2006, fig 14) dostosowane do polskiej normy)

Przykłady numeryczne projektowania zbrojenia na ścinanie podłużne podano w artykule dotyczącym płyt żelbetowych.

Ścinanie przez przebicie

Ścinanie przez przebicie przedstawiono w artykule Przebicie płyty żelbetowej.

Ścinanie elementu wyodrębnionego z konstrukcji

Zbrojenie na ścinanie wyodrębnionego elementu konstrukcji w większości przypadków z wystarczająca dla praktyki dokładnością można wyznaczyć na elemencie zastępczym.

W szczególnych sytuacjach, przede wszystkim przy działaniu znacznych sił skupionych w przęśle rozkład sił poprzecznych należy przyjmować z obliczeń statycznych najczęściej prowadzonych metodą MES.

Element zastępczy

Rozpatrzmy wyodrębnioną z konstrukcji belkę zastępczą pokazaną na rys.  R-9 , w której siły poprzeczne rozłożone są podług zależności

$$\begin{equation} V_{Ed} (\xi) = \cfrac{\Delta M_{Ed}}{L} + q_{z,Ed} \cdot (1/2-\xi) \label{28} \end{equation}$$

gdzie:
$\Delta M=M_L-M_0$ – różnica momentów podporowych
$\xi=x/L \in (o,,L )$ – względna rzędna liczona od lewej podpory
$q_{z,Ed} = \cfrac{2}{L^2} \left[ 2\cdot (M_{max} \pm M_w – (M_0 +M_L) \right ]$ – równomiernie rozłożone obciążenie zastępcze wg zależności (R-64).

Zakres (ze zbrojeniem minimalnym II-II

Z ($\ref{1}$) wyznaczamy naprężenia  $v_{Ed}(\xi)$ i po porównaniu wartości bezwzględnej z $v_{R,dc}$ ($\ref{10}$) otrzymamy granicę  II strefy zbrojenia poprzecznego (rys.3):

$$\begin{equation} \xi_{II} = \cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{q_{z,Ed}}\cdot \left( \cfrac{\Delta M_{Ed}}{L} \pm A_v \cdot v_{Rd,c} \right)  \label{29} \end{equation}$$

W ogólnym przypadku, rzędne wykresu naprężeń poprzecznych są znane z metody MES w dyskretnych punktach.

W tym przypadku, idąc od miejsca największych sił najpierw poszukujemy dyskretnego punktu o rzędnej ,$\xi_k$ w którym warunek ($\ref{2}$) już jest spełniony ($v_{Ed,k} <v_{Rd,c}$ . Biorąc poprzedni punkt $\xi_{(k-1)}$ z siłą $v_{Ed, (k-1)} > v_{Rd,c}$ z interpolacji liniowej uzyskujemy teoretyczną rzędną $\xi_{II}$

$$\begin{equation} \xi_{II} = \xi_{(k-1)} +\cfrac{v_{Rd,c} -v_{Ed,(k-1)}}{v_{Ed,k} -v_{Ed,(k-1)}} \cdot (\xi_{k}-\xi_{(k-1)}) \label{30} \end{equation}$$

Punkt teoretyczny  $(\ref{28})$ lub $(\ref{30})$ przesuwamy w kierunku podpory o odcinek $L_z= z \cdot ctg \Theta= 0,9 \cdot d_l \cdot ctg \Theta$, ale nie dalej niż $L_z$ od podpory.

Przykłady

Przykład S-1 [Małe ścinanie]

(Bond et al., 2006, Lecture3/24)
Korzystamy z algorytmu przedstawionego na rys.5
Wyznaczyć zbrojenie poprzeczne belki ścinanej siłą poprzeczną $V_{Ed}$=705 kN.
Belka o przekroju hxb=1000×450 wykonana z betonu C30/37- B500: ($f_{ck}=500\, MPa,$  $f_{yd} =500/1,15=435 \, MPa$.
Otulenie osiowe zbrojenia dolnego a=66 mm, wysokość efektywna przekroju $d=1000-66=934 \, mm$

Naprężenia ścinające
$(\ref {1})$$\to $ $v_{Ed} = \cfrac{V_{Ed}} {b_w \cdot 0,9 \cdot d}= \cfrac{705}{450 \cdot 0,9 \cdot 934} \cdot 10^3= 1,68 \, MPa$
Z tab 3 odczytujemy dla betonu C30/37:
$v_{Rd,max} (ctg \Theta=2,0)= 4,526 \, MPa$,
$v_{Rd, max} = 4,526 \, > \, 1,68 \, MPa \to ctg \Theta=2,0$.

Przekrój zbrojenia poprzecznego
$(\ref{21}) \to $  $A_{sw}/s= \cfrac {1,68 \cdot 450}{435 \cdot 2,0} = 0,87 \, mm^2/mm$
Przyjęto strzemiona  Ø 10, 4-cięte:  $A_{sw} = 4 \cdot \cfrac{ \pi \cdot 10^2}{4}= 314 \, mm^2$

Rozstaw strzemion $s \, < 314/0,87 =361 \, mm \to$ przyjęto $s=350 \, mm$
Wymagany maksymalny rozstaw zbrojenia poprzecznego
$(\ref {5}) \to $ $ s_{l,max}= 0,75\cdot 934= 700 \, > 350 \, mm$
$(\ref{7}) \to $ $ s_{l,max}=12,5 \cdot \cfrac{314\cdot 500}{450 \cdot \sqrt{31}}=796 \, > 350 \, mm$

Przykłąd S-2 [Większe ścinanie ]

(Bond et al., 2006, Lecture3/31)
Korzystamy z algorytmu przedstawionego na rys.5
Wyznaczyć zbrojenie poprzeczne dla belki ścinanej siłą poprzeczną $V_{Ed}$=312,5 kN,  przekroju hxb=550×140 , wykonanej z C30/37-B500
Otulenie osiowe zbrojenia dolnego a=50 mm, wysokość efektywna przekroju $d=550-50=500 \, mm$
$(\ref{1}) \to $ $v_{Ed} = \cfrac{312,5}{140 \cdot 0,9 \cdot 500} \cdot 10^3= 4,96 \, MPa$
Zastosować  strzemiona pionowe $\alpha=90^0$
Z tab.3 odczytujemy dla betonu C30/37:
$v_{Rd,max} (ctg \Theta=2,0)= 4,526 \, MPa$;
$v_{Rd,max} (ctg \Theta=1,0)= 5,657 \, MPa$ ,
$\nu_1=0,528 $,
$f_{cd}=30/1,4= 21,4 \, MPa$

Zachodzi  $ 4,53\, < \, v_{Ed}=4,96 \, < \, 5,66 \, MPa \to $ należy wyznaczyć $\Theta$.
Kąt nachylenia krzyżulca betonowego
$(\ref{18}) \to$ $ \Theta= 1/2 \cdot  arcsin (2\cdot 4,96 / (0,528 \cdot 1,0 \cdot 21,4 )=0,5358 \,rad=30,7^o \to ctg \Theta= 1,684 $

Wymagane zbrojenie poprzeczne
$(\ref{21}) \to $ $A_{sw}/s=\cfrac {4,96 \cdot 140} {500 \cdot 1,684}= 0,825 \, mm^2/mm$
Przyjęto strzemiona  Ø 10, 2-cięte:  $A_{sw} = 4 \cdot \cfrac{ \pi \cdot 10^2} {4} = 157 \, mm^2$
Rozstaw strzemion $s \, < 157/0,825=190 \, mm \to$ przyjęto $s=190  \, < 0,75 \cdot 500=375 \, mm$
Strzemiona w tym rozstawie należy ułożyć  od lica podpory  na długości  $l_w= z \cdot ctg \Theta= 0,9 \cdot 500 \cdot 1,684= 758 \,mm$,
Przyjęto $l_w= 4 \cdot 200= 800 \, mm$.
Na pozostałej części belki strzemiona można rozstawić w odległości  l < 0,75 \cdot 500=375 \, mm$.

Przykład S-3 [Zbrojenie strzemionami i prętami odgiętymi ]

(Knauff, Golubińska, Kryziak, 2014, Prz.16.6)
Swobodnie podparta belka teowa o rozpiętości l_{ef}=3×1,2=6 m, o przekroju 300x 450 (d) jest obciążona obliczeniowymi siłami skupionymi P=550 kN (rys. 9), wykonana z  C25/30- B500 $ (f_y= 500/1,15=435 \, MPa$).
Teoretyczna reakcja w ścianie wynosi $V=550 \, kN$. moment zginający w licu ściany $M_{Rd,lico}= 550\cdot 0,15= 82,5 \’ kNm, a pod siłą skupioną $M_{Ed,P}= 550\cdot 1,2= 660 \, kNm$

Rys.  9 Ilustracja do przykładu 3.3.

(Knauff, Golubińska, Kryziak, 2014, Prz.16.6)

Siła poprzeczna na podporze $V_{Ed}=550 \, kN$
Rozważono dwa warianty zbrojenia poprzecznego:
a) tylko strzemiona pionowe,
b) hybrydowe złożone ze strzemion pionowych i prętów odgiętych
W przypadku zastosowania zbrojenia hybrydowego nośność prętów odgiętych i nośność strzemion sumuje się, ale strzemiona muszą zapewnić przynajmniej 50% wymaganej nośności.
W wariancie a):
Korzystamy z algorytmu przedstawionego na rys.5
$(\ref {1}) \to $ $v_{Ed} = \cfrac{550}{300 \cdot 0,9 \cdot  450} \cdot 10^3= 4,53 \, MPa$
Z tab.3 odczytujemy dla betonu C25/30:
$f_{cd}=25/1,4= 17,9 \, MPa$,
$\nu_1=0,540$,
$v_{Rd,max}(ctg \Theta=2,0)= 3,857 \, MPa$,
$v_{Rd,max} (ctg \Theta=1,0)= 4,821 \, MPa$

Zachodzi  $ 3,857  \, < \, v_{Ed}=4,53 \, < \, 4,821 \, MPa \to $ należy wyznaczyć $\Theta$.

Kąt nachylenia krzyżulca betonowego
$(\ref {21}) \to $ $ \Theta= 0,5 \cdot arcsin (2\cdot 4,53/(0,540\cdot 17,9 )=0,6074 \, rad= 34,8^o \to ctg \Theta= 1,438 $
W pracy (Knauff, Golubińska, Kryziak, 2014, Prz.16.6) inną metodą uzyskano $ctg \Theta= 1,432 $

Przyjęto strzemiona  Ø 8 czterocięte $A_{sw}= \cfrac{4 \pi[8^2}{4}=201 \, mm^2$

Wymagany rozstaw dla znanego pola przekroju otrzymamy po przekształceniu zależności ($\ref{21}$):

$ s \le  \cfrac {201 \cdot 435} {4,53 \cdot 300} \cdot 1,438= 93  < 100 \, mm $

Ponieważ wymagany rozstaw strzemion jest zbyt mały, więc podjęto decyzję o zastosowaniu zbrojenia hybrydowego , również prętami odgiętymi (wariant b).
W celu zwiększenia rozstawu między strzemionami, przedział przypodporowy dodatkowo zbrojono prętami odgiętymi. Nośność przekroju jest sumą nośności prętów odgiętych oraz strzemion.

Ze względów konstrukcyjnych zastosowano cztery pręty odgięte Ø 20  pod kątem $\alpha=45^o$
$A_{sw}= 4 \cdot \cfrac{\pi \cdot 2^2}{4}=12,57 \, cm^2$

$(\ref {22})$ $\to $ nośność prętów odgiętych  $ v_{Rd,s} =  \cfrac {12,57} {1} \cdot  435 \cdot \sin 45^o \cdot 10^{-1} =386,6 \, kN$

Do przeniesienia przez strzemiona pozostaje  $ V_{Ed} = 550-386,6=163,4 \, kN <  0,5 \cdot 550  =275 \, kN \to V_{Ed}=275 \, kN$
Dla takiej siły naprężenia styczne wynoszą:  $v_{Ed} = \cfrac{275}{300 \cdot 0,9 \cdot  450} \cdot 10^3= 2,26 \, MPa \, < \, 3,33 \, MPa$ $\to ctg \Theta= 2,0$

Wymagany rozstaw $ s \le  \cfrac {201 \cdot 435}  {2,26 \cdot 300} \cdot 2,0= 258 \, mm $

Przykład S-4 [Zbrojenie profilem stalowym ]

Dla belki przedstawionej w przykładzie S-3 zamiast prętów odgiętych zastosować zbrojenie profilem stalowym zastosowaniem  rozwiązania z  rys.10 ze strzemionami otwartymi spawanymi do środnika profilu dwuteowego (zgodnie z  (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008, rys. 6.10 Typ.2).

Rys. 10 Przekrój zespolony  do przykładu ścinania

Dane ogólne

Przyjęto stal konstrukcyjną S355 o wytrzymałości obliczeniowej – współczynnik materiałowy $\gamma_{M0}=1,0$:
na rozciąganie $f_y=355 \, MPa$
na ścinanie  $f_{yv}= \cfrac{f_y}{\sqrt{3} \cdot \gamma_{M0}}= \cfrac{355}{\sqrt{3} \cdot 1,0}= 205,0 \, MPa$

Ścinanie i zginanie dwuteownika stalowego

Potrzebne pole przekroju środnika do przeniesienia całkowitej siły $V_{Ed}= 550 \, kN$

$A_v \ge \cfrac{550}{205}\cdot q0^1= 26,8 cm^2$

Przyjęto HEA  260 :
$A_v= 28,7 \, cm^2$
$W_{y,pl}= 919,7 \, cm^3$

Sprawdzenie, czy dwuteownik może przenieść całkowity moment zginający na odcinku przypodporowym

Nośność dwuteownika na zginanie

$M_R=355 \cdot 919,7 *10^(-3) = 326, 5 < M_{Ed,P} =660  kNm \to$ HEA 260 nie przeniesie sam momentu zginającego pod siłą skupioną, a jedynie do rzędnej $x= 326,5/550=0,6 \,m

Współpraca strzemion  i zbrojenia sztywnego

Zgodnie z (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008, kl. 6.3.3(3)) rozdział całkowitej siły ścinającej $V_{Ed}$ na część przypadającą na profil stalowy $V_{a,Ed}$i część przypadającą na beton otaczający środnik $V_{c,Ed}$  przyjmuje się w takim samym stosunku jak  udział przekroju stalowego i żelbetu obetonowania środnika w nośności na zginanie M_{pl,Rd}.

W tym przykładzie rozdział przyjmujemy zgodnie z rys. 11

Rys.. 11 Nośność na zginanie przekroju zespolonego bez płyty żelbetowej

Nośność przekroju stalowego wynosi
$M_{a,Rd}= 326, 5 \, kNm$
Nośność żelbetu obetonowania środnika liczona jak dla przekroju prostokątnego żelbetowego 300x 250 (wysokość)  – C30/37 -B 500 zbrojonego dołem $4 \Phi 16$ (obliczona w odrębnym zadaniu wynosi

$M_{c,Rd}= 119,,5 \, kNm$

Stosunek nośności wynosi $k_{R,ac}= \cfrac{119,5}{326,5} = 0,37$

Strzemiona powinny przenieść siłę poprzeczną $V_{c,Ed}=0,37 \cdot 550 = 203,5 \, kN$

Dla takiej siły naprężenia styczne wynoszą:  $v_{Ed} = \cfrac{203,5}{300 \cdot 0,9 \cdot  250} \cdot 10^3= 3,01 \, MPa \, < \, 3,33 \, MPa$ $\to ctg \Theta= 2,0$

Przyjęto strzemiona  Ø 10 dwucięte $A_{sw}= \cfrac{2 \pi[10^2}{4}=113 \, mm^2$

Wymagany rozstaw $ s \le  \cfrac {113 \cdot 435}  {3,01 \cdot 300} \cdot 2,0= 157 \, mm $ Przyjęto s=150 mm

Łączniki zespolenia

Zespolenie przekroju stalowego z żelbetem uzyskano poprzez zastosowanie łączników typu Nelson.

Otulenie profilu oraz zbrojenie przypowierzchniowe

Otulenie profilu powinno spełniać wymogi pożarowe zgodnie z normą (PN-EN 1994-1-2, 2008).

Uzyskane otulenie boczne $c_z= 20 \, mm$ spełnione sa wymagania dla R30 Dla innych klas odporności ogniowej należy poszerzyć belkę:  dla R180 – o 60  mm (tak aby $c_z= 50 \, mm$

Zastosowano zbrojenie przypowierzchniowe zgodnie (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, Zał. J).

Uwaga  o optymalności rozwiązań

Współczesne rozwiązania konstrukcyjne belek szczególnie leżącą na nich płytą stropową zmierzają współcześnie w kierunku stosowania konstrukcji zespolonych zamiast  czystych rozwiązań żelbetowych zarówno w warunkach dużego zginania jak ścinania. Rozwiązania zespolone są o ok 20 do 40% bardziej optymalne.  W przykładzie S-4 wskazano na mniej istotny aspekt zagadnienia –  ścinanie przekroju zespolonego, a największe korzyści uzyskano by po włączeniu profilu stalowego do zginania belki. Nie jest to jednak przedmiotem przykładów w niniejszym artykule.

Literatura

Bond, A. J., Brooker, O., Harris, A. J., Harrison, C., Moss, R. M., & Narayanan, R. S. (2006). How to Design Concrete Structures using Eurocode 2 (A cement and concrete industry publication). Camberley: The Concrete Centre.
Knauff, M., Golubińska, A., & Knyziak, P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN.
Knauff, M., Golubińska, A., & Kryziak, P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z  przykładami obliczeń (drugie). Warszawa: PWN.
PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1:  Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC. Eurokod 4 -Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo-betonowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1994-1-2. Eurokod 4 -Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo-betonowych- Część 1-2: Reguły ogólne -Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe (2008). UE: PKN.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »