Ścinanie belek żelbetowych

Siły i naprężenia poprzeczne

Przekroje betonowe w odróżnieniu od stalowych są bardzo wrażliwe na ścinanie, które jest nieodłącznie związane ze zginaniem. Zbrojenie na ścinanie wykonuje się w formie zamkniętych strzemion, najczęściej pionowych. Rzadziej obok strzemion stosuje się pręty odgięte zbrojenia podłużnego lub strzemiona ukośne. Wprowadzanie prętów odgiętych lub ukośnych można stosować wyłącznie w przypadkach specjalnych, wówczas, gdy maksymalne zbrojenie strzemionami okaże się niewystarczające.Przy tym nośność samych strzemion musi zapewnić przynajmniej 50% nośności całego zbrojenia.

W zagadnieniu ścinania przekrojów żelbetowych posługuje się pojęciem obliczeniowych, poprzecznych sił przekrojowych $V_{Ed}$ i  nośności przekroju $V_{Rd}$ lub naprężeń stycznych $v_{Ed}$ i wytrzymałości przekroju na ścinanie $v_{Rd}$:
$$\begin{equation}  v_{Ed}=\cfrac {V_{Ed}}{A_v}  \quad ; \quad  v_{Rd}=\cfrac {V_{Rd}}{A_v} \label{1} \end{equation}$$

gdzie pole przekroju ścinania $A_v= b_w \cdot z$.
Ramię sił wewnętrznych, występujące w (W-10) przyjmuje się w $(\ref{1})$ jako $z=0,9 \cdot d_l$, gdzie $d_l$ jest wysokością użyteczną przekroju dla zbrojenia rozciąganego (dolnego) $d_l=h-a_l$. Wymiar  $b_w$ jest szerokością  żebra (środnika) przekroju teowego/dwuteowego  lub szerokością przekroju prostokątnego ,

Wymagania konstrukcyjne

Minimalne zbrojenie poprzeczne na ścinanie

W tych miejscach elementu, w których obliczeniowe naprężenia styczne $v_{Ed}$ wywołane obciążeniami zewnętrznymi  spełniają warunek

$$\begin{equation} v_{Ed} \le v_{Rd,c}  \label{2} \end{equation}$$

gdzie $v_{Rd,c}$ – wytrzymałość przekroju nie zbrojonego na ścinanie ($\ref {12}$),

zbrojenie na ścinanie nie jest wymagane, ale w takim przypadku w belkach należy zastosować zbrojenie minimalne na ścinanie, służące do wiązania zbrojenia podłużnego, o polu przekroju spełniającym warunek stopnia zbrojenia [1], wzór (9.4) :

$$\begin{equation} \rho_w=\cfrac{A_{sw}}{s b_w sin \alpha} \ge \rho_{w,min}\label{3} \end{equation}$$
gdzie:
$A_{sw}$ jest polem przekroju pojedynczego zestawu zbrojenia na ścinanie (np. dwóch strzemion , jeśli zastosowano podwójne),
$s$- rozstaw zestawów zbrojenia po długości pręta.
$\alpha$ – kąta nachylenia zestawu zbrojenia do poziomu.
Minimalny stopień zbrojenia wyznacza się  z zależności [1],wzór (9.5N)
$$\begin{equation} \rho_{w,min} =0,08 \cdot  \sqrt{f_{ck}} /f_{yk} \label{4} \end{equation}$$

Poprzeczne zbrojenie minimalne należy więc stosować na całej długości belki i zagęszczać w obszarach nie spełniających warunku $(\ref{2})$. Minimalne zbrojenie na ścinanie nie jest wymagane w płytach (pełnych, z żebrami lub kanałami), w których możliwa  jest poprzeczna redystrybucja obciążeń. lub mniej ważnych belkach (np nadproża o rozpiętości mniejszej niż 2 m) , które nie wpływają w istotny sposób na ogólną nośność i stateczność konstrukcji.

Maksymalny rozstaw zbrojenia na ścinanie

Maksymalny rozstaw zbrojenia jest unormowany niezależnie od wymogu minimalnego pola przekroju zestawu zbrojenia $(\ref{3})$ i wynosi [1],wzory (9.6N;) (9.8N):
$$\begin{equation} s_{l,max}= 0,75 \cdot d \cdot (1+ctg \alpha) \le 600 \label{5} \end{equation}$$
W przypadku prętów odgiętych ich maksymalny rozstaw podłużny powinien wynosić [1],wzór (9.7N):
$$\begin{equation} s_{l,max}= 0,6 d(1+ctg \alpha) \label{6} \end{equation}$$
Z wymagań dotyczących minimalnego zbrojenia poprzecznego wynika, że podłużny rozstaw zestawów powinien spełniać warunek:
$$\begin{equation} s \le 12,5 \cdot \cfrac{A_{sw}\cdot f_y}{b_w sin \alpha \cdot \sqrt{f_{ck}}} \label{7} \end{equation}$$
Warunek $(\ref{4})$ powinien być spełniony na całej długości elementu. Dla najczęściej stosowanego żelbetu C30/37-B500 i strzemion pionowych mamy stąd
$$\begin{equation} s_N \le 1141 \cdot \cfrac{A_{sw}}{b_w } \label{8} \end{equation}$$

Minimalny rozstaw zbrojenia na ścinanie

Nie normuje się minimalnego rozstawu zbrojenia na ścinanie. Nie należy jednak dobierać go zbyt małego ze względów technologicznych  (zagęszczenie betonu)  i ekonomicznych ( zbyt duża robocizna).

Zalecamy aby minimalny rozstaw zbrojenia nie był mniejszy niż połowa szerokości przekroju (b/2) i 100 mm.

Wytrzymałość przekroju nie zbrojonego na ścinanie

Nośność na ścinanie elementu betonowego $V_{Rd}$ ogólnie o zbieżnym przekroju, kącie pochylenia $\alpha_c$ do poziomu nachylenia górnego (ściskanego) i kącie $\alpha_t$ pochylenia dolnego (rozciąganego) zbrojenia  oblicza się jako sumę [1], wzór (6.1):
$$\begin{equation} V_{Rd} = V_{Rd,c} +V_{cd}+V_{td} \label{9} \end{equation}$$
gdzie (rys.1) :
$V_{Rd,c}$ – nośność elementu bez zbrojenia na ścinanie (ale ze zbrojeniem podłużnym na zginanie),
$V_{cd}= N_{su}\cdot sin\alpha_c$ –  obliczeniowa składowa siła  w w nachylonym pasie ściskanym (górnym),
$V_{td}= N_{sl}\cdot sin\alpha_t$ – obliczeniowa siła w nachylonym zbrojeniu rozciąganym (dolnym)

Rys.1. Składowe siły poprzecznej w przekroju zbieżnym [1], rys.6.2

Wytrzymałość  przekroju nie zbrojonego na ścinanie  $v_{Rd,c}$ można wyznaczyć  z zależności [1], wzory (6.2a), (6.2b)
$$\begin{equation} v_{Rd,c}=\max{ \left \{ C_{Rd,c} \cdot k  \cdot (100 \cdot \rho_l \cdot f_{ck})^{1/3}  \, ; \, \nu_{min} \right \} }+ k_1 \cdot \sigma_{cp} \label{10} \end{equation}$$

gdzie obliczeniowy współczynnik korelacji pomiędzy wytrzymałością na ścinanie i  ściskanie wynosi
$C_{Rd,c}=C_{Rk,c}/\gamma_c = 0,18/1,4=0,129$
We wzorze ($\ref{12}$) występują ponadto współczynniki:
$k=1+\sqrt{200/d} \le 2,0$, gdzie d- wysokość użyteczna przekroju w mm,
$\nu_{min}= 0,035 \cdot k^{3/2} \cdot {f_{ck}}^{1/2}$,
$k_1=0,15 \cdot \nu_{min}$,

Naprężenia ściskające przekrój wywołane zrenętrzną siła ścioskającą $N_{Ed}$ wynoszą

$$\begin{equation}\sigma_{cp}=\dfrac{N_{Ed}}{A_c} \le 0,2 f_{cd} \label{11} \end{equation}$$

gdzie:
$A_c$ – pole przekroju betonu,
$N_{Ed}$ wartość przekrojowej siły  osiowej bez znaku.

Stopień zbrojenia na zginanie (i ew. rozciąganie) $\rho_l=\dfrac{A_{sl}}{b_w d}\le 0,02$,  wyznacza się z pola przekroju zbrojenia rozciąganego $A_{sl}$ , które sięga na odległość nie mniejszą niż  $l_{bd}+d$ poza rozważany przekrój, gdzie $l_{bd}$ jest wymagana długością zakotwienia rozciąganego pręta zbrojeniowego. Warunek uwzględnienia zbrojenia podłużnego do stopnia zbrojenia jest klasyczny jak dla zbrojenia na zginanie i został zilustrowany na rys. 2 na przykładzie belki lub płyty zginanej.

Rys.2. Określenie pola przekroju zbrojenia As do wyznaczenia stopnia zbrojenia przekroju na zginanie. lbd – wymagana długość zakotwienia pręta [1], rys. 6.3

W przypadku różnych stopni zbrojenia w dwóch prostopadłych kierunkach wyznacza się średnią geometryczną

$$\begin{equation}\rho_l=\sqrt{\rho_{ly}\cdot \rho_{lz}} \label {12} \end{equation}$$

W tab. 1 zestawiono wytrzymałości betonu na ścinanie $v_{Rdc}$ $(\ref{10})$ dla najczęściej stosowanego betonu C30/37 .

Tab.1 Wytrzymałość na ścinanie  $v_{Rd,c}$ [MPa]  $(\ref{10})$ betonu C30/37


W przypadku belek wykonanych z innych betonów wytrzymałość odczytaną z tab.1 należy przemnożyć przez współczynnik korekcyjny $k_v$ z tab. 2

Tab. 2 Współczynnik korekcyjny dla wytrzymałości betonu na ścinanie wg tab.1

Strefy zbrojenia na ścinanie

Przekroje poprzeczne ścinane siłami $V_{Ed}$ , takimi że nie jest spełniony warunek $(\ref{2})$ powinny być zbrojone wkładkami stalowymi na odcinku odcinek belki I-II, pokazanym na na rys. 3  Na tym odcinku wydzielono trzy strefy: A,B,C na których różnicuje się zbrojenie poprzeczne.

Zbrojenie na ścinanie rozpoczyna się w licu podpory, które jest wyznaczane  na siłę poprzeczną w licu.  Z  obliczeń statycznych najczęściej znana jest siła  nad podporą $V_{Ed,0}$. Siła poprzeczna  w licu podpory zależy przede wszystkim od kinematyki – obrotu na podporze (rys.3). Lepszym miernikiem obrotu  na podporze jest moment zginający, którego redukcję nad podporą (ścięcie „ząbka”) można oszacować analogicznie do innych typów konstrukcji na $\Delta M=\cfrac{V\cdot a }{8}$ (patrz artykuł Hale i dźwigary blachownicowe ). Ponieważ siła poprzeczna jest pochodną momentu zginającego, więc zmniejszenie siły poprzecznej wyniesie $ \Delta V=\cfrac{ \Delta M}{a}= \cfrac{V}{8}$, Przyjmiemy, że w licu podpory działa siła poprzeczna $V_{Ed,lico} \cdot(1-(1/8)/2,0 = 0,94 V_{Ed,c}$ , gdzie 2,0  jest współczynnikiem współczynnikiem  losowego odchylenia (bezpieczeństwa), czyli:

$$\begin{equation}V_{lico} = 0,94 \cdot V_{Ed,c} \label {13} \end{equation}$$

Jeśli w licu podpory  warunek $(\ref{2})$) nie jest spełniony , to wyznacza się zbrojenie na ścinanie:

a) najpierw w strefie  Z1 o długości $L_z$ na siłe $V_{Ed,s}$ – minimalną siłę poprzeczną na odcinku o długości d od lica podpory. Często na tym poprzestaje się i wyznaczone zbrojenie rozkłada na całym odcinku I-II, ale jeśli odcinek I-II jest długi, to w celu zoptymalizowania ilości stali różnicuje się zbrojenie w strefach Z2 i Kz, w taki sposób, że

b)  w strefie  Kz o długości $L_z$  daje się minimalne zbrojenie na ścinanie (czyli konstrukcyjne na siłę $ V_{Rd,c}$

c) w pozostałej strefie Z2  na  minimalną siłę $V_{Ed}$ na tym odcinku.

Rys 3. trefy zbrojenia elementu żelbetowego(opracowano z wykorzystaniem fragmentów rysunku [2]

Długość strefy zbrojenia $L_z$ dobiera się po wyznaczeniu kąta nachylenia krzyżulca betonowego

$$\begin{equation} L_z=z \cdot ctg \Theta  \label {14} \end{equation}$$

w którym z=0,9 d – ramię sił wewnętrznych, występujące w $(\ref{1}) $ (d- wysokość użyteczna przekroju), a kąt nachylenia krzyżulca betonowego $\Theta$ wyznaczono w rozdziale: kąt nachylenia krzyżulca betonowego

Ścinanie poprzeczne (pionowe) belek

W normie  [1]  wprowadzono  metodę wyznaczania nośności przekroju na zginanie z uwzględnieniem działania krzyżulca betonowego nachylonego pod kątem $\Theta$.  Kąt nachylenia krzyżulca betonowego  zmienia się w zależności od siły ścinającej stosowane w sposób pokazany na rys.4.

Rys. 4. Ściskany krzyżulec betonowy tworzony podczas ścinania belki [3], fig 4

Maksymalna wytrzymałość betonu na ścinanie ( krzyżulca betonowego)  $v_{Rd,max}$ na podstawie [1],wzór (6.14) wynosi
$$\begin{equation} v_{Rd,max} =  \alpha_{cw} \cdot \nu_1  \cdot f_{cd} \cdot \cfrac { ctg \Theta + ctg \alpha } {1+ctg^2 \Theta} \label {15} \end{equation}$$

Kąt nachylenia krzyżulca betonowego

Doświadczenia  pokazują, że kąt nachylenia krzyżulca betonowego $\Theta$  (rys.4) może przyjmować wartości z dość dużego zakresu, a mianowicie (wg oryginalnej normy EC2)
$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta \le 2,5 \label{16} \end{equation}$$

W polskim załączniku krajowym do normy [4] zalecono nieco mniejszy zakres, a mianowicie  :

$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta \le 2,0 \label{17} \end{equation}$$

czyli  $26,7^o \le \Theta \le 45^o$.

Maksymalne  wytrzymałości betonu belki na ścinanie dla skrajnych wartości kąta  $\Theta$ zestawiono w tab3.

Najkorzystniejsze jest nachylenie krzyżulca betonowego pod kątem $45^o$ ($ctg \Theta=1$,),  a dla $ctg \Theta=2,5$ nachylenie jest najmniej korzystne.  Ze względów technologicznych strzemiona najczęściej daje się pionowo,

Tab.3 Maksymalna nośność betonu na ścinanie $v_{Rd,max}$  [MPa] $( \ref{16})$ przy zastosowaniu pionowego zbrojenia na ścinanie
w zależności od kąta nachylenia krzyżulca betonowego

W praktyce konkretna wartość $\Theta$ wyznacza się  w algorytmie przedstawionym na rys. 6.   W pierwszym kroku wyznacza się nośność krzyżulca betonowego z zależności ($\ref{15}$) dla wiekszej z z wartości skrajnych $ctg \Theta$, czyli 2,5 wg Eurokodu lub 2,0  wg polskiego załącznika. Tak wyznaczona nośność najmniejsza nośność krzyżulca porównuje się z naprężeniem ścinającym $v_{Ed}$.

Jeśli nośność $v_{Rd,max} ( ctg \Theta = 2,5 lub 2,0 ) > v_{Ed}$ . czyli jest wystarczająca do przeniesienia siły zewnętrznej, to przyjmuje się, że $ctg\Theta =2,5 (lub 2,0)$ i przechodzi do wyznaczenia zbrojenia

Jeśli nośność $v_{ Rd,max} (ctg \Theta = 1,0 ) <  v_{Ed}$, to przerywa obliczenia w celu korekty (powiększeni) przekroju.

W przypadku pośrednim kąt $\Theta$ wyznacza się w stanie granicznym z równania  $v_{Rd,max}= v_{Ed}$ . W ogólnym przypadku równanie , ($\ref{15}$) = ($\ref{1}$). można rozwiązać iteracyjnie, a dla najczęstszego przypadku: pionowych strzemion,  po  zastosowaniu tożsamości trygonometrycznych:  $ ctg \Theta + tg \Theta = 1/ (sin \Theta \cdot cos \Theta) =  2 / sin(2 \Theta)$ , uzyskamy

$$\begin{equation} \Theta= 1/2 \cdot arcsin \left ( \cfrac{ 2 \cdot v_{Ed}}{ \nu_1 \cdot \alpha_{cw} \cdot f_{cd}} \right) \label{18} \end{equation}$$

Rys. 6. Schemat blokowy projektowania przekroju strzemion pionowych ( (Bond A. J., Brooker O., Harris A. J., Harrison C., Moss R. M., Narayanan R. S. (2006). How to Design Concrete Structures using Eurocode 2 (A Cement and Concrete Industry Publication). The Concrete Centree)) dostosowane do polskiej normy)

W wyrażeniach powyżej występują:
$\alpha$ – kąt nachylenia zbrojenia na ścinanie (krzyżulców lub prętów ukośnych) do osi belki- dodatni przy pochyleniu zbrojenia w lewo (lewoskrętny),
$\Theta$ – kąt nachylenia do osi belki ściskanego krzyżulca betonowego równoważącego się w zbrojeniu na ścinanie , czyli pochylonego w prawo,
$z$ – ramię sił podłużnych: ściskających $F_{cd}$ oraz rozciągających $F_{td}$ , które zwykle w przekrojach bez działania siły osiowej, przyjmuje się $z=0,9d$.
$b_w$ – szerokość strefy rozciąganej belki. Dla przekrojów teowych jest grubością środnika, a belce o przekroju prostokątnym $b_w=b$,
$A_{sw}$ pole przekroju zbrojenia na ścinanie.,
$f_{ywd}= f_{yd}$ – obliczeniowa wytrzymałość ścinanego zbrojenia  na rozciąganie (obliczeniowa granica plastyczności stali)
Współczynnik redukcji naprężeń w betonie zarysowanym przy ścinaniu [4], wzór (6.6N):
$$\begin{equation}  \nu_1= \nu= 0,6 \cdot (1-\cfrac {f_{ck}} {250} )  \label{19} \end{equation}$$
Na rys. 5 zilustrowano powyżej zdefiniowane pojęcia.

Współczynnik  naprężeń dla pola ściskanego $\alpha_{cw}$ zależy od stopnia ściskania  przekroju naprężeniami $n_{cp}= \cfrac{\sigma_{cp}}{f_{cd}}$, gdzie  $\sigma_{cp}$ $(\ref{11})$ z zależności

$$\begin{equation}  \alpha_{cw}= \begin{cases}
1,0 , & \text { dla } n_{cp}=0 \\
1+n_{cp}, & \text { dla  } 0 < n_{cp} \le 0,25 \\
1,25 , & \text { dla }  0,25 < n_{cp} \le 0,5 \\
2,5\cdot ( 1 -n_{cp} ), & \text { dla }  0,5< n_{cp} \le 1,0 \\
\end{cases} \label{20} \end{equation}$$

Rys.  5. Model kratownicowy ścinania belki żelbetowej

Przekrój zbrojenia poprzecznego i nośność przekroju zbrojonego

Dla znanego kąta nachylenia krzyżulca betonowego $ \Theta$ potrzebny przekrój zbrojenia poprzecznego $A_{sw}$ rozmieszczony na długości $s$ (rozstawie zestawów) wynosi

$$\begin{equation} \cfrac{A_{sw}}{s}= \cfrac{v_{Ed}\cdot b_w}{f_{ywd} \cdot ctg \Theta} \label{21} \end{equation}$$

Wytrzymałość zbrojenia na ścinanie $v_{Rd,s}$  (strzemion lub prętów odgiętych nachylonych pod kątem $\alpha$ do osi belki ( dodatni przy pochyleniu zbrojenia w lewo (lewoskrętny) – na podstawie [1], wzór (6.13) wynosi

$$\begin{equation} v_{Rd,s} =  \cfrac {A_{sw}} {s \cdot b_w} \cdot  f_{ywd} \cdot \sin\alpha  \label{22} \end{equation}$$

Wytrzymałość  przekroju zbrojonego na ścinanie jest mniejszą z powyższych wartości $( \ref{15})$ , $(\ref{22})$

$$\begin{equation} v_{Rd} = \min { \left \{ v_{Rd,s} \, ; \,  v_{Rd,max} \,\right  \} }  \label{23} \end{equation}$$

Ścinanie podłużne

Ścinanie podłużne występuje na skutek działania sił rozwarstwiających płytę od żebra. Na rys. 7 przedstawiono wycinek $\Delta x$ płyty z żebrem. Na końcu A-A siły ściskające płytę (od zginania) wynoszą $F_d$, a na końcu przeciwnym $F_d + \Delta F_d$. Różnica tych sił wywołuje siły rozwarstwiające, które ścinają przekrój podłużny płyty i zbrojenie $A_{sf}$.

Rys. 7 Ścinanie podłużne przekroju teowego (Bond A. J., Brooker O., Harris A. J., Harrison C., Moss R. M., Narayanan R. S. (2006). How to Design Concrete Structures using Eurocode 2 (A Cement and Concrete Industry Publication). The Concrete Centree)), fig 13

nia wykazują, że kąt nachylenia krzyżulca betonowego $\Theta_f$ zależy od tego, czy półka (płyta) jest ściskana , czy rozciągana.
Jeżeli półka jest ściskana, to przyjmuje się
$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta_f \le 2,0 \label{24} \end{equation}$$
Jeżeli półka jest rozciagana , to przujmuje się
$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta_f \le 1,25 \label{25} \end{equation}$$
Mechanizm zmiażdżenia ściskanych krzyżulców betonowych w półce prowadzi do warunku granicznego [1], wzór (6.22)
$$\begin{equation} v_{Ed} \le \nu \cdot f_{cd} \cdot sin \Theta_f \cdot cos \Theta_f \label{26} \end{equation}$$
przy czym zachodzi tożsamość trygonometryczna: $(sin \Theta_f \cdot cos \Theta_f) = \cfrac {ctg \Theta_f}{1+ ctg^2 \Theta_f}$.
Zbrojenie poprzeczne na jednostkę długości wyznacza sie z zależności
$$\begin{equation} \cfrac{A_{sf}}{s_f} > \cfrac{v_{Ed} \cdot h_f}{f_{yd} \cdot ctg \Theta_f} \label{27} \end{equation}$$
Wyznaczenie zbrojenia $A_{sf}$ przeprowadza się według schematu, który pokazano na rys. 8.

Rys.  8 Schemat blokowy do wyznaczania zbrojenia Asf na siły rozwarstwiające (Bond A. J., Brooker O., Harris A. J., Harrison C., Moss R. M., Narayanan R. S. (2006). How to Design Concrete Structures using Eurocode 2 (A Cement and Concrete Industry Publication). The Concrete Centree)), dostosowane do polskiej normy)

Przykłady numeryczne projektowania zbrojenia na ścinanie podłużne podano w artykule dotyczącym płyt żelbetowych.

Ścinanie przez przebicie

Ścinanie przez przebicie przedstawiono w artykule Przebicie płyty żelbetowej.

Ścinanie elementu wyodrębnionego z konstrukcji

Zbrojenie na ścinanie wyodrębnionego elementu konstrukcji w większości przypadków z wystarczająca dla praktyki dokładnością można wyznaczyć na elemencie zastępczym.

W szczególnych sytuacjach, przede wszystkim przy działaniu znacznych sił skupionych w przęśle rozkład sił poprzecznych należy przyjmować z obliczeń statycznych najczęściej prowadzonych metodą MES.

Element zastępczy

Rozpatrzmy wyodrębnioną z konstrukcji belkę zastępczą pokazaną na rys.  9 , w której siły poprzeczne rozłożone są podług zależności

$$\begin{equation} V_{Ed} (\xi) = \cfrac{\Delta M_{Ed}}{L} + q_{z,Ed} \cdot (1/2-\xi) \label{28} \end{equation}$$

gdzie:
$\Delta M=M_L-M_0$ – różnica momentów podporowych
$\xi=x/L \in (o,,L )$ – względna rzędna liczona od lewej podpory
$q_{z,Ed} = \cfrac{2}{L^2} \left[ 2\cdot (M_{max} \pm M_w – (M_0 +M_L) \right ]$ – równomiernie rozłożone obciążenie zastępcze wg zależności (R-64).

Zakres (ze zbrojeniem minimalnym II-II

Z ($\ref{1}$) wyznaczamy naprężenia  $v_{Ed}(\xi)$ i po porównaniu wartości bezwzględnej z $v_{R,dc}$ ($\ref{10}$) otrzymamy granicę  II strefy zbrojenia poprzecznego (rys.3):

$$\begin{equation} \xi_{II} = \cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{q_{z,Ed}}\cdot \left( \cfrac{\Delta M_{Ed}}{L} \pm A_v \cdot v_{Rd,c} \right)  \label{29} \end{equation}$$

W ogólnym przypadku, rzędne wykresu naprężeń poprzecznych są znane z metody MES w dyskretnych punktach.

W tym przypadku, idąc od miejsca największych sił najpierw poszukujemy dyskretnego punktu o rzędnej ,$\xi_k$ w którym warunek ($\ref{2}$) już jest spełniony ($v_{Ed,k} <v_{Rd,c}$ . Biorąc poprzedni punkt $\xi_{(k-1)}$ z siłą $v_{Ed, (k-1)} > v_{Rd,c}$ z interpolacji liniowej uzyskujemy teoretyczną rzędną $\xi_{II}$

$$\begin{equation} \xi_{II} = \xi_{(k-1)} +\cfrac{v_{Rd,c} -v_{Ed,(k-1)}}{v_{Ed,k} -v_{Ed,(k-1)}} \cdot (\xi_{k}-\xi_{(k-1)}) \label{30} \end{equation}$$

Punkt teoretyczny  $(\ref{28})$ lub $(\ref{30})$ przesuwamy w kierunku podpory o odcinek $L_z= z \cdot ctg \Theta= 0,9 \cdot d_l \cdot ctg \Theta$, ale nie dalej niż $L_z$ od podpory.

Przykłady

Przykład S-1 [Małe ścinanie]

(Bond A. J., Brooker O., Harris A. J., Harrison C., Moss R. M., Narayanan R. S. (2006). How to Design Concrete Structures using Eurocode 2 (A Cement and Concrete Industry Publication). The Concrete Centree))), Lecture 3/24

Korzystamy z algorytmu przedstawionego na rys.5
Wyznaczyć zbrojenie poprzeczne belki ścinanej siłą poprzeczną $V_{Ed}$=705 kN.
Belka o przekroju hxb=1000×450 wykonana z betonu C30/37- B500: ($f_{ck}=500\, MPa,$  $f_{yd} =500/1,15=435 \, MPa$.
Otulenie osiowe zbrojenia dolnego a=66 mm, wysokość efektywna przekroju $d=1000-66=934 \, mm$

Naprężenia ścinające
$(\ref {1})$$\to $ $v_{Ed} = \cfrac{V_{Ed}} {b_w \cdot 0,9 \cdot d}= \cfrac{705}{450 \cdot 0,9 \cdot 934} \cdot 10^3= 1,68 \, MPa$
Z tab 3 odczytujemy dla betonu C30/37:
$v_{Rd,max} (ctg \Theta=2,0)= 4,526 \, MPa$,
$v_{Rd, max} = 4,526 \, > \, 1,68 \, MPa \to ctg \Theta=2,0$.

Przekrój zbrojenia poprzecznego
$(\ref{21}) \to $  $A_{sw}/s= \cfrac {1,68 \cdot 450}{435 \cdot 2,0} = 0,87 \, mm^2/mm$
Przyjęto strzemiona  Ø 10, 4-cięte:  $A_{sw} = 4 \cdot \cfrac{ \pi \cdot 10^2}{4}= 314 \, mm^2$

Rozstaw strzemion $s \, < 314/0,87 =361 \, mm \to$ przyjęto $s=350 \, mm$
Wymagany maksymalny rozstaw zbrojenia poprzecznego
$(\ref {5}) \to $ $ s_{l,max}= 0,75\cdot 934= 700 \, > 350 \, mm$
$(\ref{7}) \to $ $ s_{l,max}=12,5 \cdot \cfrac{314\cdot 500}{450 \cdot \sqrt{31}}=796 \, > 350 \, mm$

Przykłąd S-2 [Większe ścinanie ]

(Bond A. J., Brooker O., Harris A. J., Harrison C., Moss R. M., Narayanan R. S. (2006). How to Design Concrete Structures using Eurocode 2 (A Cement and Concrete Industry Publication). The Concrete Centree)), Lecture 3/31

Korzystamy z algorytmu przedstawionego na rys.5
Wyznaczyć zbrojenie poprzeczne dla belki ścinanej siłą poprzeczną $V_{Ed}$=312,5 kN,  przekroju hxb=550×140 , wykonanej z C30/37-B500
Otulenie osiowe zbrojenia dolnego a=50 mm, wysokość efektywna przekroju $d=550-50=500 \, mm$
$(\ref{1}) \to $ $v_{Ed} = \cfrac{312,5}{140 \cdot 0,9 \cdot 500} \cdot 10^3= 4,96 \, MPa$
Zastosować  strzemiona pionowe $\alpha=90^0$
Z tab.3 odczytujemy dla betonu C30/37:
$v_{Rd,max} (ctg \Theta=2,0)= 4,526 \, MPa$;
$v_{Rd,max} (ctg \Theta=1,0)= 5,657 \, MPa$ ,
$\nu_1=0,528 $,
$f_{cd}=30/1,4= 21,4 \, MPa$

Zachodzi  $ 4,53\, < \, v_{Ed}=4,96 \, < \, 5,66 \, MPa \to $ należy wyznaczyć $\Theta$.
Kąt nachylenia krzyżulca betonowego
$(\ref{18}) \to$ $ \Theta= 1/2 \cdot  arcsin (2\cdot 4,96 / (0,528 \cdot 1,0 \cdot 21,4 )=0,5358 \,rad=30,7^o \to ctg \Theta= 1,684 $

Wymagane zbrojenie poprzeczne
$(\ref{21}) \to $ $A_{sw}/s=\cfrac {4,96 \cdot 140} {500 \cdot 1,684}= 0,825 \, mm^2/mm$
Przyjęto strzemiona  Ø 10, 2-cięte:  $A_{sw} = 4 \cdot \cfrac{ \pi \cdot 10^2} {4} = 157 \, mm^2$
Rozstaw strzemion $s \, < 157/0,825=190 \, mm \to$ przyjęto $s=190  \, < 0,75 \cdot 500=375 \, mm$
Strzemiona w tym rozstawie należy ułożyć  od lica podpory  na długości  $l_w= z \cdot ctg \Theta= 0,9 \cdot 500 \cdot 1,684= 758 \,mm$,
Przyjęto $l_w= 4 \cdot 200= 800 \, mm$.
Na pozostałej części belki strzemiona można rozstawić w odległości  l < 0,75 \cdot 500=375 \, mm$.

Przykład S-3 [Zbrojenie strzemionami i prętami odgiętymi ]

[5], Przykład.16.6
Swobodnie podparta belka teowa o rozpiętości l_{ef}=3×1,2=6 m, o przekroju 300x 450 (d) jest obciążona obliczeniowymi siłami skupionymi P=550 kN (rys. 9), wykonana z  C25/30- B500 $ (f_y= 500/1,15=435 \, MPa$).
Teoretyczna reakcja w ścianie wynosi $V=550 \, kN$. moment zginający w licu ściany $M_{Rd,lico}= 550\cdot 0,15= 82,5 \’ kNm, a pod siłą skupioną $M_{Ed,P}= 550\cdot 1,2= 660 \, kNm$

Rys.  9 Ilustracja do przykładu 3.3. [5]

Siła poprzeczna na podporze $V_{Ed}=550 \, kN$
Rozważono dwa warianty zbrojenia poprzecznego:
a) tylko strzemiona pionowe,
b) hybrydowe złożone ze strzemion pionowych i prętów odgiętych
W przypadku zastosowania zbrojenia hybrydowego nośność prętów odgiętych i nośność strzemion sumuje się, ale strzemiona muszą zapewnić przynajmniej 50% wymaganej nośności.
W wariancie a):
Korzystamy z algorytmu przedstawionego na rys.5
$(\ref {1}) \to $ $v_{Ed} = \cfrac{550}{300 \cdot 0,9 \cdot  450} \cdot 10^3= 4,53 \, MPa$
Z tab.3 odczytujemy dla betonu C25/30:
$f_{cd}=25/1,4= 17,9 \, MPa$,
$\nu_1=0,540$,
$v_{Rd,max}(ctg \Theta=2,0)= 3,857 \, MPa$,
$v_{Rd,max} (ctg \Theta=1,0)= 4,821 \, MPa$

Zachodzi  $ 3,857  \, < \, v_{Ed}=4,53 \, < \, 4,821 \, MPa \to $ należy wyznaczyć $\Theta$.

Kąt nachylenia krzyżulca betonowego
$(\ref {21}) \to $ $ \Theta= 0,5 \cdot arcsin (2\cdot 4,53/(0,540\cdot 17,9 )=0,6074 \, rad= 34,8^o \to ctg \Theta= 1,438 $
W pracy [5]), Przykład 16.6 – inną metodą uzyskano $ctg \Theta= 1,432 $

Przyjęto strzemiona  Ø 8 czterocięte $A_{sw}= \cfrac{4 \pi[8^2}{4}=201 \, mm^2$

Wymagany rozstaw dla znanego pola przekroju otrzymamy po przekształceniu zależności ($\ref{21}$):

$ s \le  \cfrac {201 \cdot 435} {4,53 \cdot 300} \cdot 1,438= 93  < 100 \, mm $

Ponieważ wymagany rozstaw strzemion jest zbyt mały, więc podjęto decyzję o zastosowaniu zbrojenia hybrydowego , również prętami odgiętymi (wariant b).
W celu zwiększenia rozstawu między strzemionami, przedział przypodporowy dodatkowo zbrojono prętami odgiętymi. Nośność przekroju jest sumą nośności prętów odgiętych oraz strzemion.

Ze względów konstrukcyjnych zastosowano cztery pręty odgięte Ø 20  pod kątem $\alpha=45^o$
$A_{sw}= 4 \cdot \cfrac{\pi \cdot 2^2}{4}=12,57 \, cm^2$

$(\ref {22})$ $\to $ nośność prętów odgiętych  $ v_{Rd,s} =  \cfrac {12,57} {1} \cdot  435 \cdot \sin 45^o \cdot 10^{-1} =386,6 \, kN$

Do przeniesienia przez strzemiona pozostaje  $ V_{Ed} = 550-386,6=163,4 \, kN <  0,5 \cdot 550  =275 \, kN \to V_{Ed}=275 \, kN$
Dla takiej siły naprężenia styczne wynoszą:  $v_{Ed} = \cfrac{275}{300 \cdot 0,9 \cdot  450} \cdot 10^3= 2,26 \, MPa \, < \, 3,33 \, MPa$ $\to ctg \Theta= 2,0$

Wymagany rozstaw $ s \le  \cfrac {201 \cdot 435}  {2,26 \cdot 300} \cdot 2,0= 258 \, mm $

Przykład S-4 [Zbrojenie profilem stalowym ]

Dla belki przedstawionej w przykładzie S-3 zamiast prętów odgiętych zastosować zbrojenie profilem stalowym zastosowaniem  rozwiązania z  rys.10 ze strzemionami otwartymi spawanymi do środnika profilu dwuteowego (zgodnie z  [6], rys. 6.10, Typ.2

Rys. 10 Przekrój zespolony  do przykładu ścinania

Dane ogólne

Przyjęto stal konstrukcyjną S355 o wytrzymałości obliczeniowej – współczynnik materiałowy $\gamma_{M0}=1,0$:
na rozciąganie $f_y=355 \, MPa$
na ścinanie  $f_{yv}= \cfrac{f_y}{\sqrt{3} \cdot \gamma_{M0}}= \cfrac{355}{\sqrt{3} \cdot 1,0}= 205,0 \, MPa$

Ścinanie i zginanie dwuteownika stalowego

Potrzebne pole przekroju środnika do przeniesienia całkowitej siły $V_{Ed}= 550 \, kN$

$A_v \ge \cfrac{550}{205}\cdot q0^1= 26,8 cm^2$

Przyjęto HEA  260 :
$A_v= 28,7 \, cm^2$
$W_{y,pl}= 919,7 \, cm^3$

Sprawdzenie, czy dwuteownik może przenieść całkowity moment zginający na odcinku przypodporowym

Nośność dwuteownika na zginanie

$M_R=355 \cdot 919,7 *10^(-3) = 326, 5 < M_{Ed,P} =660  kNm \to$ HEA 260 nie przeniesie sam momentu zginającego pod siłą skupioną, a jedynie do rzędnej $x= 326,5/550=0,6 \,m

Współpraca strzemion  i zbrojenia sztywnego

Zgodnie z [[6] rozdział całkowitej siły ścinającej $V_{Ed}$ na część przypadającą na profil stalowy $V_{a,Ed}$i część przypadającą na beton otaczający środnik $V_{c,Ed}$  przyjmuje się w takim samym stosunku jak  udział przekroju stalowego i żelbetu obetonowania środnika w nośności na zginanie M_{pl,Rd}.

W tym przykładzie rozdział przyjmujemy zgodnie z rys. 11

Rys.. 11 Nośność na zginanie przekroju zespolonego bez płyty żelbetowej

Nośność przekroju stalowego wynosi
$M_{a,Rd}= 326, 5 \, kNm$
Nośność żelbetu obetonowania środnika liczona jak dla przekroju prostokątnego żelbetowego 300x 250 (wysokość)  – C30/37 -B 500 zbrojonego dołem $4 \Phi 16$ (obliczona w odrębnym zadaniu wynosi

$M_{c,Rd}= 119,,5 \, kNm$

Stosunek nośności wynosi $k_{R,ac}= \cfrac{119,5}{326,5} = 0,37$

Strzemiona powinny przenieść siłę poprzeczną $V_{c,Ed}=0,37 \cdot 550 = 203,5 \, kN$

Dla takiej siły naprężenia styczne wynoszą:  $v_{Ed} = \cfrac{203,5}{300 \cdot 0,9 \cdot  250} \cdot 10^3= 3,01 \, MPa \, < \, 3,33 \, MPa$ $\to ctg \Theta= 2,0$

Przyjęto strzemiona  Ø 10 dwucięte $A_{sw}= \cfrac{2 \pi[10^2}{4}=113 \, mm^2$

Wymagany rozstaw $ s \le  \cfrac {113 \cdot 435}  {3,01 \cdot 300} \cdot 2,0= 157 \, mm $ Przyjęto s=150 mm

Łączniki zespolenia

Zespolenie przekroju stalowego z żelbetem uzyskano poprzez zastosowanie łączników typu Nelson.

Otulenie profilu oraz zbrojenie przypowierzchniowe

Otulenie profilu powinno spełniać wymogi pożarowe zgodnie z normą [7].

Uzyskane otulenie boczne $c_z= 20 \, mm$ spełnione sa wymagania dla R30 Dla innych klas odporności ogniowej należy poszerzyć belkę:  dla R180 – o 60  mm (tak aby $c_z= 50 \, mm$

Zastosowano zbrojenie przypowierzchniowe zgodnie [1]), Zał. J.

Uwaga  o optymalności rozwiązań

Współczesne rozwiązania konstrukcyjne belek szczególnie leżącą na nich płytą stropową zmierzają współcześnie w kierunku stosowania konstrukcji zespolonych zamiast  czystych rozwiązań żelbetowych zarówno w warunkach dużego zginania jak ścinania. Rozwiązania zespolone są o ok 20 do 40% bardziej optymalne.  W przykładzie S-4 wskazano na mniej istotny aspekt zagadnienia –  ścinanie przekroju zespolonego, a największe korzyści uzyskano by po włączeniu profilu stalowego do zginania belki. Nie jest to jednak przedmiotem przykładów w niniejszym artykule.

Bibliografia
  1. PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3: 2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1:  Reguły ogólne i reguły dla budynków
  2. Knauff M., Golubińska, A., & Knyziak P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN
  3. Bond A. J., Brooker O., Harris A. J., Harrison C., Moss R. M., Narayanan R. S. (2006). How to Design Concrete Structures using Eurocode 2 (A Cement and Concrete Industry Publication). The Concrete Centree
  4. (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3: 2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1:  Reguły ogólne i reguły dla budynków
  5. Knauff M., Golubińska A., Knyziak P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z  przykładami obliczeń, Wydanie drugie. PWN
  6. PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC:2008, Eurokod 4, Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo-betonowych, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
  7. PN-EN 1994-1-2:2008, Eurokod 4, Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo-betonowych- Część 1-2: Reguły ogólne. Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »