Skręcanie prętów. Pręty cienkościenne

Leszek Chodor,  26 września 2014
15 czerwca 2025  naprawa awarii i scalenie kilku odrębnych artykułów

W przypadku nieczytelnych treści, proszę powiadomić: leszek@chodor.co

 W ciągu ostatnich 24 godzin z artykułu korzystało  3 Czytelników

Zagadnienie skręcania prętów jest ważnym problemem w projektowaniu konstrukcji budowlanych. Współczesne analizy wytrzymałości i stateczności systemów prowadzone są na modelach złożonych z prętów uogólnionych w stosunku do klasycznego modelu Bernoulliego. Pręt uogólniony ma dodatkowym stopień swobody węzła – paczenie (deplanację) przekroju. Uogólniona teoria belkowa Sapountzakis (2013) [1] zbudowana na dorobku kilku pokoleń inżynierów, a zapoczątkowana pracą Marguerre (1940) [2] umożliwia włączenie w proces obliczeniowy analizy wyboczenia giętno-skrętnego (w tym zwichrzenia) prętów. Analiza konstrukcji prętowych z zastosowaniem teorii zginania i skręcania skrępowanego prętów cienkościennych praktycznie w całości zastąpiła tradycyjną analizę z użyciem modelu pręta zwartego i jest stosowana w zasadzie we wszystkich nowoczesnych  programach obliczeniowych (program Consteel i szereg innych).

Naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia skręcanego pręta istotnie zależą od kształtu przekroju oraz od sposobu podparcia (warunków brzegowych ) końcowych (poprzecznych) ścianek i pośrednich przekrojów, a także od sposobu obciążenie pręta.  Ścisłe rozwiązanie zagadnienia skręcania możliwe  jest tylko w nielicznych przypadkach, a w zasadzie tylko dla pręta o przekroju okrągłym,  ze swobodnymi ściankami poprzecznymi, obciążonymi równomiernymi obciążeniami skręcającymi o takiej samej wartości ale o przeciwnych zwrotach na obu ściankach poprzecznych. W każdym innym przypadku mamy do czynienia z rozwiązaniem przybliżonym, ale akceptowanym w praktycznym wymiarowaniu prętów

Teoria prętów cienkościennych oryginalnie sformułowana przez Własowa (1959)  [3] znajduje zastosowanie w analizie nie tylko konstrukcji stalowych, ale również w analizie skręcania prętów i obiektów żelbetowych, mostów skrzynkowych lub budynków wysokich i wszędzie tam, gdzie wystąpi nieswobodne (skrępowane) skręcania prętów. W praktyce skręcanie nieswobodne występuje w każdym pręcie konstrukcji budowlanych, a skręcanie swobodne wystąpi tylko w nielicznych przypadkach, na przykład skręcania walów na łożyskach.
W prętach skręcanych swobodnie wytężenie przekrojów spowodowane jest tylko naprężeniami stycznymi, a podczas skręcania skrępowanego wystąpią również naprężenia normalne, które są  spowodowane przez powstanie nieznanej w klasycznej teorii zginania  prętów siłę przekrojową – bimoment $B_\omega$, stowarzyszony z deplanacją (spaczeniem) przekroju. Powstaną również dodatkowe naprężenia styczne wywołane przez działanie momentu giętno-skrętnego $M_\omega$.  Rozkład naprężeń ścinających po grubości ścianki zależy od tego, czy przekrój jest otwarty, czy też zamknięty.

Współczesne programy komputerowe, szczególnie ConSteel [4], [5] pozwalają na projektowanie ram złożonych z prętów stalowych z uwzględnieniem niestateczności ogólnej dowolnego typu (wyboczenie, zwichrzenie, wyboczenie giętno-skrętne) bez potrzeby wykorzystywania skomplikowanych formuł analitycznych i normowych. W 2002 roku opublikowano do powszechnego użytku inżynierów program LTBeam [6], który umożliwiał szybkie i łatwe obliczenie momentu krytycznego belek jedno- i wieloprzęsłowych o dowolnych przekrojach bi- i mono-symetrycznych ze stężeniami bocznymi niepodatnymi lub sprężystymi założonymi na dowolnej wysokości przekroju. Od wersji LTBeamN 2.02  za pomocą programu można obliczyć siły krytyczne dla belki zginanej momentem M i ściskanej siłą N.  Program został opracowany  przez  CTICM (Centre Technique Industriel de la Construction Metallique – France) w ramach europejskiego projektu  ECSC(European Community for Steel and Coal) – Project No 7210-PR183 : „Lateral torsional buckling of steel and composite beams” – 1999-2002).

Tablice projektowe

Charakterystyki przekrojów skręcanych

Tab.1 Współczynniki wskaźnika wytrzymałości ($\ref{13}$) i momentu bezwładności ($\ref{11}$)na skręcanie dla różnych stosunków boku prostokąta

Tab.2 Charakterystyki geometryczne wybranych, zamkniętych przekrojów cienkościennych [7]

$A= \cfrac{b\cdot t_2\cdot (t_1\cdot cos 2\alpha+ t_2 \cdot cos \alpha) \cdot tg \alpha}{4 \cdot (t_1 \cdot  cos \alpha + t_2)\cdot (t_1+ t_2 \cdot cos \alpha}\\
B= \cfrac{b^3}{6} \cdot \cfrac{t_1 \cdot t_2 \cdot sin \alpha }{t_1 + t_2 \cdot cos \alpha}, \\
C= \cfrac{2 \cdot b^2 \cdot h^2 \cdot t_1 \cdot t_2}{b \cdot t_2 + h \cdot t_1},,\\
D= \cfrac{ b^2 \cdot h^2}{50}\cdot \cfrac{(b\cdot t_2 – h \cdot t_1)^2}{(b\cdot t_2 + h \cdot t_1)^2}\cdot (b\cdot t_1 + h \cdot t_2) $

Tab.3 Charakterystyki geometryczne wybranych, zamkniętych przekrojów cienkościennych – wg [7]

Tab.4 Bimomenty $B_ω$, momenty giętno-skrętne $M_ω$, momenty swobodnego skręcania$M_s$ oraz kąty skręcenia ($\varphi$ dla prętów cienkościennych [7], tab 1-2

Skręcanie czyste, proste, swobodne i skrępowane

Skręcanie czyste

Skręcanie czyste realizuje się podczas działania na ścianki poprzeczne (czołowe) pręta pryzmatycznego  specyficznie  dobranego obciążenia o gęstości $q_v =   [ \,  0 \, , \,  q_{vy} \, , \, q_{vz} \, ]$ (rys. 1a). Obciążenie $q_v$ można statycznie zredukować do pary momentów $M_s$ działającej w płaszczyźnie  przekroju poprzecznego początkowego A i końcowego pręta (w miejscu utwierdzenia S). Obciążenie zewnętrzne parą momentów $M_s$ wywołuje moment skręcający $M_x$ w przekrojach pręta.

$M_x$ jest całkowitym momentem skręcającym przekrój wokół osi x, wyznaczonym w drodze statycznej redukcji  obciążenia zewnętrznego  $M_s$ do rozpatrywanego przekroju pręta w którym jest zrównoważony przez składowe siły przekrojowe:  moment czystego skręcania (Saint Venanta)  $M_v$  i  moment giętno-skrętny $M_\omega$:

$$ \begin{equation} M_x = M_v + M_\omega  \label{1} \end{equation} $$

Moment $M_v$ powstaje przy  skręcaniu swobodnym, a przy skręcaniu nieswobodnym dodatkowo działa moment $M_\omega$

Można pokazać [8], że gęstość obciążenia $q_v$ ścianek czołowych pręta, prowadząca do czystego skręcania musi mieć rozkład

$$ \begin{equation} q_v =\begin {cases}
q_{vx}=0  \\
q_{vy}= \pm  \Theta \cdot G \cdot\left ( \cfrac{\partial \varphi}{\partial y} – z\right ) \\
q_{vz}= \pm  \Theta \cdot G \cdot\left ( \cfrac{\partial \varphi}{\partial z} +y\right ) \\
\end {cases} \label{2}  \end{equation} $$

gdzie $\Theta$ jest parametrem, a funkcja $\varphi= \varphi (y,z)$ jest funkcją harmoniczną, czyli spełnia warunek  zagadnienia brzegowego Neumana

$$\begin {equation} \nabla \varphi^2 =0 \label {3} \end {equation}$$

i tak dobraną, że spełnia warunki równowagi  (statyczne warunki równowagi) na pobocznicy   oraz kinematyczne warunki brzegowe , a w tym przypadku zeruje się w punkcie utwierdzenia S (rys. 1a) .

Rys.1. Skręcanie: a) czyste, b) proste, c) swobodne, d) skrępowane – nieswobodne  (rysunek złożony  z ilustracji z pracy [8] )

Skręcanie proste

Skręcanie proste (rys. 1b) dotyczy problemu technicznego skręcania pręta obciążonego  na powierzchniach czołowych parą momentów skręcających $M_s$ (rys. 1b), czyli dowolnym (niekoniecznie spełniającym warunek ($\ref{2}$) )rozkładem obciążeń  $q_v$, które jest statycznie równoważne momentowi $M_s$,

Warunek równoważności obciążenia momentami skupionymi $M_s$ oraz obciążenia realizującego czyste skręcanie ($\ref{2}$) prowadzi do zależności

$$\begin {equation} M_s = \iint_A (q_{vz} y -q_{vy} z dA = \iint_A \left [ \Theta G \left (\cfrac{\partial \varphi}{\partial z}+y  \right) y  – \Theta G \left (\cfrac{\partial \varphi}{\partial y}-z  \right)z\right ] dA= \Theta G \iint_A \left ( \cfrac{\partial \varphi}{\partial z} y -\cfrac{\partial \varphi}{\partial y}z  +y^2 +z^2 \right ) = \Theta G \cdot I_v  \label{4}  \end {equation}$$

gdzie wprowadzono oznaczenie definiowane jako moment bezwładności przekroju na skręcanie (Saint Vennanta).

$$\begin {equation} I_v  \overset{def}{=} \Theta G \iint_A \left ( \cfrac{\partial \varphi}{\partial z} y -\cfrac{\partial \varphi}{\partial y}z  +y^2 +z^2 \right )  \label{5}  \end {equation}$$

Skręcanie swobodne

Przy skręcanie swobodnym pręta każdy przekrój poprzeczny może się swobodnie odkształcać w kierunku osi pręta, co wywołuje paczenie deplanację przekroju płaskiego przed obciążeniem (rys. 1c) . W praktyce oznacza to, że w przekroju występują tylko naprężenia styczne, a deplanacja na rozkład naprężeń. Taki przypadek zachodzi, gdy na końcach pręt jest obciążony równymi i przeciwnie skierowanymi momentami skręcającymi $M_s$ (rys. 1b).

Skręcanie nieswobodne

Skręcanie nieswobodne (skrępowane) to takie, w którym odebrano swobodę deplanacji przekroju (rys. 1c) i w rezultacie w pręcie oprócz naprężeń stycznych pojawiają się naprężenia normalne składające się na siłę przekrojową zwaną bimomentem.
W każdym przypadku skręcania  należy zwrócić uwagę na swobodę deplanacji przekroju , bo przy jej ograniczeniu, obok naprężeń od swobodnego skręcania (Saint Venanta) szacować naprężenia od momentu giętno-skrętnego, powstających przy nieswobodnym skręcaniu.

Skręcanie swobodne

Rys.5  Odkształcenie swobodnie skrecanego pręta . Deplanacja przekroju czołowgo

Pręt o przekroju  zwartym

Z punktu widzenia praktyki istotne znaczenie ma problem czystego skręcania pręta o przekroju okrągłym oraz prostokątnym (rys.2).

Rys.2. Naprężenia w przekroju skręcanym : s) okrągłym, b) prostokątnym [8]

Przekrój okrągły

W przypadku przekroju kołowego rozwiązaniem zagadnienia Neumanna jest funkcja

$$\begin {equation} \varphi (y,z)=0 \label{6}  \end {equation}$$

W konsekwencji moment bezwładności przy skręcaniu  ($\ref{5}$) wynosi

$$\begin {equation} I_v= \iint \limits_A r^2 dA= \cfrac{\pi R^4}{2}=I_0 \label{7}   \end {equation}$$

Maksymalne naprężenia styczne (na obwodzie koła) wynoszą

$$\begin {equation} max \, \tau_v = \cfrac{M_v}{I_v} \cdot R \label{8}  \end {equation}$$

Przekrój prostokątny

W przypadku przekroju prostokątnego  o wymiarach bxh (h-wysokość)  (rys. 2b) funkcja paczenia może być przedstawiona w postaci szeregu:

$$\begin {equation} \varphi (y,z)=y \cdot z-\sum \limits_{i=0}^\infty \cfrac {B_n}{k_n cosh(k_n h/2}\cdot sin(k_n y) cosh (k_n z) \label{9}  \end {equation}$$

gdzie

$$ \begin {equation} k_n=\cfrac { (2n+1) \pi}{b}  \quad ; \quad  B_n= (-1)^n \cfrac{8b}{(2b+1)^2 \pi^2} \label{10}  \end {equation}$$

W konsekwencji moment bezwładności skręcania ($\ref{5}$)  możemy zapisać w postaci

$$\begin {equation} I_v=\left [ \cfrac{1}{3} – \cfrac {64}{\pi^5} \cdot (h/b))^{-1} \sum \limits_{n=0}^\infty \cfrac{tgh (k_n h/2)}{(2n+1)^5}\right ] b^3 h= \beta (h/b) \cdot b^3 \cdot h \label{11}   \end {equation}$$

Wyrażenie na maksymalne naprężenia styczne  można zapisać w postaci:

$$\begin {equation} max \, \tau_{xz}= \cfrac{M_v} {\alpha (h/b)  \cdot b^2 h} \label{12}  \end {equation}$$

skąd wskaźnik wytrzymałości na skręcania

$$\begin {equation} W_v=\alpha (h/b) \cdot b^2 \cdot h \label{13} \end {equation}$$

Współczynniki $\alpha$ i $\beta$ są zależne jedynie od stosunku boków prostokąta i zestawiono je w tab.1

Przekrój cienkościenny

Przekrój otwarty

Przyjmiemy następujące założenia upraszczające dotyczące otwartych profili cienkościennych [9]:
Z1 jednostkowy kat skręcenia każdego elementu prostokątnego przekroju poprzecznego jest jednakowy,
Z2 suma momentów skręcających poszczególne elementy M_υi jest równa momentowi skręcającemu przyłożonemu do całego profilu M_υ,

Rozważmy przekrój poprzeczny, który składa się z n elementów prostokątnych o długości $l_i$ o grubości $t_i$ elementu i-tego, przy czym (rys.3)

$$\begin {equation} t_i \ll l_i \quad  (i=\, 1,\, 2,\,..\, n) \label{14} \end {equation}$$

Pręt cienkościenny powinien spełniać warunkami ($\ref{26}$) .

Na rys.3. pokazano przekrój pręta cienkościennego, złożony z trzech elementów.

Rys. 3 Przekrój otwarty cienkościenny złożony ze ścianek prostych [9]

Jednostkowy kąt skręcenie  występujący w ($\ref{2}$) do ($\ref{5}$) zgodnie założeniem Z1  możemy napisać w postaci 

$$\begin {equation} \Theta = \cfrac{M_v}{GI_v} =\cfrac{M_{vi}}{GI_{vi}} \label{15} \end {equation}$$

Moment bezwładności na skręcanie prostokąta i-tego wynosi – p.  ($\ref{11}$) wynosi:

$$\begin {equation} I_{v,i}=\beta_i \cdot t_i^3 \cdot l_i\label{16} \end {equation}$$

gdzie współczynnik $\beta_i$ zależy od proporcji boków prostokąta poddanego czystemu skręcaniu , dla kwadratu ($t_i =l_i$) wynosi 0,141, a dla długiego prostokąta  ($ l_i / t_i  >10$) wynosi 1/3 , Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych. PWN)), dla innych wartości można je odczytać z tab.1.

Z założenia Z2 mamy

$$\begin {equation} M_v=\sum \limits_{i=1}^n M_{v,i} \label{17} \end {equation}$$

skąd po podstawieniu wyrażeń na momenty skręcające z założenia Z1, otrzymujemy wyrażenie na moment bezwładności czystego skręcania całego przekroju

$$\begin {equation} I_v=\sum \limits_{i=1}^n I_{v,i}=\sum \limits_{i=1}^n \beta_i \cdot t_i^3 \cdot l_i \approx \cfrac{1}{3}\sum \limits_{i=1}^n  t_i^3 \cdot l_i \label{18} \end {equation}$$

W tab.1 zamieszczono charakterystyki kilku otwartych przekrojów cienkościennych [7]

Naprężenie styczne  czystego skręcania w złożonym, otwartym przekroju cienkościennym są maksymalne przy krawędzi ścianki (rys.3) i wynoszą

$$\begin {equation} max \, \tau_i = \cfrac {M_v}{I_v}\cdot t_i \label{19} \end {equation}$$

Przekrój zamknięty

Przekroje zamknięte charakteryzują się dużą odpornością na skręcanie, wielokrotnie większą od profili otwartych. W przypadku obciążenia pręta skręcaniem należy stosować profil o przekroju zamkniętym, a nie otwartym, czyli stosować rury a nie dwuteowniki.

W przekroju pręta o profilu zamkniętym (rys.4)  poddanego swobodnemu skręcaniu powstają tylko naprężenia styczne, które są równomiernie rozłożone po grubości t ścianki, czyli inaczej niż w przekroju otwartym (rys.3), w którym zmieniają się liniowo i są zerowe w środku ścianki.

W ściance przekroju zamkniętego definiujemy strumień naprężeń stycznych

$$\begin {equation} q_v =\tau_v \cdot t \label{20} \end {equation}$$

który ma stałą wartość, niezależnie od współrzędnej bieżącej przekroju s, określającej położenie punktów na konturze.

Rys.4 Przekrój zamknięty: S- środek ścinania,  s -współrzędna bieżąca obwodu przekroju pręta, A- pole wewnątrz linii środkowej,  Ω – podwojone pole środkowe, [10]

Strumień naprężeń stycznych  wywołanych momentem czystego skręcania $M_v$ w przekroju zamkniętym oblicza się ze wzoru Bredta

$$\begin {equation} q_v = \cfrac{M_v} {2 \Omega \cdot t} \label{21} \end {equation}$$

$$\begin {equation} \Omega=\cfrac {1}{2}\oint h ds \label{22} \end {equation}$$

gdzie $\Omega$ jest polem powierzchni ograniczonej konturem, to jest linią  środkową ścianek (rys.4).

Moment bezwładności swobodnego skręcania zamkniętego przekroju  cienkościennego $I_v$, występujący w ($\ref{18}$)  wyznaczamy z zależności

$$\begin {equation} I_v = 4 \Omega^2 \left ( \oint {\dfrac {ds} {t(s)}} \right)^{-1} =( 2 \Omega)^2 \cdot \dfrac {t_0} {\overline s_0} \label{23} \end {equation}$$

$$\begin {equation}\overline s_0=\oint \dfrac {t_0} {t(s)} \label{24} \end {equation}$$

gdzie:  $t_0$ – grubość ścianki w dowolnie wybranym miejscu przekroju poprzecznego;   $\overline s_0$ – sprowadzona długość obwodu przekroju.

Dla $t(s)=t=const$ : $I_v=\dfrac{t}{s_0}\cdot (2 \Omega)^2$ ,
gdzie $s_0$ – rzeczywista długość obwodu przekroju .

W tab.2 zamieszczono charakterystyki kilku zamkniętych przekrojów cienkościennych za pracą [7].

Skręcanie nieswobodne

Skręcanie nieswobodne (skrępowane)  omówimy w ramach teorii prętów cienkościennych  Własowa (1959)  [3].

Istota nieswobdnego skręcania. Paczenie (deplanacja) przekroju

W większości praktycznych przypadków deplanacja przekrojów pręta skręcanego (rys. 1c i rys.6) nie może rozwijać się swobodnie, czyli skręcanie jest nieswobodne. Przykładem skręcanie skrępowanego jest zwykłe utwierdzenie końca pręta lub specyficzny, symetryczny sposób przyłożenia momentów skręcających, wymuszający płaskość przekroju leżącego w płaszczyźnie symetrii.

W technicznej teorii nieswobodnego skręcania przyjmuje się, że słuszne są zależności wyprowadzone dla czystego skręcania. Jednostkowy kąt skręcenia $\Theta$ definiuje się podług zależności ($\ref{15}$). Przemieszczenie podłużne przekroju pręta (przemieszczenie paczenia – rys.1c)  jest proporcjonalne do współrzędnej wycinkowej przekroju ze współczynnikiem proporcjonalności $\Theta$:

$$\begin {equation} u(x.y.x)=-\Theta (x) \cdot \omega \label{25} \end {equation}$$

Współrzędna wycinkowa jest specyficzną współrzędną, określającą położenie punktu $P$ (p. współrzędna wycinkowa pręta otwartego i wg rys.8 dla pręta o przekroju zamkniętym).

Rozkład przemieszczeń ($\ref{25}  jest odejściem od klasycznego założenia Bernoulliego o płaskim przekroju  na rzecz sztywnego konturu wewnątrz którego następuje paczenie (deplanacja) przekroju.

Paczenie przekroju jest stowarzyszone z nową siła przekrojową – bimomentem.

Bimoment – nowa siła przekrojowa o dyskusyjnej naturze matematycznej

Z tradycyjnej mechaniki, wynika  że bimoment z definicji jest liczbą (np. [11], [12]), której można przyporządkować nieskończenie wiele bipar (par momentów o przeciwnym zwrocie), a tymi można obciążyć pręt.

W pracy [13] przedstawiono twierdzenia dotyczące algebry układów wektorów sił przyłożonych do płaskiej, sztywnej jedynie w swej płaszczyźnie, linii materialnej, to jest przy założeniu sztywnego konturu przekroju pręta cienkościennego. Rozważania prowadzono w ramach klasycznej algebry wektorów, z której można wyciągnąć wniosek , że bimoment jest liczbą (skalarem).

Tymczasem zagadnienie mechaniki prętów cienkościennych oraz algebry sił w tym bimomentu należałoby rozpatrywać w ramach ogólniejszej algebry Clifforda [14]. Siła fizyczna jest trójką (skalar, wektor, biwektor), która jest nazywana pseudowektorem [15], a bimoment jest składową pseudowektora siły momentu zginającego  i można go nazwać „parą momentów” lub „momentem momentów”. Algebra Clifforda jest szczególnie użyteczna w analizie dużych obrotów, a obecnie obserwuje się renesans jej zastosowań ( np. [16], [17], [18].
Bimoment nie est ani skalarem , ani wektorem – jest składową obiektu matematycznego o nazwie qwaterion (lub pseudowektor) , które sa analizowane  w algebrze  geometrycznej Clifforda  (np. [19], [17], [18].
Bimoment jest składową o nazwie „biwektor” pseudowektora siły przekrojowej stanowiącej  trójkę obiektów [skalar, wektor, biwektor]. Ta trójka obiektów posiada wszystkie cechy tradycyjnego wektora (wartość, kierunek i zwrot)  a ponadto  umożliwia w elegancki, czytelny sposób rozpatrywać zagadnienie dużych obrotów.

Przy zginaniu nieswobodnym powstaje jeszcze jedna nowa siła przekrojowa – moment giętno-skrętny $M_\omega$.

Definicja pręta cienkościennego

Pręt cienkościenny to cylindryczna lub pryzmatyczna powłoka, której trzy miarodajne wymiary są różnych rzędów: długość jest o rząd większa od szerokości (lub wysokości) przekroju, która z kolei jest o rząd większa od grubości ścianki powłoki [20]. Jak pokazuje doświadczenie, a także analiza statyczno-wytrzymałościowa oparta na hipotezach Wlasowa, pręt można uważać za cienkościenny, jeślsi spełnione są warunki [3], [11], [12]:

$$\begin {equation} t \le \cfrac{s}{10} \quad ;  \quad  s \le \cfrac{L}{10}\label{26}  \end {equation}$$

Drugi warunek wynika  z ogólnej definicji pręta (również o przekroju zwartym). Elementy o mniejszej smukłości w zasadzie powinny być analizowane jako tarcze.

Pręty cienkościenne dzieli się z uwagi na geometrię przekroju na:

• otwarte, to znaczy takie, w których linia środkowa nie tworzy obwodów, czyli nigdzie nie zamyka się  (np. rys. 3). Przykładami są kątownik, ceownik, teownik,
• zamknięte (rys. 4) . Przekrój zamknięty jest utworzony wówczas, gdy ścianka tworzy obwód zamknięty (rurę, komorę) [21], np. w sposób pokazany na rys.4. Przekroje zamknięte mogą być jedno- lub wielokomorowe.
• mieszane, które zawierają części otwarte i części zamknięte
• quasi-zamknięte.(rys. 5 )  i rozdział  pręty wielogałęziowe oraz kratownice wielopasowe. 

Modelowanie pręta cienkościennego

Przekrój cienkościenny składa się wyłącznie z odcinków linii i fragmentów otwartych krzywych (rys. 5). W takim modelu charakterystyki geometryczne przekroju (A, I_y, I_z, itd) różnią się od  wartości wyliczonych z klasycznych definicji (p. przykład 1).

Przekrój cienkościenny modelowany jest linią środkową, czyli linią położoną  pomiędzy krawędziami ścianek i równoodległą od obu krawędzi pręta. Linia srodskowa przekroju  jest linią materialną o „grubości $t$.
Linię środkową przedstawia się linią przerywaną

Specyficznym typem podpory w analizie prętów cienkościennych jest podpora widełkowa, czyli taka w której nie jest możliwy kąt obrotu. Na rys. 5 pokazano jedną z możliwych realizacji podpory widełkowej, a obok pokazano stosowany symbol podpory i  warunki brzegowe generowane przez podporę widełkową.

Rys.5 Podpora widełkowa pręta cienkościennego: a ) przykład realizacji podpory, b) symbol i warunki brzegowe ( uzupełniony rys. 4.13 (Bródka J., Broniewicz N., Giżejowski  M. , Kształtowniki gięte. Poradnik projektanta, PWT, Rzeszów , 2006))),

Pole przemieszczeń

Na rys.3  pokazano pole odkształceń przekroju pręta cienkościennego w przestrzeni (e₁,e₂,e₃). Punkt z  konfiguracji początkowej Ω⁽⁰⁾ z wektorem wodzącym R_o(s) układu lokalnego (E₁,E₂,E₃) pod wpływem obciążenia ulega przemieszczeniu o wektor u_o(s) do konfiguracji odkształconej Ω^(N), z wektorem wodzącym r_o(s)początku odkształconego układu lokalnego (t₁, t₂, t₃). 

Pole przemieszczeń  przedstawiono na przykładzie pręta o przekroju quasi-zamkniętym. Charakteryzuje się on tym, że linia środkowa, tworząca obwód jest przecięta wąską szczeliną. Model pręta cienkościennego o przekroju quasi-zamkniętym jest modelem ogólnym. Zagadnienie brzegowe, rządzące rozwiązaniem pręta cienkościennego otwartego jest szczególnym przypadkiem zagadnienia brzegowego dla pręta zamkniętego (a jeszcze ogólniej mieszanego). Jednakże ze względu na konieczność wprowadzenia dość złożonego aparatu formalnego (matematycznego) (p np praca autora [22]) –  analiza zasadniczych aspektów fizycznych pręta cienkościennego  (skręcania skrępowanego oraz zwichrzenia i niestateczności giętno-skrętne) wystarcza prostsza analiza prętów cienkościennych o przekroju otwartym z modyfikacją formuł dla pręta o przekroju zamkniętym.
Pole przemieszczeń liniowych (w celu zwiększenia czytelności bez  kątów obrotu i paczenia) dla pręta cienkościennego o przekroju otwartym zaprezentowano na rys.4.

Rys.5. Pole deformacji pręta quasi-zamkniętego [22]

Rys. 6 Pole przemieszczeń liniowych pręta o przekroju cienkościennym otwartym

Podstawowe zależności różniczkowe

Równanie skręcania  pręta o przekroju cienkościennym (otwartym , zamkniętymi mieszanym), obciążonego rozłożonym wzdłuż jego osi $x$ momentem skręcającym o intensywności $m_s (x)$ ma następującą postać

$$\begin {equation} EI\omega \cdot \cfrac{d^4 \varphi}{dx^4} \, – \, GI_v \cdot \cfrac{d^2 \varphi}{dx^2} = m_s (x) \label{27} \end {equation}$$

gdzie:
$\varphi(x)$ – kąt skręcenia przekroju pręta  wokół osi x,
$EI\omega$ – sztywność giętno-skrętna przekroju pręta: E- moduł Youmga, $I_\omega$ – wycinkowy moment bezwładności,
$GI_v$ – sztywność skrętna przekroju pręta: G- moduł Kirchoffa, $I_v$ – moment bezwładności czystego skręcania (Saint Venanta)

czyli ma postać różniczkową podobną do klasycznego równania zginania względem osi y belki Timoshenko o zwartym przekroju,  sztywności giętnej $EI_y$ i sztywności na ścinanie $kGA$ obciążonej rozłożonym,i pionowymi siłami $q_z$

$EI_y \cdot d^4 w /dx^4 + kGA \cdot (\cfrac{d^2 w}{dx^2} + \cfrac{d^2ψ}{dx^2}) = q_z (x)$ , gdzie $w(x)$ jest ugięciem pręta, wywołanym obciążeniem pręta $q_z(x)$.
Ugięcie $w(x)$  belki  i kąt obrotu zginania  ψ(x)w punkcie belki x zależą od sztywność zginania $EI_y$ i, sztywności na ścinanie $kGA$  belki ( k to współczynnik uwzględniający kształt przekroju, G – moduł Kirchhoffa, A – pole przekroju poprzecznego).

Rozwiązanie równania stanu pręta cienkościennego

Równaniem stanu pręta cienkościennego jest równanie  kąta skręcenia $\varphi$ ($\ref{27}$) . Inne zmienne stanu. w tym siły przekrojowe można wyznaczyć z formuł zależnych tylko od kąta skręcenia i jego pochodnych.  Znajdziemy rozwiązanie równania ($\ref{27}$) zapisanego w postaci

$$\begin {equation}  \varphi^{(iv)}_{(x)} –  k^2  \varphi^{(ii)}_{(x)} = \cfrac{m_s(x)}{EI_\omega}\label{28} \end {equation}$$

gdzie

$$\begin {equation} k^2= \cfrac{GI_v}{EI_\omega} \label{29} \end {equation}$$

Piechnik (2000)  [11] pokazał że równanie różniczkowe czwartego rzędu  ($\ref{28}$) można sprowadzić do równania trzeciego rzędu  w postaci

$$\begin {equation}  \varphi^{(iii)} (x) –  k^2  \varphi^{(i)} (x) = f (x) \label{30} \end {equation}$$

gdzie wyraz wolny – funkcja $f(x)$ jest zdefiniowana jako

$$\begin {equation} f(x) = \,  – \cfrac {1} { \overline {E} I_\omega} M_{x,S}  \label{31} \end {equation}$$

gdzie $M_{x,S}$ ($\ref{1}$) jest  momentem sił wokół osi x przekroju o rzędnej x, liczonym względem środka zginania S.

Sprowadzony moduł Younga $ \overline {E}$ wynosi

$$\begin {equation} \overline {E} \overset {def}{=} \cfrac {E}{1 – \nu^2} \label{32} \end {equation}$$

i pozwala stosować proste prawe Hooka wiążące  odkształcenia i naprężenia wzdłuż osi pręta cienkościennego

$$\begin {equation} \sigma_x = \overline E \cdot \varepsilon_x \label{33} \end {equation}$$

Rozwiązanie zwyczajnego  równania różniczkowego ($\ref{30}$)  jest sumą całek: ogólnej równania jednorodnego $\varphi_o (x)$ i szczególnej równania niejednorodnego.$\varphi_s (x)$

$$\begin {equation} \varphi (x)= \varphi_o (x) +\varphi_s (x) \label{34} \end {equation}$$

Zgodnie z metodą podaną przez Eulera poszukujemy rozwiązania równania jednorodnego

$$\begin {equation}  \varphi^{(iii)} (x) –  k^2  \varphi^{(i)} (x) = 0 \label{35} \end {equation}$$

w postaci $e^{rx}$. Po podstawieniu zmiennych uzyskujemy następujące równanie charakterystyczne

$$\begin {equation}  r^3- k^2 r= 0 \label{36} \end {equation}$$

które ma trzy pierwiastki

$$\begin {equation}  r_1= 0 , \quad r_2=k , \quad r_3= -k  \label{37} \end {equation}$$

Całkę ogólną równania różniczkowego liniowego ($\ref{35}$) można zapisać więc jako kombinację liniową funkcji wykładniczych:

$$\begin {equation}   A e^0 + B e^{kx} + C e^{-kx} \label{38} \end {equation}$$

Po zastąpieniu funkcji wykładniczych ich liniową kombinacją funkcji wykładniczych, zdefiniowanych jako funkcje hiperboliczne $sinh(kx) = \cfrac {e^{kx}- e^{-kx}}{2}$ oraz $cosh(kx) = \cfrac {e^{kx}+ e^{-kx}}{2}$

$$\begin {equation}  \varphi_o(x) =  C_1 + C_2 sinh (kx) + C_3 cosh (kx) \label{39} \end {equation}$$

Całka ogólna  metody parametrów początkowych

Całkę ogólną ($\ref{39}$) można przekształcić do postaci dogodnej do obliczeń metodą parametrów początkowych i korespondującą z równaniem 4 rzędu ($\ref{28}$).

$$\begin {equation}  \varphi_o(x) =  C_1 + C_2 \cfrac{1}{k}sinh (kx) + C_3 \cfrac{1}{k^2 \overline E I_\omega} \left [ 1- cosh (kx) \right]   + C_4 \cfrac{1}{ k^3 \overline E I_\omega} \left [  kx – sinh(kx) \right ] \label{40} \end {equation}$$

Całka szczególna $\varphi_s(x)$ zależy od rozkładu momentów skrecających $M_{x,S}(x)$ po długości pręta  i zwykle przyjmuje się ją metodą przewidywania.

Na przykład w przypadku pręta  obciążonego momentem skręcającym $m_s$ stałym na całej długości pręta (schemat 1.3.5.7 w tab. 4) całkę szczególną można zapisać w postaci

$$\begin {equation}  \varphi_s(x) =  \cfrac{-m_s}{k^4 \overline E I_\omega} \left [ \cfrac{1}{2} (kx)^2 +1 – cosh (kx) \right ]\label{41} \end {equation}$$

Warunki brzegowe a stałe całkowania

Stałe całkowania $C_1, \, C_2 \,  , \, C_3 , \, C_4$ wyznacza się ze statycznych i kinematycznych  warunków brzegowych.

W tab. 4 zapisano warunki dla kliku  często spotykanych schematów belek cienkościennych.

W innych przypadkach  dobór warunków brzegowych przebiega z uwzględnieniem zasad:

• stała całkowania $C_1$ jest kątem obrotu $\varphi$ (x=0) – na początku belki,
•  $C_2$ jest pochodnej kąta $\varphi$ (x=0),
• $C_2$ jest bimomentem  $B_{\varphi}$ (x=0),
• $C_3$ jest momentem skręcającym $M_x$ (x=0)

przy czym:

• przy braku obrotu $\varphi=0$  i swobodzie skręcania $M_x=0$, mamy warunek
  $\varphi^{(iii)} – k^2 \cdot \varphi^{(i)}= 0$
• dla swobodnego końca obciążonego momentem $M_s$ warunek brzegowy
  $ \overline E I_\omega  \sim  \varphi^{(iii)} – k^2  \varphi^{(i)}- M_x$
• w przypadku swobodnego paczenia $B_\omega=0$, czyli
  $\varphi^{(ii)}=0$
• przy braku spaczenia końcowego przekroju $u=0$, czyli
  $\varphi^{(i)}=0$

Analizy prowadzone w pracy [23][/caption]

Współrzędne wersorów lokalnego układu, w dowolnym punkcie $P(s)$ odniesione do układu globalnego  zapiszemy w postaci macierzy [C]:

$$ \begin{equation} [C]= \left[ \begin{array}{cc}
y^{’}(s) \vec{e_x}  &   z^{’}(s) \vec{e_x} \\
– z^{’}(s) \vec{e_n}  & y^{’}(s) \vec{e_n}
\end{array} \right ] \label {42} \end{equation}$$

gdzie: $ y^{’}(s) = \cfrac{dy(s)}{ds}$, $z^{’}(s) =\cfrac{dz(s)}{ds}$

Na linii środkowej przekroju poprzecznego pręta przyjmiemy dowolny punkt (P) o wektorze wodzącym $\overset {\to}{\rho} (s)$ zaczepionym biegunie B o współrzędnych  $B (0 \ , \,  y_b \ , \, z_b)$ oraz utworzymy iloczyn skalarny, który oznaczymy przez $ [d \omega_B](s)$:

$$\begin {equation} [d \omega_B] = \vec {\rho}(s) · \vec { e_n}(s)  ds \label{43} \end {equation}$$

Geometryczną interpretacją bezwzględnej wartości $ || [ d_\omega](s) ||$  jest podwojone pole powierzchni zawartej pomiędzy promieniami wodzącymi $\overset{\to}{\rho} (s)$ i  $\overset{\to}{\rho}(s+ds)$, bowiem bezwzględna wartość iloczynu skalarnego przedstawia długość rzutu wektora $\rho(s)$ na normalną do krzywej, będącego wysokością wspomnianego trójkąta.

Współrzędną wycinkową względem biegunu (B) definiujemy jako :

$$\begin {equation} \omega_B(s) = \int \limits_0^s [ d \omega_B] (s)= \int \limits _0^s \vec{\rho}(s)\cdot \vec{e}_n ds\label{44} \end {equation}$$

Jeśli współrzędna łukowa przebiega po kilku ściankach(bokach linii środkowej), to wówczas powyższe możemy zapisać jako sumę całek

$$\begin {equation} \omega_B(s)=\int_{0}^{s}\vec{\rho}(s) \cdot \vec{ e_n} ds =\sum \limits _{{i=1}}^{j-1}\int \limits_{s_O^{’}}^{s_M^{’}} \vec{\rho}(s) \cdot \vec{e_n} ds+\int \limits_{s_0^j}^{s}\vec{\rho}(s) \cdot \vec{ e_n} ds\label{45} \end {equation}$$

gdzie: $s_O^{’}$ i $s_M^{’}$  jest wartością współrzędnej łukowej punktu i-tej krawędzi początkowego (O) i końcowego (M) na odcinku linii środkowej odpowiednio,

Bezwzględna wartość każdego i-tego składnika sumy jest równa podwojonemu polu zawartemu pomiędzy wektorem wodzącym punktu $s_O^{’}$, i-tym bokiem linii środkowej oraz  wektorem wodzącym punktu $s_M^{’}$.

Zależność  ($\ref{44}$) można zapisać we współrzędnych globalnych (y,z) w postaci;

$$\begin {equation} \omega_B = \int_0^s ( z – z_B) dy – (y – y_B)dz = \int_o^s (z dy – y dz)  –  z_B \int_0^s dy + y_B \int_0^s dz = \omega_O (s) – z_B [y(s) – y_O ] +y_B [z(s) -z_O] \label{46} \end {equation}$$

Ponieważ $\omega_B$ jest współrzędna wycinkową dla bieguna w punkcie (B), a $\omega_O$ dla bieguna we wcześniejszym punkcie (O), to wzór ($\ref{46}$) określa zależność pomiędzy współrzędnymi wycinkowymi przy zmianie bieguna z dowolnego punktu (O) na dowolny punkt(B). Formuła ($\ref{46}$) jest w praktyce stosowana do obliczania współrzędnych wycinkowych przekroju dla znanego puntu początkowego (O) (w którym współrzędna jest znana i zerowa $\omega_O = 0$).

Środek zginania (ścinania) i główne charakterystyki przekroju cienkościennego

Biegun (B) (rys.5b) bęzie środkiem zginania (Z) (w literaturze nazywany również środkiem ścinania lub skręcania), jeśli zerują się wycinkowe momenty odśrodkowe wyznaczone względem tego bieguna:

$$\begin {equation} I_{\omega,y} \overset {df}=  \int_c\omega (s) y(s) t(s) ds  = \iint_A \omega (s) y(s) dA = 0 \\
I_{\omega,z} \overset {df}= \int_c\omega (s) z(s) t(s)  ds = \iint_A \omega (s) z(s) dA = 0\label{47} \end {equation}$$

Po przekształceniu ($\ref{47}$) z zastosowaniem z formuły transformacji współrzędnej wycinkowej- zamiany bieguna ($\ref{46}$) można uzyskać formuły do wyznaczania  współrzędnych środka zginania (Z). Najprostsze  formuły na współrzędne środka zginania (S) $ Z(y_Z\, , \, z_Z)$ uzyskuje się w układzie głównych centralnych osi bezwładności czyli w układzie osi (y,z) przechodzących przez środek ciężkości (C) $S(y_C\, , \, z_C)$ i w którym moment bezwładności $I_y$ jest największy a moment bezwładności $I_z$ najmniejszy.

$$\begin {equation} y_Z= y_B +\cfrac{1}{I_y} \int_A \omega^{’}_B z dA  \quad ; \quad  z_Z = z_B +\cfrac{1}{I_z} \int_A \omega^{’}_B  y dA \label{48} \end {equation}$$

gdzie $\omega^{’}_B$ jest pomocniczą współrzędną wycinkową dowolnego punktu (P) wyznaczoną dla dowolnego (pomocniczego) punktu początkowego (O’) oraz dla dolnego (pomocniczego) bieguua (B’).

Do wyznaczenia głównej współrzędnej wycinkowej oprócz ustalenia  głównego bieguna, którym jest środek zginania (Z) z zależności ($\ref{48}$) należy ustalić jeszcze główny punkt początkowy (O) z zależności

$$\begin {equation}\omega_Z^{’} -\cfrac{1}{A} \int_A \omega_Z^{’} \label{49} \end {equation}$$

gdzie $\omega_Z^{’}$ jest polem wycinkowym względem środka zginania  (Z) od pomocniczego punktu początkowego (O’)

Przekrój cienkościenny zamknięty

Współrzędna wycinkowa

Rys.7 Współrzędne wycinkowe oraz wycinkowe momenty statyczne w rurze prostokątnej [7]

Wykresy uogólnionych współrzędnych wycinkowych oraz wycinkowych momentów statycznych dla zamkniętego przekroju prostokątnego o stałej grubości ścianki  $t=const$ podano na rys.7.

Dla przekroju prostokątnego o dwóch różnych grubościach ścianek (t₁,t₂)  znajduje się wg wzoru w tabeli 1.
Pręty o przekroju trójkątnym i inne w kształcie wieloboku foremnego, ale o stałej grubości ścianki (t=const) nie ulegają deplanacji i ich charakterystyki wycinkowe  są równe zeru.

Uogólniony wycinkowy moment bezwładności dla dowolnego przekroju zamkniętego oblicza się ze wzoru

w którym $\overline \omega$ oznacza uogólnione pole wycinkowe względem środka ścinania $S$ przekroju od głównego punktu początkowego $M$ , tj uogólnione pole wycinkowe.

Uogólnione pole wycinkowe względem dowolnego bieguna B , od dowolnego punktu początkowego M’ na konturze, oblicza się  ze wzoru

gdzie:
$\overline \omega’_B$ -pole wycinkowe względem bieguna $B$ od punktu $M’$, dla obszaru przeciętego w dowolnym punkcie $C$ (rys. 3)
$\overline s= \int \limits_0 \limits^s \dfrac {t_0} {t(s)} ds$ – sprowadzona współrzędna $s$ (długość konturu) liczona od punktu M’.

Rys. 8. Wyznaczanie głównej współrzędnej wycinkowej przekroju zamkniętego [7]

 Współrzędne środka ścinania (zwanego  również środkiem  skręcania) $S$ przekroju  zamkniętego  wyznacza się w układzie  centralnych , głównych osi bezwładności,  z  następujących wzorów:

gdzie $y_B$, $z_B$ – współrzędne dowolnie przyjętego bieguna $B$ ,  który na ogół przyjmuje się na konturze; $y,z$ – współrzędne  kartezjańskie dowolnego punktu na konturze;  $I_y$, $I_z$ –  główne momenty bezwładności przekroju poprzecznego  względem głównej osi poziomej y i pionowej z odpowiednio.

Stan naprężeń

Naprężenia

Brak swobody deplanacji wywołuje naprężenie normalne do przekroju równe

$$\begin {equation} \sigma_\omega=E \cfrac {du} {dx}=-E \frac {d^2\varphi} {dx^2} \label{50} \end {equation}$$

gdzie $E$- moduł odkształcalności podłużnej (Younga),  a $\varphi$ jest kątem skręcenia przekroju.  Zachodzi

Można pokazać, że naprężenia normalne $\sigma_\omega$ można wyrazić za pomocą nowej siły przekrojowej bimomentu $B_\omega$ w postaci [9]:

$$\begin {equation} \sigma_{\omega}=\cfrac {B_{\omega}}{I_{\omega}} \cdot \omega \label{51} \end {equation}$$

Moment giętno-skrętny wywołuje naprężenia styczne  $\tau_\omega$ o stałej wartości po grubości ścianki, które można wyznaczyć z zależności:

$$\begin {equation} \tau_\omega= \frac {M_\omega \cdot S_\omega}{I_\omega \cdot t} \label{52} \end {equation}$$

gdzie:  $S_\omega$ – wycinkowy moment statyczny przekroju, $t$ – grubość ścianki przekroju., przy czym

$$\begin {equation} M_x= M_\upsilon + M_\omega \label{53} \end {equation}$$

Naprężenie styczne od momentu czystego skręcania wyznaczamy ze wzoru[21]:

$$\begin {equation} \tau_\upsilon= \cfrac {M_\upsilon }{W_\upsilon}\label{54} \end {equation}$$

gdzie:

$$\begin {equation} W_\upsilon= \cfrac {I_\upsilon }{max \, t_i } \label{55} \end {equation}$$

jest wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie, równym stosunkowi momentu bezwładności na skręcanie i maksymalnej grubości ścianki.

Dla przekroju cienkościennego przekroju cienkościennego otwartego, złożonego moment bezwładności na skręcanie można oszacować z zależności ($\ref{24}$)

W przypadku przekroju zamkniętego o powierzchni $\Omega$ zamkniętej wewnątrz linii środkowych przekroju, wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie, wynosi

$$\begin {equation} W_\upsilon = 2 \cdot \Omega \cdot min \{t_i \} \label{56} \end {equation}$$

gdzie występuje minimalna grubość $t$ ścianki przekroju.

Sztywność na skręcanie przekroju zamkniętego jest wielokrotnie większa od przekroju otwartego i jest proporcjonalna do podwojonego pola zawartego wewnątrz przekroju.

Ze skręcaniem skrępowanym mamy do czynienia w przypadku skrępowania deplanacji przekroju poprzecznego pręta. W wyniku tego w przekroju powstają naprężenia normalne $\sigma_{\overline \omega}$ oraz dodatkowe naprężenia styczne  $\tau_{\overline \omega}$ . Naprężenia te wyznacza się ze wzorów:

$$\begin {equation} \sigma_{\overline \omega}=\cfrac {B_{\overline \omega} \cdot \overline \omega} {I_{\overline \omega}} \label{57} \end {equation}$$

$$\begin {equation} \tau_{\overline \omega}= – \dfrac {M_{\overline \omega} \cdot \overline S_{\overline\omega} } {I_{\overline \omega} \cdot t(s)} \label{58} \end {equation}$$

gdzie:
$\overline \omega$ – główne, uogólnione pole wycinkowe (współrzędna wycinkowa przekroju);
$I_{\overline \omega}$ – uogólniony wycinkowy moment bezwładności;
$ \overline S_{\overline \omega}$ – uogólniony wycinkowy moment statyczny przekroju.
Dodatnim naprężeniom $\tau_{\overline \omega}$ odpowiada zwrot zgodny z kierunkiem dodatniego przyrostu współrzędnej s.c
W odróżnieniu od prętów o przekrojów otwartym , giętno skrętne naprężenia styczne $\tau_{\overline \omega}$ stanowią samozrównoważone układy sił i tym samym cały moment skręcający $M_v$ przenoszą naprężenia styczne swobodnego skręcania  $\tau_v$.

Całkowite naprężenie styczne w dowolnym punkcie przekroju znajduje się jako sumę  $\tau_v+ \tau_{\overline \omega}$.

Deplanacja przekroju i bimoment

Odkształcenia przekroju pręta cienkościennego objawiają się deplanacją (spaczeniem) przekroju, to znaczy przekrój płaski przed odkształceniem nie zachowuje płaskości (rys.4).  Nie jest więc zachowana zasada płaskich przekrojów -fundamentalna zasada zginania pręta o przekroju zwartym. Podczas deplanacji punkty odkształconego przekroju pozostają nie na płaszczyźnie, ale na pewnej krzywoliniowej powierzchni.

Rys.4. Deplanacja (spaczenie) przekroju dwuteowego

Charakterystycznym punktem przekroju cienkościennego jest środek zginania (zwany czasami środkiem skręcania lub środkiem ścinania). Jest to  punkt położony w przekroju lub poza nim,  taki, że obciążenie przechodzące przez ten punkt  nie powoduje skręcania pręta, a tylko jego zginanie poprzeczne. W takim przypadku pozostaje słuszna zasada płaskich przekrojów Bernulliego i pręt jest poddany zginaniu bez udziału skręcania.

Skręcanie pręta zawsze wywołuje deplanację przekroju. Jeśli deplanacja nie jest swobodna (jest ograniczona więzami nałożonymi na przekrój), to wskutek różnicy wydłużeń włókien  przekroju powstają naprężenia normalne. Wprowadza się dodatkową siłę przekrojową, która opowiada za te naprężenia normalne. Nazywa się ją bimomentem.

Więcej o prętach cienkościennych → Wykład Leszka Chodor

Pręty wielogałęziowe oraz kratownice wielopasowe

Pręty (kratownice) wielopasowe można przystosować do przenoszenia momentu skręcającego poprzez stosowny dobór zamykającego skratowania lub przewiązek. Przykładem skręcanych kratownic są galerie przenośnikowe, bramki nad autostradami lub słupy energetyczne. W ścianach takich kratownic powstają  siły typowe dla swobodnego skręcania prętów o przekroju zamkniętym [7].

Na rys.1 pokazano najprostszy schemat pręta wielogałęziowego – kratownicy czteropasowej o przekroju prostokątnym hxb, skręcanego momentem skręcającym T, stałym po długości pręta.

Rys.1. Skręcana kratownica czterogałęziowa [rys własny]

Na rys.2 pokazano cienkościenny przekrój quasi-zamknięty oraz przykłady prętów o dwu gałęziach, które mogą być łączone skratowaniem lub przewiązkami w sposób często stosowany przy konstruowaniu dwugałęziowych slupów. Przekrój pozornie zamknięty skratowaniem lub przewiązkami można zamodelować zastępczym przekrojem cienkościennym i zastosować analogię prętową.

W ściance o grubości t zamkniętego przekroju cienkościennego, skręcanego momentem skręcającym T  powstają równomiernie rozłożone po grubości ścianki naprężenie styczne $\tau$, które  można sprowadzić do wydatków (sił  jednostkowych) $q=\tau \cdot t$.  Zgodnie  z teorią Bredta wydatki styczne od skręcania w ściankach  przekroju zamkniętego są równe $q=\frac{T}{\Omega}$, gdzie $\Omega$  jest podwojonym polem zawartym wewnątrz linii środkowej przekroju zamkniętego. Ponieważ przekrój zamknięty skratowaniem jest tylko quasi-zamknięty, więc siły w ściankach będą nieco mniejsze. Można wykazać [21], że będą one zmniejszone współczynnikiem $k_T=\frac{\overline I_T}{I_T+\overline I_T}$ ,  gdzie  $I_T$ jest momentem bezwładności skręcania przekroju otwartego (bez uwzględnienia zamykającego skratowania lub przewiązek)  $I_T=\frac{\eta}{3}\cdot\sum \limits _{(i)} h_i \cdot t_i^3$  ($h_i$  i  $t_i$ są długością i grubością i-tej ścianki przekroju,  $(i)$ – (suma) po wszystkich ściankach przekroju,   $\eta$ – współczynnik uwzględniający wpływ wyokrąglenia i zmienne grubości ścianek półek wynosi:   dla płaskich ścianek bez wyokrągleń oraz dla ścianek kątowników i profilów spawanych $\eta=1,0$;   dla ścianek dwuteowników $\eta=( 1,2\,do\,1,3)$ średnio 1,25;  dla ścianek ceowników i teowników $\eta=1,12$.  $\overline I_T$  jest dodatkowym moment bezwładności swobodnego skręcania przekroju zależnym od sposobu zamknięcia przekroju pręta.

Dla przypadku skratowania pokazanego  na rys 2a (wykratowanie typu V bezsłupkowe)  i rys 2b ( wykratowanie typu N ) odpowiednio,  mamy [7]:
$\overline I_T=\frac{E}{G}\left ( \frac{\Omega}{b} \right )^2 \ F_d \ sin^2\alpha\cos\alpha$, $\overline I_T=\frac{E}{G} \cdot \left ( \frac{\Omega}{b} \right )^2 F_d \frac{F_c \ sin^2{\alpha} \cdot cos\alpha}{F_c+F_d \ sin^3\alpha}$

a dla łączenia przewiązkami (rys 2c):
$\overline I_T=24\frac{E}{G} \cdot \left ( \frac{\Omega}{b} \right )^2 \cdot \frac{I_f}{a^2}\left ( 1+2\frac{b_1I_f}{aI_s}+28,8\cdot \frac{E}{G}\ \frac{I_f}{ab_1F_s} \right )^{-1}$

 gdzie: $E, G$ – moduł Younga i moduł Kirchoffa materiału; $b,b_1$- prześwit i odległość osiowa między gałęziami pręta; $F_d,F_c,F_f$ – pole przekroju krzyżulca, słupka, pasa (gałęzi); $I_f$- moment bezwładności giętnej pojedynczej gałęzi ; $a$- odległość osiowa między przewiązkami lub węzłami skratowania.

Rys.2 Słup wielogałęziowy: a,b) skratowany, c) z przewiązkami [7]

W rezultacie wydatki styczne w ściankach bocznych pręta wynoszą  $q=k_T\frac{T}{\Omega}$ , a poprzeczne siły działające na składowe kratownice płaskie są sumą wydatków zebranych z szerokości ścianki, czyli dla kratownic pionowych z rys. 1 (prawego i lewego boku) :  $Q_h=q \cdot h$ , a dla kratownic poziomych (płaszczyzny dolnej i górnej) $Q_b=q \cdot b$.

Rys.3. Typowe przekroje kratownic wielopasowych [rys. własny]

Do wstępnego wymiarowania prętów kratownic przestrzennych można pomijać zmniejszający wpływ skratowania na siły wywołane skręcaniem i przyjmować $k_T=1$ , a wówczas w  przypadku przekrojów pokazanych na rys. 3, mamy:

• dla kratownicy  czteropasowej prostokątnej bxh:
  $Q_h=\frac{T \cdot h}{2bh}=\frac{T} {2b}$, $Q_b=\frac{T} {2h}$

• dla kratownicy trójpasowej o przekroju trójkąta równobocznego o boku a:
  $Q=\frac{2T}{a \cdot \sqrt{3))$

Obciążenia poprzeczne Q są przyłożone do wydzielonej kratownicy płaskiej zgodnie z przebiegiem momentu skręcającego T(x) po długości pręta x. Siły w prętach kratownicy wyznacza poprzez rozwiązanie kratownic płaskich pod takim obciążeniem. Należy pamiętać o sumowaniu sił w pasach od poszczególnych kratownic składowych z uwzględnieniem kierunku obciążenia Q. Na przykład dla kratownicy, pokazanej na rys 1 mamy :

1. kierunki obciążeń zewnętrznych Q:  
   kratownica K1   (ściana prawa) –  pionowo w dól,
   kratownica K2  (podłoga) –  poziomo w lewą stronę,
   kratownica K3  (ściana lewa)  –  pionowo do góry,
   kratownica K4 (dach) – poziomo w prawą stronę,
2. kierunki sił w pasach kratownic:
   K1: pas górny PG – ściskany,  pas dolny PD – rozciągany,
   K2 pas prawy PP – ściskany, pas lewy PL – rozciągany,
   K3 pas dolny PD – ściskany, pas górny PG – rozciągany,
   K4 pas lewy PL – ściskany, pas prawy PP – rozciągany
3. Sumaryczne siły N
   pas górny prawy – K1(PG)+K4(PP)
   pas dolny prawy – K1(PD)+ K2(PP)
   pas dolny lewy –    K2(PL)+K3(PD)
   pas górny lewy –    K3(PG)+K4(PL)

Oznacza to, że w przypadku przekroju kwadratowego h=b siły osiowe w pasach będą zerowe, a całkowity moment skręcający przenosi skratowanie ścian.

Należy jeszcze wskazać, że kratownica przestrzenna, przenosząca skręcanie powinna być skratowana na wszystkich płaszczyznach bocznych oraz powinna być wyposażona w poprzeczne przepony w miejscach przyłożenia momentów (w tym w zamocowaniu) oraz nie rzadziej niż co 8-me pole kratownicy. Do wyznaczania przemieszczeń kratownicy od wpływu skręcania należy uwzględniać współczynnik $k_T<1$. Analizując kratownice w modelu zastępczym pręta w złożonym stanie obciążenia (zginanie, ścinanie, skręcanie) należy stosować element Timoshenko.

Przykłady rachunkowe

Przykład 1 [Charakterystyki geometryczne przekroju otwartego ]

Przykład 1-2, cz.1 z pracy [7]

Znaleźć charakterystyki geometryczne przekroju cienkościennego otwartego, pokazanego na rys. P1-1, złożonego z pasów: [f1] 220×10, [f2] 120×10 oraz środnika [w] 280×8.

Rss. P1-1 Przekrój cienkościenny otwarty do przykąłdu 1

Klasyczne charakterystyki geometryczne

Pole przekroju $A= (6+16)\cdot 1+12\cdot 1+ 28 \cdot 0,8 = 56, 4 \, cm^2$

Momenty statyczne względem osi środnika:
$S_y  = 22 \cdot 1 \cdot (28/2 +0,5) +  28\cdot 0,8 \cdot 0  + 12\cdot 1 \cdot – ( 28/2 + 0,5) = 145  \, cm^3$
$S_z  = 22 \cdot 1 \cdot (22/2 – 6) +  28\cdot 0,8 \cdot 0 + 12\cdot 1 \cdot 0 =110 \, cm^3

Współrzędne środka ciężkości
$y_C  =\cfrac{110}{56,4}= 1,95 \, cm$
$z_C  =\cfrac{145}{56,4}= 2,57 \, cm$

Przykład w przygotowaniu

Charakterystyki geometryczne liczone jak dla przekroju cienkościennego

Pole przekroju $A= (6+16)\cdot 1+12\cdot 1+ (28 +2 \cdot 0,5) \cdot 0,8 = 57,2 \, cm^2$

Momenty statyczne względem osi środnika:
$S_y  = 22 \cdot 1 \cdot (28/2 +0) +  (28\cdot 0,8 \cdot 0  + 12\cdot 1 \cdot – ( 28/2 + 0) = 145  \, cm^3$
$S_z  = 22 \cdot 1 \cdot (22/2 – 6) +  28\cdot 0,8 \cdot 0 + 12\cdot 1 \cdot 0 =110 \, cm^3

Współrzędne środka ciężkości
$y_C  =\cfrac{110}{57,2}= 1,92 \, cm$
$z_C  =\cfrac{145}{57,2}= 2,53 \, cm$

odległość środka ciężkości od osi pasa
$Z_{C+}= 28/2+0,5 -2,53=

Przykład 2 [Siły przekrojowe w pręcie cienkościennym ]

Przykład 1-2 z pracy [7]

Znaleźć kąt skręcenia i siły przekrojowe w pręcie o schemacie statycznym podanym w wrs 6. tab.4,  ale dla obciążenia skupionym momentem $M_s$ przyłożonego do dowolnego miejsca po długości pręta, jak pokazano na rys. P2-1

Rys. P2-1 Schemat belki do przykładu [7]

Rozwiązanie  belki znajdujemy w postaci ($\ref{40}$).

Z warunków brzegowych dla x=0 : $\varphi =0$ ; $B_\omega=0$ wynika wprost $C_1=0$ ; $C_3=0$ , a stąd kąt obrotu w przedziale (I)  ($0 le x < a$)  opisuje zależność

$\varphi_I = C_2 \cfrac{1}{k sinh (kx)} +C_4 \cfrac{1}{k^3 \overline E I_\omega} [kx – sinh (kx)]

 Literatura

1. Sapountzakis, E. J., Bars under Torsional Loading: A Generalized Beam Theory Approach. Review Article. ISRN Civil Engineering, 2013, pp.1–39, [  http://dx.doi.org/10.1155/2013/916581]
2. Marguerre M., K., Torsion von voll-und hohlquerschnitten,  Der Bauingenieur, vol. 21, pp. 317–322, 1940
3. Vlasov, V. Z., Tonkostiennyje uprugije stierzni, Gos. Izd. Fiz Mat. Literat., Moskva 1959 / Thin-Walled Elastic Beams.  Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, Israel, 1961
4. STRENCO. (2016, 2019). Consteel, Oprogramowanie dla budownictwa, [http://www.strenco.pl/strenco ]
5. Consteel Software. (2020), ConSteel 14 Manual , [ http://www.consteelsoftware.com/en/downloads/manuals-documents ]
6. CTICM. (2013). LTBeam Software (1.011), [ http://www.cesdb.com/ltbeam.html ]
7. Niewiadomski Z., Wytrzymałość prętów cienkościennych – w pracy Bogucki W. (Red.), Poradnik projektanta konstrukcji metalowych: praca zbiorowa. Tom I., cz.1.1. Arkady, Warszawa), 1980
8. Piechnik S,. Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, PWN, Warszawa-Kraków 1980
9. Piechnik S., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, PWN, Warszawa-Kraków 1980
10. (Niewiadomski Z., Wytrzymałość prętów cienkościennych – w pracy Bogucki W. (Red.), Poradnik projektanta konstrukcji metalowych: praca zbiorowa. Tom I., cz.1.1. Arkady, Warszawa), 1980
11. Piechnik, S. Pręty cienkościenne otwarte. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2000
12. Piechnik S. Mechanika techniczna ciała stałego, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków, 2007
13. Piechnik, S. (2006). Algebra of systems of forces applied to the flat material line. JTAM, 44(1), 107–125
14. Clifford, W. K. (1873). Preliminary sketch of bi-quaternions. Proc. London Math. Soc., 4, 381–395
15. Jancewicz, B. (2011). Pseudowektory. Foton, 115(Zima 2011), 31–43
16. Jancewicz, B., Brzeski, P. (2005). Magnetic field surfaces. European Journal of Physics, 26, 617–634
17. Perwass, C. (2009). Geometric algebra with applications in engineering. Springer
18. Gull, S., Lasenby, A., , Doran, C. (1993). Imaginary Numbers are not Real – the Geometric Algebra of Spacetime. Found. Phys., 23(9), 1175–1201
19. Jancewicz, B., & Brzeski, P. (2005). Magnetic field surfaces. European Journal of Physics, 26, 617–634.
20. Birger, I. A., & Panowko, J. G.,Procnost, ustojcivost, kolebanija, Spravocnik (Vol. 1). Mosinostroejnije, 1968
21. Brzoska Z., Statyka i stateczność konstrukcji prętowych cienkościennych, (Wyd. II, PWN, Warszawa, 1965
22. Bijak, R., Chodor, L., Kołodziej, G., & Kowal, Z. (1997). Sensitivity of Cross-Section Shape for Nonlinear Thin-Walled Bars. Proceeedings of Conference of Computer Methods in Mechanics, Poznań 1997, 175–182, [ https://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/1997-Bijak-Chodor-i-in,Sensitivity-Cross-Shape,Poznan.pdf ]
23. Piechnik, S. Pręty cienkościenne otwarte. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2000) pozwalają postawić warunki brzegowe dla bardziej złożonych przypadków z dokładnością pozwalającą uwzględniać pojedyncze więzi składających się na deplanację przekroju.

    Artykuł  jest naprawiany po poważnej awarii portalu

    Charakterystyki geometryczne przekroju cienkościennego

    Przekrój cienkościenny otwarty

    Współrzędna wycinkowa

    Lokalny krzywoliniowy układ współrzędnych $(x,s,n)$ w dowolnym punkcie powierzchni środkowej pręta (rys. 5) definiujemy w ten sposób, że pierwszą oś układu określamy jako równoległą do osi globalnej $x$, przyjmując dla niej to samo oznaczenie (rys 5a) o wersorze $\overset{\to}{e_x}$. Druga oś $s$ jest styczna do linii środkowej, definiuje wersor $\overset {\to}{e_s}$. Oś trzecia $n$ jest wyznaczona wersorem $\overset {\to}{e_n}= \overset {\to}{e_x} \times \overset{\to}{e_s}$ Początek osi  spółrzędnej łukowej $s$ przyjmujemy w ustalonym punkcie $O$ na linii środkowej, zwanym początkiem przekroju. Punkt B  jest dowolnie przyjętym biegunem z którego prowadzi się promienie $\rho(s)$ do punktu bieżącego $M(s)$ i promień  $ \rho (s+ds)$ do punktu bieżącego po przyroście współrzędnej łukowej s.
    Obok zdefiniowanych wyżej współrzędnych w analizie prętów cienkościennych posługujemy się jeszcze współrzędną wycinkową $\omega$. Przy znajomości linii środkowej, położenia punktu początkowego (O) i bieguna (B) – współrzędna wycinkowa w sposób jednoznaczny wyznacza położenie dowolnego punktu (P). Wartość współrzędnej wycinkowej punktu (P) zależy zarówno od położenia bieguna (B) jak i punktu początkowego (O) – najczęściej punktu zerowej współrzędnej wycinkowej.

    Rys. 6 Współrzędne  przekroju cienkościennego  otwartego (s, n, $\omega$), gdzie $\omega$ – współrzędna wycinkowa: a)  układ globalny (x,y,z)  i lokalny  (x,n,s) współrzędnych punktu, b) współrzędna wycinkowa $\omega$ zmodyfikowane ((Gawłowski, S. (2006). Podejście statyczne do oceny nośności granicznej prętów cienkościennych otwartych, Praca doktorska, Politechnika Krakowska

________________________________