Konstrukcje zespolone stalowo-betonowe

Artykuł w trakcie edycji. Uwaga – niedokończone formuły i przykłady

Współczesne konstrukcje budowlane projektowane i wykonywane są tak, by osiągnąć optymalne właściwości (wytrzymałość, stabilność, tłumienie drgań, odporność ogniową, izolacyjność cieplną, trwałość, itd) w drodze połączenia zalet różnych materiałów w wybranej  lokalizacji, orientacji, połączeniu i nasyceniu w konstrukcji. Uzyskuje się to poprzez budowę elementu konstrukcji  z materiału kompozytowego  lub łączenie elementów wykonanych z różnych materiałów poprzez zespolenie lub swobodne zestawienie. Przykładem kompozytu jest żelbet, stanowiący połączenie betonu i stali. Przykładem elementu zespolonego jest strop z płytą żelbetową na belkach stalowych z zastosowaniem łączników zespalających. Przykładem konstrukcji zestawionej z elementów wykonanych z różnych materiałów jest hala „stalowa” z przekryciem stalowym na słupach żelbetowych.

Wprowadzenie

Konstrukcje stalowo-betonowe wykorzystują najlepsze cechy drogiej i energochłonnej stali, tam gdzie jest potrzebna duża wytrzymałość na rozciąganie lub zginanie, i stosunkowo taniego betonu tam , gdzie jest przeważające ściskanie, gdzie potrzebne jest działanie tłumiące masy lub ognioochronne kamienia. Uzupełnieniem tych materiałów może być drewno, szkło i materiały izolacyjne. Współczesne budynki rzadko zaprojektowane są tylko z jednego materiału konstrukcyjnego, a coraz większego znaczenia nabiera łączenie różnych materiałów, a przede wszystkim stali i betonu również w elementach żelbetowych, gdzie coraz częściej stosuje się połączenia zbrojenia inne niż na przyczepność do betonu. W połączeniach elementów stalowo-betonowych ważne są połączenia suche, w tym realizowane za pomocą nowoczesnych łączników, np kotew wkręcanych, typu HUS , prod. HILTI.

Zespolenie materiałów w elemencie konstrukcyjnym może być pełne lub częściowe.  Przy częściowym zespoleniu o nośności elementu decyduje odkształcalność łączników, wskutek czego na granicy warstw różnych materiałów następuje wzajemne przesunięcie. Jeśli liczba i nośność łączników zapewnia pełną współpracę, to wówczas wystąpi pełne zespolenie. Zagadnienie dobrze ilustruje podstawowe zadanie wytrzymałości materiałów, a mianowicie zadanie projektowanie złożonych belek zginanych poprzecznie.

Zespolenie

Pojęcie zespolenia

W celu zdefiniowania zespolenia rozpatrzmy zadania pomocnicze: klasyczne zadanie zginania poprzecznego belki złożonej z dwóch bali o przekroju prostokątnym bxh, zginanej siłą P (rys.1) .

def zespolone

Rys. 1 Dwa bale  bxh w zakresie sprężystym: a) schemat, b) swobodne, c) zespolone (Piechnik, 1980)

W przypadku, gdy bale (deski) są położone na sobie i nie są połączone, to odkształcą się tak jak pokazano na rys.1a. Skutkuje to naprężeniami pokazanymi na rys. 1b). Każdy bal przejmuje połowę siły obciążającej P/2, a maksymalne naprężenia na krawędzi każdego bala wynoszą:

$$\begin{equation}  max \ \sigma= \cfrac {M} {W_{el,S}}= \cfrac {{ \frac {P} {2} \cdot l}}{ \frac {b\cdot h^2} {6}}=3 \cfrac {Pl} {bh^2} \label{1} \end{equation}$$

Jeśliby bale były ze sobą sklejone w sposób uniemożliwiający wzajemny przesuw, to rozkład naprężeń byłby taki, jaki pokazano na rys. 1c, to znaczy:

$$\begin{equation}  max \ \sigma= \cfrac {M} {W_{el,Z}}= \cfrac {{ P \cdot l}}{ \frac {b\cdot (2h)^2} {6}}= \cfrac {3}{2} \cdot \cfrac {Pl} {bh^2} \label{2} \end{equation}$$

Z porównania $ ( \ref{1})$ i $ ( \ref{2})$ widać, że na skutek sklejenia bali uzyskaliśmy dwukrotne zwiększenie ich nośności w zakresie sprężystym. Pozwala to na przyjęcie mniejszych wymiarów przekroju poprzecznego.

Zjawisko zilustrowane na rys.1 i opisane zależnościami ($\ref{1})$ oraz ( $\ref{2}$) można uogólnić na inne przekroje i inne schematy statyczne. W przypadku braku zespolenia sprężysty wskaźnik wytrzymałości $ W_{el}$ belki złożonej ze swobodnie ułożonych na sobie części  jest sumą wskaźników wytrzymałości:

$$\begin{equation} W_{el,S}= \sum_i W_{el,i} \label{3} \end{equation}$$

W przypadku przekroju złożonego z nieprzesuwnych (zespolonych) części sumują się momenty bezwładności zgodnie z twierdzeniem Steinera.

W przypadku zginania w zakresie plastycznym zależności  ($\ref{1}$) i ( $\ref{2}$) przyjmą postać:

$$\begin{equation} max \ \sigma= \cfrac {M} {W_{pl,S}}= \cfrac {{ \frac {P} {2} \cdot l}}{ \frac {b\cdot h^2} {4}}=2 \cfrac {Pl} {bh^2} \label{4} \end{equation}$$

$$\begin{equation} max \ \sigma= \cfrac {M} {W_{pl,Z}}= \cfrac {{ P \cdot l}}{ \frac {b\cdot (2h)^2} {4}}= 1 \cdot \cfrac {Pl} {bh^2} \label{5} \end{equation}$$

 i uzyskujemy podobne zwiększenie nośności przekroju zespolonego w stosunku do przekroju złożonego swobodnie.

Istota zespolenia polega na odpowiednim połączeniu leżących na sobie części elementu za pomocą łączników, którymi w powyższym przykładzie był klej. W praktyce stosuje się łączniki mechaniczne, takie jak: gwoździe, kliny, spawane spoiny i wreszcie kołki (sworznie).

W każdym przypadku łączniki te są obciążone siłą rozwarstwiającą, działającą stycznie do łączonych powierzchni ( na rys.1 poziomo w osi x) . Siła ta jest wywołana siłą poprzeczną (ścinającą) , działającą pionowo. W przypadku wspornika z rys 1 a siła poprzeczna T=P, a naprężenia rozwarstwiające w stanie sprężystym można obliczyć ze wzoru Schwedlera-Żurawskiego dla poprzecznego zginania:

$$\begin{equation} \tau(x)= \cfrac {T \cdot \overline S_y } {I_{y,Z}\cdot b} \label{6} \end{equation}$$

gdzie:
$ T = T(x)$  – siła poprzeczna w belce o współrzędnej x;
$\overline S_y$ – moment statyczny odciętej części  przekroju ( w przypadku nas rys.1 połowy przekroju) względem osi obojętnej y;
$ I_{y,Z}$ – moment bezwładności przekroju zespolonego Z względem osi y;
b- szerokość przekroju w miejscu zespolenia.

Jeśli w miejsce kleju zastosowane zostaną łączniki (np. kołki) w odstępie e, to łączniki powinny przenieść siłę rozwarstwiającą $T_{\tau}$, wynikającą z naprężeń ($\ref{6}$):

$$\begin{equation} T_{\tau}= b\cdot e \cdot \tau(x)= \cfrac {T(x) \cdot \overline S_y} {I_{y,Z}} \cdot e \label{7} \end{equation}$$

Zasady podstawowe

Analiza przedstawiona na rys.1 dotyczy zakresu sprężystej pracy belki. Badania doświadczalne belek zespolonych stalowo-betonowych wskazują, że element zespolony osiąga nośność w zakresie plastycznym, a belka nadal ma duże zapasy nośności. Analiza sprężysta jest dokonywana tylko w szczególnych przypadkach, gdy zastosujemy łączniki podatne, co prowadzi do częściowego zespolenia, ale również wówczas metody obliczeń wykorzystują w dużym stopniu badania doświadczalne.

Badania doświadczalne (Johnson, 2004) i inne , wykazały: że:

W belkach swobodnie podpartych występuje duża rezerwa nośności oraz  duże ugięcia belek od początku uplastycznienia przekroju stalowego do osiągnięcia nośności granicznej. Jest to spowodowane wzmocnieniem stali przy odkształceniu plastycznym. Poślizg w płaszczyźnie zespolenia ma bardzo mały wpływ na nośność belki.

W belach ciągłych nośność graniczna przekroju z płytą rozciąganą jest równa momentowi plastycznemu przekroju belki stalowej i podłużnego zbrojenia płyty pod warunkiem, ze nie nastąpi utrata stateczności belki stalowej. Poślizg w płaszczyźnie zespolenia ma bardzo mały wpływ na nośność belki zarówno dodatnią jak i ujemną (moment podporowy). Obecność zbrojenia podłużnego w płycie powoduje wystąpienie siły ściskającej w belce i zwiększa ryzyko utraty jej stateczności.

Uplastycznienie przekroju jest powszechnie przyjęte jako kryterium obliczania nośności przekroju zespolonego zginanego momentem dodatnim .

Nośność przekroju poprzecznego belek oblicza się , przyjmując następujące założenia:

  • wytrzymałość betonu na rozciąganie jest pomijalnie mała,
  • obowiązuje zasada płaskich przekrojów,
  • rozkład naprężeń w przekroju zgodnie z rys.2.

Rys.2. Rozkład naprężeń w przekroju zespolonym obciążonym: a) momentem dodatnim, b) momentem ujemnym

Wyodrębnia się dwie podstawowe postacie zniszczenia belek:

  1. zmiażdżenie betonu po wzmocnieniu stali przez odkształcenia plastyczne,
  2. zmiażdżenie betonu przed  rozwinięciem znaczącego wzmocnienia stali.

W pierwszym przypadku belka jest określana jako ciągliwa, a w drugim jako krucha. Belki o przekroju ciągliwym są bardziej korzystne do konstrukcji budowlanych, ponieważ: 1) ich nośność graniczna jest zawsze większa ( nawet do 35%) od teoretycznego momentu plastycznego, 2) zniszczenie jest sygnalizowane poprzedzającymi znacznymi ugięciami, 3) odkształcenia plastyczne stali umożliwiają redystrybucję sił w belach statycznie niewyznaczalnych.

W belkach wystarczająco zabezpieczonych przed ścinaniem i poślizgiem w płaszczyźnie zespolenia, zachowanie przekroju zależy głównie od wymiarów płyty betonowej dźwigara oraz od granicy plastyczności stali i wytrzymałości betonu na ściskanie. Grubość płyty betonowej znacząco wpływa na nośność, a jej szerokość determinuje „ciągliwość” przekroju. Zwiększenie szerokości płyty umożliwia uzyskanie większego momentu wzmocnienia, ponieważ płyta może wciąż równoważyć siły w dźwigarze, gdy stal jest stopniowo wzmacniana a przez odkształcenia plastyczne.

Granica plastyczności stali ma znaczący wspływ na zachowanie się przekroju, niezależnie od geometrii płyty. Moment plastyczny wzrasta liniowo wraz ze wzrostem granicy plastyczności, ale równocześnie maleje ciągliwość przekroju. „Ciągliwość ” przekroju wzrasta jednak wraz z e wzrostem wytrzymałości betonu. Wysoka wytrzymałość betonu sprzyja powstawaniu w belce dużej krzywizny, ponieważ siła ściskająca może być przeniesiona przez cienką warstwę betonu przy wierzchu płyty. Duże krzywizny umożliwiają duże wzmocnienie dźwigara przez odkształcenia plastyczne. Jeżeli beton ma niewielką wytrzymałość , cała płyta musi przenosić się z dźwigara stalowego, a miażdżenie betonu następuje przy małej krzywiźnie .

Obliczenia projektowe

Sytuacje obliczeniowe

Obliczenia elementów zespolonych są prowadzone metodą stanów granicznych w  sytuacjach obliczeniowych, wynikających z faz kształtowania i użytkowania konstrukcji a to:

  1. Faza budowy lub naprawy, ze szczególnym uwzględnieniem sytuacji, gdy beton jeszcze nie związał i całość obciążeń ma przenieść belka stalowa
  2. Faza eksploatacji,
  3. Sytuacje wyjątkowe.

Należy sprawdzić stany nośności dla wszystkich możliwych mechanizmów ( równowaga statyczna, nośność stali i żelbetu w przekroju, przekształcenie konstrukcji w mechanizm, utratę stateczności), a także stany graniczne użytkowalności (ugięcia w stanie zarysowanym betonu a także, graniczny stan zarysowania ).

Dla płyt ciągliwych (i wyłącznie dla tych) można dopuścić częściowe zespolenie i wówczas obliczenia są dokonywane również w zakresie sprężystym, co komplikuje proces projektowania. Szczególnie w takich przypadkach zalecane jest prowadzenie obliczeń z wykorzystaniem oprogramowania opisanego niżej.

Szerokość współpracująca płyty żelbetowej

Szerokość współpracującą  $b_{ef}$ żelbetowej płyty $b_{ef}$ wyznacza się z formuły

$$\begin{equation} b_{ef} = b_0 +\sum \limits_i \beta_i \cdot b_{ei} \label{8} \end{equation}$$

gdzie $b_0$ odległość miedzy środkami skrajnych ścinanych łączników po szerokości pasa ( rys.3)

$\beta_i =(0,55+0,025 \cdot L_E/ b_{ei}) \le 1,0$ – tylko na podporze skrajnej . Dla podpór pośrednich $\beta_i=1,0$

$b_{ei}$- efektywna szerokość betonowej półki z każdej strony środnika.Można ją przyjąć równą L$L_i/8$., ale nie więcej niż wynosi geometryczna szerokość $b_i$. Wartość $b_i$ może być przyjęta jako
odległość od skrajnego ścinanego łącznika do punktu w połowie odległości pomiędzy środnikami sąsiednich belek mierzona ‚.AJ połowie grubości betonowej półki, z wyjątkiem przypadku, gdy odległość $b_i$ jest odległością od swobodnej krawędzi płyty. Długość $L_e$ jest odległością między punktami zerowych momentów zginających. D!a typowych ciągłych zespolonych belek, kiedy obwiednia momentów pod różnymi układami obciążeń decyduje o $L_e$ oraz dla wsporników, $L_e$ może być określone jak to pokazano na rys. 3

Rys.3. Równoważne rozpiętości do określenia szerokości efektywnej p łyty żelbetowej w przekroju zespolonym

(opracowano na podstawie (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008, rys.5.1))

Nośność ze względu na ścięcie sworznia

Nośność na ścinanie wyznacza się według wzoru  (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008, pkt. 6.6.3.1):

$$\begin{equation} P_{Rd} = k_t \cdot \cfrac{d^2}{\gamma_v} \cdot \min { \{ 0,8 \cdot \pi \cdot f_u  \, ; \, 0,29 \cdot \alpha \cdot \sqrt{f_{ck} \cdot E_{cm}}\} } \label{9} \end{equation}$$

gdzie:
$\gamma_v=1,25$ – współczynnik częściowy,
16 <d<25 mm – średnica trzpienia sworznia,
$f_u =420 \le 450 \, MPa$ – wytrzymałość na rozciąganie materiału sworznia,
$f_{ck}$ – wytrzymałość charakterystyczna betonu z uwzględnieniem pełzania (wieku betonu)
$h_{sc}$ – całkowita wysokość sworznia,
$E_{cm}$ – doraźny moduł Younga betonu

Współczynnik $\alpha$ zależy od smukłości sworznia $\lambda_{sc}= \cfrac{h_{sc}}{d}$  (stosunku wysokości sworznia do jego średnicy):

$$\begin{equation} \alpha = \begin{cases}
1,0 , & \text { dla  } \lambda_{sc} <4 \\
0,2\cdot(\lambda_{sc}-1) , & \text { dla  } 3 \le \lambda_{sc} \le 4 \\
\end{cases} \label{10} \end{equation}$$

Współczynnik redukcyjny $k_t$ przy ułożeniu blachy prostopadle do osi belki wyznacza się z zależności (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008, pkt. 6.6.4.2.)

$$\begin{equation}  k_t= \cfrac{0,7}{\sqrt{n_r}}\cdot \cfrac{b_0}{h_p}\cdot \left( \cfrac{h_{sc}}{h_p} -1 \right) \le k_{max} \label{11} \end{equation}$$

gdzie:

$n_r$ – liczba sworzni w jednej bruździe na skrzyżowaniu z belką (w obliczeniach nie większa od dwóch),
$h_p \le 85 \, mm$  -wysokość bruzdy blachy;
$b > h_p$ – szerokość bruzdy blachy.

Maksymalna wartość współczynnika $k_t$ dla sworzni o średnicy nie przekraczającej 20 mm  spawanych przez blachę o grubości $t$  (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008, tab.6.2.):

$$\begin{equation}  k_{max} = \begin {cases}
1,0  & \text { dla }   n_r=1 \, ,  \, t >1 \, mm\\
0,85 & \text { dla }  n_r=1 \, ,  \, t \le 1 \, mm \\
0,80  & \text { dla }  n_r=2  \, , \, t > 1 \, mm \\
0,75  & \text { dla }  n_r=2  \, , \, t \le 1 \, mm \\
\end{cases} \label{12} \end{equation}$$

Maksymalna wartość współczynnika $k_t$ dla sworzni  o średnicy 19 lub 22 mm w profilowanej blasze z otworami:

$$\begin{equation}  k_{max} = \begin {cases}
0,75  & \text { dla }  n_r=1\\
0,6 & \text { dla }  n_r=2 \\
\end{cases} \label{13} \end{equation}$$

Stopień zespolenia

Stopień zespolenia połączenia definiuje się jako (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008, kl.6.2.1.3(3)):

$$\begin{equation} \eta  =\cfrac{N_c}{N_{c,f}} \label{14} \end{equation}$$

Siła ściskająca w płycie betonowej może przy pełnym zespoleniu osiągnąć wartość (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008, rys.6.2) (rys.2a):

$$\begin{equation} N_{cf} =0,85\cdot f_{cd} \cdot A_c \label{15} \end{equation}$$

gdzie:
0,85 – współczynnik redukcyjny,
$f_{cd}$ – wytrzymałość obliczeniowa betonu na ściskanie
$A_c= b_{ef} \cdot h_c $ – pole przekroju poprzecznego poprzecznego płyty betonowej:
o wysokości $h_c= h-h_P$ ($h_p$ – wysokośćrusy  blachy trapezowej,
o szerokośći $b_{ef}$ – efektywna szerokości płyty współpracującej ($\ref{8}$).

Siła ściskająca $(\ref{15})$ jest ograniczona przez nośność łączników na ścinanie do wartości

$$\begin{equation}N_c = \cfrac{n_f \cdot P_{Rd}}{2} \label{16} \end{equation}$$

gdzie:
$n_f$  -liczba łączników ścinanych na szerokości arkusza, np w przypadku jednego łącznika w fałdzie($n_r=1$) – liczba  $n_f= L/e$ (e- rozstaw fałd – bruzd blachy )
$P_{Rd}$ – nośność łącznika na ścinanie $(\ref{9})$.

Łączniki sworzniowe z łbami o całkowitej długości po przyspawaniu nie mniejszej niż 4-krotna średnica i z trzpieniem o nominalnej średnicy nie mniejszej niż 16 mm i nie większej niż 25 mm, można uznać za ciągliwe pod warunkiem następujących ograniczeń stopnia zespolenia:

$$\begin{equation} \eta_{min}= \begin {cases}
1- \left( \cfrac{355}{f_y}\right) \cdot k_e  \ge 0,4,, &\text{ dla } L_e \le L_{e,max}\\
1,0 , &\text{ dla } L_e > L_{e,max}\\
\end {cases} \label{17} \end{equation}$$

Dla kształtowników stalowych z równymi półkami przyjmuje się:  $k_e= 0,75- 0,03 \cdot L_e$  , $L_{e,max} = 25 \, m$,
Dla kształtowników stalowych mających pole przekroju dolnej półki równe 3-krotnemu polu przekroju górnej półki przyjmuje się: $k_e(0,3 – 0,015 \cdot L_e $ , $L_{e,max} = 20 \, m$

Długość $L_e$ jest odległością pomiędzy dwoma punktami zerowymi dodatniego momentu zginającego w metrach; dla zwykłej belki ciągłej, które można przyjąć jak na rys. 3,

Nośność przekroju zespolonego przy pełnym zespoleniu $\eta=1$

Sytuacje obliczeniowe

Nośność przekroju wyznacza się po ustaleniu położenia osi obojętnej [ C, F, W]  w granicznym stanie plastycznym (lub sprężystym , jeśli nie można zastosować teorii plastycznej), co zależy od kierunku działania momentu zginającego [(„+” rozciąga dolne włókna ) lub ( „-” rozciąga górne włókna)] oraz kierunku ułożenia blachy fałdowej w stosunku do osi belki [, BP, BR].

W celu wprowadzenia spójnych formuł dla wszystkich trzech układów [, BP, BR] ((rys.4) wprowadza się grubość zastępczą $h_z$ płyty betonowej:

$$\begin{equation} h_z = \begin{cases}
h_T= h_c+h_p  ,& \text { w układzie PŁ } \\
h_c  ,& \text{ w układzie BP } \\
h_c+\cfrac{b_1+b_2}{2} \cdot \cfrac {h_p}{e} ,& \text{ w układzie BR }\\
\end{cases} \label{18} \end{equation}$$

gdzie: $b_1,b_2,h_p, e$ odpowiednio: szerokość betonu u dołu bruzdy w blasze , szerokość betonu u góry, wysokość  i rozstaw bruzd blachy trapezowej

Wysokość zastępcza bruzdy blachy wynosi (rys 4c)
$h_{pz}=h-h_z$

Rozpatruje się dwa przypadki kierunku momentu zginającego:
(+) – moment dodatni – rys.2a.
(-) – moment ujemny – rys.2b.

Mogą wystąpić trzy przypadki położenia osi obojętnej przekroju O-O o współrzędnej $x_o$ od powierzchni górnej płyty żelbetowej licząc (rys.2 i rys 5):

C (oznaczona kolorem zielonym na rys. 2a)  – oś umiejscowiona w grubości płycie żelbetowej  $x_o < h_z $, gdzie $h_z$  zastępcza grubość płyty betonowej zgodnie z formuła ($\ref{18}$),
( oznaczona kolorem niebieskim na rys. 2a) – oś umieszczona w półce dwuteownika stalowego   $h_T + t_f > x_o > h_T$, gdzie: $h_T$ – całkowita wysokość blachy trapezowej, $t_f$,  – grubość półki górnej dwuteownika stalowego,
W ( oznaczona kolorem czerwonym na rys. 2a,b) – oś w środniku dwuteownika stalowego $x_o > h_T+ t_f$.

Należy zwrócić uwagę, że pomiędzy belką stalową i płytą żelbetową może wystąpić wolna przestrzeń :
w przypadku BR o wysokości bruzdy blachy $h_p$,
w przypadku BP o zredukowanej wysokości bruzdy $h_{pz} =h_T – h_z$ :

Rys.4. Układ belki: a) PŁ – płyta płaska, BP – belka prostopadła do fałd blachy, c) BR – belka równoległa do fałd blachy

(opracowano na podstawie (Szmigiera, Grzeszykowski, Niedośpiał, 2019, Rys.7.9))

Analiza statyczna przekroju zespolonego

Stosujemy znakowanie sił osiowych w konwencji konstrukcji stalowych:  „+” rozciąganie,”-” ściskanie.

Analiza statyczna przekroju zespolonego wynika z podstawowych zasad teorii sztywno-plastycznej  i nośności plastycznej konstrukcji Nie stosuje się sprowadzonych przekrojów znanych z analizy sprężystej.
Analizę w zależności od przypadku lokalizacji osi obojętnej (rys.2) przeprowadzimy dla schematów pokazanych na rys.5. W przypadku osi F oraz W naprężenia  ściskające w stali ( w pasie lub środniku) przyjmuje się $ 2\cdot f_{yd}$, co powoduje że przy stałych naprężeniach rozciągających cały przekrój stalowy $ – f_{yd}$ – w rezultacie w ściskanych częściach  przekroju stalowego pozostają naprężenia  $f_{yd}$.

Zgodnie z (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) współczynnik materiałowy dla stali konstrukcyjnej  belki $\gamma_{M0}=1$ , więc $f_{yd}=f_y$

Rys.5 Model przekroju zespolonego

(opracowano na podstawie (Johnson, 2004, Fig. 3.15))

Położenie osi obojętnej

Wprowadzamy następujące oznaczenia

$$\begin{equation} \begin{cases}
& N_1=  N_{a,pl} = + A_a \cdot f_y \\
& N_2 = N_{c,f} = – 0,85 \cdot b_{ef} \cdot h_z \cdot f_{cd}\\
& N_3 = N_{a,f}= – 2 A_f \cdot f_y = 2 \cdot t_f \cdot b_f \cdot f_y\\
&N_4=N_{a,w} =- 2 A_w \cdot f_y = 2 \cdot t_w \cdot h_w \cdot f_y\\
& N_5 = N_1 – N_2 \\
&M_{pl}= M_{a,pl} =W_{pl}\cdot f_y
\end{cases} \label{19} \end{equation}$$

gdzie:

  • Siła ściskająca beton: $N_{cf,o}= – 0,85 \cdot f_cd \cdot x_o$  dla przypadku osi C ; $N_{cf,z}= – 0,85 \cdot f_cd \cdot h_z$ dla przypadku osi F i W,
  • Siła ściskająca pas belki: $N_{a,f}= 0$  dla osi C, $N_{a,f}= – 2 A_f \cdot f_{y} $  dla osi F i W,
    gdzie pole przekroju pasa $A_f=b_f \cdot t_f$, $b_f,t_f$ – szerokość i grubość pasa belki ( z tablic wyrobów hutniczych),
  • Siła ściskająca środnik belki: $N_{a,w}= 0$  dla osi C i F ; $N_{a,w}= – 2 A_w \cdot f_{y}$  dla osi W,
    gdzie ściskane pole przekroju środnika $A_w= t_w \cdot h_w$, $t_w$ grubość środnika (z tablic),
    $h_w = x_o- h_z -t_f$ – wysokość ściskanej części środnika
  • Siła rozciągająca belkę stalową
    $N_{a,pl} = + A_a \cdot f_y$ dla każdego przypadku ( C, F, W),
    gdzie $A_a$  – całkowite pole przekroju belki dwuteowej (z tablic)
  • $W_{a,pl}$ – wskaźnik wytrzymałości plastycznej całego przekroju stalowego (dwuteownika)

Kryteria położenia $x_o$ osi obojętnej O-O najprościej wyznaczyć  z warunku  sumy rzutów sił na oś poziomą:

$$\begin{equation} N_{cf} + N_{a,f} + N_{a,w}+N_{pl,a}=0  \to N_1+ N_2+N_3 +N_4=0   \to N_5=N_3+N_4 \label {20} \end{equation}$$

Z równania ($\ref{20}$)  jako wnioski z formułujemy następujące kryteria przypadków położenia osi obojętnej:

$$\begin{equation} O-O \to \begin{cases}
C: &  x_o \le  h_z &  \text { jeśli } & (|N_1| \le  |N_2|)\\
F: &   x_o>h_z \text { ale } (x_o < h_z+h_{pz}+t_f),& \text { jeśli } & (|N_5| \le |N_3|)\\
W: &  x_0 > h_z+h_{pz} +t_f ),& \text { jeśli } & ( |N_5| > |N_3|)\\
\end{cases} \label{21} \end{equation}$$

a także formuły na współrzędną $x_o$ osi O-O:

$$\begin{equation} x_o = \begin{cases}
\cfrac{|N_1|}{ |N_2| / h_z} ,& \text { dla  osi C }\\
h_T+ \cfrac{|N_5|}{ |N_3| / t_f} ,& \text { dla  osi F }\\
d_c – \cfrac{|N_2|}{|N_4|/h_w}=\cfrac{|N_2|}{2\cdot f_y \cdot t_w} ,& \text { dla  osi W }\\
\end{cases} \label{22} \end{equation}$$

gdzie
$d_c  = h_a / 2+h_T$ – wysokość efektywna betonu liczona do osi belki stalowej.

Współrzędna $x_0$ osi  obojętnej  O-O liczona jest wg rys. 2 od górnej płaszczyzny płyty betonowej. W literaturze oś obojętną przekroju zespolonego często nazywa się osią plastyczną i oznacza $x_{pl}$.

W podejściu zastosowanym w niniejszym artykule, po wprowadzeniu zastępczej grubości płyty betonowej $h_z$ formuły obliczeniowe dla układu PŁ, BP i BR są takie same i zestawione poniżej dla momentu dodatniego oraz ujemnego. W pracy (Szmigiera, Grzeszykowski, Niedośpiał, 2019) w układzie BR analizowane są odrębnie dwa przypadki: oś obojętna w betonie powyżej bruzdy i oś obojętna w betonie bruzdy. W ten sposób uzyskuje się  wyniki dokładniejsze, ale nieistotnie z punktu widzenia praktyki projektowej.

Nośność przekroju zespolonego

Nośność przekroju zespolonego  mierzona momentem zginającym $M_{Rd}$, jest zależna od osi przekroju względem której jest wyznaczana, przy czym powinna zachodzić spójność z osią względem której wyznaczane są przekrojowe siły pochodzące od obciążeń zewnętrznych $M_{Ed}$, tak by zastosować warunek nośności

$$\begin{equation} M_{Ed,s} \le M_{Rd}  \label{23} \end{equation}$$,

gdzie  $M_{Ed,s}$ jest momentem zginającym sprowadzonym do osi obojętnej przekroju zespolonego, to znaczy

$$\begin{equation} M_{E,d,s} = M_{E,d} \mp e_o \cdot N_{Ed}   \label{24} \end{equation}$$

gdzie $e_O$ – mimośród osi – odległość między osiami O-O  i H-H wg rys.5:

$$\begin{equation} e_0 =  h_a/2 +h_T -x_o=d_c -x_o \label{25} \end{equation}$$

we wzorze ($\ref{21}$) siła $N_{Ed}$ze znakiem (+) rozciągająca, (-) ściskająca.

Rys.6. Schemat nośności przekroju

Nośność przekroju zespolonego

$$\begin{equation} M_{pl,Rd} =N_1 \cdot z  \label{26} \end{equation}$$

gdzie $z$ – ramię sił wewnętrznych.

Siła poprzeczna ścinająca łączniki (sumowana od krawędzi górnej przekroju) wynosi:

$$\begin{equation} V_{Ed} =N_{cf}  \label{27} \end{equation}$$

Nośność dla dodatniego  momentu zginającego (+) ( w przęśle)

Ramię sił wewnętrznych dla poszczególnych lokalizacji osi obojętnej w formule ($\ref{26}$) wynosi:

$$\begin{equation} z = \begin{cases}
d_c- \cfrac{x_o}{2},& \text { dla  osi C }\\
(h_a/2 +h_T -x_o) \, +  \, N_2/N_1 \cdot (x_o-h_z/2),& \text { dla  osi F }\\
(h_a+h_t-X_o-t_f)/2 +\cfrac{N_2 \cdot (x_o-h_z+h_T +t_f) +N_3 \cdot (x_o-h_T)}{2 \cdot N_1} ,& \text { dla  osi W }\\
\end{cases} \label{28} \end{equation}$$

Nośność dla ujemnego  momentu zginającego (-) ( nad podporą)

W sytuacji ujemnego momentu zginającego (rys2b), pomija się udział rozciąganego betonu – na rozciąganie pracuje zbrojenie płyty żelbetowej.  Nie wystąpi  lokalizacja C  osi obojętnej w płycie żelbetowej, a formuły obliczeniowe są niezależne rodzaju płyty , BP, BR.  W przekrojach z ujemnym momentem zginającym nie dopuszcza się do częściowego zespolenia (\eta <1).

Rys. 7 Zbrojenie podłużne $A_x$ i poprzeczne $A_y$ płyty żelbetowej przekroju zespolonego

W miejsce siły ściskającej ($N_{cf}$ płytę przy dodatnim momencie zginającym mamy siłę rozciągającą (rys.7).

$$\begin{equation} N_{c,t} = N_{s,t} = (A_{u,x}+A_{l,x}) \cdot f_{sd}  \label{27a} \end{equation}$$

gdzie $f_{sd}= \cfrac{f_s}{\gamma_s}$ – $\gamma_s=1,15$ , $f_s$ – granica plastyczności stali zbrojeniowej zgodnie z tab. 2 artykułu „Belki żelbetowe”.
Na przykład dla stali zbrojeniowej B500: $f_y = 500 \, MPa$, $f_{sd}=500/1,15 =435 \, MPa.

Oznaczenia sił redefiniujemy w następujący sposób:

$$\begin{equation} \begin{cases}
& N_1=  N_{a,pl} = – A_a \cdot f_y \\
& N_2 = N_{s,t} = + (A_{u,x}+A_{l,x}) \cdot f_{sd}\\
& N_3 = + 2 A_f \cdot f_y = + 2 \cdot t_f \cdot b_f \cdot f_y  \text { dla W } ; \, 2 \cdot ( h_a+ h_T  – x_o)\cdot b_f \cdot f_y  \text { dla F } \\
& N_4 = + 2 A_w \cdot f_y = + 2 \cdot (h_a + h_T – x_o -t_f) \cdot t_w \cdot f_y \text { dla W };  \, 0  \text { dla F} \\
\end{cases} \label{19AZ} \end{equation}$$

Równania ($\ref{20}$) przyjmuje postać:

$$\begin{equation} N_1+ N_2+N_3+N_4=0   \label{27x} \end{equation}$$

skąd uzyskujemy kryteria na położenie osi obojętnej

$$\begin{equation} O-O \to \begin{cases}
F: &   h_T+t_f > x_o > h_T  \text { jeśli } & (N_2 \ge N_1- N_3)\\
W: &  x_0 > h_T +  t_f ),& \text { jeśli } & (N_2 < N_1 – N_3)\\
\end{cases} \label{21Z} \end{equation}$$

Położenie osi obojętnej $x_o$, liczone od dolnej krawędzi  profila stalowego  dla poszczególnych lokalizacji osi obojętnej w formule ($\ref{26}$) wynosi:

$$\begin{equation} x_o = \begin{cases}
h_a/2 + h_T – \cfrac{N_1-N_2 }{2\cdot t_w \cdot f_y} ,& \text { dla  osi F }\\
h_a/2 + h_T – \cfrac{N_1-N_2-N_3 }{2\cdot t_w \cdot f_y}+\cfrac{h_a}{2} ,& \text { dla  osi W }\\
\end{cases} \label{29a} \end{equation}$$

Nośność belki zespolonej przy częściowym zespoleniu

Nośność przekroju kompozytowego z częściowym ścinaniem związek został uzyskany metodą empiryczną ponieważ właściwości zginania blachy profilowanej są bardzo złożone. Już w 1967 r. w pracy (Slutter,, Driscoll, 1965) pokazano, że w przypadku zastosowania odpowiednio ciągliwych sworzni i gdy przekrój poprzeczny belki stalowej należy do klasy 1, moment graniczny $M_{Rd}$  przekroju  belki można wyznaczyć przy wykorzystaniu sztywno-plastycznej teorii, dla zredukowanej wartości siły ściskającej w płycie betonowej, co polega na przyjęciu siły $N_c (\ref{16})$ w miejsce $N_{cf} (\ref{15})$.

Współczesny sposób obliczeń konstrukcji zespolonych

Obliczenia „ręczne” utraciły na znaczeniu po wprowadzeniu na rynek przez Arcelor Mittal ogólnie dostępnej aplikacji  ABC  i innych. Przebieg obliczeń „ręcznych” jest przydatny wyłącznie do  wytłumaczenia sposobu podejścia, co zaprezentujemy w kolejnych rozdziałach

Poniżej odnośniki do wersji instalacyjnych poszczególnych kalkulatorów i ich krótki opis. Po zainstalowaniu należy korzystać z „Pomocy” zawartej w aplikacjach.

ArcelorMittal ABC (obecnie wersja 3.51) – Belki zespolone
Program służy do projektowania stalowych i zespolonych belek. Obejmuje swym zakresem statycznie wyznaczalną belkę.
Ostatnia wersja ABC v 3.49  zawiera możliwość obliczeń w warunkach pożaru, przy zastosowaniu lub bez zastosowania ochrony przeciwpożarowej.  Wprowadzono nowe rodzaje belek, wśród których możemy wymienić 3 rodzaje zespolonych belek (SFB, IFB i IFB typu B). Obliczenia mogą być również wykonywane w zwykłych warunkach, jak i w warunkach pożaru. Oprogramowanie jest w pełni zgodne z normą (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008) i obecnie obowiązującymi praktykami w zakresie obliczania zespolonych belek.

ArcelorMittal ACP (obecnie wersja 1.0.2) – Zwichrzenie belek zespolonych
ArcelorMittal Construction Phase do rozwiązań zespolonych. Sprawdza zwichrzenie belek zespolonych podczas montażu.

ArcelorMittal A3C  (obecnie wersja 2.93) – Słupy zespolone
Przy pomocy nowej wersji oprogramowania możliwe jest wymiarowanie słupów stalowych i kompozytowych (częściowo lub całkowicie obetonowanych) w warunkach zwykłych lub pożarowych. Zawiera bazę materiałową powłok przeciwogniowych firmy International Paint Ltd oraz możliwość sprawdzenia punktu przyłożenia obciążenia podczas sprawdzania wyboczenia giętno – skrętnego (LTB). Program jest w pełni zgodny z wymaganiami normy (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008)

ArcelorMittal COP2 (obecnie wesja 1.05) Belka-słup zespolona 
Wstępne projektowanie łączeń belka-słup w systemach zespolonych, zgodnie z normami z normami  (PN-EN 1993-1-8 +Ap1+AC, 2006) i (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008).

ArcelorMittal CoSFB (Composite Slim-Floor Beams
Oprogramowanie do kalkulacji zintegrowanych belek kompozytowych (SFB, IFB) w warunkach zwykłych. Program jest w pełni zgodny z „Zulassung-SFB-Betondübel z-26.4-59”.

COFRA5 – internetowy program do projektowania zespolonych rozwiązań stropowych
Cofra5 jest oprogramowaniem służącym do obliczeń lekkich, zespolonych rozwiązań stropowych. Cofra5 ułatwia szybkie i niezawodne zaproponowanie alternatywy dla tradycyjnych konstrukcji  stropów, co pozwala na ocenę wykonalności technicznej takiego rozwiązania w początkowej fazie projektu.

ArcelorMittal ACB+ (obecnie wersja 3.02)  – profile ażurowe
Program służy do projektowania stropów z użyciem belek ażurowych, co pozwala na projektowanie lżejszych konstrukcji lub zwiększenie rozpiętości.

ArcelorMittal Angelina (obecnie wersja 3.02) –  profile Angelina
Program  ANGELINA wspiera  projektowanie profili Angelina (rys.4). Program został stworzony przez CTICM (Centre Technique Industriel de la Construction Métallique – Francja).

Łączniki zespalające

Na rys. 5 pokazano najważniejsze typy łączników zespalających.

łączniki4

Rys. 5 łączniki zespalające: a) typowe kołki z główką, zgrzewane lub spawane do belki stalowej, b) łączniki blokowe z kształtowników: blachy, ceowników, d) blokowe z pętlami: płaskowniki, ceowniki, c) trzpienie stalowe Schöck Bole do zespolenia betonu z betonem nad miejscem punktowym podparcia

Konstrukcje i elementy zespolone

Płyty (stropy) zespolone

Stropy zespolone są najczęstszym zastosowaniem konstrukcji zespolonych.

Na rys.4 i 5 pokazano przykład stropu zespolonego na blasze fałdowej typu CofraPlus oraz CF70 , prod. Arcelor-Mittal. Natomiast na rys. 6a strop na ażurowych belkach typu Angelina z rys. 6b.

strop1Rys.6  Przykład stropu zespolonego na blasze fałdowej CofraPlus 220

CF70 Composite Color

Rys.7  Przykład stropu zespolonego na blasze fałdowej CF70 (prod Arcelor Mittal)

Angelina

Rys.8  Strop z belkami Angelina Arcelor Mittal (eleganckie belki zespolone)

Rys.6b  Belki ażurowe do stropów Angelina

Słupy zespolone

Słupy zespolone zalicza się do konstrukcji żelbetowych , ale są przedmiotem normy (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008). Na rys. 7 pokazano najczęściej stosowane przekroje słupów zespolonych i sposób ich zbrojenia na przykładzie zespolenia dwuteownika z betonem z zastosowaniem zbrojenia o przekroju $A_s$: u-górnego, l-dolnego, le-lewego i r-prawego.

Rys. 9 Najczęściej stosowane przekroje słupów zespolonych i sposób zbrojenia przekroju

Do zespolenia przekrojów słupów często stosuje się kołki oraz układa strzemiona w sposób pokazany na rys. 8.

Rys. 10 Łączniki (kołki) i strzemiona w przekrojach zespolonych słupów

(Starosolski, 2013, rys. 10.46)

Przykład rachunkowy

 [ Strop zespolony betonowo-stalowy na blasze fałdowej]

Na podstawie przykładów:
a) (AccessSteel, Lemaire, 2005)
b) (AccessSteel, Lemaire, 2005)

Zespolona belka drugorzędna

Zaprojektować strop zespolony w budynku wielokondygnacyjnym , pokazany na rys.9.
Blacha fałdowa Coftra Plus  60 jest ułożona fałdami równoległe do osi belki głównej o rozpiętości $L= 9,00 \,m$.  Rozstaw belek głównych wynosi $6 \,m$, a drugorzędnych $ 3 \, m$
Płyta żelbetowa o grubości $14 \, cm$ jest łączona kołkami ø19 x 100 mm w każdej fałdzie blachy (brużdzie) po jednym kołku  ($n_r=1$).

Beton  C 25/30:
z Tab.1 Belki zelbetowe:  $f_{ck}= 25 \, MPa$ , $f_{cd} =25/1,4 = 17,9 \, MPa$  (współczynnik materiałowy betonu $\gamma_c=1,4$) , moduł Younga doraźny $E_c= E_{cm}=31 \, GPa$

Stal profilowa S355 :
współczynnik materiałowy stali profilowej $\gamma_{M0}=\gamma_{M1}= 1,0$
(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) $ \to f_y=355 \, MPa$, $f_{yd}=355/1,0=355 \, MPa$,  () , $E_a=210 \, GPa$

Stal zbrojeniowa B500:
współczynnik materiałowy stali zbrojeniowej $\gamma_m=1,15$
(PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008) B500 $to f_y=500 \, MPa$,  $f_{yd}=500/1,15=434,8 \, MPa$

Rys.11 Belka do przykładu 1: a) rzut stropu, b) schemat statyczny, c) przekrój

(opracowano na podstawie (AccessSteel, Lemaire, 2005) )

Zestawienie obciążeń

Obciążenia charakterystyczne

Obciążenia stałe:

  • Płyta betonowa: grubość (brutto)$ h = 14 \, cm$ ,  grubość średnia netto (po odliczeniu wycięć blachy fałdowej)  $h_n=10,5 \, cm$ – wyznaczono na rysunku
    średni ciężar betonu  $g_c= 25 \cdot 3,0 \cdot 0,105= 7,86 \, kN/m$   [ z tablic (rys.10) : $g_c= 3\cdot 2,62 = 7,86 \, kN/m$ ]
  • Blacha fałdowa CofraPlus 60 (rys.10) $g_b=0,09 \, kN/m^2$,
  • Razem $g=7,86+0,09=7,95 \, kN/m^2$

Obciążenie użytkowe

  • w fazie montażu  $ 1,0 \, kN/m^2$ – wg (PN-EN 1991-1-6, 2007),
  • w fazie eksploatacji $ 3,0 \, kN/m^2$ – wg (PN-EN 1991-1-1, 2004, tab.6.2.) dla powierzchni kategorii B
  • ścianki działowe  $ 0,8 \, kN/m^2$,  -wg (PN-EN 1991-1-1, 2004, kl. 6.3.1.2(8)) dla ścianki o ciężarze liniowym $\le 2,0 \, kN/m$
  • łącznie w fazie eksploatacji $ 3,.0+0,8=3,8 \, kN/m^2$
  • współczynnik redukcji powierzchniowy – wg (PN-EN 1991-1-1, 2004, (6.1)) : powierzchnia obciążenie $A=6\cdot 9 = 54 \, m^2$, powierzchnia odniesienia  $A_0= 10,0  \, m^2$,  współczynnik kombinacyjny dla powierzchni kat. B $\psi_0 = 0,7$,
    $\alpha_A= 5/7 \cdot 0,7 +10,0/54= 0,685 <1,0

ostatecznie obciążenie użytkowe w fazie eksploatacji

  • $ 3,8 \cdot 0,685 \cdot 1,0 = 2,6 \, kN/m^2 $

Obciążenia klimatyczne – nie wystąpią.

Obciążenia obliczeniowe

Ponieważ obciążenia są niejednorodne ( powierzchniowe i skupione od reakcji belek drugorzędnych) , więc zgodnie z zasadami z artykułu Kombinacje obciążeń w Eurokodach) właściwe będzie wyznaczanie obliczeniowych sił przekrojowych po wyznaczeniu sił od obciążeń poszczególnej natury.

Blacha trapezowa stropu

Przyjęto blachę Cofra Plus 60 pros Arcelor MIttal o parametrach zestawionych na rys.10, stanowiącym wyciąg z tablic producenta.

Sprawdzenie wytrzymałości blachy w fazie montażu (pod mokrym betonem) i obciążeniem użytkowym w fazie montażu

Obciążenie obliczeniowe:

kombinacja I (z redukcja obciążeń stałych i wiodącym obciążeniem zmiennym):  $F_I = 0,85 \cdot 1,35 \cdot ( 7,86+0,09)+ 1,5 \cdot 1,0 =10,62 \, kN/m$
kombinacja II (bez redukcji obciążeń stałych i i z redukcją obciążeń zmiennych):  $F_{II} = 1,35 \cdot ( 7,86+0,09)+ 1,5 \cdot 0,7 \cdot 1,5 \cdot 1,0  =11,78 \, kN/m$

Moment zginający w belce trójprzęsłowej
$M_{Ed} =\cfrac {11,78* 3,0^2}{10} = 10,60 \, kNm$

Nośność blachy (materiał S 350 GD) $f_y=355 \, MPa$ , $M_{Rd}= 355 \cdot \cfrac{55,12}{8,33}/1000= 23,49 \, kNm > 10,60 \,kNm$

Rys.10. Tablice blachy CofraPlus 60 [ fragment karty katalogowej Arcelor Mittal ]

Belki drugorzędne

Rys. 12 Schemat belki drugorzednej

Przyjęto IPE 270 : $g=36,1 \, kg/m$ , $ I_y =5790 \, cm^4$ , $ W_y =429 \,cm^3$, $W_{pl} = 484 \, cm^3$, $A = 45,95 \, cm^2$

Dla schematu belki wolnopodpartej widełkowo, obciążonej równomiernie otrzymano  moment krytyczny $M_{cr}= 72,02 \, kNm$ . Zastosowano program LTBeamN 1.3, opisany w artykule Zginane pręty stalowe.

Faza montażu

Tuż po ułożeniem betonu:
obciążenie stałe $G=7,95+0,361 = 8,311 \, kN/m$
obciążenie zmienne $Q= 3,0 \, kN/m$

kombinacja I (z redukcja obciążeń stałych i z wiodącym obciążeniem zmiennym):  $F_I = 0,85 \cdot 1,35 \cdot 8,311 + 1,5 \cdot 3,0 =14,04 \, kN/m$
kombinacja II (bez redukcji obciążeń stałych, ale z redukcją obciążeń zmiennych):  $F_{II} = 1,35 \cdot 8,311 +  1,5 \cdot 0,7 \cdot 3,0= 14,37 kN/m$

Moment zginający
$M_{Ed} =\cfrac {14,37 \cot 6,0^2}{8} = 64,67 < M_{cr} =72,2 \, kNm \to$ nie potrzeba stężeń montażowych przed ułożeniem betonu w sytuacji czystego zwichrzenia.

Przed ułożeniem betonu Belka będzie stężona blacha fałdową z użyciem kołków zespalających w sposób pokazany na rys.11

Rys.13 Przekrój zespolenia belki drugorzędnej z betonem

Można pokazać (obliczenia np programem Consteel) , że blacha fałdowa Cofra 60 mocowana w każdej fałdzie zabezpiecza belkę przed zwichrzeniem, więc współczynnik niestateczności ogólnej $\chi_{LT} =1,0$

Zginane dwuteowniki walcowane mają klasę 1 przekroju (p. artykuł Klasa przekroju stalowego), więc osiągają nośność w stanie plastycznym

$M_{Rd,pl} = 355 \cdot 484 \cdot 10^{-3} = 171,8 \, kNm >72,2 \.kNm$

Faza eksploatacji

obciążenie stałe $G= 8,311 \, kN/m$
obciążenie zmienne $Q= 2,6 \cdot 3 = 7,8 kN/m $

kombinacja I (z redukcja obciążeń stałych i z wiodącym obciążeniem zmiennym):  $F_I = 0,85 \cdot 1,35 \cdot 8,311 + 1,5 \cdot 7,8 =21,24 \, kN/m$
kombinacja II (bez redukcji obciążeń stałych, ale z redukcją obciążeń zmiennych):  $F_{II} = 1,35 \cdot 8,311 +  1,5 \cdot 0,7 \cdot 7,8= 19,41 kN/m$

Reakcja podporowa $V_{Ed} =\cfrac { 21,24 \cot 6,0}{2} = 63, 7 \,kN$
Moment zginający $M_{Ed} =\cfrac 21,24 \cot 6,0^2}{8} = 95,6 \, kNm

Wykresy sił przekrojowych

Rys.14. Wykresy sił przekrojowych w stanie eksploatacji w belce drugorzędnej

 

Przyjęto łączniki  do zespolenia -kołki Nelsona  z łbem SD do łukowego przypawania wg PN-EN ISO 13918 ze stali czarnej 4.8  o $f_y= 340 \, MPa,  f_u= 420 \,MPa$
Liczba łączników przypadająca na fałdę $n_r=1$
Liczba łączników $n_f = 6000/ 207=29$

Szerokość efektywna płyty żelbetowej

Średnią szerokość strefy efektywnej w przęśle wyznaczono według wzoru ($\ref{8}$) przy $\beta_i=1,0$:
$b_{ef,1} = 0 + 6,0 / 8 = 0,75 \, m$, czyli $b_{ef} = 2 × 0,75 = 1,5 m < 3,0 m

gdzie $b_0=0$ (łączniki w jednym rzędzie),

Szerokość efektywną na końcu belki określono jako ($\ref{8}$):

b_{eff,0} = 0 + 0,75 × 6,0 / 8 = 0,5625 \, m$, czyli $b_ef} = 2 × 0,5625 = 1,125 \, m < 3,0 \,m$

gdzie:  $\beta_i = 0,75 = (0,55 + 0,025 6,0 / 0,5625) ≤ 1,0$

Nośność ze względu na ścinanie łączników

Dla:  $n_r = 1$ , $hp = 58 \, mm$ , $b_0 = 82 \,mm$, $h_sc = 100 \,mm$ – współczynnik redukcyjny $k_t $ ($\ref{11}$):

$k_t= \cfrac{0,7}{\sqrt{1}}\cdot \cfrac{82}{58}\cdot \left( \cfrac{100}{58}-1\right) =0,717 < k_{max= 0,75$,

gdzie $k_{max}=0,75$ z ($\ref{13}$) dla blachy profilowanej z otworami i $n_r=1$.

Smukłość łączników $ \lambda_{sc}= \cfrac{100}{19}=5,3 \ge 4 \ to (\ref{10}) \alpha=1$

$(\ref{9}) \to P_{Rd} = 0,717  \cdot \cfrac{19^2}{1,25} \cdot \min { \{ 0,8 \cdot \pi \cdot 420  \, ; \, 0,29 \cdot 1,0 \cdot \sqrt{25 \cdot 31000}\} } \cdot 10^{-3} =52,86 \, kN$

Stopień zespolenia

Pole przekroju poprzecznego płyty betonowej:  $h_c=120 – 58 = 62 \,mm $ $b_{ef} =1500 \,mm$,  $A_c = 150  \cdot 6,2 = 930 \, cm^2$

$(\ref{15}) \to N_{cf} =0,85 \cdot  \cfrac{32}{1,4}  \cdot 930 \cdot 10^{-1}= 1411,6 \, kN$

$(\ref{16}) \to  N_c =0,5 \cdot 29 \cdot 52,86 = 766,5 \,kN$

$(\ref{14}) \to  \eta= 766,5/1411,6 = 0,543$

Współczynnik $\eta$ jest mniejszy niż 1,0 więc belka jest o częściowym zespoleniu.

Minimalny stopień zespolenia dla belki o równych pasach i $L_e =6,0 m < 25 \,m$

($\ref{17} \to \eta_min= 1-\left ( \cfrac{355}{355} \right) \cdot(0,75-0,04 \cdot 6,0 )= (0,48 < 0,4)  < 0,54$

Sprawdzenie nośności na zginanie

Graniczny moment plastyczny w środku rozpiętości belki

 

 

Belki główne (podciągi)

Przyjęto podciągi ( belki główne) IPE 400 (66,3 kg/m) +10% na inne (łączniki itd) $g=1,1 \cdot 0,663= 0,73 \, kN/m$

Obciążenia

Ciężar własny belki  $ g= 0,73 \, kN/m$

Obciążenie rozłożone od stropu – przyjmuje się, że w całości przekazywane jest przez siły skupione – reakcje od belek drugorzędnych:

$F_G= 6,0/2 \cdot [ 3,0 \cdot ( 7,86+0,09)+0,361] = 72,6 \,kN$

w fazie montażu $F_Q= 6,0/2 \cdot 3,0 \cdot 1,0 = 9,0 \,kN$
w fazie eksploatacji  $F_Q= 6,0/2 \cdot 3,0 \cdot 2,6 = 23,4 \, kN$

 

Literatura

AccessSteel, & Lemaire, A. (2005, August). Arkusz obliczeniowy. Przykład obliczeń zespolonej belki drugorzędnej.  Ptzykład SX014a-EN-EU. Retrieved from https://www.piks.com.pl/wp-content/uploads/2015/05/SX015a-PL-EU.pdf
AccessSteel, & Lemaire, A. (2005, August). Arkusz obliczeniowy. Przykład obliczeń zespolonej belki swobodnie podpartej.  Ptzykład SX015a-PL-EU. Retrieved from https://www.piks.com.pl/wp-content/uploads/2015/05/SX015a-PL-EU.pdf
Borusiewicz, W. (1978). Konstrukcje budowlane dla Architektów (3 zmienione i uzupełnione). Warszawa: Arkady.
Buczkowski, W. (Ed.). (2009). Budownictwo ogólne. T.  4  Konstrukcje. Warszawa: Arkady.
Charleson, A. (2005). Structure as architecture: a source book for architects and structural engineers. Oxford ; Burlington, MA: Elsevier/Architectural Press.
Chodor, L. (2013). Konstrukcje budowlane dla Architektów. Przegląd systemów konstrukcyjno-architektonicznych. Lecture-Wykład presented at the Wykład 2  z  przedmiotu Konstrukcje budowlane dla Architektów, Politechnika Świętokrzyska, Kielce, Technological University of Kielce, Kielce. Retrieved from https://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Wyklady/KB2/1-%%282015%%29-KB2-Przeglad-systemow-konstrukcyjnych.pdf
Harris, C. M. (Ed.). (2006). Dictionary of architecture & construction (4th ed). New York: McGraw-Hill.
Johnson, R. P. (2004). Composite structures of steel and concrete: beams, slabs, columns, and frames for buildings. Malden, MA: Blackwell Pub.
Macdonald, A. J. (2001). Structure and architecture (2. ed). Oxford: Architectural Press.
PN-EN 1991-1-1. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-1: Oddziaływania ogólne. Ciężar objętościowy, ciężar własny, obciążenia użytkowe w budynkach (2004). UE: PKN.
PN-EN 1991-1-6. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-6: Oddziaływania ogólne - Oddziaływania w czasie wykonywania konstrukcji (2007). UE: PKN.
PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1:  Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-8 +Ap1+AC. Eurokod 3 -Projektowanie konstrukcji stalowych -Część 1-8: Projektowanie węzłów (2006). UE: PKN.
PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC. Eurokod 4 -Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo-betonowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
Piechnik, S. (1980). Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych. Warszawa, Kraków: PWN.
Schierle, G. G. (2006). Architectural structures. Los Angeles: University of Southern California.
Slutter, G. C., & Driscoll, G. C. (1965). Flexural strength of steel- concrete composite beams. Proc. Amer. Soc. Civ. Engrs, 91(ST2), 71–99.
Starosolski, W. (2013). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych, Tom 3 (Vol. 3). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
Szmigiera, E., Grzeszykowski, B., & Niedośpiał, M. (2019). Projektowanie konstrukcji zespolonych stalowo-betonowych. Część 1 Elementy zginane. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »