Rysy i ugięcia żelbetu

Spis treści

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 0 Czytelników
Chodor L., Belki żelbetowe,, Encyklopedia πWiki, www.chodor-projekt.net,
13 lipca 2018 – 9 czerwca 2020  – ( publikacja  kompletna)
Arkusz LCżelbet zawiera oryginalny kod – © wszelkie prawa zastrzeżone.

Stany graniczne użytkowalności żelbetu

Stosowane  w artykule charakterystyczne okresy podczas  budowy i eksploatacji elementu żelbetowego pokazano rys. P-1  Stany graniczne użytkowalności, a mianowicie:  zarysowania, ugięcia , i drgania konstrukcji należy sprawdzać pod działaniem obciążeń w kombinacjach charakterystycznych. Na użytek szacowania zarysowań oraz ugięć konstrukcji z wykorzystaniem pola sił przekrojowych uzyskanych dla stanu granicznego nośności SGN wprowadza się indeksy  $SGU_1/SGN$  (P-1) i $SGU_2/SGN$ (P-2).

Zarysowania elementu żelbetowego

W artykule  Model graniczny żelbetu  analizowano bryłę naprężeń rys . Z-1 w przekroju żelbetowym znajdującym się w stanie granicznym nośności. Stany graniczne użytkowalności należy analizować w poprzedzających fazach pracy w których fundamentalnym zjawiskiem jest rysowanie się przekroju, a w dłuższym okresie czasu zjawiska pełzania i skurczu betonu, przedstawione w  rozdz. Pełzanie i skurcz betonu.

Graniczne (dopuszczalne) rozwarcie rys

Powstawanie rys w betonie jest podstawowym mechanizmem niszczenia betonu oraz czynnikiem, który wymusza stosowanie zbrojenia. Zarysowania powodują znaczne zmniejszenie sztywności betonu i ochrony  zbrojenia przed ekspozycją środowiska, ale również mogą być nieakceptowane wizualnie. Całkowite usunięcie rys w betonie jest praktycznie niemożliwe i każda rzeczywista konstrukcja betonowa jest porysowana rysami o rozwartości $w_k$ , które jednak są ograniczane do wielkości akceptowanej ze względu na ogólne wrażenie wzrokowe.

Szerokość rozwarcia rys $w_k$ jest ograniczana w sposób następujący:
$$\begin{equation} w_k \le w_{max}= \begin {cases}
0,4  \, mm, & \text {dla klasy ekspozycji XC0 i XC1 } \\
0,3 \, mm, & \text {dla XC2 do 4,  XD1 do 3 oraz XS1 do 3}
\end {cases} \label{1} \end{equation}$$

Dla innych klas ekspozycji (XF, XA) graniczne szerokości rys należy ustalać indywidualnie z warunku ochrony betonu i stali przed korozją w wymaganym okresie trwałości budowli i jej elementu konstrukcyjnego.

Mechanizm rysy i fazy pracy przekroju

Zarysowania przekroju żelbetowego istotnie zależą od współpracy betonu i stali zależnej od stosunku modułów odkształcalności:

$$\begin{equation} \alpha_e= \begin {cases}
\alpha_{e,m} = E_s /  E_{cm} & \text {w sytuacji doraźnej ( po 28 dniach)} \\
\alpha_{e,ef} = E_s / E_{cef} & \text { w sytuacji długotrwałej  z uwzględnieniem pełzania} \\
\end {cases} \label{2} \end{equation}$$

Mechanizm powstawania rysy

Rysy na powierzchni betonu inicjują się w sposób pokazany na rys. 1. Model mechanizmu powstawania rysy przedstawiono na rys. 2. Rysa powstaje na skutek różnicy pomiędzy odkształceniem stali $\varepsilon_s$ oraz betonu $\varepsilon _c$ skoncentrowanym na odcinku po $s_0$ w obie strony od potencjalnego miejsca pojawienia się rysy.

Rys. 1 Inicjowanie rysy w belce żelbetowej

Rys. 2. Mechanizm powstawania rysy w elemencie żelbetowym

(opracowane na podstawie (MPA The Concrete Centre, 2017))

Rys. 3 Naprężenia  wstali w regionie pojedynczej rysy

(Gilbert, Ranzi, 2011)

W rezultacie układu odkształceń w obszarze rysy zobrazowanego na rys.2 naprężenia w betonie in stali układają się w sposób przedstawiony na rys. 3. W tym przypadku nie ma zastosowania zasada kontinuum ciała, bowiem lokalna nieciągłość betonu w postaci rysy przenosi się na stal wskutek przyczepności betonu i w rezultacie lokalne odkształcenie i naprężenie pręta  znacznie wzrasta.

Fazy pracy przekroju żelbetowego

Pokazany na rys . Z-1 rozkład naprężeń w przekroju żelbetowym dotyczy stanu granicznego, który jest ostatnią fazą pracy przekroju. W fazach poprzedzających rozkład naprężeń będzie inny – silnie związany z zarysowaniem przekroju. Powstawanie rysy jest uzależnione od współpracy betonu i stali zbrojeniowej. Współpracę tę w krótkim okresie czasu  można podzielić na III etapy pokazane na rys.4 przy czym fazę II (powstawania rys) rozbijemy na fazę IIa ( inicjacja pękania) , IIb (blokadę mechaniczną), IIc (zarysowanie).  W każdej z faz  obowiązuje założenie płaskich przekrojów (Z-47), (Z-48) oraz prawo fizyczne (Z-39), (Z-43).

Rys. 4 Rozkład odkształceń i naprężeń w fazach pracy przekroju żelbetowego

Z zasady płaskich przekrojów dla znanego granicznego odkształcenia włókna rozciąganego w betonie $\varepsilon_{ct}=f_{ctm}/E_c$ pozostałe odkształcenia wyznaczymy z zależności:

$\varepsilon_{cu}=\varepsilon_{ct}\cdot x_{II}/x_{II,t}$,
$\varepsilon_{su}=\varepsilon_{ct}\cdot (x_{II}-a_u) / x_{II,t}$,
$\varepsilon_{sl}=\varepsilon_{ct}\cdot (h-x_{II}-a_l) / x_{II,t}$,
$\varepsilon_{cl}=\varepsilon_{ct}\cdot (h-x_{II}) / x_{II,t}$.

Jeśli natomiast znane jest odkształcenie dolnego pręta zbrojeniowego $\varepsilon_{sl}=\sigma_{sl} /E_s$, to pozostałe wyznaczymy z zależności (Z-47).

Faza I sprężysta – beton niespękany – rys.4a

Na tym etapie beton przenosi rozciąganie ($\sigma_{ct}< f_{ct,m}$). Przy niskich naprężeniach w spojeniu betonu i stali (0,2 do 0,8 $f_{ct}$) nie obserwuje się pękania, a poślizg pręta jest niewielki. Zapewnione jest spojenie stali i betonu głównie przez adhezję chemiczną, a częściowo przez interakcje mikromechaniczne związane z mikroskopijną chropowatością powierzchni stali.
Rozkład naprężeń jest w przybliżeniu liniowy, zgodny z teorią belek wykonanych z materiału jednorodnego, a oś obojętna przekroju symetrycznie zbrojonego pokrywa się z osią geometryczną przekroju

Faza II – beton spękany – rys 4b

Fazę II (pękania betonu) podzielimy na kilka etapów , zależnie od zjawisk jakie w nich zachodzą.

Etap IIa: (inicjacja pęknieć). Naprężenie w spojeniu stali i betonu jest wyższe, a przyczepność chemiczna rozkłada się, i żebra prętów wywołują naprężenia rozciągające w betonie, co powoduje poprzeczne mikropęknięcia. Klinujący efekt promieniowy zostaje powoduje, że jeszcze nie dochodzi do rozłupywania betonu.

Etap Ib (blokada mechaniczna): Naprężenie w spojeniu jest większe niż wytrzymałość betonu na rozciąganie i wskutek działania klinującego powstają podłużne pęknięcia (zarysowania) w betonie. Jest to związane głównie ze skośnymi  siłami ściskającymi wychodzące z pręta żebrowanego, które są zrównoważone przez obwodowe naprężenia rozciągające w betonie otaczającym pręt. Na  tym etapie, siłę wiązania zapewnia przede wszystkim blokada mechaniczna na zbrojeniu.

Etap IIc: W elementach betonowych z gładkimi prętami etap ten następuje bezpośrednio po zerwanie wiązania z betonem. Siła jest przenoszona przez tarcie i podlega wpływowi nacisku poprzecznego, skurczu betonu i chropowatości pręta. W przypadku prętów z żebrami przy niewielkim zbrojeniu poprzecznym powstają pęknięcia podłużne przez całe otulenie, a wiązanie ma tendencję do gwałtownego zerwania. Rozerwanie otulenia nie wystąpi przy silnym zbrojeniu poprzecznym. Mechanizm przenoszenia siły zmienia się z oporu żebra na tarcie, a odporność na ścinanie staje się dominująca. W rezultacie powstaje pękniecie otulenia i pojawia się rysa.

Fazę II szczegółowo omówiono w wielu pracach, m.in. (Gilbert, Ranzi, 2011) oraz (Nejadi, 2005). W niniejszym artykule poprzestaniemy na uproszczonym podejściu, w którym stan ten modeluje się rozkładem naprężeń, w którym beton nie przenosi rozciągania, a w strefie ściskania rozkład naprężeń jest trójkątny. Przyjmuje się, że odkształcenie dolnego włókna betonu $\varepsilon_{cl}=f_{ct,m}/E_c$ , gdzie moduł betonu $E_c$ jest wartością umowną i w zależności od okresu dla którego rozpatrujemy zjawisko $E_c = (E_{cm} \div E_{c,ef}$). Długotrwałe obciążenie zwiększają poślizg i redystrybucję naprężeń wiązania (prawdopodobnie z powodu pełzania). Zerwanie wiązania pod trwałymi obciążeniami, zwiększa szerokości pęknięć, rysy wydają się być bardziej równoległe. W tym przypadku stosuje się $E_c= E_{c,ef}$.

Faza III – graniczna rys.4c

Faza III, jest opisana modelem  rys. Z-1  i jest przedmiotem analiz w rozdziale  Belki żelbetowe. Zginanie .

Warunek zarysowania  i sztywność przekroju w fazie I (niespękanego)

Warunek zarysowania i moment rysujący

Moment  rysujący przekrój $M_{cr}$ jest to taki moment zginający, który powoduje powstanie pierwszej rysy w betonie. Pierwsza rysa powstanie na koniec pracy przekroju w fazie I (rys.3a), to znaczy w fazie pracy sprężystej. wówczas, gdy naprężenia na dolnej krawędzi betonu osiągną wytrzymałość na rozciąganie $f_{c,t,ef}\approx f_{ctm}$, gdzie $ f_{ctm}$  jest średnią wytrzymałością betonu na rozciąganie osiągnięta w chwili, w której – jak się oczekuje – powstaną rysy.  Gdy można oczekiwać, że zarysowanie nastąpi wcześniej niż po 28 dniach, wytrzymałość $f_{c,t,ef}$ można przyjąć mniejszą $f_{c,t,ef}= f_{ctm}(t) $.

Warunek zarysowania  można zapisać w postaci:

$$\begin{equation}  \sigma_{cl} \ge  f_{ctm} \label {3} \end{equation}$$

lub w postaci alternatywnej :

$$\begin{equation}  M_{E,k} \ge  M_{cr} \label {4} \end{equation}$$

gdzie: $M_{E,k}$ – moment zginający od charakterystycznych obciążeń zewnętrznych, działających na konstrukcję.

Moment rysujący wynosi :

$$\begin{equation}  M_{cr}= f_{ctm} \cdot W_{cr} \label {5} \end{equation}$$

gdzie wskaźnik wytrzymałości przekroju tuż przed zarysowaniem
$W_{cr} = I_{cr} / z_0 $ ;
$ z_0=(h -x_I) $ jest odległością włókna dolnego od osi obojętnej przekroju.

Ponieważ moment rysujący odpowiada końcowemu etapowi  fazy I , to  $W_{cr}=W_{I}=I_{cr}/z_0$ , przy czym $I_{cr}=I_{I}$, które wyznaczono w kolejnym punkcie.

Wysokość strefy ściskanej i moment bezwładności w fazie I

W fazie I przekrój nie jest jeszcze zarysowany, a rozkład odkształceń i naprężeń przyjmuje się w sposób zaprezentowany na  rys. 4a, czyli w sposób wynikający z klasycznej teorii zginania sprężystego.

Odległość osi obojętnej od górnej krawędzi jest wysokością strefy ściskanej $x_I$. Z podstawowej zależności (e=M/A) mamy :

$$\begin{equation} x_{I} =\cfrac{  b\cdot h^2  / 2   + \alpha_e \cdot ( A_{sl} \cdot d_l \,  + \, A_{su} \cdot a_u )  }{ b\cdot h + \alpha_e \cdot (A_{sl}+A_{su}) }  \label {6}\end{equation}$$

Moment bezwładności przekroju niezarysowanego  sprowadzony do betonu wynosi więc

$$\begin{equation} I_{I}= \cfrac{bh^3}{12} +b \cdot h \cdot (h/2 – x_I)^2 +\alpha_e \cdot \left \{  A_{sl} \cdot (d_l – x_I )^2 +A_{su} \cdot (x_I-a_u)^2) \right \} \label{7} \end{equation}$$

Często do wyznaczenia momentu rysującego pomija się wzmocnienie przekroju stalą (np. (ACI 318-14, 2014) ) i wówczas moment rysujący

$$\begin{equation} M_{cr}= \cfrac{b \cdot h^2}{6} \cdot f_{ctm} \label{8} \end{equation}$$

Naprężenia w stali zbrojeniowej  przed zarysowaniem

Naprężenia w stali zbrojeniowej przed zarysowaniem zgodnie z klasyczną teorią zginania belek wynosiłyby

$$\begin{equation}  \sigma_{s,cr} = k_t \cdot \alpha_e \cdot \cfrac{M_{cr}}{I_I } \cdot (d_l-x_I) = k_t \cdot \alpha_e \cdot f_{ctm} \cdot \cfrac{d_l- x_I} {h- x_I }\label{9} \end{equation}$$

gdzie współczynnik $k_t$ uwzględnia czas trwania obciążenia  i wynosi
$$\begin{equation} k_t<  \begin {cases}
0,6 & \text {dla  obciążeń krótkotrwałych } \\
0,4 & \text {dla  obciążeń długotrwałych } \\
\label {10} \end {cases} \end{equation}$$

W eksperymentach uzyskuje się jednak inne wartości niż określa ($\ref{9}$), co wynika z ograniczonej współpracy betonu i stali do niewielkiego obszaru betonu otaczającego pręt rozciągany, , zgodnie z formułami ($\ref{11}$) do ($\ref{13}$), a  w rezultacie oszacowania naprężeń w stali zbrojeniowej przed zarysowaniem formułą ($\ref{14}$).
Przyjmuje się, bowiem że przed zarysowaniem rozciągany jest pręt betonowo- stalowy otaczający stal  o wysokości $h_{c,ef}$  w sposób pokazany na rys. 5.

Rys. 5 Wysokość i pole efektywne uczestniczące podczas zarysowania: a) belka, b) płyta – elementy zginane, c) element rozciągany

(PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, Rys.7.1)

Wysokość rozciąganego przekroju betonu,  efektywnie współpracującego z prętem  zbrojeniowym wynosi

$$\begin{equation}  h_{c,ef}= \lambda_{c,ef}  \cdot h  \label {11}\end{equation}$$

Współczynnik efektywnej wysokości dobiera się z zależności :

$$\begin{equation} \lambda_{c,ef}= \begin {cases}
\min \left \{  \cfrac {1- \xi_{II} \cdot \delta_l}{3} \, ; \, 2,5 \cdot (1-\delta_l) \right \}, & \text { zginanie – rozciągana dolna „l” krawędź } \\
\min  \left \{  1/2 \, ; \, 2,5\cdot (1-\delta_*) \right \}, & \text { rozciąganie – dolna (*= l) i górna (*= u) krawędź} \\
\end {cases} \label{12} \end{equation}$$

gdzie:
$\xi_{II}$ wg  ($\ref{18}$) – względna wysokość strefy ściskanej odniesiona do wysokości użytecznej przekroju,
$ \delta_{*} = \cfrac{d_{*}}{h}$  – względna wysokość użyteczna odniesiona do wysokości przekroju,
$d_*=h-a_*$ – użyteczna wysokość przekroju ,
$a_*= c_*+\Phi*/ 2$ – osiowe otulenie pręta,
$c_*$ – otulenie pręta do jego krawędzi,
$\Phi*$ – średnica pręta zbrojeniowego,
(* =.l . u) – indeks krawędzi dolnej (lower) i górnej(upper) przekroju

Poziom rozciągania (stopień zbrojenia rozciąganego przekroju betonu otaczającego pręty zbrojeniowe) szacujemy z formuły :

$$\begin{equation} \rho_{p,ef}= \cfrac{A_s+\xi_1^2 \cdot A_p^{‚}}{ A_{c,ef}} \stackrel{A_p^{‚}=0} {=} \cfrac{A_s}{A_{c,ef}} = \cfrac{ \rho_{sl} \cdot \delta_l} {\lambda_{c,ef}} \label {13} \end{equation}$$

$A_p^{‚}=0$ przy braku cięgien sprężających,
$\xi_1$ – współczynnik sił przyczepności – bez znaczenia w problemie zginania bez udziału cięgien sprężających,
$A_{c,ef} =b\cdot h_{c,ef} $  jest  efektywnym polem betonu rozciąganego otaczającego zbrojenie lub cięgno sprężające $A_s$,
$\rho_s=A_s/ A_c $ – stopień zbrojenia belki.
Przy braku cięgien i strun sprężających – naprężenia w zbrojeniu przed zarysowaniem szacuje się z formuły

$$\begin{equation}  \sigma_{s,cr}=k_t \cdot f_{ctm }\cdot \left( \cfrac{1}{ \rho_{p,ef}}+ \alpha_e \right ) \label {14}\end{equation}$$

Sztywność przekroju w fazie II (beton spękany)

W fazie II przekrój jest w pełni zarysowany, a rozkład odkształceń i naprężeń przyjmuje się w sposób zaprezentowany na rys. 5

Wysokość górnej strefy rozciąganej

Zależność na wysokość strefy rozciąganej $x_{II,t}$, pokazanej na rys.5 – wyznaczymy z warunku równowagi rzutów sił na oś poziomą :

$$\begin{equation} \Sigma X = S_{cc} – S_{ct} + S_{su} – S_{sl} – N_E= 0\label{15}\end{equation}$$

gdzie  $N_E$  jest przekrojową siłą osiową (od obciążeń), przy czym siła ściskająca ma znak plus, a rozciągająca minus.
Sumy sił z bryły naprężeń w betonie ściskanym $S_{cc}$, rozciąganym $S_{ct}$, pręcie stalowym górnym $S_{su}$ i dolnym $S_{sl}$ wynoszą:
$ S_{cc} = E_c\cdot(b \cdot \varepsilon_{cu} \cdot x_F)/ 2$,
$ S_{ct} =  E_c \cdot ( b \cdot \varepsilon_{cl} \cdot (h-x_F)/ 2$,
$S_{su} = E_s \cdot \varepsilon_{su} \cdot A_{su}$,
$ S_{sl} = E_s \cdot \varepsilon_{sl} \cdot A_{sl}$.

Po podstawieniu wyżej zdefiniowanych zmiennych i po rozwiązaniu równania ($\ref{15}$) względem wysokości rozciąganej strefy przekroju, otrzymujemy :

$$\begin{equation}   \xi_{II,t} = \sqrt{\xi_{II} +n_{E,t}^2 -2\cdot \alpha_e \cdot [(1-\delta_{u/l})\cdot \rho_{sl}-(\xi_{II}]-\delta_{u/l}) \cdot \rho_s ] } – n_{E,t} \label{16} \end{equation}$$

gdzie:
$n_{E,t} =\cfrac{N_E}{b \cdot d_l \cdot f_{ctm}}$,
względna wysokość strefy ściskanej   $\xi_{II} = x_{II} /d_l$,
względna wysokość strefy rozciąganej   $\xi_{II,t} = x_{II,t}/d_l$,
użyteczny stopień zbrojenia dolnego $ \rho_{sl}=A_{sl} / (b\cdot d_l)$,
użyteczny stopień zbrojenia górnego $\rho_{su}=A_{su} / (b\cdot d_l)$,
użyteczny stopień zbrojenia przekroju $\rho_s=\rho_{sl}+\rho_{su}= (A_{sl}+A_{su})/ (b\cdot d_l)$,
stosunek ramion zbrojenia górnego i dolnego  $ \delta_{u/l} =a_u / d_l= \delta_u / \delta_l$,

Wysokość strefy ściskanej

W klasycznym podejściu (np. (Nejadi, 2005), (Knauff, 2015) i in. ) zakłada się, że poniżej strefy ściskanej beton nie przenosi rozciągania, więc wysokość strefy ściskanej  wyznaczymy z równania

$$\begin{equation} \xi_{II,t} = 0 \label {17}\end{equation}$$

Z rozwiązania tego równania  względem $\xi_{II}$ otrzymujemy

$$\begin{equation} \xi_{II}= \sqrt{  \rho_{s,e}\cdot ( \rho_{s,e} + 2 \cdot k_{lu}) }  \, –  \rho_{s,e} \label {18}\end{equation}$$

gdzie wprowadzono oznaczenia:
sprowadzonego  do betonu stopnia zbrojenia przekroju,

$$\begin{equation} \rho_{s,e}= \alpha_e \cdot \rho_s \label {19}\end{equation}$$

a także zmniejszającego współczynnika zbrojenia przekroju podwójnie zbrojonego, uwzględniającego mniejszy wpływ zbrojenia górnego na efektywny współczynnik zbrojenia przekroju belki :

$$\begin{equation} k_{lu}= (\rho_{sl} +\delta_{u/l} \cdot \rho_{su}) /  \rho_s \label{20} \end{equation}$$

Jak wynika z zależności ($\ref{18}$) wysokość strefy ściskanej $x_{II}=\xi_{II} \cdot d_l $ , w przypadku braku betonu rozciąganego, nie zależy od wielkości sił przekrojowych.
Taki sam wynik uzyskamy z warunku równowagi momentów (CH GoodChild, 2009) :

$$\begin{equation} – \cfrac{b \cdot x_{II}^2}{2}+\alpha_e  \cdot \{ A_{sl} \cdot (d_l- x_{II}) +  A_{su} \cdot (a_u- x_{II}) \}= 0  \label{21} \end{equation}$$

Założenie o tym, że pękniecie betonu sięga aż do początku strefy ściskanej (braku strefy rozciąganej) nie jest potwierdzone badaniami doświadczalnymi ani numerycznymi. Wbrew przeciwnie z szerokich analiz numerycznych (Kachlakev, Miller, Yim, Chansawat, Potisuk, 2001) wynika, że w fazie II wysokość strefy niezarysowanej wynosi  ok $\xi_{II}=0,6$, co wskazywało, że istnieje obszar niezarysowanego, rozciąganego betonu. Analiza tego problemu nie jest przedmiotem niniejszego artykułu.

Moment bezwładności przekroju spękanego

Moment bezwładności przekroju w fazie II wynosi :

$$\begin{equation} I_{II}=  \cfrac { b \cdot x_{II}^3}{3 } + \alpha_e \cdot  \left \{ A_{sl} \cdot (d_l-x_{II} )^2+  A_{su} \cdot (x_{II}-a_u)^2 \right \} \label{22} \end{equation}$$

Naprężenia w stali zbrojeniowej  po zarysowaniu

Naprężenie w rozciąganym w pręcie zbrojeniowym w przekroju o współrzędnej bieżącej osi pręta x , obciążonym momentem zginającym $M_E (x)$ obliczone przy założeniu, że przekrój jest zarysowany   można oszacować z zależności

$$\begin{equation} \sigma_s (x) =\alpha_e \cdot \cfrac{M_{E,k} (x) } {I_{II}} \cdot (d_l-x_{II}) \label{23} \end{equation}$$

Zwracamy uwagę, że siły przekrojowe $M_{E,k}(x)$ należy redukować do osi obojętnej przekroju, a ponadto są one wywołane obciążeniami z kombinacji charakterystycznej.

Rozstaw rys

Maksymalny rozstawu rys $s_{r.max}$ zależy od średnicy pręta zbrojeniowego i jego otulenia oraz od szeregu czynników zgodnie z empiryczną zależnością (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, (7.11)) :

$$\begin{equation}  s_{r,max}=k_3 \cdot c +k_1 k_2 k_4 \dfrac{\Phi}{\rho_{p,ef}} \label {24}\end{equation}$$

w którym:
c- nominalne otulenie pręta podłużnego o średnicy $\Phi$,
$\rho_{p,ef}$ wg ($\ref{13}$).
$k_1, k_2,k_3, k_4$ – zestaw współczynników, przyjmowanych jak następuje:
$k_1$ jest współczynnikiem zależnym od przyczepności zbrojenia:
0,8 dla prętów o dobrej przyczepności
1,6 dla prętów o gładkiej powierzchni (np. pręty gładkie lub cięgna sprężające),
$k_2$  jest współczynnikiem zależnym od rozkładu odkształceń, obliczanym z zależności :

$$\begin{equation}  k_2= \cfrac { \varepsilon_1+\varepsilon_2 }{ 2 \varepsilon_1} \label {25}\end{equation}$$

gdzie $\varepsilon_1$ jest większym a $\varepsilon_2$ mniejszym z odkształceń na krawędziach rozważanego przekroju, obliczonych przy założeniu. że przekrój jest zarysowany.

W przypadku elementów zginanych (belek i płyt) , czyli takich w których wysokość strefy ściskanej jest niezerowa $x>0$ przyjmuje się

$\varepsilon_2=0$ i z definicji ($\ref{25}$) mamy $k_2=0,5$.

W przypadku elementów rozciąganych:

  • przy czystym rozciąganiu  $\sigma_2=\sigma_1 \to k_2=1$,
  • przy rozciąganiu mimośrodowego z mimośrodowym z mimosrodem  $e=M_E/N_E$  przekroju prostokątnego bxh symetrycznie zbrojonego:

$\varepsilon_1= \cfrac{\sigma_N}{E_c} \cdot  \left (1+6 \cdot e/h \right )$ , $\varepsilon_2= \cfrac{\sigma_N}{E_c} \cdot  \left (1-6 \cdot e/h \right )$ , gdzie $\sigma_N=\cfrac{N}{A_c}$,

czyli $k_2= \cfrac { \varepsilon_1+\varepsilon_2 }{ 2 \varepsilon_1} = 1 / \left( 1+ 6 \cdot e/h \right) $,

Pozostałe współczynniki korekcyjne przyjmuje się o wartościach:
$k_3$=3,4 , $k_4$= 0,425.

Jeżeli rozstaw zbrojenia mającego przyczepność przekracza $5\cdot a$ ($a=c + \Phi/2$) , albo jeżeli w strefie rozciąganej nie ma zbrojenia z przyczepnością do betonu, to górną granicę szerokości rys nożna obliczyć, zakładając że maksymalny rozstaw rys wynosi :

$$\begin{equation}  s_{r,max}= 1,3 \cdot (h – x_{II}) \label {26} \end{equation}$$

W płycie – jeżeli kąt $\Theta$ nachylenia kierunków naprężeń głównych do zbrojenia ortogonalnego przekracza $15^0$, to

$$\begin{equation}  s_{r,max}=\cfrac{1}{ cos \Theta / s_{r,max,y}+ sin \Theta / s_{r,max,z} } \label {27}\end{equation}$$

w którym $s_{r,max,y}$ oraz  $s_{r,max, z}$ są rozstawami rys  w dwóch ortogonalnych kierunkach płyty liczonymi wg wzorów $(\ref{24})$

Rozwarcie rysy

Metody sprawdzania rys

W zwykłych sytuacjach w celu ograniczenia szerokości rys do wartości granicznych $(\ref{1})$ poprzestaje się na zastosowaniu średnic i rozstawu zbrojenia mniejszego od wartości przedstawionych w tab. 5, a omówionych w rozdziale dotyczącym minimalnego zbrojenia belek. Metodę uproszczoną stosuje się w większości praktycznych sytuacji projektowych na etapie wstępnym – koncepcji.
Ostatecznie zaprojektowaną belkę z konkretnymi warunkami brzegowymi sprawdza się metodą ogólną opisaną niżej z zastosowaniem programów komputerowych. W kalkulatorze żelbetu CHP-Ż w 1.4 wdrożono obie wersje metody ogólnej :

  • Metoda KO [odkształceń krytycznych) polegająca na bezpośrednim zastosowaniu zależności

$$\begin{equation} w_k=s_{r,max} \cdot \varepsilon_{cr}  \label {28}\end{equation}$$

gdzie odkształcenie pękania $\varepsilon_{cr}$ jest różnicą odkształceń stali i betonu przy której inicjuje się pękniecie :

$$\begin{equation}  \varepsilon _{cr}= \varepsilon _{sm}-\varepsilon _{cm} \label {29}\end{equation}$$

$$\begin{equation}  \alpha= \alpha_I + \zeta ( \alpha_{II} – \alpha_I)  \label {30}\end{equation}$$

zalecanej do prognozy uogólnionych odkształceń $\alpha$ spękanego betonu, głównie elementów zginanych

Współczynnik dystrybucji $\zeta$ szacuje się z zależności

$$\begin{equation}  \zeta= 1- \beta \left( \cfrac{\sigma_{sr}}{\sigma_s} \right )^2 \label {31}\end{equation}$$

w której:
$\beta=1$ dla obciążenia krótkotrwałego; $\beta=1/2$ dla obciążeń długotrwałych i wielokrotnie powtarzanych (prawie – stałych).

Naprężenia w stali są wyznaczane w dwóch stanach :

  • $\sigma_{sr}$ – naprężenie w zbrojeniu dolnym (rozciąganym), obliczone przy założeniu, że przekrój jest zarysowany obciążeniem powodującym powstanie pierwszej rysy (tzn momentem rysującym wyznaczonym w końcowym etapie fazy I)
  • $\sigma_s$  – naprężenie w zbrojeniu dolnym (rozciąganym, obliczone przy założeniu, że przekrój jest w pełni zarysowany (tzn w fazie II) momentem zginającym od obciążeń charakterystycznych

Stosunek naprężeń $\cfrac {\sigma_{sr}}{\sigma_s}$  można zastąpić przez:
$M_{cr} / M_E(x)$, przy czystym zginaniu,
$N_{cr} / N_E(x) $ , przy czystym rozciąganiu,
gdzie $M_{cr}$ i $N_{cr}$ oznacza odpowiednio rysujący moment lub siłę osiową, a $M_E(x) $ oraz $N_E(x) $ siły przekrojowe działające w przekroju o współrzędnej bieżącej x.

Metoda KO [odkształceń krytycznych ] wyznaczania rozwartości rysy

Po przekształceniu wyrażenia z normy (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, (7.9)) odkształcenia rysujące  w betonie możemy oszacować z zależności :

$$\begin{equation}  \varepsilon _{cr}= \cfrac{\Delta \sigma}{E_s} \label {32} \end{equation}$$

gdzie

$$\begin{equation}  \Delta \sigma= \max { \{ \sigma_s -\sigma_{s,cr} \, ; \, 0,6 \cdot \sigma_s \} } \label {33}\end{equation}$$

w którym:
$\sigma_s$ wg ($\ref{23}$)
$\sigma_{s,cr}$ ($\ref{14}$).

Metoda UO [odkształceń uogólnionych ] wyznaczania rozwartości rysy

W metodzie odkształceń uogólnionych analizuje się odkształcenie betonu po przekroczeniu odkształcenia sprężystego $\alpha_I$ (po pojawieniu się pierwszej rysy) i osiągnięciem odkształcenia  w stanie w pełni zarysowanym $\alpha_{II}$ wg formuły ($\ref{30}$), która dotyczy odkształceń uogólnionych, więc krzywizny $\psi$, przemieszczenia, obrotu, ale także szerokości rozwarcia rys $w_k$.

Na rys. 6  zależność ($\ref{30}$) zilustrowano na przykładzie przemieszczeń prostej belki,

Rys. 6.  Metoda odkształceń uogólnionych  w elemencie żelbetowym

(opracowane na podstawie (MPA The Concrete Centre, 2017))

Zastosowanie zależności ogólnej  $(\ref {30})$ do szacowania odkształceń stali $\varepsilon_s$ i rozciąganego betonu  $\varepsilon_c$ prowadzi do formuł:
$\varepsilon_s=  \varepsilon_{sI}+\zeta \Delta \varepsilon_s$,
$\varepsilon_c=  \varepsilon_{cI}+\zeta \Delta \varepsilon_c$,
a po odjęciu obu równań  stronami i uwzględnieniu, że w fazie I występuje pełna współpraca betonu i stali ( $ \varepsilon_{sI,I}= \varepsilon_{cI,I} ) mamy :

$$\begin{equation} (\varepsilon_s-\varepsilon_c)=\zeta (\Delta \varepsilon_s- \Delta \varepsilon_c)  \label {34} \end{equation}$$

Po uwzględnieniu tego, że beton zarysowany w strefie efektywnej nie przenosi rozciągania, czyli $ \varepsilon_{cl,II}=0$ i ponownie ($ \varepsilon_{sI,I} = \varepsilon_{cI,I}$) z zależności ($\ref{35}$) uzyskujemy:

$$\begin{equation} (\varepsilon_s-\varepsilon_c)=\zeta \varepsilon_{sII}=\zeta \cfrac{\sigma_s}{E_s}  \label {35}\end{equation}$$

Otrzymujemy stąd wyrażenie na rozwartość rysy w postaci

$$\begin{equation} w_k=s_{r,max} \cdot \zeta \cfrac{\sigma_s}{E_s} = s_{r,max} \cdot  \left [ 1 – \beta \cdot \left ( \cfrac{M_{cr}}{M_E} \right )^2 \right ] \cdot \cfrac{\sigma_s}{E_s} \label {36} \end{equation}$$

Uzyskaliśmy wyrażenie ($\ref{36}$)  na szerokość rysy niezależne od parametrów betonu  $f_{ctm}$ oraz $E_{c}$  (doraźnych lub efektywnych).

Ugięcia belek

Ugięcia graniczne

Odmiennie od projektowania według historycznych norm (p. artykuł Kombinacje obciążeń w Eurokodach) obecnie ( wg (PN-EN 1990, 2004) fundamentalną zasadą jest to, że graniczne ugięcia konstrukcji powinny wynikać z wymagań  użytkowych ustalanych  z inwestorem i przyszłym użytkownikiem danej inwestycji, a nie z wymagań norm ogólnych.

W normie do projektowania konstrukcji żelbetowych (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, kl. 7.4.1.) zasugerowano ugięcia graniczne, których przekroczenie może (ale nie musi) doprowadzić do utraty własności  budowli ważnych ze względów konstrukcyjnych (a nie użytkowych), a do szczegółów odsyła do normy . Ograniczenie dotyczy ugięć pod  obciążeniami quasi-stałymi. Wartość quasi-stała oddziaływania zmiennego , wynosi ψ2 ·Qk , gdzie ψ2 jest współczynnikiem określającym stosunek części quasi-stałej (czyli takiej,  dla której okres jej  przekraczania stanowi znaczną część okresu odniesienia) do całkowitej wartości charakterystycznej obciążenia. Podano tylko dwa ograniczenia :

$$\begin{equation} \delta_{lim} = \begin {cases}
L/200,  & \text {dla zapewnienia estetyki i ogólnej użyteczności } \\
L/500, & \text {w celu uniknięcia uszkodzenia współpracujących elementów budowli}
\end {cases} \label{37}\end{equation}$$

gdzie $L$ jest odległością pomiędzy dwoma punktami  A i B konstrukcji, a $\delta$ jest strzałką ugięcia pomiędzy tymi punktami, czyli
$\delta= v_{max}- (v_A+v_B)/2$, gdzie $v_A$ i $v_B$ są przemieszczaniami pionowymi odpowiednio punktu A i B, a $v_{max}$ – maksymalnym przemieszczeniem pomiędzy tymi punktami.
Współpracującymi elementami budowli są najczęściej ściany działowe ( w tym murowane), ustawione na uginającej się płycie stropowej.
W przypadku współpracujących elementów elementów wrażliwych (np. ścian szklanych) należy zastosować specjalne ograniczenia lub dylatacje kompensacyjne, tak aby elementy wrażliwe nie zostały zmiażdżone uginającym się stropem, a limit dotyczy stropu i belek na których są postawione.

W praktyce kontrolę ugięć belek żelbetowych stosuje się przy następujących ograniczeniach:

$$\begin{equation} \delta_{lim} = \begin {cases}
L/250,  & \text {max ugięcie efektywne w okresie użytkowania od kombinacji charakterystycznej”czestej”} \\
L/500, & \text {przyrost ugięcia w okresie przyrostu obciążenia od kombinacji charakterystycznej „prawie stałej }
\end {cases} \label{37a}\end{equation}$$

Sprawdzanie ugięć elementów konstrukcyjnych

Podstawowym problemem przy obliczaniu ugięć elementów i konstrukcji żelbetowych jest uwzględnienie czynników, które wpływają istotnie na zwiększenie deformacji  konstrukcji żelbetowej w stosunku do  odkształcenia konstrukcji sprężystej , takiej jak konstrukcja stalowa, a mianowicie:

  1. efekty skurczu i pełzania betonu w czasie,
  2. zmniejszania sztywności elementów na skutek narastającego zarysowania wraz ze wzrostem  wytężenia przekroju, w sytuacji różnego zarywania przekrojów w różnych miejscach konstrukcji

Efekty skurczu i pełzania betonu uwzględnia się poprzez zastosowanie efektywnego modułu odkształcenia betonu $E_{c,ef}$ zgodnie z formułą (P-33).

Natomiast zmniejszenie sztywności żelbetu wskutek zarysowania betonu dokonuje się w sposób analogiczny do przyjętego w metodzie ogólnej szacowania rozwartości rys.

Jeśli element nie ulegnie zarysowaniu, to nie trzeba sprawdzać szerokości rys, a ugięcia oblicza się jak dla ustroju sprężystego.

W przypadku przeważającego zginania zarysowanie wystąpi, gdy moment zginający jest większy od momentu rysującego przekrój $M_{cr}$ ($\ref{5}$), Przy obciążeniu mimośrodowym wartością porównawczą do stwierdzenia okoliczności początku zarysowania przekroju jest rysująca siła osiowa $N_{cr}$

$$\begin{equation} N_{cr}= \cfrac {f_{ctm}} {e/W_I \pm 1/A_c} \label {38}\end{equation}$$

gdzie:
$e=M/N$ – mimośród siły osiowej (p. również poprzedni punkt artykułu),
$W_I=I_I/(h-x_I) $,  $I_I$ ($\ref{7}$), $x_I$ ($\ref{6}$)
Znak „+” stosuje się przy rozciąganiu, „-” przy ściskaniu.

Metody sprawdzania ugięć

Stan graniczny ugięć może być sprawdzony na dwa sposoby:
1) uproszczony – wskaźnikowy  – polegający na ograniczeniu stosunku rozpiętości do wysokości L/h zgodnie z  (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, kl. 7.42.).
2) ogólny przez porównanie ugięcia obliczonego według (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, kl. 7.4.3.) z wartością graniczną
Ze względu na złożoność /metody ogólnej do zastosowań praktycznych zaleca się sposób wskaźnikowy   sprawdzania ugięć belek i płyt żelbetowych.

Metoda wskaźnikowa nie jest jednak uniwersalna, bo dotyczy zamkniętego katalogu schematów belek. Ponadto metodą wskaźnikową uzyskuje się rezultaty różniące się znacznie od rzeczywistych Na rys. 7 porównano metodę wskaźnikową z ogólną (ścisłą) dla belki swobodnie podpartej. Błąd metody wskaźnikowej, liczony indeksem L/h  jest największy dla rozpiętości belek do 6 m lub  dla stosunkowo dużych obciążeń i wynosi ok 30%. W przypadku belki o rozpiętości 6 m i dla obciążeń stropów mieszkalnych Q=2,5 kN/m2 , wynosi  30/27-1 =11%. Ze względu na to, że wyniki z metody wskaźnikowej obarczone są znaczącymi błędami , to w niniejszym artykule odchodzi się od metody wskaźnikowej na rzecz metody ogólnej i obliczeń w podręcznym arkuszu obliczeniowym. Metody uproszczonej nie przedstawia się w szczegółach.

Rys. 7. Porównanie sposobu wskaźnikowego ze ścisłym dla belki wolnopodpartej

(zmodyfikowane (MPA The Concrete Centre, 2017))

Metoda ogólna

Zastosowanie zależności ogólnej  $(\ref {30})$ do szacowania krzywizny  belki $\psi$ prowadzi do zależności :

$$\begin{equation}  \psi=\psi_I+ \zeta \Delta \psi \label {39}\end{equation}$$

gdzie $\Delta \psi=\psi_{II}-\psi_I$
Współczynnik dystrybucji $\zeta$ szacuje się z zależności :

$$\begin{equation} \zeta= \begin {cases}
0, & \text {dla x :  }  M(x) \le M_{*,cr}  \text { (w I fazie  pracy przekroju) }\\
1- \beta \left( \cfrac{M_{*,cr}}{M(x)} \right )^2, & \text  { dla x : } M(x) > M_{cr} \\
\end {cases} \label{{40}}\end{equation}$$

gdzie : $x$ jest współrzędną bieżącą  belki, M(x) – moment zginający belkę w miejscu o współrzędnej $x$. $*=(u,l)$ – indeks krawędzi przekroju ( górna, dolna).

Współczynnik czasu trwania obciążenia przyjmuje się jak w ($\ref{31}$), tzn.: $\beta=1$ dla obciążenia krótkotrwałego; $\beta=1/2$ dla obciążeń długotrwałych i wielokrotnie powtarzanych (prawie – stałych).

Z elementarnych zasad wytrzymałości materiałów wiemy, że w stanie zgięciowym zachodzi zależność :

$$\begin{equation}  \psi=-\cfrac{M_E}{EI} \label {41}\end{equation}$$

Krzywizna określona ścisłym wzorem $(\ref{41})$ jest zmienna po długości belki w związku ze zmiennym momentem bezwładności przekroju , powodującym rożny stopień zarysowania przekroju $I$. Przyjmuje się że moduł odkształcalności $E=E_{c,ef}$.

Na długości belki mogą wystąpić odcinki z rozciąganym włóknem górnym „u”(np nad podporami belek ciągłych )oraz z rozciąganym włóknem dolnym „l” . Odpowiadające moment y rysujące oznaczamy jako  $M_{cr,u}$  i $M_{cr,l} odpowiednio$. Na odcinku z rozciąganym włóknem  górnym może wystąpić część na której $|M|>M_{cr,u}$ oraz część , gdzie $|M| \le M_{cr,u}$. Na odcinku z rozciąganym włóknem  dolnym może wystąpić część na której $M>M_{cr,l}$ oraz część , gdzie $M \le M_{cr,l}$
Odpowiadające sztywności przekroju wynoszą :

$$\begin{equation}  EI = \begin{cases}
E\cdot I_{II,u}, & \text { jeśli }  |M| >M_{cr,u} \\
E \cdot I_{I,u}, & \text { jeśli }  |M| \le M_{cr,u} \\
E \cdot I_{I,l}, & \text { jeśli }  M \le M_{cr,l} \\
E \cdot I_{II,l}, & \text { jeśli }  M > M_{cr,l} \\
\end{cases}\label {42}\end{equation}$$

Wpływ skurczu na ugięcia belek

Do ugięć wywołanych  zewnętrznymi obciążeniami  dodaje się ugięcia wywołane różnicą skurczu włókien belki, spowodowanych przede wszystkim różnicami w zbrojeniu dolnym i górnym. Wygięcie belki wywołane skurczem postępuje tak, że wypukłość powstaje w kierunku silniejszego zbrojenia.
Obliczeniowo uwzględnia się to poprzez dodanie do momentu zginającego M(x)  momentu  $M_{cs}$ równoważnego krzywiźnie osi belki spowodowanej skurczem :

$$\begin{equation}  \psi_{cs} =  \varepsilon _{cs} \cdot \alpha_e \cdot \cfrac{45}{I_F}\label {43}\end{equation}$$

gdzie:
$\varepsilon_{cs}$ ( P-7) – całkowite odkształcenie od skurczu ,
$F=(I, II)$ -faza pracy rozpatrywanego przekroju,
$S_I$ , $S_{II}$ momenty statyczne zbrojenia względem osi obojętnej przekroju odpowiednio w fazie I i II.
$\alpha_e$ ($\ref{3}$)
Składając wyrażenie ($\ref{43}$)  i ($\ref{41}$)  uzyskujemy moment równoważny od skurczu $M_{cs}(x)$  w przekroju o współrzędnej x , :

$$\begin{equation}  M_{cs,F} (x) = E_s \cdot  S_F(x)  \cdot \varepsilon _{cs}(x)  \label {44} \end{equation}$$

gdzie :

$$\begin{equation}  S_F= A_{xl} \cdot ( d_l -x_F) -A_{su} \cdot (x_F – a_u)  = b \cdot d_l^2 \cdot [ \rho_{sl} \cdot ( 1-\xi_F ) – \rho_{su} \cdot ( \xi_F – a_u / d_l )] \label {45} \end{equation}$$

Przyjmuje się , że momenty równoważne  działają na rozpatrywany element zginany  w ten sposób, że  przekrojowy moment zginający, M_E (x) pochodzący od obciążeń zewnętrznych jest zwiększany  o moment $ M_{cs}(x)$, ($\ref{44}$), odpowiedni dla zbrojenia tego przekroju., tak  że wartość momentu zginającego miarodajna do obliczania ugięcia wynosi

$$\begin{equation}  M(x) =M_E(x)+M_{cs}(x) \label {46} \end{equation}$$

Obliczanie ugięcia belki  z zależności różniczkowej

Przemieszczenie  pionowe $w(x)$ (x – współrzędna pozioma, osi pręta) wewnątrz elementu  jest związane z krzywizną $\Psi(x)=1/R(x) $ pręta zależnością różniczkową (Piechnik, 1980, (4.58)) :

$$\begin{equation} \Psi= \cfrac{|w”(x)|}{[1+(w'(x))^2]^{3/2} }\label {47}\end{equation}$$

którą dla małych przemieszczeń  w(x)< L/100 można zlinearyzować do postaci

$$\begin{equation} \Psi \approx |w”(x)| \label {48}\end{equation}$$

Wówczas można zapisać podstawowe równanie różniczkowe zginania pręta o sztywności giętnej $EI(x)$ wywołane przez momenty zginające M(x) w postaci:

$$\begin{equation} w”(x)=-\dfrac{M(x)}{EI(x)} \label {49}\end{equation}$$

Poprzez dwukrotne całkowanie tego wyrażenia, otrzymamy

$$\begin{equation} w =\iint \limits_0^x – \cfrac{M(x)}{EI(x)} dx  +C_1x+C_2 \label {50}\end{equation}$$

gdzie $C_1$ i $C_2$ są stałymi zależnymi od warunków brzegowych na końcach elementu, a x jest bieżącą współrzędną osi pręta.

Wyznaczanie ugięcia belki żelbetowej metodą różnic skończonych

W przypadku, gdy interesuje nas ugięcie, a nie przemieszczenia wyraz ze stałą całkowania $C_2$ można pominąć. Ugięcie będzie maksymalnym przemieszczeniem $w_{max}$ na badanym odcinku [0,x].

Całkowanie wyrażenia ($\ref{50}$) można przeprowadzić dowolną metodą, w tym metodą różnic skończonych, którą zaimplementowano w załączonym arkuszu kalkulacyjnym. Korzystamy z zasadniczego twierdzenia rachunku różnicowego (rys. 39) :

$$\begin{equation} \iint_0 ^x f”(x) dx dx = \sum_{0}^{x }\Delta^2 f(x) \label {51}\end{equation}$$

gdzie operator różnicowy

$$\begin{equation}\Delta^2 f(x) = \cfrac{f_{i-1}-2 f_i +f_{i+1}}{\Delta x^2} \label {52}\end{equation}$$

Można pokazać (Strikwerda, 2004), że centralny operator różnicowy drugiego rzędu $(\ref{55})$ daje błąd aproksymacji rzędu $\Delta x^2/12$. to znaczy zmniejsza się wraz z kwadratem  długości elementów $\Delta x = h $ na które zdyskretyzowano belkę.

Rys. 8 Dyskretyzacja belki do obliczenia ugięcia

W modelu dyskretnym wprowadzone są dwa węzły pozorne „0 ” i „n+1”. Ugięcia w tych węzłach $w_{-1}$, $w_{n+1}$ są związane z ugięciami w węzłach rzeczywistych poprzez warunki brzegowe.

$ M_0= \, –  EI_1 \cfrac{ w_{0} – 2 w_1 + w_2 }{h^2} \quad \to w_{0} = \, – \, \cfrac{M_0 \cdot h^2}{EI_1} + 2 \cdot w_1- w_2 $

$M_L=\, –  EI_n \cfrac{w_{n-1}-2 w_n +w_{n+1}} {h^2} \quad \to  w_{n+1} =\,  – \, \cfrac{M_L \cdot h^2}{EI_{n}} + 2\cdot w_n -w_{n-1}$
Powyższe dwa równania uzupełniają układ równań uzyskany z ($\ref{50}$) dla każdego z węzłów „1” do „n”  po podstawieniu ($\ref{50}$). W przypadku znanych przemieszczeń na końcach elementu $w_1=w_n = 0$ wykorzystywanie powyższych warunków brzegowych jest zbędne,
Kanoniczny  układ równań  problemu można zapisać w postaci macierzowej .

$$\begin{equation}   [A] \cdot  ||w|| = ||F_r|| \label{53} \end {equation}$$

gdzie:
$||w||= | w_1, w_2 , …,w_n|$ – kolumnowy wektor przemieszczeń węzłów (1 …n),
$[A]_{n x n}$ –  macierz współczynników różnicowych.
Kolumnowy wektor obciążeń różnicowych  $||F_r||$ wynosi :

$$\begin{equation}   ||F_r|| = – h^2/ E_c \cdot ||M / I||   \label{54} \end {equation}$$

gdzie:
$h=\Delta x$,
$||M/I|| $ – wektor ilorazów momentu zginającego i momentu bezwładności  przekroju w i-tym węźle.
Moment zginający w przekroju uwzględnia skurcz betonu zgodnie z zależnością ($\ref{45} $).

Macierz współczynników różnicowych jest niezależna od wartości obciążeń i buduje się  ją z wektora współczynników $ |1, -2, 1 |$ rozmieszczanego w  macierzy w prosty sposób analogiczny do pokazanego w tab.1  dla liczby elementów N=10, tj dla liczby węzłów n=N+1 =11  i liczby nietrywialnych równań 11-2=9. Uwzględnienie warunków brzegowych nastąpiło poprzez wykreślenie  wierszy i kolumn  1 oraz n=11 (dla węzłów podporowych).

Tab 1 Macierz współczynników różnicowych dla n=10 (dx=L/10)


Rozwiązanie równania ($\ref{52}$) możemy zapisać w postaci

$$\begin{equation}  |w| = – [A]^{-1} \cdot  ||F_r||  \label{55} \end {equation}$$

gdzie $A^{-1}$ -macierz odwrotna do macierzy współczynników różnicowych. Macierz $A^{-1}$  jest również niezależna od obciążenia belki oraz rozkładu jej sztywności w tym zarysowania i stła dla danej liczby węzłów.  (tab. 2 ):

Tab. 2 Odwrotna macierz współczynników różnicowych dla n=10

Ze struktury macierzy odwrotnej wynika, że największy wspływ na strzałkę ugięcia belki ma zachowanie przekrojów w węzłach środkowych.. Wiersz współczynników wpływu na strzałkę ugięcia belki  (węzeł 6 ) wyróżniono na żółtym tle. Jeśli wiersz ten oznaczymy jako [A_6], to strzałka ugięcia belki wyniesie

$$\begin{equation}  \delta = h^2/ E_c \cdot [ A_6 ]  \cdot ||M / I||  \label{56} \end {equation}$$

Z wykorzystaniem formuły ($\ref{56}$) w szyki sposób można oszacować ugięć cie belki w stanie zarysowanym.  Ponieważ moment bezwładności przekroju w stanie zarysowanym stanowi ok 60% momentu bezwładności sprężystego, to  szacunkowy wzrost strzałki ugięcia ana skutek zarysowania dla stałego w czasie modułu Younga wyniesie  ((0,5+1+0,5+1)+(1,5+2+2,5+2+1,5)/0,6)/(0,5+1+1,5+2+2,5+2+1,5+1+0,5) /12,5= 1,5.  W przypadku uwzględnienia modułu końcowego zamiast doraźnego  różnica ta może zwiększyć się prawie dwukrotnie i przekroczyć 3. W szybkich oszacowaniach zwykle przyjmuje się, ze w celu oszacowania ugięcia końcowego  belki zarysowanej na podstawie ugięcia sprężystego należy je powiększyć  3x.

Wyznaczenie ugięcia belki wyodrębnionej z konstrukcji

Belka wyodrębniona z konstrukcji może być przedstawiona jako belka swobodnie podparta ze skupionymi momentami zginającymi $M_0$ oraz $M_L$ przyłożonymi nad podporami, jak przedstawiono na rys. 9.

Rys.9. Zastępcza belka , wyodrębniona z konstrukcji dla szacowania ugięć w stanie zrysowanym

Dowolnie przyłożone obciążenie w przęśle można zastąpić równomiernie rozłożonym obciążeniem zastępczym $q_z = \alpha_q \cdot Q / L$, gdzie $Q=\Sigma Z$ jest sumą sił pionowych przyłożonych  w przęśle,. Obciążenie zastępcze można uzyskać na wiele sposobów zależnie od celu do jakiego aproksymacja ma służyć , w tym:

a) sposobu statycznego poprzez porównanie maksymalnego momentu zginającego $M_{max}$ wywołanego rzeczywistym obciążeniem i sumy na którą składają się momenty zginające wywołane  obciążeniem belki zastępczej :

$$\begin{equation} \alpha_q  = \cfrac{8} {Q\cdot L} \cdot [M_{max} -\Delta M( x_{max})] \label {57} \end{equation}$$

gdzie: $x_{max}$ – rzędna dla której rzeczywisty moment zginający  jest maksymalny i osiąga wartość $M_{max}$.
Na przykład dla belki swobodnie podpartej obciążonej jedną siłą skupioną w środku rozpiętości:
$Q = F$ , $x_{max} = L / 2 $, $ \Delta_M = 0 $, $M_max=F \cdot L / 4 $, więc $ \alpha_q=2$

b) sposobu kinematycznego poprzez porównanie ugięcia $\delta_q$ wywołanego przez obciążenie zastępcze $q_{zast}$ z ugięciem $ \delta_F$ wywołanym obciążeniem rzeczywistym $F$, tzn

$$\begin{equation} \alpha_q  \succ  \delta_F =\delta_q  \label {58} \end{equation}$$

Na przykład w przypadku przęsła belki o stałej po długości sztywności początkowej EI obciążonej jedną siła skupioną F w środku rozpiętości – strzałka ugięcia belki swobodnie popartej wynosi $\delta_F= \tfrac {F \cdot L^3}{48 \cdot EI}= \tfrac {Q \cdot L^4}{48 EI}$. Porównawcze ugięcie wyniesie $\delta_q=  \alpha_q \cdot \tfrac{5}{384} \tfrac{q\cdot L^4}{EI}$, gdzie $q=\tfrac{Q}{L}$, czyli $\alpha_q= 384/(5\cdot 48) = 1,6$.

W przypadku przekroju żelbetowego  współczynnik $\alpha_q$ będzie nieco większy, co pokazano w tab.1 dla belki żelbetowej obciążonej żebrami w liczbie n na długości przęsła, Ugięcia wyznaczano metoda efektywnej sztywności dla belki żelbetowej prostokątnej 30×30 cm zbrojonej f16 x 3 góra i dołem wykonaną z betonu C30/37 ze współczynnikiem pełzania $\varphi=2,8$ i współczynnikiem udziału betonu$K_c=0,5$.

Rozbieżności między współczynnikami oszacowanymi metodą statyczną i kinematyczną są znaczne . Metoda kinematyczna daje wyniki dokładniejsze, choć wymaga większego nakładu pracy w rozwiązanie zadania pomocniczego. Nie stanowi to jednak problemu w dobie obliczeń numerycznych.

Szacunkowe współczynniki $\alpha_q$ dla przęsła belki obciążonego „n” siłami skupionymi podano w tab.3

Tab.3. Szacunkowe współczynniki $\alpha_q$ dla belki żelbetowej obciążonej w przęśle „n” siłami skupionymi

W arkuszu LCżelbet zastosowano metodę statyczną wg wzorów zamieszczonych na rys. 9

Wyprowadzenie podanych zależności zaczynamy od zapisania pola momentów na belce.  Reakcja  lewej podpory (dla $\xi = x/L =0$ ) wynosi

$$\begin{equation} V_0  = \cfrac{M_L – M_0}{L} + \cfrac{q_z \cdot L }{2} \label{59} \end{equation}$$

Rozkład momentów zginających jest następujący:

$$\begin{equation} M(\xi)   = M_0+ \Delta M \cdot \xi + \cfrac{q_z \cdot L^2}{2} \cdot \xi \cdot (1-\xi) \label {60} \end{equation}$$

gdzie $\Delta M=M_L-M_0$

Pierwsza pochodna ($\ref{60}$) wynosi

$$\begin{equation} dM(\xi)/d\xi   =  \cfrac{\Delta M}{L}  + \cfrac{q_z \cdot L}{2}  \cdot (1-2 \cdot \xi) \label {61} \end{equation}$$

Przyrównując ($\ref{61}$) do zera otrzymujemy miejsce $\xi_{max}$ ekstremalnego momentu zginającego na belce zastępczej

$$\begin{equation} \xi_{max}= \cfrac{1}{2} +\cfrac{\Delta M}{q_z \cdot L^2} \label {62} \end{equation}$$

Ekstremalny moment zginający w belce zastępczej (w miejscu $\xi_{max}$) wynosi:

$$\begin{equation} M( \xi_{max})= \cfrac{1}{2} \cdot \left[ (M_L+M_0) +\cfrac{(\Delta M)^2}{q \cdot L^2} + \cfrac{q \cdot L^2}{8} \right ] \label {63} \end{equation}$$

Porównując moment ($\ref{63}$) z ekstremalnym momentem zginającym belkę rzeczywistą $M_{max}$ i rozwiązując otrzymane równanie ze względu na $q_z$, otrzymamy dwa pierwiastki, różniące się znakiem przy $M_w$:

$$\begin{equation} q_z = \cfrac{2}{L^2} \left[ 2\cdot (M_{max} \pm M_w – (M_0 +M_L) \right ]\label {64} \end{equation}$$

gdzie $M_w = \sqrt{ [ (M_{max} -M_0) \cdot (M_{max}-M_L ] }$

Obciążenie zastępcze realizujące podobne do rzeczywistego pole momentów zginających uzyskuje się najczęściej dla znaku „+” przed średnia geometryczną  $M_w$ odchyleń momentów podporowych od momentu maksymalnego $M_{max}$.

Procedura oszacowania ugięć pręta przeważająco zginanego składa się z następujących kroków:
1) dyskretyzacja belki poprzez podział na n równych elementów o długości $h$ (rys.8).
W kalkulatorze CH-P Ż zastosowano podział belki na dwadzieścia elementów o długości $h=L/20$.

2) w każdym węźle (i=1 ,… n) wyznaczany jest iloraz $f_i=M_i/ I_i$, przy czym każdorazowo wyznaczana jest sztywność przekroju w węźle z warunku ($\ref{42})$

3) rozwiązywany jest utworzony układ równań ($\ref {53}$). Ugięcie belki jest maksymalnym przemieszczeniem belki.
Metodę wyczerpująco przedstawiono w  Przykład R-4 Linia ugięcia belki obciążonej odcinkowo.

Przykłady rachunkowe

Kontrola zarysowania

Przykład R-1 [Zarysowanie przekroju pojedynczo zbrojonego]

Dane wg (Knauff, Golubińska, Knyziak, 2015, przykład 18.1) gdzie obliczenia przeprowadzono metodą KO
Obliczyć szerokość rysy w przekroju prostokątnym
wysokość $h=500 \,mm$, szerokość $b=300 \, mm$, zbrojenie jednostronne $A_{sl} = 12,57 \, cm^2$ (4 Ø 20)
otulenie $c= 40 \,mm$, $a=40+20/2=50 \, mm$, wysokość użyteczna $d_l=500-50=450 \, mm$
beton C 25/30 $\to$ tab. W-1: $f_{ck}= 25 \, MPa$, $f_{ct,ef}= f_{ctm} = 2,6 \, MPa$, $E_{cm}=31 \, GPa$
stal B490 $\to$ tab. W-2:   $f_{yd}= 420 \, MPa $ , $ E_s= 200 \, GPa$
Moment zginający od kombinacji obciążeń quasi-stałej: $M_{E,k2}=124,4 \, kNm$
W obliczeniach w arkuszu LCżelbet przyjęto $M_{Ed}=124,4 \, kNm$ i indeksy (P-1) oraz (P-2) równe jedności $SGU_1/SGN= SGU_2/SGN=1,0$ .

Przyjęto $E_c = E_{cm}=31 \, GPa$, a nie  $E_{c,ef}$, to znaczy rozpatruje się przypadek doraźny, co jest niespójne  z obciążeniami quasi-stałymi  dla których przyjmowano współczynnik $k_t=0,4$ ($\ref{10}$),

($\ref{3}$) $\to$ $\alpha_e=200/31= 6,452$

użyteczny stopień zbrojenia dolnego $\rho_{sl}=12,57/ (30 \cdot 45)= 0,931$%
użyteczny stopień zbrojenia górnego  $\rho_{su}=0$ %
użyteczny stopień zbrojenia belki $\rho_{s}=0,931+0 =0,931$%
względna wysokość użyteczna $ \delta_l= 450/500=0,9$

Obliczenie szerokości rysy metodą KO

I faza pracy

($\ref{6}) \to$ wysokość strefy ściskanej $x_{I} =\cfrac{  30\cdot 50^2 /2 + 6,452 \cdot ( 0 + 12,57 \cdot 45  )  }{ 30\cdot 50 + 6,452 \cdot (12,57+0) }= 26,025 \, cm$

($\ref{7}) \to$ moment bezwładności przekroju w I fazie $I_I= \cfrac{ 30 \cdot 50^3}{12} + 30 \cdot 50 \cdot (50/2- 26,025)^2 + 6,452 \cdot  [ 0 +12,57 \cdot (45 -26,025)^2 ] =343276,6 \, cm^4$

odległość włókna skrajnego (betonu) $z_{0,I}= h-x_I= 50 – 26,025=  23,975 \, cm$,

wskaźnik wytrzymałości w I fazie $W_I= \cfrac{ 343276,6}{23.975}=14318,11 \, cm^3$

Kryteria zarysowania przekroju:

($\ref{5}) \to$ moment rysujący $M_{cr}= 14318,11 \cdot 2,6 \cdot 10^{-3}= 37,23 \, kNm$

Uwaga:
($\ref{8}) \to$ moment rysujący przy pominięciu sztywności stali $M_{cr}= ( 30\cdot 50^2)/6 \cdot 2,6 \cdot 10^{-3} = 32, 5 /, kNm$.
Oszacowanie w przykładzie
jest o 37,23/32,5= 15% mniejsze od wartości z uwzględnieniem zbrojenia w sztywności przekroju.

($\ref{4}) \to$ $ M_E= 124,4  > M_{cr}= 37,23 \, kNm$,

lub alternatywnie
($\ref{5}) \to$ $ \sigma_{cl} = 124,4/ 14318,11 \cdot 10^3= 8,7  > f_{ctm}= 2,6 \, MPa$,

$\to $ przekrój ulegnie zarysowaniu.

II faza pracy

Parametry pomocnicze:

($\ref{19}) \to$  $\rho_{s,e}= 6,452 \cdot 0,00931$= 0,06007

($\ref{20}) \to$  $k_{lu}= (0,931 +0 \cdot 0) / 0,931 =1$

($\ref{18}) \to$ wysokość strefy ściskanej przy założeniu braku betonu rozciąganego   $\xi_{II}= \sqrt{ 0,06007 \cdot ( 0,06007 + 2 \cdot 1) }  – 0,06007= 0,291709$
$x_{II}= 0,2917109 \cdot 45 = 13,127 \, cm$

Naprężenia w zbrojeniu tuż przed pęknięciem

($\ref{12}) \to$  Współczynnik efektywnej wysokości  $\lambda_{c,ef}=\min  { [ 1- 0,291709 \cdot 0,9 )/3 \, ; \, 2,5 \cdot (1-0,9)] } = 0,2458$,

($\ref{11}) \to$ Wysokość efektywna betonu rozciąganego $ h_{c,ef}= 0,2458 \cdot 500 = 122,9 \, mm$

Uwaga: W pracy Knauff,…  obliczono $h_{c,ef}= 123 \, mm$

($\ref{13}) \to$  Stopień zbrojenia strefy rozciąganej: $\rho_{p,ef}=\cfrac {12,57}{ 30 \cdot 12,29}= \cfrac{0,00931\cdot 0,9 }{0,2458} = 0,03409$

($\ref{14}) \to$ naprężenia w zbrojeniu tuż przed zarysowaniem :  $ \sigma_{s,cr}=0,4 \cdot 2,6  \cdot \left( \cfrac{1}{ 0,03409}+ 6,452 \right )= 37,22 \, MPa$

Uwaga: w pracy Knauff,… $\sigma_{s,cr}$ oznaczono przez $\sigma_0$ i uzyskano wynik 37,7 MPa

Sprawdzenie wartości naprężeń wg formuły ($\ref{9}$) $\to$  $\sigma_{s,cr} = 0,4 \cdot 6,452 \cdot 2,6 \cdot  (45- 26,026) / (50- 26,026) = 5,31 \, MPa $

Naprężenia z formuły eksperymentalnej $\ref{14}$) są znacznie większe od naprężeń teoretycznych  ($\ref{9}$).

($\ref{22}) \to$  moment bezwładności przekroju w II fazie: $ I_{II}=   30 \cdot 13,127^3 / 3 + 6,452 \cdot  12,57 \cdot (45-13,127 )^2 + 0= 105010 /, cm^4$

($\ref{23}) \to$  naprężenia w pręcie zbrojeniowym po zarysowaniu przekroju:

$\sigma_s = 6,452 \cdot  124,4 / 105010  \cdot (45 – 13,127) \cdot 10^3 = 243,6 MPa$

Uwaga: w pracy Knauff,… metodą uproszczoną uzyskano $\sigma_s= 258,7 MPa$, czyli o 6% więcej.

Przyrost naprężeń w zbrojeniu

($\ref{32}) \to$  $\Delta \sigma= \max{\{ 243,6 – 37,2 \, ; \, 0,6 \cdot 243,6 \} }= 206, 4 \, MPa$

Odkształcenie pękania

($\ref{33}) \to$ Odkształcenie pękania :  $ \varepsilon_{cr}=\cfrac{206,4}{200\cdot 10^3}=1,032 \cdot 10^{-3}$

Rozstaw rys

Dla danych: pręt $ \Phi=20 \, mm$, otulenie $c=40 \, mm$, $k_1=0,8$ – pręty żebrowane, $k_2=0,5$ – zginanie, $k_3$=3,4 , $k_4$= 0,425:

($\ref{24}) \to$ Rozstaw rys:  $ s_{r,max}= 3,4 \cdot 40 +0,8 \cdot  0,5 \cdot 0,425 \cdot \cfrac{20}{0,0341} = 235,7 \, mm$

Uwaga: w pracy Knauff,…  uzyskano wynik 237,4 mm

Rozwarcie rys

($\ref{24}) \to$ $w_k = 206,4 \cdot 1,032 \cdot 10^{-3} = 0,243 \, mm$ < $w_{max} ( \ref{1} \to)= 0,3 \, mm$
Uwaga: w pracy Knauff,…  uzyskano wynik 0,262 mm

Obliczenie szerokości rysy metodą UO

Powyżej obliczono:
rozstaw rys $ s_{r,max} = 235,7 \, mm$
moment rysujący $M_{cr} =32,91 \, kNm$
naprężenie   w stali $\sigma_s = 243,62 MPa$

pod ($\ref{31}) \to$ $\beta = 1/2 $ dla obciążeń prawie stałych
($\ref{36}) \to$ $w_k= 235,7  \cdot \left \{  – 1/2 \cdot \left( \cfrac{32,91}{124,4} \right)^2\right \} \cdot \cfrac {243,62}{200} \cdot 10^{-3} =0,232\, mm $

Metodą UO uzyskano szerokość rysy o 0,243/0,232=5% więcej. Taka różnica wystąpiła przy obliczeniach dwoma metodami według jednej normy . Większe różnice, ponad dwukrotne, występują pomiędzy różnymi normami narodowymi (np. (Nejadi, 2005), (Jaromska, 2011)).

Moduł sprężystości betonu w szczególnych warunkach pełzania

Wysokość zastępcza  belki do oszacowania współczynnika pełzania $h_0= (h\cdot b/(2\cdot h +b)= 400\cdot 600/(2*600+400)= 150 \, mm$

Ponieważ belka będzie eksploatowana w szczególnych warunkach pełzania: w środowisku o wilgotności RH=88,3%  i przez 5 lat, więc końcowy współczynnik pełzania należy obliczyć z ogólnych zależności. Zastosowano kalkulator CH-P, którego ekran pokazano na rys. 58.  wyniku otrzymano :
$\varphi(5 lat, 28 dni) =1,476$., czyli:

(P-126) $\to$ E_{c,ef} = 33/(1+1,476)= 13,33 \, GPa$
($\ref{3}$) $\to$ $\alpha_e= \alpha_{e,ef} = 200/13,33= 15 $

Uwaga:
W warunkach normalnych określonych w  tab.11 : współczynnik pełzania końcowego dla C30/37, $t_0=28 \, dni$ $ h_0=120 \, mm$ $\to$ $ \varphi( \infty, 28)=2,545$
(P-126) $\to$ $E_{c,ef} = 33/(1+2,545)= 9,31 \, GPa$ , $\alpha_e= 200/9,31= 21,5 $
Parametry pomocnicze:
$\rho_{sl}= 2714/(400\cdot 548)=0,01238$,
$\rho_{su}= 452/(400\cdot 548)=0,00206$,
$\rho_s=0,01238+0,00206 =0,01444$,
$\delta_l= 548/600= 0,9133$
$\delta_{u/l}= 46/548= 0,08394$
($\ref{19}$) $\to$ $\rho_{s,e}= 15 \cdot 0,01444$= 0,2168
($\ref{20}$) $\to$ $k_{lu}= (0,01238 +0,00206 \cdot 0,08394) /0,01444 =0,87$

Wysokość strefy ściskanej w II fazie

($\ref{18}$) $\to$ $\xi_{II}= \sqrt{ 0,2168\cdot (0,2168 + 2 \cdot 0,87) }  – 0,2168= 0,4344$
$x_{II}= 0,4344 \cdot 548 = 238 \, mm$

Uwaga: W pracy  uzyskano  $x_{II}=237,8 \, mm$ , odnosząc stopień zbrojenia przekroju do wysokości przekroju $h$, a nie do wysokości użytecznej $d_l$

Naprężenie w zbrojeniu przed zarysowaniem

($\ref{12}$) $\to$ Współczynnik efektywnej wysokości  $\lambda_{c,ef}=\min  { [1- 0,4344 \cdot 0,9133 )/3 \, ; \, 2,5 \cdot (1-0,9133)] }= 0,2411$,
($\ref{11}$) $\to$ Wysokość efektywna betonu rozciąganego:   $ h_{c,ef}= 0,201 \cdot 600 = 120,6 \, mm$
($\ref{13}$) $\to$ Stopień zbrojenia strefy rozciąganej: $\rho_{p,ef}=\cfrac {27,14}{ 40 \cdot 12,06}= \cfrac{0,01238 \cdot 0,913 } {0,2011} = 0,0562$

($\ref{14}$) $\to$ naprężenia w zbrojeniu tuż przed zarysowaniem :  $ \sigma_{s,cr}=0,6 \cdot 2,9  \cdot \left( \cfrac{1}{ 0,0562}+ 15 \right )= 57,1 \, MPa$

Moment bezwładności w fazie II i naprężenie w zbrojeniu po zarysowaniu

$(\ref{22}) \to$ $ I_{II}=  \cfrac { 40 \cdot 23,8^3}{3 } + 15 \cdot  \left [ 27,14 \cdot (54,8 -23,8 )^2+  4,52 \cdot (13,58-4,6)^2 \right ]=595967 \, cm^4$
($\ref{23}$) $\to$ naprężenia w pręcie zbrojeniowym po zarysowaniu przekroju:
$\sigma_s = 15 \cdot  300 / 595967  \cdot (54,8 – 23,8) \cdot 10^3 = 234,1 MPa$

Zarysowanie przekroju

przyrost naprężeń w stali ($\ref{32}$) $\to$ $\Delta \sigma= \max{\{ 234,1 – 57,1 \, ; \, 0,6 \cdot 234,1 \} }=177 \, MPa$
odkształcenie pękania ($\ref{33}$) $\to$  :  $ \varepsilon_{cr}=\cfrac{177 }{200\cdot 10^3}=0,885 \cdot 10^{-3}$,
rozstaw rys ($\ref{23}$) $\to$  $ s_{r,max}= 3,4  \cdot 40 +0,8 \cdot  0,5 \cdot 0,425 \cdot \cfrac{24}{0,0562} = 208,6 \, mm$,
rozwarcie rys ($\ref{24}$) $\to$ $w_k = 208,6 \cdot 0,885 \cdot 10^{-3} = 0,185 \, mm$ <$w_{max} \ref{1} = 0,3 \, mm$..

Obliczenie szerokości rysy kalkulatorem LCŻelbet

W kalkulatorze LCżelbet zaimplementowano opisane procedury szacowania szerokości rys. Arkusz można pobrać  z rys.1 artykułu Belki żelbetowe.

Kontrola ugięć w stanie zarysowanym

W kalkulatorze LCżelbet zaimplementowano opisane procedury szacowania ugięć elementów żelbetowych w stanie zarysowanym . Arkusz można pobrać  z rys.1 artykułu Belki żelbetowe.

Literatura

ACI 318-14. Building Code Requirements for Structural Concrete, Pub. L. No. ACI 318-14 (2014). Michigan, USA: American Concrete Institute.
CH GoodChild. (2009). Worked Examples to Eurocode 2.: Volume 1. The Concrete Centre.
Gilbert, R. I., & Ranzi, G. (2011). Time-dependent behaviour of concrete structures. London ; New York: Spon.
Jaromska, E. (2011). Obliczanie szerokości rys w zginanych elementach żelbetowychwg EC2:2008 i DIN 1045-1:2008. Czasopismo Techniczne, 1-B/2011(Zeszyt 3. Rok 108).
Kachlakev, D. I., Miller, T., Yim, S., Chansawat, K., & Potisuk, T. (2001). Finite Element Modeling of Reinforced Concrete Structures Strengthened with FRP Laminates,. San Luis Obispo, CA; Corvallis, OR: California Polytechnic State University and Oregon State University for Oregon Department of Transportation.
Knauff, M. (2015). Obliczanie konstrukcji żelbetowych według Eurokodu 2: zasady ogólne i zasady dotyczące budynków. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
Knauff, M., Golubińska, A., & Knyziak, P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN.
MPA The Concrete Centre. (2017). Crack Control and Deflection. Lecture 6. Retrieved from https://www.concretecentre.com/TCC/media/TCCMediaLibrary/PDF%%20attachments/Lecture-6-Deflection-and-Crack-Control-cg-26-Oct-17.pdf
Nejadi, S. (2005). Time- dependent cracking and crack control in reinforced concrete structures (PhD Thesis). Sydney, Australia: University of New South Wales Sydney, Australia.
PN-EN 1990. Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji (2004). UE: PKN.
PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1:  Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E. Eurokod 5 -- Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-1: Postanowienia ogólne - Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków (2010). UE: PKN.
Piechnik, S. (1980). Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych. Warszawa, Kraków: PWN.
Strikwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations (2nd ed). Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »