Belka w inżynierii. Częsć IV Belka skręcana zginana i ścinana

Leszek Chodor,  26 września 2014
15 czerwca 2025  do nadal – naprawa awarii
11 sierpnia 2026 dodano teorię opertowoą (rotora) do opisu pręta ceinkościnnego
25 sierpnia 2026 wprowadzono układ róenań równowgi  nieliniowego pręta cienkościennego

W przypadku nieczytelnych treści, proszę powiadomić: leszek@chodor.co

 W ciągu ostatnich 24 godzin z artykułu korzystało  41 Czytelników

Artykuł w trakcie budowy

Wprowadzenie 

Przedstawiono klasyczną teorię Saint Venanta belki skręcanej swobodnie i teorię Wlasowa belki skręcanej nieswobodnie, ale   w nowoczesnym zapisie operatorowym z użyciem rotorów.  Ta postać teorii stanowi punkt wyjścia do dalszego sformułowania nieliniowego elementu belkowego Własowa- Timoshenko w kolejnych częściach artykułu.
Teoria Własowa stanowi podstawę współczesnej analizy cienkościennych konstrukcji stalowych, mostów skrzynkowych, elementów żelbetowych, konstrukcji zespolonych, masztów, wież oraz budynków wysokich. Wykorzystywana jest wszędzie tam, gdzie oprócz zginania i ściskania istotną rolę odgrywa skręcanie przekroju. Jej największą zaletą jest możliwość uwzględnienia skręcania skrępowanego, wyboczenia giętno-skrętnego oraz zwichrzenia, których opis nie jest możliwy w klasycznej teorii zginania Bernoulliego lub skręcania Saint-Venanta. W praktyce niemal każdy pręt konstrukcyjny pracuje w warunkach częściowo skrępowanej deplanacji przekroju, natomiast idealne skręcanie swobodne występuje jedynie w nielicznych przypadkach, na przykład dla wałów o przekroju kołowym podpartych w łożyskach i obciążonych wyłącznie momentem skręcającym.

Rozdział rozpoczyna omówienie klasycznej teorii skręcania Saint-Venanta, stanowiącej fundament współczesnej teorii cienkościennych prętów.  Klasyczna teoria skręcania Saint-Venanta, rozwinięta następnie przez Prandtla stała się  podstawą  teorii skręcania nieswobodnego  Za początek współczesnej teorii skręcania cienkościennych prętów uznaje się pracę Marguerre (1940) [1], natomiast jej pełne sformułowanie zostało przedstawione przez Własowa (1959) [2] 
Element belkowy Własowa jest elementem skończonym przeznaczonym do analizy cienkościennych prętów poddanych jednoczesnemu zginaniu, ściskaniu oraz skręcaniu. W odróżnieniu od klasycznych elementów belkowych posiada dodatkowy stopień swobody opisujący deplanację (spaczenie) przekroju. Dzięki temu możliwe jest modelowanie skręcania skrępowanego oraz sprzężonych zjawisk zginania i skręcania cienkościennych prętów. Podczas skręcania swobodnego w przekroju występują wyłącznie naprężenia styczne. Jeżeli jednak deplanacja przekroju zostanie częściowo lub całkowicie skrępowana, pojawiają się dodatkowe naprężenia normalne wywołane bimomentem $B_\omega$ oraz dodatkowe naprężenia styczne związane ze skręcaniem skrępowanym. Wielkości te stanowią charakterystyczną cechę teorii Własowa i nie występują w klasycznej teorii Saint-Venanta. Rozkład naprężeń zależy ponadto od rodzaju przekroju (otwartego lub zamkniętego), jego geometrii oraz grubości ścianek.

Współczesne analizy wytrzymałościowe i statecznościowe konstrukcji prętowych prowadzone są niemal wyłącznie z wykorzystaniem elementów belkowych opartych na teorii Własowa lub jej uogólnieniach, takich jak Generalized Beam Theory (GBT) [3]. Teoria GBT umożliwia jednoczesny opis globalnych, lokalnych oraz dystorsyjnych postaci odkształcenia cienkościennych prętów przy zachowaniu jednowymiarowego modelu obliczeniowego. Rozwój teorii znalazł również odzwierciedlenie we współczesnych programach komputerowych, takich jak ConSteel [4], [5] oraz LTBeam [6], umożliwiających analizę skręcania skrępowanego, zwichrzenia oraz wyboczenia giętno-skrętnego cienkościennych elementów konstrukcyjnych.

Tablice projektowe

Charakterystyki przekrojów skręcanych

Tab. IV.1 Charakterystyki geometryczne skrętne wybranych przekrojów zwartych stosowanych w budownictwie

Przekrój	Moment bezwładności przy skręcaniu $I_v$	Wskaźnik wytrzymałości przy skręcaniu $W_v$	Maksymalne naprężenie styczne $\tau_{\max}$
	$\beta bh^3$ $\beta$ wg tab. 2	$\alpha bh^2$ $\alpha$ wg tab. 2	$\alpha\cdot G\cdot\Theta\cdot h$ w środku $h$ $h>b$
	$\dfrac{\pi}{2}R^4=\dfrac{\pi}{32}D^4$	$\dfrac{\pi}{2}R^3=\dfrac{\pi}{16}D^3$	$G\cdot\Theta\cdot R$ w punktach konturu przekroju
	$\dfrac{\pi}{2}(R^4-r^4)$	$\dfrac{\pi}{2R}(R^4-r^4)$	$G\cdot\Theta\cdot R$ w punktach zewnętrznego konturu przekroju

W przypadku swobodnego  skręcania jednostkowy kąt skręcenia $\Theta$ wyznacza się z zależności ($\ref{IV.10} $).

Tab.IV.2  Współczynniki $\alpha$ wskaźnika wytrzymałości $W_v$  i $\beta$ momentu bezwładności $I_v$na skręcanie dla różnych stosunków boku prostokąta (opracowano na podstawie [7] )

\[ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline\quad  h/b  \quad & \qquad\beta \qquad  & \qquad \alpha \qquad \\
\hline 1{,}0 & 0{,}1406 & 0{,}6753\\
1{,}2 & 0{,}1661 & 0{,}7587\\
1{,}4 & 0{,}1869 & 0{,}8228\\
1{,}5 & 0{,}1960 & 0{,}8477\\
1{,}6 & 0{,}2037 & 0{,}8695\\
1{,}8 & 0{,}2174 & 0{,}9044\\
2{,}0 & 0{,}2287 & 0{,}9301\\
2{,}3 & 0{,}2422 & 0{,}9564\\
2{,}5 & 0{,}2494 & 0{,}9681\\
3{,}0 & 0{,}2633 & 0{,}9855\\
3{,}5 & 0{,}2735 & 0{,}9930\\
4{,}0 & 0{,}2810 & 0{,}9970\\
4{,}5 & 0{,}2868 & 0{,}9985\\
5{,}0 & 0{,}2914 & 0{,}9993\\
5{,}5 & 0{,}2952 & 0{,}9997\\
6{,}0 & 0{,}2984 & 0{,}9999\\
7{,}0 & 0{,}3035 & 1{,}00\\
8{,}0 & 0{,}3071 & 1{,}00\\
10{,}0 & 0{,}3124 & 1{,}00\\
\infty & 0{,}3333 & 1{,}00\\
\hline\end{array} \]

Tab.IV.3.  Formuły obliczeniowe wspólne dla przekrojów otwartych i zamkniętych

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline \mathrm{Lp.} & \mathrm{Nazwa} & \mathrm{Symbol} & \iint_A^{(a)} & \int_\Gamma^{(a)} & \sum_i^{(a)} \\
\hline \mathrm{(1)} & \mathrm{(2)} & \mathrm{(3)} & \mathrm{(4)} & \mathrm{(5)} & \mathrm{(6)} \\
\hline 1 & \mathrm{Pole\ powierzchni} & A & \iint_A dA & \int_\Gamma t(s)\,ds & \sum_i l_i t_i \\
\hline 2 & \mathrm{Moment\ statyczny\ względem\ osi}\ y & S_Y & \iint_A Z\,dA & \int_\Gamma Z(s)t(s)\,ds & \sum_i Z_{c,i}l_i t_i \\
\hline 3 & \mathrm{Moment\ statyczny\ względem\ osi}\ z & S_Z & \iint_A Y\,dA & \int_\Gamma Y(s)t(s)\,ds & \sum_i Y_{c,i}l_i t_i \\
\hline 4 & \mathrm{Współrzędne\ środka\ ciężkości} & (Y_C,Z_C) & Y_C=\frac{S_Z}{A},\quad Z_C=\frac{S_Y}{A} & & \\
\hline 5 & \mathrm{Moment\ bezwładności\ względem\ osi}\ y_c & I_{y_C} & \iint_A z_c^2\,dA & \int_\Gamma z_c^2(s)t(s)\,ds & \sum_i I_{y1,i}^{*} +\sum_i z_{c,i}^{\,2}l_i t_i
\\
\hline 6 & \mathrm{Moment\ bezwładności\ względem\ osi}\ z_c & I_{z_C} & \iint_A y_c^2\,dA & \int_\Gamma y_c^2(s)t(s)\,ds & \sum_i I_{z1,i}^{*} +\sum_i y_{c,i}^{\,2}l_i t_i \\
\hline 7 & \mathrm{Moment\ odśrodkowy\ względem\ osi}\ y_c,z_c & I_{y_Cz_C} & \iint_A y_cz_c\,dA & \int_\Gamma y_c(s)z_c(s)t(s)\,ds & \sum_i\left(I_{y_1z_1,i}^{\ast}+y_{c,i}z_{c,i}l_it_i\right) \\
\hline 8 & \mathrm{Kąt\ nachylenia\ osi\ głównych}^{(b)} & \alpha & & \alpha=\frac{\operatorname{arctg}(T)}{2} & \\
\hline 9 & \mathrm{Główny\ moment\ bezwładności}\ I_y^{(c)} & I_y & I_y=I_{\max}=I_m+I_\Delta & \int_\Gamma z^2(s)t(s)\,ds & \sum_i I_{y1,i}^{*} +\sum_i z_i^{\,2}l_i t_i \\
\hline 10 & \mathrm{Główny\ moment\ bezwładności}\ I_z^{(c)} & I_z & I_z=I_{\min}=I_m-I_\Delta & \int_\Gamma y^2(s)t(s)\,ds & \sum_i I_{z1,i}^{*} +\sum_i y_i^{\,2}l_i t_i \\
\hline \end{array} \]

Uwagi
(a) W kolumnie (4) podano ogólną definicję charakterystyki geometrycznej jako całki po polu przekroju, natomiast w kolumnie (5) — definicję dla przekroju cienkościennego jako całki po konturze $\Gamma$, czyli linii środkowej ścianek. W kolumnie (6) przedstawiono odpowiadającą postać numeryczną w postaci sumy po poszczególnych ściankach.
(b) Pomocniczą wielkością służącą do wyznaczenia kąta nachylenia osi głównych jest $T=\operatorname{tg}(2\alpha)=\frac{2I_{y_Cz_C}}{I_{y_C}-I_{z_C}}$, przy czym $\alpha=\frac{\operatorname{arctg}(T)}{2}$.
(c)  Średni moment bezwładności $I_m$ oraz różnica momentów bezwładności $I_\Delta$ są określone zależnościami $ I_m=\frac{I_{y_C}+I_{z_C}}{2}$  oraz $ I_\Delta= \sqrt{ \left( \frac{I_{y_C}-I_{z_C}}{2}\right)^2+I_{y_Cz_C}^{\,2}}.$
(d) Gwiazdka $\ast$ oznacza własny moment bezwładności lub własny moment odśrodkowy pojedynczej ścianki względem osi przechodzących przez jej środek ciężkości i równoległych do odpowiednich osi układu centralnego. Wartości $I_{y1,i}^{\ast}$, $I_{z1,i}^{\ast}$ oraz $I_{y1z1,i}^{\ast}$ uwzględniają wpływ wymiarów własnych ścianki na odpowiednio momenty bezwładności oraz moment odśrodkowy całego przekroju.
(e) Wielkie litery $(Y,Z)$ oznaczają współrzędne w układzie globalnym. Małe litery odnoszą się do układów współrzędnych związanych z przekrojem. Układ $(y_c,z_c)$ jest układem centralnym, którego początek znajduje się w środku ciężkości $C$. Układ $(y,z)$ jest układem głównym, również o początku w punkcie $C$, obróconym względem układu centralnego o kąt $\alpha$.
(f) Współrzędne $(y_{c,i},z_{c,i})$ oznaczają współrzędne środka ciężkości $i$-tej ścianki w układzie centralnym $(y_c,z_c)$, natomiast $(y_i,z_i)$ — współrzędne tego punktu w układzie głównym $(y,z)$.
(g) Wielkości $I_{y1,i}^{}$ oraz $I_{z1,i}^{}$ oznaczają własne momenty bezwładności $i$-tej ścianki względem osi przechodzących przez jej środek ciężkości i równoległych odpowiednio do osi $y_c$ i $z_c$.

Tab.IV.4.  Formuły obliczeniowe dla przekrojów otwartych

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|l|}
\hline \mathrm{Lp.} & \begin{array}{c}\mathrm{Nazwa}\end{array} & \mathrm{Układ\ współrzędnych} & \mathrm{Symbol} & \begin{array}{l}\mathrm{Całka\ po\ konturze}\\\Gamma\end{array} & \begin{array}{c}\mathrm{Numeryczna}\\\mathrm{suma\ po\ ściankach}\ i\end{array} \\
\hline \mathrm{(1)} & \begin{array}{c}\mathrm{(2)}\end{array} & \mathrm{(3)} & \mathrm{(4)} & \mathrm{(5)} & \mathrm{(6)} \\
\hline 1 & \begin{array}{l} \mathrm{Moment\ bezwładności}\\ \mathrm{na\ skręcanie} \end{array} & \begin{array}{c}\mathrm{dowolny}\end{array} & I_v & & I_v=\frac{k}{3}\sum_i l_i\,t_i^3\\
\hline 2 & \begin{array}{l} \mathrm{Pomocnicza\ współrzędna}\\ \mathrm{wycinkowa} \end{array} & \begin{array}{c} \mathrm{pomocniczy}\ (B,O’)^{(a)} \end{array} & \omega’=\omega_B(s) &
\int_0^s d\omega_B(s) & \begin{array}{l} \sum_i\left| (y_p-y_B)(z_k-z_B) \right. \\[-1mm] \left.-(z_p-z_B)(y_k-y_B) \right|_i^{(d)} \end{array}\\
\hline3 &\begin{array}{l}\mathrm{Wycinkowy\ moment}\\\mathrm{odśrodkowy}\\\mathrm{względem\ osi}\ y\end{array}&\begin{array}{c}\mathrm{główny}\ (y,z)\end{array}&I_{\omega y}’ & \int_\Gamma\omega’ z\,t(s)\,ds
&\begin{array}{l} \sum_i\frac{l_i}{6}\left[2(\omega’_p z_p+\omega’_k z_k)\right.\\[-1mm] \left.+\omega’_p z_k+\omega’_k z_p\right]t_i \end{array} \\
\hline4 & \begin{array}{l} \mathrm{Wycinkowy\ moment}\\ \mathrm{odśrodkowy}\\ \mathrm{względem\ osi}\ z \end{array} & \begin{array}{c} \mathrm{główny}\ (y,z) \end{array} & I_{\omega z}’ & \int_\Gamma\omega’ y\,t(s)\,ds
&\begin{array}{l} \sum_i\frac{l_i}{6} \left[ 2(\omega’_p y_p+\omega’_k y_k) \right.\\[-1mm] \left. +\omega’_p y_k+\omega’_k y_p \right]t_i \end{array} \\
\hline 5 & \begin{array}{l} \mathrm{Moment\ bezwładności}\\ \mathrm{względem\ osi}\ y \end{array} & \begin{array}{c} \mathrm{główny}\ (y,z) \end{array} & I_y & \int_\Gamma z^2(s)t(s)\,ds & \begin{array}{l}
\sum_i\frac{l_i}{6} \left[ 2(z_{i,p}^2+z_{i,k}^2) \right. \\[-1mm] \left. +2z_{i,p}z_{i,k} \right]t_i \end{array} \\
\hline 6 & \begin{array}{l} \mathrm{Moment\ bezwładności}\\ \mathrm{względem\ osi}\ z \end{array} & \begin{array}{c} \mathrm{główny}\ (y,z) \end{array} & I_z & \int_\Gamma y^2(s)t(s)\,ds & \begin{array}{l} \sum_i\frac{l_i}{6} \left[ 2(y_{i,p}^2+y_{i,k}^2) \right. \\[-1mm] \left. +2y_{i,p}y_{i,k} \right]t_i \end{array} \\
\hline 7 & \begin{array}{l} \mathrm{Współrzędne\ środka}\\ \mathrm{zginania}\ S(y_s,z_s) \end{array} & \begin{array}{c} \mathrm{główny}\ (y,z) \end{array} & (y_s,z_s) & & \begin{array}{l} y_s=y_B-\frac{I_{\omega’z}}{I_y}, \\
z_s=z_B+\frac{I_{\omega’y}}{I_z} \end{array} \\
\hline 8 & \begin{array}{l} \mathrm{Główna,\ pomocnicza}\\ \mathrm{współrzędna\ wycinkowa} \end{array} & \begin{array}{c} \mathrm{główny}\ (S,O’)^{(a)}\\ \mathrm{zliczana\ od\ punktu}\ (O’) \end{array} & \omega’_S & &
\begin{array}{l} \omega’_S=\omega’_B+(z_s-z_B)y \\[-1mm] -(y_s-y_B)z \end{array} \\
\hline 9 & \begin{array}{l} \mathrm{Wycinkowy\ moment}\\ \mathrm{statyczny} \end{array} & \begin{array}{c} \mathrm{główny}\ (S,O’) \end{array} & S’_B & \int_A\omega’_S\,dA &\begin{array}{l} \sum_i
\frac{\omega’_{S,i,p}+\omega’_{S,i,k}}{2}\, l_i t_i \end{array} \\
\hline 10 & \begin{array}{l} \mathrm{Główna,\ pomocnicza}\\ \mathrm{współrzędna\ wycinkowa} \end{array} & \begin{array}{c} \mathrm{główny}\ (S,O)^{(b)} \end{array} & \omega_S & &
\omega_S=\omega’_S-\frac{S’_B}{A}\\
\hline 11 & \begin{array}{c} \mathrm{Wycinkowy}\\ \mathrm{moment\ bezwładności} \end{array} & \begin{array}{c} \mathrm{główny}\ (S,O)^{(b)}\end{array} & I_\omega & \int_\Gamma\omega_S^2\,t(s)\,ds &
\sum_i\Omega_{\omega_S t,i}\,\omega_{S,c,i}\\
\hline \end{array} \]

Uwagi: 
(1) Moment bezwładności na skręcanie z badań $  I_v=k \cdot\frac{1}{3}\sum_i l_i t_i^3 $  $l_i$,$ t_i$ – wysokość i grubość \(i\)-tego segmentu (prostokąta) przekroju. 
(2) Wyniki badań Foplle przedstawiono w poradniku Birger i in (1998)  [7]. Eksperymenty Föppla zostały przeprowadzone tylko dla profili cienkościennych $ l_i/t_i\leq 10$, ale dla profili grubościennych przy $l_i/t_i\leq 2$  błąd oszacowania nie przekracza 20%.
(3)  Niezgodziński  (2004) [8]
(4) Dla przekrojów cienkościennych zlożonych  ze ścianek  płaskich bez wyokrągleń i spoin w narożach, a tkaże  dla profili nie wymienonych w tabeli nalerzy przyjmować $k=1$

Tab.IV.6  Wykresy współrzędnych wycinkowych wybranych dla profili stalowych 

Tab.IV.7.  Formuły obliczeniowe dla przekrojów zmkniętych jednokorowych

Tab. IV.7. Formuły obliczeniowe dla cienkościennych przekrojów zamkniętych jednokomórkowych

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\mathrm{Lp.} &
\mathrm{Nazwa} &
\mathrm{Układ\ współrzędnych} &
\mathrm{Symbol} &
\mathrm{Całka\ po\ konturze}\ \Gamma &
\mathrm{Numeryczna\ suma\ po\ ściankach}\ i
\\
\hline
\mathrm{(1)} & \mathrm{(2)} & \mathrm{(3)} & \mathrm{(4)} & \mathrm{(5)} & \mathrm{(6)}
\\
\hline
1 &
\mathrm{Podwojone\ pole\ powierzchni\ ograniczonej\ linią\ środkową} &
\mathrm{dowolny} &
\Omega &
\Omega=\oint_\Gamma(y\,dz-z\,dy) &
\Omega=\sum_i(y_{i,p}z_{i,k}-z_{i,p}y_{i,k})
\\
\hline
2 &
\mathrm{Moment\ bezwładności\ na\ skręcanie} &
\mathrm{dowolny} &
I_v &
&
I_v=\frac{\Omega^2}{\sum_i l_i/t_i}
\\
\hline
3 &
\mathrm{Przepływ\ ścinający\ od\ skręcania} &
\mathrm{dowolny} &
q_T &
&
q_T=\frac{M_T}{\Omega}
\\
\hline
4 &
\mathrm{Pomocnicza\ współrzędna\ wycinkowa} &
\mathrm{pomocniczy}\ (B,O’)^{(a)} &
\omega’=\omega_B(s) &
d\omega_B=(y-y_B)\,dz-(z-z_B)\,dy &
\omega’_{i,k}=\omega’_{i,p}+\Delta\omega_{B,i},\quad
\Delta\omega_{B,i}=(y_{i,p}-y_B)(z_{i,k}-z_{i,p})-(z_{i,p}-z_B)(y_{i,k}-y_{i,p})
\\
\hline
5 &
\mathrm{Wycinkowy\ moment\ odśrodkowy\ względem\ osi}\ y &
\mathrm{główny}\ (y,z) &
I_{\omega’y} &
I_{\omega’y}=\int_\Gamma\omega’ z\,t(s)\,ds &
\displaystyle
\sum_i\frac{l_i t_i}{6}
\left[
2(\omega’_p z_p+\omega’_k z_k)+\omega’_p z_k+\omega’_k z_p
\right]
\\
\hline
6 &
\mathrm{Wycinkowy\ moment\ odśrodkowy\ względem\ osi}\ z &
\mathrm{główny}\ (y,z) &
I_{\omega’z} &
I_{\omega’z}=\int_\Gamma\omega’ y\,t(s)\,ds &
\displaystyle
\sum_i\frac{l_i t_i}{6}
\left[
2(\omega’_p y_p+\omega’_k y_k)+\omega’_p y_k+\omega’_k y_p
\right]
\\
\hline
7 &
\mathrm{Współrzędne\ środka\ zginania}\ S(y_s,z_s) &
\mathrm{główny}\ (y,z) &
(y_s,z_s) &
&
\displaystyle
y_s=y_B-\frac{I_{\omega’z}}{I_y},
\qquad
z_s=z_B+\frac{I_{\omega’y}}{I_z}
\\
\hline
8 &
\mathrm{Główna,\ pomocnicza\ współrzędna\ wycinkowa} &
\mathrm{główny}\ (S,O’)^{(a)}\ \mathrm{zliczana\ od\ punktu}\ (O’) &
\omega’_S &
&
\displaystyle
\omega’_S=\omega’_B+(z_s-z_B)y-(y_s-y_B)z
\\
\hline
9 &
\mathrm{Wycinkowy\ moment\ statyczny} &
\mathrm{główny}\ (S,O’) &
S’_B &
S’_B=\int_A\omega’_S\,dA &
\displaystyle
\sum_i\frac{\omega’_{S,i,p}+\omega’_{S,i,k}}{2}\,l_i t_i
\\
\hline
10 &
\mathrm{Główna\ współrzędna\ wycinkowa} &
\mathrm{główny}\ (S,O)^{(b)} &
\omega_S &
&
\displaystyle
\omega_S=\omega’_S-\frac{S’_B}{A}
\\
\hline
11 &
\mathrm{Wycinkowy\ moment\ bezwładności} &
\mathrm{główny}\ (S,O)^{(b)} &
I_\omega &
I_\omega=\int_\Gamma\omega_S^2\,t(s)\,ds &
\displaystyle
\sum_i\frac{l_i t_i}{3}
\left(
\omega_{S,i,p}^2+
\omega_{S,i,p}\omega_{S,i,k}+
\omega_{S,i,k}^2
\right)
\\
\hline
\end{array}
\]

Uwagi:

(a) Współrzędna pomocnicza \(\omega’\) jest wyznaczana względem bieguna \(B\) i punktu początkowego \(O’\). Dla konturu zamkniętego obliczenia prowadzi się po konturze rozciętym w celu jednoznacznego określenia wartości współrzędnej wycinkowej.
(b) Stała całkowania jest dobierana tak, aby główna współrzędna wycinkowa \(\omega_S\) spełniała warunek $\int_A\omega_S\,dA=0.$
(c) Wartości \(p\) i \(k\) oznaczają odpowiednio początek i koniec \(i\)-tej ścianki.
(d) Wartości \(\omega’_p,\omega’_k\) oznaczają wartości pomocniczej współrzędnej wycinkowej na początku i końcu \(i\)-tej ścianki.
(e) Wartość $ \Omega=\oint_\Gamma(y\,dz-z\,dy)$  jest podwojonym polem powierzchni ograniczonej linią środkową, to jest  $ \Omega=2A_o$. 
W konsekwencji moment bezwładności na skręcanie ma postać $ I_v = \frac{\Omega^2} { \sum_i\frac{l_i}{t_i}},$ a stały przepływ ścinający od momentu skręcającego wynosi $ q_T = \frac{M_x}{\Omega}.$ 

Tab. IV.8. Formuły obliczeniowe dla cienkościennych przekrojów zamkniętych wielokomorowych 

 

Tab. IV.9. Formuły obliczeniowe dla cienkościennych przekrojów zamkniętych wielokomorowych 

\[ \begin{array}{|c|c|l|l|}
\hline \multicolumn{4}{|c|}{\mathrm{Nr\ kolumny}}\\
\hline 1 & 2 & 3 & 4\\
\hline \mathrm{Lp.} & \mathrm{Wielkość} & \mathrm{Opis} & \mathrm{Zależność} \\
\hline 1 & q_{jk} & \begin{array}{l} \mathrm{Przepływ\ w\ ściance}\\ \mathrm{wspólnej\ komór}\ j\ \mathrm{i}\ k \end{array} & q_{jk}=q_j-q_k \\
\hline 2 & M_x & \begin{array}{l} \mathrm{Całkowity\ moment}\\ \mathrm{skręcający\ przekroju} \end{array} & M_x=2 \sum_{j=1}^{n}A_jq_j \\
\hline 3 & \theta’_j & \begin{array}{l} \mathrm{Warunek\ zgodności}\\ \mathrm{dla}\ j\mathrm{-tej\ komory} \end{array} & \begin{array}{l} \theta’_j= \frac{1}{2GA_j} \oint_{\Gamma_j}\frac{q}{t}\,ds \\[4pt]
= \frac{1}{2GA_j} \left[ \sum_{i\in\Gamma_j^{o}}\frac{q_jl_i}{t_i} + \sum_{i\in\Gamma_j^{w}} \frac{(q_j-q_k)l_i}{t_i} \right] \end{array} \\
\hline 4 & \theta’ & \begin{array}{l} \mathrm{Wspólny\ kąt\ skręcenia}\\ \mathrm{na\ jednostkę\ długości} \end{array} & \theta’_1=\theta’_2=\ldots=\theta’_n=\theta’ \\
\hline 5 & I_v & \begin{array}{l} \mathrm{Wskaźnik\ skręcania}\\ \mathrm{przekroju\ wielokomorowego} \end{array} & I_v=\frac{M_x}{G\theta’} \\
\hline \end{array} \]

Uwagi:
(a) $q_j$ oznacza stały przepływ obiegowy przypisany do $j$-tej komory,
(b)  $M_x$ oznacza całkowity moment skręcający przekroju względem osi $x$.
(c)  $q_{jk}=q_j-q_k$ oznacza przepływ w ściance wspólnej komór $j$ i $k$.
(d) $\Gamma_j^{o}$ oznacza odcinki konturu należące wyłącznie do komory $j$, natomiast $\Gamma_j^{w}$ oznacza odcinki ścianek wspólnych z sąsiednimi komorami.
(e) $A_j$ jest polem powierzchni ograniczonej linią środkową $j$-tej komory.

Skręcanie  prętów

Skręcanie prętów stanowi jedno z podstawowych zagadnień mechaniki konstrukcji. Współczesne analizy wytrzymałościowe i statecznościowe prowadzone są z wykorzystaniem modeli prętowych uwzględniających jednocześnie zginanie, ściskanie oraz skręcanie. W praktyce inżynierskiej dominującym przypadkiem jest skręcanie skrępowane, w którym swoboda deplanacji przekroju jest częściowo lub całkowicie ograniczona. Klasyczna teoria skręcania skrępowanego Własowa stanowi rozwinięcie teorii skręcania swobodnego Saint-Venanta i wykorzystuje jej podstawowe zależności jako szczególny przypadek.

W celu pełnego zrozumienia teorii Własowa należy rozróżnić cztery podstawowe pojęcia: skręcanie czyste, skręcanie proste, skręcanie swobodne oraz skręcanie nieswobodne (skrępowane). Skręcanie czyste opisuje idealny model obciążenia prowadzący wyłącznie do skręcania pręta. Skręcanie proste odnosi się do technicznego sposobu obciążenia pręta parą momentów skręcających. Skręcanie swobodne określa przypadek, w którym przekrój może ulegać swobodnej deplanacji, natomiast skręcanie nieswobodne występuje wówczas, gdy deplanacja przekroju zostaje częściowo lub całkowicie ograniczona. Rozróżnienie tych pojęć ma podstawowe znaczenie dla dalszego wyprowadzenia równań klasycznej teorii Własowa.

Skręcanie czyste

Skręcanie czyste jest idealnym stanem obciążenia pręta pryzmatycznego, w którym pręt poddany jest wyłącznie działaniu momentu skręcającego. Stan ten realizuje się przez odpowiednio dobrany rozkład obciążenia powierzchniowego

\[ q_v=[\,0,\;q_{vy},\;q_{vz}\,], \tag{IV.1} \label{IV.1} \]

przyłożonego do ścianek czołowych pręta (rys. IV.1a). Rozkład ten nie jest dowolny, lecz wynika z warunków równowagi oraz zgodności odkształceń. Statyczną wypadkową obciążenia powierzchniowego $q_v$ stanowi para momentów skręcających $M_s$ działająca na obu końcach pręta.

Statyczna redukcja obciążenia zewnętrznego do dowolnego przekroju poprzecznego prowadzi do całkowitego momentu skręcającego $M_x$. W ogólnym przypadku moment ten jest sumą momentu skręcania swobodnego Saint-Venanta $M_v$ oraz momentu skręcania skrępowanego $M_\omega$

\[ M_x=M_v+M_\omega. \tag{IV.2} \label{IV.2} \]

Przy skręcaniu swobodnym zachodzi $M_\omega=0$, dlatego całkowity moment skręcający jest równy momentowi Saint-Venanta, czyli $M_x=M_v$. Dopiero ograniczenie swobody deplanacji powoduje pojawienie się dodatkowego momentu skręcania skrępowanego $M_\omega$.

Można wykazać [9],  że rozkład obciążenia powierzchniowego prowadzący do czystego skręcania musi mieć postać

\[ q_v= \begin{cases} q_{vx}=0,\\ q_{vy}=\pm\Theta G\left(\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}-z\right),\\ q_{vz}=\pm\Theta G\left(\dfrac{\partial\varphi}{\partial z}+y\right), \end{cases} \tag{IV.3} \label{IV.3} \]

gdzie $\Theta$ jest nieznanym jeszcze parametrem proporcjonalnym do intensywności skręcania, natomiast $\varphi=\varphi(y,z)$ jest funkcją Prandtla (funkcją skręcania), opisującą rozkład odkształceń w przekroju poprzecznym.

Funkcja $\varphi(y,z)$ jest funkcją harmoniczną i spełnia równanie Laplace’a

\[ \nabla^2\varphi=0. \tag{IV.4} \label{IV.4} \]

Jest ona tak dobrana, aby spełniała statyczne warunki równowagi na pobocznicy pręta oraz kinematyczne warunki brzegowe. W dalszych rozważaniach przyjęto ponadto, że $\varphi=0$ w przekroju utwierdzenia $S$ (rys. IV.1a).

Skręcanie proste

Skręcanie proste (rys. IV.1b) odpowiada technicznemu sposobowi obciążenia pręta parami momentów skręcających $M_s$ przyłożonych do jego powierzchni czołowych. Momenty te mogą być wywołane dowolnym rozkładem obciążenia powierzchniowego $q_v$, niekoniecznie spełniającym warunek (\ref{IV.3}), pod warunkiem że jest on statycznie równoważny momentowi $M_s$. Warunek równoważności obciążenia powierzchniowego $q_v$ oraz pary momentów $M_s$ prowadzi do zależności

\[ M_s= \iint_A \left( q_{vz}y-q_{vy}z \right)dA = \Theta G \iint_A \left( \frac{\partial\varphi}{\partial z}y- \frac{\partial\varphi}{\partial y}z+ y^2+z^2 \right)dA = \Theta G I_v. \tag{IV.5} \label{IV.5} \]

Wprowadzono tutaj wielkość

\[ I_v \overset{\mathrm{def}}{=} \iint_A \left( \frac{\partial\varphi}{\partial z}y- \frac{\partial\varphi}{\partial y}z+ y^2+z^2 \right)dA, \tag{IV.6} \label{IV.6} \]

nazywaną stałą skręcania Saint-Venanta (momentem bezwładności przekroju na skręcanie). Wielkość $I_v$ jest parametrem geometrycznym przekroju i stanowi podstawową charakterystykę jego sztywności przy skręcaniu swobodnym.

Skręcanie swobodne

Skręcanie swobodne występuje wówczas, gdy przekroje poprzeczne pręta mogą swobodnie odkształcać się w kierunku jego osi. W wyniku skręcania przekrój poprzeczny zachowuje swój kształt w swojej płaszczyźnie, lecz może ulegać deplanacji (paczeniu). Jeżeli deplanacja nie jest ograniczona warunkami brzegowymi, w przekroju występują wyłącznie naprężenia styczne, a moment skręcający jest momentem Saint-Venanta:

\[ M=M_v,\qquad M_\omega=0. \tag{IV.7} \label{IV.7} \]

W dalszym opisie skręcanie swobodne będzie traktowane jako podstawowy przypadek odniesienia dla konstrukcji teorii skręcania cienkościennego. 

Zasada sztywnego konturu i deplanacja

W teorii cienkościennych prętów przyjmuje się, że kontur przekroju nie zmienia swojego kształtu w jego płaszczyźnie, natomiast jego punkty mogą przemieszczać się w kierunku osi pręta. Przekrój może zatem utracić płaskość, zachowując jednocześnie niezmienność własnego konturu, co pokazano na rys. IV.2.  Zjawisko to określa się jako deplanację lub paczenie przekroju. Dla skręcania swobodnego paczenie nie jest ograniczone, dlatego nie powstają naprężenia normalne związane z jego skrępowaniem. Ten przypadek stanowi naturalny punkt wyjścia do późniejszego opisu skręcania nieswobodnego i bimomentu.

Ścisłe rozwiązanie zagadnienia skręcania swobodnego dla pręta pryzmatycznego opiera się na półodwrotnej metodzie Saint-Venanta. Przyjmuje się w niej postać pola przemieszczeń zawierającą początkowo nieznany parametr $\Theta$:
\[ u=\Theta\,\Phi(y,z),\qquad v=-\Theta xz,\qquad w=\Theta xy.\tag{IV.8} \label{IV.8} \]

Funkcja $\Phi(y,z)$ opisuje paczenie przekroju i zależy wyłącznie od jego geometrii. Na tym etapie $\Theta$ traktujemy jedynie jako parametr występujący w przyjętym polu przemieszczeń. Jego interpretacja fizyczna zostanie określona dopiero po rozwiązaniu zagadnienia.  Z rozwiązania wynika zależność

\[ M_v=GI_v\Theta, \tag{IV.9} \label{IV.9} \]

a więc  $\Theta=\frac{M_v}{GI_v}$  i dopiero teraz można nadać temu parametrowi znaczenie fizyczne:

\[ \Theta=\frac{d\phi}{dx},\tag{IV.10} \label{IV.10} \]

gdzie $\phi(x)$ oznacza kąt obrotu przekroju wokół osi pręta.

Dla czystego skręcania moment Saint-Venanta jest stały i równy momentowi przyłożonemu:

\[ M_v=M_s.  \tag{IV.11} \label{IV.11} \]

Zatem

\[ \frac{d\phi}{dx}=\frac{M_s}{GI_v}. \tag{IV.12} \label{IV.12} \]

Rozwiązania referencyjne

Dla dalszej konstrukcji teorii istotne są dwa klasyczne rozwiązania: dla przekroju kołowego oraz prostokątnego (rys.IV.3) . Dla przekroju kołowego funkcja paczenia zanika $ \Phi(y,z)=0$. Stała skręcania jest wtedy równa biegunowemu momentowi bezwładności:

\[ I_v=\iint_A r^2\,dA=\frac{\pi R^4}{2}=I_0. \tag{IV.13} \label{IV.13} \]

Dla przekroju prostokątnego $b\times h$ funkcja paczenia jest niezerowa i może być przedstawiona w postaci szeregu Fouriera:

\[ \Phi(y,z) = yz- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{k_n\cosh(k_nh/2)} \sin(k_ny)\cosh(k_nz), \tag{IV.14} \label{IV.14}\]

gdzie

\[ k_n=\frac{(2n+1)\pi}{b}, \qquad B_n=(-1)^n\frac{8b}{(2n+1)^2\pi^2}. \tag{IV.15} \label{IV.15} \]

Z rozwiązania otrzymuje się stałą skręcania

\[ I_v=\beta(h/b) b^3 h \tag{IV.16} \label{IV.16} \]

oraz wskaźnik wytrzymałości

\[ W_v=\gamma (h/b) b^2 h. \tag{IV.17}\label{IV.17} \]

W konsekwencji

\[ M_v=GI_v\Theta, \qquad \tau_{\max}= \alpha \frac{M_v}{W_v}. \tag{IV.18} \label{IV.18} \]

gdzie: \alpha= \frac{\beta}{\gamma}.

Współczynnik $\beta$ $\alpha$   stabelarywoano w tab. IV.2 .

Kratowy model skręcania

Dodatkowej interpretacji zjawiska deplanacji dostarcza kratowy model skręcania przedstawiony na rys. IV.3. Model ten jest powszechnie wykorzystywany w analizie skręcania elementów żelbetowych, gdzie rzeczywisty stan naprężenia zastępuje się przestrzennym układem ściskanych krzyżulców betonowych oraz rozciąganych cięgien zbrojenia podłużnego i poprzecznego.

Na rys. IV.3 oznaczono kąt nachylenia krzyżulców symbolem $\gamma$. W teorii konstrukcji żelbetowych odpowiada mu zwykle kąt $\Theta$, określający nachylenie betonowych krzyżulców ściskanych. Zgodnie z Eurokodem 2 [10] (polski załacznik do EC2)  przyjmuje się najczęściej zakres

\[ 1.0\le\operatorname{ctg}\Theta \le 2.0. \tag{IV.19} \label{IV.19} \]

Należy podkreślić, że symbol $\Theta$ występujący we wzorze (\ref{IV.13}) oznacza kąt nachylenia betonowych krzyżulców modelu kratowego i nie należy go utożsamiać z parametrem $\Theta$ wprowadzonym wcześniej we wzorze (\ref{IV.8}),a w oryginalnej wersji EC2 górna granica $\operatorname{ctg}\Theta$ wynosi 2,5.

Model kratowy pozwala również wyjaśnić fizyczny mechanizm deplanacji przekroju. Jeżeli swoboda deplanacji na końcu pręta zostanie ograniczona, w zbrojeniu podłużnym pojawiają się dodatkowe siły rozciągające w pasach górnym i dolnym. Są one bezpośrednim skutkiem wydłużania i skracania włókien podłużnych przekroju podczas skręcania oraz stanowią fizyczny przejaw deplanacji przedstawionej na rys. IV.3.  Mechanizm ten jest analogiczny do powstawania bimomentu w klasycznej teorii Własowa i stanowi jego prostą interpretację mechaniczną. Zależność ta pokazuje, że ograniczenie swobody deplanacji prowadzi do pojawienia się sił podłużnych, których odpowiednikiem w teorii cienkościennych prętów jest bimoment.

Przybliżona formuła Saint-Venanta dla sztywności skrętnej

W praktyce projektowej często zachodzi potrzeba szybkiego oszacowania sztywności skrętnej przekroju o złożonym kształcie, na przykład podczas doboru wariantu przekroju lub wstępnego wymiarowania elementu konstrukcyjnego. W takich przypadkach można wykorzystać przybliżoną formułę zaproponowaną przez Saint-Venanta

\[ I_v \approx \frac{A^4}{40\,I_0}, \tag{IV.20} \label{IV.20} \]

gdzie:
$A$ – pole przekroju zwartego lub pole ograniczone konturem przekroju zamkniętego,
$ I_0=I_y+I_z $  – biegunowy moment bezwładności przekroju równy sumie momentów bezwładności względem osi głównych.

Formuła (\ref{IV.20}) wynika z analizy ścisłego rozwiązania dla przekroju eliptycznego, dla którego stała skręcania wynosi  $I_v= \pi \cfrac{a^3b^3}{a^2+b^2} $ , gdzie $a$ i $b$ oznaczają półosie elipsy. Pole przekroju eliptycznego jest równe $ A=\pi ab, $ natomiast biegunowy moment bezwładności wynosi $I_0= \cfrac{\pi ab}{4} \left(a^2+b^2\right). $ Po skorzytaniu  z tych zależności otrzymujemy $I_v= \frac{A^4} {4\pi^2I_0}.$.  Ponieważ  $ 4\pi^2=39.48\approx40,$ otrzymuje się przybliżenie  Soint-Venanta.  Formuł znajduje zastosowanie przede wszystkim do szybkiego szacowania sztywności skrętnej przekrojów zwartych oraz zamkniętych. Nie zastępuje ona jednak ścisłego rozwiązania zagadnienia Neumanna ani wzorów opartych na funkcji Prandtla. Należy również pamiętać, że dokładność wzoru (\ref{IV.14}) zależy od geometrii przekroju. Dla przekrojów o znacznej smukłości, przekrojów z otworami oraz przekrojów z nacięciami błąd może być znaczny. Przykładowo, dla wału kołowego z podłużnym nacięciem zawyżenie sztywności skrętnej może dochodzić nawet do około 80% [11].

Na tym kończy się klasyczny opis skręcania swobodnego. W dalszej części zostanie on wykorzystany jako rozwiązanie odniesienia dla reformulacji kinematyki w języku rotorów.

Reprezentacje skończonego obrotu

Reprezentacja skończonego obrotu jest sposobem matematycznego opisu zmiany orientacji układu odniesienia lub ciała przy przejściu z konfiguracji odniesienia do konfiguracji aktualnej. W mechanice prętów szczególne znaczenie ma opis orientacji przekroju poprzecznego, ponieważ jego położenie i orientacja stanowią podstawowe elementy konfiguracji przestrzennej pręta. Geometryczne rozdzielenie położenia przekroju od jego orientacji oraz graficzną interpretację skończonego obrotu przedstawiono na  rys. IV.6. W klasycznej mechanice stosuje się kilka równoważnych reprezentacji skończonego obrotu. Należą do nich między innymi aktualne wersory układu, macierz cosinusów kierunkowych, parametry obrotu, kąty Eulera, jednostkowy kwaternion oraz rotor. Reprezentacje te opisują tę samą zmianę orientacji, lecz różnią się sposobem jej parametryzacji oraz właściwościami algebraicznymi.

Klasyczna reprezentacja

Najbardziej bezpośrednim geometrycznie opisem orientacji przekroju jest przedstawienie jego aktualnej bazy za pomocą trzech wzajemnie prostopadłych wersorów $\boldsymbol{\ell}_1,\boldsymbol{\ell}_2,\boldsymbol{\ell}_3$. Jeżeli $\{\mathbf E_1,\mathbf E_2,\mathbf E_3\}$ oznacza bazę odniesienia, orientację aktualnego przekroju można zapisać w postac

\[ \boldsymbol{\ell}_j=\mathbf C\,\mathbf E_j, \qquad j=1,2,3. \tag{IV.21} \label{IV.21} \]

Równanie (\ref{IV.15X}) oznacza, że macierz $\mathbf C$ przekształca bazę odniesienia w aktualną bazę przekroju. Jest to zatem bezpośredni matematyczny zapis skończonego obrotu. W klasycznym zapisie inżynierskim macierz $\mathbf C$ jest macierzą cosinusów kierunkowych:

\[ \mathbf C= \begin{bmatrix} c_{11}&c_{12}&c_{13}\\ c_{21}&c_{22}&c_{23}\\ c_{31}&c_{32}&c_{33} \end{bmatrix}, \tag{IV.22} \label{IV.22} \]

przy czym $ c_{ij} = \mathbf E_i\cdot\boldsymbol{\ell}_j = \cos\alpha_{ij}, $ gdzie $\alpha_{ij}$ oznacza kąt pomiędzy osią $\mathbf E_i$ układu odniesienia a osią $\boldsymbol{\ell}_j$ układu aktualnego.

Każda kolumna macierzy $\mathbf C$ zawiera zatem składowe odpowiedniego aktualnego wersora w bazie odniesienia:

\[ \boldsymbol{\ell}_1= \begin{Bmatrix} c_{11}\\ c_{21}\\ c_{31} \end{Bmatrix}, \qquad \boldsymbol{\ell}_2= \begin{Bmatrix} c_{12}\\ c_{22}\\ c_{32} \end{Bmatrix}, \qquad \boldsymbol{\ell}_3=
\begin{Bmatrix} c_{13}\\ c_{23}\\ c_{33} \end{Bmatrix}. \]

Jest to klasyczna, stosowana w mechanice i inżynierii interpretacja macierzy obrotu: jej kolumny określają kierunki aktualnych osi, a jej elementy są cosinusami kątów pomiędzy osiami obu układów.  Ponieważ aktualna baza pozostaje ortonormalna i prawoskrętna, macierz $\mathbf C$ musi spełniać warunki ortogonalności 

\[  \mathbf C^{T}\mathbf C=\mathbf I, \,  \det\mathbf C=1. \]

Macierz $\mathbf C$ należy zatem do grupy obrotów $SO(3)$. Warunki te mają również bezpośrednią interpretację geometryczną: transformacja zachowuje długości i kąty oraz orientację układu. Macierz cosinusów kierunkowych stanowi więc pełną reprezentację orientacji przekroju.  Jednocześnie macierz $\mathbf C$ zawiera dziewięć elementów, lecz nie są one niezależne. Warunki ortogonalności i właściwej orientacji ograniczają liczbę niezależnych stopni swobody skończonego obrotu do trzech. Macierz jest więc reprezentacją nadmiarową względem liczby niezależnych parametrów orientacji, ale jej istotną zaletą jest bezpośrednia interpretacja geometryczna każdego elementu.  Takie ujęcie orientacji stanowi podstawę geometrycznie dokładnych teorii prętów, w których położenie oraz orientacja przekroju są traktowane jako odrębne składniki konfiguracji pręta. Przykładem jest sformułowanie Simo i Vu-Quoca (1986) [12].

Przykład inżynierski   macierzy cosinusów kierunkowych można najprościej przedstawić na przykładzie obrotu układu osi w płaszczyźnie przekroju. Niech układ $(y,z)$ zostanie obrócony o kąt $\alpha$, prowadząc do układu $(y’,z’)$. Przy przyjętej konwencji orientacji obrotu otrzymujemy

\[ \begin{bmatrix} \mathbf e_{y’}\\ \mathbf e_{z’} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\alpha&\sin\alpha\\ -\sin\alpha&\cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf e_y\\ \mathbf e_z
\end{bmatrix}. \tag{IV.23} \label{IV.23} \]

W tym przypadku elementy macierzy są bezpośrednio cosinusami kierunkowymi pomiędzy osiami starego i nowego układu. Obrót nie zmienia geometrii przekroju, lecz zmienia sposób jej opisu względem przyjętych osi.  Macierz (\ref{IV.17X})  stosuje się na przykład przy  poszukiwaniu głównych osi bezwładności przekroju. Odpowiedni kąt osi głównych $\alpha$ można wyznaczyć tak, aby w obróconym układzie zniknął iloczyn bezwładności  $I_{y’z’}=0.$  Osie $y’$ i $z’$ są wówczas głównymi osiami bezwładności przekroju. Przejście do tych osi jest zatem konkretnym przykładem wykorzystania reprezentacji obrotu do znalezienia kierunków wyróżnionych przez właściwości geometryczne przekroju.  Analogicznie można wykorzystać obrót układu współrzędnych przy poszukiwaniu innych wyróżnionych kierunków geometrycznych lub mechanicznych. W przestrzeni trójwymiarowej ta sama idea prowadzi do macierzy $\mathbf C\in SO(3)$ opisującej orientację całej bazy aktualnego przekroju.

Inne reprezentacje i wybór reprezentacji stosowanej w pracy

Macierz cosinusów kierunkowych nie jest jedynym sposobem opisu skończonego obrotu. Orientację można również parametryzować za pomocą trzech parametrów, na przykład poprzez wektor określający oś i kąt obrotu lub odpowiednio zdefiniowane kąty Eulera. Reprezentacje takie są wygodne w wielu zastosowaniach, jednak ich właściwości zależą od przyjętej parametryzacji i mogą prowadzić do osobliwości.

Do reprezentacji skończonych obrotów stosowane są również jednostkowe kwaterniony oraz rotory. Stanowią one alternatywne reprezentacje tej samej geometrii obrotu, lecz pozwalają na inne, bardziej odpowiednie dla dalszego wyprowadzenia operowanie orientacją.  W  pracy klasyczną macierz cosinusów kierunkowych przedtawiono do wprowadzenia pojęcia reprezentacji skończonego obrotu oraz jego interpretacji geometrycznej. Nie będzie ona jednak stosowana jako podstawowe narzędzie dalszego wyprowadzenia.  Orientacja przekroju oraz skończony obrót będą opisywane za pomocą rotora.
Szczegółowe przedstawienie jednostkowych kwaternionów, rotorów oraz zależności pomiędzy tymi reprezentacjami zostanie podane w dodatku IV.A. W głównym wyprowadzeniu pozostaniemy natomiast przy reprezentacji rotacyjnej w postaci rotora, która pozwala zachować bezpośredni związek pomiędzy operacją algebraiczną a geometrią skończonego obrotu.

Podstawowe równania skręcania Saint-Venanta w opisie rotorowym

Przyjmujemy , że obrót jest traktowany jako pierwotna operacja geometryczna, a jego reprezentację zbudujemy za pomocą rotora algebry geometrycznej. Podstawy takiego ujęcia zostały rozwinięte w ramach algebry geometrycznej i rachunku geometrycznego przez Hestenesa i Sobczyka (Hestenes, D. and Sobczyk, G. (1984), Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht.) którzy przedstawili jednolity formalizm obejmujący między innymi algebrę wektorową, kwaternionową i macierzową oraz reprezentacje obrotów . Formalizm algebry geometrycznej został następnie przedstawiony w zastosowaniach do fizyki przez Dorana i Lasenby [13] ze szczególnym uwzględnieniem rotorów, spinorów i ich zastosowań do opisu geometrii i ruchu  W przypadku przestrzeni trójwymiarowej rotor stanowi równoważną reprezentację skończonego obrotu względem reprezentacji przez jednostkowy kwaternion. Jednocześnie zachowuje bezpośrednią interpretację geometryczną poprzez biwektor określający płaszczyznę obrotu [14], [13]. Właśnie ta właściwość będzie dla nas istotna przy przejściu od orientacji przekroju do lokalnej miary jego zmiany wzdłuż osi pręta. Rotor nie będzie więc traktowany jako kolejna parametryzacja macierzy obrotu, lecz jako podstawowy obiekt geometryczny opisujący obrót.

Celem nie jest zatem zastąpienie jednej parametryzacji obrotu inną. Chodzi o sprawdzenie, czy wybór rotora jako podstawowego obiektu geometrycznego pozwoli w sposób bardziej naturalny sformułować kinematykę skręcania, a następnie rozszerzyć ją na paczenie przekroju i skręcanie nieswobodne.

Wprowadzenie rotora pozwala opisać orientację przekroju oraz jej zmianę wzdłuż osi pręta bez posługiwania się macierzą cosinusów kierunkowych jako podstawowym obiektem kinematycznym. Nie zmienia to jednak samego rozwiązania zagadnienia Saint-Venanta przedstawionego wcześniej. Niech $R(x)$ oznacza rotor opisujący orientację przekroju pręta względem konfiguracji odniesienia. Jednostkowość rotora wyraża zależność

\[ R\widetilde R=1. \tag{IV.24} \label{IV.24} \]

Aktualne wersory przekroju otrzymuje się przez działanie rotora:

\[ \mathbf e_i(x)=R(x)\mathbf E_i\widetilde R(x), \qquad i=1,2,3. \tag{IV.25} \label{IV.25} \]

W ten sposób klasyczna orientacja opisana wcześniej za pomocą wersorów i cosinusów kierunkowych $(\ref{IV.15})$–$(\ref{IV.16})$ zostaje zastąpiona jednym obiektem geometrycznym $R(x)$. Dla ciągłej zmiany orientacji przekroju wzdłuż osi pręta naturalną lokalną miarą obrotu jest biwektor

\[ \widehat{\boldsymbol{\kappa}} =2R'(x)\widetilde R(x). \tag{IV.26} \label{IV.26} \]

Jest on generatorem lokalnej zmiany orientacji rotora Doran i Lasenby [13]. Dla czystego skręcania wokół osi pręta jego płaszczyzna jest stała i odpowiada płaszczyźnie przekroju. Parametr $\Theta$ nie jest tutaj wprowadzany jako niezależny parametr pola przemieszczeń, lecz wynika z lokalnej zmiany orientacji przekroju. W tym sensie rotorowa kinematyka prowadzi bezpośrednio do parametru, który w klasycznym rozwiązaniu półodwrotnym został zidentyfikowany jako jednostkowy kąt skręcenia $(\ref{IV.11})$.

Dla stałego $\Theta$ rotor spełnia równanie

\[ R'(x) = \frac{1}{2}\Theta\,\mathbf E_2\mathbf E_3R(x), \tag{IV.27} \label{IV.27} \]

którego rozwiązaniem jest

\[ R(x) = \exp\left( \frac{1}{2}\Theta x\,\mathbf E_2\mathbf E_3 \right)R(0). \tag{IV.28} \label{IV.28} \]

Ponieważ $(\mathbf E_2\mathbf E_3)^2=-1$, otrzymujemy

\[ R(x) = \left( \cos\frac{\Theta x}{2} + \mathbf E_2\mathbf E_3\sin\frac{\Theta x}{2} \right)R(0). \tag{IV.29} \label{IV.29} \]

Wynik ten pokazuje, że rzeczywisty obrót przekroju wynosi $\Theta x$, podczas gdy rotor zawiera połowę tego kąta. Jest to konsekwencja dwustronnego działania rotora na wektor.

Na tym kończy się konieczne przekształcenie kinematyczne. Pole paczenia $\Phi(y,z)$, warunki brzegowe na konturze przekroju oraz rozwiązania dla przekrojów kołowego i prostokątnego zostały już przedstawione w ramach klasycznej teorii Saint-Venanta $(\ref{IV.13})$–$(\ref{IV.17})$ i nie wymagają ponownego wyprowadzania.

W szczególności zachowujemy wcześniej otrzymaną zależność

\[ M_v = GI_v \Theta, \tag{IV.30} \label{IV.30} \]

czyli wynik równania $(\ref{IV.9})$, lecz $\Theta$ jest teraz interpretowane jako skalarna część rotorowej miary lokalnej zmiany orientacji.

W konsekwencji rotorowa reformulacja nie tworzy nowego rozwiązania Saint-Venanta. Jej znaczenie polega na zmianie podstawowego opisu kinematycznego: orientacja przekroju oraz jej zmiana są reprezentowane bezpośrednio przez rotor i jego lokalny generator.

Prosty przykład: obrót przekroju wokół osi pręta

Rozważmy przekrój pręta, którego bazę odniesienia stanowią wersory $(\mathbf E_1,\mathbf E_2,\mathbf E_3)$. W dalszym zapisie technicznym przyjmujemy

\[ \mathbf E_1\equiv\mathbf e_x,\qquad \mathbf E_2\equiv\mathbf e_y,\qquad \mathbf E_3\equiv\mathbf e_z, \]

przy czym oś $x$ jest osią pręta. Załóżmy, że w punkcie $x=0$ przekrój nie jest obrócony, czyli $R(0)=1$, a następnie obraca się wokół osi $x$ ze stałym jednostkowym kątem skręcenia $\Theta$.

Rotor opisujący tę orientację ma postać

\[ R(x)= \cos\frac{\Theta x}{2} +\mathbf E_2\mathbf E_3\sin\frac{\Theta x}{2} = \cos\frac{\Theta x}{2} +\mathbf e_y\mathbf e_z\sin\frac{\Theta x}{2}. \tag{IV.31} \label{IV.31} \]

Rozważmy teraz wersor $\mathbf e_y$, który przed obrotem wskazuje kierunek osi $y$. Jego aktualne położenie otrzymujemy z działania rotora:

\[ \mathbf e_y(x)=R(x)\mathbf e_y\widetilde R(x). \tag{IV.32} \label{IV.32} \]

Po wykonaniu iloczynu otrzymujemy

\[ \mathbf e_y(x) = \cos(\Theta x)\,\mathbf e_y -\sin(\Theta x)\,\mathbf e_z. \tag{IV.33} \label{IV.33} \]

Oznacza to, że podczas skręcania przekroju jego oś $y$ obraca się w płaszczyźnie przekroju $yz$. W tym samym czasie

\[ \mathbf e_z(x) = \sin(\Theta x)\,\mathbf e_y +\cos(\Theta x)\,\mathbf e_z. \tag{IV.34} \label{IV.34} \]

Rotor zawiera więc połowę rzeczywistego kąta obrotu $\Theta x$, natomiast jego działanie powoduje obrót przekroju o pełny kąt $\Theta x$. Nie jest to nowa miara skręcenia, lecz inny sposób zapisania tego samego obrotu.

Dla dwóch przekrojów oddalonych o $dx$ przyrost kąta obrotu wynosi $d\phi=\Theta\,dx$, a zatem

\[ \Theta=\frac{d\phi}{dx}. \tag{IV.35} \label{IV.35} \]

Parametr $\Theta$ jest więc jednostkowym kątem skręcenia: określa, o jaki kąt obraca się przekrój na jednostce długości pręta.  Otrzymujemy tę samą interpretację parametru $\Theta$, która została uzyskana wcześniej w klasycznym rozwiązaniu Saint-Venanta $(\ref{IV.10})$. Rotor nie wprowadza więc nowej fizyki ani nowej miary skręcenia. Pozwala jedynie opisać ten sam obrót przekroju za pomocą jednego obiektu geometrycznego, zamiast rozpisywać jego orientację za pomocą dziewięciu cosinusów kierunkowych.

W przypadku skręcania swobodnego przekroju rzeczywistego dochodzi następnie paczenie opisane funkcją $\Phi(y,z)$. Jego rozwiązanie dla przekrojów kołowego i prostokątnego zostało już przedstawione wcześniej. Kolejnym krokiem będzie więc połączenie rotorowego opisu orientacji przekroju z jego deplanacją.

Rozważmy przekrój pręta, którego bazę odniesienia stanowią wersory $(\mathbf E_1,\mathbf E_2,\mathbf E_3)$. W dalszym zapisie technicznym przyjmujemy

\[ \mathbf E_1\equiv\mathbf e_x, \qquad \mathbf E_2\equiv\mathbf e_y, \qquad \mathbf E_3\equiv\mathbf e_z, \]

przy czym oś $x$ jest osią pręta. Załóżmy, że w punkcie $x=0$ przekrój nie jest obrócony, czyli $R(0)=1$, a następnie obraca się wokół osi $x$ ze stałym jednostkowym kątem skręcenia $\Theta$.

Rotorowy opis deplanacji przekroju

W przypadku skręcania swobodnego przekrój nie tylko zmienia swoją orientację, lecz może również ulegać deplanacji. W klasycznym opisie zjawisko to zostało przedstawione za pomocą funkcji paczenia $\Phi(y,z)$. Nie ma potrzeby ponownego wyprowadzania tej funkcji — jej rozwiązanie dla przekroju kołowego i prostokątnego zostało już przedstawione w równaniach $(\ref{IV.13})$–$(\ref{IV.17})$. Wprowadźmy położenie punktu przekroju względem jego środka w konfiguracji odniesienia:

\[\mathbf x_\perp=y\mathbf E_2+z\mathbf E_3. \tag{IV.36} \label{IV.36} \]

W klasycznym opisie paczenie oznacza dodatkowe przemieszczenie punktu przekroju w kierunku osi pręta. W opisie rotorowym nie zmieniamy tego znaczenia fizycznego. Zmieniamy jedynie sposób opisu orientacji całego przekroju. Położenie punktu przekroju można zatem zapisać w postaci

\[ \mathbf r(x,y,z) = \mathbf r_0(x) + R(x) \left[ \mathbf x_\perp+ u_\omega(x,y,z)\mathbf E_1 \right], \tag{IV.37} \label{IV.37} \]

gdzie $u_\omega$ oznacza przemieszczenie związane z paczeniem, natomiast $\mathbf r_0(x)$ określa położenie środka przekroju. Dla skręcania swobodnego paczenie jest związane z jednostkowym kątem skręcenia $\Theta$ oraz funkcją $\Phi(y,z)$. Przyjmujemy zatem

\[ u_\omega(x,y,z)=\Theta\,\Phi(y,z). \tag{IV.38} \label{IV.38} \]

W konsekwencji pole położenia przyjmuje postać

\[ \mathbf r(x,y,z) = \mathbf r_0(x) + R(x) \left[ y\mathbf E_2+z\mathbf E_3+ \Theta\Phi(y,z)\mathbf E_1 \right]. \tag{IV.39} \label{IV.39} \]

Zapis ten ma istotne znaczenie. Rotor $R(x)$ opisuje orientację całego przekroju jako obiektu sztywnego, natomiast funkcja $\Phi(y,z)$ opisuje jego deplanację. Oba zjawiska zostają więc rozdzielone kinematycznie:

\[  \text{orientacja przekroju} \;\longleftrightarrow\; R(x), \qquad \text{deplanacja przekroju}\;\longleftrightarrow\; \Phi(y,z). \tag{IV.40} \label{IV.40}\]

Dla przekroju kołowego $\Phi(y,z)=0$, a więc cała kinematyka skręcania jest opisana przez rotor. Jest to szczególny przypadek skręcania, w którym przekrój nie ulega paczeniu.

Dla przekroju prostokątnego $\Phi(y,z)\neq0$. Paczenie nie jest jednak dodatkowym obrotem przekroju. Jest przestrzennym przemieszczeniem jego punktów wzdłuż osi pręta, którego rozkład po przekroju określa funkcja $\Phi(y,z)$. W skręcaniu swobodnym amplituda paczenia jest związana z lokalną zmianą orientacji przekroju. Dlatego funkcja $\Phi(y,z)$ nie jest niezależną zmienną kinematyczną, lecz charakterystyką geometryczną przekroju. Jej postać wynika z warunków Saint-Venanta, natomiast skala paczenia wynika z wartości $\Theta$.

Otrzymujemy w ten sposób naturalny rozdział dwóch poziomów opisu:

\[  ⇒ \text {rotor }   R(x) \quad \text{opisuje ruch i orientację przekroju,} \\ 
\text { ⇒  funkcja paczenia } \Phi(y,z) \quad \text{opisuje jego właściwość przekrojową związaną z paczeniem.} \tag{IV.41} \label{IV.41} \]

W przypadku skręcania swobodnego nie występuje ograniczenie paczenia. Dlatego nie pojawia się dodatkowy stan naprężenia normalnego związany ze skrępowaniem deplanacji, zgodnie z klasycznym wynikiem przedstawionym wcześniej w $(\ref{IV.7})$.

Tak skonstruowany zapis pozwala zachować klasyczne rozwiązanie Saint-Venanta, a jednocześnie przygotowuje rozdzielenie dwóch zjawisk, które w dalszej teorii będą miały odmienne znaczenie: zmiany orientacji przekroju oraz jego deplanacji. Dopiero ograniczenie tej drugiej prowadzi do skręcania nieswobodnego i pojawienia się bimomentu.

Skręcanie nieswobodne (skrępowane)

Skręcanie nieswobodne (skrępowane) jest przedmiotem klasycznej technicznej teorii cienkościennych prętów Własowa (1959) [2]. Występuje ono wówczas, gdy deplanacja przekroju jest częściowo lub całkowicie ograniczona przez warunki podparcia, połączenia z innymi elementami konstrukcji lub sposób przyłożenia obciążenia. Ograniczenie swobody deplanacji prowadzi do powstania dodatkowych naprężeń normalnych oraz związanych z nimi sił przekrojowych. W teorii Własowa zasadę zachowania płaskości przekroju, właściwą dla klasycznej teorii Bernoulliego, zastępuje <strong>zasada sztywnego konturu</strong>. Kontur cienkościennego przekroju nie ulega odkształceniu w swojej płaszczyźnie, natomiast jego punkty mogą przemieszczać się wzdłuż osi pręta. Przekrój zachowuje więc swój kształt w płaszczyźnie, lecz może ulegać deplanacji (paczeniu).  skręcaniu nieswobodnym podstawowe zależności skręcania swobodnego Saint-Venanta pozostają zachowane, lecz jednostkowy kąt skręcenia $\Theta(x)$ jest funkcją położenia przekroju wzdłuż osi pręta.
Całkowity moment skręcający można przedstawić jako sumę momentu skręcania Saint-Venanta $M_v$ oraz momentu związanego ze skrępowaniem deplanacji $M_\omega$:

\[ M_x=M_v+M_\omega. \tag{IV.42} \label{IV.42} \]

Podłużne przemieszczenie punktów przekroju zależy od ich położenia na konturze. W teorii Własowa opisuje je współrzędna wycinkowa $\omega$, charakterystyczna dla geometrii przekroju cienkościennego. Przy przyjętej konwencji znaku przemieszczenie paczenia ma postać:

\[ u(x,y,z)=-\Theta(x)\,\omega. \tag{IV.43} \label{IV.43} \]

Współrzędna wycinkowa $\omega$ określa rozkład przemieszczeń podłużnych na konturze przekroju. Jej postać zależy od geometrii przekroju i zostanie określona dalej dla przekrojów otwartych i zamkniętych. Ograniczenie deplanacji powoduje powstanie naprężeń normalnych oraz związanej z nimi uogólnionej siły przekrojowej – <strong>bimomentu</strong> $B_\omega$. Jego związek z momentem skrępowania zostanie wyprowadzony w dalszej części na podstawie równań równowagi.

Zasada sztywnego konturu oraz opis deplanacji za pomocą współrzędnej wycinkowej stanowią podstawę klasycznej teorii skręcania nieswobodnego Własowa. Dalsze wyprowadzenie prowadzi do związku pomiędzy $\Theta(x)$, bimomentem $B_\omega$ i momentem skrępowania $M_\omega$.$

Pręty cienkościenne 

Klasyczna teoria skręcania Saint-Venanta znajduje zastosowanie przede wszystkim do prętów o przekrojach zwartych. W przypadku prętów cienkościennych skręcanie przebiega odmiennie, ponieważ przekrój poprzeczny ulega deplanacji, a przy ograniczeniu swobody deplanacji pojawiają się dodatkowe naprężenia normalne oraz nowe siły przekrojowe. Zjawiska te stanowią przedmiot klasycznej teorii cienkościennych prętów Własowa. 

Rys historyczny

Teoria prętów cienkościennych rozwijała się jako rozszerzenie klasycznej teorii prętów o wpływ geometrii cienkościennego przekroju na rozkład naprężeń, przemieszczeń oraz sił przekrojowych. Szczególne znaczenie uzyskały przekroje otwarte, w których skręcanie jest związane nie tylko z momentem Saint-Venanta, lecz również z deplanacją przekroju. Podstawy technicznej teorii cienkościennych prętów skręcanych nieswobodnie sformułował Własow, wprowadzając do opisu przekroju współrzędną wycinkową, funkcję deplanacji oraz bimoment jako uogólnioną wielkość statyczną [2]. W klasycznej teorii Własowa przyjmuje się zasadę sztywnego konturu: kontur cienkościennego przekroju zachowuje swój kształt w płaszczyźnie przekroju, natomiast jego punkty mogą przemieszczać się w kierunku osi pręta. Umożliwia to opis deplanacji oraz naprężeń normalnych powstających wskutek jej ograniczenia. W konsekwencji stan skręcania może być opisany przez współistnienie momentu Saint-Venanta i efektów skrępowania deplanacji, których miarą jest bimoment.

Ważny etap rozwoju polskiej teorii prętów cienkościennych stanowią prace Stefana Piechnika, dotyczące kinematycznej równoważności oraz statyki i kinematyki prętów cienkościennych. Szczególne znaczenie ma jego ujęcie prętów cienkościennych o przekrojach otwartych, obejmujące charakterystyki geometryczne przekroju, współrzędną wycinkową oraz wielkości statyczne związane z deplanacją i skręcaniem skrępowanym [15]. Rozwinięciem tego kierunku jest algebraiczne ujęcie układów sił przyłożonych do płaskiej linii materialnej, w którym kinematyczna równoważność została przedstawiona w sposób umożliwiający jej bezpośrednie zastosowanie do teorii prętów cienkościennych [16]. Ujęcie to stanowi istotny element rozwoju opisu wielkości statycznych i kinematycznych prętów cienkościennych oraz ich wzajemnych zależności. W niniejszej pracy stanowi ono bezpośredni punkt odniesienia dla klasycznego opisu pręta cienkościennego. Zachowane zostają podstawowe wielkości geometryczne i mechaniczne, w szczególności charakterystyki przekroju, współrzędna wycinkowa, deplanacja oraz bimoment, natomiast rozszerzeniu podlega aparat matematyczny stosowany do opisu orientacji przekroju. Nie chodzi zatem o zastąpienie klasycznej teorii cienkościennej ani o zmianę znaczenia występujących w niej wielkości mechanicznych, lecz o jej geometryczne uogólnienie w zakresie opisu orientacji i skończonych obrotów.

Klasyczne zależności teorii Własowa pozostają punktem odniesienia, natomiast rotorowy opis orientacji pozwala przedstawić je w ramach jednolitego aparatu geometrycznego również wtedy, gdy obrót przekroju nie może być traktowany jako mały.

Równolegle z rozwojem klasycznych teorii cienkościennych prętów rozwijały się sformułowania uwzględniające duże przemieszczenia i skończone obroty. Klasyczny opis oparty na przemieszczeniach i parametrach obrotu został w tych teoriach uzupełniony o bezpośredni opis orientacji przekroju. Istotny etap stanowiły prace Simo, w których konfigurację przestrzennego pręta opisano z uwzględnieniem skończonych odkształceń i obrotów. W pierwszej pracy przedstawiono trójwymiarowe sformułowanie dynamiczne pręta, następnie rozwinięto jego aspekty wariacyjne i obliczeniowe, a w kolejnej pracy przedstawiono geometrycznie ścisłe ujęcie dynamiki prętów wykonujących duże ruchy [17]; [18]; [19].

W geometrycznie ścisłych teoriach prętów orientacja przekroju jest traktowana jako niezależna wielkość kinematyczna związana z przestrzenią obrotów $SO(3)$. Oznacza to, że konfiguracja pręta nie jest już opisywana wyłącznie za pomocą liniowego pola przemieszczeń. Położenie osi pręta oraz orientacja przekroju tworzą odrębne, lecz wzajemnie powiązane składniki opisu konfiguracji. Takie ujęcie pozwala konsekwentnie opisywać skończone obroty i stanowi podstawę współczesnych geometrycznie ścisłych teorii prętów.

Rozwój tych teorii doprowadził również do problemu wyboru odpowiedniej reprezentacji skończonego obrotu. Macierz cosinusów kierunkowych zapewnia pełny opis orientacji, lecz wykorzystuje dziewięć składowych związanych więzami ortogonalności. Alternatywne parametryzacje wykorzystują mniejszą liczbę parametrów, lecz mogą wykazywać osobliwości zależne od przyjętej reprezentacji. Zagadnienia te były przedmiotem analizy w pracach dotyczących wyboru parametrów skończonych obrotów [20]; [21].
Jedną z najważniejszych alternatyw stały się jednostkowe kwaterniony. Ich matematyczne podstawy sięgają prac Williama Rowana Hamiltona, którego <em>Elements of Quaternions</em> ukazało się w 1866 r. [22]. W zastosowaniach do mechaniki i teorii prętów kwaterniony umożliwiają zwarty opis skończonych obrotów. Zagadnienia kwaternionowej reprezentacji obrotów zostały szeroko przedstawione przez Kuipersa [23].
W mechanice prętów kwaterniony zostały wykorzystane bezpośrednio w geometrycznie ścisłych sformułowaniach trójwymiarowej teorii belek. Jelenić i Crisfield analizowali geometrycznie ścisłą teorię belek oraz problem obiektywności miar odkształcenia w jej implementacji numerycznej [24]; [25]. Z kolei Zupan, Saje i Zupan przedstawili sformułowanie trójwymiarowej teorii belki wykorzystujące kwaterniony rotacyjne jako podstawowe zmienne orientacji [26].
Rozwój geometrycznie ścisłych teorii prętów nie oznaczał jednak odejścia od klasycznych podstaw mechaniki. Równania równowagi, związki konstytutywne, definicje sił przekrojowych oraz charakterystyki geometryczne przekroju zachowują swoje znaczenie. Zmianie ulega przede wszystkim sposób reprezentacji orientacji oraz związanych z nią transformacji geometrycznych.

Na tym tle proponowane w niniejszej pracy podejście stanowi kolejny etap rozwoju opisu geometrycznego. Nie jest proponowana zmiana podstawowych praw mechaniki pręta ani zastąpienie klasycznych wielkości mechanicznych. Rozszerzeniu podlega przede wszystkim <strong>aparat matematyczny opisu orientacji przekroju</strong>. Klasyczny aparat skalarno–wektorowo–tensorowy pozostaje podstawą opisu przemieszczeń, odkształceń, naprężeń, sił przekrojowych i równań równowagi. Uzupełniony zostaje natomiast o obiekty geometryczne związane z obrotem, w szczególności pseudowektory, biwektory oraz rotor jako operator orientacji.
Istotą proponowanego podejścia jest rozdzielenie opisu ruchu przekroju na dwa składniki: <strong>jego położenie</strong> oraz <strong>jego orientację</strong>. Położenie pozostaje opisane klasycznie za pomocą wektora osi pręta, natomiast orientacja zostaje potraktowana jako samodzielny obiekt geometryczny. W przyjętym dalej formalizmie obiektem tym będzie rotor $R(x)$, którego działanie określa orientację lokalnego układu przekroju względem układu odniesienia. Takie ujęcie nie prowadzi do powstania nowej mechaniki prętów, lecz do zmiany sposobu jej zapisu geometrycznego. Równania równowagi, charakterystyki geometryczne przekroju, współrzędna wycinkowa, funkcja deplanacji, bimoment oraz momenty skręcania zachowują swoją klasyczną interpretację. Rozszerzeniu ulega jedynie aparat matematyczny wykorzystywany do opisu orientacji przekroju i transformacji związanych z geometrią obrotu

W konsekwencji klasyczna teoria Własowa może zostać potraktowana jako szczególny przypadek szerszego opisu geometrycznego. Dla małych obrotów zachowane zostają klasyczne zależności teorii prętów, natomiast zastosowanie operatora orientacji umożliwia zachowanie tej samej interpretacji geometrycznej również dla obrotów skończonych. Pozwala to przygotować jednolity opis skręcania, zginania, deplanacji oraz ich wzajemnego sprzężenia bez zmiany podstawowych praw mechaniki pręta.  W kolejnych częściach zostanie pokazane, w jaki sposób klasyczne charakterystyki przekroju cienkościennego można połączyć z rotorowym opisem orientacji. Następnie rotorowy opis zostanie zestawiony ze współrzędną wycinkową, deplanacją i bimomentem teorii Własowa, prowadząc do uogólnienia klasycznego opisu pręta na przypadek skończonych obrotów.

Definicja pręta cienkościennego

Prętem nazywa się ciało stałe, którego długość jest znacznie większa od wymiarów przekroju poprzecznego. Jeżeli przekrój poprzeczny zachowuje niezmienny kształt na całej długości elementu, pręt nazywa się pryzmatycznym, natomiast gdy jego oś jest linią prostą – prętem prostym. Pręty mogą mieć przekroje zwarte lub cienkościenne oraz osie proste albo krzywoliniowe. Pręt cienkościenny można geometrycznie traktować jako cienkościenną powłokę cylindryczną lub pryzmatyczną, której trzy charakterystyczne wymiary są różnych rzędów wielkości. Długość pręta $L$ jest o rząd większa od charakterystycznego wymiaru przekroju poprzecznego $l$, natomiast wymiar przekroju $l$ jest o rząd większy od grubości ścianki $t$ [27].

Jak pokazują doświadczenia oraz analiza statyczno-wytrzymałościowa oparta na hipotezach Własowa, pręt można traktować jako cienkościenny, jeżeli spełnione są warunki [2]), [28], [29]

\[ t\le\frac{l}{N_{th}}, \qquad l\le\frac{L}{N_b}, \tag{IV.44} \label{IV.44} \]

gdzie:
$N_{th}=N_b=10$,
$t$ – grubość ścianki,
$l$ – charakterystyczny wymiar przekroju poprzecznego (długość ścianki),
$L$ – długość pręta.

Pierwszy warunek określa cienkościenność przekroju, natomiast drugi jest ogólnym kryterium teorii prętów i wyraża wymóg odpowiedniej smukłości elementu. Elementy o mniejszej smukłości powinny być analizowane jako tarcze lub powłoki. W praktyce projektowej wymaganie to jest często łagodzone, przyjmując $N_b=8$, natomiast w konstrukcjach żelbetowych spotyka się nawet $N_b=4$. Wraz ze zmniejszaniem smukłości ścianek $l/t$ lub smukłości pręta $L/l$ dokładność klasycznej teorii cienkościennej stopniowo maleje.

Ze względu na geometrię przekroju poprzecznego pręty cienkościenne dzieli się na:

przekroje otwarte – których linia środkowa ścianki nie tworzy zamkniętego obwodu (np. dwuteowniki, ceowniki, kątowniki, teowniki), (rys. IV.b)
przekroje zamknięte – których linia środkowa tworzy jeden lub więcej zamkniętych obwodów (np. rury, profile skrzynkowe jedno- i wielokomorowe), (rys. IV.a)
przekroje mieszane – zawierające jednocześnie części otwarte i zamknięte,
przekroje quasi-zamknięte – w których zamknięcie przekroju uzyskuje się dzięki elementom podatnym lub połączeniom nieciągłym.

Przedstawiony podział odpowiada stopniowi złożoności zagadnienia skręcania. W prcy teoria zostanie rozwinięta w kolejności od przekrojów zamkniętych jednokomorowych, poprzez przekroje wielokomorowe, aż do przekrojów otwartych. Taki układ różni się od stosowanego w większości podręczników, jednak z punktu widzenia mechaniki jest bardziej naturalny. Teoria prętów o przekrojach otwartych stanowi bowiem szczególny przypadek ogólniejszej teorii przekrojów zamkniętych, w której liczba zamkniętych obwodów ulega redukcji. Ujęcie takie pozwala przedstawić w jednolity sposób charakterystyki geometryczne przekroju, przepływ sił stycznych oraz dalsze wyprowadzenia klasycznej teorii Własowa dla przekrojów jedno- i wielokomorowych.

Założenia kinematyczne pręta cienkościennego Własowa

Wyprowadzenie pola przemieszczeń cienkościennego pręta rozpoczynamy od założeń teorii Własowa, uzupełnionych o uściśloną kinematykę Timoshenki. Przyjęte założenia mają prowadzić do jednego, wspólnego pola przemieszczeń, z którego wynikają zarówno odkształcenia normalne, jak i postaciowe. Nie wprowadzamy zatem niezależnych pól dla tych dwóch rodzajów odkształceń.

Założenie 1 — sztywny kontur przekroju i deplanacja.

Kontur cienkościennego przekroju pozostaje nieodkształcony w swojej płaszczyźnie.
Może on wykonywać ruch sztywny, obejmujący przesunięcia oraz obrót wokół osi pręta. Jednocześnie, zgodnie z teorią Własowa, dopuszcza się deplanację przekroju w kierunku osi pręta. Rozkład deplanacji w przekroju opisuje funkcja wycinkowa $\omega(y,z)$, natomiast jej amplituda wzdłuż osi pręta jest opisywana funkcją $\psi(x)$. Funkcja $\omega(y,z)$ opisuje geometryczny rozkład deplanacji w przekroju, podczas gdy $\psi(x)$ opisuje jej zmienność wzdłuż osi pręta.

Założenie 2 — małe odkształcenia postaciowe i uściślenie kinematyki Timoshenko

Kąty odkształcenia postaciowego są małe.
Nie zakłada się jednak ich całkowitego zaniku. Wprowadza się niezależne obroty przekroju, dzięki czemu kierunek normalny do przekroju nie musi pokrywać się z kierunkiem osi pręta. Jest to uściślenie klasycznej kinematyki Timoshenko,

Jest to uściślenie klasycznej kinematyki Timoshenko, umożliwiające uwzględnienie odkształceń postaciowych. Odkształcenia postaciowe nie są jednak wprowadzane jako niezależne pola kinematyczne. Wynikają one z tego samego pola przemieszczeń, które opisuje rozciąganie, zginanie, skręcanie, ścinanie oraz deplanację.

Założenie 3 — cienkość ścianek (pomijalność naprężeń normalnych poprzecznych)

W modelu cienkościennego pręta pomija się naprężenie normalne działające w kierunku $n$, prostopadłym do powierzchni ścianki

Przyjmujemy zatem 

\[ \sigma_n=0. \tag{IV.45} \label{IV.45} \]

Nie oznacza to zaniku naprężenia $\sigma_s$ działającego w kierunku stycznym do linii środkowej ścianki. Naprężenie $\sigma_s$ pozostaje związane z naprężeniem $\sigma_x$ poprzez trójwymiarowe prawo Hooke’a i założenia modelu cienkościennego.

Konsekwencje  założeń Własowa

Konsekwencje kinematyczne

Założenia Własowa określają klasę dopuszczalnych pól przemieszczeń pręta. Pole to będzie zawierało jednocześnie składniki związane z rozciąganiem, zginaniem, skręcaniem, ścinaniem oraz deplanacją. Dopiero z tego pola wyznaczane są składowe tensora odkształcenia.  Rozróżniamy trzy funkcje związane ze skreącaiem i deplanacją przerkoeju: $ \varphi(x)$ — kąt skręcenia przekroju, $\psi(x)$ — amplituda deplanacji} $\omega(y,z)$— funkcja wycinkowa przekroju}. Kąt skręcenia $\varphi(x)$ oraz amplituda deplanacji $\psi(x)$ są odrębnymi zmiennymi kinematycznymi i nie należy ich utożsamiać.

Konsekwencje materiałowe

Założenia kinematyczne oraz założenie cienkościenności prowadzą również do odpowiedniej redukcji trójwymiarowego prawa materiałowego. Dla cienkościennego modelu Własowa zależność pomiędzy odkształceniem normalnym $\varepsilon_x$ i naprężeniem osiowym $\sigma_x$ może być zapisana w postaci

\[ \sigma_x=\bar E\,\varepsilon_x. \tag{IV.46} \label{IV.46} \]

Cienkościenny  moduł Younga wynosi

\[ \bar E=\frac{E}{1-\nu^2}, \tag{IV.47} \label{IV.47} \]

gdzie $E$ jest modułem Younga materiału, a $\nu$ jest współczynnikiem Poissona.

Cinekościenny moduł Younga $\bar E$ nie jest dodatkową właściwością materiału, bo jest wnioskiem  z trójwymiarowego prawa Hooke’a po zastosowaniu założeń modelu cienkościennego Własowa i stanowi użyteczne uproszczenie opisu osiowego pola odkształceń i naprężeń. Dla stali, przy $\nu=0{,}3$, otrzymujemy $ \bar E= \frac{E}{1-0{,}3^2}\approx1{,}099\,E, $, a więc zastępczy moduł Younga jest około $10\%$ większy od modułu Younga materiału. Wyprowadzenie zależnosći ($\ref{IV.46}$) i ($\ref{IV.47}$)z pełnego przestrzennego prawa materiałowego, z uwzględnieniem warunków $\sigma_n=0$ i $\varepsilon_s=0$, przedstawiono w Dodatku IV.A, w rozdziale Prętowa_redukcja_prawa_Hooke’a

 Geometryczny opis pręta cienkościennego

Zaprezentowane ujęcie teorii rozwijanej we wcześniejszych pracach autora, w szczególności w pracy [30], zachowuje zasadniczą strukturę modelu pręta cienkościennego oraz jego klasyczne założenia mechaniczne. Zmianie podlega aparat matematyczny stosowany do opisu orientacji przekroju: klasyczny opis transformacji zostaje zastąpiony opisem operatorowym wykorzystującym rotor. Nie zmienia to sposobu definiowania odkształceń, naprężeń ani sił przekrojowych, lecz pozwala przedstawić orientację przekroju i jej zmianę w ramach jednego formalizmu geometrycznego. Podstawowe zależności operatora rotorowego zostały już zestawione w tab. IV.R, a jego działanie na wersory przekroju określono zależnością (\ref{IV.53}).

Opis konfiguracji

Istotą opisu konfiguracji pręta cienkościennego jest rozdzielenie opisu jego położenia od opisu orientacji przekroju. Rozróżnienie to przedstawiono schematycznie na rys. IV.6. Lokalny układ współrzędnych przekroju oraz składowe przemieszczenia w konwencji technicznej, stosowanej w dalszym opisie pręta, przedstawiono wcześniej na rys. IV.5. W konfiguracji początkowej $\Omega^{(0)}$ punkt odniesienia przekroju oznaczono przez $P^{(0)}(x)$, gdzie $x$ jest bieżącą współrzędną wzdłuż osi pręta. Z punktem $P^{(0)}(x)$ związany jest lokalny opis przekroju przedstawiony na rys. IV.5. Współrzędne $y$ i $z$ określają położenie punktu w płaszczyźnie przekroju, natomiast składowe $u(x)$, $v(x)$ i $w(x)$ opisują przemieszczenie osi pręta w przyjętej konwencji technicznej. Dla zachowania czytelności w głównym tekście stosowana jest konwencja geometryczna oparta na wektorach i rotorach, natomiast w załączniku IV.A zostanie wprowadzone równoważne indeksowanie wskaźnikowe. W tej konwencji pierwsza współrzędna odpowiada osi pręta, czyli $1\equiv x, $, a pierwsza składowa przemieszczenia odpowiada kierunkowi osi pręta, czyli $u\equiv u_1.$. Analogicznie pozostałe składowe przemieszczenia zapisuje się jako $ v\equiv u_2, \qquad w\equiv u_3.$

Ujęcie przedstawione na rys. IV.6 zachowuje ciągłość z wcześniejszą teorią autora [30], a jednocześnie pozwala opisać orientację przekroju w sposób jednolity dla małych i skończonych obrotów. Rozszerzeniu podlega wyłącznie aparat matematyczny wykorzystywany do opisu orientacji przekroju. W konfiguracji początkowej $\Omega^{(0)}$ wektor $\mathbf R(x)$ określa położenie punktu $P^{(0)}(x)$ względem początku globalnego układu odniesienia $O$. Przemieszczenie tego punktu opisuje wektor $\mathbf u(x)$. W konfiguracji aktualnej $\Omega^{(N)}$ punkt $P^{(0)}(x)$ przechodzi w punkt $P^{(N)}(x)$, którego położenie określa wektor $\mathbf r(x)$. Zachodzi zatem zależność

\[\mathbf r(x)=\mathbf R(x)+\mathbf u(x). \tag{IV.48} \label{IV.48} \]

Relacja ta rozdziela opis zmiany położenia od samego położenia punktu. Wektor $\mathbf R(x)$ opisuje położenie punktu odniesienia przekroju w konfiguracji początkowej, $\mathbf u(x)$ jest jego przemieszczeniem, natomiast $\mathbf r(x)$ określa położenie tego samego punktu w konfiguracji aktualnej. W konfiguracji początkowej z przekrojem $P^{(0)}(x)$ związana jest baza $\{\mathbf E_1,\mathbf E_2,\mathbf E_3\}$. Rotor odpowiadający tej konfiguracji nie został przedstawiony na rys. IV.6 ze względu na czytelność schematu. Jest on konstruowany analogicznie do rotora przedstawionego na przekroju w konfiguracji aktualnej i opisuje orientację tego samego lokalnego układu przekroju w konfiguracji początkowej.

W konfiguracji aktualnej przekrój związany z punktem $P^{(N)}(x)$ przyjmuje orientację opisaną przez bazę

\[\{\boldsymbol{\ell}_1,\boldsymbol{\ell}_2,\boldsymbol{\ell}_3\}. \tag{IV.49} \label{IV.49} \]

Na rys. IV.6 przedstawiono rotor $R^{(N)}(x)$ opisujący aktualną orientację przekroju. W konsekwencji konfigurację przekroju można opisać za pomocą dwóch odrębnych składników geometrycznych: jego położenia oraz orientacji. Schematycznie można to zapisać w postaci

\[\mathcal{C}(x)= \left\{ \mathbf r(x),R^{(N)}(x) \right\}. \tag{IV.50} \label{IV.50} \]

Wektor $\mathbf r(x)$ określa położenie punktu odniesienia przekroju, natomiast rotor $R^{(N)}(x)$ określa jego orientację. Rozdzielenie tych dwóch składników nie oznacza ich niezależności mechanicznej, lecz jednoznaczne rozdzielenie ich ról w opisie kinematycznym. Położenie i orientacja są zatem reprezentowane przez odrębne obiekty geometryczne, mimo że w rzeczywistym stanie pręta mogą pozostawać ze sobą sprzężone. Na rysunu  przedstawiono również przejście pomiędzy orientacją początkową a orientacją aktualną. W konfiguracji początkowej wersory $\mathbf E_i$ tworzą bazę związaną z przekrojem $P^{(0)}(x)$, natomiast w konfiguracji aktualnej odpowiadające im wersory $\boldsymbol{\ell}_i$ określają aktualne kierunki osi przekroju. Zmianę orientacji pomiędzy konfiguracją początkową i aktualną opisuje rotor względny $R_{\Delta}(x)$. Przy przyjętej konwencji składania obrotów zachodzi

\[ R^{(N)}(x)=R_{\Delta}(x)R^{(0)}(x). \tag{IV.51} \label{IV.51} \]

Wobec tego dla każdego z wersorów bazy początkowej zachodzi zależność

\[ \boldsymbol{\ell}_i(x) = R_{\Delta}(x)\, \mathbf E_i\, \widetilde{R}_{\Delta}(x),  \qquad i=1,2,3. \tag{IV.52} \label{IV.52} \]

Relacja ta pokazuje zasadniczą różnicę pomiędzy położeniem i orientacją. Położenie punktu odniesienia przekroju opisują wektory $\mathbf R(x)$, $\mathbf u(x)$ i $\mathbf r(x)$, natomiast orientację przekroju opisuje operator geometryczny, którego działanie na wersory bazy początkowej określa ich aktualne kierunki. Rotor nie jest więc dodatkowym parametrem przemieszczenia ani nową wielkością mechaniczną, lecz operatorem opisującym zmianę orientacji lokalnego układu przekroju. Istotne jest przy tym rozróżnienie pomiędzy samą orientacją a sposobem jej matematycznej reprezentacji. Orientacja przekroju jest własnością geometryczną jego konfiguracji, natomiast macierz cosinusów kierunkowych, kwaternion jednostkowy czy rotor stanowią różne sposoby reprezentowania operatora transformacji tej orientacji. W przyjętym ujęciu jako podstawowy obiekt geometryczny stosowany jest rotor, ponieważ pozwala on bezpośrednio opisać działanie obrotu na wersory lokalnego układu przekroju. Takie ujęcie pozwala zachować jednolity opis zarówno dla małych, jak i skończonych obrotów. Dla zachowania spójności pomiędzy zapisem geometrycznym stosowanym w głównym tekście a zapisem analitycznym stosowanym w dalszych wyprowadzeniach przyjęto konwencję, w której $x$ jest współrzędną bieżącą wzdłuż osi pręta, natomiast $y$ i $z$ są współrzędnymi lokalnymi w płaszczyźnie przekroju. W załączniku IV.A stosowana będzie dodatkowo notacja wskaźnikowa, w której pierwszej współrzędnej odpowiada kierunek osi pręta, czyli $1\equiv x$, a składowym przemieszczenia odpowiadają zależności $ u\equiv u_1,v\equiv u_2,w\equiv u_3. $ 

Opis orientacji przekroju

Lokalny układ współrzędnych przekroju

Geometryczny opis orientacji przekroju wymaga jednoznacznego określenia lokalnego układu współrzędnych związanego z przekrojem pręta. Lokalny układ współrzędnych przekroju oraz składowe przemieszczenia w konwencji technicznej przedstawiono wcześniej na rys. IV.5, natomiast jego położenie i orientację w konfiguracji początkowej i aktualnej przedstawiono na rys. IV.6. W konfiguracji początkowej z przekrojem przechodzącym przez punkt $P^{(0)}(x)$ związana jest lokalna baza

\[ \{\mathbf E_1,\mathbf E_2,\mathbf E_3\}, \qquad \mathbf E_i\cdot\mathbf E_j=\delta_{ij}. \tag{IV.53} \label{IV.53} \]

Wersor $\mathbf E_1$ określa kierunek osi pręta, natomiast $\mathbf E_2$ i $\mathbf E_3$ określają dwa kierunki w płaszczyźnie przekroju. Współrzędna $x$ określa bieżące położenie przekroju wzdłuż osi pręta, natomiast $y$ i $z$ są lokalnymi współrzędnymi punktu w płaszczyźnie przekroju. Wektor położenia punktu przekroju względem punktu odniesienia osi pręta można zatem zapisać jako

\[\mathbf x_\perp = y\mathbf E_2+z\mathbf E_3. \tag{IV.54} \label{IV.54}\]

Lokalna baza przekroju jest więc ortonormalna, a kierunek osiowy pręta jest odróżniony od dwóch kierunków leżących w płaszczyźnie przekroju. W dalszym wyprowadzeniu indeks $1$ odnosi się do kierunku osiowego pręta, natomiast indeksy $2$ i $3$ do kierunków w płaszczyźnie przekroju. W konfiguracji aktualnej odpowiadające bazie początkowej wersory przyjmują postać $ \{\boldsymbol{\ell}_1,\boldsymbol{\ell}_2,\boldsymbol{\ell}_3\}, $,  gdzie $\boldsymbol{\ell}_1$ określa aktualny kierunek osi pręta, a $\boldsymbol{\ell}_2$ i $\boldsymbol{\ell}_3$ określają aktualne kierunki osi przekroju. Na rys. IV.6 pokazano zmianę orientacji płaszczyzny przekroju, wyznaczonej przez kierunki $\boldsymbol{\ell}_2$ i $\boldsymbol{\ell}_3$.

Zmianę orientacji pomiędzy konfiguracją początkową i aktualną opisuje rotor względny $R_{\Delta}(x)$. Rotor odpowiadający konfiguracji początkowej $R^{(0)}(x)$ nie został przedstawiony na rys. IV.6 ze względu na czytelność schematu. Jest on konstruowany analogicznie do rotora przedstawionego dla przekroju w konfiguracji aktualnej i opisuje orientację lokalnego układu przekroju w konfiguracji początkowej. Rotor przedstawiony na rysunku dla konfiguracji aktualnej oznaczono przez $R^{(N)}(x)$. Przy przyjętej konwencji składania obrotów aktualny rotor opisujący orientację przekroju względem układu odniesienia jest związany z rotorem początkowym i rotorem względnym zależnością

\[ R^{(N)}(x) = R_{\Delta}(x)R^{(0)}(x). \tag{IV.55} \label{IV.55} \]

Aktualne wersory przekroju otrzymuje się natomiast z wersorów konfiguracji początkowej przez działanie rotora względnego:

\[ \boldsymbol{\ell}_i(x) = R_{\Delta}(x)\, \mathbf E_i\, \widetilde{R}_{\Delta}(x), \qquad i=1,2,3. \tag{IV.56} \label{IV.56} \]

Zależność ta ma bezpośrednią interpretację geometryczną: rotor względny przekształca każdy wersor lokalnego układu przekroju z konfiguracji początkowej w odpowiadający mu wersor w konfiguracji aktualnej. Oznaczenie rotora na rys. IV.6 należy zatem rozumieć jako geometryczną reprezentację obrotu przekroju. Rotor opisuje orientację przekroju poprzez działanie na jego lokalne osie i pozwala w jednym aparacie matematycznym opisywać zarówno małe, jak i skończone obroty. Nie jest on dodatkowym parametrem przemieszczenia ani nową wielkością mechaniczną, lecz operatorem opisującym zmianę orientacji lokalnego układu przekroju. Takie przedstawienie zachowuje zasadnicze rozdzielenie dwóch składników konfiguracji. Wektor $\mathbf r(x)$ opisuje <strong>położenie</strong> punktu odniesienia przekroju, natomiast rotor $R^{(N)}(x)$ opisuje jego <strong>orientację</strong>. Rozdzielenie to nie oznacza niezależności mechanicznej obu opisów. W rzeczywistym stanie pręta zmiana położenia i zmiana orientacji są związane z tym samym stanem deformacji, jednak w opisie geometrycznym pełnią odmienne role. W dalszej części głównego tekstu rotor będzie wykorzystywany przede wszystkim jako jednoznaczny sposób opisu orientacji przekroju. Formalne własności rotora, sposób jego działania na wektory, składanie obrotów oraz szczegółowe przejście pomiędzy orientacją początkową i aktualną zostały zestawione wcześniej w tab. IV.R, a ich pełny formalizm zostanie wykorzystany w Dodatku. Dzięki temu zasadniczy opis pręta może pozostać związany z intuicyjną interpretacją geometryczną przedstawioną na rys. IV.6. Przyjęta konwencja lokalnego układu współrzędnych stanowi również podstawę późniejszego zapisu analitycznego. Indeks $1$ odnosi się do kierunku osiowego pręta, natomiast indeksy $2$ i $3$ do kierunków w płaszczyźnie przekroju. W konsekwencji składowe oznaczane indeksami $12$ i $13$ będą odnosiły się odpowiednio do odkształceń postaciowych związanych z kierunkami $\mathbf E_2$ i $\mathbf E_3$.

W załączniku IV.A ta sama geometria zostanie zapisana w notacji wskaźnikowej, w której $1\equiv x,  u\equiv u_1,  v\equiv u_2,  w\equiv u_3. $ Tak zdefiniowany lokalny układ współrzędnych oraz operatorowy opis jego orientacji stanowią podstawę dalszego opisu pola przemieszczeń, odkształceń i naprężeń pręta cienkościennego. W następnym kroku zostanie wprowadzone wspólne pole przemieszczeń, z którego wynikają wszystkie składowe odkształcenia pręta.

Pole przemieszczeń  pręta cienkościennego Własowa–Timoshenko

W celu uzyskania pola przemieszczeń odpowiedniego dla cienkościennego pręta Własowa–Timoshenki przyjęto następujące założenia upraszczające:

• założenia Własowa, dotyczące kinematyki cienkościennego przekroju, w szczególności zachowania nieodkształcalnego konturu przekroju oraz uwzględnienia jego skręcania i deplanacji;
• uzupełniające założenie Timoshenk0, dotyczące kinematyki przekroju poprzecznego pręta, polegające na dopuszczeniu małych, lecz niepomijalnych odkształceń postaciowych poprzez niezależność obrotu przekroju od obrotu stycznej do osi pręta.

Podstawowe pole przmieszczeń pręta cienkościennego

Podstawową cechą przyjętej kinematyki jest  jedno wspólne pole przemieszczeń, obejmujące jednocześnie przemieszczenie osi odniesienia, zginanie, skręcanie oraz deplanację przekroju. Na obecnym etapie rozważane pole jest jednak <strong>polem przemieszczeń I rzędu</strong>. Oznacza to, że jego postać zawiera liniowe składniki kinematyczne związane z przemieszczeniami osi, obrotami przekroju oraz deplanacją. Nie wprowadzamy w tym miejscu dodatkowego pola przemieszczeń II rzędu. Ewentualne składniki wyższych rzędów będą rozpoznawane dopiero w dalszej analizie pełnej, nieliniowej miary odkształcenia oraz na podstawie warunków geometrycznych i fizycznych.

Przy przyjętych założeniach pole przemieszczeń I rzędu dowolnego punktu przekroju o współrzędnych $(x,y,z)$ ma postać

\[ \boxed{ \mathbf u(x,y,z)= \begin{Bmatrix} u_(x)+z\theta_y (x) – y\theta_z(x)-\psi(x)\omega(y,z)\\ v(x)-z\varphi(x)\\ w(x)+y\varphi(x) \end{Bmatrix} } \tag{IV.57}
\label{IV.57} \]

Równanie (\ref{IV.57}) zawiera wszystkie składniki I rzędu niezbędne do opisu przyjętej kinematyki. Składowe $u_x(x)$, $v(x)$ i $w(x)$ opisują przemieszczenie osi odniesienia odpowiednio w kierunkach osi $x$, $y$ i $z$. Składniki $z\theta_y(x)-y\theta_z(x)$ opisują zmianę przemieszczenia osiowego wynikającą z obrotów przekroju związanych ze zginaniem. Funkcje $\theta_y(x)$ i $\theta_z(x)$ opisują odpowiednio obroty przekroju związane z osiami $y$ i $z$.   Składniki $-z\varphi(x)$ oraz $y\varphi(x)$ opisują przemieszczenia poprzeczne wynikające ze skręcenia przekroju o kąt $\varphi(x)$ wokół osi pręta. Składnik $-\psi(x)\omega(y,z)$ opisuje deplanację przekroju w kierunku osi pręta. Funkcja $\omega(y,z)$ określa rozkład deplanacji w przekroju, natomiast $\psi(x)$ określa amplitudę tego rozkładu wzdłuż osi pręta

Istotne jest, że równanie (\ref{IV.57}) stanowi <strong>jedno pole przemieszczeń I rzędu</strong>. Nie wprowadza się osobnych pól kinematycznych dla odkształceń normalnych i postaciowych ani dodatkowego pola opisującego skręcanie lub deplanację. Wszystkie wielkości odkształceniowe są wyznaczane z tego samego pola przez odpowiednie różniczkowanie i operacje kinematyczne. W szczególności $\varphi(x)$ i $\psi(x)$ są odrębnymi zmiennymi kinematycznymi. $\varphi(x)$ opisuje obrót przekroju związany ze skręcaniem, natomiast $\psi(x)$ jest niezależną amplitudą deplanacji. Nie przyjmuje się zatem na poziomie pola przemieszczeń zależności $\psi(x)=\varphi'(x)$. Ewentualna zależność pomiędzy tymi wielkościami może wynikać dopiero z dalszych równań modelu, a nie z założenia samego pola przemieszczeń.

Pole (\ref{IV.57}) stanowi bezpośrednią podstawę do wyznaczenia gradientu przemieszczenia, a następnie odpowiedniej miary odkształcenia Biota. W przypadku zastosowania pełnej, nieliniowej miary Biota pojawią się również składniki kwadratowe i wyższych rzędów wynikające z gradientu tego samego pola przemieszczeń. Nie oznacza to jednak wprowadzenia odrębnego pola przemieszczeń II rzędu. Rozróżnienie pomiędzy rzędem pola przemieszczeń a rzędem składników miary odkształcenia jest w dalszym wyprowadzeniu zasadnicze.

Geometryczne uzupełnienie pola przemieszczeń

Uzupełnieniem pola przemieszczeń jest geometryczny zapis położenia dowolnego punktu przekroju w konfiguracji aktualnej $\Omega^{(N)}$. Położenie punktu $P$ otrzymujemy przez złożenie położenia osi odniesienia z położeniem punktu względem tej osi:

\[ \mathbf r_P(x,y,z) = \mathbf r(x) +y\,\boldsymbol{\ell}_2(x) +z\,\boldsymbol{\ell}_3(x) -\psi(x)\omega(y,z)\boldsymbol{\ell}_1(x). \tag{IV.58} \label{IV.58} \]

Wektor $\mathbf r(x)$ określa położenie osi odniesienia pręta w konfiguracji aktualnej. Składniki $y\boldsymbol{\ell}_2(x)+z\boldsymbol{\ell}_3(x)$ określają położenie punktu w płaszczyźnie aktualnego przekroju. Składnik $-\psi(x)\omega(y,z)\boldsymbol{\ell}_1(x)$ opisuje deplanację punktu przekroju w kierunku aktualnej osi $\boldsymbol{\ell}_1(x)$. Funkcja $\omega(y,z)$ pozostaje funkcją geometryczną przekroju, natomiast $\psi(x)$ jest amplitudą deplanacji wzdłuż osi pręta. Równanie (\ref{IV.58}) należy traktować jako geometryczne uzupełnienie pola przemieszczeń (\ref{IV.57}), a nie jako drugie, niezależne pole kinematyczne. Pokazuje ono związek pomiędzy polem przemieszczeń a aktualną konfiguracją punktu przekroju oraz pozwala interpretować rolę aktualnych wersorów $\boldsymbol{\ell}_i(x)$. Aktualne wersory przekroju wynikają z transformacji rotorowej opisanej wcześniej.

Przy przyjętym rozdzieleniu orientacji początkowej i aktualnej zachodzi $ R^{(N)}(x)=R_{\Delta}(x)R^{(0)}(x), $ Nnatomiast $\boldsymbol{\ell}_i(x) = R_{\Delta}(x)\mathbf E_i\widetilde{R}_{\Delta}(x),\, i=1,2,3.$ Zależności te zostały określone wcześniej i nie wymagają ponownego wyprowadzania w tym miejscu. W szczególności $\boldsymbol{\ell}_1(x)$ wyznacza aktualny kierunek osi pręta, natomiast $\boldsymbol{\ell}_2(x)$ i $\boldsymbol{\ell}_3(x)$ określają aktualne kierunki osi przekroju. 
Tak określone pole przemieszczeń I rzędu oraz odpowiadający mu opis aktualnego położenia punktu przekroju stanowią podstawę dalszego wyprowadzenia kinematycznego. Wszystkie dalsze wielkości odkształceniowe będą wyznaczane z pola (\ref{IV.57}), bez wprowadzania dodatkowego pola przemieszczeń. Następnym krokiem jest zatem wyznaczenie gradientu przemieszczenia, a następnie liniowej i nieliniowej części odpowiedniej miary odkształcenia Biota.

Znaczenie pola I rzędu dla dalszej analizy

Pole (\ref{IV.57}) jest kinematycznym punktem wyjścia do analizy zachowania pręta. Samo pole zawiera wyłącznie składniki I rzędu, natomiast zastosowanie pełnej miary odkształcenia pozwala ujawnić wynikające z niego składniki nieliniowe. W szczególności obecność dwóch niezależnych przemieszczeń poprzecznych osi, $v(x)$ i $w(x)$, pozwala opisywać odchylenie osi w dwóch kierunkach. Obecność obrotu skrętnego $\varphi(x)$ w obu poprzecznych składowych pola wiąże te dwa kierunki poprzez wspólną kinematykę skręcania. Z kolei obroty $\theta_y(x)$ i $\theta_z(x)$ występują w osiowej składowej pola i opisują zginanie w dwóch płaszczyznach. Niezależna amplituda $\psi(x)$ wraz z funkcją przekrojową $\omega(y,z)$ wprowadza do tego samego pola możliwość deplanacji przekroju. 

Tak skonstruowane pole pozwala zatem już na poziomie I rzędu reprezentować podstawowe mechanizmy kinematyczne pręta cienkościennego: przemieszczenie osi, zginanie w dwóch kierunkach, skręcanie oraz deplanację. Nie przesądza ono jednak jeszcze o postaci nieliniowych składników pola przemieszczeń. Te zostaną określone w dalszym etapie metodą półodwrotną, poprzez analizę pełnej miary Biota, analizę geometryczną oraz wykorzystanie znanych wyników dotyczących zachowania osiowo obciążonych prętów cienkościennych. W szczególności nie należy utożsamiać nieliniowych składników pojawiających się w tensorze Biota ze składnikami II rzędu pola przemieszczeń. Składniki te są najpierw konsekwencją zastosowania nieliniowej miary odkształcenia do pola (\ref{IV.57}); dopiero ich analiza będzie służyła do rozpoznania i późniejszego skonstruowania ewentualnych dodatkowych składników pełnego pola przemieszczeń.

Miary odkształcenia i uogólnione miary kinematyczne

Przyjęte pole położenia (\ref{IV.58}) oraz podstawowe pole przemieszczeń (\ref{IV.57}) stanowią podstawę wyznaczenia przestrzennego pola odkształceń pręta. W przypadku skończonych obrotów konieczne jest rozdzielenie zmiany orientacji przekroju od jego rzeczywistej deformacji. W niniejszej pracy rozdzielenie to realizujemy za pomocą rozkładu polarnego, a jako miarę deformacji przyjmujemy miarę Biota. Szczegółowe omówienie stosowanych miar odkształcenia, uzasadnienie wyboru miary Biota oraz wyprowadzenie jej liniowej części dla przyjętej kinematyki pręta Własowa–Timoshenki przedstawiono w Dodatku IV.A. Stosujemy lokalne składowe pola odkształcenia w aktualnym układzie $\{\boldsymbol{\ell}_1,\boldsymbol{\ell}_2,\boldsymbol{\ell}_3\}.$. Szczegółowe wyprowadzenie gradientu pola położenia oraz lokalnych składowych miary odkształcenia przedstawiono w Dodatku IV.A, (\ref{IV.A.11})–(\ref{IV.A.15}).

Rozważania prowadzimy w zakresie małych odkształceń, przy zachowaniu możliwości występowania skończonych obrotów. Liniową część tensora Biota można zapisać w postaci

\[\nabla\mathbf u \quad \longrightarrow\quad \mathbf E = \frac12 \left( \nabla\mathbf u+ \nabla\mathbf u^{T} \right). \tag{IV.59} \label{IV.59} \]

Otrzymana z przyjętego pola przemieszczeń osiowa składowa pola odkształcenia ma postać

\[ E_{11}^{(L)}(y,z) = \varepsilon +z\kappa_2 -y\kappa_3 -\psi'(x)\omega(y,z). \tag{IV.60} \label{IV.60} \]

W zapisie technicznym składowej tej odpowiada odkształcenie normalne $\varepsilon_x$. Poszczególne składniki mają bezpośrednią interpretację kinematyczną: $\varepsilon$ opisuje odkształcenie osiowe, składniki $z\kappa_2$ i $-y\kappa_3$ wynikają ze zginania względem odpowiednich osi przekroju, natomiast składnik $-\psi'(x)\omega(y,z)$ opisuje wpływ zmiany amplitudy deplanacji wzdłuż osi pręta. Lokalne odkształcenia postaciowe są oznaczane w zapisie technicznym przez $\gamma_{xy}$ i $\gamma_{xz}$. Wynikają one z tego samego pola przemieszczeń (\ref{IV.57}) i nie są wprowadzane jako niezależne pola kinematyczne.

Uogólnione miary kinematyczne pręta obejmują zatem odkształcenie osiowe, odkształcenia postaciowe, zmiany orientacji przekroju związane ze zginaniem i skręcaniem oraz pochodną amplitudy deplanacji. Ich pełny zestaw oraz szczegółowy związek z lokalnym trójwymiarowym polem odkształceń przedstawiono w Dodatku IV.A. Miary te są następnie wykorzystywane do redukcji przestrzennego pola odkształceń i naprężeń do uogólnionych sił oraz momentów przekrojowych. Zachowana zostaje zasadnicza hierarchia opisu: jedno kompletne pole przemieszczeń (\ref{IV.57}) prowadzi do przestrzennego pola odkształceń, którego odpowiednie składowe są następnie wyrażane za pomocą uogólnionych miar kinematycznych pręta.

Parametryzacja konturu przekroju cienkościennego

W opisie przekroju cienkościennego wygodnie jest zastąpić opis punktów konturu za pomocą dwóch współrzędnych przekroju $(y,z)$ parametryzacją za pomocą jednej współrzędnej konturowej $s$. Współrzędna $s$ określa położenie punktu na linii środkowej ścianki, a jego współrzędne w płaszczyźnie przekroju są funkcjami tej współrzędnej:

\[ y=y(s), \qquad z=z(s). \tag{IV.61} \label{IV.61} \]

Położenie punktu linii środkowej konturu w płaszczyźnie przekroju opisuje wektor

\[ \mathbf r_c(s) = \begin{Bmatrix} y(s)\\ z(s) \end{Bmatrix}. \tag{IV.62} \label{IV.62} \]

Współrzędna $s$ jest mierzona wzdłuż linii środkowej ścianki, zgodnie z przyjętym kierunkiem parametryzacji. Jeżeli $s$ jest długością łuku, wektor styczny do konturu ma składowe

\[ \mathbf t(s) = \begin{Bmatrix} t_2(s)\\ t_3(s) \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \dfrac{dy}{ds}\\[4pt] \dfrac{dz}{ds} \end{Bmatrix}, \qquad t_2^2+t_3^2=1. \tag{IV.63} \label{IV.63} \]

Parametryzacja $y(s)$ i $z(s)$ pozwala wszystkie wielkości opisujące geometrię oraz pola występujące na konturze zapisywać jako funkcje jednej współrzędnej:

\[ y=y(s), \qquad z=z(s), \qquad t_2=t_2(s), \qquad t_3=t_3(s). \tag{IV.64} \label{IV.64} \]

Dla przekroju cienkościennego o grubości $t(s)$ element pola przekroju, w przybliżeniu cienkościennym, można zapisać jako

\[dA=t(s)\,ds. \tag{IV.65} \label{IV.65} \]

Parametryzacja konturu stanowi przejście od opisu powierzchni przekroju do opisu jego linii środkowej. W dalszym wyprowadzeniu pozwala ona prowadzić całkowanie po konturze $\Gamma$, z uwzględnieniem rzeczywistego położenia punktów przekroju określonego przez funkcje $y(s)$ i $z(s)$.

W dalszej części przyjmujemy konsekwentnie, że wielkości związane z geometrią i stanem przekroju są funkcjami współrzędnej konturowej $s$. W szczególności funkcja wycinkowa, przepływ ścinający oraz grubość ścianki będą zapisywane odpowiednio jako

\[ \omega=\omega(s), \qquad q=q(s), \qquad t=t(s). \tag{IV.66} \label{IV.66} \]

Dla przekroju cienkościennego całkowanie po jego polu można w przybliżeniu cienkościennym zastąpić całkowaniem po linii środkowej $\Gamma$, z uwzględnieniem grubości ścianki $t(s)$. W szczególności:

\[\int_A dA = \int_\Gamma t(s)\,ds = A, \qquad \int_A z\,dA = \int_\Gamma z(s)t(s)\,ds = S_y, \tag{IV.67} \label{IV.67} \]

\[\int_A y\,dA = \int_\Gamma y(s)t(s)\,ds = S_z, \qquad \int_A \omega\,dA = \int_\Gamma \omega(s)t(s)\,ds = S_\omega. \tag{IV.68} \label{IV.68} \]

Tak zdefiniowana parametryzacja stanowi podstawę dalszego wyprowadzenia funkcji wycinkowej, przepływu ścinającego oraz charakterystyk geometrycznych przekroju cienkościennego.
 Pozwala ona prowadzić dalsze całkowanie po konturze $\Gamma$ z zachowaniem rzeczywistego położenia punktów przekroju oraz zmiennej grubości ścianki.

Siła osiowa i centralny układ współrzędnych

Całkowanie naprężenia osiowego wynikającego z pola odkształcenia (\ref{IV.60}) po polu przekroju prowadzi do siły osiowej

\[ \begin{aligned} N&=\bar E\int_A \left( \varepsilon+z\kappa_2-y\kappa_3-\psi’\omega \right)dA\\ &=\bar E\left[ \varepsilon\int_A dA +\kappa_2\int_A z\,dA -\kappa_3\int_A y\,dA -\psi’\int_A\omega\,dA \right]\\ &=\bar E\left( A\varepsilon+S_y\kappa_2-S_z\kappa_3-S_\omega\psi’ \right). \end{aligned} \tag{IV.69} \label{IV.69} \]

gdzie $\bar E$ oznacza zastępczy moduł Younga przyjęty w zredukowanym prawie materiałowym modelu cienkościennego.

Charakterystyki geometryczne związane z siłą osiową

W równaniu (\ref{IV.69}) zidentyfikowano następujące charakterystyki geometryczne przekroju:

\[\begin{aligned}
A&=\int_A dA =\int_\Gamma t(s)\,ds, &&\text{pole przekroju},\\
S_y&=\int_A z\,dA =\int_\Gamma z(s)t(s)\,ds, &&\text{moment statyczny względem osi }y,\\
S_z&=\int_A y\,dA =\int_\Gamma y(s)t(s)\,ds, &&\text{moment statyczny względem osi }z,\\
S_\omega&=\int_A\omega(y,z)\,dA =\int_\Gamma\omega(s)t(s)\,ds, &&\text{moment statyczny funkcji wycinkowej}.
\end{aligned} \tag{IV.70} \label{IV.70} \]

Charakterystyki te wynikają bezpośrednio z całkowania rzeczywistego pola przekroju. Dla przekroju cienkościennego, w przyjętym przybliżeniu, całkowanie po polu można zastąpić całkowaniem po linii środkowej $\Gamma$ z uwzględnieniem grubości ścianki $t(s)$, przy czym $ dA\approx t(s)\,ds.$

Środek ciężkości i centralny układ współrzędnych

Przyjęcie początku układu współrzędnych w środku ciężkości przekroju prowadzi do warunków

\[S_y=0,\qquad S_z=0. \tag{IV.71} \label{IV.71} \]

Układ współrzędnych $(y,z)$ jest wówczas układem centralnym. Warunki (\ref{IV.71}) dotyczą wyłącznie geometrii pola przekroju i nie odnoszą się do współrzędnej wycinkowej $\omega$. Nie powodują zatem automatycznie zaniku składnika zawierającego $S_\omega\psi’$.

W centralnym układzie współrzędnych równanie (\ref{IV.69}) przyjmuje postać

\[ N=\bar E\left(A\varepsilon-S_\omega\psi’\right). \tag{IV.72} \label{IV.72} \]

Przejście do układu centralnego eliminuje więc sprzężenie siły osiowej z krzywiznami $\kappa_2$ i $\kappa_3$, lecz nie eliminuje sprzężenia z amplitudą zmiany deplanacji.

Dopiero przyjęcie znormalizowanej współrzędnej wycinkowej, dla której $  S_\omega=\int_A\omega\,dA=0,$ prowadzi do postaci

\[ N=\bar E A\varepsilon.\tag{IV.73} \label{IV.73} \]

W centralnym układzie współrzędnych i przy znormalizowanej współrzędnej wycinkowej siła osiowa jest zatem związana wyłącznie z osiowym odkształceniem $\varepsilon$.

Momenty zginające i bimoment

Moment zginający względem osi $y$ wynosi

\[\begin{aligned} M_y&=\int_A z\,\sigma_x\,dA\\
&=\bar E\left( S_y\varepsilon +I_y\kappa_2 -I_{yz}\kappa_3 -I_{y\omega}\psi’ \right). \end{aligned} \tag{IV.74} \label{IV.74} \]

Moment zginający względem osi $z$ wynosi

\[ \begin{aligned} M_z &=-\int_A y\,\sigma_x\,dA\\ &=\bar E\left( -S_z\varepsilon -I_{yz}\kappa_2 +I_z\kappa_3 +I_{z\omega}\psi’ \right). \end{aligned}\tag{IV.75}
\label{IV.75}\]

Charakterystyki geometryczne związane z momentami zginającymi

W równaniach (\ref{IV.74}) i (\ref{IV.75}) występują charakterystyki geometryczne przekroju

\[\begin{aligned}I_y&=\int_A z^2\,dA =\int_\Gamma z^2(s)t(s)\,ds,&&\text{moment bezwładności względem osi }y,\\
I_z&=\int_A y^2\,dA =\int_\Gamma y^2(s)t(s)\,ds, &&\text{moment bezwładności względem osi }z,\\
I_{yz}&=\int_A yz\,dA =\int_\Gamma y(s)z(s)t(s)\,ds, &&\text{moment dewiacyjny przekroju względem osi }y,z,\\
I_{y\omega}&=\int_A z\,\omega(y,z)\,dA =\int_\Gamma z(s)\omega(s)t(s)\,ds, &&\text{wycinkowy moment statyczny względem osi }y,\\
I_{z\omega}&=\int_A y\,\omega(y,z)\,dA =\int_\Gamma y(s)\omega(s)t(s)\,ds, &&\text{wycinkowy moment statyczny względem osi }z.\end{aligned}
\tag{IV.76} \label{IV.76} \]

Charakterystyki $S_y$ i $S_z$ zostały zdefiniowane wcześniej w (\ref{IV.70}).

Główny centralny układ współrzędnych przekroju

Przyjmujemy centralny układ współrzędnych określony warunkami (\ref{IV.71}). Dodatkowo przyjmujemy, że osie $y$ i $z$ są głównymi osiami bezwładności przekroju, czyli

\[I_{yz}=0. \tag{IV.77} \label{IV.77} \]

Wybór centralnego układu współrzędnych eliminuje sprzężenie pomiędzy odkształceniem osiowym $\varepsilon$ a momentami zginającymi. Przyjęcie osi głównych dodatkowo eliminuje sprzężenie pomiędzy krzywiznami $\kappa_2$ i $\kappa_3$ poprzez moment dewiacyjny $I_{yz}$. W głównym centralnym układzie współrzędnych momenty zginające przyjmują zatem postać

\[ M_y=\bar E\left( I_y\kappa_2-I_{y\omega}\psi’ \right), \qquad M_z=\bar E\left( I_z\kappa_3+I_{z\omega}\psi’ \right). \tag{IV.78} \label{IV.78} \]

Wynika z tego, że wybór głównych osi bezwładności rozdziela dwa kierunki klasycznego zginania, lecz nie musi rozdzielać zginania od deplanacji. Sprzężenie tych mechanizmów jest opisane przez charakterystyki $I_{y\omega}$ i $I_{z\omega}$.

Bimoment

Bimoment wynika z tego samego pola naprężeń normalnych $\sigma_x$. Przy przyjętej konwencji znaków definiujemy go przez $B_\omega=-\int_A\omega(y,z)\,\sigma_x\,dA.$. Po podstawieniu pola naprężenia normalnego otrzymujemy

\[\begin{aligned}B_\omega&=-\int_A\omega\,\sigma_x\,dA\\
&=\bar E\left(-S_\omega\varepsilon-I_{y\omega}\kappa_2+I_{z\omega}\kappa_3+I_\omega\psi’\right).\end{aligned}\tag{IV.79}\label{IV.79}\]

Charakterystyki geometryczne związane z bimomentem

W formule (\ref{IV.79}) występują następujące charakterystyki geometryczne:

\[\begin{aligned}S_\omega&=\int_A\omega\,dA =\int_\Gamma\omega(s)t(s)\,ds,&&\text{moment statyczny funkcji wycinkowej},\\
I_{y\omega}&=\int_A z\omega\,dA =\int_\Gamma z(s)\omega(s)t(s)\,ds, &&\text{wycinkowy moment statyczny względem osi }y,\\
I_{z\omega} &=\int_A y\omega\,dA =\int_\Gamma y(s)\omega(s)t(s)\,ds, &&\text{wycinkowy moment statyczny względem osi }z,\\
I_\omega &=\int_A\omega^2\,dA =\int_\Gamma\omega^2(s)t(s)\,ds, &&\text{wycinkowy moment bezwładności}. \end{aligned} \tag{IV.80} \label{IV.80}\]

Normalizacja współrzędnej wycinkowej

Współrzędna wycinkowa $\omega$ jest określona z dokładnością do stałej addytywnej. Przyjmujemy jej normalizację poprzez warunek

\[S_\omega=\int_A\omega\,dA=0. \tag{IV.81} \label{IV.81} \]

Warunek (\ref{IV.81}) eliminuje sprzężenie pomiędzy odkształceniem osiowym $\varepsilon$ a bimomentem. Równanie (\ref{IV.79}) przyjmuje wówczas postać

\[B_\omega = \bar E\left( -I_{y\omega}\kappa_2 +I_{z\omega}\kappa_3 +I_\omega\psi’ \right). \tag{IV.82} \label{IV.82} \]

Główny punkt początkowy współrzędnej wycinkowej

Współrzędna wycinkowa $\omega$ jest określona z dokładnością do stałej addytywnej, dlatego jej początek można wybrać tak, aby spełniony był warunek normalizacji (\ref{IV.81}). Punkt $\mathbf O$, względem którego współrzędna wycinkowa spełnia ten warunek, nazywamy głównym punktem początkowym współrzędnej wycinkowej. Jeżeli $\omega’$ jest współrzędną wycinkową określoną względem dowolnego pomocniczego punktu początkowego $\mathbf O’$, to przejście do głównego punktu początkowego można zapisać jako

\[\omega=\omega’+\omega_O, \tag{IV.83} \label{IV.83} \]

gdzie $\omega_O$ jest stałą addytywną wynikającą ze zmiany początku współrzędnej wycinkowej. Z warunku (\ref{IV.81}) otrzymujemy $ 0= \int_A(\omega’+\omega_O)\,dA=
S_\omega’+\omega_OA,$, a zatem

\[\omega_O=-\frac{S_\omega’}{A}.\tag{IV.84}\label{IV.84} \]

W konsekwencji znormalizowana współrzędna wycinkowa ma postać

\[\omega = \omega’-\frac{S_\omega’}{A},\qquad S_\omega’=\int_A\omega’\,dA. \tag{IV.85} \label{IV.85} \]

Główny punkt początkowy $\mathbf O$ jest zatem punktem odniesienia, względem którego współrzędna wycinkowa zostaje znormalizowana tak, aby jej pierwszy moment po polu przekroju był równy zeru. Należy przy tym wyraźnie rozróżnić dwa niezależne warunki: $ S_y=S_z=0$, które określają centralny układ współrzędnych przekroju, oraz $ S_\omega=0$, który określa normalizację współrzędnej wycinkowej. Warunki te dotyczą różnych elementów opisu geometrycznego przekroju.

Momenty skręcające i charakterystyki wycinkowe

Przepływ ścinający $q(s)$ w  cienkościennego przekroju prętowym (np. rys. IV.5)  opisuje rozkład sił stycznych wzdłuż linii środkowej ścianki. Z jego całkowania wynikają zarówno siły poprzeczne, jak i moment skręcający względem osi pręta. W przypadku przekroju zamkniętego warunki równowagi nie wyznaczają jednoznacznie całego przepływu, ponieważ do przepływu podstawowego można dodać niezależną składową obiegową.

Przepływ ścinający, siły poprzeczne i moment skręcający

Na elementarnym odcinku $ds$ przepływ $q(s)$ daje siłę styczną $ dF_t=q(s)\,ds.$

Jeżeli $\mathbf t(s)$ jest jednostkowym wektorem stycznym do linii środkowej ścianki, to $\mathbf t(s)=t_2(s)\mathbf e_2+t_3(s)\mathbf e_3,$

a elementarna siła styczna ma postać

\[d\mathbf F=q(s)\mathbf t(s)\,ds. \tag{IV.86} \label{IV.86} \]

Całkowita siła poprzeczna wynikająca z przepływu ścinającego jest więc

\[ \mathbf V = \oint_\Gamma q(s)\mathbf t(s)\,ds, \tag{IV.87} \label{IV.87} \]

a jej składowe w kierunkach $\mathbf e_2$ i $\mathbf e_3$ wynoszą

\[ V_2=\oint_\Gamma q(s)t_2(s)\,ds, \qquad V_3=\oint_\Gamma q(s)t_3(s)\,ds. \tag{IV.88} \label{IV.88} \]

Moment skręcający względem osi pręta $\mathbf e_1$ wynika z momentu elementarnej siły $d\mathbf F$. Dla punktu konturu o współrzędnych $(y(s),z(s))$ otrzymujemy

\[ M_x = \oint_\Gamma \left[ y(s)t_3(s)-z(s)t_2(s) \right]q(s)\,ds. \tag{IV.89}  \label{IV.89}  \]

Zależności (\ref{IV.87})–(\ref{IV.89} ) pokazują, że siły poprzeczne i moment skręcający są wielkościami wynikowymi pola przepływu ścinającego. Nie są one wprowadzane niezależnie od tego pola, lecz wynikają z jego całkowania.

Przepływ ścinający w przekrojach zamkniętych i otwartych

Dla przekroju zamkniętego przepływ ścinający można przedstawić w postaci

\[q(s)=q_0(s)+q_c, \tag{IV.90}  \label{IV.90}  \]

gdzie $q_0(s)$ jest przepływem podstawowym wynikającym z warunków równowagi, natomiast $q_c$ jest dodatkową składową obiegową. Dla jednego zamkniętego obwodu, w klasycznym modelu cienkościennym, $q_c$ jest stały wzdłuż konturu. Wartość $q_c$ nie jest przyjmowana arbitralnie. Zostaje wyznaczona z warunku zgodności skręcania. Dla cienkościennego przekroju otwartego nie występuje zamknięty obwód, po którym mógłby płynąć niezależny przepływ obiegowy. Przyjmujemy zatem

\[ q_c=0, \qquad q(s)=q_0(s). \tag{IV.91} \label{IV.91} \]

Wspólny zapis $ q=q_0+q_c$ pozwala objąć jednym formalizmem przekroje otwarte i zamknięte. Różnica pomiędzy nimi wynika jednak z topologii konturu i związanych z nią warunków brzegowych. W przypadku przekroju otwartego składowa obiegowa zanika, natomiast w przypadku przekroju zamkniętego jej wartość jest wyznaczana z dodatkowego warunku zgodności kinematycznej.

Współrzędna wycinkowa

W równaniu (\ref{IV.90} ) występuje geometryczna kombinacja $ y\,t_3-z\,t_2. $

Ta sama kombinacja pojawia się przy definiowaniu współrzędnej wycinkowej. Wprowadzamy zatem $\omega(s)$ przez zależność

\[ \frac{d\omega}{ds} = y(s)t_3(s)-z(s)t_2(s). \tag{IV.92} \label{IV.92} \]

Ponieważ $[ dy=t_2(s)\,ds, \qquad dz=t_3(s)\,ds, $ równoważnie można zapisać $ d\omega=y\,dz-z\,dy.$ Po całkowaniu od przyjętego punktu początkowego $s_0$ otrzymujemy

\[\omega(s) = \omega(s_0) + \int_{s_0}^{s} \left[ y(\xi)t_3(\xi)-z(\xi)t_2(\xi) \right]d\xi. \tag{IV.93} \label{IV.93} \]

Wartość $\omega(s_0)$ określa stałą addytywną współrzędnej wycinkowej, a tym samym wybór jej punktu początkowego. Wprowadzenie współrzędnej wycinkowej prowadzi do charakterystyk $S_\omega$, $I_{y\omega}$, $I_{z\omega}$ i $I_\omega$, zdefiniowanych w (\ref{IV.80}).

Środek ścinania

Po wyznaczeniu przepływu ścinającego $q(s)$ można określić wynikające z niego siły poprzeczne oraz moment skręcający. Dla dowolnego punktu $P=(y_P,z_P)$ moment siły poprzecznej względem osi pręta wynosi

\[ M_x(P)=y_PV_3-z_PV_2. \tag{IV.94} \label{IV.94} \]

Jeżeli istnieje punkt $S=(y_S,z_S)$, dla którego moment siły poprzecznej jest równy momentowi wynikającemu z rzeczywistego przepływu ścinającego, to

\[M_x=y_SV_3-z_SV_2. \tag{IV.95} \label{IV.95} \]

Punkt $S$ nazywamy środkiem ścinania. Jego położenie wynika z rozkładu przepływu ścinającego i nie jest niezależnie przyjmowaną charakterystyką przekroju. Dla obciążenia działającego wyłącznie w kierunku $\mathbf e_2$, czyli $V_3=0$, otrzymujemy

\[ z_S=-\frac{M_x}{V_2}. \tag{IV.96} \label{IV.96} \]

Analogicznie, dla obciążenia działającego wyłącznie w kierunku $\mathbf e_3$, czyli $V_2=0$,

\[ y_S=\frac{M_x}{V_3}. \tag{IV.97} \label{IV.97} \]

Dla przekroju o dwóch osiach symetrii środek ścinania pokrywa się ze środkiem ciężkości. W przekroju niesymetrycznym na ogół tak nie jest.

Przepływ ścinający od sił poprzecznych

Aby wyznaczyć środek ścinania, należy najpierw określić przepływ $q(s)$ wywołany działaniem sił poprzecznych. Dla cienkościennego przekroju zmiana przepływu wzdłuż konturu jest związana ze zmianą naprężenia normalnego wzdłuż osi pręta. W przyjętej konwencji znaku zapisujemy

\[\frac{dq}{ds} = -t(s)\frac{\partial\sigma_x}{\partial x}. \tag{IV.98} \label{IV.98} \]

Dla wcześniej określonego pola naprężenia $ \sigma_x = \bar E \left( \varepsilon+z\kappa_2-y\kappa_3-\psi’\omega \right)$  otrzymujemy dla przekroju otwartego przepływ podstawowy w postaci

\[q_0(s) = -\int_{s_0}^{s} t(\xi) \frac{\partial\sigma_x}{\partial x}(\xi)\,d\xi, \tag{IV.99} \label{IV.99}\]

przy czym punkt $s_0$ może znajdować się na wolnym brzegu, gdzie przyjmuje się warunek $ q(s_0)=0.$

W przypadku przekroju zamkniętego warunek $q(s_0)=0$ nie może być narzucony w taki sam sposób, ponieważ kontur powraca do punktu początkowego. Wtedy przepływ ma postać $ q(s)=q_0(s)+q_c,$  a wartość $q_c$ wyznacza się z warunku zgodności skręcania.

Warunek zgodności skręcania przekroju zamkniętego

Dla przekroju zamkniętego sam warunek równowagi nie wystarcza do wyznaczenia przepływu $q(s)$. Brakującą informację dostarcza kinematyka skręcania. Wprowadzamy $\varphi(x)$ jako kąt obrotu przekroju wokół osi pręta, a jednostkowy kąt skręcenia określamy przez

\[\varphi’=\frac{d\varphi}{dx}. \tag{IV.100} \label{IV.100} \]

W cienkościennej ściance odkształcenie postaciowe jest związane z przepływem ścinającym przez zależność

\[ \gamma_{xs} = \frac{q(s)}{G\,t(s)}, \tag{IV.101} \label{IV.101} \]

gdzie $G$ jest modułem Kirchhoffa.

Dla zamkniętej linii środkowej ścianki otrzymujemy warunek zgodności

\[ \oint_\Gamma \frac{q(s)}{G\,t(s)}\,ds = 2A\varphi’, \tag{IV.102} \label{IV.102}
\]

gdzie $A$ jest polem powierzchni ograniczonej przez linię środkową zamkniętej ścianki. Po podstawieniu $ q(s)=q_0(s)+q_c$ otrzymujemy

\[ \oint_\Gamma \frac{q_0(s)}{G\,t(s)}\,ds + q_c \oint_\Gamma \frac{1}{G\,t(s)}\,ds = 2A\varphi’. \tag{IV.103} \label{IV.103} \]

Dla stałego modułu $G$ wartość przepływu obiegowego wynosi

\[ q_c = \frac{ 2AG\varphi’ – \oint_\Gamma\frac{q_0(s)}{t(s)}\,ds }{ \oint_\Gamma\frac{1}{t(s)}\,ds }. \tag{IV.104} \label{IV.104} \]

Wartość $q_c$ nie jest więc dodatkowym parametrem przyjmowanym niezależnie. Wynika z warunku zgodności skręcania i zależy zarówno od geometrii przekroju, jak i od przepływu podstawowego $q_0(s)$.

Przypadek czystego skręcania przekroju zamkniętego

W przypadku czystego skręcania, gdy przepływ podstawowy nie występuje $ q_0(s)=0,$ otrzymujemy

\[ q(s)=q_c=\mathrm{const}. \tag{IV.105} \label{IV.105} \]

Warunek zgodności przyjmuje wówczas postać

\[ q_c \oint_\Gamma \frac{ds}{G\,t(s)} = 2A\varphi’. \tag{IV.106} \label{IV.106} \]

Dla stałego $G$:

\[ q_c = \frac{2AG}{ \oint_\Gamma ds/t(s) } \,\varphi’. \tag{IV.107} \label{IV.107} \]

Moment skręcający wynikający ze stałego przepływu obiegowego wynosi

\[ M_x=2Aq_c. \tag{IV.108} \label{IV.108} \]

Jest to klasyczna zależność Bredta dla cienkościennego przekroju zamkniętego. Po połączeniu jej z warunkiem zgodności otrzymujemy

\[ M_x = \frac{2A^2 G}{ \oint_\Gamma ds/t(s) } \,\varphi’. \tag{IV.109} \label{IV.109} \]

Wprowadzając sztywność skrętną $GJ_t$ przez zależność $M_x=GJ_t\varphi’,$

$\Omega= 2A \text{podwojone pole przekroju zawarre wewnatrz zamkniętego przekroju}$, otrzymujemy

\[J_t = \frac{\Omega^2}{ \oint_\Gamma ds/t(s) }. \tag{IV.110} \label{IV.110} \]

Dla stałej grubości ścianki $t$:

\[ J_t = \frac{\Omega^2t}{L_\Gamma}, \qquad L_\Gamma=\oint_\Gamma ds. \tag{IV.111} \label{IV.111} \]

W powyższym opisie współrzędna $x$ pozostaje współrzędną osiową pręta, natomiast $s$ jest bieżącą współrzędną mierzoną wzdłuż linii środkowej konturu przekroju. Rozdzielenie tych dwóch współrzędnych jest zachowane konsekwentnie w całym wyprowadzeniu.

Sztywność skrętna przekroju otwartego

Dla przekroju otwartego nie występuje zamknięty obwód, a więc nie występuje również niezależna składowa obiegowa $q_c$. Skręcanie jest przenoszone przez naprężenia styczne rozwijające się w poszczególnych ściankach przekroju. Dla elementu ścianki o długości $ds$ i grubości $t(s)$, w klasycznym przybliżeniu cienkościennym, elementarna wartość stałej skrętnej wynosi

\[  dJ_t=\frac{1}{3}t^3(s)\,ds. \tag{IV.112} \label{IV.112} \]

Współczynnik $1/3$ wynika z rozwiązania dla prostokątnego przekroju cienkościennego o wymiarach $ds\times t(s)$, przy czym smukłość ścianki spełnia warunek $ \frac{ds}{t(s)}\ge 10$. Wynika to z rozwiązania dla prostokąta przedstawionego w tab. IV.2, dla którego przy dużej smukłości stosuje się przybliżenie  $ J_t=\frac{1}{3}t^3(s)\,ds.$

Po całkowaniu wzdłuż linii środkowej $\Gamma$ przekroju otwartego otrzymujemy

\[  J_t=\frac{1}{3}\int_\Gamma t^3(s)\,ds. \tag{IV.113} \label{IV.113} \]

Sztywność skrętna przekroju jest zatem określona zależnością

\[ M_t=GJ_t\varphi’, \tag{IV.114} \label{IV.114} \]

gdzie $G$ jest modułem Kirchhoffa, a $\varphi’$ jest jednostkowym kątem skręcenia. 

Dla stałej grubości ścianki otrzymujemy

\[ J_t=\frac{t^3}{3}L_\Gamma, \qquad L_\Gamma=\int_\Gamma ds. \tag{IV.115} \label{IV.115} \] 

W klasycznym ujęciu zależność (\ref{IV.113}) można otrzymać, traktując poszczególne ścianki jako elementy przekroju podlegające temu samemu jednostkowemu kątowi skręcenia oraz wykorzystując równowagę momentu skręcającego z sumą momentów przenoszonych przez poszczególne ścianki.

Wspólna formuła dla przekroju cienkościennego

W klasycznym modelu cienkościennym stała skrętna przekroju przyjmuje dwie podstawowe postacie:

\[  J_t= \begin{cases}
\frac{\Omega^2} { \oint_\Gamma ds/t(s)}, & \text{przekrój zamknięty jednokomórkowy},\\[12pt] \frac{1}{3}\int_\Gamma t^3(s)\,ds, & \text{przekrój otwarty}. \end{cases}\tag{IV.116} label{IV.116} \] 

gdzie:
$ \Omega=2\cdot A$,
$A$  pole obszaru ograniczonego linią środkową ścianki przekroju zamkniętego.

Obie zależności prowadzą do takiego samego związku

\[ M_t=GJ_t \varphi’, \tag{IV.116}  \label{IV.116}   \] 

ale wynikają z różnych warunków kinematycznych i topologii przekroju. Dla przekroju zamkniętego występuje obiegowy przepływ naprężeń stycznych, natomiast dla przekroju otwartego moment skręcający jest przenoszony przez naprężenia styczne rozwijające się w poszczególnych ściankach.

Rozdzielenie skręcania

Znając położenie środka ścinania $S=(y_S,z_S)$, można rozdzielić całkowity moment skręcający na moment przyłożony bezpośrednio oraz moment wynikający z przyłożenia siły poprzecznej poza środkiem ścinania. Dla siły poprzecznej $ \mathbf V=V_2\mathbf e_2+V_3\mathbf e_3$ przyłożonej w punkcie $P=(y_P,z_P)$ dodatkowy moment skręcający względem osi pręta wynosi

\[M_x^{(V)} = (y_P-y_S)V_3-(z_P-z_S)V_2. \tag{IV.117}  \label{IV.117}  \]

Całkowity moment skręcający wynikający z obciążenia można zatem zapisać jako

\[ M_x=M_x^{(0)}+M_x^{(V)}, \tag{IV.118}  \label{IV.118}  \]

gdzie $M_x^{(0)}$ jest momentem skręcającym przyłożonym bezpośrednio w odniesieniu do środka ścinania, natomiast $M_x^{(V)}$ jest momentem wynikającym z działania siły poprzecznej poza środkiem ścinania.

Skręcanie Saint-Venanta i skręcanie wycinkowe

W przypadku skręcania Saint-Venanta zależność między momentem skręcającym a jednostkowym kątem skręcenia ma postać

\[ M_t=GJ_t\varphi’, \tag{IV.119}  \label{IV.119}  \]

gdzie $J_t$ jest stałą skrętną przekroju.

W teorii Własowa skręcanie pręta cienkościennego obejmuje jednak również skręcanie wycinkowe związane z deplanacją przekroju. Odpowiadającą mu wielkością siłową jest bimoment $B_\omega$, zdefiniowany wcześniej przez

\[ B_\omega = \bar E \left( I_{y\omega}\kappa_2 -I_{z\omega}\kappa_3 -I_\omega\psi’ \right). \tag{IV.120}  \label{IV.120}  \]

Zmienność bimomentu wzdłuż osi pręta prowadzi do dodatkowego momentu skręcającego. Przy przyjętej konwencji znaków definiujemy moment giętno-skrętny przez

\[ M_\omega=-\frac{dB_\omega}{dx}. \tag{IV.121}  \label{IV.121}  \]

Całkowity moment skręcający przekroju można zatem rozpatrywać jako sumę momentu Saint-Venanta oraz momentu giętno-skrętnego:

\[ M_x=M_t+M_\omega. \tag{IV.122}  \label{IV.122}  \]

Po uwzględnieniu momentu wynikającego z działania siły poprzecznej poza środkiem ścinania otrzymujemy

\[M_x^{(0)}+M_x^{(V)} = GJ_t\varphi’ -\frac{dB_\omega}{dx}. \tag{IV.123}  \label{IV.123}  \]

Zależność (\ref{IV.123} ) pokazuje, że w pełnym opisie skręcania pręta występują dwa mechanizmy: skręcanie Saint-Venanta, opisane przez $GJ_t\varphi’$, oraz skręcanie wycinkowe, opisane przez zmianę bimomentu wzdłuż osi pręta. W przypadku, gdy siła poprzeczna działa w środku ścinania, zachodzi $ M_x^{(V)}=0,$ a równanie (\ref{IV.123} ) przyjmuje postać

\[M_x^{(0)} = GJ_t\varphi’ -\frac{dB_\omega}{dx}. \tag{IV.124}  \label{IV.124}  \]

W ten sposób rozdzielone zostają dwa niezależne mechanizmy przenoszenia momentu skręcającego: lokalne skręcanie Saint-Venanta, związane z przepływem ścinającym w ściankach, oraz skręcanie wycinkowe, związane z deplanacją przekroju i zmiennością bimomentu wzdłuż osi pręta.

Natura bimomentu oraz jego transformacja — ujęcie mechaniczne i geometryczne

Bimoment należy rozpatrywać jako wielkość wynikającą z pola naprężeń normalnych pręta i związaną z ograniczeniem jego deplanacji. Wcześniej zdefiniowaliśmy go przez całkę $ [B_\omega=\int_A\omega\,\sigma_x\,dA.$. (\ref{IV.80}).
W przyjętej prezentacji wartość $B_\omega$ jest skalarnym współczynnikiem określającym intensywność efektu bimomentowego, natomiast pełna reprezentacja geometryczna bimomentu wymaga uwzględnienia jego orientacji. W przestrzeni trójwymiarowej naturalnym obiektem reprezentującym zorientowaną parę momentów jest biwektor. Przez dualność w przestrzeni trójwymiarowej może on być przedstawiony również za pomocą odpowiadającego mu pseudowektora osiowego. Nie należy zatem utożsamiać bimomentu wyłącznie z liczbą (skalarem) $B_\omega$.

W zastosowanym w pracy rotorowym opisie deplacaji przekroju   należy rozdzielić obiekt geometryczny od operatora, który zmienia jego orientację. Rotor nie jest wektorem ani pseudowektorem. Jest elementem algebry reprezentującym obrót. Doran (1994) [31] zapisuje transformację wektora przez rotor w postaci $\mathbf a’=R\,\mathbf a\,\widetilde R,$ przy czym  zachodzi $ R\widetilde R=\widetilde R R=1,\qquad R^{-1}=\widetilde R.$  Istotna dla naszej analizy jest własność, że transformacja rotorowa zachowuje strukturę iloczynu geometrycznego:

\[(R\mathbf a\widetilde R)(R\mathbf b\widetilde R)=R(\mathbf a\mathbf b)\widetilde R.\tag{IV.125}  \label{IV.125}  \]

Oznacza to, że działanie rotora nie ogranicza się do pojedynczych wektorów. Ta sama operacja może być stosowana do obiektów wyższego stopnia, w szczególności do biwektorów. Jest to bezpośrednia konsekwencja własności iloczynu geometrycznego przedstawionych przez Dorana.

Bimoment jako biwektor

Jeżeli lokalna baza przekroju ma postać $(\mathbf e_x,\mathbf e_y,\mathbf e_z)$, przy czym $\mathbf e_x$ jest kierunkiem osi pręta, geometryczną reprezentację bimomentu można zapisać jako

\[\mathcal B_\omega=B_\omega\,\mathbf e_y\wedge\mathbf e_z. \tag{IV.126}  \label{IV.126}  \]

Biwektor $\mathbf e_y\wedge\mathbf e_z$ określa zorientowaną płaszczyznę przekroju, natomiast liczba $B_\omega$ określa wartość bimomentu. W ten sposób rozdzielone zostają dwie informacje:wartość oraz orientacja geometryczna

W przestrzeni trójwymiarowej biwektor $\mathbf e_y\wedge\mathbf e_z$ ma dualną reprezentację osiową związaną z kierunkiem $\mathbf e_x$. Można więc wprowadzić odpowiadający mu pseudowektor $ \mathbf b_\omega=B_\omega\mathbf e_x. $ . Biwektor i pseudowektor nie są dwiema różnymi wielkościami mechanicznymi. Są dwiema reprezentacjami tego samego obiektu geometrycznego, związanymi operacją dualności.

Transformacja biwektorowej reprezentacji bimomentu

Jeżeli zmianę orientacji lokalnego układu przekroju opisuje rotor $R$, to biwektorowa reprezentacja bimomentu transformuje się zgodnie z ogólnym prawem algebry Clifforda:

\[\mathcal B_\omega^{\,\prime}=R\,\mathcal B_\omega\,\widetilde R.\tag{IV.127} \label{IV.127} \]

Jest to transformacja geometrycznej reprezentacji bimomentu. Nie jest ona dodatkowym prawem mechanicznym określającym wartość bimomentu przekazywanego przez rzeczywisty węzeł. Jeżeli

\[ \mathcal B_\omega = B_\omega\,\mathbf e_y\wedge\mathbf e_z, \qquad \mathcal B_\omega’ = B_\omega’\, R\!\left(\mathbf e_y\wedge\mathbf e_z\right)\widetilde R. \tag{IV.128}  \label{IV.128}  \]

Wartość $B_\omega$ pozostaje w tym zapisie współczynnikiem przy transformowanym obiekcie bazowym. Rotor zmienia jego orientację, ale sam w sobie nie stanowi prawa zmiany wartości bimomentu.

Rotor i biwektor generatora obrotu

Należy przy tym odróżnić biwektor bimomentu $\mathcal B_\omega$ od biwektora generatora obrotu, który występuje w definicji rotora. Doran przedstawia rotor w postaci wykładniczej $ R=\exp(\mathbf B_R/2),$ , gdzie $\mathbf B_R$ jest biwektorem określającym płaszczyznę i wielkość obrotu. Dla obrotu o kąt $\theta$ wokół osi $x$ otrzymujemy

\[ R= \cos\frac{\theta}{2} + \mathbf e_y\mathbf e_z \sin\frac{\theta}{2}. \tag{IV.129}  \label{IV.129}  \]

Występujący tutaj czynnik $1/2$ jest właściwością reprezentacji obrotu przez rotor i nie oznacza, że rzeczywisty obrót przekroju wynosi $\theta/2$. Rzeczywisty obrót wektora uzyskuje się dopiero przez działanie $ \mathbf a’=R\mathbf a\widetilde R. $. W naszej teorii występują zatem dwa różne biwektory: $ \mathbf B_R \qquad\text{— biwektor określający obrót,} $, $ \mathcal B_\omega \qquad\text{— biwektor reprezentujący bimoment.} $  Nie należy ich utożsamiać. Pierwszy określa transformację orientacji, drugi opisuje geometryczną reprezentację wielkości statycznej.

Reprezentacja pseudowektorowa

W przestrzeni trójwymiarowej tę samą transformację można przedstawić w reprezentacji dualnego pseudowektora. Jeżeli $\mathbf b_\omega=B_\omega\mathbf e_x,$ to po obrocie opisanym przez rotor $R$ otrzymujemy

\[ \mathbf b_\omega^{\,\prime}=R\,\mathbf b_\omega\,\widetilde R=B_\omega R\mathbf e_x\widetilde R.\tag{IV.130} \label{IV.130}  \]

Jeżeli obrócony kierunek osi oznaczymy przez $\mathbf e_x^{\,\prime} = R\mathbf e_x\widetilde R, $, to otrzymujemy

\[ \mathbf b_\omega^{\,\prime} = B_\omega\mathbf e_x^{\,\prime}. \tag{IV.131}  \label{IV.131}  \]

Zatem przy samym obrocie zmienia się orientacja pseudowektorowej reprezentacji bimomentu, natomiast jego współczynnik $B_\omega$ nie jest przez ten obrót zmieniany.

Transformacja geometryczna a transmisja mechaniczna

W tym miejscu należy wprowadzić zasadnicze rozróżnienie, które ma podstawowe znaczenie dla dalszej teorii. Równanie $ \mathcal B_\omega^{\,\prime}=R\mathcal B_\omega\widetilde R$ opisuje geometryczną transformację reprezentacji bimomentu. Nie określa natomiast, jaka wartość bimomentu wystąpi po drugiej stronie rzeczywistego połączenia. W szczególności nie można na jego podstawie przyjąć automatycznie $B_{\omega2}=B_{\omega1}.$.Relacja ta jest zagadnieniem mechaniki pręta i połączenia. Musi wynikać z warunków równowagi oraz z warunków kinematycznych określających zgodność pola przemieszczeń, w tym zgodność paczenia przekrojów. Możemy więc rozdzielić dwa zagadnienia:

$ \text{rotor} \;\longrightarrow\;\text{transformacja orientacji reprezentacji bimomentu}$ oraz
$ \text{kinematyka + równowaga}\;\longrightarrow\;\text{transmisja wartości bimomentu}.$

Jest to jeden z najważniejszych wniosków naszej analizy. Pozwala uniknąć utożsamienia geometrycznego prawa transformacji z prawem mechanicznym dotyczącym rzeczywistego połączenia.

Bimoment w ujęciu mechaniki teoretycznej

Przejście od algebry Clifforda do mechaniki teoretycznej pozwala nadać transformacji bimomentu pełne znaczenie mechaniczne. W klasycznej mechanice teoretycznej dwa układy sił są równoważne, jeżeli mają tę samą wypadkową siłę oraz ten sam moment wypadkowy względem przyjętego punktu redukcji. Dla pręta cienkościennego taki opis nie wyczerpuje jednak informacji mechanicznej związanej z paczeniem przekroju. Oprócz siły osiowej, sił poprzecznych i momentów pojawia się dodatkowa wielkość statyczna — bimoment. Możemy więc zapisać uogólniony zestaw wielkości przekrojowych jako

\[ \mathcal S=\left(N,\,V_2,\,V_3,\,M_2,\,M_3,\,M_x,\,B_\omega\right).\tag{IV.132}  \label{IV.132}  \]

Bimoment nie jest kolejną składową klasycznego wektora siły ani klasycznego wektora momentu. Jest dodatkową wielkością statyczną wynikającą ze specyficznej kinematyki pręta cienkościennego i z rozkładu naprężeń normalnych po przekroju.

Równoważność układów sił i bimoment według Piechnika

Wprowadzenie bimomentu można uzasadnić również poprzez rozszerzenie pojęcia równoważności układów sił. Takie ujęcie zostało przedstawione przez Piechnika (1978) [32] z 1978 r., a następnie rozwinięte w pracy [16]. W ujęciu Piechnika dla pręta cienkościennego sama równość wypadkowych sił i momentów nie wyczerpuje warunku równoważności. Należy dodatkowo uwzględnić bimoment. Dla dwóch układów sił $(A)$ i $(B)$ sprowadzonych do tego samego punktu redukcji $R$ warunek można zapisać w postaci

\[ S(A)=S(B), \qquad M_R(A)=M_R(B), \qquad B_\omega (A)=B_\omega(B). \tag{IV.133}  \label{IV.133}  \]

Pierwszy warunek oznacza równość wypadkowych sił, drugi — równość momentów, natomiast trzeci rozszerza klasyczne pojęcie równoważności o efekt związany z paczeniem przekroju.

Bimoment został wyprowadzony bezpośrednio z pola naprężeń normalnych $B_\omega = \int_A\omega\,\sigma_x\,dA.$. Otrzymujemy zatem ważną zgodność dwóch sposobów opisu: $ \text{pole naprężeń} \;\longrightarrow\; N,\;M_2,\;M_3,\;B_\omega$  oraz $ \text{redukcja układu sił} \;\longrightarrow\; S,\;M_R,\;B_\omega. $. Nie są to dwa różne bimomenty. Jest to ta sama wielkość statyczna uzyskana z dwóch stron: z redukcji układu sił oraz z całkowania pola naprężeń.

Znaczenie twierdzenia Piechnika 

Znaczenie twierdzenia Piechnika dla niniejszej pracy jest szersze niż samo wprowadzenie dodatkowego warunku równoważności. Wcześniejsze wyprowadzenie pokazało, że $ B_\omega=\int_A\omega\sigma_x\,dA$ wynika bezpośrednio z pola naprężeń normalnych. Piechnik natomiast pokazuje, że ta sama wielkość musi być uwzględniona przy mechanicznym opisie równoważności układów sił dla cienkościennej linii materialnej. Otrzymujemy więc dwa niezależne uzasadnienia tej samej wielkości:

\[ {\text{mechanika kontinuum}\;\longrightarrow\;B_\omega \text{  oraz  mechanika układów sił}\;\longrightarrow\;B_\omega.}\]

Jest to istotne dla naszej konstrukcji teoretycznej, ponieważ bimoment nie zostaje wprowadzony jako dodatkowa, arbitralna wielkość teorii Własowa. Wynika on zarówno z redukcji pola naprężeń, jak i z rozszerzonego warunku równoważności układów sił.

Równoważność mechaniczna a transformacja rotorowa

Twierdzenie Piechnika nie jest prawem transformacji układu współrzędnych. Dotyczy równoważności mechanicznej układów sił. Rotor opisuje natomiast transformację geometryczną obiektu. Możemy więc zapisać dwa odrębne poziomy opisu:

\[ \mathcal B_\omega’=R\mathcal B_\omega\widetilde R}\qquad\text{— transformacja geometryczna,} \text{  oraz  }

\[ {S(A)=S(B),\qquad M_R(A)=M_R(B),\qquad B_\omega(A)=B_\omega(B)} \]

— warunek równoważności mechanicznej.

Rotor mówi więc, jak obiekt jest zorientowany, natomiast twierdzenie Piechnika mówi, kiedy dwa układy obciążeń mają równoważny efekt mechaniczny dla rozpatrywanego pręta cienkościennego.

Dopiero połączenie obu poziomów daje pełny opis problemu transformacji bimomentu.

Przypadek prostego, ciągłego pręta

Rozważmy najpierw prosty, jednorodny pręt cienkościenny, którego oś jest ciągła klasy $C^1$, bez skoku geometrii i sztywności. Jeżeli zachowana jest zgodność pola paczenia, układ wycinkowy jest konsekwentnie znormalizowany, a w szczególnym przypadku $N=0$, transformacja kolejnych lokalnych przekrojów może być opisana przez rotor bez zmiany współczynnika $B_\omega$. W takim przypadku można mówić o szczególnej, skalarnej transmisji wartości bimomentu $ B_{\omega2}=B_{\omega1}$ podczas gdy geometryczna reprezentacja bimomentu zmienia orientację zgodnie z

\[\mathcal B_{\omega2}=R\mathcal B_{\omega1}\widetilde R.\]

Nie oznacza to jednak, że bimoment jest zwykłym skalarem. Oznacza jedynie, że w tym szczególnym przypadku jego współczynnik skalarny pozostaje zachowany, podczas gdy orientacja pełnego obiektu geometrycznego zmienia się wraz z osią pręta. Jest to ważne rozróżnienie dla dalszej części pracy:

\[ {\text{skalarna niezmienność }B_\omega\neq\text{skalarna natura całego bimomentu}.}\]

Przypadek załamanie osi dwóch prętów

Rozważmy teraz dwa dwuteowniki połączone pod kątem $\alpha$. Lokalna oś drugiego pręta jest związana z osią pierwszego przez rotor $R_\alpha$:

\[\mathbf e_{x2}=R_\alpha\mathbf e_{x1}\widetilde R_\alpha.\tag{IV.134} \label{IV.134} \]

Równanie to określa zmianę orientacji geometrycznej. Nie mówi jednak, czy bimoment zostanie w całości przekazany przez miejsce połączenia.

Aby przyjąć $[B_{\omega2}=B_{\omega1},$ należy dodatkowo wykazać równoważność mechaniczną układów po obu stronach połączenia oraz zgodność pola paczenia. Jeżeli połączenie zapewnia pełną nierozdzielność pola przemieszczeń i odpowiadające sobie pola wycinkowe są zgodne, można wprowadzić amplitudy deplanacji $\Theta_1$ i $\Theta_2$ oraz warunek $ \Theta_1=\Theta_2.$ Równość ta jest jednak warunkiem kinematycznym, a nie równaniem równowagi. Dopiero połączenie jej z równowagą pozwala określić transmisję bimomentu. Możemy więc zapisać zasadniczą strukturę:

\[ {\text{równowaga}+\text{zgodność deplanacji}\;\longrightarrow\;\text{transmisja bimomentu}.}\]

Przypadek idealnego sztywmego węzła dwóch prętów połączonych pod kątem

Rozważmy dwa identyczne dwuteowniki połączone czołowo pod kątem $\alpha$, przy czym pasy są połączone z pasami, a środnik ze środnikiem. Załóżmy idealny model, w którym połączenie nie wykazuje lokalnej deformacji i zapewnia pełną nierozdzielność pola przemieszczeń. W pierwszym pręcie zapisujemy

\[\mathcal B_{\omega1}=B_{\omega1}\mathbf e_{y1}\wedge\mathbf e_{z1}.\]

Jeżeli drugi pręt uzyskujemy przez obrót o rotor $R_\alpha$, jego lokalna baza spełnia

\[ \mathbf e_{x2} = R_\alpha\mathbf e_{x1}\widetilde R_\alpha, \qquad \mathbf e_{y2} = R_\alpha\mathbf e_{y1}\widetilde R_\alpha,  \qquad \mathbf e_{z2} = R_\alpha\mathbf e_{z1}\widetilde R_\alpha. \]

Geometryczna reprezentacja bimomentu po drugiej stronie jest zatem

\[ \mathcal B_{\omega2} = R_\alpha \mathcal B_{\omega1} \widetilde R_\alpha. \]

Jeżeli dodatkowo pola wycinkowe są wzajemnie zgodne, a pole deplanacji przechodzi przez połączenie bez lokalnej deformacji, otrzymujemy

\[ B_{omega2}=B_{\omega1}, \]

z uwzględnieniem przyjętych zwrotów dodatnich osi obu prętów. W tym szczególnym przypadku można powiedzieć:

\[ \text{wartość bimomentu przechodzi bez zmiany,} \quad \text{natomiast jego orientacja zmienia się wraz z osią pręta}. \]

Nie jest to jednak konsekwencja samego obrotu. Jest to wynik jednoczesnego spełnienia warunku transformacji geometrycznej oraz warunku mechanicznej zgodności.

Pręty pod kątem ( węzeł załamany )

Kąt $\alpha$ pomiędzy osiami prętów nie zmienia sam przez się wartości bimomentu w idealnym modelu geometrycznym. Zmienia jednak orientację jego reprezentacji oraz sposób, w jaki siły związane z bimomentem muszą zostać przekazane przez miejsce połączenia. Właśnie tutaj ujawnia się znaczenie naszej analizy. W przypadku osi ciągłej rotor opisuje płynne przejście jednej lokalnej bazy w drugą. Przy ostrym załamaniu osi mamy natomiast dwa różne lokalne układy prętowe połączone w jednym miejscu. Sam rotor nie dostarcza informacji o lokalnym stanie naprężenia i odkształcenia w tym miejscu. Jeżeli rzeczywisty węzeł jest wykonany z blach, występują dodatkowo lokalne mechanizmy deformacji, w szczególności:

\[\text{zginanie pasów}, \qquad \text{wzmożone ścinanie środnika}, \qquad \text{lokalna deformacja obszaru połączenia}.\]

Dlatego nawet połączenie idealnie sztywne w sensie globalnych przemieszczeń nie musi być równoważne bezpośredniemu połączeniu dwóch idealnych przekrojów prętowych w zakresie paczenia. To jest istotny punkt naszej teorii: sztywność globalna węzła nie jest automatycznie równoznaczna z nieskończoną sztywnością w zakresie paczenia.

Zgodność pola deplanacji

W miejscu połączenia należy więc rozpatrywać nie tylko amplitudy $\Theta_1$ i $\Theta_2$, lecz przede wszystkim całe pola przemieszczeń osiowych związanych z paczeniem.W uproszczonym modelu:

\[u_{x1}^{(\omega)} = -\Theta_1\omega_1, \qquad u_{x2}^{(\omega)} = -\Theta_2\omega_2. \]

Jeżeli węzeł jest idealnie nierozdzielny, warunek zgodności ma postać

\[ u_{x1}^{(\omega)} = u_{x2}^{(\omega)}. \]

Dopiero jeżeli $\omega_1$ i $\omega_2$ opisują to samo pole deplanacji po odpowiedniej transformacji geometrycznej, warunek ten redukuje się do

\[ \Theta_1=\Theta_2. \]

Jest to ważny warunek naszej dalszej konstrukcji MES. Nie należy narzucać równości $\Theta_1=\Theta_2$ tylko dlatego, że oba pręty są połączone w jednym węźle. Należy najpierw wykazać, że rzeczywiste połączenie wymusza zgodność odpowiednich pól paczenia.

Węzeł rzeczywisty i sztywność paczenia

Jeżeli w miejscu połączenia występuje lokalna deformacja blach, żeber, spoin lub innych elementów, może pojawić się różnica $\Theta_1-\Theta_2.$ Różnica ta reprezentuje deformację paczenia obszaru połączenia. W modelu prętowym można ją odwzorować za pomocą dyskretnego elementu węzłowego. W najprostszym modelu liniowym:

\[B_J = K_\omega(\Theta_1-\Theta_2). \tag{IV.135}  \label{IV.135}  \]

W granicy $  K_\omega\rightarrow\infty $ otrzymujemy idealną więź  $Theta_1-\Theta_2=0.$ Dla skończonego $K_\omega$ występuje podatność paczenia połączenia. XWartość $K_\omega$ nie jest więc uniwersalną stałą pręta. Jest charakterystyką konkretnego sposobu połączenia. Może zależeć między innymi od geometrii węzła, grubości i sztywności pasów oraz środnika, sposobu połączenia, spoin, żeber oraz kąta pomiędzy osiami prętów.

Znaczenie dla modelu MES

W świetle powyższej analizy dodatkowy stopień swobody paczenia w elemencie skończonym nie jest sztucznym rozszerzeniem klasycznej teorii pręta. Wynika on bezpośrednio z faktu, że rozszerzony opis równoważności wymaga dodatkowej wielkości statycznej $B_\omega$. Otrzymujemy naturalną parę zmiennych statyczno-kinematycznych:

\[\Theta\;\longleftrightarrow\;B_\omega \tag{IV.136}  \label{IV.136}  \]

analogicznie do klasycznych par

\[ u\leftrightarrow N, \qquad \varphi\leftrightarrow M.\tag{IV.137}  \label{IV.137}  \]

W konsekwencji element prętowy może posiadać dodatkowy stopień swobody związany z paczeniem. W węźle idealnym stosuje się więz $ \Theta_1-\Theta_2=0,$ natomiast w węźle podatnym można zastosować dodatkowy element dyskretny o sztywności $K_\omega$. Jest to szczególnie istotne w przypadku prętów połączonych pod kątem. Zamiast zakładać z góry uniwersalne prawo

\[ B_{\omega2}=B_{\omega1}, \tag{IV.138}  \label{IV.138}  \]

model MES może pozostawić transmisję bimomentu jako wynik rozwiązania układu równań równowagi i zgodności.

Trzy poziomy modelowania

Możemy więc wyróżnić trzy poziomy opisu:
 $ [ \text{pręt ciągły} \Downarrow \text{transformacja rotorowa}]$
$ [ \text{węzeł idealny} \Downarrow\text{zgodność paczenia + równowaga}]$
$\text{węzeł rzeczywisty} \Downarrow\text{model płytowo-tarczowy/powłokowy}\text{lub dyskretna sztywność }K_\omega]$

Pierwszy poziom opisuje zmianę orientacji bez lokalnej deformacji. Drugi zakłada idealną nierozdzielność pola przemieszczeń. Trzeci uwzględnia rzeczywistą podatność połączenia.

Wniosek dotyczący „skalarnej” transformacji bimomentu

Przeprowadzona analiza pozwala zastąpić zbyt ogólne stwierdzenie „bimoment transformuje się jak skalar” twierdzeniem bardziej precyzyjnym: 
Wartość $B_\omega$ może być zachowana przy zmianie orientacji wtedy, gdy transformacji geometrycznej towarzyszą mechaniczna równoważność oraz zgodność pola paczenia.

Sam rotor opisuje zmianę orientacji geometrycznej bimomentu $ \mathcal B_\omega’=R\mathcal B_\omega\widetilde R.$. Twierdzenie Piechnika określa natomiast mechaniczny warunek równoważności, w którym bimoment musi być zachowany. Warunek zgodności deplanacji określa z kolei, czy geometria połączenia rzeczywiście pozwala na taką transmisję. Dopiero połączenie tych trzech poziomów daje pełny model:
$[ \text{geometria} \longrightarrow R]$
$ [\text{mechanika} \longrightarrow \text{równowaga i równoważność} \longrightarrow B_\omega]$
$[ \text{kinematyka} \longrightarrow \text{zgodność paczenia} \longrightarrow \Theta]$ 

a dla rzeczywistego węzła:
$(\Theta_1-\Theta_2)\;\longrightarrow\;K_\omega\;\longrightarrow\;B_J.$ 

Dalszy rozwój  teorii transformacji bimomentu 

Najważniejszym rezultatem przeprowadzonej analizy jest rozdzielenie trzech pojęć, które w prostym modelu pręta mogą występować razem, lecz w węźle konstrukcyjnym nie mogą być utożsamiane:
$ \text{transformacja geometryczna} \neq \text{transmisja mechaniczna} \neq \text{zgodność kinematyczna}. $

Transformacja geometryczna jest określona przez rotor. Transmisja mechaniczna wynika z równowagi i rozszerzonego warunku równoważności. Zgodność kinematyczna wynika natomiast z nierozdzielności rzeczywistego pola przemieszczeń. Właśnie to rozdzielenie stanowi podstawę naszego dalszego modelu węzła prętowego. W przypadku prostego pręta ciągłego wszystkie trzy poziomy mogą zostać opisane jednym ciągłym modelem. W przypadku ostrego załamania osi lub skoku sztywności konieczne staje się jawne sformułowanie warunków w miejscu połączenia. W przypadku rzeczywistego węzła konstrukcyjnego należy natomiast dopuścić lokalną deformację paczenia i albo opisać ją bezpośrednio modelem płytowo-tarczowym lub powłokowym, albo zastąpić jej działanie odpowiednią charakterystyką węzłową $K_\omega$. Ostatecznie otrzymujemy spójny ciąg:
$ \text{pole naprężeń} \;\longrightarrow\; B_\omega \;\longrightarrow\; \text{równoważność Piechnika} \;\longrightarrow\;\text{zgodność paczenia} \;\longrightarrow\; \text{transmisja prze
węzeł}$
oraz równolegle
$ \text{zmiana orientacji} \;\longrightarrow\; R \;\longrightarrow\; \mathcal B_\omega’ =R\mathcal B_\omega\widetilde R.$

Dopiero połączenie obu ciągów daje pełny opis transformacji bimomentu w teorii pręta cienkościennego: algebra Clifforda opisuje jego transformację geometryczną, mechanika teoretyczna i twierdzenie Piechnika określają warunki jego równoważności mechanicznej, natomiast warunek zgodności deplanacji określa możliwość jego rzeczywistej transmisji przez połączenie.

Różniczkowy układ równań równowagi I rzędu  pręta cienkościennego

Różniczkowy układ równań równowagi cienkościennego pręta można otrzymać na podstawie przyjętego pola przemieszczeń Własowa–Timoshenki, wyznaczając odpowiadające mu siły przekrojowe, a następnie różniczkując je wzdłuż osi pręta i przyrównując ich pochodne do odpowiadających im rozłożonych obciążeń zewnętrznych. W układzie centralnym, głównym i znormalizowanym, w którym $ S_y=S_z=S_w=S_{wy}=S_{wz}=0$ oraz $I_{yz}=0,$  układ równań można zapisać w postaci

\[\boxed{ \begin{aligned}
&A\bar E\,u”(x)=p_x(x),\\[2mm]
&GA\left[v”(x)-\theta_3′(x)\right]=p_y(x),\\[2mm]
&GA\left[\theta_2′(x)+w”(x)\right]=p_z(x),\\[2mm]
&\bar E\left[ -I_{2\omega}\psi”(x) +I_y\theta_2”(x) \right]=m_y(x),\\[2mm]
&\bar E\left[ I_{3\omega}\psi”(x) +I_z\theta_3”(x) \right]=m_z(x),\\[2mm]
&\bar E\left[ I_\omega\psi”(x) -I_{2\omega}\theta_2”(x) +I_{3\omega}\theta_3”(x)
\right]=b_\omega(x),\\[2mm] &G(I_y+I_z)\phi”(x) +\bar E\left[ I_{2\omega}\theta_2”'(x) -I_{3\omega}\theta_3”'(x) -I_\omega\phi””(x) \right]=m_x(x). \end{aligned}} \tag{IV.EQ} \label{IV.EQ}\]

gdzie $ \bar E=\frac{E}{1-\nu^2}.$

W tym układzie \(B_\omega\) jest niezależną wielkością siłową, natomiast moment giętno-skrętny \(M_\omega\) nie stanowi dodatkowej składowej wektora sił przekrojowych \(\mathbf{F}\), ponieważ jest związany z bimomentem zależnością \(M_\omega=B_\omega’\).

Dalsze informacje i analizy, w tym redukcje układu (\ref{IV.EQ}) do równań wyższego tzędu oraz dla przkrokó o specjalnym kształcie  w tym przekrojów bisymetrycznych przedstawiono w [Dodatku IV.A.].

Dodatek IV.A. Geometrycznie nieliniowy element Własow–Timoshenko

Współczesne reprezentacj e skończonych obrotów 

Reprezentacjaklsyczna skończonych obrotów omówiona w tekście głównym  w rozdziale  

Reprezentacja jednostkowymi kwaternionami

Jednostkowe kwaterniony, omówione między innymi przez Kuipersa [33], stanowią alternatywną reprezentację skończonego obrotu przekroju. Obrót można wówczas przedstawić za pomocą czterech parametrów $q_0,q_1,q_2,q_3$ spełniających warunek

\[q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1. \tag{IV.A.1} \label{IV.A.1} \]

Kwaterniony umożliwiają opis skończonych obrotów bez osobliwości charakterystycznych dla wielu trójparametrowych parametryzacji. Z punktu widzenia niniejszej pracy istotny jest jednak nie tylko fakt, że kwaterniony pozwalają reprezentować obrót, lecz również ich związek z innymi reprezentacjami geometrycznymi. W szczególności jednostkowy kwaternion i rotor stanowią w przestrzeni trójwymiarowej równoważne reprezentacje skończonego obrotu, co wiąże rachunek kwaternionowy z formalizmem algebry geometrycznej Hestenesa i Sobczyka (1984) [34]. W teoriach geometrycznie dokładnych prętów orientację przekroju można zatem opisywać za pomocą macierzy obrotu $\mathbf C$, parametrów obrotu, jednostkowego kwaternionu lub rotora. Wszystkie te sposoby opisują tę samą orientację przekroju; różnią się jedynie sposobem zapisu oraz operacjami wykonywanymi na wybranej reprezentacji. Można to symbolicznie zapisać jako

\[ \{\boldsymbol{\ell}_1,\boldsymbol{\ell}_2,\boldsymbol{\ell}_3\} \;\Longleftrightarrow\; \mathbf C\in SO(3) \;\Longleftrightarrow\; \text{parametry obrotu} \;\Longleftrightarrow\; \text{jednostkowy kwaternion} \;\Longleftrightarrow\; \text{rotor}. \tag{IV.A.1a} \label{IV.A.1a} \]

Nie chodzi więc o różne rodzaje obrotu. Każda z tych reprezentacji opisuje tę samą orientację przekroju. Różnica polega na tym, jaki obiekt przyjmujemy jako podstawowy oraz jakie operacje możemy na nim bezpośrednio wykonywać.

Rotor jako operator orientacji

W pracy wybieramy rotor jako podstawową reprezentację skończonego obrotu. Jest on ściśle związany z jednostkowym kwaternionem, ale jego interpretacja jest szczególnie dogodna w języku geometrii algebraicznej. Jednostkowy kwaternion można traktować jako algebraiczny zapis obrotu za pomocą zestawu liczb, natomiast rotor opisuje obrót jako operator, którego działanie prowadzi obiekt geometryczny do jego obróconego odpowiednika. Interpretację tę można odnieść bezpośrednio do geometrii przedstawionej na rys. IV.6.  W konfiguracji początkowej przekrój posiada lokalną bazę $\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\}$, natomiast w konfiguracji aktualnej bazę $\{\boldsymbol{\ell}_1,\boldsymbol{\ell}_2,\boldsymbol{\ell}_3\}$. Rotor względny opisuje zmianę orientacji pomiędzy tymi konfiguracjami. Jeżeli $R_\Delta(x)$ oznacza rotor względny, to jego działanie na wersory początkowego układu przekroju ma postać

\[\boldsymbol{\ell}_i(x) = R_\Delta(x)\,\mathbf e_i\,\widetilde{R}_\Delta(x), \qquad i=1,2,3. \tag{IV.A.2} \label{IV.A.2} \]

Rotor nie jest więc dodatkowym parametrem przemieszczenia ani nową wielkością mechaniczną. Jest operatorem geometrycznym opisującym zmianę orientacji lokalnego układu przekroju. Macierz cosinusów kierunkowych, jednostkowy kwaternion i rotor nie oznaczają różnych orientacji, lecz stanowią różne reprezentacje tej samej transformacji geometrycznej. W przyjętym ujęciu podstawową reprezentacją operatora orientacji jest rotor, ponieważ pozwala bezpośrednio wyrazić jego działanie na wektory i wersory przekroju.

Proste rozróżnienie pomiędzy kwaternionem a rotorem można prze dstawić następująco. Kwaternion stanowi algebraiczny zapis obrotu za pomocą określonego zestawu liczb, natomiast rotor jest operatorem, którego działanie na obiekcie geometrycznym daje jego obrócony odpowiednik. Oba opisy dotyczą tego samego obrotu, lecz akcentują różne aspekty tej samej transformacji. Z kolei grupa $SO(3)$ jest zbiorem wszystkich właściwych obrotów przestrzeni trójwymiarowej.

Podstawowe własności operatora rotorowego zestawiono w tabeli IV.R.

Tab. IV.R. Podstawowe własności rotora

\[\begin{array}{|c|l|l|}
\hline\textbf{Lp.} & \textbf{Własność} & \textbf{Zależność}\\
\hline 1 & \text{Jednostkowy rotor i operator odwrotny} & R\widetilde{R}=\widetilde{R}R=1, \qquad R^{-1}=\widetilde{R} \\
\hline 2 & \text{Transformacja wektora} & \mathbf a^{*}=R\mathbf a\widetilde{R} \\
\hline 3 & \text{Transformacja wersorów przekroju} & \boldsymbol{\ell}_i=R\mathbf e_i\widetilde{R}, \qquad i=1,2,3 \\
\hline 4 & \text{Zachowanie iloczynu skalarnego} & (R\mathbf a\widetilde{R})\!\cdot\! (R\mathbf b\widetilde{R}) =\mathbf a\!\cdot\!\mathbf b \\
\hline 5 & \text{Składanie obrotów} & R=R_2R_1, \qquad R_2R_1\neq R_1R_2 \\
\hline 6 & \text{Zmienność orientacji wzdłuż osi pręta} & R=R(x) \\
\hline 7 & \text{Rozdzielenie orientacji początkowej i aktualnej} & R^{(N)}(x)=R_\Delta(x)R^{(0)}(x) \\
\hline \end{array} \tag{IV.26} \label{IV.26} \]

W przedstawionym opisie rotor względny $R_\Delta(x)$ odpowiada za przejście od orientacji początkowej do aktualnej, natomiast rotor $R^{(0)}(x)$ opisuje orientację przekroju w konfiguracji początkowej. W konsekwencji aktualną orientację można zapisać jako

\[ R^{(N)}(x)=R_\Delta(x)R^{(0)}(x). \tag{IV.A.3} \label{IV.A.3} \]

Tak zdefiniowany operator rotorowy stanowi bezpośrednie przejście od geometrycznego opisu orientacji przedstawionego na rys. IV.6 do równań mechaniki pręta. W następnym podrozdziale zostanie on wykorzystany do sformułowania podstawowych równań skręcania Saint-Venanta w opisie rotorowym.

Miary odkształcenia przy skończonych obrotach

D dodatku stosujemy konsekwentnie zapis wskażnikowyindeksów (1,2,3) . Natomaist w twkcie zapis tecniczny (x,y,z)

Przegląd miar odkształceń

Gradient pola położenia zawiera jednocześnie informację o zmianie kształtu i orientacji elementu. Przy skończonych obrotach konieczne jest zatem rozdzielenie rzeczywistej deformacji materiału od sztywnej zmiany orientacji. Podstawą takiego rozdzielenia jest rozkład polarny gradientu pola położenia:

\[ \mathbf F=\mathbf Q\,\mathbf U=\mathbf V\,\mathbf Q,
\tag{IV.A.4} \label{IV.A.4} \]

gdzie $\mathbf Q$ jest tensorem rotacji, natomiast $\mathbf U$ i $\mathbf V$ są odpowiednio prawym i lewym tensorem rozciągnięcia.

Tensor $\mathbf Q$ opisuje zmianę orientacji elementu, natomiast tensory $\mathbf U$ i $\mathbf V$ opisują jego deformację po oddzieleniu składowej rotacyjnej. W przyjętym w pracy opisie rotorowym tensor rotacji $\mathbf Q$ jest reprezentowany przez rotor $R$. Pozwala to opisywać skończone obroty niezależnie od miary odkształcenia materiału.

W mechanice ciała stałego stosuje się różne obiektywne miary odkształcenia. Różnią się one sposobem odniesienia deformacji do konfiguracji początkowej lub aktualnej oraz sposobem wykorzystania tensorów rozciągnięcia. Wybrane miary zestawiono w tab. IV.A.1.

Tab. IV.A.1. Wybrane miary odkształcenia stosowane w opisie pręta

\[ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline \textbf{Miara} & \textbf{Definicja} & \textbf{Charakterystyka} \\
\hline \text{Green–Lagrange} & \mathbf E= \frac{1}{2} \left( \mathbf U^2-\mathbf I \right) & \text{miara materialna} \\\\
\hline\text{Almansi}& \mathbf e= \frac{1}{2} \left( \mathbf I-\mathbf V^{-2} \right) & \text{miara przestrzenna} \\
\hline \text{Biota} & \mathbf E_B= \mathbf U-\mathbf I & \text{miara oparta na rozciągnięciu} \\
\hline \text{Hencky’ego} & \mathbf E_H= \ln\mathbf U & \text{miara logarytmiczna} \\
\hline \text{Małych odkształceń} & \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2} \left( \nabla\mathbf u+ \nabla\mathbf u^T \right) & \text{miara liniowa} \\
\hline \end{array} \tag{IV.A.5} \label{IV.A.5} \]

Miara Green–Lagrange’a jest miarą materialną, odnoszoną do konfiguracji początkowej. Miara Almansi’ego jest miarą przestrzenną, odnoszoną do konfiguracji aktualnej i wykorzystującą lewy tensor rozciągnięcia $\mathbf V$. Miara Hencky’ego jest miarą logarytmiczną, opartą na prawym tensorze rozciągnięcia $\mathbf U$. Miara Biota również opiera się na prawym tensorze rozciągnięcia $\mathbf U$, lecz wykorzystuje jego bezpośrednią różnicę względem tensora jednostkowego:

\[\mathbf E_B=\mathbf U-\mathbf I. \tag{IV.A.6} \label{IV.A.6} \]

W zakresie małych odkształceń wymienione obiektywne miary skończonych odkształceń mają tę samą część liniową. Różnice pomiędzy nimi pojawiają się w wyrazach wyższych rzędów. W niniejszej pracy interesuje nas szczególny przypadek kinematyki pręta, w którym dopuszczamy skończone przemieszczenia i skończone obroty, natomiast odkształcenia materiału pozostają małe. Duża zmiana orientacji przekroju nie może być zatem utożsamiana z dużym odkształceniem materiału.</p>

Wybór miary Biota

W dalszym wyprowadzeniu jako podstawową miarę odkształcenia przyjmujemy miarę Biota (\ref{IV.A.6}). Wybór ten wynika z przyjętej konstrukcji kinematycznej pręta, w której orientacja przekroju i jego deformacja są opisywane jako dwa rozdzielone elementy opisu. Z rozkładu polarnego (\ref{IV.A.4}) wynika, że tensor $\mathbf Q$ opisuje zmianę orientacji, natomiast tensor $\mathbf U$ opisuje zmianę rozciągnięcia po oddzieleniu składowej rotacyjnej. W przyjętym opisie rotorowym część rotacyjna jest reprezentowana przez rotor $R$. Takie rozdzielenie jest szczególnie istotne w przypadku pręta Własowa–Timoshenki. Przekrój pręta może wykonywać skończone obroty, podczas gdy materiał przekroju pozostaje w stanie małych odkształceń. Obrót przekroju nie powinien być zatem traktowany jako odkształcenie materiału. Jest on opisany przez część rotacyjną $\mathbf Q$, reprezentowaną przez rotor $R$, natomiast rzeczywista deformacja materiału wynika z części rozciągającej $\mathbf U$.

Miara Biota ma w tym ujęciu bezpośrednią interpretację: opisuje zmianę rozciągnięcia po oddzieleniu składowej rotacyjnej. Jest więc zgodna z przyjętym w pracy rozdzieleniem skończonej zmiany orientacji od deformacji materiału. Wybór miary Biota nie oznacza, że pozostałe miary przedstawione w tab. IV.A.1 są niewłaściwe. Każda z nich zapewnia obiektywny opis deformacji, lecz odpowiada innemu sposobowi jej pomiaru. Wybór Biota wynika z przyjętej kinematyki oraz z celu dalszego wyprowadzenia, którym jest redukcja trójwymiarowego pola odkształceń do uogólnionych miar kinematycznych pręta Własowa–Timoshenki.

Liniowa część miary Biota

Przy przyjęciu małych odkształceń materiału w dalszej redukcji wykorzystujemy liniową część miary Biota:

\[ \mathbf E_B^{(L)} = \frac{1}{2}\left[ \nabla\mathbf u+(\nabla\mathbf u)^T \right]. \tag{IV.A.7} \label{IV.A.7} \]

Liniowość tego opisu odnosi się wyłącznie do odkształceń materiału i nie oznacza przyjęcia małych obrotów. Materiał pręta pozostaje w stanie małych odkształceń, natomiast jego przemieszczenia i orientacja mogą ulegać zmianom skończonym. Skończone obroty są opisywane niezależnie przez rotor $R$. Tak określona liniowa część miary Biota stanowi podstawę dalszej redukcji trójwymiarowego pola odkształceń do uogólnionych miar kinematycznych pręta Własowa–Timoshenki.

Podstawa kinematyczna

Pole przemieszczeń pręta cienkościennego

Punktem wyjścia dalszego wyprowadzenia jest pole przemieszczeń pręta Własowa–Timoshenki przedstawione w tekście głównym, zgodnie z geometrią pokazaną na rys. IV.6. Pole to uwzględnia przemieszczenie osi odniesienia, zmianę orientacji przekroju oraz deplanację przekroju i zostało zapisane w równaniu (\ref{IV.57}). 
Położenie dowolnego punktu przekroju w konfiguracji aktualnej, wynikające z przyjętej kinematyki, określa równanie (\ref{IV.58}). Równanie to przyjmujemy w dalszym wyprowadzeniu jako podstawowe pole położenia pręta. Nie wprowadzamy ponownie pola przemieszczeń ani pola położenia. Przyjęty opis rozdziela trzy elementy kinematyki: położenie osi odniesienia $\mathbf r(x)$, orientację przekroju opisaną przez aktualne wersory $\boldsymbol{\ell}_i(x)$ oraz deplanację opisaną przez funkcję $\psi(x)\omega(y,z)$. Szczegółowe znaczenie tych wielkości oraz ich związek z geometrią pręta przedstawiono w tekście głównym.

Gradient pola położenia

W celu wyznaczenia gradientu pola położenia (\ref{IV.58}) wykorzystujemy zależności opisujące zmianę orientacji lokalnej bazy przekroju. Punktem wyjścia jest pole położenia pręta przedstawione w tekście głównym w równaniu (\ref{IV.58}) oraz zilustrowane na rys. IV.6. Współrzędne $y$ i $z$ traktujemy jako stałe współrzędne materiałowe punktu w przekroju, natomiast zmianę orientacji lokalnej bazy opisują wektory $\boldsymbol{\ell}_i(x)$. Przyjmujemy

\[ \frac{d\boldsymbol{\ell}_i}{dx} = \boldsymbol{\kappa}\times\boldsymbol{\ell}_i, \qquad i=1,2,3, \tag{IV.A.8} \label{IV.A.8} \]

gdzie $\boldsymbol{\kappa}(x)$ jest wektorem lokalnej zmiany orientacji przekroju. Zgodnie z polem położenia (\ref{IV.58}) jego pochodna względem bieżącej współrzędnej osiowej $x$ wynosi

\[ \frac{\partial\mathbf r_P}{\partial x} = \mathbf r’ +y\,\boldsymbol{\kappa}\times\boldsymbol{\ell}_2 +z\,\boldsymbol{\kappa}\times\boldsymbol{\ell}_3 -\psi’\omega\,\boldsymbol{\ell}_1
-\psi\omega\,\boldsymbol{\kappa}\times\boldsymbol{\ell}_1. \tag{IV.A.9} \label{IV.A.9} \]

Pochodne względem współrzędnych przekroju mają postać \[ \frac{\partial\mathbf r_P}{\partial y} = \boldsymbol{\ell}_2 -\psi\,\omega_{,y}\boldsymbol{\ell}_1, \qquad \frac{\partial\mathbf r_P}{\partial z} = \boldsymbol{\ell}_3 -\psi\,\omega_{,z}\boldsymbol{\ell}_1,
\tag{IV.A.10} \label{IV.A.10} \]

gdzie $  omega_{,y}=\frac{\partial\omega}{\partial y},\qquad \omega_{,z}=\frac{\partial\omega}{\partial z}.$

W konsekwencji gradient pola położenia względem współrzędnych $(x,y,z)$ przyjmuje postać

\[ \mathbf F = \left[ \frac{\partial\mathbf r_P}{\partial x} \quad \frac{\partial\mathbf r_P}{\partial y} \quad \frac{\partial\mathbf r_P}{\partial z} \right].\tag{IV.A.11} \label{IV.A.11} \]

Gradient $\mathbf F$ zawiera jednocześnie informacje o zmianie orientacji przekroju oraz o jego deformacji. Stanowi zatem wielkość wyjściową do określenia przestrzennego pola odkształcenia. Wszystkie jego składniki wynikają bezpośrednio z przyjętego pola położenia (\ref{IV.58}) oraz z opisu zmiany orientacji przekroju. Równanie (\ref{IV.A.11}) stanowi podstawę do wyznaczenia lokalnych składowych miary odkształcenia w układzie $\{\boldsymbol{\ell}_1,\boldsymbol{\ell}_2,\boldsymbol{\ell}_3\}$.

Pole odkształcenia

Pole odkształcenia pręta określamy w aktualnym lokalnym układzie $\{\boldsymbol{\ell}_1,\boldsymbol{\ell}_2,\boldsymbol{\ell}_3\}$. Dla przyjętej kinematyki Własowa–Timoshenki podstawowe uogólnione miary kinematyczne osi odniesienia wynikają z pola położenia oraz z opisu zmiany orientacji przekroju. Szczegółowe wyprowadzenie lokalnych składowych pola odkształcenia z gradientu pola położenia (\ref{IV.A.11}) prowadzi do zależności przedstawionych poniżej. siowe odkształcenie osi odniesienia oraz odkształcenia postaciowe w kierunkach lokalnej bazy przekroju definiujemy jako

\[ \varepsilon=\boldsymbol{\ell}_1\cdot\mathbf r’-1, \qquad \gamma_2=\boldsymbol{\ell}_2\cdot\mathbf r’, \qquad \gamma_3=\boldsymbol{\ell}_3\cdot\mathbf r’. \tag{IV.A.12} \label{IV.A.12} \]

Wielkość $\varepsilon$ opisuje osiowe odkształcenie osi odniesienia, natomiast $\gamma_2$ i $\gamma_3$ są odpowiednio odkształceniami postaciowymi w kierunkach $\boldsymbol{\ell}_2$ i $\boldsymbol{\ell}_3$. Ich niezerowe wartości wynikają z przyjęcia kinematyki Timoshenki, w której orientacja przekroju nie jest utożsamiana z kierunkiem stycznej do osi pręta.

Zmianę orientacji przekroju wzdłuż osi pręta opisuje wektor

\[ \boldsymbol{\kappa} = \kappa_1\boldsymbol{\ell}_1 +\kappa_2\boldsymbol{\ell}_2 +\kappa_3\boldsymbol{\ell}_3, \tag{IV.A.13} \label{IV.A.13} \]

gdzie $\kappa_1$ opisuje zmianę orientacji związaną ze skręcaniem, natomiast $\kappa_2$ i $\kappa_3$ opisują zmiany orientacji przekroju związane ze zginaniem. W przypadku skręcania nieswobodnego dodatkową miarą kinematyczną jest pochodna amplitudy deplanacji

\[ \psi’=\frac{d\psi}{dx}. \tag{IV.A.14} \label{IV.A.14} \]

Wynika ona bezpośrednio z osiowego składnika pola położenia związanego z deplanacją. Po uwzględnieniu zależności (\ref{IV.A.8}) osiową składową liniowej części miary Biota w dowolnym punkcie przekroju otrzymujemy w postaci

\[ E_{11}^{(L)}(y,z) = \varepsilon +z\kappa_2 -y\kappa_3 -\psi'(x)\omega(y,z). \tag{IV.A.15} \label{IV.A.15} \]

Pierwszy składnik opisuje rozciąganie lub ściskanie osiowe, dwa kolejne opisują zmianę odkształcenia osiowego wynikającą ze zmiany orientacji przekroju podczas zginania względem obu osi przekroju, natomiast ostatni składnik opisuje nierównomierny po przekroju rozkład odkształcenia normalnego wynikający ze zmienności amplitudy deplanacji wzdłuż osi pręta. Ten ostatni składnik stanowi podstawę powstania bimomentu w przypadku skręcania nieswobodnego.Składowe postaciowe liniowej części miary Biota wynikają z tego samego pola położenia. Nie są zatem przyjmowane niezależnie, lecz wynikają z przyjętej kinematyki Własowa–Timoshenki. W dalszej redukcji są interpretowane jako lokalne składowe odkształceń postaciowych. W szczególności odpowiadają im uogólnione miary $\gamma_2$ i $\gamma_3$ określone w równaniu (\ref{IV.A.12}).

Uogólnione miary kinematyczne pręta można zatem zestawić w postaci

\[ \boldsymbol{\eta} = \left\{ \varepsilon,\, \gamma_2,\, \gamma_3,\, \kappa_1,\, \kappa_2,\, \kappa_3,\, \psi’ \right\}^{T}. \tag{IV.A.16} \label{IV.A.16} \]

Wektor $\boldsymbol{\eta}$ zawiera miary osiowego rozciągania, ścinania, zmiany orientacji przekroju oraz deplanacji i stanowi podstawowy zbiór wielkości kinematycznych wykorzystywany w dalszej redukcji przestrzennego pola odkształceń i naprężeń do sił i momentów przekrojowych.

Redukcja tensora Biota do miar prętowych

Po rozdzieleniu zmiany orientacji od deformacji materiału za pomocą rozkładu polarnego (\ref{IV.A.4}) przyjmujemy w dalszym wyprowadzeniu miarę Biota. Ponieważ rozważamy teorię małych odkształceń materiałowych przy dopuszczeniu skończonych przemieszczeń i skończonych obrotów, wykorzystujemy liniową część miary Biota:

\[ \mathbf E_B^{(L)} = \frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf u+ (\nabla\mathbf u)^T \right]. \tag{IV.A.17} \label{IV.A.17} \]

Liniowość tego opisu odnosi się do odkształceń materiału i nie oznacza przyjęcia małych obrotów. Skończone obroty są opisywane niezależnie przez rotor $R$, natomiast $\mathbf E_B^{(L)}$ opisuje liniową część deformacji materiału po oddzieleniu składowej rotacyjnej.

Składowe liniowej części miary Biota zapisujemy w notacji wskaźnikowej i technicznej w postaci

\[ E_{11}^{(L)} = E_{xx}^{(L)}, \qquad E_{12}^{(L)} = E_{xy}^{(L)} = \frac{1}{2}\gamma_{xy}, \qquad E_{13}^{(L)} = E_{xz}^{(L)} = \frac{1}{2}\gamma_{xz}, \qquad E_{23}^{(L)} = E_{yz}^{(L)} =
\frac{1}{2}\gamma_{yz}. \tag{IV.A.18} \label{IV.A.18} \]

Zapis ten określa związek pomiędzy składowymi tensora odkształcenia a technicznymi odkształceniami postaciowymi. Składowe normalne mają bezpośrednie znaczenie jako odkształcenia normalne, natomiast techniczne odkształcenia postaciowe są dwa razy większe od odpowiadających im składowych tensora.

Dla dowolnego punktu $(y,z)$ przekroju składowa osiowa przyjmuje postać

\[E_{11}^{(L)}(y,z) = \varepsilon +z\kappa_2 -y\kappa_3 -\psi'(x)\omega(y,z). \tag{IV.A.19} \label{IV.A.19} \]

Można ją rozdzielić na składniki odpowiadające poszczególnym mechanizmom deformacji:

\[ E_{11}^{(L)}(y,z) = \underbrace{\varepsilon}_{\text{rozciąganie osiowe}} + \underbrace{z\kappa_2-y\kappa_3}_{\text{zginanie}} – \underbrace{\psi'(x)\omega(y,z)}_{\text{deplanacja}}. \tag{IV.A.20} \label{IV.A.20} \]

Pierwszy składnik opisuje odkształcenie osiowe osi odniesienia. Dwa kolejne opisują zmianę odkształcenia osiowego wynikającą ze zmiany orientacji przekroju związanej ze zginaniem, natomiast ostatni składnik opisuje nierównomierny po przekroju rozkład odkształcenia osiowego wynikający ze zmienności amplitudy deplanacji wzdłuż osi pręta.

Pozostałe składowe pola odkształcenia, w szczególności $E_{12}^{(L)}$ i $E_{13}^{(L)}$, wyznaczane są bezpośrednio z tego samego pola kinematycznego. Nie przyjmujemy zatem z góry wartości technicznych odkształceń postaciowych. Wynikają one z przyjętej kinematyki Własowa–Timoshenki. Dla odpowiednich składowych mamy

\[\gamma_{xy} = 2E_{xy}^{(L)}, \qquad \gamma_{xz} = 2E_{xz}^{(L)}. \tag{IV.A.21} \label{IV.A.21} \]

W ten sposób przestrzenne pole liniowej części miary Biota zostaje powiązane z uogólnionymi miarami kinematycznymi pręta cienkościennego. Obejmują one odkształcenie osiowe, odkształcenia postaciowe, zmiany orientacji przekroju związane ze zginaniem i skręcaniem oraz zmienność amplitudy deplanacji wzdłuż osi pręta.

Dalsza redukcja nie polega na zastąpieniu przestrzennego pola naprężeń jednowymiarowym prawem materiałowym. Przeciwnie, zredukowanemu opisowi kinematyki pręta towarzyszy przestrzenny stan naprężenia wynikający z trójwymiarowego prawa Hooke’a. Odpowiednie siły i momenty przekrojowe zostaną uzyskane przez całkowanie tego pola naprężeń po rzeczywistym polu przekroju.

Podstawa fizyczna

Nawet zredukowanemu opisowi kinematyki pręta będzie towarzyszył pełny, przestrzenny stan naprężenia wynikający z trójwymiarowego prawa Hooke’a. Punktem wyjścia do cuenkościennej reukcji , wynikająćej z  trzeciego załoąenia Własowa [o cienkości ścianek]   jest izotropowe, trójwymiarowe prawo Hooke’a

Rozważamy lokalny układ współrzędnych związany ze ścianką przekroju cienkościennego. Kierunek $x$ pokrywa się z osią pręta, kierunek $s$ jest styczny do linii środkowej ścianki, natomiast kierunek $n$ jest normalny do jej powierzchni. Dla składowych normalnych trójwymiarowe prawo Hooke’a przyjmuje postać

\[\varepsilon_x = \frac{1}{E} \left[ \sigma_x-\nu(\sigma_s+\sigma_n) \right], \tag{IV.A.22} \label{IV.A.22} \]

\[ \varepsilon_s = \frac{1}{E} \left[ \sigma_s-\nu(\sigma_x+\sigma_n) \right], \tag{IV.A.23} \label{IV.A.23} \]

\[ \varepsilon_n = \frac{1}{E} \left[ \sigma_n-\nu(\sigma_x+\sigma_s) \right]. \tag{IV.A.24} \label{IV.A.24} \]

z trzeciego założenia Własowa  ( \ref{IV.36})  (o cienkości ścianek, wynika , że  $ \sigma_n=0, \qquad \varepsilon_s=0, $

Wobec tego z (\ref{IV.A.23}) wynika  $\sigma_s =\nu\sigma_x.$,  Po podstawieniu tej zależności oraz warunku $\sigma_n=0$ do  (\ref{IV.A.22})  otrzymujemy  $\varepsilon_x =\frac{1-\nu^2}{E}\sigma_x,$ a więc 

\[  \sigma_x = \frac{E}{1-\nu^2}\varepsilon_x = \bar E\,\varepsilon_x. \tag{IV.A.25} \label{IV.A.25} \]

Stąd bezpośrednio wynika zależności na  cienkościenny moduł Younga  (\ref{IV.47} )  $\bar E=\frac{E}{1-nu^2})

W celu wyprowadzenia cienkościennej macierzy materiałowej   zapiszmy trójwymiarowe prawo Hooka izotropowego matriału sprężystego w reprezentacji Lamego 

\[ \mathbf C= \begin{bmatrix}
\lambda+2G & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0\\
\lambda & \lambda+2G & \lambda & 0 & 0 & 0\\
\lambda & \lambda & \lambda+2G & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 2G & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 2G & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2G
\end{bmatrix}. \] 

gdzie $\lambda= \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} = \frac{2G\nu}{1-2\nu}$ – stała Lame

Macierzy yą  z uwzględnieniem trzeciego założenia Własowa, czyli równania  (\rwe{IV.A.36M})  oraz  zależnosci pomiędzy stałymi materiałowymi można zredukować do postaci cienkościannnej

\[ \begin{bmatrix}
\bar E & \bar E\,\nu & 0 & 0\\
\bar E\,\nu & \bar E & 0 & 0\\
0 & 0 & 2G & 0\\
0 & 0 & 0 & 2G
\end{bmatrix} \tag{IV.A.26} \label{IV.A.26} \]

W celu wyprowadzenia cienkościennej macierzy materiałowej punktem wyjścia jest pełna macierz trójwymiarowego prawa Hooke’a w reprezentacji stałych Lamégo:

\[\mathbf C= \begin{bmatrix}
\lambda+2G & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0\\
\lambda & \lambda+2G & \lambda & 0 & 0 & 0\\
\lambda & \lambda & \lambda+2G & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 2G & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 2G & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2G
\end{bmatrix}. \tag{IV.A.27} \label{IV.A.27} \]

Pierwsze trzy wiersze i kolumny tworzą blok normalny, w którym występują sprzężenia pomiędzy trzema odkształceniami normalnymi. Ostatnie trzy wiersze i kolumny tworzą blok postaciowy, związany z odkształceniami postaciowymi. W izotropowym materiale oba bloki są rozdzielone, tzn. odkształcenia normalne nie są sprzężone materiałowo z odkształceniami postaciowymi.  Redukcję cienkościenną wykonujemy zgodnie z trzecim założeniem Własowa, przyjmując $\sigma_n=0$. Oznacza to, że z pełnego bloku normalnego eliminujemy składową odpowiadającą kierunkowi $n$. Pozostały blok normalny opisuje więc zależność pomiędzy składowymi związanymi z kierunkami $x$ i $s$, natomiast blok postaciowy pozostaje bez zmian.

Po zastosowaniu warunku $\sigma_n=0$ trzecie równanie części normalnej prawa Hooke’a pozwala wyeliminować składową odpowiadającą kierunkowi $n$. Podstawienie wynikającej z tego zależności do dwóch pozostałych równań normalnych prowadzi do zmodyfikowania ich współczynników, natomiast blok postaciowy pozostaje niezmieniony. Następnie, po zastosowaniu zależności pomiędzy stałymi Lamégo, modułem Younga $E$, współczynnikiem Poissona $\nu$ oraz modułem postaciowym $G$, otrzymujemy cienkościenną macierz materiałową

\[ \mathbf C_{\mathrm{tw}} = \begin{bmatrix}
\bar E & \bar E\,\nu & 0 & 0\\ \bar E\,\nu & \bar E & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2G & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2G \end{bmatrix}. \tag{IV.A.28} \label{IV.A.28} \]

Macierz (\ref{IV.A.28}) zachowuje strukturę blokową pełnej macierzy trójwymiarowej: jej lewy górny blok stanowi część normalną, natomiast prawy dolny blok część postaciową. Redukcja cienkościenna zmienia zatem część normalną prawa materiałowego, podczas gdy współczynnik przy odkształceniach postaciowych pozostaje równy $2G$.

W części normalnej pojawia się cienkościenny moduł Younga (\ref{IV.47} ) natomiast podstawową parę stałych materiałowych w cienkościennym stanie prętowym stanowią  $ (\bar E,G).$ W ten sposób pełna trójwymiarowa macierz materiałowa zostaje sprowadzona do postaci właściwej dla cienkościennego stanu prętowego.

Parametryzacja konturu przekroju

W dalszym wyprowadzeniu korzystamy z parametryzacji konturu przekroju cienkościennego wprowadzonej w tekście głównym w równaniach (\ref{IV.61})–(\ref{IV.69}). Współrzędna konturowa $s$ opisuje położenie punktu na linii środkowej ścianki, natomiast jego położenie w płaszczyźnie przekroju określają funkcje $y(s)$ i $z(s)$. Grubość ścianki jest oznaczona przez $t(s)$, a element pola przekroju w przybliżeniu cienkościennym przez $dA=t(s)\,ds$. Wprowadzona parametryzacja pozwala w dalszych wyprowadzeniach zastąpić całkowanie po rzeczywistym polu przekroju całkowaniem po jego linii środkowej $\Gamma$, z uwzględnieniem lokalnej grubości ścianki. W szczególności wszystkie wielkości zależne od położenia na konturze, takie jak funkcja wycinkowa $\omega$, przepływ ścinający $q$ oraz grubość $t$, traktujemy jako funkcje współrzędnej $s$.

Pole naprężeń

Z wcześniej wyprowadzonego pola odkształceń (\ref{IV.A.21}) oraz zredukowanego trójwymiarowego prawa Hooke’a (\ref{IV.A.19}) otrzymujemy przestrzenne pole naprężeń w kolejności składowych

\[\left\{\sigma_{11},\,\sigma_{22},\,\sigma_{12},\,\sigma_{13}\right\}.\tag{IV.A.29}\label{IV.A.29}\]

Po wykonaniu mnożenia macierzy materiałowej przez wektor odpowiednich składowych liniowej części miary Biota otrzymujemy

\[\begin{aligned}
\sigma_{11}&=\bar E\left(u’ +z\theta_2′ -y\theta_3′ -\omega\psi’ \right),\\
\sigma_{22}&=\bar E\nu\left( u’ +z\theta_2′ -y\theta_3′ -\omega\psi’ \right),\\
\sigma_{12} &= G\left( v’-\theta_3-z\varphi’ -\psi\omega_{,y} \right),\\
\sigma_{13} &= G\left( w’+\theta_2+y\varphi’ -\psi\omega_{,z} \right). \end{aligned} \tag{IV.A.30} \label{IV.A.30}\]

Pierwsza składowa jest zgodna z wcześniej wyprowadzoną zależnością (\ref{IV.A.24}), natomiast składowe $\sigma_{12}$ i $\sigma_{13}$ wynikają bezpośrednio z odpowiednich składowych postaciowych pola odkształcenia (\ref{IV.A.21}) oraz relacji $ \sigma_{12}=2GE_{12}^{(L)}, \qquad \sigma_{13}=2GE_{13}^{(L)}.$

Otrzymane pole naprężeń stanowi bezpośrednie przejście od przestrzennego opisu kinematycznego do wielkości mechanicznych przekroju. W dalszej części poszczególne składowe tego pola będą redukowane niezależnie: $\sigma_{11}$ do siły osiowej, momentów zginających i bimomentu, natomiast $\sigma_{12}$ i $\sigma_{13}$ do sił poprzecznych oraz momentu skręcającego. W ten sposób zachowana zostaje podstawowa zasada przyjętego podejścia: wielkości przekrojowe nie są wprowadzane jako niezależne parametry modelu, lecz wynikają bezpośrednio z całkowania wcześniej określonego przestrzennego pola naprężeń po rzeczywistym polu przekroju.

Charakterystyki geometryczne przekroju

Wykorzystujemy charakterystyki geometryczne przekroju zdefiniowane w tekście głównym oraz przedstawione w rozdziale dotyczącym charakterystyk geometrycznych przekroju. Obejmują one pole przekroju, momenty statyczne, momenty bezwładności i moment dewiacyjny oraz charakterystyki związane ze współrzędną wycinkową. Nie wprowadzamy ich ponownie jako niezależnych parametrów modelu, lecz wykorzystujemy ich definicje całkowe do redukcji przestrzennego pola naprężeń do sił i momentów przekrojowych.  Przyjmujemy główny centralny układ współrzędnych, dla którego

\[ S_y=S_z=0,\qquad I_{yz}=0. \tag{IV.A.31} \label{IV.A.31} \]

Normalizacja współrzędnej wycinkowej oraz związany z nią warunek $S_\omega=0$ są określone niezależnie i nie wynikają z warunków centralności przekroju.

Siła osiowa i momenty zginające

Siłę osiową oraz momenty zginające definiujemy bezpośrednio z osiowej składowej naprężenia:

\[ N=\int_A\sigma_{11}\,dA, \qquad M_y=\int_A z\sigma_{11}\,dA, \qquad M_z=-\int_A y\sigma_{11}\,dA. \tag{IV.A.32} \label{IV.A.32} \]

Dla przestrzennego liniowego prawa Hooke’a, po redukcji zgodnie z założeniami modelu cienkościennego Własowa, składowa osiowa naprężenia jest proporcjonalna do osiowej składowej liniowej miary Biota. Zatem, wykorzystując zależność (\ref{IV.A.12}) oraz pole odkształcenia (\ref{IV.A.12}), otrzymujemy po całkowaniu po polu przekroju:</p>

\[ N= \bar E \left( A\varepsilon +S_y\kappa_2 -S_z\kappa_3 -S_\omega\psi’ \right). \tag{IV.A.33} \label{IV.A.33} \]

Dla momentów zginających otrzymujemy odpowiednio

\[ M_y= \bar E \left( S_y\varepsilon +I_y\kappa_2 -I_{yz}\kappa_3 -I_{y\omega}\psi’ \right), \tag{IV.A.34} \label{IV.A.34} \]

\[ M_z= \bar E \left( -S_z\varepsilon -I_{yz}\kappa_2 +I_z\kappa_3 +I_{z\omega}\psi’ \right). \tag{IV.A.35} \label{IV.A.35} \]

W centralnym układzie współrzędnych $S_y=S_z=0$, a w głównym centralnym układzie współrzędnych dodatkowo $I_{yz}=0$. Wówczas zależności przyjmują postać

\[ N= \bar E \left( A\varepsilon-S_\omega\psi’ \right), \tag{IV.A.36} \label{IV.A.36} \]

\[ M_y= \bar E \left( I_y\kappa_2-I_{y\omega}\psi’ \right), \tag{IV.A.37} \label{IV.A.37} \]

\[ M_z= \bar E \left( I_z\kappa_3+I_{z\omega}\psi’ \right). \tag{IV.A.38} \label{IV.A.38} \]

Otrzymane zależności pokazują, że sprzężenia pomiędzy odkształceniem osiowym, krzywiznami zginania i deplanacją wynikają bezpośrednio z charakterystyk geometrycznych przekroju związanych ze współrzędną wycinkową. Nie są one wprowadzane jako dodatkowe założenia materiałowe, lecz wynikają z redukcji przestrzennego pola naprężeń.

Redukcja naprężeń stycznych

Siły poprzeczne

Siły poprzeczne wynikają ze składowych stycznych naprężeń na przekroju:

\[ V_y=\int_A \sigma_{12}\,dA, \qquad V_z=\int_A \sigma_{13}\,dA. \tag{IV.A.39} \label{IV.A.39} \]

Po podstawieniu składowych tensora naprężeń oraz rozdzieleniu składników pola otrzymujemy

\[ V_y= G\left[ A(v’-\theta_3) -S_y\varphi’ -\psi\int_A\omega_{,y}\,dA \right], \qquad  V_z= G\left[ A(w’+\theta_2) +S_z\varphi’ -\psi\int_A\omega_{,z}\,dA \right]. \tag{IV.A.40} \label{IV.A.40} \]

Wprowadzamy charakterystyki geometryczne

\[ S_{\omega y}=\int_A\omega_{,y}\,dA, \qquad S_{\omega z}=\int_A\omega_{,z}\,dA. \tag{IV.A.41} \label{IV.A.41} \]

Zgodnie z definicją współrzędnej wycinkowej (\ref{IV.92}) mamy $  d\omega=y\,dz-z\,dy,  $  a więc $ d\omega=\omega_{,y}\,dy+\omega_{,z}\,dz$. Prowadzi to do

$ \omega_{,y}=-z,\qquad\omega_{,z}=y.$ , czyli $ S_{\omega y} = -\int_A z\,dA = -S_y, \qquad S_{\omega z} = \int_A y\,dA = S_z. $ Zatem $ S_{\omega y}=-S_y, \qquad S_{\omega z}=S_z. $

W układzie centralnym przekroju, dla którego $S_y=0,S_z=0,$ otrzymujemy $ S_{\omega y}=0, \qquad S_{\omega z}=0. $

W konsekwencji zależności na siły poprzeczne przyjmują w układzie centralnym postać

\[ V_y= G\left[ A(v’-\theta_3) \right], \qquad V_z= G\left[ A(w’+\theta_2) \right]. \tag{IV.A.42} \label{IV.A.42} \]

Moment skręcający

Podejście bezpośrednie (wynikające z bezpośredniego całkowania pola naprężeń stycznych)

Moment skręcający $M_x$ można wyznaczyć bezpośrednio przez całkowanie pola naprężeń stycznych po rzeczywistym polu przekroju:

\[ M_x= \int_A \left( y\,\sigma_{13}-z\,\sigma_{12} \right)dA. \tag{IV.A.43} \label{IV.A.43} \]

Po podstawieniu składowych naprężeń stycznych określonych wcześniej w (\ref{IV.A.30}) otrzymujemy

\[ \begin{aligned} M_x &= G\int_A \Big[ y\left( w’+\theta_2+y\varphi’-\psi\omega_{,z} \right) \\
&\qquad -z\left( v’-\theta_3-z\varphi’-\psi\omega_{,y} \right) \Big]dA \\
&= G\Big[ S_z(w’+\theta_2) -S_y(v’-\theta_3) +(I_y+I_z)\varphi’ \\
&\qquad +\psi \int_A \left( z\omega_{,y}-y\omega_{,z} \right)dA \Big]. \end{aligned} \tag{IV.A.44} \label{IV.A.44} \]

Wprowadzamy nową charakterystykę geometryczną

\[ J_\omega= \int_A  \left( z\omega_{,y}-y\omega_{,z} \right)dA. \tag{IV.A.45} \label{IV.A.45} \]

W układzie centralnym, dla którego $ S_y=0, S_z=0,$ otrzymujemy

\[M_x= G\left[ (I_y+I_z)\varphi’ + J_\omega\psi \right]. \tag{IV.A.46} \label{IV.A.46} \]

Zależność ta pozwala rozdzielić dwa składniki momentu wynikające bezpośrednio z przyjętego pola naprężeń stycznych:

\[ M_x= \underbrace{G(I_y+I_z)\varphi’}_{M_V} + \underbrace{GJ_\omega\psi}_{M_\omega^{(\tau)}}. \tag{IV.A.47} \label{IV.A.47} \]

gdzie

\[ M_V=G(I_y+I_z)\varphi’ \tag{IV.A.48} \label{IV.A.48} \]

jest składnikiem wynikającym bezpośrednio z obrotu skrętnego przekroju, natomiast

\[ M_\omega^{(\tau)} = GJ_\omega\psi \tag{IV.A.49} \label{IV.A.49} \]

jest składnikiem związanym z amplitudą deplanacji występującą w polu naprężeń stycznych.

Charakterystyka $J_\omega$ (\ref {IV.A.44}$  jest nową charakterystyką geometryczną przekroju cienkościennego, związaną z gradientem współrzędnej wycinkowej. Nie należy jej mylić z wycinkowym momentem bezwładności $I_\omega$, zdefiniowanym przez samą współrzędną wycinkową. Charakterystykę $IV.A.X4}stać  wypowadzimy z definicji współrzędnej wycinkowej (\ref{IV.92}), z której na linii środkowej konturu otrzymujemy

\[ \frac{d\omega}{ds} = y(s)\frac{dz}{ds} – z(s)\frac{dy}{ds}. \tag{IV.A.50} \label{IV.A.50} \]

Przyjmując w klasycznym przybliżeniu cienkościennym, że współrzędna wycinkowa pozostaje stała w kierunku grubości ścianki, otrzymujemy

\[ z\omega_{,y}-y\omega_{,z} = -\left(\frac{d\omega}{ds}\right)^2. \tag{IV.A.51} \label{IV.A.51} \]

W konsekwencji całka po polu cienkościennego przekroju może zostać zastąpiona całką po linii środkowej ścianki:

\[ J_\omega = -\int_\Gamma \left(\frac{d\omega}{ds}\right)^2 t(s)\,ds. \tag{IV.A.52} \label{IV.A.52} \]

Zależność (\ref{IV.A.52}) stanowi bezpośrednią cienkościenną redukcję charakterystyki wynikającej z pełnego pola naprężeń stycznych (\ref{IV.A.30}).

Wielkość $J_\omega$ może być wyznaczana bezpośrednio z wykresu funkcji $d\omega/ds$ wzdłuż konturu. W przypadku odcinków, na których funkcja ta jest opisana liniowo, całkę (\ref{IV.A.52}) można obliczać metodą geometrycznego całkowania wykresów, traktując ją jako całkowanie iloczynu dwóch identycznych wykresów $d\omega/ds$, z uwzględnieniem lokalnej grubości $t(s)$. Pozwala to wyznaczać $J_\omega$ również dla przekrojów o złożonej geometrii bez konieczności wyprowadzania zamkniętej postaci analitycznej funkcji $\omega(s)$.

Charakterystyki $J_\omega$ i $J_t$ pozostają rozdzielone:
$J_\omega$ wynika z całkowania związanego z gradientem współrzędnej wycinkowej, natomiast
$J_t$ jest klasyczną stałą skrętną Saint-Venanta, wyznaczaną z odrębnego zagadnienia skręcania dla przekroju cienkościennego. Jej postacie dla przekrojów otwartych i zamkniętych określono wcześniej w (\ref{IV.110})–(\ref{IV.116}).

Podejście strumieniowe (wynikające z przepływu naprężeń)

Drugą drogę redukcji pola naprężeń stanowi opis cienkościenny za pomocą przepływu naprężeń stycznych. Punktem wyjścia pozostają składowe pola naprężeń $\sigma_{12}$ i $\sigma_{13}$ określone wcześniej w (\ref{IV.A.30}). Nie wprowadzamy zatem niezależnego pola naprężeń, lecz otrzymujemy przepływ przez rzut istniejącego pola naprężeń na kierunek styczny do linii środkowej ścianki. Niech 

\[\mathbf t_s(s) = t_y(s)\mathbf e_2+t_z(s)\mathbf e_3 \]

będzie jednostkowym wektorem stycznym do konturu $\Gamma$, przy czym

\[ t_y(s)=\frac{dy}{ds}, \qquad t_z(s)=\frac{dz}{ds}, \qquad t_y^2+t_z^2=1. \]

Składowa naprężenia stycznego działająca w kierunku stycznym do konturu wynosi

\[ \tau_s(s) = \sigma_{12}t_y+\sigma_{13}t_z. \tag{IV.A.53} \label{IV.A.53} \]

Przepływ ścinający definiujemy jako siłę styczną przypadającą na jednostkę długości konturu:

\[ q(s)=t(s)\tau_s(s). \tag{IV.A.54} \label{IV.A.54} \]

Po podstawieniu pola naprężeń (\ref{IV.A.30}) otrzymujemy

\[ \begin{aligned} q(s)=Gt(s)\Big[ &t_y\left(v’-\theta_3-z\varphi’-\psi\omega_{,y}\right) \\
&+ t_z\left(w’+\theta_2+y\varphi’-\psi\omega_{,z}\right) \Big]. \end{aligned} \tag{IV.A.55} \label{IV.A.55} \]

Przepływ można rozdzielić zgodnie ze składnikami przyjętego pola kinematycznego:

\[ q=q_s+q_V+q_\omega, \tag{IV.A.56} \label{IV.A.56} \]

gdzie

\[ q_s= Gt(s) \left[ t_y(v’-\theta_3) +t_z(w’+\theta_2) \right], \tag{IV.A.57} \label{IV.A.57} \]

jest częścią związaną z odkształceniami postaciowymi,

\[ q_V= Gt(s) \left( yt_z-zt_y \right)\varphi’, \tag{IV.A.58} \label{IV.A.58} \]

jest częścią wynikającą z obrotu skrętnego przekroju, natomiast

\[ q_\omega= -Gt(s) \left( t_y\omega_{,y}+t_z\omega_{,z} \right)\psi \tag{IV.A.59} \label{IV.A.59} \]

jest częścią związaną z deplanacją.

Ponieważ $s$ jest długością łuku linii środkowej, zachodzi

\[ t_y\omega_{,y}+t_z\omega_{,z} = \frac{d\omega}{ds}. \tag{IV.A.60} \label{IV.A.60} \]

Stąd

\[ q_\omega = -Gt(s)\frac{d\omega}{ds}\,\psi. \tag{IV.A.61} \label{IV.A.61} \]

Zależność (\ref{IV.A.61}) pokazuje, że funkcja wycinkowa występuje w opisie przepływu poprzez swoją zmianę wzdłuż konturu. Jest to konturowa reprezentacja tego samego pola naprężeń, które w podejściu bezpośrednim zostało zredukowane przez całkowanie po polu przekroju.

Elementarna siła styczna ma postać

\[ d\mathbf F_t = q(s)\mathbf t_s(s)\,ds. \tag{IV.A.62} \label{IV.A.62} \]

Wypadkowe siły poprzeczne oraz moment skręcający wynikają z całkowania przepływu po konturze, zgodnie z (\ref{IV.A.X20}) i (\ref{IV.A.X21}). Po rozdzieleniu przepływu według (\ref{IV.A.56}) moment można rozłożyć na składniki

\[ M_x= M_x^{(s)} + M_x^{(V)} + M_x^{(\omega)}. \tag{IV.A.63} \label{IV.A.63} \]

W układzie centralnym składnik $q_s$ nie wnosi dodatkowego składnika momentu wynikającego z momentów statycznych $S_y$ i $S_z$, natomiast składniki $q_V$ i $q_\omega$ pozostają związane odpowiednio z obrotem skrętnym $\varphi’$ oraz deplanacją $\psi$. Podejście strumieniowe daje zatem rozkład przepływu określony przez (\ref{IV.A.56})–(\ref{IV.A.61}). Na tym etapie nie wprowadzamy jeszcze charakterystyk odciętej części przekroju. Pojawią się one dopiero w lokalnym równaniu równowagi fragmentu przekroju i prowadzą do postaci uogólnionego wzoru Żurawskiego (\ref{IV.A.79}).

Podejście strumieniowe jest zgodne z podejściem bezpośrednim, ponieważ przepływ (\ref{IV.A.54}) jest zbudowany z tego samego pola naprężeń (\ref{IV.A.30}), a wielkości przekrojowe uzyskuje się przez jego redukcję z całki powierzchniowej do całki po konturze.

Podejście bimomentowe (wynikające z różniczkowania bimomentu)

Niezależnie od bezpośredniego całkowania pola naprężeń oraz opisu za pomocą przepływu naprężeń, składnik momentu związany z paczeniem można wyznaczyć z zależności pomiędzy bimomentem a jego zmianą wzdłuż osi pręta. Przy przyjętej w pracy konwencji znaków mamy

\[ M_\omega=-\frac{dB_\omega}{dx}. \tag{IV.A.64} \label{IV.A.64} \]

Bimoment został wcześniej wyznaczony z pola naprężeń normalnych i zapisany w (\ref{IV.79}) za pomocą charakterystyk geometrycznych związanych ze współrzędną wycinkową. Różniczkowanie tej zależności względem $x$ prowadzi do

\[ M_\omega = -\bar E \left( -I_{2w}\theta_2” +I_{3w}\theta_3” +I_w\psi” \right), \tag{IV.A.65} \label{IV.A.65} \]

gdzie $  \bar E=\frac{E_m}{1-\nu^2}.$

Zależność (\ref{IV.A.65}) jest bezpośrednią konsekwencją wcześniejszego wyprowadzenia bimomentu (\ref{IV.79}). W tej drodze wyznaczenia momentu giętno-skrętnego jego źródłem jest zmienność wzdłuż osi pręta pola naprężeń normalnych odpowiedzialnego za bimoment. Zależność ujawnia sprzężenie $M_\omega$ z obydwoma kierunkami zginania poprzez składniki $I_{2w}\theta_2”$ i $I_{3w}\theta_3”$ oraz z drugą pochodną amplitudy deplanacji poprzez $I_w\psi”$. W przypadku szczególnego związku kinematycznego $ \psi=\varphi’$ otrzymujemy

\[ M_\omega = -\bar E \left( -I_{2w}\theta_2” +I_{3w}\theta_3” +I_w\varphi”’ \right). \tag{IV.A.66} \label{IV.A.66} \]

Zależność ta nie stanowi ogólnego założenia pola przemieszczeń, lecz szczególny przypadek, w którym amplituda deplanacji zostaje związana z kątem skręcenia. Wykorzystuje ona wcześniej zdefiniowane charakterystyki $I_{2w}$, $I_{3w}$ i $I_w$ oraz wynikający z nich bimoment.

Wykazano zgodność przedstawionych sposobów opisu pola naprężeń stycznych. Zgodność podejścia bezpośredniego i strumieniowego wynika bezpośrednio z redukcji tego samego pola naprężeń $\sigma_{12}$ i $\sigma_{13}$, natomiast zgodność podejścia bimomentowego wynika pośrednio z zależności $ M_\omega=-\frac{dB_\omega}{dx},$ łączącej bimoment z momentem giętno-skrętnym. Wszystkie trzy opisy prowadzą zatem do tych samych wielkości mechanicznych, lecz wykorzystują różne sposoby ich redukcji.

Inżynierskie uogólnienie wzoru Żurawskiego dla pręta cienkościennego

Mależy rozróżnić poziom globalny i lokalny opisu. Równania różniczkowe pręta wyznaczają w przekroju $P$ wartości sił przekrojowych, natomiast lokalne równanie równowagi ścianki służy do wyznaczenia ich rozkładu wzdłuż konturu w postaci przepływu $q(s)$. Po ustaleniu $x=x_P=\mathrm{const}$ nie wprowadzamy ponownie zależności od zmiennej osiowej do lokalnego rozwiązania. Dzięki temu wynik globalny i lokalny opisują ten sam stan przekroju, lecz na dwóch różnych poziomach redukcji.

W artykule Belka Bernoulli. Wzór Zurawskiego   przedstawiono klasyczne ujęcie wzoru Żurawskiego. W tym rozdziale zależność tę uogólniamy na cienkościenny pręt opisany teorią Własowa, przyjmując inżynierski sposób wyznaczania naprężeń stycznych w wybranym przekroju pręta.

Na rys. IV.5 zewnętrzny moment skręcający oznaczono przez $M_v$. W rozpatrywanym przekroju jego wypadkową jest całkowity moment skręcający $M_x$, który rozdzielamy na składnik Saint-Venanta i składnik giętno-skrętny związany z paczeniem:

\[M_x=M_V+M_\omega. \tag{IV.A.67} \label{IV.A.67} \]

Znaczenie obu składników oraz zależności między momentem Saint-Venanta, momentem giętno-skrętnym i bimomentem określono wcześniej w (\ref{IV.119} )–(\ref{IV.124} ). Dla przyjętej konwencji znaków obowiązuje

\[ M_\omega=-\frac{dB_\omega}{dx}. \]

Rozpatrujemy przekrój $P$, którego stan siłowy został wcześniej wyznaczony w ramach globalnego rozwiązania pręta, również w przypadku rozwiązania nieliniowego. W przekroju tym znany jest wektor sił przekrojowych

\[ \mathbf F_P= \left\{ N_P,\, V_{yP},\, V_{zP},\, M_{xP},\, M_{yP},\, M_{zP},\, B_{\omega P} \right\}^{T}. \tag{IV.A.68} \label{IV.A.68} \]

Po ustaleniu $x=x_P=\mathrm{const}$ wielkości te traktujemy jako znane parametry lokalnego zagadnienia. Zmienną lokalną pozostaje współrzędna $s$ opisująca położenie punktu na konturze przekroju. Nie rozwiązujemy zatem ponownie globalnego problemu pręta ani nie wprowadzamy do lokalnego zagadnienia zależności od zmiennej $x$. Podstawą wyprowadzenia jest lokalne równanie równowagi cienkiej ścianki, zapisane wcześniej w postaci (\ref{IV.98}):

\[ \frac{dq}{ds} +t(s)\frac{\partial\sigma_{11}}{\partial x}=0. \tag{IV.A.69} \label{IV.A.69} \]

W tym ujęciu pole naprężenia normalnego nie ogranicza się do pojedynczego składnika zginającego. Jego pochodną względem osi pręta zapisujemy w postaci liniowej

\[ \frac{\partial\sigma_{11}}{\partial x} = \bar E \left( C_1+zC_2-yC_3-\omega C_4 \right), \tag{IV.A.70} \label{IV.A.70} \]

gdzie $C_1,\ldots,C_4$ są stałymi wartościami określonymi dla rozpatrywanego przekroju $P$.

Po całkowaniu równania (\ref{IV.A.69}) od punktu $s_0$ do punktu $s$, przy wykorzystaniu charakterystyk geometrycznych odciętej części przekroju

\[ A_1=\int_{s_0}^{s}t(\xi)\,d\xi, \qquad S_{y1}=\int_{s_0}^{s}z(\xi)t(\xi)\,d\xi,  \qquad S_{z1}=\int_{s_0}^{s}y(\xi)t(\xi)\,d\xi, \qquad S_{\omega1} = \int_{s_0}^{s}\omega(\xi)t(\xi)\,d\xi,
\tag{IV.A.71} \label{IV.A.71} \]

otrzymujemy

\[ q(s)= q_0-\bar E \left( A_1C_1+S_{y1}C_2-S_{z1}C_3-S_{\omega1}C_4 \right). \tag{IV.A.72} \label{IV.A.72} \]

Współczynniki $C_i$ są związane z wielkościami wynikającymi z globalnej równowagi. Przy stałych charakterystykach przekroju otrzymujemy

\[ \{p_{xP},\,V_{yP},\,V_{zP},\,M_{\omega P}\}^{T} = K_{\mathrm{normal}} \{C_1,\,C_2,\,C_3,\,C_4\}^{T}. \tag{IV.A.73} \label{IV.A.73} \]

gdzie w układzie centralnym, głównym i znormalizowanym przekroju:

\[K_{\mathrm{normal}} =\bar E \begin{bmatrix} A&0&0&0\\ 0&0&-I_z&-I_{3\omega}\\ 0&-I_y&0&I_{2\omega}\\ I_\omega&I_{2\omega}&-I_{3\omega}&0 \end{bmatrix}. \tag{IV.A.74} \label{IV.A.74} \]

Stąd

\[ \{C_1,\,C_2,\,C_3,\,C_4\}^{T}= K_{\mathrm{normal}}^{-1} \{p_{xP},\,V_{yP},\,V_{zP},\,M_{\omega P}\}^{T}. \tag{IV.A.75} \label{IV.A.75} \]

gdzie:
\[K_{\mathrm{normal}}^{-1} = \frac{1}{A\bar E D_\theta}\,\bar K_I. \tag{IV.A.76} \label{IV.A.76} \]

\[ D_\theta=I_zI_{2\omega}^{\,2}+I_yI_{3\omega}^{\,2}. \tag{IV.A.77} \label{IV.A.77} \]

\[ \bar K_I= \begin{bmatrix} D_\theta&0&0&0\\ -I_{2\omega}I_\omega I_z& -AI_{2\omega}I_{3\omega}& -AI_{3\omega}^{2}& AI_{2\omega}I_z\\
I_{3\omega}I_\omega I_y& -AI_{2\omega}^{2}& -AI_{2\omega}I_{3\omega}& -AI_{3\omega}I_y\\
-I_\omega I_yI_z& -AI_{3\omega}I_y& AI_{2\omega}I_z& AI_yI_z \end{bmatrix}. \tag{IV.A.78} \label{IV.A.78}\]

Macierz \(K_{\mathrm{normal}}^{-1}\) pozwala wyznaczyć współczynniki
\(C_1,C_2,C_3,C_4\) pola \(\partial\sigma_{11}/\partial x\) na podstawie sił przekrojowych ustalonych w rozpatrywanym przekroju \(P\). Po podstawieniu do (\ref{IV.A.71}) otrzymujemy zwartą postać uogólnionego wzoru Żurawskiego:

\[ q(s)= q_0- \bar E \begin{bmatrix}A_1&S_{y1}&-S_{z1}&-S_{\omega1} \end{bmatrix}
K_{\mathrm{normal}}^{-1} \begin{bmatrix} p_{xP}\\ V_{yP}\\ V_{zP}\\ M_{\omega P} \end{bmatrix}. \tag{IV.A.79} \label{IV.A.79} \]

Równanie (\ref{IV.A.79}) uwzględnia wpływ siły osiowej, obu składowych sił poprzecznych oraz momentu giętno-skrętnego \(M_\omega\) na zmianę pola naprężeń normalnych na długości rozpatrywanego elementu \(dx\). Charakterystyki \(A_1\), \(S_{y1}\), \(S_{z1}\) i \(S_{\omega1}\) opisują geometrię odciętej części przekroju, natomiast \(K_{\mathrm{normal}}^{-1}\) opisuje zależności przekrojowe. Moment Saint-Venanta \(M_V\) stanowi odrębną składową przepływu ścinającego i należy go wyznaczać zgodnie z wcześniej przedstawionym opisem skręcania (\ref{IV.112})–(\ref{IV.116} ).

Zastosowanie do przekrojów cienkościennych otwartych i zamkniętych

Dla przekroju cienkościennego otwartego punkt $s_0$ można wybrać na swobodnej krawędzi ścianki. Warunek brzegowy $ q_0(s_0)=0$ prowadzi do $ q_0=0,$, a a z (\ref{IV.A.79}) otrzymujemy

\[ q_0(s)= -\bar E \begin{bmatrix} A_1&S_{y1}&-S_{z1}&-S_{\omega1} \end{bmatrix}
K_{\mathrm{normal}}^{-1} \begin{bmatrix} p_{xP}\\V_{yP}\\ V_{zP}\\ M_{\omega P} \end{bmatrix}. \tag{IV.A.80} \label{IV.A.80} \]

Odpowiadające naprężenie styczne wynosi

\[ \tau_0(s)=\frac{q_0(s)}{t(s)}. \tag{IV.A.81} \label{IV.A.81} \]

Całkowity przepływ w przekroju otwartym otrzymujemy przez dodanie składowej Saint-Venanta:

\[ q(s)=q_0(s)+q_V(s). \tag{IV.A.82} \label{IV.A.82} \]

Dla przekroju cienkościennego zamkniętego nie występuje swobodna krawędź, dlatego warunek $q_0(s_0)=0$ nie może zostać przyjęty. Po formalnym przecięciu konturu przepływ wynikający z (\ref{IV.A.79}) zapisujemy jako $  q(s)=q_0(s)+q_c,$ gdzie $q_0(s)$ jest przepływem podstawowym wynikającym z uogólnionego wzoru Żurawskiego, natomiast $q_c$ jest stałą składową obiegową wyznaczaną z warunku zgodności zamkniętej ścianki. Stała $q_0$ wynika z warunków zgodności zamkniętej ścianki, określonych wcześniej w (\ref{IV.102})–(\ref{IV.104}). Dla jednokomorowego przekroju zamkniętego poddanego czystemu skręcaniu składowa Saint-Venanta jest określona wzorem Bredta (\ref{IV.108}):

\[ q_V=\frac{M_V}{2A_m}. \tag{IV.A.83} \label{IV.A.83} \]

gdzie $A_m$ jest polem ograniczonym przez linię środkową ścianki. Odpowiadające naprężenie styczne wynosi

\[ \tau_V(s) = \frac{q_V}{t(s)} = \frac{M_V}{2A_m\,t(s)}. \tag{IV.A.84} \label{IV.A.84} \]

W ogólnym przypadku przepływ w przekroju zamkniętym można zatem zapisać jako

\[ q(s)=q_0(s)+q_c+q_V(s). \tag{IV.A.85} \label{IV.A.85} \]

W szczególnym przypadku czystego skręcania Saint-Venanta, bez udziału przepływu podstawowego wynikającego z równania Żurawskiego, mamy

\[ q_0(s)=0, \qquad q_c=0, \qquad q=q_V=\frac{M_V}{2A_m}, \tag{IV.A.86} \label{IV.A.86} \]

co prowadzi do klasycznej zależności Bredta (\ref{IV.108}).

Różniczkowy układ równań równowagi nieliniowego pręta cienkościennego

Różniczkowy układ równań równowagi cienkościennego pręta można otrzymać bezpośrednio z przyjętego pola przemieszczeń Własowa–Timoshenki, poprzez różniczkowanie wzdłuż osi pręta odpowiednich sił przekrojowych i przyjęcie warunków równowagi z odpowiadającymi im rozłożonymi obciążeniami zewnętrznymi. Dalsze rozważania prowadzone są w układzie centralnym, głównym i znormalizowanym, dla którego $ S_y=S_z=S_w=S_{wy}=S_{wz}=0,\qquad I_{yz}=0.$

W przyjętej konwencji wektor wielkości przekrojowych ma postać (\ref{IV.EQ}). Układ ten stanowi podstawowy układ równań różniczkowych opisujący równowagę cienkościennego pręta oraz punkt wyjścia do dalszej analizy sprzężenia zginania, skręcania i paczenia oraz nieliniowego zachowania pręta, w tym utraty stateczności giętnej, skrętnej i giętno-skrętnej (zwichrzenia).

Układ równań równowagi otrzymuje się poprzez różniczkowanie wzdłuż osi pręta sił przekrojowych, wyrażonych w funkcji przyjętych zmiennych kinematycznych, a następnie przyrównanie ich do odpowiadających rozłożonych obciążeń zewnętrznych. Zbiór niezależnych wielkości siłowych zapisujemy w postaci wektora $ \frac{d\mathbf{S}}{dx}=\mathbf{p}(x).$.  W układzie centralnym, głównym i znormalizowanym wektor sił przekrojowych wyrażony w funkcji zmiennych kinematycznych można zapisać w postaci

\[ \mathbf{S}(x)= \begin{bmatrix} N(x)\\ V_y(x)\\ V_z(x)\\ M_y(x)\\ M_z(x)\\ B_\omega(x)\\ M_x(x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
A\bar E\,u'(x)\\[1mm]
GA\left(v'(x)-\theta_3(x)\right)\\[1mm]
GA\left(\theta_2(x)+w'(x)\right)\\[1mm]
\bar E\left[-I_{2\omega}\psi'(x)+I_y\theta_2′(x)\right]\\[1mm]
\bar E\left[I_{3\omega}\psi'(x)+I_z\theta_3′(x)\right]\\[1mm]
\bar E\left[I_\omega\psi'(x)-I_{2\omega}\theta_2′(x)+I_{3\omega}\theta_3′(x)\right]\\[1mm]
G(I_y+I_z)\phi'(x)+\bar E\left[I_{2\omega}\theta_2”(x)-I_{3\omega}\theta_3”(x)-I_\omega\phi”'(x)\right]
\end{bmatrix}. \tag{IV.A.87} \label{IV.A.87} \]

Odpowiadający mu wektor rozłożonych obciążeń zewnętrznych ma postać
\[ \mathbf{p}(x)= \begin{bmatrix} p_x(x)\\ p_y(x)\\ p_z(x)\\ m_y(x)\\ m_z(x)\\ b_\omega(x)\\ m_x(x) \end{bmatrix}. \tag{IV.A.88} \label{IV.A.88} \]

Należy zachować siedem niezależnych wielkości siłowych. Wielkości \(B_\omega\) i \(M_\omega\) nie stanowią dwóch niezależnych składowych wektora sił przekrojowych. Moment giętno-skrętny \(M_\omega\) jest określony przez zmianę bimomentu wzdłuż osi pręta. Przy przyjętej konwencji znaków zachodzi zależność

\[ M_\omega=\frac{dB_\omega}{dx}.\tag{IV.A.89} \label{IV.A.89} \]

Wprowadzenie \(M_\omega\) nie zwiększa zatem liczby niezależnych wielkości siłowych. Równanie związane z paczeniem wynika z różniczkowania bimomentu \(B_\omega\), natomiast równanie równowagi skrętnej otrzymuje się przez różniczkowanie całkowitego momentu skręcającego \(M_x\). 

Wyprowadzenie zależności dla równania skrętnego można pokazać na przykładzie momentu skręcającego \(M_x\). Równanie równowagi względem osi pręta przyjmujemy w postaci

\[ \frac{dM_x}{dx}=m_x. \tag{IV.A.90} \label{IV.A.90} \]

gdzie \(m_x\) oznacza rozłożony moment skręcający. Z wcześniejszego rozdzielenia

$ M_x=M_V+M_\omega $ oraz przyjętej zależności $ M_\omega=\frac{dB_\omega}{dx}$ otrzymujemy, po uwzględnieniu definicji bimomentu,

\[M_x=G(I_y+I_z)\varphi’ +\bar E\left(I_{2\omega}\theta_2”-I_{3\omega}\theta_3”-I_\omega\psi”\right). \]

W szczególnym przypadku związku kinematycznego $\psi=\varphi’$ zależność ta przyjmuje postać

\[M_x=G(I_y+I_z)\varphi’ +\bar E\left(I_{2\omega}\theta_2”-I_{3\omega}\theta_3”-I_\omega\varphi”’\right). \tag{IV.A.91} \label{IV.A.91} \]

Po zróżniczkowaniu względem \(x\) otrzymujemy równanie równowagi skrętnej
\[ G(I_y+I_z)\varphi” +\bar E\left(I_{2\omega}\theta_2”’-I_{3\omega}\theta_3”’-I_\omega\varphi””\right) =m_x. \tag{IV.A.92} \label{IV.A.92} \]

Z zależności kinematycznych dla zginania

\[\theta_2=-w’,\qquad \theta_3=v’ \tag{IV.A.93} \label{IV.A.93} \] wynika natomiast

\[ \theta_2”’=-w””,\qquad \theta_3”’=v””. \tag{IV.A.94} \label{IV.A.94} \]

Po podstawieniu otrzymujemy

\[ G(I_y+I_z)\varphi” +\bar E\left(-I_{2\omega}w””-I_{3\omega}v””-I_\omega\varphi””\right) =m_x. \tag{IV.A.95} \label{IV.A.95} \]

Równanie to ma charakter sprzężony: oprócz kąta skręcenia \(\varphi\) występują w nim czwarte pochodne przemieszczeń poprzecznych \(v\) i \(w\). Sprzężenie wynika z charakterystyk wycinkowych \(I_{2\omega}\) i \(I_{3\omega}\), natomiast \(I_\omega\) odpowiada składnikowi związanemu bezpośrednio ze zmiennością paczenia przekroju. W szczególnym przypadku, gdy

\[ I_{2\omega}=I_{3\omega}=0, \] równanie upraszcza się do \[ G(I_y+I_z)\varphi”-\bar E I_\omega\varphi””=m_x. \tag{IV.A.96} \label{IV.A.96} \]

Otrzymane równanie stanowi część sprzężonego układu równań różniczkowych pręta cienkościennego. Zależności niższego rzędu nie są tutaj ponownie wyprowadzane, ponieważ zostały określone wcześniej. W dalszej analizie przedmiotem zainteresowania jest zgodność trzech sposobów opisu momentu skręcającego: poprzez bezpośrednie całkowanie pola naprężeń (\ref{IV.A.43})–(\ref{IV.A.49}), poprzez przepływ ścinający (\ref{IV.A.53})–(\ref{IV.A.61}) oraz poprzez różniczkowanie bimomentu (\ref{IV.A.64})–(\ref{IV.A.66}).

Bimoment \(B_\omega\) jest niezależną wielkością siłową związaną z paczeniem przekroju, natomiast moment giętno-skrętny \(M_\omega\) nie stanowi dodatkowej niezależnej składowej wektora sił przekrojowych. Przy przyjętej konwencji znaków jest on związany z bimomentem zależnością  (\ref{IV.A.89}). W układzie centralnym, głównym i znormalizowanym bimoment ma postać

\[ B_\omega= \bar E\left( I_\omega\psi’ -I_{2\omega}\theta_2′ +I_{3\omega}\theta_3′ \right). \]

W konsekwencji
\[ M_\omega= \bar E\left( I_{2\omega}\theta_2” -I_{3\omega}\theta_3” -I_\omega\psi” \right). \]

Redukcja ogólnego układu równań równowagi

##### Redukcja z 7-miu do 4-ch równań

Szczególną uwagę należy zwrócić na cztery równania układu (\ref{IV.EQ}) związane z siłą osiową, momentami zginającymi \(M_y\), \(M_z\) oraz bimomentem \(B_\omega\). W ogólnym przypadku trzy równania związane z momentami zginającymi i bimomentem są wzajemnie sprzężone poprzez charakterystyki wycinkowe \(I_{2\omega}\) i \(I_{3\omega}\). Ich redukcja, wraz z równaniem dotyczącym siły osiowej, pozwala określić \(u”\), \(\theta_2”\), \(\theta_3”\) oraz \(\psi”\) w funkcji odpowiednich obciążeń.

Dla siły osiowej pierwsze równanie układu (\ref{IV.EQ}) ma postać $A\bar E\,u”(x)=p_x(x),$ wobec czego $u”(x)=\frac{p_x(x)}{A\bar E}.$ Pozostałe trzy równania układu (\ref{IV.EQ}) tworzą sprzężony układ algebraiczny względem \(\theta_2”(x)\), \(\theta_3”(x)\) i \(\psi”(x)\).

Po rozwiązaniu powstałego układu czterech równań równowagi względem miar kinematycznych otrzymujemy zredukowany układ czterech równań

\[ \begin{bmatrix} u”(x)\\ \theta_2”(x)\\ \theta_3”(x)\\ \psi”(x) \end{bmatrix} = \frac{1}{A\bar E D_\theta} \begin{bmatrix} D_\theta & 0 & 0 & 0\\
-I_{2\omega}I_\omega I_z & A I_{3\omega}^{\,2} & A I_{2\omega}I_{3\omega} & A I_{2\omega}I_z\\
I_{3\omega}I_\omega I_y & A I_{2\omega}I_{3\omega} & A I_{2\omega}^{\,2} & -A I_{3\omega}I_y\\
-I_\omega I_yI_z & -A I_{2\omega}I_z & A I_{3\omega}I_y & A I_yI_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x(x)\\ m_y(x)\\ m_z(x)\\ b_\omega(x)
\end{bmatrix}. \tag{IV.A.97} \label{IV.A.97} \]

gdzie

\[ D_\theta=I_zI_{2\omega}^{\,2}+I_yI_{3\omega}^{\,2}. \tag{IV.A.98} \label{IV.A.98} \]

Otrzymane zależności tworzą zredukowany układ czterech równań dla \(u”\), \(\theta_2”\), \(\theta_3”\) oraz \(\psi”\), zapisany na poziomie obciążeń \(p_x\), \(m_y\), \(m_z\) i \(b_\omega\). W ogólnym przypadku krzywizny \(\theta_2”\) i \(\theta_3”\) zależą od obu obciążeń momentowych, obciążenia bimomentowego oraz obciążenia osiowego, natomiast \(\psi”\) zależy od obciążenia bimomentowego, obu obciążeń momentowych oraz obciążenia osiowego. Charakterystyki \(I_{2\omega}\) i \(I_{3\omega}\) określają zatem sprzężenie pomiędzy zginaniem i paczeniem.

Jednoznaczność algebraicznego rozwiązania przedstawionego układu. wystąpi w przypadku$ [D_\theta\neq0$. W innej sytuacji miekednoznaczne  rozwiązanie wymaga odrębnej analizy zdegenerowanego układu charakterystyk geometrycznych.

Redukcja z 7-miu do 4-ch równań na poziomie gradientów sił przekrojowych

Z równań równowagi (\ref{IV.EQ}) wprost wynika, że obciążenie rozłożone jest gradientem odpowiedniej wielkości przekrojowej. Zależność tę można zapisać w postaci

\[ \begin{bmatrix} p_x(x)\\ m_y(x)\\ m_z(x)\\ b_\omega(x) \end{bmatrix} = \frac{d}{dx} \begin{bmatrix} N(x)\\ M_y(x)\\ M_z(x)\\ B_\omega(x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n_x(x)\\ V_y(x)\\ V_z(x)\\M_\omega(x) \end{bmatrix}. \tag{IV.A.99} \label{IV.A.99} \]

gdzie \(n_x=N’\) oznacza gradient siły osiowej, natomiast \(V_y\), \(V_z\) są siłami poprzecznymi, a \(M_\omega=B_\omega’\) jest momentem związanym z paczeniem.

W związku z tym zredukowany układ równań na poziomie gradientów sił przekrojowych otrzymujemy bezpośrednio przez podstawienie zależności (\ref{IV.A.99}) do równania (\ref{IV.A.97}). Otrzymana postać zachowuje tę samą strukturę sprzężeń geometrycznych, lecz zamiast obciążeń rozłożonych \(p_x\), \(m_y\), \(m_z\) i \(b_\omega\) wykorzystuje odpowiednie gradienty sił przekrojowych \(n_x\), \(V_y\), \(V_z\) i \(M_\omega\).

Przypadek rozprzężenia zginania i paczenia

Szczególnym przypadkiem jest $ I_{2\omega}=I_{3\omega}=0.$

Wówczas równania momentów zginających przyjmują postać

\[ \theta_2”(x)=\frac{m_y(x)}{\bar E I_y}, \qquad \theta_3”(x)=\frac{m_z(x)}{\bar E I_z}, \tag{IV.A.100} \label{IV.A.100} \]

natomiast równanie bimomentu redukuje się do

\[ I_\omega u”(x)=\frac{b_\omega(x)}{\bar E}. \tag{IV.A.101} \label{IV.A.101} \]

W ten sposób zanikają wzajemne sprzężenia wynikające z charakterystyk \(I_{2\omega}\) i \(I_{3\omega}\). Warunek \(I_{2\omega}=I_{3\omega}=0\) nie jest przy tym ograniczony wyłącznie do przekrojów bisymetrycznych. Zależy on od przyjętego układu odniesienia oraz właściwości funkcji wycinkowej. Przekroje o odpowiednich własnościach symetrii stanowią jeden ze szczególnych przypadków, w których charakterystyki te zanikają.

 Redukcja równania skrętnego

Dalsza redukcja dotyczy ostatniego równania układu (\ref{IV.EQ}), związanego z równowagą całkowitego momentu skręcającego \(M_x\). Całkowity moment skręcający jest sumą części Saint-Venanta \(M_V\) oraz części związanej z paczeniem \(M_\omega\),

\[ M_x=M_V+M_\omega. \tag{IV.A.102} \label{IV.A.102} \]

W układzie centralnym, głównym i znormalizowanym część Saint-Venanta ma postać

\[ M_V=G(I_y+I_z)\phi’. \]

Zależność pomiędzy momentem giętno-skrętnym a bimomentem nie jest tutaj przyjmowana jako niezależna definicja, lecz wynika bezpośrednio z równań równowagi przekroju; przy przyjętej konwencji znaków otrzymujemy

\[ M_\omega(x)=\frac{dB_\omega(x)}{dx}. \tag{IV.A.103} \label{IV.A.103} \]

Dla \(I_{2\omega}=I_{3\omega}=0\) bimoment ma postać $[ B_\omega=\bar E I_\omega\psi’. $

Po przyjęciu szczególnego związku kinematycznego $ \psi=\phi’$ otrzymujemy $ B_\omega=\bar E I_\omega\phi”.$ Stąd, zgodnie z zależnością wynikającą z równań równowagi,

\[ M_\omega =\frac{dB_\omega}{dx} =\bar E I_\omega\phi”’. \tag{IV.A.104} \label{IV.A.104} \]

Całkowity moment skręcający przyjmuje zatem postać

\[ M_x= G(I_y+I_z)\phi’ +\bar E I_\omega\phi”’. \tag{IV.A.105} \label{IV.A.105} \]

Równanie równowagi względem osi pręta ma postać $ \frac{dM_x}{dx}=m_x. $ Po zróżniczkowaniu (\ref{IV.A.105}) otrzymujemy

\[ G(I_y+I_z)\phi” +\bar E I_\omega\phi”” =m_x. \tag{IV.A.106} \label{IV.A.106} \]

Jest to równanie skręcania nieswobodnego wynikające bezpośrednio z przyjętego modelu. W przypadku braku rozłożonego momentu skręcającego, \(m_x=0\), otrzymujemy równanie jednorodne

\[ G(I_y+I_z)\phi” +\bar E I_\omega\phi”” =0. \tag{IV.A.107} \label{IV.A.107} \]

Relacja z klasycznym równaniem Własowa

Równanie (\ref{IV.A.105}) ma strukturę analogiczną do klasycznego równania skręcania nieswobodnego Własowa,

\[ GJ\phi” +EI_\omega\phi”” =m_x. \tag{IV.A.108} \label{IV.A.108} \]

Podobieństwo obu równań wynika z identycznej struktury mechanizmu paczenia. W obu przypadkach moment skręcający składa się z części Saint-Venanta oraz części związanej ze zmiennością paczenia. W rozważanym modelu zależność ta ma postać

\[ M_x= G(I_y+I_z)\phi’ +\bar E I_\omega\phi”’. \]

W klasycznej teorii Własowa odpowiednia zależność ma analogiczną strukturę, z charakterystyką skręcania Saint-Venanta \(J\) oraz klasycznym modułem Younga \(E\).

Nie można jednak utożsamiać obu opisów bez dodatkowych założeń. W przedstawionym modelu charakterystykę skręcania Saint-Venanta reprezentuje \(I_y+I_z\), natomiast w teorii Własowa występuje stała skręcania \(J\). Ogólnie $ I_y+I_z\neq J.$ Różnica ta wynika z odmiennego sposobu opisu pola odkształceń stycznych przekroju. Również charakterystyka materiałowa części związanej z paczeniem jest w obu opisach zapisana odmiennie. W przedstawionym modelu występuje zredukowany moduł $ \bar E=\frac{E}{1-\nu^2},$ podczas gdy w klasycznym równaniu Własowa występuje \(E\). Z tego względu dokładne przejście do klasycznego równania Własowa wymaga odpowiedniej identyfikacji charakterystyk torsyjnych i materiałowych.

Istotna zgodność dotyczy natomiast mechanizmu paczenia. Bimoment jest związany z pierwszą pochodną funkcji paczenia, a jego zmiana wzdłuż osi pręta prowadzi do momentu giętno-skrętnego. Przy szczególnym związku kinematycznym \(\psi=\phi’\) otrzymujemy zależność bimomentu od \(\phi”\), a następnie momentu giętno-skrętnego od \(\phi”’\). W równaniu równowagi momentu skręcającego pojawia się w konsekwencji czwarta pochodna \(\phi””\).

Klasyczne równanie Własowa można zatem traktować jako szczególny przypadek rozważanego opisu, uzyskiwany po rozprzężeniu zginania i paczenia oraz po przyjęciu klasycznej charakterystyki torsyjnej i materiałowej. Relację tę można schematycznie zapisać jako

\[ \text{uogólniony model} \quad\longrightarrow\quad I_{2\omega}=I_{3\omega}=0 \quad\longrightarrow\, I_y+I_z\rightarrow J,\, \bar E\rightarrow E \,\longrightarrow\quad \text{równanie Własowa}.\tag{IV.A.109}
\label{IV.A.109} \]

Warunek \(D_\theta\neq0\) pozostaje warunkiem algebraicznej odwracalności układu (\ref{IV.A.93})–(\ref{IV.A.95}). Jego spełnienie jest niezależne od późniejszej redukcji równania skrętnego.

Przypadek szczególny — stała siła osiowa

Rozpatrujemy pręt cienkościenny o długości \(L\), którego przekrój poprzeczny jest stały wzdłuż osi pręta. Oznacza to, że geometria konturu \(\Gamma\), grubość ścianki \(t(s)\) oraz wszystkie charakterystyki geometryczne przekroju są niezależne od współrzędnej osiowej \(x\). W szczególności $ A,\ I_y,\ I_z,\ I_{yz},\ I_{2\omega},\ I_{3\omega},\ I_\omega=\mathrm{const}.$ <p>Pręt jest wykonany z jednorodnego materiału, dla którego \(E=\mathrm{const}\) oraz \(G=\mathrm{const}\). Na pręt działa stała siła osiowa \(F\), przyłożona w jednym z końcowych przekrojów. Przyjmujemy \(F>0\) dla ściskania, a zatem w całym pręcie  $N(x)=-F=\mathrm{const}.$

Przedmiotem analizy jest bezpośrednie wyznaczenie funkcji ugięcia i skręcenia odpowiadających zadanemu poziomowi obciążenia \(\bar\Lambda\). Poszukujemy zatem rozwiązania w postaci

\[ v=v(x;\bar\Lambda), \qquad w=w(x;\bar\Lambda), \qquad \phi=\phi(x;\bar\Lambda). \tag{IV.A.110} \label{IV.A.110} \]

Do opisu poziomu obciążenia wprowadzamy bezwymiarowy parametr

\[ \bar\Lambda= \frac{FL^2}{\pi^2EI}, \tag{IV.A.111} \label{IV.A.111} \]

oraz odpowiadający mu parametr

\[ \mu=\pi\sqrt{\bar\Lambda}, \qquad \mu^2=\pi^2\bar\Lambda. \tag{IV.A.112} \label{IV.A.112} \]

W pierwszym etapie rozpatrujemy stan jednorodny względem obciążeń poprzecznych i skrętnych, dlatego przyjmujemy

\[q_y=q_z=0,\qquad m_x=0. \tag{IV.A.113} \label{IV.A.113} \]

Do opisu części poprzeczno-skrętnej pola kinematycznego wykorzystujemy wektor funkcji \[ \mathbf q(x)= \{v(x),\, w(x),\, \phi(x) \}^T$ Rozpatrywany schemat podparcia obejmuje podpory nieprzesuwne w kierunkach poprzecznych oraz jedno podparcie widełkowe, pokazane na rys. IV.A.1.</p>,   któea nadaje warunki  brzgowe $ \phi=0,\, w=0.$

Warunek \(\psi=0\) nie należy przypisywać podporze widełkowej Amplituda paczenia \(\psi\) pozostaje odrębną zmienną kinematyczną i jej warunek brzegowy należy określić na podstawie warunku mechanicznego dotyczącego bimomentu lub dodatkowego założenia dotyczącego paczenia. Jeżeli w dalszym rozwiązaniu zostanie przyjęty szczególny związek kinematyczny \(\psi=\phi’\), warunek \(\psi=0\) może być wprowadzony dopiero jako konsekwencja tego dodatkowego założenia, a nie jako bezpośredni warunek podpory widełkowej. Ograniczenie przesuwu osiowego na jednym z końców służy jedynie usunięciu ruchu bryły sztywnej i nie jest utożsamiane z siłą osiową \(F\), która pozostaje zadanym obciążeniem zewnętrznym.

Po uwzględnieniu stałej siły osiowej \(N=-F\) w równaniach równowagi, wraz z odpowiadającymi jej składnikami geometrycznymi, otrzymujemy układ równań różniczkowych opisujący stan równowagi pręta w konfiguracji odkształconej. Ponieważ przekrój oraz właściwości materiałowe są stałe wzdłuż osi pręta, współczynniki tego układu nie zależą od \(x\). Siła osiowa \(F\) występuje w nim jako parametr obciążenia, a jej bezwymiarową miarą jest \(\bar\Lambda\).

Energia odkształcenia i funkcjonał Lagrange’a

Geometryczna reprezentacja sił i momentów

W ujęciu algebry geometrycznej siły i momenty przekrojowe mogą być reprezentowane jako obiekty geometryczne związane z orientacją przekroju. Moment skręcający względem osi $x$ zapisujemy w postaci dwuwektora płaszczyzny przekroju

\[\mathcal{M}_x=M_x\,\mathbf e_y\wedge\mathbf e_z. \]

Pełny moment przekroju można przedstawić jako

\[ \mathcal{M} = M_x\,\mathbf e_y\wedge\mathbf e_z + M_y\,\mathbf e_z\wedge\mathbf e_x + M_z\,\mathbf e_x\wedge\mathbf e_y. \]

W tej reprezentacji moment jest traktowany jako obiekt geometryczny związany z zorientowaną płaszczyzną, natomiast klasyczny zapis osiowy stanowi jego reprezentację dualną.

Energia odkształcenia

Energię odkształcenia konstrukcji definiujemy jako

\[ U= \frac12\int_V \boldsymbol{\sigma}:\boldsymbol{\varepsilon}\,dV. \]

Po redukcji po polu przekroju można ją zapisać w postaci jednowymiarowej

\[ U= \frac12\int_0^L \mathcal U(x)\,dx, \]

gdzie $\mathcal U(x)$ oznacza energię odkształcenia przypadającą na jednostkę długości pręta.

Wartość $\mathcal U(x)$ jest skalarem, mimo że wielkości mechaniczne występujące w jej konstrukcji mogą być reprezentowane jako wektory i dwuwektory.

Funkcjonał całkowity

Funkcjonał energetyczny pręta przyjmujemy w postaci

\[\Pi=U-W, \]

gdzie $U$ oznacza energię odkształcenia, natomiast $W$ oznacza pracę sił zewnętrznych.

Warunek stacjonarności funkcjonału

\[ \delta\Pi=0 \]

prowadzi do równań równowagi oraz odpowiednich warunków naturalnych.

Ujęcie geometryczne pozwala zachować rozdzielenie pomiędzy geometryczną reprezentacją sił i momentów a skalarnym charakterem energii i funkcjonału. Iloczyn geometryczny łączy część skalarną i zewnętrzną, dzięki czemu może stanowić wspólny formalizm dla opisu wielkości mechanicznych i ich orientacji.

Przykłady 

Przykład 1 

w opracowaniu 

Przykład 2  [ Technika wyznaczania charakterystyk geometrycznych przekroju cienkościennego ]

W przykłądzie przedstawimy  pocedury  umeryczne stosowane w peraktyce przy wyznaczaniu chraktertyk geometryczbnech przkrojów cienkościennych

Całkowanie numeryczne iloczynu dwóch funkcji

Obliczanie charakterystyk geometrycznych przekroju cienkościennego jest w praktyce prowadzone  skróconymi  metodami  całkowania $\int f_0^L  f(x)\cdot g(x) dx$  iloczynu dwóch funkcji $f(x)$ i $g(x)$ na odcinku ścianki

Wyznaczanie charakterystyk dotyczy przekroju cienkościennego sprowadzonego do konturu złożonego z linii środkowych ścianek.

Obliczanie charakterystyk geometrycznych przekroju cienkościennego sprowadza się w praktyce do całkowania, wzdłuż poszczególnych ścianek, iloczynu dwóch funkcji  $  \int_0^L f(x)\,g(x)\,dx,$  na odcinku ścianki o długości $L$.   W praktyce stosuje się następujące metody całkowania, umożliwiające uzyskanie dokładnych wyników dla odpowiednio dobranych klas funkcji:

• metodę trapezów MT
• metodę Simpsona MS
• metodę Mohra-Wereszczagina  MM-W

W każdej z metod funkcja $f(x)$ jest ciągła i gładka oraz co najwyżej liniowa:  $f(x)=a_f\,x+b_f.$.

Warunki dotyczące funkcji $g(x)$ są natomiast różne dla poszczególnych metod:

• w metodzie MT — funkcja $g(x)$ jest co najwyżej liniowa: $g(x)=a_g\,x+b_g;$
• w metodzie MS — funkcja $g(x)$ jest co najwyżej drugiego stopnia: $g(x)=a_g\,x^2+b_g\,x+c_g;$
• w metodzie MM-W — funkcja $g(x)$ może mieć dowolny przebieg, pod warunkiem że znane jest pole $\Omega_g$ pod jej wykresem oraz położenie środka ciężkości tego pola, określone współrzędną $x_{c,g}$.

Przy spełnieniu powyższych warunków otrzymuje się wyniki dokładne dla rozpatrywanych klas funkcji. Jeżeli warunki te nie są spełnione, wynik całkowania jest obarczony błędem zależnym od stopnia, w jakim rzeczywisty przebieg funkcji podcałkowych odbiega od przyjętego modelu.

Wzory całkowania w poszczególnych metodach są następujące:

\[  \int_0^L f(x)\,g(x)\,dx= \begin{cases} \frac{L}{6} \left[ 2\left(f_p g_p+f_k g_k\right) +f_p g_k+f_k g_p \right], & \text{dla metody MT},\\[12pt]
\frac{L}{6} \left[ f_p g_p+4f_s g_s+f_k g_k \right], & \text{dla metody MS},\\[12pt]   \Omega_g\,f(x_{c,g}), & \text{dla metody MM-W}. \end{cases} \tag{IV.P2.1} \label{IV.P2.1} \]

W przypadku przekrojów złożonych z prostoliniowych ścianek wykresy współrzędnych $y$, $z$ oraz współrzędnej wycinkowej $\omega$ są liniowe. Najprostszym rozwiązaniem jest wówczas zastosowanie metody trapezów MT i wzoru (\ref{IV.P2.1}). W przypadku ścianek krzywoliniowych przebieg funkcji opisujących współrzędne geometryczne może być nieliniowy. W takich przypadkach szczególnie użyteczna jest metoda Mohra-Wereszczagina MM-W, jeżeli znane jest położenie środka ciężkości odpowiedniego pola.

Najprostszym przykładem zastosowania metody MM-W jest wyznaczanie pola powierzchni przekroju cienkościennego. W przybliżeniu cienkościennym pole można zapisać jako sumę pól poszczególnych ścianek:

\[  A=\sum_i l_i\,t_i. \tag{IV.P2.2} \label{IV.P2.2} \]

Wyrażenie (\ref{IV.P2.2}) ma bezpośrednią interpretację w metodzie Mohra-Wereszczagina. Dla ścianki $i$ o długości $l_i$ i stałej grubości $t_i$ przyjmujemy $ g(s)=t_i.$.  Pole pod wykresem funkcji $g(s)$ wynosi zatem
$ \Omega_g=\int_0^{l_i}t_i\,ds=l_i\,t_i,$

a współrzędna środka ciężkości tego pola jest równa $ x_{c,g}=\frac{l_i}{2}. $

Jeżeli natomiast  $f(s)\equiv1,$ to w punkcie środka ciężkości pola funkcji $g(s)$ zachodzi  $ f(x_{c,g})=1. $ Zatem zgodnie z metodą MM-W  $\int_0^{l_i}f(s)\,g(s)\,ds=\Omega_g\,f(x_{c,g})=l_i\,t_i,$ co prowadzi bezpośrednio do zależności (\ref{IV.P2.2}).

Transformacja współrzędnych

Charakterystyki geometryczne przekroju wyznaczane są w kilku układach współrzędnych. W pierwszej kolejności stosowany jest układ globalny (początkowy) $(Y,Z).$ Następnie wprowadza się układ centralny $(y_c,z_c)$, którego początek znajduje się w środku ciężkości przekroju, a osie są równoległe do osi układu globalnego. Kolejnym układem jest układ główny $(y,z)$, również związany ze środkiem ciężkości, lecz obrócony względem układu centralnego w taki sposób, aby moment dewiacji przekroju był równy zero. 

Operacje przejścia pomiędzy tymi układami podlegają matematycznym zasadom transformacji współrzędnych. Dla stosowanego w artykule prawoskrętnego, matematycznego układu współrzędnych zasady te przedstawiono na rys. IV.P2.2.

Przykład 3  [ Chrakterystyki geometryczne przekoju cienkościennego ]

Przykład na podstawie opracowania [35]

Wyznaczyć charakterystyki geometryczne przkeoju ora jego odciętej części  odciętej części przekroju  w punkcie C wg rys P3-1. 

Dane

Na rys. P3-1 przekrój w liniach środkowych ścianek oznaczono  linią grubą

Układ globalny osi (Y,Z) jest prostopadły sdo osi pręta X i zaczepiony w lewym , górnym narożu przekroju

Węzły przekroju:
(1)  $(y_1 = 20 \, ;\, z_1= 0)$ cm,
(2) $(0\, ;\, 0)$ cm,
(3) $(0\, ; , -30)$ cm,
(4) $(13\, ; , -30)$ cm,

Ścianki przekroju:
[1] =(1)-(2) $l_1= 20 \, cm$, $t_1= 2 \, cm$
[2]=(2)-(3) $l_2= 30 \, cm$, $t_2= 3 \, cm$
[3]=(3)- (4) $l_3= 13 \, cm$ $t_3= 1,3 \, cm$

Środek ciężkości, osie centralne, osie główne

Na rys. P3-2 osie centralne (przechodzące prze środek ciężkości) naniesiono liniami niebieskimi, a osie główne (osie centrale, ale nachylone pod kątem $\alpha$, względem których momenty bezładności przyjmują wartości ekstremalne, a moment dewiacji jest zerowy) oznaczono liniami bordowymi

$A_1$ = 20\cdot 2  = 40 \, cm^2$
$A_2$ = 30\cdot 3  = 90 \, cm^2$
$A_3$ =13\cdot 1,3 = 16,9 \, cm^2$

tab. IV.3, kol. (6), wiersz 1:
$ \to A=40+90+16,9=146,9\,\mathrm{cm^2}.$

Współrzędne lokalnych środków ciężkości w układzie początkowym (Y, Z)

$Y_{c1}=20/2=10\,\mathrm{cm}$,  $Z_{c1}=0\,\mathrm{cm}$,
$Y_{c2} =0\,\mathrm{cm}$,  $Z_(c2}=-30/2=-15\,\mathrm{cm}$,
$Y_{c3}=13/2=6,5\,\mathrm{cm}$,  $Z_{c3} =-30\,\mathrm{cm}$.

Momenty statyczne w układzie (Y, Z)

tab. IV.3,, kol. (6), wiersz 2:
$\to S_Y=40\cdot0+90\cdot(-15)+16,9\cdot(-30) =-1857\,\mathrm{cm^3}.$

tab. IV.3,,  kol. (6), wiersz 3:
$ \to S_Z=40\cdot10+90\cdot0+16,9\cdot6,5 =509,9\,\mathrm{cm^3}.$

Środek ciężkości przekroju (C)

tab. IV.3, kol. (6), wiersz 4:
$ \to Y_C=\frac{S_Z}{A} =\frac{509,9}{146,9} =3,47\,\mathrm{cm}.$

tab. IV.3,  kol. (6), wiersz 4:
$ \to Z_C=\frac{S_Y}{A} =\frac{-1857}{146,9} =-12,64\,\mathrm{cm}.$

Współrzędne lokalnych środków ciężkości w układzie osi centralnych $(y_c, z_c)$

$y_{c1}=10-3,47=6,53\,\mathrm{cm}$,  $z_{c1}=0-(-12,64)=12,64\,\mathrm{cm}$,
$y_{c2}=0-3,47=-3,47\,\mathrm{cm}$,  $z_{c2}=-15-(-12,64)=-2,36\,\mathrm{cm}$,
$y_{c3}=6,5-3,47=3,03\,\mathrm{cm}$,  $z_{c3}=-30-(-12,64)=-17,36\,\mathrm{cm}$.

Centralne momenty bezwładności

tab. IV.3, kol. (6), wiersz 5:
$ \to I_{y_c} =40\cdot12,64^2 +90\cdot(-2,36)^2 +16,9\cdot(-17,36)^2 +\left[ 0+\frac{3,0\cdot30^3}{12}+0 \right] =18735\,\mathrm{cm^4}.$

tab. IV.3, kol. (6), wiersz 6:
$ =40\cdot6,53^2 +90\cdot(-3,47)^2 +16,9\cdot3,03^2 +\left[ \frac{2,0\cdot20^3}{12} +0 +\frac{1,3\cdot13^3}{12} \right] =4516\,\mathrm{cm^4}. $

tab. IV.3, kol. (6), wiersz 7:
$ \to I_{y_cz_c} =40\cdot6,53\cdot12,64 +90\cdot(-3,47)\cdot(-2,36) +16,9\cdot3,03\cdot(-17,36) =3150\,\mathrm{cm^4}. $

Kąt nachylenia osi głównych

tab.IV3   kol. (6), wiersz 8 oraz uwaga (b)
$ \to \operatorname{tg}(2\alpha) =\frac{2\cdot3150}{18735-4516} =0,443 $
$\to \alpha=11,95^\circ.$
$ \sin(11,95^\circ)=0,2071,$
$ \cos(11,95^\circ)=0,9783.$

Główne  centralne momenty bezwładności

Z podstawowych  zależności wytrzymałości materiałów dla przekrojów zwartych:

tab.IV3, kol. (6), wiersz 9 oraz uwaga (c):
$ \to I_m=\frac{I_{y_c}+I_{z_c}}{2} =\frac{18735+4516}{2} =11625,5\,\mathrm{cm^4}$

tab.IV3, kol. (6), wiersz 9 oraz uwaga (c):
$ \to I_\Delta= \sqrt{ \left( \frac{I_{y_c}-I_{z_c}}{2} \right)^2 +I_{y_cz_c}^{\,2} } = \sqrt{ \left( \frac{18735-4516}{2} \right)^2 +3150^2 } =7776,08\,\mathrm{cm^4} $

tab.IV3, kol. (6), wiersz 9:
$ \to I_y=I_{\max} =I_m+I_\Delta =11625,5+7776,08 =19401,58\,\mathrm{cm^4} \approx19402\,\mathrm{cm^4} $

tab.IV3, kol. (6), wiersz 10:
$ \to I_z=I_{\min} =I_m-I_\Delta =11625,5-7776,08 =3849,42\,\mathrm{cm^4} \approx3849\,\mathrm{cm^4} $

Te same wartości uzyskano niżej metodą mnożenia wykresów.

Współrzędne punktów przekroju w głównym układzie centralnym $(y,z)$

Na rys. P3-3 przedstawiono wykresy współrzędnych głównych $y$, $z$ oraz współrzędnej wycinkowej względem dowolnego bieguna pomocniczego $(B)$ oraz początkowego punktu zliczania $(O)$. Biegun pomocniczy $(B)$ przyjęto w górnym lewym narożu przekroju, a punkt $(O)$ w dolnym lewym narożu przekroju.

Współrzędne w układzie głównym $(y,z)$

$y_{(1)}=(20-3,47)\cdot0,9783-[0-(-12,64)]\cdot0,2071=13,55 \, cm$,

$z_{(1)}=(20-3,47)\cdot0,2071+[0-(-12,64)]\cdot0,9783=15,79 \, cm$,

$y_{(2)}=(0-3,47)\cdot0,9783-[0-(-12,64)]\cdot0,2071=-6,01 \, cm$,

$z_{(2)}=(0-3,47)\cdot0,2071+[0-(-12,64)]\cdot0,9783=11,65 \, cm$,

$y_{(3)}=(0-3,47)\cdot0,9783-[(-30)-(-12,64)]\cdot0,2071=0,20 \, cm$,

$z_{(3)}=(0-3,47)\cdot0,2071+[(-30)-(-12,64)]\cdot0,9783=-17,70 \, cm$,

$y_{(4)}=(13-3,47)\cdot0,9783-[(-30)-(-12,64)]\cdot0,2071=12,92  \, cm$,

$z_{(4)}=(13-3,47)\cdot0,2071+[(-30)-(-12,64)]\cdot0,9783=-15,01 \, cm$.

Te same wartości uzyskano  niżej metodą mnożenia wykresów

Pomocnicze współrzędne wycinkowe $\omega’_B$

Biegun pomocniczy $(B)$ przyjęto w lewym, górnym narożu profilu (2). Pomocniczy punkt początkowy $(O’)$ przyjęto w lewym, dolnym narożu przekroju (3).

tab. IV.4, kol. (6), wiersz 2:
$\omega’_{(1)}=\omega_{B,(1)}=0\cdot20=0\,\mathrm{cm^2}$
$\omega’_{(2)}=\omega_{B,(2)}=0\cdot0=0\,\mathrm{cm^2}$
$\omega’_{(3)}=\omega_{B,(3)}=0\cdot30=0\,\mathrm{cm^2}$
$\omega’_{(4)}=\omega_{B,(4)}=30\cdot13=390\,\mathrm{cm^2}$.

Na rys. IV.P3.4 sporzzono wykres pomocniczej współrzędnej wycinkowej  względem biwguna pomocniczegom (B) odmierzanej od pomocniczego pubktu pocżatkowefo (O’).

Moment bezwładności na skręcanie

tab.IV.4, kol. (6), wiersz 1
$\to I_v=\cfrac{1}{3}\left(20\cdot2,0^3+30\cdot3,0^3+13\cdot1,3^3\right)=332,9 \, cm^4$

Giętne momenty bezwładności z mnożenia wykresów

tab. IV.4], kol. (6), wiersz 5:
$ \to I_y= \frac{20}{6} \left[ 2\left(15,79^2+11,65^2\right) +2\cdot15,79\cdot11,65 \right]\cdot2,0 $
$ +\frac{30}{6} \left[ 2\left(11,65^2+(-17,70)^2\right) +2\cdot11,65\cdot(-17,70) \right]\cdot3,0 $
$ +\frac{13}{6} \left[ 2\left[36] +0\cdot(-17,70)+0\cdot11,65 \right]\cdot3,0$
$+\cfrac{13}{6} \left[ 2\cdot(0\cdot(-17,70)+390\cdot(-17,70)) +0\cdot(-17,70)+390\cdot(-17,70) \right]\cdot1,3$
$=-58330,35\,\mathrm{cm^5}$.

tab. IV.4, kol. (6), wiersz 4:

$I_{\omega’,z} =\cfrac{20}{6} \left[ 2\cdot(0\cdot13,55+0\cdot(-6,01)) +0\cdot(-6,01)+0\cdot13,55 \right]\cdot2,0$ $+\cfrac{30}{6} \left[ 2\cdot(0\cdot(-6,01)+0\cdot0,20) +0\cdot0,20+0\cdot(-6,01) \right]\cdot3,0$
$+\cfrac{13}{6} \left[ 2\cdot(0\cdot0,20+390\cdot12,92) +0\cdot12,92+390\cdot0,20 \right]\cdot1,3$
$=28604,94\,\mathrm{cm^5}$.

Środek zginania (ścinania)  (S)  (główny biegun wycinkowy)

Na rys.  P3-4 położenie środka zginania (.ścinania)  w róznych układach pręta, oznaczone róznymi kolorami:
czerwonym (yS,zS) w układzie osi głównych centralnych,
niebieskim  (yS,zS) w układzie osi centralnych (równoległuch do osi początkowych)
czarnym i duzymi literami (YS,ZS) w układzie osi początkowych

Współrzędne środka zginania (S) w układzie osi głównych centralnych

tab. IV.4, kol. (5), wiersz 7:
$ y_S=-6,01-\frac{42577,9}{19401,6} =-6,01-2,19 =-8,20\,\mathrm{cm}, $
$ z_S=11,65+\frac{-49465,5}{3849} =11,65-12,85 =-1,20\,\mathrm{cm}. $

Współrzędne środka zginania (S) w układzie osi centralnych równoległych do osi początkowych (Y,Z)

Współrzędne w układzie osi równoległych do osi początkowych (Y,Z) wyznacza się z zależności transformacyjnych rys. IV.P2.2 

$ y_S=y_s\cos(-\alpha)-z_s\sin(-\alpha)$
$ =-8,20\cdot\cos(-11,95^\circ) -(-1,20)\cdot\sin(-11,95^\circ) $
$ =-8,20\cdot0,9783-(-1,20)\cdot(-0,2071) =-8,27\,\mathrm{cm},$

$z_S=y_s\sin(-\alpha)+z_s\cos(-\alpha) $
$ =-8,20\cdot\sin(-11,95^\circ) +(-1,20)\cdot\cos(-11,95^\circ)$
$ =-8,20\cdot(-0,2071)+(-1,20)\cdot0,9783=0,52\,\mathrm{cm}.$]

Pomocnicza współrzędna wycinkowa względem środka zginania

Pomocnicza współrzędna wycinkowa $\omega’_S$ jest wyznaczana względem środka zginania $S$ i zliczana od pomocniczego punktu początkowego $(O’)$, przyjętego w punkcie (3) przekroju.

tab. IV.4], kol. (6), wiersz 8:
$ \omega’_S=\omega’+(z_S-z_B)y-(y_S-y_B)z.$

W układzie głównym $(y,z)$:
$ y_B=-6,01\,\mathrm{cm},\qquad z_B=11,65\,\mathrm{cm},$
$ y_S=-8,20\,\mathrm{cm},\qquad z_S=-1,20\,\mathrm{cm}.$
$ z_S – z_B =-12,85\,\mathrm{cm},$
$ y_S-y_B=-2,19\,\mathrm{cm}$
$ \omega’_S=\omega’-12,85y+2,19z.$

Wartości w punktach przekroju:

$ \omega’_{S(1)}&=0-12,85(13,55)+2,19(15,79) =-139,54\,\mathrm{cm^2}$
$ \omega’_{S(2)}&=0-12,85(-6,01)+2,19(11,65)  =102,74\,\mathrm{cm^2}$
$ \omega’_{S(3)}&=0-12,85(0,20)+2,19(-17,70) =-41,33\,\mathrm{cm^2},$
$ \omega’_{S(4)}&=390-12,85(12,92)+2,19(-15,01) =191,11\,\mathrm{cm^2}.$

Na rys. IC.P3.5 sporządzono wykres pomocniczej współrzędnej wycinkowej $\omega’_S$ względem środka zginania $(S)$, odmierzonej od pomocniczego punktu początkowego $(O’)$.

 

Wycinkowy moment statyczny

tab. IV.4. (6), wiersz 9:

$ S_{\omega S}= \frac{-97.65+144.25}{2}\,(20)(2)  + \frac{144.25+0}{2}\,(30)(3) + \frac{0+298.45}{2}\,(13)(1.3) =932.00+6491.25+2521.90
=9945.15\ \mathrm{cm^4}.$

Współrzędna wycinkowa główna

tab. IV.4, kol. (6), wiersz 10:
$ \omega_S=\omega’_S-\frac{S_{\omega S}}{A}.$

Dla $  S_{\omega S}=9945,15\,\mathrm{cm^4},\, A=146,90\,\mathrm{cm^2},

$ \frac{S_{\omega S}}{A} =\frac{9945,15}{146,90} =67,70\,\mathrm{cm^2}. $

$ \omega_S=\omega’_S-67,70\,\mathrm{cm^2}.$

$ z_S-z_B=-1,20-11,65=-12,85\,\mathrm{cm},$

$y_S-y_B=-8,20-(-6,01)=-2,19\,\mathrm{cm},$
$ \omega’_S=\omega’-12,85y+2,19z.$

Wartości w punktach przekroju:

$ \begin{array}{c|c|c|c}
\mathrm{Punkt} & \omega’ \,[\mathrm{cm^2}]
& \omega’_S\,[\mathrm{cm^2}]
& \omega_S\,[\mathrm{cm^2}]\\
\hline
(1)&0&-139,54&-207,24\\
(2)&0&102,74&35,04\\
(3)&0&-41,33&-109,03\\
(4)&390&191,11&123,41
\end{array}

Na każdym odcinku prostoliniowym ściany przebieg $\omega_S$ jest iniowy. Wykres współrzędnych wycinkowych główmych sporzadzono na rys, IV.P3-5

 

Przykład 4 [ Charakterystyki geometryczne przekroju zamkniętego]  

Współrzędne wycinkowe oraz wycinkowe momenty statyczne w rurze prostokątnej [37]

Wykresy uogólnionych współrzędnych wycinkowych oraz wycinkowych momentów statycznych dla zamkniętego przekroju prostokątnego o stałej grubości ścianki  $t=const$ podano na rys.7.

Dla przekroju prostokątnego o dwóch różnych grubościach ścianek (t1,t2)  znajduje się wg wzoru w tabeli 1.

Przykład 5 [Siły przekrojowe w pręcie cienkościennym]

Przykład 1-2 z pracy [37]

Znaleźć kąt skręcenia i siły przekrojowe w pręcie o schemacie statycznym podanym w wrs 6. tab.4,  ale dla obciążenia skupionym momentem $M_s$ przyłożonego do dowolnego miejsca po długości pręta, jak pokazano na rys. P4-1

Rys. P5-1 Schemat belki do przykładu [37]

Rozwiązanie  belki znajdujemy w postaci ($\ref{47}$).

Z warunków brzegowych:
dla x=0 : $\varphi =0$ ; $B_\omega=0$     wynika wprost:
$C_1=0$ ; $C_3=0$,

 

 

Literatura

1. Marguerre M. K., Torsion von voll- und hohlquerschnitten*, Der Bauingenieur, vol. 21, pp. 317–322, 1940
2. Vlasov, V. Z., Tonkostiennyje uprugije stierzni, Gos. Izd. Fiz. Mat. Literat., Moskva, 1959 / Thin-Walled Elastic Beams, Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, 1961
3. Sapountzakis E. J., *Bars under Torsional Loading: A Generalized Beam Theory Approach*, ISRN Civil Engineering, 2013, pp. 1–39, [http://dx.doi.org/10.1155/2013/916581]
4. STRENCO, *ConSteel – Oprogramowanie dla budownictwa*, 2016, 2019, [http://www.strenco.pl/strenco]
5. Consteel Software, *ConSteel 14 Manual*, 2020, [http://www.consteelsoftware.com/en/downloads/manuals-documents]
6. CTICM, *LTBeam Software (1.011)*, 2013, [http://www.cesdb.com/ltbeam.html]
7. Birger I., A., Panovko J., G., Spravochnik. Prochnost, ustojchivost, kolebania, Moschinostrojenie, Moskva 1968
8. Niezgodziński  M., E., Niezgodziński T., Wzory, wykresy i tablice obliczeń wytrzymałościowych , IX Wyd. WNT  2004
9. Piechnik S., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, PWN, Warszawa–Kraków, 1980
10. PN-EN 1992-1-1:2008. Eurokod 2: Projektowanie konstrukcji z betonu  Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. Warszawa, PKN
11. Birger I. A., Panovko Ya. G., ,Spravochnik. Prochnost, ustojchivost, kolebania, Maschinostrojenie, Moskva, 1968
12. (Simo, J.C. and Vu-Quoc, L. (1986), <em>A Three-Dimensional Finite-Strain Rod Model. Part II: Computational Aspects</em>, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 58, 79–116
13. Doran, C. and Lasenby, A. (2003) Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press
14. Hestenes D. and Sobczyk G. (1984), Clifford Algebra to Geometric Calculus. Reidel Pub., Boston.
15. Piechnik S. (2000). Pręty cienkościenne – otwarte. Politechnika Krakowska, Kraków
16. Piechnik, S. (2006), Algebra of systems of forces applied to the flat material line</em>. Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 44(1), 107–125
17. Simo J.C. (1985). A Finite Strain Beam Formulation. The Three-Dimensional Dynamic Problem. Part I. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 49(1), 55–70
18. Simo J.C., Vu-Quoc L. (1986). A Three-Dimensional Finite-Strain Rod Model. Part II: Computational Aspects. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 58(1), 79–116
19. Simo J.C., Vu-Quoc L. (1988). On the Dynamics in Space of Rods Undergoing Large Motions – A Geometrically Exact Approach. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 66(2), 125–161
20. Ibrahimbegovic A. (1997). On the Choice of Finite Rotation Parameters. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 149, 49–71
21. Shuster, M. D. (1993). A Survey of Attitude Representations, The Journal of the Astronautical Sciences, 41(4), 439–517
22. Hamilton W.R. (1866). Elements of Quaternions. Vol. I. Longmans, Green &amp; Co., London
23. Kuipers J.B. (1999). Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace and Virtual Reality. Princeton University Press, Princeton
24. Jelenić G., Crisfield M.A. (1999). Geometrically Exact 3D Beam Theory: Implementation of a Strain-Invariant Finite Element for Statics and Dynamics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 171(1–2), 141–171
25. Crisfield M.A., Jelenić G. (1999). Objectivity of Strain Measures in the Geometrically Exact Three-Dimensional Beam Theory and Its Finite-Element Implementation. Proceedings of the Royal Society A, 455(1983), 1125–1147
26. Zupan E., Saje M., Zupan D. (2009). The Quaternion-Based Three-Dimensional Beam Theory. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 198(49–52), 3944–3956
27. Birger I. A., Panovko J. G., Spravochnik. Prochnost, ustojchivost, kolebanija, Maschinostrojenie, Moskva, 1968
28. Piechnik S., Pręty cienkościenne otwarte, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków, 2000
29. Piechnik S., Mechanika techniczna ciała stałego, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków, 2007
30. Chodor L., Bijak R., Sensitivity Analysis of Thin-Walled Bars, European Workshop „Thin-Walled Steel Structures”, 26–27 September 1996, Krzyżowa (Kreisau), Poland
31. Doran, C. J. L. (1994), Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics, Dissertation submitted for the degree of Doctor of Philosophy, University of Cambridge
32. Piechnik, S. (1978), Kinematyczna równoważność układów sił, Mechanika Teoretyczna i Stosowana, 16(1), 71–79
33. Kuipers, J. B. (1999), <em>Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality</em>, Princeton University Press, Princeton, New Jersey
34. Hestenes, D. and Sobczyk, G. (1984), <em>Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics</em>, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht
35. Kasprzyk T., Zadanie 5. Rozwiązanie przykładowe, Politechnika Wrocławska KMBiIM ZWM, Wrocław maj 2021
36. -17,70)^2+(-15,01)^2\right) +2\cdot(-17,70)\cdot(-15,01) \right]\cdot1,3 =19402\,\mathrm{cm^4}.$

    tab. IV.4], kol. (6), wiersz 6:
    $ \to I_z= \frac{20}{6} \left[ 2\left(13,55^2+(-6,01)^2\right) +2\cdot13,55\cdot(-6,01) \right]\cdot2,0 $
    $ +\frac{30}{6} \left[ 2\left((-6,01)^2+0,20^2\right) +2\cdot(-6,01)\cdot0,20 \right]\cdot3,0 $
    $ +\frac{13}{6} \left[ 2\left(0,20^2+12,92^2\right) +2\cdot0,20\cdot12,92 \right]\cdot1,3 =3849\,\mathrm{cm^4}. $

    Te same wartości uzyskano wyżej metodą klasyczną (bez mnożenia wykresów), co zwykle jest mniej pracochłonne.

    Wycinkowe, odśrodkowe momenty bezwładności

    tab. IV.4, kol. (6), wiersz 3:
    $I_{\omega’,y} =\cfrac{20}{6} \left[ 2\cdot(0\cdot15,79+0\cdot11,65) +0\cdot11,65+0\cdot15,79 \right]\cdot2,0$ $+\cfrac{30}{6} \left[ 2\cdot(0\cdot11,65+0\cdot(-17,70

37. Niewiadomski Z., Wytrzymałość prętów cienkościennych – w pracy Bogucki W. (Red.), Poradnik projektanta konstrukcji metalowych: praca zbiorowa. Tom I., cz.1.1. Arkady, Warszawa), 1980

________________________________