Belka w inżynierii. Część V Nieliniowa belka cienkościenna

Leszek Chodor,  10 września 2026

W przypadku nieczytelnych treści, proszę powiadomić: leszek@chodor.co

 W ciągu ostatnich 24 godzin z artykułu korzystało  1 Czytelników

Artykuł w trakcie budowy

Wprowadzenie 

Analiza prętów cienkościennych była rozwijana od pierwszej połowy XX wieku. Istotny wkład w rozwój tej problematyki wniósł Własow, który zajmował się zagadnieniami skręcania i stateczności cienkościennych profili otwartych (Własow, 1938) [1], a następnie przedstawił je w szerszym ujęciu w monografii (Własow, 1940) [2]. Teoria Własowa stworzyła podstawy opisu prętów cienkościennych z uwzględnieniem paczenia przekroju oraz sprzężenia zginania i skręcania. Zagadnienia wytrzymałości i stateczności prętów były następnie rozwijane w literaturze radzieckiej, między innymi przez Ponomariowa i współautorów (Ponomariow i in., 1952) [3].

Szczególne znaczenie dla dalszego rozwoju analizy prętów miało uwzględnienie efektów II rzędu, w których równowaga jest formułowana w konfiguracji odkształconej, a siły występujące w pręcie oddziałują na zmienioną geometrię układu. Rozwój teorii stateczności prowadził stopniowo od liniowych równań równowagi do modeli uwzględniających wpływ deformacji i przemieszczeń na stan równowagi pręta. Zagadnienia dużych ugięć oraz przestrzennej utraty stateczności prętów cienkościennych analizowali Bažant i El Nimeiri (1973) [4].

Istotnym etapem tego rozwoju były prace dotyczące nieliniowego skręcania nierównomiernego prętów cienkościennych. Tso i Ghobarah (1971) [5] rozszerzyli równania Własowa na zakres nieliniowy, uwzględniając nieliniowe sprzężenie skręcania i paczenia. Attard (1986) [6] przedstawił nieliniową teorię skręcania nierównomiernego otwartych prętów cienkościennych. Prace te stanowiły istotny krok w kierunku opisu zachowania prętów cienkościennych poza zakresem liniowej teorii skręcania. Równolegle rozwijano sformułowania umożliwiające uwzględnienie dużych obrotów i skończonych zmian orientacji przekroju. Crisfield (1990) [7] przedstawił spójne sformułowanie corotacyjne dla nieliniowych przestrzennych elementów belkowych. Hsiao (1992) [8] zastosował sformułowanie corotacyjne w połączeniu z opisem całkowicie lagranżowskim do analizy przestrzennego elementu belkowego. Rozwój tych metod umożliwił opis zachowania prętów przy dużych przemieszczeniach i skończonych obrotach bez ograniczania się do małych zmian orientacji przekroju.

W odniesieniu bezpośrednio do prętów cienkościennych Ronagh i Bradford (1999) [9] przedstawili nieliniową analizę elementów o przekrojach otwartych, uwzględniającą wzajemne sprzężenie przemieszczeń, skręcania i paczenia. Analiza obejmowała zakres umiarkowanych i dużych przemieszczeń oraz zagadnienia pokrytyczne. Istotnym elementem tego podejścia było uwzględnienie pełnego sprzężenia pomiędzy zmiennymi opisującymi przestrzenne zachowanie pręta.

Ważnym ogniwem w rozwoju geometrycznie nieliniowych teorii prętów cienkościennych są prace Bijaka, Chodora i Kołodzieja. Bijak, Chodor i Kołodziej (2017) [10] przedstawili geometrycznie nieliniową teorię prętów wstępnie skręconych i zakrzywionych w przestrzeni. Uwzględniono w niej skończone obroty oraz ich aproksymację drugiego rzędu, a sformułowanie oparto na modelu Reissnera. Praca ta stanowi bezpośrednie odniesienie do opisu dużych przemieszczeń i obrotów stosowanego w dalszej części niniejszego opracowania. Zagadnienia giętno-skrętnej utraty stateczności z uwzględnieniem siły osiowej analizował również Bijak (2017) [11]. W pracy przedstawiono analityczną metodę wyznaczania mnożnika obciążenia krytycznego dla giętno-skrętnej utraty stateczności z uwzględnieniem wpływu siły osiowej. W analizie wykorzystano również geometrycznie nieliniową analizę z uwzględnieniem imperfekcji geometrycznych. :contentReference[oaicite:0]{index=0}

Istotne znaczenie dla dalszego rozwoju analitycznych metod opisu skręcania i paczenia ma praca Pan i in. (2022) [12]. Autorzy rozpoczynają analizę od warunków równowagi pręta obciążonego siłą osiową, następnie formułują równanie różniczkowe skręcania i paczenia, a z jego rozwiązania otrzymują dokładne zależności pomiędzy deformacjami i siłami przekrojowymi. Uwzględniają przy tym wzajemne oddziaływanie siły osiowej, skręcania i bimomentu. Na podstawie uzyskanych rozwiązań wyprowadzają macierz sztywności skręcania i paczenia, a następnie macierz sztywności drugiego rzędu przestrzennego elementu belkowego. :contentReference[oaicite:1]{index=1} Pan i in. (2022) odwołują się również do wcześniejszych opracowań dotyczących rozwiązań dokładnych, stateczności prętów oraz analizy drugiego rzędu. Szczególne znaczenie mają w tym kontekście prace Wang, Wang i Reddy (2004) [13] oraz Ekhande, Selvappalam i Madugula (1989) [14]. Literatura ta wskazuje na możliwość wykorzystania dokładnych rozwiązań równań różniczkowych do konstruowania zależności sztywnościowych i opisu zachowania prętów w analizie II rzędu. :contentReference[oaicite:2]{index=2}

Przedstawiony rozwój teorii wskazuje na przejście od klasycznych równań prętów cienkościennych, poprzez nieliniowe skręcanie i paczenie oraz opis skończonych obrotów, do geometrycznie nieliniowych równań równowagi i ich rozwiązań. W niniejszej części przyjmujemy ten kierunek jako podstawę dalszego rozwoju teorii, koncentrując się na prętach cienkościennych przy dużych przemieszczeniach i obrotach. Na tym tle przedstawiony w niniejszej pracy model stanowi uogólnienie opisu cienkościennego pręta przeznaczone do analizy dużych przemieszczeń i skończonych obrotów. Jego zasadniczą cechą jest niezależne potraktowanie amplitudy deplanacji \(\psi(x)\) i kąta skręcenia \(\varphi(x)\). Nie przyjmuje się zatem a priori klasycznej zależności \(\psi=\varphi’\). Skręcanie przekroju i jego deplanacja są opisywane jako dwa odrębne, lecz wzajemnie sprzężone mechanizmy kinematyczne. Model obejmuje w ramach jednego pola przemieszczeń przemieszczenie osi, zginanie w dwóch płaszczyznach, ściskanie lub rozciąganie, ścinanie, skręcanie oraz deplanację przekroju. Tak sformułowana kinematyka stanowi podstawę analizy II rzędu przy dużych przemieszczeniach i skończonych obrotach.

Celem niniejszej części jest wyprowadzenie równZań równowagi II rzędu uogólnionego pręta cienkościennego oraz określenie wynikających z nich zależności dla jego stanu przestrzennego. Punktem wyjścia są zależności kinematyczne, równania równowagi oraz funkcjonał energetyczny przedstawione w części IV. W dalszej kolejności zostaną one wykorzystane do sformułowania geometrycznie nieliniowego układu równań, uwzględniającego wpływ sił wewnętrznych na zmienioną konfigurację pręta oraz wzajemne sprzężenie zginania, ścinania, skręcania i deplanacji. Szczególną uwagę poświęcono wyprowadzeniu równań różniczkowych równowagi, ich redukcji oraz uzyskaniu postaci umożliwiającej dalsze wyprowadzenie funkcji statecznościowych i odpowiednich macierzy zmodyfikowanych.

Tabele projektowe

Charakterystki geometryczna nieliniowego pręta

Tab. V,1 Macierz charakterystyk geometrycznych II rzędu  pręta 
Tensor $G^{(II)}$   przekroju w przestrzeni stopni swobody  

\[ \mathbf G^{(II)} = \frac{1}{4}
\begin{bmatrix}
A & 0 & 0 & -A & -S_z & -I_{\omega z}\\
0 & A & A & 0 & -S_y & I_{\omega y}\\
0 & A & A & 0 & -S_y & I_{\omega y}\\
-A & 0 & 0 & A & S_z & I_{\omega z}\\
-S_z & -S_y & -S_y & S_z &
I_y+I_z & I_{\omega z}-I_{\omega y}\\
-I_{\omega z} & I_{\omega y} & I_{\omega y} & I_{\omega z} & I_{\omega z}-I_{\omega y} & I_y+I_z
\end{bmatrix}. \tag{V.1} \label{V.1} \]

(1) Macierz odpowiada układowi wyjściowemu pręta $(y,z,\omega)$, to jest klasycznemu układowi I rzędu. W przypadku układu centralnego, którego osie $y$ i $z$ przechodzą przez środek ciężkości przekroju, zerują się momenty statyczne $S_y$ i $S_z$. W układzie głównym II rzędu zerują się ponadto momenty mieszane $I_{\omega y}$ oraz $I_{\omega z}$, zgodnie z definicją i konstrukcją tego układu. Zerowanie tych charakterystyk należy więc rozpatrywać jako skutek przejścia do układu głównego II rzędu, a nie jako właściwość dowolnego układu centralnego. Pozostałe niezerowe charakterystyki występujące w macierzy należy w układzie głównym zastąpić wartościami wyznaczonymi w wyniku diagonalizacji pełnej macierzy $ \mathbf C^{(II)}$. Oznacza to, że charakterystyka w układzie wyjściowym, np. $I_\omega$, w układzie głównym jest reprezentowana przez odpowiadającą jej charakterystykę główną $I_\omega^{(P)}$.
(2) Pierwsza kolumna i pierwszy wiersz tabeli określają stopnie kinematycznej swobody punktu pręta (przekroju), natomiast wyraz znajdujący się na ich przecięciu jest współczynnikiem macierzy $ \mathbf G^{(II)}$ – charakterystyką geometryczną przekroju odpowiadającą danej parze stopni swobody. Ze względu na symetrię macierzy $ \mathbf G^{(II)}$ charakterystyka przypisana parze stopni swobody $(q_i,q_j)$ jest taka sama jak dla pary $(q_j,q_i)$.

Tab. V.2 Macierz charakterystyk geometrycznych II rzędu przekroju 
Tensor $ \mathbf {C}^{(II)}$ w przestrzeni współrzędnych przekroju

\[ \mathbf C^{(II)}= \left[ \begin{array}{c|ccccccccc}
1& A&I_y&I_z&I_\omega&I_{yy}&I_{yz}&I_{z\omega}&I_{zz}&I_{y\omega}&I_{\omega\omega}\\
z&I_y&I_{yy}&I_{yz}&I_{y\omega}&I_{yyy}&I_{yyz}&I_{yz\omega}&I_{yzz}&I_{yy\omega}&I_{y\omega\omega}\\
y&I_z&I_{yz}&I_{zz}&I_{z\omega}&I_{yyz}&I_{yzz}&I_{zz\omega}&I_{zzz}&I_{yz\omega}&I_{z\omega\omega}\\
\omega&I_\omega&I_{y\omega}&I_{z\omega}&I_{\omega\omega}&I_{yy\omega}&I_{yz\omega}&I_{z\omega\omega}&I_{zz\omega}&I_{y\omega\omega}&I_{\omega\omega\omega}\\
z^2&I_{yy}&I_{yyy}&I_{yyz}&I_{yy\omega}&I_{yyyy}&I_{yyyz}&I_{yyz\omega}&I_{yyzz}&I_{yyy\omega}&I_{yy\omega\omega}\\
zy&I_{yz}&I_{yyz}&I_{yzz}&I_{yz\omega}&I_{yyyz}&I_{yyzz}&I_{yyz\omega}&I_{yzzz}&I_{yyz\omega}&I_{yz\omega\omega}\\
y\omega&I_{z\omega}&I_{yz\omega}&I_{zz\omega}&I_{z\omega\omega}&I_{yyz\omega}&I_{yzz\omega}&I_{zz\omega\omega}&I_{zzz\omega}&I_{yz\omega\omega}&I_{z\omega\omega\omega}\\
y^2&I_{zz}&I_{yzz}&I_{zzz}&I_{zz\omega}&I_{yyzz}&I_{yzzz}&I_{yzz\omega}&I_{zzzz}&I_{yzz\omega}&I_{zz\omega\omega}\\
z\omega&I_{y\omega}&I_{yy\omega}&I_{yz\omega}&I_{y\omega\omega}&I_{yyy\omega}&I_{yyz\omega}&I_{yz\omega\omega}&I_{yzz\omega}&I_{yy\omega\omega}&I_{y\omega\omega\omega}\\
\omega^2&I_{\omega\omega}&I_{y\omega\omega}&I_{z\omega\omega}&I_{\omega\omega\omega}&I_{yy\omega\omega}&I_{yz\omega\omega}&I_{y\omega\omega\omega}&I_{zz\omega\omega}&I_{z\omega\omega\omega}&I_{\omega\omega\omega\omega}
\end{array} \right]. \tag{V.2}\label{V.2} \]

Pierwsza kolumna i pierwszy wiersz tabeli określają odpowiednio współrzędne bazowe przestrzeni rozszerzonej, natomiast wyraz znajdujący się na ich przecięciu jest elementem macierzy $\mathbf C^{(II)}$, czyli charakterystyką geometryczną przekroju odpowiadającą danej parze współrzędnych bazowych.

  Tab. V.3 Macierz charakterystyk geometrycznych II rzędu przekroju po diagonalizacji 
Tensor $ \mathbf {C}^{(II)}_{(P)} $ w układzie głównym przekroju (P)

\[\mathbf C^{(II)}_{P} = \left[ \begin{array}{c|cccccccccc}
& 1 & z^{(P)} & y^{(P)} & \omega^{(P)} & z^{2(P)} & z^{(P)}y^{(P)} & y^{(P)}\omega^{(P)} & y^{2(P)} & z^{(P)}\omega^{(P)} & \omega^{2(P)}\\
\hline 1 & A & & & & & & & & & \\
z^{(P)} & & I_y^{P} & & & & & & & & \\ y^{(P)} & & & I_z^{P} & & & & & & & \\ \omega^{(P)} & & & & I_\omega^{P} & & & & & & \\
z^{2(P)} & & & & & I_{y^4}^{P} & & & \huge 0 & & \\ z^{(P)}y^{(P)} & & & & & & I_{y^2 z^2}^{P} & & & & \\
y^{(P)}\omega^{(P)} & & \huge 0 & & & & & I_{y^2\omega^2}^{P} & & & \\
y^{2(P)} & & & & & & & & I_{z^4}^{P} & & \\
z^{(P)}\omega^{(P)} & & & & & & & & & I_{z^2\omega^2}^{P} & \\
\omega^{2(P)} & & & & & & & & & & I_{\omega^4}^{P} |
\end{array} \right]. \tag{V.3}\label{V.3} \]

(1) Pierwsza kolumna i pierwszy wiersz tabeli określają odpowiednio oś główną (z indeksem \(P\)), natomiast wyraz znajdujący się na ich przecięciu jest współczynnikiem macierzy \(\mathbf C^{(II)}_P\) – charakterystyką geometryczną przekroju odpowiadającą tej parze stopni swobody.

(2) Wśród charakterystyk znajdujących się na przekątnej macierzy \(\mathbf C^{(II)}_P\) występują \(A\), \(I_y^{P}\) i \(I_z^{P}\), odpowiadające charakterystykom geometrycznym wykorzystywanym również w opisie I rzędu. Pozostałe charakterystyki diagonalne wynikają z rozszerzenia przestrzeni funkcji o składniki drugiego stopnia i są specyficzne dla opisu II rzędu. Niezerowe charakterystyki I rzędu oraz charakterystyki II rzędu w układzie głównym, takie jak \(I_y^{P}\), \(I_z^{P}\), \(I_\omega^{P}\) oraz odpowiednie charakterystyki wyższych stopni, pozostają w opisie pręta jako rzeczywiste charakterystyki geometryczne przekroju.

(3) Macierz charakterystyk geometrycznych II rzędu przekroju po diagonalizacji nie jest jeszcze macierzą charakterystyk wykorzystywanych bezpośrednio w równaniach równowagi pręta. Macierz \(\mathbf C^{(II)}_P\) przedstawia pełną przestrzeń charakterystyk przekroju w układzie głównym \(\ P)\). Z tej przestrzeni należy następnie wyodrębnić charakterystyki aktywne dla przyjętego modelu pręta, tworzące macierz \(\mathbf G^{(P)(II)}\).

(4) Diagonalizacja pełnej macierzy \(\mathbf C^{(II)}\) powoduje wyzerowanie charakterystyk sprzęgających w reprezentacji głównej, to znaczy elementów pozadiagonalnych macierzy \(\mathbf C^{(II)}_P\). Nie oznacza to jednak usunięcia odpowiadających im składników z modelu fizycznego. Oznacza jedynie, że w układzie głównym składniki te zostają rozprzęgnięte w wyniku zmiany bazy przestrzeni charakterystyk.

Tab. V.4 Klasyczne charakterystyki geometryczne przekroju (I rzędu)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline \text{Lp.}&\text{Symbol}&\text{Opis}&\text{Wzór}&\text{Uwagi}\\
\hline 1&A& \text{Pole przekroju}& A=\int_A dA& \begin{array}{c} \text{dowolny układ }\\ \end{array}\\
\hline 2&S_y& \begin{array}{c} \text{Moment statyczny}\\ \text{względem osi }y \end{array}& S_y=\int_A z\,dA& \begin{array}{c}  \text{ układ centralny}\\
S_y=0 \end{array}\\ \hline 3&S_z& \begin{array}{c} \text{Moment statyczny}\\ \text{względem osi }z \end{array}& S_z=\int_A y\,dA& \begin{array}{c} \text{ układ centralny}\\
S_z=0 \end{array}\\ \hline 4&S_\omega& \begin{array}{c} \text{Moment statyczny}\\ \text{funkcji wycinkowej} \end{array}& S_\omega=\int_A\omega\,dA& \begin{array}{c}
\text{ układ znormalizowy}\\ S_\omega=0 \end{array}\\
\hline 5&I_y=I_{yy}& \begin{array}{c} \text{Moment bezwładności}\\ \text{względem osi }y \end{array}& I_y=\int_A z^2\,dA& \begin{array}{c} \text{zginanie }\\
\text{względem osi }y \end{array}\\
\hline 6&I_z=I_{zz}& \begin{array}{c} \text{Moment bezwładności}\\ \text{względem osi }z \end{array}& I_z=\int_A y^2\,dA& \begin{array}{c} \text{zginanie }\\
\text{względem osi }z \end{array}\\ \hline 7&I_{yz}& \begin{array}{c} \text{Moment dewiacyjny}\\ \text{przekroju} \end{array}& I_{yz}=\int_A yz\,dA& \begin{array}{c} \text{ układ główny}\\ I_{yz}=0 \end{array}\\ 
\hline 8&I_{y\omega}& \begin{array}{c} \text{Moment wycinkowy}\\ \text{względem osi }y \end{array}& I_{y\omega}=\int_A z\omega\,dA& \begin{array}{c} \text{układ znormalizowany}\\ I_{y\omega}=0 \end{array}\\
\hline 9&I_{z\omega}& \begin{array}{c} \text{Moment wycinkowy}\\ \text{względem osi }z \end{array}& I_{z\omega}=\int_A y\omega\,dA& \begin{array}{c} \text{układ znormalizowany}\\
I_{z\omega}=0 \end{array}\\
\hline 10&I_\omega& \begin{array}{c} \text{Moment bezwładności}\\ \text{wycinkowej} \end{array}& I_\omega=\int_A\omega^2\,dA& \begin{array}{c} \text{deplanacja} \\
\text{przekroju} \end{array}\\
\hline 11&I_{\omega y}& \begin{array}{c} \text{Całka pochodnej funkcji}\\ \text{wycinkowej względem }y \end{array}& I_{\omega y}=\int_A\omega_y\,dA& \begin{array}{c}
\text{związana z pochodną funkcji}\\\text{wycinkowej względem }y \end{array}\\
\hline 12&I_{\omega z}& \begin{array}{c} \text{Całka pochodnej funkcji}\\ \text{wycinkowej względem }z \end{array}& I_{\omega z}=\int_A\omega_z\,dA& \begin{array}{c}
\text{związana z pochodną funkcji}\\ \text{wycinkowej względem }z \end{array}\\
\hline 13&J_\omega& \begin{array}{c} \text{Charakterystyka gradientu}\\ \text{funkcji wycinkowej} \end{array}& J_\omega=\int_A \left(\omega_y^2+\omega_z^2 \right )dA&
\begin{array}{c} \text{związana z gradientem}\\ \text{funkcji wycinkowej} \end{array}\\
\hline \end{array} \]

(1)  Normalizacja funkcji wycinkowej polega na takim ustaleniu stałej wartości funkcji współrznej wycinkowej $\omega$, wynikającej z wyboru punktu początkowego zliczania, aby jej moment statyczny po przekroju był równy zeru $S_\omega=0$ :

Tab. V.5  Charakterystyki geometryczne przekroju  II rzędu

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline \text{Lp.}&\text{Symbol}&\text{Opis}&\text{Wzór}&\text{Zastosowanie}\\
\hline 14&I_{yyy}& \begin{array}{c} \text{Moment powierzchni 3}^\circ\\ \text{wokół osi }y \end{array}&
I_{yyy}=\int_A y^3\,dA& \text{nieliniowość}\\
\hline 15&I_{yzz}& \begin{array}{c} \text{Mieszany moment powierzchni 3}^\circ\\ \text{wokół osi }yz^2 \end{array}& I_{yzz}=\int_A yz^2\,dA& \text{nieliniowość}\\
\hline 16&I_{zyy}& \begin{array}{c} \text{Mieszany moment powierzchni 3}^\circ\\ \text{wokół osi }zy^2 \end{array}& I_{zyy}=\int_A zy^2\,dA& \text{nieliniowość}\\
\hline 17&I_{zzz}& \begin{array}{c} \text{Moment powierzchni 3}^\circ\\ \text{wokół osi }z \end{array}& I_{zzz}=\int_A z^3\,dA& \text{nieliniowość}\\
\hline 18&I_{yy\omega_z}& \begin{array}{c} \text{Mieszany moment powierzchni 3}^\circ\\ \text{wokół osi }y^2\omega_z \end{array}& I_{yy\omega_z}=\int_A y^2\omega_z\,dA&
\begin{array}{c} \text{sprzężenie zginania}\\ \text{i deplanacji} \end{array}\\
\hline 19&I_{yz\omega_y}& \begin{array}{c} \text{Mieszany moment powierzchni 3}^\circ\\
\text{wokół osi }yz\omega_y \end{array}& I_{yz\omega_y}=\int_A yz\omega_y\,dA& \begin{array}{c} \text{sprzężenie zginania}\\
\text{i deplanacji}\end{array}\\
\hline 20&I_{y\omega_y\omega_y}& \begin{array}{c} \text{Mieszany moment powierzchni 3}^\circ\\
\text{wokół osi }y\omega_y^2 \end{array}& I_{y\omega_y\omega_y}=\int_A y\omega_y^2\,dA& \text{nieliniowość}\\
\hline 21&I_{y\omega_z\omega_z}& \begin{array}{c} \text{Mieszany moment powierzchni 3}^\circ\\
\text{wokół osi }y\omega_z^2 \end{array}& I_{y\omega_z\omega_z}=\int_A y\omega_z^2\,dA& \text{nieliniowość}\\
\hline 22&I_{yz\omega_z}& \begin{array}{c} \text{Mieszany moment powierzchni 3}^\circ\\
\text{wokół osi }yz\omega_z \end{array}& I_{yz\omega_z}=\int_A yz\omega_z\,dA& \begin{array}{c} \text{sprzężenie zginania}\\
\text{i deplanacji} \end{array}\\
\hline 23&I_{zz\omega_y}& \begin{array}{c} \text{Mieszany moment powierzchni 3}^\circ\\
\text{wokół osi }z^2\omega_y \end{array}& I_{zz\omega_y}=\int_A z^2\omega_y\,dA& \begin{array}{c} \text{sprzężenie zginania}\\
\text{i deplanacji} \end{array}\\
\hline 24&I_{z\omega_y\omega_y}& \begin{array}{c} \text{Mieszany moment powierzchni 3}^\circ\\
\text{wokół osi }z\omega_y^2 \end{array}& I_{z\omega_y\omega_y}=\int_A z\omega_y^2\,dA& \text{nieliniowość}\\
\hline 25&I_{z\omega_z\omega_z}& \begin{array}{c} \text{Mieszany moment powierzchni 3}^\circ\\
\text{wokół osi }z\omega_z^2 \end{array}& I_{z\omega_z\omega_z}=\int_A z\omega_z^2\,dA& \text{nieliniowość}\\
\hline 26&I_{y\omega^2}& \begin{array}{c} \text{Mieszany moment powierzchni 3}^\circ\\ \text{wokół osi }y\omega^2 \end{array}&
I_{y\omega^2}=\int_A y\omega^2\,dA& \begin{array}{c} \text{składnik nieliniowy}\\ \text{związanyz deplanacją} \end{array}\\
\hline 27&I_{z\omega^2}& \begin{array}{c} \text{Mieszany moment powierzchni 3}^\circ\\ \text{wokół osi }z\omega^2
\end{array}& I_{z\omega^2}=\int_A z\omega^2\,dA& \begin{array}{c} \text{składnik nieliniowy}\\ \text{związanyz deplanacją} \end{array}\\
\hline 28&I_{\omega\omega_y}& \begin{array}{c} \text{Moment mieszany}\\
\text{funkcji }\omega\text{ i }\omega_y \end{array}& I_{\omega\omega_y}=\int_A\omega\omega_y\,dA& \begin{array}{c} \text{sprzężenie funkcji } \omega \\ \text{ z jej pochodną po } y \end{array}\\
\hline 29&I_{\omega\omega_z}& \begin{array}{c} \text{Moment mieszany}\\ \text{funkcji }\omega\text{ i }\omega_z \end{array}& I_{\omega\omega_z}=\int_A\omega\omega_z\,dA&
\begin{array}{c} \text{sprzężenie funkcj} \omega\\ \text{ z jej pochodną po }z \end{array}\\
\hline 30&I_{y\omega\omega_z}& \begin{array}{c} \text{Mieszany moment powierzchni 3}^\circ\\ \text{wokół osi }y\omega\omega_z \end{array}&I_{y\omega\omega_z}=\int_A y\omega\omega_z\,dA& \begin{array}{c} \text{sprzężenie zginania,}\\ \text{skręcania i deplanacji} \end{array}\\
\hline 31&I_{z\omega\omega_y}& \begin{array}{c} \text{Mieszany moment powierzchni 3}^\circ\\ \text{wokół osi }z\omega\omega_y \end{array}&
I_{z\omega\omega_y}=\int_A z\omega\omega_y\,dA& \begin{array}{c} \text{sprzężenie zginania,}\\ \text{skręcania i deplanacji} \end{array}\\
\hline \end{array}\]

Nieliniowe równania równowagi pręta cienkościennego

Tab. V.6-1  Podstawowe równania równowagi pręta cienkościennego EQ1
po jednokrotnym różniczkowaniu sił przekrojowych 

\[ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text{Symbol} & \text{Równanie} & \text{Uwagi}\\
\hline \mathrm{EQ1-N} & \dfrac{\bar E}{4}\left[(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\left(\psi\psi’+\varphi’\varphi”\right)+A\left(4u”+T_2T_2’+T_3T_3’\right)\right]=p_x &
\begin{array}{l} \text{równanie siły osiowej;}\\ \text{ze składnikami II rzędu} \end{array} \\
\hline \mathrm{EQ1- M_y } & \dfrac{\bar E I_y^{(P)}}{4}\left[T_3\varphi”-4\theta_2”+T_3’\varphi’\right] + V_z = m_y &
\begin{array}{l} \text{równanie zginania } M_y \\ \text{sprzężenie z obrotem }\varphi \end{array}\\
\hline \mathrm{EQ1}-M_z & -\dfrac{\bar E I_z^{(P)}}{4}\left[T_2\varphi”+4\theta_3”+T_2’\varphi’\right] – V_y=m_z &
\begin{array}{l} \text{równanie zginania }M_z \\ \ text{sprzężenie z obrotem }\varphi \end{array} \\
\hline \mathrm{EQ1-B_\omega} & M_\omega+\bar E I_\omega^{(P)}\psi”=b_\omega & \begin{array}{c} \text{równanie bimomentu } B_\omega \\ \text{zależność od spaczenia} \end{array} \\
\hline \mathrm{EQ1-V_y} & AG\left[v”-\theta_3’\right]=p_y & \begin{array}{c} \text{równanie ścinania  }V_y;\\ \text{zależność liniowa} \end{array} \\
\hline \mathrm{EQ1-V_z} & AG\left[\theta_2’+w”\right]=p_z & \begin{array}{c} \text{równanie ścinania }V_z;\\ \text{zależność liniowa} \end{array} \\
\hline \mathrm{EQ1-M_x} & G\left(I_y^{(P)}+I_z^{(P)}\right)\left[\psi’+\varphi”\right]=m_x & \begin{array}{c} \text{równanie skręcania }M_x \\ \text{ sprzężenie}  \\ \text{skręcania i spaczenia}
 \end{array}\\
\hline  \end{array} \]
diagonalizacji macierzy charaktertyk $C^{(II)} (2) Oznaczenia:  $ T_2=\theta_2 – w’, \, T_3=\theta_3 + v’, $T_2’=\theta_2′ – w”, \, T_3’=\theta_3′ + v”$

Tab. V.6-2  Równania równowagi pręta cienkościennego  EQ2 na poziomie 2  po dwukrotnym  różniczkowaniu sił przekrojowych 

\[ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text{Symbol} & \text{Równanie} & \text{Uwagi}\\
\hline \mathrm{EQ2}-{M_y} & \begin{array}{l} \bar E I_y^{(P)} \left[ -\dfrac12\varphi”T_3′ -\dfrac14T_3\varphi”’ +\theta_2”’ -\dfrac14\varphi’T_3” \right] =p_z-m_y’ \end{array}
& \begin{array}{l} \text{równanie poziomu 2}\\ \text{zginania }M_y \end{array} \\
\hline \mathrm{EQ2}-{M_z} & \begin{array}{l} \bar E I_z^{(P)} \left[ \dfrac12\varphi”T_2′ +\dfrac14T_2\varphi”’ +\theta_3”’ +\dfrac14\varphi’T_2” \right] =-p_y-m_z’ \end{array}
& \begin{array}{l} \text{równanie poziomu 2}\\ \text{zginania } M_z \end{array} \\
\hline \mathrm{EQ2}-{B_\omega} & \begin{array}{l} -\bar E I_\omega^{(P)}\psi”’=M_\omega’ \end{array}
& \begin{array}{l} \text{równanie poziomu 2}\\ \text{bimomentu }B_\omega \end{array} \\
\hline \end{array} \]

Uwagi
(1) Równania są słuszne wyłącznie w układzie głównym II rzędu (P), czyli po diagonalizacji macierzy charakterystyk \(C^{(II)}\).
(2) Oznaczenia: $T_2=\theta_2-w’,\, T_3=\theta_3+v’,$ ; $T_2’=\theta_2′-w”,\, T_3’=\theta_3’+v”,$ ; $ T_2”=\theta_2”-w”’, \,T_3”=\theta_3”+v”’.$
(3) Równania \(EQ1 -N \), \(EQ1 – V_z\), \(EQ2 – V_y\) oraz \(EQ2 – M_x\) pozostają w układzie podstawowym przedstawionym w tab. V.6-1 i nie są powtarzane w układzie \(EQ2\).
(4) Układ \(EQ2\) powstaje przez jednokrotne różniczkowanie odpowiednich równań lewej strony $EQ1$, tj. równań dotyczących \(M_y\), \(M_z\) oraz \(B_\omega\).

Nieliniowy  element Własow–Timoshenko

Podstawą wyprowadzenia modelu nieliniowego II rzędu (I +II rzędu) jest pole przemiszczeń jest pole przemieszczeń pręta cienkościennego, przyjęte zgodnie z kinematyką Własowa–Timoshenki. W celu uwzględnienia efektów geometrycznie nieliniowych zastosowano miarę odkształcenia Biota, której składnik drugiego rzędu wynika z obrotu elementu materialnego.

Składowe wektora przemieszczenia punktu przekroju, określonego współrzędnymi $(x,y,z)$, mozna zapisać w postaci

\[ \mathbf {u}(x,y,z)= \begin{Bmatrix} u(x) + z\theta_2(x)-y\theta_3(x)- \psi(x)\omega(y,z); \,  v(x)-z\varphi(x); \,  w(x) + y \varphi(x) \end{Bmatrix}. \tag{V.4}\label{V.4} \]

Występujące w polu przemieszczeń funkcje $u(x)$, $v(x)$ i $w(x)$ oznaczają przemieszczenia osi pręta odpowiednio w kierunkach osi $x$, $y$ i $z$. Funkcje $\theta_2(x)$ i $\theta_3(x)$ opisują obroty przekroju związane z odkształceniami postaciowymi, natomiast $\varphi(x)$ oznacza kąt obrotu przekroju wokół osi pręta. Funkcja $\psi(x)$ jest amplitudą deformacji związanej z deplanacją przekroju, a $\omega(y,z)$ jest funkcją wycinkową przekroju. Dla przyjętego pola przemieszczeń wprowadzono wektor współrzędnych przestrzennych

$ \{x,\,y,\,z\}^{T} \tag{V.5}\label{V.5} $

Na podstawie pola przemieszczeń \eqref{V.4} wyznaczono gradient przemieszczeń pierwszego rzędu

\[ \mathbf H^{(1)} = \operatorname{Grad} \mathbf u. \tag{V.6}\label{V.6} \]

Jego elementy są pochodnymi odpowiednich składowych pola przemieszczeń względem współrzędnych przestrzennych. Gradient przemieszczeń rozłożono na część symetryczną i antysymetryczną:

\[ \mathbf E_B^{(1)} = \frac12 \left( \mathbf H^{(1)} + \mathbf H^{(1)T} \right ), \tag{V.7}\label{V.7} \]

\[ \boldsymbol{\Omega} = \frac12 \left( \mathbf H^{(1)} – \mathbf H^{(1)T} \right ). \tag{V.8}\label{V.8} \]

Macierz $ \mathbf E_B^{(1)}$ stanowi liniową część miary odkształcenia Biota, natomiast $\boldsymbol{\Omega}$ jest macierzą obrotu, której składniki opisują lokalny obrót elementu materialnego. Dla miary odkształcenia Biota składnik drugiego rzędu otrzymuje się z części antysymetrycznej gradientu \eqref{V.8} w postaci

\[ \mathbf E_B^{(2)} = -\frac12 \boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\Omega}. \tag{V.9}\label{V.9} \]

Pełna miara odkształcenia Biota, uwzględniająca składniki pierwszego i drugiego rzędu, jest zatem określona przez

\[ \mathbf E_B^{(II)} = \mathbf E_B^{(1)} + \mathbf E_B^{(2)} = \frac12 \left( \mathbf H^{(1)} + \mathbf H^{(1)T} \right ) – \frac12 \boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\Omega}. \tag{V.10}\label{V.10} \]

Szczegółowe zastosowanie zależności \eqref{V.6}–\eqref{V.10} do pola przemieszczeń \eqref{V.4}, wraz z symbolicznym wyznaczeniem poszczególnych macierzy, przedstawiono w Dodatku V.A.

Zależności konstytutywne. Cienkościenne prawo Hooke’a

Stan odkształceń i naprężeń cienkościennego pręta jest specyficzny ze względu na założenia Własowa. Zgodnie z założeniami przyjętymi w części IV, w szczególności z założeniem cienkościenności, pomija się naprężenie normalne działające w kierunku \(n\), prostopadłym do powierzchni ścianki, $\sigma_n=0,$. Natomiast odkształcenie w kierunku \(s\), stycznym do linii środkowej ścianki, przyjmuje się jako $\varepsilon_s=0.$ 
Konsekwencje tych założeń dla trójwymiarowego prawa Hooke’a oraz wyprowadzenie prętowej zależności materiałowej przedstawiono w części IV i szczegółowo w Dodatku IV.A, w rozdziale Prętowa redukcja prawa Hooke’a . W niniejszej części korzystamy z otrzymanej tam zależności, zapisując ją zgodnie z przyjętą wcześniej indeksacją wskaźnikową. Dla liniowego, sprężystego materiału prętowe prawo Hooke’a można zapisać w postaci

\[\boldsymbol{\sigma} = \mathbf C_{\text{thin}}\,\boldsymbol{\varepsilon}, \tag{V.11}\label{V.11} \]

gdzie wektoy odkształceń i naprężeń wynoszą odpowiednio:
$  \boldsymbol{\varepsilon} = \{ E_{11};\,  E_{22};\,   E_{12};\,  E_{13} \}^{T}$
$ \boldsymbol{\sigma} = \{  \sigma_{11};\,  \sigma_{22};\,  \sigma_{12};\,  \sigma_{13}\}^T$ 

a cienkosćienna macierz Hooka jest zdefiniowana formułą (IV.A.28) i wyprowadzona w Dodatku A części IV.  W przyjętej konwencji indeks \(1\) odpowiada kierunkowi osi pręta \(x\). Warunek \(\varepsilon_s=0\), przyjęty w części IV, prowadzi w odpowiednim zapisie wskaźnikowym do przyjęcia $[E_{22}=0.$.  Jednocześnie warunek \(\sigma_n=0\) prowadzi do redukcji trójwymiarowego prawa Hooke’a i w szczególności do zastąpienia modułu Younga \(E\) efektywnym modułem cienkościennym 

\[\bar E=\frac{E}{1-\nu^2},\tag{V.12}\label{V.12}\]

a zredukowana prętowe prawo Hooke’a przyjmuje postać

\[ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \bar E & \bar E\nu & 0 & 0\\ \bar E\nu & \bar E & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2G & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2G \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} E_{11}\\
0\\ E_{12}\\ E_{13} \end{Bmatrix}. \tag{V.13}\label{V.13} \]

Przyjęcie \(E_{22}=0\) nie oznacza przy tym zaniku naprężenia \(\sigma_{22}\). Naprężenie to jest wyznaczane z prawa materiałowego i pozostaje związane ze składową osiową \(E_{11}\). W szczególności, z drugiego wiersza macierzy materiałowej \(\ref{V.13}\) otrzymujemy

\[ \sigma_{22}=\bar E\cdot \nu \cdot E_{11}.\]

Jest to bezpośrednia konsekwencja redukcji trójwymiarowego prawa Hooke’a przy jednoczesnym zastosowaniu warunków \(\sigma_n=0\) i \(\varepsilon_s=0\), zgodnie z wyprowadzeniem przedstawionym w Dodatku IV.A, w szczególności z zależnościami   (IV.A.28)  i (IV.A.30).

W modelu nieliniowym II rzędu miara odkształcenia w powyższym prawie materiałowym są  miarą odkształcenia Biota do rzędu II lub wyższego , wyprowadzoną w poprzedniej części niniejszego rozdziału. Przy ograniczeniu do II rzędu przyjmuje się $ E_{11}=E_{B\,11}^{(II)},\,  E_{12}=E_{B\,12}^{(II)},\, E_{13}=E_{B\,13}^{(II)},$

Otrzymane w ten sposób naprężenia stanowią podstawę do wyznaczenia siły osiowej, momentów zginających, bimomentu, sił poprzecznych oraz całkowitego momentu skręcającego poprzez odpowiednie całkowanie po polu przekroju.

 Charakterystyki geometryczne II rzędu pręta i przekroju

Współrzędne i macierz charakterystyk przekroju w układzie wyjściowym

Charakterystyki geometryczne II rzędu stanowią rozszerzenie zbioru charakterystyk geometrycznych przekroju wykorzystanych w opisie pręta cienkościennego. W przeciwieństwie do charakterystyk I rzędu obejmują one również całki zawierające iloczyny funkcji wyższego stopnia współrzędnych przekroju \(y\), \(z\) i \(\omega\). Ich pełny zbiór można uporządkować za pomocą rozszerzonej bazy funkcji

\[ \mathbf q= \begin{Bmatrix} 1,&y,&z,&\omega,&y^2,&yz,&y\omega,&z^2,&z\omega,&\omega^2 \end{Bmatrix}^{T}. \tag{V.14}\label{V.14} \]

Na tej podstawie definiuje się pełną macierz charakterystyk II rzędu

\[ \mathbf C^{(II)} = \int_A \mathbf q\, \mathbf q^T\,dA. \tag{V.15}\label{V.15} \]

Po wykonaniu całkowania po przekroju macierz \( \mathbf C^{(II)}\) zawiera uporządkowany pełny zbiór charakterystyk geometrycznych wynikających z iloczynów funkcji bazowych. Jej pełną postać podano w (\ref{V.2}). Obejmuje ona charakterystyki drugiego, trzeciego i czwartego stopnia. Z tego względu zawiera również charakterystyki wykorzystywane wcześniej w opisie przekroju w I rzędzie.

Macierz \( \mathbf C^{(II)}\) należy zatem traktować jako pełny opis przestrzeni charakterystyk geometrycznych przekroju, a nie jako macierz charakterystyk występujących bezpośrednio w każdym równaniu konkretnego modelu pręta. Dalej wykorzystuje się tylko tę część zbioru, która jest związana z przyjętym polem kinematycznym oraz występuje w odpowiednich równaniach modelu. Tworzy ona aktywny zbiór charakterystyk geometrycznych pręta, oznaczany przez \(G^{(II)}\). Macierz \(G^{(II)}\) nie jest więc równoważna pełnej macierzy \( \mathbf C^{(II)}\), lecz stanowi jej aktywny podzbiór.

Rozróżnienie układu przekroju i układu pręta

Należy wyraźnie rozróżnić dwa poziomy opisu. Macierz \( \mathbf C^{(II)}\) opisuje pełną przestrzeń charakterystyk geometrycznych przekroju, natomiast \(G^{(II)}\) zawiera tylko te charakterystyki, które są aktywne w przyjętym modelu pręta. Można więc przyjąć rozróżnienie

\[ \mathbf C^{(II)} \text{ pełny zbiór charakterystyk przekroju} \,\Longleftrightarrow\, G^{(II)} \;-\; \text{aktywny zbiór charakterystyk pręta}. \tag{V.16}\label{V.16} \]

Po przejściu do układu głównego \(P\) analogicznie rozróżnia się pełny zbiór charakterystyk przekroju $ \mathbf C^{(II)}_P$ oraz aktywny zbiór charakterystyk pręta $G^{(II)}_P$ . Zatem $ \mathbf C^{(II)} \longrightarrow \mathbf C^{(II)}_P$ oznacza przejście pełnej przestrzeni charakterystyk geometrycznych do reprezentacji głównej, natomiast $ G^{(II)} \longrightarrow G^{(II)}_P $ oznacza  zerowanie charakterystyk aktywnych w konkretnym modelu pręta do tej reprezentacji.

Macierz charakterystyk przekroju w układzie głównym

Rozprzężenie pełnej przestrzeni charakterystyk II rzędu przeprowadza się przez diagonalizację macierzy \( \mathbf C^{(II)}\). Zachodzi

\[ \text { Jeśli  } \mathbf C^{(II)} = \mathbf E\, \mathbf \Lambda\, \mathbf E^T,  \rightarrow  \mathbf \Lambda = \operatorname{diag} (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_{10}). \tag{V.17}\label{V.17} \]

Wartości \(\lambda_i\) są wartościami własnymi macierzy $ \mathbf C^{(II)}$, natomiast odpowiadające im wektory własne określają główne kierunki w przestrzeni charakterystyk. Macierz \( \mathbf E\) zawiera odpowiednio uporządkowane wektory główne. Układ główny $P$ nie jest zwykłym układem współrzędnych przekroju otrzymanym przez obrót osi \(y\) i \(z\). Jest to układ wynikający z diagonalizacji pełnej przestrzeni charakterystyk II rzędu. Jego funkcje bazowe są ogólnymi kombinacjami funkcji składowych wektora \( \mathbf q\) zdefiniowanego w (\ref{V.14}). Przejście do układu głównego obejmuje jednocześnie charakterystyki związane z geometrią I rzędu oraz charakterystyki należące do rozszerzonej przestrzeni II rzędu. Nie należy jednak interpretować tego przejścia jako niezależnego zerowania wybranych charakterystyk w równaniach zapisanych w układzie wyjściowym. Wartości charakterystyk w układzie głównym wynikają z diagonalizacji pełnej przestrzeni charakterystyk.

Charakterystyki główne oznaczane są konsekwentnie górnym indeksem \(P\), przy zachowaniu klasycznych oznaczeń w indeksach dolnych. Przykładowo otrzymujemy $[ I_y^{(P)},\, I_z^{(P)},\, I_\omega^{(P)}, $ a dla charakterystyk wyższego stopnia odpowiednio $ I_{y^2z^2}^{(P)},\, I_{y^2\omega^2}^{(P)},\, I_{z^2\omega^2}^{(P)}. $
Takie oznaczenie wskazuje, że dana charakterystyka jest wyrażona w reprezentacji głównej \(P\).

Zastosowanie układu głównego II rzędu do opisu pręta

Zmiana układu opisu charakterystyk geometrycznych nie zmienia mechanizmu pracy pręta, lecz zmienia matematyczną reprezentację geometrii przekroju. Równania pola zapisane w układzie wyjściowym nie wymagają zatem dodatkowej transformacji kinematycznej. Wystarczy zastąpić występujące w nich charakterystyki geometryczne odpowiednimi charakterystykami II rzędu wyrażonymi w reprezentacji głównej \(P\). Postępowanie ma więc postać

\[ \mathbf C^{(II)} \longrightarrow \mathbf C^{(II)_P} \longrightarrow E_{B,P}^{(II)} \longrightarrow \text{siły przekrojowe} \longrightarrow \mathrm{tównania równowagi EQ}. \tag{V.18}\label{V.18} \]

Najpierw pełna macierz charakterystyk geometrycznych II rzędu zostaje zdiagonalizowana. Następnie, dla konkretnego równania pola, identyfikuje się występujące w nim charakterystyki i zastępuje je ich wartościami w reprezentacji głównej \(P\). Z otrzymanego zredukowanego pola \(E_{B,P}^{(II)}\) wyznaczane są siły przekrojowe, a następnie, po ich różniczkowaniu względem \(x\), równania równowagi \(\mathrm{EQ}\). Szczegółowe wykonanie tych operacji przedstawiono w dalszej części.

Interpretacja charakterystyk głównych

Diagonalizacja pełnej macierzy \( \mathbf C^{(II)}\) powoduje usunięcie sprzężeń pomiędzy funkcjami bazowymi w reprezentacji głównej \(P\). Charakterystyki mieszane, które w układzie wyjściowym opisują wzajemne sprzężenia pomiędzy poszczególnymi składnikami geometrii przekroju, nie występują zatem jako niezależne elementy poza diagonalą macierzy głównej. Nie oznacza to jednak utraty informacji geometrycznej zawartej w tych charakterystykach. Informacja ta zostaje zachowana w wartościach charakterystyk głównych. Jest to bezpośrednia konsekwencja diagonalizacji pełnej macierzy charakterystyk, a nie dodatkowe założenie dotyczące pola kinematycznego. Zmienia się zatem reprezentacja informacji geometrycznej: sprzężenia zostają usunięte z elementów pozadiagonalnych, a ich wpływ zostaje uwzględniony w odpowiednich charakterystykach diagonalnych.

Szczególne znaczenie ma rozróżnienie pomiędzy charakterystykami klasycznymi I rzędu a charakterystykami głównymi uzyskanymi z rozszerzonej przestrzeni II rzędu. Dla klasycznych momentów bezwładności zachowana zostaje zgodność z głównym układem I rzędu:

\[ I_y^{(P)}=I_y^{\mathrm{gł}},\, I_z^{(P)}=I_z^{\mathrm{gł}}. \tag{V.19}\label{V.19} \]

Wartości \(I_y^{(P)}\) i \(I_z^{(P)}\) są więc głównymi momentami bezwładności wynikającymi z klasycznej geometrii przekroju. Inaczej należy interpretować charakterystykę związaną z funkcją wycinkową. Klasyczny moment wycinkowy $ I_\omega=\int_A\omega^2\,dA $ jest charakterystyką określoną w opisie I rzędu. Po uwzględnieniu rozszerzonej przestrzeni charakterystyk i diagonalizacji macierzy \( \mathbf C^{(II)}\) otrzymujemy natomiast główną charakterystykę wycinkową $ I_\omega^{(P)},$ która uwzględnia również sprzężenia funkcji wycinkowej z pozostałymi funkcjami przestrzeni charakterystyk. W ogólności zachodzi więc

\[ I_\omega^{(P)}\neq I_\omega. \tag{V.20}\label{V.20} \]

Różnica ta nie oznacza zmiany fizycznego przekroju ani zmiany mechanizmu jego pracy. Wynika ona wyłącznie z tego, że \(I_\omega^{(P)}\) jest charakterystyką diagonalną uzyskaną po rozprzężeniu rozszerzonej przestrzeni charakterystyk II rzędu. Analogiczna zasada odnosi się do pozostałych charakterystyk diagonalnych. Ich wartości w reprezentacji głównej zawierają informację, która w układzie wyjściowym była rozłożona również pomiędzy charakterystyki mieszane. Znaczenie poszczególnych charakterystyk zależy jednak od konkretnego pola kinematycznego i równania, w którym są wykorzystywane. Nie wszystkie charakterystyki pełnej macierzy \( \mathbf C^{(II)}_P \) muszą zatem występować w każdym równaniu modelu pręta. Charakterystyki wyższego stopnia, takie jak

\[ I_y^{4P},\, I_{y^2z^2}^{(P)},\, I_{y^2\omega^2}^{(P)},\, I_z^{4P},\, I_{z^2\omega^2}^{(P)},\, I_\omega^{4P}, \]

mają znaczenie wtedy, gdy odpowiednie składniki pola kinematycznego prowadzą do całek zawierających iloczyny czterech funkcji współrzędnych przekroju. Nie należy więc wprowadzać ich sztucznie do równania, w którym nie występują.

Można zatem przyjąć ogólną zasadę: Charakterystyki mieszane są rozprzęgane w reprezentacji głównej, lecz ich informacja pozostaje zachowana w charakterystykach głównych.

 Zastosowanie charakterystyk głównych do konkretnego pola

Przejście do reprezentacji głównej nie wymaga konstruowania dodatkowej transformacji dla każdego równania pola. Równanie zapisane w układzie wyjściowym zachowuje swoją postać kinematyczną. Zmianie podlegają jedynie występujące w nim charakterystyki geometryczne. Podstawową operacją jest więc identyfikacja charakterystyk rzeczywiście występujących w danym równaniu, a następnie zastąpienie ich odpowiednimi charakterystykami głównymi \(P\). Dla pola \(E_B^{(II)}\) procedura ma postać

\[ E_B^{(II)} \;\longrightarrow\; \text{identyfikacja występujących charakterystyk} \;\longrightarrow\; \text{podstawienie charakterystyk }P
\;\longrightarrow\; E_{B,P}^{(II)}. \tag{V.22}\label{V.22} \]

Nie wykonuje się przy tym osobnej transformacji współrzędnych pola kinematycznego. Charakterystyki geometryczne są już wynikiem całkowania po rzeczywistym polu przekroju, a diagonalizacja określa ich nową reprezentację w przestrzeni charakterystyk. W szczególności, jeżeli w konkretnym równaniu występują charakterystyki $ I_y,\, I_z,\, I_\omega, $ to w reprezentacji głównej stosuje się odpowiednio

\[ I_y \rightarrow I_y^{(P)},\, I_z \rightarrow I_z^{(P)},\, I_\omega \rightarrow I_\omega^{(P)}. \tag{V.23}\label{V.23} \]

Jeżeli natomiast w równaniu występują charakterystyki mieszane, ich wartości w reprezentacji głównej wynikają z diagonalizacji pełnej macierzy \( \mathbf C^{(II)}\). Nie należy więc niezależnie modyfikować pola kinematycznego ani wprowadzać dodatkowych warunków wynikających wyłącznie z przejścia do reprezentacji głównej.

Tak otrzymane pole \(E_{B,P}^{(II)}\) stanowi podstawę dalszego postępowania. Z niego wyznaczane są siły przekrojowe, a następnie ich pochodne względem \(x\) prowadzą do równań równowagi. Szczegółowe zastosowanie tej procedury zostanie pokazane na kolejnych zależnościach.

Należy przy tym podkreślić, że przejście do reprezentacji głównej \(P\) dotyczy charakterystyk geometrycznych przekroju. Nie oznacza ono transformacji zmiennych kinematycznych występujących w polu odkształcenia. Pole \(E_B^{(II)}\) pozostaje zapisane w przyjętych zmiennych kinematycznych, natomiast charakterystyki geometryczne występujące przy tych zmiennych są zastępowane ich wartościami w reprezentacji głównej \(P\). Dzięki temu nie wprowadza się dodatkowego operatora transformacji do równania pola.

Tak zredukowane pole \(E_{B,P}^{(II)}\) stanowi następnie bezpośrednią podstawę wyznaczenia sił przekrojowych. Zależności te oraz wynikający z nich układ równań równowagi są przedstawione w dalszej części Dodatku V.A. Całe postępowanie ma więc postać

\[ \mathbf C^{(II)} \;\longrightarrow\; \mathbf C^{(II)}_P \;\longrightarrow\; E_{B,P}^{(II)} \;\longrightarrow\; \text{siły przekrojowe} \;\longrightarrow\; \mathrm{EQ}.  \]

W ten sposób diagonalizacja pełnej macierzy charakterystyk stanowi etap przygotowawczy opisu geometrycznego. Właściwe równania mechaniki pręta są następnie formułowane z wykorzystaniem zredukowanego pola \(E_{B,P}^{(II)}\), bez wprowadzania dodatkowej transformacji kinematycznej.

Zastosowanie charakterystyk głównych do zintegrowanej miary odkształcenia

 Zintegrowana składowa normalna miary odkształcenia

Podstawą dalszego postępowania jest zintegrowana po polu przekroju składowa normalna miary odkształcenia Biota, której pełną postać wyprowadzono w Dodatku V.A, w zależności \(\eqref{V.A.7}\). Zależność ta zawiera zarówno klasyczne charakterystyki geometryczne przekroju, jak i charakterystyki związane z funkcją wycinkową \(\omega\) oraz jej pochodnymi względem współrzędnych przekroju. Występujące w zależności \(\eqref{V.A.7}\) charakterystyki geometryczne są zatem bezpośrednio podstawą identyfikacji charakterystyk aktywnych dla rozpatrywanego pola. Nie ma potrzeby ponownego wyprowadzania ich z pola lokalnego. Dla części kwadratowej zależności \(\eqref{V.A.7}\) przyjęto wektor zmiennych uogólnionych podany w \(\eqref{V.A.8}\). Dwukrotne różniczkowanie względem jego składowych prowadzi do macierzy charakterystyk geometrycznych \( \mathbf G^{(II)}\), określonej w \(\eqref{V.A.9}\), której postać podano wcześniej w \(\eqref{V.1}\).

Macierz \( \mathbf G^{(II)}\) stanowi więc aktywny zbiór charakterystyk związanych z konkretną częścią pola, podczas gdy pełna macierz \( \mathbf C^{(II)}\), zdefiniowana w \(\eqref{V.15}\), opisuje całą przestrzeń charakterystyk geometrycznych przekroju.

Przejście do reprezentacji głównej

Przejście do układu głównego \(P\) wykonuje się na poziomie charakterystyk geometrycznych przez diagonalizację pełnej macierzy \( \mathbf C^{(II)}\). Nie wykonuje się przy tym dodatkowej transformacji pola kinematycznego ani dodatkowej transformacji równania zintegrowanej miary odkształcenia. Dla konkretnego pola postępowanie polega na identyfikacji charakterystyk występujących w zależności \(\eqref{V.A.7}\), a następnie zastąpieniu ich wartościami odpowiadającymi reprezentacji głównej \(P\).

W szczególności klasyczne momenty bezwładności występujące w \(\eqref{V.A.7}\) przyjmują w reprezentacji głównej wartości $ I_y \rightarrow I_y^{(P)}, \, I_z \rightarrow I_z^{(P)}, $ natomiast klasyczna charakterystyka wycinkowa jest zastępowana przez charakterystykę główną $ I_\omega \rightarrow I_\omega^{(P)}.$ Przy czym $ I_y^{(P)}=I_y^{\mathrm{gł}},\,
I_z^{(P)}=I_z^{\mathrm{gł}},$ Natomiast w ogólności $ I_\omega^{(P)}\neq I_\omega.$

Pozostałe charakterystyki występujące w \(\eqref{V.A.7}\) podlegają analogicznej zamianie zgodnie z ich reprezentacją wynikającą z diagonalizacji pełnej macierzy \( \mathbf C^{(II)}\). Nie wprowadza się natomiast charakterystyk, które nie występują w rozpatrywanym równaniu, nawet jeżeli należą do pełnego zbioru charakterystyk macierzy \( \mathbf C^{(II)}_P\).

Otrzymana w ten sposób zależność jest zredukowanym polem $ E_{B,P}^{(II)},$ zapisanym przy wykorzystaniu charakterystyk głównych \(P\).

Zależności konstytutywne i siły przekrojowe wynikają z pola odkształcenia oraz odpowiadających mu zależności przedstawionych w dalszej części Dodatku V.A. Po zastosowaniu charakterystyk głównych do pola otrzymuje się odpowiednie siły przekrojowe, a następnie ich różniczkowanie względem \(x\) prowadzi do układu równań równowagi.  Całe postępowanie można więc ująć krótko jako

\[ \mathbf C^{(II)} \longrightarrow \mathbf C ^{(II)_P} \longrightarrow E_{B,P}^{(II)} \longrightarrow \text{siły przekrojowe} \longrightarrow \mathrm{EQ}. \]

Szczegółowe zależności pola, sił przekrojowych oraz równań równowagi są podane odpowiednio w dalszych zależnościach Dodatku V.A; w tym miejscu określono jedynie sposób przejścia od pełnej przestrzeni charakterystyk geometrycznych do ich reprezentacji głównej \(P\).

Siły przekrojowe II rzędu

W przyjętym modelu pręta cienkościennego siły przekrojowe są wyznaczane z pełnego pola odkształcenia Biota II rzędu. Oznacza to, że ich zależności kinematyczno-konstytutywne zawierają zarówno składniki liniowe, odpowiadające modelowi I rzędu, jak i składniki nieliniowe wynikające z kwadratowej części miary odkształcenia. Pełne wyprowadzenie tych zależności przedstawiono w Dodatku V.A.Podstawowy wektor sił przekrojowych obejmuje siłę osiową N, siły tnące V_y i V_z, momenty zginające M_y i M_z, bimoment B_\omega oraz całkowity moment skręcający M_x. W modelu II rzędu wielkości te zachowują swoją interpretację mechaniczną z modelu I rzędu, lecz ich zależności od zmiennych kinematycznych zostają rozszerzone o składniki wynikające z nieliniowej części odkształcenia.

Charakterystyczną cechą tych składników jest występowanie iloczynów zmiennych kinematycznych oraz ich pochodnych. W szczególności w zależnościach dotyczących siły osiowej i momentów zginających pojawiają się składniki związane z funkcjami (\ref{V.27}) i (\ref{V.28}) Szczegółową postać składników II rzędu oraz ich udział w poszczególnych siłach przekrojowych podano w Dodatku V.A W modelu II rzędu występuje również sprzężenie pomiędzy zginaniem, skręcaniem i spacaniem przekroju. Jest ono zawarte w zależnościach momentów zginających oraz całkowitego momentu skręcającego. Rozdzielenie momentu skręcającego na część Saint-Venanta i część związaną ze spaczaniem przedstawiono w Dodatku V.A. Pozwala to zachować jednoznaczne rozróżnienie pomiędzy poszczególnymi mechanizmami przenoszenia momentu skręcającego.

W układzie głównym przekroju II rzędu $(P)$, uzyskanym po redukcji sił przekrojowych wyrażonych w układzie wyjściowym, siły przekrojowe można zapisać w postaci zwartej:

\[ \mathbf S^{(P)}= \left\{ \begin{array}{ll}
N^{(P)} &= \frac{\bar E}{8}\left[(I_{yP}+I_{zP})(\psi^2+\varphi’^2)+A\left [ \theta_3+v’)^2+(\theta_2-w’)^2+8u’ \right ) \right ],\\[2mm]
M_y^{(P)} &= \bar E I_{yP}\left[\theta_2′-\frac14\varphi'(\theta_3+v’) \right ],\\[2mm]
M_z^{(P)} &= \bar E I_{zP}\left[\theta_3’+\frac14\varphi'(\theta_2-w’) \right ],\\[2mm]
B_\omega^{(P)} &= -\bar E I_{\omega P}\psi’.\\[1mm]
\hline
V_y^{(P)} &= AG\left(v’-\theta_3 \right ), \\[2mm]
V_z^{(P)} &= AG\left(w’+\theta_2 \right ),\\[2mm]
M_x^{(P)} &= G\left(I_y^{(P)}+I_z^{(P)} \right )\left(\psi+\varphi’ \right ).\\[2mm]
\end{array} \right . \tag{V.24}\label{V.24}\]

gdzie:
nad kreską  siły  normalne: siła osiowa $N^{(P)}$, momenty zginające $M_y^{(P)}$ i $M_z^{(P)}$ oraz bimoment $B_\omega^{(P)}$
pos kreską siły srtyczbe: siły poprzeczne  $V_y^{(P)}$,  $V_z^{(P)}$ i całkowity moment skręcający $M_x^{(P)}$

Na tym etapie $M_x$ pozostaje całkowitym momentem skręcającym. Nie rozdziela się go jeszcze na składową Saint-Venanta \(M_V\) i składową wycinkową $M_\omega$

Istotne jest, że składniki II rzędu nie stanowią odrębnego zbioru sił przekrojowych. Są one składnikami pełnych wielkości $N$, $M_y$, $M_z$, $B_\omega$ i $M_x$. Model II rzędu należy zatem traktować jako rozszerzenie modelu I rzędu, w którym do liniowych zależności sił przekrojowych wprowadzono dodatkowe składniki wynikające z geometrii deformacji. Konsekwencją tego rozszerzenia jest nieliniowy charakter równań równowagi. Po zróżniczkowaniu zależności sił przekrojowych pojawiają się dodatkowe składniki sprzęgające zmienne kinematyczne i ich pochodne. Ich pełną postać oraz sposób przejścia od zależności siłowych do równań równowagi przedstawiono w Dodatku V.A.

Tak określone siły przekrojowe II rzędu stanowią podstawę dalszej analizy równowagi i stateczności pręta cienkościennego. W szczególności zachowanie składników sprzęgających zginanie, skręcanie i spacanie jest niezbędne przy wyprowadzaniu równań zwichrzenia oraz przy analizie utraty stateczności. Szczegółowe równania wykorzystane w tych zagadnieniach podano w Dodatku V.A.

Różniczkowy układ równań równowagi nieliniowego pręta cienkościennego

Równania  równowagi wynikają z zależnosći sił pzekrojowych II rzędu w funkcji zmiennych kinematycznycj i mają postać

\[ \frac{dN}{dx}=p_x,\, \frac{dM_y}{dx}=V_z,\, \frac{dM_z}{dx}=V_y,\, \frac{dB_\omega}{dx}=M_\omega, \tag{V.25}\label{V.25}\]

\[ \frac{dV_z}{dx}=p_z,\, \frac{dV_y}{dx}=p_y,\, \frac{dM_x}{dx}=m_x. \tag{V,26}\label{V.26} \]

Są to równania równowagi zapisane na poziomie sił i przekrojowych. Nie zawierają jeszcze szczegółowej postaci zależności konstytutywnych ani przyjętego pola kinematycznego. Równania te rozwija się dla pola przemieszczeń oraz miary odkształcenia Biota II rzędu a następnie zredukowanego prawa Hookapodług zależności podano w \(\eqref{V.4}\), \(\eqref{V.10}\) i \(\eqref{V.11}\).  W wyniku otrzymuje się układ siedmiu nieliniowych równań różniczkowych w układzie (P). Układ ten uzyskany w drodze jednokrotnego różniczkowania sił przekrojowych stanowi podstawową postać równań równowagi.    Po wprowadzeniu  oznaczeń dla skróconych ciągów kinematycznych  oraz ich pochodnych

\[ T_2=\theta_2-w’,\, T_2’=\theta_2′-w”,\, T_2”=\theta_2”-w”’, \, T_3=\theta_3+v’,\, T_3’=\theta_3’+v”,\,T_3”=\theta_3”+v”’.\tag{V.Ti}\label{V.Ti} \]

układ podstawowych siedmiu równań równowagi pręta cienkościennego można zapisać w postaci zaprezentowanej w tab. v.6-1

Z równań równowagi wynika bezpośrednio, że równanie siły osiowej modelu II rzędu jest równaniem nieliniowym względem zmiennych kinematycznych. Analogicznie równania momentów \(M_y^{(P)}\) i \(M_z^{(P)}\) zawierają iloczyny wielkości kinematycznych, odpowiednio $ T_3’\varphi’, \, T_3\varphi”, \, T_2’\varphi’, \, T_2\varphi”.$ Są to składniki sprzęgające zginanie ze skręcaniem przekroju i stanowią bezpośredni przejaw drugiego rzędu w równaniach momentów. Natomiast równania dla sił poprzecznych oraz momentu skręcającego zachowują w układzie głównym postać liniową:

\[ \left\{ \begin{aligned}
& AG\left(\theta_2’+w” \right )=p_z,\\
&AG\left(v”-\theta_3′ \right )= p_y,\\
&G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\left(\psi’+\varphi” \right ).= m_x \end{aligned} \right .
\tag{V.28}\label{V.28} \]

Zatem nieliniowość modelu I+II rzędu koncentruje się  przede wszystkim w równaniu siły osiowej oraz w równaniach momentów zginających, podczas gdy zależności dla sił poprzecznych i momentu skręcającego pozostają liniowe względem przyjętych zmiennych kinematycznych (pozostają w formie I rzędu, ale po zamianie  charakterystyk  I rzędu na główne II rzędu uzyskane podczas  diaqgonalizaji macierzy  $C^({II)}^{(P)}$.

Drugą, pomocniczą postacią równań równowagi jest zapis otrzymany przez dwukrotne różniczkowanie odpowiednich sił przekrojowych. Dodatkowe różniczkowanie trzech róęnań  (\eqref{V.A.17a}\) na $M_y$, $M_z$ i $B_\omega $p rowadzi do zależności, w których po prawej stronie występują bezpośrednio obciążenia rozłożone. Przykładowo, dla momentu \(M_y\) otrzymuje się $ \frac{d^2M_y}{dx^2} = \frac{dV_z}{dx} = p_z(x).$ Analogicznie postępuje się dla \(M_z\) oraz \(B_\omega\).  W wyniku przeksztaceń pomocnicze równania róEnowagi możan zapisać w postaci przedstawionej w tab.V.6-2 , otrzymanej z (\ref{V.A. 58}) po podstawieniu ciagów kinematycznych (\refV.A.Si})  Pozostałe równania ogólnego układu równowagi, w których po jednokrotnym różniczkowaniu występują już odpowiednie obciążenia rozłożone, nie wymagają dodatkowego różniczkowania. Po podstawieniu rozwiniętych zależności na siły i momenty przekrojowe równania otrzymane po dwukrotnym różniczkowaniu mogą zostać zapisane bezpośrednio za pomocą funkcji przemieszczeń i obrotów przekroju oraz ich pochodnych. 

Obie postacie równań podstawowe i pomocmnicze opisują ten sam stan równowagi. Postać po jednokrotnym różniczkowaniu zachowuje bezpośrednie powiązanie z siłami i momentami przekrojowymi, natomiast postać po dwukrotnym różniczkowaniu prowadzi do równań, których prawe strony mogą być określone bezpośrednio przez obciążenia rozłożone. W dalszej części, zależnie od celu analizy, wykorzystywana będzie odpowiednia postać równań. 

Dodatek V.A. Układ główny II rzędu przekroju pręta cienkościennego a równania równowagi 

W Dodatku przedstawiono szczegółowe wyprowadzenie układu głównego  przekroju nieliniowego pręta cienkościennego II rzędu i reprezentację sił przekrojowych II rzędu  oraz równań równowagi nieliniowego pręta w tym układzie. W tekście zasadniczym wykorzystuje się rozwiązania zawarte w tym Dodatku.  Punktem wyjścia jest pole odkształcenia Biota II rzędu podane w W tekście głównym przedstawiono wynik w postaci syntetycznej, odpowiadającej układowi głównemu (P), oznaczonemu literą P skrótu angielskiej nazwy Primary.

W Dodatku pokazano drogę prowadzącą do prezentacji wyników w zwartej formie w układzie głównym, a prowadzącą  macierz charakterystyk w układzie wyjściowym (bazowym) tożsamym z  klasycznym układem I rzędu przekroju pręta cienkościennego wprowadzonym przez Własowa [2] , a następnie przeprowadzono jej redukcję w układzie głównym.

Miara odkształcenia Biota a przemieszczenia II rzędu

Na podstawie pola przemieszczeń \eqref{V.4} oraz zależności \eqref{V.6}–\eqref{V.10} wykonano obliczenia symboliczne w programie „Mathematica”. Poniżej przedstawiono ich wyniki. W zależnościach \eqref{V.A.1}–\eqref{V.A.5} wprowadzono oznaczenia:

$ \mathcal A=-\theta_2+y\varphi’+w’+\psi\omega_{,z},$
$ \mathcal B=\theta_3-z\varphi’+v’+\psi\omega_{,y},$
$ \mathcal C=-\omega\psi’+z\theta_2′-y\theta_3’+u’+\frac18\left(\mathcal A^2+\mathcal B^2 \right ),$
$ \mathcal D=-\theta_3-z\varphi’+v’-\psi\omega_{,y},$
$ \mathcal E=\theta_2+y\varphi’+w’-\psi\omega_{,z},$
gdzie $’=d/dx$ oznacza różniczkowanie względem współrzędnej osi pręta $x$.

Macierz obrotu wyznaczono zgodnie z definicją \eqref{V.8}:

\[ \boldsymbol{\Omega} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0&-\mathcal B&\mathcal A\\[7pt] \mathcal B&0&-\varphi\\[7pt] -\mathcal A&\varphi&0 \end{bmatrix}. \tag{V.A.1}\label{V.A.1} \]

Macierz \eqref{V.A.1} jest antysymetryczna.  Liniową część miary odkształcenia Biota wyznaczono z definicji \eqref{V.7}:

\[ \mathbf E_B^{(I)} = \frac {1}{2}\begin{bmatrix} \mathcal C-\dfrac14\left(\mathcal A^2+\mathcal B^2 \right ) & \mathcal D & \mathcal E \\[8pt]
\mathcal D &0&0\\[6pt]
\mathcal E&0&0 \end{bmatrix}. \tag{V.A.2}\label{V.A.2} \]

Po podstawieniu macierzy obrotu \eqref{V.A.1} do zależności \eqref{V.9} otrzymano składnik drugiego rzędu:

\[ \mathbf E_B^{(II)} = \frac18 \begin{bmatrix} \mathcal A^2+\mathcal B^2 & 2\varphi\mathcal A & -2\varphi\mathcal B \\[7pt]
2\varphi\mathcal A & 4\varphi^2+\mathcal B^2 & -\mathcal A\mathcal B \\[7pt]
-2\varphi\mathcal B & -\mathcal A\mathcal B & 4\varphi^2+\mathcal A^2 \end{bmatrix}. \tag{V.A.3}\label{V.A.3} \]

Miarę odkształcenia II rzędu Biota wyznaczono z zależności \eqref{V.10}:

\[ \mathbf E_B^{(II)} = \mathbf E_B^{(I)}+ \mathbf E_B^{(II)} = \frac18 \begin{bmatrix}
8\mathcal C & 4\mathcal D+2\varphi\mathcal A & 4\mathcal E-2\varphi\mathcal B \\[8pt]
4\mathcal D+2\varphi\mathcal A & 4\varphi^2+\mathcal B^2 & -\mathcal A\mathcal B \\[8pt]
4\mathcal E-2\varphi\mathcal B & -\mathcal A\mathcal B & 4\varphi^2+\mathcal A^2 \end{bmatrix}. \tag{V.A.4}\label{V.A.4} \]

Składową normalną miary odkształcenia Biota w kierunku osi pręta otrzymano w postaci

\[ E_{11}^{(II)}=\mathcal C. \tag{V.A.5}\label{V.A.5} \]

Po rozwinięciu otrzymano

\[ \begin{aligned} E_{11}^{(II)} ={}& \frac18\Big[ -8\omega\psi’ +8z\theta_2′ -8y\theta_3′ +8u’ +\theta_2^2 -2y\theta_2\varphi’ -2\theta_2w’ -2\theta_2\psi\omega_{,z} +\theta_3^2 \\[4pt]
&\, +(y^2+z^2)\varphi’^2 +v’^2 +w’^2 -2z\theta_3\varphi’ +2\theta_3v’ -2z\varphi’v’ +2y\varphi’w’ \\[4pt]
&\, +2y\psi\varphi’\omega_{,z} +2\psi w’\omega_{,z} +2\psi\theta_3\omega_{,y} -2z\psi\varphi’\omega_{,y} +2\psi v’\omega_{,y} +\psi^2 \left(\omega_{,y}^2+\omega_{,z}^2 \right )
\Big].
\end{aligned} \tag{V.A.6}\label{V.A.6} \]

Po całkowaniu składowej normalnej po polu przekroju otrzymano

\[ \begin{aligned} E_{11,A}^{(II)}= {}& \int_A E_{11}^{(II)}\,dA\\
={}& \frac18\Big[ A\theta_2^2 -2\theta_2 \left( S_z\varphi’ +Aw’ +I_{wz}\psi \right ) +A\theta_3^2 +(I_y+I_z)\varphi’^2 +Av’^2 +Aw’^2 +J_w\psi^2 \\
&\, -2S_y\theta_3\varphi’ +2A\theta_3v’ -2S_y\varphi’v’ +2S_z\varphi’w’ +2I_{ywz}\psi\varphi’ \\
&\, +2I_{wz}\psi w’ +2I_{wy}\theta_3\psi -2I_{zwy}\varphi’\psi +2I_{wy}v’\psi \Big]. \end{aligned} \tag{V.A.7}\label{V.A.7} \]

Występujące w tej zależności charakterystyki geometryczne przekroju są określone przez:
$S_y=\int_A z\,dA,\, S_z=\int_A y\,dA,$
$ I_y=\int_A z^2\,dA,\, I_z=\int_A y^2\,dA, $
$ I_{wy}=\int_A\omega_{,y}\,dA,\, I_{wz}=\int_A\omega_{,z}\,dA,$
$ I_{ywz}=\int_A y\omega_{,z}\,dA, \, I_{zwy}=\int_A z\omega_{,y}\,dA, $
$ J_w= \int_A \left( \omega_{,y}^{\,2} + \omega_{,z}^{\,2} \right )dA. =  I_y+I_z$

W celu wyodrębnienia charakterystyk geometrycznych związanych z częścią kwadratową zależności \eqref{V.A.7} przyjęto wektor zmiennych uogólnionych 

\[ \mathbf q= \begin{Bmatrix} \theta_2& \theta_3& v’& w’& \varphi’& \psi \end{Bmatrix}^{T}. \tag{V.A.8}\label{V.A.8} \]

Dwukrotne różniczkowanie zależności \eqref{V.A.7} względem składowych wektora $ \mathbf q$ prowadzi do macierzy charakterystyk geometrycznych pręta 

\[ \mathbf G^{(II)} = \left[ \frac{\partial^2 E_{11,A}^{(II)}} {\partial q_i\,\partial q_j} \right ]  \tag{V.A.9}\label{V.A.9}\]

gdzie macierz $ \mathbf G^{(II)}$ została podana wcześniej w zależności \eqref{V.1}. Macierz $ \mathbf G^{(II)}$ jest symetryczna, co wynika bezpośrednio z faktu, że jest macierzą drugich pochodnych skalarnej funkcji $E_{11,A}^{(II)}$. W ten sposób zintegrowana miara odkształcenia Biota prowadzi bezpośrednio do macierzy charakterystyk geometrycznych II rzędu $ \mathbf G^{(II)}$. Jej elementy zawierają zarówno klasyczne charakterystyki przekroju, jak i charakterystyki związane z funkcją wycinkową $\omega$ oraz jej pochodnymi względem współrzędnych przekroju. Macierz charakterystyk geometrycznych pręta $ \mathbf G^{(II)}$ stanowi zatem algebraiczne  zerowanie części kwadratowej miary odkształcenia Biota na zbiór uogólnionych zmiennych kinematycznych. W dalszej analizie może być wykorzystana jako macierz geometrycznych charakterystyk II rzędu związanych z przemieszczeniami i obrotami przekroju. 

Pole odkształcenia, wektor stopni kinematycznych  i macierz aktywnych charakterystyk przekroju $G^{(II)}$

Punktem wyjścia jest zależność pola odkształcenia Biota II rzędu ({\ref{V.A.4}) i ({\ref{V.A.7}) Macierz aktywnych charakterystyk przkroju $G^{(II)}$ w przestrzeni stopni kinematycznych uzyskuje się przez dwukrotne różniczkowanie pola względem kolejnych składowych wektora $ \mathbf q$. (\ref{V.A.8}). Macierz charakterystyk pręta w układzie wyjściowym Po wykonaniu różniczkowania otrzymuje się macierz (\ref{V.1}).  Macierz $G^{(II)}$ zawiera wyłącznie te charakterystyki geometryczne, które wynikają z przyjętego pola odkształcenia i jego zależności od zmiennych uogólnionych \mathbf q. Jej poszczególne elementy nie są przyjmowane niezależnie. Każdy z nich wynika z odpowiedniej drugiej pochodnej pola $E_B^(II)$.

Ze względu na symetrię macierzy wystarczy wyprowadzić elementy niezależne, natomiast pozostałe wynikają z relacji $  G_{ij}^{(II)}=G_{ji}^{(II)}.$ W ten sposób wykazuje się, że macierz \mathbf $G^(II)$ jest bezpośrednim wynikiem różniczkowania pola odkształcenia, a nie niezależnie przyjętym zestawieniem charakterystyk. Pełna macierz \mathbf C^(II) charakterystyk geometrycznych (\ref{V.15)} zaprezntioana w (\ref{V.2}) opisuje rozszerzoną przestrzeń charakterystyk geometrycznych przekroju. Macierz \mathbf G^(II) ma inne znaczenie. Jest ona macierzą charakterystyk aktywnych dla konkretnego pola pręta. Zachodzi więc rozróżnienie

\[ \mathbf C^{(II)} \neq \mathbf G^{(II)}. \]

Macierz $ \mathbf C^(II)$ opisuje bowiem pełną przestrzeń charakterystyk, natomiast \mathbf $G^(II)$ zawiera charakterystyki, które zostały uaktywnione przez przyjęte pole odkształcenia. Oznacza to, że przejście od \mathbf C^(II) do $ \mathbf G^(II)$ nie jest operacją diagonalizacji. Macierz \mathbf $G^(II)$ wynika z konkretnej struktury pola $E_B^(II)$.

W drodze  diagonalizacji pełna przestrzeń charakterystyk zostaje przedstawiona w układzie głównym (P).  Symbolicznie $   \mathbf C^{(II)} \longrightarrow \mathbf C^{(II)}_P.$ Diagonalizacja dotyczy pełnej przestrzeni charakterystyk, a nie wyłącznie macierzy aktywnych charakterystyk pręta \mathbf G^(II). Po przejściu do reprezentacji głównej charakterystyki występujące w macierzy \mathbf G^(II) należy wyrazić w tej samej reprezentacji. 

Prześledzimy , jak poszczególne charakterystyki występujące w \mathbf G^(II) przechodzą do reprezentacji P. Po zastosowaniu charakterystyk odpowiadających reprezentacji głównej P do macierzy \mathbf G^(II) otrzymuje się jej postać zredukowaną $ \mathbf G^{(II)}_P$  Podczas diagonalizacji składniki macierzy wyjściowej:  zachowują swoją postać ;  przyjmują wartości odpowiadające charakterystykom głównym;   zanikają wskutek rozprzężenia w układzie (P);  pozostają jako niezerowe kombinacje charakterystyk głównych. Redukcja ta wynika z reprezentacji głównej pełnej przestrzeni charakterystyk. Nie jest dodatkowym założeniem dotyczącym pola pręta. Zanik określonego elementu sprzężenia w macierzy \mathbf G^{(P)}^(II) należy interpretować jako skutek przejścia do reprezentacji głównej. Nie oznacza on usunięcia odpowiedniej informacji geometrycznej z pełnej przestrzeni \mathbf C^(II). Informacja ta jest zawarta w charakterystykach głównych otrzymanych w wyniku diagonalizacji pełnej przestrzeni. Należy zatem odróżnić $\text{zanik sprzężenia w reprezentacji głównej}$ od $ \text{pominięcia charakterystyki w modelu fizycznym pręta}.$ Są to dwie różne operacje

Po wykonaniu diagonalizacji w układzie głównym pręta (P) macierz aktywnych charakterystyk G(II) \mathbf G^{(II)} przyjmuje zwartą postać

\[ \mathbf G^{(II)}_P = \frac{1}{4} \begin{bmatrix}
A & 0 & 0 & -A & 0 & 0\\
0 & A & A & 0 & 0 & 0\\
0 & A & A & 0 & 0 & 0\\
-A & 0 & 0 & A & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & I_{y}^{(P)}+I_{z}^{(P)} & K_{\omega}^{(P)}\\
0 & 0 & 0 & 0 & K_{\omega}^{(P)} & J_{\omega}^{(P)}
\end{bmatrix}. \tag{V.A.10} \label{V.A.10} \]

W porównaniu z macierzą w układzie wyjściowym $ \mathbf G^{(II)}$ zanikają sprzężenia związane z charakterystykami $S_y$, $S_z$, $I_{\omega y}$ oraz $I_{\omega z}$. Zerowanie momentów statycznych $S_y$ oraz $S_z$ wynika z centralności układu I rzędu, natomiast zerowanie momentów mieszanych $I_{\omega y}$ oraz $I_{\omega z}$ jest związane z własnościami układu głównego II rzędu. Nie oznacza to pominięcia tych charakterystyk w procesie wyprowadzenia, lecz wynika z ich wartości w reprezentacji głównej (P) oraz z przyjętej konstrukcji tego układu. W macierzy pozostaje sprzężenie pomiędzy zmiennymi $\varphi’$ i $\psi$, którego miarą jest charakterystyka $K_{\omega P}$, określona zależnością $ K_{\omega}^{(P)} = I_{\omega y z}^{(P)} – I_{z\omega P}^{(P)}$. Element diagonalny związany ze zmienną $\varphi’$ zawiera sumę głównych momentów powierzchni $I_{yP}+I_{zP}$, natomiast element diagonalny odpowiadający zmiennej $\psi$ jest określony przez główną charakterystykę $J_{\omega P}$. Ostatecznie aktywna przestrzeń charakterystyk pręta w układzie $(P)$ jest więc opisana przez zestaw $A$, $I_{y}^{(P)}$, $I_{z}^{(P)}$, $K_{\omega}^{(P)}$, $J_{\omega }^{(P)} = (I_y+I_z)^{(P)} $, przy czym $A$ pozostaje niezmienione przez obrót układu współrzędnych.

Macierz $ \mathbf G^{(II)}_P$ jest zatem wynikiem dwóch kolejnych operacji o odmiennym znaczeniu. Najpierw z pola $E_B^{(II)}$ wyznaczana jest macierz aktywnych charakterystyk $ \mathbf G^{(II)}$, zgodnie z \eqref{V.A.10}. Następnie charakterystyki tej macierzy są przedstawiane w układzie głównym $(P)$, wyznaczonym na podstawie diagonalizacji pełnej macierzy $ \mathbf C^{(II)}$. Dzięki temu postać $ \mathbf G^{(II)}_P$ jest znacznie prostsza niż postać w układzie wyjściowym, a jednocześnie zachowuje wszystkie charakterystyki geometryczne aktywne w przyjętym modelu pręta.

Tak otrzymana macierz $ \mathbf G^{(II)}_P$ jest macierzą wykorzystywaną w dalszym wyprowadzeniu równań równowagi pręta  w układzie głównym $(P)$.

Główny układ współrzędnych i charakterystyki główne II rzędu 

Rozróżnienie pomiędzy pełną przestrzenią charakterystyk geometrycznych przekroju $ \mathbf C^{(II)}$ a aktywnym zbiorem charakterystyk pręta $G^{(II)}$, jak również odpowiadającymi im zbiorami w układzie głównym $ \mathbf C^{(II)}_{P}$ i $G^{(II)}_{P}$, zostało przedstawione w tekście głównym w rozdziale Charakterystyki geometryczne II rzędu pręta i przekroju. Poniżej przedstawiono formalną realizację tej procedury oraz jej zastosowanie do transformacji zmiennych stanu.

Punktem wyjścia jest rozszerzona baza funkcji współrzędnych przekroju (\ref{V.13}) Pełną macierz charakterystyk geometrycznych II rzędu definiuje się jako $ \mathbf C^{(II)}$  ( \ref{V.14}) Ta macierz zawiera pełny zbiór charakterystyk wynikających z iloczynów funkcji bazowych. W dalszej procedurze jest ona traktowana jako macierz opisująca pełną przestrzeń charakterystyk przekroju. Aktywne charakterystyki występujące w konkretnym modelu pręta są natomiast transformowane   do tej przestrzeni.

Tensor II rzędu $C^{(II)}$  zawiera $C^{(I)}$ pierwszego rządu  

W części IV zdefiniowano tensor charakterystyk I rzędu $C^{(I)}$, obejmujący momenty powierzchni drugiego stopnia w rozszerzonej przestrzeni charakterystyk
$ \mathbf q=\begin{Bmatrix} y,&z,&\omega\end{Bmatrix}^{T}.$
Na jego podstawie wyznaczono główny układ współrzędnych dla charakterystyk I rzędu. W dalszej części przyjmujemy ten układ jako już określony i nie wyznaczamy go ponownie. Przedmiotem dalszej analizy jest rozszerzenie zbioru charakterystyk do II rzędu. Przyjmujemy ogólną postać

\[ C^{(II)}_{abc}=\int_A y^a z^b\omega^c\,dA,\, a,b,c\geq0,\, a+b+c\leq4. \tag{V.A.11}\label{V.A.11} \]

Dopuszczenie wykładników równych zero powoduje, że zbiór $C^{(II)}$ obejmuje wszystkie charakterystyki od stopnia zerowego do czwartego. Liczba niezależnych charakterystyk wynosi $ \sum_{n=0}^{4}\binom{n+2}{2}=1+3+6+10+15=35, $  gdzie kolejne liczby odpowiadają charakterystykom stopnia $0,1,2,3,4$. W szczególności w zbiorze tym występują charakterystyki stopnia zerowego i pierwszego $A,\,S_y,\,S_z,\,S_\omega$; charakterystyki stopnia drugiego tworzące tensor $C^{(I)}$, a także charakterystyki stopnia trzeciego i czwartego. Oznacza to, w sensie zbioru charakterystyk,

$ C^{(II)}\supset C^{(I)}$.

Nie oznacza to jednak, że tensor $C^{(I)}$ jest ponownie wyznaczany. Charakterystyki stopnia drugiego oraz odpowiadający im główny układ współrzędnych zostały określone wcześniej. W dalszej analizie wykorzystujemy je jako dane wyjściowe. W celu ustalenia zbioru charakterystyk II rzędu przyjmuje się rozszerzoną bazę funkcji

\[ \mathbf q= \begin{Bmatrix} 1,&y,&z,&\omega,&y^2,&yz,&y\omega,&z^2,&z\omega,&\omega^2 \end{Bmatrix}^{T}. \tag{V.A.12}\label{V.A.12} \]

Macierz charakterystyk II rzędu definiuje się jako symetryczną macierz $10\times10$

\[ \mathbf C^{(II)}=\int_A \mathbf q \mathbf q^T\,dA. \tag{V.A.13}\label{V.A.13} \]

Macierz $ \mathbf C^{(II)}$ jest rozpisana w formule (\ref{V.2}). Każdy symbol występujący w macierzy $ \mathbf C^{(II)}$ oznacza określoną całkę powierzchniową. Nazewnictwo charakterystyk wynika z przyjętej umowy matematycznej momentów powierzchni $ z \rightarrow y,\, y \rightarrow z,\, \omega \rightarrow w.$ Przykładowo:
$ I_y=\int_A z^2\,dA,\, I_{z\omega}=\int_A y\omega\,dA,\,I_{yz^2}=\int_A y^2z\,dA,$
$  I_{z^2\omega}=\int_A y^2\omega\,dA,\,  I_{y^2\omega^2}=\int_A z^2\omega^2\,dA.

Zatem symbol charakterystyki pozwala bezpośrednio odtworzyć całkę, z której dana wielkość została wyznaczona. W szczególności pierwsza litera odpowiada pierwszemu czynnikowi po zastosowaniu przyjętej zamiany $z \rightarrow y$, $y \rightarrow z$, $\omega \rightarrow w$, a kolejne symbole i cyfry określają następne czynniki oraz ich potęgi. Macierz $ \mathbf C^{(II)}$ stanowi w ten sposób uporządkowany zapis pełnego zbioru 35 charakterystyk. Powtarzające się symbole w różnych miejscach macierzy oznaczają tę samą całkę i nie stanowią nowych charakterystyk.

Macierz (\ref{V.A.12}) jest symetryczna, więc $ C^{(II)}_{mn}=C^{(II)}_{nm},$ i zawiera $10^2=100$ elementów, lecz elementy te nie stanowią 100 różnych charakterystyk. Każdy z nich jest jedną z charakterystyk należących do wcześniej zdefiniowanego zbioru 35 charakterystyk. Powtórzenia wynikają z symetrii iloczynu $q_mq_n$ oraz z tego, że różne pary funkcji bazowych prowadzą do tej samej całki. Przyjęta baza obejmuje funkcje stopnia od zerowego do drugiego. Iloczyny jej elementów generują charakterystyki stopnia od zerowego do czwartego. W macierzy występują zatem charakterystyki wszystkich stopni należące do zbioru $C^{(II)}$. Macierz $ \mathbf C^{(II)}$ nie jest więc macierzą 35 charakterystyk. Jest macierzą całkową zbudowaną z 10-elementowej bazy, której elementy odzorowują pełny zbiór 35 charakterystyk II rzędu.

Diagonalizacja macierzy $C^{(I)}$ charakterystyk przekroju II rzędu

Rozprzężenie charakterystyk przeprowadza się na pełnej macierzy $ \mathbf C^{(II)}$, ktłra ma wymiary ${10\times10}$ , jest symetryczna i dodatnio półokreślona, co pozwala na diagonalizację i rozprzężenie charakterystyk metodami algebry liniowej. Ze względu na różną naturę oraz różne wymiary współrzędnych $y,z,\omega$ nie wprowadza się uprzedniej normalizacji tych współrzędnych ani nie traktuje się ich jako współrzędnych tego samego rodzaju. Do rozprzężenia charakterystyk można wykorzystać metodę rozkładu kanonicznego stosowaną przez Pugaczewa do macierzy momentów, znaną z zastosowania do usuwania korelacji wektorów losowych [15], opisaną przez autora w artykule Kanoniczna reprezentacja wektora losowego (Pugaczew).  Rozkład kanoniczny ma postać

\[ \mathbf C^{(II)}= \mathbf A \mathbf D \mathbf A^{T}; \, \mathbf D= \operatorname{diag}\left(d_1,d_2,\ldots,d_{10} \right ). \tag{V.A.14}\label{V.A.14} \]

Macierz $ \mathbf A$ jest macierzą transformacji. Jej kolumny wyznaczają kierunki główne odpowiadające wartościom własnym $d_i$. Macierz diagonalna $ \mathbf D$ zawiera wartości własne $ d_i=\lambda_i. $  macierzy $ \mathbf C^{(II)}$, czyli ({\ref{V.15}) $   \mathbf D= \mathbf \Lambda$  Rozkład kanoniczny odróznia się od rozwiązania klasyvcznego zagadnienia własnego, tym, że zawarte w macierzy transoformacji $ \mathbf A$ wekoty kierunków własnych nie są ortogonalne, więc nie spełniają warunku koneicznego, aby potaktować je jako  wektorów własnych.  Klasyczny rozkład własny macierzy $ \mathbf C^{(II)}$ zapisujemy w postaci

\[ \mathbf C^{(II)}= \mathbf E \mathbf \Lambda \mathbf E^{T}; \, \mathbf \Lambda= \operatorname{diag}\left(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_{10} \right ). \tag{V.A.15}\label{V.A.15} \]

Kolumny macierzy $ \mathbf E$ są wektorami własnymi spełniającymi $   \mathbf C^{(II)}_{10\times10} \mathbf e_i = \lambda_i \mathbf e_i. $

Macierze $ \mathbf D$ i $ \mathbf \Lambda$ zawierają te same wartości własne.  Macierz $ \mathbf E$ zawiera natomiast odpowiadające tym wartościom własnym wektory własne. Rozkład spektralny macierzy $ \mathbf C^{(II)}$ można zatem zapisać w postaci rozkłądu spektralnego: 

\[ \mathbf C^{(II)} = \mathbf E \mathbf D \mathbf E^T. \tag{V.A.16}\label{V.A.16} \]

Redukcja charakterystyk wynikających z pochodnych funkcji wycinkowej

W konstrukcji charakterystyk geometrycznych drugiego rzędu występują wielkości wynikające z pochodnych funkcji wycinkowej. Dla klasycznej definicji funkcji wycinkowej, określonej przez przyrosty współrzędnych przekroju, mamy

\[ d\omega=z\,dy-y\,dz. \tag{V.A.17}\label{V.A.17} \]

Stąd wynikają pochodne funkcji wycinkowej względem współrzędnych \(y\) i \(z\):

\[ \omega_y=\frac{\partial\omega}{\partial y}=z, \, \omega_z=\frac{\partial\omega}{\partial z}=-y. \tag{V.A.18}\label{V.A.18} \]

Zależności te pozwalają zredukować charakterystyki geometryczne zawierające pochodne funkcji wycinkowej do klasycznych charakterystyk geometrycznych przekroju.

Zestawienie redukcji charakterystyk wynikających z pochodnych funkcji wycinkowej przedstawiono w tabeli (\ref{V.A.19}).

Tab. V.A.1 Redukcja charakterystyk przekroju wynikających z pochodnych funkcji wycinkowej

\[ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text{Charakterystyka} & \text{Redukcja} & \text{Redukcja} \\
\hline \text{przkeoju} & \text{algebraiczna } & \text{ do układu } \mathbf P \\
\hline I_{\omega_y} & S_y & 0 \\
I_{\omega_z} & -S_z & 0 \\
K_w & 0 & 0 \\
J_w & I_y+I_z & I_y^{(P)}+I_z^{(P)} \\
I_{y\omega_y} & I_y & I_y^{(P)} \\
I_{z\omega_z} & -I_z & -I_z^{(P)} \\
I_{y\omega_y^2} & I_{y^3} & 0 \\
I_{y\omega_z^2} & I_{y z^2} & 0 \\
I_{z\omega_y^2} & I_{z y^2} & 0 \\
I_{z\omega_z^2} & I_{z^3} & 0 \\
I_{yz\omega_z} & -I_{y z^2} & 0 \\
I_{zy\omega_y} & I_{z y^2} & 0 \\
I_{w\omega_y} & I_{y \omega} & 0 \\
I_{w\omega_z} & -I_{z \omega} & 0 \\
I_{zw\omega_z} & -I_{z^2 \omega} & -I_{z^2 \omega}^{(P)} \\
I_{yw\omega_y} & I_{y^2 \omega} & I_{y^2 \omega}^{(P)} \\
I_{w\omega_y^2} & I_{y^2 \omega} & I_{y^2 \omega}^{(P)} \\
I_{w\omega_z^2} & I_{z^2 \omega} & I_{z^2 \omega}^{(P)} \\
\hline \end{array} \tag{V.A.19}\label{V.A.19} \]

 Druga kolumna zawiera redukcję algebraiczną, wynikającą bezpośrednio z klasycznej definicji funkcji wycinkowej oraz jej pochodnych. Redukcja ta nie zależy od wyboru układu współrzędnych. Ostatnia kolumna przedstawia postać charakterystyki po przejściu do głównego układu II rzędu \(P\). Jest ona wynikiem zastosowania drugiej, niezależnej reguły redukcji, wynikającej z diagonalizacji macierzy charakterystyk geometrycznych \( \mathbf C^{(II)}\).W układzie głównym \(P\) charakterystyki znajdujące się na diagonali macierzy \( \mathbf C^{(II)}\) zachowują swoje wartości i są oznaczane indeksem górnym \(P\), natomiast charakterystyki znajdujące się poza diagonalą przyjmują wartość zero.

Dla charakterystyk stopnia drugiego oznacza to
$S_y=0,\,S_z=0,\,S_\omega=0,$ $I_{yz}=0,\,I_{y\omega}=0,\,I_{z\omega}=0.$
Charakterystyki diagonalne pozostają charakterystykami układu \(P\):
$I_y=I_y^{(P)},\,I_z=I_z^{(P)},\,I_\omega=I_\omega^{(P)}.$
Ta sama zasada obowiązuje dla charakterystyk wyższych stopni. Charakterystyki diagonalne stopnia czwartego zachowują się jako charakterystyki układu \(P\):
$I_{y^4}=I_{y^4}^{(P)},\,I_{y^2z^2}=I_{y^2z^2}^{(P)},\,I_{y^2\omega^2}=I_{y^2\omega^2}^{(P)},$ $I_{z^4}=I_{z^4}^{(P)},\,I_{z^2\omega^2}=I_{z^2\omega^2}^{(P)},\,I_{\omega^4}=I_{\omega^4}^{(P)}.$
Charakterystyki mieszane, znajdujące się poza diagonalą macierzy \( \mathbf C^{(II)}\), są zerowane. Dotyczy to odpowiednich charakterystyk stopnia trzeciego i czwartego. W konsekwencji o tym, czy dana charakterystyka pozostaje w układzie \(P\), czy przyjmuje wartość zero, decyduje jej położenie w zdiagonalizowanej macierzy \( \mathbf C^{(II)}\), a nie sam stopień charakterystyki.

Sposób redukcji algebraicznej przedtawiamy na przykładach 

• • • Charakterystyka \(I_{\omega_y}\) i \(I_{\omega_z}\)

$ I_{\omega_y}=\int_A\omega_y\,dA, \, I_{\omega_z}=\int_A\omega_z\,dA $
Po podstawieniu (\ref{V.A.18}) otrzymujemy $ I_{\omega_y}=\int_A z\,dA=S_y, \, I_{\omega_z}=-\int_A y\,dA=-S_z.  $
W układzie centralnym, dla którego \(S_y=S_z=0\), mamy $ I_{\omega_y}=0, \, I_{\omega_z}=0. $

• • • Charakterystyka \(K_w\)

$ K_w=\int_A\left(y\,\omega_y+z\,\omega_z \right )dA.$

Po podstawieniu (\ref{V.A.18}) otrzymujemy $ K_w=\int_A\left(yz+z(-y) \right )dA=\int_A(yz-yz)dA=0.$
, gdzie  skorzystano  bezpośrednio z identycznego zerowania wyrażenia podcałkowego \(yz-zy=0\).

• • • Charakterystyka\(J_w\)

$ J_w=\int_A\left(\omega_y^2+\omega_z^2 \right )dA.$

Po podstawieniu (\ref{V.A.18}) otrzymujemy  $J_w=\int_A\left(z^2+(-y)^2 \right )dA=\int_A(z^2+y^2)dA=I_y+I_z.$
gdzie skorzystano z definicji klasycznych momentów powierzchni $ I_y=\int_A z^2\,dA, \, I_z=\int_A y^2\,dA.$

• • • Charakterystyki zawierające jedną pochodną funkcji wycinkowej

$  I_{y \omega_y}=\int_A z\,\omega_y\,dA, \, I_{z \omega_z}=\int_A y\,\omega_z\,dA.$
Po podstawieniu (\ref{V.A.18}) mamy $  I_{y\omega_y}=\int_A z^2\,dA=I_y, $  I_{z \omega_z} = -\int_A y^2\,dA=-I_z.$

• • • Charakterystyki zawierające kwadraty pochodnych

# I_{ y \omega_y^2}=\int_A z\,\omega_y^2\,dA, \, I_{y \omega_z^2}=\int_A z\,\omega_z^2\,dA, $ , $ I_{z \omega_y^2}=\int_A y\,\omega_y^2\,dA, \, I_{z \omega_z^2}=\int_A y\,\omega_z^2\,dA$

po podstawieniu (\ref{V.A.18}) otrzymujemy:
$ I_{y \omega_y^2} =\int_A z^3\,dA=I_{y^3}, $
$ I_{y\omega_z^2}=\int_A zy^2\,dA =I_{y z^2},$
$ I_{z \omega_y^2}=\int_A y z^2\,dA=I_{zy^2},$
$ I_{z \omega_z^2}=\int_A y^3\, dA=I_{z^3}. $

• • • Charakterystyki zawierające jedną pochodną i współrzędne przekroju

$ I_{y z \omega_z}=\int_A zy\,\omega_z\,dA, \, I_{zy\omega_y}=\int_A yz\,\omega_y\,dA \]

Otrzymujemy:
$ I_{y z \omega_z}=-\int_A zy^2\,dA=-I_{yz2}, $
$ I_{z y \omega_y}=\int_A yz^2\,dA=I_{zy2}. $

• • • Charakterystyk \(I_{\omega \omega_y}\) i \(I_{\omega \omega_z}\)

$ I_{\omega \omega_y}=\int_A\omega\,\omega_y\,dA, \, I_{w\omega_z}=\int_A\omega\,\omega_z\,dA $

po zastosowaniu (\ref{V.A.18}) otrzymujemy:
$ I_{\omega \omega_y}=\int_A z\omega\,dA=I_{y \omega}$
$ I_{\omega \omega_z}=-\int_A y\omega\,dA=-I_{z \omega}$

W głównym układzie II rzędu \(P\), dla którego $ I_{y \omega}=0, \, I_{z \omega}=0, $ otrzymujemy
$I_{\omega \omega_y}=0, \, I_{\omega \omega_z}=0$

• • • Charakterystyki \( I_{z \omega \omega_z}\) i \(I_{y \omega\omega_y}\)

$  I_{z \omega \omega_z}=\int_A y\,\omega\,\omega_z\,dA, \, I_{y \omega \omega_y}=\int_A z\,\omega\,\omega_y\,dA $

Otrzymujemy:
$ I_{z \omega \omega_z} = -\int_A y^2 \omega\, dA = -I_{z^2 \omega},$
$ I_{y \omega \omega_y}=\int_A z^2\omega\, dA = I_{y^2 \omega}.$

• • • Charakterystyki  \(I_{\omega \omega_y^2}\) i \(I_{\omega \omega_z^2}\)

$ I_{\omega \omega_y2}=\int_A\omega\,\omega_y^2\,dA, \, I_{\omega \omega_z2}=\int_A\omega\,\omega_z^2\,dA$

Otrzymujemy:
$ I_{\omega \omega_y^2}=\int_A z^2\omega\,dA = I_{y^2 \omega},$
$  I_{\omega \omega_z2}=\int_A y^2\omega\, dA = I_{z^2 \omega}.$

Wektory własne

Z formuły  (\ref{V.A.12})  wynika, że macierz $ \mathbf E$ ortogonalnych wektorów własnych może zostać wyznaczona bez ponownego rozwiązywania problemu własnego, z wykorzystaniem dodatniego pierwiastka macierzowego $ \mathbf C^{(II)}$. Otrzymuje się

\[ \mathbf E = \left( \mathbf C^{(II)} \right )^{1/2} \mathbf D^{-1/2}. \tag{V.A.20}\label{V.A.20} \]

gdzie:
$\left( \mathbf C^{(II)} \right )^{1/2}$  jest pierwiastkiem  macierzowym   a nie macierzą otrzymaną przez pierwiastkowanie poszczególnych elementów macierzy $ \mathbf C^{(II)}$, co oznacza że spełnia zależność $ \left( \mathbf C^{(II)} \right )^{1/2} \left( \mathbf C^{(II)} \right )^{1/2} = \mathbf C^{(II)}.$

$ \mathbf D^{-1/2} = \operatorname{diag} \left( \frac{1}{\sqrt{d_1}}, \frac{1}{\sqrt{d_2}}, \ldots, \frac{1}{\sqrt{d_{10}}} \right ). \tag{V.A.21}\label{V.A.21} $

Dodatni pierwiastek macierzowy wyznaczamy numerycznie z yożsamości  $ \mathbf U^T \mathbf U= \mathbf I$. Wówczas:

$ \boldsymbol{\Lambda}^{1/2} = \operatorname{diag} \left( \sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_{10}} \right ), $
$ \left( \mathbf C^{(II)}_{10\times10} \right )^{1/2} = \mathbf U\boldsymbol{\Lambda}^{1/2} \mathbf U^T, $ czyli
$ \mathbf E= \mathbf R \mathbf D^{-1/2}, $

\[ \mathbf R= \left( \mathbf C^{(II)}_{10\times10} \right )^{1/2}. \tag{V.A.22}\label{V.A.22} \]

Ponieważ $ \mathbf E= \mathbf R \mathbf D^{-1/2}$, mnożenie przez macierz diagonalną $ \mathbf D^{-1/2}$ polega na pomnożeniu kolejnych kolumn macierzy $ \mathbf R$ przez odpowiednie wartości $d_i^{-1/2}$. Otrzymujemy zatem

\[ \mathbf e_i=\frac{ \mathbf r_i}{\sqrt{d_i}}, \tag{V.A.23}\label{V.A.23} \]

gdzie $ \mathbf r_i$ jest $i$-tą kolumną macierzy $ \mathbf R$.

Główny układ współrzędnych 

Główny układ współrzędnych oznaczany literą $(P)$  (od ang. Principal) nie jest przyjmowany a priori. Jego definicja wynika z diagonalizacji tensora charakterystyk drugiego rzędu $ \mathbf C^{(II)}$. Diagonalizacja ujawnia szczególną strukturę tego tensora i wyznacza układ współrzędnych, w którym jego postać przyjmuje formę diagonalną. Układ ten nazywamy głównym układem współrzędnych. Dopiero w tak wyznaczonym układzie definiuje się  charakterystyki główne  i oznacza je indeksem dolnym ${P}$. Są one zatem nierozłącznie związane z głównym układem współrzędnych. Wartości własne otrzymane w wyniku diagonalizacji tensora charakterystyk w układzie bazowym są wielkościami matematycznymi opisującymi strukturę tensora $ \mathbf C^{(II)}$ i nie muszą mieć bezpośredniej interpretacji jako fizyczne charakterystyki przekroju. O ich znaczeniu geometrycznym decyduje natomiast układ współrzędnych wyznaczony przez diagonalizację, w którym następnie określane są charakterystyki główne. Tak zdefiniowany główny układ współrzędnychs tanowi podstawę dalszego sformułowania teorii: w nim zapisywane są równania stanu oraz warunki brzegowe, a także układ równań równowagi $EQ$. Macierz aktywnych charakterystyk w tym układzie oznaczamy przez $ \mathbf G^{(II)}_P$.

Wektory własne $ \mathbf E$ (\ref{V.A.13}) wyznaczają bazę układu głównego.  Jeżeli kolumny macierzy $ \mathbf E$ są uporządkowanymi wektorami głównymi $ \mathbf E= \begin{bmatrix} |&|&&|\\ \mathbf e_1 & \mathbf e_2&\cdots& \mathbf e_{10}\\ |&|&&| \end{bmatrix},$

to funkcje bazowe w układzie głównym określa zależność 

\[ \mathbf q^{(P)}= \mathbf E^T \mathbf q. \tag{V.A.24}\label{V.A.24} \]

W szczególności $q_{Pi}=\mathbf e_i^T\mathbf q$. Każda funkcja główna jest zatem liniową kombinacją funkcji bazowych układu wyjściowego. Nie należy utożsamiać funkcji głównych pojedynczo z $y$, $z$, $\omega$, $y^2$, $yz$, $y\omega$, $z^2$, $z\omega$ lub $\omega^2$. Diagonalizacja rozprzęga składniki odpowiadające sprzężeniom reprezentowanym przez pozadiagonalne elementy macierzy $ \mathbf C^{(II)}$. Nie oznacza to usunięcia odpowiadających im funkcji z przestrzeni charakterystyk. Zmienia się jedynie reprezentacja tej przestrzeni. Wartość zerową przyjmują te składniki sprzęgające, które wynikają z warunków diagonalizacji w przyjętej bazie głównej w trzeni charakterystyk. Analogicznie transformowane są wielkości sprzężone ze zmiennymi stanu, w szczególności odpowiednie siły przekrojowe oraz składniki równań konstytutywnych i równowagi.

Różniczkowy układ równań równowagi nieliniowego pręta cienkościennego

Analiza nieliniowego pręta cienkościennego, a w szczególności zagadnień stateczności, ma jedną ogólną właściwość: pręt prosty przed odkształceniem, znajdujący się w stanie równowagi, po odkształceniu staje się przestrzenną krzywą, co wymaga zastosowania teorii przestrzennej linii ugięcia o podwójnej krzywiźnie oraz skręceniu. Dla analizy stateczności wprowadza się następnie stan podstawowy oraz jego zaburzenie. W przypadku zwichrzenia stan podstawowy odpowiada płaskiemu zginaniu przy stałym momencie zginającym, natomiast zaburzenie obejmuje obrót skrętny przekroju oraz jego deplanację. Linearyzacja równań równowagi względem tych zaburzeń prowadzi do układu równań stateczności. Równania równowagi nieliniowego pręta cienkościennego można zapisać w postaci siedmiu równań różniczkowych dotyczących sił i momentów przekrojowych.

Przejście od charakterystyk do sił przekrojowych

Siły i momenty przekrojowe: $ N,\, M_y,\, M_z,\, B_\omega,\, V_z,\, V_y,\, M_x. $ – siła osiowa, moment zginający wokół osi $y$, moment zginający wokół osi $z$ , siły poprzeczne w kierunku $z$ i $y$ oraz całkowity moment skęcajacy $M_x$ przekrój cienkościenny odpowiednio otrzymano poprzez całkowanie stosownego składnika naprężeń po przekroju.   Całkowanie naprężeń po przekroju prowadzi do uzyskania charakterystyk gometrycznych zestawionych w macierzy $C^{II}$  W ten sposób uzyskuje się jednoznaczne odwzorowanie siły przekrojowej na charakterystykę zgodnie z tabelą 

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline \begin{array}{c} \text{Siła}\\ \text{przekrojowa} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Nazwa siły}\\\text{przekrojowej} \end{array}
& \begin{array}{c} \text{Całka}\\ \text{przekrojowa} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Charakterystyka}\\ \text{geometryczna} \end{array}
& \begin{array}{c} \text{Nazwa}\\ \text{charakterystyki} \end{array} \\
\hline N & \begin{array}{c} \text{siła}\\ \text{osiowa} \end{array} & \int_A \sigma_x\,dA & A & \begin{array}{c} \text{pole}\\ \text{przekroju} \end{array} \\
\hline M_y & \begin{array}{c} \text{moment zginający}\\ \text{względem osi }y \end{array} & \int_A z\sigma_x\,dA & I_y & \begin{array}{c} \text{moment}\\
\text{bezwładności}\\ \text{względem osi }y \end{array} \\
\hline M_z & \begin{array}{c} \text{moment zginający}\\ \text{względem osi }z \end{array} & -\int_A y\sigma_x\,dA & I_z & \begin{array}{c} \text{moment}\\
\text{bezwładności}\\ \text{względem osi }z \end{array} \\
\hline B_\omega & \begin{array}{c} \text{ bimoment }\\ \text{wycinkowy} \end{array} & \int_A \omega\sigma_x\,dA & I_\omega & \begin{array}{c} \text{wycinkowy moment}\\
\text{bezwładności} \end{array} \\ \hline V_z & \begin{array}{c} \text{siła poprzeczna}\\ \text{w kierunku }z \end{array} & \int_A \tau_{xz}\,dA & S_{y1}/I_z &
\begin{array}{c} \text{moment statyczny}\\ \text{odciętej części}\\ \text{przekroju} \end{array} \\ \hline V_y & \begin{array}{c} \text{siła poprzeczna}\\ \text{w kierunku }y \end{array}
& \int_A \tau_{xy}\,dA & S_{z1}/I_y & \begin{array}{c} \text{moment statyczny}\\ \text{odciętej części}\\ \text{przekroju} \end{array} \\
\hline M_x & \begin{array}{c} \text{moment skręcający}\\ \text{względem osi }x \end{array} & \int_A \left(y\tau_{xz}-z\tau_{xy} \right )\,dA & J=I_y+I_z &
\begin{array}{c} \text{moment}\\ \text{bezwładności}\\ \text{względem osi }x \end{array} \\ \hline M_V & \begin{array}{c} \text{moment Saint-Venanta}\\ \text{skręcający} \end{array}
& \int_A \left(y\tau_{xz}-z\tau_{xy} \right )\,dA & J & \begin{array}{c} \text{moment}\\ \text{bezwładności}\\ \text{skręcania} \end{array} \\
\hline M_\omega & \begin{array}{c} \text{moment}\\ \text{giętno-skrętny} \end{array} & \int_A \omega\left(y\tau_{xz}-z\tau_{xy} \right )\,dA & S_{\omega1}/I_\omega &
\begin{array}{c} \text{moment statyczny}\\ \text{wycinkowy}\\ \text{odciętej części przekroju} \end{array} \\
\hline \end{array}\tag{V.A.25}\label{V.A.25} \]

Siły przekrojowe II rzędu

Siły przekrojowe II rzędu wynikają z pełnego pola odkształceń Biota oraz ze zredukowanego, cienkościennego prawa Hooke’a. Uzyskane w ten sposób naprężenia stanowią podstawę do wyprowadzenia rozwiniętych równań równowagi. Zgodnie z przyjętą konwencją pomija się indeks (II)(II), ponieważ wszystkie przedstawione niżej wielkości odnoszą się do modelu uwzględniającego składniki do II rzędu.

Siły przekrojowe normalne w układzie wyjściowym

Siła osiowa

Składową normalną miary odkształcenia Biota w kierunku osi pręta otrzymano wcześniej w zależności \(\eqref{V.A.5}\). Po jej rozwinięciu otrzymano zależność \(\eqref{V.A.6}\). W dalszym wyprowadzeniu nie powtarza się tych zależności, lecz wykorzystuje wynik podany wcześniej. Zgodnie ze zredukowanym prawem Hooke’a naprężenie normalne jest określone zależnością

\[ \sigma_{11}=\bar E E_{11}^{(II)}. \tag{V.A.26}\label{V.A.26} \]

Siłę osiową otrzymuje się przez całkowanie naprężenia normalnego po polu przekroju:

\[ N=\int_A\sigma_{11}\,dA =\bar E\int_A E_{11}^{(II)}\,dA. \tag{V.A.27}\label{V.A.27} \]

Całkowanie rozwiniętego pola odkształcenia prowadzi do zależności

\[ \begin{aligned} N={}&\bar E\Bigg[ Au’+S_y\theta_2′-S_z\theta_3′-S_\omega\psi’ \\
&+\frac18\Big( A\theta_2^2 -2\theta_2(S_z\varphi’+Aw’+I_{\omega z}\psi) +A\theta_3^2 \\
&\qquad +(I_y+I_z)\varphi’^2 +Av’^2+Aw’^2 +J_\omega\psi^2 -2S_y\theta_3\varphi’ +2A\theta_3v’ \\
&\qquad -2S_y\varphi’v’ +2S_z\varphi’w’ +2I_{y\omega z}\psi\varphi’
+2I_{\omega z}\psi w’ \\ &\qquad +2I_{\omega y}\theta_3\psi -2I_{z\omega y}\varphi’\psi +2I_{\omega y}v’\psi \Big) \Bigg].
\end{aligned} \tag{V.A.28}\label{V.A.28} \]

Zależność \(\eqref{V.A.28}\) przedstawia pełne wyrażenie siły osiowej w układzie wyjściowym. Zawiera zarówno składniki liniowe, odpowiadające teorii I rzędu, jak i składniki kwadratowe wynikające z pola odkształcenia Biota II rzędu.

Momenty zginające

Momenty zginające definiuje się przez całkowanie naprężenia normalnego z odpowiednim ramieniem względem osi przekroju:

\[ M_y=\int_A z\sigma_{11}\,dA,  \qquad  M_z=-\int_A y\sigma_{11}\,dA. \tag{V.A.29}\label{V.A.29} \]

Po podstawieniu zależności \(\eqref{V.A.6}\) i wykonaniu całkowania po polu przekroju otrzymuje się pełne wyrażenia w układzie wyjściowym:

\[ \begin{aligned} M_y={}&\bar E\Bigg[ S_yu’+I_y\theta_2′-I_{yz}\theta_3′-I_{y\omega}\psi’ \\
&+\frac18\Big( S_y(-\theta_2+w’)^2 +S_y(\theta_3+v’)^2 +2I_{yz}(-\theta_2+w’)\varphi’\\
&\qquad -2I_y(\theta_3+v’)\varphi’ +(I_{yz2}+I_{y3})\varphi’^2 \\ &\qquad +2I_{yzd\omega z}(-\theta_2+w’)\psi +2I_{y2d\omega y}(\theta_3+v’)\psi \\
&\qquad +2I_{yzd\omega z}\varphi’\psi -2I_{y2d\omega y}\varphi’\psi +(I_{yd\omega y2}+I_{yd\omega z2})\psi^2 \Big) \Bigg], \end{aligned} \tag{V.A.30}\label{V.A.30} \]

\[ \begin{aligned} M_z={}&\bar E\Bigg[ -S_zu’-I_{yz}\theta_2’+I_z\theta_3’+I_{z\omega}\psi’ \\
&+\frac18\Big( -S_z(-\theta_2+w’)^2 -S_z(\theta_3+v’)^2 -2I_z(-\theta_2+w’)\varphi’\\
&\qquad +2I_{yz}(\theta_3+v’)\varphi’ -(I_{z3}+I_{zy2})\varphi’^2 \\
&\qquad -2I_{z2d\omega z}(-\theta_2+w’)\psi -2I_{zyd\omega y}(\theta_3+v’)\psi \\
&\qquad -2I_{z2d\omega z}\varphi’\psi +2I_{zyd\omega y}\varphi’\psi -(I_{zd\omega y2}+I_{zd\omega z2})\psi^2 \Big) \Bigg].
\end{aligned} \tag{V.A.31}\label{V.A.31} \]

Występujące w tych zależnościach charakterystyki wyższego stopnia wynikają bezpośrednio z całkowania pełnego pola odkształcenia. Nie są więc dodatkowymi parametrami modelu, lecz kolejnymi charakterystykami geometrycznymi przekroju.

Bimoment

Bimoment otrzymuje się przez całkowanie naprężenia normalnego z funkcją wycinkową:

\[  B_\omega=\int_A\omega\sigma_{11}\,dA. \tag{V.A.32}\label{V.A.32} \]

W układzie wyjściowym otrzymuje się

\[ \begin{aligned} B_\omega={}&\bar E\Bigg[ S_\omega u’+I_{y\omega}\theta_2′-I_{z\omega}\theta_3′-I_\omega\psi’ \\
&+\frac18\Big( S_\omega(-\theta_2+w’)^2 +S_\omega(\theta_3+v’)^2 +2I_{z\omega}(-\theta_2+w’)\varphi’ \\
&\qquad -2I_{y\omega}(\theta_3+v’)\varphi’ +(I_{z\omega2}+I_{y\omega2})\varphi’^2 \\
&\qquad +2I_{\omega d\omega z}(-\theta_2+w’)\psi +2I_{\omega d\omega y}(\theta_3+v’)\psi \\
&\qquad +2I_{z\omega d\omega z}\varphi’\psi -2I_{y\omega d\omega y}\varphi’\psi +(I_{\omega d\omega y2}+I_{\omega d\omega z2})\psi^2\Big)\Bigg].
\end{aligned} \tag{V.A.33}\label{V.A.33} \]

Redukcja normalnych sił przekrojowych do układu głównego \(P\)

Redukcja wykonywana jest w dwóch etapach. Najpierw stosuje się zależności wynikające z definicji funkcji wycinkowej i jej pochodnych. Następnie stosuje się warunki charakteryzujące układ główny II rzędu \(P\). W układzie głównym przyjmuje się w szczególnosci:
$ S_y=S_z=S_\omega=0, \, I_{yz}=I_{y\omega}=I_{z\omega}=0.$
oraz szereg dalszych 

Niezerowe charakterystyki zastępuje się wartościami wynikającymi z diagonalizacji pełnej macierzy charakterystyk, w szczególności
$  I_y \rightarrow I_y^{(P)}, \qquad I_z \rightarrow I_z^{(P)}, \, I_\omega \rightarrow I_\omega^{(P)}.$

Po wykonaniu redukcji otrzymuje się zwarte wyrażenia:

Siła osiowa 

\[ N^{(P)}= \frac{\bar E}{8} \left[ (I_{yP}+I_{zP}) \left(\psi^2+\varphi’^2 \right ) + A\left( (\theta_3+v’)^2 + (\theta_2-w’)^2 + 8u’ \right ) \right ]. \tag{V.A.34}\label{V.A.34} \]

Momenty zginające 

\[ M_y^{(P)} = \bar E I_{yP} \left[ \theta_2′ -\frac14\varphi'(\theta_3+v’) \right ], \tag{V.A.35}\label{V.A.35} \]

\[ M_z^{(P)} = \bar E I_{zP} \left[ \theta_3′ +\frac14\varphi'(\theta_2-w’) \right ]. \tag{V.A.36}\label{V.A.36} \]

Bimoment

\[ B_\omega^{(P)}=-\bar E I_{\omega P}\psi’. \tag{V.A.37}\label{V.A.37} \]

Macierz konstytutywna części normalnej

Dla liniowych zmiennych kinematycznych definiuje się wektory

\[ \mathbf F_N= \begin{Bmatrix} N^{(P)}&M_{yP}&M_{zP}&B_{\omega P} \end{Bmatrix}^{T}, \]

\[ \mathbf q_N= \begin{Bmatrix} u’&\theta_2’&\theta_3’&\psi’ \end{Bmatrix}^{T}. \]

Macierz konstytutywną otrzymuje się przez różniczkowanie:

\[ \mathbf K_{\mathrm{normal},P}^{(II)} = \frac{\partial\mathbf F_N}{\partial\mathbf q_N}. \tag{V.A.38}\label{V.A.38} \]

Po wykonaniu różniczkowania

\[ \mathbf K_{\mathrm{normal},P}^{(II)} =\begin{bmatrix}
A\bar E&0&0&0\\  0&\bar E I_{yP}&0&0\\ 0&0&\bar E I_{zP}&0\\ 0&0&0&-\bar E I_{\omega P}
\end{bmatrix}. \tag{V.A.39}\label{V.A.39} \]

Macierz ta ma taką samą postać jak macierz konstytutywna odpowiadająca liniowym zależnościom I rzędu. Nie oznacza to jednak, że pełne siły przekrojowe II rzędu są identyczne z siłami I rzędu, ponieważ w zależnościach \(\eqref{V.A.34}\)–\(\eqref{V.A.36}\) pozostają składniki kwadratowe wynikające z pełnego pola odkształcenia Biota.

Macierz aktywnych charakterystyk geometrycznych w układzie głównym ma postać (\ref{V.A.10}) 

Macierzy \(\mathbf G^{(II)}_P\) nie należy utożsamiać z macierzą \(\mathbf K_{\mathrm{normal},P}^{(II)}\). Pierwsza opisuje aktywne charakterystyki geometryczne wynikające z pełnego pola odkształcenia, druga natomiast liniową część zależności konstytutywnej sił przekrojowych.

Siły styczne w układzie wyjściowym

Siły poprzeczne \(V_y\) i \(V_z\)

Składowe styczne miary odkształcenia Biota określone są przez

\[ E_{12} = \frac12 \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right ), \qquad E_{13} = \frac12 \left( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \right ).
\tag{V.A.40}\label{V.A.40} \]

Po podstawieniu pola przemieszczeń otrzymuje się

\[ E_{12} = \frac12 \left( -\theta_3-z\varphi’+v’-\psi\omega_{,y} \right ),  \qquad E_{13} = \frac12 \left( \theta_2+y\varphi’+w’-\psi\omega_{,z} \right ). \tag{V.A.41}\label{V.A.41} \]

Zgodnie ze zredukowanym prawem Hooke’a

\[ \begin{bmatrix} \tau_{xy}\\ \tau_{xz} \end{bmatrix} = \mathbf C_T \begin{bmatrix} E_{12}\\ E_{13} \end{bmatrix}, \qquad \mathbf C_T = 2G \begin{bmatrix}
1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}.
\tag{V.A.42}\label{V.A.42} \]

Stąd $ \tau_{xy}=2GE_{12}, \qquad \tau_{xz}=2GE_{13}.$ Po wykorzystaniu \(\eqref{V.A.41}\)

\[ \tau_{xy} = G \left( -\theta_3-z\varphi’+v’-\psi\omega_{,y} \right ),  \qquad  \tau_{xz} = G \left( \theta_2+y\varphi’+w’-\psi\omega_{,z} \right ). \tag{V.A.43}\label{V.A.43} \]

Siły poprzeczne otrzymuje się przez całkowanie naprężeń stycznych po polu przekroju:

\[ V_y=\int_A\tau_{xy}\,dA, \qquad V_z=\int_A\tau_{xz}\,dA. =  G \left[ A(v’-\theta_3) -S_y\varphi’ -I_{dwy}\psi \right ],  \tag{V.A.44}\label{V.A.44}\]

\[ V_z = G \left[ A(w’+\theta_2) +S_z\varphi’ -I_{dwz}\psi \right ]. \tag{V.A.45}\label{V.A.45} \]

Całkowity moment skręcający \(M_x\)

Całkowity moment skręcający wyznacza się bezpośrednio z pełnego pola naprężeń stycznych:

\[ M_x = \int_A \left( y\sigma_{13}-z\sigma_{12} \right )dA. \tag{V.A.46}\label{V.A.46} \]

Po wykorzystaniu zależności \(\eqref{V.A.43}\) otrzymuje się

\[ M_x = G\int_A \left[ y \left( \theta_2+y\varphi’+w’-\psi\omega_{,z} \right ) – z \left( -\theta_3-z\varphi’+v’-\psi\omega_{,y} \right ) \right ]dA. \]

Po wykonaniu całkowania

\[ M_x = G \left[ S_z\theta_2 +S_y\theta_3 +(I_y+I_z)\varphi’ +S_z w’ -S_yv’ +(I_{ydwy}-I_{zdwz})\psi \right ]. \tag{V.A.47}\label{V.A.47} \]

Występujące tutaj charakterystyki geometryczne są określone przez:
$ S_y=\int_A z\,dA,\, S_z=\int_A y\,dA, \, I_y=\int_A z^2\,dA, \, I_z=\int_A y^2\,dA, $
$ I_{ydwy}=\int_A z\omega_{,y}\,dA, \, I_{zdwz}=\int_A y\omega_{,z}\,dA.$

Na tym etapie \(M_x\) pozostaje całkowitym momentem skręcającym. Nie rozdziela się go jeszcze na składową Saint-Venanta \(M_V\) i składową wycinkową \(M_\omega\).

 Redukcja sił stycznych do układu głównego \(P\)

W celu przejścia do układu głównego \(P\) stosuje się wcześniej zdefiniowane reguły redukcji charakterystyk wynikających z pochodnych funkcji wycinkowej oraz reguły redukcji do układu \(P\).

Otrzymuje się

\[ V_y^{(P)} = AG(v’-\theta_3), \tag{V.A.48}\label{V.A.48} \]

\[ V_z^{(P)} = AG(w’+\theta_2). \tag{V.A.49}\label{V.A.49} \]

\[ M_x^{(P)} = G \left(I_y^{(P)}+I_z^{(P)} \right ) \left(\psi+\varphi’ \right ). \tag{V.A.50}\label{V.A.50} \]

Wnioski dotyczące redukcji

(1) Przeprowadzona redukcja pokazuje, że przejście od układu wyjściowego do układu głównego \(P\) prowadzi do zasadniczego uproszczenia zależności sił przekrojowych.
(2) W części normalnej po redukcji znikają składniki sprzęgające związane z niezerowymi charakterystykami położenia i charakterystykami wzajemnego sprzężenia. Jednocześnie w pełnych zależnościach pozostają składniki kwadratowe wynikające z pola odkształcenia Biota. Dlatego pełne siły przekrojowe II rzędu nie są tożsame z siłami I rzędu.
(3) Inaczej należy interpretować wynik dla liniowej części zależności konstytutywnej. Macierz \(\mathbf K_{\mathrm{normal},P}^{(II)}\), określona zależnością \(\eqref{V.A.39}\), ma taką samą postać jak odpowiednia macierz dla teorii I rzędu. Oznacza to, że redukcja nie zmienia liniowych zależności materiałowo-geometrycznych, lecz dodatkowe efekty II rzędu występują w części wynikającej z nieliniowego pola odkształcenia.

Dla sił poprzecznych wynik jest jeszcze bardziej jednoznaczny. Zależności \(\eqref{V.A.48}\) i \(\eqref{V.A.49}\) mają dokładnie postać zależności I rzędu:

\[ V_y^{(P)}=V_y^{(I)} = AG(v’-\theta_3),  \qquad  V_z^{(P)}=V_z^{(I)} = AG(w’+\theta_2). \tag{V.A.51}\label{V.A.51}\]

Dla całkowitego momentu skręcającego pozostaje natomiast zależność

\[ M_x^{(P)} = G \left(I_y^{(P)}+I_z^{(P)} \right ) \left(\psi+\varphi’ \right ). \tag{V.A.52}\label{V.A.52}\]

Wynik ten pokazuje, że redukcja nie prowadzi do usunięcia sprzężenia pomiędzy kątem skręcenia \(\psi\) i pochodną obrotu przekroju \(\varphi’\). Jest to charakterystyczna cecha pełnego pola odkształcenia Biota zastosowanego w modelu II rzędu. 

W ten sposób etap redukcji charakterystyk geometrycznych zostaje zakończony. Otrzymane zredukowane zależności sił przekrojowych stanowią bezpośrednią podstawę do wyprowadzenia równań równowagi. W dalszej części nie ma potrzeby ponownego analizowania redukcji charakterystyk geometrycznych; równania równowagi otrzymuje się przez różniczkowanie zredukowanych sił przekrojowych oraz uwzględnienie odpowiednich obciążeń.

Ogólna postać układu równań równowagi

Różniczkowy układ równań równowagi cienkościennego pręta formułuje się na podstawie przyjętego pola przemieszczeń Własowa–Timoshenki oraz wynikającego z niego pełnego pola odkształceń Biota, uwzględniającego składniki pierwszego i drugiego rzędu. Po zastosowaniu zależności konstytutywnych otrzymuje się pełne pole naprężeń, a następnie, poprzez całkowanie odpowiednich składowych naprężeń po polu przekroju, wyznacza się niezależne wielkości siłowe.

Równania równowagi pierwszą pochodną sił przekrojowych 

Równania równowagi nieliniowego pręta cienkościennego wynikającą z pola przemieszczeń \(\eqref{V.4}\), miary odkształcenia Biota II rzędu \(\eqref{V.10}\) oraz zredukowanego prawa Hooka \(\eqref{V.11}\). Otrzymane stąd związki bezpośrednio opisują funkcję stanu pręta. Podstawą, wyjściową wielkością są siły przekrojowe, które w układzie  głównym II rzędu (P) reprezentują równania (\ref{V.24}). Po zróźniczkowaniu sił przekrojowych względem współrzędnej osiowej x  otrzymujemy bezpośrednio równani równowagi pręta. Jesli siły przekrojowe zestawimy w wektor 

\[ \mathbf S(x)= \begin{Bmatrix} N(x),\,M_y(x),\,M_z(x),\,B_\omega(x),\,V_z(x),\,V_y(x),\,M_x(x) \end{Bmatrix}^{T}. \tag{V.A.53}\label{V.A.53} \]

to lewe strony równań równowagi  przyjmą postać 

\[ \mathbf{EQ}^{(P)}= \begin{Bmatrix} \dfrac{dN^{(P)}}{dx},\, \dfrac{dM_y^{(P)}}{dx},\, \dfrac{dM_z^{(P)}}{dx},\, \dfrac{dB_\omega^{(P)}}{dx},\, \dfrac{dV_z^{(P)}}{dx},\, \dfrac{dV_y^{(P)}}{dx},\, \dfrac{dM_x^{(P)}}{dx} \end{Bmatrix}. \tag{V.A.54}\label{V.A.54} \]

Odpowiadający wektor obciążeń zewnętrznych pręta można zapisać w postaci 

\[ \mathbf p(x)= \begin{Bmatrix} p_x(x),\,m_y(x),\,m_z(x),\,b_\omega(x),\,p_z(x),\,p_y(x),\,m_x(x) \end{Bmatrix}^{T}. \tag{V.A.55}\label{V.A.55} \]

Po podstawieniu zredukowanych zależności na siły przekrojowe i wykonaniu różniczkowania otrzymuje się siedem równań równowagi. Po uwzględnieniu odpowiednich obciążeń zewnętrznych układ przyjmuje postać 

\[ EQ1= \left\{ \begin{aligned}
\text {EQ1-N}:\quad& \frac{\bar E}{4}\left[ (I_y^{(P)}+I_z^{(P)}) \left(\psi\psi’+\varphi’\varphi” \right ) +A\left(4u”+T_2T_2’+T_3T_3′ \right ) \right ]=p_x,\\[2mm]
\text { EQ1}-{M_y}:\quad& V_z+\frac{\bar E I_y^{(P)}}{4} \left( T_3’\varphi’+T_3\varphi”-4\theta_2” \right )=m_y, \\[2mm]
\text{EQ1}-{M_z}:\quad& -\frac{\bar E I_z^{(P)}}{4} \left( T_2’\varphi’+T_2\varphi”+4\theta_3” \right )-V_y=m_z, \\[2mm]
\text{EQ1}-{B_\omega}:\quad& M_\omega+\bar E I_\omega^{(P)}\psi”=b_\omega, \\[2mm]
\text{EQ1}-{V_z}:\quad& AG\left(\theta_2’+w” \right )=p_z, \\[2mm]
\text{EQ1}-{V_y}:\quad& AG\left(v”-\theta_3′ \right )=p_y, \\[2mm]
\text{EQ1}-{M_x}:\quad& G\left(I_y^{(P)}+I_z^{(P)} \right ) \left(\psi’+\varphi” \right )=m_x. \end{aligned} \right .
\tag{V.A.56}\label{V.A.56} \]

Otrzymana postać po jednokrotnym różniczkowaniu jest szczególnie dogodna do analizy wielkości przekrojowych oraz formułowania warunków brzegowych związanych ze sposobem podparcia i obciążenia.  W konsekwencji, zgodnie z zależnościami \eqref{V.9}–\eqref{V.10}, wielkości siłowe modelu I+II rzędu zawierają zarówno składniki pierwszego rzędu, jak i składniki wynikające z drugiego rzędu miary odkształcenia. Nie są więc w ogólności liniowymi funkcjami zmiennych kinematycznych. 

Równowagi formułuje się bezpośrednio w układzie głównym przekroju (P), ponieważ redukcję charakterystyk geometrycznych przeprowadzono już na etapie prezentacji sił przekrojowych e oznaczono jako $N^{(P)},\, Zachowujemy  podział pełnego układu siedmiu równań równowagi na dwie grupy. Pierwsza obejmuje równania związane z naprężęniami normalnymi : $N$, $M_y$, $M_z$ i $B_\omega$. Druga obejmuje równania związane z anprżęniami stycznymi : $V_y$, $V_z$ i $M_x$. Taki podział nie zmienia liczby niezależnych równań ani wielkości siłowych, lecz umożliwia redukcję pierwszej grupy względem wybranych drugich pochodnych zmiennych kinematycznych. Procedurę tę wraz z uzyskanymi zależnościami przedstawiono w Dodatku V.A.

Równania równowagi po drugim różniczkowaniu

Dla równań równowagi dotyczących momentów zginających M_y, M_z oraz bimomentu B_\omega wykonuje się ponowne różniczkowanie względem współrzędnej x. Operacja ta jest konieczna, ponieważ w równaniach tych występują siły poprzeczne V_z i V_y, których zależności zostały wcześniej wyznaczone w postaci zredukowanej. Zgodnie z przyjętym przypisaniem sił przekrojowych drugie różniczkowanie obejmuje równania dla M_y, M_z i B_\omega:

\[ \frac{d^2M_y^{(P)}}{dx^2}, \qquad \frac{d^2M_z^{(P)}}{dx^2}, \qquad \frac{d^2B_\omega^{(P)}}{dx^2}. \tag{V.A.57}\label{V.A.57} \]

Po wykonaniu drugiego różniczkowania i podstawieniu zależności na siły poprzeczne otrzymuje się pomocniczy układ równań równowagi

\[ EQ2= \left\{ \begin{aligned}
\text { EQ2}-{M_y}:\quad& \bar E I_y^{(P)} \left[ -\frac12\varphi”\left(\theta_3’+v” \right ) -\frac14 T_3\varphi”’ +\theta_2”’ -\frac14\varphi’\left(\theta_3”+v”’ \right ) \right ] = p_z-m_y’, \\[2mm]
\text { EQ2}-{M_z}:\quad& \bar E I_z^{(P)} \left[ \frac12\varphi”\left(\theta_2′-w” \right ) +\frac14 T_2\varphi”’ +\theta_3”’ +\frac14\varphi’\left(\theta_2”-w”’ \right ) \right ] = -p_y-m_z’, \\[2mm]
\text { EQ2}-{B_\omega}:\quad& -\bar E I_\omega^{(P)}\psi”’ = M_\omega’. \end{aligned} \right . \tag{V.A.58}\label{V.A.58} \]

Równania zawieuaj składniki nieliniowe, wynikające ze sprzężenia obrotu przekroju \varphi z z innymi wiekościami kinematycznymi. Nie występują one w liniowym modelu I rzędu. Trzecie równanie zachowuje natomiast postać liniową:

\[ -\bar E I_\omega^{(P)}\psi”’=m_\omega’. \tag{V.A.59}\label{V.A.59} \]

Wynika to z faktu, że po redukcji charakterystyk geometrycznych bimoment w układzie głównym ma postać $ B_\omega^{(P)}=-\bar E I_\omega^{(P)}\psi’, $ a jego drugie różniczkowanie prowadzi bezpośrednio do równania dla \psi”’. Otrzymany układ pokazuje, że po drugim różniczkowaniu równania zginania zachowują pełną nieliniową strukturę modelu I+II rzędu, podczas gdy równanie bimomentu pozostaje równaniem liniowym względem funkcji wycinkowej \psi. Różnica ta wynika bezpośrednio z postaci zredukowanych zależności konstytutywnych i nie wymaga wprowadzania dodatkowych charakterystyk geometrycznych.

Rozdzielenie całkowitego momentu skręcającego

Całkowity moment skręcający M_x w modelu I+II rzędu wyznaczono wcześniej z pełnego pola naprężeń stycznych. Po zastosowaniu redukcji charakterystyk geometrycznych oraz przejściu do układu głównego przekroju P otrzymuje się zależność

\[ M_x^{(P)}=G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\left(\psi’+\varphi” \right ). \tag{V.A.60}\label{V.A.60} \]

Zależność ta ma szczególne znaczenie, ponieważ całkowity moment skręcający zawiera dwa różne mechanizmy kinematyczne. Pierwszy jest związany z obrotem przekroju \varphi’, natomiast drugi z funkcją wycinkową \psi i jej sprzężeniem z obrotem przekroju. W wyniku rozdzielenia całkowitego momentu skręcającego $M_x^{(P)}$ na moment czystego skręcania Saint-Venanta  $M_V^{(P)}$ oraz moment skręcania giętno-skrętnego II rzędu otrzymuje się 

\[ M_x^{(P)}=M_V^{(P)}+M_\omega^{(P)},\, M_V^{(P)}=G\left(I_y^{(P)}+I_z^{(P)}\right)\varphi’,\, M_\omega^{(P)}=\frac{dB_\omega^{(P)}}{dx} =-\bar E I_\omega^{(P)}\psi”. \tag{V.A.61}\label{V.A.61} \]

gdziec część odpowiadającą skręcaniu Saint-Venanta przyjęto z rozwiązania zagadnienia czystego skrecania,  a część związaną ze skręcaniem wycinkowym otrzymuje się z różniczkowania bimomentu (\ref{V.A.28})  po współrzędnej osi x  Należy jednak rozróżnić moment wycinkowy występujący jako siła przekrojowa od składnika całkowitego momentu skręcającego wynikającego z pola naprężeń stycznych. Zależność konstytutywna dla momentu całkowitego ma postać \eqref{V.A.60}, natomiast zależność \eqref{V.A.71} określa pochodną bimomentu i występuje w równaniu równowagi skręcania wycinkowego.

W konsekwencji w układzie głównym (P) otrzymujemy dwa powiązane, lecz różne opisy skręcania:

\[ \left\{ \begin{aligned}
M_x^{(P)}&=G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\left(\psi’+\varphi” \right ),\\[2mm]
M_V^{(P)}&=G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\varphi’.
\end{aligned} \right . \tag{V.A.62}\label{V.A.62} \]

Pierwsza zależność opisuje całkowity moment skręcający wynikający z pełnego pola naprężeń stycznych, natomiast druga wyodrębnia część Saint-Venanta związaną z obrotem przekroju. Po redukcji charakterystyk geometrycznych całkowity moment skręcający zależy zatem od dwóch wielkości kinematycznych $ \varphi’ \qquad\text{oraz}\qquad \psi’.$ Jednocześnie w równaniu \eqref{V.A.60} funkcja \psi występuje poprzez jej pochodną, a więc wpływ skręcania wycinkowego jest bezpośrednio sprzężony z kinematyką skręcania przekroju. Ważne jest przy tym zachowanie rozróżnienia pomiędzy momentem całkowitym M_x, momentem Saint-Venanta M_V oraz pochodną bimomentu. Nie można utożsamiać zależności $M_\omega^{(P)}=\frac{dB_\omega^{(P)}}{dx}$ z częścią całkowitego momentu skręcającego wyznaczanego bezpośrednio przez całkowanie naprężeń stycznych. Są to wielkości wynikające z różnych rzutów pola naprężeń i pełnią różne funkcje w układzie równań równowagi. Z punktu widzenia równania równowagi skręcania szczególne znaczenie ma zależność

\[ \frac{dM_x^{(P)}}{dx}=m_x, \tag{V.A.63}\label{V.A.63} \]

która po podstawieniu \eqref{V.A.60} prowadzi do

\[ m_x = G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)}) \left( \psi”+\varphi”’ \right ). \tag{V.A.64}\label{V.A.64} \]

Równanie to pokazuje bezpośrednie sprzężenie skręcania Saint-Venanta z deformacją wycinkową w modelu I+II rzędu. Po przejściu do układu głównego nie występują już dodatkowe charakterystyki geometryczne związane z niesymetrycznym sprzężeniem osi przekroju.

Ostatecznie rozdział momentu skręcającego należy interpretować następująco: całkowity moment M_x^{(P)} jest wielkością wynikającą z pełnego pola naprężeń stycznych, moment M_V^{(P)} reprezentuje udział Saint-Venanta związany z obrotem przekroju, natomiast bimoment B_\omega^{(P)} oraz jego pochodna opisują niezależny mechanizm skręcania wycinkowego. Rozdzielenie tych wielkości pozwala zachować jednoznaczność pomiędzy opisem konstytutywnym przekroju a równaniami równowagi.

Związek z teorią I rzędu

Otrzymana zależność na całkowity moment skręcający pozwala bezpośrednio wskazać różnicę pomiędzy modelem I rzędu a modelem I+II rzędu. W teorii I rzędu pomija się składniki wynikające z drugiego rzędu miary odkształcenia Biota. W konsekwencji znika sprzężenie pomiędzy skręceniem Saint-Venanta a funkcją wycinkową i otrzymuje się klasyczną zależność

\[  M_x^{(I)}=G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\varphi’. \tag{V.A.65}\label{V.A.65} \]

Jest to dokładnie zależność otrzymana wcześniej dla momentu Saint-Venanta $  M_V^{(P)}=G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\varphi’.$ Zatem w granicy teorii I rzędu $ M_x^{(I)}=M_V^{(P)}. $ W modelu I+II rzędu całkowity moment skręcający ma natomiast postać

\[ M_x^{(P)} = G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)}) \left( \psi’+\varphi” \right ). \tag{V.A.66}\label{V.A.66} \]

W porównaniu z zależnością I rzędu pojawia się więc dodatkowy składnik $  G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\psi’, $ a także zmienia się rząd pochodnej kąta obrotu przekroju: zamiast \varphi’ występuje \varphi”. Oznacza to, że w przyjętym modelu II rzędu funkcja wycinkowa \psi nie jest już oddzielona od kinematyki obrotu przekroju, lecz wchodzi bezpośrednio do zależności na całkowity moment skręcający.  rzejście od modelu I+II rzędu do modelu I rzędu nie polega na usunięciu całego mechanizmu skręcania wycinkowego. Jest to przejście do modelu, w którym pomija się składniki drugiego rzędu miary odkształcenia. Wówczas zależność na moment całkowity redukuje się do klasycznej zależności Saint-Venanta. Różnicę pomiędzy obydwoma modelami można zatem zapisać schematycznie jako

\[ M_x^{(I)} = G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\varphi’, \]

natomiast

\[ M_x^{(I+II)} = G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)}) \left( \psi’+\varphi” \right ). \]

Model I rzędu stanowi więc szczególny przypadek modelu I+II rzędu po pominięciu składników wynikających z nieliniowej kinematyki skręcania. W modelu I+II rzędu całkowity moment skręcający należy traktować jako wynik pełnego pola odkształceń i naprężeń, a nie jako prostą sumę niezależnego momentu Saint-Venanta i momentu wycinkowego. Istotne jest również rozróżnienie pomiędzy całkowitym momentem skręcającym M_x^{(P)} a pochodną bimomentu. W modelu I+II rzędu

\[ B_\omega^{(P)}= – \bar E I_\omega^{(P)}\psi’, \tag{V.A.67}\label{V.A.67} \]

a więc

\[ \frac{dB_\omega^{(P)}}{dx} =  – \bar E I_\omega^{(P)}\psi”. \tag{V.A.68}\label{V.A.68} \]

Wielkość ta występuje w równaniu równowagi wycinkowej i nie może być utożsamiana z dodatkowym składnikiem całkowitego momentu M_x^{(P)}. Całkowity moment skręcający oraz bimoment są odrębnymi wielkościami siłowymi, mimo że obie są związane z tym samym polem skręcania.

W ten sposób teoria I rzędu jest zawarta jako przypadek szczególny w opisie I+II rzędu, natomiast dodatkowe składniki modelu II rzędu określają sprzężenie pomiędzy obrotem przekroju i deformacją wycinkową.

Postać układu równań (\ref{V.37a}) jest  bezpośrednią konsekwencją przeprowadzonej redukcji charakterystyk geometrycznych przekroju. W szczególności z równań sił poprzecznych znikają charakterystyki wynikające z pochodnych funkcji wycinkowej, a ich postać staje się zgodna ze strukturą zależności pierwszego rzędu. Należy jednak odróżnić tę zgodność strukturalną od pełnej identyczności modelu I+II rzędu z teorią I rzędu. W przypadku siły osiowej oraz momentów zginających w równaniach pozostają składniki wynikające z drugiego rzędu miary odkształcenia Biota. To właśnie one powodują nieliniowe sprzężenie zmiennych kinematycznych.

Tak otrzymany układ siedmiu równań stanowi podstawowy układ różniczkowych równań równowagi modelu I+II rzędu w układzie głównym przekroju P. Dalsze przekształcenia mogą być prowadzone już wyłącznie na tym układzie, bez konieczności powracania do charakterystyk geometrycznych układu wyjściowego. Dzięki temu równania zawierające sprzężone składniki drugiego rzędu zachowują zwartą postać bez ponownego rozwijania  kombinacji kinematycznych. W szczególności pierwsze równanie zawiera zarówno liniowy składnik osiowy \(4Au”\), jak i składniki kwadratowe  $ AT_2T_2′, \, A T_3T_3′, \, (I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\psi\psi’, \, (I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\varphi’\varphi”.$

Redukcja układu równań równowagi

Pełny układ równań równowagi cienkościennego pręta został sformułowany na podstawie pola przemieszczeń Własowa–Timoshenki oraz wynikającego z niego pełnego pola odkształceń Biota I+II rzędu. Po zastosowaniu zależności konstytutywnych i całkowaniu odpowiednich składowych pola naprężeń po polu przekroju otrzymuje się siedem niezależnych wielkości siłowych:

\[ \mathbf S(x)= \begin{Bmatrix} N(x),\,M_y(x),\,M_z(x),\,B_\omega(x),\,V_z(x),\,V_y(x),\,M_x(x) \end{Bmatrix}^{T}. \tag{V.A.69}\label{V.A.69} \]

Odpowiadający im wektor obciążeń zewnętrznych ma postać

\[ \mathbf p(x)= \begin{Bmatrix} p_x(x),\,m_y(x),\,m_z(x),\,b_\omega(x),\,p_z(x),\,p_y(x),\,m_x(x) \end{Bmatrix}^{T}. \tag{V.A.70}\label{V.A.70} \]

W modelu I+II rzędu wielkości siłowe wynikają z pełnego pola naprężeń i zawierają składniki liniowe oraz składniki wynikające z drugiego rzędu miary odkształcenia Biota. W konsekwencji zależności konstytutywne nie są już w ogólności liniowymi funkcjami zmiennych kinematycznych. Równania równowagi są natomiast równaniami różniczkowymi zapisanymi dla wielkości siłowych. W przyjętym układzie głównym pełny układ siedmiu równań ma postać

\[ \left\{ \begin{aligned}
\frac{\bar E}{4}\left[ (I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\left(\psi\psi’+\varphi’\varphi” \right ) +A\left(4u”+T_3T_3’+T_2T_2′ \right ) \right ]&=p_x,\\
V_z+\frac{\bar E I_y^{(P)}}{4} \left(T_3’\varphi’+T_3\varphi”-4\theta_2” \right )&=m_y,\\
-\frac{\bar E I_z^{(P)}}{4} \left(T_2’\varphi’+T_2\varphi”+4\theta_3” \right )-V_y&=m_z,\\
M_\omega+\bar E I_\omega^{(P)}\psi”&=b_\omega,\\ AG\left(\theta_2’+w” \right )&=p_z,\\
AG\left(v”-\theta_3′ \right )&=p_y,\\ G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\left(\psi’+\varphi” \right )&=m_x.
\end{aligned} \right . \tag{V.A.71}\label{V.A.71} \]

W równaniach tych zastosowano  skrócone ciągi kinematyczne (\refl{V.Ti})

Postać ta jest zapisana bezpośrednio w układzie głównym P, dlatego występują w niej główne charakterystyki przekroju \(I_y^{(P)}\), \(I_z^{(P)}\) i \(I_\omega^{(P)}\). Redukcja układu siedmiu równań do czterech równań Pierwsze cztery równania układu dotyczą odpowiednio siły osiowej, dwóch momentów zginających oraz bimomentu. Zawierają one drugie pochodne podstawowych zmiennych kinematycznych $ u”,\, \theta_2”,\, \theta_3”,\, \psi”. $ Dlatego mogą zostać potraktowane jako układ czterech równań algebraicznych względem tych czterech niewiadomych pochodnych. Z układu \eqref{V.A.55} otrzymuje się

\[ \left\{ \begin{aligned}
u”&= \frac{ 4p_x-\bar E\left[ A\left(T_2T_2’+T_3T_3′ \right ) +(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\left(\psi\psi’+\varphi’\varphi” \right ) \right ] }{ 4A\bar E },\\[2mm]
\theta_2”&= \frac{ -4m_y+4V_z+\bar E I_y^{(P)} \left(T_3’\varphi’+T_3\varphi” \right ) }{ 4\bar E I_y^{(P)} },\\[2mm]
\theta_3”&= -\frac{ 4m_z+4V_y+\bar E I_z^{(P)} \left(T_2’\varphi’+T_2\varphi” \right ) }{ 4\bar E I_z^{(P)} },\\[2mm]
\psi”&= \frac{b_\omega-M_\omega} {\bar E I_\omega^{(P)}}. \end{aligned} \right .
\tag{V.A.72}\label{V.A.72} \]

Zależności \eqref{V.A.72}stanowią właściwą redukcję pierwszych czterech równań pełnego układu. Nie jest to redukcja liczby niezależnych wielkości siłowych pręta. Jest to eliminacja czterech drugich pochodnych zmiennych kinematycznych z pozostałych równań równowagi. Po podstawieniu zależności \eqref{V.27}–\eqref{V.A.61} do trzech pozostałych równań otrzymuje się

\[ \left\{ \begin{aligned}
p_z&=AG\left(\theta_2’+w” \right ),\\[2mm]
p_y&=AG\left(v”-\theta_3′ \right ),\\[2mm]
m_x&=G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\left(\psi’+\varphi” \right ).
\end{aligned} \right . \tag{V.A.73}\label{V.A.73} \]

Równania dla sił poprzecznych

Zależności \eqref{V.31}–\eqref{V.32} można zapisać w postaci

\[ V_z=AG\left(\theta_2+w’ \right ), \qquad V_y=AG\left(v’-\theta_3 \right ). \tag{V.A.74}\label{V.A.74} \]

Po zróżniczkowaniu otrzymuje się równania równowagi

\[ p_z=V_z’, \qquad p_y=V_y’. \tag{V.A.75}\label{V.A.75} \]

W ten sposób równania dla sił poprzecznych pozostają równaniami pierwszego rzędu względem odpowiednich sił przekrojowych.

Równanie równowagi skrętnej

Ostatnie równanie redukowanego układu dotyczy całkowitego momentu skręcającego. Zależność konstytutywna w układzie głównym ma postać

\[  M_x=G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)}) \left( \psi’+\varphi” \right ). \tag{V.A.76}\label{V.A.76} \]

Po zróżniczkowaniu otrzymuje się

\[ m_x= G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)}) \left( \psi”+\varphi”’ \right ). \tag{V.A.77}\label{V.A.77} \]

W modelu I+II rzędu całkowity moment skręcający może być rozpatrywany jako suma części Saint-Venanta i części wycinkowej:

\[  M_x=M_V+M_\omega. \tag{V.A.78}\label{V.A.78} \]

gdzie

\[ M_V=G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\varphi’, \tag{V.A.79}\label{V.A.79} \]

natomiast

\[ M_\omega=-\bar E I_\omega^{(P)}\psi’. \tag{V.A.80}\label{V.A.80} \]

W konsekwencji liniowa część momentu skręcającego ma postać

\[ M_x^{(I)} = G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\varphi’ -\bar E I_\omega^{(P)}\psi’. \tag{V.A.81}\label{V.A.81} \]

Należy jednak rozróżnić tę zależność od pełnej zależności momentu skręcającego w modelu I+II rzędu. Pełny moment wyznaczony z całkowania pola naprężeń stycznych zawiera również składniki wynikające z drugiego rzędu pola odkształceń. Dlatego równanie skrętne modelu I+II rzędu należy rozpatrywać jako równanie równowagi całkowitego momentu skręcającego.

Relacja między modelem I rzędu i modelem II rzędu

Przeprowadzona redukcja pozwala bezpośrednio wskazać relację pomiędzy modelem I rzędu a modelem I+II rzędu. W modelu I rzędu zależności sił przekrojowych od zmiennych kinematycznych są liniowe. W modelu I+II rzędu do tych zależności dochodzą składniki wynikające z kwadratowej części miary odkształcenia Biota. W szczególności w równaniu dla siły osiowej występują składniki

\[ T_2T_2′, \qquad T_3T_3′, \qquad \psi\psi’, \qquad \varphi’\varphi”, \]

które nie występują w modelu I rzędu. W równaniach momentów zginających pojawiają się natomiast iloczyny

\[ T_3’\varphi’, \qquad T_3\varphi”, \qquad T_2’\varphi’, \qquad T_2\varphi”. \]

Są to bezpośrednie składniki drugiego rzędu wynikające z przyjętej miary odkształcenia. Można zatem formalnie zapisać

\[ \mathbf S^{(II)} = \mathbf S^{(I)} + \mathbf S^{(NL)}, \tag{V.A.82}\label{V.A.82} \]

gdzie \(\mathbf S^{(I)}\) oznacza część wynikającą z liniowego pola odkształcenia, natomiast \(\mathbf S^{(NL)}\) zawiera składniki wynikające z drugiego rzędu miary Biota.

Analogicznie równania równowagi można zapisać jako

\[ \mathbf F^{(II)} = \mathbf F^{(I)} + \mathbf F^{(NL)} = \mathbf p. \tag{V.A.83}\label{V.A.83} \]

Nie oznacza to jednak, że oba składniki tworzą dwa niezależne układy równań. Składniki nieliniowe zależą od tego samego pola kinematycznego co składniki liniowe i są z nimi wzajemnie sprzężone.

Znaczenie redukcji

Przeprowadzona redukcja ma charakter algebraiczny i służy uzyskaniu układu równań względem podstawowych zmiennych kinematycznych. Nie zmienia ona liczby niezależnych wielkości siłowych modelu. Nadal występuje siedem wielkości

\[ \mathbf S= \begin{Bmatrix} N,\ M_y,\ M_z,\ B_\omega,\ V_z,\ V_y,\ M_x \end{Bmatrix}^{T}.
\tag{V.A.84}\label{V.A.84} \]

Równania równowagi zachowują zatem ogólną postać

\[ \frac{d\mathbf S}{dx}=\mathbf p. \tag{V.A.85}\label{V.A.85} \]

Redukcja polega na wykorzystaniu pierwszych czterech równań do wyznaczenia

\[ u”,\, \theta_2”,\, \theta_3”,\, \psi”, \]

a następnie na pozostawieniu trzech równań odpowiadających siłom poprzecznym i momentowi skręcającemu.

Tak uzyskany układ stanowi podstawę dalszego wyprowadzenia równań różniczkowych pręta cienkościennego. Równania równowagi nie wymagają przy tym ponownego wyprowadzania od podstaw. Po określeniu zależności sił przekrojowych można je otrzymać przez odpowiednie różniczkowanie tych zależności.

Przykłady 

Przykład 1 [Charakterystyki II rzędu dla przekroju cienkościennego]

Przykład jest kontynuacją [Przykładu 3 – rozdział IV] .

Zapis współrzędnych przekroju w zależnościach funkcyjnych

Z rys. IV.P3.3 i IV.P3.6 odczytano współrzędne węzłowe $y$, $z$ oraz współrzędne wycinkowe $\omega$ przekroju, a także grubości ścianek t:

Tab.V.P1.1 Taabelaryczne dane o przekroju 

$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
\text{ścianka} & s\,[\mathrm{cm}] & \text{węzeł} & y\,[\mathrm{cm}] & z\,[\mathrm{cm}] & \omega\,[\mathrm{cm^2}] & l_i\,[\mathrm{cm}] & t\,[\mathrm{cm}]\\
\hline [1] & 0 & (1) & +13{,}55 & +15{,}79 & -207{,}24 & 20 & 2{,}0\\  & 20 & (2) & -6{,}01 & +11{,}65 & +35{,}04 & & \\ \hline [2] & 0 & (2) & -6{,}01 & +11{,}65 & +35{,}04 & 30 & 3{,}0\\  & 30 & (3) & +0{,}20 & -17{,}70 & -109{,}03 & & \\
\hline [3] & 0 & (3) & +0{,}20 & -17{,}70 & -109{,}03 & 13 & 1{,}3\\  & 13 & (4) & +12{,}92 & -15{,}01 & +123{,}41 & &
\end{array}$

Na podstawie współrzędnych węzłowych określono liniowe zależności funkcyjne na poszczególnych ściankach przekroju.

Tab.V.P1.2 Współrzędne przekroju w zależnościach funkcyjnych

$ \begin{array}{c|c|c|c|c} \text{ścianka} & s\,[\mathrm{cm}] & y(s)\,[\mathrm{cm}] & z(s)\,[\mathrm{cm}] & \omega(s)\,[\mathrm{cm^2}]\\
\hline [1] & 0\leq s\leq20 & 13{,}55-0{,}978\,s & 15{,}79-0{,}207\,s & -207{,}24+12{,}114\,s \\[2pt]
[2] & 0\leq s\leq30 & -6{,}01+0{,}207\,s & 11{,}65-0{,}97833\,s & 35{,}04-4{,}80233\,s \\[2pt]
[3] & 0\leq s\leq13 & 12{,}92-0{,}97846\,s & -15{,}01-0{,}20692\,s & 123{,}41-17{,}88\,s
\end{array}$ 

Charakterystyki drugiego rzędu jako całki po ściankach przekroju 

Dla cienkościennego przekroju całkę powierzchniową można zastąpić sumą całek liniowych po poszczególnych ściankach. Dla ścianki $[i]$ zachodzi $ dA=t_i\,ds. $ Wobec tego dowolną charakterystykę II rzędu postaci $ C^{(II)}_{abc}=\int_A y^a z^b\omega^c\,dA, \, a+b+c\leq4, $ oblicza się jako sumę całek po trzech ściankach:

$C^{(II)}_{abc} = \sum_{i=1}^{3} t_i \int_{0}^{l_i} y_i(s)^a z_i(s)^b\omega_i(s)^c\,ds  $

gdzie  $l_1=20\ \mathrm{cm},\, l_2=30\ \mathrm{cm},\, l_3=13\ \mathrm{cm}.$

Dla rozpatrywanego przekroju funkcje $y_i(s)$, $z_i(s)$ i $\omega_i(s)$ są liniowe na każdej ściance, dlatego wszystkie charakterystyki można wyznaczyć przez całkowanie wielomianów względem parametru $s$.

Układ wyjściowy współrzędnych przekroju

Przed wyznaczeniem charakterystyk II rzędu przyjmuje się wyjściowy układ współrzędnych przekroju \(Oyz\). Początek układu \(O\) znajduje się w węźle 2 przekroju, a osie \(y\) i \(z\) są osiami wyjściowego układu współrzędnych. Współrzędne węzłów przekroju w tym układzie wynoszą

Parametr \(s\) jest mierzony wzdłuż osi każdej ścianki, zgodnie z przyjętym kierunkiem obiegu przekroju. Współrzędne \(y_i(s)\) i \(z_i(s)\) punktów należących do poszczególnych ścianek są określane względem wyjściowego układu \(Oyz\).

W przestrzeni charakterystyk występuje ponadto współrzędna sektorowa \(\omega\), określana zgodnie z przyjętą definicją charakterystyki sektorowej. Tworzy ona wraz ze współrzędnymi \(y,z\) wektor charakterystyk $ \mathbf q= \begin{Bmatrix} y, &z, &\omega \end{Bmatrix}^{T}. $ Współrzędna \(\omega\) nie jest trzecią współrzędną geometryczną przekroju. Stanowi odrębną charakterystykę sektorową i dlatego nie jest utożsamiana z osiami \(y\) i \(z\). Wszystkie charakterystyki II rzędu są najpierw wyznaczane w przyjętym wyjściowym układzie \(Oyz\). Dopiero na podstawie otrzymanego zbioru charakterystyk i jego analizy wyznaczany jest główny układ współrzędnych. Układ wyjściowy nie jest więc z góry utożsamiany z układem głównym.

Układ wyjściowy \(Oyz\) jest układem lewoskrętnym. Jego początek znajduje się w węźle (2), a osie \(y\) i \(z\) przyjmują kierunki zgodne ze współrzędnymi punktów zestawionymi w Tab.V.P1.2 kierunek parametryzacji konturu przyjęto zgodnie z kolejnością węzłów: $ [1]:1 \rightarrow2,\, [2]:2 \rightarrow3, \,  [3]:3 \rightarrow4.$. 

Charakterystyki II rzędu 

Szczegółowe wyprowadzenie dla przykładowej charakterystyki 

W celu przedstawienia sposobu wyznaczania charakterystyk II rzędu wykonano szczegółowe wyprowadzenie dla wybranej charakterystyki wzorcowej
\[ C_{y^2z\omega}^{(II)}=\int_A y^2z\omega\,dA. \]

Wybór tej charakterystyki nie wynika z jej szczególnego znaczenia fizycznego, lecz z jej reprezentatywności dla całego zbioru charakterystyk II rzędu. Zawiera ona jednocześnie wszystkie trzy wielkości występujące w rozszerzonej przestrzeni współrzędnych przekroju, tj. \(y\), \(z\) oraz \(\omega\), a jej łączny stopień wynosi $2+1+1=4.$ Jest zatem charakterystyką najwyższego, spośród rozpatrywanych, stopnia powierzchniowego. Jej szczegółowe wyprowadzenie pozwala pokazać kompletną procedurę obliczeniową: przejście od całki powierzchniowej do sumy całek po poszczególnych ściankach, wprowadzenie parametryzacji każdej ścianki za pomocą współrzędnej \(s\), wykorzystanie liniowej zmienności \(y(s)\), \(z(s)\) i \(\omega(s)\) wzdłuż ścianki oraz końcowe zsumowanie wkładów wszystkich ścianek. Pozostałe charakterystyki II rzędu wyznacza się następnie według tej samej procedury.

Parametryzacja ścianek

Dla cienkościennego przekroju powierzchniową całkę charakterystyki można zastąpić sumą całek wzdłuż poszczególnych ścianek. Przyjmując \(dA=t_i\,ds\), otrzymujemy
\[ C_{y^2z\omega}^{(II)} = \sum_{i=1}^{3} t_i\int_0^{l_i} y_i(s)^2z_i(s)\omega_i(s)\,ds. \]

Zgodnie z Tab. V.P1.1 długości ścianek wynoszą \(l_1=20\ \mathrm{cm}\), \(l_2=30\ \mathrm{cm}\), \(l_3=13\ \mathrm{cm}\), a ich grubości \(t_1=2{,}0\ \mathrm{cm}\), \(t_2=3{,}0\ \mathrm{cm}\), \(t_3=1{,}3\ \mathrm{cm}\). Na każdej ściance wielkości \(y\), \(z\) oraz \(\omega\) zmieniają się liniowo względem parametru \(s\). Dla ścianki \(i\) zapisujemy więc:

\[ y_i(s)=y_{i0}+\frac{y_{i1}-y_{i0}}{l_i}s,  \, z_i(s)=z_{i0}+\frac{z_{i1}-z_{i0}}{l_i}s, \, \omega_i(s)=\omega_{i0}+\frac{\omega_{i1}-\omega_{i0}}{l_i}s, \, 0\leq s\leq l_i. \]

W konsekwencji dla wybranej charakterystyki otrzymujemy

\[C_{y^2z\omega}^{(II)} = t_1\int_0^{20} y_1(s)^2 z_1(s)\omega_1(s)\,ds +t_2\int_0^{30} y_2(s)^2 z_2(s)\omega_2(s)\,ds +t_3\int_0^{13} y_3(s)^2 z_3(s)\omega_3(s)\,ds. \]

Każda z całek jest całką z wielomianu względem \(s\), ponieważ \(y_i(s)\), \(z_i(s)\) i \(\omega_i(s)\) są funkcjami liniowymi. W dalszym kroku podstawione zostaną wartości z Tab. V.P1.3 i wyznaczony zostanie osobno wkład każdej ścianki.

Obliczenie charakterystyki \(C_{y^2z\omega}^{(II)}\)

Charakterystykę $C_{y^2z\omega}^{(II)}=\int_A y^2z\omega\,dA$ wyznaczamy jako sumę wkładów poszczególnych ścianek  $ C_{y^2z\omega}^{(II)} = C_{y^2z\omega}^{[1]} + C_{y^2z\omega}^{[2]} + C_{y^2z\omega}^{[3]}. $

Tab. V.P1-4  Całki po podstawieniu funkcji \(y(s)\), \(z(s)\) i \(\omega(s)\)

\[ \begin{array}{c|p{9.5cm}|c|r}
\text{Ścianka} & \text{Wyrażenie podcałkowe} & \text{Całka} & \text{Wynik}\\
\hline [1] & \begin{gathered} 2{,}0\left(13{,}55-0{,}978s \right )^2 \left(15{,}79-0{,}207s \right ) \left(-207{,}24+12{,}114s \right )\\
-4{,}796954730864s^4+580{,}8981876451201s^3\\ -19593{,}898182586803s^2 +259449{,}41265066003s-1201612{,}1187180001 \end{gathered} & \int_0^{20}(\cdots)\,ds &
-4{,}22687851974096\cdot10^6 \\[12pt]
\hline [2] & \begin{gathered} 3{,}0\left(-6{,}01+0{,}207s \right )^2 \left(11{,}65-0{,}97833s \right ) \left(35{,}04-4{,}80233s \right )\\ 0{,}6039476792785683s^4 -46{,}66832866845523s^3\\
+1235{,}0785870958907s^2 -12824{,}210152640311s +44234{,}408224800005 \end{gathered} & \int_0^{30}(\cdots)\,ds & 156694{,}12785053672 \\[12pt]
\hline [3] & \begin{gathered} 1{,}3\left(12{,}92-0{,}97846s \right )^2 \left(-15{,}01-0{,}20692s \right ) \left(123{,}41-17{,}88s \right )\\ 4{,}604680363782303s^4 +180{,}63765196389926s^3\\
-9484{,}479651390522s^2 +113582{,}8913004658s -401975{,}351999312 \end{gathered} & \int_0^{13}(\cdots)\,ds & -941990{,}7474394955 \\[12pt]
\hline \text{Suma} & \sum_{i=1}^{3} & & -5{,}012175139329919\cdot10^6
\end{array} \]

Tab. V.P1-5  Zestwienie wartości charakterystyk II rzędu

\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Nr} & \text{charakterystyka} & \text{całka} & \text{wartość} \\ \hline
1 & A & \int_A dA & 146{,}900 \\
2 & S_z & \int_A y\,dA & \ldots \\
3 & S_y & \int_A z\,dA & \ldots \\
4 & S_\omega & \int_A \omega\,dA & \ldots \\
5 & I_z & \int_A y^2\,dA & 3{,}84771\cdot10^3 \\
6 & I_{yz} & \int_A yz\,dA & \ldots \\
7 & I_{z\omega} & \int_A y\omega\,dA & -2{,}08572\cdot10^4 \\
8 & I_y & \int_A z^2\,dA & 1{,}94015\cdot10^4 \\
9 & I_{y\omega} & \int_A z\omega\,dA & -9{,}91690\cdot10^3 \\
10 & I_{\omega^2} & \int_A \omega^2\,dA & 8{,}48005\cdot10^5 \\
11 & I_{z^3} & \int_A y^3\,dA & 2{,}10954\cdot10^4 \\
12 & I_{yz^2} & \int_A y^2z\,dA & 1{,}71133\cdot10^4 \\
13 & I_{z^2\omega} & \int_A y^2\omega\,dA & -2{,}16175\cdot10^5 \\
14 & I_{y^2z} & \int_A yz^2\,dA & 5{,}12633\cdot10^4 \\
15 & I_{yz\omega} & \int_A yz\omega\,dA & -5{,}56246\cdot10^5 \\
16 & I_{z\omega^2} & \int_A y\omega^2\,dA & 4{,}82694\cdot10^6 \\
17 & I_{y^3} & \int_A z^3\,dA & -2{,}98963\cdot10^4 \\
18 & I_{y^2\omega} & \int_A z^2\omega\,dA & \ldots \\
19 & I_{y\omega^2} & \int_A z\omega^2\,dA & 2{,}89261\cdot10^6 \\
20 & I_{\omega^3} & \int_A \omega^3\,dA & -9{,}62579\cdot10^7 \\
21 & I_{z^4} & \int_A y^4\,dA & 3{,}08415\cdot10^5 \\
22 & I_{yz^3} & \int_A y^3z\,dA & 8{,}21050\cdot10^4 \\
23 & I_{z^3\omega} & \int_A y^3\omega\,dA & -2{,}33518\cdot10^6 \\
24 & I_{y^2z^2} & \int_A y^2z^2\,dA & 6{,}95949\cdot10^5 \\
25 & I_{yz^2\omega} & \int_A y^2z\omega\,dA & -5{,}01218\cdot10^6 \\
26 & I_{z^2\omega^2} & \int_A y^2\omega^2\,dA & 5{,}49099\cdot10^7 \\
27 & I_{y^3z} & \int_A yz^3\,dA & 6{,}52941\cdot10^4 \\
28 & I_{y^2z\omega} & \int_A yz^2\omega\,dA & -5{,}22282\cdot10^6 \\
29 & I_{yz\omega^2} & \int_A yz\omega^2\,dA & 6{,}22053\cdot10^7 \\
30 & I_{z\omega^3} & \int_A y\omega^3\,dA & -7{,}17005\cdot10^8 \\
31 & I_{y^4} & \int_A z^4\,dA & \ldots \\
32 & I_{y^3\omega} & \int_A z^3\omega\,dA & \ldots \\
33 & I_{y^2\omega^2} & \int_A z^2\omega^2\,dA & \ldots \\
34 & I_{y\omega^3} & \int_A z\omega^3\,dA & \ldots \\
35 & I_{\omega^4} & \int_A \omega^4\,dA & \ldots
\end{array}

Wśród 35 wyżej wyliczonych charakterystyk znajduje się pełny zbiór niezależnych charakterystyk, które budują macierz $ \mathbf C^{(II)}_{10\times10}$. Poszczególne charakterystyki występują w macierzy wielokrotnie, ponieważ różne iloczyny elementów rozszerzonej bazy prowadzą do tych samych całek. Niezależne charakterystyki odpowiadają zatem wszystkim różnym iloczynom elementów tej bazy. Do macierzy $ \mathbf C^{(II)}$ wchodzą:

\[ \begin{array}{c|l} \text{stopień} & \text{niezależne charakterystyki}\\
\hline
0 & A\\
1 & S_z,\ S_y,\ S_\omega\\
2 & I_z,\ I_{yz},\ I_{z\omega},\ I_y,\ I_{y\omega},\ I_{\omega^2}\\
3 & I_{z^3},\ I_{z^2y},\ I_{z^2\omega}, I_{zy^2},\ I_{zy\omega},\ I_{z\omega^2}, I_{y^3},\ I_{y^2\omega}, I_{y\omega^2}, I_{\omega^3}\\
4 & I_{z^4}, I_{z^3y}, I_{z^3\omega}, I_{z^2y^2}, I_{z^2y\omega}, I_{z^2\omega^2}, I_{zy^3}, I_{zy^2\omega}, I_{zy\omega^2}, I_{z\omega^3},I_{y^4}, I_{y^3\omega}, I_{y^2\omega^2},
I_{y\omega^3}, I_{\omega^4}
\end{array}\]

Na podstawie wartości liczbowych tych charakterystyk otrzymuje się macierz

Tab. V.P1. 6-  Macierz niezależnych charakterystyk II rzędu $C^{(II)} 

\[ \mathbf C^{(II)}_{10\times10}=\int_A \mathbf q \mathbf q^T\,dA=\]
\[ \left[ \begin{array}{ccccc}
146.900&0.214169&0.155338&-6.65203\cdot10^3&3.84771\cdot10^3\\
0.214169&3.84771\cdot10^3&-2.18781&-2.08572\cdot10^4&2.10954\cdot10^4\\
0.155338&-2.18781&1.94015\cdot10^4&-9.91690\cdot10^3&1.71133\cdot10^4\\
-6.65203\cdot10^3&-2.08572\cdot10^4&-9.91690\cdot10^3&8.48005\cdot10^5&-2.16175\cdot10^5\\
3.84771\cdot10^3&2.10954\cdot10^4&1.71133\cdot10^4&-2.16175\cdot10^5&3.08415\cdot10^5\\
-2.18781&1.71133\cdot10^4&5.12633\cdot10^4&-5.56246\cdot10^5&8.21050\cdot10^4\\
-2.08572\cdot10^4&-2.16175\cdot10^5&-5.56246\cdot10^5&4.82694\cdot10^6&-2.33518\cdot10^6\\
1.94015\cdot10^4&5.12633\cdot10^4&-2.98963\cdot10^4&-1.20252\cdot10^6&6.95949\cdot10^5\\
-9.91690\cdot10^3&-5.56246\cdot10^5&-1.20252\cdot10^6&2.89261\cdot10^6&-5.22282\cdot10^6\\
8.48005\cdot10^5&4.82694\cdot10^6&2.89261\cdot10^6&-9.62579\cdot10^7&5.49099\cdot10^7
\end{array} \right . \]
\[ \left. \begin{array}{ccccc}
2.10954\cdot10^4&1.71133\cdot10^4&-2.16175\cdot10^5&5.12633\cdot10^4&-5.56246\cdot10^5\\
-2.18781&1.71133\cdot10^4&-9.91690\cdot10^3&-2.98963\cdot10^4&-1.20252\cdot10^6\\
-9.91690\cdot10^3&-2.16175\cdot10^5&4.82694\cdot10^6&-1.20252\cdot10^6&2.89261\cdot10^6\\
8.48005\cdot10^5&-2.16175\cdot10^5&2.89261\cdot10^6&-9.62579\cdot10^7&1.51960\cdot10^{10}\\
2.10954\cdot10^4&1.71133\cdot10^4&-2.16175\cdot10^5&6.95949\cdot10^5&5.49099\cdot10^7\\
1.71133\cdot10^4&5.12633\cdot10^4&-5.56246\cdot10^5&6.52941\cdot10^4&-5.22282\cdot10^6\\
-2.16175\cdot10^5&-5.56246\cdot10^5&4.82694\cdot10^6&-5.22282\cdot10^6&6.22053\cdot10^7\\
5.12633\cdot10^4&6.52941\cdot10^4&-5.22282\cdot10^6&3.90459\cdot10^6&-3.59189\cdot10^6\\
-5.56246\cdot10^5&-5.22282\cdot10^6&6.22053\cdot10^7&-3.59189\cdot10^6&1.75335\cdot10^8\\
-5.22282\cdot10^6&6.22053\cdot10^7&-5.22282\cdot10^6&-8.72175\cdot10^8&1.51960\cdot10^{10}
\end{array} \right ]. \]

Rozkład kanoniczny Pugaczewa

Dla macierzy charakterystyk II rzędu $ \mathbf C^{(II)}_{10\times10}$ przeprowadza się rozkład kanoniczny Pugaczewa w postaci  $ \mathbf C^{(II)}_{10\times10} = \mathbf A\, \mathbf D\, \mathbf A^{T}. $
Obliczenia prowadzi się iteracyjnie, analogicznie jak w Przykładzie IIa.2, zgodnie z zależnościami  (IIa.15)–(IIa.16). z artykułu  Niezwodność konstrukcji

Iteracje Pugaczewa

\[\begin{array}{c|c|l} k & d_k & \text{współczynniki }a_{kj}\\
\hline 1 & 146{,}900 & \begin{array}{l} a_{12}=1{,}45792\cdot10^{-3},\, a_{13}=1{,}05744\cdot10^{-3},\\
a_{14}=-45{,}2827,\, a_{15}=26{,}1927,\\ a_{16}=-1{,}48932\cdot10^{-2},\, a_{17}=-141{,}982,\\
a_{18}=132{,}073,\, a_{19}=-67{,}5078,\, a_{1,10}=5772{,}67 \end{array} \\[4mm]
2 & 3{,}84771\cdot10^3 & \begin{array}{l} a_{23}=-5{,}68659\cdot10^{-4},\, a_{24}=-5{,}41816,\\ a_{25}=5{,}48113,\, a_{26}=4{,}44766,\\ a_{27}=-56{,}1749,\,
a_{28}=13{,}3157,\\ a_{29}=-144{,}562,\, a_{2,10}=1254{,}18 \end{array} \\[4mm]
3 & 1{,}94015\cdot10^4 & \begin{array}{l} a_{34}=-0{,}511389,\, a_{35}=0{,}882469,\, a_{36}=2{,}64274,\\ a_{37}=-28{,}6755,\, a_{38}=-1{,}54048,\\
a_{39}=-61{,}9965,\, a_{3,10}=149{,}187 \end{array} \\[4mm]
4 & 4{,}28754\cdot10^5 & \begin{array}{l} a_{45}=0{,}189113,\, a_{46}=-1{,}02017,\\ a_{47}=5{,}66025,\, a_{48}=-0{,}143794,\\ a_{49}=-2{,}76456,\,
a_{4,10}=-70{,}5097 \end{array} \\[4mm]
5 & 6{,}15943\cdot10^4 & \begin{array}{l} a_{56}=0{,}419419,\, a_{57}=-9{,}28899,\\ a_{58}=-0{,}893271,\, a_{59}=-6{,}78694,\\ a_{5,10}=152{,}789 \end{array} \\[4mm]
6 & 2{,}72743\cdot10^4 & \begin{array}{l} a_{67}=4{,}94598,\, a_{68}=-4{,}51440,\\ a_{69}=-22{,}1520,\, a_{6,10}=-61{,}6932 \end{array} \\[4mm]
7 & 4{,}13468\cdot10^6 & \begin{array}{l} a_{78}=-5{,}02130\cdot10^{-5},\\ a_{79}=0{,}211327,\, a_{7,10}=5{,}88602 \end{array} \\[4mm]
8 & 4{,}95094\cdot10^1 & \begin{array}{l} a_{89}=4{,}50538,\, a_{8,10}=46{,}1198 \end{array} \\[4mm]
9 & 1{,}13639\cdot10^3 & a_{9,10}=-1{,}53881 \\[4mm] 
10 & 5{,}48931\cdot10^3 & – \end{array} \]

Wyniki końcowe

Macierz $ \mathbf A=[a_{ij}]$:

\[ \mathbf A= \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\
1{,}45792\cdot10^{-3}&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\
1{,}05744\cdot10^{-3}&-5{,}68659\cdot10^{-4}&1&0&0&0&0&0&0&0\\
-45{,}2827&-5{,}41816&-0{,}511389&1&0&0&0&0&0&0\\
26{,}1927&5{,}48113&0{,}882469&0{,}189113&1&0&0&0&0&0\\
-1{,}48932\cdot10^{-2}&4{,}44766&2{,}64274&-1{,}02017&0{,}419419&1&0&0&0&0\\
-141{,}982&-56{,}1749&-28{,}6755&5{,}66025&-9{,}28899&4{,}94598&1&0&0&0\\
132{,}073&13{,}3157&-1{,}54048&-0{,}143794&-0{,}893271&-4{,}51440&-5{,}02130\cdot10^{-5}&1&0&0\\
-67{,}5078&-144{,}562&-61{,}9965&-2{,}76456&-6{,}78694&-22{,}1520&0{,}211327&4{,}50538&1&0\\
5772{,}67&1254{,}18&149{,}187&-70{,}5097&152{,}789&-61{,}6932&5{,}88602&46{,}1198&-1{,}53881&1
\end{bmatrix}. \]

Macierz diagonalna $ \mathbf D$:

\[ \mathbf D= \operatorname{diag}
\left( 1{,}46900\cdot10^2,\,
3{,}84771\cdot10^3,\, 1{,}94015\cdot10^4,\, 4{,}28754\cdot10^5,\, 6{,}15943\cdot10^4,\, 2{,}72743\cdot10^4,\, 4{,}13468\cdot10^6,\, 4{,}95094\cdot10^1,\, 1{,}13639\cdot10^3,\,
5{,}48931\cdot10^3 \right ). \]

czyli macierz charkaterystyk 

\[ \mathbf C^{(II)}_{10\times10}= \mathbf A\, \mathbf D\, \mathbf A^T. \]

Wektory własne 

Wektory własne  $ \mathbf E$. wyznaczamy z równania (\ref{V.A.19})

W tabeli poniżej zestawiono  wartości własne $d_i$ oraz odwrotności ich pierwiastków $ \mathbf D^{-1/2}$

\[ \begin{array}{c|c|c} i & d_i & \frac{1}{\sqrt{d_i}} \\ \hline
1 & 146.900 & 0.0825066782 \\ 2 & 3.84771\,10^3 & 0.0161212545 \\ 3 & 1.94015\,10^4 & 0.0071793040 \\ 4 & 4.28754\,10^5 & 0.0015272000 \\ 5 & 6.15943\,10^4 & 0.0040293012 \\
6 & 2.72743\,10^4 & 0.0060551261 \\ 7 & 4.13468\,10^6 & 0.0004917893 \\ 8 & 4.95094\,10^1 & 0.1421203173 \\ 9 & 1.13639\,10^3 & 0.0296644498 \\ 10 & 5.48931\,10^3 & 0.0134971204
\end{array} \]

Dodatni pierwiastek macierzowy wyznaczamy z rozkładu spektralnego macierzy $ \mathbf C^{(II)}_{10\times10}$ wyznaczamy  z zależności (\ref{V.A.16}) .  WQ wqyniku działąn nuemrycznych otrzymujemy:

\[ \mathbf E=\begin{pmatrix}
0.0353278&0.0479604&-0.0155509&-0.00663030&0.0205700&-0.0123782&0.00124682&0.654161&0.0771812&0.0951536\\
0.245456&1.20039&-0.201851&0.00576799&0.0421813&0.144499&-0.0421952&0.434158&-2.04366&0.212339\\
-0.178716&-0.453259&0.108892&0.0162255&0.0212227&-0.00469039&-0.0141851&-2.54731&0.246939&0.515501\\
-0.358201&0.0608874&0.0762753&0.515600&-0.281146&-1.29164&-0.0988866&11.7050&4.53309&-10.5670\\
0.421205&0.168768&0.0378140&-0.106561&4.81132&-1.77124&0.198551&7.16226&10.3824&19.5598\\
-0.168664&0.384716&-0.00556119&-0.325772&-1.17864&2.10741&-0.0590919&-26.2146&-11.9234&6.51728\\
0.209177&-1.38319&-0.207079&-0.307082&1.62675&-0.727566&5.63025&-28.4978&48.9069&-86.7207\\
0.379768&0.0492482&-0.128679&0.125780&0.203060&-1.11689&-0.0986130&23.3481&2.01709&5.92794\\
0.214667&-1.11063&0.0597634&0.233375&1.41023&-2.43380&0.810799&9.66374&136.561&-74.7628\\
0.581665&0.253622&0.274202&-1.19565&5.83918&2.92380&-3.15981&62.4193&-164.316&1659.70
\end{pmatrix}. \]

Poszczególne wektory główne są więc kolumnami macierzy $ \mathbf E$: 
$ \mathbf E= \begin{bmatrix} |&|& &|\\ \mathbf e_1& \mathbf e_2&\cdots& \mathbf e_{10}\\ |&|& &| \end{bmatrix}. $

Na przykład pierwszy wektor główny jest równy

\[ \mathbf e_1= \begin{Bmatrix} 0.0353278\\ 0.245456\\ -0.178716\\ -0.358201\\ 0.421205\\ -0.168664\\ 0.209177\\ 0.379768\\ 0.214667\\ 0.581665 \end{Bmatrix}, \]

natomiast dziesiąty

\[ \mathbf e_{10}= \begin{Bmatrix} 0.0951536\\ 0.212339\\ 0.515501\\ -10.5670\\ 19.5598\\ 6.51728\\ -86.7207\\ 5.92794\\ -74.7628\\ 1659.70 \end{Bmatrix}. \]

Należy zwrócić uwagę, że wektory są ortogonalne, ale nie są znormalizowane do jedności. Wskazują wyłącznie kierunek osi głównej, a nie są jej wersorami.

Sprawdzenie otrzymanego układu wykonujemy przez odtworzenie macierzy $ \mathbf C^{(II)}$: $ \mathbf C^{(II)}_{10\times10} = \mathbf E \mathbf D \mathbf E^T $. Wykonanie mnozenia macierzy wykazałom popranośc działań z dokładnpością do przyjętej prezycji rachunków. 

Wnioski

(1) Wartości diagonalne $d_1,\ldots,d_{10}$ opisują charakterystyki główne w układzie kanonicznym. Pierwsze trzy zachowują bezpośrednią zgodność z charakterystykami I rzędu: $d_1=A$, $d_2=I_z$, $d_3=I_y$. Czwarta charakterystyka $d_4$ odpowiada charakterystyce związanej ze skręcaniem, lecz jej wartość różni się od klasycznej charakterystyki $I_\omega$ wyznaczonej w teorii I rzędu. Pozostałe wartości $d_5,\ldots,d_{10}$ stanowią nowe główne charakterystyki wynikające z rozszerzenia przestrzeni do II rzędu.
(2) Rozszerzenie charakterystyk do przestrzeni $ q=\{1,y,z,\omega,y^2,yz,y\omega,z^2,z\omega,\omega^2\}^{T}$ nie tworzy dziesięciu nowych fizycznych osi przekroju. Jest to dziesięciowymiarowa przestrzeń charakterystyk, w której cztery pierwsze składniki odpowiadają charakterystykom układu I rzędu, a sześć następnych stanowi nowe składniki II rzędu. W ten sposób rozróżniono jednoznacznie cztery osie związane z charakterystykami I rzędu od sześciu nowych osi głównych przestrzeni charakterystyk II rzędu.
(3) W układzie głównym I rzędu mamy $ S_y=S_z=S_\omega=0, \, I_{yz}=I_{y\omega}=I_{z\omega}=0.$ Dlatego pierwsze cztery kierunki główne mają jednoznaczną interpretację: 
 oś 1 – ( rozciąganie–ściskanie),
oś 2 – ( zginanie względem osi z),
oś 3 – ( zginanie względem osi }y).
oś 4 – (skręcanie}
Odpowiadają im charakterystyki przekroju $d_1=A,\, d_2=I_z,\, d_3=I_y$, natomiast charakterystyka $d_4$ związana ze skręcaniem różni się od klasycznej charakterystyki $I_\omega$ teorii I rzędu.
(4) Skręcanie jest jednoznacznie obecne jako czwarta oś główna, związana z charakterystyką \(\omega\). W przestrzeni II rzędu występują dodatkowo składniki związane ze skręcaniem: $y\omega,\, z\omega,\, \omega^2.$. Oś 4 jest związana ze skręcaniem, natomiast składniki $(y\omega)$, $(z\omega)$ i $\omega^2$ uczestniczą w tworzeniu głównych kierunków II rzędu.
(5) Po diagonalizacji osie 5–10 nie odpowiadają pojedynczo składnikom $ y^2,\, yz,\, y\omega,\, z^2,\, z\omega,\, \omega^2.$ Są one wynikowymi kombinacjami tych charakterystyk. Każdy z głównych kierunków II rzędu zawiera zatem określoną kombinację charakterystyk przestrzeni rozszerzonej.
(6) W początkowej macierzy \(C^{(II)}\) występują sprzężenia, natomiast w układzie głównym są one wyzerowane poza przekątną:$ C^{(II,G)}_{ij}=0,\, i\ne j.$ Nie oznacza to usunięcia  sprzężeń w pełni . Pozostały  one uwzględnione w transformacji do głównych kierunków, dlatego główny kierunek II rzędu może zawierać jednocześnie składniki zginania i skręcania.
(7) Wektory główne nie są znormalizowane do jedności. Są ortogonalne i wskazują kierunki osi głównych, lecz nie są ich wersorami. Ich długość wynika z przyjętej konstrukcji $ \mathbf E= \left( \mathbf C^{(II)}_{10\times10} \right )^{1/2} \mathbf D^{-1/2}.$
(8) Ewentualne niewielkie wartości pozadiagonalne uzyskane w obliczeniach numerycznych należy traktować jako resztkowe dewiacje numeryczne wynikające z dokładności obliczeń, a nie jako dodatkowe fizyczne sprzężenia.
(9) Ostateczna interpretacja osi 5–10 wynika z ich postaci jako kombinacji charakterystyk II rzędu, a nie z samej kolejności składników bazowego wektora \(q\). Osiom tym można zatem przypisać ogólne oznaczenie głównych osi II rzędu   

Dodatek V.B Stateczność prętów cienkościennych

Metoda małego parametru w zagadnieniach stateczności

Istota metody małego parametru

Metoda małego parametru służy do wyznaczenia równań opisujących małe zaburzenia określonego stanu podstawowego pręta oraz do sformułowania warunku utraty stateczności. Istotą metody jest rozdzielenie stanu pręta na stan podstawowy, odpowiadający przyjętej konfiguracji równowagi, oraz małe zaburzenie tego stanu, które może prowadzić do zmiany postaci równowagi. Wprowadza się bezwymiarowy parametr małego zaburzenia $\varepsilon$, dla którego

\[ 0<\varepsilon\ll1. \tag{V.B.1}\label{V.B.1} \]

Wszystkie wielkości opisujące stan pręta przedstawia się jako sumę wartości stanu podstawowego oraz przyrostu proporcjonalnego do $\varepsilon$. Dla wielkości kinematycznych zapisuje się

\[ u=u_0+\varepsilon u_1,\quad v=v_0+\varepsilon v_1,\quad w=w_0+\varepsilon w_1, \]

\[ \theta_2=\theta_{20}+\varepsilon\theta_{21},\quad \theta_3=\theta_{30}+\varepsilon\theta_{31}, \]

\[ \varphi=\varphi_0+\varepsilon\varphi_1,\quad \psi=\psi_0+\varepsilon\psi_1. \tag{V.B.2}\label{V.B.2} \]

Analogicznie rozdziela się siły i momenty przekrojowe:

\[ N=N_0+\varepsilon N_1,\quad M_y=M_{y0}+\varepsilon M_{y1},\quad M_z=M_{z0}+\varepsilon M_{z1},\quad B_\omega=B_{\omega0}+\varepsilon B_{\omega1}, \]

\[ V_z=V_{z0}+\varepsilon V_{z1},\quad V_y=V_{y0}+\varepsilon V_{y1},\quad M_x=M_{x0}+\varepsilon M_{x1}. \tag{V.B.3}\label{V.B.3} \]

Indeks $0$ oznacza stan podstawowy, natomiast indeks $1$ oznacza pierwszą składową zaburzenia. Indeks $1$ nie oznacza rzędu teorii pręta. Określa jedynie współczynnik przy pierwszej potędze parametru $\varepsilon$.

Metodologia rozwinięcia względem małego parametru

Rozdzielenie stanu podstawowego i zaburzenia należy wprowadzić bezpośrednio do pełnych równań równowagi.

Dla przykładu równanie dotyczące momentu $M_z$ ma postać $ dM_z/dx=-V_y.$
Po podstawieniu $ M_z= M_{z0} + \varepsilon M_{z1},\, V_y=V_{y0}+\varepsilon V_{y1} $ otrzymuje się
$  dM_{z0}/ dx +\varepsilon dM_{z1}/ dx =  -V_{y0}-\varepsilon V_{y1}. $
Porównanie współczynników przy kolejnych potęgach $\varepsilon$ prowadzi do równań kolejnych rzędów. Dla rzędu zerowego otrzymuje się równanie równowagi stanu podstawowego: $ dM_{z0}/ dx=-V_{y0},$ oraz dla pierwszego rzędu względem parametru $\varepsilon$: $dM_{z1}/ dx=-V_{y1}.$ Analogicznie postępuje się z pozostałymi równaniami pełnego układu równowagi.

Szczególne znaczenie metoda małego parametru uzyskuje w przypadku zależności nieliniowych. Jeżeli

\[  f=f_0+\varepsilon f_1,\, g=g_0+\varepsilon g_1,\]

to ich iloczyn ma postać $ fg=f_0g_0+\varepsilon(f_0g_1+f_1g_0) +\varepsilon^2f_1g_1. $ W linearyzacji względem małego zaburzenia zachowuje się składniki do pierwszego rzędu względem $\varepsilon$, zatem

\[ fg=f_0g_0+\varepsilon(f_0g_1+f_1g_0) +O(\varepsilon^2). \tag{V.B.4}\label{V.B.4} \]

Składnik $\varepsilon^2f_1g_1$ jest pomijany jako wyższy rząd małego zaburzenia. Nie oznacza to jednak pominięcia wszystkich składników nieliniowych występujących w modelu $II$ rzędu. Nieliniowość wynikająca z drugiego rzędu miary odkształcenia Biota pozostaje w równaniach statecznościowych, jeżeli po podstawieniu rozdzielenia na stan podstawowy i zaburzenie dostarcza składnika pierwszego rzędu względem $\varepsilon$. Przykładowo, jeżeli w pełnym równaniu występuje składnik $T_3T_3’$, a $ T_3=H_{30}+\varepsilon H_{31},\, T_3’=H_{30}’+\varepsilon H_{31}’ $ to
$  T_3 T_3′ = H_{30} H_{30}’ +\varepsilon \left( H_{30}H_{31}’ + H_{31}H_{30}’ \right) + O(\varepsilon^2).$. 
Wyraz proporcjonalny do $\varepsilon$ pozostaje zatem w zlinearyzowanych równaniach statecznościowych. Zawiera on iloczyn wielkości stanu podstawowego i wielkości zaburzenia. W ten sposób stan podstawowy staje się parametrem określającym właściwości operatora statecznościowego.

Rozwinięcie układu równań równowagi pręta cienkościennego

Po podstawieniu rozwinięć wszystkich wielkości do pełnego układu równań równowagi otrzymuje się formalnie rozwinięcie

\[ \mathbf F_0+\varepsilon\mathbf F_1+\varepsilon^2\mathbf F_2+\ldots=\mathbf 0. \tag{V.B.5}\label{V.B.5} \]

Wyrazy rzędu zerowego opisują równowagę stanu podstawowego: $\mathbf F_0=\mathbf 0,$ a wyrazy pierwszego rzędu stanowią zlinearyzowane równania równowagi zaburzenia: $\mathbf F_1=\mathbf 0.$. 

Równania $\mathbf F_1=\mathbf 0$ nie są nowym, niezależnym układem równań równowagi. Powstają przez linearyzację pełnych równań równowagi względem określonego stanu podstawowego. Ich współczynniki zawierają zatem wielkości charakteryzujące ten stan.

Postać statecznościowa układu równań EQ1

Wprowadzenie

Pełny układ równań EQ1 jest układem nieliniowym opisującym równowagę pręta w modelu $II$ rzędu. Aby otrzymać równania opisujące małe zaburzenie przyjętego stanu podstawowego, rozwinięcia (\ref{V.B.2}) i (\ref{V.B.3}) wprowadza się bezpośrednio do układu EQ1. Każdą wielkość występującą w EQ1 zapisuje się w postaci $ X=X_0+\varepsilon X_1,$  gdzie $X_0$ oznacza wartość w stanie podstawowym, natomiast $X_1$ oznacza pierwszą składową zaburzenia. Dotyczy to zarówno wielkości kinematycznych, jak i sił oraz momentów przekrojowych. Po takim podstawieniu układ EQ1 przyjmuje formalną postać

\[ \mathbf{EQ1}(X_0+\varepsilon X_1) = \mathbf F_0(X_0) +\varepsilon\,\mathbf F_1(X_0,X_1) +O(\varepsilon^2) =\mathbf 0. \tag{V.B.6}\label{V.B.6} \]

SSkładnik rzędu zerowego, $\mathbf F_0(X_0)=\mathbf 0,$ opisuje równowagę stanu podstawowego, a składnik pierwszego rzędu, $\mathbf F_1(X_0,X_1)=\mathbf 0,$ opisuje równowagę małego zaburzenia tego stanu.

Istotą postępowania jest to, że równania pierwszego rzędu są liniowe względem składowych zaburzenia $X_1$, lecz ich współczynniki zależą od stanu podstawowego $X_0$. Stan podstawowy występuje zatem jako parametr operatora opisującego zachowanie zaburzenia. Linearyzacja odnosi się wyłącznie do małego zaburzenia, a nie do samego modelu $II$ rzędu. Dlatego przed wykonaniem rozwinięcia względem $\varepsilon$ nie należy usuwać składników nieliniowych występujących w EQ1. Po rozwinięciu część z nich dostarcza bowiem składników pierwszego rzędu zawierających iloczyn wielkości stanu podstawowego i zaburzenia. 

Przykładowo, dla iloczynu $ T_3T_3′ = H_{30}H_{30}’ +\varepsilon \left( H_{30}H_{31}’ + H_{31}H_{30}’ \right) +\varepsilon^2H_{31}H_{31}’, $ składnikiem pierwszego rzędu jest $ H_{30}H_{31}’ + H_{31}H_{30}’,$ natomiast $H_{31}H_{31}’$ należy do rzędu $\varepsilon^2$ i jest pomijany. Analogicznie postępuje się ze wszystkimi składnikami nieliniowymi występującymi w EQ1. W ten sposób otrzymuje się liniowy układ równań zaburzenia, którego współczynniki zawierają informacje o stanie podstawowym.

Część pierwszego rzędu, odpowiedzialną za opis małego zaburzenia i stanowiącą podstawę dalszej analizy stateczności, oznaczamy jako część statecznościową:

\[ \mathbf{EQ1}\_{\mathrm b} = \left[ \mathbf{EQ1}(X_0+\varepsilon X_1) \right]\_{\varepsilon^1} = \mathbf 0. \tag{V.B.7}\label{V.B.7} \]

Oznaczenie części statecznościowej indeksem $\mathrm b$ nawiązuje do oznaczeń stosowanych w literaturze przez Mohri i in. [16] oraz Bijaka [17]. W tych pracach równania statecznościowe uzyskiwano na podstawie funkcjonału energii sprężystej pręta cienkościennego. W niniejszym ujęciu ta sama część równań jest otrzymywana bezpośrednio przez rozwinięcie pełnego układu równań równowagi względem małego parametru.

Rozwinięcie układu równań statecznościowych 

Układ równań statecznościowych   EQ1S jest rozwinięciem układu EQ1 względem małego parametru. Po podstawieniu rozwinięć (\ref{V.B.2}) i (\ref{V.B.3}) oraz uporządkowaniu składników względem potęg $\varepsilon$ otrzymuje się

\[ \mathbf{EQ1S} = \mathbf{EQ1}_0 +\varepsilon\,\mathbf{EQ1}_1 +O(\varepsilon^2). \tag{V.B.8}\label{V.B.8} \]

Składnik rzędu zerowego definiuje układ równań równowagi stanu podstawowego $\mathbf{EQ1}\_0=\mathbf 0.$ Składnik pierwszego rzędu jest układem równań opisujących zaburzenie $\mathbf{EQ1}\_1=\mathbf 0.$ Zgodnie z przyjętą konwencją

\[ \mathbf{EQ1}\_{\mathrm b} \equiv \mathbf{EQ1}\_1. \tag{V.B.9}\label{V.B.9} \]

Stąd pełne rozwinięcie EQ1S można zapisać również w postaci

\[ \mathbf{EQ1S} = \mathbf{EQ1}_0 +\varepsilon\,\mathbf{EQ1}_{\mathrm b} +O(\varepsilon^2). \tag{V.B.10}\label{V.B.10} \]

Równania stanu podstawowego

Wyodrębnienie składników niezależnych od $\varepsilon$ prowadzi do układu

\[ \mathbf{EQ1}_0= \left\{ \begin{aligned} &\frac{\bar E}{4} \Big[ (I_y^P+I_z^P) \left( \psi_0\psi_0′ +\phi_0’\phi_0” \right) \\
&\qquad +A\left( 4u_0” +(\theta_{30}+v_0′) (\theta_{30}’+v_0”) +(\theta_{20}-w_0′) (\theta_{20}’-w_0”) \right) \Big] -p_{x0}=0, \\[1ex]
&m_{y0}-V_{z0} -\frac{\bar E I_y^P}{4} \Big[ (\theta_{30}+v_0′)\phi_0” -4\theta_{20}” +\phi_0′(\theta_{30}’+v_0”) \Big]=0, \\[1ex]
&m_{z0}+V_{y0} +\frac{\bar E I_z^P}{4} \Big[ (\theta_{20}-w_0′)\phi_0” +4\theta_{30}” +\phi_0′(\theta_{20}’-w_0”) \Big]=0, \\[1ex]
&b_{w0}-M_{w0}-\bar E I_\omega^P\psi_0”=0, \\[1ex]
&p_{z0}-AG(\theta_{20}’+w_0”)=0, \\[1ex]
&AG(v_0”-\theta_{30}’)-p_{y0}=0, \\[1ex]
&m_{x0}-G(I_y^P+I_z^P) (\psi_0’+\phi_0”)=0.
\end{aligned} \right. \tag{V.B.11}\label{V.B.11} \]

Układ ten określa stan podstawowy, wokół którego prowadzone jest dalsze badanie stateczności.

Równania statecznościowe

Wyodrębnienie współczynnika przy $\varepsilon$ prowadzi do równania statecznościowego

\[ \mathbf{EQ1}_{\mathrm b} = \mathbf{EQ1}_1 = \left\{ \begin{aligned}
&\frac{\bar E}{4} \Big[ (I_y^P+I_z^P) \left( \psi_1\psi_0′ +\psi_0\psi_1′ +\phi_1’\phi_0” +\phi_0’\phi_1” \right) \\
&\qquad +A\Big( 4u_1” +(\theta_{31}+v_1′) (\theta_{30}’+v_0”) +(\theta_{30}+v_0′) (\theta_{31}’+v_1”) \\
&\qquad\qquad +(\theta_{21}-w_1′) (\theta_{20}’-w_0”) +(\theta_{20}-w_0′) (\theta_{21}’-w_1”) \Big) \Big] -p_{x1}=0, \\[1ex]
&m_{y1}-V_{z1} -\frac{\bar E I_y^P}{4} \Big[ (\theta_{31}+v_1′)\phi_0” +(\theta_{30}+v_0′)\phi_1” -4\theta_{21}” \\
&\qquad +\phi_1′(\theta_{30}’+v_0”) +\phi_0′(\theta_{31}’+v_1”) \Big]=0, \\[1ex]
&m_{z1}+V_{y1} +\frac{\bar E I_z^P}{4} \Big[ (\theta_{21}-w_1′)\phi_0” +(\theta_{20}-w_0′)\phi_1” +4\theta_{31}” \\
&\qquad +\phi_1′(\theta_{20}’-w_0”) +\phi_0′(\theta_{21}’-w_1”) \Big]=0, \\[1ex]
&b_{w1}-M_{w1}-\bar E I_\omega^P\psi_1”=0,\\[1ex]
&p_{z1}-AG(\theta_{21}’+w_1”)=0, \\[1ex] &AG(v_1”-\theta_{31}’)-p_{y1}=0, \\[1ex]
&m_{x1}-G(I_y^P+I_z^P) (\psi_1’+\phi_1”)=0. \end{aligned} \right.
\tag{V.B.12}\label{V.B.12} \]

Układ ( \ref{(V.B.12}), będący rozwinięciem pierwszego rzędu układu EQ1, jest dalej nazywany  układem równań statecznościowych. Stanowi on podstawę dalszej redukcji równań dla szczególnych przypadków utraty stateczności, w szczególności zwichrzenia oraz utraty stateczności giętno-skrętnej.

Zwichrzenie – utrata płaskiej postaci zginania belki cienkościennej

Układ równań zwichrzenia

Szczególnym zagadnieniem stateczności cienkościennego pręta jest zwichrzenie, rozumiane jako utrata płaskiej postaci zginania. W zagadnieniu tym występuje sprzężenie zginania w dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyznach ze skręcaniem i spacaniem przekroju. Punktem wyjścia analizy jest układ równań statecznościowych $\mathbf{EQ1}_{\mathrm b}$ określony równaniem (\ref{V.B.12}).

Do dalszej redukcji wykorzystuje się odpowiednie równania układu $\mathbf{EQ1}_{\mathrm b}$ dotyczące zginania względem osi $y$ i $z$, spacania przekroju oraz skręcania. W tab. V.6-1 są one oznaczone odpowiednio jako $EQ1-M_y$, $EQ1-M_z$, $EQ1-B_\omega$ oraz $EQ1-M_x$. Po jednokrotnym różniczkowaniu odpowiednich zależności równowagi otrzymuje się relacje

\[ \frac{dM_y}{dx}=V_z,\qquad \frac{dM_z}{dx}=V_y,\qquad \frac{dB_\omega}{dx}=M_\omega. \tag{V.B.13}\label{V.B.13} \]

Zależności (\ref{V.B.13}) łączy się następnie z odpowiednimi równaniami układu $EQ2$, podanymi w tab. V.6-2. Ich wykorzystanie pozwala eliminować kolejne wielkości pomocnicze i sprowadzać układ do równań zawierających wyłącznie funkcje opisujące zaburzenie oraz wielkości stanu podstawowego.

Stan podstawowy i zaburzenie

W analizie zwichrzenia przyjmuje się jako stan podstawowy płaskie zginanie pręta. Rozpatrywane jest obciążenie $p_z$, działające w kierunku osi $z$, którego skutkiem jest podstawowy moment zginający $M_{y0}(x)$ względem osi $y$. Stan ten stanowi konfigurację odniesienia, względem której przeprowadzana jest linearyzacja pełnego modelu $II$ rzędu. Zgodnie z rozwinięciem względem małego parametru $\varepsilon$, przedstawionym w równaniach (\ref{V.B.1})–(\ref{V.B.5}), wielkości opisujące stan pręta rozdziela się na część podstawową oraz część zaburzenia. Po podstawieniu tych rozwinięć do pełnego układu i zachowaniu wyrazów pierwszego rzędu otrzymuje się układ $\mathbf{EQ1}_{\mathrm b}$, zgodnie z (\ref{V.B.6})–(\ref{V.B.12}).

W dalszej części tego podrozdziału, dla uproszczenia zapisu, pomija się indeks $1$ przy wielkościach zaburzenia. Oznacza to, że symbole $v$, $w$, $\phi$, $\psi$, $M_y$, $M_z$, $B_\omega$ itd. odnoszą się w tym miejscu do składowych pierwszego rzędu, czyli do części statecznościowej $\mathbf{EQ1}_{\mathrm b}$. Wielkości stanu podstawowego, w szczególności $M_{y0}(x)$, zachowują natomiast oznaczenie odróżniające je od składowych zaburzenia. Obecność stanu podstawowego w równaniach statecznościowych wynika z linearyzacji nieliniowych składników modelu $II$ rzędu. W wyrazach pierwszego rzędu wielkości stanu podstawowego występują jako współczynniki przy wielkościach zaburzenia. Stan podstawowy nie jest zatem usuwany podczas linearyzacji, lecz pozostaje parametrem operatora zagadnienia statecznościowego. W konsekwencji równania zwichrzenia zależą zarówno od charakterystyk geometrycznych i materiałowych przekroju, jak i od stanu podstawowego pręta.

Sprzężenie zginania, skręcania i spacania

Zaburzenie prowadzące do zwichrzenia obejmuje boczne przemieszczenie przekroju, skręcanie oraz spacanie. Składowe te są wzajemnie sprzężone. W opisie wykorzystuje się między innymi wielkości związane z momentami $M_y$ i $M_z$, bimomentem $B_\omega$ oraz momentem skręcającym $M_x$. Moment $M_y$ opisuje zginanie względem osi $y$, natomiast $M_z$ zginanie względem osi $z$. Bimoment $B_\omega$ opisuje oddziaływanie związane ze spacaniem przekroju, a $M_x$ jest całkowitym momentem skręcającym. Odpowiadające im równania zostały wcześniej zdefiniowane w tab. V.6-1 jako $(EQ1-M_y)$, $(EQ1-M_z)$, $(EQ1-B_\omega)$ oraz $(EQ1-M_x)$.

W przyjętym stanie podstawowym zasadniczą składową jest moment $M_{y0}(x)$ związany z płaskim zginaniem. Pozostałe wielkości pojawiające się w układzie statecznościowym opisują odpowiedź nałożoną na ten stan. Sprzężenie między tymi składowymi wynika bezpośrednio z linearyzacji pełnego modelu $II$ rzędu. W szczególności składniki drugiego rzędu miary odkształcenia Biota powodują pojawienie się w równaniach pierwszego rzędu wyrazów, w których wielkości stanu podstawowego występują jako współczynniki przy funkcjach zaburzenia. Z tego względu zagadnienie zwichrzenia nie sprowadza się do niezależnych równań zginania i skręcania. Odpowiedź boczna, skręcenie i spacanie są opisane jednym sprzężonym układem równań.

Zlinearyzowany układ zwichrzenia

Po przyjęciu stanu podstawowego odpowiadającego płaskiemu zginaniu i wykorzystaniu układu $\mathbf{EQ1}_{\mathrm b}$ z równania (\ref{V.B.12}), do dalszej redukcji wybiera się równania związane z $M_y$, $M_z$ i $B_\omega$. Po odpowiednim różniczkowaniu prowadzą one do układu

\[ \left\{ EQ2-{M_y},\, EQ2-{M_z},\, EQ2-{B_\omega} \right\}. \tag{V.B.14}\label{V.B.14} \]

Układ (\ref{V.B.14}) nie jest dodatkowym układem równań wprowadzonym niezależnie od $\mathbf{EQ1}_{\mathrm b}$. Powstaje on przez różniczkowanie i odpowiednie przekształcenie wybranych równań $\mathbf{EQ1}_{\mathrm b}$ i służy do eliminacji wielkości pomocniczych. Jego rolą jest przede wszystkim uzyskanie alternatywnych wyrażeń na najwyższe pochodne funkcji obrotu $\theta_2$ i $\theta_3$.

 Redukcja do układu EQ3Z

Redukcja do układu 3 równań zwichrzenia $EQ3Z$  ropzoczyna się od  porównaniu dwóch wyrażeń na $\theta_2”’$ i dwóch wyrażeń na $\theta_3”’$. Jedno z każdego zestawu pochodzi z jednokrotnie zróżniczkowanych równań $EQ1-M_y$ i $EQ1-M_z$, po wykorzystaniu równań równowagi (\ref{V.B.13}). Drugie wynika z odpowiednich równań $EQ2-{M_y}$ i $EQ2-{M_z}$. Dla $\theta_2”’$  oraz $\theta_3”’$ otrzymuje się równania

\[ 2\phi”(x)\left[\theta_3′(x)+v”(x)-H_{3p}\right] +\phi”'(x)\left[\theta_3(x)+v'(x)-T_3\right] +\phi'(x)\left[\theta_3”(x)+v”'(x)-H_{3pp}\right]=0. \]

\[ 8p_y(x)+\bar E I_z^{(P)} \left[ 2\phi”(x)\left(H_{2p}-\theta_2′(x)+w”(x)\right) +\left(T_2-\theta_2(x)+w'(x)\right)\phi”'(x) +\phi'(x)\left(H_{2pp}-\theta_2”(x)+w”'(x)\right) \right]=0. \]

Równania te stanowią pierwszy, pośredni etap redukcji.bo zawierają jeszcze funkcje $\theta_2$ i $\theta_3$, które następnie eliminuje się przy wykorzystaniu pozostałych równań układu statecznościowego. Odrębnie przeprowadza się redukcję równania skręcania. Całkowity moment skręcający rozdziela się zgodnie z relacją $[ M_x=M_V+M_\omega, $ gdzie moment Saint-Venanta i moment wycinkowy mają w układzie $P$ postać

\[ M_V=G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})\phi’, \qquad M_\omega=-\bar E I_\omega^{(P)}\psi’. \]

Jednocześnie równanie dla całkowitego momentu skręcającego ma postać

\[ M_x=G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)}) \left(\psi’+\phi”\right). \]

Po podstawieniu rozdziału $M_x=M_V+M_\omega$ i eliminacji $\psi’$ otrzymuje się

\[ M_x= \frac{ G\left(I_y^{(P)}+I_z^{(P)}\right) \left[ G\phi’ +k_\omega\bar E\,\phi” \right] }{ G+k_\omega\bar E }. \tag{V.B.15}\label{V.B.15} \]

gdzie

\[ k_\omega=\frac{I_\omega^{(P)}}{I_y^{(P)}+I_z^{(P)}}. \tag{V.B.15a}\label{V.B.15a} \]

W ten sposób otrzymuje się trzy zależności, które po dalszej eliminacji funkcji pomocniczych prowadzą do zredukowanego układu

\[ \mathbf{EQ3Z}= \left\{ EQ3Z^{(1)},\, EQ3Z^{(2)},\, EQ3Z^{(3)} \right\}. \tag{V.B.16}\label{V.B.16} \]

W pierwszych dwóch równaniach dalsza redukcja polega na wykorzystaniu równań ścinania i eliminacji $\theta_2’$ oraz $\theta_3’$. Po odpowiednim różniczkowaniu otrzymuje się równania zawierające wyłącznie boczne przemieszczenia $v$, $w$ oraz obrót skrętny $\phi$:

\[ \mathbf{EQ3Z}= \left\{ \begin{aligned}
&4w^{(4)}(x) +T_3\phi”'(x) +2H_{3p}\phi”(x) +H_{3pp}\phi'(x) = \frac{4p_z”(x)}{AG} -\frac{4\left(p_z(x)-m_y'(x)\right)} {\bar E I_y^{(P)}}, \\[6pt]
&4v^{(4)}(x) +T_2\phi”'(x) +2H_{2p}\phi”(x) +H_{2pp}\phi'(x) = \frac{4p_y”(x)}{AG} -\frac{4\left(p_y(x)+m_z'(x)\right)} {\bar E I_z^{(P)}}, \\[6pt]
&\frac{ G\left(I_y^{(P)}+I_z^{(P)}\right) \left[ G\phi'(x)+k_\omega\bar E\,\phi”(x) \right] }{ G+k_\omega\bar E } =m_x(x).
\end{aligned} \right. \tag{V.B.17}\label{V.B.17} \]

gdzie $k_\omega$ (\ref{V.B.15a}). 

Układ (\ref{V.B.17})stanowi zredukowaną postać równań statecznościowych dla zwichrzenia cienkościennego pręta. Jego szczególną cechą jest zachowanie sprzężenia pomiędzy dwoma kierunkami zginania, skręcaniem oraz spacaniem przekroju. Równania nie opisują zatem niezależnych mechanizmów utraty stateczności, lecz wzajemnie powiązane składowe jednego stanu zaburzenia.

Ogólność układu polega nie na jednej szczególnej postaci obciążenia, lecz na tym, że powstaje  przez linearyzację pełnego modelu $II$ rzędu względem dowolnie przyjętego stanu podstawowego, przy zachowaniu składowych tego stanu, które wpływają na równania pierwszego rzędu. Przypadek płaskiego zginania od obciążenia $p_z$ jest jednym z takich przypadków i służy do wyprowadzenia klasycznego układu równań zwichrzenia.Istotną cechą układu jest również możliwość uwzględnienia niesymetrycznego rozkładu charakterystyk geometrycznych przekroju. W przypadku przekroju cienkościennego wielkości związane ze zginaniem, skręcaniem i spacaniem są wzajemnie sprzężone przez charakterystyki geometryczne przekroju. Po przejściu do układu głównego część sprzężeń geometrycznych może zostać wyeliminowana, lecz nie oznacza to zaniku sprzężenia mechanicznego pomiędzy zginaniem, skręcaniem i spacaniem. To ostatnie wynika z równań modelu $II$ rzędu oraz ze stanu podstawowego pręta. Układ zachowuje również rozróżnienie pomiędzy momentem Saint-Venanta i momentem wycinkowym. W równaniu (\ref{V.B.17}) oba mechanizmy występują w sposób jawny poprzez sztywności $G(I_y^{(P)}+I_z^{(P)})$ oraz $\bar E I_\omega^{(P)}$. Dzięki temu zredukowane równanie skręcania nie wymaga przyjmowania z góry, że skręcanie ma charakter wyłącznie swobodny albo wyłącznie wycinkowy. Oba mechanizmy są uwzględniane jednocześnie.

Zakres stosowalności i uogólnienie zagadnienia zwichrzenia

Zredukowany układ (\ref{V.B.17}) opisuje zagadnienie stateczności cienkościennego pręta w zakresie szerszym niż klasyczne przypadki zwichrzenia rozpatrywane w literaturze. Różnica dotyczy przede wszystkim zakresu przyjętych założeń dotyczących geometrii przekroju, stanu podstawowego oraz sposobu obciążenia.

Jednym z najbardziej ogólnych ujęć teoretycznych zagadnienia zwichrzenia jest model przedstawiony przez Mohri, Brouki i Rotha. Autorzy formułują równania dla cienkościennego pręta o otwartym przekroju, uwzględniające sprzężenie zginania, skręcania i spacania. W dalszej części pracy analizę ograniczają jednak do przekrojów monosymetrycznych. Dla tak określonej klasy przekrojów rozpatrywane są następnie wybrane schematy statyczne prętów oraz określone przypadki obciążenia. W szczególności analizowane są obciążenia związane z momentami $M_y$, $M_z$, obciążeniem poprzecznym $p_x$ oraz siłą osiową $N$, zależnie od rozpatrywanego przypadku.

W naszym modelu ograniczenie do przekroju monosymetrycznego nie jest wprowadzane. Charakterystyki geometryczne przekroju pozostają ogólne, a ich wartości wynikają z wcześniej zdefiniowanego opisu przekroju cienkościennego. Nie zakłada się również z góry zaniku określonych charakterystyk sprzęgających. Dzięki temu model obejmuje zarówno przekroje symetryczne i monosymetryczne, jak i przekroje niesymetryczne, dla których sprzężenia pomiędzy zginaniem, skręcaniem i spacaniem pozostają obecne.

Drugim rozszerzeniem jest sposób określenia stanu podstawowego. W naszym ujęciu równania statecznościowe są otrzymywane przez linearyzację pełnego modelu $II$ rzędu względem przyjętego stanu podstawowego. Nie jest więc konieczne ograniczenie tego stanu do jednego z góry określonego schematu obciążenia. W zależności od przyjętego przypadku w stanie podstawowym mogą występować różne składowe sił przekrojowych, a ich wpływ pozostaje w równaniach zaburzenia poprzez człony wynikające z linearyzacji geometrycznej. Dotyczy to w szczególności siły osiowej $N$. Jeżeli siła osiowa występuje w stanie podstawowym, jej wpływ na stateczność nie musi być wprowadzany jako oddzielna modyfikacja klasycznego równania zwichrzenia. Wynika on bezpośrednio z pełnego modelu $II$ rzędu i jego linearyzacji. W ten sam sposób w równaniach mogą pozostać wpływy innych sił i momentów przekrojowych obecnych w stanie podstawowym.

Kolejną cechą modelu jest brak konieczności ograniczania obciążenia do pojedynczej składowej. Równania mogą być stosowane do stanów, w których jednocześnie występują siły osiowe, siły poprzeczne oraz momenty zginające i skręcające. Szczególny przypadek płaskiego zginania od obciążenia $p_z$, wykorzystany do wyprowadzenia (\ref{V.B.24})–(\ref{V.B.17}), jest zatem jednym z możliwych stanów podstawowych, a nie ograniczeniem całego modelu. Ogólność opisu wynika również z zachowania niezależnych funkcji kinematycznych związanych z obrotem przekroju i skręcaniem. Nie przyjmuje się z góry związku $\psi=\phi’$. Pozwala to zachować w modelu dodatkową strukturę kinematyczną, która w klasycznych sformułowaniach może być ograniczana przez przyjęte założenia dotyczące skręcania i spacania.

Zakres modelu można zatem scharakteryzować przez trzy podstawowe poziomy uogólnienia.

• przekrój niesymetryczny 
• dolomny przypadek obciążenia.
• uogólniona teoria pręta cienkościennego (deplanacja i obrót przkroju sa niezależnee)

Przypadki analizowane w literaturze, w tym schematy rozpatrywane przez Mohri, Brouki i Rotha dla określonych przekrojów, schematów statycznych i rodzajów obciążenia, mogą być traktowane jako szczególne przypadki prezentoanego modelu.

Preztowane podejscie pozwala oddzielić równania wynikające z ogólnej teorii cienkościennego pręta od ograniczeń wprowadzanych dopiero przy rozpatrywaniu konkretnego przypadku zwichrzenia. Dzięki temu ten sam układ może stanowić podstawę analizy różnych kombinacji zginania, skręcania, siły osiowej i obciążeń poprzecznych, bez konieczności ponownego formułowania teorii dla każdego schematu statycznego.

Wpływ obciązenia  zewnętrznego na postać równań zwichrzenia

Postać układu zależy od przyjętego stanu podstawowego. Wielkości występujące w stanie podstawowym pojawiają się w równaniach zaburzenia jako współczynniki przy funkcjach i ich pochodnych. W przypadku podstawowego płaskiego zginania są one związane przede wszystkim z rozkładem momentu $M_{y0}(x)$. Jeżeli stan podstawowy obejmuje również inne siły przekrojowe, ich wpływ pozostaje w zlinearyzowanych równaniach statecznościowych i zmienia operator zagadnienia zwichrzenia. W szczególności model nie ogranicza się do przypadku obciążenia wywołującego wyłącznie moment zginający. Jeżeli w stanie podstawowym występuje siła osiowa $N_0(x)$, jej wpływ na stateczność wynika z członów drugiego rzędu, które po linearyzacji względem stanu podstawowego tworzą człony geometrycznej sztywności układu. Siła osiowa może zatem modyfikować warunek stateczności zwichrzenia, ponieważ oddziałuje na zaburzenia boczne, skrętne i spacające poprzez stan naprężenia istniejący przed utratą stateczności. W konsekwencji układ zwichrzenia powinien być traktowany jako układ zależny od pełnego stanu sił przekrojowych w stanie podstawowym, a nie wyłącznie od momentu zginającego. Analogicznie wpływ mogą wywierać inne siły przekrojowe obecne w stanie podstawowym, jeżeli ich udział zachowuje się w linearyzacji pierwszego rzędu. Ostateczna postać operatora statecznościowego zależy więc od tego, które składowe stanu podstawowego są niezerowe oraz od sposobu ich rozkładu wzdłuż osi pręta. Dla obciążenia zmiennego wzdłuż długości współczynniki układu są na ogół funkcjami $x$, co prowadzi do zagadnienia różniczkowego o zmiennych współczynnikach.

Dla najczęściej spotykanych w praktyce obciążeń poprzecznych pręta modelowanych obciążeniami co najwyżej liniowymi:
$p_z(x)=p_{zA}+\frac{p_{zB}-p_{zA}}{L}x, \, p_y(x)=p_{yA}+\frac{p_{yB}-p_{yA}}{L}x.$
mamy \(p_z”(x)=p_y”(x)=0\). Wtedy układ (V.B.17) przyjmuje postać:

\[ \mathbf{EQ3Z}= \left\{ \begin{aligned}
&4w^{(4)}(x) +T_3\phi”'(x) +2H_{3p}\phi”(x) +H_{3pp}\phi'(x) = -\frac{4\left(p_z(x)-m_y'(x)\right)} {\bar E I_y^{(P)}}, \\[6pt]
&4v^{(4)}(x) +T_2\phi”'(x) +2H_{2p}\phi”(x) +H_{2pp}\phi'(x) = -\frac{4\left(p_y(x)+m_z'(x)\right)} {\bar E I_z^{(P)}}, \\[6pt]
&\frac{ G\left(I_y^{(P)}+I_z^{(P)}\right) \left[ G\phi'(x)+k_\omega\bar E\,\phi”(x) \right] }{ G+k_\omega\bar E } =m_x(x).
\end{aligned} \right. \tag{V.B.17a}\label{V.B.17a} \]

Ponadto momenty skupione występują tylko w określonych przekrojach pręta. Jeżeli w przekroju $x=x_0$ działa moment skupiony, to równania różniczkowe rozpatruje się odcinkowo. Poza punktami przyłożenia momentów mamy $ m_y'(x)=m_z'(x)=0.$ Dla obciążeń poprzecznych liniowo zmiennych układ (\ref{V.B.17}) przyjmuje więc wewnątrz każdego odcinka postać

\[ \mathbf{EQ3Z}= \left\{ \begin{aligned} &4w^{(4)}(x) +T_3\phi”'(x) +2H_{3p}\phi”(x) +H_{3pp}\phi'(x) = -\frac{4p_z(x)}{\bar E I_y^{(P)}}, \\[6pt]
&4v^{(4)}(x) +T_2\phi”'(x) +2H_{2p}\phi”(x) +H_{2pp}\phi'(x) = -\frac{4p_y(x)}{\bar E I_z^{(P)}}, \\[6pt]
&\frac{ G\left(I_y^{(P)}+I_z^{(P)}\right) \left[ G\phi'(x)+k_\omega\bar E\,\phi”(x) \right]}{ G+k_\omega\bar E } =m_x(x).
\end{aligned} \right., \qquad x\neq x_0. \tag{V.B.17c}\label{V.B.17c} \]

W przekroju $x=x_k$ przyłożenie momentu skupionego uwzględnia się przez odpowiedni warunek skoku siły przekrojowej. Dla momentu $M_0$ względem osi $y$ lub $z$ odpowiednio:
$ M_y(x_k^+)-M_y(x_0^-)=-M_k, \, M_z(x_k^+)-M_z(x_0^-)=-M_k,$

Momenty skupione przy podporach końcowych nie tworzą wewnętrznych punktów skoku. Ich wartości wprowadza się bezpośrednio do warunków brzegowych. Dotyczy to w szczególności momentów podporowych $M_A$ i $M_B$ w schematach $S2$ i $S3$; wewnątrz pręta mamy wówczas $m_y'(x)=0$. Jeżeli natomiast moment skupiony działa wewnątrz przęsła, rozwiązanie należy konstruować odcinkami, zapewniając ciągłość tych wielkości kinematycznych, które nie mają w punkcie $x_0$ skoku, oraz odpowiedni warunek skoku dla siły przekrojowej sprzężonej z przyłożonym momentem.

Formalnie moment skupiony można również reprezentować za pomocą funkcji Diraca, $m_y(x)=M_0\delta(x-x_0),$ co prowadzi do$  m_y'(x)=M_0\delta'(x-x_0).$ Taki zapis jest użyteczny w sformułowaniach dystrybucyjnych, natomiast dla rozwiązania zagadnienia różniczkowego wygodniejszy jest opis odcinkowy z warunkami skoku. W ten sposób obciążenie ciągłe i momenty skupione są traktowane zgodnie z ich rzeczywistym charakterem: obciążenie rozłożone występuje bezpośrednio w równaniach różniczkowych, natomiast momenty skupione wpływają na rozwiązanie poprzez warunki brzegowe lub warunki skoku w przekrojach ich przyłożenia.

Płaski stan podstawowy

Punktem wyjścia do analizy zwichrzenia jest płaski stan podstawowy pręta, w którym obciążenie działa w jednej z głównych płaszczyzn zginania. Dla obciążenia $p_z(x)$ działającego w kierunku osi $z$ przyjmujemy zginanie względem osi $y$. W stanie podstawowym występują zatem siły przekrojowe $ N^{(0)}(x)=n(x),\, M_y^{(0)}(x),\, V_z^{(0)}(x),$ natomiast wielkości związane z bocznym zginaniem, skręcaniem i spacaniem są zerowe.

Równania równowagi stanu podstawowego mają postać  \[ n'(x)=p_x(x),\, {M_y^{(0)}}'(x)=V_z^{(0)}(x),\, {V_z^{(0)}}'(x)=p_z(x),$  a po eliminacji siły poprzecznej $ {M_y^{(0)}}”(x)=p_z(x). $
W rozpatrywanym przypadku bez obciążenia osiowego $p_x(x)=0$ otrzymujemy ponadto $ n'(x)=0.$ a  w przypadku braku rozłożonego obciążenia osiowego $n'(x)=0$, siła osiowa $n(x)$ jest stała na każdym odcinku pręta.  Zwichrzenie jest traktowane jako zaburzenie tego płaskiego stanu. Wprowadza ono boczne przemieszczenie $w(x)$, obrót przekroju $\phi(x)$ oraz spaczenie opisane przez $\psi(x)$. Po linearyzacji pełnych równań modelu $II$ rzędu względem tych wielkości otrzymuje się układ równań statecznościowych, którego współczynniki zależą od sił przekrojowych stanu podstawowego, w szczególności od $n(x)$ i $M_y^{(0)}(x)$.

Płaski stan zwichrzenia pod obciążeniem $p_z$

Płaskie zginanie  względem osi $y$ pod działaniem obciążenia $p_z(x)$ zachodzi  dla $ p_y=0,\, m_x=0,\, m_y=0,\, m_z=0,\, b_\omega=0.$ W stanie podstawowym występują $ N^{(0)}(x)=n(x),\, M_y^{(0)}(x),\, V_z^{(0)}(x),$ natomiast boczne zginanie, skręcanie i spaczanie są składowymi zaburzenia. Równania równowagi stanu podstawowego mają postać

\[ n'(x)=p_x(x),\qquad {M_y^{(0)}}'(x)=V_z^{(0)}(x),\qquad {V_z^{(0)}}'(x)=p_z(x). \]

W przypadku braku rozłożonego obciążenia osiowego $p_x(x)=0$ otrzymujemy $ n'(x)=0, \, {M_y^{(0)}}”(x)=p_z(x).$ Po linearyzacji względem zaburzenia otrzymujemy trzy sprzężone równania odpowiadające bocznemu zginaniu, skręcaniu i spacaniu. Po redukcji do układu $\mathbf{EQ3Z}$, dla $ p_y=0,\qquad m_y’=0,\,m_z’=0, \,p_z”(x)=0,$ otrzymujemy

\[ \mathbf{EQ3Z}= \left\{ \begin{aligned}
&4w^{(4)}(x) +T_3\phi”'(x) +2H_{3p}\phi”(x) +H_{3pp}\phi'(x) = -\frac{4p_z(x)}{\bar E I_y^{(P)}}, \\[6pt]
&4v^{(4)}(x) +T_2\phi”'(x) +2H_{2p}\phi”(x) +H_{2pp}\phi'(x) =0, \\[6pt]
&\frac{ G\left(I_y^{(P)}+I_z^{(P)}\right) \left[ G\phi'(x)+k_\omega\bar E\,\phi”(x) \right] }{ G+k_\omega\bar E } =m_x(x)=0.
\end{aligned} \right. \tag{V.B.17d}\label{V.B.17d} \]

Dla obciążenia liniowo zmiennego mamy $ p_z”(x)=0.$, a jeżeli w rozpatrywanym odcinku nie występują momenty skupione, powyższy układ obowiązuje w całym jego zakresie. Momenty skupione wewnątrz pręta wymagają podziału pręta na odcinki i wprowadzenia odpowiednich warunków skoku, natomiast momenty skupione na podporach końcowych są uwzględniane w warunkach brzegowych.

Wpływ rodzaju przekrorju na postać równań zwichrzenia

Równania (\ref{V.B.17}) zapisano w głównym układzie osi przekroju II rzędu który zaweira ukłąd głowny I rzędu (osie centralne , głóne i znomrlaizowan)  i dotyczy dopwolnego kształtu przkroju. W praktyce  belki lub słupy podlegajaće zwichrzeniu najczęściej wykonywane są z przkroju bisymetrycznego, dl aktórego ukłąd róęnań zwichrzenia (\ref{V.B.17}) ulega istottnemu uproszczenieu. Dla przkropju bisymetrycznego zachodzi: $T_3……

składnikach sprzęgających. Dla płaskiego stanu zginania względem osi $y$, przy obciążeniu $p_z(x)$, układ (\ref{V.B.17}) przyjmuje wówczas odpowiednio uproszczoną postać

\[ \mathbf{EQ3Z}_{\mathrm{bis}}= \left\{ \begin{aligned}
&4w^{(4)}(x) +T_3\phi”'(x) +2H_{3p}\phi”(x) +H_{3pp}\phi'(x) = -\frac{4p_z(x)}{\bar E I_y^{(P)}}, \\[6pt]
&4v^{(4)}(x) +T_2\phi”'(x) +2H_{2p}\phi”(x) +H_{2pp}\phi'(x) =0, \\[6pt]
&\frac{ G\left(I_y^{(P)}+I_z^{(P)}\right) \left[ G\phi'(x)+k_\omega\bar E\,\phi”(x) \right] }{ G+k_\omega\bar E } =0.
\end{aligned} \right. \tag{V.B.17e}\label{V.B.17e} \]

Ważne praktycznie przypadki zwichrzenia belek

Dla oceny przydatności zredukowanego układu $\mathbf{EQ3Z}$ rozpatruje się trzy praktycznie ważne schematy statyczne belek-słupów, przedstawione na rys. V.B.1. Wszystkie schematy dotyczą belki swobodnie podpartej, której końce są zabezpieczone przed odpowiednimi przemieszczeniami bocznymi i skręcaniem. W stanie podstawowym pręt może być jednocześnie zginany i ściskany siłą osiową  $N$. Schemat $S1$ obejmuje równomierne obciążenie poprzeczne $p$ oraz momentem podporowym $\psi M$, przy czym $ -1\leq\psi\leq 1$.  Wartość maksymalnego momentu zginającego w przęśle dla samego obciążenia równomiernego wynosi $ M=\frac{pL^2}{8}.$

Schemat $S2$ odpowiada belce obciążonej momentami skupionymi na podporach, o przeciwnych zwrotach, oraz ściskanej siłą osiową $N$. Schemat $S3$ stanowi przypadek ogólny, będący superpozycją oddziaływania przedstawionego w $S1$ i układu momentów podporowych z $S2$. W konsekwencji rozkład momentu podstawowego $M_{y0}(x)$ może być w tym przypadku niesymetryczny i nie musi być opisany jednym parametrem $\psi$.

Widełkowe podpory belki przedstawiono na rys. V.B.2

Tak zdefiniowane przypadki odpowiadają schematom $E1$, $E2$ i $E3$ stosowanym przez Bijaka (2017) [18]. }. dla klasycznego zagadnienia zwichrzenia belek o przekroju bisymetrycznym. Przy takim uproszczeniu równania różniczkowe pozostają wspólne, natomiast zmieniają się funkcje opisujące stan podstawowy i wynikające z nich współczynniki rozwiązania.Umołziwia to wprowadzadzenie współczynników $C_1$ i $C_2$ będących funkcją rozkładu momentu i obciążenia poprzecznego.   Wpływ siły osiowej został wprowadzony jako rozszerzenie klasycznego warunku zwichrzenia zginanej belki, więc wprowadzenie siły osiowej $N$ nie wymaga tworzenia osobnego równania zwichrzenia. 

Prezentowane trzy schematy stanowią  nie tylko zestaw przypadków porównawczych z literaturą, lecz także praktyczny zestaw testów dla uogólnionego modelu. Schematy $S1$ i $S2$ pozwalają sprawdzić przypadki o prostym rozkładzie momentu podstawowego, natomiast $S3$ stanowi test dla ogólnego, zmiennego wzdłuż długości rozkładu momentu. Jednoczesne uwzględnienie siły osiowej $N$ pozwala dodatkowo sprawdzić zdolność modelu do opisu giętno-skrętnej utraty stateczności belki-słupa. W odróżnieniu od przywołanych rozwiązań dla konkretnych typów przekrojów i schematów statycznych, w niniejszym modelu geometria przekroju oraz stan podstawowy pozostają parametrami ogólnymi. Schemat $S1$–$S3$ jest zatem wyborem warunków obciążenia i stanu podstawowego, a nie ograniczeniem samego modelu. Ponadto można przerprowadzić porówbania przentowanego modelu z wybranymi rozwiązaniami przedtawionymi praz:  Weisas [19],   ,  Trahair i in [20] , . W literaturze podawane są  zależności  analityczne na  moment krytyczny  takich belek, co umożłżiwia oszacowanie  ich nośności stosowną współcześnie  metodą ogółną  [21].

Zwichrzenie belki cienkościennej pod stałym momentem zginającym

Jako pierwszy szczególny przypadek analizy zwichrzenia rozpatruje się belkę cienkościenną o stałych charakterystykach przekroju i stałych właściwościach materiałowych, poddaną działaniu stałego momentu zginającego względem osi $y$.

Sformułowanie problemu

Rozpatruje się prostoliniowy, cienkościenny pręt pryzmatyczny o długości $L$, o stałych charakterystykach geometrycznych przekroju oraz stałych właściwościach materiałowych. Pręt jest obciążony stałym momentem zginającym $M_0$ względem osi $y$. Stan podstawowy odpowiada płaskiemu zginaniu pręta względem tej osi. Sposób podparcia pręta na obu końcach przedstawiono na rys. V.8. Podpory zapewniają ograniczenie odpowiednich przemieszczeń poprzecznych, a podparcie widełkowe wprowadza warunki

\[ \varphi=0,\, w=0. \tag{V.B.18}\label{V.B.18} \]

Rys. V.8 Podpora widełkowa belki cienkościennej

[odpora widełkowa belki cienkościennej](https://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/2026/08/eys_IV.A.1_Podpora-widellkowa.webp) Rys. V.8 Podpora widełkowa belki cienkościennej

Warunek dotyczący spaczenia nie jest utożsamiany bezpośrednio z warunkiem $\psi=0$. Jego postać wynika z odpowiedniego warunku mechanicznego dotyczącego bimomentu albo z dodatkowego założenia przyjętego dla funkcji spaczenia. W stanie podstawowym pręt pozostaje prostoliniowy, a jedynym niezerowym efektem zginania jest stały moment $M_y=M_0$. Siła poprzeczna w płaszczyźnie podstawowego zginania jest równa zeru:

\[ V_{z0}=0,\, M_{y0}=M_0=\mathrm{const}. \tag{V.B.19}\label{V.B.19} \]

Zaburzenie tego stanu obejmuje boczne ugięcie pręta, skręcanie przekroju oraz jego spaczenie. Odpowiadające funkcje kinematyczne oznacza się przez

\[ v_1(x),\, \varphi_1(x),\, \psi_1(x). \tag{V.B.20}\label{V.B.20} \]

Przedmiotem analizy jest warunek utraty stateczności płaskiej postaci zginania, przy którym pojawia się niezerowe rozwiązanie tych funkcji przy zachowaniu równowagi pręta.

Równania rządzące

Dla rozpatrywanego przypadku obciążenia stałym momentem zginającym przyjmuje się

\[ p_z=p_y=p_x=0,\,  m_y=m_z=m_x=b_\omega=0. \tag{V.B.21}\label{V.B.21} \]

Równania równowagi wielkości siłowych mają zatem postać

\[ N’=0,\, M_y’=V_z,\, M_z’=V_y,\, B_\omega’=M_\omega, \,  V_z’=0,\, V_y’=0,\,M_x’=0. \tag{V.B.22}\label{V.B.22} \]

W stanie podstawowym płaskiego zginania względem osi $y$ zachodzi

\[ V_{z0}=0,\, M_{y0}=M_0=\mathrm{const}, \tag{V.B.23}\label{V.B.23} \]

natomiast wielkości związane z bocznym zginaniem, skręcaniem i spaczeniem nie występują Po zastosowaniu metody małego parametru, zgodnie z zasadami przedstawionymi w poprzednim rozdziale, równania równowagi pierwszego rzędu dla składowych zaburzenia przyjmują postać

\[ M_{y1}’=V_{z1},\, M_{z1}’=V_{y1},\, B_{\omega1}’=M_{\omega1}, \, V_{z1}’=0,\, V_{y1}’=0,\,M_{x1}’=0. \tag{V.B.24}\label{V.B.24} \]

W dalszym wyprowadzeniu wykorzystuje się zależności konstytutywne modelu $I+II$ zlinearyzowane względem stanu podstawowego określonego przez

\[ M_{y0}=M_0. \tag{V.B.25}\label{V.B.25} \]

Właśnie w tych zależnościach pojawia się wpływ momentu $M_0$ na równania zaburzenia. Nie jest on dodatkowym obciążeniem, lecz wynika z linearyzacji pełnych zależności siłowych względem stanu podstawowego.

Linearyzacja zależności siłowych

W pierwszym rzędzie względem małego zaburzenia interesują nas zależności dotyczące bocznego zginania, skręcania i spaczenia. Odpowiadające im przyrosty sił przekrojowych oznacza się przez

\[ M_{z1},\, B_{\omega1},\, M_{x1}. \tag{V.B.26}\label{V.B.26} \]

Wielkości te otrzymuje się przez podstawienie rozdzielenia na stan podstawowy i zaburzenie do pełnych zależności konstytutywnych modelu $I+II$ oraz zachowanie składników pierwszego rzędu względem parametru $\varepsilon$. W rezultacie otrzymuje się liniowe zależności

\[ M_{z1}=\mathcal{M}_z \left(v_1,\varphi_1,\psi_1\right), \, B_{\omega1}=\mathcal{B}_\omega \left(v_1,\varphi_1,\psi_1\right), \, M_{x1}=\mathcal{M}_x \left(v_1,\varphi_1,\psi_1\right),
\tag{V.B.27}\label{V.B.27} \]

gdzie prawe strony są liniowymi funkcjami odpowiednich funkcji zaburzenia i ich pochodnych. Ich współczynniki zawierają charakterystyki geometryczne przekroju, właściwości materiałowe oraz wartość momentu podstawowego $M_0$. Po podstawieniu tych zależności do równań równowagi \eqref{V.B.24} otrzymuje się zamknięty układ równań różniczkowych dla funkcji

\[ v_1(x),\, \varphi_1(x),\, \psi_1(x). \tag{V.B.28}\label{V.B.28} \]

Ze względu na stałość $M_0$ oraz stałość charakterystyk przekroju i właściwości materiałowych współczynniki tego układu nie zależą od współrzędnej $x$. Otrzymany układ jest zatem liniowym układem równań różniczkowych o stałych współczynnikach.

Postać układu różniczkowego

Po wyeliminowaniu wielkości siłowych pomocniczych $V_{y1}$, $V_{z1}$ i $M_{\omega1}$ za pomocą równań równowagi oraz po podstawieniu zlinearyzowanych zależności konstytutywnych otrzymuje się układ równań wyłącznie względem funkcji $v_1$, $\varphi_1$ i $\psi_1$. Jest to układ równań różniczkowych opisujący pierwsze przybliżenie zaburzenia prowadzącego do zwichrzenia belki. Wprowadzając wektor

\[ \mathbf q_1(x)= \begin{Bmatrix} v_1(x)\\ \varphi_1(x)\\ \psi_1(x) \end{Bmatrix}, \]

układ można zapisać w postaci

\[ \mathbf L(M_0)\mathbf q_1(x)=\mathbf 0. \tag{V.B.29}\label{V.B.29} \]

Ze względu na stałe charakterystyki przekroju, stałe właściwości materiałowe oraz stały moment podstawowy $M_0$, układ ma stałe współczynniki. W dalszej analizie jego rozwiązanie wyznacza się z uwzględnieniem warunków brzegowych przyjętego schematu podparcia.

Warunki brzegowe

Dla przyjętego podparcia widełkowego na obu końcach pręta warunki kinematyczne dotyczące bocznego przemieszczenia i obrotu przekroju mają postać

\[ v_1(0)=v_1(L)=0, \, \varphi_1(0)=\varphi_1(L)=0.\tag{V.B.30}\label{V.B.30} \]

Warunek dotyczący spaczenia nie wynika bezpośrednio z warunku $\varphi_1=0$. Należy go określić na podstawie warunku mechanicznego dotyczącego bimomentu. Dla końca swobodnego pod względem bimomentu przyjmuje się

\[ B_{\omega1}=0. \tag{V.B.31}}\label{V.B.31}} \]

Po zastosowaniu zlinearyzowanej zależności konstytutywnej warunek ten przyjmuje odpowiednią postać w funkcji $\psi_1$ i jej pochodnych.

Warunek stateczności

Po zastosowaniu warunków brzegowych do rozwiązania układu różniczkowego otrzymuje się jednorodny układ równań algebraicznych względem stałych całkowania. Można go zapisać w postaci

\[ \mathbf C(M_0)\mathbf c=\mathbf 0. \tag{V.B.32}\label{V.B.32} \]

Warunkiem istnienia rozwiązania nietrywialnego jest zatem

\[ \det\mathbf C(M_0)=0. \tag{V.B.33} } \label{V.B.33} \]

Równanie to określa wartości krytyczne momentu zginającego. Najmniejsza wartość odpowiada pierwszej utracie stateczności płaskiej postaci zginania.

Dla analizy zwichrzenia istotne jest wzajemne sprzężenie tych trzech równań. Zginanie w płaszczyźnie związanej z osią \(y\) jest sprzężone ze zginaniem w płaszczyźnie związanej z osią \(z\), a oba te stany są sprzężone ze skręcaniem i spaczeniem przekroju. Dlatego właśnie układ tych trzech równań, a nie pojedyncze równanie zginania, stanowi podstawę opisu zwichrzenia belki cienkościennej.

Alternatywną postać tych samych zależności otrzymuje się na poziomie obciążeń rozłożonych przez formalne zróżniczkowanie równań poziomu S. W szczególności:

\[ \frac{d^2M_y}{dx^2} = \frac{dV_z}{dx} = p_z, \,\frac{d^2M_z}{dx^2} = \frac{dV_y}{dx} = p_y, \,\frac{d^2B_\omega}{dx^2} = \frac{dM_\omega}{dx} = m_\omega.
\tag{V.31x} \label{V.31x}\]

Redukcję równań równowagi do postaci właściwej dla zagadnienia zwichrzenia przeprowadza się względem określonego stanu podstawowego, odpowiadającego płaskiej postaci zginania pręta. Wielkości występujące w równaniach rozdziela się na składowe stanu podstawowego oraz małe przyrosty związane z zaburzeniem. Po podstawieniu tego rozdzielenia do równań równowagi i odrzuceniu składników wyższych rzędów względem wielkości zaburzenia otrzymuje się zlinearyzowany układ równań zwichrzenia. Współczynniki tego układu zależą od wielkości występujących w stanie podstawowym, w szczególności od siły osiowej i momentów zginających. Dla określonego przypadku obciążenia układ ten wraz z odpowiednimi warunkami brzegowymi stanowi zagadnienie wartości własnej. Wartość parametru obciążenia odpowiadająca niezerowemu rozwiązaniu wyznacza obciążenie krytyczne zwichrzenia.
Redukcję przeprowadza się dla określonego przypadku obciążenia, który pozwala jednoznacznie określić stan podstawowy oraz wielkości mogące wystąpić jako zaburzenia prowadzące do zwichrzenia. W dalszej części redukcję przeprowadzono na poziomie S, a następnie, w celu uzyskania równoważnej postaci, na poziomie F.

Redukcja równań zwichrzenia dla obciążenia \(q_z\)

Częstym  przypadkiem jest belka poddana działaniu wyłącznie rozłożonego obciążenia \(q_z\), działającym w kierunku osi \(z\). Pozostałe obciążenia rozłożone przyjmuje się równe zeru. Stan podstawowy odpowiada płaskiemu zginaniu belki, natomiast zaburzenie prowadzące do zwichrzenia obejmuje boczne ugięcie, skręcanie oraz spaczenie przekroju. Stan podstawowy określa równanie na poziomie sił przekrojowych 

\[ \frac{d^2M_y}{dx^2} = \frac{dV_z}{dx} = q_z. \tag{V.32x}\label{V.32x} \]

Do wyprowadzenia równań zwichrzenia wykorzystuje się równania poziomu S \(V.S2\), \(V.S3\) i \(V.S4\). Wielkości występujące w tych równaniach rozdziela się na wartości stanu podstawowego i małe zaburzenia. Po podstawieniu oraz odrzuceniu składników wyższych rzędów otrzymuje się liniowy układ równań opisujący zaburzenie płaskiej postaci zginania.

Dla przyjętego przypadku obciążenia układ zwichrzenia obejmuje równania odpowiadające zginaniu względem osi \(z\), zginaniu względem osi \(y\) oraz skręcaniu ze spaczaniem.  Wraz z warunkami brzegowymi układ ten stanowi zagadnienie wartości własnej. Wartość parametru obciążenia, dla której występuje niezerowe rozwiązanie, określa obciążenie krytyczne zwichrzenia.

Wyboczenie skrętne oraz giętno-skrętne

 

 

Literatura

1. Własow W. Z., „Кручение и устойчивость тонкостенных открытых профилей”, Строительная промышленность, 1938, nr 6, s. 49–53; nr 7, s. 55–60
2. Własow W. Z., „Тонкостенные упругие стержни: Прочность, устойчивость, колебания”, Moskwa–Leningrad, Государственное издательство строительной литературы, 1940
3. Ponomariow S. D., Biderman W. L., Lichariow K. K. i in., „Основы современных методов расчета на прочность в машиностроении”, t. II: „Расчеты при динамической нагрузке. Устойчивость. Ползучесть”, Moskwa, Машгиз, 1952
4. Bažant Z. P., El Nimeiri M., „Large-Deflection Spatial Buckling of Thin-Walled Beams and Frames”, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, 99(6), 1973, s. 1259–1281
5. Tso W. K., Ghobarah A. A., „Nonlinear non-uniform torsion of thin-walled beams”, International Journal of Mechanical Sciences, 13(12), 1971, s. 1039–1047
6. Attard M. M., „Nonlinear Theory of Non-Uniform Torsion of Thin-Walled Open Beams”, Thin-Walled Structures, 4, 1986, s. 101–134
7. Crisfield M. A., „A Consistent Co-Rotational Formulation for Non-Linear, Three-Dimensional, Beam-Elements”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 81, 1990, s. 131–150
8. Hsiao K. M., „Corotational Total Lagrangian Formulation for Three-Dimensional Beam Element”, AIAA Journal, 30(3), 1992, s. 797–804
9. Ronagh H. R., Bradford M. A., „Non-Linear Analysis of Thin-Walled Members of Open Cross-Section”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 46, 1999, s. 535–552
10. Bijak R., Chodor L., Kołodziej G., „Zakrzywione pręty cienkościenne o przekroju bisymetrycznym”, Journal of Civil Engineering, Environment and Architecture, t. XXXIV, z. 64 (3/I/17), 2017, s. 583–594, DOI: 10.7862/rb.2017.148
11. Bijak R., „Giętno-skrętna utrata stateczności podpartych widełkowo i obciążonych mimośrodowo słupów dwuteowych”, Journal of Civil Engineering, Environment and Architecture, t. XXXIV, z. 64 (3/I/17), 2017, s. 461–470, DOI: 10.7862/rb.2017.138
12. Pan W.-H., Zhao C.-H., Tian Y., Lin K.-Q., „Exact Solutions for Torsion and Warping of Axial-Loaded Beam-Columns Based on Matrix Stiffness Method”, Nanomaterials, 12(3), 2022, 538, DOI: 10.3390/nano12030538
13. Wang C. M., Wang C. Y., Reddy J. N., „Exact Solutions for Buckling of Structural Members”, CRC Press, Boca Raton, 2004
14. Ekhande S. G., Selvappalam M., Madugula M. K. S., „Stability functions for three-dimensional beam–columns”, Journal of Structural Engineering, 115, 1989, s. 467–479
15. Pugachev V. S. (1984). Probability Theory and Mathematical Statistics for Engineers. Pergamon Press
16. Mohri F., Brouki A., Roth, J.C. Theoretical and numerical stability analyses of unrestrained, monosymmetric thin-walled beams, J. of Constructional Steel Research 59: 63–90, 2003
17. Bijak R., The lateral buckling of simply supported unrestrained bisymmetric I-shape beams, Archives of Civil Engineering 2015;61(4):127-140
18. Bijak R., Giętno-skrętna utrata stateczności podpartych widełkowo i obciążonych mimośrodowo słupów dwuteowych,  Czasopismo inżynierii lądowej, środowiska i architektury/ Journal of Civil Engineering, Environment and Architecture, JCEEA, t. xxxiv, z. 64 (3/i/17), lipiec-wrzesień 2017, s. 461-470,
19. Weiss S.: Uwagi w sprawie kryterium stateczności w przypadku zgięcia pręta cienkościennego, Archiwum Inżynierii Lądowej, XV(3), 1969, s. 623-40.
20. Trahair N.S., Bradford M.A., Nethercot D.A., Gardner L.: The behaviour and design of steel structures to EC3, Furth edition, Taylor & Francis, London and New York, 2008.
21. Papp F., Rubert A., Szalai J.: DIN EN 1993-1-1-konforme integrierte Stabilitätsanalysen für 2D/3D-Stahlkonstruktionen (Teil 1), Stahlbau 83(1), 2014, s. 1-15.

________________________________