Płyty żelbetowe są podstawowym elementem konstrukcyjnym, a są stosowane przede wszystkim na stropy w budynkach mieszkalnych, usługowych i innych. Układ konstrukcyjny płyty i jej żeber oraz podciągów powinien wynikać z siatki funkcjonalnej słupów, wymogów architektonicznych (np wymagany strop płaski bez żeber), a na końcu z warunku optymalności konstrukcyjnej – prawidłowego doboru sprzężonych parametrów: grubości płyty, wysokości belek i ilości zbrojenia.
Większość wymogów konstrukcyjnych dla płyt jest tożsama z wymogami dla belek żelbetowych, opisanych w artykule Belki żelbetowe. W szczególności dotyczy to obliczania zbrojenia głównego (podłużnego), który dokonujemy arkuszem kalkulacyjnym LCżelbet. Arkusz można pobrać poprzez kliknięcie na rys.1 artykułu „Belki żelbetowe”. Wymogi dla płyt i belek są takie same również w zakresie: kotwienia prętów, pełzania betonu, zbrojenia minimalnego i maksymalnego.
Współcześnie ważnym typem płyt żelbetowych, stosowanym najczęściej dla płyt ułożonych na podłożu odkształcalnym (gruncie) są płyty fibrobetonowe, czyli betonowe zbrojone włóknem rozproszonym. Projektowanie płyt z fibrobetonu jest odmienne od płyt żelbetowych zbrojonych prętami stalowymi i jest opisane w rozdziale.
Konstrukcja płyty
Rozpiętość obliczeniowa płyty
Długość płyty rozpiętej nad pomieszczeniem w świetle murów $l_ś$ można wyznaczyć w sposób przyjęty dla belek żelbetowych i pokazany na rys. 1 artykułu „Belki żelbetowe-Kształtowanie„. W przypadku oparcia stropu na ścianach o grubości $t_l$ i $t_r$ z lewej i prawej strony odpowiednio (rys.1 niniejszego artykułu) rozpiętość obliczeniową płyty $l_d$ wylicza się z zależności:
$$\begin{equation} l_d=l_ś+ a_l+a_r \label{1} \end{equation}$$
gdzie: $a_l=1/2 \cdot min (h \, , t_l)$, $a_r=1/2 \cdot min (h \, , t_r )$
Układ zbrojenia płyty
W zależności od układu zbrojenia wyróżnia się płyty jedno- i dwu-kierunkowo (krzyżowo) zbrojone. Układ zbrojenia dobiera się w zależności od kształtu płyty. Dla płyty prostokątnej o bokach $l_x \times l_y$ podpartej na obwodzie, przyjmuje się:
1) przy $l_x \ge 2\cdot l_y$ – zbrojenie jednokierunkowe równoległe do boku krótszego $l_y$ – przykład na rys. 1
2) przy $l_x \approx l_y$ – zbrojenie krzyżowe, to znaczy zbrojenie nośne układane jest w obu prostopadłych kierunkach ,
Rys. 1 Przykład płyty żelbetowej
Na rys.1 zastosowano mieszany system zobrazowania prętów zbrojeniowych: 1) za pomocą kodów kształtów i jednocześnie 2) za pomocą pokazania figur zbrojeniowych. W przykładzie nie dostosowano się więc do podstawowej zasady rysunkowej – NIE powtarzania tych samych informacji. W praktyce NIE należy stosować takiego nadmiarowego systemu podawania informacji na rysunkach, a obowiązkowo stosować zalecany w Europie system kodów kształtów., którego zaletą jest zwiększenie czytelności rysunku żelbetu, a także typizacji prętów zbrojeniowych. Więcej informacji o systemie kodów kształtów można znaleźć w artykule Standard rysunku warsztatowego konstrukcji żelbetowych. „Wydawanie” figur zbrojeniowych dopuszcza się jedynie w przypadku braku kodu kształtu dla pręta – w tym przypadku jednak mamy najczęściej z błędem projektowo-wykonawczym i należy zastanowić się, czy nie zastosowano zbyt złożonej figury zbrojeniowej i czy nie można jej zastąpić złożeniem prostych prętów.
Rozpiętość miarodajna płyty
Zależność pomiędzy strzałką ugięcia płyty $f$ i jej rozpiętością $l$ można zapisać w postaci:
$$\begin{equation} f= \alpha \cdot l^4 \label{2} \end{equation}$$
gdzie współczynnik $\alpha$ zależy od grubości i obciążenia płyty. Dla płyt wykonanych z tego samego materiału, o takiej samej grubości i tak samo obciążonych można przyjąć, że współczynnik $\alpha = const$. Korzystając z zależności $( \ref{2})$ dla dwóch płyt „1” i „0” o różnych warunkach brzegowych lub wymiarach w planie , otrzymujemy:
$$\begin{equation} l_{ef,1}=l_{ef,0} \cdot \left( \cfrac{f_1}{f_0} \right)^{1/4} \label{3} \end{equation}$$
Długość efektywną płyty wyznaczymy z ogólnej zależności:
$$\begin{equation} l_{ef}= s \cdot l_{min} \label{4} \end{equation}$$
gdzie $l_{min}$ jest krótszym bokiem prostokątnego pola płyty, a $s$ jest współczynnikiem długości efektywnej, który poniżej został wyznaczony dla najczęściej spotykanych schematów płyt
Płyta swobodnie podparta na obwodzie
Rys. 2. Płyta prostokątna oparta przegubowo
W przypadku płyty swobodnie (przegubowo podpartej na obwodzie za wzorcowa płytę „0” przyjmiemy płytę prostokątną o bardzo długim boku $l_x$ w stosunku do $l_y$, to znaczy przy stosunku boków $s=l_x/l_y=∞$ . Dla takiej płyty długością efektywną $l_{eff}$ jest krótszy bok $l_{min}$:
$$\begin{equation} l_{min}= min \{l_x\quad , l_y \} \label{5} \end{equation}$$
to znaczy współczynnik długości efektywnej $s=1$.
Dla płyt o innych stosunkach boków współczynniki długości efektywnej $s<1$ zestawiono w tab.1. Dla płyty kwadratowej współczynnik ten wynosi 0,712, a dla płyt o stosunku boków większym od 3 jest praktycznie równy 1,0. Wartości w tab.1 wyliczono na podstawie zależności $(\ref{3})$ poprzez wielokrotne rozwiązywanie płyt o różnych stosunkach boków.
Tab. 1 Współczynnik długości efektywnej płyty podpartej przegubowo na obwodzie (rys.2)
Płyta oparta punktowo w narożach
Dla płyt opartych punktowo w narożach współczynnik długości efektywnej $s$ zestawiono w tab.2.
Tab. 2 Współczynnik długości efektywnej płyty podpartej punktowo w narożach
Współczynnik „s” w tab.2 jest odniesiony do bardzo długiej płyty prostokątnej podpartej przegubowo na obwodzie (tab.1 ostatnia kolumna). Dla większych stosunków boków $l_x/l_y > 2$ zaleca się przyjmować $s=l_x/l_y$, czyli długością miarodajną płyty jest długość większego boku. Oznacza to, że taki przypadek dobrze będzie aproksymowany projektem belki o długości równej odległości między słupami $l_x$. Strefa podporowa wymaga analizy lokalnej ze szczególnym uwzględnieniem ścinania przez przebicie.
Płyta wieloprzęsłowa
Płyta wieloprzęsłowa podparta punktowo na słupach w węzłach jest często występującym przypadkiem. Dla płyt wieloprzęsłowych współczynnik długości efektywnej zestawiono w tab.3. Współczynnik „s” w tab. 3 jest również odniesiony do bardzo długiej płyty prostokątnej podpartej przegubowo na obwodzie (tab.1 ostatnia kolumna)
Przykład dla odczytania współczynników długości efektywnej z tab.3 podano na rys. 3.
Tab. 3 Współczynnik długości efektywnej płyty wieloprzęsłowej
Rys.3 Współczynnik „s” długości efektywnej dla płyty o 2. nawach i 3. polach
Dla płyt wspornikowych długość $l_{ef} $ można przyjąć jako podwojony wysięg, czyli $s=2$.
Grubość płyty
Grubość płyty h przyjmuje się wstępnie na podstawie jej długości efektywnej $(\ref{4})$ jako cześć jej długości. Zaleca się
$$\begin{equation} h \approx \dfrac{l_{ef}}{30} \label {6} \end{equation}$$
Sprawdzenie tak przyjętej grubości płyty i ewentualnie jej korektę dokonuje się z warunków wytrzymałości dla stanów granicznych: nośności, ugięcia oraz ścinania przy przebiciu.
Minimalna grubość płyty jest konsekwencją technologii wykonania i wynika z warunku zmieszczenia we wnętrzu płyty krzyżującego się zbrojenia górnego i dolnego oraz wymaganego otulenia płyty oraz minimalnej odległości pomiędzy zbrojeniem, wynikającej z warunków ogólnych ( max { $20 \, mm \, ; \, ∅_{max} \, ; \, d_g+5 \, mm$ }) ($∅_{max}$ – maksymalna średnica pręta, $d_g$ – średnica największego ziarna hruszywa).
Na przykład dla zbrojenia nośnego górą i dołem ∅x=16 mm i rozdzielczego ∅y=10 mm, otulenia c=30 mm, kruszywa 0/8 – minimalna grubość płyty wynosiłaby $h=2 \cdot (16+10+30)+\max \{ 20 \,;\, 16 \, ; \, 8+5 \} = 132 \,mm$.
Minimalny i maksymalny stopień zbrojenia
Minimalny stopień zbrojenia dotyczy wszystkich stref płyty, które nie są stale ściskane. Podobnie jak w belkach zbrojenie minimalne wynika z warunku kruchego pękania betonu lub zarysowania i zostało omówione w artykule. Belki. Minimalne i maksymalne zbrojenie
Maksymalny rozstaw zbrojenia i zbrojenie rozdzielcze
W zależności od grubości płyty $h$ maksymalny rozstaw zbrojenia $s_{max}$ wynosi
- w obszarach maksymalnych momentów i w takich, w których występują sił skupione:
$$\begin{equation} s_{max}=\begin {cases}
2h \quad i \quad \ge 250 \, mm, & \text {dla zbrojenie głównego (nośnego)} \\
3h \quad i \quad \ge 400 \, mm , & \text {dla zbrojenie drugorzędnego (rozdzielczego) }
\end {cases} \label{7}\end{equation}$$
- w pozostałej części płyty:
$$\begin{equation} s_{max}=\begin {cases}
3h \quad i \quad \ge 400 \, mm, & \text {dla zbrojenie głównego (nośnego)} \\
3,5h \quad i \quad \ge 450 \, mm , & \text {dla zbrojenie drugorzędnego (rozdzielczego) }
\end {cases} \label{8}\end{equation}$$
Zaleca się, by zbrojenie rozdzielcze w płytach jednokierunkowo zbrojonych nie było mniejsze niż 20% zbrojenia głównego.
Przykład zastosowania powyższych zaleceń pokazano na rys.1.
Krawędzie swobodne płyty i doprowadzenie zbrojenia do podpory
Zbrojenie krawędzi swobodnych
Znamienny dla płyty jest wymóg zbrojenia krawędzi swobodnych wkładkami U w sposób pokazany na rys.4, oraz dozbrajanie krawędzi z wieńcem w sposób pokazany na rys,.5.
Rys. 4. Płyta żelbetowa. Zbrojenie krawędzi, wg. rys. 22.16 [1]
W przypadku zakończenia brzegu płyty wieńcem, na skutek zmiany sztywności, wystąpi niewielkie skręcanie płyty na długości ok. $0,2 \cdot l_d$. W takim przypadku do żebra należy doprowadzić min 50% przęsłowego zbrojenia i dolnego górnego kotwionego zgodnie z rys. 5.
Rys. 5. Zbrojenie wieńca swobodnego brzegu płyty [2]
Wymóg doprowadzania zbrojenia do podpory
W płytach swobodnie podpartych przynajmniej 50% zbrojenia w przęśle należy doprowadzić do podpór i tam zakotwić.
Zbrojenie naroży płyty
Na rys. 6 pokazano mapy zbrojenia płyty kwadratowej opartej na przegubowo obwodzie.
Rys. 6. Mapy zbrojenia płyty podpartej przegubowo na obwodzie
W narożach płyty potrzebne jest zbrojenie zarówno dołem jak i górą. Zasięg strefy wymaganego zbrojenia góra wynosi ok 500 mm przy wymiarach płyty 6275×5675, czyli ok a/10 (a- bok płyty) . Potrzeba tego zbrojenia wynika ze skręcania płyty w narożach.
Na rys. 7 pokazano rozkład płytowych momentów skręcających $m_{xy}$
Rys.7 Mapa płytowych momentów skręcających
Na skutek skręcania naroży płyty wymagają one dodatkowego zbrojenia. Na rys. 8 przedstawiono zbrojenie tej płyty zaprezentowane w pracy [3] . Z porównania proponowanego zbrojenia i wymaganego – należy stwierdzić, że obszar zbrojenia 8×150=1200 mm jest zbyt duży, a także to, że zbrojenie dodatkowe wymagane jest górą i dołem, a dano tylko dołem. Średnica zbrojenia powinna być ∅10.
Rys. 8 Zbrojenie naroży płyty z rys. 4 [3]
Z powyższego przykładu wynika zalecenie, by naroża płyty zbroić zbrojeniem w układzie pokazanym na rys. 7, ale górą i dołem, na długości a/10+3 pręty (a-bok płyty). Stosować pręty o średnicy równej średnicy zbrojenia głównego.
Ścinanie płyty przez przebicie
Nad podporami i w miejscu występowania znacznych sił skupionych (rozłożonych na małej powierzchni płyty) może wystąpić mechanizm ścięcia płyty przez przebicie i wówczas należy dodatkowo płytę zbroić zgodnie z wytycznymi zawartymi w artykule Przebicie płyty żelbetowej.
Szerokość współpracująca belki z żebrami
Płyty z żebrami często ropatruje się jak belki o przekroju teowym z pasami stanowiaćymi wspólpracująće części płyty.
Wymagania pożarowe
Minimalne grubości i otulenie płyty są limitowane ze względu na wymagania pożarowe . Często są one decydujące.
W tab.4 podano minimalne grubości płyt oraz minimalne otulenia osiowe wymagane przez [4] dla wymaganych odporności ogniowych REI 30 do REI 240
Tab.4. Minimalne grubości i otulenia zbrojenia płyt żelbetowych ze względów pożarowych (opracowano na podstawie [4] )
Podane wartości pozwalają spełnić wymagania wytrzymałości R, dymoszczelności E oraz izolacyjności cieplnej i bez prowadzenia szczegółowych obliczeń. Jeśli wymaga się spełnienia wyłącznie wymagań R, co wystarcza dopełnienie wymogów normy podstawowej [5] – nie ma dodatkowych wymogów. Odległość osiowa „a”, szczególnie w płytach dwukierunkowo zbrojonych jest odległością do osi zbrojenia najbliższego powierzchni. Minimalnej grubości płyt nie należy zmniejszać poprzez wliczenie warstw wykończeniowych pod tropem, ale może ona zawierać ocieplenie zawarte pomiędzy warstwami żelbetu, a także posadzkę niepalną
W płytach ciągłych należy zapewnić wymagania zasięgu zbrojenia nad podporami jak dla belek. Ponadto należy zapewnić możliwość redystrybucji momentów zginających przynajmniej 15%. W przypadku braku możliwości redystrybucji lub braku wymaganego zbrojenia nad podporami każde przęsło należy traktować jak swobodnie podparte.
Wymogi z wiersza „W układach płytowo-słupowych” stosuje się dla płyt płaskich, w których możliwa jest redysytrybucja momentów zginających w stopniu większym od 15%. W przeciwnym przypadku należy stosować wymogi z wiersza „jednokierunkowo zbrojone”.
Jeżeli wymaga się odporności R90 lub większej, to przynajmniej 20% zbrojenia potrzebnego ( wymaganego przez normę [5]) nad podporami pośrednimi w pasmach słupowych (Rys.9) w obu kierunkach, powinno być umieszczone w pasmach słupowyych i rozciągać się na całej długość przęsła.
Rys. 9 pasmo słupowe i środkowe
W przypadku płyt z żebrami wymogi pożarowe dotyczą również minimalnej szerokości oraz otulenia żeber zgodnie z [4].
Otwory w płycie
Analizy numeryczne i praktyczne zalecenia
Porównawczy model płyty bez otworów
Otwory w płycie należy uwzględnić podczas obliczeń statycznych, co będzie miało skutek w zmianie sił płytowych i rozkładzie zbrojenia głównym, ale także należy je lokalnie (obok naroży) dozbroić.
Analizę wpływu otworów na zbrojenie płyty przeprowadzimy na modelu płyty prostokątnej o wymiarach 6×9 m obciążonej równomiernie ciężarem własnym i obciążeniem powierzchniowym 5 kN/m2. Płyta jest wykonana z betonu C30/37 i zbrojona stalą B500 . Płyta na obwodzie oparta jest na ścianach o grubości 25 cm. Wstępnie do wyznaczenia rozpiętości płyty przyjęto jej grubość h=20 cm.
Rozpiętości obliczeniowe płyty $(\ref{1})$ wynoszą
$l_{dx}=9+2 \cdot 1/2 \cdot min (0,2 \, ; 0,25)=9,1 \, m$,
$l_{dy}=6+2 \cdot 1/2 \cdot min (0,2 \, ; 0,25)=6,1 \, m$,
$l_{min}=6,1 \, m$
$l_x/l_y=9/6=1,5 \to s=0,878$,
Długość efektywna
$l_{ef}=0,878 \cdot 6,1 = 5,36 \, m$
Grubość płyty
$h \approx l_{ef}/30=5,36/30= 18 \, cm$.
Płytę bez otworów oraz mapę jej zbrojenia pokazano rys. 10.
Rys.10 Zbrojenie płyty bez otworów
Otwór kołowy
Przeprowadzono analizę wpływu centralnego otworu kołowego o średnicy od 0,2 m do 2 m co 0,1 m. Na rys. 11 pokazano mapę zbrojenia Asy dla otworu ∅600 mm.
Rys. 11. Mapa zbrojenia płyty z otworem ∅600 (wymiary liniowe w cm)
Tab. 5 Maksymalne zbrojenie (na brzegu otworu) strefa zwiększonego zbrojenia dla płyty z otworem kołowym
Z tab. 5 wynika, że średnica otworu w płycie nie ma tak wielkiego znaczenia. Na krawędzi otworów wymagane jest ok. 2x większe zbrojenie niż w płycie bez otworu.
Małe otwory nie wymagają zbrojenia – wystarczy umieścić na deskowaniu wkładkę styropianową czy rurę odpowiedniej średnicy. Nieduże przejście instalacyjne albo świetlik czasami można też wyciąć w gotowej płycie. Zasięg zwiększonych potrzeb zbrojenia wolno wzrasta ze zwiększającą się średnica otworu i zwykle jest nieco większy od średnicy otworu.
Otwór kwadratowy
Na rys. 12 pokazano mapę zbrojenia Asy dla otworu []600 mm.
Rys.12 Mapa zbrojenia płyty z otworem []600 (wymiary liniowe w cm)
Z porównania mapy naprężeń dla otworu okrągłego (rys.11) i kwadratowego (rys.12) wynika, że różnice nie są wielkie. Maksymalne zbrojenie $A_{sy}$ w przypadku otworu kwadratowego (11 cm2) jest nawet mniejsze od potrzebnego przy otworze okrągłym (15 cm2) i w obu przypadkach jest szacunkowo dwukrotnie większe od zbrojenia wymaganego dla płyty bez otworu. Dla większych otworów rozkład zbrojenia wokół otworu kwadratowego jest taki jak dla okrągłego.
Również w tym przypadku zalecane jest zbrojenie wokół otworu zgodnie ze wskazaniami rozwiązania podstawowego bez dozbrajania. Zaleca się jednak dozbrojenie w celu przejęcia spiętrzenia naprężeń wywołanych ostrym narożem otworu – przy każdym narożu należy dać kilka prętów ukośnych (prostopadłych do diagonali otworu ). Można przyjąć po 3. pręty ukośne o średnicy takiej jak zbrojenia główne. Dozbrojenie wokół otworu dać górą i dołem.
Szczególnie newralgiczne miejsca występują, gdy słup umieszczony jest w pobliżu otworu, ze względu na zwiększone ryzyko ścięcia płyty przez przebicie. Problemem tym zajęto się w artykule Przebicie płyty żelbetowej.
Dozbrajanie otworów. Zalecenia historyczne
Zbrojenie wokół otworów zaleca się dobierać na podstawie obliczeń indywidualnych z zamodelowanymi otworami.
Przy takiej procedurze nie jest wymagane dodatkowe dozbrojenie otworu zgodnie z klasycznymi zaleceniami (rys.13), które pochodzą z epoki obliczeń dla płyt bez otworów. Płyty obliczane w modelu z otworami są już zbrojone kompletnie i dozbrojenie wokół otworów zgodnie z zaleceniami historycznymi nie jest już wymagane. Układ dozbrojenia można jednak zaczerpnąć z rozwiązań klasycznych rys.13.
Rys.12. Historyczne zasady dozbrajania jenie naroży otworu w płycie
Zbrojenie płyty na ścinanie poza obszarami przebicia
Typowym rozwiązaniem jest brak zbrojenia płyty na ścinanie, czyli zapewnienie, że wytrzymałość na ścinanie betonu bez zbrojenia na ścinanie $v_{Rd,c}$ ( artykuł Przebicie płyty żelbetowej – wzór (27) ) jest większa od naprężeń ścinających wywołanych siłą ścinającą $v_{Ed}=V_{Ed}/(bd)$.
Wymagane jest natomiast zbrojenie na ścinanie dla żeber w płycie żebrowanej (jak belek żelbetowych).
Płyty ze zbrojeniem rozproszonym (fibrobeton)
Zbrojenie rozproszone płyt stosowane jest głównie w płytach fundamentowych i posadzkach.
Zbrojenie rozproszone z powodzeniem zastępuje klasyczne zbrojenie wkładkami lub siatkami stalowymi. Obecnie włókna stalowe mogą być stosowane jako jedyne zbrojenie lub w połączeniu z klasycznym zbrojeniem w następujących zastosowaniach (na przykładzie Arcelor Mittal)
We wszystkich tych zastosowaniach zastosowanie włókien stalowych daje zabezpieczenie przed pękaniem skurczowym i pozwala elementowi z betonu zbrojonego włóknami stalowymi osiągnąć pełną ciągliwość, nawet jeśli zwykły beton jest kruchym materiałem.
Wytrzymałość równoważna fibrobetonu
W praktycznym projektowaniu płyt i belek zginanych , zbrojonych fibrobetonem, wygodnie jest posługiwać się nową kategorią wytrzymałościową kompozytu fibrobetonowego, a mianowicie wytrzymałością równoważną $f_{ctm,eq}$, którą wyznacza się w próbie wytrzymałościowej na belkach normowych, pokazanych na rys. 10. Rozpiętość belki odpowiada trzykrotnej wysokości belki. W próbie określa się odporność na pękanie przy zginaniu. Zginanie wykonuje się dwiema siłami, tak aby w 1/3 rozpiętości L działał stały moment zginający. Podczas próby mierzy się siłę obciążającą i ugięcia belki. Miarodajne badania równoważnej wytrzymałości na zginanie wymagają wysokiej precyzji pomiaru ugięć m.in. poprzez zastosowanie zamocowania miernika ugięcia w linii wyjściowego położenia osi obojętnej belki.
Aby ocenić efektywność zbrojenia włóknami stalowymi wytrzymałość równoważną na zginanie. porównuje się z wytrzymałością na rozciąganie przy zginaniu betonu bez włókien $f_{ctm, fll}$ ( w skrócie $f_{fl}$) $(\ref{12})$.
Wytrzymałość równoważna $f_eq$ odpowiada obciążeniu odnotowanym przy ugięciu δ= 3,0 mm , co odpowiada L/δ=150, co zapisuje się $fctml_{eq,150}$. czasami określa się też wytrzymałość równoważną $fctml_{eq,300}$ dla poziomu ugięcia L/δ=300 (rys.14).
Rys. 14 Wykres zginania próbki fibrobetonowej
Znaczący wpływ na wytrzymałość równoważną przy danej klasie betonu belki, ma zawartość włókien stalowych $W_f$, ich smukłość $l/d$ (l, d – długość i średnica włókna) oraz przyczepność do betonu (kształt haczyków), przy czym liczne badania doświadczalne potwierdzają liniową zależność dla zawartości włókien (15 do 40 )kg/m3, którą dla betonu C30/37 można zapisać w postaci [6]:
$$\begin{equation} f_{eq}= 0.73+1.027 \cdot W_f \cdot 10^{-3} \cdot (l/d) \end{equation}$$
Zwiększanie zawartości włókien stalowych w fibrobetonie jest ograniczone technologicznie z powodu negatywnego wpływu włókien na konsystencję mieszanki betonowej. Ograniczony jest też wzrost wytrzymałości fibrobetonu wraz ze wzrostem zawartości włókien.
Znaczący wpływ na wytrzymałość równoważną na zginanie ma też klasa betonu . Na podstawie badań przeprowadzonych w Belgii w tab.6 przedstawiono dane charakteryzujące fibrobeton z włóknami stalowymi haczykowatymi o długości l=60mm i średnicy d=0,75mm.
Tab. 6 Wpływ dozowania włókien stalowych haczykowatych l=60mm, d=0,75mm (RC-80/60-BN) na średnią wytrzymałość równoważną na zginanie $f_{eq}$ przy różnych klasach betonu [6] i średniej wytrzymałości na rozciąganie przy zginaniu $f_{fl}$
Pojęcie wytrzymałości równoważnej fibrobetonu wykorzystuje się przy powszechnie przy obliczeniach wytrzymałościowych płyty zbrojonym włóknem rozproszonym w szczególności posadowionych na podłożu odkształcalnym.
Metody obliczania płyt z fibrobetonu
Klasyczna metoda sprężysta
Klasyczne programy komputerowe umożliwiają uzyskanie rozwiązania sprężystego płyty dowolnie obciążonej o dowolnych warunkach brzegowych , w tym położonych na sprężystym podłożu Winklera jedno lub dwukierunkowym. Oszacowania uzyskane z programów są znacznie dokładniejsze od analitycznych oszacowań metody Westergaarda [7]. Metodę tę należy uznać za historyczną i niezalecaną. Dotyczy to również klasycznych metod obliczania naprężeń w półprzestrzeni sprężystej i podłożu uwarstwionym Boussinesqa, Odemarka, Burmistera.
Warunek klasycznej metody sprężystej można zapisać w postaci:
$$\begin{equation} M_{Ed,el } \le M_{Rd.el} \label{9}\end{equation}$$
gdzie: $M_{Ed,el}$ obliczeniowy, płytowy moment zginający uzyskany z rozwiązania płyty traktowanej jako liniowo sprężysta.
$M_{Rd,el}$ nośność sprężysta przekroju betonowego płyty obliczona z zależności
$$\begin{equation} M_{Rd,el}=M_{R(-)} = W_{el} \cdot f_{ctm, fl} \label{10} \end{equation}$$
gdzie wskaźnik wytrzymałości sprężystej przekroju płyty o szerokości jednostkowej, wynosi:
$$\begin{equation} W_{el} = \cfrac {h^2}{6} \label{11} \end{equation}$$
$f_{ctm, fl}$ – wytrzymałość betonu na rozciąganie przy zginaniu, którą należy przyjmować z zależności:
$$\begin{equation} f_{ctm,fl}=f_{ctm} \cdot ( 1,6 – h/1000) \label{12} \end{equation}$$
gdzie:
$f_{ctm}$ -średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie osiowe,
h- wysokość przekroju ( w tym przypadku grubość płyty).
Nośność $M_{R(-)}$ $(\ref {10})$ jest tylko częścią nośności płyty zbrojonej włóknem rozproszonym.
W przypadku płyty ułożonej na podłożu odkształcalnym i zbrojonej siatką blisko dolnej powierzchni nośność płyty wynosi
$$\begin{equation} M_{R(+) siatka}=0,95 \cdot A_s f_y \cdot d \label{13} \end{equation}$$
gdzie:
$A_s$, $f_y$ – powierzchnia i wytrzymałość stali
$d$ – efektywna wysokość.
Współczynnik 0.95 jest zastosowany, ponieważ zbrojenie jest małe.
Płytę z siatką tylko blisko górnej powierzchni, należy traktować jak niezbrojoną.
Podejście sprężyste jest bardzo konserwatywne. Liczne badania doświadczalne wymienione w pracy [8] wskazują, że podejście sprężyste (także wzory Westergaarda) dają znaczne (3 do 4,5 raza) niedoszacowanie nośności płyty zbrojonej włóknami rozproszonymi, to znaczy prowadzą do nieuzasadnionego ekonomicznie znacznego przezbrojenia płyty.
Metoda plastyczna (linii załomów)
Dwukrotnie bardziej zbliżone do badań doświadczalnych wyniki można uzyskać stosując metodę nośności granicznej/plastycznej (linii załomów), o której poniżej. Zasadnicza różnica w nośności fibrobetonu i betonu bez włókien wynika z ciągliwości materiału zbrojonego włóknami, umożliwiającej powstanie przegubów plastycznych w miejscach rys i redystrybucję momentów zginających.
Metoda linii załomów w zastosowaniu do płyt fibrobetonowych
Teoria linii załomów płyt jest przedmiotem artykułu Nośność plastyczna konstrukcji . Zasady tam wyłożone stosujemy również do płyt żelbetowych.
Promień względnej sztywności Westergaarda oraz współczynnik $\lambda$
Za miarę sztywności płyty zbrojonej włóknem rozproszonym przyjmuje się tzw promień względnej sztywności płyty $l$ wyznaczony ze wzoru
$$\begin{equation} l=\sqrt[4]{\cfrac{E_{cm} h^3}{12(1-\mu^2)k}}=k_{\mu} \cdot \sqrt[4]{\cfrac{E_{cm} h^3}{12 k}} \label {14} \end{equation}$$
gdzie:
$$\begin{equation} k_{\mu}=\cfrac {1}{\sqrt[4]{1-\mu^2}} \label {15} \end{equation}$$
Promień względnej sztywności płyty można wyznaczyć z nomogramu – rys. 14 dla sztywności podłoża od 0,02 do 0,5 $N/mm^3$
Rys. 15. Nomogram do wyznaczania promienia względnej sztywności płyty
W EC2 współczynnika Poissona betonu przyjęto o wartości $\mu=0.2$ dla którego $ k_{\mu}=1,01026$. Nomogram sporządzono dla $\mu=0,15$ dla którego ($k_{\mu}=1,0057$. Dla betonu z $\mu=0.2$ wartość odczytaną z nomogramu wartość promienia należy powiększyć mnożnikiem 1,005.
W wyrażeniach na wytężenie lub nośność płyty występuje też współczynnik $\lambda$ zdefiniowany jako
$$\begin{equation} \lambda=\sqrt[4]{\cfrac{3k}{E_{cm} h^3}}=\cfrac{k_{\mu}}{ 2 l } \label{16} \end{equation}$$
Nośność płyty fibrobetonowej nie zbrojonej prętami
Blok naprężeń i odkształceń w przekroju płyty zbrojonej fibrobetonem bez zbrojenia prętami pokazano na rys. 16.
Rys. 16 Blok naprężeń i odkształceń w przekroju fibrobetonowym bez z brojenia prętami
Nośność dolnego włókna przekroju (moment dodatni) (+) wynosi wg rys. 6.2. [9]
$ M_{R(+)}= h^2 \cdot (0,16 \sigma_{r1}+ 0,28 \sigma_{r4})$
gdzie:
$\sigma_{r1}=0,45 f_{ctm,eq,50}$, $f_{ctm,eq,50}$ = naprężenia w próbce przy ugięciu 0,5 mm
$\sigma_{r4}=0,37 f_{ctm,eq,350}$, $f_{ctm,eq,350}$ = naprężenia w próbce przy ugięciu 3,5 mm
Po podstawieniu wartości pośrednich otrzymamy formułę:
$$\begin{equation} M_{R(+)}= W_{el} \cdot (0,4320 \cdot f_{ctm,eq,50} + 0,6438 \cdot f_{ctm,eq,350}) \label {17} \end{equation}$$
Przy założeniu, że $f_{ctm,eq,50}=f_{ctm,eq,350}=f_{ctm,eq}$ mamy:
$$\begin{equation} M_{R(+)}= 1,076 \cdot W_{el} \cdot f_{ctm,eq} \approx W_{el} \cdot f_{ctm,eq} \label{18} \end{equation}$$
Nośność płyty fibrobetonowej zbrojonej hybrydowo (również prętami)
Nośność płyty fibrobetonowej zbrojonej hybrydowo (również prętami, kołkami lub sitakami) omówiono w opracowaniu [9]. Podano tam również nośności na ścinanie , w tym przy przebiciu.
Mechanizmy zniszczenia plastycznego płyty z fibrobetonu i nośności płyty
Rozpatruje się trzy przypadki położenia siły pokazane na rys,.17: wewnątrz płyty, na brzegu i w narożu.
Rys.17 Trzy przypadki położenia siły na płycie z fibrobetonu
rys 7.3. [9]
Pojedyncza siła skupiona
W przypadku pojedynczej siły wewnątrz płyty mechanizmy zniszczenia plastycznego pokazano na rys.18.
Rys.18 Mechanizm zniszczenia płyty z fibrobetonu pod jedną siła skupioną
rys 7.2. [9]
Poniżej wprowadzono oznaczenie:
$$\begin{equation} \Sigma M_R=[ M_{(R+)}+M_{(R-)} ] \quad (\approx W_{el}\cdot(f_{ctml,fl}+f_{ctml,eq})) \end{equation}$$
gdzie uwzględniono zależności na:
$M_{(R-)}$ nośność płyty, mierzona ujemnym (rozciągającym górne włókna płyty) momentem tak jak dla płyty bez zbrojenia – wzór $( \ref {10})$,
$M_{(R+)}$ nośność płyty, mierzona dodatnim (rozciągającym dolne włókna płyty) momentem tak jak dla płyty ze zbrojeniem rozproszonym – wzór $( \ref {17})$.
Dla pojedynczej siły (rys.15) nośność płyty $F_{R1}$ mierzona siłą obciążającą $F$ zależy od zastępczej średnicy docisku $a$ a także promienia względnej sztywności $l$ i wynosi [9]
Przy położeniu siły wewnątrz (w) płyty nośność $F_{R1w}$ wynosi
$$\begin{equation} F_{R1w} = \begin {cases}
2 \pi \Sigma M_R, & \text {dla $a/l=0$} \\
\cfrac {4 \pi} {1- a/(3l)} \cdot \Sigma M_R , & \text {dla $a/l \ge 0,2$ }
\end {cases} \label{19} \end{equation}$$
W przypadku położenia siły na krawędzi (k) lub w narożu (n) płyty (rys.16) nośność $(\ref{19})$ należy zredukować zgodnie z zależnością
$$\begin{equation} F_{R1*} =\alpha_{*} \cdot F_{R1w} \end{equation}$$
gdzie współczynnik redukcyjny $\alpha_{*} (*=k,n)$ wynosi
dla siły na krawędzi (*=k) :
$$\begin{equation} \alpha_{k}= \begin {cases}
\alpha_{k0} , & \text {dla $a/l=0$} \\
\cfrac {1-a/(3l)}{1-2a/(3l)} \cdot \alpha_{k0} , & \text {dla $a/l \ge 0,2$ }
\end {cases} \label{20}\end{equation}$$
gdzie $\alpha_{k0}= \cfrac{1}{4}+\cfrac{M_{R(-)}} {\pi \cdot \Sigma M_R} $
dla siły w narożu (*=n) płyty
$$\begin{equation} \alpha_{n}= \begin {cases}
\alpha_{n0} , & \text {dla $a/l=0$} \\
\cfrac {1-a/(3l)}{1-a/l} \cdot \alpha_{n0} , & \text {dla $a/l \ge 0,2$ }
\end {cases} \label{21} \end{equation}$$
gdzie $\alpha_{n0}= \cfrac{M_{R(-)}} {\pi \cdot \Sigma M_R} $
Dla pośrednich wartości $a/l$ można prowadzić interpolację.
Jeżeli odległość $x$ pomiędzy przyłożonymi siłami jet mniejsza od podwójnej grubości płyty h (x<2h), to przyjmuje się, że siły są zlokalizowane w tym samym miejscu.
Ograniczeniem stosowalności metody plastycznej wymiarowania posadzek fibrobetonowych jest wymaganie takiej efektywności zbrojenia włóknami, aby spełniony był warunek $f_{ctm,eq}$ > 0,30 $f_{ctm, fl}$,
gdzie $f_{ctm,fl}$ jest wartością naprężenia rozciągającego odpowiadającego maksymalnej sile zginającej podczas testu z rys. 9.
Jeśli siła skupiona jest rozłożona w prostokącie o bokach $c_x$ x $c_y$ , to zastępcza promień przyłożenia siły $a$ wyznaczony z równości pól powierzchni przyłożenia wynosi:
$$\begin{equation} (c_x \cdot c_y)=(\pi (2a)^2/4) \to a= \sqrt {\cfrac{ c_x \cdot c_y}{ \pi} } \label{22} \end{equation}$$
Dwie siły skupione
W przypadku dwu lub czterech sił skupionych mechanizmy zniszczenia plastycznego przyjmuje się według rys. 19.
Rys.19 Mechanizm zniszczenia dla: a) dwóch, b) czterech sił skupionych
rys 7.7. [9]
Dla dwóch sił rozstawionych w odległości $x <2h$ stosujemy podejście jak dla pojedynczej siły o zsumowanej wartości z obu sił.
Przy $x\ge 2h$ nośności wynoszą:
$$\begin{equation} F_R= \begin {cases}
\left [ 2 \pi+\cfrac{1,8 x)}{l} \right ] \cdot \Sigma M_R, & \text {dla $a/l=0$} \\
\left [ \cfrac{4 \pi}{1-a/(3l)}+\cfrac{1,8 x}{l- a/2} \right ] \cdot \Sigma M_R , & \text {dla $a/l \ge 0,2$ }
\end {cases} \label{23}\end{equation}$$
Z wyrażeń tych wynika, że przy zbliżających się siłach obciążenie graniczne zbliża się do sumy granicznych obciążeń od pojedynczych sił.
Gdy podwójna siła zbliży się do krawędzi płyty, wówczas powinna być zredukowana współczynnikiem $(\ref {20})$ , a gdy stoi w narożu płyty, współczynnikiem $(\ref {21})$.
Cztery siły skupione
Dla czterech sił rozstawionych w odległości $x $ oraz $y$ nośność jest mniejszą z wartości: 1) suma nośności czterech sił pojedynczych, 2) suma nośności dwóch sił podwójnych , lub 3):
$$\begin{equation} F_R= \begin {cases}
\left [ 2 \pi+\cfrac{1,8 (x+y)}{l} \right ] \cdot \Sigma M_R, & \text {dla $a/l=0$} \\
\left [ \cfrac{4 \pi}{1-a/(3l)}+\cfrac{1,8(x+y)}{l- a/2} \right ] \cdot \Sigma M_R , & \text {dla $a/l \ge 0,2$ }
\end {cases} \label{24} \end{equation}$$
W przypadku ustawienia dwóch sił na brzegu płyty stosuje się współczynnik redukcyjny $(\ref {20})$ jak dla pojedynczej siły.
Obciążenie równomiernie rozłożone
W przypadku obciążenia płyty nieustalonym (losowym) układem równomiernie rozłożonego obciążenia, maksymalny moment zginający w płycie jest spowodowany:
a) przez obciążenie o szerokości π / 2λ pokazane na rysunku 19a dla momentu dodatniego, b) przez dwa pasma o szerokości π / λ pokazane na rys. 20b dla momentu ujemnego. Parametr $\lambda$ zdefiniowano wzorem $(\ref{16})$:
Rys.20. Układ obciążęnia równomiernego realizujący maksymalny monet: a) dodatni, b) ujemny
rys 7.10. [9]
Maksymalny moment ujemny (rozciągający górne włókna) wystąpi pomiędzy pasmami obciążenia jak na rys. 16b , a nośność płyty wyniesie:
$$\begin{equation} q_R=5,95 \cdot \lambda^2 \cdot M_{R(-)} \end{equation}$$
gdzie $M_{R(-)}$ jest nośnością płyty bez zbrojenia $(\ref {10})$.
Obciążenie liniowe
W przypadku obciążenia liniowego (np od ściany) nośność płyty fibrobetonowej wynosi
$$\begin{equation} q_R=4 \cdot \lambda\cdot M_{R(-)} \label {25} \end{equation}$$
Równanie $(\ref{25})$ ma zastosowanie do obciążeń liniowych oddalonych krawędzi płyty lub dylatacji. W przypadku gdy obciążenie liniowe znajduje się w sąsiedztwie swobodnej krawędzi, to nośność wynosi
$q_R= 3 \lambda m_{R(-)}$
zwiększając się do $q_R= 4 \lambda m_{R(-)}$, gdy obciążenie jest oddalone od krawędzi o 3 / λ. Dla dylatacji o minimalnej zdolności przenoszenia obciążenia 15%, nośność wzrasta do tej wartości już w odległości 1 / λ – patrz rysunek 21.
Wynika to z faktu, że w przypadku obciążenia liniowego odległego od krawędzi, zerowego momentu wystąpi w odległości około 1 / λ od obciążenia.
Rys. 21 Zmniejszenie nośności płyty wraz ze zbliżaniem się obciążenia do krawędzi
rys 7.9. [9]
Pas przy krawędzi płyty w którym nie powinno się stawiać obciążeń ze względu zmniejszenie nośności płyty ma szerokość
$$\begin{equation} L_{pas}=3/ \lambda= \cfrac{6 l}{k_\mu } \label {26} \end{equation}$$
Wartości charakterystyczne a obliczeniowe i warunek nośności
Powyżej podano wyrażenia na wartości charakterystyczne nośności $F_k=F_R$, $q_k=q_R$
Warunek nośności
$$\begin{equation} F_{Ed} \le F_{Rd} \label {27} \end{equation}$$
odnosi się do obliczeniowych nośności, które uzyskuje się z nośności charakterystycznych przez zmniejszeniem współczynnikiem materiałowym
$F_d=\cfrac{F_k}{\gamma_c}$
przy czym dla fibrobetonu należy przyjmować $\gamma_c=1,5$
Kombinacja obciążeń
Na rys. 22 pokazano najbardziej niekorzystne ustawienie podnośnika widłowego w stosunku do regałów. Odległość H należy określić na podstawie charakterystyk geometrycznych konkretnych regałów i wózków. W przypadku braku danych można przyjąć, że H=R/2, gdzie R jest rozstawem kół podnośnika.
Rys. 22. Najniekorzystniejsze ustawienie obciążeń skupionych
rys 7.6. [9]
Nośność w kombinacji należy określać z uwzględnieniem współczynników jednoczesności obciążeń kombinacyjnych zgodnie z [10].
Przebicie płyty fibrobetonowej
Przebicie płyty fibrobetonowej określa się zgodnie z ogólnymi zasadami opisanymi w artykule Przebicie płyty żelbetowej. Odległość obwodu krytycznego od krawędzi siły przebijającej przyjmuje się standardowo 2d, gdzie d jest efektywną wysokością przekroju. W przypadku przekroju zbrojonego tradycyjnie jest to odległości od osi zbrojenia dolnego do górnej krawędzi płyty. W przypadku zbrojenia włóknami rozproszonymi przyjmuje się
$$\begin{equation} d=0,75 h \end{equation}$$
gdzie h- jest całkowitą grubością płyty
Dla tak określonej wysokości efektywnej przekroju maksymalna wytrzymałość betonu na ścinanie przy przebiciu vRd,max oraz maksymalną nośność na przebicie płyty fibrobetnowej $F_{Rd,max}$
$$\begin{equation} F_{Rd,max}=v_{Rd,max} \cdot u_0 \cdot d \end{equation}$$
gdzie $u_0$ jest obwodem wokół siły przebijającej o szerokościach efektywnych zdefiniowanych na rys. 23.
Rys. 23 Efektywna szerokość siły przebijającej fibrobeton
rys 7.4. [9]
Nośność płyty fibrobetonowej na przebicie jest sumą nośności płyty betonowej nie zbrojonej na ścinanie o wytrzymałości granicznej $v_{Rd,c}$ i nośności zbrojenia rozproszonego o wytrzymałości granicznej $v_f$:
$$\begin{equation} F_{Rd,p}=(v_{Rd,c}+v_f) \cdot u_1 \cdot d \end{equation}$$
gdzie: $v_{Rd,c} $, i długość obwodu kontrolnego $u_1$ wyznacza się standardowo zgodnie zasadami podanymi w artykule ,
a wytrzymałość zbrojenia włóknami rozproszonymi na ścinanie przy przebiciu wyznacza się z zależności
$ v_t= 0,015 \cdot ( f_{ctm,eq,50}+ f_{ctm,eq,150} + f_{ctm,eq,250} +f_{ctm,eq,350} ) \cdot d $
Ponieważ dla wytrzymałości równoważnych zachodzi:
$ f_{ctm,eq, 50} < f_{ctm,eq, 150} < f_{ctm,eq, 250} < f_{ctm,eq, 350} $, więc przy braku danych z badań włókna można przyjąć że średnią szeregu jest $f_{ctm,eq}$, a suma szeregu wynosi $4 \cdot f_{ctm,eq}$, czyli
$$\begin{equation} v_t = 0,06 \cdot f_{ctm,eq} \cdot u_1 \cdot d \end{equation}$$
Siłę przeciwstawiającą się przebiciu (korzystną), a pochodzącą z odporu gruntu określa się zgodnie z rys. 24.
Rys. 24 Szkic do określenia odporu gruntu przy przebiciu płyty: a) wewnątrz ,b) przy brzegu
rys F1-F2 [9]
W przypadku siły wewnętrznej i narożnej (odpowiednio rys.22a i rys.22b) sumaryczny odpór gruntu wynosi [9]:
$$\begin{equation} R_{odpór}= \beta \cdot (d/l)^2 \cdot F \end{equation}$$
gdzie: $\beta=1,4$ dla siły wewnętrznej i $\beta=2,4$ dla siły narożnej.
W przypadku gdy siła działa poprzez sztywny stempel (na słup o wymiarach (c_x × c_y), to całkowity ospór wgruntu wynosi [9]:
$$\begin{equation} R_{odpór, sztywny}= \beta \cdot (d/l^2) \cdot F \cdot (c_x+d_y) \end{equation}$$
gdzie:
dla siły wewnętrznej : $\beta=0,47$ i $ d_y=$c_y$,
dla siły narożnej : $\beta=0,8$ i $ d_y=$1\cdot c_y$.
Wybrane typu zbrojenia rozproszonego
Spośród wielu typów zbrojenia rozproszonego przedstawimy dwa: DRAMIX i ArcelorMittal
Włókna DRAMIX
Na rys. 25 przedstawiono najczęściej stosowane rodzaje włókna typu Dramix.
Rys.25 Asortyment włókien DRAMIX
W tab. 7 zestawiono własności wytrzymałościowe fibrobetonu zbrojonego włóknem Dramix 80/60. Podano wytrzymałość równoważna fibrobetonu zbrojonego włóknem RC-80/60-BN, przy czym, $f_{ctm,eq,150}$ jest średnią wytrzymałością równoważną dla ugięcia 1,5 mm, a $f_{ctm,eq,300}$ dla ugięcia próbki 3,0 mm. W taveli zasygnalizowano również podawane przez producenta włókna wytrzymałości na rozciąganie przy zginaniu $f_{ctml,fl}$ betonu klasy C20/25 do C40/45.
Tab.7 Własności wytrzymałościowe fibrobetonu zbrojonego włóknem Dramix 80/60
Włókna ArcelorMIttal
Arcelor Mittal nośności fibrobetonu zbrojonego włóknami swojej produkcji podaje w wartości obciążenia punktowego $q_R$ w kombinacji z ruchem kołowym 6 kN/m2. (rys. 26). Obciążenie równomierne $Q_R$ nawet o wartości 80 kN/m2 nie jest wymiarujące.
Rys.26. Obciążenia posadzki zbrojonej włóknami Arcelor Mittal [11]
Dobór posadzki jest dokonywany z nomogramów pokazanych na rys. 27.
Rys.27. Nomogramy do projektowania posadzek zbrojonych włóknami ArcelorMIttal: TABIX i HE [11]
Podstawowe dwa rodzaje posadzek przemysłowych zbrojonych włóknami ArcleorMittal, to:
TAB-Fiber – posadzka nacinana: beton C25/30; odległość między nacięciami 6 m; podbudowa : kruszywo z 1x folia PV
TAB-Floor – posadzka bezspoinowa: beton C25/30; odległość między dylatacjami 30 m; podbudowa : kruszywo z 2x folia PV
Posadzki Arcelor Mittal należy ułożyć na zagęszczonym podłożu gruntowym :
stosunek modułów sprężystości E2/E1 <2,2, moduł sprężystości wtórny: E2= 100 MN/mm2
Nomogramy sporządzono dla współczynnika sprężystości podłoża k=0,083 N/mm3
Przykłady rachunkowe
Przykład 1 [ Projekt płyty stropu żelbetowego]
Zaprojektować płaski strop żelbetowy w układzie słupowo – płytowym o wymiarach:
3 pola o długości $l_x=9 \,m$ x 2 nawy o szerokości $l_y=9 \,m$
obciążony zastępczym obciążeniem równomiernym:
stałym $ G=1,5 \, kN/m^2$ (oprócz ciężaru własnego płyty),
zmiennym $Q= 3 \, kN/m^2$
i dla wymaganej wytrzymałości ogniowej REI 120
Płytę wykonano z betonu C30/37 i zbrojono prętami #12-B500.
Długość efektywna stropu i grubość płyty
z tab. 3 dla płyty z 2-ma nawami odczytujemy największy współczynnik długości efektywnej $s=0,962$ (dla skrajnych pól), więc
$l_{ef}=0,962 \cdot 900=866 \, cm$
Przyjęto grubość płyty
$h=866 \, cm /30=290 \, mm$
Sprawdzenie warunków pożarowych
Z tab.4 dla płyty w układzie płytowo słupowym i dla odporności ogniowej REI 120, mamy
min $h/a$=$200/35$.
Spełniony jest wymóg minimalnej grubości płyty.
Otulenie osiowe przyjmujemy $a=35 \, mm$
Projekt zbrojenia płyty
Projekt zbrojenia płyty wykonano z wykorzystaniem programu obliczeniowego Consteel w.14 [12]
Na rys. 27 pokazano mapę zbrojenia płyty poddanej obciążeniu rozłożone na całej powierzchni. Pominięto prezentację map zbrojenia dla schematu z obciążeniami w szachownicę, które należy rozpatrywać w praktycznym projektowaniu, bo dają ekstremalny rozkład sił (rys. 28).
Jak wynika z rys.27 na większości powierzchni płyty (obszary w kolorach niebieskich) wystarczy zbrojenie minimalne: wymagane jest maksymalnie $ A_s=323 \, mm^2 /m$, czyli #12-350, a minimalny rozstaw zbrojenia dla „pozostałych części płyty” (poza obszarem maksymalnych momentów) zgodnie z $(\ref{8})$ wynosi 400 mm.
W pozostałych obszarach siatkę zbrojenia #12-350×350) należy zagęścić lub dać pręty o większej średnicy. Obszary w których wymagane jest dozbrojenie są różne dla zbrojenia górnego i dolnego i różne w kierunku X lub Y.
Układ zbrojenia i opracowanie rysunków warsztatowych należy pozostawić Wykonawcy, który powinien je przedstawić Projektantowi do uzgodnienia.
Rys.28 Mapy zbrojenia płyty z przykładu 1
W obszarach nad słupami należy sprawdzić ścinanie przez przebicie zgodnie z zasadami przedstawionymi w artykule Przebicie płyty żelbetowej.
Rys.29. Obciążenie płyty w „szachownicę”
Przykład 2 [ Projekt płyty posadzki fibrobetonowej]
Zaprojektować płytę żelbetową bezspoinową posadzki na gruncie dla danych:
- podbudowa i warstwy gruntowe:
1x folia PCV
podłoże beton C8/10 – 10 cm
podbudowa kruszywo 30 cm zagęszczone do E2/E1=2,2; E2=60 MPa
piasek średni 100 cm
ił pylasty 670 cm
piasek gliniasty niżej - rozmiary pola pomiędzy słupami 24×9 m
- obciążenia:
a) regały o wys. 9 m do składowania palet EUR1 800×1200 w 8-miu warstwach z podkładkami pod nóżki o wymiarach 135×119 mm. Masa jednej palety z materiałem 1000 kg
b) zastępcze obciążeniem równomierne q=10 kN/m2 ,
c) wózki widłowe klasy FL5 wg klauzuli. 6.3.2.3 [13] – wymiary (1,80×4,60m; rozstaw kół 1,5 m; ciężar 90 kN, udźwig 60 kN; obciążenie osi 140 kN; powierzchnia docisku 0,2×0,2 mxm, współczynnik dynamiczny $\varphi=1,4$ (koła pneumatyczne)
Zestawienie obciążeń
Współczynniki obciążeń $\gamma_F$ i wsp. kombinacyjne (redukcyjne) $\psi_0$
Zgodnie z [10].:
$\gamma_F=1,5$ – dla wszystkich obciążeń zmiennych (regały wózki, obciążenie równomierne)
$\psi_0=1,0 $ regały i obciążenie równomierne (kategoria powierzchni E)
$\psi_0=0,7 $ podnośniki widłowe (kategoria powierzchni F)
Współczynnik materiałowy
$\gamma_c=1,5$
Obciążenie od nóżek regału
Obciążenie charakterystyczne
Na cztery nóżki rozstawione 800×1200 przypada: 8x 10,0= 80 kN
Na jedną nóżkę 80/4=20 kN, pole docisku (135×119) mm x mm
Najniekorzystniejsze jest ustawienie dwu regałów obok siebie, co daje obciążenie:
1 rząd (od ściany 75 mm) [20 kN] – 135 mm [20 kN] – (1200-135) mm – [20 kN]- 135 mm – [20 kN]
2 rząd (od 1 rzędu 800 mm) [20 kN] – 135 mm [20 kN] – (1200-135) mm – [20 kN]- 135 mm – [20 kN]
Obciążenie obliczeniowe
Siły z sąsiednich nóżek traktujemy jak jedną, czyli model obciążeń obliczeniowych
$F_{d,r} =1,5 \cdot 2 \cdot 20=60 \, kN$
pole docisku $(c_x x c_y)= (270×119)$ mm x mm
1-2 siła: [ 60 kN] – x= (1200+135) mm – [60 kN]
y=800 mm
3-4 siła [60 kN] – x= (1200+135) mm – [60 kN]
Obciążenie od podnośników widłowych
Obciążenie charakterystyczne
Dwie siły (koła na pierwszej osi) każda o wartości 140*1,4/2=98 kN,
Obciążenie obliczeniowe
$F_{d,p} =1,5 \cdot 98=147 \, kN$
pole docisku $(c_x x c_y)= (200×200)$ mm x mm
1-2 siła: [147 kN] – x=1500 mm – [147 kN]
Obciążenie równomiernie rozłożone
Obciążenie rozłożone poza regałami oraz trasami podnośników przyjęto w dwóch pasach o szerokości 800 mm każdy w rozstawie 400 mm od luźno ustawionych opakowań, ścieżek technologicznych lub innych. Maksymalna, zastępcza wartość obciążenia 10 kN/m2
$ q_d=1,5 \cdot 10=15 kN/m^2$
Obciążenie ciężarem własnym
Pomija się jako nieistotne w wymiarowaniu płyty fibrobetonowej metodą plastyczną
Współczynnik sprężystości podłoża
Współczynnik sprężystości podłoża wyznaczono z użyciem kalkulatora gruntów budowlanych w programie Robot dla szacunkowego obciążenia płyty Q=10+0,2*25=15 kN/m2 (grubość płyty ok. 0,2 m) i uzyskano
$k=19858 kN/m^3=0,0199 N/mm^3 $
Promień względnej sztywności Westergaarda oraz pas przykrawędziowy
Przyjęto beton C20/25: (tab.1) $\to$
$E_{cm}=30 GPa = 30 000 N/mm^2$ ,
$ f_{ctm}=2,2 MPa= 2,2 kN/mm^2$
$\mu=0,2$
$(\ref {15}) \to $ $k_{\mu}=\cfrac {1}{\sqrt[4]{1-0,2^2}}=1,01026 $
$( \ref{14}) \to $ $ l=1,01026 \cdot \sqrt[4]{ \cfrac {30 000 \cdot 200^3} {12 \cdot 0,0199 }} =1011 \, mm$.
Podobną wartość, ale mniej precyzyjnie odczytamy z rys. 12.
$( \ref {26}) \to $ pas przykrawędziowy $ L_{pas} = 6 \cdot 1011 /1,01=6000 \, mm$
Dobór włókien i wytrzymałość równoważna
Przyjęto włókna DRAMIX RC-80/60-BN w ilości 30 kg/m3
Z rys 20 $\to$
$f_{ctm,eq,50} = f_{ctm,eq,150} = 2,7 \, MPa$
$f_{ctm,eq,350} = f_{ctm,eq,300} = 2,8 \, MPa$
Nośności przekroju płyty
$(\ref{12}) \to$ $ f_{ctm,fl}=2,2 \cdot ( 1,6 – 200/1000)=3,08 MPa$
$(\ref{9}) \to$ $W_{el} = \cfrac {20^2}{6}=66,67 \, cm^2/m$
$(\ref{10}) \to$ moment ujemny (górne włókna)
$ M_{R(-)} = 66,67 \cdot 3,08 \cdot 10^{-1}=20,53 \, kNm /m$
$(\ref{17}) \to$ moment dodatni ( dolne włókna)
$M_{R(+)}= 66,67 \cdot (0,4320 \cdot 2,7 + 0,6438 \cdot 2,8 )\cdot 10^{-1}= 19,79 \, kNm/m $
Nośność linii załomu
$\Sigma M_R= 20,53+19,79=40,32 \, kNm/m$
Nośności płyty mierzone obciążeniami
Pojedyncza siła skupiona $(\ref{19})$
dla regału siła $F_d=60 \, kN$ na powierzchni A= 270×119 mm2 :
zastępczy promień obciążenia
$a=\sqrt{\cfrac {270 \cdot 119}{\pi}}=101 mm,$
$a/l=101/1011=0,100 < 0,2$, czyli prowadzimy interpolację
$F_{R1,r} = \begin {cases}
2 \pi \cdot 40,32=253,3 \, kN , & \text {dla $a/l=0$} \\
\cfrac {4 \pi} {1- 0,2/3} \cdot 40,32=472,9 , & \text {dla $a/l = 0,2$ }
\end {cases} $
$\Delta F_{R1,r} =472,9-253,3=219,6 \, kN$
z interpolacji: $F_{R1,r}=253,3+219,6/0,2 \cdot 0,100=363,1 \, kN$
Nośność obliczeniowa
$F_{R1,r,d}=363,1/1,5=242,1 \,kN$
Mnożnik obciążenia: $\Lambda_{R1,r} =60/242,1=0,248$
dla koła podnośnika siła F=98 kN na powierzchni A=200×200 mm2
$a=\sqrt{\cfrac{200 \cdot 200}{\pi}}=113 mm,$
$a/l=112,8/1011=0,112<0,3 \to $ prowadzimy interpolację
z interpolacji: $F_{R1,p}=253,3+219,6/0,2 \cdot 0,112=376,3 \, kN$
Nośność obliczeniowa
$F_{R1,p,d}= 376,3/1,5=250,9 \,kN$
Mnożnik obciążenia: $\Lambda_{R1,p}=147/250,9= 0,586 $
Dwie siły skupione
$(\ref{23})$ rozstawione w odległości x
dla regału x= (1200+135)=1335 > 2h=2\cdot 200=400 mm
$F_{R2,r}= \begin {cases}
\left [ 2 \pi+\cfrac{1,8\cdot 1335)}{1011} \right ] \cdot 40,32 =349,2 \, kN , & \text {dla $a/l=0$} \\
\left [ \cfrac{4 \pi}{1- 0,2/3}+\cfrac{1,8 \cdot 1335}{1011\cdot(1-0,2/2)} \right ] \cdot 40,32=649,4 , & \text {dla $a/l=0,2$ }
\end {cases} $
$\Delta F_{R2,r}=649,4,9-349,2=300,2 \, kN$
z interpolacji: $F_{R2,r}=349,2 +300,2 /0,2 \cdot 0,100=499,2 \le 2F_{R1,r}= 2 \cdot 363,1=726,2 \, kN$
nośność obliczeniowa
$F_{R2,r,d}= 499,2/1,5=332,8 \,kN$
Mnożnik obciążenia: $\Lambda_{R2,r} =2\cdot 60/332,8=0,360 $
dla kół podnośnika $ x= 1500 \, mm$
$F_{R2,p}= \begin {cases}
\left [ 2 \pi+\cfrac{1,8\cdot 1500)}{1011} \right ] \cdot 40,32=361,0 \, kN , & \text {dla $a/l=0$} \\
\left [ \cfrac{4 \pi}{1- 0,2/3}+\cfrac{1,8 \cdot 1500}{1011\cdot(1-0,2/2)} \right ] \cdot 40,32=662,5, & \text {dla $a/l=0,2$ }
\end {cases} $
$\Delta F_{R2,p}=662,5-361,0=301,5 \, kN$
z interpolacji: $F_{R2,p} =361,0+301,5 /0,2 \cdot 0,112=529,8 \le 2 F_{R1,p}=2 \cdot 376,3=752,6 \, kN$
nośność obliczeniowa
$F_{R2,p,d}= 529,8 /1,5=353,2 \,kN$
Mnożnik obciążenia: $\Lambda_{R2,p} =2 \cdot 147/353,2 =0,832$
Cztery siły skupione
$(\ref{24})$ rozstawione w odległości ( x,y )
dla nóżek regału
$(x+y)=(1335+800)=2135 \, mm > 2h=2 \cdot 200=400 \, mm$
$ F_{R4,r}= \begin {cases}
\left [ 2 \pi+\cfrac{1,8 \cdot 2135 }{1011} \right ] \cdot 40,32= 406,6 \, kN, & \text {dla $a/l=0$} \\
\left [ \cfrac{4 \pi}{1-0,2/3}+\cfrac{1,8\cdot 2135 }{1011 (1-0,2/2)} \right ] \cdot 40,32=713,2 \, kN, & \text {dla $a/l \ge 0,2$ }
\end {cases} $
$\Delta F_{R4,r}= 713,2-406,6=306,6 \, kN$
z interpolacji: $F_{R4,p} =406,6+306,6 /0,2 \cdot 0,100=559,9 \le 2 F_{R1,p}=2\cdot 499,2 \, kN$
Nośność obliczeniowa
$F_{R4,r,d}= 559,9/1,5=373,3 \,kN$
Mnożnik obciążenia: $\Lambda_{R4,p} =4\cdot 60/373,3 =0,464$
współczynnik redukcji – dwie nóżki na krawędzi płyty
$\alpha_{k0}= \cfrac{1}{4}+\cfrac{20,53} {\pi \cdot 40,32}=0,412 $
$\alpha_k= \begin {cases}
0,412 , & \text {dla $a/l=0$} \\
\cfrac {1-0,2/3}{1- 2 \cdot 0,2/3} \cdot 0,412=0,380 , & \text {dla $a/l \ge 0,2$ }
\end {cases} $
$\Delta \alpha_k=0,412-0,380=0,032$
z interpolacji $\alpha_k=0,412-0,032/0,2*0,1=0,396
Mnożnik obciążenia: $\Lambda_{R4,r}^R =4 \cdot 60 / 373,3 / 0,396 =1,622$
Nośność przekroczona. Pas przykrawędziowy należy wzmocnić
Wymagany pas dozbrojenia posadzki
Szerokość pasa przykrawędziowego wymaganego do 100% nośności wynosi $L_{pas}=6000 \, mm$
Dla maksymalnego wytężenia posadzki nóżkami $W=46,4%, wymagany pas dozbrojenia:
$ L_{zbroić}=W \cdot L_{pas}=0,46,4 \cdot 6000=2784 \, mm$
Po zwieszeniu grubości płyty powyższe oszacowanie w konsekwencji ulegnie zmianie
Kombinacja obciążeń wg rys. 18
Wobec braku danych o szerokości rozstawienia regałów rozpatrzmy sytuację obliczeniową taką, że koło podnośnika zbliży się do nóżek regału na odległość
$x= 2h=2 \cdot 200=400 mm$
W takiej sytuacji obciążenie skupione od nogi regału i od koła podnośnika można rozpatrywać jak jedną siłę skupioną:
przy wiodącym obciążeniu regałem $F_d= F_{d,r}+\psi_{0,p} \cdot F_{d,p} = 60+0,7 \cdot 147=163 \, kN$,
przy wiodącym obciążeniu podnośnikiem $F_d= F_{d,p}+\psi_{0,r} \cdot F_{d,r} = 147+1,0 \cdot 147=207 \, kN$,
Przyjmujemy , że siły są rozłożone na sumarycznej powierzchni (270+200)x(119+200)=470×319 mm x mm
$a=\sqrt{\cfrac{470 \cdot 319}{\pi}}=387 mm,$
$a / l=387/1011=0,38 $
Dla dwóch sił skupionych rozstawionych na odległość $x=R+2*2h=1500+2\cdot 400=2300 \, mm$ mamy nośność
$F_{R,komb}= \left [ \cfrac{4 \pi}{1- 0,38/3}+\cfrac{1,8 \cdot 2300}{1011\cdot(1-0,38/2)} \right ] \cdot 40,32=646,3 \, kN$
Nośność obliczeniowa
$F_{R,komb,d}=646,3/1,5=430,9 \, kN$
Mnożnik obciążenia: $\Lambda_{R2,r+p} =207/430,9 =0,48.$
Bibliografia artykułu- Knauff, M., Golubińska, A., & Knyziak, P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN
- Starosolski, W. (2013). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych, Tom 2 (Vol. 2). Wydawnictwo Naukowe PWN
- Zybura, A. (Ed.). (2015). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2: atlas rysunków. Wydawnictwo Naukowe PWN SA.
- PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2: 2008 . Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-2: Reguły ogólne – Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe
- PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3: 2008. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
- Glinicki, M. A. (2008). Wytrzymałość równoważna fibrobetonu na zginanie. Inżynier Budownictwa, styczeń 2008
- Westergaard H.M.: New formulas for stresses in concretepavements of airfields. American Society of Civil Engi-neers Transactions,113, 2340, 1948, 425-444
- Hajduk, P. (2013). Projektowanie podłóg przemysłowych. Wydawnictwo Naukowe PWN
- Concrete Industrial Ground Floors – A quide to their Design an Construction, (2003). Technical Report No 34, 4th Edition
- PN-EN 1990:2004 . Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji
- ArcelorMIttal. (2015). Włókna stalowe . Posadzki Przemysłowe (Distribution Solutions. Wire Solutions)
- Consteel Software. (2020). ConSteel 14 Manual. http://www.consteelsoftware.com/en/downloads/manuals-documents.
- PN-EN 1991-1-1:2004. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-1: Oddziaływania ogólne. Ciężar objętościowy, ciężar własny, obciążenia użytkowe w budynkach,
Koniec
You must log in to post a comment.