Rozwiązanie zadania zginania belek żelbetowych jest fundamentalnym zagadnieniem teorii żelbetu. Klasyczne rozwiązania dotyczą szczególnego zadania: przekroju pojedynczo zbrojonego, zginanego w jednym kierunku bez udziału siły osiowej (rozdział Klasyczna_technika_projektowania_zbrojenia_belki-metoda_MU. W artykule omówiono zmodyfikowaną metodę klasyczną MU* w której wprowadono zredukowane obciążenia przekroju prostokątnego podwójnie zbrojonego lub przekroju teowego ze współpracującą płytą stropową. Stosowanie metod MU i MU* jest w zasadzie wystarczające do wstępnego projektowania przekrojów żelbetowych przez inżynierów Architektów. W niniejszym artykule kierowanym do inżynierów specjalności konstrukcyjno-budowlanej – omówiono również bardziej złożone zadanie zginania dwukierunkowego z udziałem siły osiowej.
Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 41 Czytelników
Chodor L., Belki żelbetowe,, Encyklopedia πWiki, www.chodor-projekt.net,
13 lipca 2019 do 9 czerwca 2020 – ( publikacja kompletna)
1 wrzesień 2023 do 25 września 2023 – ( reedycja i wpowadzenie metody MU*)
Arkusz LCżelbet zawiera oryginalny kod – © wszelkie prawa zastrzeżone.
[ Trwają prace remontowe . Treści nieautoryzowane ]
Część Z
Zginanie
Nawigacja: [ K: Kształtowanie ] ⇐ ⊗ ⇒ [ P: Pełzanie i skurcz ]
Podstawowe oznaczenia
W niniejszym artykule stosuje się następujące podstawowe oznaczenia, dotyczące wielkości względnych (unormowanych) dla zginania belek żelbetowych:
- symbol normalizacji (po symbolu podano zapis wyrażenia w zmiennych unormowanych)
$\parallel \to\parallel $
$$\begin{equation} \quad \parallel \to\parallel \quad $m_\#=\cfrac {M_\# }{\overline {M}} \label {1} \end{equation}$$
gdzie # =
el – sprężysty (elastic),
ult – graniczny (ultimate) ze względu na kruche zniszczenie (zmiażdżenie) betonu ,
Ed – obliczeniowy (design) od obciążeń zewnętrznych(External),
Rd – nośnosć, opór ( Resistans) obliczeniowa (design), itd.
Czynnik normujący moment
$$\begin{equation} \overline {M}=b d^2 f_{cd} \label {2} \end{equation}$$
ma wymiar nośności sprężystej przekroju. Nośność sprężysta przekroju prostokątnego bxd wynosi $M_{el}= W_{el} \cdot f_{cd}$; $W_{el}= \cfrac{b \cdot d^3}{6}$, czyli $\overline M =M_{el}/6 $
Efektywna promień przekroju $d$ jest odległością od krawędzi ściskanej betonu do osi zbrojenia. Dla zbrojenia dolnego (rys. Z-1)
$$\begin{equation} d= h- a_l\label {3} \end{equation}$$
gdzie: h – wysokość przekroju betonowego , $a_l$ – osiowe otulenie zbrojenia dolnego „l” ( $a_l=c_l – \Phi/2$ ; $c_l$ – otulenie betonem pręta o średnicy $\Phi$
Szerokość belki $b$ jest szerokością rozpatrywanej części przekroju:
dla belki prostokątnej szerokość przekroju $b= b$ ;
dla belki T – szerokość środnika $b_w$ lub pasa $b_f$ (rys, Z-8)
dla belki ko przekroju kołowym średnica $b=D$
- współczynnik $\delta$ redystrybucji naprężeń w przekroju (stosunek momentu po redystrybucji do momentu sprężystego):
$$\begin{equation} \delta= \cfrac{\mu_{ult}}{\mu_{el}} \label {4} \end{equation}$$
$$\begin{equation} \quad \parallel \to\parallel \quad n_\# =\cfrac{N_\# }{\overline N} \label {5} \end{equation}$$
Czynnik normujący siłę osiową
$$\begin{equation} \overline {N}=A_c \cdot f_{cd} \label {6} \end{equation}$$
gdzie $A_c=b\cdot d $ jest efektywnym polem przekroju betonu ($\ref{11}$)
$$\begin{equation} \quad \parallel \to\parallel \quad \xi_⊕=\cfrac{x_⊕ }{d} \label {7} \end{equation}$$
gdzie ⊕= ult – dla wartość granicznej, ⊕=eff- zredukowana współczynnikiem redukcji $\lambda$ (efektywna)
$$\begin{equation} \quad \parallel \to\parallel \quad \zeta_⊕=\cfrac{z_⊕}{d} \label {8} \end{equation}$$
$$\begin{equation} \quad \parallel \to\parallel \quad \rho_⊗=\cfrac{A_{s,⊗}}{A_c } \label {9} \end{equation}$$
gdzie:
$A_c $ ($\ref{10}$)
⊗= l (lower) – dla zbrojenia dolnego (rozciąganego), ⊗= u (upper) – dla zbrojenia górnego (ściskanego), ⊗=s dla sumy zbrojenia,
- efektywne pole przekroju betonu $A_c= A_{c,brutto}$ – pole otulenia dolnego $A_{su}$, czyli
dla przekroju prostokątnego:
$$\begin{equation} A_c= b \cdot (h- a_l) = b\cdot d \label {10} \end{equation}$$
i analogicznie dla innych typów przekrojów
$$\begin{equation} A_{c, s} = A_c \cdot \cfrac{f_{cd}}{f_{yd}} \label {11} \end{equation}$$
Model przekroju zginanego z udziałem siły osiowej
Podstawowe założenia modelu
- Żelbetowy pręt zginany analizuje się ramach klasycznej teorii belek Bernoullego, czyli przyjmuje założenie płaskich przekrojów, czyl;li „przekrój płaski przed odkształceniem pozostaje płaski po odkształceniu”, z którego wnioskiem jest to, że odkształcenia włókien przekroju zmieniają się liniowo po wysokości podług zależności ($\ref{15}$).
- Pomija się naprężenia rozciągające w betonie,
- Pomija się składowe naprężeń inne niż normalne w kierunku osi belki $\sigma$, a jednoosiowe prawo Hooka obowiązuje dla każdego włókna belki $\sigma_w =E_w \cdot \varepsilon_w$: dla betonu „w=c” wg ($\ref{23}$) , dla stali „w=s” wg ($\ref{27}$).
Moduł Younga włókien stalowych wynosi $E_s= 200 \, GPa$
Modul Younga ściskanych włókien betonowych wynosi $E_c=27 \, do \, 45 \, MPa$ (moduł średni) zależnie od klasy betonu wg tab W-1 i w zależności od stanu konstrukcji po uwzględnieniu pełzania betonu, czyli zależy od wieku analizowanego elementu – zgodnie z zasadami z rozdziału Pełzanie i skurcz betonu - Maksymalne odkształcenie włókna ściskanego przekroju nie może przekroczyć wartości $\varepsilon_{cu} =3,5$ ‰ ( $\varepsilon_{cu2}$ w modelu MN i $\varepsilon_{cu3}$ w modelu MU), (rys. Z-1 i Z-2)
- Dopuszcza się pełne uplastycznienie zbrojenia stalowego, czyli $\varepsilon_s \ge \varepsilon_{yd}= f_{yd}/E_s$, ale w ogólności naprężenia w zbrojeniu mogą być mniejsze od granicy plastyczności $\sigma_s \le f_{yd}$
- Rozkład naprężeń w części ściskanej betonu (powyżej osi obojętnej) jest paraboliczny – model nieliniowy MN, (rys. Z-1 ), ($\ref{12}$).
- Dopuszcza się aproksymację parabolicznego rozkładu naprężeń w strefie ściskanej przez rozkład prostokątny – model uproszczony MU (rys. Z-2 ) ze współczynnikami redukcyjnymi strefy ściskanej, określonymi formułami ($\ref{13}$), ($\ref{14}$); dla zwykłego betonu współczynnik wysokości strefy ściskanej wynosi $\lambda=0,8$.
Model nieliniowy MN
Model rozkładu naprężeń na wysokości $x$ strefy ściskanej betonu jest paraboliczny dla odkształcenia betonu $0 < \varepsilon_c \le \varepsilon_{c2} = 2,0$ ‰ i prostokątny dla $0 < \varepsilon_c > \varepsilon_{c2} < \varepsilon_{cu2}=3,5$ ‰ [1], kl. 3.1.7(1) (wykładnik potęgi $n=2$ dla betonu zwykłego BZ i n wg tab. W-1 dla betonów wysokiej wytrzymałości BWW).
Rys. Z-1. Nieliniowy MN rozkład naprężeń w strefie ściskanej betonu
Nieliniowy (paraboliczny) model betonu MN z rys. z-1, można opisać formułami [1], wzory (3.17)-(3.18) :
$$\begin{equation}\sigma_c (z)= \begin {cases}
f_{cd}, & \text{ jeśli } \varepsilon_{c2} \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{cu2}\\
f_{cd}\cdot \left [ 1 -\left( 1-\cfrac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}} \right)^n \right],& \text { jeśli } \varepsilon_c < \varepsilon_{c2} \\
\end{cases} \label{12}\end{equation}$$
gdzie wykładnik potęgi zgodnie z tab. W-1 (dla betonu BZ n=2),
$\varepsilon_{cu2}=3,5$‰ – graniczne (maksymalne) odkształcenie betonu (dla BZ)
$\varepsilon_{c2}=2$‰ – najmniejsze odkształcenie, przy którym w betonie wystąpią naprężenia $f_{cd}$ (dla BZ)
Model uproszczony MU
Zgodnie z klauzulą [1],kl.3.1.7(3) w obliczeniach inżynierskich dopuszcza się założenia upraszczające, polegające na aproksymacji parabolicznej bryły naprężeń w modelu MN przez bryłę prostokątną MU, w sposób pokazany na rys. Z-2.
Rys. Z-2 Uproszczony MU rozkład naprężeń w przekroju zginanym
W uproszczonym modelu MU zmniejsza się wartość naprężeń w betonie do $\eta f_{cd}$ i wysokość bryły naprężeń do $\lambda x$, zgodnie z wartościami zamieszczonymi w tab. W-1. W celu uproszczenia formuł zredukowana wysokość strefy ściskanej betonu jest oznaczana przez $x_{eff} = \lambda x$.
Graniczne odkształcenia betonu w modelu MU $\varepsilon_{cu3}$ są takie d\same jak modelu MU $\varepsilon_{cu2}$ i wynoszą 3,5‰.
Natomiast odkształcenia betonu BZ na początku strefy prostokątnej (dla $\sigma_c =\eta\cdot f{cd}$) w modelu MN wynoszą $\varepsilon _{c2}$=2 ‰, a w modelu MU $\varepsilon _{c3}$= 1,75 ‰ . Dla betonów BWW stosowne wartości podano w tab. W-1.
Model MU przedstawiony na rys. Z-2 definiują formuły (3.19)-(3.22) normy [1], które opisują współczynnik $\lambda$, określający efektywną wysokość strefy ściskanej oraz współczynnik $\eta$, określający efektywną wytrzymałość :
$$\begin{equation} \lambda= \begin {cases}
0,8 , & \text {dla BZ} \\
0,8-\cfrac{f_{ck}-50}{400} , & \text {dla BWW}
\end {cases} \label{13}\end{equation}$$ $$\begin{equation} \eta= \begin {cases}
1,0 , & \text {dla BZ} \\
1,0-\cfrac{f_{ck}-50}{200} , & \text {BWW}
\end {cases} \label{14}\end{equation}$$
Porównanie metody nieliniowej MN i uproszczonej MU
Dla betonu zwykłego BZ w modelu uproszczonym MU współczynnik skonsolidowanego modelu $\alpha_M$ ($\ref{114}$) wynosi $\alpha_M=\sqrt{2/1} /0,8 = 1,768$, czyli różni się o $1,768/1,723-1= 2,6$ % od współczynnika $\alpha_M$ w modelu nieliniowym MN. Wynika stąd, że korzystanie z obu modeli jest równoważne w ręcznych obliczeniach inżynierskich. W obliczeniach numerycznych przewaga modelu N wynika przede wszystkim stąd, że jest uniwersalny, bo dotyczy wszystkich betonów (również wysokiej wytrzymałości), co upraszcza algorytmy numeryczne oraz interpretację wyników.
Równania przekroju
Zasada płaskich przekrojów
Odkształcenia podlegają zasadzie płaskich przekroi Bernoulliego , wyrażonej formułami ($\ref{15}$) wynikającymi z rys. Z-1 :
$$\begin {equation} \cfrac{\varepsilon_{sl}}{d_l-x}= \cfrac{\varepsilon_{su}}{x – d_u}=\cfrac{\varepsilon_{cu}}{x} \label {15} \end {equation}$$
gdzie: $\varepsilon_{cu}=$3,5‰ = $\varepsilon_{cu3}$ dla modelu prostokątnego MU i $\varepsilon_{cu2}$ dla modelu MN.
Z $(\ref{15})$ można uzyskać jawną postać odkształcenia zbrojenia górnego (u) i dolnego (l):
$$\begin {equation} \varepsilon_{sl}=\varepsilon_{cu} \cdot (d_l /x-1) \qquad \varepsilon_{su}=\varepsilon_{cu} \cdot (1 – d_u/x) \label {16} \end {equation}$$
Z $(\ref{16})$ wynika, że zależnie od relacji wysokości strefy ściskanej $x$ oraz wysokości użytecznych zbrojenia zachodzą następujące przypadki wytrzymałościowe:
TT (ang. Tension-Tension) $x=0$ – przypadek dla którego odkształcenia w stali są nieokreślone. Odpowiada to jednorodnemu rozciąganiu przekroju, w którym w całym przekroju (w betonie i stali) mamy odkształcenia rozciągające, a przekrój podlega analizie prętów zespolonych . Takim przypadkiem nie zajmujemy się w niniejszym artykule – jest on przedmiotem artykułu Konstrukcje zespolone stalowo-betonowe.
CC (ang. Compresion-Compresion) $ x > d_u \, x \le d_l \to $ $\varepsilon_{su} > 0$, $\varepsilon_{sl} > 0$, oba zbrojenia są ściskane – jest to przypadek małego mimośrodu.
CT (ang. Compresion-Tension) $ x > d_l \to \, \varepsilon_{su} > 0 \, , \, \varepsilon_{sl} < 0$, czyli zbrojenie górne jest ściskane, a zbrojenie dolne rozciągane – jest to przypadek dużego mimośrodu, obejmujący również klasyczne zginanie belek.
Do przypadku CT zaliczymy też $ x \le d_u \to$ $\varepsilon_{su}\le 0$, $\varepsilon_{sl} > 0$, dla którego zbrojenie górne jest rozciągane, a dolne ściskane. Wystarczy analizować przekrój odwrócony o 900 .
Na rys. Z3 przypadki wytrzymałościowe TT, CC, CT zestawiono w korelacji z punktami A-E na krzywej integracji zginania i ściskania przekroju żelbetowego.
Rys. Z-3 Przypadki wytrzymałościowe, a interakcje sił w żelbetowym przekroju zginanym i ściskanym- na podstawie [2], Fig. 11-13
Warunki równowagi przekroju jednoosiowo zginanego
Na rys. Z-1 i Z-2 pokazano siły działające w przekroju z przyjętą konwencją znakowania sił zewnętrznych: zewnętrzny moment zginający $M_{Ed}$ jest dodatni jeśli rozciąga dolne włókna przekroju, zewnętrzna siła osiowa $N_{Ed}$ jest dodatnia, jeśli ściska przekrój. Założono też dodatnie zwroty sił wewnętrznych: siły $F_c$ i $F_{su}$ są ściskające, siła $F_{sl}$ jest rozciągająca. Jeśli z rozwiązania zadania uzyskamy znaki ujemne, to będzie oznaczało, że w danej sytuacji obliczeniowej siła działa przeciwnie do założonego zwrotu.
Poniżej zestawiamy warunki równowagi dla przekroju zginanego momentem $M_{Ed} =M_y$ względem osi większej sztywności oraz ściskanego /rozciąganego siłą osiową $N_{Ed}$.
W celu skrócenia zapisu wprowadzamy parametry zwane użytecznymi wysokościami $d_i$ przekroju „i”, zależnymi od współrzędnej osi do której są odmierzane, wynoszącymi:
$$\begin{equation} d_0 =h/2 \, ; \, d_l=h-a_l \, ; \, d_u= a_u \, ; \, d_{ul} = h – a_l – a_u \label {17} \end{equation}$$
Oś pozorną „lu” wprowadzono w celu skrócenia zapisu w formule ($\ref{20}$)
Równania równowagi przekroju odczytane bezpośrednio z rys. Z-1 można zapisać w postaci:
$$\begin{equation} \begin {cases}
\Sigma X=0 \to N_{Ed} – F_c – F_{su} + F_{sl}=0\\
\Sigma M_0=0 \to M_{Ed} – M_{c,0} – F_{su} \cdot (d_0 – a_u) – F_{sl} \cdot (d_0 – a_l)=0
\end {cases} \label {18}\end{equation}$$
Ponieważ spełnione powinny być oba warunki $(\ref {18})$ jednocześnie, więc złożenie (suma) obu warunków powinna być stateczna. Po przemnożeniu pierwszego równania obustronnie przez $- d_0$ i dodaniu obu równań skonsolidowany warunek równowagi przyjmuje postać:
$$\begin{equation} R=(M_{Ed} – M_{c,0}) – (N_{Ed}+2F_{sl} – F_c)\cdot d_0 + (F_{sl} \cdot a_l+ F_{su} \cdot a_u) = 0 \label {19} \end{equation}$$
Po przekształceniach skonsolidowany warunek równowagi żelbetu możemy zapisać w postaci przydatnej do wyznaczania sumy zbrojenia przekroju:
$$\begin {equation} (F_{sl} +F_{su})=\cfrac {2 (M_{Ed}-M_{c,0})} {d_{lu}}+ (N_{Ed}-F_c) \label {20} \end {equation}$$
gdzie :$F_c$ – wypadkowa bryły naprężeń w betonie; $M_{co}$ – moment zginający przenoszony przez beton liczony względem środka przekroju wyznaczony poniżej.
Siły przenoszone przez beton: osiowa Fc i moment zginajacy $M_c$
W fundamentalnym – skonsolidowanym równaniu żelbetu $R=0$ $(\ref{19})$ występuje wypadkowa bryły naprężeń w betonie $F_c$ oraz moment tej bryły $M_{c,0}$ liczony względem osi y-y przekroju betonowego. Obie siły są funkcją wysokości strefy ściskanej $x$.
W przypadku rozpatrywanego w tym artykule przeważającego zginania (rys. Z-3, stan C) wysokość strefy ściskanej $x\le h$. W takim przypadku wypadkowa i moment bryły naprężeń w betonie wynosi:
- dla modelu MU (uproszczonego – prostokątnego)
$$\begin {equation} F_c=\eta f_{cd} b \lambda x \qquad ; \quad M_{c,0}= F_c (d_0 – \lambda x /2) \label {21} \end {equation}$$
- dla modelu MN (nieliniowego – parabolicznego)
$$\begin {equation} F_c=\cfrac {17}{21} \cdot b \cdot x \cdot f_{cd} \approx 0,81 \cdot b \cdot x \cdot f_{cd} \qquad; \quad M_{c,0}=F_c \cdot \left( d_0- \cfrac {693}{1666} x \right)\approx F_c \cdot (d_o – 0,416 \cdot x ) \label {22} \end {equation}$$
Współczynniki $\lambda$ i $\eta$ w równaniu $(\ref{21})$ określa się z $( \ref{13})$ i $( \ref{14})$, $d_0=h/2$.
Siły $F_c$ oraz $M_{c,0}$ $(\ref{22})$ dla modelu nieliniowego uzyskano poprzez całkowanie rozkładu $(\ref{12})$.W modelu nieliniowym siły w betonie są niezależne od rodzaju betonu (zwykły BZ, czy wysokiej wytrzymałości BWW).
Prawo fizyczne betonu. Moduł materiału, a moduł górnego lub dolnego włókna belki
Prawo fizyczne betonu wiąże odkształcenia w betonie $\varepsilon_c$ z naprężeniami $\sigma_c$ i jest zapisywane w postaci analogicznej do wzoru Hooka dla materiału jednorodnego:
$$\begin{equation}\sigma_c=E_c \cdot \varepsilon_c \label{23}\end{equation}$$
przy czym moduł odkształcalności betonu Ec(εc, t) jest w ogólności nieliniową funkcją odkształceń betonu oraz czasu $t$ i zmniejsza się istotnie wraz ze wzrostem pełzania betonu [1], Rys.3.2. , a prawo $(\ref{23})$ jest w istocie nieliniowe. W mechanice prętów żelbetowych w normie [1] model $(\ref{23})$ aproksymowano przybliżoną, ale niezależną od czasu postacią przedstawioną na rys. Z-1 (model nieliniowy) lub na rys. Z-2 (model uproszczony).
Obliczeniowy moduł odkształcalności betonu jest modułem siecznym i jest minimalny dla włókna skrajnego (tam, gdzie odkształcenie jest maksymalne εc=εcu2 lub εcu3). Nazwiemy go modułem włókna górnego :
$$\begin{equation}E_{cu}=f_{cd}/\varepsilon_{cu2} \label{24}\end{equation}$$
Na przykład dla betonu C30/37 moduł włókna górnego wynosi Ecu=(30/1,4)/3,5‰=6,1 GPa. Dla porównania: średni moduł styczny dla betonu C30/37 wynosi Ecm=32 GPa, a moduł długotrwały (z uwzględnieniem pełzania) Ec,ef=Ecm/[1+φ(∞,t0)] ≈ Ecm/(1+2)=32/3=10,7 MPa.
Moduł włókna dolnego $E_{cl}$ zależy od fazy pracy przekroju, przy czym w każdej fazie obowiązuje założenie płaskich przekrojów. Z proporcji płaskiego przekroju mamy możemy wyznaczyć odkształcenie betonu na podstawie odkształcenia pręta stalowego, jak następuje:
$$\begin{equation} \varepsilon_{cl}= \varepsilon_{sl} \cdot \cfrac{h}{d_l}=\varepsilon_{sl} \cfrac{1}{1-a_l /h }\label{25}\end{equation}$$
Z prawa fizycznego ($\ref{23}$) moduł włókna dolnego $E_{cl}$ dla $\sigma_{cl}=f_{ctm}$ wynosiłby na przykład
$$\begin{equation} E_{cl} =\cfrac{\sigma_{cl}} {\varepsilon_{cl}}= \cfrac {f_{ctm}}{\varepsilon_{sl}} \cdot \cfrac{1}{1-a_l /h } \label{26}\end{equation}$$
Moduły $E_{cu}$, $E_cl$ oraz $E_{cm}$ i $E_{c,ef}$ są innymi wielkościami jakościowo, bowiem $E_{cm}$ i $E_{c,ef}$ dotyczą materiału, a $E_{cu}$ i $E_{cl}$ dotyczą włókien konstrukcji.
W problemie zarysowania i ugięć (rozdział Rysy i ugięcia belek) stosuje się efektywny moduł odkształcalności $E_{c,ef}$ zależny od pełzania w czasie (rozdział Pełzanie i skurcz betonu)
Prawo fizyczne stali zbrojeniowej
Prawo fizyczne jest takie same dla zbrojenia górnego i dolnego (⊗=u,l):
$$\begin{equation}\sigma_{s⊗}=E_s \cdot \varepsilon_{s⊗} \label{27}\end{equation}$$
gdzie moduł Younga w zakresie sprężystym i w temperaturach $30^o C \le t \le 100^o C$ przyjmuje się $E_s=200 GPa$,
a po przekroczeniu przez naprężenia granicy plastyczności $f_yd$, czyli przy odkształceniu większym $\varepsilon_{yd}=f_{yd} / E_s$ moduł odkształcalności jest modułem stycznym, zależnym od modelu stali. Dla najczęściej stosowanego modelu idealnie sprężysto-plastycznego (Prandtla) moduł styczny stali wynosi $E_s=f_yd/ \sigma_s$, gdzie $\sigma_s$ jest aktualnym naprężeniem w stali.
Stal zbrojeniowa może mieć klasę plastyczną stali ( A- mała ciągliwość , B – średnia ciągliwość . C – duża ciągliwość ), a zaleca się stosować stal klasy B lub C.
Podział stali dokonuje się ze względu wartość współczynnika $k=f_t/f_y$ (= granica wytrzymałości w próbie rozciągania /granica plastyczności) oraz graniczne odkształcenia charakterystyczne $\varepsilon_{ul}$ , obserwowane przy zerwaniu próbki (przy naprężeniach $f_t$):
$$\begin{equation} \varepsilon_{uk} (f_{tk}) \in \begin {cases}
[2,5 \, ; 5) \% , & \text{dla stali klasy A}\\
[5\, ; 7,5) \% , & \text{dla stali klasy B}\\
[7,5 \% , & \text{dla stali klasy C}
\end {cases} \label {28} \end{equation}$$
$$\begin{equation} k=f_t/f_y \begin {cases}
\ge 1,05 \% , & \text{dla stali klasy A}\\
\ge 1,08 \% , & \text{dla stali klasy B}\\
>1,15 \% ,\le 1,35 \% & \text{dla stali klasy C}
\end {cases} \label {29}\end{equation}$$
W tab. W-2 zestawiono najczęściej stosowane stale zbrojeniowe.
Na rys. Z-4 pokazano modele stali przyjmowane w analizie żelbetu. Powszechnie stosuje się model idealnie sprężysto-plastyczny (model Prandtla), a w dokładniejszych analizach model ze wzmocnieniem liniowym. Mimo tego , że współczynnik k jest niewielki dla stosowanych stali zbrojeniowych, to w modelu stali ze wzmocnieniem można uzyskać nośności nawet o 10% wyższe niż dla modelu Prandtla bez wzmocnienia.
W modelu ze wzmocnieniem liniowym naprężenia w zbrojeniu wyznacza się z zależności:
$$\begin{equation} \sigma_s = \begin {cases}
E_s\cdot \varepsilon_s , & \text {dla $\varepsilon_s \le \varepsilon_{yd}$} \\
f_{yd} \cdot [ 1+k_w \cdot ( \varepsilon_s-\varepsilon_{yd})] , & \text { dla $ \varepsilon_{yd} <\varepsilon_s \le \varepsilon_{ud}$ } \\
f_{ud}=f_{uk}/1,15 , & \text{ dla $\varepsilon_s > \varepsilon_{ud}$}
\end {cases} \label {30}\end{equation}$$
gdzie $\varepsilon_{yd}$ oraz $k_w$ zestawiono w tab. W-2. Graniczne obliczeniowe odkształcenie stali $\varepsilon_{ud}=0,9\cdot\varepsilon_{uk}$, przyjęto jako wartość graniczną, wynikającą z definicji rodzajów stali $(\ref{29})$.
Rys. Z-4 Modele stali zbrojeniowej
Graniczna wysokość ściskanej strefy betonu
Graniczna wysokość strefy ściskanej ξult, a zniszczenie kruche betonu
Wysokość strefy ściskanej betonu jest ograniczona poprzez dopuszczalną redystrybucję naprężeń w przekroju zgodnie zasadami dotyczącymi sprężystej analizy betony z ograniczoną redystrybucją. Redystrybucja naprężeń w zakresie nieliniowym dotyczy nie tylko punktów wzdłuż konstrukcji statycznie niewyznaczalnych, ale także redystrybucji naprężeń po wysokości przekroju. W przypadku redystrybucji naprężeń na wysokości przekroju również mają zastosowanie wyrażenia z klauzuli [1],kl.5.5(4) , zalecanej dla analizy liniowo-sprężystej z ograniczoną redystrybucją belek lub płyt statycznie niewyznaczalnych, a mianowicie :
$$\begin{equation} \delta \ge \begin {cases}
0,44+1,25 \cdot \xi_{ult}, & \text {dla BZ} \\
0,54+k_4 \cdot \xi_{ult}., & \text {dla BWW} \\
0,7 , & \text {dla stali B lub C} \\
0,8 , & \text {dla stali A}
\end {cases} \label {31}\end{equation}$$
Współczynnik $k_4=1,25(0,6+0,0014)/\varepsilon_{cu2}$ dla poszczególnych betonów zestawiono w tab.W-1.
Z ($\ref{31}$) otrzymujemy :
$$\begin{equation} \xi_{ult} < \begin {cases}
(\delta – 0,44)/1,25, & \text {dla BZ } \\
(\delta – 0,54)/k_4 & \text {dla BWW }
\end {cases} \label{32} \end{equation}$$
Dla powszechnie stosowanej plastycznej stali klasy B lub C – $\delta_{max}= 0,7$ (30% redystrybucji) i z równań ($\ref{32}$) otrzymujemy :
$$\begin{equation} \xi_{ult} < \begin {cases}
0,208, & \text {dla BZ } \\
0,160/k_4 & \text {dla BWW } \\
\label {33} \end {cases} \end{equation}$$
W wielu polskich podręcznikach (m.in. podręcznik do technikum budowlanego [3] ; podręcznik dla studentów budownictwa [4], [5] i in.) przedstawia się odmienną interpretacje granicznej wysokości strefy ściskanej, a mianowicie taką dla której w zbrojeniu rozciąganym osiąga się granicę plastyczności. Z tego kryterium wyprowadza się formułę
$$\begin{equation} \xi_{ult,PL}= \cfrac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{cu2} +{\varepsilon _{yd}}}\label {34} \end{equation}$$
gdzie $\varepsilon _{yd}=f_{yd}/E_s$
Na rys. Z-1 ziluslustrowano $x_{ult}= \xi_{ul.PL} \cdot d$ (bez indeksu PL).
Dla najczęściej stosowanej stali B500 i BZ z ($\ref{34}$) otrzymujemy:
$$\begin{equation} \xi_{ult,PL}= 0,617 \label {35} \end{equation}$$
Porównanie wartości $(\ref{35})$ ( uzyskanej przy dopuszczeniu pełnego uplastycznienia stali) z wynikiem, ($\ref {33}$) uzyskanym dla granicznej redystrybucji naprężeń w strefie ściskanej – wskazuje, że stosowanie pierwszego, historycznego warunku ($\ref{35}$) prowadzi do znaczącego przekroczenia dopuszczalnej redystrybucji naprężeń w betonie, a przez to akceptujemy przypadki kruchego zniszczenia betonu. Ponadto dopuścilibyśmy sytuacje niezgodne z ograniczeniem matematycznego modelu betonu – formuły ($\ref{59}$) do ($\ref{61}$). Interpretacja granicznej wysokości strefy ściskanej prowadząca do warunku ($\ref {35}$) jest pozostałością historycznego podejścia i korzystania ze starych układów tablic. W dobie Eurokodów taka interpretacje nie powinna być już stosowana.
Doświadczeni inżynierowie zalecają przyjmowanie $\xi_{ult}$< 0,45., co jest powszechnie uznane za dobrą praktykę, prowadzącą do uniknięcia zjawiska „nadmiernego wzmocnienia” i kruchego zniszczenia betonu. Takie ograniczenie jest wymagane przez normę pośrednio w rozdziale dotyczącym analizy plastycznej. Zgodnie z klauzulą [1], kl.5.6(2) wynosi ono dla BZ $\xi_{u,pl} \le 0,25$, a dla BWW $\xi_{u,pl} \le 0,15$. W przypadku przeważającego ściskania (czyli w słupach) obliczenia są prowadzone dla momentów zginających wyznaczonych przy założeniu liniowej sprężystości bez jakiejkolwiek redystrybucji.
W celu ilustracji powyższego wywodu, w tab Z-1 zestawiono zależność stopnia redystrybucji $\delta$ od wysokości strefy ściskanej $\xi_{ult}$ dla betonu zwykłego BZ.
Tab. Z-1.Stopień redystrybucji naprężeń w betonie w funkcji granicznej wysokości strefy ściskanej
Wysokość strefy ściskanej $\xi=0,45$ wystąpi przy pełnej redystrybucji naprężeń, a $\xi=0,617$ jest fizycznie niemożliwe. W niniejszym artykule zalecamy stosowanie wartości odpowiadającej stopniowi redystrybucji $\delta=$ 0,9, czyli :
$$\begin{equation} \xi_{ult} = \begin {cases}
(0,9-0,44)/1,25=0,368, & \text {dla BZ } \\
(0,9-0,54)/k_4= 0,360 / k_4 & \text {dla BWW }
\end {cases} \label{36} \end{equation}$$
Wartości współczynnika $k_4$ podano w tab.W-1.
Wartości graniczne $(\ref{36})$ dotyczą rzeczywistej wysokości strefy ściskanej, a nie zredukowanej współczynnikiem $\lambda$ (efektywnej). Założenie $(\ref{36})$ o wysokości strefy ściskanej dotyczy zarówno modelu MN jak i MU i zmniejsza ryzyko zniszczenia przekroju zginanego poprzez kruche pękniecie betonu, co w konsekwencji prowadzi do zapewnienia odpowiedniej niezawodności przekrojów żelbetowych z przeważającym udziałem zginania.
W Wielkiej Brytanii [6] od lat zaleca się stosowanie do wymiarowania przekrojów zginanych współczynnika redystrybucji $\delta=0,85$, które jest nieco bezpieczniejsze od postulowanego w niniejszym artykule $\delta=0,9$ .
Nośność graniczna przekroju z warunku kruchego pękania betonu
Nośność graniczną bryły betonu z warunku kruchego pękania uzyskamy z $(\ref{58}^2)$ po podstawieniu granicznej wysokości strefy ściskanej $\xi=\xi_{ult}$ ($\xi_{ef,,ult}=\lambda \xi_{ult}$) ($\ref{36}$) dla postulowanego stopnia redystrybucji $\delta=0,9$, czyli: . Dla betonów zwykłych BZ otrzymamy:
$$\begin{equation} \xi_{ef,,ult} =0,8 \cdot 0,368 = 0,2944,\label{37} \end{equation}$$
$$\begin{equation} m_{ult} = 1,0\cdot 0,2944\cdot (1-0,2944/2)=0,251 \label{38} \end{equation}$$
Dla betonów BWW $m_{ult}$ wyznacza się indywidualnie z zależności ($\ref{58}$) po podstawieniu wartości $ \xi_{ult}$ ($\ref{36}$) dla konkretnego betonu.
Można pokazać, że identyczny rezultat uzyskamy operując rzeczywistymi ( a nie efektywnymi) wysokościami strefy ściskanej.
Uogólnienie granicznej wysokości strefy ściskanej
Graniczną wysokość strefy ściskanej nie może być przekroczona, po to, by zabezpieczyć beton przed kruchym pękaniem. W istocie należy ja wyznaczać z warunku granicznego gradientu (szybkości) spadku odkształceń po wysokości przekroju, jak następuje:
$$\begin{equation} \nabla \xi_{ult}= \cfrac{ \Delta \varepsilon }{ \Delta \xi_{ult}} \begin {cases}
(0,0035-0)/ 0,368 = 9,5 \text{‰}, & \text {dla BZ } \\
(0,0035-0)/ 0,32 = 10,9 \text{‰}, & \text {dla BWW}
\end {cases} \label{39} \end{equation}$$
gdzie przyrost $ \Delta \xi_{ult}$ przyjęto za $(\ref{36})$.
Powyższe uogólnienie wyjaśnia istotę granicznej wysokości strefy ściskanej jako wartości własnej betonu – łączenie jej z wytężeniem zbrojenia nie jest właściwe.
Graniczna wysokość strefy ściskanej dotyczy przypadku przeważającego zginania (rys. W-2c). W przypadkach czystego lub przeważającego ściskania a także przeważającego rozciągania (rys. W-2a,b) wartości $ \nabla \xi_{ult}$ nie można przekroczyć, więc w tych przypadkach sprawdzenie warunku granicznej wysokości strefy ściskanej jest zbędne.
Dwukierunkowe zginanie My-Mz z udziałem N
Problem dwukierunkowego (ukośnego) zginania z udziałem siły osiowej występują praktycznie we wszystkich elementach słupowych, a w belkach najczęściej bez udziału siły osiowej.
Równania równowagi dla dwukierunkowego zginania
W przypadku dwukierunkowego zginania przekroju momentami $M_{Ed,y}$ oraz $M_{Ed,z}$ z udziałem siły osiowej $N_Ed$ skonsolidowane równanie równowagi $(\ref {19})$.stawiamy odrębnie dla obu kierunków
$$\begin{equation} R_y=(M_{Ed,y} – M_{c0,y}) – (N_{Ed,y}+2F_{sl,y} – F_{cy}) \cdot d_{0,y} + (F_{sl,y} \cdot a_{l,y} + F_{su,y} \cdot a_{u,y}) = 0 \label {40} \end{equation}$$
$$\begin{equation} R_z=(M_{Ed,z} – M_{c0,z}) – (N_{Ed,z}+2F_{sl,z} – F_{c,z}) \cdot d_{0,z} + (F_{sl,z} \cdot a_{l,z} + F_{su,z} \cdot a_{u,z}) = 0 \label {41} \end{equation}$$
W równaniach $(\ref{40})$ , $(\ref{41})$ występują dwie dodatkowe siły $N_{Ed,y}$ i $N_{Ed,z}$, które stanowią część całkowitej siły ściskającej przekrój $N_{Ed}$ przypadającej do zginania wokół osi $y$ momentem $M_{Ed,y}$ oraz wokół osi $z$ momentem $M_{Ed,z}$ składające się na całkowitą siłę ściskającą
$$\begin{equation} N_{Ed,y}+N_{Ed,z}=N_{Ed} \label {42} \end{equation}$$
Równanie $(\ref{42})$ sprzęga dwa zagadnienia zginania jednoosiowego w jedno zagadnieniu zginania ukośnego z uwzględnieniem interakcji obu prostych zagadnień.
Nośność obliczeniową przekroju $M_{Rd} (=M_{Ed})$, $N_{Rd}(=N_{Ed})$ mierzoną czystymi siłami przekrojowymi (momentem zginającym oraz siłą osiową), odpowiadającymi konkretnym kierunkom zginania (osiom przekroju) przy już wyznaczonym zbrojenia oraz wysokości strefy ściskanej $x$ wyznaczamy w sposób opisany w rozdziale Nośność przekroju betonowego.
Współdziałanie (interakcja) kilku sił redukuje nośność przekroju mierzoną czystą siłą (bez działania pozostałych). Dla przypadku jednokierunkowego zginania ze ściskaniem zależności interakcji pokazano na rys. Z-3.
W obliczeniach praktycznych zwykle przyjmuje się [2], (11-16), że składowe nośności zmniejszane są tym samym współczynnikiem redukcyjnym $k_{(M,N)}$:
$$\begin{equation} F_{Rd,(M,N)}= k_{(M,N)} \cdot \left [ M_{Rd} \, , \, N_{Rd} \right ] \label{43} \end{equation}$$
Współczynniki interakcji $k_{(M,N)}$ można wyznaczyć szacunkowo z zaleceń normy amerykańskiej w zależności od obszaru interakcji, określonej na podstawie odkształcenia zbrojenia dolnego (rozciąganego) $\varepsilon_{sl}$ [7] :
$$\begin{equation} k_{(M,N)} = \begin {cases}
0,65, & \text {dla } \varepsilon_{sl}\le \varepsilon_{sy} \\
0,65+ (\varepsilon_{sl}-\varepsilon_{sy}) \cdot 0,29 / \varepsilon_{cu}, & \text {dla } \varepsilon_{sy} < \varepsilon_{sl} < \varepsilon_{su} \\
0,90, & \text {dla } \varepsilon_{sl} \ge \varepsilon_{su}
\end {cases} \label{44} \end{equation}$$
gdzie:
$\varepsilon_{sy}=E_s / f_{yk}$ – odkształcenie plastyczne stali,
$\varepsilon_{su}$ – odkształcenie graniczne stali (odpowiadające granicy wytrzymałości),
$\varepsilon_{cu} =3,5$ ‰ ( $=\varepsilon_{cu2}$ w modelu MN ; = $\varepsilon_{cu3}$ w model uMU) – odkształcenie graniczne betonu
W załączonym arkuszu kalkulacyjnym LCżelbet interakcja momentu zginającego oraz siły osiowej jest uwzględniana dokładnie bez potrzeby stosowania uproszczonych formuł $(\ref{43})$ z $(\ref{44})$.
Powierzchnia interakcji ukośnego zginania przekroju żelbetowego
Na rys. Z-5 pokazano powierzchnię interakcji przekroju żelbetowego zginanego ukośnie.
Rys. Z-5 Powierzchnia interakcji N-My-Mz [8]
Na powierzchni interakcji można wydzielić izobary powstałe przez przekrój powierzchni interakcji płaszczyzną prostopadłą do osi sił N (równoleżnik). Aproksymacja powstałej w ten sposób krzywej interakcji dla ustalonej siły osiowe nazywana jest Metodą Konturu (MK) i jest opisana formułą $(\ref{53} )$ stosowaną w normie europejskiej [1] .
Przekrojem pionowym na powierzchni interakcji można wydzielić izokliny, ten sposób aproksymacji nazywany jest Metodą Odwrotności (MO) ze względu na postać formuły interakcji ($\ref{50}$). Metoda odwrotności została wprowadzona do normy amerykańskiej ACI 318-05,11.
Stosowanie uproszczonych formuł interakcji ($\ref{50}$) oraz ($\ref{53}$) uzasadnione jest trudnościami rachunkowymi w ścisłym ujęciu zagadnienia, a także uzyskiwaniem bezpiecznych rozwiązań, co zostało potwierdzona wieloma badaniami eksperymentalnymi i numerycznymi. W szeregu przypadkach zyskiwane rozwiązania są jednak zbyt konserwatywne, więc nieoptymalne [9] .
Rozprzężenie zginania ukośnego
Wyznaczenie przekrojowych sił osiowych $N_{Ed,y}$ i $N_{Ed,z}$, generujących siły w zbrojeniu $F_{sl}$ oraz $F_{su}$ $(\ref{111})$ w każdym kierunku zginania jest podstawowym problemem zginania ukośnego, powalającym rozdzielić problem sprzężony na dwa problemy proste. W zadaniu rozprzężenia poszukiwać będziemy współczynników rozdziału:
$$\begin {equation} r_y=N_{Edy}/N_{Ed} \quad ; \quad r_z=N_{Edz}/N_{Ed} \label {45} \end {equation}$$
Z warunku $(\ref{111})$, otrzymujemy oczywiście $r_y+ r_z=1$
Rozprzężenie zginania ukośnego można dokonać na wiele sposobów, z których omówimy trzy:
- S – proporcjonalnej sztywności.
- R proporcjonalnej nośności,
- MO – odwrotności nośności (metoda krzywej interakcji MO).
Metoda S rozprzężenia – proporcjonalnie do sztywności
Zgodnie z podstawową zasadą rozdziału sił przekrojowych proporcjonalnie do sztywności, przyjmujemy rozdzielniki sił $r_y$ oraz $r_z$ w dwóch kierunkach proporcjonalnie do sztywności przekroju :
$$\begin{equation} r_y =\cfrac{s_y}{S} \quad ; r_z =\cfrac{s_z}{S} \quad \label{46} \end {equation} $$
gdzie:
$ S =E_{cm} \cdot ( A_c +\alpha_e \cdot \Sigma A_s) $ – sztywność osiowa całego przekroju,
$s_y =E_{cm} \cdot (A_{cy} +\alpha_e \cdot A_{sy})$,
$s_z =E_{cm} \cdot (A_{cz} +\alpha_e \cdot A_{sz})$,
w których występuje stosunek modułów sztywności stali i betonu $\alpha_e=E_s/E_{cm}$.
Przyjmiemy założenie że ze zbrojeniem w danym kierunku współpracuje beton proporcjonalnie do pola przekroju danego zbrojenia:
$A_{cy}/A_{cz}=A_{sy}/A_{sz}$
Przy takim założeniu stosunek współczynników rozdziału (równy stosunkowi sztywności) jest równy stosunkowi przekroju zbrojenia
$$\begin{equation} r_{yz,S}=\cfrac{r_y}{r_z} =\cfrac{s_y}{s_z} =\cfrac{ A_{sy}} {A_{sz}} \label{47}\end {equation} $$
$$\begin{equation} r_{y,S} =\cfrac{r_{yz,S}}{1+r_{yz,S}} \label{48}\end {equation} $$
Metoda R rozprzężenia – proporcjonalnie do nośności
Dla $N_{Ed} > N_{Rdx}/3$ metoda MO jest zawodna (p. niżej). W takim przypadku rozdział siły osiowej $N_{Ed}$ przeprowadzimy proporcjonalnie do zbalansowanych nośności $N_{Rdy(N)}$ oraz $N_{Rdz(N)}$, uzyskanych z pomocniczego rozwiązaniu równań równowagi odrębnie dla każdego kierunku zginania, przy chwilowym założeniu, że przypadają na nie siły $(\ref{48})$ wyznaczone metodą S.
Nośności zbalansowane są wyznaczane z pełnego układu równań problemu, więc również z uwzględnieniem rozkładu odkształceń zgodnie z geometrycznym założeniem płaskich przekrojów. W wyniku otrzymamy :
$$\begin{equation} r_{y,R} =\cfrac{r_{yz,R}}{1+r_{yz,R}} \label{49} \end {equation} $$
gdzie $r_{yz,R}=\cfrac{N_{Rdy(N)}}{N_{Rdz(N)}}$
Metoda MO rozprzężenia – odwrotności nośności
Krzywą interakcji metody odwrotności MO jest określona przez trzy punkty na powierzchni interakcji (na rys Z-5) i można zapisać w postaci :
$$\begin {equation} \cfrac{1}{N_{Rd}} \approx \cfrac{1}{N_{Rdy}} + \cfrac{1}{N_{Rdz}} – \cfrac{1}{N_{Rdx}} \label {50} \end {equation}$$
gdzie:
$N_{Rd} $ – Nośność przekroju mierzona siłą osiową w stanie zginania ukośnego,
$N_{Rd,y}$ – nośność przekroju zginanego wokół osi y (bez ściskania i zginania wokół osi z),
$N_{Rd,z}$ – nośność przekroju zginanego wokół osi z (bez ściskania i zginania wokół osi y),
$N_{Rd,x}$ – nośność przekroju w stanie czystego ściskania (przy pominięciu zginania), opisana formułą $(\ref{54})$ .
W stanie granicznym $N_{Rd}=N_{Ed}$ , $N_{Ed,y}=N_{Rd,y}$ i $N_{Edz}=N_{Rd,z}$, a z równania interakcji $(\ref{50})$ po uwzględnieniu definicji $(\ref{46})$ i po przekształceniach można otrzymać :
$$\begin{equation} r_y \cdot (1-r_y)=\cfrac{n_{Ed}}{1+n_{Ed}} \label {51} \end {equation}$$
gdzie: $n_{Ed}=N_{Ed}/N_{Rdx}$.
Po rozwiązaniu tego równania względem $r_y$, otrzymujemy pierwiastek metody MO :
$$\begin{equation} r_{y,R1} =\cfrac{1}{4} \pm \sqrt{ \cfrac{1}{1+n_{Ed}}-\cfrac{3}{4}} \label{52} \end {equation}$$
Rozwiązanie powyższe ma fizyczny sens dla wyrażenia podpierwiastkowego większego od zera , czyli dla $n_{Ed}<1/3$. Oznacza to, że może być stosowane dla siły osiowej $N_{Ed}< N_{Rdx}/3$.
W granicy dla $N_{Ed}=0$ mamy $r_{y,R1} =0$ lub 1, co odpowiada $r_{z,R1}$=1 lub 0, to znaczy zginaniu jednokierunkowemu przekroju. W przypadku $N_{Ed}= N_{Rdx}/3$, mamy $r_{y,R1}=r_{z,R1}=1/2$
Metoda rozprzężenia zginania ukośnego stosowana w arkuszu LCŻelbet
Omówione wyżej metody są metodami przybliżonym i i każda z nich prowadzi do innego rezultatu, przy czym najbardziej odlegle wyniki uzyskuje się w metodzie MO.
Metody S i R prowadzą do formuł $(\ref {48})$ i $(\ref{49})$ o podobnej budowie, co pozwalałoby na ich łączne rozpatrzenie. Najprostsza jest metoda S i w proponowanym algorytmie w pierwszym kroku stosujemy tę metodę w celu wyznaczenia zbalansowanych nośności przekroju, na podstawie których prowadzi się ponowny rozdział sił metodą R, który przyjmuje się za wystarczające przybliżenie rozprzężenia problemu.
Powierzchnia interakcji My-Mz-N w Eurokodzie 2
Norma do projektowania na obciążenia sejsmiczne [10] sugeruje traktowanie dwuosiowego zginania poprzez przeprowadzanie kontroli osobno w każdym kierunku, z jednoosiową wytrzymałością na zginanie zmniejszoną o 30%. Takie podejście jest zbyt konserwatywne. Dokładniejsze jest podejście prezentowane w normie podstawowej [1], kl. 5.8.9 poprzez stosowanie krzywych interakcji metodą MK (Metodą Konturu), czyli przekrojami poziomymi-izobarami powierzchni interakcji) aproksymowanych formułą [1], (5.39) :
$$\begin{equation} \Lambda_R= \left ( \cfrac{M_{Edy}}{M_{Rdy}} \right )^{\alpha_y} + \left ( \cfrac{M_{Edz}}{M_{Rdz}} \right )^{\alpha_z} \le 1 \label{53} \end{equation}$$
Momentom zginającym przekrój w dwóch kierunkach $M_{Edz}, M_{Edy}$ i odpowiadają nośności przekroju $M_{Rdz}, M_{Rdy}$ wyznaczone zgodnie z $(\ref{116})$ odrębnie dla stosownych kierunków zginania .
Normowy wykładnik powierzchni interakcji
Wykładniki interakcji w [1] przyjmuje się jednakowe dla obu kierunków $ \alpha_y= \alpha_z = a $,. Dla przekroju prostokątnego wykładnik potęgi $a$ można przyjmować zgodnie z tab. Z-2 w zależności od względnej siły osiowej $n_{Ed}=N_{Ed}/N_{Rdx}$, gdzie nośność odniesienia $N_{Rdx}$ wyznacza się z formuły:
$$\begin {equation} N_{Rdx}= A_{cx} \cdot f_{cd} + ΣA_s \cdot f_{yd} \label {54} \end {equation}$$
Tab. Z-2 Wykładnik krzywej interakcji My-Mz dla przekroju prostokątnego [1]
Dla przekroju kołowego lub eliptycznego $a=2,0$. Formułę $(\ref{53})$ zaproponował Bresler [11] , który wskazał, że a=1,15 do 1,5. W przypadku przekrojów kwadratowych zaproponował a=1,5 do 2,0. W komercyjnym programie STAAD stosuje się a=1,24 dla wszystkich kształtów przekroju.
Wartości pośrednie wykładnika interakcji należy aproksymować. Na rys. Z-6 pokazano wykres wykładnika a w funkcji względnej siły osiowej i aproksymacyjny wielomian drugiego stopnia przechodzący przez punkty z tab. Z-2
Rys. Z-6 Wykres wykładnika interakcji z tab. 2 i krzywa interpolacyjna
Uogólnione wykładniki powierzchni interakcji
W niniejszym artykule przyjmuje się, że wykładniki powierzchni interakcji $(\ref{53})$ są różne w zależności od kierunku zginania: $\alpha_y \neq \alpha_z$ i są wyznaczane z rys. Z-6 dla względnych sił:
$n_{Ed,•}=N_{Ed,•}/N_{Rdx}$,
gdzie indeks •=y,z
to znaczy podług zależności korelacyjnej
$$\begin {equation} \alpha_•=0,98 + 0,093 \cdot n_{Ed,•} + 0,926 {n_{Ed,•}}^2 \label {55} \end {equation}$$
Rozwiązanie zagadnienia belki żelbetowej
Postawienie zadania pręta żelbetowego zginanego z udziałem siły osiowej
W zagadnieniu zginania ze ściskaniem/rozciąganiem przekroju żelbetowego poszukujemy sześciu niewiadomych (p. rys. Z-1):
$x$ – wysokość strefy ściskanej betonu, czyli pola przekroju ściskanego betonu $A_{cx}= x\cdot b$
$A_{sl}$ – pole przekroju zbrojenia dolnego (rozciąganego)
$A_{su}$- pola przekroju zbrojenia górnego umieszczonego w strefie ściskanej betonu.
$\sigma_{c}$, – naprężeń ściskających beton,
$\sigma_{sl}$, – naprężeń w zbrojeniu dolnym,
$\sigma_{su}$, – naprężeń w zbrojeniu górnym,
a do dyspozycji mamy tylko dwa warunki równowagi sił:
$\Sigma X=0$ – stateczność sumy rzutów sił na oś poziomą X
$\Sigma M_i =0$ – stateczność momentów względem dowolnej osi
i = ( O, l, u) = (oś przekroju betonowego, oś dolnego zbrojenia, oś górnego zbrojenia).
Wybór osi jest dowolny, ale tylko jeden z warunków ΣM jest niezależny.
Trzeci warunek wynika z założenia 1 , czyli zasady płaskich przekrojów.
Warunki czwarty piaty i szósty wynikają z założenia 2, czyli prawa fizycznego Hooka kolejno dla: betonu $(\ref{23})$, zbrojenia rozciąganego i zbrojenia ściskanego $(\ref{27})$.
Siódmy warunek wynika z założenia 3, czyli $max \, \varepsilon_c = 3,5$ %.
Dodatkowo na podstawie licznych obserwacji eksperymentalnych – przyjmuje się funkcję rozkładu naprężeń po wysokości ściskanej części przekroju betonowego ($x$) podług paraboli w sposób przedstawiony w modelu MN. W tym nieliniowym modelu wypadkowa siła ściskająca beton wynosi $F_c=17/21=0,81\cdot (b\cdot x \cdot f_{cd}$)
W celu uproszczenia obliczeń dopuszcza się stosowanie modelu uproszczonego MU – zastąpienie rozkładu nieliniowego – rozkładem równomiernym, ale na mniejszej wysokości – zamiast na wysokości rzeczywistej $x$ – na wysokości efektywnej $x_{eff}= \lambda \cdot x$ , gdzie $\lambda =0,8 \approx 17/21$ dla betonu zwykłego BZ.
Ogólna procedura rozwiązania problemu belki żelbetowej
Rozwiązanie zagadnienia belki żelbetowej zginanej i ściskanej polega na zestawieniu wskazanych wyżej zależności i rozwiązaniu utworzonego układu równań.
Układ równań rządzący zagadnieniem jest w ogólności nieliniowy i w zasadzie nie da się sformułować ogólneggo rozwiązania analitycznego w „kwadraturach”. Znane rozwiązania ( np [12], [5] ) są dość skomplikowane, wielowątkowe i definiują wiele różnych przypadków projektowych dla poszczególnych układów konfiguracyjnych (stosunków sił) jednoczesnego zginania ukośnego przekroju momentem zginającym $M_{Ed,y}$ wokół osi y , momentem zginającym $M_{Ed,z}$ wokół osi z oraz ściskania/rozciągania siłą osiową $N_{Ed}$. W niniejszym artykule ten problem dla zginania jednoosiowego ze ściskaniem jest przedstawiony w rozdziale dwukierunkowe zginanie My-Mz z udziałem N.
Proste jest rozwiązanie zadania szczególnego: czystego jednokierunkowego zginania momentem zginającym $M_{Ed}$ bez udziału siły osiowej $N_{Ed}$. Klasyczne metody projektowania zbrojenia belki są wynikiem rozwiązania tego szczegółnego zadania.
Klasyczna technika projektowania belki jednosiowo zginanej bez udziału siły osiowej
W klasycznej technice wyznaczania zbrojenia rozciąganego (dolnego) belki $A_{sl}$ stosuje się uproszczony, prostokątny rozkład z rys. Z-2, , a także zakłada się, że przekrój nie jest ściskany ani rozciągany siłą osiową $ (N_{Ed}≡ 0$)
Taką metodę klasyczną nazwiemy MU (od modelu betonu).
Podstawowym zadaniem w projektowaniu żelbetowej belki zginanej jest wyznaczenie wysokości $x$ strefy ściskanej betonu oraz potrzebnych, teoretycznych powierzchni zbrojenia dolnego (rozciąganego) $A_{sl}^T$ oraz górnego (ściskanego) $A_{su}^T$. Na podstawie powierzchni teoretycznych dobiera się liczbę oraz średnice prętów które dają powierzchnie rzeczywiste zbrojenia Dla takiego znanego przekroju i zbrojenia można wyznaczyć wydłużenia, a następnie siły w poszczególnych prętach i rzeczywistą wysokość strefy ściskanej oraz nośność przekroju.
Warunek wytrzymałościowy jednoosiowo zginanego przekroju żelbetowego
W przypadku czystego zginania przekroju żelbetowego obliczeniowym momentem zginającym pochodzącym od obciążeń zewnętrznych $M_{Ed}$ wymaga się by obliczeniowa nośność przekroju $M_{Rd}$ była większa od obciążenia, co zapisuje się w postaci: (bezwzględnej) $\parallel \to\parallel$ (unormowanej):
$$\begin{equation} M_{Rd} \ge M_{Ed} \quad \parallel \to\parallel \quad m_{Rd} \ge m_{Ed} \label {56} \end{equation}$$
Klasyczna metoda MU
Klasyczna technika MU dotyczy problemu jednosiowego, czystego zginania i przekroju pojedynczo zbrojonego
Nośność przekroju pojedynczo zbrojonego [-]
Nośność przekroju pojedynczo zbrojonego [-], czyli nośność przekroju bez zbrojenia górnego, ściskanego ($A_{su}=0$ , czyli $F_{su}=0$ oznaczmy przez $M_{Rd,[-]}$. Nośność tą można bezpośrednio wyznaczyć z warunku równowagi momentów wokół osi zbrojenia rozciąganego jako nośność ściskanej bryły betonu $M_{Rd,c}$ – siła w zbrojeniu $F_{sl}$ nie uczestniczy w warunku. Otrzymamy:
$$\begin{equation} M_{Rd,[-]} = M_{Rd,c} \quad \parallel \to\parallel \quad m_{Rd,[-]} = m_{Rd,c}\label {57} \end{equation}$$
gdzie
$$\begin{equation} M_{Rd,c}= F_c \cdot z = b \cdot x_{eff} \cdot \eta f_{cd} \cdot (d – x_{eff}/2) \quad \parallel \to\parallel \quad m_{Rd,c }=\eta \cdot \xi_{eff} \cdot \left ( 1 – \xi_{eff}/2 \right) \label {58} \end{equation}$$
gdzie:
$x_{eff}=\lambda x $,
$\lambda$ ($\ref{13}$) i $\eta$ ($\ref{14}$) zależą od klasy betonu,
$\xi=x/d$
Wysokość strefy ściskanej i ramię sił
W staniu granicznym, czyli dla $m_{Rd,c } = m_{Ed}$ – z równania kwadratowego $ (\ref{58})^2$ możemy wyznaczyć wysokość strefy ściskanej $\xi$ jako pierwiastki równania:
$$\begin{equation} \quad \parallel \to\parallel \quad \xi= 1 \pm \sqrt{1- 2 \cdot m_{Ed}/ \eta} \label {59} \end{equation}$$
Ponieważ w rozpatrywanym zagadnieniu zginania $\xi> 1$ nie ma sensu fizycznego, więc pozostaje pierwiastek
$$\begin{equation} \quad \parallel \to\parallel \quad \xi(m_{Ed}) = 1 – \sqrt{1 – 2\cdot m_{Ed}/ \eta} \label {60} \end{equation}$$
Często posługuje się ramieniem sił wewnętrznych $ z= d- x_{eff}/2$, czyli po unormowaniu:
$$\begin{equation} \quad \parallel \to\parallel \quad \zeta(m_{Ed}) =1- \xi_{eff}/2 = \cfrac{1+\sqrt{1- 2\cdot m_{Ed}/ \eta}}{2} \label{61} \end{equation}$$
Należy zwrócić uwagę, że ($\ref{59}$), ($\ref{60}$) oraz ($\ref{61}$)dają wynik rzeczywisty wówczas gdy wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, czyli dla $m_{Ed} \le 0,5 \cdot \eta$.
Zbrojenie rozciągane
Dla znanej wysokości strefy ściskanej i momentu zginającego z warunku równowagi momentów względem wypadkowej siły w betonie $F_c$, bezpośrednio wyznaczamy siłę w zbrojeniu dolnym – w punkcie wypadkowej (resulting ) (p. rys. Z-2): $F_{sl}= F_{sl,r}$ z otuleniem osiowym $a_l= a_{l,r}$, wysokością efektywną $d=d_l = d_r$ oraz ramieniem sił $z=z_r$
$$\begin{equation} F_{sl}=\cfrac{M_{Ed}}{z}\label {62} \end{equation}$$
a następnie teoretyczne pole przekroju zbrojenia:
$$\begin{equation} A_{sl} = \cfrac{M_{Ed}} {z \cdot f_{yd} } \quad \parallel \to\parallel \quad A_{sl}(m_{Ed}) = \cfrac{m_{Ed}} {\zeta} \cdot A_{c.s}\label {63}\end{equation}$$
gdzie sprowadzone do stali efektywne pole betonu $A_{c,s}$ ($\ref{11}$)
Zmodyfikowana metoda MU*
Zmodyfikowana metoda MU* rozszerza metodą klasyczną na przekrój podwójnie w ogólności niesymetrycznie zbrojony zastosowaniem koncepcji redukcji obciążenia zewnętrznego przez nośność zbrojenia ściskanego, górnego.
Model metody MU*
Każdy przekrój żelbetowy jest podwójnie zbrojony, nawet wówczas, gdy ze względów obliczeniowych zbrojenie ściskane nie jest wymagane. Zgodnie z zasadami kształtowania belek przy górnej krawędzi belki należy dać bowiem min 2 pręty (najczęściej o średnicy jak zbrojenie dolne). Ważnym przykładem zastosowania konstrukcyjnego zbrojenia górnego jest pokazany na rys. Z-7, często spotykany przekrój teowy ukształtowany przez włączenie do współpracy z belką części płyty.
Rys. Z-7 . Zalecenia zbrojenia przekroju teowego [13], Fig 5.15
W modelu obliczeniowym, pokazanym na rys. Z-8 przyjmuje się, że w pasie przekroju o szerokości $b_f$ występuje zbrojenie z płyty $A_{su}^{constr}$, które często musi być jeszcze uzupełnione zbrojeniem belki $A_{su}^{add}$.
Rys. Z-8 Model zginanego przekroju T. Zbrojenie konstrukcyjne jest zbrojeniem płyty
Wśród inżynierów utrwalone jest stosowanie klasycznej techniki zbrojenia belki metodą MU. Technikę projektowania przekroju podwójnie zbrojonego MU* wprowadzimy w drodze modyfikacji metody MU.
Podstawą metody MU* jest założenie, że ściskane zbrojenie górne przekroju podwójnie zbrojonego [=] jest zasadniczo znane i składane jak następuje:
$$\begin{equation} A_{su,[=]} = A_{su}^{constr} + A_{su}^{add} \label {64}\end{equation}$$
gdzie:
$A_{su}^{constr}$ – zbrojenie górne , które należy zastosować z innych względów niż obliczeniowe (konstrukcyjnych). Na rys. Z-7 zbrojenie konstrukcyjne jest zbrojeniem płyty stropowej (rozdzielczym).
$A_{su}^{add}$ – zbrojenie górne , które należy dodać w przypadku, gdy nośność betonu wraz ze ściskanym zbrojeniem konstrukcyjnym jest niewystarczająca do przeniesienia obciążeń ze względu na niebezpieczeństwo kruchego pękania.
Zredukowane obciążenie MEd*
Zbrojenie ułożone w strefie ściskanego betonu zwiększa nośność $M_{Rd,[-]} = M_{Rd,c}$ ($\ref{57}$) bryły ściskanej przekroju pojedynczo zbrojonego o nośność zbrojenia ściskanego $M_{Rd, su}$, do:
$$\begin{equation} M_{Rd,[=]} =M_{Rd,c} + M_{Rd,su} \quad \quad \parallel \to\parallel \quad m_{Rd,[=]} =m_{Rd,c} + m_{Rd,su}\label {65} \end{equation}$$
gdzie moment zginający $M_{Rd,su}$ przenoszony przez zbrojenie górne jest liczony w tym samym układzie co $M_{Rd,c}$, ($\ref{58}$) czyli względem osi zbrojenia rozciąganego i wynosi
$$\begin{equation} M_{Rd, su} = F_{su} \cdot (d- a_u) = A_{su} \cdot f_{yd} \cdot (d-a_u) \quad \parallel \to\parallel \quad m_{Rd, su}=\cfrac{ A_{su}}{A_{c,s}} \cdot (1-a_u/d) \label {66} \end{equation}$$
gdzie $A_{c,s}$ jest sprowadzonym do stali przekrojem betonu ($\ref{11}$).
W ($\ref{66}$) uwzględniono, że naprężenie w pręcie wynosi $\sigma_{cu}= E_s \cdot \varepsilon_{cu}$, czyli jest zgodne z odkształceniem niespękanego betonu, w którym pręt jest zanurzony i zawiera się w przedziale $ \varepsilon_{c2}$ =2‰ $\le \varepsilon_{su}$ < $\varepsilon_{cu2}$=3,5‰. Ponieważ stal B500 przy odkształceniu 2,5‰ jest już w pełni uplastyczniona, więc przyjęto $\sigma_{su}=f_{yd}$.
Formułę ($\ref{65}$) w stanie granicznym, czyli dla $M_{Rd},[=]=M_{Ed}$ można zapisać w postaci dogodnej do wprowadzenia zmodyfikowanej metody klasycznej MU*, czyli metody zredukowanego obciążenia przekroju:
$$\begin{equation} M_{R,dc} \ge M_{Ed}^* = \quad \parallel \to\parallel \quad m_{R,dc} > m_{Ed}^* \label {67} \end{equation}$$
gdzie zredukowane obciążenie przekroju wynosi:
$$\begin{equation} M_{Ed}^* = M_{Ed} -M_{Rd,su} \quad \parallel \to\parallel \quad m_{Ed}^* = m_{Ed} – m_{R,d,su} \label {68} \end{equation}$$
Formułę ($\ref{67}$) uzyskano poprzez przeniesienie na stronę obciążenia składnika nośności strefy ściskanej $M_{Rd, su}$, co było mołżiwe dlyaego, że $M_{Rd, su}$ nie jest funkcją poszukiwanej wysokości strefy ściskanej $x$. Formuła ($\ref{67}$) jest analogiczna do standardowej ($\ref{56}$), ale zamiast obciążenia $M_{Ed}$ występuje w niwj obciążenie zredukowane $M_{Ed}^*$.
Z klasycznych formuł ($\ref{60}$) i ($\ref{61}$) dla zredukowanego obciążenia możemy więc wyznaczyć wysokość strefy ściskanej oraz ramię sił wewnętrznych, przy czym wskutek zredukowania (zmniejszenia) momentu zginającego ($\ref{68}$) – zmniejsza się wysokość strefy ściskanej $\xi$ oraz zwiększa ramię sił wewnętrznych $\zeta$ , co w dalszej konsekwencji prowadzi do zmniejszenia zbrojenia dolnego.
Wysokość strefy ściskanej oraz ramię sił wyznaczone dla obciążenia zredukowanego nie są wartościami zredukowanymi, lecz rzeczywistymi również w stanie pełnego obciążenia $m_{Ed}$. Gwiazka jako górny indeks nad wysokoscią stredffy ściskanej i ramienian sił oznacza jedynie, że zostały wtyznavczone od zrukowanego obciążenia i w skrócie mogą być nazwane jako zredukowane.
Zbrojenie dolne $A{sl}$ można więc wyznaczać z klasycznej formuły ($\ref{63}$) dla obciążenie całkowitego i zredukowanego ramienia sił. Z powyższego wynika, że redukcję momentu zginającego dokonujemy wyłącznie na potrzeby oszacowania wysokości strefy ściskanej i ramienia sił.
Uwaga:
W literaturze często spotyka się zalecenie, by po dodaniu zbrojenia w strefie ściskanej $A_{su}$, w celu zachowania równowagi sił poziomych, zbrojenie dolne zwiększyć o zbrojenie górne: $A_{sl}=+ A_{su}$.
Takie zalecenie jest błędne, ponieważ po dodaniu zbrojenia w strefie ściskanej nastąpi zwiększenie ramienia sił wewnętrznych $\zeta$ i w konsekwencji zbrojenie $A_{sl,[-]}$ należy wyznaczyć powtórnie dla ramienia sił $\zeta^*$ przkroju poddanego zredukowanemu onciązeniu. Zbrojenie dolne przekroju podwójnie zbrojonego $A_{sl,[=]}$ będzie mniejsze (a nie większe) od zbrojenia przekroju pojedynczo zbrojonego $A_{sl,[-]}$
Hryterium dodatkowego zbrojenia ściskanego
Determinantą stosowania dodatkowego śćiskanego zbrojenia górnego jest nadwyżka momentu zginającego przekrój, przenoszonego przez ściskany beton nad momentem granicznym $m_{ult}$ ($\ref{38}$):
$$\begin{equation} \Delta m (\mu) = \mu – m_{ult} \label {69} \end{equation}$$
przy czym $\Delta m(\mu)$ zależy od zmiennej $\mu$, która może przyjąć wartośći:
- całkowitego momentu zginającego $\mu =m_{Ed}$ w sytuacji oceny potrzeby zbrojenia ściskanego bez zbrojenia konstrukcyjnego,
- zredukowanego momentu zginającego $\mu=m_{Rd}^*$ w sytuacji oceny potrzeby dodatkowego zbrojenia ściskanego strefy z wbudowanym zbrojeniem konstrukcyjnym
Kryterium zbrojenia górnego można zapisać w postaci:
$$\begin{equation} \text{ Jeżeli } \Delta m (m) \begin {cases}
\le 0, & \text{ to nie trzeba dodawać zbrojenia górnego } A_{su}^{add}=0\\
> 0 ,& \text {to trzeba dodać zbrojenie górne} A_{su}^{add}>0\\
\end {cases} \label{70} \end{equation}$$
Zbrojenie ściskane, górne przekroju podwójnie zbrojonego [=]
Dodatkowe zbrojenie górne $A_{su}^{add}$ dobiera się na nadwyżkę momentu zginającego $\Delta m= m_{Ed}^* – m_{ult}>0 $ ($\ref{69}$), której nie może przejąć beton ściskany wraz ze zbrojeniem konstrukcyjnym $A_{su}^{constr}$:
Dodatkowe zbrojenie górne można wyznaczyć z rozwiązania zależności ($\ref{66}$) względem $A_{su}$ ( po zastąpieniu $m_{su}$ przez $\Delta m$ ):
$$\begin{equation} A_{su}^{add} = \cfrac{\Delta m}{1-a_u/d} \cdot A_{c,s} \label {71} \end{equation}$$
Całkowite zbrojenie górne przekroju podwójnie zbrojonego $A_{su},[=]$ jest sumą zbrojenia konstrukcyjnego i dodatkowego zgodnie z formułą ($\ref{64}$)
Zbrojenie rozciągane, dolne przekroju podwójnie zbrojonego [=]
Ramię sił zbrojenia dolnego
Zredukowany moment zginający wyznaczony dla sumy zbrojenia górnego wynosi zgodnie z ($\ref{74}$):
$$\begin{equation} m_{Ed,[=]}^*=m_{Ed}- m_{su} (A_{su,[=]}) \label {72} \end{equation}$$
gdzie $ A_{su,[=]}$ ($\ref{64}$).
Korekta w trakcie
Zbrojenia dolne $A_{sl,[=]}$ przekroju podwójnie zbrojonego uzyskuje się z klasycznej formuły ($\ref{63}$) dla całkowitego (niezredukowanego) obciążenia $m_{Ed}$ oraz zredukowanego ramienia sił $\zeta^* = \zeta (m_{Ed,[=]}^*)$, co można zapisać w postaci
$$\begin{equation} A_{sl,[=]} = \cfrac{M_{Ed}} {z^* \cdot f_{yd} } \quad \parallel \to\parallel \quad A_{sl} = \cfrac{m_{Ed}} {\zeta^*} \cdot A_{c.s}\label {73}\end{equation}$$
gdzie $z^*=\zeta^*\cdot d$
Przypadki wymiarowania pręta zginanego ZM, ZS i ZD
W zależności od wielkości momentu zginającego działającego na przekrój można wyróżnić trzy przypadki wymiarowania:
ZM – małe zginanie, wówczas, gdy konstrukcyjne zbrojenie górne nie powoduje zmiany zbrojenia dolnego (przykład Z-1),
ZS – średnie zginanie . wówczas, gdy konstrukcyjne zbrojenie górne prowadzi do zmiany zbrojenia dolnego (przykład Z-2),
ZD – duże zginanie , wówczas gdy należy stosować dodatkowe zbrojenie górne (pzykład Z-3).
Siły w zbrojeniu
Dla znanej wysokości strefy ściskanej $x$ z zasady płaskich przekrojów ($\ref{15}$) oraz prawa fizycznego dla stali $\ref{27}$) można wyznaczyć siły w zbrojeniu
$$\begin{equation} F_{sl} = [\varepsilon_{cu2} \cdot (d_l /x-1)]\cdot E_s \cdot A_{sl}^R \label {74} \end{equation}$$
$$\begin{equation} F_{su} = [\varepsilon_{cu2} \cdot (1 – d_u/x]\cdot E_s\cdot A_{su}^R \label {75} \end{equation}$$
Uwagi krytyczne o klasycznej technice projektowania przekrojów zginanych
- Klasyczna technika projektowania przekrojów zginanych nie uwzględnia relacji odkształceń w betonie i stali, oraz prawa fizycznego, betonu i stali, w przypadku metosy NU nie są spełnione podstawowe warunki równowagi sił, na skutek pomijania zbrojenia górnego.
- Każdy przekrój żelbetowy jest w rzeczywistości podwójnie zbrojony, a w klasycznej technice jest wymiarowany jako pojedynczo zbrojony.Ta wada metody MU jest usunięta w proponowanej w niniejszym artykule zmodyfikowanej metodzie MU*.
Wybrane zagadnienia
Zbrojenie wielowarstwowe
W przypadku zbrojenia wielowarstwowego wiązkę (układ) zbrojenia skupia się w jeden punkt obliczeniowy środek ciężkości dolnych prętów rozciąganych (p. rys. Z-2) lub górnych ściskanych (jeśli ułożono w wielu warstwach), przy czym odległość wypadkowej siły w zbrojeniu od dolnej krawędzi belki ( efektywne otulenie osiowe) wyznacza się jako średnią ważoną otulenia osiowego warstw zbrojenia:
$$\begin{equation} a_{l,r}\approx \cfrac{ \sum A_{sl,i} \cdot a_{l,i}}{\sum A_{sl,i}} \label {76}\end{equation}$$
gdzie i – numer warstwy zbrojenia.
Dostateczność sposobu ($\ref{76}$) wynika z równowagi momentu $M_{sl}$ wywołanego siłą zastępczą $F_{sl,r}$ i wiązką sił $F_{sl,i}$ względem wypadkowej siły w betonie
$M_{sl} = F_{sl,r}\cdot z_r= \sum F_{sl,i}\cdot z_i$
Stąd po uwzględnieniu prawa fizycznego oraz zasady płaskich przekrojów $\varepsilon_{sl,i}=\varepsilon_{cu} \cdot (h- x – a_{l,i})/x$ i po przekształceniach otrzymamy
$$\begin{equation} a_{l,r} = \cfrac{ \left( \sum A_{sl,i} \cdot a_{l,i} \right) -\left( \sum A_{sl,i} \cdot a_{l,i}^2 \right)/(h-x)} { \left( \sum A_{sl,i} \right) -\left( \sum A_{sl,i} \cdot a_{l,i} \right)/(h-x)} \label {77}\end{equation}$$
W pierwszym przybliżeniu ($\ref{77}$) można aproksymować przez ($\ref{76}$), ponieważ skladniki ujemne sa znacznie (praktycznie o rząd) mniejsze od dodatnich. Można też, przed wyznaczeniem wysokości strefy ściskanej, przyjąć oszacowanie $ x \approx 0,2 \cdot h $.
Konstruowanie zbrojenia z wiązki prętów o mniejszej średnicy które są rozmieszczone w jednej lub kilku warstwach w strefie ekstremalnego rozciągania jest bardziej skuteczne w kontrolowaniu pęknięć i poprawie wiązania (przyczepności) od stosowania mniejszej liczny prętów o większych średnicach. W tab. K-2 podano maksymalne średnice prętów, które można stosować z warunku ograniczenia rys. W wysokich belkach, znaczna część środnika będzie rozciągana, a prawidłowo rozłożone zbrojenie rozciągane zapewnia ograniczenie rozwarcia rys na spodzie belki. Jednakże nadmierne pęknięcia mogą pojawić się wyżej – w środniku i w tych przypadkach , szczególnie w środowisku o zmiennej temperaturze i skurczu – należy stosować boczne siatki (rys. K-5).
Przekrój kołowy
Model żelbetowego przekroju kołowego
Analizę zginania belki żelbetowej o przekroju kołowym przeprowadzimy z wykorzystaniem koncepcji Di Laora (2020) [14] w której dyskretne pręty zbrojenia rozłożone na obwodzie pręta (rys. Z-4a) zastąpiono ciągłą ścianką rury o takim samym całkowitym polu przekroju stali $A_s$(rys. Z-4b). W rezultacie otrzymano stosunkowo proste zależności analityczne praktycznie bez utraty wymaganej w obliczeniach inżynierskich dokładności rozwiązania ścisłego (różnica pomiędzy proponowanym rozwiązaniem, a wynikami dokładnej numerycznej analizy w modelu MN nie przekracza 5%).
W prezentowanym podejściu stosujemy zredukowane wytrzymałości betonu i stali :
$$\begin{equation} f_{cd}^{’}= \eta_c \cdot f_{cd} \, ; \quad \eta_c=0,9 \label {78}\end{equation}$$
Współczynnik redukcji $\eta_c=0,9$ stosuje się zgodnie z poleceniem normy Eurokod 2 [1],uwaga pod kl. 3.1.7(3) : „Jeśli szerokość strefy ściskanej zmniejsza się w kierunku skrajnego włókna ściskanego, to wartość $\eta f_{cd}$ należy zmniejszyć o 10 %.„.
$$\begin{equation} f_{yd}^{’}= \eta_s \cdot f_{yd} \, ; \quad \eta_s = 0,95 \label {79}\end{equation}$$
Współczynnik redukcji $\eta_s=0,95$ stosuje za pracą [14] się w celu skalibrowania zastępczego modeluzbrojeniea ( zamiast dyskretnych prętów – ścianka rury).
Model MU przekroju kołowego pokazano na rys. Z-9
Rys. Z-9 Model obliczeniowyżelbetowego przekroju kołowego
Z zależności zobrazowanych na rys. Z-9 można ustalić następujące związki geometryczne:
$$\begin{equation} \Theta = arccos \left( 1- \cfrac{x_{eff}}{R} \right) \quad ; \quad A_{cx}= R^2\cdot [\Theta -(sin 2\Theta)/2 ]\label {80}\end{equation}$$
$$\begin{equation} r_c = \cfrac{4}{3} \cdot \cfrac{sin^3 \Theta}{2\Theta – sin 2\Theta}\cdot R \quad ; \quad r_{s,u}= d \cdot \cfrac{sin \Theta}{\Theta }\quad ; r_{s,l}= d \cdot \cfrac{sin \Theta}{\pi – \Theta }\quad\label {81}\end{equation}$$
Postawienie zadania
W zadaniu ,mimośrodowego zginania przekroju kołowego poszukujemy wymaganego zbrojenia przekroju $A_s$ lub stopnia zbrojenia przekroju $\rho=\cfrac {A_s}{A_c}$ ($\ref{9}$)
Wprowadźmy pojęcie efektywnego stopnia zbrojenia przekroju (sprowadzonego do do zredukowanej wytrzymałości stali i betonu)
$$\begin{equation} \rho^{’}= \rho \cdot \cfrac{f_{yd}^{’}}{f_{cd}^{’}} = \cfrac{\overline N_{Rd,c}}{\overline N_{Ed,s}} \label {82}\end{equation}$$
gdzie nośności porównawcze betonu i stali na ściskanie wynoszą:
$$\begin{equation} \overline N_{Rd,c}= A_c f_{cd}^{’} =\pi/4 \cdot D^2 f_{cd}^{’}\label {83}\end{equation}$$
$$\begin{equation} \overline N_{Rd,s}= A_s f_{yd}^{’}\label {84} \end{equation}$$
Do wyznaczenia efektywnego stopnia zbrojenia ($\ref{82}$) mamy do dyspozycji dwa równania równowagi:
- $\sum X=0$ sumy rzutów sił na oś poziomą, który na podstawie rys. Z-9 ( też [14]- wzory (1),(2)), można zapisać w postaci:
$$\begin{equation} \cfrac {R^2}{2}\cdot ( 2 \Theta – sin 2 \Theta ) f_{cd}^{’} + \cfrac{ \Theta}{ \pi} \cdot A_s f_{yd}^{’} \, – \, \cfrac{ \pi – \Theta} { \pi}\cdot A_s f_{yd}^{’} \label {85} \end{equation}$$
$$\begin{equation} \parallel \to \parallel \quad (2 \Theta – sin 2 \Theta) + 2 \Theta \cdot \rho^{’} – 2(\pi – \Theta) \cdot \rho^{’} = 2 \pi \cdot n_{Ed} \label {86}\end{equation}$$
gdzie obciążenie przekroju siłą osiową
$$\begin{equation} N_{Ed} \quad \parallel \to\parallel \quad n_{Ed}=N_{Ed}/ \overline N_{R{dc}} \label {87}\end{equation}$$
$\overline N_{R{dc}}$ wg ($\ref{83}$)
- $\sum M=0$ sumy momentów względem osi przekroju (osi działania siły osiowej)
$$\begin{equation} M_{Rd} = M_{Ed} \quad \parallel \to \parallel m_{Rd}=m_{Ed} \label {88}\end{equation}$$
Czynnik normujący moment $(\ref{2}$) (podzielnik obu stron równania ($\ref{88}^1$)) dla przekroju kolowego przyjęto w postaci
$$\begin{equation} \overline M =2 \pi R^3\cdot f_{cd}^{’}\label {89}\end{equation}$$
Obliczeniowa nośność przekroju na zginanie jest sumą nośności betonu $M_{Rd,c}$ oraz stali (rozciąganej i ściskanej) $M_{Rd,s}$:
$$\begin{equation} M_{Rd} = M_{Rd,c} + M_{Rd,s} \quad \parallel \to\parallel \quad m_{Rd}= m_{Rd,c}+ m_{Rd,s}\label {90}\end{equation}$$
Składowe nośności przekroju ($\ref{89}$) wyznaczone z zależności zobrazowanych na rys. Z-9 (też [14]- wzór (5)) wynoszą :
$$\begin{equation} M_{Rd,c} =\cfrac{2}{3} \cdot R^3 \cdot sin^3 \Theta \cdot f_{cd}^{’}\quad \parallel \to\parallel \quad m_{Rd,c} =\cfrac{1}{3 \pi}sin^3 \Theta \label {91}\end{equation}$$
$$\begin{equation} M_{Rd,s}= \cfrac{2}{\pi} \cdot d_r \cdot A_s \cdot sin \Theta \cdot f_{yd}^{’} \quad \parallel \to \parallel \quad\ m_{Rd,s}= \cfrac{d}{ \pi R \cdot \rho^{’} } \cdot sin \Theta\label {92}\end{equation}$$
gdzie efektywny promień przekroju $d_r = (R-a)$ ,
Rozwiązanie zadania zginania przekroju kołowego
Wyznaczmy najpierw wysokość strefy ściskania dla założonego stopnia zbrojenia przekroju $\rho^{’}$ z równania ($\ref{92}$) w stanie granicznym dla $ m_{Rd}=m_{Ed}$ , gdzie $m_{Rd}$ wg ($\ref{90}$),do ($\ref{92}$). Równanie to ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty
$$\begin{equation} \Theta= arcsin {\left ( \cfrac{W}{ R } \, – \,\cfrac{d \cdot \rho^{’}} {W} \right )}\label {93}\end{equation}$$
gdzie wyróżnik rozwiązania:
$$\begin{equation} W= \left([ 1/2 \cdot \left ( m_{Ed,R} + \sqrt{ (m_{ Ed,R})^2+ 4 \cdot (\rho^{’} \cdot d_r \cdot R) ^3 } \right ) \right]^{1/3} \label {94}\end{equation}$$
W wyrażeniu na wyróżnik ($\ref{94}$) wprowadzono dodatkowe oznaczenia na względny moment zginający $m_{Ed, R}$
$$\begin{equation} m_{Ed, R}= 3 \pi \cdot R^3 \cdot m_{Ed} \label {95}\end{equation}$$
Dla znanej wielkości strefy ściskania betonu z ($\ref{86}$) można wyznaczyć stopień zbrojenia przekroju. Przy braku siły osiowej $n_{Ed}=0$ mamy:
$$\begin{equation} \rho^{’} = \cfrac{ \Theta – sin\Theta \cdot cos \Theta}{2 \Theta -\pi} \label {96}\end{equation}$$
Rozwiązanie nieliniowego układu równań ($\ref{93}$)+($\ref{96}$) można dokonać dowolną metodą numeryczną. Zalecane jest zastosowanie podstawowego programu inżyniera – Excel z dodatkiem Solver (w wersji podstawowej Excela wtyczkę należy uaktywnić).
Zginania ze ściskaniem przekroju kołowego
Rozwiązanie zadania zginania ze ściskaniem prowadzi się posług procedury przedstawionej w poprzednim rozdziale dla niezerowej siły osiowej $n_{Ed}> 0$.
W celu szybkiej oceny można użyć wykresów interakcji M-N przekroju kołowego, np. [15], tab 8.4 do 8.6.
Przekroje teowe (T i L przekrój)
Belki (podciągi i żebra) w stropie płytowo-belkowym (rys. K-2) rozpatruje się jako teowe z górną półką utworzoną przez współpracującą część płyty. Belki o przekroju teowym (pośrednie-środkowe) lub kątowym (brzegowe- skrajne) nazywane są belkami T lub L odpowiednio. Współpracująca część płyty działa integralnie z belką – wygina się w kierunku wzdłużnym belki i jest górnym pasem belki. Część belki poniżej pasa (właściwa część belki) jest często nazywana środnikiem.
Szerokość wspólpracująca przekroju teowego
Zginające naprężenie ściskające we współpracującej części płyty nie jest równomierne na całej jego szerokości. Naprężenie waha się od maksimum w obszarze belki do stopniowo niższych wartości w punktach oddalonych. W celu sprowadzenia zadania do analizy w ramach klasycznej teorii zginania – zakłada się równomierny rozkład naprężeń na szerokości efektywnej (rys. Z-10).
Rys.Z-10 Definicja efektywnej szerokoiści pasa $b_{eff}$ belki T lub L
Problem belki T sprowadzono do wyznaczenia szerokości efektywnej pasa (współpracującej części płyty). Stwierdzono, że efektywna szerokość pasa $b_{eff}$ wzrasta wraz ze wzrostem rozpiętości przęsła, szerokości belki (środnika). i grubości płyty. Zależy również od rodzaju obciążenia † (skoncentrowane, rozproszone itp.) oraz warunków podparcia (schematu statycznego). Stwierdzono na przykład że równoważna szerokość półki jest mniejsza, gdy obciążenie skupione jest przykładane w połowie rozpiętości swobodnie podpartej belki, w porównaniu z przypadkiem, gdy to samo obciążenie jest przykładane jako obciążenie równomiernie rozłożone.
Rys Z-11. Przekrój poprzecny prze strop. Szerokość współpracująca przekroju teowego
Połowa odległości w świetle przęsła z żebrem (sąsiadująym do rrozpatrywanej belki wynosi rys Z-11):
$$\begin{equation} b_i= ( L_i- b_{w,l}/2- b_{w,p}/2 )/2 \quad (i=1,2) \label {97} \end{equation}$$
gdzie:
$b_{w,l}$, $b_{w,p}$ – szerokości żeber z lewej i prawej strony przęsła.
$L_i$ – rozstawy osiowe żeber – p.też rys Z-10
Szerokość współpracująca $b_{eff,i}$ płyty z belką żebrem o szerokości $b_{w,i}$ wynosi (rys. Z-11) :
$$\begin{equation} b_{eff,i} = 0,2 \cdot b_i + 0,1\cdot L_{0,i} \le \min{ \{ b_i \, ; \, 0,2 \cdot L_{0.i} \}} \label {98} \end{equation}$$
gdzie $L_{0,i}$ jest efektywną długością zginania podłużnego belki (liczonego po długości belki poprzecznie do przekroju rys. Z-11, Efektywna długość zginania jest odległością pomiędzy punkami zerowych momentów zginających belkę i powinna być określona z wykresu momentów w systemie konstrukcyjnym.
Przybliżone wzory do oszacowania „efektywnej długości zginania belki $L_0$w zależności od obliczeniowej długości belki $L_{eff} można wstępnie przyjąć zgodnie rys. Z-12.
Rys. Z-12. Długości efektywne przęseł belek [16], rys.3.3
Szerokość półki przekroju teowego, złożonego z żebra środkowego i półki wynosi:
$$\begin{equation}b_{eff}= \begin {cases}
b_{eff,1}+b_w + b_{eff,2} \le b_1+b_w +b_2, & \text{ dla przekroju T } \\
b_{eff,1}+ b_w+ \le b_L+b_w, & \text{ dla przekroju L } \\
\end{cases} \label{99}\end{equation}$$
Przypadki obliczeniowe i położenie strefy ściskanej
Rozpatruje się dwa przypadki wytrzymałościowe przekroju teowego:
- przekrój pozornie teowy, gdy oś obojętna znajduje się w płycie (półce) – przypadek (1) na rys. Z-8. lub
- przekrój rzeczywiście teowy gdy oś obojętna znajduje się w belce (środniku) – przypadek (2) na rys. Z-8.
Wymiarowanie przekroju teowego rozpoczynamy od sprawdzenia, czy przekrój jest pozornie teowy, czyli czy zachodzi:
$$\begin{equation} x \le h_f \quad \text { czyli } x_{eff} \le \lambda \cdot h_f \quad \text { to przekrój jest pozornie teowy} \label {100} \end{equation}$$
przy czym wysokość strefy ściskanej do sprawdzenia warunky ($\ref{100}$) wyznacza się z zależności ($\ref{61}$) dla belki o szerokości $b_{eff}$ ($b_f$ na rys Z-8) poddanej obciążeniu $m_{Ed}^{*}$($\ref{59}$) zredukowanemu przez znane (konstrukcyjne) zbrojenie ściskane ułożone podłużnie w płycie.
Pominięcie zbrojenie konstrukcyjnego (w płtcie) $A_{su}^{constr}$ może doprowadzić do „fałszywego” zakwalifikowania przekroju do rzeczywiście teowego, podczas gdy przekrój jest pozornie teowy, co zwykle prowadzi do nieoptymalnego projektu belki.
Jeśli warunek ($\ref{100}$) jest spełniony, to przekrój pozornie teowy wymiaruje się jak prostokątny o szerokosci $b_{eff}$ zgodnie zasadami podanymi w rozdziale zmodyfikowana metoda MU*. Technikę obliczeń pokazano w przykładzie Z-4 bez uwzględnienia zbrojenia górnego (płyty) oraz w przykładzie Z-5 z uwzględnieniem tego zbrojenia.
Jeśli przekrój NIE jest pozornie teowy zgodnie z warunkiem ($\ref{100}$) , to jest rzeczywiście teowy.
Przekrój rzeczywiście teowy. Uogólnienie równań MU* na przekrój T
Model przekroju rzeczywiście teowego pokazano na rys. Z-13. W belce pozornie teowej (prostokątnej o szerokości $b_{eff}$) występują nieistniejące części przekroju, oznaczone symbolem (-) na modelu. Nośność ściskanej bryły betonu belki rzeczywiście teowej M_{Rd,crz} } można obliczyć odejmując od nośności betonu belki pozornie teowej M_{Rd,cpz} nośność nieistniejących części bryły $M_{Rd,c(-)}$:
$$\begin{equation} M_{Rd,crz} =M_{Rd,cpz} – M_{Rd,c(-)} \quad \parallel \to\parallel \quad m_{Rd,crz} =m_{Rd,cpz} – m_{Rd,c(-)}\label {103} \end{equation}$$
gdzie wszystkie nośności bryły betonu są liczone w tym samym układzie – względem osi zbrojenia rozciąganego, dolnego.
Rys. Z-13 Model obliczeniowy przekroju rzeczywiście teowego
Z rys. Z-13 można ustalić, że nieistniejaca częśc przekroju (-) ma nośnosć :
$$\begin{equation} M_{Rd, c(-)} = (b_f – b_w) \cdot (d – h_f/2- x_{eff}/2)\cdot ( x_{eff}-h_f) \cdot \eta \cdot f_{cd} \label {104}\end{equation}$$
Ponieważ moment $M_{Rd,c(-)}$ zależy od poszukiwanej wysokości strefy ściskanej $x_{eff}$, więc nie można wprost zastosować metody MU* zredukowanego obciążenia i należy rozpatrzeć łączną nośność betonu ($ref{103}$) Po odjęciu ($\ref{104}$) od ($\ref{58}$) otrzymamy:
$$\begin{equation} M_{Rd,crz} =\left\{ \left [ (b_f- b_w) \cdot h_f \cdot \left (d- \cfrac{h_f}{2} \right) \right] +\left[ b_w \cdot x_{eff} \cdot \left (d – \cfrac {x_{eff}}{2} \right) \right ] \right\} \cdot \eta \cdot f_{cd} \label {105} \end{equation}$$
a po unormowaniu czynnikiem normującym ($\ref{2}$), który dla przekroju teowego przyjęto w odniesieniu do szerokości środnika $b_w$ , czyli
$$\begin{equation} \overline M = b_w \cdot d ^2 \cdot f_{cd} \label {106}\end{equation}$$
otrzymamy postać unormowaną &$\ref{105}$)
$$\begin{equation} \quad \parallel \to \parallel \quad m_{Rd,crz} = m_{Rd,cf} + m_{Rd,cw} \label {107} \end{equation}$$
gdzie nośności pasa $m_{Rd,cf}$ i środnika $m_{Rd,cw}$ wynoszą:
$$\begin{equation} \quad \parallel \to\parallel \quad m_{Rd,cf} =\eta \cdot (b_{fw} – 1) \cdot χ_f \lcdot (1– χ_f/2} \right) \label {108} \end{equation}$$
$$\begin{equation} \quad \parallel \to\parallel \quad m_{Rd,cw} = \eta \cdot \xi _{eff} \cdot \left ( 1– \xi_{eff}/2\right) \label {109} \end{equation}$$
gdzie:
$ χ_f = h_f/d$
$ b_{fw}=\cfrac{ b_f}{b_w}$
Ponieważ $m_{Rd,cf}$ nie zawiera pooszukiwanej niewiadomej$x$, to metodę MU* można uogólnić na przekrój teowy w ten sposób, że obciążenie zredukowane ($\ref{68}$) wyniesie:
$$\begin{equation} \quad \parallel \to\parallel \quad m_{Ed}^* = m_{Ed} – m_{Rd,su} – m_{Rd,cf} \label {110} \end{equation}$$
przy czym wszystkie składniki należy normować tym samym czynnikiem ($\ref {106}$).
Dla tak zdefiniowanego obciążenia zredukowanego stosuje się zmodyfikowaną metodę MU*.
W zależności od wartości zredukowanego obciążenia $m_{Ed}^*$ ($\ref{109}$) mogą wystąpić następujące sytuacje i związane z nimi procedury doboru zbrojenia przekroju:
- $m_{Ed}^* <0 $, oznacza że naprężenia ściskające beton nie osiąga wytrzymałości betonu $\sigma_c < \eta f_{cd}$.
Przekrój nie jest optymalnie zaprojektowany, Należy zmniejszyć wymiary przekroju: wysokość i szerokość środnika $h_f, b_f$ lub wymiary półki (jeśli to możliwe), tak by $m_{Ed}^* > 0 $.
Jeśli wymiarów przekroju nie można skorygować ze względu na ograniczenia konstrukcyjne, to należy przyjąć wysokość strefy ściskanej $#\xi=χ_f $, i wyznaczyć $\zeta^*=1- \xi$ i przejść do pkt 5. - $m_{Ed}^* >0 \text { oraz} \le m_{ult} $ oznacza że naprężenia ściskające beton mogą osiągnąć wytrzymałości $\sigma_c = \eta f_{cd}$ i nie jest wymagane dozbrojenie ściskanej strefy betonu zbrojeniem górnym $A_s^{add}$. Przechodzimy do pkt. 4
- $m_{Ed}^* >0 \text { oraz } > m_{ult}$ $\to$ potrzebne jest dodatkowe zbrojenie górne, które wyznaczamy w procedurze MU*
Po wyznaczeniu zbrojenia górnego, dokonujemy korekty obciążenia zredukowanego $m_{Ed}^*$ o nośność dodatkowego zbrojenia górnego $m_{Ed,su}^{add}$ i przechodzimy do pkt 4. - Dla ostatecznie ustalonego obciążenia zredukowanego $m_{Ed}^*$ ($\ref{109}$), wyznaczamy:
* wysokość strefy ściskanej $\xi^*$ z ($\ref{61}$),
* ramię sił $\zeta^*$ ($\ref{62}$). - Dla ramienia sił $\zeta^*$ i dla całkowitego (przed redukcją) obciążenia $m_{Ed}$,
dobieramy zbrojenie rozciągane (dolne) $A_{sl}$z formuły ($\ref{63}$).
Uwaga:
Formuła ($\ref{107}$) jest podstawą stosowanej techniki projektowania przekrojów teowych ( podręcznik do technikum budowlanego [3] ; podręcznik dla studentów budownictwa [15]), w której nośność betonu przekroju teowego złożono z: nośności pasa – skrzydeł przekroju $m_{Rd,f}$ ) ) – części przekroju oznaczonej symbolem (f) oraz nośności środnika $ m_{Rd,c(w)}$ w części przekroju oznaczonej symbolem (w).
Procedura doboru zbrojenia zalecana w tych podręcznikach jest odmienna od przedstawionej i prowadzi do znacznego przewymiarowania zbrojenia dolnego, czyli nieoptymalnego projektu, Nośność bryły betonowej rozdziela się na dwie składowe: nośnosć slrzydeł pasa i nośność środnika, ale następnie na każyą z tych nośnośći odrębnie dobiera się zbrojenie dolne i na końcu sumuje.
Przekrój L
Zginanie przekroju L przy założeniu zachowania płaskiej postaci zginania środnika, to jest w założeniu, że oś „z”” pozostaje osią główną przekroju można analizować z wg formuły ($\ref{107}$) i i stosować wynikającą z niej uogólnioną procedurę obciążenia zredukowanego. Założenie płaskiej postaci zginania jest bliskie rzeczywistości ze względu na utrzymywanie środnika w tym położeniu przez płytę, której częścią jest pas.
Zginanie niesymetrycznego przekroju L prowadzi do zagadnienia zginania dwuosiowego ze skręcaniem, którego analiza nie jest przedmiotem niniejszego artykułu.
Nośność znanego, konkretnego przekroju
Wysokość strefy ściskanej
Dla znanych sił przekrojowych $M_{Ed}$ oraz $N_{Ed}$ a także siły w zbrojeniu dolnym $F_{sl}$ oraz górnym $F_{su}$ można wyznaczyć wysokość strefy ściskanej w sposób pokazany niżej.
Podejście klasyczne
W podejściu klasycznym pole powierzchni ściskanej cześci przekroju betonowego o dowolnym kształcie wyznacza się z jednego warunku równowagi sumy sił na oś poziomą ($\ref{32}$) $\Sigma X$
$F_c= A_{cx} \cdot f_{cd} = N_{Ed} – F_{su} + F_{sl}$, skąd po podstawieniu ($\ref{25}^1$) i ($\ref{26}^1$)otrzymujemy wysokość strefy ściskanej przekroju:
$$\begin{equation} x= \alpha_F \cdot \cfrac{N_{Ed} -F_{su}+ F_{sl}} {b\cdot f_{cd}} \label {111}\end{equation}$$
Współczynnik $\alpha_F$ zależy od modelu betonu:
$$\begin{equation} \alpha_F= \begin {cases}
\eta \cdot \lambda \quad \text {(= 0,8 dla betonu zwykłego BZ )}& \text {dla modelu U} \\
\cfrac{17}{21}= 0,81 & \text {dla modelu N}
\end {cases} \label{112} \end{equation}$$
Podejście skonsolidowane
W podejściu skonsolidowanym warunek równowagi $(\ref{60})$ można sprowadzić do równania kwadratowego $R(x)=0$, które ma tylko jeden pierwiastek dodatni, co jest zgodne z naturą ($x>0$);. Pierwiastek ten można zapisać w postaci:
$$\begin{equation} x= \alpha_M \cdot \sqrt{ \cfrac{ (N_{Ed}+2 F_{sl})\cdot d_0 -M_{Ed}-a_l F_{sl} -a_u F_{su}} {b f_{cd}}} \label {113}\end{equation}$$
Współczynnik $\alpha_M$ zależy od modelu betonu:
$$\begin{equation} \alpha_M= \begin {cases}
\cfrac{\sqrt{2/\eta}}{\lambda} \quad \text {(= 1,768 dla betonu zwykłego BZ )} & \text {dla modelu U} \\
\sqrt{\cfrac{99}{33}}= 1,723 & \text {dla modelu N}
\end {cases} \label{114} \end{equation}$$
Porównanie wysokości strefy ściskanej z podejścia klasycznego i skonsolidowanego
W szczególnym przypadku .czystego ścinania ($N_{Ed}=0$) i przekroju pojedynczo zbrojonego ($A_{su}=0$) wysokość strefy ściskanej wyznaczone z w podejściu uproszczonym i skonsolidowanym będą takie same tylko przy określonej wartości zewnętrznego momentu zginającego $M_{Ed,x}$:
$$\begin{equation} x_F ≡ x_M ⇔ M_{Ed} = M_{Ed,x} = F_{sl} \cdot \left [ d_l – \left( \tfrac{ \alpha_F}{\alpha_M} \right)^2 \cdot \cfrac{F_{sl}}{b\cdot f_{cd}}\right] \label {115}\end{equation}$$
gdzie $d_l=h – a_l$.
Oznacza to, że wysokość strefy ściskanej $x_F$ wyznaczona w podejściu uproszczonym (klasycznym) jest tylko przybliżeniem i różni się od wartości skonsolidowanej (dokładnej) tym bardziej im moment zginającym przekrój $M_{Ed}$ odbiega od wartości momentu $M_{Ed,x}$ ($\ref {115}$). Takie same wyniki uzyskamy przy momencie zginającym znacznie mniejszym od nośności przekroju $M_{Rd}$ ($\ref{80}^1$) i wynoszącym zaledwie
$M_{Ed}= M_{Rd} \, – M_{co} \, – [ (\alpha_F/\alpha_M)^2 \cdot F_{sl}/(b\cdot f_{cd})]$
Nośność przekroju żelbetowego
Nośność znanego przkroju żelbetowego ze znanym zbrojeniem dolnym $A_{sl}$ oraz górnym $A_{su}$ możemy wyznaczyć bezpośrednio z równań róenowagi $(\ref{18})$:
$$\begin{equation} \begin {cases}
M_{Rd} = M_{c,0} + F_{su} \cdot (d_0 – a_u) + F_{sl} \cdot (d_0 – a_l) \\
N_{Rd} = F_c + F_{su} – F_{sl}
\end {cases} \label {116}\end{equation}$$
gdzie $F_c$ i #M_{c,0} dla przekroju prostokątnego i pozornie teowego wyznaczamy z równnania {$\ref{21}$) w metodzie MU lub ( $\ref{22}$) w metodzie MN; dla przekroju kołowego z równania ($\ref{91}$) , a dla rzeczywiście teowego z ($\ref{107}$).
Przykłady rachunkowe
Przykłady w przebudowie (remanent do 20 września)
Przykład Z-1 [Belka stropowa bez uwzględnienia współpracy płyty – przypadek ZM]
Przykład 4-1 z podręcznika [3]
Zaprojektować zbrojenie belki żelbetowej swobodnie podpartej o przekroju prostokątnym obciążonej równomiernie po długości, pokazanej na rys. Z-14 Klasa ekspozycji XC2; klasa odporności ogniowej R60; klasa konstrukcji S4.
Rys. Z-14 Strop płytowo-belkowy: a) rzut, b) przekrój, c) belka stropowa [3], rys.4.35
Dane ogólne
Beton C20/25:
( tab. W-1) $\to$
$f_{ck}=20 \, MPa$ ,
$f_{ctm}=2,2 \, MPa$ ,
$f_{cd}=20/1,4=14,3 \, MPa$
Stal B500: (tab. W-2) $\to$
$f_{yk}= 500 , MPa$,
$f_yd=500/1,15=435 \, MPa$
Długość belki w świetle murów $l_n=5,0 \, m$,
Grubość muru z lewej $t_l=500 \,$mm
Grubość muru z prawej $t_p=500 \,$mm
K(2) długość obliczeniowa belki $\to l_{eff} =5,0+[(300+300)/2]/1000=5,3 \, m$.
Maksymalny obliczeniowy moment przęsłowy $M_{Ed}=$ 135,6 kNm
Dobór wstępny przekroju
K(3) wysokość belki $\to h=l_{eff}/12=442$. przyjęto 450 mm
K(5) szerokość belki $\to b=h/2=450/2=225$, przyjęto 250 mm
Przyjęto pręty zbrojeniowe o średnicy $\Phi=18 \, mm$
$A_{s1}=\pi \cdot 1,8^2/4 = 2,545 \, cm^2 ) $ ; $F_{s1}= 2,545 \cdot 435 \cdot 10^{-1}= 110,7 \, kN$
Otulenie zbrojenia
$c_{min}=\Phi=18 \, mm$,
$c_{dur}= 25 \, mm$ dla klasy ekspozycji XC2,
$ \Delta c_{dev}=10 \,mm $.
K(12) $\to c= \max{ \{18\,;\,25 \} } +10=35 \, mm$, przyjęto $a =a_l=a_u =35+18/2=$ 44 mm
Wysokość użyteczna przekroju $ d=d_l =450-44=406 \, mm$
$(\ref{11}) \to $ sprowadzone pole betonu
$ A_{c, s} = 25 \cdot 40,6 \cdot \cfrac{14,3}{435}=$ 33,37 cm2
Zbrojenie mninimalne i maksymalne
Zbrojenie minimalme
$A_{s,min}= max \{ 1,45 ; 1,9 \}=1,9 \, cm^2$
wyznaczone jak następuje:
1) ze względu na kruche zniszczenie betonu
K-(15) minimalny stopień zbrojenia
$ρ_{min,b}= \ max { \{ 0,0013 \, ; \,0,26 \cdot 2,2 /30 \} }= 0,0013$
dokładność 2 członu z warunku (K-18) sprawdzimy po wzynaczeniu ramienia sił poniżej
K-(16)
$A_{s, min, brittle} = 0,0013 \cdot 25 \cdot 44,6= 1,45 \, cm^2$
2) ze względu na zarysowanie belki
K-(20)
$A_{s, min, crack} = 0,4 \cdot 1,0 \cdot (25\cdot 44,6)/2 \cdot \cfrac{2,2}{260}= 1,9 \, cm^2 $
gdzie:
$(25\cdot 44,6)/2$ – pole rozciąganej strefy betonu w chwili poprzedzającej zarysowanie belki zginanej (I faza – sprężysta)
c=0,4 – współczynnik uwzględniający rozkład naprężeń w przekroju w chwili poprzedzającej zarysowanie dla fazy II (przyjęto maksymalnie możliwy dla zginania)
k =1,0 – współczynnik k uwzględnia wpływ nierównomiernych naprężeń samorównoważących (przyjęto maksymalnie możliwy)
$\sigma_{s,lim} = 260 \, MPa$ jak dla zbrojenia prętami $\Phi 18$ na podstawie tablicy K-2
Zbrojenie maksymalne (ograniczenie sumy zbrojenia w przekroju)
K-(22) maksymalne zbrojenie
$A_{s, max} = 0,04 \cdot 25 \cdot 45 cm= 45 cm^2$
Wstępne szacunki pola przekroju zbrojenia
K-(10) $\to$ dla zbrojenia podwójnego (górą i dołem)
$\Sigma A_s=A_{su}+A_{sl}\approx \cfrac {135,6} {435 \cdot (0,45-2\cdot 0,044)} \cdot 10^1=8,6 \, cm^2$.
co daje $4 \Phi 18$, A_s = 4\cdot 2,545 = 10,18 \, cm^2$
K-(11) $\to $ dla przekroju pojedynczo zbrojonego
$A_{sl} \approx \cfrac{135,6} {435 \cdot 0,9 \cdot (0,45-0,044) }\cdot 10^1=8,5 \, cm^2$,
co daje $4 \Phi 18$, A_s = 4\cdot 2,545 = 10,18 \, cm^2$
Dobór zbrojenia metodą klasyczną MU (zbrojenie pojedyńcze)
$( \ref{2}) – ( \ref{1}) \to $ unormowany moment zginający
$m_{Ed} = \cfrac{135,6}{ 0,25 \cdot 0,406^2 \cdot 14,3 \cdot 10^3}=0,230$,
$(\ref{60}) \to $ względna wysokość strefy ściskanej
$\xi= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,230 / 1,0} =1- 0,7349 = 0,265$,
$(\ref{61}) \to $ względne ramie sił wewnętrznych
$\zeta = (1+0,7349)/2 =0,867$,
$(\ref{63}) \to $ zbrojenie dolne (pojedyncze)
$A_{sl,[-]} = \cfrac{0,230}{ 0,867} \cdot 33,37 = 8.85 \, cm^2$,
przyjęto $4 \Phi 18$, $A_s = 4 \cdot 2,545 = 10,18 \, cm^2$
- Czy potrzebne zbrojenie górne
$ (\ref{38}) \to $ względny moment graniczny dla betonu zwykłego BZ
$m_{ult}=0,251$
$(\ref{70})\to $ warunek zbrojenia górnego
$ \Delta(m{Ed})= 0,230 – 0,251 = – 0,021 < 0 $
$\to $ obliczeniowo nie trzeba stosować zbrojenia górnego,
ale zbrojenie górne należy zastosować ze względów konstrukcyjnych (wiązanie strzemion).
Dobór zbrojenia metodą MU*
($\ref{66}) \to$ nośność konstrukcyjnego zbrojenia górnego (przyjęte wyżej)
$m_{su}=\cfrac{5,09}{33,37} \cdot (1-4,4/40,6) = 0,136
($\ref{72}) \to$ zredukowany moment zginajacy
$m_{Ed}^*= 0,230 – 0,136= 0,094$
$(\ref {60}) \to $ zredukowana wysokość strefy ściskanej
$\xi^*= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,094 / 1,0} =1- 0,9011 = 0,0989$,
$(\ref{61}) \to $ zredukowane ramię sił wewnętrznych
$\zeta^* = (1+0,9011)/2 =0,951$,
$(\ref{63}) \to $ zredukowane zbrojenie dolne
$A_{sl}^*= A_{sl,[=]} = \cfrac{0,230}{ 0,951} \cdot 33,37 = 8.07 \, cm^2$,
przyjęto $4 \Phi 18$, A_s = 4\cdot 2,545 = 10,18 \, cm^2$ ( $3 \Phi 18$ jest już niewystarczające)
Ponieważ $m_{Ed}^* = 0,094< m_{ult}=0,251)$, to nie trzeba stosować dodatkowego zbrojenia gónego (warunek $(\ref{70})$)
Sprawdzenia konstrukcyjne
- wymóg zbrojenia minimalnego
$$ A_{sl}= 10,18 > 1,9 \, cm^2$ ( ustalono pod danymi zadania )
- wymóg zbrojenia maksymalnego
$A_s= A_{sl}_A_su}= 10,18+ 5,09= 3,27 < 45 \, cm^2 ( ustalono pod danymi zadania )
- odstępy miedzy prętami
otulenie osiowe boczne $a_{uz}= c_{uz}+ $\Phi_s$+$Pji_l$/2=35+6+ 18/2= 50 \, mm$
szerokość belki do rozmieszczenia zbrojenia $b_{zb}=250 -2\cdot 50 = 150 \,mm $
odległości międzt prętami $ a_{h,v} = b_{zb}/(m_{zb}-1) -\ Phi = 150/(4-1)-18= 32 /, mm$
K-(14) $\ge \max { \{ 18 \, ; \, 20 mm \, ; 10 +5 mm \}}= 20 \, mm$ (10 – maksymalna średnica ziartna kruszywa)
Wniosek
Włączenie konstrukcyjnego zbrojenia górnego do nośności przekroju spowodował, że wymagany przekrój zbrojenia dolnego zmniejszył się o (1- (8,85-8,07)/8,07)= 9%.
Zestawienie parameterów i nośności przekroju
rozwiązanie MU* (wyżej) $\to$ wysokosć strefy ściskanej
$\xi=0,0989$ $\to $x= 0,0989$ \cdot 44,6= 6,411 \, cm$
Przykład Z-2 [Belka z przykładu Z-1 – zwiększone obciążenie – przypadek ZS]
Zaprojektować belkę z przykładu Z-1 na zwiększone obiążenie $M_{Ed}=$ 182,8 kNm – czyli 182,8/135,6= 1,35 razy.
Dane wstępne oraz wstępny dobór przekroju pozostaje bez zmian.
Metoda klasyczna MU
$( \ref{2}) – ( \ref{1}) \to $ unormowany moment zginający
$m_{Ed} = \cfrac{182,8}{ 0,25 \cdot 0,406^2 \cdot 14,3 \cdot 10^3}=0,310$,
$(\ref{60}) \to $ względna wysokość strefy ściskanej $\xi= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,310/ 1,0} =1- 0,7874 = 0,213$,
$(\ref{61}) \to $ względne ramie sił wewnętrznych $\zeta = (1+0,7874)/2 =0,894$,
- Zbrojenie dolne (pojedyncze)
$(\ref{63}) \to $ $A_{sl,[-]} = \cfrac{0,310}{ 0,894} \cdot 33,37 = 11,57 \, cm^2$,
przyjęto $5 \Phi 18$, A_s = 5\cdot 2,545 = 12,72 \, cm^2$
- Czy potrzebne zbrojenie górne ?
$ (\ref{38})\to $ względny moment graniczny dla betonu zwykłego BZ
$m_{ult}=0,251$,
$(\ref{70})\to $ warunek zbrojenia górnego
$\Delta(m{Ed})= 0,310 – 0,251 = 0,059 >0 \to $ to należy zastosować zbrojenie górne.
- Czy zbrojenie konstrukcyjne wystarczy ?
$2 \Phi 18$, A_s = 2\cdot 2,545 = 5,09 \, cm^2$
jest wystarczające
($\ref{66}) \to$ nośność konstrukcyjnego zbrojenia górnego $m_{su}=\cfrac{5,09}{33,37} \cdot (1-4,4/40,6) = 0,136$
($\ref{72}) \to$ zredukowany moment zginajacy $m_{Ed}^*= 0,310 – 0,136= 0,174 < m_{ult}=0,251$,
$\to$ zbrojenie górne konstrucyjne jest już wystarczające
$(\ref{60}) \to $ zredukowana wysokość strefy ściskanej $\xi^*= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,174 / 1,0} =1- 0,8485= 0,151$,
$(\ref{61}) \to $ zredukowane ramie sił wewnętrznych $\zeta^* = (1+0,8485)/2 =0,924$,
$(\ref{63}) \to $ zredukowane zbrojenie dolne $A_{sl}^*= A_{sl,[=]}= \cfrac{0,310}{ 0,924} \cdot 33,37 = 11,97 \, cm^2$,
przyjęto $5 \Phi 18$, A_s = 5\cdot 2,545 = 12,72 \, cm^2$
( $4 \Phi 18$ jest już niewystarczające)
Kalkulator LCżelbet
Dla danych z przykładu 2 przekrój zaprojektowano metodą metoda nieliniową MN z użyciem kalkulatora LCŻelbet.
Poniżej, na rys Z-15 zamieszczono ekran z kalkulatora przedstawiający wyniki obliczeń
Rys Z-15 . Kalkulator LCżelbet – przykład Z-1 (kliknij , aby pobrać)
W wyniku obliczeń kalkulatorem wykazano, że zbrojenie dolne można wykonać z $4 \Phi 18$, a zbrojenie górne konstrukcyjnie $2 \Phi 16$ (wytężenie 94,7%). Jeśli zbrojenie górne jest $2 \Phi 14$, to wytężenie wynosi 98.6%, a dopiero dla $2 \Phi 12$ wytężenie jest zbyt duże.
Wniosek: stosowanie obliczeń nieliniowych, np z wykorzystaniem prezentowanego arkusza pozwala na znaczne oszczędności stali w stosunku do uproszczonych obliczeń „ręcznych”.
Pzykład Z-3 [Belka z przykładu Z-1 – zwiększone obciążenie – przypadek ZD]
Zaprojektować belkę z przykładu Z-1 na zwiększone obiążenie $M_{Ed}=$ 271,2 kNm – czyli 271,2/135,6= 2 razy.
Dane wstępne oraz wstępny dobór przekroju pozostaje bez zmian.
$( \ref{2}) – ( \ref{1}) \to $ unormowany moment zginający
$m_{Ed} = \cfrac{271,2}{ 0,25 \cdot 0,406^2 \cdot 14,3 \cdot 10^3}=0,460$,
$(\ref{60}) \to $ względna wysokość strefy ściskanej
$\xi= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,460/ 1,0} =1- 0,2828 = 0,717$,
$(\ref{61}) \to $ względne ramie sił wewnętrznych
$\zeta = (1+0,2828)/2 =0,641$,
- Zbrojenie dolne (pojedyncze)
$(\ref{63}) \to $
$A_{sl,[-]} = \cfrac{0,460}{ 0,641} \cdot 33,37 = 23,94 \, cm^2$,
przyjęto $10 \Phi 18$, A_s = 10\cdot 2,545 = 25,4 \, cm^2$
- Czy potrzebne zbrojenie górne
$ (\ref{38})\to $ względny moment graniczny dla betonu zwykłego
$m_{ult}=0,251$,
$(\ref{70})\to $ warunek zbrojenia górnego
$/Delta (m_{Ed})= 0,460 – 0,251= 0,209 >0
\to $ należy zastosować zbrojenie górne.
- Zbrojenie górne (łącznie ze zbrojeniem konstrukcyjnym)
($\ref{66}$) po przekształceniu $\to$ pole przekroju zbrojenie górnego
$A_{su}= \cfrac{\Delta m \cdot A_{c,s}}{1 – a_u / d }= \cfrac{0,209 \cdot 33,37}{1 – 44 / 406 } = 7,82 \, cm^2$
Przyjęto $(2+2)=4 \Phi 18$, $ A_s = 4\cdot 2,545 = 10,18 \, cm^2 $
- Zbrojenie dolne w przekroju podwójnie zbrojonym
($\ref{66}) \to$ nośność zbrojenia górnego $m_{su}=\cfrac{10,18}{33,37} \cdot (1-4,4/40,6) = 0,272$
($\ref{72}) \to$ zredukowany moment zginajacy $m_{Ed}^*= 0,310 – 0,272= 0,038 < m_{ult}=0,251$,
$(\ref{60}) \to $ zredukowana wysokość strefy ściskanej $\xi^*= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,0,038 / 1,0} =1- 0,9612= 0,0388$,
$(\ref{61}) \to $ zredukowane ramie sił wewnętrznych $\zeta^* = (1+0,0,9612)/2 =0,9806$,
$(\ref{63}) \to $ zredukowane zbrojenie dolne $A_{sl}^*= A_{sl,[=]}= \cfrac{0,460}{ 0,9806} \cdot 33,37 = 15,85 \, cm^2$,
przyjęto $7 \Phi 18$, A_s = 7\cdot 2,545 = 17,822 \, cm^2$
Przykład Z-4 [ Belka pozornie teowa. Przypadek ZS]
Przykład 4-3 z podręcznika [3]
Zaprojektować zbrojenie belki żelbetowej teowej, pokazanej na rys. Z-16 stropu podpartego przegubowo na obwodzie i równomiernie obciążonego na powierzchni.
Rys. Z-16. Ilustracja do przykładu 2 [3], rys.4-40
Klasa ekspozycji XC1; klasa odporności ogniowej R60; klasa konstrukcji S4.
Dane ogólne
Beton C20/25:
( tab. W-1) $\to$
$f_{ck}=20 \, MPa$ ,
$f_{ctm}=2,2 \, MPa$ ,
$f_{cd}=20/1,4=14,3 \, MPa$
Stal
żebra AIII $f_{yk}= 400 \, MPa$, $f_yd=350 \, MPa$
płyta A I $f_{yk}= 240 \, MPa$, $f_yd=210 \, MPa$
Stale obecnie nie używane – przyjęto za [3], przyklady 4.3 i 4.1
Długość belki w świetle murów $l_n=6,0 \, m$,
Grubość muru z lewej $t_l=200+50 =250 \,$mm ( mur – podpora szersza o 50 mm od wieńca)
Grubość muru z prawej $t_p= 200+50=250 \,$mm
K(2) długość obliczeniowa belki $\to l_{eff} =6,0+[(250+250)/2]\cdot 10^{-3} =6,25 \, m$.
Maksymalny obliczeniowy moment przęsłowy $M_{Ed}=$ 110,54 kNm
Przyjęto :
wysokość belki $h= 400 \, mm$
szerokość belki $b=250 \, mm$
średnica zbrojenia $\Phi= 18 \, mm$
otulina $c_{nom} \max \{ 18\,;\, 15 \} +10 = 28 \, mm$
gdzie dla XC1 $c_dur = 15 \, mm$
średnica strzemion $\Phi_s = 6 \, mm$
otulina osiowa $a=28 + 6 + 18/2= 43 \, mm$
wysokośc użyteczna
$d=d_l=400 -43=$ 357 mm
Szerokość efektywna przekroju teowego
Szerokści żeber wokół ropzzpatrywanej belki
$b_{wl}=b_{wp}+ 250 \, mm$
Połowa odległości w świetle przęsła z żebrem (sąsiadująym do rrozpatrywanej belki(%\ref96X}$)
($\ref{97}$ \to) b_1=b_2=( 2000- 250/2-250/2)/2= 875 \, mm$
Belka – żebro wolnopoparte $\to$
rys Z-11 $L_0= 1,0 \cdot 625 =6250 \, mm$
Szerokości współpracujace
($\ref{98})\to$
b_{eff,1} = b_{eff,2} = 0,2 \cdot 875 + 0,1\cdot 625 = 800 \., mm$
$\le \min{ \{ 875 \, ; \, 0,2 \cdot +6250} \}= 875 \, mm$
Szerokość półki przekroju teowego
($\ref{99})\to$
b_{eff}= 800 250 +800=$ 1850 mm
$\le 875+240+875 =1500 \, mm$
Czy przekrój jest pozornie teowy
Zakładamy , że przekrój jest pozornie teowey i szerokości belki
$b= b_{eff} = 1850 \, mm$
$( \ref{2}) – ( \ref{1}) \to $ unormowany moment zginający
$m_{Ed} = \cfrac{110,54}{ 1,85 \cdot 0,357^2 \cdot 14,3 \cdot 10^3}$=0,033,
$(\ref{60}) \to $ względna wysokość strefy ściskanej
$\xi= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,033 / 1,0} =1- 0,9664= 0,034 < m_{ult}= 0,251 $,
gdzie $m_{ult}=0,251$ $ (\ref{38}$)
Czy wysokość strefy ściskanej znajduje się w pasie ?
$x=xi\cdot d /\lambda = 0.034\cdot 357/0,8 = 15 <h_f=80 ,\ mm$
$\to$ przekrój jest pozornie teowy
Zbrojenie dolne
$(\ref{61}) \to $ względne ramię sił wewnętrznych
$z = (1+0,9664)/2 = 0,9832$
$(\ref{11}) \to $ sprowadzone pole betonu przekroju pozornego
$ A_{c, s} = 185,0 \cdot 35,7 \cdot \cfrac{14,3}{350}=$ 269,84 cm2
Sprowadzone pole betonu przekroju pozornego
$(\ref{63}) \to $ zbrojenie dolne (pojedyncze)
$A_{sl} = \cfrac{0,033}{ 0,9832} \cdot 269,84 = 9,06 \, cm^2$,
przyjęto $4 \Phi 18$, $A_s = 4 \cdot 2,545 = 10,18 \, cm^2$
Zbrojenie górne
$\to $ obliczeniowo nie trzeba stosować zbrojenia górnego,
ale zbrojenie górne należy zastosować ze względów konstrukcyjnych (zbrojenie płyty).
W kolejnym przykładzie pokazano jak zbrojenie płyty wplywa na zmniejszenie zbrojenia dolnego.
Przykład Z- 5 [Przekrój pozorny teowy ze zbrojeniem górnym]
Wyznaczyć wymnagane zbrojenie dolne belki teowej z przykąłdy Z-3 po wuzględnieniu zbrojenia gornego konstrukcyjnego (zbrojenie rozdzielcze w pltycie pasa).
W projekcie płyty [3], przykłąd 4.3
zastosowano zbrojenie rozdzielecze \Phi 6 co 24 cm, górą i dołem, czyliI
na długości 185 cm, czyli $(185/24-2) \approx 10 \, \Phi 6$
$A_{su}= 10 \cdot \pi\cdot 0,6^2/4= 2,8 ,\ cm^2$
zbrojenie rozmieszczono przy górnej i dolnej powirzchni płyty, czyli
$a_u=80/2 =40 \, mm$
Zredukowane obciążenie belki
$\ref{66}) \to$ nośność zbrojenia górnego $m_{su}=\cfrac{2,8}{269,84} \cdot (1-40/357) = 0,0092$
($\ref{72}) \to$ zredukowany moment zginajacy $m_{Ed}^*= 0,033 – 0,0092= 0,024 < m_{ult}=0,251$,
$(\ref{60}) \to $ zredukowana wysokość strefy ściskanej $\xi^*= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,024 / 1,0} =1- 0,9757= 0,02430$,
$(\ref{61}) \to $ zredukowane ramie sił wewnętrznych $\zeta^* = (1+0,9757)/2 =0,9878$,
Zredukowane zbrojenie dolne
$(\ref{63}) \to $ zredukowane zbrojenie dolne $A_{sl}^*= A_{sl,[=]}= \cfrac{0,033}{ 0,9878} \cdot 269,84 = 9.02 \, cm^2$,
przyjęto $4 \Phi 18$, A_s = 4\cdot 2,545 = 10,18 \, cm^2$
W przykładzie nie uzyskano zmniejszenbia rzeczywistegio zbrojenia (choć wymagane, teoretyczne zbrojenie jest nieco mniejsze.
Przykład Z-6 [Przekrój rzeczywiście teowy bez zbrojenia górnego]
Oszacować zbrojenie przekroju teowego z prrzykładu Z-5, ale dla 6x większego obciązenia, czyli dla
$M_{Ed}= 6\cdot 110,54 =$ 663,24 kNm
Czy przekrój jest pozornie teowy
szerokości belki $b= b_{eff} = 1850 \, mm$
$( \ref{2}) – ( \ref{1}) \to $
$m_{Ed} = \cfrac{663,24}{ 1,85 \cdot 0,357^2 \cdot 14,3 \cdot 10^3}$=0,1967 < m_{ult}= 0,251 $, $ (\ref{38}$)
$\to$ nie jest potrzebne zbrojenie górne
$(\ref{60}) \to $
$\xi= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,1967 / 1,0} =1- 0,6272= 0,068
$x=xi\cdot d /\lambda = 0,1967\cdot 357/0,8 = 87,8 > h_f=80 ,\ mm$
$\to$ przekrój jest rzeczywiście teowy
szerokości belki $b= b_{w} = 250 \, mm$
$( \ref{2}) – ( \ref{1}) \to $
$m_{Ed} = \cfrac{663,24}{ 0,25 \cdot 0,357^2 \cdot 14,3 \cdot 10^3}$=1,456
(jeszcze nie poprójemy do momentu granicznergo $m_{ult}$ , bo nalerzy obliczć obciążenie zredukowane
Nośność pasa przekroju T
pod ($\ref{108}) $\to$
$b_{fw}=b_f/b_w= 1850/250= 7,400$
$χ_f=h/f/d=(400-80)/357= 0,876$
($\ref{108}) \to$ nośność pasa przekroju w częsci poza śrosdnikiem
m_{Rd,cf} = ( 7,400 -1 ) \cdot ( 0,876 –0,876^2/2 )= 3,151$
($\ref{72}) \to$ zredukowany moment zginajacy
$m_{Ed}^*= 0,230 – 0,136= 0,094$
$(\ref {60}) \to $ zredukowana wysokość strefy ściskanej
$\xi^*= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,094 / 1,0} =1- 0,9011 = 0,0989$,
$(\ref{61}) \to $ zredukowane ramię sił wewnętrznych
$\zeta^* = (1+0,9011)/2 =0,951$,
$(\ref{63}) \to $ zredukowane zbrojenie dolne
$A_{sl}^*= A_{sl,[=]} = \cfrac{0,230}{ 0,951} \cdot 33,37 = 8.07 \, cm^2$,
przyjęto $4 \Phi 18$, A_s = 4\cdot 2,545 = 10,18 \, cm^2$ ( $3 \Phi 18$ jest już niewystarczające)
Ponieważ $m_{Ed}^* = 0,094< m_{ult}=0,251)$, to nie trzeba stosować dodatkowego zbrojenia gónego (warunek $(\ref{70})$)
Przykład Z-7 [Przekrój kołowy]
Przykłady Z-8 [Testy Benchmark arkusza LCżelbet]
Arkusz LCżelbet przetestowano na wielu przykładach, w tym publikowanych w literaturze:
- belka podwójnie zbrojona – przykład wg pracy [17]
Pokazano, że stosowanie arkusza pozwala na większe o ok 17% - nośność przekroju zbrojonego symetrycznie – przykład wg pracy [17], przykład 6.3
Uzyskano nośność 12% większą - nośność przekroju zbrojonego symetrycznie – przykład wg pracy [1], przykład Z-13.1
Uzyskano nośność o 17% większą - zginanie ukośne względem dwóch osi przypadek CT2 przykład wg pracy [1], pzykład Z-3.6
Pokazano , że w przykładzie oryginalnym nośność zawyżono ponad dwukrotnie. - nośność przekroju zginanego ukośnie z betonu z betonu wysokiej wytrzymałości – wg pracy [17], przykład 6.18
Pokazano, że w przykładzie oryginalnym zawyżono nośność – konieczne było boczne, uzupełniające zbrojenie rozciągane 1Ø
- Powyższe testy arkusza LCŻelbet należy traktować jako testy Benchmark , obejmujące wszystkie przypadki z identyfikowane w rozdziale Przypadki wytrzymałośćiowe pręta żelbetowego , które mogą wystąpić w belkach-słupach.
Należy przy tym wskazać, że arkusz jest przeznaczony dla profesjonalnych inżynierów, bowiem wymaga podania danych: [ wymiary przekroju+ zbrojenie dolne+ zbrojenie górne + zbrojenie boczne ] z pewnego obszaru dla którego można znaleźć równowagę odkształceń i naprężeń. Taka równowaga nie wystąpi na przykład dla przekroju ze zbyt małym zbrojeniem, które dla danych sił wymusza nadmierne odkształcenia włókien betonu. Dopiero po znalezieniu pierwszego rozwiązania dopuszczalnego można przystąpić do optymalizacji zbrojenia. Oszczędności z użycia kalkulatora w stosunku dla klasycznych metod ręcznych lub tablicowych – mogą być nawet dwukrotne.***
- PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3: 2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
- Wight, J. K., & MacGregor, J. G. (2012). Reinforced concrete: mechanics and design (6th ed). Pearson Prentcie Hall
- Pyrak S. (2012). Konstrukcje z betonu (VII, Tom 5). WSiP
- Knauff M., Obliczanie konstrukcji żelbetowych według Eurokodu 2, PWN, Warswa 2011
- Starosolski W. (2013), Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych, Tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
- MPA The Concrete Centre. (2016). Bending and Shear in Beams. Lecture 3. EC2 Webinar – Autumn, [ https://www.concretecentre.com/TCC/media/TCCMediaLibrary/Presentations/Lecture-5-Slabs-and-Flat-Slabs-PHG-N-Rev13-15-Oct-16.pdf ]
- ACI 318-14 (2014), Building Code Requirements for Structural Concret
- MPA, The Concrete Centre, (2016), Columns, Lecture 8, EC2 Webinar – Autumn, [ Lecture-8-Columns-jb-9-Nov-16.pdf ]
- Di Ludovico M., Lignola G. P., Prota A., Cosenza E. (2010). Nonlinear Analysis of Cross Sections under Axial Load and Biaxial Bending. ACI Structural Journal, 107(4), 390–399
- PN-EN 1998-1:2005Eurokod 8: Projektowanie konstrukcji poddanych oddziaływaniom sejsmicznym, Część 1: Reguły ogólne, oddziaływania sejsmiczne i reguły dla budynków
- Bresler B. (1960), Design Criteria for Reinforced Concrete Columns Under Axial Load and Biaxial Loading. Journal of the American Concrete Institute, 57(5), 481–490
- Knauff M., Golubińska A., Knyziak P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z przykładami obliczeń, Wydanie drugie. PWN
- Institution of Structural Engineers, The Institution of Civil Engineers, Manual for the design of reinforced concrete building structures to EC2, Institution of Structural Engineers, May 2022
- Di Laora R, , Galasso, C, Mylonakis G., Cosenza, E, (2020), A simple method for N-M interaction diagrams of circular reinforced concrete cross sections, Structural Concrete, 21 (1) pp. 48-55
- Knauff M., Obliczanie konstrukcji żelbetowych według Eurokodu 2, PWN, Warszawa 2011
- Gąćkowski R. (2013), Tablice i algorytmy do wymiarowania zginanych elementów żelbetowych, Verlag Dashöfer
- Knauff M. i in.. (2006), Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i sprężonych: według Eurokodu 2. Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne
Koniec
You must log in to post a comment.