Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 44 Czytelników
Chodor L., Belki żelbetowe,, Encyklopedia πWiki, www.chodor-projekt.net,
13 lipca 2018 – 9 czerwca 2020  – ( publikacja  kompletna)
Arkusz LCżelbet zawiera oryginalny kod – © wszelkie prawa zastrzeżone.

Część Z
Zginanie

Nawigacja: [ K:  Kształtowanie ] ⇐ ⊗ ⇒  [ P: Pełzanie i skurcz ]

Model przekroju zginanego z udziałem siły osiowej

Podstawowe oznaczenia

W niniejszym artykule stosuje się następujące podstawowe oznaczenia, dotyczące wielkości względnych (unormowanych) dla zginania belek żelbetowych:

• unormowany moment zginający

$$\begin{equation} m_* =\dfrac {M_* }{b d^2 f_{cd}} \label {1} \end{equation}$$

gdzie  *= u – graniczny (ultimate) el – sprężysty(elastic) ; Ed (obliczeniowy od obciążeń zewnętrznych)  ;  Rd (obliczeniowa nośność), itd.

• współczynnik $\delta$ redystrybucji naprężeń w przekroju jest równy stosunkowi momentowi po redystrybucji do momentu sprężystego:

$$\begin{equation}  \delta= \dfrac{\mu_u}{\mu_{el}} \label {2} \end{equation}$$

• unormowana siła osiowa

$$\begin{equation} n_* =\dfrac{N_* }{b d f_{cd}} \label {3} \end{equation}$$

• unormowana wysokość strefy ściskanej

$$\begin{equation} \xi_*=\dfrac{x_* }{d} \label {4} \end{equation}$$
gdzie  *= u – wartość granicznej,  *=red- zredukowana współczynnikiem redukcji $\lambda$ (efektywna)

• unormowane ramię sił

$$\begin{equation} \zeta_*=\dfrac{z_*}{d} \label {5} \end{equation}$$

• stopień zbrojenia (unormowane pole zbrojenia)

$$\begin{equation} \rho_*=\dfrac{A_{s*}}{A_c} \label {6} \end{equation}$$

gdzie  *= l (lower) – dla zbrojenia dolnego (rozciąganego), *= u (upper) – dla zbrojenia górnego (ściskanego), *=s dla sumy zbrojenia, $A_c=b\cdot h$

Model nieliniowy MN

W zagadnieniu zginania ze ściskaniem/rozciąganiem przekroju żelbetowego poszukujemy trzy niewiadome (p. rys. Z-1) : wysokość strefy ściskanej betonu $x$, pole przekroju zbrojenia dolnego (rozciąganego) $A_{sl} $ oraz pola przekroju zbrojenia górnego $A_{su}$, umieszczonego w strefie ściskanej betonu.

Model rozkładu naprężeń na wysokości $x$ strefy ściskanej betonu jest paraboliczny dla odkształcenia betonu $0 < \varepsilon_c \le \varepsilon_{c2}$ i prostokątny dla $0 < \varepsilon_c > \varepsilon_{c2} < \varepsilon_{cu}=3,5$ ‰ [1], kl. 3.1.7(1)   (wykładnik potęgi $n=2$ dla betonu zwykłego  BZ i n wg tab. W-1 dla betonów wysokiej wytrzymałości BWW).

Rys. Z-1. Nieliniowy MN rozkład naprężeń w strefie ściskanej betonu

Nieliniowy (paraboliczny) model betonu MN  z rys. 1, można opisać formułami [1], wzory (3.17)-(3.18) :
$$\begin{equation}\sigma_c (z)= f_{cd} \cdot \begin {cases}
1, & \text {jeśli  $ \varepsilon_{c2} \le\varepsilon_c \le \varepsilon_{cu2}$} \\
1-  (1- \varepsilon_c/\varepsilon_{c2})^n, & \text {jeśli  $ \varepsilon_c <\varepsilon_{c2}$ }
\end {cases} \label{7}\end{equation}$$
gdzie wykładnik potęgi zgodnie z tab. W-1 (dla betonu BZ  n=2),
$\varepsilon_{cu2}$ – graniczne (maksymalne) odkształcenie betonu
$\varepsilon_{c2}$ – najmniejsze odkształcenie, przy którym w betonie wystąpią naprężenia $f_{cd}$

Model uproszczony MU

Zgodnie z klauzulą [1],kl.3.1.7(3) w obliczeniach inżynierskich dopuszcza się założenia upraszczające, polegające na aproksymacji parabolicznej bryły naprężeń w modelu MN  przez bryłę prostokątną MU, w sposób pokazany na rys. Z-2.

Rys. Z-2 Uproszczony  MU rozkład naprężeń w przekroju zginanym

W  uproszczonym MU modelu zmniejsza się wartość naprężeń w betonie do $\eta f_{cd}$ i wysokość bryły naprężeń do $\lambda x$ , zgodnie z wartościami zamieszczonymi w tab. W-1. W celu uproszczenia formuł zredukowana wysokość strefy ściskanej betonu jest oznaczana przez $x_{ef} = \lambda x$.

Graniczne odkształcenia betonu w modelu MN $\varepsilon_{cu2}$ i  w modelu MU  $\varepsilon_{cu3}$ są takie same i wynoszą 3,5‰. Natomiast odkształcenia betonu BZ  na początku strefy prostokątnej (dla $\sigma_c=f{cd}$) w modelu MN wynoszą $\varepsilon _{c2}$=2‰, a  w modelu MU $\varepsilon _{c3}$=1,75‰ . Dla betonów BWW stosowne wartości podano w  tab. W-1.

Model MU przedstawiony na rys. Z-2 definiują formuły [1], wzory (3.19)-(3.22) , opisujące współczynnik $\lambda$, określający efektywną wysokość strefy ściskanej oraz  współczynnik $\eta$, określający efektywną wytrzymałość :

$$\begin{equation} \lambda= \begin {cases}
0,8 , & \text {dla BZ} \\
0,8-\dfrac{f_{ck}-50}{400} , & \text {dla BWW}
\end {cases} \label{8}\end{equation}$$  $$\begin{equation} \eta= \begin {cases}
1,0 , & \text {dla BZ} \\
1,0-\dfrac{f_{ck}-50}{200} , & \text {BWW}
\end {cases} \label{9}\end{equation}$$

Graniczna wysokość strefy ściskanej $x_u$, a zniszczenie kruche betonu

Wysokość strefy ściskanej betonu jest ograniczona poprzez dopuszczalną redystrybucję naprężeń w przekroju zgodnie zasadami dotyczącymi sprężystej analizy betony z ograniczoną redystrybucją. Redystrybucja naprężeń w zakresie nieliniowym dotyczy nie tylko punktów wzdłuż konstrukcji statycznie niewyznaczalnych, ale także redystrybucji naprężeń po wysokości przekroju. W przypadku redystrybucji naprężeń na wysokości przekroju również mają zastosowanie wyrażenia z klauzuli  [1],kl.5.5(4) , zalecanej dla analizy liniowo-sprężystej z ograniczoną redystrybucją belek lub płyt statycznie niewyznaczalnych, a mianowicie :
$$\begin{equation} \delta \ge \begin {cases}
0,44+1,25 \cdot \xi_u, & \text {dla BZ} \\
0,54+k_4 \cdot \xi_u.,  & \text {dla BWW} \\
0,7  , & \text {dla stali B lub C} \\
0,8  , & \text {dla stali A}
\end {cases} \label {10}\end{equation}$$
Współczynnik $k_4=1,25(0,6+0,0014/\varepsilon_{cu2}$ dla poszczególnych betonów zestawiono w tab.W-1.
Otrzymujemy stąd :
$$\begin{equation} \xi_u < \begin {cases}
(\delta – 0,44)/1,25, & \text {dla BZ } \\
(\delta – 0,54)/k_4 & \text {dla BWW }
\end {cases} \label{11}  \end{equation}$$
Dla powszechnie stosowanej plastycznej stali klasy B lub C  – $\delta_{max}= 0,7$ (30% redystrybucji) i z równań ($\ref{11}$) otrzymujemy :
$$\begin{equation} \xi_u <  \begin {cases}
0,208, & \text {dla  BZ } \\
0,160/k_4 & \text {dla BWW } \\
\label {12} \end {cases} \end{equation}$$

W wielu polskich podręcznikach (m.in. [1], kl. 10.2 ,  [2] i in.)  przedstawia się odmienną interpretacje granicznej wysokości strefy ściskanej, a mianowicie taką  dla której  w zbrojeniu rozciąganym osiąga się granicę plastyczności. Z tego kryterium wyprowadza się formułę $\xi_{uS}= \dfrac{E_s \varepsilon_{cu2}}{E_s \varepsilon_{cu2}+f_{yd}}$. Dla najczęściej stosowanej stali B500 i BZ  otrzymujemy stąd

$$\begin{equation} \xi_{uS}= 0,617 \label {13} \end{equation}$$

Porównanie wartości $(\ref{13})$ (wynikającej z uplastycznienia stali) z wynikiem, $(\ref {12})$ uzyskanym dla granicznej redystrybucji wskazuje, że stosowanie pierwszego warunku prowadzi do znaczącego przekroczenia dopuszczalnej redystrybucji naprężeń w betonie, co w konsekwencji może prowadzić do zawyżenia nośności przekroju poprzez dopuszczenie przypadków w których beton ulegnie kruchemu zniszczenia. Interpretacja $(\ref {13})$ jest pozostałością historycznego podejścia i korzystania ze starych układów tablic i w dobie Eurokodów nie powinna być już stosowana.

Doświadczeni inżynierowie zalecają przyjmowanie $\xi_u$< 0,45., co jest powszechnie uznane za dobrą praktykę, prowadzącą do uniknięcia zjawiska „nadmiernego wzmocnienia” i kruchego zniszczenia betonu. Takie ograniczenie jest wymagane przez normę pośrednio w rozdziale  dotyczącym analizy plastycznej. Zgodnie z klauzulą [1], kl.5.6(2) wynosi ono dla BZ  $\xi_{u,pl}  \le 0,25$, a dla BWW  $\xi_{u,pl} \le 0,15$.  W przypadku przeważającego ściskania (czyli w słupach) stosuje się momenty zginające wywołane obciążeniami zewnętrznymi, obliczone przy założeniu sprężystości bez jakiejkolwiek redystrybucji.

W celu ilustracji powyższego wywodu, w  tab Z-1 zestawiono zależność stopnia redystrybucji od wysokości strefy ściskanej dla betonu zwykłego.

Tab. Z-1.Stopień redystrybucji naprężeń w betonie w funkcji wysokości strefy ściskanej

Wysokość strefy ściskanej $\xi=0,45$ wystąpi przy pełnej redystrybucji naprężeń, a $\xi=0,617$ jest fizycznie niemożliwe, bo oznaczałoby  hiperredystrybucję naprężeń w przekroju.
W niniejszym artykule zalecamy stosowanie wartości odpowiadającej stopniowi redystrybucji $\delta=$ 0,9, czyli :
$$\begin{equation} \xi_u = \begin {cases}
(0,9-0,44)/1,25=0,368, & \text {dla BZ } \\
(0,9-0,54)/k_4= 0,36 / k_4 & \text {dla BWW }
\end {cases} \label{14}  \end{equation}$$
Wartości współczynnika $k_4$ podano w tab.W-1.

Założenie $(\ref{14})$ o wysokości strefy ściskanej dotyczy zarówno modelu MN  jak i MU i zmniejsza ryzyko zniszczenia przekroju zginanego poprzez kruche pękniecie betonu, co w konsekwencji prowadzi do zapewnienia odpowiedniej niezawodności przekrojów żelbetowych z przeważającym udziałem zginania.

Wartości graniczne $(\ref{14})$ dotyczą rzeczywistej wysokości strefy ściskanej, a nie zredukowanej współczynnikiem $\lambda$ (efektywnej).
W Wielkiej Brytanii [3] od lat zaleca się stosowanie do wymiarowania przekrojów zginanych współczynnika redystrybucji $\delta=0,85$, które jest nieco bezpieczniejsze od postulowanego w niniejszym artykule $\delta=0,9$ , ale będzie to prowadziło do nieco większego zbrojenia.

Klasyczna technika projektowania zbrojenia podłużnego

W projektowaniu podłużnego  zbrojenia  przekroju zginanego (bez udziału siły podłużnej) stosuje się  trzy podejścia:

• metodą bezpośrednią stosowaną do wyznaczania zbrojenia belki pojedynczo zbrojonej (dla $A_{su}=0$),
• metodą tabelaryczną lub graficznie z wykresów,
• iteracyjne stosowane w  arkuszach kalkulacyjnych lub procedurach numerycznych.

W klasycznej technice stosuje się uproszczony, prostokątny rozkład z rys. Z-2.

Graniczna nośność przekroju i kryterium zbrojenia podwójnego

Graniczna nośność przekroju pojedynczo zbrojonego $\mu_u$ odpowiada nośności przekroju bez stali ściskanej $A_u=0$ i w sytuacji osiągnięcia przez bryłę ściskaną granicznej, maksymalnej wartości $\xi_u$, określonej wyżej. Przekrój będzie mógł przenieść większy moment dopiero po wspomożeniu strefy betonu poprzez zbrojenie strefy ściskanej przekrojem $A_u>0$.

Moment wokół osi zbrojenia rozciąganego $F_{sl}$ bez udziału zbrojenia ściskanego $F_{su}$  wynosi :

$$\begin{equation} M_c= F_c \cdot z= b \cdot \eta f_{cd} \cdot  x_{ef} \cdot z= b \cdot  \eta  f_{cd} \cdot  x_{ef} (d-x_{ef}/2)  \label {15} \end{equation}$$

Po unormowaniu moment zginający przenoszony przez beton, równy momentowi przenoszonemu przez rozciąganą stal ( i w konsekwencji przez cały przekrój,) czyli nośność przekroju  pojedynczo zbrojonego można obliczyć z formuły

$$\begin{equation} m_{R1}=\eta \cdot  \xi_{ef} \cdot \left (  1 – \xi_{ef}/2 \right) \label {16}\end{equation}$$

gdzie $\xi_{ef}=\lambda \xi $
($\lambda$ wg tab. 1 zależy od klasy betonu, a $\xi=x/d$ jest rzeczywistą, względną wysokością strefy ściskanej)

Nośność graniczną przekroju pojedynczo zbrojonego uzyskamy z $(\ref{16})$ po podstawieniu granicznej wysokości strefy ściskanej $\xi=\xi_u$  ($\xi_{ef,u}=\lambda \xi_u$), czyli:
$$\begin{equation} \xi_{ef,u} = \begin {cases}
0,8 \cdot 0,368 = 0,2944, & \text {dla BZ } \\
0,32 \lambda , & \text {dla BWW }
\end {cases} \label{17}  \end{equation}$$ $$\begin{equation} m_u = \begin {cases}
0,2944-0,2944^2 /2=0,251, & \text {dla BZ } \\
0,32 \lambda(1-0,16 \lambda), & \text {dla BWW }
\end {cases} \label{18}  \end{equation}$$
Można pokazać, że identyczny rezultat uzyskamy operując rzeczywistymi ( anie efektywnymi) wysokościami strefy ściskanej.
Warunek na zbrojenie pojedyncze/podwójne przekroju można zapisać w postaci:
$$\begin{equation} \text{Jeżeli} \begin {cases}
m_{Ed} \le m_{u}, & \text {to wystarczy pojedyncze zbrojenie ($A_{su}=0$) } \\
m_{Ed} > m_{u}, & \text {to należy zastosować zbrojenie podwójne ($A_{su}>0$)}
\end {cases} \label{19}  \end{equation}$$

Zbrojenie pojedyncze

W przypadku, gdy zbrojenie ściskane nie jest wymagane, zbrojenie rozciągane $A_{sl}$ najłatwiej wyznaczyć bezpośrednio z równania kwadratowego $(\ref{16})$ dla $m_{R1}=m_{Ed}$, które po rozwiązaniu podług $\xi$ daje pierwiastki:

$$\begin{equation} \xi_{equ}=  1 \pm \sqrt{1- 2 m_{Ed}/ \eta}  \label {20} \end{equation}$$

Ponieważ $\xi_{equ}>1$ nie ma sensu fizycznego , więc dla zbrojenia pojedynczego  pozostaje pierwiastek $\xi_1$
$$\begin{equation} \xi_1= 1 – \sqrt{1 – 2m_{Ed}/ \eta} \label {21} \end{equation}$$
Często posługuje się ramieniem sił wewnętrznych  $ z= d-  x_{ef}/2$ , czyli po unormowaniu $\zeta =1- \xi_{ef}/2$, co dla pierwiastka $(\ref{20})$ daje:
$$\begin{equation} \zeta_1= \tfrac{1}{2}(1+\sqrt{1-2m_{Ed}/ \eta})  \label{22} \end{equation}$$
Z warunku równowagi momentów względem wypadkowej siły w betonie $F_c$, bezpośrednio wyznaczamy siłę w zbrojeniu dolnym $F_{sl}=M_{Ed}/z$, a następnie teoretyczne pole przekroju zbrojenia:
$$\begin{equation}  A_{sl,1} = \dfrac{M_{Ed}} {\zeta_1 \cdot d \cdot f_{yd}}=\dfrac{m_{Ed} \cdot (bd f_{cd})}{\zeta_1 f_{yd}}\label {23} \end{equation}$$

Zbrojenie podwójne

Jeśli z kryterium $(\ref {19})$ wynika, że  nośność ściskanej strefy betonu jest za mała, należy zwiększyć wymiary przekroju lub w szczególnych, lokalnych  sytuacjach  można zastosować zbrojenie podwójne  ( zbrojenie w strefie ściskanej $A_{su}$ .

Teoretyczna procedura wyznaczenia zbrojenia $A_{su}$ polega na takim zaprojektowaniu zbrojenia ściskanego , by przeniosło one nadwyżkę momentu zginającego  $\Delta m$
$$\begin{equation}  \Delta m= m_{Ed}-m_u \label {24} \end{equation}$$

Warunek równowagi momentów względem osi zbrojenia rozciąganego, ale z udziałem siły $F_{su}$ zapisujemy w postaci: $M_{Ed}= F_c \cdot z+F_{su} \cdot (d-a_u)$, i po unormowaniu otrzymujemy
$$\begin{equation}   A_{su,2}= \dfrac { \Delta m  \cdot (b d f_{cd}) } {(1-a_u/d) f_{yd}} \label {25} \end{equation}$$
W celu zachowania równowagi sił poziomych  przekrój $A_{sl,1}$  $(\ref{23})$ należy zwiększyć o zbrojenie ściskane :
$$\begin{equation} A_{sl,2}= A_{sl,1}+A_{su,2} \label {26} \end{equation}$$

Uwagi krytyczne o klasycznej technice projektowania przekrojów zginanych

Klasyczna technika projektowania przekrojów zginanych nie uwzględnia się relacji odkształceń w betonie i stali, oraz prawa fizycznego, betonu i stali.

W każdym rzeczywistym przypadku zbrojenia żelbetowego przekroju zginanego metodami klasycznymi – nie są nawet spełnione podstawowe warunki równowagi sił., również z tego względu , że każdy przekrój żelbetowy jest w rzeczywistości, a nie uwzględnia się sił przenoszonych przez to zbrojenie, zakładając że ono nie występuje.

W rezultacie nie są spełnione fundamentalne równania żelbetu, w tym $(\ref{30})$, co oznacza, że wyznaczone rozwiązanie jest nie tylko nierzeczywiste, ale nawet nie jest statycznie dopuszczalne.

W celu wyznaczenia rozwiązania spełniającego warunki równowagi oraz warunki fizyczne, należy przeprowadzić analizę pokazaną niżej dla zginania z udziałem siły osiowej.

Postawienie zagadnienia  zginania i ściskania belki żelbetowej

Zagadnienie żelbetu  polega na poszukiwaniu  pięciu niewiadomych:  wysokości strefy ściskanej $x$, pola zbrojenia dolnego $A_{sl}$,  górnego $A_{su}$, a także naprężeń w stali $\sigma_{sl}$, $\sigma_{su}$.

Do dyspozycji mamy tylko dwa warunki równowagi sił:  $\Sigma X=0 \, ; \Sigma M_i =0$  względem osi  $i = O$, $l$ lub $u$= (oś przekroju betonowego, oś dolnego zbrojenia, oś górnego zbrojenia)”. Wybór osi jest dowolny, ale tylko jeden z warunków ΣM jest niezależny.

Trzeci warunek jest określony przez prawo fizyczne betonu $(\ref{39})$, a czwarty i piąty przez prawo fizyczne $(\ref{43})$ dla zbrojenia rozciąganego (l)  i ściskanego (u), określone formułami analogicznymi do klasycznych równań Hooka, ale opisującymi związki nieliniowe poprzez przyjęcie nieliniowych modułów sprężystości.

Dodatkowym warunkiem rozwiązania jest prawo płaskich przekrojów Bernoulliego $(\ref{47})$, które jest w istocie wnioskiem z rozwiązania zagadnienia brzegowego czystego zginania, a wynika  z rozkładu pola przemieszczeń określonych przez równania geometryczne Cauchego  na podstawie odkształceń związanych z naprężeniami równania fizycznymi Hooke’a   [4], s.148 .

Ponadto ograniczane są maksymalne odkształcenia betonu do wartości granicznej $\varepsilon_u$=3,5‰ dla BZ i do wartości podanych w tab. W-1 dla BWW.

Rozwiązanie zagadnienia polega na zestawieniu wskazanych wyżej zależności i rozwiązaniu utworzonego układu równań. Układ równań rządzący zagadnieniem jest w ogólności nieliniowy i w zasadzie nie da się  sformułować prostego rozwiązania analitycznego w „kwadraturach”. Znane rozwiązania ( np [5],  [2] ) są dość skomplikowane, wielowątkowe i wprowadzają niepotrzebne definiowanie różnych przypadków projektowych. Rozwiązania numeryczne najefektywniej jest uzyskać z zastosowaniem powszechnie dostępnych arkuszy kalkulacyjnych, a jeden algorytm obejmuje wszystkie przypadki projektowe wraz z zadaniami optymalizacji.

Rozwiązaniem problemu jest nośność przekroju określona parametrem $\Lambda$ – mnożnikiem obciążenia do ustalonej konfiguracji odniesienia $F_0 =[ M_0\, ,\, N_0]$, określonej wektorem momentu zginającego $M_0$ i siły osiowej $N_0$:

$$\begin{equation} \Lambda_R = \cfrac { F_R = [ M_R \, , \, N_R] }{  F_0 =[ M_0\, , \, N_0 ] }  \label {27}\end{equation}$$

Równania równowagi przekroju

Na rys. Z-1 i Z-2 pokazano siły działające w przekroju z przyjętą konwencją znakowania sił zewnętrznych:  zewnętrzny moment  zginający $M_{Ed}$ jest dodatni jeśli rozciąga dolne włókna przekroju, zewnętrzna siła osiowa$N_{Ed}$ jest dodatnia, jeśli ściska przekrój. Założono też dodatnie zwroty sił wewnętrznych: siły  $F_c$ i $F_{su}$ są ściskające, siła $F_{sl}$ jest rozciągająca. Jeśli z rozwiązania zadania uzyskamy znaki ujemne, to będzie oznaczało, że w danej sytuacji obliczeniowej siła działa przeciwnie do założonego zwrotu.

W celu skrócenia zapisu wprowadzamy parametry zwane użytecznymi wysokościami $d_i$ przekroju „i”, zależnymi od współrzędnej osi do której są odmierzane, wynoszącymi:

$$\begin{equation} d_i = \begin {cases}
h/2,  & (i=O)\\
h – a_l,  & (i=l) \\
a_u,  & (i=u)\\
h – a_l – a_u, & (i=lu)
\end {cases} \label {28} \end{equation}$$

Równania równowagi przekroju odczytane bezpośrednio z rys. Z-1 można zapisać w postaci:
$$\begin{equation} \begin {cases}
\Sigma X=0 \to  N_{Ed} – F_c – F_{su}  + F_{sl}=0\\
\Sigma M_0=0 \to  M_{Ed} – M_{c,0} – F_{su} \cdot (d_0 – a_u) – F_{sl} \cdot (d_0 – a_l)=0
\end {cases} \label {29}\end{equation}$$

Ponieważ spełnione powinny być oba warunki  $(\ref {29})$ jednocześnie, więc złożenie (suma) obu warunków powinna być stateczna. Po przemnożeniu pierwszego równania obustronnie przez $- d_0$ i dodaniu obu równań skonsolidowany warunek równowagi przyjmuje postać:

$$\begin{equation} R=(M_{Ed} – M_{c,0}) – (N_{Ed}+2F_{sl} – F_c)\cdot d_0 + (F_{sl} \cdot  a_l+ F_{su} \cdot  a_u) = 0 \label {30} \end{equation}$$

Po przekształceniach skonsolidowany warunek równowagi  żelbetu możemy zapisać w postaci przydatnej do wyznaczania sumy zbrojenia przekroju:
$$\begin {equation} (F_{sl} +F_{su})=\dfrac {2 (M_{Ed}-M_{c,0})} {d_{lu}}+ (N_{Ed}-F_c) \label {31} \end {equation}$$

Porównanie metody nieliniowej MN i uproszczonej MU

W fundamentalnym równaniu żelbetu $R=0$ $(\ref{30})$ występuje  wypadkowa bryły naprężeń w betonie $F_c$ oraz moment tej bryły $M_{c,0}$ liczony względem osi y-y przekroju betonowego, które są funkcją wysokości strefy ściskanej $x$. W przypadku rozpatrywanego w tym artykule przeważającego zginania (rys. Z-2c)  wysokość strefy ściskanej  $x\le h$. W takim przypadku  wypadkowa i moment bryły naprężeń w betonie wynosi:

• dla modelu MU  (uproszczonego – prostokątnego)

$$\begin {equation} F_c=\eta f_{cd} b \lambda x \qquad ; \quad M_{c,0}= F_c (d_0 – \lambda x /2) \label {32} \end {equation}$$

• dla modelu MN (nieliniowego – parabolicznego)

$$\begin {equation} F_c=\dfrac {17}{21} \cdot b \cdot x \cdot f_{cd}  \qquad;  \quad M_{c,0}=F_c \cdot \left( d_0- \dfrac {693} {1666} x \right) \label {33} \end {equation}$$

Współczynniki $\lambda$ i $\eta$ w równaniu $(\ref{32})$ określa się z $( \ref{8})$ i $( \ref{9})$.
Siły $F_c$ oraz $M_{c,0}$  $(\ref{33})$ dla modelu nieliniowego uzyskano poprzez całkowanie rozkładu $(\ref{7})$.

Dla znanych sił przekrojowych  $M_{Ed}$ oraz $N_{Ed}$ oraz siły w zbrojeniu dolnym $F_{sl}$ oraz górnym $F_{su}$ skonsolidowany warunek równowagi $(\ref{30})$ staje się kwadratowym równaniem  $R(x)=0$, które nazwiemy podstawowym równaniem żelbetu i które ma tylko jeden pierwiastek dodatni, co jest zgodne z naturą ($x>0$);. Pierwiastek ten można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} x= \alpha_M  \cdot  \sqrt{ \dfrac{ (N_{Ed}+2 F_{sl})\cdot d_0 -M_{Ed}-a_l F_{sl} -a_u F_{su}} {b f_{cd}}} \label {34}\end{equation}$$
Współczynnik $\alpha_M$ zależy od modelu betonu:
$$\begin{equation}  \alpha_M= \begin {cases}
\dfrac{\sqrt{2/\eta}}{\lambda} &  \text {dla modelu U} \\
\sqrt{\dfrac{101}{7}}= 1,723 & \text {dla modelu N}
\end {cases} \label{35} \end{equation}$$

Dla modelu uproszczonego U wyniki są mniej dokładne. Przedstawiamy je wyłącznie w celach porównawczych. Dla BZ w modelu uproszczonym MU $\alpha_M=\sqrt{2/1} /0,8 = 1,768$, czyli różni się o $1,768/1,723-1= 2,6$ % od współczynnika $\alpha_M$ w modelu nieliniowym MN. Wynika stąd, że korzystanie z obu modeli jest w praktyce równoważne, ale model MN jest uniwersalny, bo dotyczy wszystkich betonów (również wysokiej wytrzymałości), co upraszcza algorytmy numeryczne oraz interpretację wyników.

W dalszej części artykułu stosujemy wyłącznie model nieliniowy MN. Zadanie żelbetu jest sprzężone, to znaczy siły w zbrojeniu  dolnym $F_{sl}$ oraz górnym $F_{su}$  zależą wyłącznie od wysokości strefy ściskanej $x$. Do wyznaczania  $x$ nie wykorzystujemy więc wprost  równania $(\ref{34})$ , ale poszukujemy rozwiązania nieliniowego równania $R=0$ ($\ref {30}$), gdzie do wyznaczenia odkształceń zbrojenia stosowana jest zasada płaskich przekrojów ($\ref{47}$) a naprężenia w stali i betonie wyznacza się z prawa fizycznego ($\ref{39}$) i $(\ref{43})$.

Nośność przekroju

Z równań równowagi $(\ref{29})$ bezpośrednio wyznaczamy nośność obliczeniową przekroju $M_{Rd} (=M_{Ed})$, $N_{Rd}(=N_{Ed})$ mierzoną siłami przekrojowymi: czystym momentem zginającym oraz czystą siła osiową dla wyznaczonego zbrojenia oraz wyznaczonej wysokości strefy ściskanej $x$:

$$\begin{equation} \begin {cases}
M_{Rd} = M_{c,0} + F_{su} \cdot (d_0 – a_u) + F_{sl} \cdot (d_0 – a_l) \\
N_{Rd} = F_c + F_{su}  – F_{sl}
\end {cases} \label {36}\end{equation}$$

Współdziałania (interakcja) kilku sił redukuje nośność przekroju mierzoną czystą siłą (bez działania pozostałych). Dla przypadku jednokierunkowego zginania ze ściskaniem zależności interakcji pokazano na rys. Z-3.

Rys. Z-3. Konstrukcja krzywej interakcji przekroju zginanego i ściskanego  ( opracowano  na podstawie [6], Fig. 11-13 )

W obliczeniach praktycznych zwykle przyjmuje się [6], (11-16) , że składowe nośności zmniejszane są tym samym współczynnikiem redukcyjnym $k_{(M,N)}$:

$$\begin{equation} F_{Rd,(M,N)}= k_{(M,N)} \cdot \left [ M_{Rd} \, , \, N_{Rd} \right ] \label{37} \end{equation}$$

Współczynniki interakcji $k_{(M,N)}$ można wyznaczyć szacunkowo z zaleceń normy amerykańskiej w zależności od obszaru interakcji, określonej na podstawie odkształcenia zbrojenia dolnego (rozciąganego) $\varepsilon_{sl}$ [7] :

$$\begin{equation} k_{(M,N)} = \begin {cases}
0,65, &  \text {dla }  \varepsilon_{sl}\le \varepsilon_{sy} \\
0,65+ (\varepsilon_{sl}-\varepsilon_{sy}) \cdot 0,29 / \varepsilon_{cu}, & \text {dla } \varepsilon_{sy} < \varepsilon_{sl} < \varepsilon_{su} \\
0,90,  & \text {dla }  \varepsilon_{sl} \ge \varepsilon_{su}
\end {cases} \label{38} \end{equation}$$

gdzie:
$\varepsilon_{sy}=E_s / f_{yk}$ – odkształcenie plastyczne stali,
$\varepsilon_{su}$ – odkształcenie graniczne stali (odpowiadające granicy wytrzymałości),
$\varepsilon_{cu}$=3,5% – odkształcenie graniczne betonu

W załączonym  arkuszu kalkulacyjnym LCżelbet interakcja momentu zginającego oraz siły osiowej jest uwzględniana dokładnie bez potrzeby stosowania uproszczonych formuł $(\ref{37})$ z $(\ref{38})$.

Prawo fizyczne betonu. Moduł materiału, a moduł górnego lub dolnego włókna belki

Prawo fizyczne betonu wiąże odkształcenia w betonie $\varepsilon_c$ z naprężeniami $\sigma_c$ i jest zapisywane w postaci analogicznej do wzoru Hooka:
$$\begin{equation}\sigma_c=E_c \cdot \varepsilon_c \label{39}\end{equation}$$

przy czym moduł odkształcalności  betonu E_c(ε_c, t) jest w ogólności nieliniową funkcją odkształceń betonu oraz czasu $t$ i zmniejsza się istotnie wraz ze wzrostem pełzania betonu [1], Rys.3.2. , a prawo $(\ref{39})$ jest w istocie nieliniowe.

Jak już wspomniano wcześniej w mechanice prętów żelbetowych model $(\ref{39})$ można zastąpić równoważną, niezależną od czasu postacią [1] przedstawioną na rys. Z-1 (model nieliniowy) lub na rys.  Z-2 (model uproszczony).

Obliczeniowy moduł odkształcalności betonu jest modułem siecznym i jest minimalny dla włókna skrajnego (tam, gdzie odkształcenie jest maksymalne ε_c=ε_cu2 lub ε_cu3). Nazwiemy go modułem włókna górnego :

$$\begin{equation}E_{cu}=f_{cd}/\varepsilon_{cu2} \label{40}\end{equation}$$

Na przykład dla betonu C30/37  moduł włókna górnego wynosi E_cu=(30/1,4)/3,5‰=6,1 GPa. Dla porównania: średni moduł styczny dla  betonu C30/37 wynosi E_cm=32 GPa, a moduł długotrwały (z uwzględnieniem pełzania) E_c,ef=E_cm/[1+φ(∞,t₀)] ≈ E_cm/(1+2)=32/3=10,7 MPa.

Moduł włókna dolnego $E_{cl}$ zależy od fazy pracy przekroju., przy czym w każdej fazie obowiązuje założeni płaskich przekrojów  Z proporcji płaskiego przekroju mamy możemy wyznaczyć odkształcenie betonu na podstawie odkształcenia pręta stalowego, jak następuje:

$$\begin{equation}  \varepsilon_{cl}= \varepsilon_{sl} \cdot \cfrac{h}{d_l}=\varepsilon_{sl} \cfrac{1}{1-a_l /h }\label{41}\end{equation}$$

Z prawa fizycznego ($\ref{39}$) moduł  włókna dolnego $E_{cl}$ dla $\sigma_{cl}=f_{ctm}$ wynosiłby na przykład
$$\begin{equation} E_{cl} =\cfrac{\sigma_{cl}} {\varepsilon_{cl}}= \cfrac {f_{ctm}}{\varepsilon_{sl}} \cdot \cfrac{1}{1-a_l /h } \label{42}\end{equation}$$

Moduły $E_{cu}$, $E_cl$  oraz $E_{cm}$ i $E_{c,ef}$  są innymi wielkościami jakościowo, bowiem $E_{cm}$ i $E_{c,ef}$ dotyczą materiału, a $E_{cu}$ i $E_{cl}$  włókien konstrukcji.

W problemie rysowania i ugięć (rozdział Rysy i ugięcia belek) stosuje się efektywny moduł  odkształcalności $E_{c,ef}$  zależny od pełzania w czasie (rozdział Pełzanie i skurcz betonu

Prawo fizyczne stali zbrojeniowej

Prawo fizyczne jest takie same dla zbrojenia górnego i dolnego (*=u,l):
$$\begin{equation}\sigma_{s,*}=E_s \cdot \varepsilon_{s*} \label{43}\end{equation}$$

gdzie moduł Younga w zakresie sprężystym i w temperaturach $30^o C \le t \le 100^o C$ przyjmuje się $E_s=200 GPa$,
a po przekroczeniu przez naprężenia granicy plastyczności $f_yd$, czyli przy odkształceniu większym $\varepsilon_{yd}=f_{yd} / E_s$  moduł odkształcalności jest modułem stycznym, zależnym od modelu stali. Dla najczęściej stosowanego modelu idealnie sprężysto-plastycznego (Prandtla) moduł styczny stali wynosi $E_s=f_yd/ \sigma_s$, gdzie $\sigma_s$ jest aktualnym naprężeniem w stali.

Stal zbrojeniowa może mieć  klasę  plastyczną stali ( A- mała ciągliwość , B – średnia ciągliwość . C – duża ciągliwość ), a zaleca się  stosować stal klasy B lub C.
Podział stali dokonuje się ze względu wartość współczynnika $k=f_t/f_y$ (= granica wytrzymałości w próbie rozciągania /granica plastyczności) oraz graniczne odkształcenia charakterystyczne $\varepsilon_{ul}$ , obserwowane przy zerwaniu próbki (przy naprężeniach $f_t$):

$$\begin{equation} \varepsilon_{uk} (f_{tk}) \in \begin {cases}
[2,5 \, ; 5) \% , & \text{dla stali klasy A}\\
[5\, ; 7,5) \% , & \text{dla stali klasy B}\\
[7,5 \% , & \text{dla stali klasy C}
\end {cases} \label {44} \end{equation}$$

$$\begin{equation} k=f_t/f_y  \begin {cases}
\ge 1,05 \% , & \text{dla stali klasy A}\\
\ge  1,08 \% , & \text{dla stali klasy B}\\
>1,15 \% ,\le 1,35 \% & \text{dla stali klasy C}
\end {cases} \label {45}\end{equation}$$

W tab. W-2 zestawiono najczęściej stosowane stale zbrojeniowe.

Na rys. Z-4 pokazano modele stali przyjmowane w analizie żelbetu. Powszechnie stosuje się model idealnie sprężysto-plastyczny (model Prandtla), a w dokładniejszych analizach model ze wzmocnieniem liniowym. Mimo tego , że współczynnik k jest niewielki dla stosowanych stali zbrojeniowych, to w modelu stali ze wzmocnieniem można uzyskać nośności nawet o 10% wyższe niż dla modelu Prandtla.

W modelu ze wzmocnieniem liniowym naprężenia w zbrojeniu wyznacza się z zależności:
$$\begin{equation} \sigma_s = \begin {cases}
E_s\cdot \varepsilon_s , & \text {dla  $\varepsilon_s \le \varepsilon_{yd}$} \\
f_{yd} \cdot [ 1+k_w \cdot ( \varepsilon_s-\varepsilon_{yd})] , & \text { dla $ \varepsilon_{yd} <\varepsilon_s \le \varepsilon_{ud}$ } \\
f_{ud}=f_{uk}/1,15 , & \text{ dla $\varepsilon_s > \varepsilon_{ud}$}
\end {cases} \label {46}\end{equation}$$
gdzie $\varepsilon_{yd}$ oraz $k_w$ zestawiono w tab. 2 . Graniczne obliczeniowe odkształcenie stali $\varepsilon_{ud}=0,9\cdot\varepsilon_{uk}$, przyjęto jako wartość graniczną, wynikającą z definicji rodzajów stali $(\ref{44})$.

Rys. Z-4 Modele stali zbrojeniowej

Zasada płaskich przekrojów

 Odkształcenia podlegają  zasadzie płaskich przekroi Bernoulliego , wyrażonej formułami  ($\ref{47}$) wynikającymi z rys. Z-1 :

$$\begin {equation} \dfrac{\varepsilon_{sl}}{d_l-x}= \dfrac{\varepsilon_{su}}{x – d_u}=\dfrac{\varepsilon_{cu}}{x} \label {47} \end {equation}$$
gdzie: $\varepsilon_{cu}=$3,5‰  =$\varepsilon_{cu3}$ dla modelu prostokątnego MU i $\varepsilon_{cu2}$ dla modelu MN.

Z zależności $(\ref{47})$ można uzyskać jawną postać odkształcenia zbrojenia górnego (u) i dolnego (l):

$$\begin {equation} \varepsilon_{sl}=\varepsilon_{cu} \cdot (d_l /x-1) \qquad \varepsilon_{su}=\varepsilon_{cu} \cdot (1 – d_u/x) \label {48} \end {equation}$$

Z $(\ref{48})$ wynika, że zależnie od relacji wysokości strefy ściskanej $x$ oraz wysokości użytecznych zbrojenia zachodzą następujące przypadki wytrzymałościowe:

TT (ang. Tension-Tension) $x=0$ – przypadek dla którego odkształcenia w stali są nieokreślone. Odpowiada to jednorodnemu rozciąganiu przekroju, w którym w całym przekroju (w betonie i stali) mamy odkształcenia rozciągające, a przekrój podlega analizie prętów zespolonych . Takim przypadkiem nie zajmujemy się w niniejszym artykule – jest on przedmiotem artykułu Konstrukcje zespolone stalowo-betonowe.

CC (ang. Compresion-Compresion) $  x > d_u \,  x \le d_l \to $  $\varepsilon_{su} > 0$,  $\varepsilon_{sl} > 0$, oba zbrojenia są ściskane – jest to przypadek małego mimośrodu.

CT (ang. Compresion-Tension) $  x > d_l  \to \, \varepsilon_{su} > 0 \, , \, \varepsilon_{sl} < 0$, czyli zbrojenie górne jest ściskane, a zbrojenie dolne rozciągane  – jest to przypadek dużego mimośrodu, obejmujący również klasyczne zginanie belek.

Do przypadku CT zaliczymy też  $ x \le d_u  \to$  $\varepsilon_{su}\le 0$,  $\varepsilon_{sl} > 0$, dla którego  zbrojenie górne jest rozciągane, a dolne ściskane. Wystarczy analizować przekrój odwrócony o 90⁰ .

Uogólnienie granicznej wysokości strefy ściskanej

Ustala się graniczną wysokość strefy ściskanej, która nie może być przekroczona, co ma zabezpieczyć przed kruchym pękaniem betonu,. Należy ją skojarzyć  z gradientem (szybkością spadku odkształceń po wysokości
$$\begin{equation} \nabla \xi_u= \dfrac{ \Delta \varepsilon }{  \Delta \xi_u}  \begin {cases}
(0,0035-0)/ 0,368  = 9,5 \text{‰},  & \text {dla BZ } \\
(0,0035-0)/ 0,32  = 10,9 \text{‰}, & \text {dla BWW}
\end {cases} \label{49}  \end{equation}$$
gdzie przyrost $ \Delta \xi_u$ przyjęto za $(\ref{13})$.

Graniczna wysokość strefy ściskanej dotyczy przypadku przeważającego zginania (rys. W-2c) Natomiast w przypadkach czystego lub przeważającego ściskania a także przeważającego rozciągania (rys. W-2a,b) wartości $ \nabla \xi_u$ nie ostaną przekroczone, więc w tych przypadkach nie formułuje się warunku na graniczną wysokość strefy ściskanej.

Dwukierunkowe zginanie My-Mz z udziałem N

Problem dwukierunkowego (ukośnego zginania z udziałem siły osiowej występują praktycznie we wszystkich elementach słupowych, a w belkach najczęściej bez udziału siły osiowej. 

Równania równowagi dla dwukierunkowego zginania

W przypadku dwukierunkowego zginania przekroju momentami $M_{Ed,y}$ oraz $M_{Ed,z}$ z udziałem siły osiowej $N_Ed$ skonsolidowane równanie równowagi $(\ref {30})$.stawiamy odrębnie dla obu kierunków

$$\begin{equation} R_y=(M_{Ed,y} – M_{c0,y}) – (N_{Ed,y}+2F_{sl,y} – F_{cy}) \cdot d_{0,y} + (F_{sl,y} \cdot  a_{l,y} + F_{su,y} \cdot  a_{u,y}) = 0 \label {50} \end{equation}$$ $$\begin{equation} R_z=(M_{Ed,z} – M_{c0,z}) – (N_{Ed,z}+2F_{sl,z} – F_{c,z}) \cdot d_{0,z} + (F_{sl,z} \cdot  a_{l,z} + F_{su,z} \cdot  a_{u,z}) = 0 \label {51} \end{equation}$$

W równaniach $(\ref{50})$ , $(\ref{51})$ występują dwie dodatkowe siły $N_{Ed,y}$ i $N_{Ed,z}$, które stanowią część całkowitej siły ściskającej przekrój $N_{Ed}$ przypadającej do zginania wokół osi $y$ momentem $M_{Ed,y}$ oraz wokół osi $z$ momentem $M_{Ed,z}$ składające  się na całkowitą siłę ściskającą

$$\begin{equation}  N_{Ed,y}+N_{Ed,z}=N_{Ed} \label {52} \end{equation}$$

Równanie $(\ref{52})$ sprzęga dwa zagadnienia zginania jednoosiowego  w jedno zagadnieniu zginania ukośnego z uwzględnieniem interakcji obu prostych zagadnień.

Powierzchnia interakcji ukośnego zginania  przekroju żelbetowego

Na rys. Z-5 pokazano powierzchnię interakcji przekroju żelbetowego zginanego ukośnie .

Rys. Z-5 Powierzchnia interakcji N-M_y-M_{z  [8]}

Na powierzchni interakcji można wydzielić izobary powstałe przez przekrój powierzchni interakcji płaszczyzną prostopadłą do osi sił N (równoleżnik). Aproksymacja powstałej w ten sposób krzywej interakcji dla ustalonej siły osiowe  nazywana jest Metodą Konturu (MK) i  jest opisana formułą $(\ref{61} )$ stosowaną w normie europejskiej [1] .

Przekrojem pionowym na powierzchni interakcji można wydzielić izokliny, ten sposób aproksymacji nazywany jest Metodą Odwrotności (MO) ze względu na postać formuły interakcji ($\ref{58}$). Metoda odwrotności została wprowadzona do normy amerykańskiej  ACI 318-05,11. 

Stosowanie uproszczonych formuł interakcji ($\ref{58}$) oraz  ($\ref{61}$)  uzasadnione jest  trudnościami rachunkowymi w ścisłym ujęciu zagadnienia, a także uzyskiwaniem bezpiecznych rozwiązań, co zostało potwierdzona wieloma badaniami eksperymentalnymi i numerycznymi. W szeregu przypadkach zyskiwane rozwiązania są jednak zbyt konserwatywne, więc nieoptymalne [9] .

Rozprzężenie  zginania ukośnego

Wyznaczenie przekrojowych  sił osiowych $N_{Ed,y}$ i $N_{Ed,z}$, występujące w równaniach $(\ref{24})$ do $(\ref{26})$ jest podstawowym problemem zginania ukośnego, powalającym  rozdzielić problem sprzężony na dwa problemy proste. W zadaniu rozprzężenia poszukiwać będziemy współczynników rozdziału:

$$\begin {equation}  r_y=N_{Edy}/N_{Ed} \quad ; \quad r_z=N_{Edz}/N_{Ed} \label {53} \end {equation}$$
Z warunku $(\ref{26})$, otrzymujemy oczywiście $r_y+ r_z=1$

Rozprzężenie zginania ukośnego można dokonać na wiele sposobów, z których omówimy trzy:

• S – proporcjonalnej sztywności.
• R  proporcjonalnej nośności,
• MO – odwrotności nośności (metoda krzywej interakcji MO).

Metoda S rozprzężenia – proporcjonalnie do sztywności

Zgodnie z podstawową zasadą rozdziału sił przekrojowych proporcjonalnie do sztywności, przyjmujemy rozdzielniki sił $r_y$ oraz $r_z$ w dwóch kierunkach proporcjonalnie do sztywności przekroju :

$$\begin{equation} r_y =\dfrac{s_y}{S} \quad ; r_z =\dfrac{s_z}{S} \quad \label{54} \end {equation} $$

gdzie:

$ S =E_{cm} \cdot ( A_c +\alpha_e \cdot \Sigma A_s) $  – sztywność osiowa całego przekroju,
$s_y =E_{cm} \cdot (A_{cy} +\alpha_e \cdot A_{sy})$,
$s_z =E_{cm} \cdot (A_{cz} +\alpha_e \cdot A_{sz})$,

w których występuje  stosunek modułów sztywności stali i betonu $\alpha_e=E_s/E_{cm}$.

Przyjmiemy założenie że ze zbrojeniem w danym kierunku współpracuje beton proporcjonalnie do pola przekroju danego zbrojenia:

$A_{cy}/A_{cz}=A_{sy}/A_{sz}$

Przy takim założeniu stosunek współczynników rozdziału (równy stosunkowi sztywności) jest równy stosunkowi przekroju zbrojenia

$$\begin{equation} r_{yz,S}=\dfrac{r_y}{r_z} =\dfrac{s_y}{s_z} =\dfrac{ A_{sy}} {A_{sz}} \label{55}\end {equation} $$

W rezultacie otrzymamy :

$$\begin{equation} r_{y,S} =\dfrac{r_{yz,S}}{1+r_{yz,S}} \label{56}\end {equation} $$

Metoda R rozprzężenia – proporcjonalnie do nośności

Dla $N_{Ed} > N_{Rdx}/3$  metoda MO jest zawodna (p. niżej). W takim przypadku rozdział siły osiowej $N_{Ed}$ przeprowadzimy proporcjonalnie do zbalansowanych nośności $N_{Rdy(N)}$ oraz $N_{Rdz(N)}$, uzyskanych z pomocniczego rozwiązaniu równań równowagi odrębnie dla każdego kierunku zginania, przy chwilowym założeniu, że przypadają na nie siły $(\ref{56})$ wyznaczone metodą S.
Nośności zbalansowane są wyznaczane z pełnego układu równań problemu, więc również z uwzględnieniem rozkładu odkształceń zgodnie z geometrycznym założeniem płaskich przekrojów. W wyniku otrzymamy :

$$\begin{equation} r_{y,R} =\dfrac{r_{yz,R}}{1+r_{yz,R}} \label{57} \end {equation} $$

gdzie $r_{yz,R}=\dfrac{N_{Rdy(N)}}{N_{Rdz(N)}}$

Metoda MO rozprzężenia – odwrotności nośności

Krzywą interakcji metody odwrotności MO jest określona przez trzy punkty na powierzchni interakcji (na rys. 5) i można zapisać w postaci :

$$\begin {equation}  \dfrac{1}{N_{Rd}} \approx  \dfrac{1}{N_{Rdy}} + \dfrac{1}{N_{Rdz}} – \dfrac{1}{N_{Rdx}} \label {58} \end {equation}$$
gdzie:
$N_{Rd} $  – Nośność przekroju mierzona siłą osiową w stanie zginania ukośnego,
$N_{Rd,y}$ – nośność przekroju  zginanego wokół osi y (bez ściskania i zginania wokół osi z),
$N_{Rd,z}$ – nośność przekroju  zginanego wokół osi z (bez ściskania i zginania wokół osi y),
$N_{Rd,x}$   – nośność przekroju  w stanie czystego ściskania (przy pominięciu zginania), opisana formułą $(\ref{62})$ .
W stanie granicznym $N_{Rd}=N_{Ed}$ , $N_{Ed,y}=N_{Rd,y}$ i $N_{Edz}=N_{Rd,z}$, a z równania interakcji $(\ref{58})$ po uwzględnieniu definicji $(\ref{53})$ i po przekształceniach można otrzymać :
$$\begin{equation} r_y \cdot (1-r_y)=\dfrac{n_{Ed}}{1+n_{Ed}} \label {59} \end {equation}$$
gdzie: $n_{Ed}=N_{Ed}/N_{Rdx}$.
Po rozwiązaniu tego równania względem $r_y$, otrzymujemy pierwiastek metody MO :
$$\begin{equation} r_{y,R1} =\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{ \dfrac{1}{1+n_{Ed}}-\dfrac{3}{4}} \label{60} \end {equation}$$
Rozwiązanie powyższe ma fizyczny sens dla wyrażenia podpierwiastkowego większego od zera , czyli dla $n_{Ed}<1/3$. Oznacza to, że może być stosowane dla siły osiowej $N_{Ed}< N_{Rdx}/3$.
W granicy dla $N_{Ed}=0$ mamy $r_{y,R1} =0$ lub 1, co odpowiada $r_{z,R1}$=1 lub 0, to znaczy zginaniu jednokierunkowemu przekroju. W przypadku  $N_{Ed}= N_{Rdx}/3$, mamy $r_{y,R1}=r_{z,R1}=1/2$

Metoda rozprzężenia zginania ukośnego stosowana w arkuszu LCŻelbet

Omówione wyżej metody  są metodami przybliżonym i i każda z nich prowadzi do innego rezultatu, przy czym najbardziej odlegle wyniki uzyskuje się w metodzie MO.

Metody S i R prowadzą do formuł $(\ref {56})$ i $(\ref{57})$ o podobnej budowie, co pozwalałoby na ich łączne rozpatrzenie.  Najprostsza jest metoda S i w proponowanym algorytmie w pierwszym kroku stosujemy tę metodę w celu wyznaczenia zbalansowanych nośności przekroju, na podstawie których prowadzi się ponowny rozdział sił metodą R, który przyjmuje się za wystarczające przybliżenie rozprzężenia problemu.

Powierzchnia interakcji My-Mz-N w Eurokodzie 2

Norma do projektowania na obciążenia sejsmiczne  [10] sugeruje traktowanie dwuosiowego zginania poprzez przeprowadzanie kontroli osobno w każdym kierunku, z jednoosiową wytrzymałością na zginanie zmniejszoną o 30%. Takie podejście jest zbyt konserwatywne.  Dokładniejsze jest podejście prezentowane w normie podstawowej [1], kl. 5.8.9 poprzez stosowanie  krzywych interakcji metodą MK  (Metodą Konturu), czyli przekrojami poziomymi-izobarami powierzchni interakcji) aproksymowanych formułą [1], (5.39) :

$$\begin{equation} \Lambda_R= \left ( \dfrac{M_{Edy}}{M_{Rdy}} \right )^{\alpha_y} + \left ( \dfrac{M_{Edz}}{M_{Rdz}} \right )^{\alpha_z}  \le 1 \label{61} \end{equation}$$

Momentom zginającym przekrój w dwóch kierunkach  $M_{Edz}, M_{Edy}$ i odpowiadają nośności przekroju  $M_{Rdz}, M_{Rdy}$ wyznaczone zgodnie z $(\ref{36})$  odrębnie dla stosownych kierunków zginania .

Normowy wykładnik powierzchni interakcji

Wykładniki interakcji w [1] przyjmuje się jednakowe dla obu kierunków $ \alpha_y= \alpha_z = a $,. Dla przekroju prostokątnego wykładnik potęgi $a$  można przyjmować zgodnie z tab. Z-2 w zależności od względnej siły osiowej $n_{Ed}=N_{Ed}/N_{Rdx}$, gdzie nośność odniesienia $N_{Rdx}$ wyznacza się z formuły:

$$\begin {equation} N_{Rdx}= A_c \cdot f_{cd} + ΣA_s \cdot f_{yd} \label {62} \end {equation}$$

Tab. Z-2 Wykładnik krzywej interakcji My-Mz dla przekroju prostokątnego [1]

Dla przekroju kołowego lub eliptycznego $a=2,0$. Formułę $(\ref{61})$ zaproponował [11] , który wskazał, że a=1,15 do 1,5.  W przypadku przekrojów kwadratowych zaproponował a=1,5 do 2,0. W komercyjnym programie STAAD stosuje się a=1,24 dla wszystkich kształtów przekroju.

Wartości pośrednie wykładnika interakcji należy aproksymować. Na rys. Z-6 pokazano wykres wykładnika a w funkcji względnej siły osiowej i aproksymacyjny wielomian drugiego stopnia przechodzący przez punkty z tab. Z-2

Rys. Z-6 Wykres wykładnika interakcji z tab. 2 i krzywa interpolacyjna

Zmodyfikowane wykładniki powierzchni interakcji

W niniejszym artykule przyjmuje się, że wykładniki powierzchni interakcji $(\ref{61})$ są różne w zależności od kierunku zginania: $\alpha_y \neq \alpha_z$ i są wyznaczane z rys. Z-6 dla względnych  sił:

$n_{Ed,•}=N_{Ed,•}/N_{Rdx}$,
gdzie indeks •=y,z

to znaczy podług zależności korelacyjnej
$$\begin {equation} \alpha_•=0,98 + 0,093 \cdot n_{Ed,•} + 0,926 {n_{Ed,•}}^2  \label {63} \end {equation}$$

Przekroje teowe

Belki (podciągi i żebra) w stropie płytowo-belkowym (rys. K-2) rozpatruje się jako teowe z górną półką utworzoną przez współpracującą szerokość płyty.. Szerokość współpracująca płyty zależy od efektywnej długości przęsła $L_0$ ,która jest odległością pomiędzy punktami zerowymi momentu zginającego. W najczęściej spotykanych przypadkach długość $L_0$ można przyjmować zgodnie z rys. Z-7.

Rys. Z-7. Długości efektywne przęseł belek [12], rys.3.3

Szerokość współpracującej płyty z belką o szerokości $b_{w,i}$  oraz przy oznaczeniu połowy odległości w świetle z sąsiednim żebrem jako $b_i$ wynosi (rys.  Z-8) :
$$\begin{equation} b_{ef,i} = 0,2b_i+0,1L_{0,i} ≤ 0,2L_{0,i} \, oraz ≤ b_i \label {64} \end{equation}$$

Szerokość półki przekroju zastępczego przekroju teowego, złożonego z żebra środkowego i półki wynosi :
$$\begin{equation} b_{ef}= b_w+b_{ef,1}+b_{ef,2}  \label{65} \end{equation}$$

Rys Z-8. Szerokość współpracująca przekroju teowego

Dla żeber skrajnych szerokość efektywna żebra wyznacza się zgodnie z rys, Z-8.

Przykład rachunkowy

Belka stropowa

Przykład [13], Przykład 4-1
Zaprojektować zbrojenie  belki żelbetowej swobodnie podpartej o przekroju prostokątnym obciążonej równomiernie pod długości, pokazanej na rys. Z-9
Klasa ekspozycji XC2, klasa odporności ogniowej R60, klasa konstrukcji S4.

Rys. Z-9. Strop płytowo-belkowy: a) rzut, b) przekrój, c) belka stropowa

Dane ogólne

Beton   C20/25:
( tab. W-1) $\to$ $f_{ck}=20 \, MPa$ , $f_{cd}=20/1,4=14,3 \, MPa$
Stal B500: (tab. W-2) $\to$  $f_{yk}= 500 , MPa$, $f_yd=500/1,15=435 \, MPa$
Długość belki w świetle murów $l_n=5,0 \, m$,
Grubość muru z lewej $t_l=500 \,$mm
Grubość muru z prawej $t_p=500 \,$mm
Długość obliczeniowa belki  (wzór W-2) $\to l_{ef} =5,0+[(300+300)/2]/1000=5,3 \, m$.
Maksymalny moment przęsłowy  $M_y= 182,8 \, kNm$

Dobór wstępny przekroju i zbrojenia belki

Wysokość belki   (wzór W-3) $\to h=l_{ef}/12=442 \to 450 \, mm$
Szerokość belki  (4) $\to b=h/2=450/2=225 \to 250 \, mm$
Przyjęto pręty zbrojeniowe $\Phi=18 \, mm (A_{s1}=2,54 \, cm^2 ) $
Otulenie zbrojenia  $c_{min}=\Phi=18 \, mm$,
$c_{dur}= 25 \, mm$  dla klasy ekspozycji XC2, $ \Delta c_{dev}=10 \,mm $.
(wzór W-11) $\to c= \max{ \{18\,;\,25 \} } +10=35 \, mm$,  $\to  a =35+18/2=44 \, mm$

Wysokość użyteczna przekroju $d=d_l =450-44=406 \, mm$

Wstępne szacunki pola przekroju zbrojenia:
(wzór W-9) $\to$  dla zbrojenia podwójnego  (górą i dołem)
$\Sigma A_s=A_{su}+A_{sl}\approx \dfrac {182,8} {435 \cdot (0,45-2\cdot 0,044)} \cdot 10^1=11,6  \, cm^2$= 5 $\Phi 18$,
(wzór W-10) $\to $ dla przekroju pojedynczo zbrojonego
$A_{sl} \approx \dfrac{182,8} {435 \cdot 0,9 \cdot (0,45-0,044) }\cdot 10^1=11,5 \, cm^2$= 5 $\Phi 18$,.

Dobór zbrojenia metodą klasyczną MU

$( \ref{1}) \to $ unormowany moment zginający $m_y= \dfrac{182,8}{ 0,25 \cdot 0,406^2 \cdot 14,3 \cdot 10^3}=0,310$,
$(\ref{21}) \to $ względna wysokość strefy ściskanej   $\xi= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,310 / 1,0} =0,384$,
$(\ref{22}) \to $ względne ramie sił wewnętrznych    $\zeta = \tfrac{1}{2}(1+\sqrt{1-2 \cdot 0,310 / 1,0 }=0,808$,

• Zbrojenie dolne  (pojedyncze)

$(\ref{23}) \to $ $A_{sl,1} = \dfrac {0,310 \cdot 25 \cdot 40,6  \cdot 14,3} {0,808 \cdot  435}= 12,8 \, cm^2 = 6  \Phi 18$,

• Czy potrzebne zbrojenie podwójne

$ (\ref{18}) \to $ względny moment graniczny dla betonu zwykłego  $m_u=0,251$,
$(\ref{19})\to $ warunek zbrojenia podwójnego  $m_y= 0,310 >m_u=0,251 \to $ należy zastosować zbrojenie górne.

• Zbrojenie górne

$(\ref{24}) \to $ nadwyżka momentu zginającego  $\Delta m= 0,310- 0,251=0,059$,
$(\ref{25}) \to $ zbrojenie górne  $A_{su,2}= \cfrac {0,059  \cdot 25 \cdot 40,6 \cdot 14,3}{ (1-44/406) \cdot 435} =0,15  \, cm^2 = 1  \Phi 18$,
$(\ref{26}) \to $ zbrojenie dolne przy występowaniu górnego   $A_{sl,2}= 12,8+1 \cdot 2,54=15,34 \, cm^2 = 7 \Phi 18$.

Kalkulator LCżelbet

Wyznaczenie nośności przekroju belki w kalkulatorze dokonuje się poprzez ręczne zmiany  wartości sił przekrojowych , zbalansowanie przekroju (przycisk „Oblicz”) oraz obserwowanie wytężenia $w_R$ oraz poziomu rys $p_{cr}$,  które należy w drodze zmian zbrojenia należy ustalić na ok 100%.

Obliczenia w kalkulatorze dokonuje się metoda nieliniową MN  – rys. 10.

Rys 10. Kalkulator LCżelbet – przykład Z-1 (kliknij , aby pobrać)

W wyniku obliczeń kalkulatorem wykazano, że zbrojenie dolne można wykonać z $4 \Phi 18$, a zbrojenie górne konstrukcyjnie $2 \Phi 16$ (wytężenie 94,7%). Jeśli zbrojenie górne jest $2 \Phi 14$, to wytężenie wynosi 98.6$, a dopiero  dla  $2 \Phi 12$ jest zbyt duże.. Przy korzystaniu z arkusza uzyskano oszczędności zbrojenia.

Wniosek: stosowanie obliczeń nieliniowych, np z wykorzystaniem prezentowanego arkusza pozwala na  znaczne oszczędności stali w stosunku do uproszczonych obliczeń „ręcznych”. Znaczne zwiększenie nośności przekroju uzyskano również wskutek uwzględnienia zbrojenia górnego, które powinno być zakładane ze względów technologicznych (mocowanie strzemion)

Testy Benchmark arkusza LCżelbet

Arkusz LCżelbet przetestowano na wielu przykładach, w tym publikowanych w literaturze:

• belka podwójnie zbrojona – przykład wg pracy  [14]
  Pokazano, że stosowanie arkusza  pozwala na większe o ok 17%
• nośność przekroju zbrojonego symetrycznie  – przykład wg pracy [14], przykład 6.3
  Uzyskano nośność 12% większą
• nośność przekroju zbrojonego symetrycznie –  przykład wg pracy [1], przykład 13.1
  Uzyskano nośność o 17% większą
• zginanie ukośne względem dwóch osi przypadek CT₂  przykład wg pracy  [1], przykład 3.6
  Pokazano , że w przykładzie oryginalnym nośność zawyżono ponad dwukrotnie.
•  nośność przekroju zginanego ukośnie z betonu z betonu wysokiej wytrzymałości – wg pracy [14], przykład 6.18
  Pokazano, że  w przykładzie oryginalnym zawyżono nośność – konieczne było boczne, uzupełniające zbrojenie rozciągane 1Ø

Powyższe testy arkusza LCŻelbet należy traktować jako testy Benchmark , obejmujące wszystkie przypadki  z identyfikowane w  rozdziale Przypadki wytrzymałosćiowe pręta żelbetowego , które mogą wystąpić w belkach-słupach.
Należy przy tym wskazać, że arkusz jest przeznaczony dla profesjonalnych inżynierów, bowiem  wymaga podania danych: [ wymiary przekroju+ zbrojenie dolne+ zbrojenie górne + zbrojenie boczne ] z pewnego obszaru dla którego można znaleźć równowagę odkształceń i naprężeń. Taka równowaga nie wystąpi na przykład dla przekroju ze zbyt małym zbrojeniem, które dla danych sił wymusza nadmierne odkształcenia włókien betonu. Dopiero po znalezieniu pierwszego rozwiązania dopuszczalnego można przystąpić do optymalizacji zbrojenia. Oszczędności z użycia kalkulatora w stosunku dla klasycznych metod ręcznych lub tablicowych – mogą być nawet dwukrotne.

1. PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3: 2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
2. Starosolski W. (2013), Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych, Tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
3. MPA The Concrete Centre. (2016). Bending and Shear in Beams. Lecture 3. EC2 Webinar – Autumn, [ https://www.concretecentre.com/TCC/media/TCCMediaLibrary/Presentations/Lecture-5-Slabs-and-Flat-Slabs-PHG-N-Rev13-15-Oct-16.pdf ]
4. Piechnik S. (1980). Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, PWN, Warszawa
5. Knauff M., Golubińska A., Knyziak P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z przykładami obliczeń, Wydanie drugie. PWN
6. Wight, J. K., & MacGregor, J. G. (2012). Reinforced concrete: mechanics and design (6th ed). PEARSON PRENTICE HALL
7. ACI 318-14 (2014), Building Code Requirements for Structural Concret
8. MPA, The Concrete Centre, (2016), Columns, Lecture 8, EC2 Webinar – Autumn, [ Lecture-8-Columns-jb-9-Nov-16.pdf ]
9. Di Ludovico M., Lignola G. P., Prota A., Cosenza E. (2010). Nonlinear Analysis of Cross Sections under Axial Load and Biaxial Bending. ACI Structural Journal, 107(4), 390–399
10. PN-EN 1998-1:2005Eurokod 8: Projektowanie konstrukcji poddanych oddziaływaniom sejsmicznym, Część 1: Reguły ogólne, oddziaływania sejsmiczne i reguły dla budynków
11. Bresler B. (1960), Design Criteria for Reinforced Concrete Columns Under Axial Load and Biaxial Loading. Journal of the American Concrete Institute, 57(5), 481–490
12. Gąćkowski R. (2013), Tablice i algorytmy do wymiarowania zginanych elementów żelbetowych, Verlag Dashöfer
13. Pyrak S. (2012). Konstrukcje z betonu (VII, Tom 5). WSiP
14. Knauff M. i in.. (2006), Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i sprężonych: według Eurokodu 2. Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne