Płyty żelbetowe

Spis treści

Płyty żelbetowe  są podstawowym elementem konstrukcyjnym, a są stosowane przede wszystkim na stropy w budynkach mieszkalnych, usługowych i innych. Układ konstrukcyjny płyty i jej żeber oraz podciągów powinien wynikać z siatki funkcjonalnej słupów, wymogów architektonicznych (np wymagany strop płaski bez żeber), a na końcu z warunku optymalności konstrukcyjnej – prawidłowego doboru sprzężonych parametrów: grubości płyty, wysokości belek i ilości  zbrojenia.

Większość wymogów konstrukcyjnych dla płyt jest tożsama z wymogami dla belek żelbetowych, opisanych w artykule Belki żelbetowe. W szczególności dotyczy to obliczania zbrojenia głównego (podłużnego, który dokonujemy arkuszem kalkulacyjnym CHP-Ż w 1.3. Arkusz CHP-Ż  można pobrać poprzez kliknięcie na rys. 3 artykułu „Belki żelbetoweWymogi dla płyt i belek są takie same również w zakresie: kotwienia prętów, pełzania betonu, zbrojenia minimalnego i maksymalnego.

Współcześnie ważnym typem płyt żelbetowych, stosowanym najczęściej dla płyt  ułożonych na podłożu odkształcalnym (gruncie) są płyty fibrobetonowe, czyli betonowe zbrojone włóknem rozproszonym.

Projektowanie płyt z fibrobetonu jest odmienne od płyt żelbetowych i jest opisane w rozdziale tego artykułu.

Konstrukcja płyty

Rozpiętość obliczeniowa płyty

Długość płyty rozpiętej nad pomieszczeniem w świetle murów $l_ś$ można wyznacza się w sposób przyjęty dla belek żelbetowych i pokazany na  rys. 4 artykułu „Belki żelbetowe”. W przypadku oparcia stropu na ścianach o grubości $t_l$ i $t_r$  z lewej i prawej strony odpowiednio (rys.1)  rozpiętość obliczeniową płyty $l_d$ wylicza się z zależności:

$$\begin{equation}  l_d=l_ś+ a_l+a_r  \label{l_d} \end{equation}$$

gdzie: $a_l=1/2 \cdot min (h \, ,  t_l)$, $a_r=1/2 \cdot min (h \, , t_r )$

Układ zbrojenia płyty

W zależności od układu zbrojenia wyróżnia się płyty jedno- i dwu-kierunkowo (krzyżowo) zbrojone. Układ zbrojenia dobiera się w zależności od kształtu płyty. Dla płyty prostokątnej o bokach $l_x \times l_y$ podpartej na obwodzie, przyjmuje się:

1) przy $l_x \ge  2l_y$ – zbrojenie jednokierunkowe równoległe do boku krótszego $l_x$ – przykład na rys. 1

2) przy $l_x \approx l_y$ – zbrojenie krzyżowe, to  znaczy zbrojenie nośne układane jest w obu prostopadłych kierunkach,

Rys. 1 Przykład płyty żelbetowej

Na rys.1 zastosowano mieszany system zobrazowania prętów zbrojeniowych : 1) za pomocą kodów kształtów, 2) za pomocą pokazania figur zbrojeniowych. W przykładzie nie dostosowano się więc do podstawowej zasady rysunkowej – NIE powtarzania tych samych informacji. W praktyce nie należy  korzystać z mieszanego systemu , a  obowiązkowo stosować zalecany w Europie  system kodów kształtów., którego zaletą jest  zwiększenie czytelności rysunku żelbetu, a także typizacji prętów zbrojeniowych. Więcej  informacji o systemie kodów kształtów można zna]eźć w artykule Standard rysunku warsztatowego konstrukcji żelbetowych.

Rozpiętość miarodajna płyty

Zależność pomiędzy strzałką ugięcia płyty $f$ i jej rozpiętością $l$ można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} f= \alpha  \cdot l^4 \label{f_i} \end{equation}$$

gdzie $\alpha$ zależy od grubości i obciążenia płyty. Dla płyt wykonanych z tego samego materiału, o takiej samej grubości i tak samo obciążonych można przyjąć, że współczynnik $\alpha = const$. Korzystając z zależności $( \ref{f_i})$ dla dwóch płyt „1” i „0” o róznych warunkach brzegowych lub wymiarach w planie , otrzymujemy:

$$\begin{equation} l_{ef,1}=l_{ef,0}  \cdot \left( \cfrac{f_1}{f_0} \right)^{1/4} \label{l_i/l_0} \end{equation}$$

Długość efektywną płyty wyznaczymy z ogólnej zależności:

$$\begin{equation} l_{ef}= s \cdot l_{min}  \label{l_ef} \end{equation}$$

gdzie $l_{min}$ jest krótszym bokiem prostokątnego pola płyty, a $s$ jest współczynnikiem długości efektywnej, który poniżej został wyznaczony dla najczęściej spotykanych schematów płyt

Płyta swobodnie podparta na obwodzie

Rys. 1. Płyta prostokątna oparta przegubowo

W przypadku płyty swobodnie (przegubowo podpartej na obwodzie za wzorcowa płytę „0” przyjmiemy płytę prostokątną o bardzo długim boku $l_x$ w stosunku do $l_y$, to znaczy przy  stosunku boków $s=l_x/l_y=∞$ . Dla takiej płyty długością efektywną $l_{eff}$ jest krótszy bok $l_{min}$:

$$\begin{equation} l_{min}= min \{l_x\quad , l_y \} \label{a} \end{equation}$$

to znaczy współczynnik długości efektywnej $s=1$.

Dla płyt o innych stosunkach boków $s \neq \infty$ współczynniki długości efektywnej zestawiono w tab.1. Dla płyty kwadratowej współczynnik ten wynosi 0,712, a  dla płyt o stosunku boków większym od 3 jest praktycznie równy 1,0. Wartości w tab.1 wyliczono na podstawie zależności  $(\ref{l_i/l_0})$ poprzez wielokrotne rozwiązywanie płyt o różnych stosunkach boków.

Tab. 1 Współczynnik długości efektywnej płyty podpartej przegubowo na obwodzie

Płyta oparta punktowo  w narożach

Dla płyt opartych punktowo w narożach współczynnik długości efektywnej zestawiono w tab.2.

Tab. 2 Współczynnik długości efektywnej płyty podpartej punktowo w narożach

Współczynnik „s” w tab.2 jest odniesiony do bardzo długiej płyty prostokątnej podpartej przegubowo na obwodzie (tab.1 ostatnia kolumna)

Płyta wieloprzęsłowa

Płyta wieloprzęsłowa podparta punktowo  na słupach w węzłach jest często występującym przypadkiem. Dla płyt wieloprzęsłowych współczynnik długości efektywnej zestawiono w tab.3. Współczynnik „s” w tab. 3 jest również odniesiony do bardzo długiej płyty prostokątnej podpartej przegubowo na obwodzie (tab.1 ostatnia kolumna)

Przykład  dla odczytani  współczynników długości efektywnej z tab.3 podano na rys. 2.

Tab. 3 Współczynnik długości efektywnej płyty wieloprzęsłowej

Rys.2 Współczynnik „s” długości efektywnej dla płyty o 2. nawach i 3. polach

Dla płyt wspornikowych  długość $l_{ef} $ można przyjąć jako podwojony wysięg, czyli $s=2$.

Grubość płyty

Grubość płyty h  przyjmuje się wstępnie na podstawie jej długości efektywnej  $(\ref{l_ef})$  jako cześć jej długości. Zaleca się

$$\begin{equation} h \approx \dfrac{l_{ef}}{30}  \label {h} \end{equation}$$

Sprawdzenie tak przyjętej grubości płyty i ewntualnie jej korektę dokonuje się z warunków wytrzymałości dla stanów granicznych: nośności, ugięcia oraz ścinania przy przebiciu.

Minimalna grubość płyty jest konsekwencją  technologii wykonania i wynika z warunku zmieszczenia we wnętrzu płyty krzyżującego się zbrojenia górnego i dolnego oraz wymaganego otulenia płyty oraz minimalnej odległości pomiędzy zbrojeniem, wynikającej z warunków ogólnych (min 20 mm i 2x ∅max. Na przykład dla zbrojenia nośnego górą i dołem ∅x=16 mm i rozdzielczego ∅x=10 mm oraz otulenia c=30 mm – minimalna grubość płyty wynosiłaby h=2·(16+10+30)+16=128 mm.

Minimalny i maksymalny stopień zbrojenia

Minimalny stopień zbrojenia dotyczy wszystkich stref płyty, które nie są stale ściskane.

Podobnie jak w belkach zbrojenie minimalne wynika z warunku nośności lub zarysowania i zostało omówione w artykule. Belki. Minimalne i maksymalne zbrojenie

Maksymalny rozstaw zbrojenia i zbrojenie rozdzielcze

W zależności od grubości płyty $h$ maksymalny rozstaw zbrojenia $s_{max}$ wynosi

w obszarach maksymalnych momentów i w takich, w których występują sił skupione:

$$\begin{equation} s_{max}=\begin {cases}
2h \quad i \quad \ge 250 \, mm, & \text {dla zbrojenie głównego (nośnego)} \\
3h \quad i \quad \ge 400 \, mm , & \text {dla zbrojenie drugorzędnego (rozdzielczego) }
\end {cases} \label{s_max1}\end{equation}$$

w pozostałej części płyty:

$$\begin{equation} s_{max}=\begin {cases}
3h \quad i \quad \ge 400 \, mm, & \text {dla zbrojenie głównego (nośnego)} \\
3,5h \quad i \quad \ge 450 \, mm , & \text {dla zbrojenie drugorzędnego (rozdzielczego) }
\end {cases} \label{s_max2}\end{equation}$$

Zaleca się, by zbrojenie rozdzielcze w płytach jednokierunkowo zbrojonych nie było mniejsze niż 20% zbrojenia głównego.

Przykład zastosowania powyższych zaleceń pokazano na rys.1.

Krawędzie swobodne płyty i doprowadzenie zbrojenia do podpory

Zbrojenie krawędzi swobodnych

Znamienne dla płyty jest wymóg zbrojenia krawędzi wkładkami U w sposób pokazany na rys.1, a dozbrajanie swobodnych naroży w sposób pokazany na rys,.2

 

Rys. 1. Płyta żelbetowa. Zbrojenie krawędzi

(Knauff, Golubińska, Knyziak, 2015, rys. 22.16)

W przypadku zakończenia brzegu płyty wieńcem, na skutek zmiany sztywności, wystąpi niewielkie skręcanie płyty na długości ok. $0,2 \cdot l_d$. Takie żebro należy zbroić godnie z rys. 1a, przy czym do żebra należy doprowadzić min 50% przęsłowego zbrojenia i dolnego górnego zakotwionego zgodnie z rys.

Rys. 1a. Zbrojenie wieńca wokół swobodnego płyty

(Starosolski, 2013, rys. 5.174)

Wymóg doprowadzania zbrojenia do podpory

W płytach swobodnie podpartych przynajmniej 50% zbrojenia w przęśle należy doprowadzić do podpór i tam zakotwić.

Zbrojenie naroży płyty

Na rys. 3 pokazano mapy zbrojenia płyty kwadratowej opartej na przegubowo obwodzie.

Rys.3. Mapy zbrojenia płyty podpartej przegubowo na obwodzie

W narożach płyty potrzebne jest zbrojenie zarówno dołem jak i górą. Zasięg strefy wymaganego zbrojenia góra wynosi ok  500 mm przy wymiarach płyty 6275×5675, czyli ok a/10 (a- bok płyty) .  Potrzeba tego zbrojenia wynika ze skręcania płyty w narożach. Na rys. 4 pokazano rozkład płytowych momentów skręcających $m_{xy}$

Rys.4 Mapa płytowych momentów skręcających

Na skutek skręcania naroży płyty wymagają one dodatkowego zbrojenia. Na rys. 5 przedstawiono zbrojenie tej płyty zaprezentowane w pracy (Zybura, 2015). Należy stwierdzić, że obszar zbrojenia 8×150=1200 mm jest zbyt duży, a także to, że zbrojenie dodatkowe wymagane jest górą i dołem, a dano tylko dołem. Średnica zbrojenia powinna być ∅10.

Rys. 5 Zbrojenie naroży płyty z rys. 4

Z powyższego przykładu wynika zalecenie, by naroża płyty zbroić zbrojeniem w układzie pokazanym na rys. 5, ale górą i dołem, na długości  a/10+3 (a-bok płyty) prętami o średnicy równej średnicy zbrojenia głównego.

Ścinanie płyty przez przebicie

Nad podporami  i w miejscu występowania znacznych sił skupionych (rozłożonych na małej powierzchni płyty) może wystąpić mechanizm ścięcia płyty przez przebicie i wówczas należy dodatkowo płytę zbroić  zgodnie z wytycznymi zawartymi w artykule.

Wymagania pożarowe

Minimalne grubości i otulenie płyty są limitowane ze względu na wymagania pożarowe . Często są one decydujące.

W tab.4 podano minimalne grubości płyt oraz minimalne otulenia osiowe wymagane przez (PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2, 2008) dla wymaganych odporności ogniowych REI 30 do REI 240

Tab.4. Minimalne grubości i otulenia  zbrojenia płyt żelbetowych ze względów pożarowych (opracowano na podstawie  (PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2, 2008) )

Podane wartości pozwalają spełnić wymagania wytrzymałości R, dymoszczelności E oraz izolacyjności cieplnej i bez prowadzenia szczegółowych obliczeń. Jeśli wymaga się spełnienia wyłącznie wymagań R, ro wystarcza dopełnienie wymogów normy podstawowej (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010) – nie ma dodatkowych wymogów.  Odległość osiowa „a”, szczególnie w płytach dwukierunkowo zbrojonych jest odległością do osi zbrojenia najbliższego powierzchni. Minimalnej grubości płyt nie należy zmniejszać poprzez wliczenie warstw wykończeniowych pod tropem, ale może ona zawierać ocieplenie zawarte pomiędzy warstwami żelbetu, a także  posadzkę niepalną
W płytach ciągłych należy zapewnić wymagania zasięgu zbrojenia nad podporami jak dla belek. Ponadto należy zapewnić możliwość redystrybucji momentów zginających przynajmniej 15%. W przypadku braku możliwości redystrybucji lub braku wymaganego zbrojenia nad podporami każde przęsło należy traktować jak swobodnie podparte.

Wymogi z wiersza „W układach płytowo-słupowych” stosuje się dla płyt płaskich, w których możliwa jest redysytrybucja momentów zginających w stopniu większym od 15%. W przeciwnym przypadku należy stosować wymogi z wiersza „jednokierunkowo zbrojone”.  Jeżeli wymaga się odporności R90 lub większej, to przynajmniej 20$ zbrojenia potrzebnego nad podporami pośrednimi w pasmach słupowych w obu kierunkach, powinno rozciągać się na cała długość przęsła.

W przypadku płyt z żebrami wymogi pożarowe dotyczą również minimalnej szerokości oraz utulenia żeber zgodnie z (PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2, 2008)

Otwory w płycie

Analizy numeryczne praktyczne zalecenia

Porównawczy model płyty bez otworów

Otwory w płycie należy uwzględnić podczas obliczeń statycznych, co będzie miało skutek w zmianie sił płytowych i rozkładzie zbrojenia głównym, ale także należy je lokalnie (obok naroży) dozbroić.

Analizę wpływu otworów na zbrojenie płyty przeprowadzimy na modelu płyty prostokątnej o wymiarach 6×9 m obciążonej równomiernie ciężarem własnym i obciążeniem powierzchniowym  5 kN/m2. Płyta jest wykonana z betonu C30/37 i zbrojona stalą B500 .  Płyta na obwodzie oparta jest na ścianach o grubości 25 cm. Wstępnie do wyznaczenia rozpiętości płyty przyjęto jej grubość h=20 cm.

Rozpiętości  obliczeniowe płyty  $(\ref{l_d})$ wynoszą
$l_{dx}=9+2 \cdot 1/2 \cdot min (0,2 \, ; 0,25)=9,1 \, m$,
$l_{dy}=6+2 \cdot 1/2 \cdot min (0,2 \, ; 0,25)=6,1 \, m$,
$l_{min}=6,1 \, m$

$l_x/l_y=9/6=1,5 \to s=0,878$,

Długość efektywna
$l_{ef}=0,878 \cdot 6,1 = 5,36 \, m$

Grubość płyty
$h \approx l_{ef}/30=5,36/30= 18 \, cm$.

Płytę bez otworów oraz mapę jej zbrojenia pokazano rys. 6

Rys.6 Zbrojenie płyty bez otworów

Otwór kołowy

Przeprowadzono analizę wpływu centralnego otworu kołowego o średnicy od 0,2 m do 2 m co  0,1 m. Na rys. 7 pokazano mapę  zbrojenia Asy  dla otworu ∅600 mm

Rys. 7. Mapa zbrojenia płyty z otworem ∅600 (wymiary liniowe w cm)

Tab. 5 Maksymalne zbrojenie (na brzegu otworu) strefa zwiększonego zbrojenia dla płyty z otworem kołowym

Z tab. 5 wynika, że średnica otworu w płycie nie ma tak wielkiego znaczenia. Na krawędzi otworów wymagane jest ok. 2x większe zbrojenie niż w płycie bez otworu.

Małe otwory nie wymagają zbrojenia, wystarczy umieścić na deskowaniu na przykład wkładkę styropianową czy rurę odpowiedniej średnicy. Nieduże przejście instalacyjne albo świetlik czasami można też wyciąć w gotowej płycie. Zasięg zwiększonych potrzeb zbrojenia jest wzrasta wolno ze średnica otworu i jest większy od przyjmowanej zwykle średnicy otworu.

W przypadku otworów okrągłych nie występuje gwałtowne spiętrzenie naprężeń. Zbrojenie zaleca się dobierać na podstawie obliczeń indywidualnych z zamodelowanymi otworami. Przy takiej procedurze nie jest wymagane dodatkowe dozbrojenie otworu

Otwór kwadratowy

Na rys. 8 pokazano mapę  zbrojenia Asy  dla otworu []600 mm

Rys.8 Mapa zbrojenia płyty z otworem []600 (wymiary liniowe w cm)

Z porównania mapy napreżęń dla otworu okrągłego (rys.7) i kwadratowego (rys.8) wynika, że różnice nie są wielkie. Maksymalne zbrojenie $A_{sy}$ w przypadku otworu kwadratowego (11 cm2) jest nawet mniejsze od potrzebnego przy otworze okrągłym (15 cm2) i w obu przypadkach jest szacunkowo dwukrotnie większe od zbrojenia wymaganego dla płyty bez otworu.  Dla większych otworów rozkład zbrojenia wokół otworu kwadratowego jest taki jak dla okrągłego.

Również w tym przypadku zalecane jest zbrojenie wokół otworu zgodnie ze wskazaniami rozwiązania podstawowego bez dozbrajania. Zaleca się jednak dozbrojenie w celu przejęcia spiętrzenia naprężeń wywołanych ostrym narożem otworu – przy każdym narożu należy dać kilka prętów ukośnych  (prostopadłych do diagonali otworu ). Można przyjąć po 3. pręty ukośne o średnicy takiej jak zbrojenia główne. Dozbrojenie wokół otworu dać górą i dołem.

Szczególnie newralgiczne miejsca występują, gdy słup umieszczony jest w pobliżu otworu, ze względu na zwiększone ryzyko ścięcia płyty przez przebicie. Problemem tym zajęto się w artykule.

Dozbrajanie otworów. Zalecenia historyczne

W epoce obliczeń płyt bez otworów sformułowano szereg zaleceń dotyczących dozbrojenia płyty wokół otworów . Oczywiście płyty obliczane  w modelu z otworami są  już zbrojone kompletnie i dozbrojenie wokół otworów zgodnie z zaleceniami historycznymi nie jest już wymagane, Swobodne krawędzie otworów należy zbroić wg rys 1, a w przypadku zastosowania wieńców wg rys. 1a.

Ze względu na spiętrzenie naprężeń w ostrych narożach płyty zalecane jest zastosowanie dodatkowego zbrojenia równoległego do przekątnej otworu prostokątnego –  w sposób pokazany na rys. 9

Rys.9. Dozbrojenie naroży otworu w płycie

Zbrojenie płyty na ścinanie poza obszarami przebicia

Typowym rozwiązaniem jest brak zbrojenia płyty na ścinanie, czyli zapewnienie, że wytrzymałość na ścinanie betonu bez zbrojenia na ścinanie $v_{Rd,c}$ ( artykuł – wzór (27) ) jest większa od naprężeń ścinających wywołanych  siłą ścinającą $v_{Ed}=V_{Ed}/(bd)$.

Wymagane jest natomiast zbrojenie na ścinanie dla żeber w płycie żebrowanej (jak belek żelbetowych).

Płyty ze zbrojeniem rozproszonym

Zbrojenie rozproszone płyt stosowane jest głównie w płytach fundamentowych i posadzkach.

Zbrojenie rozproszone z powodzeniem zastępuje klasyczne zbrojenie wkładkami lub siatkami stalowymi. Obecnie włókna stalowe mogą być stosowane jako jedyne zbrojenie lub w połączeniu z klasycznym zbrojeniem w następujących zastosowaniach (na przykładzie Arcelor Mittal)

We wszystkich tych zastosowaniach zastosowanie włókien stalowych  daje zabezpieczenie przed pękaniem skurczowym i pozwala elementowi z betonu zbrojonego włóknami stalowymi osiągnąć pełną ciągliwość, nawet jeśli zwykły beton jest kruchym materiałem.

Wytrzymałość równoważna fibrobetonu

W praktycznym projektowaniu płyt i belek zginanych , zbrojonych fibrobetonem, wygodnie jest posługiwać się nową kategorią wytrzymałościową kompozytu fibrobetonowego, a mianowicie  wytrzymałością równoważną  $f_{ctm,eq}$, którą wyznacza się w próbie wytrzymałościowej na belkach normowych, pokazanych na rys. 10. Rozpiętość belki odpowiada trzykrotnej wysokości belki. W próbie  określa się odporność na pękanie przy zginaniu. Zginanie wykonuje się dwiema siłami, tak aby w 1/3 rozpiętości L działał stały moment zginający. Podczas próby mierzy się siłę obciążającą  i ugięcia belki. Miarodajne badania równoważnej wytrzymałości na zginanie wymagają wysokiej precyzji pomiaru ugięć m.in. poprzez zastosowanie zamocowania miernika ugięcia w linii wyjściowego położenia osi obojętnej belki.

Aby ocenić efektywność zbrojenia włóknami stalowymi wytrzymałość równoważną na zginanie. porównuje się z wytrzymałością na rozciąganie przy zginaniu betonu bez włókien $f_{ctm, fll}$ ( w skrócie $f_{fl}$)  $(\ref{f_fl})$.

Wytrzymałość równoważna $f_eq$ odpowiada obciążeniu odnotowanym przy ugięciu δ= 3,0 mm , co odpowiada L/δ=150, co zapisuje się $fctml_eq,150$. czasami określa sięteż wytrzymałośc róenoważną fctml_eq,300$ dla poziomu ugięcia  L/δ=300.

Rys. 10 Wykres zginania próbki fibrobetonowej

Znaczący wpływ na wytrzymałość równoważną przy danej klasie betonu belki, ma zawartość włókien stalowych $W_f$, ich  smukłość $l/d$  (l, d – długość  i średnica włókna) oraz  przyczepność do betonu (kształt haczyków), przy czym liczne badania doświadczalne potwierdzają liniową zależność dla zawartości włókien (15 do 40 )kg/m3, którą dla betonu  C30/37  można zapisać w postaci (Glinicki, 2008):

$$\begin{equation} f_{eq}= 0.73+1.027 \cdot W_f  \cdot 10^{-3} \cdot (l/d) \end{equation}$$

Zwiększanie zawartości włókien stalowych w fibrobetonie jest ograniczone technologicznie z powodu negatywnego wpływu włókien na konsystencję mieszanki betonowej. Ograniczony jest też wzrost wytrzymałości fibrobetonu wraz ze wzrostem zawartości włókien.

Znaczący wpływ  na wytrzymałość równoważną na zginanie ma też klasa betonu . Na podstawie badań przeprowadzonych w Belgii w tab.6  przedstawiono dane charakteryzujące fibrobeton z włóknami stalowymi haczykowatymi o długości l=60mm i średnicy d=0,75mm.

Tab. 6 Wpływ dozowania włókien stalowych haczykowatych l=60mm, d=0,75mm (RC-80/60-BN)  na średnią wytrzymałość równoważną na zginanie  $f_{eq}$  przy różnych klasach betonu (Glinicki, 2008) i średniej wytrzymałości na rozciąganie przy zginaniu $f_{fl}$

Pojęcie wytrzymałości równoważnej fibrobetonu wykorzystuje się przy powszechnie przy obliczeniach wytrzymałościowych płyty zbrojonym włóknem rozproszonym w szczególności posadowionych na podłożu odkształcalnym.

Metody obliczania płyt z fibrobetonu

Klasyczna metoda sprężysta

Klasyczne programy komputerowe umożliwiają uzyskanie rozwiązania sprężystego płyty dowolnie obciążonej o dowolnych warunkach brzegowych , w tym położonych na sprężystym podłożu Winklera jedno lub dwukierunkowym.  Oszacowania  uzyskane z programów są znacznie dokładniejsze od analitycznych oszacowań metody (Westergaard, 1933). Metodę Westergaarda należy uznać za historyczną i niezalecaną. Dotyczy to również klasycznych metod obliczania naprężeń w półprzestrzeni sprężystej i podłożu uwarstwionym Boussinesqa, Odemarka, Burmistera.

Warunek klasycznej metody sprężystej można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} M_{Ed,el } \le M_{Rd.el}  \label{w_el}\end{equation}$$

gdzie: $M_{Ed,el}$ obliczeniowy, płytowy moment zginający uzyskany z rozwiązania płyty traktowanej jako liniowo sprężysta.

$M_{Rd,el}$ nośność sprężysta przekroju betonowego płyty obliczona z zależności

$$\begin{equation} M_{Rd,el}=M_{R(-)} = W_{el} \cdot f_{ctm, fl}  \label{M_Rfl} \end{equation}$$

gdzie wskaźnik wytrzymałości sprężystej przekroju płyty o szerokości jednostkowej, wynosi:

$$\begin{equation} W_{el} = \cfrac {h^2}{6} \label{W_el} \end{equation}$$

$f_{ctm, fl}$ – wytrzymałość betonu na rozciąganie przy zginaniu, którą należy przyjmować zgodnie z (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór(3.23)):

$$\begin{equation} f_{ctm,fl}=f_{ctm} \cdot ( 1,6 – h/1000) \label{f_fl} \end{equation}$$

gdzie:
$f_{ctm}$ -średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie osiowe,
h- wysokość przekroju ( w tym przypadku grubość płyty).

Nośność $M_{R(-)}$ $(\ref {M_Rfl})$ jest tylko częścią nośności płyty zbrojonej włóknem rozproszonym.

W przypadku płyty ułożonej na podłożu odkształcalnym i zbrojonej siatką blisko dolnej powierzchni nośność płyty wynosi

$$\begin{equation} M_{R(+) siatka}=0,95 \cdot A_s f_y \cdot d  \label{M_siatka} \end{equation}$$

gdzie:
$A_s$, $f_y$ – powierzchnia i wytrzymałość stali
$d$ – efektywna wysokość.

Współczynnik 0.95 jest zastosowany, ponieważ zbrojenie jest małe.

Płytę z siatką tylko blisko górnej powierzchni, należy traktować jak niezbrojoną.

Podejście sprężyste jest bardzo konserwatywne. Liczne badania doświadczalne wymienione w pracy (Hajduk, 2013) wskazują, że podejście sprężyste (także wzory Westergaarda) dają znaczne (3 do 4,5 raza)  niedoszacowanie nośności płyty zbrojonej włóknami rozproszonymi, to znaczy prowadzą do nieuzasadnionego ekonomicznie znacznego przezbrojenia płyty.

Metoda plastyczna (linii załomów)

Dwukrotnie bardziej zbliżone do badań doświadczalnych wyniki można uzyskać stosując metodę nośności granicznej/plastycznej  (linii załomów), o której poniżej. Zasadnicza różnica  w nośności  fibrobetonu i betonu bez włókien wynika z ciągliwości materiału zbrojonego włóknami, umożliwiającej powstanie przegubów plastycznych w miejscach rys i redystrybucję momentów zginających.

Metoda linii załomów w zastosowaniu do płyt fibrobetonowych

Teoria linii  załomów płyt jest przedmiotem artykułu Nośność plastyczna konstrukcji . Zasady tam wyłożone stosujemy również do płyt żelbetowych.

Promień względnej sztywności Westergaarda oraz współczynnik $\lambda$

Za miarę sztywności płyty zbrojonej włóknem rozproszonym przyjmuje się tzw promień względnej sztywności płyty $l$ wyznaczony ze wzoru

$$\begin{equation} l=\sqrt[4]{\cfrac{E_{cm} h^3}{12(1-\mu^2)k}}=k_{\mu} \cdot \sqrt[4]{\cfrac{E_{cm} h^3}{12 k}} \label {Promien-l} \end{equation}$$

gdzie:

$$\begin{equation} k_{\mu}=\cfrac {1}{\sqrt[4]{1-\mu^2}} \label {k_mu} \end{equation}$$

Promień względnej sztywności płyty można wyznaczyć z nomogramu – rys. 11 dla sztywności podłoża od 0,02 do 0,5 $N/mm^3$

Rys. 11. Nomogram do wyznaczania promienia względnej sztywności płyty

W EC2 współczynnika Poissona betonu przyjęto o wartości $\mu=0.2$ dla którego $ k_{\mu}=1,01026$. Nomogram sporządzono dla $\mu=0,15$ dla którego ($k_{\mu}=1,0057$. Dla betonu z $\mu=0.2$ wartość odczytaną z nomogramu wartość promienia należy powiększyć mnożnikiem 1,005.

W wyrażeniach na wytężenie lub nośność płyty występuje też współczynnik $\lambda$ zdefiniowany jako

$$\begin{equation} \lambda=\sqrt[4]{\cfrac{3k}{E_{cm} h^3}}=\cfrac{k_{\mu}}{ 2 l } \label{lambda} \end{equation}$$

Nośność płyty fibrobetonowej nie zbrojonej prętami

Blok naprężeń i odkształceń w przekroju płyty zbrojonej fibrobetonem bez zbrojenia prętami pokazano na rys. 12.

Rys. 12 Blok naprężeń i odkształceń w przekroju fibrobetonowym bez z brojenia prętami

Nośność dolnego włókna przekroju (moment dodatni) (+) wynosi (Technical Report No 34, 4th Edition, 2003, rys 6.2.):

$ M_{R(+)}=  h^2  \cdot (0,16 \sigma_{r1}+ 0,28 \sigma_{r4})$

gdzie:

$\sigma_{r1}=0,45 f_{ctm,eq,50}$, $f_{ctm,eq,50}$ = naprężenia w próbce przy ugięciu 0,5 mm

$\sigma_{r4}=0,37 f_{ctm,eq,350}$, $f_{ctm,eq,350}$ = naprężenia w próbce przy ugięciu 3,5 mm

Po podstawieniu wartości pośrednich otrzymamy formułę:

$$\begin{equation} M_{R(+)}=  W_{el} \cdot (0,4320 \cdot f_{ctm,eq,50} + 0,6438 \cdot f_{ctm,eq,350}) \label {M_Req} \end{equation}$$

Przy założeniu, że $f_{ctm,eq,50}=f_{ctm,eq,350}=f_{ctm,eq}$ mamy:

$$\begin{equation}  M_{R(+)}=  1,076 \cdot W_{el} \cdot  f_{ctm,eq} \approx W_{el} \cdot f_{ctm,eq}  \label{M_Rfq} \end{equation}$$

Nośność płyty fibrobetonowej zbrojonej hybrydowo (również prętami)

Nośność płyty fibrobetonowej zbrojonej hybrydowo (również prętami, kołkami lub sitakami) omówiono w opracowaniu  (Technical Report No 34, 4th Edition, 2003). Podano tam również nośności na ścinanie , w tym przy przebiciu.

Mechanizmy zniszczenia plastycznego płyty z fibrobetonu i nośności płyty

Rozpatruje się trzy przypadki położenia siły pokazane na rys,.13: wewnątrz płyty, na brzegu i w narożu.

Rys.13 Trzy przypadki położenia siły na płtycie z fibrobet

(Technical Report No 34, 4th Edition, 2003, rys 7.3.)

Pojedyńcza siła skupiona

W przypadku pojedynczej siły wewnątrz płyty mechanizmy zniszczenia plastycznego pokazano na rys.14

Rys.14 Mechanizm zniszczenia płyty z fibrobetonu pod jedną siła skupioną

(Technical Report No 34, 4th Edition, 2003, rys 7.2.)

Poniżej wprowadzono oznaczenie:

$$\begin{equation} \Sigma M_R=[ M_{(R+)}+M_{(R-)} ] \quad (\approx W_{el}\cdot(f_{ctml,fl}+f_{ctml,eq})) \end{equation}$$

gdzie uwzględniono zależności na:

$M_{(R-)}$  nośność płyty, mierzona ujemnym (rozciągającym górne włókna płyty) momentem tak jak  dla płyty bez zbrojenia – wzór $( \ref {M_Rfl})$,

$M_{(R+)}$ nośność płyty, mierzona dodatnim (rozciągającym dolne włókna płyty) momentem tak jak  dla płyty ze zbrojeniem rozproszonym – wzór $( \ref {M_Req})$.

Dla pojedynczej siły (rys.15) nośność płyty $F_{R1}$ mierzona siłą obciążającą $F$ zależy od zastępczej średnicy docisku $a$ a także  promienia względnej sztywności $l$ i wynosi (Technical Report No 34, 4th Edition, 2003).

Przy położeniu siły wewnątrz (w) płyty nośność $F_{R1w}$ wynosi

$$\begin{equation} F_{R1w} = \begin {cases}
2 \pi \Sigma M_R, & \text {dla $a/l=0$} \\
\cfrac {4 \pi} {1- a/(3l)} \cdot  \Sigma M_R , & \text {dla $a/l \ge 0,2$ }
\end {cases} \label{F_R1w}\end{equation}$$

W przypadku położenia siły na krawędzi (k)  lub w narożu (n) płyty (rys.16) nośność $(\ref{F_R1w})$ należy zredukować zgodnie z zależnością

$$\begin{equation} F_{R1*} =\alpha_{*} \cdot F_{R1w} \end{equation}$$

gdzie współczynnik redukcyjny $\alpha_{*} (*=k,n)$ wynosi

dla siły na krawędzi (*=k) :

$$\begin{equation} \alpha_{k}= \begin {cases}
\alpha_{k0} , & \text {dla $a/l=0$} \\
\cfrac {1-a/(3l)}{1-2a/(3l)} \cdot \alpha_{k0} , & \text {dla $a/l \ge 0,2$ }
\end {cases} \label{al_k}\end{equation}$$

gdzie $\alpha_{k0}= \cfrac{1}{4}+\cfrac{M_{R(-)}} {\pi \cdot \Sigma M_R} $

dla siły w narożu (*=n) płyty

$$\begin{equation} \alpha_{n}= \begin {cases}
\alpha_{n0} , & \text {dla $a/l=0$} \\
\cfrac {1-a/(3l)}{1-a/l} \cdot \alpha_{n0} , & \text {dla $a/l \ge 0,2$ }
\end {cases} \label{al_n}\end{equation}$$

gdzie $\alpha_{n0}= \cfrac{M_{R(-)}} {\pi \cdot \Sigma M_R} $

Dla pośrednich wartości $a/l$ można prowadzić interpolację.

Jeżeli odległość $x$ pomiędzy przyłożonymi siłami jet mniejsza od podwójnej grubości płyty h (x<2h), to przyjmuje się, że siły są zlokalizowane w tym samym miejscu.

Ograniczeniem stosowalności metody plastycznej wymiarowania posadzek fibrobetonowych jest wymaganie takiej efektywności zbrojenia włóknami, aby spełniony był warunek $f_{ctm,eq}$ > 0,30 $f_{ctm, fl}$,

gdzie $f_{ctm,fl}$ jest wartością naprężenia rozciągającego odpowiadającego maksymalnej sile zginającej podczas testu z rys. 9.

Jeśli siła skupiona jest rozłożona w prostokącie o bokach $c_x$ x $c_y$ , to zastępcza promień przyłożenia siły $a$ wyznaczony z równości pól powierzchni przyłożenia wynosi:

$$\begin{equation}  (c_x \cdot c_y)=(\pi (2a)^2/4)  \to  a= \sqrt {\cfrac{ c_x \cdot c_y}{ \pi} } \label{a_z} \end{equation}$$

Dwie  siły skupione 

W przypadku dwu lub czterech sił skupionych mechanizmy zniszczenia plastycznego przyjmuje się według rys. 15.

Rys.15 Mechanizm zniszczenia dla: a) dwóch, b) czterech sił skupionych

(Technical Report No 34, 4th Edition, 2003, rys 7.7.)

Dla dwóch sił rozstawionych w odległości $x <2h$ stosujemy podejście jak dla pojedynczej siły o zsumowanej wartości z obu sił.

Przy $x\ge 2h$ nośności wynoszą:

$$\begin{equation} F_R= \begin {cases}
\left [ 2 \pi+\cfrac{1,8 x)}{l} \right ] \cdot  \Sigma M_R, & \text {dla $a/l=0$} \\
\left [ \cfrac{4 \pi}{1-a/(3l)}+\cfrac{1,8 x}{l- a/2} \right ] \cdot  \Sigma M_R , & \text {dla $a/l \ge 0,2$ }
\end {cases} \label{F_2s}\end{equation}$$

Z wyrażeń tych wynika, że przy zbliżających się siłach obciążenie graniczne zbliża się do sumy granicznych obciążeń od pojedynczych sił.

Gdy podwójna siła zbliży się do krawędzi płyty, wówczas powinna być zredukowana współczynnikiem $(\ref {al_k})$ , a gdy stoi w narożu płyty, współczynnikiem $(\ref {al_n})$.

Cztery siły skupione

Dla czterech sił rozstawionych w odległości $x $ oraz $y$  nośność jest mniejszą z wartości: 1) suma nośności czterech sił pojedynczych, 2) suma nośności  dwóch sił podwójnych , lub 3):

$$\begin{equation} F_R= \begin {cases}
\left [ 2 \pi+\cfrac{1,8 (x+y)}{l} \right ] \cdot  \Sigma M_R, & \text {dla $a/l=0$} \\
\left [ \cfrac{4 \pi}{1-a/(3l)}+\cfrac{1,8(x+y)}{l- a/2} \right ] \cdot  \Sigma M_R , & \text {dla $a/l \ge 0,2$ }
\end {cases} \label{F_4s}\end{equation}$$

W przypadku ustawienia dwóch sił na brzegu płyty stosuje się współczynnik redukcyjny $(\ref {al_k})$ jak dla pojedynczej siły.

Obciążenie równomiernie rozłożone

W przypadku obciążenia płyty nieustalonym (losowym) układem równomiernie rozłożonego obciążenia, maksymalny moment zginający w płycie jest spowodowany:

a) przez obciążenie o szerokości π / 2λ pokazane na rysunku 16a dla momentu dodatniego, b) przez dwa pasma o szerokości π / λ pokazane na rys. 16b dla momentu ujemnego. Parametr $\lambda$ zdefiniowano wzorem $(\ref{lambda})$:

 

Rys.16. Układ obciążęnia równomiernego realizujący maksymalny monet:  a) dodatni, b) ujemny

(Technical Report No 34, 4th Edition, 2003, rys 7.10.)

Maksymalny  moment ujemny  (rozciągający górne  włókna) wystąpi pomiędzy pasmami obciążenia jak na rys. 16b , a nośność płyty wyniesie:

$$\begin{equation}  q_R=5,95 \cdot \lambda^2 \cdot M_{R(-)} \end{equation}$$

gdzie $M_{R(-)}$ jest nośnością płyty bez zbrojenia $(\ref {M_Rfl})$.

Obciążenie liniowe

W przypadku obciążenia liniowego (np od ściany) nośność płyty fibrobetonowej wynosi

$$\begin{equation}  q_R=4 \cdot \lambda\cdot M_{R(-)} \label {P_lin} \end{equation}$$

Równanie $(\P_lin})$ ma zastosowanie do obciążeń liniowych oddalonych  krawędzi płyty lub dylatacji. W przypadku gdy obciążenie liniowe znajduje się w sąsiedztwie swobodnej krawędzi, to nośność  wynosi

$q_R= 3 \lambda m_{R(-)}$

zwiększając się do $q_R= 4 \lambda m_{R(-)}$, gdy obciążenie jest  oddalone od krawędzi o  3 / λ. Dla dylatacji  o minimalnej zdolności przenoszenia obciążenia 15%, nośność wzrasta do tej wartości już  w odległości 1 / λ – patrz rysunek 17.

Wynika to z faktu, że w przypadku obciążenia liniowego odległego od krawędzi,  zerowego momentu wystąpi  w odległości około 1 / λ od obciążenia.

Rys. 17 Zmniejszenie nośności płyty wraz ze zbliżaniem się obciążenia do krawędzi

(Technical Report No 34, 4th Edition, 2003, rys 7.9.)

Pas przy krawędzi płyty w którym nie powinno się stawiać obciążeń ze względu zmniejszenie nośności płyty ma szerokość

$$\begin{equation}  L_{pas}=3/ \lambda= \cfrac{6 l}{k_\mu }  \label {L_pas} \end{equation}$$

Wartości charakterystyczne a obliczeniowe i warunek nośności

Powyżej podano wyrażenia na wartości charakterystyczne nośności $F_k=F_R$,  $q_k=q_R$

Warunek nośności

$$\begin{equation}  F_{Ed} \le F_{Rd} \label {W_R} \end{equation}$$

odnosi się do obliczeniowych nośności, które uzyskuje się z nośności charakterystycznych przez zmniejszeniem współczynnikiem materiałowym

$F_d=\cfrac{F_k}{\gamma_c}$

przy czym dla fibrobetonu należy przyjmować $\gamma_c=1,5$

Kombinacja obciążeń

Na rys. 18 pokazano najbardziej niekorzystne ustawienie podnośnika widłowego w stosunku do regałów. Odległość H należy określić na podstawie charakterystyk geometrycznych konkretnych regałów i wózków. W przypadku braku danych można przyjąć, że H=R/2, gdzie R jest rozstawem kół podnośnika.

Rys. 18. Najniekorzystniejsze ustawienie obciążeń skupionych

(Technical Report No 34, 4th Edition, 2003, rys 7.6.)

Nośność w kombinacji należy określać z uwzględnieniem współczynników jednoczesności obciążeń kombinacyjnych zgodnie z (PN-EN 1990, 2004).

Przebicie płyty fibrobetonowej

Przebicie płyty fibrobetonowej określa się zgodnie z ogólnymi zasadami opisanymi w artykule Przebicie płyty żelbetowej.  Odległość obwodu krytycznego od krawędzi siły przebijającej przyjmuje się standardowo 2d, gdzie d  jest efektywną wysokością przekroju. W przypadku przekroju zbrojonego tradycyjnie jest to odległości od osi zbrojenia dolnego do górnej krawędzi płyty. W przypadku zbrojenia włóknami rozproszonymi przyjmuje się

$$\begin{equation}  d=0,75 h \end{equation}$$

gdzie h- jest całkowitą grubością płyty

Dla tak określonej wysokości efektywnej przekroju maksymalna wytrzymałość betonu na ścinanie przy przebiciu  vRd,max oraz maksymalną nośność na przebicie płyty fibrobetnowej $F_{Rd,max}$

$$\begin{equation}  F_{Rd,max}=v_{Rd,max} \cdot u_0 \cdot d \end{equation}$$

gdzie $u_0$ jest obwodem wokół siły przebijającej o szerokościach efektywnych zdefiniowanych na rys. 19

Rys. 19 Efektywna szerokość siły przebijającej fibrobeton

(Technical Report No 34, 4th Edition, 2003, rys 7.4.)

Nośność płyty fibrobetonowej na przebicie jest sumą nośności płyty betonowej nie zbrojonej na ścinanie o wytrzymałości granicznej $v_{Rd,c}$ i nośności zbrojenia rozproszonego o wytrzymałości granicznej $v_f$:

$$\begin{equation}  F_{Rd,p}=(v_{Rd,c}+v_f)  \cdot u_1 \cdot d \end{equation}$$

gdzie: $v_{Rd,c} $,  i długość obwodu kontrolnego $u_1$ wyznacza się standardowo zgodnie zasadami podanymi w artykule ,

a wytrzymałość zbrojenia włóknami rozproszonymi na ścinanie przy przebiciu wyznacza się z zależności

$ v_t= 0,015 \cdot  ( f_{ctm,eq,50}+ f_{ctm,eq,150} + f_{ctm,eq,250} +f_{ctm,eq,350} ) \cdot d $

Ponieważ dla wytrzymałości równoważnych zachodzi:

$ f_{ctm,eq, 50} < f_{ctm,eq, 150} < f_{ctm,eq, 250} < f_{ctm,eq, 350} $, więc przy braku danych z badań włókna można przyjąć  że średnią szeregu jest $f_{ctm,eq}$, a suma szeregu wynosi  $4 \cdot f_{ctm,eq}$, czyli

$$\begin{equation}  v_t = 0,06 \cdot  f_{ctm,eq} \cdot u_1 \cdot d \end{equation}$$

Siłę przeciwstawiającą się przebiciu (korzystną), a pochodzącą z odporu gruntu określa się zgodnie z rys. 20.

Rys. 22 Szkic do określenia odporu gruntu przy przebiciu płyty: a) wewnątrz ,b) przy brzegu

(Technical Report No 34, 4th Edition, 2003, rys F1-F2)

W przypadku siły wewnętrznej i narożnej (odpowiednio rys.22a i rys.22b) sumaryczny odpór gruntu wynosi (Technical Report No 34, 4th Edition, 2003):

$$\begin{equation}  R_{odpór}= \beta \cdot (d/l)^2 \cdot F \end{equation}$$

gdzie: $\beta=1,4$ dla siły wewnętrznej i $\beta=2,4$ dla siły narożnej.

W przypadku gdy siła działa poprzez sztywny stempel (na słup o wymiarach (c_x × c_y), to całkowity ospór wgruntu wynosi  Rys.21 Asortyment włókien DRAMIX[/caption]

W tab. 7  zestawiono własności wytrzymałościowe fibrobetonu zbrojonego włóknem Dramix 80/60.  Podano wytrzymałość równoważna fibrobetonu zbrojonego włóknem RC-80/60-BN, przy czym, $f_{ctm,eq,150}$ jest średnią wytrzymałością równoważną dla ugięcia 1,5 mm, a $f_{ctm,eq,300}$ dla ugięcia próbki 3,0 mm. W taveli zasygnalizowano również  podawane przez producenta włókna  wytrzymałości na rozciąganie przy zginaniu $f_{ctml,fl}$  betonu klasy C20/25 do C40/45.

Tab.7  Własności wytrzymałościowe fibrobetonu zbrojonego włóknem Dramix 80/60

Włókna ArcelorMIttal

Arcelor Mittal nośności fibrobetonu zbrojonego włóknami swojej produkcji podaje w wartości obciążenia punktowego $q_R$ w kombinacji z ruchem kołowym 6 kN/m2. (rys. 22). Obciążenie równomierne $Q_R$ nawet o wartości 80 kN/m2 nie jest wymiarujące.

Rys.22. Obciążenia posadzki zbrojonej włóknami Arcelor Mittal

(ArcelorMIttal, 2015)

Dobór posadzki jest dokonywany z nomogramów pokazanych na rys. 23.

Rys.23. Nomogramy do projektowania posadzek zbrojonych włóknami ArcelorMIttal: TABIX i HE

(ArcelorMIttal, 2015)

Podstawowe dwa rodzaje posadzek przemysłowych zbrojonych włóknami ArcleorMittal, to:

TAB-Fiber  – posadzka nacinana: beton C25/30; odległość między nacięciami 6 m;  podbudowa :  kruszywo  z 1x folia PV

TAB-Floor – posadzka bezspoinowa: beton C25/30; odległość między dylatacjami 30 m; podbudowa :  kruszywo  z 2x folia PV

Posadzki Arcelor Mittal należy ułożyć na zagęszczonym podłożu gruntowym :
stosunek modułów sprężystości  E2/E<2,2, moduł sprężystości wtórny: E2= 100 MN/mm2

Nomogramy sporządzono dla współczynnika sprężystości podłoża k=0,083 N/mm3

Przykłady rachunkowe

Przykład 1 [ Projekt płyty stropu żelbetowego]

Zaprojektować płaski strop żelbetowy w układzie słupowo-płytowym o wymiarach:

3 pola o długości $l_x=9 \,m$  x  2 nawy o szerokości $l_y=9 \,m$

obciążony zastępczym obciążeniem równomiernym:
stałym $ G=1,5 \, kN/m^2$ (oprócz ciężaru własnego płyty),
zmiennym $Q= 3 \, kN/m^2$

i dla wymaganej wytrzymałości ogniowej REI 120

Płytę wykonano z betonu C30/37 i zbrojono prętami #12-B500.

Długość efektywna stropu i grubość płyty

z tab. 3 dla płyty z 2-ma nawami odczytujemy największy współczynnik długości efektywnej $s=0,962$ (dla skrajnych pól), więc

$l_{ef}=0,962 \cdot 900=866 \, cm$

Przyjęto grubość płyty

$h=866 \, cm /30=290 \, mm$

Sprawdzenie warunków pożarowych

Z tab.4 dla płyty w układzie płytowo słupowym i dla odporności ogniowej REI 120, mamy

min $h/a$=$200/35$.

Spełniony jest wymóg minimalnej grubości płyty.

Otulenie osiowe przyjmujemy $a=35 \, mm$

Projekt zbrojenia płyty

Projekt zbrojenia płyty wykonano z wykorzystaniem programu obliczeniowego Consteel w.12 ((Consteel Software, 2019)).

Na rys. 8 pokazano mapę zbrojenia płyty poddanej obciążeniu rozłożone na całej powierzchni. Pominięto prezentację map zbrojenia dla schematu z obciążeniami w szachownicę, które należy rozpatrywać w praktycznym projektowaniu, bo dają ekstremalny rozkład sił (rys. 9).

Jak wynika z rys.8 na większości powierzchni płyty (obszary w kolorach niebieskich) wystarczy zbrojenie  minimalne: wymagane jest maksymalnie $ A_s=323 \, mm^2 /m$, czyli #12-350, a minimalny rozstaw zbrojenia dla „pozostałych części płyty” (poza obszarem maksymalnych momentów) zgodnie z $(\ref{s_max2})$ wynosi 400 mm.

W pozostałych obszarach siatkę zbrojenia #12-350×350) należy zagęścić lub dać pręty o większej średnicy. Obszary w których wymagane jest dozbrojenie są różne dla zbrojenia górnego i dolnego i różne  w kierunku X lub Y.

Układ zbrojenia i opracowanie rysunków warsztatowych należy pozostawić Wykonawcy, który powinien je przedstawić Projektantowi do uzgodnienia.

Rys.8 Mapy zbrojenia płyty z przykładu 1

W obszarach nad słupami należy sprawdzić  ścinanie przez przebicie zgodnie z zasadami przedstawionymi w artykule Przebicie płyty żelbetowej.

Rys.9. Obciążenie płyty w „szachownicę”

Przykład 2 [ Projekt płyty posadzki fibrobetonowej]

Zaprojektować płytę żelbetową bezspoinową posadzki na gruncie dla danych:

  1.  podbudowa i warstwy gruntowe:
    1x folia PCV
    podłoże beton C8/10 – 10 cm
    podbudowa kruszywo 30 cm zagęszczone do E2/E1=2,2; E2=60 MPa
    piasek średni 100 cm
    ił pylasty 670 cm
    piasek gliniasty niżej
  2.  rozmiary pola pomiędzy słupami  24×9 m
  3.  obciążenia:
    a) regały o wys. 9 m do składowania palet EUR1  800×1200 w 8-miu warstwach z podkładkami pod nóżki o wymiarach 135×119 mm. Masa  jednej palety z materiałem 1000 kg
    b) zastępcze obciążeniem równomierne q=10 kN/m2 ,
    c) wózki widłowe klasy FL5 wg (PN-EN 1991-1-1, 2004, kl. 6.3.2.3): wymiary (1,80×4,60m; rozstaw kół 1,5 m; ciężar 90 kN, udźwig 60 kN; obciążenie osi 140 kN; powierzchnia docisku 0,2×0,2 mxm, współczynnik dynamiczny $\varphi=1,4$ (koła pneumatyczne)

Zestawienie obciążeń

Współczynniki obciążeń $\gamma_F$  i wsp. kombinacyjne (redukcyjne) $\psi_0$

Zgodnie z (PN-EN 1990, 2004):

$\gamma_F=1,5$ – dla wszystkich obciążeń zmiennych (regały wózki, obciążenie równomierne)
$\psi_0=1,0 $  regały i obciążenie równomierne (kategoria powierzchni E)
$\psi_0=0,7 $  podnośniki widłowe (kategoria powierzchni F)

Współczynnik materiałowy

$\gamma_c=1,5$

Obciążenie od nóżek regału

Obciążenie charakterystyczne

Na cztery nóżki rozstawione 800×1200 przypada:  8x 10,0= 80 kN
Na jedną nóżkę 80/4=20 kN, pole docisku (135×119) mm x mm
Najniekorzystniejsze jest ustawienie dwu regałów obok siebie, co daje obciążenie:

1 rząd (od ściany 75 mm)  [20 kN] – 135 mm [20 kN] – (1200-135) mm – [20 kN]- 135 mm – [20 kN]
2 rząd (od 1 rzędu 800 mm) [20 kN] – 135 mm [20 kN] – (1200-135) mm – [20 kN]- 135 mm – [20 kN]

Obciążenie obliczeniowe

Siły z sąsiednich nóżek traktujemy jak jedną, czyli model obciążeń obliczeniowych
$F_{d,r} =1,5 \cdot 2 \cdot 20=60 \, kN$
pole docisku $(c_x  x c_y)= (270×119)$ mm x mm

1-2 siła: [ 60 kN]  – x= (1200+135) mm – [60 kN]
y=800 mm
3-4 siła [60 kN]  – x= (1200+135) mm – [60 kN]

Obciążenie od podnośników widłowych

Obciążenie charakterystyczne
Dwie siły (koła na pierwszej osi) każda o wartości 140*1,4/2=98 kN,

Obciążenie obliczeniowe
$F_{d,p} =1,5 \cdot 98=147 \, kN$
pole docisku $(c_x  x c_y)= (200×200)$ mm x mm

1-2 siła: [147 kN] –  x=1500 mm – [147 kN]

Obciążenie równomiernie rozłożone

Obciążenie rozłożone poza regałami oraz trasami podnośników przyjęto w dwóch pasach o szerokości 800 mm każdy w rozstawie 400 mm od luźno ustawionych opakowań, ścieżek technologicznych lub innych. Maksymalna, zastępcza  wartość obciążenia 10 kN/m2

$ q_d=1,5 \cdot 10=15 kN/m^2$

Obciążenie ciężarem własnym
Pomija się jako nieistotne w wymiarowaniu płyty fibrobetonowej metodą plastyczną

Współczynnik sprężystości podłoża

Współczynnik sprężystości podłoża wyznaczono z użyciem kalkulatora gruntów budowlanych w programie Robot dla szacunkowego obciążenia płyty Q=10+0,2*25=15 kN/m2 (grubość płyty ok. 0,2 m) i uzyskano

$k=19858 kN/m^3=0,0199 N/mm^3 $

Promień względnej sztywności Westergaarda  oraz pas przykrawędziowy

Przyjęto beton  C20/25:  (tab.1)  $\to$
$E_{cm}=30 GPa = 30 000 N/mm^2$ ,
$ f_{ctm}=2,2 MPa= 2,2 kN/mm^2$
$\mu=0,2$

$(\ref {k_mu}) \to $ $k_{\mu}=\cfrac {1}{\sqrt[4]{1-0,2^2}}=1,01026 $
$( \ref{Promien-l}) \to $  $ l=1,01026 \cdot \sqrt[4]{ \cfrac {30 000 \cdot 200^3} {12 \cdot 0,0199 }} =1011 \, mm$.
Podobną wartość, ale mniej precyzyjnie odczytamy z rys. 12.

$( \ref {L_pas}) \to $  pas przykrawędziowy $ L_{pas} = 6 \cdot 1011 /1,01=6000  \, mm$

Dobór włókien i wytrzymałość równoważna

Przyjęto włókna DRAMIX RC-80/60-BN w ilości 30 kg/m3

Z rys 20  $\to$
$f_{ctm,eq,50} = f_{ctm,eq,150} = 2,7 \, MPa$
$f_{ctm,eq,350} = f_{ctm,eq,300} = 2,8 \, MPa$

Nośności przekroju płyty

$(\ref{f_fl}) \to$ $ f_{ctm,fl}=2,2 \cdot ( 1,6 – 200/1000)=3,08 MPa$

$(\ref{W_el}) \to$ $W_{el} = \cfrac {20^2}{6}=66,67 \, cm^2/m$

$(\ref{M_Rfl}) \to$ moment ujemny (górne włókna)
$ M_{R(-)} = 66,67 \cdot 3,08 \cdot 10^{-1}=20,53 \, kNm /m$

$(\ref{M_Req}) \to$ moment dodatni ( dolne włókna)
$M_{R(+)}=  66,67 \cdot (0,4320 \cdot 2,7 + 0,6438 \cdot 2,8 )\cdot 10^{-1}= 19,79 \, kNm/m $

Nośność linii załomu

$\Sigma M_R= 20,53+19,79=40,32 \, kNm/m$

Nośności płyty mierzone obciążeniami

Pojedyncza siła skupiona

$(\ref{F_R1w})$

dla regału siła F_d=60 kN na powierzchni A= 270×119 mm2 :

zastępczy promień obciążenia
$a=\sqrt{\cfrac {270 \cdot 119}{\pi}}=101 mm,$
$a/l=101/1011=0,100 < 0,2$, czyli prowadzimy interpolację

$F_{R1,r} = \begin {cases}
2 \pi \cdot 40,32=253,3 \, kN , & \text {dla $a/l=0$} \\
\cfrac {4 \pi} {1- 0,2/3} \cdot  40,32=472,9 , & \text {dla $a/l = 0,2$ }
\end {cases} $

$\Delta F_{R1,r} =472,9-253,3=219,6 \, kN$

z interpolacji: $F_{R1,r}=253,3+219,6/0,2 \cdot 0,100=363,1 \, kN$

Nośność obliczeniowa

$F_{R1,r,d}=363,1/1,5=242,1 \,kN$

Mnożnik obciążenia: $\Lambda_{R1,r} =60/242,1=0,248$

dla koła podnośnika siła F=98 kN na powierzchni A=200×200 mm2

$a=\sqrt{\cfrac{200 \cdot 200}{\pi}}=113 mm,$

$a/l=112,8/1011=0,112<0,3 \to $ prowadzimy interpolację

z interpolacji: $F_{R1,p}=253,3+219,6/0,2 \cdot 0,112=376,3 \, kN$

Nośność obliczeniowa

$F_{R1,p,d}= 376,3/1,5=250,9 \,kN$

Mnożnik obciążenia: $\Lambda_{R1,p}=147/250,9= 0,586 $

Dwie siły skupione

$(\ref{F_2s})$  rozstawione w odległości x

dla regału x= (1200+135)=1335 > 2h=2\cdot 200=400 mm

$F_{R2,r}= \begin {cases}
\left [ 2 \pi+\cfrac{1,8\cdot 1335)}{1011} \right ] \cdot  40,32 =349,2 \, kN , & \text {dla $a/l=0$} \\
\left [ \cfrac{4 \pi}{1- 0,2/3}+\cfrac{1,8 \cdot 1335}{1011\cdot(1-0,2/2)} \right ] \cdot  40,32=649,4 , & \text {dla $a/l=0,2$ }
\end {cases} $

$\Delta F_{R2,r}=649,4,9-349,2=300,2 \, kN$

z interpolacji: $F_{R2,r}=349,2 +300,2 /0,2 \cdot 0,100=499,2  \le 2F_{R1,r}= 2\cdot 363,1=726,2 \, kN$

nośność obliczeniowa

$F_{R2,r,d}= 499,2/1,5=332,8 \,kN$

Mnożnik obciążenia: $\Lambda_{R2,r} =2\cdot 60/332,8=0,360 $

dla kół podnośnika $ x= 1500 \, mm$

$F_{R2,p}= \begin {cases}
\left [ 2 \pi+\cfrac{1,8\cdot 1500)}{1011} \right ] \cdot  40,32=361,0 \, kN , & \text {dla $a/l=0$} \\
\left [ \cfrac{4 \pi}{1- 0,2/3}+\cfrac{1,8 \cdot 1500}{1011\cdot(1-0,2/2)} \right ] \cdot  40,32=662,5, & \text {dla $a/l=0,2$ }
\end {cases} $

$\Delta F_{R2,p}=662,5-361,0=301,5 \, kN$

z interpolacji: $F_{R2,p} =361,0+301,5 /0,2 \cdot 0,112=529,8 \le 2 F_{R1,p}=2\cdot 376,3=752,6 \, kN$

nośność obliczeniowa

$F_{R2,p,d}= 376,3/1,5=250,9 \,kN$

Mnożnik obciążenia: $\Lambda_{R2,p} =2\cdot 147/250,9 =1,172$

Nośność przekroczona. Zwiększyć grubość płyty do $ 20 \cdot \sqrt[4]{1,172}= 21 \, cm$

Cztery siły skupione

$(\ref{F_4s})$  rozstawione w odległości ( x,y )

dla nóżek regału

$(x+y)=(1335+800)=2135 \, mm > 2h=2 \cdot 200=400 \, mm$

$ F_{R4,r}= \begin {cases}
\left [ 2 \pi+\cfrac{1,8 \cdot 2135 }{1011} \right ] \cdot  40,32= 406,6 \, kN, & \text {dla $a/l=0$} \\
\left [ \cfrac{4 \pi}{1-0,2/3}+\cfrac{1,8\cdot 2135 }{1011 (1-0,2/2)} \right ] \cdot  40,32=713,2 \, kN, & \text {dla $a/l \ge 0,2$ }
\end {cases} $

$\Delta F_{R4,r}= 713,2-406,6=306,6 \, kN$

z interpolacji: $F_{R4,p} =406,6+306,6 /0,2 \cdot 0,100=559,9 \le 2 F_{R1,p}=2\cdot 499,2 \, kN$

Nośność obliczeniowa

$F_{R4,r,d}= 559,9/1,5=373,3 \,kN$

Mnożnik obciążenia: $\Lambda_{R4,p} =4\cdot 60/373,3 =0,464$

współczynnik redukcji – dwie nóżki na krawędzi płyty

$\alpha_{k0}= \cfrac{1}{4}+\cfrac{20,53} {\pi \cdot 40,32}=0,412 $

$\alpha_k= \begin {cases}
0,412 , & \text {dla $a/l=0$} \\
\cfrac {1-0,2/3}{1- 2 \cdot 0,2/3} \cdot 0,412=0,380 , & \text {dla $a/l \ge 0,2$ }
\end {cases} $

$\Delta \alpha_k=0,412-0,380=0,032$

z interpolacji $\alpha_k=0,412-0,032/0,2*0,1=0,396

Mnożnik obciążenia: $\Lambda_{R4,r}^R =4 \cdot 60 / 373,3 / 0,396 =1,622$

Nośność przekroczona. Pas przykrawędziowy należy wzmocnić

Wymagany pas dozbrojenia posadzki

Szerokość pasa przykrawędziowego wymaganego do 100% nośności wynosi $L_{pas}=6000 \, mm$

Dla maksymalnego wytężenia posadzki nóżkami $W=46,4%, wymagany pas dozbrojenia:

$ L_{zbroić}=W \cdot L_{pas}=0,46,4 \cdot 6000=2784 \, mm$

Po zwieszeniu grubości płyty  powyższe oszacowanie w konsekwencji ulegnie zmianie

Kombinacja obciążeń wg rys. 18

Wobec braku danych o szerokości rozstawienia regałów rozpatrzmy sytuację obliczeniową taką, że koło podnośnika zbliży się do nóżek regału na odległość

$x= 2h=2 \cdot 200=400 mm$

W takiej sytuacji obciążenie skupione od nogi regału i od koła podnośnika można rozpatrywać jak jedną siłę skupioną:

przy wiodącym obciążeniu regałem $F_d= F_{d,r}+$\psi_0,p}\cdot F_{d,p}=60+0,7 \cdot 147=163 kN,
przy wiodącym obciążeniu podnośnikiem $F_d= F_{d,p}+$\psi_0,r}\cdot F_{d,r}=147+1,0 \cdot 147=207 kN,

Przyjmujemy , że siły są rozłożone na sumarycznej powierzchni (270+200)x(119+200)=470×319 mm x mm

$a=\sqrt{\cfrac{470 \cdot 319}{\pi}}=387 mm,$
$a\l=387/1011=0,38 $

Dla dwóch sił skupionych rozstawionych na odległość $x=R+2*2h=1500+2\cdot 400=2300 \, mm$ mamy nośność

$F_{R,komb}= \left [ \cfrac{4 \pi}{1- 0,38/3}+\cfrac{1,8 \cdot 2300}{1011\cdot(1-0,38/2)} \right ] \cdot  40,32=646,3 \, kN$

Nośność obliczeniowa

$F_{R,komb,d}=646,3/1,5=430,9 \, kN$

Mnożnik obciążenia: $\Lambda_{R2,r+p} =207/430,9 =0,48.$

Literatura

ArcelorMIttal. (2015). Włókna stalowe . Posadzki Przemysłowe (Distribution Solutions. Wire Solutions).
Borusiewicz, W. (1978). Konstrukcje budowlane dla Architektów (3 zmienione i uzupełnione). Warszawa: Arkady.
Buczkowski, W. (Ed.). (2009). Budownictwo ogólne. T.  4  Konstrukcje. Warszawa: Arkady.
Charleson, A. (2005). Structure as architecture: a source book for architects and structural engineers. Oxford ; Burlington, MA: Elsevier/Architectural Press.
Chodor, L. (2013). Konstrukcje budowlane dla Architektów. Przegląd systemów konstrukcyjno-architektonicznych. Lecture-Wykład presented at the Wykład 2  z  przedmiotu Konstrukcje budowlane dla Architektów, Politechnika Świętokrzyska, Kielce, Technological University of Kielce, Kielce. Retrieved from http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Wyklady/KB2/1-%%282015%%29-KB2-Przeglad-systemow-konstrukcyjnych.pdf
Consteel Software. (2019). ConSteel 12 Manual. Retrieved from http://www.consteelsoftware.com/en/downloads/manuals-documents
Glinicki, M. A. (2008). Wytrzymałość równoważna fibiobetonu na zginanie. Inżynier Budownictwa, (styczeń 2008).
Hajduk, P. (2013). Projektowanie podłóg przemysłowych. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
Harris, C. M. (Ed.). (2006). Dictionary of architecture & construction (4th ed). New York: McGraw-Hill.
Knauff, M., Golubińska, A., & Knyziak, P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN.
Macdonald, A. J. (2001). Structure and architecture (2. ed). Oxford: Architectural Press.
PN-EN 1990. Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji (2004). UE: PKN.
PN-EN 1991-1-1. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-1: Oddziaływania ogólne. Ciężar objętościowy, ciężar własny, obciążenia użytkowe w budynkach (2004). UE: PKN.
PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-2:  Reguły ogólne - Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe (2008). UE: PKN.
PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E. Eurokod 5 -- Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-1: Postanowienia ogólne - Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków (2010). UE: PKN.
Schierle, G. G. (2006). Architectural structures. Los Angeles: University of Southern California.
Starosolski, W. (2013). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych, Tom 2 (Vol. 2). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
Technical Report No 34,  4th Edition. Concrete Industrial Ground  Floors - A quide to theit Swsign an Construction (2003). UK  Camberley: The Concrete Society.
Westergaard, H., M. (1933). Anayltical tools for judging  results of structural tests of concrete pavements. Public Roads, 14(10).
Zybura, A. (Ed.). (2015). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2: atlas rysunków. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN SA.

 

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »