Płyty żelbetowe

Płyty żelbetowe  są podstawowym elementem konstrukcyjnym i są stosowane przede wszystkim na stropy w budynkach mieszkalnych, usługowych i innych. Układ konstrukcyjny płyty i jej żeber oraz podciągów powinien wynikać z siatki funkcjonalnej słupów, wymogów architektonicznych (np wymagany strop płaski bez żeber), a na końcu z warunku optymalności konstrukcyjnej – prawidłowego doboru powiązanych  parametrów: grubości płyty, wysokości belek i ilości  zbrojenia.

Większość wymogów konstrukcyjnych dla płyt jest tożsama z wymogami dla belek żelbetowych, opisanych w artykule Belki żelbetowe. W szczególności dotyczy to obliczania zbrojenia głównego (podłużnego, który dokonujemy arkuszem kalkulacyjnym CHP-Ż w 1.3. Arkusz CHP-Ż  można pobrać poprzez kliknięcie na rys. 3 artykułu „Belki żelbetowe”Wymogi dla płyt i belek są takie same również w zakresie: kotwienia prętów, pełzania betonu, zbrojenia minimalnego i maksymalnego.

Współcześnie ważnym typem płyt żelbetowych, stosowanym najczęściej dla płyt  ułożonych na podłożu odkształcalnym (gruncie) są płyty fibrobetonowe, czyli betonowe zbrojone włóknem rozproszonym.

Projektowanie płyt z fibrobetonu jest odmienne od płyt żelbetowych i jest opisane w rozdziale.

Spis treści

Konstrukcja płyty

Rozpiętość obliczeniowa płyty

Długość płyty rozpiętej nad pomieszczeniem w świetle murów $l_ś$ można wyznacza się w sposób przyjęty dla belek żelbetowych i pokazany na  rys. 4 artykułu „Belki żelbetowe”. W przypadku oparcia stropu na ścianach o grubości $t_l$ i $t_r$  z lewej i prawej strony odpowiednio (rys.1)  rozpiętość obliczeniową płyty $l_d$ wylicza się z zależności:

$$\begin{equation}  l_d=l_ś+ a_l+a_r  \label{l_d} \end{equation}$$

gdzie: $a_l=1/2 \cdot min (h \, ,  t_l)$, $a_r=1/2 \cdot min (h \, , t_r )$

Układ zbrojenia płyty

W zależności od układu zbrojenia wyróżnia się płyty jedno- i dwu-kierunkowo (krzyżowo) zbrojone. Układ zbrojenia dobiera się w zależności od kształtu płyty. Dla płyty prostokątnej o bokach $l_x \times l_y$ podpartej na obwodzie, przyjmuje się:

1) przy $l_x \ge  2l_y$ – zbrojenie jednokierunkowe równoległe do boku krótszego $l_x$ – przykład na rys. 1

2) przy $l_x \approx l_y$ – zbrojenie krzyżowe, to  znaczy zbrojenie nośne układane jest w obu prostopadłych kierunkach,

Rys. 1 Przykład płyty żelbetowej

Na rys.1 zastosowano mieszany system zobrazowania prętów zbrojeniowych : 1) za pomocą kodów kształtów, 2) za pomocą pokazania figur zbrojeniowych. W przykładzie nie dostosowano się więc do podstawowej zasady rysunkowej – NIE powtarzania tych samych informacji. W praktyce nie należy  korzystać z mieszanego systemu , a  obowiązkowo stosować zalecany w Europie  system kodów kształtów., którego zaletą jest  zwiększenie czytelności rysunku żelbetu, a także typizacji prętów zbrojeniowych. Więcej  informacji o systemie kodów kształtów można zna]eźć w artykule Standard rysunku warsztatowego konstrukcji żelbetowych.

Rozpiętość miarodajna płyty

Zależność pomiędzy strzałką ugięcia płyty $f$ i jej rozpiętością $l$ można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} f= \alpha  \cdot l^4 \label{f_i} \end{equation}$$

gdzie $\alpha$ zależy od grubości i obciążenia płyty. Dla płyt wykonanych z tego samego materiału, o takiej samej grubości i tak samo obciążonych można przyjąć, że współczynnik $\alpha = const$. Korzystając z zależności $( \ref{f_i})$ dla dwóch płyt „1” i „0” o róznych warunkach brzegowych lub wymiarach w planie , otrzymujemy:

$$\begin{equation} l_{ef,1}=l_{ef,0}  \cdot \left( \cfrac{f_1}{f_0} \right)^{1/4} \label{l_i/l_0} \end{equation}$$

Długość efektywną płyty wyznaczymy z ogólnej zależności:

$$\begin{equation} l_{ef}= s \cdot l_{min}  \label{l_ef} \end{equation}$$

gdzie $l_{min}$ jest krótszym bokiem prostokątnego pola płyty, a $s$ jest współczynnikiem długości efektywnej, który poniżej został wyznaczony dla najczęściej spotykanych schematów płyt

Płyta swobodnie podparta na obwodzie

Rys. 1. Płyta prostokątna oparta przegubowo

W przypadku płyty swobodnie (przegubowo podpartej na obwodzie za wzorcowa płytę „0” przyjmiemy płytę prostokątną o bardzo długim boku $l_x$ w stosunku do $l_y$, to znaczy przy  stosunku boków $s=l_x/l_y=∞$ . Dla takiej płyty długością efektywną $l_{eff}$ jest krótszy bok $l_{min}$:

$$\begin{equation} l_{min}= min \{l_x\quad , l_y \} \label{a} \end{equation}$$

to znaczy współczynnik długości efektywnej $s=1$.

Dla płyt o innych stosunkach boków $s \neq \infty$ współczynniki długości efektywnej zestawiono w tab.1. Dla płyty kwadratowej współczynnik ten wynosi 0,712, a  dla płyt o stosunku boków większym od 3 jest praktycznie równy 1,0. Wartości w tab.1 wyliczono na podstawie zależności  $(\ref{l_i/l_0})$ poprzez wielokrotne rozwiązywanie płyt o różnych stosunkach boków.

Tab. 1 Współczynnik długości efektywnej płyty podpartej przegubowo na obwodzie

Płyta oparta punktowo  w narożach

Dla płyt opartych punktowo w narożach współczynnik długości efektywnej zestawiono w tab.2.

Tab. 2 Współczynnik długości efektywnej płyty podpartej punktowo w narożach

Współczynnik „s” w tab.2 jest odniesiony do bardzo długiej płyty prostokątnej podpartej przegubowo na obwodzie (tab.1 ostatnia kolumna)

Płyta wieloprzęsłowa

Płyta wieloprzęsłowa podparta punktowo  na słupach w węzłach jest często występującym przypadkiem. Dla płyt wieloprzęsłowych współczynnik długości efektywnej zestawiono w tab.3. Współczynnik „s” w tab. 3 jest również odniesiony do bardzo długiej płyty prostokątnej podpartej przegubowo na obwodzie (tab.1 ostatnia kolumna)

Przykład  dla odczytani  współczynników długości efektywnej z tab.3 podano na rys. 2.

Tab. 3 Współczynnik długości efektywnej płyty wieloprzęsłowej

Rys.2 Współczynnik „s” długości efektywnej dla płyty o 2. nawach i 3. polach

Dla płyt wspornikowych  długość $l_{ef} $ można przyjąć jako podwojony wysięg, czyli $s=2$.

Grubość płyty

Grubość płyty h  przyjmuje się wstępnie na podstawie jej długości efektywnej  $(\ref{l_ef})$  jako cześć jej długości. Zaleca się

$$\begin{equation} h \approx \dfrac{l_{ef}}{30}  \label {h} \end{equation}$$

Sprawdzenie tak przyjętej grubości płyty i ewntualnie jej korektę dokonuje się z warunków wytrzymałości dla stanów granicznych: nośności, ugięcia oraz ścinania przy przebiciu.

Minimalna grubość płyty jest konsekwencją  technologii wykonania i wynika z warunku zmieszczenia we wnętrzu płyty krzyżującego się zbrojenia górnego i dolnego oraz wymaganego otulenia płyty oraz minimalnej odległości pomiędzy zbrojeniem, wynikającej z warunków ogólnych (min 20 mm i 2x ∅max. Na przykład dla zbrojenia nośnego górą i dołem ∅x=16 mm i rozdzielczego ∅x=10 mm oraz otulenia c=30 mm – minimalna grubość płyty wynosiłaby h=2·(16+10+30)+16=128 mm.

Minimalny i maksymalny stopień zbrojenia

Minimalny stopień zbrojenia dotyczy wszystkich stref płyty, które nie są stale ściskane.

Podobnie jak w belkach zbrojenie minimalne wynika z warunku nośności lub zarysowania i zostało omówione w artykule. Belki. Minimalne i maksymalne zbrojenie

Maksymalny rozstaw zbrojenia i zbrojenie rozdzielcze

W zależności od grubości płyty $h$ maksymalny rozstaw zbrojenia $s_{max}$ wynosi

w obszarach maksymalnych momentów i w takich, w których występują sił skupione:

  • zbrojenie główne (nośne) $s_{max}=2h$ i $\ge 250 \, mm$,
  • zbrojenie drugorzędne (rozdzielcze) $s_{max}=3h$ i $\ge 400 \, mm$

w pozostałej części płyty:

  • zbrojenie główne (nośne) $s_{max}=3h$ i $\ge 400 \, mm$,
  • zbrojenie drugorzędne (rozdzielcze) $s_{max}=3,5h$ i $\ge 450 \, mm$

Zaleca się, by zbrojenie rozdzielcze w płytach jednokierunkowo zbrojonych nie było mniejsze niż 20% zbrojenia głównego.

Przykład zastosowania powyższych zaleceń pokazano na rys.1.

Krawędzie swobodne płyty i doprowadzenie zbrojenia do podpory

Zbrojenie krawędzi swobodnych

Znamienne dla płyty jest wymóg zbrojenia krawędzi wkładkami U w sposób pokazany na rys.1, a dozbrajanie swobodnych naroży w sposób pokazany na rys,.2

 

Rys. 1. Płyta żelbetowa. Zbrojenie krawędzi

(Knauff, Golubińska, Knyziak, 2015, rys. 22.16)

W przypadku zakończenia brzegu płyty wieńcem, na skutek zmiany sztywności, wystąpi niewielkie skręcanie płyty na długości ok. $0,2 \cdot l_d$. Takie żebro należy zbroić godnie z rys. 1a, przy czym do żebra należy doprowadzić min 50% przęsłowego zbrojenia i dolnego górnego zakotwionego zgodnie z rys.

Rys. 1a. Zbrojenie wieńca wokół swobodnego płyty

(Starosolski, 2013, rys. 5.174)

Wymóg doprowadzania zbrojenia do podpory

W płytach swobodnie podpartych przynajmniej 50% zbrojenia w przęśle należy doprowadzić do podpór i tam zakotwić.

Zbrojenie naroży płyty

Na rys. 3 pokazano mapy zbrojenia płyty kwadratowej opartej na przegubowo obwodzie.

Rys.3. Mapy zbrojenia płyty podpartej przegubowo na obwodzie

W narożach płyty potrzebne jest zbrojenie zarówno dołem jak i górą. Zasięg strefy wymaganego zbrojenia góra wynosi ok  500 mm przy wymiarach płyty 6275×5675, czyli ok a/10 (a- bok płyty) .  Potrzeba tego zbrojenia wynika ze skręcania płyty w narożach. Na rys. 4 pokazano rozkład płytowych momentów skręcających $m_{xy}$

Rys.4 Mapa płytowych momentów skręcających

Na skutek skręcania naroży płyty wymagają one dodatkowego zbrojenia. Na rys. 5 przedstawiono zbrojenie tej płyty zaprezentowane w pracy (Zybura, 2015). Należy stwierdzić, że obszar zbrojenia 8×150=1200 mm jest zbyt duży, a także to, że zbrojenie dodatkowe wymagane jest górą i dołem, a dano tylko dołem. Średnica zbrojenia powinna być ∅10.

Rys. 5 Zbrojenie naroży płyty z rys. 4

Z powyższego przykładu wynika zalecenie, by naroża płyty zbroić zbrojeniem w układzie pokazanym na rys. 5, ale górą i dołem, na długości  a/10+3 (a-bok płyty) prętami o średnicy równej średnicy zbrojenia głównego.

Ścinanie płyty przez przebicie

Nad podporami  i w miejscu występowania znacznych sił skupionych (rozłożonych na małej powierzchni płyty) może wystąpić mechanizm ścięcia płyty przez przebicie i wówczas należy dodatkowo płytę zbroić  zgodnie z wytycznymi zawartymi w artykule.

Otwory w płycie

Analizy numeryczne praktyczne zalecenia

Porównawczy model płyty bez otworów

Otwory w płycie należy uwzględnić podczas obliczeń statycznych, co będzie miało skutek w zmianie sił płytowych i rozkładzie zbrojenia głównym, ale także należy je lokalnie (obok naroży) dozbroić.

Analizę wpływu otworów na zbrojenie płyty przeprowadzimy na modelu płyty prostokątnej o wymiarach 6×9 m obciążonej równomiernie ciężarem własnym i obciążeniem powierzchniowym  5 kN/m2. Płyta jest wykonana z betonu C30/37 i zbrojona stalą B500 .  Płyta na obwodzie oparta jest na ścianach o grubości 25 cm. Wstępnie do wyznaczenia rozpiętości płyty przyjęto jej grubość h=20 cm.

Rozpiętości  obliczeniowe płyty  $(\ref{l_d})$ wynoszą
$l_{dx}=9+2 \cdot 1/2 \cdot min (0,2 \, ; 0,25)=9,1 \, m$,
$l_{dy}=6+2 \cdot 1/2 \cdot min (0,2 \, ; 0,25)=6,1 \, m$,
$l_{min}=6,1 \, m$

$l_x/l_y=9/6=1,5 \to s=0,878$,

Długość efektywna
$l_{ef}=0,878 \cdot 6,1 = 5,36 \, m$

Grubość płyty
$h \approx l_{ef}/30=5,36/30= 18 cm.

Płytę bez otworów oraz mapę jej zbrojenia pokazano rys. 6

Rys.6 Zbrojenie płyty bez otworów

Otwór kołowy

Przeprowadzono analizę wpływu centralnego otworu kołowego o średnicy od 0,2 m do 2 m co  0,1 m. Na rys. 7 pokazano mapę  zbrojenia Asy  dla otworu ∅600 mm

Rys. 7. Mapa zbrojenia płyty z otworem ∅600 (wymiary liniowe w cm)

Tab. 4 Maksymalne zbrojenie (na brzegu otworu) strefa zwiększonego zbrojenia dla płyty z otworem kołowym

Z tab. 4 wynika, że średnica otworu w płycie nie ma tak wielkiego znaczenia. Na krawędzi otworów wymagane jest ok. 2x większe zbrojenie niż w płycie bez otworu.

Małe otwory nie wymagają zbrojenia, wystarczy umieścić na deskowaniu na przykład wkładkę styropianową czy rurę odpowiedniej średnicy. Nieduże przejście instalacyjne albo świetlik czasami można też wyciąć w gotowej płycie. Zasięg zwiększonych potrzeb zbrojenia jest wzrasta wolno ze średnica otworu i jest większy od przyjmowanej zwykle średnicy otworu.

W przypadku otworów okrągłych nie występuje gwałtowne spiętrzenie naprężeń. Zbrojenie zaleca się dobierać na podstawie obliczeń indywidualnych z zamodelowanymi otworami. Przy takiej procedurze nie jest wymagane dodatkowe dozbrojenie otworu

Otwór kwadratowy

Na rys. 8 pokazano mapę  zbrojenia Asy  dla otworu []600 mm

Rys.8 Mapa zbrojenia płyty z otworem []600 (wymiary liniowe w cm)

Z porównania mapy napreżęń dla otworu okrągłego (rys.7) i kwadratowego (rys.8) wynika, że różnice nie są wielkie. Maksymalne zbrojenie $A_{sy}$ w przypadku otworu kwadratowego (11 cm2) jest nawet mniejsze od potrzebnego przy otworze okrągłym (15 cm2) i w obu przypadkach jest szacunkowo dwukrotnie większe od zbrojenia wymaganego dla płyty bez otworu.  Dla większych otworów rozkład zbrojenia wokół otworu kwadratowego jest taki jak dla okrągłego.

Również w tym przypadku zalecane jest zbrojenie wokół otworu zgodnie ze wskazaniami rozwiązania podstawowego bez dozbrajania. Zaleca się jednak dozbrojenie w celu przejęcia spiętrzenia naprężeń wywołanych ostrym narożem otworu – przy każdym narożu należy dać kilka prętów ukośnych  (prostopadłych do diagonali otworu ). Można przyjąć po 3. pręty ukośne o średnicy takiej jak zbrojenia główne. Dozbrojenie wokół otworu dać górą i dołem.

Szczególnie newralgiczne miejsca występują, gdy słup umieszczony jest w pobliżu otworu, ze względu na zwiększone ryzyko ścięcia płyty przez przebicie. Problemem tym zajęto się w artykule.

Zalecenia historyczne   dla płyt  zbrojonych bez otworów

W epoce obliczeń płyt bez otworów sformułowano szereg zaleceń dotyczących dozbrojenia płyty wokół otworów . Oczywiście płyty obliczane  w modelu z otworami są  już zbrojone kompletnie i dozbrojenie wokół otworów zgodnie z zaleceniami historycznymi nie jest już wymagane, Swobodne krawędzie otworów należy zbroić wg rys 1, a w przypadku zastosowania wieńców wg rys. 1a.

Należy tylko zastosować dodatkowe zbrojenie ostrych naroży otworów pokazanego na rys. 9

Rys.9. Dozbrojenie naroży otworu w płycie

Płyty ze zbrojeniem rozproszonym

Zbrojenie rozproszone płyt stosowane jest głównie w płytach fundamentowych i posadzkach.

Zbrojenie rozproszone z powodzeniem zastępuje klasyczne zbrojenie wkładkami lub siatkami stalowymi. Obecnie włókna stalowe mogą być stosowane jako jedyne zbrojenie lub w połączeniu z klasycznym zbrojeniem w następujących zastosowaniach (na przykładzie Arcelor Mittal)

We wszystkich tych zastosowaniach zastosowanie włókien stalowych  daje zabezpieczenie przed pękaniem skurczowym i pozwala elementowi z betonu zbrojonego włóknami stalowymi osiągnąć pełną ciągliwość, nawet jeśli zwykły beton jest kruchym materiałem.

Wytrzymałość równoważna fibrobetonu

W praktycznym projektowaniu płyt i belek zginanych , zbrojonych fibrobetonem, wygodnie jest posługiwać się nową kategorią wytrzymałościową kompozytu fibrobetonowego, a mianowicie  wytrzymałością równoważną  $f_{ctm,eq}$, którą wyznacza się w próbie wytrzymałościowej na belkach normowych, pokazanych na rys. 10. W próbie  określa się odporność na pękanie przy zginaniu. Zginanie wykonuje się dwiema siłami (w ⅓ rozpiętości działa stały moment zginający), z jednoczesnym pomiarem siły i ugięcia belki, przy czym rozpiętość odpowiada trzykrotnej wysokości belki. Miarodajne badania równoważnej wytrzymałości na zginanie wymagają wysokiej precyzji pomiaru ugięć m.in. poprzez zastosowanie zamocowania miernika ugięcia w linii wyjściowego położenia osi obojętnej belki.

Na rys. 11 pokazano sposób odczytywania $f{ctm,eq}$ ( w skrócie $f{eq})$.

Aby ocenić efektywność zbrojenia włóknami stalowymi wytrzymałość równoważną na zginanie. porównuje się z wytrzymałością na rozciąganie przy zginaniu betonu bez włókien $f_{ctm, fll}$ ( w skrócie $f_{fl}$) $(\ref{f_fl})$.

 

Rys.10. Schemat próby do badania wytrzymałości równoważnej fibrobetonu

(Glinicki, 2008)

Rys.11. Reprezentacja graficzna wytrzymałości równoważnej fibrobetonu

(Glinicki, 2008)

Znaczący wpływ na wytrzymałość równoważną przy danej klasie betonu belki, ma zawartość włókien stalowych $W_f$, ich  smukłość $l/d$  (l, d – długość  i średnica włókna) oraz  przyczepność do betonu (kształt haczyków), przy czym liczne badania doświadczalne potwierdzają liniową zależność dla zawartości włókien (15 do 40 )kg/m3, którą dla betonu  C30/37  można zapisać w postaci (Glinicki, 2008):

$$\begin{equation} f_{eq}= 0.73+1.027⋅10^{-3} W_f \cdot (l/d) \end{equation}$$

Zwiększanie zawartości włókien stalowych w fibrobetonie jest ograniczone technologicznie z powodu negatywnego wpływu włókien na konsystencję mieszanki betonowej. Ograniczony jest też wzrost wytrzymałości fibrobetonu wraz ze wzrostem zawartości włókien.

Znaczący wpływ  na wytrzymałość równoważną na zginanie ma też klasa betonu . Na podstawie badań przeprowadzonych w Belgii w tab.9   przedstawiono dane charakteryzujące fibrobeton z włóknami stalowymi haczykowatymi o długości l=60mm i średnicy d=0,75mm.

Tab.9 Wpływ dozowania włókien stalowych haczykowatych l=60mm, d=0,75mm (RC-80/60-BN)  na średnią wytrzymałość równoważną na zginanie  $f_{eq}$  przy różnych klasach betonu (Glinicki, 2008) i średniej wytrzymałości na rozciąganie przy zginaniu $f_{fl}$

Pojęcie wytrzymałości równoważnej fibrobetonu wykorzystuje się przy powszechnie przy obliczeniach wytrzymałościowych płyty zbrojonym włóknem rozproszonym w szczególności posadowionych na podłożu odkształcalnym.

Metody obliczania płyt z fibrobetonu

Klasyczna metoda sprężysta

Klasyczne programy komputerowe umożliwiają uzyskanie rozwiązania sprężystego płyty dowolnie obciążonej o dowolnych warunkach brzegowych , w tym położonych na sprężystym podłożu Winklera jedno lub dwukierunkowym.

Oszacowania  uzyskane z programów są znacznie dokładniejsze od analitycznych oszacowań metody Oszacowania  uzyskane z użyciem MES są znacznie dokładniejsze od analitycznych oszacowań metody od powszechnie stosowanej metody

Knauff, M., Golubińska, A., & Knyziak, P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN.
Starosolski, W. (2013). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych, T 2 (Vol. 3). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
Zybura, A. (Ed.). (2015). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2: atlas rysunków. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN SA.
Glinicki, M. A. (2008). Wytrzymałość równoważna fibiobetonu na zginanie. Inżynier Budownictwa, (styczeń 2008).
. Metodę Westergaarda należy uznać za historyczną i niezalecaną. Dotyczy to również klasycznych metod obliczania naprężeń w półprzestrzeni sprężystej i podłożu uwarstwionym Boussinesqa, Odemarka, Burmistera.

Warunek klasycznej metody sprężystej można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} M_{Ed,el } \le M_{Rd.el}  \label{w_el}\end{equation}$$

gdzie: $M_{Ed,el}$ obliczeniowy, płytowy moment zginający uzyskany z rozwiązania płyty traktowanej jako liniowo sprężystą

$M_{Rd,el}$ nośność sprężysta przekroju betonowego płyty obliczona z zależności

$$\begin{equation} M_{Rd,el}=M_{R(-)} = W_{el} \cdot f_{ctm, fl}  \label{M_Rfl} \end{equation}$$

gdzie: $W_{el} = \cfrac {h^2}{6}$ – wskaźnik wytrzymałości sprężystej przekroju płyty o szerokości jednostkowej,

$f_{ctm, fl}$ – wytrzymałość betonu na rozciąganie przy zginaniu, którą należy przyjmować zgodnie z (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, wzór(3.23)):

$$\begin{equation} f_{ctm,fl}=f_{ctm} \cdot ( 1,6 – h/1000) \label{f_fl} \end{equation}$$

gdzie:
$f_{ctm}$ -średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie osiowe,
h- wysokość przekroju ( w tym przypadku grubość płyty).

Nośność $M_{R(-)}$ $(\ref {M_Rfl})$ jest tylko częścią nośności płyty zbrojonej włóknem rozproszonym.

W przypadku płyty ułożonej na podłożu odkształcalnym i zbrojonej siatką blisko dolnej powierzchni nośność płyty wynosi

$$\begin{equation} M_{R(+) siatka}=0,95 \cdot A_s f_y \cdot d  \label{M_siatka} \end{equation}$$

gdzie:
$A_s$, $f_y$ – powierzchnia i wytrzymałość stali
$d$ – efektywna wysokość.

Współczynnik 0.95 jest zastosowany, ponieważ zbrojenie jest małe.

Płytę z siatką tylko blisko górnej powierzchni, należy traktować jak niezbrojoną.

Podejście sprężyste jest bardzo konserwatywne. Liczne badania doświadczalne wymienione w pracy (Hajduk, 2013) wskazują, że podejście sprężyste (także wzory Westergaarda) dają znaczne (3 do 4,5 raza)  niedoszacowanie nośności płyty zbrojonej włóknami rozproszonymi.

Metoda plastyczna (linii załomów)

Dwukrotnie bardziej zbliżone do badań doświadczalnych wyniki można uzyskać stosując metodę nośności granicznej/plastycznej  (linii załomów), o której poniżej. Zasadnicza różnica  w nośności  fibrobetonu i betonu bez włókien wynika z ciągliwości materiału zbrojonego włóknami, umożliwiającej powstanie przegubów plastycznych w miejscach rys i redystrybucję momentów zginających.

Metoda linii załomów w zastosowaniu do płyt fibrobetonowych

Teoria linii  załomów płyt jest przedmiotem artykułu Nośność plastyczna konstrukcji . Zasady tam wyłożone stosujemy również do płyt żelbetowych.

Promień względnej sztywności Westregaarda oraz współczynnik $\lambda$

Za miarę sztywności płyty zbrojonej włóknem rozproszonym przyjmuje się tzw promień względnej sztywności płyty $l$ wyznaczony ze wzoru

$$\begin{equation} l=\sqrt[4]{\cfrac{E_{cm} h^3}{12(1-\mu^2)k}}=k_{\mu} \cdot \sqrt[4]{\cfrac{E_{cm} h^3}{12 k}} \end{equation}$$

gdzie: $k_{\mu}=\cfrac {1}{\sqrt[4]{1-\mu^2}} $

Promień względnej sztywności płyty można wyznaczyć z nomogramu – rys. 12 dla sztywności podłoża od 0,02 do 0,5 $N/mm^3$

Rys. 12. Nomogram do wyznaczania promienia względnej sztywności płyty

W EC2 współczynnika Poissona betonu przyjęto o wartości $\mu=0.2$ dla którego $ k_{\mu}=1,01026$. Nomogram sporządzono dla $\mu=0,15$ dla którego ($k_{\mu}=1,0057$. Dla betonu z $\mu=0.2$ wartość odczytaną z nomogramu wartość promienia należy powiększyć mnożnikiem 1,005.

W wyrażeniach na wytężenie lub nośność płyty występuje też współczynnik $\lambda$ zdefiniowany jako

$$\begin{equation} \lambda=\sqrt[4]{\cfrac{3k}{E_{cm} h^3}}=\cfrac{k_{\mu}}{ \sqrt{2}} \cdot \cfrac{1}{l} \label{lambda} \end{equation}$$

Nośność płyty fibrobetonowej bez zbrojenia prętami

Blok naprężeń i odkształceń w przekroju płyty zbrojonej fibrobetonem bez zbrojenia prętami pokazano na rys. 13.

Rys. 13 Blok naprężeń i odkształceń w przekroju fibrobetonowym bez z brojenia prętami

Nośność dolnego włókna przekroju (moment dodatni) (+) wynosi (Technical Report No 34, 4th Edition, 2003, rys 6.2.):

$$\begin{equation} M_{R(+)}=  h^2 \cdot (0,28 \sigma_{r4}+0,16 \sigma_{r1}) \end{equation}$$

gdzie:

$\sigma_{r1}=0,45 f_{ctm,eq,50}$

$\sigma_{r4}=0,37 f_{ctm,eq,350}$

$f_{ctm,eq,50}$ = naprężenia w próbce przy ugięciu 0,5 mm

$f_{ctm,eq,350}$ = naprężenia w próbce przy ugięciu 3,5 mm

Przy założeniu, że $f_{ctm,eq,50}=f_{ctm,eq,350}=f_{ctm,eq}$ mamy:

$$\begin{equation}  M_{R(+)}=  h^2 \cdot (0,28 \cdot 0,37 + 0,16 \cdot 0,45 ) \cdot f_{ctm,eq}=1,054 \cdot \cfrac {h^2}{6 } f_{ctm,eq} \approx W_{el} \cdot f_{ctm,eq} \label{M_Rfq} \end{equation}$$

Nośność płyty fibrobetonowej zbrojonej hybrydowo (również prętami)

Nośność płyty fibrobetonowej zbrojonej hybrydowo (również prętami, kołkami lub sitakami) omówiono w opracowaniu  (Technical Report No 34, 4th Edition, 2003). Podano tam również nośności na ścinanie , w tym przy przebiciu.

Mechanizmy zniszczenia plastycznego płyty z fibrobetonu i nośności płyty

Rozpatruje się trzy przypadki położenia siły pokazane na rys,.13: wewnątrz płyty, na brzegu i w narożu.

Rys.13 Trzy przypadki położenia siły na płtycie z fibrobet

(Technical Report No 34, 4th Edition, 2003, rys 7.3.)

Pojedyńcza siła skupiona

W przypadku pojedynczej siły wewnątrz płyty mechanizmy zniszczenia plastycznego pokazano na rys.14

Rys.14 Mechanizm zniszczenia płyty z fibrobetonu pod jedną siła skupioną

(Technical Report No 34, 4th Edition, 2003, rys 7.2.)

 

Poniżej wprowadzono oznaczenie

$$\begin{equation} \Sigma M_R=[ M_{(R+)}+M_{(R-)} ] \approx W_{el}\cdot(f_{ctml,fl}+f_{ctml,eq} \end{equation}$$

gdzie uwzględniono zależności na:

$M_{(R-)}$  nośność płyty, mierzoną ujemnym (rozciągającym górne włókna płyty) momentem tak jak  dla płyty bez zbrojenia – wzór $( \ref {M_Rfl})$,

$M_{(R+)}$ nośność płyty, mierzoną dodatnim (rozciągającym dolne włókna płyty) momentem tak jak  dla płyty ze zbrojeniem rozproszonym – wzór $( \ref {M_Reql})$.

W zależności od położenia pojedynczej siły skupionej,  od zastępczej średnicy docisku $a$ a także  promienia względnej sztywności$l$ nośności mierzone siłą F wynoszą (Technical Report No 34, 4th Edition, 2003):

  • siła w środkowym obszarze płyty

a/l=0 (teoretyczna siła skupiona)

$$\begin{equation} F_R=2\pi \Sigma M_R \end{equation}$$

a/l>0,2 (rzeczywista siła skupiona)

$$\begin{equation} F_R= \cfrac {4 \pi} {1- \tfrac{a}{3l}} \cdot  \Sigma M_R\end{equation}$$

  • siła na brzegu płyty

a/l=0

$$\begin{equation} F_R= \cfrac{\pi}{2} \cdot \Sigma M_R +2M_{(R-)} \end{equation}$$

a/l>0,2

$$\begin{equation} F_R= \cfrac{ \pi \Sigma M_R +4M_{(R-)}}{ 1- \tfrac{2a}{3l}} \end{equation}$$

  • siła w narożu płyty

a/l=0

$$\begin{equation} F_R= 2M_{(R-)} \end{equation}$$

a/l>0,2

$$\begin{equation} F_R=\cfrac {4M_{(R-)}}{1- \tfrac{a}{l}} \end{equation}$$

Dla pośrednich wartości $a/l$ można prowadzić interpolację.

Jeżeli odległość $x$ pomiędzy przyłożonymi siłami jet mniejsza od podwójnej grubości płyty h (x<2h), to przyjmuje się, że siły są zlokalizowane w tym samym miejscu.

Ograniczeniem stosowalności tej metody wymiarowania posadzek fibrobetonowych jest wymaganie takiej efektywności zbrojenia włóknami, aby spełniony był warunek $f_{ctm,eq}$ > 0,30 $f_{fl}$,

gdzie $f_{ctm,fl}$ jest wartością naprężenia rozciągającego odpowiadającego maksymalnej sile zginającej podczas testu z rys. 9.

Dwie  siły skupione 

W przypadku dwu lub czterech sił skupionych mechanizmy zniszczenia plastycznego przyjmuje się według rys. 15.

Rys.15 Mechanizm zniszczenia dla: a) dwóch, b) czterech sił skupionych

Dla dwóch sił rozstawionych w odległości $x <2h$ stosujemy podejście jak dla pojedynczej siły o zsumowanej wartości z obu sił.

Przy $x\ge 2h$nośności wynoszą:

$a/l=0$

$$\begin{equation} F_0= [2 \pi+(1,8 x/l) ][M_{R(+)}+ M_{R(-)} ] \end{equation}$$

$a/l \ge 0,2$

$$\begin{equation} F_{0,2} = \left [ \cfrac{4 \pi}{1-\tfrac {a}{3l}}+\cfrac{1,8x}{l-\tfrac{a}{2}}\right ][M_{R(+)}+ M_{R(-)} ] \end{equation}$$

Z wyrażeń tych wynika, że przy zbliżających się siłach obciążenie graniczne zbliża się do sumy granicznych obciążeń od pojedynczych sił.

Gdy podwójna siła zbliży się do naroża płyty, wówczas nośność graniczna powinna być pomnożona przez współczynnik zmniejszający analogicznie jak przy pojedynczych siłach.

Cztery siły skupione

Dla czterech sił rozstawionych w odległości $x $ oraz $y$  nośność jest mniejszą z wartości: 1) suma nośności czterech sił pojedynczych, 2) suma nośności  dwóch sił podwójnych , lub 3):

$a/l=0$

$$\begin{equation} F_0= [2 \pi+(1,8 (x+y)/l) ][M_{R(+)}+ M_{R(-)} ] \end{equation}$$

$a/l \ge 0,2$

$$\begin{equation} F_{0,2} = \left [ \cfrac{4 \pi}{1-\tfrac {a}{3l}}+\cfrac{1,8(x+y)}{l-\tfrac{a}{2}}\right ][M_{R(+)}+ M_{R(-)} ] \end{equation}$$

Obciążenie równomiernie rozłożone

W przypadku obciążenia płyty nieustalonym (losowym) układem równomiernie rozłożonego obciążenia, maksymalny moment zginający w płycie jest spowodowany:

a) przez obciążenie o szerokości π / 2λ pokazane na rysunku 16a. dla momentu dodatniego, b) przez dwa pasma o szerokości π / λ pokazane na rys. 16 b dla momentu ujemnego. Parametr $\lambda$ zdefiniowano wzorem $(\ref{lambda})$.:

 

Rys.16. Układ obciążęnia równomiernego realizujący maksymalny monet:  a) dodatni, b) ujemny

Maksymalny  momentu ujemny  (rozciągajacy górne  włókna) wystąpi pomiędzy pasmami obciążenia jak na rys. 16b , a nośność płyty wyniesie:

$$\begin{equation}  q_R=5,95 \cdot \lambda^2 \cdot M_{R(-)} \end{equation}$$

gdzie $M_{R(-)}$ jest nośnością płyty bez zbrojenia $(\ref {M_Rfl})$.

Obciążenie liniowe

W przypadku obciążenia liniowego (np od ściany) nośność płyty fibrobetonowej wynosi

$$\begin{equation}  q_R=4 \cdot \lambda\cdot M_{R(-)} \end{equation}$$

Wartości obliczeniowe nośności oblicza się dla obliczeniowych wartości wytrzymałości betonu i stali. Powyżej podano wartości charakterystyczne.

Wybrane typu zbrojenia rozproszonego

Spośród wielu typów zbrojenia rozproszonego przedstawimy dwa: DRAMIX i ArcelorMittal

Włókna DRAMIX

Na rys. 15 przedstawiono najczęściej stosowane włókna Dramix.

Rys.15 Asortyment włókien DRAMIX

Na rys. 16 zestawiono własności wytrzymałościowe fibrobetonu zbrojonego włóknem Dramix 80/60

Rys.17 Parametry wytrzymałościowe fibrobetonu zbrojonego włóknem Dramix 80/60

Na rys. 17 zestawiono podawane przez producenta wytrzymałości równoważne fibrobetenu wykonanego z betonu klasy C20/25 do C40/45 o podanej wytrzymałości na rozciąganie przy zginaniu $f_{ctml,fl}$. Wytrzymałość równoważna $f_{ctm,eq,150}$ jest średnią wytrzymałością równoważną dla ugięcia 1,5 mm, a $f_{ctm,eq,300}$ dla ugięcia próbki 3,0 mm.

Włókna ArcelorMIttal

Arcelor Mittal nośności fibrobetonu zbrojonego włóknami swojej produkcji podaje w wartości obciążenia punktowego $q_R$ w kombinacji z ruchem kołowym 6 kN/m2. (rys. 18). Obciązenie równomierne $Q_R$ nawet o wartości 80 kN/m2 nie jest wymiarujące.

Rys.18. Obciążenia posadzki zbrojonej włóknami Arcelor Mittal

(ArcelorMIttal, 2015)

Dobór posadzki jest dokonywany z nomogramów pokazanych na rys. 19

Rys.19. Nomogramy do projektowania posadzek zbrojonych włóknami ArcelorMIttal: TABIX i HE

(ArcelorMIttal, 2015)

Podstawowe dwa rodzaje posadzek przemysłowych zbrojonych włóknami ArcleorMittal, to:

TAB-Fiber  – posadzka nacinana: beton C25/30; odległość między nacięciami 6 m;  podbudowa :  kruszywo  z 1x folia PV

TAB-Floor – posadzka bezspoinowa: beton C25/30; odległość między dylatacjami 30 m; podbudowa :  kruszywo  z 2x folia PV

Posadzki Arcelor Mittal należy ułożyć na zagęszczonym podłożu gruntowym :
stosunek modułów sprężystości  E2/E1=2,2, moduł sprężystości wtórny: E2= 100 MN/mm2

Nomogramy sporządzono dla współczynnika sprężystości podłoża k=0,083 N/mm3

Przykłady rachunkowe

Przykład 1 [ posadzka fibrobetonowa]

 

Literatura

ArcelorMIttal. (2015). Włókna stlowe . Posadzki Przemysłowe (Distribution Solutions. Wire Solutions).
Glinicki, M. A. (2008). Wytrzymałość równoważna fibiobetonu na zginanie. Inżynier Budownictwa, (styczeń 2008).
Hajduk, P. (2013). Projektowanie podłóg przemysłowych. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
Knauff, M., Golubińska, A., & Knyziak, P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN.
PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
Starosolski, W. (2013). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych, T 2 (Vol. 3). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
Technical Report No 34,  4th Edition. Concrete Industrial Ground  Floors - A quide to theit Swsign an Construction (2003). UK  Camberley: The Concrete Society. Retrieved from http://freeit.free.fr/Pour%%20Pierre/TR34%%20-%%20Concrete%%20Industrial%%20Grou%%20-%%20Concrete%%20Society%%20Working%%20Party.pdf
Zybura, A. (Ed.). (2015). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2: atlas rysunków. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN SA.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

*

Translate »