Elementarz niezawodności konstrukcji. Przykłady

Niniejszy artykuł stanowi Część 5  cyklu Elementarz niezawodności konstrukcji. W całym cyklu artykułów zachowano ciągłość numeracji:  wzorów i ilustracji. Numeracja rozdziałów jest odrębna dla każdej części.

Zamieszczono wybrane przykłady rachunkowe obliczenia niezawodności konstrukcji budowlanych z wykorzystaniem dyskretnych modeli niezawodnościowych mieszanych. Rozważono: rozciągany pręt żelbetowy, kratownicę statycznie wyznaczaną oraz ramę sprężysto-plastyczną w granicznym stanie plastycznym, a także inne bardziej zaawansowane zagadnienia.

Pracę opatrzono wnioskami, ważnymi dla Konstruktora i Architekta obiektów budowlanych.

Przykłady rachunkowe

Rozciągany pręt żelbetowy

Sprawdzić bezpieczeństwo rozciąganego pręta żelbetowego o długości $L=6 m$. Zbrojenie pręta zaprojektowano zgodnie z normą (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008) wariantowo: A z 4-ch prętów, B z 8-miu prętów (o mniejszych średnicach). W zadaniu nie są istotne konkretne średnice prętów, ale stwierdzenie, że w każdym przypadku spełniono wymagania normowe, czyli projekt wykonano dla  wymaganego przez normę (PN-EN 1990, 2004) wskaźnika niezawodności :

$\beta_{global}=3,8 $.

Granica plastyczności prętów zbrojeniowych jest oznaczana na próbkach długości

$L_0=30 cm$

jako kwantyl 5%, czyli prawdopodobieństwo zniszczenia próbki wynosi

$p_{si}=0,95$

Rozwiązanie:

Wymagana niezawodność  pręta, mierzona prawdopodobieństwem zniszczenia, wynosi:

$p_s=\Phi(-\beta_{global})=\Phi(-3,8)=0,999927652$,  (53)

Pręt jest zbrojony  prętami w liczbie

Wariant  A: $m_A=4$ ;  Wariant B: $m_B=8$,

a każdy z prętów jest złożony z

$n=\dfrac {L} {L_0}=\dfrac {600}{30}=20$ elementów połączonych szeregowo.

Pręt żelbetowy  jest strukturą z ogólnym rezerwowaniem, której model pokazano na rys. 98 i którą opisuje wzór (27) w artykule  Złożone struktury niezawodnościowe.
Ze wzoru (27) obliczamy niezawodności systemu w poszczególnych wariantach liczby prętów:

Wariant A: $p_s=1-(1-0,95^{20})^4=0,831$
Wariant B: $p_s=1-(1-0,95^{20})^8=0,971$,

czyli w obu wariantach o kilka  rzędów za małe od wymaganego (40). Przy tym zbrojenie prętami o mniejszej średnicy, ale  większej liczbie w wiązce zwiększa niezawodność systemu. W przykładzie uzyskaliśmy wzrost niezawodności mierzonej prawdopodobieństwem przeżycia o ok. 17%.

W celu uzyskania wymaganej niezawodności pręta, potrzebną niezawodność elementów (odcinków zbrojenia)  dla bardziej korzystnego wariantu B można wyznaczyć z równania:

 $0,999927652=1-(1-p_{si}^{20})^8$.

Z rozwiązania tego równania uzyskano  $p_{si}=0,982$, co daje współczynnik tolerancji ok. 2,10, a nie 1,64 jak dla normowego kwantyla 5% charakterystycznej wytrzymałości (granicy plastyczności) stali. W w celu utrzymania niezawodności pręta na poziomie (36) należałoby istotnie zwiększyć nośność prętów zbrojeniowych poprzez zwiększenie ich przekroju lub klasy stali. Wymiarowanie pręta z warunku $\beta \le 3,8$ nie jest przedmiotem niniejszego przykładu, ale prowadzone wyliczenia pokazały  ważną okoliczność:

Projektowanie konstrukcji bez uwzględnienia struktury niezawodnościowej jest zawodne i to również wówczas, gdy jest prowadzone metodą stanów granicznych z częściowymi współczynnikami bezpieczeństwa.

Niestety w europejskich normach projektowania nie uwzględnia się pokazanych wyżej mechanizmów niezawodnościowych.

Kratownica statycznie wyznaczalna

Zaprojektować kratownicę pokazaną na rys. 10  , tak by jej niezawodność mierzona wskaźnikiem Hasofera-Linda wynosiła   β =3,8.

Rys.10. Schemat kratownicy statycznie wyznaczalnej – niezawodnościowy system szeregowy (do przykładu 3.2)

Rozwiązanie zadania podano w odrębnym artykule: 

PDFx35 [PDF]   Dobór elementów struktury konstrukcyjnej szeregowej z warunku wskaźnika niezawodności dla normalnego, lognormalnego, Weibulla i Gumbela rozkładu granicy bezpieczeństwa.
 

Sprężysto-plastyczna rama portalowa

Zaprojektować ramę pokazaną na rys. 11 , tak by jej niezawodność mierzona wskaźnikiem Hasofera-Linda wynosiła   β =3,8.

Rys.11. Schemat ramy statycznie niewyznaczalnej – niezawodnościowy system mieszany (do przykładu 3.4)

Rozwiązanie zadania podano w odrębnym artykule: 

PDFx35 [PDF]  Dobór elementów złożonej struktury konstrukcyjnej z warunku wskaźnika niezawodności .

Zastosowano klasyczne podejście teorii nośności plastycznej, a także najprostsze oszacowania granic niezawodności systemu niezawodnościowego.

Kratownica Ditlevsen-Madsen

Minimalne ścieżki i cięcia

Przykład wyznaczenia minimalnych ścieżek i cięć konstrukcji przestawimy za pracą (Ditlevsen, Madsen, 1996)

Na rys. 12 pokazano kratownicę Ditlevsen-Madsen.

Kratownica Ditlevsen-MadsenRys.12. a) schemat kratownicy Ditlevsen-Madsen z jednym stopniem statycznej niewyznaczalności, b) sześć podstawowych kratownic – minimalnych cięć, które pozostają geometrycznie niezmienne, ale statycznie wyznaczalne (Ditlevsen, Madsen, 1996)

Terminologia ” minimalne ścieżki ” i ” minimalne cięcia” są zapożyczone z teorii układów elektrycznych. Awaria układu odpowiada sytuacji, gdy wszystkie przyłącza są krojone na funkcjonowanie System odpowiada sytuacji, w której co najmniej jedno z połączeń pracuje.

Kratownica Ditlevsen-Madsen składa się z 10. elementów {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Kratownice podstawowe (1) do (6) uzyskano poprzez usunięcie odpowiednio pręta: 1, 2, 3, 4,5, 6, to znaczy są to wszystkie możliwe schematy geometrycznie niezmienne.

Usunięcie pręta 7,8, 9 lub 10  prowadziłoby do ustroju geometrycznie zmiennego (mechanizmu)  i nie spełnia podstawowego warunku systemu konstrukcyjnego, a także wymogu dla minimalnej ścieżki elementów w konstrukcji budowlanej. Również usunięcie kolejnych prętów w schemacie (1) do (6) zamieniłoby konstrukcję budowlaną w konstrukcję mechaniczną (mechanizm, czyli system o jednym stopniu swobody).

Minimalne ścieżki

Minimalne ścieżki kratownicy Ditlevsen-Madsen, obrazują schematy (1) do (6) na rys 11. Odpowiadające zbiory elementów można zapisać następująco:

minimalne ścieżki:
$\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
$\{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
$\{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
$\{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
$\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$
$\{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10\}$
 (54)

Każdy z tych systemów jest układem szeregowym z punktu widzenia niezawodności, zawierającym po n9-ć elementów (prętów).

Te minimalne ścieżki są pomiędzy sobą równolegle połączone z punktu widzenia niezawodności.

Minimalne cięcia

Ponieważ elementy 7,8,9, 10 występują w każdej minimalnej ścieżce, to mamy cztery minimalne cięcia po jednym elemencie w każdym zbiorze:

{7}, {8}, {9}, {10}.

Każdy z pozostałych sześciu elementów:  1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 występuje po pięć razy we wszystkich minimalnych ścieżkach., to znaczy , ze wszystkie pozostałe zestawy minimalnych cięć mają dwa elementy  i pojawiają się w identycznych parach, a zatem istnieje $\dfrac {5 \cdot 6} {2}= 15$ minimalnych cięć z dwoma elementami, co zapiszemy następująco:

{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}.
Ostatecznie mamy 19. minimalnych cięć, które reprezentują system szeregowy z  19. oma elementami, z których 15. stanowi równoległe systemy z dwoma elementami. Ostatecznie mamy następujące minimalne cięcia

minimalne cięcia:
$\{7\} ,\{8\} ,\{9\} ,\{10\}, $
$\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{1,5 \}, \{1,6 \}, $
$\{2,3\}, \{2,4\}, \{2,5\}, \{2,6 \}, $
$\{3,4\}, \{3,6\}, $
$\{4,5\}, \{4,6\}, $
$\{5,6\}. $
 (55)

Oszacowania niezawodności

Przyjmijmy dość oczywiste założenie stowarzyszenia elementów (stowarzyszenia zapasów nośności poszczególnych prętów kratownicy), a następnie przyjmijmy, że elementy mają identyczną niezawodność r :

$r_i=r (i=1,…10)$

Najbardziej zgrubne oszacowanie dla elementów stowarzyszonych , ale bez znajomości minimalnych ścieżek i cięć wyznaczamy   z zależności (41)

$(r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 \cdot r_4 \cdot r_5 \cdot r_6\cdot r_7\cdot r_8\cdot r_9\cdot r_{10})=r^{10} \le r_s \le [1- (1-r_1)\cdot (1-r_2)\cdot (1-r_3)\cdot (1-r_4)\cdot (1-r_5)\cdot (1-r_6)\cdot (1-r_7)\cdot (1-r_8)\cdot (1-r_9)\cdot (1-r_{10})]=1- (1-r)^{10}$,  (56a)

Jeśli uwzględniamy znajomość minimalnych ścieżek (54) oraz minimalnych cięć (55), to zgodnie z (42b), mamy:

$ max \{r_2 r_3 r_4 r_5 r_6 r_7 r_8 r_9 r_{10} \, ; \, r_1 r_3 r_4 r_5 r_6 r_7 r_8 r_9 r_{10} \, ; \, r_1 r_2 r_4 r_5 r_6 r_7 r_8 r_9 r_{10} \, ; \, r_1 r_2 r_3 r_5 r_6 r_7 r_8 r_9 r_{10} \, ; \, r_1 r_2 r_2 r_3 r_4 r_6 r_7 r_8 r_9 r_{10} \, ; \, r_1 r_2 r_3 r_4 r_5 r_7 r_8 r_9 r_{10} \} = r^9\, \le \, r_s \, \le \,min \{ r_7+r_8+r_9+r_{10} – r_7 r_8 – r_7 r_9 – r_7 r_{10} \, ; \, ……. \}$  (56b)

Bikonstrukcja  (sprzężone dźwigary płaskie) – metoda uogólnionej korelacji

Na prostym przykładzie zespołu kratownic płaskich K1, K2 (prawa, lewa) (rys.13) sprzężonych stężeniami T1 (górne i dolne) oraz T2 (pionowe) przeanalizujemy wpływ stężeń  na niezawodności bikonstrukcji.

BikonstrukcjaRys.13. Bikonstrukcja: kratownice K1, K2 sprzężone stężeniami T1, T2

Analiza wpływu stężeń na nielosową nośność bikonstrukcji

Mechanizmy zniszczenia ustroju zależą o konfiguracji obciążeń. Dla dominujących obciążeń pionowych kratownice K1 i K2 są będą obciążone siłami pionowymi w węzłach pasów górnych.  W przypadku rozprzężenia mechanizm zniszczenia kratownicy K1 (lub K2) pokazano na rys. 14.

Zwichrzenie K1

Rys. 14. Mechanizm zniszczenia kratownicy K1 pod obciążeniami pionowymi (kratownica przed zniszczeniem – szara, po zniszczeniu -niebieska). Zniszczenie polega na utracie płaskiej postaci zginania.

Obraz z rys. 14 uzyskano dla kratownicy o wysokości 3 m, rozpiętości 5×3=15 m, obciążonej siłami skupionymi V=23 kN w każdym węźle górnym i równoważnymi siłami poziomymi od imperfekcji H=V/100=0,23 kN i po przeprowadzeniu  obliczeń  2-rzędu $P-\Delta$.

Dla prętów wykonanych z RP 200x100x5-S355 (większy wymiar rury w pionie), czyli o sztywności osiowej

$ EA=2,1 \cdot 10^5 \cdot 28,36 \cdot 10^{-4}=5,96 \cdot 10^2 MN$  (57)

(moduł Younga stali $E=2,1 \cdot 10^5 MPa$ ; pole przekroju dla RP 200x100x5: $A=28,36 cm^2$)

Obliczenia wykazały, że krytycznym punktem konstrukcji jest pas dolny przy podporze, który przy uwzględnieniu zjawisk niestateczności i innych warunków normowych (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) jest pod obciążeniem porównawczym V=23 kN wytężony w  90,9 %.
Oznacza to, że obciążenie można w zwiększyć o
1/90,9%=1,100
do wartości $V=1.1 \cdot 23=25,3 kN$, by wyczerpać nośność . Graniczny mnożnik obciążenia (nośność konstrukcji ) wynosi:

$\Lambda=1,10$,  (58)

Przemieszczenia końca wspornika wynoszą: pionowe $\delta_z= 22 mm$, a boczne $\delta_y=18 \cdot \delta_z$ przy 100x mniejszej sile poziomej. Skrócenie pręta (od spaczenia 2- rzędu ) wynosi $\delta_x= \dfrac{\delta_z} {10}$.

AllRys. 15. Sprzężone kratownice płaskie: a) stężeniem górnym T1, b) stężeniem czołowym T2, c) stężeniami T1+T2, d) stężeniami T1+T2+T1* (stężone dolne pasy).

W tab.2 zestawiono nośności  bikonstrukcji sprężonej stężeniami w układach z rys. 15.

Tab.2. Wpływ stężeń bikonstrukcji na jej nośność $\Lambda$
Tab1

Sprzężenie pasów górnych stężeniem T1 prowadzi do wzrostu nośności $\dfrac{2,0} {1,105} = 81%$. Natomiast sprzężenie czoła stężeniem T2 o 63%, a stężeniami T1+T2 o 94%. Sprzężenie pasów dolnych jest niekorzystne z powodu nadmiernego skrępowania bikonstrukcji.

Nośność  bikonstrukcji stężonej przez T1+T2 zwiększyła się dwukrotnie w stosunku do rozprzężonej kratownicy płaskiej. Należy zwrócić uwagę na to, że efekt taki uzyskano  przy obciążeniu każdego węzła identyczną siłą – to znaczy sumaryczne obciążenie bikonstrukcji jest dwa razy większe od obciążenie kratownicy płaskiej.

Korelacja konstrukcyjna i współczynnik korelacji

Wprowadzimy pojęcie korelacji konstrukcyjnej, analogicznie do korelacji funkcyjnej.

Współczynnik korelacji zmiennych losowych $X$ i $Y$ o wartościach oczekiwanych $\mu_x=E X$ i $\mu_y=E Y $ oraz odchyleniach standardowych $\sigma_x=\sqrt {Var X}$ i $\sigma_y=\sqrt {Var Y}$,  oraz kowariancji zmiennych $C_{xy} = Cov (X, Y) $, jest wartością oczekiwaną iloczynu standaryzowanych zmiennych  (Korn, 1983):

$\rho_{xy}= \rho \{X , Y \}= E \left \{ \dfrac {X-\mu_x}{\sigma_x} \cdot \dfrac {Y-\mu_y}{\sigma_y} \right\}= \dfrac {C_{xy }} {\sigma_x \cdot \sigma_y}$  (59)

Współczynnik korelacji określa siłę sprzężenia zmiennych i przyjmuje wartość w przedziale

$ -1 \le \rho_{xy}\le 1 $  (60)

Wartość $ \rho_{xy}=0 $oznacza brak związku (sprzężenia), a dla zmiennych rozłożonych normalnie – niezależność zmiennych. Dla  $ \rho_{xy} = 1 $ sprzężenie jest silnie dodatnie, to znaczy wzrost (lub zmniejszenie) $X$ najczęściej prowadzi do wzrostu (lub zmniejszenia)$Y$. Na odwrót dla  $ \rho_{xy}= – 1 $ relacja jest odwrotnie proporcjonalna.

Współczynnik korelacji (59) został zdefiniowany jako miara zależności liniowej i następnie został uogólniony na dowolną nieliniową zależność funkcyjną w zagadnieniach dopasowania danych doświadczalnych do formuł analitycznych (Melnyk, 1974) oraz uogólnionego modelu regresji (Cox, Hinkley, 2000), (Seber, Lee, 2003).

W analizie regresji $X_2$ jest zapisywana jako suma zmiennych losowych $g_y$ i $h_y$ (Korn, 1983):

$ Y = g_y(X)+h_y(X, Y)$,  (61)

gdzie  $h_y(X, Y)$ jest poprawką.

Konstrukcyjny współczynnik korelacji będziemy obliczać bezpośrednio z definicji (59), a charakterystyki probabilistyczne szacować numerycznie na teoretycznym modelu konstrukcji. Podobne podejście można stosować do symulacji eksperymentalnych.

W erze informatyzacji konstrukcje budowlane praktycznie wyłącznie oblicza się z użyciem programów komputerowych za pomocą algorytmów numerycznych, gdzie zależności analityczne nie są potrzebne. Funkcja $\varphi(x)$ jest określona za pośrednictwem macierzy sztywności, a zagadnienia nieliniowe statycznie są rozwiązywane iteracyjnie, gdzie  w każdym kroku rozwiązuje się zadanie liniowe. Statyczna liniowość nie oznacza liniowości probabilistycznej. Konstrukcje rzeczywiste są obarczone szeregiem imperfekcji geometrycznych (imperfekcje systemowe, czyli odchylenia węzłów od położenia nominalnego i imperfekcje lokalne, czyli wstępne wygięcia i skręcenia nominalnie prostych elementów prętowych i płytowych lub odchylenia od powierzchni nominalnej powłok, a także inne.

Momenty statystyczne (wartości oczekiwane, odchylenia standardowe oraz kowariancje i korelacje) losowych  zmiennych wyjściowych  (przemieszczenia, siły przekrojowe lub mnożnik nośności ) konstrukcji rzeczywistych wyznaczane są numerycznie. Do wyznaczenia parametrów statystycznych funkcji losowych wykorzystuje się dwie metody:ścisłą i linearyzacji, które przedstawiono w artykule Momenty funkcji zmiennych losowych. Metoda linearyzacji.

Wpływ stężeń T1 i T2 na niezawodność bikonstrukcji

Przenalizujemy wpływ stężeń T1 i T2 niezawodności bikonstrukcji, pokazanej na rys. 13. Przyjmiemy, że informacje o stężeniu o zadanym układzie geometrycznym są zintegrowane w jednej wejściowej zmiennej losowej X, którą jest sztywność osiowa pręta stężenia. Natomiast zmienną wyjściową $Y$ jest nośność konstrukcji $\Lambda$.

$ X=EA$,
$Y=\Lambda$
 (62a,b)

gdzie E jest modułem Younga, a A polem przekroju pręta, a $\Lambda$ jest mnożnikiem obciążenia przy którym konstrukcja przestaje spełniać warunki graniczne.

Rozważmy najpierw wpływ tylko stężeń T1.  Brak stężeń [rys.13 i nośność (58)] oznacza realizację bikonstrukcji ze stężeniami o zerowej sztywność (EA=0). W przypadku występowania stężeń o sztywności nominalnej (57) realizacje nośności bikonstrukcji zestawiono w tab.2. Dla tych dwóch punktów sporządzono nielosową zależność nośności konstrukcji od sztywności stężeń T1 i pokazano ją na rys. 16.

X-Y

Rys. 16 Zależność nośności konstrukcji $\Lambda$ od sztywności $EA$ stężeń T1

Funkcję stanu granicznego $Y=g(X)$ w tym przypadku opisuje prosta

$ Y=\varphi (X)=1,1+1,5 \cdot 10^{-3} X $,  (63)

W przypadku większej liczby punktów obliczeniowych dokładność wyznaczenia zależności  $EA \to \Lambda$ zwiększy się. Funkcję ciągłą w tych przypadkach zaleca się wyznaczać procedurami metody minimów kwadratów (metodami regresji) dla funkcji sklejanych z odcinków parabol. Procedura ogólna będzie przedmiotem innego opracowania. W tym przypadku wyznaczamy podstawowy tok postępowania i nie będziemy rozszerzać rozważań na okoliczności poboczne.

Parametry statystyczne zmiennej wejściowej X=EA, określimy na podstawie publikowanych wyników badań dla modułu Younga oraz pola przekroju profili stalowych (Mrazik, 1987):

moduł Younga E:  $\mu_E=2,1 10^5 MPa$; $v_E=1,5%$,
współczynnik zmienności długości ścianki:  $v_l=3%$
współczynnik zmienności grubości ścianki: $v_t=2%$
pole przekroju A:   $\mu_A= 28,36 cm^2$ ( z tablic producenta);  $v_A= \sqrt{4( 3^2\%+2^2\%)}=3,6\%$ (cztery ścianki rury prostokątnej)

sztywność EA:
$ (57) \to $ $\mu_{EA}=5,96 \cdot 10^2 \, kN $;
$v_{EA}=\sqrt{ 1,5^2+3,6^2}=3,6 \%$;
$\sigma_x=v_{EA} \cdot \mu_{EA}= 5,96 \cdot 10^2 \cdot 3,6 \%=0,215 \cdot 10^2 =21,5\, kN $,
Powyżej wyrażenia na współczynniki zmienności funkcji otrzymano w drodze linearyzacji, w sposób analogiczny jak pokazano niżej.

W celu zaprezentowania metody, parametry statystyczne funkcji (63) wyznaczymy metodą linearyzacji, mimo, że funkcja jest liniowa i możnaby wyznaczyć je z definicji.

$\varphi(x)^{‚} = \dfrac {\partial \varphi(X)}{\partial X}= 1,5 \cdot 10^{-3}$

$\sigma_y^2= [\varphi(0^{‚}]^2 \cdot \sigma_x^2=(1,5 \cdot 10^{-3})^2\cdot 70,3^2=7,4 \cdot 10^{-3}$

Postępując analogicznie wyznaczamy parametry losowe funkcji wspływu stężeń T2 na nośność bikonstrukcji

Literatura

Do niniejszej Części 5 artykułu

Cox, D. R., & Hinkley, D. V. (2000). Theoretical statistics. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC.
Ditlevsen, O., & Madsen, H. O. (1996). Structural reliability methods. Chichester ; New York: Wiley.
Korn, T., M. (1983). Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów (Vol. 1, 2). Warszawa: PWN.
Melnyk, M. (1974). Principles of applied statistics. New York: Pergamon Press.
Mrazik, A. (1987). Teoria Spolahlivosti ocelovych konstrukcii. VEDA Vydatelstvo slovenskej akadamie VIED.
PN-EN 1990. Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji (2004). UE: PKN.
PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
Seber, G. A. F., & Lee, A. J. (2003). Linear regression analysis (2nd ed). Hoboken, N.J: Wiley-Interscience.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum „Manufaktura” w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji „Cersanit” ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »