Elementarz niezawodności konstrukcji

Leszek Chodor,  23 maj 2014
18.06. 2016 ; 29-07-2026 dodanie przykładów
06.11. 2025  scalenie artykułów i naprawa po poważnej awarii portalu.

W przypadku nieczytelnych treści, proszę powiadomić: leszek@chodor.co

 W ciągu ostatnich 24 godzin z artykułu korzystało  2 Czytelników

Podstawowe miary niezawodności konstrukcji przedstawiono na przykładzie funkcji stanu granicznego z normalnym rozkładem prawdopodobieństwa.  Pokazano podstawowe właściwości systemów szeregowych, równoległych i mieszanych z punktu widzenia niezawodności. Dla systemów mieszanych (złożonych) podano oszacowania górne i dolne prawdopodobieństwa zniszczenia. Analizy zilustrowano przykładami liczbowymi. Sformułowano praktyczne wnioski ważne dla Projektanta konstruktora.

Elementarz niezawodności konstrukcji poprzedzono zestawieniem podstawowych pojęć i definicji teorii niezawodności konstrukcji, które będą potrzebne przy  analizie dyskretnych struktur niezawodnościowych. Podstawowe definicje i miary niezawodności konstrukcji podano dla funkcji stanu granicznego z normalnym rozkładem prawdopodobieństwa. W konstrukcjach budowlanych istotne numeryczne wyznaczanie wartości dystrybuant rozkładu normalnego w „ogonach rozkładu”, w których niezawodność  jest bardzo duża.

Bezpieczeństwo, a niezawodność konstrukcji

Bezpieczństwo

Bezpieczeństwo i niezawodność są podstawowymi pojęciami projektowania, realizacji i eksploatacji budowli. Powszechnie utożsamia się niezawodność z bezpieczeństwem. Wynika to stąd, że praktycznie nie wystąpi stan w kórym konstrukcja jest niezawodna, ale nie jest bezpieczna lub jest bezpieczna, ale nie jest niezawodna. W otoczeniu systemu lub osoby niezawodnej najczęściej czujemy się bezpiecznie. Jedynie w przypadku, gdy system niezawodnie chce wyrządzić krzywdę poczucie bezpieczeństwa znika. Bezpieczeństwo jest postrzeganiem subiektywnym, odczuciem. Niezawodność jest wielkością obiektywną i w zwykłych sytuacjach pociąga za sobą bezpieczeństwo.

Autor uważa, żę subiektywne stany bezpieczeństwa należy wprowadzić w niezawodnościowe kryteria jakości systemu; nadać im status specyficznego stanu granicznego – stanu bezpieczeństwa.
Stan bezpieczeństwa wystąpi obok klasycznego stanu nośności i stanu użytkowalności. Przyjmujemy, że zwiększenie niezawodności systemu, zmniejsza zagrożenie zewnętrzne, więc zwiększa bezpieczeństwo. Odwrotny związek będzie „egzotycznym” wyjątkiem. W normach [1], [2] definiuje się ścisłą zależność między docelowym poziomem niezawodności a konsekwencjami zniszczenia i kosztami zapewnienia bezpieczeństwa.
W prezentowanym podejściu słowa niezawodność i bezpieczeństwo są synonimami i są używane zamiennie, bo przyjmujemy, że oznaczają to samo pojęcie. W tym ujęciu zlepek słów bezpieczeństwo i niezawodność zawiera nadokreśloność i jest tautologią, która w naukach technicznych nie powinna mieć miejsca. Można co prawda skonstruować nieliczne przypadki, gdxie zwiększenie bezpieczeństwa prowadzi do zmniejszenia niezawodności działania, np.  system komunikacji działa niezawodnie w przypadku płynnego ruchu wszystkich pojazdów, ale w przypadku wyłamania się z zasad jednego pojazdu, zatrzymywany jest ruch całego systemu, czyli w imię zwiększenia bezpieczeństwa zmniejszamy niezawodność działania systemu na nieokreślony czas. Innym przykładem jest niezawodność oprogramowania, które współcześnie jest zmniejszane kosztem zwiększenia bezpieczeństwa  przed włamaniem „hakerów”. Zwróćmy jednak uwagę, że takie przykłady sa nieliczne i przy specyficznym rozumieniu niezawodności, jako niezakłóconego (niezawodnego) działania systemu w okreśłnej chwili czasu.

Jeśli jednak zdefiniujemy niezawodnośc szerzej, w dłuższym okresie czasu lub dla w większym obszarze, to stwierdzimy, że zwiększenie bezpieczeństwa zawsze działa w kierunku zwiększenia niezawodności i odwrotnie. Systemy są monotoniczne w szerszym aspekcie: zwiększenie niezawodności lub bezpieczeństwa jednego elemntu systemu, zwiększa niezawodność całego systemu.

Bezpieczeństwo w znaczeniu ogólnym oznacza brak zagrożenia życia i zdrowia ludzi oraz strat ekonomicznych, społecznych i ekologicznych w projektowanym czasie użytkowania [3]. Bezpieczeństwo jest stanem wolnym od wypadków lub strat [4]. Bezpieczeństwo jest uwolnieniem się od szkody lub zagrożenia. Stanem bezpiecznym jest stan , w którym nie jest niebezpieczne lub szkodliwie. Miejsce jest bezpieczne jeśli  jest wolne od szkód lub niebezpieczeństw. Urządzenie bezpieczeństwa – urządzenie do zapobiegania obrażeniom lub niebezpieczeństwu [5])

Frei [6] wyróżnia:

• stan braku bezpieczeństwa – wówczas gdy występuje duże rzeczywiste zagrożenie, a postrzeganie tego zagrożenia jest prawidłowe;
• stan obsesji występuje wtedy, gdy nieznaczne zagrożenie jest postrzegane jako duże;
• stan fałszywego bezpieczeństwa ma miejsce wówczas, gdy zagrożenie jest poważne, a postrzegane bywa jako niewielkie;

Stan bezpieczeństwa występuje wtedy, gdy zagrożenie zewnętrzne jest nieznaczne, a jego postrzeganie prawidłowe.

Murzewski (1989) [7] zaproponował rozdziału niezawodności i bezpieczeństwa z wykorzystaniem punktu obliczeniowego (R*,E*)= (R- wytrzymałość, E- obciążenia). Ponieważ jednak punkt oliczeniowy ()*jest punktem „sztucznym” zaproponowanym w pracy [8] w celach czysto numerycznych w przybliżonych procedurach wyznaczania indeksu niezawodności$\beta$ jako wielkość pomocnicza i wtórna, to ten punkt nie powinien służyć do zdefiniowania wielkości podstawowej, a propozycja Murzewskiego nie może być poprawna.

 Bezpieczeństwo objawia się akceptowalnym poziomem ryzyka utraty czegoś dla podmiotu szczególnie cennego – życia, zdrowia, pracy, szacunku, uczuć, dóbr materialnych i dóbr niematerialnych. Jego brak wywołuje niepokój i poczucie zagrożenia. Zagrożenie bezpieczeństwa powinny być przedmiotem działań zmierzających do ich likwidowania [9]. Bezpieczeństwo jest fenomenem psychologicznym, naturalną potrzebą człowieka i charakteryzuje stan psychiczny; jest inaczej postrzegane i definiowane w psychologii klinicznej, psychoanalizie, socjologii. Jest to stan emocji – poczucie bezpieczeństwa najczęściej wiąże się z pozytywnym nastrojem. Jest ważnym pojęciem w nauce pracy oraz w obronności.

Bezpieczeństwo w budonictwie dotyczy przede wszystkim życia i zdrowia pracownika budowlanego, użytkownika (mieszkańca lub pracownika), klienta) , ale także dóbr materialnych (obiektu, zgromadzonego towaru i wyrobów, dobytku, itd.). Przejawem stopnia bezpieczeństwa w obiekcie budowlanym jest katastrofa budowlana,  Przy braku  katastrof budowlanych możemy wnioskować, ze obiekt jest niezawodny (i bezpieczny).
Z definicji katastrofa budowlana to gwałtowne , niezamierzone zniszczenie obiektu budowlanego lub jego części. Nie jest katastrofą uszkodzenie elementu budowlanego nadającego się do naprawy, uszkodzenie lub zniszczenie urządzeń budowlanych jak również awaria instalacji

Statystyka katastrof budowlanych prowadzonych przez Główny Urząd Nadzoru Budowlanego wskazuje, że liczba katastrof w Polsce jest znacznie mniejsza od roku 2008, w którym osiągnięto szczyt (rys.2.)

Rys.1. Katastrofy budowlane w Polsce w latach 1996 do 2024 [10]

W 2024 roku najczęstszą przyczyna katastrof były zdarzenia losowe (82%). a w dalszej kolejności błędy podczas eksploatacji obiektu( (14%) i błędy podczas wznoszenia lub innych robót budowlanych (4%). Błędy podczas opracowania dokumentacji obiektu budowlanego wskazywano tylko w 2%. Katastrofie najczęściej ulegały budynki mieszkalne (39%), a następnie gospodarcze i inwentarskie (37%). Najczęściej ulegały katastrofie konstrukcje murowe (60%), drewniane (12%),a najrzadziej żelbetowe monolityczne (2%). Najczęściej ulegały awarii słupy, a następnie przekrycie.

Niezawodność

Niezawodność w znaczeniu ogólnym jest to zdolność konstrukcji do pełnienia projektowanych funkcji w określonym czasie eksploatacji. Zarówno konstrukcja, jak i oddziaływania środowiska, ale także kryteria oceny jakości konstrukcji (zdolności do wypełnienia zadanych funkcji), są losowe i mogą być zmienne w czasie. Konsekwencją tego jest to, że miarą niezawodności jest prawdopodobieństwo tego, że konstrukcja nie przekroczy określonych stanów granicznych w założonym okresie eksploatacji. Poziom niezawodności różnych stanów i różnych elementów może być różny. Różne poziomy niezawodności można przyjmować przy obliczaniu stanu nośności konstrukcji, inne, mniejsze w przypadku obliczania stanu użytkowalności. Różnice poziomów niezawodności powinny być brane pod uwagę w przypadku konstrukcji jako całość, natomiast niższe w przypadku poszczególnych elementów składowych ,co jest związane z budową systemu niezwodnościowego i szeregowych, równoległych lub mieszanych połączeń między elementami

W raporcie [11] przyjmuje się definicję, że bezpieczeństwo, to stan wolny od warunków, które mogą spowodować śmierć , uszkodzenie, choroby zawodowe, uszkodzenie lub utratę sprzętu lub mienia, lub szkodę dla środowiska.
Ta definicja spotkała się z dużą krytyką, przy czym największe kontrowersje sprawiało słowo „stan wolny”. Wprowadzano inne definicje, dopuszczające ryzyko  zamiast totalnego uwolnienia. Przyjmowano, że bezpieczeństwo wystąpi na akceptowanym poziomie ryzyka [12], a stąd krok do zrónia bezpieczeństwa z niezawodnością definiowaną jako 

$$ \begin{equation} R ( t ) = r = P r \{ t \ge \tau \\label{1} \end{equation} $

gdzie:
$R( t )$ – niezawodność jako zmienna czasu $t$,
$t$ – czas pracy bez uszkodzenia,
$ \tau$ – założony (lub wymagany) czas pracy bez uszkodzenia.

Z definicji  Niezawodność (ang reliability) systemów technicznych, w tym konstrukcji budowlanych, to własność obiektu mówiąca o tym, czy pracuje on poprawnie (spełnia wszystkie powierzone mu funkcje i czynności) przez wymagany czas i w określonych warunkach eksploatacji (w danym zespole czynników wymuszających). Miarą niezawodności obiektu jest prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia opisanego definicją($\ref{1A}$).

Definicje podstawowe

Stosować będziemy oznaczenia i definicje zgodnie z normami [13] oraz [1]:

• Element konstrukcyjny – fizycznie wyróżnialna cześć konstrukcji, np. słup, belka, płyta, pal fundamentowy,
• Konstrukcja – uporządkowany zespół połączonych ze sobą części, zaprojektowanych w celu przenoszenia obciążeń i zapewnienia odpowiedniej sztywności.
• Ustrój konstrukcyjny – elementy nośne obiektów budowlanych oraz sposób, w jaki te elementy ze sobą współpracują.
• Zgodność – spełnienie określonych wymagań,
• Niezawodność – zdolność konstrukcji lub elementu konstrukcyjnego do spełnienia określonych wymagań, łącznie z uwzględnieniem projektowanego okresu użytkowania na który została zaprojektowana. Niezawodność wyraża się zwykle miarami probabilistycznymi. Niezawodność obejmuje nośność, użytkowalność i trwałość konstrukcji,
• Klasa niezawodności konstrukcji – klasa konstrukcji lub elementów konstrukcyjnych, dla których wymagany jest określony stopień niezawodności,
• Oddziaływanie $F$  a) zbiór sił przyłożonych do konstrukcji (oddziaływania bezpośrednie), b) zbiór wymuszonych odkształceń lub przyspieszeń, zasadniczo spowodowanych innymi wpływami niż wymienionymi w pkt a)
• Efekt oddziaływania $E$ , efekt oddziaływań (lub oddziaływania) na element konstrukcji (np. siła wewnętrzna, moment, naprężenie, odkształcenie) lub na całą konstrukcję (np. ugięcie, obrót),
• $p_f$- prawdopodobieństwo zniszczenia,
• $p_s$ – prawdopodobieństwo przetrwania,
• $Prob \{.\}$ – prawdopodobieństwo,
• $g$- funkcja stanu granicznego,
• $\Phi$- funkcja rozkładu prawdopodobieństwa standaryzowanego rozkładu normalnego,
• $\beta$ – współczynnik niezawodności,
• $\mu_x$ – wartość średnia zmiennej losowej X,
• $\sigma_X$ – odchylenie standardowe zmiennej losowej X,
• $v_X$ – współczynnik zmienności zmiennej losowej X,
• $R$ – nośność,
• $E$ – obciążenie (efekt oddziaływania, np. siła osiowa w pręcie).

Przy oznaczeniach jak wyżej definiuje się pojęcia:

• równanie stanu granicznego
  

$$ \begin{equation} g = R – E = 0 \label{2} \end{equation} $$

lub przy zastosowaniu współczynnika niezawodności ($\ref{3}$)

$$ \begin{equation} g = \mu_g – \beta \cdot \sigma_g  = 0 \label{3} \end{equation} $$

• prawdopodobieństwo zniszczenia  

$$ \begin{equation} p_f=Prob \{g \le 0 \} \label{4} \end{equation} $$

lub przy zastosowaniu współczynnika niezawodności ($\ref{4}$)

$$ \begin{equation}   p_f=Prob \{ g \le \mu_g- \beta \sigma_g \} \label{5} \end{equation} $$

• prawdopodobieństwo przeżycia (sukcesu)

$$ \begin{equation} p_s = 1-p_f \label{6} \end{equation} $$

• współczynnik niezawodności  $\beta$, wynikający z równania stanu granicznego ($\ref{3}$)

$$ \begin{equation} \beta = \cfrac {\mu_g} {\sigma_g} \label{7} \end{equation} $$

Dla innych rozkładów $g$ niż normalny  $\beta$ jest tylko umowną miarą niezawodności.

• metoda p robabilistyczna – oznacza, że metodę analizy konstrukcji, taką, że jest tak zaprojektowana , aby prawdopodobieństwo zniszczenia $p_f$ nie przekroczyło granicznej wartości  $p_{f,lim}$ w określonym okresie czasu:

$$ \begin{equation} p_f \le p_{f,lim} \label{8} \end{equation} $$

• zawodność – jest związana z przejściem stanu granicznego od stanu pożądanego do stanu niepożądanego.
• system konstrukcyjny lub układ konstrukcyjny lub model konstrukcji – idealizacja ustroju konstrukcyjnego, stosowana w celu analizy, w tym przypadku analizy niezawodnościowej.
  
• zdarzenie, polegające na tym , że i-ty element systemu pracuje bez uszkodzenia,
  $\Omega_i$
• prawdopodobieństwo niezawodności i-tego elementu ( bezawaryjnej pracy elementu),
  $p_{si}=Prob\{ \Omega_i\}$
• zdarzenie, polegające na tym, że i-ty element ulegnie awarii (uszkodzeniu)
  $ \overline Omega_i$
• prawdopodobieństwo zniszczenia (awaryjności, zawodności, usterkowości, uszkodzenia ) i-tego elementu
  $p_{f_i}=Prob \{ \overline \Omega_i\}=1-p_{si} $.

Odpowiadające wielkości dla całego systemu będziemy oznaczać bez indeksu : $ \Omega$,c$p_s$, $\overline \Omega$, $p_f$ .

Niezawodność elementu

Prawdopodobieństwo $ p_{f_i}$  zniszczenia  i-tego elementu konstrukcji  (awaryjność) wynosi

$$ \begin{equation} p_{f_i} =Prob \{ R_i-E_i \}=Prob\{g_i<0\} \label{9} \end{equation} $$

Prawdopodobieństwo niezawodności (krótko nazywane niezawodnością) jest jest to prawdopodobieństwo przeciwne, czyli

$$ \begin{equation} p_{si} =1- p_{f_i}  \label{10} \end{equation} $$

Niezawodność może być też mierzona współczynnikiem niezawodności $\beta$, który jest  po prostu odmierany w innej skali i jest wprost przeliczalny z prawdopodobieństwa zniszczenia lub niezawodności:

$$ \begin{equation} \beta_i = \Phi^{-1} (p_{f_i}) \label{11} \end{equation} $$

 W powyższych wyrażeniach zastosowano symbole:
$R_i$ -nośność i-tego elementu,
$E_i$ -efekt oddziaływania w i-tym  elemencie (obciążenie)  – siła przekrojowa (siła osiowa, moment zginający, bimoment, itd)

Z probabilistycznego punktu widzenia można przyjąć, że element ma jedną określoną postać niespełnienia niezawodności.

Ustrój, czyli zbiór elementów  może mieć więcej niż jedną postać, a może także składać się z dwóch lub więcej elementów, charakteryzujących się jedną postacią niespełnienia.

Zakładamy, że  rozkład prawdopodobieństwa nośności
${\cal N}(\mu_{R_i},\sigma_{R_i})$
oraz obciążenia
${\cal N}(\mu_{E_i},\sigma_{E_i})$

są normalne z parametrami: wartość oczekiwana (średnia) $\mu_{R_i}$, $\mu_{E_i}$  i  odchylenie standardowe $\sigma_{R_i}$, $\sigma_{E_i}$ odpowiednio. Z własności addytywności rozkładu normalnego wynika, że w sposób ścisły również liniowa funkcja stanu granicznego (margines bezpieczeństwa)  ma rozkład normalny $ \cal N ( \mu_{g_i},\sigma_{g_i}) $ z parametrami:

 wartość średnia 

$$ \begin{equation} \mu_{g_i} = \mu_{R_i} – \mu_{E_i} \label{12} \end{equation} $$

odchylenie standardowe ( zgodnie z zasadą sumowania  kwadratów): 

$$ \begin{equation} \sigma_{g_i}^2=\sigma_{R_i}^2 + \sigma_{E_i}^2 \label{13} \end{equation} $$

Normalny rozkład prawdopodobieństwa, a współczynnik niezawodności

Na rys. 1 pokazano rozkład normalny zmiennej $X$. Kolorem żółtym oznaczono dystrybuantę dla wartości  $x$ tej zmiennej.

$$ \begin{equation} p=Prob \{X<x\}= \Phi_X(x)= \int \limits_{-\infty} \limits^x f_X dx \label{14} \end{equation} $$

Dystrybuanta jest  równa prawdopodobieństwu  tego , że zmienna X przyjmie wartości mniejsze od x.

Rys.1 Normalny rozkład prawdopodobieństwa.- funkcja gęstości $f_X(x)$

Wartość $x$  zmiennej $X$ o rozkładzie $\Phi_X$ nazywamy kwantylem rzędu $p$, gdzie  $0\le p<1$.  Oznacza to, że kwantylem rzędu $p$ jest taka wartość  $x$ zmiennej losowej $X$, że wartości mniejsze lub równe od $x$ są przyjmowane z prawdopodobieństwem co najmniej $p$, zaś wartości większe lub równe od $x$ są przyjmowane z prawdopodobieństwem co najmniej $1-p$.

Dystrybuantę rozkładu normalnego  zmiennej $X$ o wartości średniej  $\mu_X$ z odchyleniem standardowym $\sigma_X$  można  wyznaczyć w arkuszu kakulacyjnym  Excel  za pomocą polecenia:

$$ \begin{equation} F_N (x)={\small ROZKL.NORMALNY} (x ; \mu_X; \sigma_X; k ) \label{15} \end{equation} $$

gdzie: k jest parametrem o wartości k=1 w przypadku, gdy chcemy wyznaczyć dystrybuantę (rozkład skumulowany)  $\Phi_X $  i o wartości k=0 , gdy wyznaczamy funkcję gęstości (rozkładzie) $f_X$ w punkcie $X=x$.  

W dalszym ciągu będziemy potrzebować zarówno wartości dystrybuanty jak i funkcji gęstości rozkładu, a ponieważ wyznaczenie tych wartości w arkuszu kalkulacyjnym jest współcześnie podstawową umiejętnością , więc do techniki ($\ref{15}$) będziemy często odwoływać się, ale już bez wskazywania na funkcję Excela.   Z zależności ($\ref{15}$) wynika , że w celu otrzymania dystrybuanty  standaryzowanego rozkładu normalnego ${ \cal N }(0,1)$,  tj rozkładu zmiennej losowej o wartości oczekiwanej $\mu=0$ i odchyleniu standardowym  $\sigma=1$ dla wartości $x$ zmiennej $X$ należy użyć polecenia:

$$ \begin{equation} F(0,1)= {\small ROZKL.NORMALNY } (x ; 0 ; 1; 1)  \label{15} \end{equation} $$

W celu otrzymania wartości dystrybuanty dla dowolnego rozkładu normalnego ${ \cal N } (\mu,\sigma)$  ${ \cal N } (\mu,\sigma)$ (o danych  wartościach średniej $\mu$ i odchylenia standardowego $\sigma$ ), wystarczy znajomość rozkładu standaryzowanego ${ \cal N } (0,1)$, bowiem

$$ \begin{equation} \text{ jeśli  X  ma rozkład } \cal N  (\mu_X, \sigma_X) \to \cfrac {X- \mu_X} {\sigma_X} \text{ ma rozkład standaryzowany }  \cal N  (0, 1) \label{17} \end{equation} $$

Wyznaczenie dystrybuanty funkcją arkusza Excel jest bowiem wystarczająco dokładne również w zagadnieniach niezawodności budowlanych układów konstrukcyjnych, które charakteryzują się wysoką niezawodnością systemu, ale również elementów i potrzebą wyznaczania dystrybuanty w „ogonach” rozkładu prawdopodobieństwa.

Na znaczeniu straciły tablice rozkładu, dla inżynierów budownictwa, potrzebne dla zakresu dużych niezawodności.

Dla tych przypadków, w których należy przeprowadzić indywidualne obliczenia numeryczne bez możliwości wywołania funkcji arkusza Excel, na podstawie pracy [14] podajemy numeryczne formuły aproksymacyjne dystrybuanty  standaryzowanego rokladu normalnego ($\ref{15}$) :

Formuła wielomianowa:

$$ \begin{equation} \Phi(-t) \cong 1- \cfrac{1}{2} \small (+0,0498673470t + 0,0211410061t^2+0,0032776263t^3 + 0,0000380036t^4 +0,0000488906t^5+ 0,0000053830t^6)^{-16} \rm  \label{18} \end{equation} $$

z dokładnością 1,5 10^-7; dla t<0 zmienić  znak.

Formuła  odwrotności wyrazów wielomianu:

$$ \begin{equation} \Phi(-t) \cong\sqrt {\cfrac {1}{\pi}} e^{-\cfrac{t^2}{2}} \left ( \cfrac {0,3193815} {t_z}-\cfrac{0,3565638} {t_z^2} + \cfrac{1,7814779} {t_z^3} – \cfrac{1,8212560}{t_z^4}+\cfrac{1,33027448} {t_z^5}\right )  \label{19} \end{equation} $$

gdzie zmienna pomocnicza  ${ t_z = 1+0,2316419\cdot t }. $

Podstawowe struktury niezawodnościowe

W rozdziale omówiono podstawowe struktury (systemy) z punktu widzenia niezawodności: systemy szeregowe i równoległe. Systemy szeregowe (łańcuchy) są modelem konstrukcji statycznie wyznaczalnych. Systemy równoległe (wiązki) są modelem konstrukcji statycznie niewyznaczalnych. Artykuł zilustrowano przykładami podstawowych struktur i opatrzono wnioskami ważnymi dla Konstruktora i Architekta obiektów budowlanych.

Na rys. 2 pokazano schematy blokowe podstawowych struktur niezawodnościowych: szeregowych i równoległych. Przykładem struktury szeregowej jest statycznie wyznaczalna konstrukcja (kratownica, rama, płyta , itd) . Przykładem struktury równoległej jest konstrukcja statycznie niewyznaczalna. Zarówna system szeregowy jak i równoległy (lub systemy mieszane szeregowo-równoległe) są modelami tradycyjnych  systemów konstrukcyjnych, z elementami wbudowanymi na stałe (obciążonymi).

Przykładem konstrukcji z rezerwą nieobciążoną jest konstrukcja z elementami rezerwowymi włączanymi w system w przypadku awarii jakiegokolwiek innego elementu. Takie konstrukcje wymagają stałej obsługi, lecz w dobie automatycznego monitoringu i informatyzacji staną się ważną klasą systemów konstrukcyjnych. 

Rys.2. Podstawowe modele niezawodnościowe: a) szeregowy, b) równoległy czyli rezerwy obciążonej , c) rezerwy nieobciążonej [15]

 Analizujemy systemy, w których uszkodzenia elementów $\overline \Omega_i$ są zdarzeniami wzajemnie niezależnymi. Niezależnymi są więc również zdarzenia dopełniające $ \Omega_i$.

Szeregowa struktura niezawodnościowa. Statystyczny efekt skali (osłabienia)

W systemie (strukturze, układzie, modelu, schemacie ) szeregowym cały system pracuje, jeśli wszystkie elementy pracują, to znaczy system szeregowy ulega awarii, jeśli choć jeden z elementów ulegnie awarii.

Przykładem konstrukcji z rezerwą nieobciążoną jest konstrukcja z elementami rezerwowymi włączanymi w system w przypadku awarii jakiegokolwiek innego elementu. Takie konstrukcje wymagają stałej obsługi, lecz w dobie automatycznego monitoringu i informatyzacji staną się ważną klasą systemów konstrukcyjnych. 

W tym przypadku przy liczbie elementów $n$:

$$ \begin{equation} p_s=Prob\{ \Omega_1 \cup \Omega_2 \cup … \cup\Omega_n\}\label{20} \end{equation} $$

i w ślad za przyjętym założeniem o niezależności uszkodzeń elementów 

$$ \begin{equation} p_s=Prob \{ \Omega_1 \} \cdot Prob \{ \Omega_2 \} \cdot … \cdot Prob \{ \Omega_n \}\label{21} \end{equation} $$

czyli 

$$ \begin{equation} p_s= \prod \limits_{i=1} \limits^n p_{s_i}\label{22} \end{equation} $$

Formuła ($\ref{22}$) jest zasadą mnożenia niezawodności (prawdopodobieństw bezawaryjnej pracy) elementów systemu szeregowego. Wyraża ona również tak zwany
Statystyczny efekt skali: „im więcej elementów zawiera system szeregowy, tym mniejsza jest jego niezawodność”. 

W celu  doświadczalnego potwierdzenia zasady ($\ref{22}$)  wystarczy przeprowadzić doświadczenie z nitką (długą liną w konstrukcjach budowlanych).

W celu urwania nitki rozwijamy ją ze szpuli i łatwo zrywamy, ale jeśli nie można jej rozwinąć  i nitka jest krótka, to trudno ją zerwać i należy użyć nożyczek lub zębów do przecięcia nitki.

Z zależności  ($\ref{22}$) wynika, że nigdy niezawodność systemu szeregowego nie jest większa od niezawodności najsłabszego elementu (ogniwa). W takim  razie dla systemu szeregowego mamy:

$$ \begin{equation}p_s \le \min \limits_i p_{s_i} \label{23} \end{equation} $$

Jeśli oznaczymy przez  $p_{f_i}$ prawdopodobieństwo zniszczenia  i-tego elementu, to  ($\ref{24}$) możemy zapisać w postaci:

$$ \begin{equation} p_s= \prod \limits_{i=1} \limits^n (1-p_{f_i})\label{24} \end{equation} $$

Rozkładając wielomian, będący wynikiem iloczynu ($\ref{24}$) w szereg Newtona i odrzucając wyrazy rzędu wyższego niż liniowy (które są istotnie mniejsze o członów liniowych, bowiem bardzo małe są prawdopodobieństwa zniszczenia poszczególnych elementów budowlanych), otrzymamy oszacowanie

$$ \begin{equation} p_s \cong 1- \sum \limits_{i=1} \limits^n p_{f_i}  \label{25} \end{equation} $$

Na rys. 3 pokazano zależność niezawodności systemu szeregowego $p_s$ od liczby n elementów o takiej samej niezawodności elementów $p_{si}=0,95 ; 0,98$  lub $0,99$.

Spadek niezawodności systemu wraz ze zwiększaniem się liczby elementów jest bardzo szybki, a zwiększanie niezawodności pojedynczych elementów  wpływa stosunkowo mniej na zwiększenie niezawodności systemu.

Rys.3. Niezawodność systemu szeregowego $p_s$ w funkcji liczby elementów $n$ [15]

Statystyczny efekt skali obserwowany jest zarówno w prętach, jak i w ustrojach powierzchniowych (powłoki, płyty, ściany), a także w ustrojach trójwymiarowych (bryłach). Systematycznie obserwuje się, że konstrukcja o większych rozmiarach (większej liczbie elementów skończonych) jest słabsza od konstrukcji z mniejszą liczba elementów.

Zwiększenie niezawodności systemu szeregowego najlepiej przeprowadzić, realizując strategię :

1. wyszukać najsłabszy element w systemie i zwiększyć jego nośność, więc również niezawodność
2. sprawdzić nośność systemu i w przypadku niezadawalającego wyniku, przeprowadzić pkt 1 dla kolejnego elementu
3. po każdym kroku starać się zmniejszyć liczbę elementów połączonych szeregowo.

W opisanej strategii uwzględniono dwa ważne wnioski z przeprowadzonych analiz:

1) o nośności i niezawodności systemu szeregowego decyduje najsłabszy element (najsłabsze ogniowo),

2) niezawodność systemu szeregowego gwałtownie spada wraz z e zwiększającą się liczbą elementów połączonych szeregowo.

3) niezawodność systemu szeregowego zależy nie tylko od liczby elementów (ogniw) składowych, ale także od poziomu ich niezawodności.

Równoległa struktura niezawodnościowa. Statystyczny efekt wzmocnienia

System z elementami połączonymi równolegle (rys.2b) nie ulegnie zniszczeniu, dopóki nie zniszczą się wszystkie elementy systemu o liczebności $m$. Niezawodność $p_s$ systemu  równoległego wyznaczymy  z zależności:

$$ \begin{equation} p_s = Prob \{ \overline \Omega_1 \cap \overline \Omega_2 \cap … \cap \overline \Omega_m \cap \} \label{26} \end{equation} $$

gdzie $\Omega_i$ oraz $\overline \Omega_i$ – są wzajemnie dopełniającymi zdarzeniami – zdarzenie oznaczone nadkreśleniem  oznacza zdarzenie przeciwne i w tym przypadku zniszczenie elementu.
Jeśli zdarzenia $\Omega_i$ są wzajemnie niezależne, to również $ \overline \Omega_i $ są wzajemnie niezależne, a jeśli tak, to zachodzi:

$$ \begin{equation} p_s = 1-p_f=1-\prod \limits_{i=1} \limits ^m (1-p_{si}) \label{27} \end{equation} $$

Takie połączenie równoległe (elementów obciążonych – wbudowanych na stałe) jest typowe dla tradycyjnych konstrukcji budowlanych.

Na rys.4 pokazano  zależność niezawodności $p_s$ systemu równoległego od liczby $m$ elementów w wiązce  o takiej samej niezawodności każdego elementu $p_{si}$. Obserwujemy zwiększanie się niezawodności systemu równoległego wraz ze zwiększaniem się liczby elementów w wiązce.

Przy dużych niezawodnościach elementów ( z takimi mamy do czynienia w budownictwie) przyrost niezawodności systemu równoległego jest wolny dla liczby elementów większych od 3-ch., a przy podłączeniu czwartego elementu praktycznie nie obserwujemy zwiększenia niezawodności systemu.

Rys.4. Niezawodność systemu równoległego $p_s$w funkcji niezawodności elementów $p_{si}$. Krzywe dla różnej liczby elementów $m$ [15]

Własności  systemu równoległego powodują,  że zwykle rozumie się go jako sposób zwiększenia niezawodności systemu poprzez zwiększenie liczby elementów połączonych równolegle.  Jednakże taka cecha struktury nie zawsze skutecznie prowadzi do celu.  Zwiększanie liczby elementów równoległych powyżej czterech okazuje się narzędziem mniej skutecznym i w istocie  niezbyt wygodnym w stosunku do prostej wymiany jednego elementu na element o większej niezawodności.

Tym niemniej należy zauważyć, że w systemie równoległym następuje statystyczny efekt zwiększenia niezawodności systemu wraz ze zwiększającą się liczbą elementów składowych. Obserwujemy więc zjawisko przeciwne niż w systemach szeregowych.

Wynika stąd ważny wniosek dla Konstruktora konstrukcji budowlanych:  

Połączenia szeregowe elementów konstrukcji (statycznie wyznaczalnych) prowadzą do istotnego zmniejszania niezawodności, natomiast połączenia równoległe elementów konstrukcji (statycznie niewyznaczalnych) prowadzą do niewielkiego zwiększenia niezawodności systemu,  wraz ze zwiększaniem się liczby elementów.

Złożone struktury niezawodnościowe

Złożone modele

W budowlanej praktyce inżynierskiej mamy najczęściej do czynienia ze złożonymi strukturami niezawodnościowymi, polegającymi na połączeniu w szereg struktur równoległych lub równoległym połączeniu łańcuchów lub też innych struktur i na dodatek  z elementami wspólnymi w różnych strukturach.

Na rys. 5 pokazano model struktury z podzielonym rezerwowaniem, czyli strukturę w której systemy równoległe połączono w szereg.

Rys.5. Struktura z podzielonym rezerwowaniem (równoległe w szeregu) [15]

Przykładem takiej struktury jest konstrukcja z powielonymi układami statycznie niewyznaczalnymi. W tym przypadku prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy mxn elementów,  każdy o niezawodności $p_{si}$ można obliczyć z zależności

$$ \begin{equation} p_{s, podzielone} = [1-(1-p_{si})^m]^n \label{28} \end{equation} $$

gdzie m jest liczbą elementów w każdej strukturze równoległej, a n liczbą ogniw w łańcuchu. 

Na rys. 6  przedstawiono wykresy uzyskane z zależności ($\ref{28}$).

Rys.6. Podzielone rezerwowanie [15]: $n$ – liczba elementów połączonych szeregowo; $m$ – liczba równoległych połączeń ; linie przerywane dla $p_{si}=0,9$,  linie ciągłe dla $p_{si}=0,7$

Na rys. 7 pokazano model struktury z ogólnym rezerwowaniem, czyli ze strukturami szeregowymi, połączonymi równolegle.

Rys.7 Struktura z ogólnym rezerwowaniem (równoległe w szeregu) [15]

W tym, przypadku niezawodność struktury można obliczyć z zależności

$$ \begin{equation} p_{s, ogolne} =1-(1-p_{si}^n)^m \label{29} \end{equation} $$

Na rys.8 przedstawiono zależności uzyskane z formuły ($\ref{29}$).

Rys.8. Ogólne rezerwowanie [15] : $n$ – liczba elementów połączonych szeregowo; $m$ – liczba równoległych połączeń ; linie przerywane dla $p_{si}=0,9$,  linie ciągłe dla $p_{si}=0,7$

Zależności ($\ref{28}$) , ($\ref{29}$) można uogólnić na przypadek, gdy struktury mają inną liczbę elementów $m$ i $n$ w sposób pokazany w pracy [15] .

Dla przypadków bardziej ogólnych połączeń zaleca się [15] rozpatrywać iteracyjnie, analizując możliwe kombinacje połączeń. 

Wykresy rys. 6 i 8 pokazują , że na niezawodność systemu najbardziej wpływa liczba elementów połączonych szeregowo. Wpływ liczby połączeń równoległych jest istotny przy niewielkiej liczbie połączeń i dla $m>4$ jest praktycznie nieistotny. Wpływ liczby elementów i połączeń zmniejsza się jeśli niezawodność poszczególnych elementów jest duża, co jest charakterystyczne dla konstrukcji budowlanych. Wprowadzenie rezerwowych elementów daje lepsze efekty od wprowadzenia rezerwowych układów. 

Wynika stą, że konieczne jest rozpatrywanie  struktury w całości. Projektowanie konstrukcji element po elemencie bez analizy połączeń  niezawodnościowych może prowadzić do istotnego niedowymiarowania konstrukcji i wywołania katastrofy budowlanej, czego przykłady dostarczane nam są dość często.

Niezawodność konstrukcji należy rozpatrywać we wczesnym stadium projektowania, wówczas gdy wniesienie zmian nie powoduje znacznych strat, co będzie najbardziej znaczące na etapie eksploatacji.

Konstrukcyjny współczynnik korelacji będziemy obliczać bezpośrednio z definicji ($\ref{30}$), a charakterystyki probabilistyczne szacować numerycznie na teoretycznym modelu konstrukcji. Podobne podejście można stosować do symulacji eksperymentalnych.

W erze informatyzacji konstrukcje budowlane praktycznie wyłącznie oblicza się z użyciem programów komputerowych za pomocą algorytmów numerycznych, gdzie zależności analityczne nie są potrzebne. Funkcja $\varphi(x)$ jest określona za pośrednictwem macierzy sztywności, a zagadnienia nieliniowe statycznie są rozwiązywane iteracyjnie, gdzie  w każdym kroku rozwiązuje się zadanie liniowe.
Statyczna liniowość nie oznacza liniowości probabilistycznej. Konstrukcje rzeczywiste są obarczone szeregiem imperfekcji geometrycznych (imperfekcje systemowe, czyli odchylenia węzłów od położenia nominalnego i imperfekcje lokalne, czyli wstępne wygięcia i skręcenia nominalnie prostych elementów prętowych i płytowych lub odchylenia od powierzchni nominalnej powłok, a także inne.

Momenty statystyczne (wartości oczekiwane, odchylenia standardowe oraz kowariancje i korelacje) losowych  zmiennych wyjściowych  (przemieszczenia, siły przekrojowe lub mnożnik nośności ) konstrukcji rzeczywistych wyznaczane są numerycznie. Do wyznaczenia parametrów statystycznych funkcji losowych wykorzystuje się dwie metody: ścisła i linearyzacji, które przedstawiono w artykule Momenty funkcji zmiennych losowych. Metoda linearyzacji.

Oszacowania niezawodności dla struktur złożonych

Ścisłe wyznaczenie niezawodności mieszanych (złożonych ) struktur z punktu widzenia niezawodności jest trudne nawet z wykorzystaniem komputera i w praktyce nie jest konieczne. Zamiast dokonywania rachunków na iloczynach splotowych dystrybuant, korzysta się z oszacowań górnego i dolnego prawdopodobieństwa zniszczenia lub niezawodności. W artykule przedstawiono klasyczne oszacowania, przydatne w obliczeniach ręcznych, oraz oszacowania dokładniejsze, możliwe w obliczeniach numerycznych, wymagające znajomości łącznego rozkładu statystycznego zniszczenia elementów systemu lub przynajmniej informacji o rozkładach  brzegowych oraz o jak największej liczbie parametrów tych rozkładów i korelacji między rozkładami.

Ścieżki i cięcia (przekroje) struktury

Struktury niezawodnościowe są skorelowane, ponieważ najczęściej posiadają elementy wspólne. Uzyskanie ścisłych wyrażeń na niezawodność lub prawdopodobieństwo zniszczenia dowolnych struktur jest zadaniem złożonym, dlatego ważne są oszacowania górne i dolne prawdopodobieństwa zniszczenia.

Mechanizm zniszczenia struktury polega na zniszczeniu tylu elementów w strukturze, by cała struktura uległa zniszczeniu. W pracy [20] wprowadzono następujące definicje:

Ścieżka  (ścieżka zdatności) systemu, jest takim podzbiorem elementów systemu, że przy zdatności wszystkich elementów należących do tego zbioru, system jest w stanie zdatności. Ścieżkę nazywamy minimalną, gdy nie zawiera żadnej innej ścieżki jako podzbioru. Ścieżkę nazywa się krytyczną ze względu na element, gdy utrata zdatności przez ten element powoduje utratę zdatności przez system. Każda minimalna ścieżka jest krytyczna ze względu na dowolny swój element.
Struktura szeregowa jest więc minimalną ścieżką, w którym zniszczenie jednego elementu prowadzi do zniszczenia układu.

Cięcie  (przekrój) systemu, jest takim podzbiorem elementów systemu takim, że niezdatność wszystkich elementów należących do tego zbioru, prowadzi do niezdatności systemu. Cięcie nazywamy minimalnym, gdy nie zwiera jako podzbioru żadnego innego cięcia.
Struktura równoległa jest cięciem systemu.

Na rys. 9 zilustrowano mechanizm struktury szeregowo-równoległej na  rys.9a; minimalne ścieżki na rys.9b, oraz minimalne ciecia na rys 9c

Rys.9 Minimalne cięcia b) i minimalne ścieżki c) dla systemu złożonego a) [21],rys.3.17

System z rys. 9a ma następujące ścieżki i cięcia:

• ścieżki zdatności systemu
  {1,2,3,4}, }{1,2,3}, {1,2,4}, {1,2}, {1,3,4}, z których dwie ostatnie (pogrubione) są ścieżkami minimalnymi, pokazanymi na rys. 9b).
• cięcia systemu
  {1,2,3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {1}, z których trzy ostatnie (pogrubione) są cięciami minimalnymi.

W ogólnym przypadku należy wyznaczyć cięcie (przekrój) struktury takie, że zniszczenie wszystkich elementów z tych zbiorów prowadzi do zniszczenia konstrukcji. Na takim k-tym cięciu  może być uruchomiony mechanizm zniszczenia $M_k$. Zdarzenie polegające na uruchomienia mechanizmu $M_k \ (k=1,…,n)$ oznaczmy przez $Z_k$, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przez

$$ \begin{equation} { Prob \{Z_k\}=p_k \ , (k=1,2,..,n) }\label{33} \end{equation} $$

 Zdarzenie polegające na uruchomieniu dowolnego mechanizmu  i w konsekwencji zniszczenia oznaczymy przez $Z$, a prawdopodobieństwo jego wystąpienia przez

$$ \begin{equation} { Prob \{Z\} } =p_f \label{34} \end{equation} $$

Jeśli  n mechanizmów jest możliwych, to zniszczenie struktury nastąpi, jeśli uruchomi się dowolny mechanizm, czyli:

$$ \begin{equation} { p_f\ = Prob \{ Z\} = Prob \{ Z_1 \cup Z_2 \cup … \cup Z_n \} – Prob \{Z_1 \cap Z_2 \} – Prob \{Z_1\cap Z_3\} – … + Prob\{Z_1\cap Z_2 \cap Z_3\} +… }\label{35} \end{equation} $$

Struktury progowe

Istnieje szereg struktur niezawodnościowych, których nie da się przedstawić za pomocą schematu blokowego, czyli nie jest strukturą szeregowo równoległą lub równoległo szeregową. Takie struktury nazywa się progowymi. Przykład struktury progowej „2 z 3” pokazano na rys. 10, Struktura progowa „2 z 3” oznacza, że system jest w stanie zdatności, gdy spośród trzech jego elementów przynajmniej dwa są w stanie zdatności.

Rys.10. Przykład struktury progowej: a) Struktura „2 z 3”, b) minimalne ścieżki, c) minimalne cięcia [21],rys.3.18

W konstrukcjach budowlanych statycznie niewyznaczalnych mamy w ogólności do czynienia z systemami progowymi „k z n”, to znaczy takimi systemami, w których n-elementowy system jest zdatny, jeśli zdatnych jest k elementów, przy czym $1 \le k \le n$. Na rys.11 pokazano przykłady uogólnionych struktur progowych .

Rys.11. Struktura progowa uogólniona: a) typowa struktura rezerwy nieobciążonej, b) struktura szeregowa, c) struktura równoległa, d) struktura „k z n” (opis w tekście) [21],rys.3.22

W modelu uogólnionej struktury progowej oprócz parametrów: „n” – liczba elementów struktury, „k”- liczba tych elementów systemu, które muszą być zdatne, jeśli system ma być zdatny, wprowadzamy parametr „m”- liczba elementów czynnych systemu $m \le n$. Pozostałe elementy systemu $n-m$ stanowią rezerwę nieobciążoną. Pokazane na rys. 11 struktury progowe ilustrują przypadki szczególne:$k=m=n$ – struktura szeregowa,

$k=1$, $m=n$ – struktura równoległa,
$m= n < k$ – struktura $k z n$ w węższym sensie,
$k=m=1$, $n>1$ – typowa struktura nieobciążona (rys. 11a),
$k=m ,n$ – struktura szeregowa z wędrującą rezerwą nieobciążoną (rys.11c),
$k<m<n$ – struktura „k z n”  z wędrującą rezerwą nieobciążoną (rys.11d).

Proste oszacowania niezawodności struktury

Dla nieskorelowanych zdarzeń $Z_i$ oraz $Z_j$ mielibyśmy prosty związek

$$ \begin{equation} { p_f= p_1+p_2+…+p_n – p_1 \cdot p_2 – p_1 \cdot p_3 -…+ p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 + … } \label{36} \end{equation} $$

Niestety w praktyce inżynierskiej mechanizmy są rzadko nieskorelowane, więc potrzebne są  oszacowania górne i dolne prawdopodobieństwa zniszczenia systemu $p_f$, z których najprostsze podał Cornell (1969)  [22] (również Augusti, Baratta (1972) [23] i Barlow , Proschan (1974) [20] i in):

$$ \begin{equation} p_{max}\, (=\max \limits_{i=1} \limits^{n} p_i ) \le p_f \, \le \, \sum \limits_{i=1} \limits^{n} p_i \, (=p_1 + p_2 + … +p_{max} + … \label{37} \end{equation} $$

Bardziej dokładne oszacowania podał Ditlevsen (1979) [24] :

oszacowanie dolne

$$ \begin{equation} p_f \ge p_{max}+\sum \limits_{i=2} \limits^{n} \max \limits_{j<i} \{ \ (\ p_i – \sum \limits_{j=1} \limits^{i-1} p_{ij} ) , \ 0 \} \ge 0\label{38} \end{equation} $$

oszacowanie górne

$$ \begin{equation} p_f \le \sum \limits_{i=1} \limits^{n} p_i – \sum \limits_{i=2} \limits^n \ \max \limits _{j < i}\, p_{ij} \le 1 \label{39} \end{equation} $$

gdzie: $p_{ij}$ jest prawdopodobieństwem jednoczesnego uruchomienia mechanizmu i oraz j.

W celu wyznaczenia $p_{ij}$ należałoby znać dystrybuantę łączną dwuwymiarowego rozkładu marginesów bezpieczeństwa dla zdarzeń $Z_i$ i $Z_j$. Można też posłużyć się kolejnymi oszacowaniami podanymi przez Żukowskiego (2006) [25] :

$$ \begin{equation} p_{ij} \ge \max \{p_i \cdot p_{j|i} , p_j \cdot p_{i|j} \} \text{ , gdy } \rho_{ij}> 0\label{40} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} p_{ij} \le  p_i \cdot p_{j|i} + p_j \cdot p_{i|j} \text{ , gdy } \rho_{ij} > 0 \label{41} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} p_{ij} \le \min \{p_i \cdot p_{j|i} , p_j \cdot p_{i|j} \} \text{ , gdy } \rho_{ij} <0\label{42} \end{equation} $$

gdzie
$ \rho_{ij}$ – współczynnik korelacji  zmiennych $Z_i$ oraz $Z_j$-  został zdefiniowany w ($\ref{30} dla $ (X = Z_i \, ;\, Y=Z_j$

Warunkowe prawdopodobieństwa zniszczenia można oszacować z zależności:

$$ \begin{equation} p_{i|j}=\cfrac{p_j-\rho_{ij}\cdot p_i}{\sqrt{1-\rho_{ij}^2}}\label{43} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} p_{j|i}=\cfrac{p_i-\rho_{ij}\cdot p_j}{\sqrt{1-\rho_{ij}^2}}0\label{44} \end{equation} $$

Oszacowania ($\ref{38}$) i ($\ref{39}$) stosuje się w obliczeniach numerycznych. Natomiast w obliczeniach ręcznych pozostajemy przy ($\ref{36}$) i ($\ref{37}$), które w większości przypadków praktycznych dają wystarczające przybliżenie dla wysoko niezawodnych systemów, czyli takich jakie występują w budownictwie, a zawężenie granic ($\ref{38}$) i ($\ref{39}$) stosujemy przy możliwości wiarygodnego oszacowania prawdopodobieństw łącznych ($\ref{60}$) do ($\ref{60}$), czyli korelacji mechanizmów zniszczenia i warunkowych prawdopodobieństw awarii ($\ref{43}$) i ($\ref{44}$).

W przypadku posługiwania się wskaźnikiem niezawodności \beta, należy skorzystać z definicji

$$ \begin{equation} p_f \stackrel {def}{=} \Phi(-\beta)  \label{45} \end{equation} $$

gdzie; $\Phi()$ jest standaryzowaną dystrybuantą normalnego rozkładu prawdopodobieństwa.

Po podstawianiu ($\ref{45}$) do zależności ($\ref{36}$) i do ($\ref{43}$), ($\ref{44}$) uzyskamy stosowne zależności dla inżynierskich miar niezawodności.

Z własności dystrybuanty rozkładu normalnego $\Phi()$ (całki błędu lub Gaussa) wynika, że wraz ze zwiększaniem się  wartości bezwzględnej współczynnika niezawodności $|\beta|$ monotonicznie zmniejsza się prawdopodobieństwo awarii $p_f$, czyli można zachować znaki nierówności. Korzystając z własności addytywności operatora dystrybuanty ($\ref{60}$) można na przykład warunkowe wskaźniki niezawodności zapisać w postaci  [25] :

$$ \begin{equation} \beta_{i|j}=\cfrac{\beta_j-\rho_{ij}\cdot \beta_i}{\sqrt{1-\rho_{ij}^2}}\label{46} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \beta_{j|i}=\cfrac{\beta_i-\rho_{ij}\cdot \beta_j}{\sqrt{1-\rho_{ij}^2}}\label{47} \end{equation} $$

Elementy stowarzyszone i systemy monotoniczne

Barlow i Proschan (1974) [20] podają kilka ważnych oszacowań dla prawdopodobieństwa zniszczenia $p_f$ systemu złożonego.
W tym celu zdefiniowali zmienne stowarzyszone, czyli takie zmienne losowe $X_1,… X_n$ dla których zachodzi:

$$ \begin{equation} Cov \{ \Phi (X_1,… X_n), \Psi (X_1,… X_n) \}\ \ge 0 \label{48} \end{equation} $$

gdzie $\Phi$  i  $\Psi$  funkcje zmiennych losowych $X_1,… X_n$, stanowiących  dowolne pary niemalejące ze względu na każdy z argumentów tych funkcji. Cov jest symbolem kowariancji.

Rozpatrujemy sytuacje, w których każda ze zmiennych $X_1,… X_n$ jest binarna, tzn przyjmuje wartość [1 = element struktury jest sprawny ; 0=element uszkodzony]. Wówczas w definicji ($\ref{48}$) wystarcza, by funkcje $\Phi$ i  $\Psi$ były binarne.

Dwie zmienne losowe binarnych $X$ i $Y$ są stowarzyszone, jeśli są dodatnio skorelowane, to znaczy zwiększeniu wartości $X$ na ogół towarzyszy zwiększenie wartości $Y$:

$$ \begin{equation} Cov \{ X,Y\} \ge 0\ \ge 0 \label{49} \end{equation} $$

Systemy spełniające warunek ($\ref{49}$) dla awarii dowolnych dwóch elementów lub ich zbioru (mechanizmu zniszczenia) nazywa się systemami monotonicznymi, to znaczy takimi, w których zwiększenie niezawodności jednego elementu powoduje zwiększenie niezawodności mechanizmu, w którym on uczestniczy, a w wyniku zwiększenie niezawodności całego systemu. To samo dotyczy zmniejszenia niezawodności. Z oszacowań podanych w rozdziale, wynika, że również zwiększanie korelacji pomiędzy elementami zwiększa niezawodność mechanizmu i całego systemu.

Dość oczywiste jest, że w konstrukcjach budowlanych elementy krytyczne (przekroje bądź elementy konstrukcyjne) są stowarzyszone, choć niekoniecznie muszą być losowo niezależne. Przykładem może być rama sprężysto-plastyczna, w której mogą być uruchomione mechanizmy plastyczne na skutek utworzenia się wymaganej liczby przegubów plastycznych, albo sprzężone systemy przekryć obiektów wskutek połączenia stężeniami konstrukcyjnymi.

Rozpatrujemy takie systemy, w których monotoniczne jest bezpieczeństwo i niezawodność.

Oszacowania niezawodności Barlow-Proschan

Oszacowania niezawodności systemu podane przez Barlow i Proschan (1974) są oszacowaniami zależnymi od ilości posiadanych informacji. Ulepszanie oszacowań niezawodności systemu następuje wraz ze zwiększaniem się informacji o zachowaniu poszczególnych elementów systemu i o powiązaniach miedzy elementami.
Pełną informację zawiera łączna funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennych podstawowych s systemu. Takiej informacji na próżno oczekiwać. Najczęściej nie mamy wystarczających informacji statystycznych, by estymować (szacować) parametry rozkładów nawet na bardzo niewielkim poziomie wiarygodności. Posiadane, wiarygodne informacje pozwalają oszacować zwykle tylko kilka parametrów i to niektórych tylko rozkładów brzegowych. O niektóre parametrach wnioskujemy z natury zagadnienia, na przykład z centralnego twierdzenia granicznego oraz natury cech (np. nieujemności fizycznych wielkości, sprawczych wartości ekstremalnych , itd.).
Istnieją trzy typy oszacowań niezawodności zależne od posiadanych informacji o: 1) ścieżkach i cięciach systemu, 2) stowarzyszeniu , niezależności lub  dowolnej korelacji elementów. dla poszczególnych sytuacji mamy oszacowania [26] prawdopodobieństwa niezawodności $r$:

A  nie są znane ścieżki minimalne  i cięcia minimalne

• dla elementów stowarzyszonych

$$ \begin{equation}\underset {i =1} {\stackrel {n} {\sqcap}} \, r_i \le r_s \le \, \underset {i =1} {\stackrel {n} {\sqcup}} \, r_i \label {50} \end{equation} $$

B  znane są ścieżki minimalne S (1,…s)  i cięcia minimalne C (1,.. c)

• dla elementów dowolnych

$$ \begin{equation}\max \limits _{ 1 \le j \le s} \{Pr( \min \limits _{i \in S_j} (Z_i>0) \} \le r_s \le \min \limits_{ 1 \le j \le c} \{ Pr( \max \limits _{i \in C_j} (Z_i>0) \} \label{51} \end{equation} $$

• dla elementów stowarzyszonych

$$ \begin{equation}\max \limits _{ 1 \le j \le s} \, \underset {{i \in S_j}} {\sqcap} \, r_i \le r_s \le \min \limits_{ 1 \le j \le c} \, \underset {{i \in C_j}} {\sqcup} \, r_i \label{52} \end{equation} $$

W ($\ref{50}$) do ($\ref{52}$) wprowadzono następujące  oznaczenie prawdopodobieństwa niezawodności:
$ r= 1-p_f$,
$r_s$ dla systemu,
$r_i$ dla elementu (zdarzenia)

Informacja lub założenie o tym, że elementy struktury systemu są stowarzyszone pozwala istotnie polepszyć oszacowania ($\ref{38}$) lub ($\ref{51}$). To samo dotyczy informacji o minimalnych cięciach lub ścieżkach.

Przykłady rachunkowe zamieszczono w części kolejnej artykułu.

Projektowanie niezawodnościowe systemów konstrukcyjnych

Projektowanie konstrukcji to  w istocie dobór elementów systemu dla z góry zadanej niezawodności $\beta$  lub $p_r$ (lub prawdopodobieństwa awarii $p_f=1-p_s $) całego systemu. Tylko wówczas, gdy system składa się z jednego elementu, to projektujemy ten element do wymaganego poziomu niezawodności.

Zadanie optymalizacji niezawodności systemu nie jest pierwszorzędne, bo w istocie poziom niezawodności zależny od konsekwencji zniszczenia i innych znormalizowanych czynników jest znany: zarówno przekroczenie , jak i zaniżenie tego poziomu ponad lub obiektywnie uzasadniony poziom (ale jak najmniejszy) poziom – nie jest akceptowane. Oba odstępstwa są uważane za równie ważny błąd. Wyłącznie w przypadku systemów równie materiało -energo- chłonnych, czyli równie kosztochłonnych, wybierzemy ten dla którego niezawodność jest największa, ale nie mniejsza od dopuszczalnej.

W projektowaniu konstrukcji o niezawodności $p_s$, złożonej z n elementów (1,2,…i,..n) z których każdy charakteryzowany niezawodnością $p_{si}$  w najprostszym przypadku zamiany (wzmocnienia lub zoptymalizowania – zmniejszenia) tylko jednego elementu korzystamy z następujących zasad [26] :

• W systemie o strukturze szeregowej przyrost niezawodności systemu jest proporcjonalny do względnego przyrostu niezawodności elementu i nie jest zależny od tego , który element zostaje zastąpiony elementem o wyższej (ew. niższej) niezawodności,

$$ \begin{equation}\Delta p_s = p_s \cfrac{\Delta p_{si}}{p_{si}}, \quad  (i=1,2,…n) \label{53} \end{equation} $$

• W systemie o strukturze równoległej maksymalną zmianę  niezawodności systemu uzyskujemy przez zmianę niezawodności elementu, który jest najbardziej niezawodny, przy czym

$$ \begin{equation}\Delta p_s=(1-p_s) \cfrac{\Delta p_{si}}{1-p_{si}}, \quad  (i=1,2,…n) \label{54} \end{equation} $$

W artykule miary niezawodnościowej istotności elementów zostały wprowadzone dla prostych systemów, dla których analityczny sposób funkcji systemu nie stanowi problemu. Natomiast dla systemów złożonych lub dla przypadków bardziej realistycznych (zależne i naprawialne elementy, realistyczne rozkłady prawdopodobieństwa  stosować należy metody numeryczne lub eksperymentalne. Zarówno metody analityczne jak i numeryczne są oparte na zasadzie wyznaczania minimalnych cięć.

Krótki przegląd zagadnień związanych z istotnością elementu we systemie niezawodnościowym podano w pracy [27].

Metoda uogólnionej korelacji. Oszacowanie niezawodność konstrukcji

W pracy Kudzys (1985) [28] przedstawiono praktyczny, uproszczony sposób szacowania niezawodności systemu niezawodnościowego złożonego ze skorelowanych elementów. Wprowadzono pojęcie uogólnionego współczynnika korelacji, to znaczy takiego zastępczego (integralnego) współczynnika korelacji, który jeden ujmuje efekt wielu wzajemnych współczynników korelacji elementów . Uogólniony współczynnik korelacji $\rho$ można zapisać w postaci:

$$ \begin{equation}\rho= \cfrac {\Delta P} {\Delta P_{max}} \label{55} \end{equation} $$

gdzie:
$\Delta P$ – poprawka oszacowania niezawodności, uwzględniająca błąd obliczeń, wskutek nie uwzględnienia korelacji (lub stochastycznej zależności) elementów,
$\Delta P_{max} $ – maksymalna wartość poprawki oszacowania niezawodności,

a niezawodność systemu złożonego z $r=n \cdot m$ elementów można obliczyć jak dla szeregowo połączonych wszystkich elementów, ale z poprawką $\Delta P$:

$$ \begin{equation}p_s= \prod\limits_{i=1}^r p_{s,i} +\Delta P \label{56} \end{equation} $$

gdzie (rys. 5 i 7):
n – liczba elementów połączonych szeregowo,
m- liczba elementów połączonych równolegle,
$p_{s,i}$ – niezawodność elementu i-tego $(i=1,.., r)$.

Maksymalny błąd obliczeń niezawodności systemu, w którym wytrzymałość i obciążenia są nieskorelowane, można oszacować z zależności [29] :

$$ \begin{equation}\Delta P_{max}= \min\limits_i p_{s,i} – [1- \sum \limits_{i=1}^r (1-p_{s,i})] \label{57} \end{equation} $$

gdzie
$ \min\limits_i p_{s,i}$ – minimalna niezawodność elementu spośród r elementów systemu.

Z wyrażenia  ($\ref{57}$) mamy oszacowanie niezawodności systemu $p_s$  [30] :

$$ \begin{equation} \prod\limits_{i=1}^r p_{s,i} \le p_s \le \prod\limits_{i=1}^r p_{s,i} + \min\limits_i p_{s,i} – [1- \sum\limits_{i=1}^r (1-p_{s,i})] \label{58} \end{equation} $$

Z oszacowania ($\ref{58}$) wynika, że uogólniony współczynnik korelacji ($\ref{55}$) można wyznaczyć z formuły:

$$ \begin{equation} \rho=\cfrac {\Delta P} { \min\limits_i p_{s,i} – [1-\sum\limits_{i=1}^r (1-p_{s,i})]}\label{59} \end{equation} $$

przy czym można zastosować przybliżenie, wynikające z odwrócenia ($\ref {25}$):

$$ \begin{equation} \rho = \cfrac {1} { 1 – \sum \limits_{i=1}^n  (1-p_{si})} \approx \prod \limits_{i=1}^n p_{s,i} \label{60} \end{equation} $$

Po podstawieniu $\Delta P$ uzyskanego z ($\ref{59}$) do ($\ref{56}$), uzyskujemy podstawowe wyrażenie metody uogólnionej korelacji, do oszacowania niezawodności systemu złożonego z dowolnych elementów powiązanych w strukturę mieszaną:

$$ \begin{equation} p_s \approx \rho \cdot \min\limits_i p_{s,i}+(1-\rho)\left [1- \prod\limits_{i=1}^n (1-p_{s,i})\right ] \label {61} \end{equation} $$

Podstawowym problemem metody uogólnionej korelacji jest wyznaczenie współczynnika $\rho$ ($\ref{55}$). Dla normalnie rozłożonych funkcji granicznych $g_i()$, miarodajną wartość uogólnionego współczynnika korelacji sytemu można wyznaczyć z formuły [31] :

$$ \begin{equation} \rho \approx \rho_m \left \{ 2 – \left [ \rho_m + \cfrac {(1-\rho_m) \cdot (3-log \, n)} {1-0,1 {\rho^2}_m \cdot (3 – log\, n)^2 } \right] \right \} \label{62} \end{equation} $$

gdzie:

$$ \begin{equation} \rho_m= \cfrac {2}{n \cdot (n-1)} \sum\limits_{i<j} \rho_{i,j} \label{63} \end{equation} $$

jest średnią wartością współczynników korelacji wzajemnej $\rho_{i,j}$ elementu (i) z (j), uzyskaną przez uśrednianie po wszystkich n-elementach systemu, w ogólności skorelowanych, czyli statystycznie lub funkcjonalnie zależnych.

Do liczby elementów $n$ wliczany jest każdy blok (podsystem), który jest rozpatrywany jako samoistny element systemu włączając w to elementy połączeń oraz stężenia konstrukcji.

Poziomy obliczeń probbilistycznyh w konstrukcjach budowlanych

W teorii konstrukcji budowlanych stosuje się specyficzne metody numeryczne szacowania niezawodności systemów konstrukcyjnych, w których wprowadza się podział na cztery poziomy obliczeń i z których dopiero metody poziom trzeciego można korzystają z pełnego opisu probabilistycznego wspólnego występowania wszelkich branych pod uwagę w procesie projektowania wartości niepewności parametrów materiałów i obciążeń.

Z uwagi na specyfikę konstrukcji budowlanych, polegajacą na występowaniu potężnej liczby elemntówi mzinnych losowych wystemie konstrukcyjnym powiązanych ze sobą w sposób złożony z punktu widzenia nieazwodnosći; dużą wymaganą niezwodność systemu (wypadającą systematycznie w”ogonach” rozkładów prawdopodobieństwa oraz poważne skutki katastrof budowlanych, indywidualnosć rozwiążń konstrukcji budynku i ograniczony cza porjektowania – stosowanie metod 3. rzedu jest bardzo graniczone na korzyść metod aproksymacyjnych  1`. i 2. poziomu.

W metodach poziomu 1 . probabilistyczna natura problemu występowania niepewności parametrów materiałów i obciążeń jest (w celu zapewnienia odpowiedniego poziomu bezpieczeństwa konstrukcji) brana pod uwagę wyłącznie jako odpowiednie, reprezentatywne wartości, zwane częściowymi współczynnikami obciążenia lub częściowymi współczynnikami bezpieczeństwa. Metody te polegają w skrócie na wprowadzeniu wyżej wymienionych statystycznie określonych współczynników (reprezentujących zmienności cechmateriałów konstrukcyjnych oraz charakteru i mocy oddziaływania obciążeń) do obliczeń odwołujących się do stabelaryzowanych, unormowanych i powszechnie przyjmowanych uśrednionych wartości zmiennych losowych nakreślonych w przeprowadzanej analizie.
Współczynniki częściowe są rozumiane jako odpowiednie kwantyle określonych rozkładów prawdopodobieństwa opisujących zmienne losowe – takie, aby zapewniały na etapie procesu projektowania pożądany dla konstrukcji poziom niezawodności. Należy jednak pamiętać, że poprzez tak upraszczające podejście, współczynnik niezawodności płynący z tego typu obliczeń odbiega od zakładanych wartości docelowych. Koniecznością zatem jest minimalizacja rozbieżności między wynikiem obliczeń upraszczających, a analizą dokładną, co uzyskać można przykładowo rozmyślną kalibracją przyjmowanych częściowych współczynników bezpieczeństwa. Do tego poziomu metod analizy bezpieczeństwa, biorących za priorytet kalibrację współczynników, można zaliczyć szeroko spopularyzowaną grupę metody określania niezawodności modeli konstrukcji inżynierskich metod zwanych Load and Resistance Factor Design (LRFD) (pol.: Projektowanie Współczynników Bezpieczeństwa Obciążeń i Wytrzymałości). Metoda ta w czasach obecnych znajduje ponownie bardzo rozległy obszar zastosowania [32],  [33] , [34].
Króko mówiąc metody poziomu 1 , to metody stosowane bezpośrenio w normch projektowania konstrukcji, obecnei e Eurokod 0 do 9.

W meotodach 2. poziomu probabilistyczna natura problemu ujęta jest w operowaniu dwiema statystycznymi miarami wartości niepewności parametrów materiałów i obciążeń – najczęściej wartością średnią zmiennej losowej oraz jej wariancją, uzupełnioną o miarę korelacji pomiędzy wymienionymi parametrami. Metody te obejmują pewien szereg przybliżonych, iteracyjnych procedur obliczeniowych, wykonywanych w celu uzyskania informacji o prawdopodobieństwie awarii konstrukcji. Zazwyczaj wymagają one pewnej kontrolowanej idealizacji obszaru reprezentującego awarię, utożsamianego często z uproszczoną reprezentacją układu rozkładów prawdoppodobieństwazmiennych zestawu obciążeń oraz wytrzymałości materiałów [35].

Przykłady rachunkowe

Przykład 1 [Bezpieczeństwa pręta żelbetowego zaprojektowanego wg Eurokod 2]

Sprawdzić bezpieczeństwo rozciąganego pręta żelbetowego o długości $L=6 m$. Zbrojenie pręta zaprojektowano zgodnie z normą [36] wariantowo:
A z 4-ch prętów, B z 8-miu prętów (o mniejszych średnicach).  W zadaniu nie są istotne konkretne średnice prętów, ale stwierdzenie, że w każdym przypadku spełniono wymagania normowe, czyli projekt wykonano dla  wymaganego przez normę PN-EN 1990 [13] wskaźnika niezawodności
$\beta_{global}=3,8 $.

Dane

Granica plastyczności prętów zbrojeniowych jest oznaczana na próbkach długości
$L_0=30 cm$
jako kwantyl 5%, czyli prawdopodobieństwo zniszczenia próbki wynosi
$p_{si}=0,95$

Pręt jest zbrojony  prętami w liczbie
Wariant  A: $m_A=4$ ;
Wariant B: $m_B=8$,

Wyniki

Wymagana niezawodność  pręta

mierzona prawdopodobieństwem zniszczenia, wynosi
$p_s=\Phi(-\beta_{global})=\Phi(-3,8)=0,999927652$

Ustalenie  typu systemu niezawodnościowego

Każdy z prętów zbrojeniowych jest złożony z  $n=\cfrac {L} {L_0}=\cfrac {600}{34}=20$ elementów połączonych szeregowo.

Pręt żelbetowy  jest strukturą z ogólnym rezerwowaniem, której model pokazano na rys. 7 i którą opisuje wzór ($\ref{29}$)

Ze wzoru ($\ref{29}$) obliczamy niezawodności systemu w poszczególnych wariantach liczby prętów:

Wariant A: $p_s = 1 – (1- 0,95^{21})^4=0,831$
Wariant B: $p_s = 1 – (1- 0,95^{21})^8=0,971$,

czyli w obu wariantach o kilka  rzędów za małe od wymaganego $\beta = 3,8$, czyli

($\ref{45}$) $\to$ $p_s =1 -p_f = 1 – \Phi(-\beta) = 1 – 1 – \Phi(-3,8)=  1- 0,000072348 = 0,999927652$

Zbrojenie prętami o mniejszej średnicy, ale  większej liczbie w wiązce zwiększa niezawodność systemu. W przykładzie uzyskaliśmy wzrost niezawodności mierzonej prawdopodobieństwem przeżycia o ok. 17%.

W celu uzyskania wymaganej niezawodności pręta- niezawodność elementów (odcinków zbrojenia) dla bardziej korzystnego wariantu B można wyznaczyć z równania:

 $0,999927652=1-(1-p_{si}^{21})^8$.

Z rozwiązania tego równania uzyskano

$p_{si}=0,982$,

co daje współczynnik tolerancji ok. 2,10, a nie 1,64 jak dla normowego kwantyla 5% charakterystycznej wytrzymałości (granicy plastyczności) stali.

W w celu utrzymania niezawodności pręta na wymaganym poziomie przez normę PN-EN 1990 [13] należałoby istotnie zwiększyć nośność prętów zbrojeniowych poprzez zwiększenie ich przekroju lub klasy stali. Wymiarowanie pręta z warunku

$\beta \le 3,8$

nie jest przedmiotem niniejszego przykładu, ale prowadzone wyliczenia pokazały  ważną okoliczność:

Projektowanie konstrukcji bez uwzględnienia struktury niezawodnościowej jest zawodne i to również wówczas, gdy jest prowadzone metodą stanów granicznych z częściowymi współczynnikami bezpieczeństwa.

Niestety w europejskich normach projektowania nie uwzględnia się pokazanych wyżej mechanizmów niezawodnościowych.

Przykład 2 [System szeregowy  – kratownica statycznie wyznaczalna]

Zaprojektować kratownicę pokazaną na rys.P2-1, tak by jej niezawodność mierzona wskaźnikiem Hasofera-Linda wynosiła   β =3,8.

Dane

Rys. P2-1. Schemat kratownicy statycznie wyznaczalnej. Niezawodnościowy system szeregowy

Analiza problemu

Rozwiązanie zadania podano w artykule

Chodor L, Kłosowska, Dobór elementów struktury konstrukcyjnej szeregowej z warunku wskaźnika niezawodności dla normalnego, lognormalnego, Weibulla i Gumbela rozkładu granicy bezpieczeństwa, Kielce 2014.

który jest wynikiem kursu prowadzonego w 2014 roku przez autora w ramach przedmiotu „Bezpieczenstwo i Niezawodność Budowli” na Wydziale Budownictwa Lądowrgo Politechniki Świętokrzyskiej w Kielcach: 

Skrócone wnioski

1. Niezawodność układu zależy od losowej zmiennościobciążenia i nośności każdego elementu wchodzącego w skład układu, rodzaju rozkładu, a także struktury niezawodnościowej.
   Projektowanie konstrukcji bez uwzględnienia struktury niezawodnościowej jest zawodne i w praktyce inżynierskiejmoże być przyczyną katastrof budowlanych również wtedy, gdy jest prowadzone metodą stanów granicznych z częściowymi współczynnikami bezpieczeństwa.
2. W doborze rozkładu prawdopodobieństw należy kierować się tylko przesłankami obiektywnymi, oraz dostępnymi narzędziami analitycznym:
   a) rozkład Gaussa (normalny), stosowany w większości prac na temat bezpieczeństwa konstrukcji. zwykle prowadzi do uzyskania zbyt optymistycznego oszacoania niezawodnosći konstrukcji.,
   b) dla bardziej realistycznych rozkładów ekstremalnychuzyskuje si e mniejsze niezawodnosći konstrukcji,
3. W praktyce inżynierskiej, do opisania charakteru obciążeń powinno się założyć, że są one określone rozkładem Gumbela (rozkład maximów), a wytrzymałość konstrukcji opisuje rozkład Weibulla (rozkład minimów).
   Prz tym zastosowanie metody kolokacji rozkłądów prawdopodobieństwa, sprowadza analizę do znanych algorymów, wykorzytujących  własności rozkładu normalnego,
4. Podany w pracy przykład potwierdza tezę, że przy analizie niezawodności konstrukcji, należy brać pod uwagę rodzaj rozkładu decydujących parametrów tj. obciążenia i  wiodących zmiennyeh  nośności.

Przykład 3 [System równoległy -sprężysto-plastyczna rama portalowa ]

Zaprojektować ramę pokazaną na rys. 11 , tak by jej niezawodność mierzona wskaźnikiem Hasofera-Linda wynosiła   β =3,8 .

Dane

Rys.P3-1. Schemat ramy statycznie niewyznaczalnej – niezawodnościowy system mieszany

Analiza problemu

Rozwiązanie zadania podano w odrębnym artykule: 

Chodor L, Kłosowska J., Dobór elementów złożonej struktury konstrukcyjnej z warunku wskaźnika niezawodności, Kielce, 2014 .

Zastosowano klasyczne podejście teorii nośności plastycznej, a także najprostsze oszacowania granic niezawodności systemu niezawodnościowego.

Skrócone wnioski

1. Niezawodność układu zależy od losowej zmienności obciążenia i nośności każdego elementu wchodzącego w skład układu, rodzaju rozkładu, a także struktury niezawodnościowej.Nośność systemu obliczona jako kwantyl globalny jest większa od sumy kwantyli lokalnych, co jest określane statystycznym efektem zwiększenia nośności obliczeniowej system równoległego.
   Dla analizowanej ramy statystyczny efekt zwiększenia nośności obliczeniowej wynosi 15%,
2. Struktury niezawodnościowe są skorelowane, ponieważ najczęściej posiadają elementy wspólne. Uzyskanie ścisłych wyrażeń na niezawodność lub prawdopodobieństwo zniszczenia dowolnych struktur jest zadaniem złożonym, dlatego ważne jest stosowanie oszacowań górnych i dolnych prawdopodobieństwa zniszczenia.
   Przy założeniu, że minimalne cięcia systemu nie mają wspólnych elementów oszacowanie nośności granicznej konstrukcji  z warunku $N = min N_k$
   daje  oszacowanie od dołu, faktyczna nośność plastyczna może być większa.

Przykład 4 [Minimalne ścieżki i cięcia i oszacowanie niezawodności systemu metodą Barlow-Proschan]

Przykład  za pracą [37]

Wyznaczyć minimalne ścieżki cięcia kratownicy   Ditlevsen-Madsen, pokazanej na rys. P4-1 oraz oszacować niezawodność systemu.

rys_P3-1. Kratownica Ditlevsen-Madson

Dane

Kratownica Ditlevsen-Madsen (rys. 2-1) składa się z 10. elementów {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Kratownice podstawowe (1) do (6) uzyskano poprzez usunięcie odpowiednio pręta: 1, 2, 3, 4,5, 6, to znaczy są to wszystkie możliwe schematy geometrycznie niezmienne.

Sposób utworzenia kratownic podstawowych (1) do (6)

Systemy podstawowe )w tym przypadku kratownice podstawowe) są takie systemy utworzone z systemu oryginalnego (rys. P4-1a),  w taki sposób, że po awarii części elementów system pracuje. W budownictwie „system pracuje” =  ” system jest stabilny”, czyli pozostaje stabilny i wytrzymały.

W przypadku kratownicy Ditlevsen-Madsen do zbioru systemów podstawowych nie można zaliczyć systemó:

• z usuniętymi elementami 7, 8, 9 lub 10, bo to  prowadziłoby do ustroju geometrycznie zmiennego (mechanizmu) i nie spełnia podstawowego warunku systemu konstrukcyjnego, a także wymogu dla minimalnej ścieżki elementów w konstrukcji budowlanej.
• z usuniętymi kolejnymi prętani w schemacie (1) do (6), bo konstrukcja budowlana zmieniłaby się w konstrukcję mechaniczną (mechanizm, czyli system o jednym stopniu swobody).

Minimalne ścieżki

Minimalne ścieżki kratownicy Ditlevsen-Madsen, obrazują schematy (1) do (6) na rys P4-1b. Odpowiadające zbiory elementów można zapisać następująco:

minimalne ścieżki (P4-1)

$\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
$\{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
$\{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
$\{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
$\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$
$\{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10\}$

Każdy z tych systemów (mimalnych ścieżek) jest układem szeregowym z punktu widzenia niezawodności, zawierającym po n= 9 elementów (prętów).
Te minimalne ścieżki są pomiędzy sobą równolegle połączone z punktu widzenia niezawodności.

Minimalne cięcia

Ponieważ elementy 7, 8, 9, 10 występują w każdej minimalnej ścieżce, to mamy cztery minimalne cięcia po jednym elemencie w każdym zbiorze:

{8}, {9}, {10}, {11}.

Każdy z pozostałych sześciu elementów:  1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 występuje po pięć razy we wszystkich minimalnych ścieżkach, to znaczy, wszystkie pozostałe zestawy minimalnych cięć mają dwa elementy i pojawiają się w identycznych parach, a zatem istnieje $\cfrac {5 \cdot 6} {2}= 15$ minimalnych cięć z dwoma elementami, co zapiszemy następująco:

{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}.

Ostatecznie mamy 19. minimalnych cięć, które reprezentują system szeregowy z  19. oma elementami, z których 15. stanowi równoległe systemy z dwoma elementami. Ostatecznie mamy następujące minimalne cięcia

minimalne cięcia (P4-2)
$\{7\} ,\{8\} ,\{9\} ,\{10\}, $
$\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{1,5 \}, \{1,6 \}, $
$\{2,3\}, \{2,4\}, \{2,5\}, \{2,6 \}, $
$\{3,4\}, \{3,6\}, $
$\{4,5\}, \{4,6\}, $
$\{5,6\}. $

Oszacowania niezawodności

Przyjmijmy dość oczywiste założenie stowarzyszenia elementów (stowarzyszenia zapasów nośności poszczególnych prętów kratownicy), a następnie przyjmijmy, że elementy mają identyczną niezawodność r :

$r_i = r \quad (i=1,…10)$

Zgrubne oszacowanie dla elementów stowarzyszonych, ale bez znajomości minimalnych ścieżek i cięć wyznaczamy   z zależności ($\ref{50}$)

$ \prod \limits_{i=1}^{11} r_i =r^{11} \le r_s \le \prod \limits_{i=1}^{11} [1-(1 – r_i )]^{11} = [ 1- (1 – r )]^{11}$          (P4-3)

Jeśli uwzględniamy znajomość minimalnych ścieżek (P4-1) oraz minimalnych cięć (P4-2), to zgodnie z ($\ref{52}$), mamy:

(P4-4)
$ \max { \{ (r_2 \cdot r_3 \cdot r_4 \cdot r_5 \cdot r_6 \cdot r_7 \cdot r_8 \cdot r_9 \cdot r_{11}) \, ;\, (r_1 \cdot r_3 \cdot r_4 \cdot r_5 \cdot r_6 \cdot r_7 \cdot r_8 \cdot r_9\cdot r_{11}) \, ;\, (r_1 \cdot r_2 \cdot r_4 \cdot r_5 \cdot r_6 \cdot r_7 \cdot r_8 \cdot r_9 \cdot r_{11} ) \, ; \, \\ (r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 \cdot r_5 \cdot r_6 \cdot r_7 \cdot r_8 \cdot r_9 \cdot r_{11} ) \, ;\, (r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 \cdot r_4 \cdot r_5 \cdot r_7 \cdot r_8 \cdot r_9 \cdot r_{11} \} } \\ = r^9  \le  r_s $
$\le \ min { ( r_7 + r_8 + r_9 + r_{11} – r_7 \cdot r_8 – r_7 \cdot  r_9 – r_7 \cdot r_{11}) \, ;\, ( \, ……. \, ) }$

Dalsze rozważania zmieszczono w podręczniku Ditlevsen, Madsen (1996) [37].

Przykład 5 [ Oszacowania niezawodności metodą uogólnionej korelacji]

Wyznaczyć niezawodność belki żelbetowej , pokazanej na rys. P5-1  metodą uogólnionej korelacji,
Uwzględnić mechanizm zniszczenia zbrojenia (przekrój-warstwa 1), a także betonu (przekrój-warstwa 2) oraz mechanizm ścięcia przekroju przypodporowego 3. Zmiennymi losowymi zadania są własności materiałów: stali $ f_y $ oraz betonu $f_c$, a także rozstaw zbrojenia $s$ oraz obciążenia stałe $G$ oraz zmienne $Q$.

Rys. P5-1 Belka żelbetowa do przykładu 3 [28]

Pomiędzy wytrzymałością stali i betonu zachodzi korelacja statystyczna mierzona współczynnikiem korelacji $\rho_{b,s}=0,8$.

Nośności przekroju belki dla poszczególnych mechanizmów zniszczenia są następujące:

1. nośność zbrojenia w zginanym przekroju 1:  $R_1=b \cdot x_{eff}(d-0,5x_{eff})$, gdzie $x_{eff}= \cfrac {A_s \cdot f_y}{b \cdot f_c}$;
2. nośność betonu w zginanym przekroju 2:      $R_2=0,42 \cdot b \cdot d^2 f_c$;
3. nośność na ścinanie w przekroju 3 :                $R_3 = \sqrt{ 8 \cdot b \cdot d^2 \cdot A_{s,w} \cdot f_{y,w} \cdot f_{c,t}}$.

Liczba wyżej wymienionych mechanizmów jest liczbą elementów systemu niezawodnościowego,
$n=3$

Siły przekrojowe wynoszą:
moment zginający w środku rozpiętości                 $ S_1=\cfrac {(G+Q) \cdot l^2} {9}$;
siła poprzeczna                                                             $ S_3=\cfrac {(G+Q) l}{2}$

Powyższe związki funkcyjne prowadzą do skorelowania nośności oraz sił przekrojowych, nawet jeśliby zmienne wejściowe były niezależne. Po przeprowadzeniu obliczeń pierwszego rzędu (linearyzacji), otrzymano wartości parametrów statystycznych, zestawione w tab P5-1. Szczegółowych obliczeń w tym zakresie nie przeprowadza się, ponieważ nie są one przedmiotem przykładu. Ze względu na silnie nieliniowe związki pomiędzy zmiennymi sugerujemy, by obliczenia prowadzić metodami symulacyjnymi za pomocą ogólnie dostępnych generatorów liczb losowych i procedur numerycznych, a nie w drodze  przekształceń wzorów.

Tab. 5-1 Parametry statystyczne zmiennych do przykładu 3.

Średni współczynnik uogólnionej korelacji ($\ref{63}$) wynosi: $\rho_m= \cfrac{2(0,332+0,371+0,580)}{3\cdot (3-1)}=0,428$

Miarodajny współczynnik korelacji ($\ref{62}$) wynosi:

$ \rho = 0,428 \{ 2-[0,428 + \cfrac {(1-0,428) \cdot (3-log3)} {1-0,1 \cdot 0,428^2 \cdot (3-log3)^2 } ] \} \approx 0$

W przykładzie założymy, że zapasy bezpieczeństwa dla poszczególnych mechanizmów $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$ mają normalny rozkład prawdopodobieństwa.

Wówczas indeksy niezawodności wynoszą:
$\beta_1=\cfrac {\mu_{Z_1}}{\sigma_{Z_1}} =\cfrac{109}{51,9}=2,10$,
$\beta_2= \cfrac{474}{132}=3,59$,
$\beta_3= \cfrac{127}{55,5}=2,29$.

Z tablic rozkładu normalnego uzyskujemy prawdopodobieństwo niezawodności dla poszczególnych mechanizmów zniszczenia:

$ p_{s1}=\Phi (2,10)= 0,98214$,
$ p_{s2}=\Phi (3,59)=0,99983$,
$ p_{s3}=\Phi (2,29)=0,98899$.

Niezawodność systemu ($\ref{61}$), wynosi:

$ p_s \approx 0,0 \cdot \min \{ p_{s1} ; p_{s2} ; p_{s3} \}+(1-0,0) [1- (1-p_{s1}) \cdot (1-p_{s2}) \cdot (1-p_{s3})]=0,0 +1,0[1-(1-0,98214)(1-0,99983)(1-0,98899)]=0,9999$

Można wykazać, że dokłądniewsze oszacowanie niezawodności systemu wskazuje, że jest ona jest nieco mniejsza wynosi 0,9918.
Niezawodności poszczególnych mechanizmów dokłądniej opisuje się je krzywymi  Gram-Charlier z uwzględnieniem ekscesu i skośności rozkładu [28] .

Przykład 6 [ Żelbetowa rama portalowa. Metoda uogólnionej korelacji ]

Wyznaczyć niezawodność ramy portalowej (rys.P6-1), złożonej z 8-miu elementów: 1- mechanizm zniszczenia dolnego zbrojenia rygla, 2- mechanizm zniszczenia ściskanego betonu, 3- mechanizm zniszczenia przekroju na ścinanie, 4 – słup,  5, 6 – stopa słupa, 7- kielich słupa, 8 – podłoże gruntowe .

Rys.P6-1. Żelbetowa rama portalowa , poddana działaniu wiatru i obciążeń pionowych: A- rygiel, B-słup, C-fundament

Niezawodności poszczególnych elementów (mechnizmów zniszczenia) wynoszą:
[$p_{s1};…; p_{s8} $]=[99,8; 99,9; 99,6; 95,1; 92; 95,9; 99,9; 99,7]%, a współczynniki korelacji
[$\rho_{1,2};…\rho_{7,8}$]=[0,38; 0,34; 0,58; 0,8; 0,7; 0,9; 0,8].

Dla poszczególnych podsystemów mamy:

podsystem A (rygiel):
($\ref{63}$) → $\rho_m=(0,39+0,35+0,58)/3=0,44$,
($\ref{62}$) → $\rho \approx 0$,
($\ref{61}$) → $p_{sA}=0,998\cdot 0,999\cdot 0,996=0,993$

podsystem B (słup):
($\ref{63}$) → $\rho_m=(0,8+0,7+0,93)/3=0,81$,
($\ref{62}$) → $\rho \approx 0,81\{ 2-[0,81+ \cfrac{(1-0,81)(3-log3)}{1-0,1\cdot 0,81^2(3-log2)^2}]\}=0,21$,
($\ref{61}$) → $p_{sB} \approx 0,21 \cdot 0,92+(1-0,21)[1-(1-0,951)(1-0,92)(1-0,959)] \approx 0,9831$

podsystem C (fundamenty):
($\ref{62}$) → $\rho \approx 0,8\{ 2-[0,8+ \cfrac{(1-0,8)(3-log 2)}{1-0,1\cdot 0,8^2(3-log2)^2}]\}=0,59$,
($\ref{61}$) → $p_{sB} \approx 0,59\cdot 0,997+(1-0,59)\cdot 0,999 \cdot 0,997 \approx 0,9966$

System (Rama=A+B+C):

Podsystemy są losowo niezależne, więc należy je traktować jako system szeregowy z punktu widzenia niezawodności. Na podstawie formuły (20) mamy:

$p_s=0,993 \cdot 0,9831 \cdot 0,9966=0,9729$.

Przykład 7 [Bikonstrukcja  (sprzężone dźwigary płaskie). Metoda uogólnionej korelacji]

Na prostym przykładzie zespołu kratownic płaskich K1, K2 (prawa, lewa) (rys. P7-1) sprzężonych stężeniami T1 (górne i dolne) oraz T2 (pionowe) przeanalizujemy wpływ stężeń  na niezawodności bikonstrukcji.

Rys. P7-1 Bikonstrukcja: kratownice K1, K2 sprzężone stężeniami T1, T2

Analiza wpływu stężeń na nielosową nośność bikonstrukcji

Mechanizmy zniszczenia ustroju zależą o konfiguracji obciążeń. Dla dominujących obciążeń pionowych kratownice K1 i K2 są obciążone siłami pionowymi w węzłach pasów górnych. W przypadku rozprzężenia ( braku stężeń T1 i T2) mechanizm zniszczenia kratownicy K1 (lub K2) pokazano na rys. Rys P7-2 .

Rys. P7-2. Mechanizm zniszczenia kratownicy K1 pod obciążeniami pionowymi (kratownica przed zniszczeniem – szara, po zniszczeniu -niebieska). Zniszczenie polega na utracie płaskiej postaci zginania

Obraz z rys. P7-2 uzyskano dla kratownicy o wysokości 3 m, rozpiętości 5×3=15 m, obciążonej siłami skupionymi V=23 kN w każdym węźle górnym i równoważnymi siłami poziomymi od imperfekcji H=V/100=0,23 kN i po przeprowadzeniu  obliczeń  2-rzędu $P-\Delta$.

Dla prętów wykonanych z RP 200x100x5-S355 (większy wymiar rury w pionie), czyli o sztywności osiowej

$ EA=2,1 \cdot 10^5 \cdot 28,36 \cdot 10^{-4}=5,96 \cdot 10^2 MN$   (P7-1)

(moduł Younga stali $E=2,1 \cdot 10^5 MPa$ ; pole przekroju dla RP 200x100x5: $A=28,36 cm^2$)

Obliczenia wykazały) (rys. P7-3), że krytycznym punktem konstrukcji jest pas dolny przy podporze, który przy uwzględnieniu zjawisk niestateczności i innych warunków normowych [38] jest pod obciążeniem porównawczym V=23 kN wytężony w  90,9 %.
Oznacza to, że obciążenie można w zwiększyć o 1/90,9%=1,100, czyli do wartości $V=1.1 \cdot 23=25,3 kN$. Graniczny mnożnik obciążenia (nośność konstrukcji ) wynosi:

$\Lambda=1,10$, (P7-2)

Przemieszczenia końca wspornika wynoszą: pionowe $\delta_z= 22 mm$, a boczne $\delta_y=18 \cdot \delta_z$ przy 100x mniejszej sile poziomej. Skrócenie pręta (od spaczenia 2- rzędu) wynosi $\delta_x= \cfrac{\delta_z} {11}$.

Rys. P7-3. Sprzężone kratownice płaskie: a) stężeniem górnym T1, b) stężeniem czołowym T2, c) stężeniami T1+T2, d) stężeniami T1+T2+T1* (stężone dolne pasy)

W tab. P7-1 zestawiono nośności  bikonstrukcji sprężonej stężeniami w układach z rys. P7-3.

Tab.P7-1. Wpływ stężeń bikonstrukcji na jej nośność $\Lambda$

Sprzężenie pasów górnych stężeniem T1 prowadzi do wzrostu nośności $\cfrac{2,0} {1,105} = 81%$. Natomiast sprzężenie czoła stężeniem T2 o 63%, a stężeniami T1+T2 o 94%. Sprzężenie pasów dolnych jest niekorzystne z powodu nadmiernego skrępowania bikonstrukcji.

Nośność  bikonstrukcji stężonej przez T1+T2 zwiększyła się dwukrotnie w stosunku do rozprzężonej kratownicy płaskiej. Należy zwrócić uwagę na to, że efekt taki uzyskano  przy obciążeniu każdego węzła identyczną siłą – to znaczy sumaryczne obciążenie bikonstrukcji jest dwa razy większe od obciążenie kratownicy płaskiej.

Wpływ stężeń T1 i T2 na niezawodność bikonstrukcji

Przenalizujemy wpływ stężeń T1 i T2 niezawodności bikonstrukcji.
Przyjmiemy, że informacje o stężeniu o zadanym układzie geometrycznym są zintegrowane w jednej wejściowej zmiennej losowej X, którą jest sztywność osiowa pręta stężenia. Natomiast zmienną wyjściową $Y$ jest nośność konstrukcji $\Lambda$.

$ X=EA$ \quad ; \quad  $Y=\Lambda$    (P7-3)

gdzie:
E jest moduł Younga,
A pole przekroju pręta
$\Lambda$  mnożnik  obciążenia przy którym konstrukcja przestaje spełniać warunki graniczne.

Wpływ stężeń T1

Rozważmy najpierw wpływ tylko stężeń T1.  Brak stężeń T1 oznacza realizację bikonstrukcji ze stężeniami o zerowej sztywność (EA=0). Natomiast realizacje nośności bikonstrukcji o sztywności nominalnej zestawiono w tab.P7-1.

Dla tych dwóch punktów sporządzono nielosową zależność nośności konstrukcji od sztywności stężeń T1 i pokazano ją na rys. P7-4.

Rys. P7-4 Zależność nośności konstrukcji $\Lambda$ od sztywności $EA$ stężeń T1

Funkcję stanu granicznego $Y=g(X)$ w tym przypadku opisuje prosta

$ Y=\varphi (X)=1,1+1,5 \cdot 10^{-3} X $               (P7-4)

W przypadku większej liczby punktów obliczeniowych dokładność wyznaczenia zależności  $EA \to \Lambda$ zwiększy się. Funkcję ciągłą w tych przypadkach zaleca się wyznaczać procedurami metody minimów kwadratów (metodami regresji) dla funkcji sklejanych z odcinków parabol. Procedura ogólna będzie przedmiotem innego opracowania. W tym przypadku wyznaczamy podstawowy tok postępowania i nie będziemy rozszerzać rozważań na okoliczności poboczne.

Parametry statystyczne zmiennej wejściowej X=EA, określimy na podstawie publikowanych wyników badań dla modułu Younga oraz pola przekroju profili stalowych [39] :

moduł Younga E:  $\mu_E=2,1 10^5 MPa$; $v_E=1,5%$,
współczynnik zmienności długości ścianki:  $v_l=3%$
współczynnik zmienności grubości ścianki: $v_t=2%$
pole przekroju A:   $\mu_A= 28,36 cm^2$ ( z tablic producenta);  $v_A= \sqrt{4( 3^2\%+2^2\%)}=3,6\%$ (cztery ścianki rury prostokątnej)

sztywność EA:
$ (P7-1) \to $ $\mu_{EA}=5,96 \cdot 10^2 \, kN $;
$v_{EA}=\sqrt{ 1,5^2+3,6^2}=3,6 \%$;
$\sigma_x=v_{EA} \cdot \mu_{EA}= 5,96 \cdot 10^2 \cdot 3,6 \%=0,215 \cdot 10^2 =21,5\, kN $,
Powyżej wyrażenia na współczynniki zmienności funkcji otrzymano w drodze linearyzacji, w sposób analogiczny jak pokazano niżej.

W celu zaprezentowania metody, parametry statystyczne funkcji (P7-4) wyznaczymy metodą linearyzacji mimo, że funkcja jest liniowa i można wyznaczyć je z definicji.

$\varphi(x)^{’} = \cfrac {\partial \varphi(X)}{\partial X}= 1,5 \cdot 10^{-3}$

$\sigma_y^2= [\varphi(0^{’}]^2 \cdot \sigma_x^2=(1,5 \cdot 10^{-3})^2\cdot 70,3^2 = 7,4 \cdot 10^{-3}$

Postępując analogicznie wyznaczamy parametry losowe funkcji wspływu stężeń

Literatura
1. PN-ISO 2394:2000, Ogólne zasady niezawodności konstrukcji budowlanych
2. IFSC (Ed.),(2010). Model Code 2010 (Vol. 1). International Federation for Structural Concrete
3. Storey N.,(2010). Safety-critical computer systems (Nachdr.). Prentice Hall
4. Leveson, N. G. (1995), Safety as a system property. Communications of the ACM, 38(11), 146
5. Websters M. (Ed.), (1996). Webster’s encyclopedic unabridged dictionary of the Eng-lish language (New deluxe ed). Gramercy Books (Div. of Random House
6. Frei D. (1977). Sicherheit: Grundfragen d. Weltpolitik (1. Aufl). Kohlhammer
7. Murzewski, J. (1989). Niezawodność konstrukcji inżynierskich. Arkady
8. Hasofer, A. M., Lind, N. ., C., (1974). Exact and invariant second-moment code format. Journal of Engineering Mechanics Division ASCE, Vol.100(No EM1/1974), 111–121
9. Wikipedia. (2016). Bezpieczeństwo.[ https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Bezpiecze%C5%84stwo&oldid=45884012 ]
10. Główny Urząd Nadzoru Budowlanego,  Katastrofy budowlane w 2024 roku, Warszawa, lipiec 2025
11. Department of Defense USA, System Safety. MIL-STD-882E, Standard practice, 2012, [ http://www.system-safety.org/Documents/MIL-STD-882E.pdf]
12. Rausand, M., Hoyland, A. (2004), System Reliability Theory. Models, Statistical Methods, and Applications. Wiley Interscience
13. PN-EN 1990:2004, Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji
14. Korn T., M. (1983). Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów (Tom 1, 2). PWN, Warszawa
15. Kapur K. C., Lamberson L. R. (1977), Reliability in engineering design. Wiley
16. Korn T., M. (1983), Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów (Tom. 1, 2), PWN, Warszawa
17. Melnyk M. (1974), Principles of applied statistics. Pergamon Press
18. Cox D. R., Hinkley D. V. (2000). Theoretical statistics. Chapman & Hall/CRC,
19. Seber G. A. F., Lee A. J. (2003), Linear regression analysis (2nd ed). Wiley-Interscience
20. Barlow R. E., Proschan F. (1974). Statistical theory of reliability and life testing: probability models. Holt, Rinehart and Winston
21. Migdalski J. (Ed.). (1982). Poradnik niezawodności. Podstawy matematyczne, Wydawnictwa Przemysłu Maszynowego WEMA
22. Cornell C. A. (1969). A Probability Based Structural Code. American Concrete Institute Journal, 66, 974–985
23. Augusti G., Barattta A. (1972). Limit analysis of structures with stochastic strengths variations. Journal of Structural Mechanics, 1(1), 43–62
24. Ditlevsen O. (1979). Narrow reliability bounds for structural systems. Journal of Structural Mechanics., 7(4), 453–472
25. Żukowski S. (2006), Ocena bezpieczeństwa płaskich konstrukcji prętowych w aspekcie teorii przystosowania. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, [ http://direct.dbc.wroc.pl/Content/1462/zukowski_ocena_bezpieczenstwa.pdf ]
26. Bobrowski D. (1985). Modele i metody matematyczne niezawodności. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa
27. Załęska-Fornal A. (2006). Miary niezawodnościowej i strukturalnej istotności elementów. Rok XLVII [3(166)], 137–150. [http://yadda.icm.edu.pl/yadda/element/bwmeta1.element.baztech-article-BWM9-0001-0010/c/Zaleska-Fornal_A.pdf ]
28. Kudzys A. P. (1985). Ocenka nadeznosti zelezobetonnych konstrukcij ( Relaibility estimation of reinforced concrete structures. Mosklas Publisher, Moskva
29. Izdatelstvo standartov, (1976), Metodyka rasceta nadeznosti izdelij z ucetom postepennych otkazov. Izdatelstvo standartov, Moskva
30. Kudzys A. P. (1985). Ocenka nadeznosti zelezobetonnych konstrukcij ( Reliability estimation of reinforced concrete structures. Mosklas Publisher, Moskva
31. Kudzys A. P. (1985). Ocenka nadeznosti zelezobetonnych konstrukcij/ Reliability estimation of reinforced concrete structures. Mosklas Publisher, Moskva
32. Lundberg J.E., Galambos T.V., Load and resistance factor design
    of composite columns. Structural Safety, 18 (1996), str. 169–177
33. Razzaq Z., Prabhakaran R.: Load and resistance factor design (LRFD) approach for reinforced-plastic channel beam buckling. Composites: Part B, 27B (1996), str. 361–369
34. King L., Toutanji H., Vuddandam R.: Load and resistance factor design of fiber reinforced polymer composite bridge deck. Composites: Part B,
    43 (2012), str. 673–680
35. Elishakoff I.: Probabilistic methods in the theory of structures. John Wiley and Sons, Chichester  1983
36. PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3: 2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
37. Ditlevsen, O., & Madsen, H. O. (1996). Structural reliability methods. Wiley
38. PN-EN 1993-1-1+A1:2006, Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
39. Mrazik A. (1987). Teoria Spolahlivosti ocelovych konstrukcii. VEDA Vydatelstvo slovenskej akadamie VIED

________________________________