Krótki wspornik żelbetowy

Leszek Chodor, 13  marzec 2024
(26 lipca 2018 – wydanie pierwsze ; 7 luty 2023 duże korekty; 6 kwiecień – dodano przykłady)

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 43 Czytelników

W konstrukcjach żelbetowych ścinanie jest znacznie ważniejsze niż w innych typach konstrukcji. Często występują w nich bowiem obszary krępe, takie jak: krótkie wsporniki, podcięcia belek, belki – ściany itd. Smukłość tych obszarów  liczona jako stosunek długości L do wysokości H jest mniejsza od  L/H < 4  (dla wsporników 2), co wskazuje, że są tarczami, a nie prętami i nie obowiązuje dla nich teoria belkowa. Stosowany powszechnie klasyczny mechanizm kratownicowy Mōrscha [1], mechanizm ST (Strut-Tie) [2]  dla szeregu nietypowych węzłów należy zweryfikować poprzez rozwiązanie tarczy metodą MES. Analiza modelu tarczowego pomaga w wyjaśnieniu mechanizmu zniszczenia oraz wyborze modelu obliczeniowego krótkiego wspornika lub innych obszarów „nieciągłości”  prętowo-płytowego systemu konstrukcyjnego.
Nie ma jednego, ogólnego modelu ST żelbetowych wsporników – podobnie jak modelu załomów plastycznych płyt. To projektant decyduje o doborze modelu obliczeniowego, tak aby opracować projekt optymalny ze względów niezawodności i ekonomiki. Model ST nie wyjaśnia mechanizmu zarysowania elementu, dlatego oprócz zbrojenia nośnego w miejscach potencjalnie narażonych na powstawanie zarysowań, np. w narożach wklęsłych należy dodać zbrojenie konstrukcyjne przeciw zarysowaniom betonu. 

Krótki wspornik słupa

Krótki wspornik słupa jest obszarem nieciągłości  typu tarczowego Dt (p. Idea hybrydowego projektowania żelbetu), który wymaga analizy metodami innymi niż klasyczna teoria belkowa i  standardowa metoda elementów skończonych  z elementami skończonymi typu prętowego.

Definicja i mechanizm zniszczenia krótkiego wspornika

Przez krótki wspornik słupa żelbetowego uważa się wspornik, którego wysięg $a_c$ (liczony od lica słupa do osi obciążenia pionowego  jest co najwyżej rzędu wysokości wspornika $h$ w licu słupa, a dokładniej, gdy zachodzi wg normy [2]:

$$\begin{equation} a_c <  z_0 ( \approx  0,85\cdot d)\label{1} \end{equation}$$

gdzie $z_0$ (rys.1a) jest  ramieniem działania poziomej siły   rozciągającej $F_{td}$  w pasie górnym liczonym od pkt 2 (na rys.8) do punktu przecięcia osi krzyżulca betonowego z licem słupa. Ramię $z_0$ można wyznaczyć dopiero po zbudowaniu modelu ST i wyznaczeniu kąta nachylenia krzyżulca betonowego $\Theta$, ale wstępnie wg [3] można  przyjąć $ z_0 =0,85 \cdot d$, gdzie  $d= h-a_u $ jest wysokością efektywną przekroju: h- wysokość wspornika,  $a_u$ – otulenie głównego zbrojenia (górnego).

Rys.1 Krótki wspornik żelbetowy: a) mechanizm pracy , b) zbrojenie  dla $ a_c/d \le 0,3$ ; c) zbrojenie  dla $a_c/d >  0,3$ podział wg [4], Fig 2.152

W przypadku krótkiego wspornika założenia teorii belkowej, a szczególnie płaskich przekrojów są silnie zaburzone i w konsekwencji zawodzi chętnie stosowana przez inżynierów standardowa metoda belkowa. Teoretycznie uzasadnionym  modelem krótkiego wspornika jest model tarczowy, lub zastępczy, przybliżony model kratownicowy ST. Klasa „krótkich” wsporników rozciąga się na większy zakresu smukłości wspornika, wynoszący

$$\begin{equation} a_c < 2 \cdot h\label{2} \end{equation}$$

Dla wsporników krótkich spełniających warunek ($\ref{2}$) nie należy stosować metody belkowej, mimo że w literaturze, np. w pracy Urban (2012) [5] można znaleźć zalecenie o dopuszczalności stosowania tej metody już od $a_c  > 0,5 d$. Jednakże badania  teoretyczne i eksperymentalne jednoznacznie wskazują, że  model belkowy może być stosowany dopiero dla smukłych wsporników ($a_c > 2d \approx 2h$). Przestrzeganie tej zasady pozwala uniknąć błędów, które wielokrotnie prowadziły do awarii krótkich wsporników.

Geometria wspornika i warunki konstrukcyjne

Wymagane wymiary i zbrojenie wsporników zależą od wielu czynników ( stosunku i wielkości obciążeń, stosunków wymiarowych słupa i wspornika, warunków brzegowych – w tym sprężystego zamocowania wspornika w słupie oraz sztywności słupa w części nad- i pod-wspornikowej),  więc formułowanie ogólnych zaleceń nie jest możliwe ani wskazane. Poniższe zalecenia należy taktować jako propozycje, a nie  obowiązujące  zasady.

Wysokość krótkiego wspornika

Szacunkową wysokość krótkiego wspornika  przy założeniu, że naprężenie w ściskanym krzyżulcu betonowym  nie przekroczy wytrzymałości betonu na ściskanie $\sigma_c < 1,0 \cdot f_{cd}$  można wyznaczyć z zależności [4], wzór(28):

$$\begin{equation} min \, d  = \cfrac{3,58\cdot F_{Ed}}{f_{cd}\cdot b} \label {3}\end{equation}$$

Wysokość wspornika  oszacowana z ($\ref{3}$) nie jest zależna od $a_c / h$ i ma zastosowanie dla wsporników o smukłości $a_c / h \le 1,1$ . W przypadku dłuższych wsporników $\cfrac{a_c}{h} > 1,1 $  wstępną wysokość można przyjąć  jak dla belki  o długości liczonej jako potrojony wysięg wspornika  przed lico słupa $ L=3 \cdot a_c$.

Wysokość krótkiego wspornika powinna umożliwić  prawidłowe  ułożenie i zakotwienie głównego zbrojenia górnego,  które jest rozciągane siłą w przybliżeniu proporcjonalną do wysokości wspornika – niewielkie zwiększenie wysokości wspornika może w prosty sposób rozwiązać problemy konstrukcyjne. Zwiększenie wysokości wspornika może też być  potrzebne w celu spełnienia warunków wytrzymałościowych dla  ściskanego krzyżulca betonowego i jego docisku do węzła.

Odchyłki, detale i  długość oparcia

O wiele ważniejsze od dokładnego zbrojenia jest prawidłowe zaprojektowane detali wspornika. Ze względu na małe wymiary należy stosować niewielkie tolerancje i odchyłki oraz dokładną kontrolę jakości wykonania szalunku oraz zbrojenia wspornika. Potencjalne problemy byłyby całkowicie nieproporcjonalne do oszczędności w zbrojeniu lub betonie.

Kształtowanie zbrojenia w elementach podpieranych i podpierających należy przeprowadzić  z uwzględnieniem dopuszczalnych, specyficznych dla strefy podparcia odchyłek wykonawczych.
Na rys. 2 pokazano wymiary podkładki oraz odległości podpory od krawędzi będące przedmiotem unormowania [2].
Skuteczna długość podparcia zależy od odległości $d$  między krawędziami łożyska i krawędziami rozpatrywanych elementów.
W elementach z pętlami poziomymi lub z końcami prętów zakotwionymi w inny sposób
$d_i = c_i+\Delta a_i$.
W elementach z prętami odgiętymi pionowo
$d_i = c_i +\Delta a_i + r_i$,
gdzie:  $c_i$ otulenie betonem, $\Delta a_i$ – odchyłka określona w tabelach normy [2], tab. 10.4 i 10.5; $r_i$ –  promień zagięcia.

Nominalną długość $a$  potrzebną do umieszczenia prostego podparcia można obliczyć z  [2],- wzór (10.6):

$$\begin{equation} a= a_1+a_2+a_3+\sqrt{\Delta a_2^2 +\Delta a_3^2 }\label{4} \end{equation}$$

gdzie:

$a_1$   jest długością podparcia netto (szerokością podkładki) wyznaczoną ze względu na naprężenie na powierzchni podparcia jak następuje:

$$\begin{equation} \sigma_{Ed}= \sigma_m = \cfrac{F_{Ed}}{a_1 \cdot b_1} \le f_{Rd,max}  \quad  \to  a_1= \cfrac{F_{Ed}}{b_1 \cdot f_{Rd}} \label{5} \end{equation}$$

ale nie mniej niż minimum według tab.1.

W niniejszym artykule często oznacza się $a_1=a=b_p$ (wg rys. 8 ) i  $b_a= l_p$, W ogólności (dla obciążeń innych niż skupione) naprężenie $\sigma_m$  ($\ref{5}$) jest średnim naprężeniem pod podkładką

Tab.1. Minimalne wartości $a_1$, $a_2$ – rys. 5 [2], tab.  10.2 i tab. 10.3

Minimalne wartości $a_3$ zależą od sposobu zbrojenia nad podpora liniową lub skupioną:

• dla prętów ciągłych nad podporami (zamocowanymi lub nie) $a_3 = 0$,
• dla prętów prostych, pętli poziomych blisko końca elementu:  $a_3=5$  mm (podpora liniowa), a dla podpory skupionej 15 mm, ale nie mniej niż otulenie końca,
• dla cięgien lub prętów prostych odsłoniętych na końcu elementu: $a_3=5$  mm (podpora liniowa) lub 15 mm  dla podpora skupionej,
• dla pionowych pętli zbrojenia $a_3=15$  mm (podpora liniowa), a dla podpory skupionej otulenie końca plus wewnętrzny promień zagięcia.

$\Delta a_2$   jest poprawką w mm ze względu na odchyłki odległości między elementami podpierającymi i wynosi

$$\begin{equation} \Delta a_2 = \begin {cases}
10  \le l/1200 \le 30, & \text{ dla stali lub betonu prefabrykowanego },\\
15  \le l/1200 +5 \le 40  & \text{ dla muru lub betonu układanego na budowie}, \\
\end{cases} \label{6}\end{equation}$$

gdzie $l$ – odległość w świetle  między licami podpór,

$\Delta a_3$  jest poprawką w mm  ze względu na odchyłki długości elementu podpieranego i wynosi

$$\begin{equation} \Delta a_3 = \cfrac{l_n}{2500} \label{7}\end{equation}$$

gdzie $l_n$ – długość elementu podpieranego w mm.

Rys.2. Wspornik żelbetowy. Odchyłki  [2], rys. 10.5 i 10.6 (zmodyfikowane)

Jeżeli w celu uzyskania równomiernego nacisku na podporze podjęto kroki takie jak np. zastosowanie podkładki z zaprawy, neoprenu lub inne podobne, to za obliczeniową szerokość podpory b] można przyjąć jej szerokość rzeczywistą. W innych przypadkach, gdy nie wykonuje się dokładniejszej analizy, wartość nie powinna być większa niż 600 mm.

Ważne są sfazowania naroży wklęsłych wspornika (p. rys. 7) oraz  naroży zewnętrznych (p. rys 2) w każdym przypadku, gdy nie osłaniamy ich kątownikiem lub innym kształtownikiem.

Należy prawidłowe zakotwić  łożyska do  układu zbrojenia w zależności  od  sił obliczeniowych, rektyfikacji (ustawienia) łożyska na etapie montażu i podczas eksploatacji oraz przemieszczeń montażowych, termicznych itp.

Dopuszczalny kąt nachylenia krzyżulca betonowego $\Theta$

W tradycyjnej analogii kratownicowej Mōrscha [1] przyjmowało się $\Theta=45^0$. W procedurze wymiarowania Eurokod 2 [2] – wzór (6.7N) zaleca się, by ten kąt przyjmować w granicach:

$$\begin{equation} 0,5 <  ctg \, \Theta  \le 1,0  \label{8} \end{equation}$$

czyli  $ 45^0 \le \Theta < 63,4^0$ (wg wersji angielskiej  $0,4 < ctg \,\Theta \le 1,0$ , czyli $ 45^0 \le \, \Theta < 68,2^0$).

Wytrzymałość obliczeniowa betonu w strefie podparcia

Jeżeli nie ma innych ustaleń, to w przypadku połączeń suchych (to znaczy takich, w których nie zastosowano warstwy materiałów takich jak zaprawy, betony lub polimery), za wytrzymałość obliczeniową betonu w strefie podparcia można przyjmować $f_{Rd} = 0,4 \cdot f_{cd}$.
We wszystkich pozostałych przypadkach:

$$\begin{equation} f_{Rd} =  f_{bRd} \le 0,85 \cdot f_{cd}\label{9} \end{equation}$$

gdzie:
$f_{cd}$ jest mniejszą z wytrzymałości obliczeniowych betonów elementu podpartego i podpierającego,
$f_{bRd}$  jest wytrzymałością obliczeniową materiału warstwy wyrównującej.

Za strefę poparcia uważa się obszar betonu pod płytką podporową lub podlewką z zaprawy montażowej, itp. To znaczy wytrzymałość ($\ref{8}$) jest właściwa przy doborze powierzchni poparcia i wymiarów podkładki.

Wytrzymałość betonu na ściskanie wewnątrz wspornika

Wytrzymałość betonu na ściskanie wewnątrz wspornika, w tym w węzłach z zakotwionymi prętami rozciąganymi T ( w jednym kierunku, w dwóch kierunkach – rys 3, lub bez zakotwionych  prętów T lub dla samego pręta ściskanego S) wyznacza się  z zależności  [2], klauzula 6.5.4 (4)

$$\begin{equation} \sigma_{Rd, max} =k \cdot \nu’ \cdot f_{cd} \label{10} \end{equation}$$

gdzie:
współczynnik redukcyjny $\nu’$ uwzględnia zarysowanie strefy i wynosi wg [2], klauzula 6.5.2 (2) , wzór  (6.57N)

$$\begin{equation} \nu’ =1- \cfrac{f_{ck}}{250} \label{11} \end{equation}$$

Współczynnik $k$ zależy od rodzaju węzła ( sposobu obciążenia):

$$\begin{equation} k= \begin {cases}
1,0 & \text{ w węzłach w których nie są zakotwione żadne pręty rozciągane typu T  (6.60)},\\
0,85 & \text{ z zakotwionymi w węźle prętami rozciąganymi T w jednym kierunku  (6.61)}, \\
0,75 & \text{ z zakotwionymi w węźle z prętami rozciąganymi T w dwóch kierunkach  (6.62) – rys.3},\\
0,6, & \text{ dla pręta betonowego ściskanego T pomiędzy węzłami (6.56)},\\
\end{cases} \label{12}\end{equation}$$

W nawiasach () podano numery wzorów  w normie [2].

Rys. 3 Węzeł typu T-T [2], rys. 6.28

Model tarczowy krótkiego wspornika

Budowę  modelu tarczowego krótkiego wspornika przedstawiono na przykładzie wspornika z przykładu 21.1 z pracy [6], zobrazowanego na rys. 4.

Rys.4 Geometria przykładowego wspornika słupa

Rys. 5 Model tarczowy krótkiego wspornika

Na rys 5 pokazano modelu tarczowy krótkiego wspornika  z rys. 4.

Na rys. 6  przedstawiono pole naprężeń głównych: maksymalnych  $\sigma_1$ oraz minimalnych $\sigma_2$ we wsporniku ze sfazowanymi narożami połączeń wspornika ze słupem. Naprężenia rozciągające są dodatnie, a ściskające ujemne.

Rys. 6 Model tarczowy wspornika. Mapa naprężeń głównych

Analiza tarczowa naprężeń minimalnych (ściskających) $\sigma_2$ jednoznacznie pokazuje ścieżkę wędrówki naprężeń od powierzchni przyłożenia obciążeń (podkładka) do słupa poprzez krzyżulec betonowy   o szerokości szacunkowo takiej, jak szerokość podkładki (w przykładzie c=140 mm). Krzyżulec  ten jest nachylony do poziomu pod kątem $\Theta$, spełniającym warunek ($\ref{8}$). W ten sposób zidentyfikowano tworzenie się ściskanego krzyżulca betonowego.
Przy górnej powierzchni wspornika tworzy się linia rozciągania –  jest największa w pobliżu słupa i wędruje ku części słupa nad wspornikiem.

Obserwuje się jakościową zmianę przebiegu naprężeń rozciągających w słupie w stosunku do teorii belkowej, podług której  krawędź zewnętrzna słupa w obszarze wspornika  powinna być rozciągana, a krawędź wewnętrzna ściskana. Tymczasem oś obojętna słupa przebiega ukośnie, a rozciąganie i ściskanie krawędzi słupa zmienia się  na wysokości obszaru wspornika,  a  ścinanie przekroju słupa jest największe na wysokości wspornika.

Przy krawędzi dolnej występują naprężenia ściskające, a zbrojenie podłużne wymagane jest tylko ze względów konstrukcyjnych (do mocowanie strzemion pionowych)

W narożu górnym połączenia słupa ze wspornikiem mimo sfazowania naroża nadal występuje spiętrzenie naprężeń. Z kierunku naprężeń głównych w narożu wynika, że rozwarstwiają one naroże prostopadle do przekątnej. Wobec tego można zastosować standardowe zbrojenie naroża.

Z analizy naprężeń tarczowych (rys. 6) wynika sposób zbrojenia pokazany na rys. 7.

Rys. 7 Idea zbrojenia wspornika sformułowana z rozwiązania tarczowego: [1] – zbrojenie główne

Dokładność oszacowania  sił działających w prętach zbrojenia i krzyżulcu betonowym zależy od dokładności odczytania wartości naprężęń i szerokości ich występowania, a to wymaga dużej wprawy w analizie mapy naprężeń przy określeniu sprzężonych – do  stosowania w projektach inżynierskich zaleca się stosowanie metody ST, która została zbudowana na zidentyfikowanym wyżej modelu krótkiego wspornika.

Klasyczny (wg normy [2] ) model ST krótkiego wspornika

W tym rozdziale podano analityczne zależności, umożliwiające oszacowanie sił  przekrojowych działających  w modelu  ST z rys. 8.

Układ prętów zastępczej kratownicy ST z  rys. 8  oraz schemat sił  wynika z mechanizmu zniszczenia (rys. 3a) rozpoznanego w drodze badań eksperymentalnych oraz analizy  tarczy (rys 5).  Układ składa się tylko z dwóch prętów i podpory :  stalowego pręta T rozciąganego S z siłą $F_{td}$ oraz żelbetowego krzyżulca  S ściskanego  siłą $F_c$ opartego na podporze (1) o szerokości o $x$ położonej już wewnątrz słupa. Pręt T musi być poprawnie zakotwiony w betonie na obu końcach – szczególnie istotne jest zakotwienie w węźle (2). Ścinanie  międzywęzłowe  przenosi beton dozbrajany strzemionami.

Rys.8 Model ST krótkiego wspornika [5], rys. 3.2.  (z modyfikacjami)

Położenie punktu CCT (2)

Położenie punktu (2) wyznaczamy z zależności

$$\begin{equation} a_H = t_p+ a_u \quad ; \quad  e= a_H \cdot \cfrac{H_{Ed}}{F_{Ed}} \label{13} \end{equation}$$

gdzie:
$t_p$  grubość podkładki podporowej
$a_u$  otulenie osiowe  – odległość od powierzchni wspornika do środka ciężkości najczęściej wielowarstwowego prętów zbrojenia górnego  złożonego z pętli ,
W przypadku zbrojenia ułożonego w jednej warstwie $a_u=c_u+d/2$, gdzie  $c_u$ – otulenie pręta o średnicy $d$
$F_{Ed}$ – pionowa składowa obciążenia obliczeniowego,
$H_{Ed}$ – pozioma  składowa obciążenia obliczeniowego (ze znakiem dodatnim – rozciągająca wspornik)

Klasyczne związki  położenie punktu CCC (1) oraz  kąt $\Theta$

Położenie punktu (1) powszechnie (np [5], [6], [7]) wyznacza się  z szerokości docisku krzyżulca betonowego $x$ i jego składowych: poziomej $x_H$ pionowej $x_V$ (rys.8) przy założeniu pozostawania punktu (1) w stanie granicznym. Z tego założeniu wyznacza się graniczną, maksymalną szerokość docisku $x$, czyli maksymalne przesuniecie punktu (1) do wnętrza słupa.
Poziomą długość docisku $x_H$  krzyżulca betonowego S ściskanego siłą $F_c$  wyznaczamy z zależności:

$$\begin{equation} x_H = \cfrac{F_{Ed}}{b \cdot \sigma_{Rd,max}} \label{14} \end{equation}$$

gdzie:
$b$ – szerokość wspornika
$ \sigma_{Rd, max}$ ($\ref{10}$) jest wytrzymałością betonu w warunkach wytężenia węzła (1), w którym  nie ma zakotwionych prętów rozciąganych, więc $k=1,0$

Z rys. 8 można odczytać następujące relacje

$$\begin{equation} ctg \, \Theta= \cfrac{x_V}{x_H} = \cfrac{a}{z}\label {15} \end{equation}$$

Rozwiązanie układu równań ($\ref{15}$)  względem $x_V$ można sprowadzić do  równania kwadratowego (p.  [8],str. 15), którego pierwiastkiem jest:

$$\begin{equation} x_V= d – \sqrt{d^2 – x_H \cdot \left[ x_H +2 \cdot ( a_c+e) \right]} \le x_{V, lim}\label{16}  \end{equation}$$

gdzie nieprzekraczalną wartość $x_{V, lim}$  przyjęto za [4], Fig 2.153 (c):

$$\begin{equation} x_{V,lim} = 0,4 \cdot \nu \cdot d \label{17} \end{equation}$$

Współczynnik  $\nu =0,8$ dla betonu zwykłego (≤ C50) i  $\nu =1/(1-f_{ck}/250)$ dla betonu wysokiej wytrzymałości (> C50).

Jeśli wynik uzyskany z ($\ref{15}$)  wykracza poza dopuszczalny przedział ($\ref{8}$) , to należy przyjąć dolna lub górną granicę przedziału odpowiednio.

Ramię siły poziomej z

Ramię sił pionowe $z$ i poziome $a$ wynosi:

$$\begin{equation} z = d-\cfrac{x_V}{2} \quad ; \quad  a = a_c + \cfrac{x_H}{2} + e \label{18} \end{equation}$$

Całkowita szerokość krzyżulca betonowego $x$ wynosi:

$$\begin{equation} x=\sqrt{x_V^2 + x_H^2} \label {19}  \end{equation}$$

Naprężenia ściskające $\sigma_c$   w węzłach betonu powinny spełniać warunek

$$\begin{equation} \sigma_c \le \sigma_{Rd,max} \label {20}  \end{equation}$$

gdzie $\sigma_{Rd,max}$ wg ($\ref{10}$).

Siła pozioma w zbrojeniu głównym $F_{td}$

Z warunku równowagi momentów względem względem punktu (1) można wyznaczyć  siłę rozciągającą zbrojenie główne $F_{td}$

$$\begin{equation}F_{td} = F_{Ed} \cdot ctg \, \Theta + H_{Ed} \cdot ( 1 + a_H/z) > 0,5 \cdot F_{Ed} \label {21} \end{equation}$$

gdzie ograniczenie minimalnej wartości siły $F_{td}$ podano za [4], Fig 2.154  Dolna granica siły rozciągającej wynosząca $0,5 \cdot F_{Ed}$  ma zastosowanie do wsporników o dużym wysiegu, a jej stosowanie w praktyce oznacza ograniczenie kąta $\Theta$  do $60^o$. Długie  wsporniki pracują „belkowo”  i wymagają zbrojenia głównego nie tylko w pobliżu górnej powierzchni wspornika, ale także przy powierzchni dolnej.

Jeżeli nie zastosowano łożyska ślizgowego, to należy przyjąć siłę poziomą przynajmniej o wartości $H_{Ed} = 0,2 \cdot F_{Ed}$ nawet jeśli z obliczeń statycznych wychodzi mniejsza. Jako pierwsze przybliżenie, często wystarczające w zastosowaniach inżynierskich można stosować szacunkową wartość siły rozciągającej zbrojenie główne $F_{td}$, wyznaczoną z zależności:

$$\begin{equation}F_{td}  \approx 1,3 \cdot \left( F_{Ed} \cdot \cfrac{ a_c}{h}  + H_{Ed}\right) \label {22} \end{equation}$$

którą uzyskano z ($\ref{21}$) przy założeniach upraszczających: $z \approx 0,85 \cdot d$  ; $d\approx 0,9 \cdot h $ ; $ a_H/z \approx 0,3$

Zakotwienie głównego zbrojenia

Główne zbrojenie rozciągane z siłą $F_{td}$ (pręt [1] na rys. 7)  powinno być zakotwione na obydwu końcach. Zakotwienie w słupie (punkt TTC) dokonuje się zwykle poprzez odgięcie do zbrojenia zewnętrznego w słupie na długość zakotwienia (zwykle ok $25 d$,  d – średnica pręta) liczoną od wewnętrznej krawędzi płytki podporowej.

Zakotwienie we wsporniku dokonuje się metodami pokazanymi w rozdziale Kotwienie_pretow w obszarach_nieciaglosci. Jeśłi akotwienie przez przyczepność (w tym  pętle poprzez poziome) nie wystarcza lub jest konstrukcyjnie trudne, to stosuje się zakotwienie spawane, (np do kątownika narożnego lub przyspojenie poprzcznych prętów zbrojeniowych. Zakotwienie  pętlami pionowymi ( poprzez zagięcie pręta w dół przy krawędzi zewnętrznej wspornika – zbrojenie konturowe) jest najczęściej zawodne, bo może wystąpić zmiażdżenie betonu w zagięciu pręta pętli pionowej w węźle (2).

Krzyżulec betonowy

Przy znajomości $F_{td}$ ($\ref{21}$) oraz kąta $\Theta$ ($\ref{15}$) siłę w krzyżulcu betonowym można wyznaczyć na wiele sposobów, np z warunku rzutów na kierunek $F_c$ lub jako wypadkową sił $F_{td}$ i $F_{Ed}$:

$$\begin{equation} F_c = (F_{td} – H_{Ed}) \cdot cos \, \Theta +  F_{Ed}\cdot sin \, \Theta = \sqrt{ (F_{td} – H_{Ed})^2 + F_{Ed}^2} \label{23} \end{equation}$$

lub z  innych warunków  np. sumy momentów względem punktu (2).

Użyteczne oszacowanie

$$\begin{equation} F_c \approx F_{Ed}\cdot \sqrt{1+\cfrac{a^2}{d^2}} \label{24} \end{equation}$$

uzyskano z ($\ref{23})^3$ po odrzuceniu wartości „małych”.

Naprężenia w krzyżulcu pomiędzy węzłami (1) i (2) powinny spełnić warunek

$$\begin{equation}  \sigma_c = \cfrac{F_c}{ x \cdot b} \le \sigma_{Rd, max} \label {25} \end{equation}$$

gdzie:
$\sigma_{Rd, max}$  wyznacza się z zależności ($\ref{10}$) dla k=0,6 ( w przypadku zastosowania strzemion poziomych można przyjąć k=0,75),
x- całkowita szerokość krzyżulca wg ($\ref{19}$).

Zbrojenie na ścinanie

Zbrojenie na ścinanie musi być szczególnie starannie zaplanowane, bowiem strzemiona poziome lub pionowe zapobiegają przedwczesnemu uszkodzeniu krzyżulca betonowego, Strzemiona wspornika należy zaprojektować tak, by zabezpieczyć przed ścięciem na odcinku $s_w$ pomiędzy licem słupa, a krawędzią wewnętrzną płytki podporowej. Jeśli na odcinku $s_w$ nie można rozmieścić wymaganej liczbę strzemion pionowych, to stosuje się strzemiona poziome Strzemiona poziome są bardziej skuteczne od pionowych, bowiem są ściskane i współpracują z betonem ściskanym.

Na rys 9 przedstawiono nomogram do doboru powierzchni $A_{sw}$ strzemion pionowych lub poziomych w zależności od smukłości wspornika $\cfrac{a_c}{h}$ w funkcji siły rozwarstwiającej $V$ (przecinającej strzemiona). W zależności od kierunku strzemion siłą rozwarstwiającą jest:

1. obciążenie pionowe $V=F_{Ed}$ dla strzemion pionowych,
2. siła rozciągająca pręt rozciągany $V=F_{td}$ dla strzemion poziomych

Rys. 10 Dobór strzemion w krótkim wsporniku w zależności od jego smukłości $a_c/h$ ( na rys. 2 smukłość $a_c/d approx 0,9 a_c/h$)

W zależności od smukłości wspornika $\cfrac{a_c}{h}$ stosuje się:

1. dla wsporników krępych o smukłości $\cfrac{a_c}{h}\le 0,5$
   poziome strzemiona o polu przekroju
   $A_{sw} = 0,3 \cdot  \cfrac{F_{td}}{f_{yw}}$,
   W tym przypadku nie stosuje się nośnych strzemion pionowych, a tylko strzemiona pionowe konstrukcyjne do związania zbrojenia górnego w maksymalnym rozstawie    konstrukcyjnym
2. dla wsporników smukłych o smukłości $ 0,5 < a_c/ h\le 1,0$
   pionowe strzemiona o polu przekroju
   $A_{sw} = ( 0\, do \, 1 ) \cdot \cfrac{F_{Ed}}{f_{yw}}$,
   i jednocześnie
   poziome strzemiona o polu przekroju
   $A_{sw} = ( 0,3 \, do \, 0) \cdot  \cfrac{F_{td}}{f_{yw}}$,
3. dla wsporników bardzo smukłych o smukłości $1,0<  \cfrac{a_c}{h} \le 1,5$ (wg autora do $\cfrac{a_c}{h} = 2,0$),
   strzemiona pionowe lub pręty odgięte zgodnie z zasadami stosowanymi w projektowaniu belek: ścinanie poprzeczne , pionowe belek

Powyżej oznaczono $f_{yw}$ – wytrzymałość obliczeniowa stali strzemion.

Maksymalny, konstrukcyjny rozstaw strzemion poziomych lub pionowych nie przekraczał 0,35 h i 150 mm. [6].

Zalecenia podane na rys. 9 uwzględniają zwiększenie wytrzymałości betonu ścinanego  na skutek obciążenia dociskiem przyłożonym do górnej powierzchni wspornika, które są przewidziane dla metody belkowej i nie należy ich stosować powtórnie.

Strzemiona są zwykle  dwucięte ($n_t=2$),  ale w przypadkach szczególnych można zastosować strzemiona podwójne (czterocięte)  ($n_t=4$). Liczba wymaganych strzemion $n_w$ o średnicy $d_w$ czyli polu pręta $A_{w1}=\cfrac{\pi \cdot d_w^2}{4}$ wyniesie

$$\begin{equation} n_w  = \cfrac{A_{sw}}{n_t \cdot A_{w1}} \label{26} \end{equation}$$

Stabilny model ST krótkiego wspornika

W podejściu klasycznym kąt nachylenia krzyżulca betonowego $\Theta$ wyznaczamy z zależności ($\ref{15}$) przy dwóch  przyjętych apriori założeniach: 1) krzyżulec betonowy jest dociskany do wnętrza słupa na głębokość $x_H$ , 2) węzeł (1) krzyżulca betonowego pozostaje w stanie granicznym ($\ref{14}$). Niestety powyższe założenia  nie są potwierdzone doświadczalnie ani numerycznie. Również analiza tarczowe przeprowadzona w artykule  prowadzi do innych wniosków: 1) linia krzyżulca betonowego ma początek pod płytką podporową,  okrąża naroże dolne wspornika i wnika do słupa (rys 6), 2) węzeł (1) krzyżulca betonowego nie jest w stanie granicznym – na rys 6: $\sigma_{max}= 15,3 MPa <\sigma_{R, max}= 19,86 \, MPa$ (patrz przykład 1).

Z analizy wrażliwości kata $\Theta$ opisanego funkcją ($\ref{15}$) wynika, że dokładność oszacowania jest bardzo mała z uwagi na niewielką wiarygodność oszacowania składowych szerokości docisku  $x_H$ oraz $x_V$. Niewielkie różnice w oszacowaniu kąta $\Theta$ mogą prowadzić do znaczących zmian w siłach rozciągających zbrojenie, co pokazano w przykładzie 2.

Model ST krótkiego wspornika słupa przedstawiony na  rys..10 prowadzi do stabilnego rozwiązania. Model wyczyszczono z nieistotnych (mieszczących się w granicach dokładności rozwiązania)  mimośrodów $e$, $a_H$,  $x_H/2$,. Rozwiązanie otrzymano bez przyjmowanie kwestionowanych założeń 1)  i 2) modelu  klasycznego. W zmodfikowanym, stabilnym podejściu analizowano przekrój wspornika w licu słupa. Badano bryłę naprężeń dociskowych o wysokości strefy $x$, analogicznie jak w dobrze zbadanym i nie kwestionowanym, rozwiązaniu belki zginanej z uproszczonym (prostokątnym) rozkładem naprężeń.
Ten model stosowany w obszarze anglosaskim dostosujemy  do zasad Eurokodów.

Rys. 10 Stabilny Model ST wspornika słupa – opracowano na podstawie [9], Allen (1988)  [10]

Z rys. 10 można odczytać zależności geometryczne:

$$\begin{equation}  sin \, \Theta = \cfrac{z}{s} \quad ; \quad  cos \, \Theta = \cfrac{a_c}{s} \quad ; \quad  z =  d- \cfrac{x_{eff}}{2} \quad ; \quad s = \sqrt{a_c^2 + z^2} \label {27} \end{equation}$$

gdzie:
$a_c$ –  obliczeniowy wysięg wspornika
$d = h- a_h$ – wysokość efektywna przekroju zbrojonego górą z otuleniem osiowym $a_h$
$ a_h = c_l+ Ø_l /2$,
$c_l$ – otulenie pręta  T o  średnicy $ Ø_l $,
$ x_{eff} = \lambda \cdot x $ –  zredukowana wysokość strefy ściskanej $x$,
$\lambda=  0,8 $ dla betonu zwykłego BZ 

Siłę docisku do betonu $N_c$  wyznaczamy jak dla uproszczonego prostokątnego rozkładu naprężeń stosowanego w teorii zginania żelbetu:

$$\begin{equation}  N_c = b \cdot x_{eff} \cdot f_{cd}\label {28} \end{equation}$$

Z wieloboku sił naniesionego na rys.10  odczytujemy, że siłę $F_{td}$ w zbrojeniu  T można złożyć z siły $F_{td,H}$ wywołanej przez obciążeniem poziomym $H_{Ed}$ i z siły $F_{td,V}$ wywołanej przez obciążeniem pionowym $F_{Ed}$

$$\begin{equation}   F_{td} = F_{td,H} + F_{td,V} \text { , gdzie  } F_{td,H}=H_{Ed}\label {29} \end{equation}$$

Siła $N_c$  jest funkcją pionowego obciążenie $F_{Ed}$:

$$\begin{equation}  F_{Ed} = N_c \cdot sin \, \Theta  \cdot  cos \, \Theta \label {30} \end{equation}$$

Formułę ($\ref{30}$) uzyskano ze złożenia zależności: $F_{Ed} = F_c \cdot sin \, \Theta$ i  $N_c  = F_c  /  cos \, \Theta$.

Po podstawieniu  do ($\ref{30}$) zależności ($\ref{27}$), ($\ref{28}$) i po uporządkowaniu  uzyskano równanie kwadratowe z jedną niewiadomą $x_{eff} =\lambda \cdot x$  czyli na wysokość strefy ściskanej $x = x_{eff}/ \lambda$ ( $\lambda=0,8$):

$$\begin{equation} (a_c^2+d^2) \,  – \,  d\cdot (1+k_E)  \cdot x_{eff}\,  +  \, 1/4 \cdot (1+2\cdot k_E )\cdot x_{eff}^2 =0\label {31} \end{equation}$$

gdzie parametr $k_E$ obciążenia zewnętrznego $F_{Ed}$ wynosi

$$\begin{equation}  k_E=\cfrac {a_c \cdot b\ \cdot f_{cd}} {F_{Ed}} \label {32} \end{equation}$$

Równanie  ($\ref{31}$) ma dwa pierwiastki

$$\begin{equation}  x_{eff} = \cfrac{ 2 d } { (1+ 2 k_E) } \cdot \left [ 1+  k_E \mp \sqrt{ k_E^2 – (a_c/d)^2 (1+ 2 k_E) } \right ] \label {33} \end{equation}$$

Po oszacowaniu wysokości docisku $x$ wyznaczamy  ramię sił $z$ , długość krzyżulca betonowego $s$ i  kąt $\Theta$  z zależności ($\ref{27}$),

Siłę w krzyżulcu betonowym $F_c$ z formuły odwrotnej do  ($\ref{31}^1$) :

$$\begin{equation} F_c =\cfrac{F_{Ed}}{sin \, \Theta}\label {34} \end{equation}$$

Siła w pręcie T , wywołana siła pionową wynosi

$$\begin{equation} F_{td,V}=  F_c \cdot cos  \, \Theta = N_{Ed} \cdot ctg \, \Theta \label {35} \end{equation}$$

Całkowita siła w pręcie T opisana jest wzorem ($\ref{29}$)

Dalsze obliczenia prowadzi się  w sposób opisany w rozdziałach zakotwienie zbrojenia głównego T, krzyżulec betonowy, zbrojenie na ścinanie

Na rys.11 pokazano zasady zbrojenia  krótkiego wspornika zalecane w literaturze angielskiej..

Ryd.11 Zalecany sposób zbrojeni krótkiego wspornika [9]

Podcięcie belki

Definicja i mechanizm zniszczenia podcięcia belki

Podcięcia belek mogą mieć bardzo różny kształt, choć generalnie przyjmuje się [6], że  przybliżoną metodę ST można stosować dla  podcięć spełniających warunki (oznaczenia wg rys. 12) :

$$\begin{equation} l_k \le h_k \quad oraz \quad  h_k = (0,3  ÷ 0,7)\cdot  h\label{36} \end{equation}$$

Na rys. 12 linią falistą zaznaczono linie zniszczenia  obserwowane eksperymentalnie.

Rys.12 Wspornik (podcięcie) belki. Oznaczenia [6]– rys.21.5

Rygorystyczne stosowanie takiej geometrii podcięć, ograniczałoby bezzasadnie możliwości kształtowania stref podporowych belek, często wymuszonych konkretną sytuacją projektową. Z tego powodu zarówno norma [2] jak i inne wytyczne nie zawierają szczegółowych wytycznych do projektowania całej klasy podcięć.
Z klauzuli 10.9.4.6. normy [2] wynika również, że nie można wskazać jednego modelu obliczeniowego ST elementu podciętego.
W normie [2] wskazano  dwa alternatywne modele, ale takie które  można łączyć, to znaczy stosować je jednocześnie, przypisując każdemu określoną cześć obciążenia. Oba modele pokazano na rys. 13: model ST1  z pochyłym słupem betonu C oraz pionowym prętem  $T_1$ , a także  model ST2  z pionowym słupem betonu C  i nachylonym prętem $T_1$ 

Rys.13. Modele ST podcięcia belki [2], rys. 10.4  (uzupełniony)

Warunki dodatkowe na wartości sił w prętach modelu ST i ST2 pokazanych na rys. 13  podaje Urban (2012)  [5].
Ze względu na różnorodność kształtów krótkich wsporników i w konsekwencji różnorodność mechanizmów zniszczenia mechanizmy ST1 i ST2 mają znaczenie poglądowe i nie powinny być bezkrytycznie stosowane do każdego przypadku projektowego. To projektant decyduje o tym jaki modele wybrać i w jakim stopniu je zmieszać. Do wykonania wyboru potrzebna jest dodatkowa analiza – zalecamy budowę pomocniczego modelu tarczowego w celu rozpoznania mechanizmu zniszczenia  oraz układu prętów ST dla konkretnych wymiarów, obciążenia i podparcia podcięcia, np  w sposób pokazany niżej.

Model tarczowy podcięcia belki

Na rys. 14 pokazano model tarczowy belki z podcięciem na którym  opracowano  nowy model obliczeniowy ST podcięcia belki.

Rys.14 Model belki-tarczy z podcięciem. Wymiary i obciążenia wg przykładu [11], Example 6.11

W modelu z rys. 14 wystąpią naprężenie główne maksymalne (rozciągające) $\sigma_1$ i minimalne (ściskające) $\sigma_2$ , których obraz przedstawiono na rys.15  

Rys. 15 Mapy naprężeń głównych w podcięciu belki

Z analizy naprężeń głównych w modelu tarczowym podcięcia wynika, że nad podporą tworzy się ściskany słup betonowy, który  łączy się z  ściskanym górnym obszarem belki. Rozciąganie następuje w pasie prostopadłym do wklęsłego naroża belki  oraz  w dolnym obszarze belki. Oś obojętna (granica pomiędzy obszarem ściskanym a rozciąganym belki jest krzywoliniowa, przesunięta w stosunku do osi belki i w ogólności nie pokrywa się z osią obojętną wynikającą z teorii belkowej.

Nowa propozycja modelu ST podcięcia belki

Z analizy analizy tarczowej  podcięcia z rys,14, zdefiniowano model ST pokazany na rys, 16, który jest modelem pośrednim pomiędzy ST1 i ST2 (rys.13) . Pętla P nie jest elementem modelu ST, lecz konstrukcyjnym zbrojeniem uzupełniającym.

Rys. 16 Model ST podcięcia belki na podstawie analizy tarczowej

Przy braku dokładniejszych danych dla innych przypadków projektowych zaleca się:

1) przyjmować: kąt nachylenia $\Theta$ słupka betonowego S oraz kąt nachylenia  $\alpha$ pręta rozciąganego T odpowiednio jako górną i dolną granicę  z zakresu określonego w normie [2] ( w nawiasie wg oryginalnej normy Eurokod ) wg zależności (\ref{37}$)   i   (\ref{38}$)

$$\begin{equation} ctg \, \Theta  = 0,5 \, (0,4)  \to \Theta \approx 63^0 (68^o) \label{37} \end{equation}$$

$$\begin{equation} ctg \, \alpha  = 1,0 \, (1,0)  \to \alpha \approx 45^0 (45^o) \label{38} \end{equation}$$

czyli $\Theta \approx 63^0$, $\alpha = 45 ^0$

2)  umieszczać pręt T w odległości  $ e \approx  2\cdot a$ od naroża wklęsłego,
3) kotwić pręt T górą  jak najbliżej czoła belki w odległości min $ e_5 \approx  2\cdot a$,
gdzie $a=c+\Phi/2$ – otulenie osiowe prętów zbrojeniowych

Zbrojenie dolne belki w pręcie T3  oraz zbrojenie górne C3 jest znane i jest zbrojeniem wymaganym ze względu na zginanie całej belki.

Schemat statyczny i geometria modelu ST

Na rys.  17 przedstawiono ogólną geometrię modelu ST  podcięcia , który można stosować do projektowania podcięć o podobnym kształcie.

Rys. 17 Nowy model ST podcięcia belki

Współrzędne $(x,  y)_i$ węzłów modelu (i)= 1, … 5 w układzie (X,Y) zaczepionym w punkcie (1) wynoszą:

$$\begin{equation}  (x,y)_i = \begin {cases}
(1) \to (0\,;\, 0) & \text { podpora}\\
(2) \to  c_2 \cdot (cos \, \Theta \, ; \, sin \, \Theta) & \text { przecięcie S-T }\\
(3) \to d_k \cdot (ctg \, \Theta\, ;\, 1) & \text { punkt docisku słupka }\\
(4) \to (a_v + h_D \cdot ctg \, \alpha +e / sin\, \alpha \, ;\, -h_D) & \text {zagięcie zbrojenia}\\
(5) \to (a_v-a_5\, ;\, a_5 \cdot tg \, \alpha + e/cos \, \alpha) & \text {zakotwienie zbrojenia}\\
\end{cases} \label{39}\end{equation}$$

przy oznaczeniach (p.  rys. 16):
$h_k$ wysokość podciętej części belki,
$d_k =h_k – a_u$ – efektywna wysokość podciętej części belki, $a_u$ – górne otulenie zbrojenia,
$ h_D= h  – h_k – a_h$,  $a_h$ dolne otulenie zbrojenia,
$ c_2= \cfrac {e+ a_v \cdot sin \, \alpha}{ sin (\alpha + \Theta)}$,
$ a_5= a_k – e_5 \cdot cos\, \alpha$ .

Długości prętów $ L_{T1} \, ;\,  L_{T2} \, ;\,  L_{S1} \, ;\,  L_{S2} $ wyznaczono  z zależności typu $L=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$, np  długość
$L_{T1}  =\sqrt{ (x_4 – x_2)^2 + (y_4 – y_2)^2}$

$$\begin{equation}  L_{T,S} = \begin {cases}
L_{T1} =& \left ( h_D + c_2 \cdot sin \Theta \right) /sin\alpha, & \text { zbrojenia (4)-(2) }\\
L_{T2} =& \cfrac{ a_k -a_v/2}{cos \, \alpha} +\cfrac{ e\cdot cos \, \Theta +a_v/2 \cdot sin (\alpha – \Theta) } {cos \, \alpha \cdot sin ( \alpha+ \Theta)} – e_5 & \text { zbrojenie (2)-(5) }\\
L_{S1} =&  c_2, & \text {słupek betonowy (1)-(2)} \\
L_{S2} =& \sqrt{(d_k\cdot ctg \Theta – c_2 \cdot cos \,\Theta)^2 +(d_k – c_2 \cdot sin \, \Theta)^2}& \text{ słupek (2)-(3) }\\
\end{cases} \label{40}\end{equation}$$

gdzie: $c_2$ , $h_D$ i inne – jak wyżej.

Warunki równowagi

Warunki równowagi $\sum F$ systemu ST  można zapisać układem równań:

$$\begin{equation} \sum F= \begin {cases}
\sum X =                  &H_{Ed} – H_3 +H_4 + H_5 = 0\\
\sum Y =                   &F_{Ed} – V_3 – V_4 – V_5 = 0 \\
\sum M_{(2)}=       &V_3 \cdot S_{2.x}  – H_3 \cdot  S_{2,y}  + F_{Ed}\cdot S_{1,x}  – H_{Ed}\cdot  S_{1,y} + \\
&V_4\cdot T_{1,x} – H_4 \cdot T_{1,y} – V_5\cdot T_{2,x} + H_5 \cdot  T_{2.y} = 0 \\
\sum M_{(4→2)}= &V_4\cdot T_{1,x} + H_4\cdot T_{1,y} \\
\sum M_{(5→2)}= &V_5 \cdot  T_{2,x} + H_4 \cdot T_{2,y}\\
\end{cases} \label{41}\end{equation}$$

gdzie rzuty poziome X i pionowe Y długości prętów wynoszą:
$S_{•,x}=L_{S•} \cdot cos \, \Theta$
$S_{•,y}=L_{S•} \cdot sin \,  \Theta$
$T_{•,x}= L_{T•}\cdot cos \, \alpha$
$T_{•,y}= L_{T•}\cdot sin \, \alpha$
$• =(1, 2)$

Prawo fizyczne

Układ 5-ciu równań ($\ref{41}$) zawiera 6 niewiadomych. Dodatkowy 6-ty związek uzyskano ze związku fizycznego – nierozdzielności pręta T w punkcie (2) w postaci:

$$\begin{equation}  \cfrac{N_1}{N_2}=\cfrac{L_{T1}}{L_{T2}}\label{42} \end{equation}$$

Warunek($\ref{42}$)  uzyskano z porównania  wydłużenia pręta T na odcinku 1=(4-2) ze skróceniem /wydłużeniem pręta na odcinku 2= (2-5).  Przy założeniu długości i sił osiowych w prętach odpowiednio:  $(L_{T1} ;  N_1) $ i $(L_{T2} ;  N_2)$ z prawa   Hooke’a wydłużenia prętów wynoszą:
$\Delta L_{T1} = E_s \cfrac {N_1}{A_s}\cdot L_{T1}$,
$\Delta L_{T2} = E_s \cfrac {N_2}{A_s}\cdot L_{T2}$,

gdzie: $E_s$ – moduł Younga stali, $A_s$ – przekrój pręta zbrojeniowego  (lub wiązki prętów) taki sam na obu odcinkach.
Ponieważ oba odcinki pręta oraz  reakcje podpor (4) i (4) y pochylone pod tym samym katem $\alpha$ , to warunek ($\ref{42}$) można przedstawić dla rzutów długości oraz składowych reakcji jak następuje:

$$\begin{equation} T_{2,x} \cdot V_5  – T_{1,x} \cdot  V_4 \quad {lub}\quad T_{2,y} \cdot H_5  – T_{1,y} \cdot  H_4\label{43} \end{equation}$$

i wybrać do obliczeń jeden z nich.

Reakcje podpór

Rozwiązanie układu równań ($\ref{43}$)+ ($\ref{37}$) daje reakcje podpór $H,V$:

$$\begin{equation} H,V = \begin {cases}
H_4=  & dF \cdot c_R\\
H_3 = & H_{Ed} + H_4\cdot \cfrac{\sum L_T}{L_{T2}}\\
H_5=  & H_4 \cdot \cfrac{L_{T1}}{L_{T2}} \\
V_4 = & H_4 \cdot tg \, \alpha \\
V_3 =  &  H_3 \cdot  tg \,\Theta \, -\,  dF \cdot  \cfrac{L_{S1}}{L_{S2} \cdot cos \, \Theta} \\
V_5 = & H_5 \cdot tg \, \alpha \\
\end{cases} \label{44}\end{equation}$$

gdzie:

$$\begin{equation}  dF= F_{Ed} \cdot cos \, \Theta – H_{Ed} \cdot sin\, \Theta \label{45}\end{equation}$$

$$\begin{equation} c_R= \cfrac{\sum L_T}{\sum L_S} \cdot \cfrac{L_{T2}}{L_{S2}} \cdot \cfrac{\sin \, \alpha}{sin \, (\alpha+\Theta)}\label {46}\end{equation}$$

$\sum L_S= L_{S1}+L_{S2}$,
$\sum L_T= L_{T1}+L_{T2}$.

Pobocznie wskażemy, że rekcję $V3$ m0żna też wyznaczyć z zależności $V_3= H_{Ed}\cdot (tg\,\Theta+ tg \,\alpha) + \cfrac {dF}{cos \,\Theta} –  H_3 \cdot tg \, \alpha$, którą uzyskano po przekształceniach $ (\ref{44})^^5$.

Siły w prętach modelu ST

Siły osiowe $N$  oraz poprzeczne $V$ w prętach S i T wynoszą

$$\begin{equation} (N , V) = \begin {cases}
N_{T1} = H_4 \cdot cos \, \alpha + V_4 \cdot sin \, \alpha & = \cfrac{ H_4 }{ cos \, \alpha }\\
N_{T2} = H_5 \cdot cos \, \alpha + V_5 \cdot sin \, \alpha & = N_{T1} \cdot \cfrac {L_{T1}}{L_{T2}}\\
N_{S1} = H_{Ed} \cdot cos \, \Theta + V_{Ed} \cdot sin \, \Theta \\
N_{S2 }= H_3 \cdot cos\,\Theta + V_3 \cdot sin \, \Theta \\
V_{T1} = H_4 \cdot sin \, \alpha –  V_4 \cdot cos \, \alpha & = 0\\
V_{T2} = H_5 \cdot sin \, \alpha  –  V_5 \cdot cos \, \alpha & = 0\\
V_{S1} = V_{Ed}\cdot  cos \, \Theta  – H_{Ed}\cdot  sin \, \Theta  \\
V_{S2}= V_3 \cdot  cos \, \Theta – H_3\cdot  sin \, \Theta \\
\end{cases} \label{47}\end{equation}$$

W przykładzie 2 przedstawiono zastosowanie  nowego modelu ST  do  projektowania zbrojenia znanego przypadku podcięcia belki.

Dyskusja założenia przegubów w modelu analitycznym

W nowej propozycji modelu ST podcięcia belki uzyskano stosunkowo proste analityczne formuły ($\ref{44}$), co było możliwe przy założeniu przegubowego podłączenia zbrojenia do węzła (2) (rys. 16). W rzeczywistości pręt zbrojeniowy jest ciągły na całym odcinku (4)-(5). W przykładzie 3 przeprowadzono porównanie rozwiązania dla zbrojenia ciągłego z  wynikami uzyskanymi w modelu analitycznym.  Stwierdzono, że  różnice są pomijalnie małe, a  model analityczny można stosować również dla ciągłego pręta zbrojeniowego.

Przykłady zbrojenia podcięcia belki

W realizacji modelu z rys. 16 stosuje się zakotwienie pręta T w sposób pokazany na rys. 18.

Rys. 18 Zakotwienie spawane pręta rozciąganego w narożu podciecia [4], Fig 3.17

Zakotwienie zbrojenia nośnego można też zrealizować  za pomocą ukośnych pętli w sposób pokazany na rys. 19.

Rys.19. Przykład kotwienia pręta rozciąganego podcięcia ukośną pętlą [8], rys. 2.5 (poprawiony), rys. 4.18

Naprężenia w rozciąganej grupie różnych prętów

Siła rozciągająca  zbrojenie główne krótki wspornika $F_{td}$ ($\ref{21}$)l lub ($\ref{29}$)  (lub analogiczna w innych obszarach nieciągłości) jest zwykle przenoszona przez grupę (wiązkę równoległych)  prętów  o różnej średnicy , z których każdy powinien zostać poprawnie zakotwiony.

Załóżmy, że siła w pręcie  „i”  wynosi $F_{td,i}$. Siła ta jest przyjmowana przez pręt w zależności proporcjonalnie do jego sztywności w grupie (wiązce) prętów podług zależności

$$\begin{equation}  F_{td, i} = F_{td}\cdot \cfrac{ A_{s,i}}{\sum \limits_{j=1}^ n   A_{s,j}} =F_{td} \cdot \cfrac{\Phi_i^2}{\sum \limits_{j=1}^ n  \Phi_j^2} \label {48}\end{equation}$$

gdzie
(j =1,…n) – numer pręta, n-liczba prętów w grupie , np. na rys 24  n=4) , $A_{s,i}$ – pole przekroju pręta „i”, $\Phi_i$ – średnica pręta „i”.

Z ($\ref{48}$) wynika, że naprężenia w poszczególnych prętach są takie same:

$$\begin{equation} \sigma_{sd}=\cfrac{F_{td}} {A_s} = \sigma_{sd,i}=\cfrac{F_{td,i}}{A_{s,i}} \label {49}\end{equation}$$

gdzie $A_s =\sum \limits_{j=1}^n A_{s,j}$

Zakotwienie prętów w obszarach nieciągłości w tym w krótkich wspornikach

Obszary nieciągłości w tym krótkie wsporniki maja zwykle zbyt małe  wymiary, by zapewnić wymaganą długość zakotwienie prętów przez przyczepność.  Dlatego ważne są metody zwiększenia efektywności kotwienia pręta.
W krótkim wsporniku długość zakotwienia pręta głównego liczy się od krawędzi wewnętrznej (bliższej słupowi) płytki podporowej zgodnie z rys. 24.

Na długości zakotwienia  występują trzy elementy poprawiające zakotwienie:
1) nacisk poprzeczny pod płytką podporową – uwzględniany współczynnikiem $\alpha_5$,($\ref{38}$)
2) nie przyspojone pręty poprzeczne w postaci strzemion pionowych- uwzględniane współczynnikiem $\alpha_3$ ($\ref{38}$),
3) przyspojone (przyspawane) pręty poprzeczne (oznaczone kolorem czerwonym). uwzględniany współczynnikiem$\alpha_4$ ($\ref{47}$) oraz zmniejszeniem długości $l_{b,rqd}$ ($\ref{47}$), ($\ref{48}$)
Najbardziej efektywne  kotwienie mechaniczne  (połączenia spawane lub skręcane ) stosowane wówczas, gdy powyższe metody są niewystarczające.

Poniżej krótko  przestawiono też zasady wymiarowania kotwienia przez przyczepność w celu przeanalizowania czynników wpływających na skuteczność zakotwienia.

Zakotwienie przez przyczepność  do betonu

Obliczeniowa długość zakotwienia

Obliczeniową długość zakotwienia $l_{bd}$ przez przyczepność pręta do betonu wyznacza się z zależności [2], wzór (8.4)

$$\begin{equation} l_{bd}= \alpha_1 \cdot \alpha_2\cdot \alpha_3\cdot \alpha_4\cdot \alpha_5 \cdot l_{b,rqd}\ge  l_{b, min} \label {50}\end{equation}$$

Dla prętów rozciąganych minimalna  długość zakotwienia wynosi

$$\begin{equation} l_{b.min} = max  \{0,3 \cdot l_{b.rqd} \,;\, 10 \Phi \,;\, 100 \, mm \} \label {51}\end{equation}$$

W spółczynniki korekcyjne $\alpha_i \,(i=1,2 , … , 5)$  zależą od kształtu pręta, otulenia, ułożenia prętów poprzecznych oraz docisku do betonu

Podstawowa długość zakotwienia $l_{b,rqd}$  jest wyznaczana z zależności [2], wzór (8.3)

$$\begin{equation} l_{b,rqd}= \cfrac{\Phi \cdot \sigma_{sd}}{4 \cdot f_{bd}}  \label {52}\end{equation}$$

gdzie $\Phi$ – średnica pręta kotwionego,

Naprężęnia $\sigma_{sd}$ są naprężeniami w pręcie z uwzględnieniem przejmowania siły przez przez dodatkowe więzi wewnątrz betonu na długości zakotwienia

$$\begin{equation} \sigma_{sd} = \cfrac{F_{td} -F_{btd}}{A_s} \label {53}\end{equation}$$

gdzie:
$F_{td}$  – siła w pręcie kotwionym od obciążeń zewnętrznych: w krótkim wsporniku ($\ref{22}$) lub analogiczna w innych przypadkach obszarów nieciągłości,
$F_{btd}$ – siła przejmowana przez więzi wewnątrz elementu betonowego inne niż przyczepności do betonu rozłożone po długości $l_{bd}$.
Najczęściej takimi więzami są pręty poprzeczne przyspojone do pręta głównego. Dla tej sytuacji $F_{btd}$ wyznacza którą uwzględnia się z ($\ref{48}$)+($\ref{41}$).

Obliczeniowe graniczne naprężenie przyczepności $f_{bd}$ wyznaczane z zależności   [2], wzór (8.2)

$$\begin{equation} f_{bd}=2,25 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2  \label {54}\end{equation}$$

gdzie:
$\eta_1 =0,7$ –  współczynnik zależny od jakości warunków przyczepności i pozycji pręta w czasie betonowania  gdy warunki nie są „dobre”,
$\eta_2 =1,0$ –  współczynnik zależny od średnicy pręta  dla $\Phi < 32 \,mm$,

Obliczeniowa wytrzymałość betonu na rozciąganie wg  [2], wzór (3.16) wynosi $f_{ctd} = \cfrac{0,7 \cdot f_{ctm}}{\gamma_c}$,
gdzie średnia wytrzymałość na rozciąganie $f_{ctm}$ z tab. 3.1. [2] lub Tab.W-1 , a $\gamma_c=1,4$ współczynnik materiałowy dla betonu.

Współczynniki $\alpha_1$ oraz $\alpha_2$ są zależne od kształtu pręta i jego otulenia.  Dla spotykanych w praktyce  obszarów nieciągłości, które charakteryzują się niewielkimi wymiarami przy  których nie stosuje się powiększonego otulenia prętów i przyjmuje się [2], tab.8.2

$$\begin{equation} \alpha_1=1  \quad oraz \quad \alpha_2=1,0 \label {55}\end{equation}$$

Przyjęcie mniejszych od 1  współczynników $\alpha_{1,2}$ możliwe jest dopiero przy otuleniu górnym, dolnym i bocznym pręta $c > 3 \cdot \Phi$. Jeśli możemy zastosować tak duże otulenia, to wówczas te współczynniki  należy przyjąć zgodnie z  [2], rys. 8.1, 8.3), tab.3.1.  Wówczas $\alpha_{1,2} \approx 0,7$.

W sytuacji korzystnego wpływu na zakotwienie przez zewnętrzny nacisk poprzeczny $p$, zamiast szacowania stosownej siły $F_{btd}$ – zmniejsza się potrzebną długość zakotwienia współczynnikiem $\alpha_5$ ($\ref{38}$).

Korzystny wpływ zbrojenia poprzecznego

Nie przyspojone zbrojenie poprzeczne

Korzystny wpływ zbrojenia poprzecznego ułożonego lub obejmującego zbrojenie główne polega na ograniczeniu przemieszczenia pręta rozciąganego ze swojej  płaszczyzny. Przy braku zespojenia (przyspawania) zwiększenie efektywności jest uwzględniane  współczynnikiem  $\alpha_3$ wyliczanym z zależności [2], tab. 8.3

$$\begin{equation} \alpha_3= 1- K \cdot \lambda \ge 0,7   \label {56}\end{equation}$$

gdzie:
$K=0,1$ na przypadek krótkich wsporników ( i analogicznych obszarów nieciągłości), gdzie  stosuje się strzemiona pionowe obejmujące pręt zbrojenia rozciąganego (p. rys. 17), a dla tego przypadku (po przekształceniu onaczenia $\lambda$  [2], tab.9.3)

$\lambda =\cfrac{\sum A_{st}}{A_s} – 0,25$

gdzie $A_s$ – pole przekroju pojedynczego pręta zbrojenia kotwionego ( o największej średnicy) , $A_{st}$ – pole przekroju zbrojenia poprzecznego (strzemion pionowych) na długości $l_{bd}$

Przyspojone zbrojenie poprzeczne

W przypadku przyspojenia  zbrojenia poprzecznego  – p. rys..20  ( na rys. 24 pręty przyspojone wyróżniono na czerwono)  stosuje się współczynnik

$$\begin{equation} \alpha_4=0,7 \label {57}\end{equation}$$

przy czym  średnica pręta przyspojonego $\Phi_t \ge$ od średnicy pręta kotwionego $\Phi$

Rys. 20 Przyspojony pręt poprzeczny jako środek wspomagający zakotwienie [2], rys. 8.6

Pręt  poprzeczny kotwi pręt główny siłą

$$\begin{equation} F_{btd} = F_{wd} \le  F_{btd,max} \label {58}\end{equation}$$

gdzie $F_{wd}$ – nośność spoiny łączącej pręt poprzeczny z prętem kotwionym. Nośność tę można oszacować wg  rys. 21 jak następuje

$$\begin{equation}   F_{wd} \approx 0,5 \cdot F_{Rs} = A_s \cdot f_{yd} \label {59}\end{equation}$$

Nieprzekraczalna wartość siły kotwiącej wynosi

$$\begin{equation} F_{btd,max} \begin {cases}
16 \cdot A_s \cdot f_{cd} \cdot \cfrac{\Phi_t}{\Phi},& \text{ dla  } \Phi_t \le 12 \, mm \\
l_{td} \cdot \Phi_t \cdot \sigma_{td}, & \text{ dla  } 14 \le  \Phi_t  \le 32 \, mm \\
\end{cases} \label{60}\end{equation}$$

Siłę kotwienia $F_{btd}$ ($\ref{48}$) zwiększa się współczynnikiem 1,41 przy dwóch przyspojonych prętach  po tej samej stronie pręta kotwionego, jeśli są rozstawione nie rzadziej niż $3 \cdot \Phi$.
W przypadku przyspojenia prętów po przeciwnych stronach pręta kotwiącego siłę kotwienia można zwiększyć dwukrotnie, o ile  otulenie zewnętrznego pręta spełnia ogólne wymagania.
Jeśli pręty poprzeczne mają średnicę mniejszą od 12 mm, i są rozstawione  nie mniej niż na  $\Phi$ to nośność zakotwienia określoną wzorem  ($\ref{41})^1) zwiększa się współczynnikiem 1,41.

Rys. 21 Analiza nośności spoiny pręta poprzecznego z prętem kotwionym

Długość $l_{td}$ wynosi

$$\begin{equation} l_{td} =1,16 \cdot \Phi_t \cdot \sqrt{\cfrac{f_{yd}}{\sigma_{td}}} \le l_t \label {61}\end{equation}$$

gdzie:
$ l_t$ jest długością pręta poprzecznego, ale nie większą niż rozstawu kotwionych prętów

Naprężęnie $\sigma_{td}$ w betonie wynosi:

$$\begin{equation} \sigma_{td} = \cfrac{f_{ctd}-\sigma_{cm}}{y}\le 3\cdot f_{cd}\label {62}\end{equation}$$

Naprężenie ściskające w betonie prostopadłe do obu prętów (wartość średnia, dodatnia przy ściskaniu),

$$\begin{equation} \sigma_{cm}=\cfrac{F_{Ed}}{l_p \cdot l_{bF}}\label {63}\end{equation}$$

gdzie:
$F_{Ed}$ obciążenie pionowe podkładki
$l_{bF}$ –  przyjęta długość zakotwienia (np. na rys. 2 $l_{bF}=170-40= 130 \, mm$
$l_p$ – długość podkładki (na rys 2  $l_p=b_1= 340 \, mm$

Funkcję otulenie pręta $y$ wyznacza się następująco:

$$\begin{equation} y =0,015+0.14 \cdot e^{-0,18 \cdot x}\label {64}\end{equation}$$

gdzie otulenie względne  $x$ przy  otuleniu $c$ w kierunku prostopadłym dla obu prętów

$$\begin{equation} x= \cfrac{2\cdot c}{\Phi_t} +1 \label {65}\end{equation}$$

Nacisk poprzeczny

Korzystny wpływ nacisku poprzecznego $p$ wzdłuż odcinka zakotwienia $l_{bd}$ uwzględnia się współczynnikiem redukcyjnym długości zakotwienia $\alpha_5$:

$$\begin{equation} \alpha_5 = 1- 0,04 \cdot p\label {66}\end{equation}$$

Nacisk poprzeczny $p$ w MPa do kotwionego pręta  najczęściej szacuje się jak $\sigma_{cm}$ na rys. 20  czyli jako średni nacisk na długości zakotwienia z zależności ($\ref{48}$).

Jednoczesność czynników zakotwienia

Jednoczesność uwzględnienia  czynników ograniczona jest nierównością dla współczynników długości zakotwienia:

$$\begin{equation}  \alpha_2 \cdot \alpha_3 \cdot \alpha _5 \ge 0,7\label {67}\end{equation}$$

to znaczy w zasadzie nie uwzględnia się jednocześnie wpływu otulenia z  nie-przyspojonymi prętami poprzecznymi i z  naciskiem  poprzecznym.

Zakotwienia spawane

Na rys. 22 przedstawiono najczęściej stosowane spawane zakotwienia do płytek stalowych, którymi mogą być inne stalowe profile  zatopione w betonie, np. kątowniki (lub stanowiące okucie ), a nawet poprzeczne pręty zbrojeniowe.

Rys. 22 Zakotwienia mechaniczne zbrojenia: a)  do poziomej płytki ; do płytki prostopadłej: b) spoiną pachwinową przez otwór , c) spoiną otworową , d) spoina pachwinową bez otworu [12]

Pokazane na rys.21 zakotwienia spawane są bardzo podatne na błędy, przy czym połączenie typu 13b  w którym  pręt przechodzi przez płytę zapewnia pełną nośność pręta  Zależnie od rodzaju stali płytki zakotwienie typu 13d (pachwinowe bez otworu)  ma tylko część nośności pręta (dla połączenia z rys. 16 wyliczono niżej), a   połączenie 13c  ma nośność bliską nośności pręta, a połączenie ogólności wymagają indywidulanych obliczeń wg normy do projektowania węzłów w konstrukcjach stalowych  [13].

Zakotwienia spawane  muszą być wykonane wyłącznie na zamówienie przez spawaczy posiadających kwalifikacje zgodne z normą ISO 9606-1 (badanie spoiny pachwinowej) i po ukończeniu dodatkowego szkolenie w zakresie spawania prętów zbrojeniowych wg Ponadto wykonawca lub wytwórca musi zatrudnić osobę nadzorującą zgodnie z przepisami ISO 14731.

Na rys. 22 pokazano zakotwienie pręta zbrojeniowego o średnicy $d=Ø$ wykonanego ze stali B500 w kątowniku L 100x100x10 wykonanego ze stali S355.

Rys.23. Zakotwienie zbrojenia  krótkiego wspornika w kątowniku

Kład spoiny o grubości $a$  ma pole przekroju  $A_{sp}= \pi/4 \cdot [ (d+2a)  ^2 – d^2]= \pi \cdot (d+a)\cdot a$

Naprężenia rozciągające w spoinie wynoszą  $\sigma= \cfrac{F_{td}}{A_{sp}}$. Składowe naprężeń w złożonym stanie napręzeń spoiny pachwinowej wynoszą  ( artykuł Połaczenia spawane ): $\sigma_⊥ =\tau_⊥ = \sigma/ \sqrt{2}$.
Naprężenia zastępcze w spoinie $\sigma_{sp}$ powinny być mniejsze od wytrzymałości spoiny $f_{sp}$

$$\begin{equation}  \sigma_{sp}= \sqrt{\sigma_⊥^2 + 3\tau_⊥^2}=    \cfrac{\sqrt{2} \cdot F_{td}}{A_{sp}} \le f_{sp} \label {68} \end{equation}$$

Wytrzymałość spoiny $f_{sp}$ w połączeniu dwóch rodzajów stali jet mniejszą z nośności łączonych stali:

$f_{sp} =  min  [ f_{u1} / \beta_1 \, ;  \, f_{u2} / \beta_2 ] / \gamma_{M2}$

gdzie:
$f_{ui}$ jest wytrzymałością łączonego materiału „i”:  np. dla B500  $f_{u1} = 575 / 1,15 = 500 \, MPa$ (wg danych producenta stali zbrojeniowej), dla S355  $ f_{u2} =  490 \, MPa$  (wg normy PN-EN 1993-1);
$\beta_i$ jest współczynnikiem korelacji wg normy [13] :  dla stali B500 $\beta_1 =1,0$,  dla stali S355  $\beta_2=0,9$;
współczynnik materiałowy $\gamma_{M2}= 1,25$  dla połączeń spawanych wg [13].

Z warunku zrównania się  nośności spoiny $F_{R,sp}= ( \sigma_{sp}=f_{sp}) \cdot A_{sp}$ z nośnością pręta $F_{R,Ø}=\pi  d ^2/4 \cdot f_{yd}$, gdzie $f_{yd}=f_y/( \gamma_s(=1,15))$   jest obliczeniową granicą plastyczności pręta zbrojeniowego, uzyskujemy następujący warunek na grubość spoiny pachwinowej $a_{eq}$:
$$\begin{equation}  a_{eq} =  \cfrac{d}{2} \cdot \left( \sqrt{1+\sqrt{2}/k_f } \, -1 \right)  \label {69}\end{equation}$$

gdzie $k_f =f_{sp}/f_{yd}$

Po podstawieniu wartości dla połączenia stali B500-S355, czyli:
$f_{sp}=\cfrac{}min \{500/1 \, ; \,  490/0,9 \}{1,25} = 400 \, MPa$,
$f_{yd}=500/1,15= 435 \, MPa$,
czyli $ k_f=400/435= 0,92$, otrzymamy

$$\begin{equation}  a_{eq} =  0,296\cdot d \label {70}\end{equation}$$

Jeśli połączenie będzie wykonywane w warunkach montażowych (na budowie), wynik należy powiększyć w stosunku 0,9, czyli

$a_{eq,b }= a_{eq} / 0,9 = 0,296 /0,9 = 0,329 \cdot d \approx 0,4 d$

(patrz rys. 19d)

Jeśli ze względów konstrukcyjnych nie można zastosować spoiny o grubości  $a_{eq, b}$, to pręty-startery  należy spawać na warsztacie lub połączenia należy wzmocnić blachami  lub pierścieniami węzłowymi.

Kotwienie za pomocą prętów poprzecznych

Kotwienie za pomocą zbrojeniowych prętów poprzecznych jest alternatywą dla połączeń spawanych omówionych wyżej. Korzystny wpływa mają nawet nie przyspawane pręty poprzeczne, ale znacznie większy przyspojone pręty poprzeczne, Te zagadnienia są przedmiotem unormowania [2], klauzula 8.6.

Rys. 24. Zakotwienie pręta nośnego przez przyspojone i nie przyspojone pręty poprzeczne w krótkim wsporniku [8], rys. 5.1. (zmodyfikowany)

Kotwienie za pomocą pętli

Zarówno pętle poziome jak i pionowe (często nazywane zbrojeniem konturowym) na skutek zmiany kierunku siły są gięte, a w na długości łuku  dochodzi do docisku do betonu  zgodnie z rys. 3. Warunek zmiażdżenia betonu na łuku pręta należy  sprawdzić, gdy  zakotwienie pręta wymaga długości większej niż 5d poza końcem zagięcia,

Na rys 24 pokazano  mechanizm docisku na przykładzie pętli poziomych o średnicy $\Phi_m$ , wykonanych z prętów o średnicy $\Phi$ ułożonych w dwóch warstwach: pierwszej (od od strony powierzchni betonu) otulonej betonem  o grubości $c+\Phi/2$ i drugiej zw odstępie osiowym $2 a_b$

Rys,25. Pętla ułożona w dwóch warstwach

Aby uniknąć zmiażdżenia betonu wewnątrz zagięcia pręta należy tak dobrać średnicę zagięcia $\Phi_m$, aby spełnić warunek

$$\begin{equation} \sigma_b= \cfrac{F_{bt}}{A_{b}} \le \sigma_{Rd,max} \label {71}\end{equation}$$

gdzie:
$\sigma_{Rd,max}$ – wytrzymałość betonu na ściskanie w węźle ($\ref{10}$)
$A_{b}=l_{b}\cdot \Phi$ – powierzchnia docisku w węźle;
$l_{b} = alpha_{b} \cdot \Phi_m $ ;
$\alpha_{b}$ – kąt wygięcia  w radianach, np: na rys 3  $\alpha_{b}=\pi/2$ , na rys. 24 $\alpha_{b}=\pi$

Równoważnie średnicę zagięcia wyznaczyć wprost z klauzuli 8.3(3), wzór (8.1) [2]:

$$\begin{equation} \Phi_{m,min} = \cfrac{F_{bt}}{f_{cd}} \cdot \left( \cfrac{1}{a_b} +\cfrac{1}{2\cdot d}\right)\label {72}\end{equation}$$

$F_{bt}$ siła maksymalna w pręcie na początku pętli (wygięcia).
Z równowagi sił ( rys. 23 ) wynika, że  siła w jednej gałęzi pętli $F_{bt}$  jest połową całkowitej siły rozciągającej warstwę.

$ a_b = \begin {cases}
c + \Phi/2 , & \text{ dla pręta pierwszej warstwy (pod powierzchnią betonu)},\\
0,5 \cdot s_z  & \text{ dla pręta drugiej warstwy pętli}, \\
\end{cases} $
gdzie:
$c$ -otulenie pręta o średnicy $\Phi$
$s_z$ – osiowy rozstaw prętów sąsiednich warstw

Pętle mogą być ułożone pionowo (przy powierzchni czołowej wspornika) i wówczas obowiązują analogiczne zasady prawidłowego zakotwienia.

Kotwienie hybrydowe za pomocą pętli i zbrojenia konturowego

Na rys. 25 pokazano przykład zbrojenia krótkiego wspornika za pomocą pętli poziomych (Nr 1) i zbrojenia konturowego (Nr 2).  Na rysunku wskazano krytyczne naroże, które powinno być sprawdzone z warunku zmiażdżenia betonu ($|ref{38}$).

Eys.26 Przykład zbrojenia wspornika pętlami 1 i prętami konturowymi [8], rys. 2.5 (zmodyfikowany)

Rozdział całkowitej siły $F_{td}$ ($\ref{21}$) na pętle poziome i zbrojenie konturowe dokonuje się podług zależności ($\ref{48}$)

Naroże krytyczne z rys. 24 odpowiada sytuacji pokazanej na rys.3 , czyli zakotwieniu prętów rozciąganych w dwóch kierunkach dla $ F_{td1}=F_{td2}= F_{td}$.

Siła docisku do betonu jest wypadkową obu sił  i wynosi  $F_{cd}= \sqrt{2}\cdot F_{td}$ . Sprawdzenie wytrzymałości betonu dokonuje się zgodnie z warunkiem ($\ref{38}$), przy czym pole docisku przy normowym wyokrągleniu $\Phi_M = 4 \Phi$ i zagięcia pod kątem prostym $\alpha_{b}=\pi/2$ można sprowadzić do postaci

$ A_b = l_b\cdot \Phi= \alpha_b \cdot \Phi_m \cdot Phi = \pi/4 \cdot 4 \Phi \cdot Phi =\pi \Phi^2$,

a naprężenie dociskowe do postaci (dla prętów o różnych średnicach jest jednakowe):

$$\begin{equation}  \sigma_{b,i}= \cfrac{\sqrt{2}\cdot F_{td,i}}{\pi \cdot \Phi_i^2} \approx 0,45 \cdot \cfrac{F_{td,i}}{\Phi_i^2} = 0,45 \cdot \cfrac{F_{td}}{\sum_j  \Phi_j^2}= \sigma_b \label {73}\end{equation}$$

Wytrzymałość betonu  $\sigma_{Rd, max}$ ($\ref{10})$ należy obliczać dla  k=0,75.

Podkładki elastomerowe

Podkładki elastomerowe są często stosowane  do posadowienia konstrukcji na krótkim wsporniku lub w podcięciu belek i są objęte normą DIN 4141, część 3 [14] i nowej normy DIN EN 1337.  Łożyska elastomerowe wykonane są z kauczuku syntetycznego o dużej odporności na starzenie (handlowe nazwy:  neopren, Bayprenr). Występują w wielu postaciach, zbrojonych  i niezbrojonych,

Rosnąca popularność niezbrojonych  łożysk elastomerowych w budownictwie wynika  z małych wymiarów, trwałości i elastycznego dopasowania do podłoża oraz rzeczywistych warunków. Niezbrojone  łożyska elastomerowe są znacznie tańsze niż wersje zbrojone i mają tę zaletę, że nie są ograniczone do określonych kształtów  lub typów  łożysk, a także mają dużą odporność ogniową (wg katalogu producenta). Mogą być dostosowane do konkretnych celów, np poprzez wycięcie otworów pod kołki lub nadanie specjalnego kształtu, bo są wycinane na wymiar z arkuszy wielkoformatowych.
Można je  stosować głównie przy obciążeniach statycznych, ponieważ istnieje ryzyko pełzania przy obciążeniach dynamicznych.

Dobór wymiarów  podkładki elastomerowej

Dobór podkładki należy dokonać na podstawie danych katalogowych producenta tak, by zdolna była do przeniesienia średniego docisku pionowego  oraz spełniała wymagane warunki brzegowe: dopuszczała wymagany obrót oraz wymagane przesunięcia poziome wywołane obciążeniami poziomymi $H_{Ed,x}$- $H_{Ed,y}$

Wstępny dobór wymiarów podkładki elastomerowej można dokonać  z warunku dopuszczalnego nacisku łożyska na powierzchnie elementów podpierającego i podpieranego ($\ref{5})$

Norma [14] dotyczy łożysk, których wymiary spełniają następujące warunki dla grubości oraz szerokości podkładki $t_p$ oraz $ b_p$

$$\begin{equation}  5 \le \cfrac{b_p}{39} \le t_p \le \cfrac{b_p}{11} \le 12 \, mm \quad ; \quad  70 \, mm \le b_p \le 200 \, mm \label {74}\end{equation}$$

Grubość $t_p$ można zmniejszyć do 4 mm, jeśli można zagwarantować mniejsze tolerancje płaskości (1,5 mm). Istotne jest, aby zapobiec bezpośredniemu kontaktowi elementów betonowych, nawet w przypadku obrotu podpory, i to jest główna zasada przy określaniu grubości. Do niewzmocnionych łożysk elastomerowych można stosować wyłącznie produkty wulkanizowane na bazie kauczuku chloroprenowego (CR).

Norma [14]  określa wytrzymałość samej podkładki mierzonej naprężeniami  $\sigma_m$ wg  ($\ref{4})^2$ jako:

$$\begin{equation} \sigma_{Rd,m} = 1,2 \cdot G \cdot S \label {75}\end{equation}$$

gdzie:
$G$ – moduł Kirchoffa (styczny) łożyska podawany przez producenta – dla podkładek elastomerowych Betomax $G=1,5 \, MPa$
$S$ – współczynnik kształtu łożyska wyznaczany z zależności:

$$\begin{equation} S = \begin {cases}
\cfrac{b_f \cdot  l_f}{2 \cdot ( b_f + l_f) \cdot t_f} & \text{ dla podkładki prostokątnej } b_f \, x \, l_f   \quad ; \quad  l_f \le  2 \cdot b_f \\
\cfrac{D}{4 \cdot t_f}  & \text{ dla podkładki okrągłej o średnicy D}, \\
\end{cases} \label {76}\end{equation}$$

Otwory w podkładkach , np. w przypadku kołków można pominąć, jeśli nie przekraczają 10% powierzchni podkładki.

Z zależności ($\ref{42}$) dla standardowych geometrii łożysk otrzymujemy wytrzymałość podkładki $\sigma_m=$  10. do 12 MPa.  Jeśli jednak mają zastosowanie specyficzne warunki stosowania (np. dla złączy doczołowych słupów obciążonych ściskaniem), wówczas dopuszczalne są naprężenia ściskające dochodzą do 20MPa.

Wytrzymałość konkretnych typów podkładki należy przyjmować z materiałów producenta.

Dozbrojenie strefy podporowej elementu podpierającego i podpieranego

Strefa podporowa w elemencie podpierającym powinna zostać  zostać wzmocniona zgodnie z przedstawionymi na rys.25:   od lewej:  przyspojonym prętem poprzecznym od dołu do pręta nośnego; pętla pętlą poziomą, zakotwieniem na długość  $2s_s$ lub  pętla pionową. Wymiar $r_1$ należy tak dobrać, by powierzchnia styku mogła się powiększyć bez uszkodzenia łożyska przy rozszerzeniu przez przez obciążenie pionowe i przez obrót, przemieszczeniu poziomym od obciążeń poziomych oraz oraz niedokładnego montażu łożyska. Szacunkowo $r_1=t/2 + \, 10 \, mm$.

Niezależnie od zbrojenia przypowierzchniowego należy zapewnić  odpowiednie zbrojenie na rozciąganie w odpowiedniej odległości od powierzchni oraz w rozmiarze i rozłożyć odpowiednio do  rozszczepiających sił rozciągających jak pokazano na rys. 26.

Rys.27 Wzmocnienie strefy podporowej elementu podpierającego [4]

Rys. 28  Dozbrojenie strefy podporowej elementu podpieranego wg DIN 4141-15 (a=$b_f$ w artykule)

Uogólnienie. Idea hybrydowego projektowania żelbetu

Mechanizm zniszczenia poprzez ścinanie jest niejednoznaczny przy analizie takich elementów jak: krótkie wsporniki, podcięcia belek i płyt, połączenia i przeguby i ogólnie obszary nieciągłości rozumiane jako połączenie obszarów tarczowych z belkowymi lub płytowymi. Obszary konstrukcji o mechanizmach zniszczenia, wymagających zastosowania różnych rodzaju elementów najczęściej dzieli się na elementy w sposób pokazany na rys.29:

• • regiony typu B (od ang. Beam), czyli takie obszary, w których zachowana jest zasada płaskich przekrojów (Bernoulliego-Naviera). W takich obszarach można stosować teorię belkową,
  • regiony typu D (od ang. Discontuity), czyli obszary nieciągłości (lub zaburzeń [racy belkowej) są regionami, w którym nie obowiązuje zasada Bernoulliego i nie można używać wzorów z modeli prętowych (belkowych). Obszary D wystąpią również w belkach- ścianach – rys.29b

Rys.29. Obszary belkowe B oraz nieciągłości D: a) w ramie płaskiej, b) w belce ścianie (cały obszar) [15]

We współczesnej dobie informatyzacji zaleca się projektowanie hybrydowe  prętowo-tarczowe, w którym można wydzielić charakterystyczne etapy:

• Etap I: konstrukcję analizujmy pod względem występowania  różnych obszarów.
  W pierwszej kolejności wydzielamy regiony B  belek (prętów) czyli takich elementów których wymiar długości L jest  większy od wysokości  h
  * min  8 razy (L> 8h)  dla prętów stalowych ,
  * min 4 razy (L> 4h) dla prętów żelbetowych,
  Dla wsporników o wysięgu $w$  można przyjąć $l=2w$.
• Etap II w grupie  prętów stalowych  wydzielmy regiony Bc prętów cienkościennych dla których  grubość ścianki $\delta$ jest mniejsza nie mniej niż 8 razy od długości ścianki l  ($l > 8 \delta$
• Etap III  pozostałe obszary konstrukcji, to obszary D, w których możemy wydzielić
  * obszary tarczowe Dt – naroża ram, krótkie wsporniki,  belki z otworami w środniku,
  * obszary płytowe Dp –  stropy ,  stopy fundamentowe itd
  *  obszary powłokowe Dpo – płyty zagięte, pochyłe itd,
  *  obszary 3d  –  fundamenty masywne itd

Przykłady rachunkowe

Przykład 1 [ Krótki wspornik – klasyczna metoda ST]

Zaprojektować zbrojenie wspornika pokazanego na rys. 4. Sprawdzić wymiary wspornika z warunku odchyłek wykonawczych oraz dobrać podkładkę elastomerową.

Dane

Zgodnie z przykładem 21.1 z pracy [6]  lub  przykładem  3.1. z pracy [5] mamy:

żelbet  C30/37 – B500: $f_{ck}=40 \, MPa$, $f_{cd}=30/1,4 =21,43 /, MPa$, $f_{yd}= 500/1,15= 435 \, MPa$.
obciążenie: $F_{Ed} = 400 \, kN$ , $ H_{Ed} = 80 \, kN$

grubość podkładki $t_p = 20 \, mm$
otulenie osiowe górne $a_u=40 \, mm$
szerokość wspornika $b = 400 \, mm$
wysokość wspornika    $h = 400 \, mm$
wysokość użyteczna  $d=400-40=360\,mm$
wysięg wspornika $a_c= 240 \, mm$

Sprawdzenie wartości siły poziomej
$H_{Ed} = 80 \, kN  \ge 0,2\ cdot  400 = 80 \, kN$  $\to$  OK

Wytrzymałość betonu krótkiego wspornika

Wytrzymałość w strefie podparcia

($\ref{8}$) $\to$ $f_{Rd} =  0,85 \cdot 21,.13= 18,0 \, MPa$

Wytrzymałość w węzłach wspornika

($\ref{10}$)  $\to$ $ \nu’ = 1+\cfrac{39}{250}= 0,88$

($\ref{12}$)  $\to$
$ k= \begin {cases}
1,0 & \text{ w węźle (1)},\\
0,85 & \text{  węźle (2)}, \\
0,6, & \text{ dla krzyżulca betonowego pomiędzy węzłami (1)-(2)},\\
\end{cases}$

($\ref{10}$)  $\to$
$ \sigma_{Rd, max}= \begin {cases}
1,0 \cdot 0,88 \cdot 21,43 = 18,86 \, MPa & \text{ w węźle (1)},\\
0,85\cdot 0,88 \cdot 21,43 = 16,03 \, MPa& \text{  węźle (2)}, \\
0,75\cdot 0,88 \cdot 21,43 = 14,14 \, MPa& \text{  w narożu T-T)}, \\
0,6\cdot 0,88 \cdot 21,43 = 11,32 \, MPa &  \text{ dla krzyżulca betonowego pomiędzy węzłami (1)-(2)},\\
\end{cases}$

Dobór podkładki

Wymagana powierzchnia podkładki ze względu na  docisk do betonu ($\ref{8}$) , czyli wyżej wyliczone $f_{Rd}=18 \, MPa$

($\ref{5}$) $\to$ $A_p \ge \cfrac{F_{Ed}}{f_{Rd}}= \cfrac{400}{19}\cdot 10^1 = 222 \, cm^2$
$\to$ przyjęto podkładkę (rys.4) $l_p= 340 \, mm$ , $b_p = 140 \, mm$ , $A_p= 34\cdot 14= 476 \, cm^2 > 222 \, cm^2$

($\ref{5}$)  $\to$ $
\sigma_m = \cfrac{400}{476}\cdot 10^1= 8,4 \, MPa$
$k_{\sigma}=\cfrac{\sigma_m}{f_{cd}}=\cfrac{8,4}{21,43}=0,39$

Tab.1. minimalna szerokość podkładki
$\to$ $min \,  a_1= 110\,,mm$ dla $k_{\sigma}=0,39$

Przyjęto $b_p = 140 > 110\, mm$ $\to$ OK

Przyjęto podkładkę elastomerową na średnie naprężenia pod podkładką $\sigma_m= 8,4 \,MPa$
niezbrojoną typu > N10 prod. np. Betomax (liczba po N oznacza wytrzymałość podkładki w MPa)

Sprawdzenie wymiarów wspornika z warunku odchyłek wykonawczych

Rys 2,  Tab.1. $\to$
minimalna odległość podkładki od krawędzi elementu podpierającego  dla podpory żelbetowej ($ C \ge 30$), skupionej i dla $k_{\sigma}=0,39 \in [0,15 \, ;\,  0,40]$.
$\to$ $a_2 =15 \, mm$

minimalna odległość $a_3$ podkładki od elementu podpieranego  dla  zbrojenia nad podporą  dla pionowych pętli zbrojenia z otuleniem $c_3= 40 \ , mm$
i promienia wewnętrznym zagięcia  $r= 80 \, mm$
$\to$  $a_3 = 40+80=120 \, mm$

Poprawka ze względu na odchyłki odległości między elementami podpierającymi
dla prefabrykowanej belki podpieranej o długości $l= 8000 \, mm$, czyli $l/1200 = 8000/1200= 7 \, mm$
($\ref {6}$) $\to$  $\Delta a_2= 8000/1200 = 7 \, mm < 10 \,mm  \to Delta a_2 = 10 \, mm$

Poprawka ze względu na odchyłki długości elementu podpieranego
($\ref{7}$) $\to$ $\Delta a_3 = 8000/250= 4 \, mm$

Minimalne odległości między krawędziami łożyska i krawędziami rozpatrywanych elementów
$d_2 = c_2+\Delta a_2 = 40 +10 = 50 > 340-170-140= 30 \, mm$ (Rys 2) ,
z czego wynika, że w przypadku ogólnym zaprojektowana odległość $d_2 = 30 \, mm$ byłaby z byt mała.
Jednakże w przypadku zastosowania okucia końca wspornika przez kątownik  można przyjąc , że dla prętów nośnych $c_2=10 \, mm$ i wymagana odległość $d_2=10+10 = 20  < 30\,mm . przy innym sposobie zakotwienia prętów nośnych   należałoby zwiększyć długość wspornika lub dosunąć płytkę do słupa, ale tak by zachować położenie elementu podpieranego w systemie konstrukcyjnym.

$d_3 = c_3+\Delta a_3 = 40 +4 = 44  < 170-60=110 \, mm$ (Rys 2)

Minimalna długość podparcia wspornika
($\ref{4}$) $\to$ a=110+15+120+\sqrt{10^2 +4^2 }= 256 \, mm.
Wymagana nominalna długość podparcia $a=256 \, mm$ jest mniejsza od przyjętej wynoszącej (Rys 2) $ a=340-60=180 \, mm$.

Układ prętów ST i kąt pochylenia krzyżulca betonowego $\Theta$

Położenie punktu (2)

($\ref{13}$) $\to$ $ a_H=t_p+a_u = 20 +40 = 60 \, mm$ ,  $ e= 60  \cdot \cfrac{80}{400} = 12 \, mm$

Położenie punktu (1)

Zakładamy, że naprężenia dociskowe $\sigma_c$ na boku poziomym węzła (1)  o długości $x_H$ jest równe  wytrzymałości  betonu w tym węźle $\sigma_{Rd, max}= 18,86 \, MPa$ (p. wyżej)
($\ref{14}$) $\to$  pozioma długość docisku  $ x_H = \cfrac{400}{400 \cdot 18,86} \cdot 10^3 = 53,2 \approx 54 \, mm$
($\ref{16}$) $\to$  pionowa długość docisku  $ x_V = = 360 – \sqrt{360^2 – 54 \cdot \left[ 54 +2 \cdot ( 240+12) \right]} = 44,6 \, mm$
($\ref{17}$) $\to$ $\le x_{V, lim}=  0,4 \cdot 0,88 \cdot 360= 126 \, mm$

($\ref{19}$) $\to$ całkowita szerokość krzyżulca betonowego $x= \sqrt{44,6^2 + 54^2}= 70,0 \, mm$

Ramiona siły

($\ref{8}$) $\to$  ramię pionowe $z= 360 – 44,6/2 = 337,7 \, mm$ ; ramię poziome  $ a = 240 + 54/2 +12 = 279 \, mm$

Kąt pochylenia krzyżulca betonowego

($\ref{15}$) $\to$   $ ctg \, \Theta = ctg\, \cfrac{44,6}{42}=  0,826$ ;    $\Theta = arcctg \, 0,826 = 50,44^o$ ; $ ctg\, \Theta = \cfrac{279}{337,7}= 0,826$

Sprawdzenie dopuszczalności : ($\ref{8}$) $\to$   $ 0,5 <  ctg \,\Theta= 0,826  \le 1,0  \to$ OK

Zbrojenie główne rozciągane

($\ref{21}$) $\to$ $ F_{td} = 400 \cdot 0,826 + 80 \cdot ( 1 + 60/337,7) = 424,6 \,  kN  > 0,5 \cdot 400 = 200 \, kN$

($\ref{22}$) $\to$ pierwsze przybliżenie $F_{td}  \approx 1,3 \cdot \left ( 400 \cdot \cfrac{ 240}{400}  + 80 \right) = 416 \, kN$

Różnica pomiędzy rozwiązaniem ścisłym i oszacowaniem $(424,6 /416-1) $ =2% i jest akceptowalna w obliczeniach inżynierskich

Pole zbrojenia zbrojenia głównego
$A_s= \cfrac{424,6}{435}\cdot 1o^1 = 9,76 \, cm^2$ $ \to$  przyjęto   2Ø16+ 2Ø20

Sumaryczne pole przekroju prętów  $A_s= 2\cdot \pi/4 \cdot (2^2 +1,6^2)  10,3 \, cm^2$

Zakotwienie zbrojenia głównego

Zakotwienie  spawaniem do kątownika brzegowego

Grubość spoiny połączenia z rys.21 przy której połączenie będzie miało wytrzymałość pręta dla stali zbrojenia- kątownika  B500-S355
($\ref{42}$) $\to$ $a_{eq} =  0,296\cdot 20 = 6 \, mm$
Dla połączenia wykonanego na budowie  $a=6/0,9=7  \le 0,4\cdot min \, d =0,4\cdot 16= 7 \, mm$
Przyjęto a= 7 mm dla prętów o obu średnicach.

W przypadku zwymiarowania spoiny nie na nośność pręta, a na siłę należy zastosować mnożnik zmniejszający w stosunku pola przekroju zbrojenia potrzebnego do przyjętego  $9,76/10.3= 0,95$
czyli $a= 0,95 \cdot 7 = 7 \, mm$

Zakotwienie  pętlami poziomymi

$ 2 \cdot F_{bt} = F{td}=  424,6 \,  kN$

Rozdział sił na pętle $\Phi20$ i $\Phi16$
$\sum \Phi_j^2 = 2\cdot (20^2+16^2)= 1312 \, mm^2$
$c=40 \,mm$ , otulenie osiowe $a_1=c+\Phi/2 = 40+30/2= 50 \ mm$
odległość osiowa pomiędzy warstwami przyjęto $a_2= 50 \, mm$

$ F_{bt} = \begin {cases}
424,6 \cdot \cfrac{16^2}{1312}=82,9 \, kN  & \text{ dla }\Phi16,\\
424,6 \cdot \cfrac{20^2}{1312}=129,5 \, kN & \text{ dla }\Phi20,\\
\end{cases}$

$ a_b = \begin {cases}
a_2/2 =5/2=2,5\, cm & \text{ dla }\Phi16,\\
a_1 = 5 \, cm & \text{ dla }\Phi20,\\
\end{cases}$

Wymagana średnica pętli ($\ref{47}$) $\to$

$ \Phi_{m,min} = \begin {cases}
\cfrac{82,9}{21,43} \cdot 10^1 \left( \cfrac{1}{2,5} +\cfrac{1}{2\cdot 1,6}\right)= 27,5 \, cm & \text{ dla }\Phi16,\\
\cfrac{129,5}{21,43} \cdot 10^1 \left( \cfrac{1}{5} +\cfrac{1}{2\cdot 2}\right)= 27,2 \, cm& \text{ dla } \Phi20,\\
\end{cases}$

Przyjęto pętle o średnicy $\Phi_m =300 \,mm$
otulenie boczne  $c=(400-300)/2-20/2= 40 \, mm$

Zakotwienie  przyspojonymi prętami poprzecznymi

Przyjęto dwa pręty poprzeczne $\Phi 16$ umieszczone jak na rys. 22 (oznaczono na czerwono)

(rys.2) $\to$
długość podkładki  $l_p= 340\, mm$
odległośc osi podjłaski od czoła wspornika $100 \,mm$
otulenie czołowe $c_2=50 \,  mm$
fizyczna długość zakotwienia  $l_{bf}=170 -40= 130 \, mm$
otulenie w kierunku prostopadłym dla obu prętów $c = 40 \, mm$

Zmienne  otulenia
($\ref{42}$) $\to$   $x= \cfrac{2\cdot 40}{17}+1= 6 $
($\ref{41}$) $\to$  $ y =  0,015+0.14 \cdot e^{-0,18 \cdot 6}= 0,0625 $

średni nacisk na długości zakotwienia
($\ref{48}$) $\to$  $\sigma_{cm}=\cfrac{F_{Ed}}{l_p \cdot l_{bf}}=  \cfrac{400}{130 \cdot 340}\cdot  10^3= 7,16 \, MPa$

($\ref{47}$) $\to$ $\sigma_{td} = \cfrac{21,43 – 7,16} {0,0625} = 228,3 \, MPa > 3 \cdot 21,43 = 64,3 \, MPa$ $\to$ $\sigma_{td}= 64,3 \, MPa$

obliczeniowa długość pręta poprzecznego
($\ref{38}$) $\to$ $l_{td} =1,16 \cdot 16 \cdot \sqrt{\cfrac{435}{64,3}} = 125,6 >  l_t= 90 \, mm$ $\to$ $l_{td} = 90 \, mm$

gdzie $l_t = min \{340-2\cdot 40 \,;\, 90 \}= min \{260 \,;\, 90\} \, mm $ ;  260 mm – długość pręta poprzecznego; 90  mm – rozstaw prętów głównych

Nośność spoiny ($\ref{38}$) ; ($\ref{41}$) $\to$
$ F_{btd} = F_{wd}= \begin {cases}
\approx 0,5 \cdot  \pi\cdot 1,6^2/4 \cdot 435 \cdot 10^1= 43,7 \, kN  < F_{btd,,max} & \text{ dla }\Phi16,\\
\approx 0,5 \cdot  \pi\cdot 2,0^2/4 \cdot 435 \cdot 10^1= 63,3 \, kN < F_{btd,max} & \text{ dla }\Phi20,\\
\end{cases}$

$ F_{btd,max}= \begin {cases}
90 \cdot 16 \cdot 64,3 \cdot 10^{-3} = 92,6 \, kN   & \text{ dla }\Phi16,\\
90 \cdot 20 \cdot 64,3 \cdot 10^{-3} = 115,7 \, kN & \text{ dla }\Phi20,\\
\end{cases}$

Łącznie udział prętów poprzecznych dla $2\Phi20$ + $2\Phi16$:
$\sum F_{btd}=2\cdot (63,3 + 43,7) = 214,0 \, kN$

Ponieważ zastosowano dwa pręty poprzeczne w rozstawie $3\Phi$ , to siłę kotwiącą zwiększa się  1,41 razy i ostatecznie

$\sum F_{btd}=q,41 \cdot 214,0 = 301,7 \, kN$

Siłą  w prętach kotwionych z uwzględnieniem przyspojonych prętów poprzecznych jest znacznie zmniejszona do

$ F_{sd} 424,6 -301,7 = 122,9 \, kN$

Naprężenia w pręcie kotwionym
($\ref{48}$) $\to$  $ \cfrac{122,9}{10,3}\cdot 10 = 119,3 \, MPa$

Graniczne naprężenie przyczepności ($\ref{41}$)  $\to$
$f_{bd}=2,25 \cdot 0.7 \cdot 1,0 \cdot 1,45 = 2,284 \, MPa$

Długość podstawowego zakotwienia z uwzględnieniem przyspojenia prętów ($\ref{47}$) $\to$

$ l_{b,rqd}= \begin {cases}
\cfrac{16 \cdot 119,3 \cdot 2,284}= 209  \, mm  & \text{ dla }\Phi16,\\
\cfrac{20 \cdot 119,3 \cdot 2,284} = 261 \, mm & \text{ dla }\Phi20,\\
\end{cases}$

Współczynnik korekcyjny w sytuacji ograniczenia odkształceń przez przyspojone zbrojenie poprzeczne

($\ref{47}$) $\to$  \alpha_4=0,7 $

Potrzebna długość zakotwienia  po uwzględnieniu przyspojonych prętów (tylko dla $\Phi20$ jako bardziej wymagających)

($\ref{41}$) $\to$   $l_{bd} = 261 \cdot 0,7 = 183 > l_{bF} =130 \, mm$

$\to$ wymagana jest większa długość zakotwienia od możliwej do osiągniecia, więc należy uwzględnić jeszcze inne czynniki zmniejszające wymaganą długość zakotwienia.

Zakotwienie  nie przyspojonymi prętami ( pionowymi strzemionami)

W rozważanym przypadku na długości zakotwienia (od wewnętrznej krawędzi płytki licząc zastosowano dwa strzemion czterocięte  $\Phi8$ (rys.18), czyli
$\sum A_{st}=2\cdot 4 \cdot \pi/4 \cdot 0,8^2 = 4,02 \, cm^2$
Współczynnik $\alpha_3$:
$K=0,1$
pole przekroju pojedynczego pręta o największej średnicy $A_s = \pi\cdot 2,0^2/4 = 3,14 \, cm^2$
$\lambda =\cfrac{4,02}{3,14} – 0,25= 1,03$

Współczynnik $\alpha_3$ ($\ref{38}$) $\to$
$\alpha_3= 1- 0,1 \cdot 1,03 = 0,897 > 0,7$ $\to$

Potrzebna długość zakotwienia  po uwzględnieniu przyspojonych prętów poprzecznych i nie przyspojonych strzemion pionowych

($\ref{41}$) $\to$   $l_{bd} = 261 \cdot 0,7 \cdot 0,897 = 164 > l_{bF} =130 \, mm$

$\to$ wymagana jest większa długość zakotwienia od możliwej do osiągniecia, więc należy uwzględnić jeszcze inne czynniki zmniejszające wymaganą długość zakotwienia.

Wpływ nacisku poprzecznego

Nacisk poprzeczny szacujemy jako $\sigma_{cm} =7,16 \, MPa$ z zależności  ($\ref{48}$) (wyliczono wyżej)

Współczynnik $\alpha_5$ ($\ref{38}$) $\to$  $\alpha_5 = 1- 0,04 \cdot 7,16= 0,72 > 0,7 $

Jednoczesność wpływu czynników

Ograniczenie współczynników korekcyjnych długość zakotwienia

($\ref{47}$) $\ to$  $ \alpha_2 \cdot \alpha_3 \cdot \alpha _5 =  1,0 \cdot 0,897 \cdot 0,72 = 0,64 < 0,7 $

Skuteczność zakotwienia przyspojonymi prętami

Długość zakotwienie wyznaczona dla przyspojonych prętów poprzecznych można zmniejszyć współczynnikiem $\alpha=0,7$, czyli

$l_{bd}= 183 \cdot 0,7 = 128 <  l_{bF} =130 \, mm$ $\to$ zakotwienie jest skuteczne.

Pętle pionowe

Rozważono zastosowania  zbrojenia głównego w formie pętli pionowych z normowym wyokrągleniem $4\Phi$ z węzłami typu T-T (rys.3)

Rozdział sił na pręty $\Phi20$ i $\Phi16$ ($\ref{48}$) $\to$ ( też w przykładzie wyżej dla pętli)
$\sum \Phi_j^2 = 2\cdot (20^2+16^2)= 1312 \, mm^2=13,12 \, cm^2 $
$ F_{td} = \begin {cases}
424,6 \cdot \cfrac{16^2}{1312}=82,9 \, kN  & \text{ dla }\Phi16,\\
424,6 \cdot \cfrac{20^2}{1312}=129,5 \, kN & \text{ dla }\Phi20,\\
\end{cases}$

Naprężenia  docisku  do betonu w narożu dla poszczególnych prętów ($\ref{48}$) $\to$
$ \sigma_{b} \approx\begin {cases}
0,45 \cfrac{82,9}{1,6^2}\cdot 10^1 = 145,7 \gg \sigma_{Rd, max} =14,14 \, MPa & \text{ dla }\Phi16,\\
0,45 \cfrac{129,5}{2,0^2}\cdot 10^1 = 145,7 \gg \sigma_{Rd, max} =14,14 \, MPa\, MPa & \text{ dla }\Phi20,\\
\end{cases}$
gdzie $\sigma_{Rd, max} =14,14 \, MPa$ wyznaczono na początku przykładu z ($\ref{10}$)

lub dla każdego pręta – też z wzoru ($\ref{48}$) :
$ \sigma_b \approx 0,45 \cfrac{424,6}{13,12}\cdot 10^1 = 145,7 \, MPa  \gg \sigma_{Rd, max}$

Wniosek:

zastosowanie pętli pionowych (zbrojenia brzegowego) z promieniem wygięcia 4d doprowadzi do zmiażdżenia betonu w wygięciu pręta.
Należy zastosować inny rodzaj zakotwienia.

Krzyżulec betonowy

$(\ref{23})^1$  $\to$ $ F_c = (424,6 – 80) \cdot cos 50,44^o  +  400 \cdot sin 50,44^o  = 527,85 \, kN$
$(\ref{23})^2$  $\to$ $ F_c = \sqrt{ (424,6 – 80)^2 + 400^2}= 527,96 \, kN$

$(\ref{23})^3$  $\to$ $\to$ użyteczne oszacowanie  $ F_c \approx 400\cdot \sqrt{1+\cfrac{279^2}{360^2}}= 506,1 \, kN$

Różnica między rozwiązaniem ścisłym i oszacowaniem $ 527,9/506-1$ = 4% jest akceptowalna w projektowaniu wstępnym (właściwym).

$(\ref{25})^2$  $\to$ naprężenia w krzyżulcu w węźle  (1) – szerokość krzyżulca $x_{1}=70 \, mm$

$\sigma_c = \cfrac{527,9} { 7,0  \cdot 40,0} \cdot 10^1 = 18,85 \le 18,86 \, MPa$

Efektywne szerokości krzyżulca w węźle (2) oraz pomiędzy węzłami (1) oraz (2) muszą być nieco większe i wynoszą

pomiędzy węzłami (1)-(2)  $x_{(1)-(2)}\approx \cfrac{527,9}{40 \cdot 11,32}\cdot 10^{-1+3}=116 \, mm$
w węźle  (2)  $x_{(2)}\approx \cfrac{527,9}{40 \cdot 16,03}\cdot 10^{-1+3}=82 \, mm$

Przykład 2 [ Krótki wspornik – stabilna metoda ST]

Przykład 1 rozwiązać stabilną metodą ST

Dane

Z przykładu 1:
$f_{cd}=30/1,4 =21,43 /, MPa$,
$f_{yd}= 500/1,15= 435 \, MPa$.
$F_{Ed} = 400 \, kN$ ,
$ H_{Ed} = 80 \, kN$

wysięg wspornika $a_c= 240 \, mm$
wysokość wspornika    $h = 400 \, mm$
otulenie osiowe górne $a_u=40 \, mm$
wysokość użyteczna  $d=400-40=360\,mm$
szerokość wspornika $b = 400 \, mm$

Wysokość strefy ściskanej

Parametr $k_E$ obciążenia zewnętrznego $F_{Ed}$
($\ref{32}$) $\to$  $k_E=\cfrac {240 \cdot 400\ \cdot 21,43} {400}\cdot 10^{-3}= 5,143$

Wysokość zredukowana docisku  $x_{eff}$ ($\ref{33}$ $\to$
$ x_{eff} = \cfrac{ 2 \cdot 350} { (1+ 2 \cdot 5,143) } \cdot \left [ 1+  5,143 \mp \sqrt{ 5,143^2 – (240/360)^2 (1+ 2\cdot  5,143) } \right ]=  \{ 96,5 \,;\, 687,3 \} \, mm$

Przyjęto
$ x_{eff}=96,5 \, mm$
czyli $x=96,5/0,8 = 120,6 \, mm$

Geometria ST

($\ref{27}$) $\to$
$z=360- 96,5/2=311,7 \, mm$
$s=\sqrt{240^2 + 311,7^2}= 393,4 \,mm $
$\Theta= arc sin (311,7/393,4)= arc sin \, 0,792 = 52,4 ^0$
Sprawdzenie dopuszczalności: ($\ref{8}$) $ \to$   $ 0,5 <  ctg \,\Theta= 0,77  \le 1,0  \to$ OK

Dla porównania w przykładzie 1 uzyskano   $\Theta = 50,44^o$ , czyli rozbieżność rozwiązań wynosi  (52,4/50,44) -1 = 4%

Siły w prętach

($\ref{34}$) $\to$  $F_c =\cfrac{400}{sin \, 52,4^0}= 504,9 \, kN$
($\ref{35}$) $\to$  $N_{td,V} = 504,9 \cdot cos \, 52,4^0 = 400 \cdot ctg \, 52,4^0 = 308,1  \, kN$
($\ref{29}$ ) $\to$  $F_{td} =308,1 + 80 = 388,1\, kN$

Dla porównania w przykładzie 1 uzyskano    $ F_{td} = 424,6 \,  kN  $ , czyli rozbieżność  wynosi  (388,1/424,6) -1 = 9%

Zakotwienie pręta  rozciąganego wg  rys.11

Przykład 3  [ Podcięcie belki -nowa metoda ST]

W przykładzie pokazano zastosowanie nowej metody projektowania podcięcia belki na przykładzie z pracy [11], Example 6.11.

Dane

Zaprojektowano zbrojenia wspornika (podcięcia ) belki dla danych  wg rys.15   (oznaczenia wg rys. 10 oraz rys.16):
$h=1400 \, mm$,
$ b=800 \, mm$,
$h_k=675  \, mm$,
$a_h=a_u = 50 /mm$
$d_k= h_k-a_u = 675- 50= 625 /, mm$
$l_k=500 \, mm$,
$a_v=275 \, mm$,
długość belki  $l_{eff}=8000 \, mm$,
szerokość podkładki centrującej 160 mm,
beton C25/30,
stal B450C.

Obciążenie równomiernie rozłożone na długości belki
$Q_{Ed}= 250 \, kN/m$ ,

Reakcje z obliczeń statycznych:
pionowa $F_{Ed}=250\cdot 8 /2=1000 \, kN$,
pozioma $H_{Ed}=0 $ ,
Przyjęto $H_{Ed}=0,2 \cdot F_{Ed} =0,2 \cdot 1000 = 200  \, kN$.

Dobór podkładki

Wymagana powierzchnia podkładki ze względu na  docisk do betonu ($\ref{8}$) , czyli wyżej wyliczone $f_{Rd}=18 \, MPa$

($\ref{5}$) $\to$ $A_p \ge \cfrac{V_{Ed}}{f_{Rd}}= \cfrac{1000}{19}\cdot 10^1 = 554 \, cm^2$
$\to$ przyjęto podkładkę $l_p= b- 2\cdot 50 =  800-100= 700\, mm$ , $b_p = 160 \, mm$ , $A_p= 70\cdot 16= 1120 \, cm^2 > 554 \, cm^2$

($\ref{5}$)  $\to$ $\sigma_{Ed}=\sigma_m= \cfrac{1000}{1120}\cdot 10^1 = 8,9 \, MPa$
$k_{\sigma}=\cfrac{\sigma_m}{f_{cd}}=\cfrac{8,9}{21,43}=0,42$

Tab.1. minimalna szerokość podkładki
$\to$ $min \,  a_1= 140\,,mm$ dla $k_{\sigma}=0,42$

Przyjęto $b_p = 160 > 140\, mm$ $\to$ OK

Przyjęto podkładkę elastomerową na średnie naprężenia pod podkładką $\sigma_m= 8,9 \,MPa$
niezbrojoną typu > N10 prod. np. Betomax (liczba po N oznacza wytrzymałość podkładki w MPa)

Sprawdzenie wymiarów podcięcia z warunku odchyłek wykonawczych

Przeprowadzić analogicznie jak w przykładzie 1.

Model ST

Dla podcięcia wg rys. 15 mamy:
$\Theta = arctg \, \frac{675-50}{313}= 63,4^o$,
$\alpha= 45^0$,
$e = 2\cdot 50 = 100 \, mm$,
$e_5= 2\cdot 50 = 100 \, mm$,
$h_k=675 \, mm $,
$d_k=675=50 = 625  \, mm $,
$a_k= 500 \, mm$,
$a_v = 275 \, mm$,
$ h_D= 1400-675 -50 = 675 \, mm$,
$ c_2= \cfrac {100+ 275 \cdot sin 45^o}{ sin (45^0 +63,4^0} = 310 \, mm$,
$ a_5= 500 -100 \cdot cos45^0= 429 \, mm$.

Współrzędne punktów modelu

(\ref{39}) $\to$ współrzędne $(x,  y)_i$ wg rys. 16

$ (x,y)_i = \begin {cases}
(1) \to = & (0\, ;\, 0) \\
(2) \to  (310 \cdot (cos \, 63,4^0 ; \, sin \, 63,4^0 ) & = (139 \, ;\, 277) \, mm\\
(3) \to (625 \cdot (ctg \, 63,4^0 \, ;\, 1) & = (313 \, ;\, 625) \, mm \\
(4) \to (275 + 675 \cdot ctg \, 45^0 +100/sin \, 45^0 \, ;\, – 675) &= (1091 \, ; \, -675) \, mm  \\
(5) \to (275 – 429 \,;\, 100 /cos, 45^0  +429 \cdot tg \, 45^0) & = ( -154 \,;\,  571 ) \, mm \\
\end{cases}$

Długości prętów modelu ST

(\ref{40}) $\to$ długości prętów  modelu

$ L_{T,S}= \begin {cases}
L_{T1} =  \cfrac{ 675 + 310 \cdot sin \, 63,4^0}{sin \, 45^0} =1347 \, mm \\
L_{T2} =\cfrac{500  – 275/2 }{cos \, 45^0}+\cfrac{100 \cdot cos\, 63,4^0  + 275 /2 \cdot sin (45 – 63,4)^0 } {cos\, 45^0 \cdot sin (45 + 63,4)^0} – 100 = 415 \, mm\\
L_{S1} = 310 \, mm \\
L_{S2} = \sqrt{(625 \cdot ctg \, 63,4^0 -310  \cdot cos \, 63,4^0)^2 +(625 -310 \cdot sin \, 63,4^0)^2}= 389 \, mm\\
\end{cases}$

Reakcje podpór modelu

$dF= F_{Ed} \cdot cos \, \Theta – H_{Ed} \cdot sin\, \Theta = 1000 \cdot cos 63,4^0  – 200 \cdot sin 63,4^0 = 268,9 kN$,
$\sum L_T= 1347 + 415= 1762 \, mm$
$\sum L_S=  310 + 389 = 699 \, mm$
$c_R= \cfrac {1762}{699} \cdot \cfrac{415}{389} \cdot \cfrac{cos\, 45^0}{sin (45 + 63,4)^0} = 0,3155$

(\ref{44}) $\to$
$ H,V = \begin {cases}
H_4= 268,9 \cdot 0,3155 = 84,84 \, kN  \\
H_3 = 200  + 84,84 \cdot \cfrac {1762}{415} = 560,4 \, kN \\
V_3 = 560,4 \cdot  tg\, 63,4^0  + 268,9 \cdot \cfrac{ 1347}{ 389} \cdot \cfrac{1}{cos\,63,4^0}= 639,6 \, kN \\
V_4 = 84,8  \cdot tg \, 45^0 = 84,84 \, kN \\
H_5= 84,8\cdot \cfrac{1347}{415}= 275, 6 \, kN\\
V_5 = 275,6 \cdot tg\, 45^0 = 275,6 \, kN \\
\end{cases}$

Siły w prętach modelu

(\ref{47}) $\to$
$(N , V) = \begin {cases}
N_{T1} = 84,84 \cdot cos \,45^0 + 84,84 \cdot sin \, 45^0  & = 120,0 \, kN = \cfrac{84,84 }{ cos \, 45^0 }= 120,0 \, kN \\
N_{T2} = 275,6 \cdot cos \, 45^0 + 275, 6 \cdot sin \, 45^0 = 389, 8 \, kN & = 120,0  \cdot \cfrac {1347}{415}= 389,7 \, kN\\
N_{S1} = 200 \cdot cos \, 63,4^0 + 1000 \cdot sin \, 63,4^0 = 983,7 \, kN\\
N_{S2 }= 560,4 \cdot cos\,63,4^0 + 639,6 \cdot sin \, 63,4^0 = 822,6 \, kN \\
V_{T1} = 84,84 \cdot sin \, 45^0 –  84,84 \cdot cos \, 45^0 =0 \, kN & = 0 \, kN\\
V_{T2} = 275,6 \cdot sin \, 45^0  –  275,6 \cdot cos \, 45^0 =0 \, kN & = 0 \, kN\\
V_{S1} = 1000 \cdot  cos \, 63,4^0 – 200 \cdot  sin \, 63,4^0  =258,9 \, kN\\
V_{S2}= 639,6 \cdot  cos \, 63,4^0 – 560,4\cdot  sin \, 63,4^0 = 214,7 \, kN\\
\end{cases} $

Dobór zbrojenia  wraz z zakotwieniem dokonać zgodnie z zasadami przedstawionymi w treści artykułu  i analogicznie jak w przykładzie 1.

Przykład 4  [ Podcięcie belki. Porównanie  MES z modelem analitycznym ST i analiza wpływu przegubów w zbrojeniu]

W celu sprawdzenia  poprawności modelu ST z rys 16  i uzyskanych formuł analitycznych – system ST rozwiązano w programie numerycznym Consteel 17 (rys, 30).

Rys. 30 . Rozwiązanie MES  dla przykładu 2  podcięcia belki

W  tab.2 porównano reakcje podpór i siły w prętach  w modelu analitycznym ST i numerycznym MES z przegubami i bez przegubów w węźle (2). Uzyskano zgodność rozwiązania analitycznego oraz numerycznego MES w modelu z przegubami oraz niewielkie różnice (max do  2%) dla modelu z ciągłym zbrojeniem (bez przegubów w węźle (2)).

Tab.2. Porównanie sił  (w kN) w modelu analitycznym ST i numerycznym MES
z przegubami i bez przegubów w węźle (2)

Literatura

1. Mōrsch E. (1929). Der Eisenbetonbau, seine Theorie und Anwendung. Verlag K. Wittwer
2. PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3: 2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
3. Niedenhoff  Strut and Tie approach, PhD thesis, Glasgow, 1961
4. Bachmann H., Steinle A., Precast Concrete Structures, Ernst+Sohn Berlin, 2011
5. Urban T., Przykłady projektowania krótkich wsporników. Zeszyt 2, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź, 2012
6. Knauff M., Golubińska A., Knyziak P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z przykładami obliczeń, Wydanie drugie. PWN
7. Stenzel, G; Fingerloos, F., Konstruktion und Bemessung von Details nach DIN 1045-1. Beton-Kalender, 2007, Teil 2
8. Urban T., Przykłady projektowania krótkich wsporników. Zeszyt 2, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź, 2012
9. Buildings Department of Hong Kong, Manual for Design and Detailing of Reinforced Concrete to the Code of Practice for Structural Use of Concrete 2013 September, Hong Kong, 2013
10. Allen A.H. (1988) Reinforced Concrete Design to BS8110 Simply Explained E.
    & F.N. Spon London New York
11. ECP ASBL. (2008). Eurocode 2. Worked Examples (rev A 31-03-2017), European Concrete Platform. http://www.europeanconcrete.eu/publications/eurocodes
12. PN-EN ISO 17660-1:2008, Spawanie -Spawanie/zgrzewanie stali zbrojeniowej – Część 1: Złącza spawane/zgrzewane nośne
13. PN-EN 1993-1-8, Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych – Część 1-8: Projektowanie węzłów
14. DIN 4141-3:1984-09, Lager im Bauwesen; Lagerung für Hochbauten
15. Navratil, J., Ševcik, P., & Michalcík, L. (2017). A solution for walls and details of con-crete structures. 24. Czech Concrete Days (2017). https://resources.ideastatica.com/Content/03_Concrete/Verifications/Articles/A_solution_for_walls_and_details_of_concrete_structures_US.pdf

________________________________