• znormalizowany parametr ciśnienia porowego netto

$$\begin{equation}  B_q = \cfrac{\Delta u}{q_n} \label{22} \end{equation}$$

gdzie $\Delta u=u_2- u_0$  zmierzone ciśnienie porowe $u_2$ pomniejszone o ciśnienie porowe in situ $u_0$. Ciśnienie $u_0$ jest  ciśnieniem hydrostatycznym  (wyporem wody gruntowej). Dla gruntu ponad wodą gruntową $u_0=0$, a pod warstwą wodonośną jest to ciężar wody w tej warstwie. 

Tarcie na pobocznicy $f_s$ jest tak skalibrowane, że daje pomiar wytrzymałość gruntu na ścinanie przekształconego  $s_{u(r)}$. (oznaczenie Robertson [7]) w mechanice gruntów jest oznaczana przez $c_u$.

Wroth and Wood (1978) [33] zaproponowali następującą  zależność korelacyjną pomiędzy stopniem plastyczności $I_L$, a wytrzymałością na ścinanie gruntów spoistych  /p>

$$\begin{equation} f_s= c_u= 0,17 \cdot \exp{(-4,6 \cdot I_L)} \, [MPa] \label{23} \end{equation}$$

Stopień plastyczności $I_L$ gruntu spoistego określa jego konsystencję zgodnie z tab. 7.

Dla gruntów piaszczystych przyjmuje się $c_u=0$, więc również $f_s = 0$, ale z pracy Robertson, Campanella (1983) [34] wynika, że tarcie na pobocznicy $f_s$ występuje w zależności od rodzaju gruntu oraz oporu na stożku $q_c$

$$\begin{equation} F_r= 0,1  \div 5 \text{ % z rys. 10 } \label{24} \end{equation}$$

Rys. 10 Klasyfikacja gruntów Robertson-Campanella (1998) [34]

Na podstawie znormalizowanego oporu stożka  $Q_t$ oraz współczynnika tarcia $R_f$ wylicza się indeks $I_c$,  który   jest promieniem w przybliżeniu koncentrycznych okręgów, oddzielających granice pomiędzy każdą z 9-ciu stref podziału gruntów Robertsona (rys.11).
Indeks $I_c$ można zdefiniować następująco [2]:

$$\begin{equation} I_c=\sqrt{ (3,47 – log Q_t)^2 + (1,22+log F_r)^2} \label{25} \end{equation}$$

Rys. 11  Klasyfikacja gruntów Robertsona  (2010) z granicami indeksu $I_c$ [35], opracowano na podstawie [2] – figure 22

Typy gruntów przypisane do poszczególnych obszarów na rys. 11 zestawiono w tab.13

Tab.13 Typy gruntów wg Robertsona  [2]– dostosowane do artykułu

W tab. 14 przedstawiono klasyfikację norm amerykańskich. wynikającą z  typów gruntu Robertsona .

Tab. 14 Typy gruntów Robertsona. Kryteria klasyfikacji wg ASTM [36]

Wymagania sprzętowe dotyczące dotyczące wykonawstwa oraz dokumentowania sondowań statycznych z zastosowaniem stożka elektrycznego lub piezo-elektrycznego podano w normie [37].

Płyta statyczna PLT (VSS)

Badanie  płytą sztywną PLT (VSS) jest chętnie stosowane w drogownictwie za sprawą szczegółowych, praktycznych zleceń zawartych w normie PN-S- 02206 [24]. Metoda polega na wywieraniu statycznego nacisku na badaną warstwę płytą stalową.
Najczęściej stosuje się płytę o średnicy 30cm. Moduł odkształcenia jest to iloczyn przyrostu obciążenia jednostkowego do przyrostu odkształcenia badanej warstwy w ustalonym zakresie obciążeń jednostkowych przez średnicę płyty obciążającej. Stanowi on miarę nośności badanej warstwy.

Badania in situ za pomocą aparatu VSS polega na wyznaczeniu pierwotnego modułu odkształcenia $E_1$, wtórnego modułu odkształcenia $E_2$ – tzw. modułu odkształcenia sprężystego oraz wskaźnika odkształcenia $I_0$ tzn. stosunku modułów wtórnego do pierwotnego

$$\begin{equation}  I_0=\cfrac{E_2}{E_1} = \cfrac{\Delta p_2}{\Delta p_1} \cdot \cfrac{\Delta s_1}{\Delta s_2} \stackrel {\Delta p_1 =\Delta p_2} {==} \cfrac{\Delta s_1}{\Delta s_2} \label{26} \end{equation}$$

gdzie:
$E_1$ – pierwotny moduł odkształcenia [MPa],
$E_2$ – wtórny moduł odkształcenia [MPa],
$\Delta p_1$, $\Delta p_2$ – różnica obciążeń w pierwszym (1) i drugim (2) cyklu obciążenia w [MPa],
$\Delta s_1$, $\Delta s_2$ – przyrost osiadania w pierwszym (1) i drugim (2) cyklu obciążenia w [mm], odpowiadający zakresom obciążeń,

Moduł $I_0$ wyraża wiec stopień wzmocnienia gruntu po usunięciu wstępnych porów oraz wody.

Pomiar modułów prowadzony jest w dwóch cyklach obciążenia(i=1 i 2), pomiędzy którymi przeprowadza się proces odciążenia podłoża. Obciążenie odbywa się stopniami co 0,05 MPa do wymaganej wartości końcowej natomiast odciążenie realizuje się stopniami co 0,1 MPa. Zakresy obciążeń różnią się w zależności od rodzaju podłoża,  a podczas badania podłoża z kruszywa nieulepszonego lub gruntu rodzimego wynoszą $ (0,05 \, do \, 0,15) \,; \, (0,15 \, do \, 0,25) \, MPa$, czyli są rzędu obciążenia gruntu przez fundament bezpośredni.

Moduły odkształcenia określa się z zależności [13]– dodatek K.2. Zgodnie z  normą [38], kl. 4.11.4 (1).

$$\begin{equation}   E_i= \cfrac{ \pi}{4} \cdot  \cfrac {\Delta p_i}{ \Delta s_i} \cdot D  \cdot (1-\nu^2), \quad (i=1,2) \label{27} \end{equation}$$

gdzie:
$D$ – średnica płyty pomiarowej i $D=300 \, mm$.
$\nu$ – współczynnik Poissona badanego podłoża. Przy braku dokładnych danych można przyjąć $\nu=0,5$ w warunkach bez odpływu w gruncie drobnoziarnistym oraz $\nu=0,3$ w gruncie gruboziarnistym.

Wyniki badania PLT mogą być wprost wykorzystane do prognozowania osiadania fundamentów bezpośrednich bez wyprowadzania parametrów gruntów, jednak efekt skali (różnicy wielkości płyty i fundamentu) może istotnie zaburzyć wyniki. Terzaghi (1955) [39] zasugerował związek między osiadaniem $s$ stopy kwadratową o boku b  i płyty $s_1$ w następujący sposób:

$$\begin{equation}   s= s_1 \cdot \left ( \cfrac{b+1}{2b}\right)^2 \label{28} \end{equation}$$

Wyniki uzyskane ze wzoru ($\ref{28}$) mają jednak bardzo duży rozrzut ze względu na zmienność  sztywności podłoża wraz z głębokością.
W normie [13] wskazano, że bezpośredni pomiar osiadania płytą PLT można stosować w przypadku, gdy  jednorodna warstwa gruntu występuje do głębokości równej dwukrotnej szerokości planowanych fundamentów bezpośrednich ( do głębokości wpływu 2B wg rys. 21). Osiadanie $s_1$ oznaczone w badaniu PLT można bezpośrednio przeliczyć na osiadania fundamentu $s$ poprzez skalę szerokości $b/b_1$ zgodnie z rys. 12.

Rys. 12 Bezpośrednie oznaczanie osiadania fundamentu z badań PLT: $b/b_1$ – skala szerokości fundamentu w stosunku do średnicy $b_1$ płyty PLT; $s/s_1$ – skala osiadania fundamentu $s$ w stosunku do osiadania płyty $s_1$ na gruntach o różnym zagęszczeniu piasków [40], również [38] – rys. K2+K3

Do wyznaczenia parametrów geotechnicznych warstwy jednorodnej na potrzeby metod pośrednich (analitycznych)- warstwa poniżej płyty powinna mieć grubość równą przynajmniej dwukrotnej szerokości albo średnicy płyty.

Płyta dynamiczna DP

Płyta dynamiczna jest bardzo chętnie stosownym urządzeniem w drogownictwie, ale najbardziej kontrowersyjnym. Kontrowersje dotyczą badań korelacyjnych, które są nakazane w instrukcjach obsługi, a które powszechnie nie są wykonywane  przez  prowadzących badania. Na przykład w instrukcji nowoczesnego urządzenia Terratest [41] podano pouczenie: „Przeprowadzaj zawsze pomiary korelacyjne z płytą statyczną VSS”.

Ze względu na kontrowersje, wskazujące na brak wiarygodności badań płytą dynamiczną (stosowanej bez właściwej kalibracji), ale również dlatego, że w niezbyt rozległych wykopach pod fundamenty budowli najczęściej wystarczają same pomiary płytą VSS – nie zalecamy stosowanie płyty dynamicznej do badania zagęszczenia gruntu w budownictwie kubaturowym.
Częstość kontroli zagęszczenia w wykopach zgodnie z normą PN_S-02205 [24],, nie powinna być bowiem mniejsza niż 3 testy na 500 m³ objętości zasypu, lecz nie rzadziej niż 1 test co 30m długości ściany konstrukcji oraz 50 m długości wykopów dla przewodów  . Natomiast dla  nasypu należy wykonać minimum 1 test na 1000 m³ objętości nasypu oraz 3 testy w każdej jednorodnej warstwie nasypu, lecz nie rzadziej niż 1 test na 500 m² jednorodnej warstwy

Stosowanie płyty dynamicznej do oznaczania zagęszczenia gruntu jest możliwe bezwzględnie PO prawidłowej kalibracji i ściśle w reżimie zgodnym z instrukcja użytkowania – zwykle prowadzi do  zmniejszenia nakładu pracy na kontrolę zagęszczenia, szczególnie po zastosowaniu formuł korelacyjnych ($\ref{35}$).
Liczne korelacje wskaźnika zagęszczenia gruntu $I_s$ z modułem dynamicznym $E_{vd}$ i z powszechnie akceptowanymi jako wzorcowe badaniami płytą statyczną PLT (VSS) – są sporządzane przez producentów urządzeń do badań dynamicznych  DP  [42], [41], [43] i inne Należy przyjąć, że takie badania porównawcze były prowadzone przez producentów lub niezależnych od wykonawców badaczy na dobrze skalibrowanych urządzeniach.

Korelacja zagęszczenia gruntu z badaniami in-situ

Współcześnie najczęściej stosowaną metodą badań  polowych gruntu jest sondowanie CPT/CPTU. Dlatego w pierwszej kolejności krótko omówimy korelację wskaźników zagęszczenia gruntu z wynikami CPT

Sondowania statyczne CPT / CPTU

Grunty sypkie (piaszczyste, niespoiste)

Na rys. 13 pokazano zależności korelacyjne pomiędzy badaniami sondą CPT a stopniem zagęszczenia gruntu zamieszczone w pracy [44]

Rys.  13 Formuły korelacyjne CPT $q_c$ – stopień zagęszczenia $I_S$ dla gruntów sypkich Bagińska I., (2015)

Ocena stopnia zagęszczenia gruntu sondą dynamiczną DPH i sondą statyczną CPTU, Przegląd komunikacyjny, 3/2015, str. 6-10)) – zmodyfikowane na potrzeby artykułu

Formuła korelacyjna Lancellota [6] w przekształconej postaci [44] oraz formuła Borowczyka [45]  maja postać:

$$ \begin{equation} I_D = \begin {cases}
0,164 \cdot ln ( q_c ) + 0,354 & \textrm { wg Lancellota }\\
0,709 \cdot log ( q_c ) – 0,165 & \textrm {wg Borowczyka } \\
\end {cases} \label{29} \end{equation}$$

i są często używane po odwróceniu

$$ \begin{equation} q_c = \begin {cases}
exp \left ( \tfrac{I_D – 0,354}{0,164} \right), & \textrm { wg Lancellota } \\
10^{\tfrac{I_D+ 0,165}{0,709}}, & \textrm { wg Borowczyka} \\
\end {cases} \label{30} \end{equation}$$

Formułę Borowczyka zaleca polska norma  [29] dla piasków o dowolnej ziarnistości (drobnych, grubych i średnich ). Jednak jak wynika z badań Bagnińskiej (2015) [44] dla stopni zagęszczenia $I_D<0,8$ , czyli  w zakresie interesującym w budownictwie ($I_s<0,82$) znacznie lepsze dopasowanie do natury ma formułą Lancellota. Tę fomułę zalecamy do stosowania.

Grunty spoiste

Na  rys. 14  zaprezentowano stosowane w Polsce  korelacje pomiędzy stopniem plastyczności $I_L$ a oporem stożka $q_c$ sondy CPT  w gruntach spoistych podzielonych na trzy grupy w zależności od wartości kąta tarcia wewnętrznego $\Phi$.

Ry.14 Formuły korelacyjne CPT $q_c$ – stopień plastyczności $I_L$ dla gruntów spoistych [46] [29]

Korelacja z modułem Younga

Na rys. 15 przedstawiono nomogram do wyznaczania modułu Younga dla dla piasków krzemowych bez dodatku cementu zamieszczony w pracy Robertosn, Cabal (2015) [2]

Z nomogramu można odczytać współczynniki $\alpha_E$, a następnie wyznaczyć moduł Younga $E’$ z formuły $(\ref{2})$ lub  po odczytaniu współczynnika $K_E$ z formuły

$$\begin{equation}  E’=  K_E \cdot P_a \cdot \sqrt{ \cfrac{ \sigma’_{v0}}{P_a} } \label{31} \end{equation}$$

gdzie:

$\sigma’_{v0}$ – efektywne ciśnienie gruntu jak w ($\ref{18}$),
$P_a=100 \, kPa= 0,1 \, MPa$ – normalne ciśnienie atmosferyczne (wartość odniesienia)

Współczynnik $\alpha_E$ można też wyliczyć z zależności:

$$\begin{equation}  \alpha_E = 0,015 \cdot \left[ 10 ^{(0.55\cdot I_c + 1.68)} \right] \label{32} \end{equation}$$

Rys. 15 Nomogram do wyznaczania modułu Younga gruntu z próby CPT Opracowano na podstawie [2] -fig 38

Użyteczne formuły regresji podał Melnikov i Boldyrev (2015) [47] . Formuły regresji dotyczą gruntów z obszarów I do V wg rys. 16.

Rys. 16. Obszary regresji modułu E’ najczęściej spotykanych gruntów [47] -fig.3

Krzywe regresji mają postać

$$\begin{equation} E’ = a_1 + a_2  \cdot q_c +a_3 \cdot f_s  \label{33} \end{equation}$$

gdzie współczynniki regresji $a_1$,$a_2$, $a_3$  zestawiono w tab.15

Tab.15 Współczynniki regresji $(\ref{33})$ wg [47]

Grunty polskie

Na rys. 17 zaprezentowano nomogram do wyznaczania zagęszczenia gruntów polskich na podstawie badań Wysokińskiego z zespołem (2008) [48]. W zależności od oporu stożka $q_c$ i rodzaju gruntów ( żwir do ił) można oszacować dla gruntów sypkich wskaźnik zagęszczenia $I_D$ ($\ref{10}$), a dla gruntów spoistych stopień konsystencji $I_c=1-I_L $. (tab. 7)

Rys. 17 Nomogram do wyznaczania stopnia zagęszczenia $I_D$ gruntów piaszczystych i wskaźnika konsystencji  $I_c$ gruntów spoistych na podstawie badań CPT [49]

Wysokiński z zespołem (2008) przeprowadzili szerokie badania parametrów gruntów polskich na podstawie sondowań [48]. Na rys 18 przedstawiono nomogram do określenia modułu dylatometrycznego ($\ref{7}$) na podstawie wyników z sondowań CPT: oporu stożka $q_c$ oraz współczynnika tarcia $R_f$ ($\ref{20}$).

Rys. 18 Nomogram Wysokińskiego (Wysokiński L. i zespół, (2008), Projekt badawczo-rozwojowy, KBN  Nr 4 T07E 047 30 Zależności regionalne parametrów geotechnicznych na podstawie sondowań , badań laboratoryjnych i pomiarów osiadań, ITB, Warszawa))

Płyta statyczna PLT

Korelacja wskaźnika zagęszczenia I_s z wtórnym modułem E₂

Korelacje  wyników próby PLT ze wskaźnikiem $I_s$ ($\ref{8}$), a poprzez korelację ($\ref{10}$) również ze stopniem zagęszczenia $I_D$ są dokonywane z wtórnym modułem odkształcenia $E_2$, a nie ze wskaźnikiem $I_0$ ($\ref{26}$) przez co w istocie zakłada się, że proces obciążania podczas 1. cyklu próby PLT (VSS) i odciążenia (podczas wyznaczania modułu $E_1$) zlikwidował „luzy” i $E_2$ jest miarodajne do oceny zagęszczenia gruntu

W tab. 16 zestawiono tabelę korelacyjną zamieszczoną w pracy Rafalskiego (2005) [42]

Tab.16 Korelacja wskaźnika zagęszczenia $I_s$ z modułem$E_2$ z badań PLT  wg [42],tab. 4

W tab.17 zestawiono zależności korelacyjne pomiędzy wskaźnikiem zagęszczenia, a modułami z badania płytą statyczną PLT oraz dynamiczną z niemieckich wytycznych ZTVE-StB 09 przywołanych w instrukcji obsługi płyty dynamicznej Terratest  [41].

Tab.17 Tabela korelacji $(I_s → E_2 → E_{vd})$ =(wskaźnik zagęszczenia, moduł wtórny PLT, moduł dynamiczny DP)
wg niemieckich wytycznych ZTVE-StB 09 wg [41]

Z porównania tab.17 z tab. 16 widać, że zależności podane w pracy [42] podano za zaleceniami wytycznych niemieckich  ZTVE-StB 09.

Korelacja I_s z pierwotnym modułem E₁

W Austrii  z kolei stosuje się korelacje modułu dynamicznego $E_{vd}$ z badań lekka płytą dynamiczną DPL $E_{vd}$ do modułu pierwotnego $E_1$ z badania PLT ÖFSV (2008) [50]. Przyjmuje się że minimalna wymagana wartość, która odpowiada pierwotnemu modułowi obciążenia statycznego Ev1 może być sprawdzona płytą dynamiczną. na podstawie zależności

$$ \begin{equation} E_{vd} = \begin {cases}
10+ 6/5 E_1 & \textrm { dla  sypkich przy } E_1 < 25 \, MPa\\
10+ 4/5 E_1 & \textrm { dla  sypkich przy } E_1 \ge 25 \, MPa \quad \text { i wszysttkich spoistych}\\
\end {cases} \label{34} \end{equation}$$

Z zależności ($\ref{34}$) można przeliczać wymagane wartości graniczne , ale nie należy przeliczać wartości pomiarów $(E_{vd} \to E_1)$.

Formuła korelacyjna E₂ → I_s

Rafalski i in (2005) [51] przeprowadzili szerokie badania gruntów niespoistych w celu określenia zależności korelacyjnych pomiędzy modułem dynaikznym $E_{vd}$ z badań płytą dynamiczną DP a modułem wtórnym $E_2$ z badań płytą statyczną PLT, a także korelacji modułu dynamicznego $E_{vd}$ ze wskaźnikiem zagęszczenia $I_s$ i wykazali  silną korelację liniową w postaci:

$$\begin{equation} Y =  A_i \cdot X  +  B_i \label{35} \end{equation}$$

gdzie:
$Y=E_2$ lub $Y= I_s $,
$X=E_{vd}$ (lub w analizach autora $X=E_2$)
współczynniki kierunkowe $A_i$ oraz wyrazy wolne $B_i$ są indeksowane numerem korelowanej zależności:
(i=1) dla $E_{vd} \to E_2$,
i=2) dla $ E_{vd} \to I_s$,
(i=3) dla $ E_2 \to I_s $,
przy czym ostatnia zależność (i=3) wyspecyfikował autor artykułu poprzez złożenie współczynników dla (i=1 i 2).  Współczynniki korelacyjne dla (i=1 i 2) pochodzą bezpośrednio z pracy [51].

Na przykład  dla piasków grubych o dobrym uziarnieniu (ciągłym) korelacja $E_{vd} \to E_2$ jest opisana zależnością:
$E_2= 2,03 \cdot E_{vd} – 8,35$

a dla piasków drobnych o złym uziarnieniu (nieciągłym) korelacja $E_2  \to I_S$ jest opisana zależnością:

$$\begin{equation} I_s=  0,00083 \cdot E_2  + 0,94 \label{36} \end{equation}$$

Grunty niespoiste (sypkie, ziarniste) podzielono na cztery grupy: żwir, pospółka, piasek gruby, piasek średni i piasek drobny) a każdą grupę na dwie w zależności od uziarnienia : ciągłego ( możliwe zagęszczenie) i nieciągłego dla wskaźnika jednorodności uziarnienia $c_u$ wg normy [52]

W tab. 18 zestawiono współczynniki regresji liniowej, umożliwiające na podstawie znanego  wtórnego modułu statycznego $E_2$ lub modułu dynamicznego $E_{vd}$ oszacować wskaźnik zagęszczenia $I_s$ z formuły ($ \ref{35}$).

Tab.18 Współczynniki korelacji zagęszczenia gruntu sypkiego $I_s$ z badaniami płytą statyczną PLT i dynamiczną do wzoru ($\ref{35}$)

Osiadania fundamentu

Ogólna formuła

Ogólną formułę do szacowania osiadania gruntu $s$ pod liniowym fundamentem (np ławą o szerokości B) podano w  [19]-wzór F.1.:

$$\begin{equation} s=\cfrac{p \cdot B \cdot f}{E_m}\label {37} \end{equation}$$

gdzie:
p – nacisk na grunt wywierany przez fundament w poziomie posadowienia
B – szerokość fundamentu liniowego
$E_m$ – wartość obliczeniowa modułu sprężystości, przyjmowana stosowanie do metody i skłądowej szacowanego osiadania

Osiadanie gruntu pod fundamentem $s$ jest sumą trzech składowych :

$s_e$ – osiadania sprężystego (natychmiastowego).  Osiadanie natychmiastowe następuje po przyłożeniu obciążenia lub w okresie około 7 dni od przyłożenia .  Analiza natychmiastowego osiadania jest stosowana dla wszystkich gruntów drobnoziarnistych, w tym iłów i glin o stopniu nasycenia < 90% oraz dla wszystkich gruntów gruboziarnistych o dużym współczynniku przepuszczalności (powyżej 10,2 m/s). 

$s_k$ – osiadania konsolidacyjnego

$s_w$ – osiadania od wtórnej kompresji.

Każdy grunt posiada pory, wilgoć i gazy. W gruntach wilgotnych i drobnoziarnistych (o małej przepuszczalności) takich jak iły, czy gliny – osiadanie  będzie trwało przez długi czas z powolnym odpływem wody i ponowną regulacją szkieletu gruntu, aż do całkowitego rozproszenia się nadciśnienia w porach.  W tych gruntach większe znaczenie mają kładowe osiadania $s_k$ i $s_w$. 

Osiadanie jest niestacjonarnie (zależne od czasu), co oznacza, że nie występuje natychmiast po wprowadzeniu obciążenia, lecz jest zależne od konsolidacji gruntu. Mniej ściśliwe grunty (piasek, żwir) odkształcają się szybciej, natomiast nawodnione grunty gliniaste o niskiej przepuszczalności doświadczają stopniowego odkształcenia zwanego konsolidacją. Zjawisko to jest oceniane przez teorię konsolidacji Terzaghiego. Do oszacowania tego przedłużonego osiadania stosowane są metody nieliniowe., które nie są przedmiotem niniejszego artykułu.   

Współczynnik osiadania $f$, występujący w ogólnych formułach  ($\ref{37}$) i ($\ref{75}$) nie jest wyspecyfikowany w normie [19] i należy go  wyznaczyć zależnie od przyjętej metody szacowania osiadania  $s$ w tym także od uwzględnianej składowej przemieszczenia.

Poniżej omówiono metody szacowania pierwotnego (natychmiastowego, sprężystego) osiadania $s_e$ w gruntach, które zakładają  liniowy związek pomiędzy przyrostem obciążenia gruntu, a przyrostem osiadania. 

Obciążenie mimośrodowe

Zwykle fundament w podstawie jest obciążony mimośrodowo, nawet w przypadku przegubowego oparcia słupa, ponieważ w tym przypadku oddziaływania poziome $[(H_B \, , (H_L]$ słupa/ ściany (indeksy oznaczają siły równoległe do B lub L odpowiednio)  na skutek działania na pewnej wysokości ponad podstawą – wywołują momenty zginające  $[M_B \, , M_L]$ (indeksy oznaczają zginanie wokół osi prostopadłej do boku.

W przypadku mimośrodowego ściskania Meyerhof [53] zaproponował wprowadzenie zredukowanych wymiarów podstawy fundamentu, nazywanych odpowiednio efektywną szerokością B’ i efektywną długością L ’  z następujących formuł:

$$\begin{equation}  B’ = B – 2 \cdot e_B \text {  i  } L’ = L – 2 \cdot e_L \label {38} \end{equation}$$

gdzie:
$e_B=\cfrac{M_B}{V}$ , $e_L=\cfrac{M_L}{V}$, a V- pionowa siła obciążająca (ściskająca)

Formuła $(\ref{38}$) dotyczy fundamentu o podstawie prostokątnej. W przypadku fundamentu o podstawie kołowej zależności są bardziej złożone. W tym przypadku odsyłamy do pracy Lancelotta [54] lub [55].

Podejście wyrażone formułą ($\ref{38}$) nie jest ścisłe, ale powszechnie stosowane [56]. Podejście jest równoznaczne z zastąpieniem mimośrodowego obciążenia działającego na powierzchnię A = B L obciążeniem osiowym działającym na powierzchnię A = B’ L ’, jak pokazano na rys. 19. 

Rys. 19 Stopa fundamentowa obciążona mimośrodowo: oryginalna o podstawie A  i zastępcza A  [55] –  Uzupełnione o obrót podstawy o kąt $\varphi$ i stan częściowego docisku do gruntu (na pomarańczowo)  $L_pres$ – długość docisku

Kolorem pomarańczowym na rys. 19.  zobrazowano sytuację w której fundament jest częściowo odrywany od podłoża.  Powszechnie nie dopuszcza się do takiej sytuacji, co oznacza wymóg pozostawania siły V w rdzeniu przekroju., czyli:

$$\begin{equation}  \cfrac{e_B}{B} \le \cfrac{1}{6} \text {  ;  }  \cfrac{e_L}{L} \le \cfrac{1}{6} \text {  ;  }  \left( \cfrac{e_B}{B} + \cfrac{e_L}{L} \right ) \le \cfrac{1}{6} \label {39} \end{equation}$$

Przy tak umiejscowionym obciążeniu  naprężenia w narożach  fundamentu oryginalnego o podstawie $A=B \cdot L$ wynoszą

$$\begin{equation}  \sigma_{max/min } = \cfrac{V}{A} \cdot \left ( 1 \pm \cfrac {6\cdot e_L}{L} \pm \cfrac{6\cdot e_B}{B}\right) \label {40} \end{equation}$$

Natomiast w przypadku fundamentu o podstawiezredukowanej $A’=B’\cdot L’$ sa stałe i wynoszą

$$\begin{equation}  \sigma’ = \cfrac{V}{A’} \label {41} \end{equation}$$

W najgorszym położeniu siły V – na granicy rdzenia otrzymujemy stosunek naprężęń zredukowanych do ekstremalnych [55]:

$$\begin{equation} \cfrac{\sigma’ }{\sigma_{max}} \approx 0,75 \label {42} \end{equation}$$

Zastosowanie redukcji  $(\ref{38}$) prowadzi do niewielkiego zapasu bezpieczeństwa.

Osiadanie natychmiastowe s_e

Metody szacowania osiadania sprężystego

W zastosowaniach inżynierskich funkcjonują trzy metody szacowania osiadań sprężystych gruntu [55]:

1. metoda odkształceń jednoosiowych, zwana też metodą naprężeń, nazywana też metodą modułu edometrycznego jest szeroko stosowana w Polsce, bo była polecana przez polską normę [14]. W niniejszym artykule reprezentuje ją metoda Pieczyraka.
   Zgodnie z zaleceniami Eurokod 7 nadal może być stosowana, choć  prostsze, a przede wszystkim lepiej dopasowane do obserwacji są metody współczynnika wpływu.
2. metoda odkształceń trójosiowych, lub metoda odkształceń nazywana też metodą modułu Younga. W niniejszym artykule reprezentuje ją metoda Mayne-Poulos
3. metoda współczynnika wpływu. W niniejszym artykule reprezentuje ją metoda Schmertmann.

Zasada addytywności i głębokość aktywna

Wszystkie metody wymienione powyżej stosują zasadę addytywności polegającą na tym, że osiadanie całkowite fundamentu $s$ składa się z osiadania poszczególnych warstw $s_{e,i}$  [19] – klauzula F.1.zd.3

$$\begin{equation} s_e=\sum \limits_1^n s_{e,i}  \label {43} \end{equation}$$

gdzie $n$ – liczba warstw gruntu które uwzględnia się przy wyznaczaniu osiadania

Sumowanie w $(\ref{43})$ przebiega od poziomu posadowienia do głębokości aktywnej $z_a$, poniżej której wpływ odkształcalności gruntu jest pomijalnie mały. Do ustalenia głębokości aktywnej $z_a$ najczęściej stosuje się metodę procentunaprężenia geostatycznego, zgodnie z którą głębokość aktywna reprezentowana jest głębokością pod fundamentem, gdzie naprężenia $\sigma_z$ wywołane obciążeniem fundamentu osiągną pewien procent  naprężenia geostatycznego $\sigma_{v0}$  ($\ref{16}$) (rys. 20)</a:

$$\begin{equation} \sigma_{z} = x \% \sigma _{v0} \label {44} \end{equation}$$

gdzie  x% =
20% wg Eurokod 7-1  [19]
30% wg PN-B [15]

Rys. 20  Wyznaczenie głębokości efektywnej w metodzie naprężeń – rys. GEO5 zmodyfikowany na potrzeby artykułu

Szacowanie parametrów odkształcalności gruntu

Wiarygodne oszacowanie wartości modułu sprężystości Younga $E$ lub edometrycznego $M$ oraz współczynnika Poissona $\nu$ gruntów nie jest łatwe. Wynika to głównie z trudności próbkowania, a przede wszystkim zależności modułu sprężystości od stanu naprężenia.

W szczególności przyjmowanie wartości tych parametrów na podstawie historycznych  zależności podanych na rys. 2  i rys. 3 powinno być zweryfikowane badaniami polowymi. Zależności korelacyjne przedstawione w artykule: $(\ref{2}), $(\ref{4})$, $(\ref{27})$, $(\ref{33})$, $(\ref{35}) oraz z nomogramów rys.17, rys. 18 – należy stosować rozważnie po analizie problemu i uzasadnieniu wyboru.

Norma Eurokod 7 [19] – klauzula F.1- zdanie 2 nakłada obowiązek „należy stosować wartości modułów  odkształcenia lub inne zależności naprężenie-odkształcenie, określone na podstawie badań laboratoryjnych i z zaleceniem kalibrowania na podstawie badań polowych„.

Wykorzystywane w metodzie Mayne-Poulos. zwiększanie się modułu Younga wraz z głębokością $k$ dokonuje się  również z badań CPT po wyznaczeniu modułu $E$ na kolejnych poziomach badań,

Przede wszystkim ze względu na zgrubne oszacowanie parametrów gruntu –nie należy uważać obliczeń osiadań za dokładne ( o tym wprost stanowi norma Eurokod 7).

Zalecamy stosowanie metod współczynnika wpływu Schmertmann  lub metodę Mayne-Poulos , a do szybkich szacunków metodę Pieczyraka.

Współczesne metody szacowania sprężystego osiadania gruntu

Metoda Schmertmann i in. (1978)

Do obliczania osiadania bezpośrednich (płytkich ) fundamentów w gruntach gruboziarnistych (niespoistuch) użyteczna jest metoda Schmertmann, (1978) [57],  [58]. W metodzie wykorzystywany jest współczynnik wpływu $I_{zp}$, określający wpływ warstw w gruntu położonych poniżej podstawy fundamentu na osiadanie.  Wyznacza się go z nomogramu zamieszczonego na  rys. 21

Metoda Schmertmanna jest metodą półempiryczną skorelowaną z wynikami pomiarów  przemieszczeń  w naturze oraz analizami  prowadzonymi metodą elementów skończonych na nieliniowym modelu naprężenia – odkształcenia z uwzględnieniem trójosiowego stanu odkształcenia  (współczynnika Poissona ujęty we współczynniku wpływu $i_z$). Metoda ma zastosowanie do normalnie skonsolidowanych piasków Przemieszczenia mogą być znacznie mniejsze dla piasków wstępnie obciążonych lub zagęszczonych w inny sposób.

W ujęciu przestawionym w  w załączniku D Eurokod 7 – cz.2 [13] osiadania fundamentu szacuje się z formuły:

$$\begin{equation} s_e =  C_1 \cdot C_2 \cdot  \Delta p  \cdot  \int \limits_0^z  \left ( \cfrac {I_z}{C_3 \cdot E’} \right ) \label{45} \end{equation}$$

Obciążenie netto gruntu $\Delta p$  w poziomie posadowienia (patrz rys. 22)  jest równomiernie rozłożonym naciskiem konstrukcji na grunt pomniejszonym o efektywne naprężenia geostatyczne  w gruncie (przed wykonaniem fundamentu z uwzględnieniem wyporu wody) 

$$\begin{equation} \Delta p = p- {\sigma’}_{v,0}  \label{46}\end{equation}$$

Efektywne ciśnienie geostatyczne , w gruncie  w poziomie posadowienia $\sigma’_{v,0}$ w sformułowaniu oryginalnym [59] przedstawiono w postaci

$$\begin{equation}  \sigma’_{v,0} = \gamma_s  \cdot D_f \label{47}\end{equation}$$

gdzie: $\gamma_s$ – ciężar objętościowy pierwotnego gruntu przeznaczonego do usunięcia w celu zagłebienia dundamentu do głebokości $D_f$  (poziomu posadowienia fundamentu poniżej poziomu terenu).

W przypadku różniących się warstw gruntów, występujących powyżej poziomu posadowienia  efektywne ciśnienie geostatyczne  wyznacza się z formuł ($\ref{16}$) i ($\ref{17}$) dla rzędnej $z = z_0 = D_f$,  czyli w poziomie posadowienia, od poziomu terenu pierwotnego. licząc.

Całkę w wyrażeniu ($\ref{45}$) w praktyce aproksymuje się sumą

$$\begin{equation} s_e = \int \limits_0^z  \left ( \cfrac {I_z}{C_3 \cdot E’} \right )  \approx   \sum \limits_0^{z_2}  \left ( \cfrac {d_{ef,i}}{C_3 \cdot E’} \right ) \label{48} \end{equation}$$

gdzie sumowanie biegnie po wszystkich warstwach gruntu o grubości $d_i$ od poziomu posadowienia, o rzędnej pionowej z=0  do poziomu $z=z_2$, na którym  zanika wpływ naprężeń na osiadanie fundamentu i którą przyjmuje się w zależności od kształtu fundamentu jak następuje:

$$ \begin{equation} z_2 = \begin {cases}
2B’  & \textrm { dla stopy osiowosymetrycznej (kwadratowej lub kołowej) lub płyty L’/B’=1}\\
4B’  & \textrm { dla ławy fundamentowej  L’/B>10}\\
\end {cases} \label{49} \end{equation}$$

Efektywna grubość warstwy gruntu o grubości rzeczywistej $d_i$ wynosi

$$\begin{equation}  d_{ef,i} = d_i  \cdot  I_{z,i} \label{50} \end{equation}$$

Współczynniki poprawkowe $C_1, \,C_2, \,C_3$ wynoszą:

• ze względu na  obciążenia fundamentu zagłębionego poniżej poziomu gruntu $C_1$:

$$\begin{equation}  C_1= 1 -0,5 \cdot \left( \cfrac{ {\sigma’}_{v,0}}{\Delta p}\right) \label{51} \end{equation}$$

• ze względu na pękanie i obciążenia cykliczne $C_2$

$$\begin{equation}  C_2= 1+0,2 \cdot log (10 \cdot T) \label{52} \end{equation}$$

gdzie: $T$ czasem w latach od przyłożenia obciążenia. Współczynnik $C_2$ jest skalibrowany tak, by przyjmował wartość 1 przy T-0,1 roku,, czyli niezwłocznie po wykonaniu fundamentu. W gruntach niespoistych i nienasyconych spoistych oraz  o niskiej plastyczności, czas osiadania T można przyjmować  0,1  do 1 roku  dla obciążeń statycznych. i szacowania przemieszczenia  natychmiastowego , ale także konsolidacyjnego.
Dla projektowanego okres użytkowania fundamentu T=100 lat  wg [22] : $C_2$ = 1,6 jest zwykle zbyt duży i w tym przypadku  zaleca się prowadzenie analiz zuwzglednieniem konsolidacji.gruntu w czasie.

• ze względu na kształt fundamentu $C_3$

$$\begin{equation}  C_3= 1,25 \cdot \left[ 1 +0,4 \cdot \log{\left( \cfrac{L’}{B’}  \right)}\right ]  \label{53} \end{equation}$$

Dla fundamentu kwadratowego (L’=B’) $C_3=1,25$, a dla fundamentu pasmowego  $L’/B’= 10$  $C_3 = 1,75$.

Formułę ($\ref{53}$) w części ujętej w nawisy kwadratowe podał Terzaghi i in (1996) [60]. Natomiast współczynnik zwiększający 1,25  pochodzi z normy PN-EN 1997-2( 2009) [13]

$B’$ i $L’$ są efektywną szerokością oraz długością fundamentu wyznaczonymi z formuły ($\ref{39}$) w celu  uwzględnienia mimośrodowego obciążenie fundamentu.

Współczynnik wpływu odkształcenia $I_{z,i} $  zależy od głębokości zalegania warstwy poniżej podstawy fundamentu. wg rys. 21. i zmienia się liniowo z punktem załamaniem na głębokości $z_1$ poniżej poziomu fundamentu. Głębokość załamania wynosi $z_1= B’/2$ dla fundamentu kwadratowego (ogólnie osiowo-symetrycznego $L’/B’=1)$  i  $z_1= B’$ dla fundamentu pasmowego przy (L’/B/’>10). W przypadku płyty $L’, B’ \to \infty)$  i L’/B’=1.

W pracy [61] zaproponowano następujące formuły interpolacyjne do wyznaczenia punktów charakterystycznych nomogramu Schmartmann w zależności od stosunku boków fundamentu:

$$\begin{equation} \cfrac{z_1}{B’}= 0,5+0,0555 \cdot \alpha’ \le 1  \quad ; \quad  \cfrac{z_2}{B’}= 2+0,222 \cdot \alpha’ \le 4 \quad ; \quad  I_{z0} = 0,1+0,0111 \cdot \alpha’ \le 0,2 \label{54} \end{equation}$$

gdzie: $\alpha’= \cfrac{L’}{B’}-1 $

Wartość szczytowa współczynnika wpływu odkształcenia $I_{zp}$ wynosi

$$\begin{equation} I_{zp}=0,5+0,1 \cdot \sqrt{ \cfrac{ \Delta p }{ \sigma’_{v,p}}}  \label{55} \end{equation}$$

Obciążenie brutto podstawy fundamentu przez zewnętrzną charakterystyczną siłę obciążającą $F_k$

$$\begin{equation}   p=\cfrac{F_k}{B’ \cdot L’} \label{56}\end{equation}$$

Efektywne ciśnienie geostatyczne gruntu w poziomie w poziomie szczytu współczynnika wpływu  wyznacza się też z formuł ($\ref{16})  i  ($\ref{17}) , ale dla $z_1$, ale dla $z=z_1$ 

$$\begin{equation} {\sigma ’}_{v,p}= {\sigma ’}_{v,0} + \sum \limits_0^{z_1} ( \gamma’_{s.i} \cdot d_i ) \label{57}\end{equation}$$

gdzie: $\gamma’_{s,i}, \quad d_i$ – efektywny ciężar właściwy gruntu ( z uwzględnieniem wyporu wody gruntowej) oraz grubość i-tej warstwy gruntu

Rys. 21  Nomogram do wyznaczania współczynnika wpływu $I_z$

Rys. 22 Głębokość do wyznaczania $I_{zp}$, definicja nacisku netto $\Delta p$ oraz ciężaru gruntu $\sigma_{v.0}$ i \sigma_{v.p}$

Dla wyznaczonych punktów charakterystycznych nomogramu można obliczyć wartość współczynnika wpływu dla rzędnej wysokości $z$ z równań linii prostych:

$$\begin{equation} I_z (z) =\begin {cases}
I_{z0} – (I_{z0}-I_{zp}) \cdot \cfrac{z}{z_1}, & \text{ dla } \quad  0 < z \le  z_1  \\
I_{zp} \cdot \cfrac{z_2-z }{z_2- z_1}, & \text{dla} \quad  z_1< z \le z_2  \\
\end {cases} \label{58}\end{equation}$$

Procedurę wyznaczania przemieszczenia fundamentu metodą Schmertmann pokazano na rys. 23  i w przykładzie 4  w tym artykule.

Opór stożka $q_c$  jest ustalony w każdej warstwie jako średnia oporu na grubości warstwy.

Rys. 23. Procedura wyznaczania przemieszczenia fundamentu metodą  Schmertmann, (1978) [62]

W zależności od oporu stożka  $q_c$ efektywny moduł Younga E’  w normie [13]:wskazano nawystępoeanie korelacj: $E’= 2,5 \cdot q_c$ dla stopy osiowosymetrycznej (kwadratowej lub kołowej) lub płyty L’/B’=1 ; $E’=3,5 \cdot q_c$ dla  fundamentu pasmowego – ławy.
Należy jednak zwrócić uwagę, że  korelacje te s,a już uwzględnione w mnożniku ujętym w nawiasy kwadratowe w ($\ref{53}$) ($C_3/1,25$ ). Wobec tego nie powinno się powtórnie ich stosować. Dla normalnie skonsolidowanych gruntów piaszczystych, niezależnie od kształtu fundamentu należy przyjmąc

$$ \begin{equation} E’ \approx   2,5\cdot q_c \label{59} \end{equation}$$

a dla innych gruntów wg tab.2.

Metoda Pieczyrak (1992)

Metoda Pieczyraka polega na uproszczonym całkowaniu  rozkładu normalnych, pionowych naprężeń w podłożu pod środkiem rozpatrywanego fundamentu i jest odmianą metody naprężeń  z zastosowaniem modułu edometrycznego.

Pieczyrak (1992) [63] przedstawił następującą formułę do szacowania osiadania gruntu:

$$\begin{equation} s=\cfrac{p \cdot B \cdot f}{M_0}\label {60} \end{equation}$$

gdzie:

p – obciążenie zastępcze na podstawę fundamentu – przyjmowane jako średni nacisk  od obciążenia konstrukcji (mimośrody są uwzględniane poprzez wyznaczenie efektywnych wymiarów fundamentu zgodnie

$M_0$ –  moduł edometryczny ściśliwości pierwotnej, a współczynnik osiadania $f$ w formule $(\ref{75})$ można wyznaczyć z zależności:

$$\begin{equation} f= \cfrac{\alpha}{\sqrt[4,3]{0,002 +0,021 \cdot \zeta_D}  +(0,993+ 0,395 \cdot \zeta_D) \cdot \cfrac{\alpha}{\zeta_D}} \label {61} \end{equation}$$

gdzie:
$\alpha= \cfrac{L}{B}$
$\zeta_D= \cfrac{z_D}{B}$
$z_D$ – głębokość aktywna, na której zanika wpływ na osiadanie fundamentu: wg formuły $(\ref{45}$) lub zgodnie przez analogię do metody Schmertmanna (2B’ lub 4B’)  lub Mayne-Poulos (max 5B’)

Metoda Mayne-Poulos (1999)

Mayne i Poulos (1999) [64] podają ulepszony wzór do obliczania sprężystego osiadania według modelu pokazanego na rys. 24. Uwzględniają sztywność fundamentu i jego zagłębienia fundamentu $D_f$. Efektywne (netto) naprężenia działające na grunt $p_i=p_0-\gamma_g \cdot z$ uwzględniają poprzez zwiększanie modułu sprężystości gruntu  wraz z głębokością  aż do sztywnych warstw położonych  na ograniczonej głębokości.

Rys. 24 Model  Mayne-Poulos  sprężystego osiadania fundamentu (Braja M. Das, (2011), Principles of Foundation Engineering, Seventh Edition, Cengage Learning, USA))

Formułę  Mayne, Poulos można zapisać w postaci (Braja M. Das, (2011), Principles of Foundation Engineering, Seventh Edition, Cengage Learning, USA)) :

$$\begin{equation} s_e= p_0 \cdot B_e \cdot I_G \cdot I_F\cdot I_E \cdot \cfrac{1-\nu^2}{E_0}\label{62} \end{equation}$$

gdzie:
$p_0$ – równomiernie rozłożone obciążenie pod stopą fundamentu,
$B_e$ – miarodajna szerokość fundamentu

$$\begin{equation} B_e=\begin {cases}
\sqrt{ \cfrac{4 B L}{\pi}} \quad , & \text {dla fundamentu o podstawie prostokątnej BxL } \\
D \quad, & \text {dla fundamentu o podstawie kołowej średnicy D}
\end {cases} \label{63}\end{equation}$$

Gibson (1967) [65] zaproponował liniową formułę do opisu zagadnienia wzrostu modułu sprężystości gruntu $E_g$ wraz z głębokością w formie

$$\begin{equation} E_g= E_0 + k \cdot z \label{64} \end{equation}$$

gdzie:
$E_0$ – wartość modułu gruntu bezpośrednio pod podstawą fundamentu (z = 0);
$k$ – współczynnik szybkości  wzrostów modułu wraz z głębokością $z$ (rys 24)

Współczynnik wzrostów modułu $k$ wyznacza się z badań gruntowych in situ (np. CPT i zależności korelacyjnych), przy czym znormalizowany współczynnik Gibsona $\beta$ przyjmuje wartości

$$\begin{equation} \beta= \cfrac{E_0}{k \cdot B_e} ;\quad \text {przy czym  }  0,01 \le \beta \le 100 \label{65}\end{equation}$$

$I_G$ – współczynnik wpływu zmian modułu $E_g$ po głębokości, wyznaczany z nomogramu rys.25 dla współczynnika $\beta$ $(\ref {78})$ oraz $H/B_e$, czyli stosunku  głębokości warstwy odkształcalnej $H$ do miarodajnego  wymiaru fundamentu ($\ref{78}$):

Rys. 25. Nomogram do wyznaczania współczynnika wpływu  $I_G$ (Braja M. Das, (2011), Principles of Foundation Engineering, Seventh Edition, Cengage Learning, USA))

Współczynnik korekcyjny sztywności fundamentu wyznacza się z zależności:

$$\begin{equation} I_F= \cfrac{\pi}{15}+ \cfrac{1}{4,6 +10 \left( \cfrac{E_f}{E_0+ \cfrac{B_e}{2}\cdot k} \right ) \cdot \left ( \cfrac{2t}{B_e}\right)^3 } \label{66}\end{equation}$$

Współczynnik korekcyjny zagłębienia fundamentu wyznacza się z zależności:

$$\begin{equation} I_E= 1 \, –  \cfrac{1}{3,5 \cdot \exp{(1,22 \cdot \nu -0,4)} \cdot \left(\cfrac{B_e}{D_f}+1,6 \right) } \label{67}\end{equation}$$

Współczynnik sprężystości (moduł) podłoża K_s

W analizach projektowych, zmierzających do ustalenia wymogów zagęszczenia podłoża pod budowle,  należy uwzględnić, to, że:
a) dużą klasę konstrukcji należy posadowić na bardziej odkształcalnym podłożu, np. w warunkach sejsmicznych, na bagnach lub na morzu. Do istniejących warunków gruntowych należy dostosować schemat konstrukcji, poprzez zwiększenie jej podatności konstrukcji na obciążenia para/sejsmiczne ( skonstruowaniu przegubów  wewnętrznych, łożysk sprężystych itd.). Do poprawnego zaprojektowania konstrukcji w tej klasie konieczne jest  właściwe oszacowanie podatności/sztywności podłoża gruntowego.
b) dla wielu konstrukcji zagęszczenie podłoża do stopnia wskazywanego w ogólnych wytycznych może być nadmierne i nie jest wskazane, szczególnie gdy prowadzi do niejednorodności przestrzennej lub utraty wymaganej elastyczności lub porowatości podłoża i w konsekwencji do zaburzenia redystrybucji obciążeń  i odporu gruntu oraz  odwodnienia,
c) dla wielu innych konstrukcji zagęszczenie podłoża  do stopnia wskazywanego w ogólnych wytycznych  jest konieczne. Dotyczy to zwłaszcza tradycyjnych konstrukcji budowanych z materiałów kruchych (mury, beton i o tradycyjnych schematach statycznie niewyznaczalnych. Konstrukcje takie  słabo znoszą niejednorodne lub nadmierne przemieszczenia podpór i wymaga dobrze zagęszczonego lub wzmocnionego podłoża, często nawet palowania.

W zależności od rodzaju konstrukcji i jej wrażliwości na osiadanie podłoża – wymogi zagęszczenia są ustalane indywidualnie przez Projektanta,  który prowadzi analizy wytrzymałości i stateczności konstrukcji. Autor zaleca, by takie analizy były prowadzone przy różnym zagęszczeniu gruntu, tak by do realizacji został wybrany wariant optymalny ze względów techniczno-ekonomicznych. W praktyce występują bowiem różnorodne sytuacje zależne od indywidualnych cech konstrukcji (materiału i schematu statycznego), co decyduje o  współdziałaniu z podłożem gruntowym poprzez ustalenie modułu podłoża.

Wymogi zagęszczenia gruntu do posadowienia konstrukcji należy rozpatrywać indywidulanie jako zagadnienie współdziałania konstrukcja-grunt, a posługiwanie się wyłącznie wytycznymi przepisów lub norm dotyczy w zasadzie tylko konstrukcji typowych i mało odpowiedzialnych, ( które najczęściej nie wymagają właściwego projektu indywidualnego).

Oddziaływanie zagęszczenia podłoża budowli na konstrukcję przejawia się zmianą warunków jej podparcia. We współczesnej analizie konstrukcji przyjmuje się model sprężystego podłoża Winklera, czyli takiego, w którym reakcje fundamentu są proporcjonalne do przemieszczenia fundamentu wraz ze współczynnikiem proporcjonalności (modułem ) $K_s$. Zalecane jest stosowanie modelu podłoża jednostronnego (nie przenoszącego rozciągania – odrywania od podłoża), choć w celu zoptymalizowania posadowienia należy dążyć do takiego ukształtowania fundamentu, by  obciążenie działało w jego rdzeniu.

Moduł reakcji podłoża jest  złożonym parametrem gruntowo-konstrukcyjnym, gdyż jego wartość zależy od sztywności podłoża i sztywności obciążonej konstrukcji oraz samego fundamentu. Moduł podłoża definiuje się  jako 

$$\begin{equation} K_s \stackrel {def} {=} \cfrac{F}{s} \label{68} \end{equation}$$

gdzie:
$F$- przyłożone obciążenie
$s$ wywołane przemieszczenie

Elementarne rozwiązania

Z elementarnego rozwiązania półprzestrzeni sprężystej z modułem Younga E’, obciążonej równomiernie obciążeniem $p$ na powierzchni koła o średnicy „D” wynika, że ugięcie $s$ w środku koła wyniesie [66]:

$$\begin{equation} s_e=\cfrac{ p \cdot D}{E_{plate}}[mm]\label{69} \end{equation}$$

gdzie płytowy moduł Younga $E_{plate}$  wynosi

$$\begin{equation} E_{plate} = \cfrac{E’} {1-\nu^2} \label{70} \end{equation}$$

Po podstawieniu $(\ref{69})$  do $(\ref{68})$  dla $s=s_e$ uzyskuje się moduł podłoża , który po odniesieniu do rozłożonego obciążenia $F= p$ można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} K_{s,Ø} = \cfrac{E_{plate}}{D} [kN/(m^2\cdot mm) ] \label{71} \end{equation}$$

W przypadku innych od kołowego kształtów fundamentu uzyskamy inny wynik. Na przykład w przypadku fundamentu w kształcie kwadratu  o boku „B”  – przemieszczenie maksymalne wyniesie [66],zad. 3.58 : 

$$\begin{equation} s_e=\cfrac{4}{\pi} \cdot ln(1+\sqrt{2}) \cdot \cfrac{ p \cdot B}{E_{pl} }  \approx 1,122 \cdot \cfrac{ p \cdot B}{E_{plate}}\label{72} \end{equation}$$

czyli moduł podłoża przy  odniesieniu do obciążenia  $F=p$, wyniesie

$$\begin{equation} K_{s,□} = \cfrac {E_{plate}}{1,122 \cdot B}  = K_{s,Ø}/1,122   \label{73} \end{equation}$$

Rezultat ($\ref{73}$) można uogolnć do formuły

$$\begin{equation} K_{s,F} = \cfrac {K_{s,Ø}}{C_d}   \quad \text {czyli} \quad  s_F= C_d \cdot s_Ø  \label{74} \end{equation}$$

gdzie:
F- kształt fundamentu (kol.1 w tab. 19)
$C_d$ – współczynnik sztywności  podany w tab 19.

Tab .19 Współczynniki sztywności podłoża $C_d$ w zależności od kształtu fundamentu Winterkorn, Fung (1975 [67]

Wyznaczania modułu podłoża K_s w praktyce

Formuły $(\ref{45})$ lub $(\ref{2})$ mają znaczenie tylko teoretyczne.

W praktyce moduł podłoża $K_s$ wyznacza się w ten sposób, że najpierw szacuje się osiadanie $s$ fundamentu posadowionego na uwarstwionym podłożu i następnie bezpośrednio korzysta z definicji $(\ref{69})$.

Jednostki modułu podłoża $K_s$ będą różne w zależności od rodzaju obciążenia $F$ w formule $(\ref{69})$.
Jeśli osiadanie s wyznaczono w mm, to:

• dla F w $[kN]$ (siła skupiona) jednostką będzie $[kN/mm]$
• dla F  w $[kN/m]$  (obciążenie ,liniowe – np na ścianę i ławę) jednostką będzie $[(kN/m)/mm ]$
• dla F w $[kN/m^2$ (obciążenie powierzchniowe ) , to jednostką będzie $[(kN/m^2)/mm]$.Szacowania osiadania fundamentu

Po podstawieniu $(\ref{37})$ do $(\ref{69})$ otrzymujemy ogólną formułę na współczynnik sprężystości podłoża pod liniowym fundamentem o szerokości B obciążający  grunt liniowo rozłożonym obciążeniem $F=p$

$$\begin{equation} K_s=\cfrac{E_m} { B \cdot f} \label {75} \end{equation}$$

gdzie $E_m$ obliczeniowy moduł gruntu zależny od metody szacowania osiadania ($\ref{37}$)

Szacunkowe wartości modułu K_s

Współczynnik reakcji podłoża nie jest parametrem gruntu, ponieważ zależy od wielkość stopy i stopień obciążenia. Często jednak szacunki wstępne są dokonywane z tabelach podanych przez Terzaghi (1955) [68], co podano w tab. 19 .

Tab. 19 Szacunkowe modułu podłoża $K_s$ dla różnych gruntów wg [68]

Moduł podłoża na obrót K_s^φ

Rozważmy sytuację, w której  płaska podstawa fundamentu obróci się o mały kąt $\varphi \approx tg \varphi$ (rys.23) :

$$\begin{equation} \varphi=\cfrac{\Delta s}{L} =\cfrac{1}{K_s} \cdot \cfrac{\Delta \sigma}{ L}\label {76} \end{equation}$$

gdzie:
różnica osiadań krawędziowych $ \Delta  s= s_{max}-s_{min}$
różnica naprężeń krawędziowych $ \Delta \sigma= \sigma_{max}-\sigma_{min}$,
$K_s$ – moduł podłoża $(\ref{69})$

Przebieg naprężeń pod stopą można opisać zależnością

$$\begin{equation} \sigma (x) = ( K_s \cdot \varphi ) \cdot x + \sigma _{śr} \label {77} \end{equation}$$

Odpór gruntu $\sigma$ ($\ref{77}$) wywołuje:
siłę osiową $V=\int \limits_A \sigma dA=\sigma_{śr} \cdot A$
oraz moment sił :

$$\begin{equation} M= \int \limits_A \sigma \cdot x  \cdot dA  = ( K_s \cdot \varphi ) \int \limits_A  x^2 \cdot dA =( K_s \cdot \varphi ) \cdot I_x  \label {78} \end{equation}$$

gdzie $I_x=\cfrac{B\cdot L^2}{3}$ moment bezwładności przekroju względem osi x prostopadłej do boku $L$ fundamentu.

Stąd otrzymujemy definicję modułu podłoża na obrót fundamentu

$$\begin{equation}  K_s^{\varphi} \stackrel {def} {=} \cfrac{M}{ \varphi} = K_s \cdot I_m \label {79}  \quad [kNm/rad] \end{equation}$$

gdzie $I_m$-  moment bezwładności podstawy fundamentu wokół osi obrotu ( m=x  dla obrotu wokół osi równoległej do B  oraz m=y  dla obrotu wokół osi równoległej do L)

Należy zwracać uwagę na jednostki. Jeśli K_s jest w  [ $kN/(m^2 \cdot mm$ ] a w I w [m^4}, to w celu uzyskania modułu gruntu na obrót w [kNm/rad] – wynik ($\ref{79}$) należy przemnożyć przez $10^{15}$ . Natomiast jeśli chcemy uzyskać wynik w [kNm/ deg}, to  należy jeszcze uwzględnić, że $1 \, deg= \pi/180 \,  rad$.

W przypadku analizy konstrukcji ze sprężystą  podporą powierzchniową lub liniową  – nie jest istotny moduł podłoża na obrót ($\ref{79}$) .

Przykłady

Przykład 1: Ciśnienie geostatyczne i efektywne gruntu

Na rys. 27 przedstawiono przekrój geotechniczny przez grunt, uzyskany w drodze klasycznych badań w miejscu przyszłego posadowienia budowli. Grunt jest uwarstwiony następująco istniejącego poziomu terenu  129,0 m npm licząc:< /p>

• gleba urodzajna (humus)  do poz. 128, 6 m,
• warstwa „Ia” glina piaszczysta do poz. 127,8, stopień plastyczności   $I_L=0,15$, ciężar właściwy $\gamma=21,4 \, kN/m^3$,
• warstwy ” II a -d” piasków drbnych  do poz 122,1 – 122,8, stopień zagęszczenia: $I_D=0,60$ przy stropiwe warstwy do $I_D=0,65$ przy spągu wartwy, $\gamma= 19,2 \, kN/m^3$,
• warstwa „Ib” glina piaszczysta do poziomu odwiertów  119,0 m, stopień plastyczności   $I_L=0,10$, kąt tarcia wewnętrznego $\Phi=20,0 \, deg$ ciężar właściwy $\gamma=21,1 \, kN/m^3$

Rys. 26. Przekrój geotechniczny do przykładu 1 do 3

Sumowanie ciśnienia geostatyczne (przed wybudowaniem fundamentu) jest prowadzone od poziomu trenu istniejącego 129,0 m npm, czyli z warstw zaznaczonych piaskowym tłem w tab.20. 

Na poziomie posadowienia ( 127,3 m npm ) ciśnienie geostatyczne gruntu

($\ref{16}$)  $\to$ $z= 129,0- 127,3= 1,7 \, m \quad  \sigma_{v,0} (1,7) = 0,4 \cdot 18,0  + 0,8 \cdot 21,4 + 0,5 \cdot 19,2 = 33,92 \, kN/m^2$

Ciśnienie hydrostatyczne wody gruntowej o ciężarze objętościowym $\gamma_w= 10 kN/m^3$ na poziomie (122 m npm) nad spągiem warstwy piasku $P_d$

$z_w= 126,5-122= = 4,5 \, m \quad  u_0= 10 \cdot 4,5 = 45,0 kN/m^2$

Efektywne ciśnienie gruntu na poz. 122 m
($\ref{17}$)  $\to$  $\sigma’_{v0}= 33,92+ (0,8+4,5) \cdot 19,2 – 4,5 \cdot 10=135,68 – 45,0= 90,68 \, kN/m^2$

W tab. 20. zestawiono ciśnienia geostatyczne oraz efektywne na innych poziomach gruntu, uzyskane w analogiczny sposób.

Tab. 20 Ciśnienie geostatyczne i efektywne gruntudoptzykładu1

Przykład 2:  Moduł gruntu sypkiego dla znanego I_D poprzez korelacje  CPT

Dla gruntów sypkich z przekroju geotechnicznego  z rys. 26:  nie są dostępne wyniki badań CPT. Dokonać prognozy parametrów badania CPT  z korelacji ($\ref{30}$) i rys.10. i następnie oszacować moduły gruntu ze znanych korelacji do badań CPT

Prognoza parametrów badania CPT ze znanego $I_D$

Dla warstwy Pd „II” górnej wg rys. 26 poziom 127, 3 m $I_D=0,6$:

W tab.. 21 zestawiono wyniki obliczeń: przeliczenia parametrów klasycznych na parametry CPT oraz oszacowanie modułu Younga E’ z korelacji CPT przeprowadzone metodą Robertsona dla grunt ów sypkich (warstwa II).

Tab.21. Korelacje pomiędzy badaniami klasycznymi a CPT oraz moduł Younga E’ metodą Robertson dla piasków (wartswa „II”

Przykład 3:  Moduł gruntu spoistego dla znanego I_L poprzez korelacje  CPT

Prognoza parametrów badania CPT ze znanego $I_L$

Dla warstwy Gp „Ib” wg rys. 26 poziom 119,03 m $I_L=0,1$:

rys. 14  dla kąta tarcia wewnętrznego Φ=20,0  deg (z badań klasycznych) $\to$ $q_c =10^{\tfrac{0,518 – 0,1}{0,653}}= 4,4 \, MPa$,

($\ref{23}$)  $\to$ $f_s= 0,17 \cdot \exp{(-4,6 \cdot 0,1)}= 0,11 \, MPa$.

Prognoza modułu E’ na podstawie parametrów CPT

($\ref{15}$) $\to$ $q_n= 4,4 – 198,98/1000= 4,4 -0,2 = 4,2 \, MPa$,
($\ref{18}$) $\to$  $Q_t = \cfrac{4,2}{ 123,98/1000}= 34 $,
($\ref{19}$)  $\to$ $ Q_{tn} = Q_t = 34$ (n=1),

($\ref{21}$)  $\to$ $F_r= \cfrac{0,11}{4,2} \cdot 100= 2,6 $ %

($\ref{25}$)  $\to$ $I_c=\sqrt{(3,47 – log 34)^2 +( 1,22+log 2,6)^2}= 2,57$

Klasyfikacja gruntu Robertsona

$Q_t=34$ ; $F_r=2,6$% ; $I_c= 2,57$
rys. 11 $\to$  typ 3 – glina bliska normalnej konsolidacji

Moduł Younga  z korelacji ($\ref{5}$),($\ref{6}$)  (poprzez $M’$ i $\alpha_M$):

($\ref{6}$)  $\to$ $\alpha_M =14$ ( dla $I_c>2,2$ i $Q_t>14$),
($\ref{5}$)  $\to$  $M’=14 \cdot 4,2 = 58,3 \. MPa$,

Współczynnik Poissona dla $G_p$: tab.5 ( grunt typu B) $\to$  $\nu=0,29$ ; tab. 3 $\nu=0,4$
Przyjęto $nu=0,35$

($\ref{4}$)  $\to$ $\delta=  \cfrac{(1+\nu)\cdot (1- 2 \nu)}{1- \nu}= \cfrac{(1+0,35)\cdot (1- 2 \cdot 0,35)}{1- 0,35} = 0,623 $
($\ref{3}$)  $\to$ E’=0,623 \cdot 58,3 = 45,5 \, MPa $

Dla porównania z korelacji ($\ref{2}$) jak dla gruntów sypkich :
($\ref{32}$)  $\to$ $\alpha_E = 0,015 \cdot 10 ^{(0.55 \cdot 2,54 + 1,68)}= 17,9$
($\ref{2}$)  $\to$ $ E’ =17,9 \cdot  4,2 =75,2 >> 45,5 \, MPa$
Ten wynik nie jest miarodajny. Przyjęto $E’=45,5 \, MPa$

W tab.. 22 zestawiono wyniki obliczeń: przeliczenia parametrów klasycznych na parametry CPT oraz oszacowanie modułu Younga E’ z korelacji CPT przeprowadzone metodą Robertsona dla gruntu spoistego (warstwa Ib).

Tab.22. Korelacje pomiędzy badaniami klasycznymi a CPT oraz moduł Younga E’ metodą Robertson dla gliny

 

Przykład 4:  Osiadanie. Metoda Schmertmann

Konstrukcję hali posadowiono na ławach fundamentowych w sposób pokazany na rys. 27 .
Prostokątne ławy pod ścianami  mają wymiary w planie:
$B= 10 \, m$
$L=96 \, m$
na głębokości
$D_f = \,2,1 \, m$

Rys. 27 Przekrój przez konstrukcję na fundamentach bezpośrednich

Konstrukcję posadowiono na podłożu piaszczystym uwarstwionym wg rys.26.

Obciążenie gruntu fundamentem  pokazano na rys. 28

Rys. 28 Rozkład  reakcji gruntu i średni nacisk na grunt

Średni odpór  $\overline p= 80\, kN/m^2$
z mimośrodem w kierunku szerokości ławy (uzyskanym przez całkowanie odporu):
$e_B= 0,22 \, m$,
($\ref{38}$) $\to$  $B’= 10- 2 \cdot 0,22= 9,56 \, m$,
$ e_L \approx 15 \, m$,
$L’=96 -2 \cdot 15= 66 \,m $,
$L’/B’= 66/9.56 = 6,90$,
$\alpha’= 6,90-1 = 5,9$.

Moduły sprężystości warstw gruntu

Moduły sprężystości E’ warstw gruntu wyznaczono w przykładzie 2 dla gruntów sypkich i przykładzie 3 dla gruntu spoistego:

warstwa Pd „II” górna  $ E’= 18,4 /,MPa$  przy oszacowanym $q_c= 4,5 \,MPa$, czyli $x=18,4/4,5 = 4  \in (2 \div 4)$ dla piasku normalnie skonsolidowanego wg tab.2
warstwa Pd „II” dolna  $ E’= 35,8 /,MPa$  przy oszacowanym $q_c= 6,1 \,MPa$, czyli $x=35,8/6,1= 5,9 \in (3,5 \div 7)$ dla piasku nasyconego  wg tab.2
warstwa Gp „Ib”           $E’=45,5 \, MPa$ , przy oszacowanym $q_c= 4,4 \,MPa$, czyli $x=35,5/4,4= 8 \in (3 \div 8) $ dla gliny wg tab.2

Punkty charakterystyczne nomogramu Schmartmanna

($\ref{54}$) $\to$
$\cfrac{z_1}{B’}= 0,5+0,0555 \cdot 5,9 = 0,827 \le 1$
$\cfrac{z_2}{B’}= 2+0,222 \cdot 5,9= 3.31 \le 4$
$I_{z0} = 0,1+0,0111 \cdot 5,9 = 0,166 \le 0,2$

$z_1= 0,827 \cdot 9,56= 7,91 \, m $
$z_2 = 3,31 \cdot 9,56= 31,65 \, m$

Tab. 23  Zestawienie obciążeń i punktów charakterystycznych nomogramu Schmertmann

Szczytowy współczynnik wpływu $I_{zp}$

($\ref{57}$) $\to$ ${\sigma’}_{v,0} =0,4 \cdot 18,0 + 0,8 \cdot 21,4 + 0,5 \cdot 19,2 = 33,92  \, kN/m^2$
($\ref{56}$) $\to$ $\Delta p = 80,0 -33,92 = 46,08  \, kN/m^2$
($\ref{51}$) $\to$ ${\sigma’}_{v,p} = 33,92+ 0,8\cdot 19,2 + (2,28+2,27)\cdot (19,2-10,0) +2,55 \cdot 21,1 =144,9 \, kN/m^2$
($\ref{55}$) $\to$  $I_{zp} =0,5 +0,1 \cdot \sqrt{ \cfrac{46,08}{144,9}}= 0,556$

Wspłczynniki Schmertmann

($\ref{51}$) $\to$ $C_1= 1-0,5 \cdot \cfrac{ {33,92}}{46,08}=  0,632$

$T=100$ lat
($\ref{52}$) $\to$ $C_2= 1+0,2 \cdot log (10 \cdot 100)=1,6$

($\ref{53}$) $\to$ $C_3=  1,25 \cdot ( 1 +0,4 \cdot   log 6,9) = 1,67$

Osiadanie fundamentu

W  tab.24 zestawiono obliczenia osiadania i współczynnika sprężystości podłoża. W kolumnach „Warstwy” podano numery warstw  i ich symbolikę  wprowadzoną na , rys. 26. , a w kolejnych kolumnach: poziom stropu i spągu warstwy,, rzędną z liczona od poziomu terenu przed wybudowaniem fundamentu., grubość warstwy $d$, ciężar właściwy gruntu $\gamma_s$ , ciężar właściwy wody $\gamma_w$  i ciężar efektywny $\gamma’=\gamma_s-\gamma_w$ (jeśli woda występuje w warstwie) oraz ciężar warstwy $ g=\gamma’ \cdot d$.

W bloku „współczynnik wpływu” podano efektywny moduł Younga $E’$ wyznaczony w przykładzie 2 i przykładzie 3. W kolumnie $I_z$ podano współczynniki   wpływu $I_z$ na rzędnej stropu i spągu warstwy  oraz w środku warstw wg wzoru ($\ref{58}$)

Na przykład w warstwie 4 dla $z= 1,7  \, i \, 2,5  \le z_1= 7,91 \, m $ mamy:
($\ref{58}$) $\to$ $   I_z (1,7) = 0,166- (0,166-0,556) \cdot \cfrac{1,7}{7,91}= 0,250$
$\to$ $   I_z (2,5) = 0,166- (0,166-0,556) \cdot \cfrac{2,5}{7,91}= 0,289$
$I_z$ na środku wartswy $(0,250+0,289)/2= 0,269$

Natomiast  w warstwie 8 dla $z= 9,6  \, i \, 10,0  \ge z_1= 7,91 \le z_2 = 31,65 \, m $ mamy:
($\ref{58}$) $\to$ $ I_z (9,6) =0,556 \cdot \cfrac{31,65-9,6 }{31,65- 7,91}= 0,517$
$\to$ $ I_z (10,0) =0,556 \cdot \cfrac{31,65-9,6 }{31,65- 7,91}= 0,507$
$I_z$ na środku warstwy $(0,517+0,507)/2= 0,512$

W kolejnej kolumnie podano efektywne grubości warstw. Na przykład dla warstwy 4 , mamy
$d’=0,269\cdot 0,80= 0,215 \, m$.
W ostatniej kolumnie wyliczono składową osiadania warstwy. Na przykład dla warstwy 4 , mamy
$s_{(4)} = 0,215/ 18,4= 0,0117  \quad  m/MPa$
Suma współczynników z ostatniej kolumny wynosi  $\sum (d’\cdot E’) = 0,12048 \quad  m/MPa$

Iloczyn mnożnika z tab. 21  $C=\delta p \cdot C_1 \cdot C-2/C_3= 46,08 \cdot 0,632 \cdot 1,600 / 1,67= 27,91 \, kN/m^2$
i suma współczynników $\sum (d’\cdot E’)$  jest osiadaniem fundamentu

($\ref{45}$( + ($\ref{48}$) $\to$ $s_e= 27,91 \cdot 0,12048 \cdot 10^{-3}= 3,48 \cdot 10^{-3} \.m= 3,48  \, mm$

Tab.24   Tabela obliczeń osiadania i modułu podłoża

Współczynnik sprężystości (moduł) podłoża

($\ref{68}$) $\to$ $K_s =  \cfrac{80}{3,4 }= 23,4 \, kN/(m^2 \cdot mm)$

Przykład 5 Metoda Mayne-Poulos

Konstrukcja posadowiona jest za pośrednictwem stopy wg rys. 22 na glinie pylastej o parametrach (uzyskanych w badaniach in-situ):

grubość warstwy odkształcalnej (gliny pylastej)                      $H=3,66 \, m$,
moduł Ypunga gruntu pod podstawą fundamentu                 $E_0= 9700 \, kN/m^2$,
współczynnik zmian modułu po głębokości                            $k=600 \, (kN/m^2)/m$
współczynnik Poissona                                                             $\nu_s = 0,3$

Stopa fundamentowa ma wymiary:
$B= 1,52 \, m$,
$L=3,05 \, m$
$t= 305 \, mm$

Głębokość posadowienia
$D_f= 1,52 \, m$

Nacisk stopy w poziomie posadowienia (obciążenie gruntu):
$p_0 = 240 \, kN/m^2$ bez mimośrodów

Moduł sztywności materiału stopy

Stopa wykonana jest z betonu C30/37 i zbrojona stalą B500

Z tab  W-1  ( artykuł Belki żelbetowe) mamy:
średni moduł Younga betonu $E_{cm} =33 \, GPa$
orientacyjny współczynnik pełzania $\varphi= 2,278$ (dla wilgotności RH=50%, wymiaru $h_0 = 100 \, mm$ oraz po czasie $t_0=28 \, dni$)
Do niniejszego przykładu przyjęto.

$\varphi = 3$

W innych przypadkach współczynnik pełzania należy wyznaczyć wg artykułu Współczynnik pełzania.

Efektywny moduł sprężystości betonu wyznaczono wg artykułu Efektywny moduł odkształcalności. z zależności

$E_{c,ef}= \cfrac{E_{cm}}{1+\varphi} =\cfrac{33}{1+3}= 8,3 \cdot 10^6 \, MPa$

Osiadanie fundamentu metodą Mayne-Poulos

$(\ref{78})$ $\to$  dla fundamentu o podstawie prostokątnej

$ B_e= \sqrt{ \cfrac{4\cdot 1,52 \cdot 3,05}{\pi}}= 2,43 \, m$

$(\ref{78})$ $\to$  $ \beta= \cfrac{9700}{600 \cdot 2,43}= 6,65 \ge 0,01 \, \le 100$

$H/B_e= 3,66/ 2,43 = 1,51$

rys. 27  (dla $\beta= 6,65$ i $ H/B_r=1,51$  $\to$ $I_G \approx 0,67$

$(\ref{77})$ $\to$  $I_F= \cfrac{\pi}{15}+ \cfrac{1}{4,6 +10 \left( \cfrac{8,3 \cdot 10^6}{9700 + \cfrac{2,43}{2}\cdot 600} \right ) \cdot \left ( \cfrac{2\cdot 0,305}{2,43}\right)^3 } =0,793$

$(\ref{{78})$ $\to$ $I_E=1-  \cfrac{1}{ 3,5 \cdot exp  (1,22 \cdot 0,3 -0,4)  \cdot \left( \cfrac{2,43}{1,52}+1,6 \right) } =0,908 $

$(\ref{77})$ $\to$ $ s_e= 240  \cdot 2,48 \cdot 0,67 \cdot 0,793 \cdot 0,908 \cdot \cfrac{1-0,3^2}{6700} =0,039 \, m  = 39 \, mm$

Moduł podłoża

($\ref{69}) \to$ $K_s= \cfrac{240}{75} = 6,15  \, kN/(m^2\cdot mm)$

($\ref{75}) \to$ $K_{s,L}^{\varpi}= 6,15 \cdot  \cfrac{1,52 \cdot 3,05^3}{3} = 22,10  \cdot 10^3  \, kNm/rad$

Przykład 6 Metoda Pieczyrak

Postawienie zadania

Dla danych jak w przykładzie 5 osiadanie fundamentu wyznaczyć  metodą Pieczyraka.

Moduł edometryczny

z zależności ($\ref{15}$) uzyskujemy

$M_0=E_0 \cdot \cfrac{1-\nu_s}{(1+\nu_s)(1-2\cdot \nu_s}= 6700 \cdot\cfrac{1-0,3}{(1+0,3)(1-2\cdot 0,3)}= 6700 \cdot 1,35 = 9045 \, MPa$

Współczynnik przemieszczenia

Ponieważ $H=3,66 \le 5\cdot B_e = 5\cdot 2,43= 12,15 \, m$, więc głębokość zanikania naprężeń sprawczych przyjmuje się $z_D= H= 3,66 \,m$

$\zeta_D= \cfrac{z_D}{B}= 3,66/1,52= 2,41$

$\alpha= \cfrac{3,05}{1,52}= 2,01$

$(\ref{76}$) $\to$  $f= \cfrac{2,01}{\sqrt[4,3]{0,002 +0,021 \cdot 2,41}  + (0,993+ 0,395 \cdot 2,41) \cdot \cfrac{2,01}{2,41}}= 1,239$

$(\ref{75})$ $\to$ $ s= \cfrac{240 \cdot 1,52 \cdot 1,239}{9045}= 0,050 \, m = 50 \, mm$

Osiadanie uzyskane metodą P:ieczuraka ( daną metodą naprężeń) jest o 39/50= 28% większe  od osiadania uzyskanego metodą Mayne-Poulous. Przyczyną są mniej dokładne założenia metody Pieczyraka, a przede wszystkim nie uwzględnienie głębokości posadowienia ( przekrycia fundamentu przed wypieraniem gruntu)

Moduł podłoża

($\ref{69}) \to$ $K_s= \cfrac{240}{58} = 4,8 \, kN/(m^2\cdot mm)$

($\ref{75}) \to$ $K_{s,L}^{\varpi}= 4,8 \cdot  \cfrac{1,52 \cdot 3,05^3}{3} = 17,25  \cdot 10^3  \, kNm/rad$