Współczynnik wyboczeniowy. Geneza i mit

Geneza współczynnika wyboczeniowego rozpoczyna się już w IX wieku pracą (Ayrton, Perry, 1886). Teoria sformułowana w tej pracy została podstawą praktyki normalizacyjnej w wielu krajach, a m in.: 1) podejście (Robertson, 1925) jest podstawą brytyjskich norm od prawie 100 lat (w odmianie (Godfrey, 1962));  2) (Dutheil, 1952) przedstawił wersję używaną we Francji; 3)Teoria Ayrton-Perry jest podstawą współczesnej formacji współczynników wyboczeniowych w normie (PN-EN 12056-3, 2002) ((Dwight, 1975)). W niniejszym artykule pokażemy, że teoria współczynników wyboczeniowych Ayrton-Perry jest hipotezą, wspomaganą badaniami eksperymentalnymi. Powszechnie wykorzystywany wzór na naprężenia w pręcie zginanym momentem zginającym M i ściskanym siłą osiową N w postaci $\sigma=\dfrac {M}{W}+\dfrac {N}{\chi A}$ ($ \chi $ -współczynnik wyboczeniowy) nie ma czystych podstaw teoretycznych, a era współczynnika wyboczeniowego przechodzi obecnie  w erę metody imperfekcyjnej (Chodor, 2016), która ma pełne  uzasadnienie teoretyczne.  Podejście klasyczne do zagadnienia współczynnika wyboczeniowego, przedstawiono w pkt. 1 i 2, współczesne koncepcje w pkt. 3, a podsumowanie i własne analizy w pkt. 4 niniejszego artykułu.

Teoria Ayrton-Perry. Źródło współczynników wyboczeniowych

W roku 1886 eksperci z dziedziny elektryczności i magnetyzmu Ayrton W. wraz z Perry J. przedstawili jedną z najdłużej stosowanych teorii w wymiarowaniu konstrukcji  – teorię ściskania słupa z imperfekcjami. Teoria Perry-Robertson jest dzisiaj podstawą obliczania współczynników wyboczeniowych  (Dwight, 1975) w postaci zaprezentowanej w roku 1920 przez  (Robertson, 1925):

${\small \sigma_m= \dfrac {1}{2} \left ( f_y+\sigma_{cr} (1+\Theta )-\sqrt{ \left [ f_y+\sigma_{cr}(1+\Theta) \right ]^2-4f_y \sigma_{cr}}\right )}$  (1)

gdzie parametr

$\Theta= \dfrac {\delta_0 \cdot z_{max}}{i_y^2}$  (2)

$\sigma_m$ – średnie naprężenia normalne (podłużne) w przekroju ściskanego pręta obarczonego wstępnymi imperfekcjami z amplitudą $\delta_0$,
$z_{max}$ – odległość skrajnego włókna przekroju od osi obojętnej przekroju z promieniem bezwładności $i_y$,
$f_y$ – granica plastyczności materiału.

Formuła (1) dobrze aproksymuje naprężenia w smukłych prętach.

Wyprowadzenie formuły Ayrton-Perry

Na rys.1 pokazano model pręta analizowany przez Ayrton i Perry. W połowie rozpiętości (dla $x=\dfrac{L}{2}$) amplitudy (strzałki) wygięcia wynoszą:
początkowa (imperfekcje) $\delta_0= w_0 (\dfrac {L}{2})$,
po obciążeniu (ugięciu)      $\delta= w (\dfrac {L}{2})$.

Rys.1. Model pręta Ayrton-Perry (Butterworth, 2005)

Teorię Ayrton-Perry przedstawimy za pracą (Butterworth, 2005).

Moment zginający belkę (rys.1) wynosi:

w stanie początkowym

$M_0 (x)=N \cdot w_0 (x)$  (3a)

po obciążeniu pręta

$M_0 (x)=N \cdot [w_0 (x)+w(x)]$  (3b)

Równanie różniczkowe zginania można zapisać w postaci :

$ M(x)=-EI_y \cdot \dfrac {d^2 w(x)} {dx}$  (4)

gdzie $EI_y$ jest sztywnością przekroju na zginanie względem osi y ( E- moduł Younga materiału, $I_y$ – moment bezwładności przekroju).

Po podstawieniu (3b) do (4) otrzymamy:

$EI_y \cdot w(x)^”+Nw(x)=-Nw_0(x) $  (5)

Przyjmijmy, że wygięcia wstępne ma kształt pierwszego wyrazu rozwinięcia dowolnej funkcji wygięcia w szereg trygonometryczny. Kształt taki odpowiada kształtowi wyboczonego idealnego pręta przegubowo-przegubowego.

$w_0(x))=\delta_0 \cdot sin \dfrac {\pi x}{L}$  (6)

gdzie L – jest długością pręta.

Po podstawieniu (6) do (5) i wprowadzeniu oznaczenia $\dfrac {N}{EI_y}= k^2$

otrzymamy równanie różniczkowe ściskania pręta z imperfekcjami:

$ w^{„}+k^2 w=-k^2 \cdot \delta_0 \cdot sin \dfrac {\pi x} {L} $  (7)

Całką ogólną równania (7) jest:

$w(x)=A \cdot sin\ k x +B \cdot cos \ kx$  (8a)

Całką szczególną równania (7) jest:

$w(x)=a \cdot sin \dfrac {\pi x} {L}$  (8b)

Po podstawieniu (8b) do (5), otrzymamy wyrażenie na stałą a w  postaci:

$ a= \dfrac {k^2 \cdot \delta_0} {( \dfrac{\pi}{L})^2 – k^2} $  (9)

Kompletne rozwiązanie (5) jest sumą całki ogólnej (8a) i szczególnej (8b), które po uwzględnieniu (9), wynosi:

$ w(x)=A \cdot sin k x+ B \cdot cos k x + \dfrac {k^2 \cdot \delta_0 \cdot sin \dfrac{\pi x}{L}}{( \dfrac{\pi}{L})^2 – k^2}$  (10)

Uwzględniając warunki brzegowe, mamy:

$ w(0)=0\Rightarrow B=0 $
$ w(L)=0\Rightarrow 0=A sin \alpha L $

Jeśli  $A\neq 0$, to $\alpha L=n \pi$ i mamy zbiór rozwiązań, prowadzących do klasycznego wyniku Eulera, a kolejne siły krytyczne wynoszą:

$ N_{cr,1}= \dfrac {\pi^2 EI_y}{L^2}$
$N_{cr,2}= \dfrac {4\pi^2 EI_y}{L^2} $, itd
 (11)

W rozważanym przypadku interesuje nas obciążenie  $N<N_{cr,1}$, co zachodzi dla $A=0$, to mamy:

$\small { w(x)= \dfrac {k^2 \cdot \delta_0 \cdot sin (\pi x/L)} {(\pi L)^2 – k^2)}= \dfrac {\delta_0 \cdot sin(\pi x /L)} {\dfrac {1}{ k^2} (\dfrac{\pi}{L})^2 -1}= \dfrac {w_0(x)}{ \dfrac {N_{cr}}{N}-1}}$  (12a)

a całkowite ugięcie wynosi

$ w_0(x)+w(x)= \dfrac {w_0(x)}{1- \dfrac{N}{N_{cr}}}$  (12b)

Ponieważ maksymalne całkowite ugięcie wynosi

$\delta_{max}= \dfrac {\delta_0}{ 1-\dfrac{N}{N_{cr}}}$  (13a)

więc maksymalny moment zginający można zapisać w postaci

$M_{max}=N \cdot\delta_{max}= \dfrac {N \cdot \delta_0}{ 1-\dfrac{N}{N_{cr}}}$  (13b)

a naprężenia w najbardziej wytężonym (środkowym) przekroju pręta wynoszą:

$\sigma_{max}= \dfrac {N}{A}+ \dfrac {M \cdot z_{max}} {I_y}=\dfrac {N}{A}+ \dfrac {N \cdot \delta_0 \cdot z_{max}} { \left ( 1- \dfrac {N}{N_{cr} } \right )\cdot I_y}$  (13c)

Po wprowadzeniu oznaczeń  $ i_y= \sqrt{ \dfrac {I_y}{A}}$ oraz $\sigma= \dfrac {N}{A} $ ,  (13c) można zapisać w postaci (13d):

$\sigma_{max}= \sigma \cdot \left [ 1+ \dfrac {\delta_0 \cdot z_{max}}{\left( 1- \dfrac {N}{N_{cr}}\right)\cdot i_y^2} \right ] $  (13d)

Po wprowadzeniu parametru (2) i wpowadzeniu oznaczenia $ \sigma_{cr}=\dfrac {N_{cr}} {A}$, otrzymamy kwadratowe równanie ze względu na $\sigma$ w stanie granicznym plastycznym , tzn dla $\sigma_{max}=f_y$:

$\sigma^2- \sigma [f_y+\sigma_{cr}(\Theta +1)]+f_y \cdot \sigma_{cr}=0 $  (14)

Rozwiązaniem tego równania jest formuła Perry (1).

Efekt P-Δ

Po przekształceniu (12b) otrzymamy (15),  które wyraża prawo amplifikacji ugięcia przy ściskaniu, to znaczy wpływ ściskania na przemieszczenia, często nazywany efektem P-Δ

$w(x))= \dfrac {w_0(x)}{ \dfrac{N_{cr}}{N}-1}$  (15)

Dla ugięcia w środku rozpiętości (rys2a) , otrzymamy stąd wykres  pokazany na rys. 2b.

Southwell abc

Rys.2. a) oznaczenia ugięć w środku rozpiętości, b) Wykres P-δ, c) Wykres Southwella (Butterworth, 2005)

Wykres Southwella

Ciekawe zastosowanie ma wykres, pokazany na rys. 2c.  Przedstawia on zależność uzyskaną z (13a), a mianowicie $\delta= \dfrac {a}{(\dfrac {P_{cr}} {P} -1)}$, przekształconą do postaci  $\delta \dfrac {P{cr}}{P}-\delta = a $, czyli

$\dfrac {\delta}{P}=\left ( \dfrac {1}{P_{cr}} \right )\delta+ \left ( \dfrac {a} {P_{cr}} \right )$  (16)

Wykres znany jako wykres Southwella pozwala wyznaczyć siłę krytyczną $P_{cr}$ na podstawie serii pomiarów siły obciążającej pręt $P$ i odpowiadających ugięć  $\delta$ przed utratą stateczności, czyli bez doprowadzania pręta do utraty stateczności.

Formuła Robertsona

(Robertson, 1925) zaproponował, by wstępne imperfekcje w formule (14) przyjmować o wartości

$\Theta=0,003 \cdot \lambda$  (17)

gdzie smukłość pręta $\lambda= \dfrac {L_{cr}}{i_y}$,  $L_{cr}$ jest długością krytyczną (Eulera) pręta zależną od warunków brzegowych (zamocowania końców)pręta. Dla pręta przegubowo-przegubowego ( rys.1 ) $L_{cr}=L$, a $i_y$ promieniem bezwładności przekroju względem osi wyboczenia (zginania) y.

Późniejsze testy eksperymentalne wykazały, że parametr (18) zależy od szeregu czynników, takich jak: typ przekroju (spawany, walcowany, …), ustawienie osi przekroju, symetrii przekroju, dokładności wytwórczych, naprężeń resztkowych itd. W dużej liczbie prowadzonych pomiarówe lepsze dopasowanie do wyników uzyskiwano dla:

$\Theta=0,0003 \cdot \lambda^2$  (18a)

Formuła (14) z hipotezą (18), ewentualnie zmodyfikowaną (18a) jest podstawą zastosowania współczynnika wyboczeniowego we współczesnej normie (PN-EN 12056-3, 2002) w postaci wystarczająco omówionej  w pkt. 1.5. i 1.6.

Współczynnik wyboczeniowy i krzywe wyboczeniowe

Po podzieleniu obu stron (1) przez granicę plastyczności fy, otrzymamy krzywe wyboczeniowe, tzn zależność względnej nośności krytycznej pręta $n_{cr} =\dfrac {N_{cr}}{N_R}=\dfrac {\sigma_{cr}}{f_y}$, w funkcji smukłości pręta $\lambda= \dfrac {L_{cr}}{i}$. Względną nośność krytyczną oznaczymy jako współczynnik wyboczeniowy:

$\chi=n_{cr} = 0,5 \cdot \left ( 1+n_{cr}(1+\Theta )-\sqrt{\left [ 1+n_{cr}(1+\Theta) \right ]^2-4f_y n_{cr}}\right ) $  (19)

Zależność (19) na współczynnik wyboczeniowy jest uwikłana – może by rozwikłana w dowolny sposób i przedstawiona w postaci wykresu. Na rys. 3 pokazano dwie krzywe wyboczeniowe Perry-Robertson (19) dla słupa ze stali fy=300 MPa dla θ=0,00002 λ2 oraz θ=0,00004 λ2

Krzywe Robertson

Rys.3. Krzywe wyboczeniowe Perry-Robertson (Butterworth, 2005)

Krzywe wyboczeniowe normowe

W pkt 3 pokażemy, że teoria Perry-Robertsona jest obarczona podstawową wadą: dotyczy prętów sprężystych, a rzeczywiste słupy mają smukłości tak małe, że teoria Eulera, a w ślad za nią również Perry-Robertsona – NIE obowiązuje. Porównanie i omówienie normowych krzywych wyboczeniowych na tle wyprowadzonych krzywych  klasycznych wg teorii Perrry-Robertsona zmierzałyby w niewłaściwym kierunku, którego unikamy.

Pręt poprzecznie zginany i ściskany (zginany osiowo lub ściskany mimośrodowo)

W praktyce mamy do czynienia w większości z prętami poprzecznie zginanymi i ściskanymi (lub rozciąganymi). Przewaga takich prętów nad tylko ściskanymi zwiększyła się potężnie wraz z komputerową analizą modeli, w których eliminuje się przeguby fizyczne w konstrukcji, a połączenia między prętami traktuje się jako sztywne lub podatne. W takim modelu praktycznie nie wystąpią pręty tylko ściskane, choć w konstrukcji w której : 1) obciążenia są przyłożone tylko do węzłów, pręty łączą się osiowo (bez mimośrodów węzłowych, 3) pręty są idealnie proste, tworzą się przeguby logiczne o niewielkich momentach zginających.

Klasyczne zadanie zginania osiowego wyizolowanego pręta

W klasycznej koncepcji zagadnienia pręta zginanego i ściskanego odstępuje się od zasady zesztywnienia. Siła ściskająca N wywołuje moment zginający MN(x)=N·w(x), gdzie w jest ugięciem pręta. Mamy do czynienia z zagadnieniem uwikłanym, w którym rozwiązanie w(x) zmienia siłę przekrojową, wywołującą to rozwiązanie.

Najpierw rozważmy słup pokazany na rys. 4, w którym obciążenie N działa na mimośrodzie e, co skutkuje zginanie słupa stałym momentem zginającym MN=N·e.

Mimośrodowo1Rys.4. Słup mimośrodowo ściskany (Butterworth, 2005)

Równanie różniczkowe zginania (4) można w tym przypadku zapisać w postaci

$EI_y \cdot w^{„}=-M(x)=-N(e+w)$  (20)

Równanie (20) ma rozwiązanie w postaci

$ w=e \cdot \left (cos kx + \dfrac {1-coskL}{sinkL}sinkx-1 \right ) $  (21)

Ugięcie (21) w środku pręta (dla x=L/2)  po przekształceniach można zapisać w postaci

$ \delta=w(L/2)=e(sec \dfrac{kL}{2}-1)=e \left(sec\dfrac {\pi}{2}\sqrt {\dfrac {N}{N_{cr}}}\right )$  (22)

Ugięcia $w$ silnie nieliniowo zwiększa się wraz ze  zbliżaniem się siły osiowej N do Ncr.

Ostatecznie całkowite naprężenie $\sigma$ w środku słupa wynosi:

$\sigma= \sigma_N+ \Delta \sigma_N $  (23)

gdzie:

$\sigma_N= \dfrac {N}{A}$  (24a)
$\Delta \sigma_N= \dfrac {N \cdot \delta }{I_y} \cdot z_{max} =\sigma_N \cdot \dfrac {e \cdot z_{max}}{cos (\pi/2 \sqrt{N/N_{cr})}i_y^2} $  (24b)

Aproksymacja naprężeń klasycznym wzorem

„$ \sigma=\dfrac {M}{W}+\dfrac {N}{\chi A}=\sigma_N\cdot (e+\dfrac {1}{\chi}) $”

w przypadku pręta z mimośrodowym obciążeniem (czyli ściskaniem siłą N i zginaniem momentem $M=N\cdot e$ – nie jest uzasadnione również z tego względu, że obie formuły pochodzą z innych grup działań matematycznych i będą prowadziły do takich samych wyników tylko w szczególnych i nielicznych przypadkach,( jeśli w ogóle takie da się wskazać.

Uogólnienie zadania na przypadek jednoczesnego zginania poprzecznego i ściskania pręta w istocie nic nie zmieni w stosunku do wyżej opisanego przypadku.

W celu uzyskania zadawalających wyników w każdym przypadku wymagane są obliczenia iteracyjne wg teorii co najmniej II rzędu. Takie obliczenia są standardem współczesnych programów komputerowych. W ten właśnie sposób przechodzimy do teorii imperfekcyjnej, czyli do metody A wg nomenklatury pracy (Chodor, 2016).

Osiowe zginanie pręta, wchodzącego w konstrukcję  statycznie niewyznaczalną

Wpływ rozkładu sztywności w statycznie niewyznaczalnych konstrukcjach wpływa na rozdział sił praktycznie we wszystkich rzeczywistych konstrukcjach, bo praktycznie wszystkie konstrukcje są statycznie niewyznaczalne. Dotyczy to również kratownic, które konstruuje się i współcześnie oblicza jak system prętów sztywno połączonych w węzłach.

Załóżmy, że w dowolnej statycznie  niewyznaczalnej konstrukcji w pręcie przegubowo-przegubowym pręt <e> uległ wyboczeniu podczas wzrostu obciążenia całej konstrukcji. Ponieważ wskutek wyboczenia sztywność osiowa elementu <e> zmniejsza się, to również siła przekrojowa ulega zmniejszeniu. Wobec tego nowa siła może być niewystarczającą do tego, by utrzymywać pręt w stanie wyboczenia. Taką sytuację nazwiemy „ucieczką” pręta przed wyboczeniem. W numerycznych procedurach nieliniowych II rzędu opisane zjawisko można w prosty sposób poprawnie uwzględnić.  W obliczeniach klasycznych i współczesnych, normowych zjawisko „ucieczki pręta prze wyboczeniem” jest pomijane. Można wykazać, że w niektórych przypadkach podejście takie jest zbyt konserwatywne (prowadzi do nieuzasadnionego przewymiarowania pręta).

Osiowe zginanie niesprężystych konstrukcji

Zakres ważności teorii Eulera i Perry-Robertsona

W 1845 roku belgijski inżynier Е. Lamarle (Lamarle, 1845) pokazał, że teoria Eulera wyboczenia prętów w istocie dotyczy przypadków, które dość rzadko występują w praktyce. Słupy rzeczywiste maja smukłość mniejszą od 100, a dla nich nie obowiązuje wzór Eulera. Lamarle zaproponował, aby krytyczne naprężenie rzeczywistych prętów przyjmować równe granicy plastyczności fy.

W ślad za pracą Lamarle, teoria Eulera była badana doświadczalnie przez  J. Bauschingera i L. von Tetmajera. (Bauschinger, 1887) przeprowadził pierwsze wiarygodne testy na słupach. (Tetmajer, 1890) przeprowadził badania stateczności  prętów o różnych przekrojach. Najbardziej wszechstronny materiał został opracowany w pracy (Jasiński, 1895). Jasiński był inicjatorem nowoczesnych metod obliczeniowych słupów i zaoferował empiryczny wzór liniowy do obliczenia naprężeń krytycznych.  Na rys. 5 pokazano prostą Tetmajera oraz zalecenia normowe DIN z 1952 roku.

Lamrle, Tetmajer

Rys.6. Ograniczenie ważności formuły Eulera (na przykładzie niemieckiej stali ST37) (Herzog, 2010)

Punkt przecięcia krzywej Eulera  σcr2E/λ2 z wytrzymałością materiału fy  ma współrzędną λlim =π√(E/fy) i przykładowo dla stali S355 (E=210000 MPa, fy=355 MPa): λlim=76,4. W rzeczywistości przejście z krzywej Eulera na prostą fy nie jest ostre i w obszarze „przejściowym” jest aproksymowane krzywą pokazaną na rys.6.


Rys.6. Teoria Eulera jest prawdziwa tylko dla smukłych słupów (Butterworth, 2005)

Prostą formułę na krzywą „przejściową” podali Rankine i Merchant (Merchant, 1954). Na podstawie badań eksperymentalnych, stwierdzili, że dobrą zgodność uzyskuje się przy przyjęciu interkacji:

$\dfrac {1}{\sigma_{cr}}= \dfrac {1}{f_y}+\dfrac{1}{\sigma_E}$  (25)

gdzie $\sigma_E=\dfrac{\pi^2E}{\lambda^2}$ jest klasycznym naprężeniem krytycznym Eulera, a $ f_y$ granicą plastyczności materiału.

Obecnie próby teoretycznego i eksperymentalnego rozwiązania problemu stateczności prętów ściskanych są nadal kontynuowane, a zasady wprowadzone do norm projektowania nie są jedyne, a nawet nie najlepsze, chyba że powszechnie zaczniemy stosować metodę imperfekcyjną bez potrzeby stosowania współczynników wyboczeniowych (Chodor, 2016).

Sprężysto-plastyczne zginanie osiowe. Klasyczne koncepcje

W 1895 roku (Engesser, 1895)  Engesser zaproponował, aby krytyczne naprężenie obliczać wg wzoru Eulera ale po zmianie modułu Younga E przez moduł styczny.  E*=Δσ/Δε (rys.7). Moduł styczny jest zmienny w zależności od poziomu obciążenia.Engesser popełnił błąd, przyjmując dla całego przekroju (część obciążana i odciążana) styczne prawo Hooka. Jasiński  wskazał, że część przekroju odciąża się i tam powinno być zachowane klasyczne prawo Hooka. Pokazano, że odkształcenia przekroju przebiegają zgodnie z prawem płaskich przekrojów (rys. 7b), a odpowiadające naprężenia w części prawej przekroju (obciążenie) Δσ=E*Δε, a w części lewej przekroju (odciążenie) tradycyjnie Δσ=EΔε (rys. 7c).  Teoria Engessera-Karmana zastępczego modułu Younga E , zamiast modułu Younga, operuje (Karman von, 1910) modułem:

$E_{**}= \dfrac {\nu E}{1+\nu}$  (26)

gdzie ν≤ 1 – współczynnik modułu zastępczego.

Engesser

Rys.7. Zmiana odkształceń i naprężeń wg Engessera. Podczas zginania osiowego następuje odciążenie w części przekroju: a) wykres σ-ε, b) zmiana odkształceń, c) zmiana naprężeń (Panovko, Gubanova, 1967)

Sprężysto-plastyczne zginanie osiowe.Współczesna koncepcja

Współczesne koncepcje wyboczenia słupów pojawiły się wraz z opublikowaniem prac (Shanley, 1946). (Shanley, 1947). Shanley wskazał, że przy wyprowadzeniu teorii zastępczego modułu Engessera-Karmana dokonano założeń, które nie mogą być utrzymane. W szczególności nie jest słuszne założenie, że słup pozostaje prosty podczas zwiększania siły osiowej aż do wartości siły krytycznej, dopiero po przekroczeniu której słup wygina się. Uwzględnienie wyginania słupa od początku procesu prowadzi do mniejszych i bardziej realistycznych obciążeń krytycznych niż wynikające z klasycznej teorii modułu stycznego lub zastępczego (24).

Shanley

Rys.8. Wpływ zmiany modułu odciążenia: a) biliniowa krzywa deformacji, b) krzywe Shanley
N, w – obciążenie i przemieszczenie głowicy słupa wspornikowego (Panovko, Gubanova, 1967)

Na rys. 8b pokazano krzywą przemieszczenia pręta ściskanego na tle nieprzekraczalnej siły krytycznej N**  wynikającej z teorii zastępczego modułu (Engessera-Karmana) . Siła N* < N** odpowiada sile krytycznej wg teorii modułu stycznego Engessera. Na skutek zmiany modułu sprężystości w punktach przekroju podczas zmiany dociążania na odciążenie (pkt A na rys. 7a) uzyskujemy siłę  krytyczną Shanleya (na linii ciągłęj – rys 7b) , z maksimum Nmax pomiędzy wartościami N* i N**.

Shanley2

Rys.9. Ścieżki równowagi prostego wspornika ściskanego osiowo: N* – najmniejsza siła przy której możliwe jest stan równowagi wygiętego pręta, N** – siła krytyczna wg teorii modułu zastępczego Engessera-Karmana   (Panovko, Gubanova, 1967)

Koncepcja Shanleya w istocie jest krytyką idei siły krytycznej, rozumianej klasycznie jako siła bifurkacyjna prostego, ściskanego  pręta. Wykazano, że:

  1. Siłą krytyczną pręta ściskanego osiowo nie jest w sensie ścisłym, ani siła N*, ani N**, dlatego, że po osiągnięciu przez obciążenie siły Engessera N* występuje wychylenie pręta w ze stanu prostoliniowego i jest to stan stateczny. Stany stateczne utrzymują się przy dalszym zwiększaniu obciążenia, co prowadzi do zwiększania przemieszczenia w (rys.8)
  2. Koncepcja  (Shanley, 1947) dobrze koresponduje z niezależnie ogłoszoną teorią , w której pokazano, że przyczyną szeregu niepowodzeń konstrukcyjnych oraz wielokrotnie stwierdzanych „błędów” eksperymentalnych tkwią w niedocenianiu wagi problematyki stanów pokrytycznych (stabilnej scieżki równowagi po przekroczeniu pewnego poziomu obciążeń, który nie wyczerpuje jeszcze nośności pręta.
  3. Teoria Shanleya pokazuje, że nie można mówić o ścisłęj warości siły krytycznej (granicznej). W zależności od okoliczności można przyjąć za siłę krytyczną z przedziału  Ncr>N*, ale Ncr<N**.
  4. W problemie stateczności należy mówić o ” ścieżce równowagi słupa”, po to by zakończyć pytania o utracie stateczności i sile krytycznej, nawet w przypadku pręta prostego, osiowo ściskanego.

Wagę nowej koncepcji Shanleya lepiej widać w zadaniu mimośrodowego ściskania,które prowadzi do rozwiązań, schematycznie przedstawionych na rys.1o.

Shanley3

Rys.10. Ścieżki równowagi  ściskanego pręta: 1 – pręt osiowo ściskany (Shanleya) , 2 – pręt mimośrodowo ściskany (Panovko, Gubanova, 1967)

Z rys. 10 wynikają następne wnioski:

5. Powyżej krzywej Sheanleya 1 nie są możliwe stany równowagi. Stanowi ona ograniczenie od góry wszystkich ścieżek równowagi prętów rzeczywistych z mimośrodami i imperfekcjami

6. Wygięcia boczne pręta rzeczywistego (mimośrodowo ściskanego lub z imperfekcjami) przebiegają od początku ścieżki równowagi, a nie od momentu osiągnięcia siły krytycznej zgodnie z teorią modułu stycznego. Poszukiwanie siły klasycznej siły krytycznej nie jest potrzebne przy analizie rzeczywistych prętów. Potrzebna jest jednak analiza konstrukcji wg teorii II rzędu (P-Δ).

Podsumowanie

W niniejszej pracy przedstawiono genezę teorii wyboczeniowej prętów ściskanych i zginanych.

W posumowaniu należy stwierdzić, że stosowanie teorii wyboczeniowej prętów, a w szczególności współczynników i długości wyboczeniowych jest już poza głównym nurtem nauki o wymiarowaniu konstrukcji  i z tego powodu jest mitem. W pracy pokazano brak wystarczających podstaw teoretycznych metody, głównie, ale nie wyłącznie ze względów:  1) hipotetycznie przyjmowane imperfekcje wstępne prętów, 2) pracę pręta rzeczywistego w zakresie nieliniowym i niesprężystym, 3) „ucieczkę przed wyboczeniem” pręta w konstrukcji statycznie niewyznaczalnej, 4) pracę pręta rzeczywistego „od razu” jako zginanego , 5) wprowadzenie multiplikatywnego współczynnika (wyboczenia) podczas gdy występuje sumowanie naprężeń w przyjmowanych w praktyce modelach i przestrzeniach matematycznych.

Mitem jest  to, że konstrukcje należy wymiarować z użyciem współczynników wyboczeniowych. W pracy (Chodor, 2016) wskazano, że polecaną metodą jest metoda A wymiarowania prętów, czyli metoda imperfekcyjna realizowana w numerycznych procedurach II rzędu analiz P-Δ.

Obecne badania powinny iść w kierunku wykazania jakie znaczenie mają imperfekcje łukowe (lokalne) elementów wchodzących w skład konstrukcji złożonych i w jakich przypadkach można je zaniedbać i pozostać przy uwzględnieniu imperfekcji globalnych. Wykazanie takich zależności dałoby możliwość pominięcia wyznaczania amplitudy wygięcia pręta w stanie obciążonym (powyboczeniowym), co jest zadaniem trudnym, ale zapewne dlatego, że w wyniku działania praw naturalnych – po prostu zbędnym.

 Literatura

Ayrton, W. E., & Perry, J. (1886). On Struts. The Engineer, 464–513.
Bauschinger, J. (1887). Zerknickungs-Versuche (Mitteilung an das No. Heft 15, Mitteilung XVII) (p. 11). Munchen: Mechanische-Technologie Laboratorium, Munchen.
Butterworth, J. W. (2005, August). Column Buckling. Lecture, The University of Auckland New Zeland. Faculty of Engineering. Retrieved from http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~jbut030/Courses/CIVIL211/Column_Buckling_Notes.pdf
Chodor, L. (2016). Przekrycia hal i galerii. In XXXI Ogólnopolskie Warsztaty Pracy Projektanta Konstrukcji (Vol. I, pp. 25 – 202). Katowice-Szczyrk. Retrieved from http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/2016/03/Chodor_LPrzekrycia-hal-i-galerii-WPPK-2016.pdf
Dutheil, J. (1952). The Theory of Instability through Disturbance of Equilibrium. Presented at the 4th Congress of I.A.B.S.E., , Cambridge.
Dwight, J. B. (1975). Use of Perry formula to represent the new European strut curves (IABSE reports of the working commissions = Rapports des commissions de travail AIPC = IVBH Berichte der Arbeitskommissionen No. 23 (1975)). Retrieved from http://dx.doi.org/10.5169/seals-19829
Engesser, F. R. (1895). Uber Knickfragen. Schweizerische Bauzeitung, 36(4), 24–26.
Godfrey, G. B. (1962). The Allowable Stresses in Axially Loaded Steel Struts. The Struct. Engr, 40(3).
Herzog, M. A. M. (2010). Kurze Geschichte der Baustatik und Baudynamik in der Praxis (1. Aufl). Berlin: Bauwerk.
Jasiński, F. (1895). Noch ein Wert zu den Knickfragen. Schweizerische Bauzeitung, 25(25), 172–175.
Karman von, T. (1910). Untersuchungen Uber Knickfestigkeit (Mitteilung und Forschungsareiten -Arb. Geb. Ing. -Wes. No. Heft 81).
Lamarle, E. (1845). Memoire sur la flexion du l.elsticite des corps. Ann Trwav, 3, 1–64.
Merchant, W. (1954). The Failure Loads of Rigidly Jointed  Frameworks as Influenced by Stability. The Structural Engineer, 32(7), 185–190.
PN-EN 12056-3. Systemy kanalizacji grawitacyjnej wewnątrz budynków - Część 3: Przewody deszczowe - Projektowanie układu i obliczenia (2002). UE: PKN.
Panovko, J. G., & Gubanova, I. I. (1967). Ustojčivost i kolebnija uprugich system. Sovremennyje koncepcii, paradoksy i ošibki (4th ed.). Moskva: Nauka.
Robertson, A. (1925). The Strength of Struts. London: The Institution of Civil Engineers.
Shanley, F. R. (1946). The Column Paradox. Journal of the Aeronautical Sciences, 13(12), 678–678.
Shanley, F. (1947). Inelastic column theory. Journal of the Aeronautical Sciences, 14(5), 261–268.
Tetmajer, L. von. (1890). Die Gesetze der Knickungs und der Zusammeng-Esetzten Druckfestigkeit der Technisch Wichtigsten Baustoffe (Mitteilung der Material Anstalt auf Schweizer Polytechnikum in Zurich No. Heft k, 1890, Heft 8, I896.). Zurich: Polytechnikum in Zurich.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »