Stateczność wysokich budowli

Stateczność ogólna wysokich budowli jest istotna przy projektowaniu takich obiektów jak: kominy, wieże, budynki wysokie, fundamenty słupów elektroenergetycznych, kolei linowych, ścian oporowych itp.

Warunek stateczności ogólnej można zapisać (PN-EN 1997-1+AC+Ap1+Ap2, 2008):

$ E_{dst.d} \le E_{stb,d}$  (1)

gdzie:
$ E_{dst.d}$ – obliczeniowy efekt wywolany działaniem destabilizujących obciążeń,
$ E_{stb.d}$ -obliczeniowy efekt wywołany działaniem obciążeń stabilizujących.

są iloczynem iloczyn z wartości charakterystycznych $E_j$ i częściowych współczynników bezpieczeństwa $E_d= \gamma_F \cdot E_k$ , gfzie $\gamma_F$  zestawiono  w tab.1.

Tab.1.Współczynniki czesciowe $\gamma_F$ do oddziaływań w stanie równowagi granicznej EQU (PN-EN 1997-1+AC+Ap1+Ap2, 2008)

stab-1

Wnormie (PN-EN 1997-1+AC+Ap1+Ap2, 2008) nie definiuje się globalnego współczynnika bezpieczeństwa

$ \gamma= \dfrac {E_{stb,d}}{E_{dst.d}}$  (2)

choć  warunek (1) można zapisać w postaci z użyciem (2) w postaci (3)

$ \gamma\le 1$  (3)

W przypadku konstrukcji wysokich i stanu granicznego obrotu, efekty oddziaływań $E$ należy traktować jako momenty sił utrzymujące $M_{stb}$ i wywracające $M_{dst}$.

Wadą podejścia (1) lub (3) jest traktowanie systemu jak bryły sztywnej i nie uwzględnienie podatności układu, w szczególności sprężystości podłoża gruntowego. Tymczasem już w 1936 roku  rozwiązał zagadnienie stateczności wieży na podłożu sprężystym (rys.1).

Stan równowagi EQU

Rys.1. Stan równowagi EQU: a) schemat układu, b) reakcje podłoża w położeniu początkowym, c)reakcje podłoża w położeniu obróconym (odkształconym)

 (Panovko, Gubanova, 1967)

Załóżmy, ze podłoże jest typu Winklera, czyli z reakcjami $r$ proporcjonalnymi do osiadania $z$ :

$ r=-cy$  (3)

W nieodkształconej konfiguracji (rys1 b) zachodzi

$ r=r_0=\dfrac{Q}{A}$  (4a)

gdzie $A$ – pole powierzchni fundamentu, a konfiguracji odkształconej zachodzi:

$ r=r_0+cx\varphi$  (4b)

gdzie: $\varphi$ – kąt odchylenia wieży od pionu, x – odległość pozioma punktu od osi fundamentu wieży. W położeniu odkształconym spełnione jest równanie momentów względem osi fundamentu:

$ -Ql\varphi+\int \limits_{(A)}rbx dx=0$  (5)

gdzie $b=b(x)$ jest szerokością stopy fundamentowej (prostopadle do płaszczyzny rysunku). Po podstawieniu (4b) do (5)  i przecałkowaniu, otrzymujemy:

$ -Ql\varphi+c\varphi I=0$  (6)

gdzie : I – moment bezwładności stopy względem jej osi. Warunek (6) powinien być  spełniony dla dowolnych wartości Q. Jeśli $\varphi=0$, to trywialne rozwiązanie oznacza równowagę wieży w położeniu nieodkształconym. Natomiast dla $\varphi \ne 0$ siła powinna spełniać warunek:

$ Q=Q_{cr}= \dfrac{cI}{l}$  (7a)

Stąd wspólczynnik stateczności (2) w stanie krytycznym wynosi:

$ \gamma_{cr}=\dfrac{Q_{cr}}{Q}=\dfrac{cI}{Ql}$  (7b)
Stan równowagi EQU przy odrywaniu stopy

Rys.2. Stan równowagi EQU przy odrywaniu stopy: a) schemat układu, b) reakcje podłoża

 (Panovko, Gubanova, 1967)

W przypadku odrywania stopy od podłoża należy rozważyć sytuację, pokazaną na rys.2.

Równanie równowagi dla sytuacji z rys.2 mozna zapisać w postaci:

$ -Ph-Ql\varphi+c\varphi I=0$  (8)

przy czym przyjęto, że $\varphi \approx tg\varphi \approx \sin \varphi$ .

Z (8) otrzymujemy liniową zależność

$ p+\dfrac{cI-Ql}{h}\varphi$  (9)

Zależnośc (9) pozostaje słuszna dopóty odpór rozkłada się tak jak pokazano na rys. 1c. Wraz ze wzrostem kąta $\varphi$ nadejdzie sytuacj apokazan ana rys. 2b, w której lewa część stopy oderwie się od podłoża. Można wykazać (Panovko, Gubanova, 1967), że dla stopy prostokątnej axb $(I=\dfrac {ba^3}{12})$, kąt $\varphi$ przy którym zaczyna sie odrywanie stopy od gruntu, wynosi

$ \varphi_1= \dfrac{2Q}{ca^2b}$  (10)

a odpowiadająca wartość siły wynosi

$ P_1=\dfrac{Qa}{6h} \left( 1- \dfrac{Ql}{cI}\right)$  (11)

Przy dalszym wzroście kąta $\varphi$ moment rekacji podłoża wynosi:

$ M_r=Q \left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{\xi}{3}\right)$  (12)

gdzie $\xi$ – szerokość kontaktu podłoża ze stopą:

$ \xi=sqrt{\dfrac{2Q}{\varphi b c}}$  (13)

Stąd otrzymujemy:

$ -Ph-Ql\varphi+Q\left ( \dfrac{a}{2}-\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{2Q}{\varphi b c}}\right)=0$,  (14)

a po wyznaczeniu siły P:

$ P=\dfrac{Q}{h}\left( \dfrac{a}{2}-\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{2Q}{\varphi b c}}-l \varphi\right)$  (15)

Wykres (15) pokazano an rys. 3

Krzywa stateczności wysokiej budowli na podłożu sprężystym

Rys.3. Krzywa stateczności wysokiej budowli na podłożu sprężystym

 (Panovko, Gubanova, 1967)

Obciążenie krytyczne $P_{cr}$ jest maksymalnym obciążeniem, w którym stan wieży jest stabilny. Odcinek ścieżki rónowagi oznaczony z krzyżykami jest niestabilny. Siłę $P_{\infty}$ wyznacza się w sytuacji, absoultnej spręzytości podłoża ze wzoru:

$P_{\infty}= \dfrac{Qa}{2h}$  (16)

i wynika z (2) dla $\gamma=1$.

Maksimum krzywej zawsze jest położone poniżej (16) i jest osiągana dla kąta obrotu

$\varphi_{cr}=\sqrt[3]{\dfrac {Q}{18bcl^2}} $  (17)

Odpowiada to watrości krytycznej obciązenia P:

$P_{cr}= \dfrac{Qa}{2h} \left [ 1-\sqrt[3]{\dfrac{Ql}{cI}}\right]$  (18)

Z przedstawionych rozważań wynika, że warunek stanu granicznego (1) lub (3) daje nebezpieczne oszacowanie niezawodnosci budowli wysokiej posadowionej na sprężytym podłożu. Na przykład dla słupa, charkteryzowanego dużym  $\dfrac {cI}{Ql}=8$, zastosowanie warunku (1) prowadzi do dwukrotnego zawyżenia bezpieczeństwa.

Literatura

PN-EN 1997-1+AC+Ap1+Ap2. Projektowanie geotechniczne - Część 1: Zasady ogólne (2008). UE: PKN.
Panovko, J. G., & Gubanova, I. I. (1967). Ustojčivost i kolebnija uprugich system. Sovremennyje koncepcii, paradoksy i ošibki (4th ed.). Moskva: Nauka.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum „Manufaktura” w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji „Cersanit” ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »