Stateczność wysokich budowli

Stateczność ogólna wysokich budowli jest istotna przy projektowaniu takich obiektów jak: kominy, wieże, budynki wysokie, fundamenty słupów elektroenergetycznych, kolei linowych, ścian oporowych itp.

Warunek stateczności ogólnej można zapisać [1]:

$ E_{dst.d} \le E_{stb,d}$ (1)

gdzie:
$ E_{dst.d}$ – obliczeniowy efekt wywolany działaniem destabilizujących obciążeń,
$ E_{stb.d}$ -obliczeniowy efekt wywołany działaniem obciążeń stabilizujących.

są iloczynem iloczyn z wartości charakterystycznych $E_j$ i częściowych współczynników bezpieczeństwa $E_d= \gamma_F \cdot E_k$ , gfzie $\gamma_F$  zestawiono  w tab.1.

Tab.1.Współczynniki czesciowe $\gamma_F$ do oddziaływań w stanie równowagi granicznej EQU [1]

stab-1

Wnormie [1] nie definiuje się globalnego współczynnika bezpieczeństwa

$ \gamma= \dfrac {E_{stb,d}}{E_{dst.d}}$ (2)

choć  warunek (1) można zapisać w postaci z użyciem (2) w postaci (3)

$ \gamma\le 1$ (3)

W przypadku konstrukcji wysokich i stanu granicznego obrotu, efekty oddziaływań $E$ należy traktować jako momenty sił utrzymujące $M_{stb}$ i wywracające $M_{dst}$.

Wadą podejścia (1) lub (3) jest traktowanie systemu jak bryły sztywnej i nie uwzględnienie podatności układu, w szczególności sprężystości podłoża gruntowego. Tymczasem już w 1936 roku  Cramer [2] rozwiązał zagadnienie stateczności wieży na podłożu sprężystym (rys.1).

Stan równowagi EQU

Rys.1. Stan równowagi EQU: a) schemat układu, b) reakcje podłoża w położeniu początkowym, c)reakcje podłoża w położeniu obróconym (odkształconym) [3]

Załóżmy, ze podłoże jest typu Winklera, czyli z reakcjami $r$ proporcjonalnymi do osiadania $z$ :

$ r=-cy$ (3)

W nieodkształconej konfiguracji (rys1 b) zachodzi

$ r=r_0=\dfrac{Q}{A}$ (4a)

gdzie $A$ – pole powierzchni fundamentu, a konfiguracji odkształconej zachodzi:

$ r=r_0+cx\varphi$ (4b)

gdzie: $\varphi$ – kąt odchylenia wieży od pionu, x – odległość pozioma punktu od osi fundamentu wieży. W położeniu odkształconym spełnione jest równanie momentów względem osi fundamentu:

$ -Ql\varphi+\int \limits_{(A)}rbx dx=0$ (5)

gdzie $b=b(x)$ jest szerokością stopy fundamentowej (prostopadle do płaszczyzny rysunku). Po podstawieniu (4b) do (5)  i przecałkowaniu, otrzymujemy:

$ -Ql\varphi+c\varphi I=0$ (6)

gdzie : I – moment bezwładności stopy względem jej osi. Warunek (6) powinien być  spełniony dla dowolnych wartości Q. Jeśli $\varphi=0$, to trywialne rozwiązanie oznacza równowagę wieży w położeniu nieodkształconym. Natomiast dla $\varphi \ne 0$ siła powinna spełniać warunek:

$ Q=Q_{cr}= \dfrac{cI}{l}$ (7a)

Stąd wspólczynnik stateczności (2) w stanie krytycznym wynosi:

$ \gamma_{cr}=\dfrac{Q_{cr}}{Q}=\dfrac{cI}{Ql}$ (7b)
Stan równowagi EQU przy odrywaniu stopy

Rys.2. Stan równowagi EQU przy odrywaniu stopy: a) schemat układu, b) reakcje podłoża  [3]

W przypadku odrywania stopy od podłoża należy rozważyć sytuację, pokazaną na rys.2.

Równanie równowagi dla sytuacji z rys.2 można zapisać w postaci:

$ -Ph-Ql\varphi+c\varphi I=0$ (8)

przy czym przyjęto, że $\varphi \approx tg\varphi \approx \sin \varphi$ .

Z (8) otrzymujemy liniową zależność

$ p+\dfrac{cI-Ql}{h}\varphi$ (9)

Zależność (9) pozostaje słuszna dopóty odpór rozkłada się tak jak pokazano na rys. 1c. Wraz ze wzrostem kąta $\varphi$ nadejdzie sytuacja pokazana na rys. 2b, w której lewa część stopy oderwie się od podłoża. Można wykazać [3], że dla stopy prostokątnej axb $(I=\dfrac {ba^3}{12})$, kąt $\varphi$ przy którym zaczyna się odrywanie stopy od gruntu, wynosi

$ \varphi_1= \dfrac{2Q}{ca^2b}$ (10)

a odpowiadająca wartość siły wynosi

$ P_1=\dfrac{Qa}{6h} \left( 1- \dfrac{Ql}{cI}\right)$ (11)

Przy dalszym wzroście kąta $\varphi$ moment rekacji podłoża wynosi:

$ M_r=Q \left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{\xi}{3}\right)$ (12)

gdzie $\xi$ – szerokość kontaktu podłoża ze stopą:

$ \xi=sqrt{\dfrac{2Q}{\varphi b c}}$ (13)

Stąd otrzymujemy:

$ -Ph-Ql\varphi+Q\left ( \dfrac{a}{2}-\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{2Q}{\varphi b c}}\right)=0$, (14)

a po wyznaczeniu siły P:

$ P=\dfrac{Q}{h}\left( \dfrac{a}{2}-\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{2Q}{\varphi b c}}-l \varphi\right)$ (15)

Wykres (15) pokazano na rys. 3

Krzywa stateczności wysokiej budowli na podłożu sprężystym

Rys.3. Krzywa stateczności wysokiej budowli na podłożu sprężystym [3]

Obciążenie krytyczne $P_{cr}$ jest maksymalnym obciążeniem, w którym stan wieży jest stabilny. Odcinek ścieżki równowagi oznaczony z krzyżykami jest niestabilny. Siłę $P_{\infty}$ wyznacza się w sytuacji, absolutnej sprężystości podłoża ze wzoru:

$P_{\infty}= \dfrac{Qa}{2h}$ (16)

i wynika z (2) dla $\gamma=1$.

Maksimum krzywej zawsze jest położone poniżej (16) i jest osiągana dla kąta obrotu

$\varphi_{cr}=\sqrt[3]{\dfrac {Q}{18bcl^2}} $ (17)

Odpowiada to watrości krytycznej obciązenia P:

$P_{cr}= \dfrac{Qa}{2h} \left [ 1-\sqrt[3]{\dfrac{Ql}{cI}}\right]$ (18)

Z przedstawionych rozważań wynika, że warunek stanu granicznego (1) lub (3) daje niebezpieczne oszacowanie niezawodności budowli wysokiej posadowionej na sprężystym podłożu. Na przykład dla słupa, charakteryzowanego dużym  $\dfrac {cI}{Ql}=8$, zastosowanie warunku (1) prowadzi do dwukrotnego zawyżenia bezpieczeństwa.

Bibliografia artykułu
  1. PN-EN 1997-1+AC+Ap1+Ap2:P2008 Projektowanie geotechniczne – Część 1: Zasady ogólne
  2. Cramer G. (1936), Uber eine Eigenschaft der Normalen Verteilungsfunktion,. Math. Zeitschrift, 41, 405–414
  3. Panovko J., G., Gubanova, I. I. (1967), Ustojčivost i kolebanija uprugich system. Sovremennyje koncepcii, paradoksy i ošibki (4th ed.), Nauka, Moskva
_______________
Koniec
Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »