Słupy żelbetowe są głównym elementem konstrukcji szkieletowych lub płytowo-słupowych.

Slupy znamienne są tym, że mogą ulec  utracie stateczności – wyboczeniu, a także tym, że są wrażliwe na efekty II rzędu, czyli na wpływ przemieszczeń na siły przekrojowe. Zjawiska te są obszernie analizowane w internetowym podręczniku „Imperfekcyjna metoda projektowania„.

Konstrukcja, zawierająca słupy powinna być analizowana metodami imperfekcyjnymi na modelu całego systemu. Tradycyjnie stosowana analiza wydzielonych elementów prowadzi do skomplikowanej procedury projektowania a jednocześnie przybliżonej i jest już uznana za metodę historyczną, więc nie będziemy się nią zajmować.

Metoda imperfekcyjna jest pojęciowo prosta, choć wymaga zastosowania  programów komputerowych z analizą II rzędu. Praktycznie wszystkie współczesne programy komputerowe posiadają procedury analizy nieliniowej i drugiego rzędu, więc analizę II rzędu należy traktować jako metodę standardową, a metody I rzędu już tylko jako historyczne.

Konstrukcję jako całość należy obciążyć wymuszeniami od imperfekcji, czyli niedoskonałości geometrycznych. W praktyce oznacza to obciążenie  konstrukcji równoważnymi, fikcyjnymi siłami poziomymi, stowarzyszonymi z obciążeniami grawitacyjnymi (pionowymi). Siły przekrojowe uzyskane z rozwiązania II rzędu idealnego geometrycznie systemu konstrukcyjnego obciążonego łącznie siłami zewnętrznymi i siłami imperfekcji zawierają w sobie siły drugiego rzędu (wyboczeniowe) i w rezultacie nie jest wymagana analiza wydzielonych elementów ściskanych wg [1], kl.5.8.3. W konsekwencji problem sprowadza się w istocie do analizy przekrojów, a nie elementów.

Specyfika konstrukcji żelbetowych w istocie sprowadza się do zdefiniowania metody wyznaczenia sztywności pręta betonowo-stalowego. Standardowo stosujemy metodę nominalnej sztywności, umożliwiającą analizę sił przekrojowych i stateczności statycznie niewyznaczalnych konstrukcji żelbetowych procedurami przewidzianymi dla konstrukcji wykonanych z materiałów jednorodnych (np stali).

Kształtowanie słupów żelbetowych

Słupy żelbetowe mają najczęściej przekrój prostokątny (rys.1) lub okrągły, a w przypadkach szczególnych (np w narożach) stosuje się słupy o innym przekroju (rys. 3d). Jako słupy uważa się elementy pionowe, których stosunek boków nie jest większy niż 4 (h/b ≤4 ). Elementy o stosunku boków większych niż (h/b >4 )  uznaje się za ścianę. Ta kwalifikacja jest istotna ze względów ochrony pożarowej zgodnie z normą [2].

Ze względu na dokładność metody analizy statycznej przyjmuje się, że wysokość słupa H, traktowanego jako pręt  powinna być większa niż 3-krotny większy wymiar  przekroju poprzecznego (H/h>3). Krótsze słupy należy analizować jak tarcze.

Zaleca się, aby smukłość słupa żelbetowego, wyznaczona z klasycznej zależności  $\lambda=\cfrac{l_0}{i_c} $  nie była zbyt duża:

$$\begin{equation} \lambda \le 100 \label{1} \end{equation} $$

Długość obliczeniowa (wyboczeniowa) $l_0$  dla słupa przegubowo-przegubowego wynosi $l_0=H$. W obliczeniach wstępnych zwykle przyjmuje się  długość obliczeniową jako wysokość słupa w świetle stropów (czyli $l_0 \approx H$).

Promień bezwładności przekroju betonowego $i_c = \sqrt{ I_c/A_c}$ jest obliczany dla przekroju niezarysowanego betonu bez  uwzględnienia zbrojenia.

W przypadku przekroju prostokątnego o wymiarach (hxb) promień bezwładności wynosi  $i_c=\sqrt{ (b \cdot h^3/12)/(b \cdot h)}= h/  \sqrt{12}$  i smukłość pręta wynosi

$$\begin{equation} \lambda=\cfrac{\sqrt{12} l_0}{h}= 3,464 \cfrac{l_0}{h} \label {2}\end{equation}$$

a ograniczenie ($\ref{2}$) sprowadza się do

$$\begin{equation} \lambda_c= \cfrac{l_0}{h} \le 30 \label{3} \end{equation} $$

Warunki $(\ref{2})$ lub ($\ref{3}$) są tylko informacyjne (nie obowiązujące) i mają  na celu ograniczenia nadmiernego wpływu niestateczności słupa na jego wymiary w przypadkach nie poddanych analizie stateczności ( dla konstrukcji spełniającyh ( $ \ref{12}$)). We współczesnych konstrukcjach często potrzebne jest zastosowanie słupów o większej smukłości słupów, ale wówczas należy przeprowadzić dokładną analizę stateczności, ale też rozważyć, czy bardziej ekonomicznym rozwiązaniem nie będzie zastosowanie słupa zespolonego.

W każdym przypadku należy sprawdzić wymiary oraz  smukłość słupa żelbetowego z warunku ochrony pożarowej zgodnie z [2].

Zbrojenie podłużne

Na rys.1 zilustrowano podstawowe zasady kształtowania zbrojenia w przekroju poprzecznym słupa. Średnica zbrojenia podłużnego nie powinna być mniejsza niż 8 mm (w Polsce 6 mm). W słupach o przekroju wielokątnym w każdym narożu należy umieścić co najmniej jeden pręt. W słupach o przekroju kołowym należy stosować co najmniej 4 pręty.

Suma przekroju zbrojenia podłużnego $A_s$ powinna spełniać wymagania:

$$\begin{equation} A_s \ge 0,002 A_c  \text { oraz } \ge \cfrac{0,10 N_{Ed}}{f_y}  \text { oraz } \le  0,04 A_c \label{4} \end{equation}$$

gdzie $A_c$ – pole betonu.

Wymóg maksymalnego zbrojenia 4% może być dwukrotnie przekroczony na odcinkach, w których pręty są łączone na zakład, a także wówczas, gdy w drodze badań zostanie wykazane, że nie wpłynie to negatywnie na właściwości konstrukcyjne betonu i jego współpracę ze stalą (osiąga się pełną nośność przekroju).

Rys.1 Kształtowanie przekroju słupa [3], rys.22.21

Rys.2. Rozmieszczanie strzemion w słupie (opis w tekście) [4],  rys. 13.98

Zbrojenie poprzeczne (strzemiona)

Wszystkie ściskane pręty podłużne powinny być objęte przez strzemiona, tak by każdy pręt umieszczony w narożu był trzymany w dwóch kierunkach.  W strefie ściskanej odległości między dowolnym prętem, a prętem trzymanym nie powinna przekraczać 150 mm.

Długości zakładów wyznacza się na  zasadach ogólnych przedstawionych w artykule „Belki żelbetowe” i  oblicza za pomocą zamieszczonego tam arkusza kalkulacyjnego.

Średnica zbrojenia poprzecznego ( strzemion, siatek, spiral) w słupach okrągłych nie powinna być mniejsza od 6 mm i 0,25 największej średnicy zbrojenia podłużnego.

Podstawowy rozstaw strzemion $s_1$ (rys.2) nie powinien przekraczać

• 400 mm
• długości mniejszego boku słupa
• 20 średnic zbrojenia podłużnego.

Podstawowy rozstaw strzemion  $s_1$ należy zmniejszyć do $s_2=0,6 s_1$ w przypadkach:

• powyżej i poniżej belki lub płyty na odcinkach o długości $l_2=h$ (większego boku słupa)
• na odcinkach połączenia na zakład prętów o średnicy większej niż 14 mm. Wówczas wymaga się przynajmniej trzech strzemion rozmieszczonych równomiernie na długości zakładu.

W przypadku, gdy łączone odcinki słupa nad i pod belka (płytą) nie różnią się znacznie wymiarami, to pręty podłużne można złamać w sposób pokazany na rys 2, ale kąt załamania $\alpha$ powinien spełniać warunek $tg \alpha  \le  1/6$. Ponadto w przypadku załamania prętów podłużnych należy zastosować dodatkowe strzemiona przejmujące siłę wypadkową z prętów załamanych. Siła to wynosi $H_{Ed}=N_{Ed} \cdot tg \alpha$, czyli średnica dodatkowych strzemion $Ø_s \ge tg \alpha \cdot Ø$, gdzie Ø jest średnicą zbrojenia głównego.

Jeżeli łączone odcinki słupa znacznie różnią się wymiarami, to nie należy wyginać prętów połączeniu, lecz zastosować oddzielne pręty łączące, połączone na zakład z prętami podłużnymi  lub zastosować połączenia spawane , bądź śrubowe.

Strzemiona pojedyncze (rys. 2) stosuje się tylko dla słupów o wymiarze przekroju nie przekraczającym 400 mm. W innych przypadkach stosuje się strzemiona wielokrotne (przykład rys. 3 b-d)

Rys.3. Szczególne przypadki zbrojenia przekroju słupa: a) słup z hakami  l_b,net, b) słup- ściana, c) podwójne strzemiona, d) słup narożny, 1– pręty montażowe (Starosolski, W. (2013). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych, Tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN)),  rys. 13.96-97

W przypadku gdy w narożu słupa znajdują się więcej niż trzy pręty podłużne, to należy stosować strzemiona zamknięte z hakami prostopadłymi $l_{b,net}$ (rys.3a).

Stopy słupów żelbetowych

Stosowane rodzaje stóp słupów pokazano na rys. 4

Rys.4: Stopy fundamentowe: a) monolityczna, b) kielichioowa w stopie, c) kielichowa w płycie, c) na łączniki mechaniczne [4], rys. 2.93

Słupy żelbetowe kotwione w fundamencie monolitycznie powinny być zakotwione na długość wynikającą z ogólnych warunków, przy czym należy zwrócić uwagę, że długość zakotwienia liczy się od środka fundamentu liczonego pomiędzy zbrojeniem górnym i dolnym. Jeśli długość zakotwienia L jest zbyt mała, to wówczas pręty należy odgiąć pod kątem 900, tak by łączna długość zakotwienia była wystarczająca (rys.5).

Rys.5. Detal zakotwienia monolitycznego słupa

W praktyce chętnie stosuje się zakotwienie słupa w stopie kielichowej, w sposób pokazany na rys. 4b i c. Przykład rysunku warsztatowego stopy kielichowej pokazano na rys. 6. Należy zwrócić uwagę, że rysunek został wykonany zgodnie z danymi zasadami rysunkowi – współczesne zasady opisane w artykule Standard rysunku warsztatowego konstrukcji żelbetowej przewidują jako zasadę stosowanie kodów kształtów oraz nie umieszczanie „drabinek” z numerami prętów i umieszczanie tych informacji w systemie linii wymiarowych.

Rys.6 . Stopa kielichowa. Rysunek warsztatowy [5], rys. 10.3

Ze względów inżynierskich najciekawsze są stopy na łączniki mechaniczne z zastosowaniem śrub fundamentowych i rektyfikujących, które najczęściej są stosowane w konstrukcjach prefabrykowanych. Zwykle są to rozwiązania patentowe, np firmy Halfen- system HCC, Peikko- system HPKM (rys. 7.) i  inne.

Rys. 7. detale systemu Peikko HPKM [ wybrano z folderu reklamowego PEIKKO]

Głowice słupów żelbetowych

Głowice słupów żelbetowych są kształtowane w zależności od przebicia przez ścinanie płyty żelbetowej, co omówiono w artykule Przebicie płyty żelbetowej.

Krótkie wsporniki słupów

Krótkie wsporniki słupów żelbetowych należy analizować jako tarcze ( w płaskim stanie naprężenia, a nie wg teorii belkowej) w sposób pokazany w artykule: (…) Krótki wspornik.  Jako uproszczenie można stosować teorię ST (metodę kratownicową) w sposób pokazany w artykule Model krótkiego wspornika i przykłady zbrojenia.

Na rys. 8a pokazano przykłady oparcia belki podciętym słupie żelbetowym , a na rys. 8b  na krótkim wsporniku słupa.

Rys. 8.  Oparcie belki: a) na podciętym slupie, b) na krótkim wsporniku.

Analiza wytrzymałościowa słupów

Zasady ogólne

W ogólności konstrukcje żelbetowe są mniej wrażliwe na efekty II rzędu od smukłych konstrukcji stalowych, ale kryteria normowe [1], kl. 5.8.2 (6) pomijania efektów drugiego rzędu w konstrukcjach żelbetowych są nieostre i w istocie odwołują się same do siebie. Mianowicie w celu pominięcia efektów II rzędu należy znać stopień wpływu tych efektów. Jeśli stopień wpływu jest mniejszy od 10% to można je pomijać. Współcześnie często konstruuje się nietypowe konstrukcje dla których nie można bez obliczeń stwierdzić, że efekty II rzędu są pomijalnie małe. Dlatego bezpiecznie jest przeprowadzić analizę II rzędu w każdym przypadku, tym bardziej, że stosowanie współczesnych programów obliczeniowych uczyniło rozwiązanie tego zadania procedurą standardową i szybką.

Podobnie anachroniczne są już uproszczone metody oceny efektów II rzędu podane w [1], kl.5.8.3, a w tym:

• kryterium smukłości elementów wydzielonych [1], kl. 5.8.3.1 zastosowane nie tylko do imperfekcji łukowych, ale również do systemowych,
• oszacowanie długości efektywnych elementów wydzielonych [1], kl. 5.8.3.2 z rys. 5.7. i wzorów uproszczonych,
• ocena globalnych efektów drugiego rzędu w budynkach  [1], ,kl. 5.8.3.3.

Do współczesnych zastosowań wartościowe są natomiast zasady sformułowane do metod obliczeń konstrukcji żelbetowych  [1], kl. 5.8.5, a w szczególności metoda nominalnej sztywności, opisana w ustępie Nominalna sztywność przekroju żelbetowego., a także zasady uwzględnienia pełzania [1], kl. 5.8.4,

Metoda imperfekcyjna w konstrukcjach żelbetowych

Układy konstrukcyjne i ich elementy są obarczone odchyleniami od kształtu idealnego, zwanymi imperfekcjami i nie da się tego wyeliminować.
Imperfekcja jest wymuszeniem geometrycznym i  zasadniczo powinna być uwzględniona poprzez zmianę  geometrii konstrukcji z modelu idealnego  na system przechylony z wygiętymi elementami. Okazuje się, że żmudną zmianę systemu geometrycznego można zastąpić przez obciążenie konstrukcji idealnej przez siły równoważne od imperfekcji i przeprowadzeniu obliczeń z analizą drugiego rzędu.  Dlatego często będziemy mówili o obciążeniu konstrukcji siłami imperfekcji.

Po przeprowadzeniu obliczeń metodą imperfekcyjną nie ma potrzeby analizy wydzielonych elementów konstrukcyjnych – wystarczy zwymiarować tylko krytyczne przekroje konstrukcji.

Możemy zapomnieć więc o długościach wyboczeniowych (efektywnych), a w przypadku stosowania obliczeń z uogólnionymi elementami skończonymi (o siedmiu stopniach swobody w każdym węźle – z paczeniem jako 7-mym stopniem) możemy zapomnieć również o zwichrzeniu smukłych (wysokich) belek.

Szeroki opis metody imperfekcyjnej projektowania konstrukcji budowlanych, w rym konstrukcji żelbetowych podano w podręczniku  „Metoda imperfekcyjna projektowania konstrukcji”. Poniżej w skrócie podano wybrane informacje, specyficzne dla konstrukcji żelbetowych. W celu rozszerzenia wiedzy odsyłamy do podręcznika.

Imperfekcje geometryczne i równoważne siły imperfekcji

Imperfekcje (niedoskonałości) konstrukcji żelbetowej, stalowej, aluminiowej czy zespolonej dzieli się na (rys. 9) :

• globalne – układu   (przechyłowe)
• lokalne (elementu – łukowe, a w konstrukcjach żelbetowych również niezamierzone mimośrody).

Miarą imperfekcji globalnych jest parametr imperfekcji $\theta_i$, który reprezentuje kąt przechyłu systemu. Na rys. 9a kształt idealny konstrukcji oznaczono linia przerywaną. Po jej przechyleniu o niezmierzony kąta $\theta_i$ konstrukcja przyjmie kształt oznaczony linią ciągłą.

Parametr imperfekcji wyznacza się z zależności [1]:

$$\begin{equation} \theta_i=\theta_0 \cdot \alpha_h \cdot \alpha_m \label {5} \end{equation}$$

gdzie:
$\theta_0=1/200$ podstawowa (bazowa) wartość parametru imperfekcji,
$\alpha_h= 2/ \sqrt{h}$ przy czym $( 2/3 \le \alpha_h \le 1)$ – współczynnik redukcyjny ze względu na wysokość (długość) $h$ w m elementu lub konstrukcji,
$alpha_m=\sqrt{1/2\cdot(1+1/m)}$ – współczynnik redukcyjne ze względu na  liczbę elementów  „m” uczestniczących w przenoszeniu obciążenia imperfekcji (np. całkowitą liczbę słupów na kondygnacji)

Rys. 9: a) imperfekcje systemowe, b) momenty II rzędu, c) imperfekcje łukowe

W konstrukcjach żelbetowych stosuje się metodę imperfekcyjną z ideą przedstawioną na rys. 9, w której

a) imperfekcje układu $\theta_i$ (rys. 9a) zastępuje się równoważnymi, fikcyjnymi siłami imperfekcji $H_i$

$$\begin{equation} H_i= \theta_i \cdot V  \label {6} \end{equation}$$

gdzie V jest symbolem obciążenia grawitacyjnego. Równoważne siły imperfekcji przykłada się do konstrukcji jako dodatkowe obciążenia i dla uzupełnionych wymuszeń przeprowadza się analizę II rzędu.

W praktyce polega to na stowarzyszeniu z każdym obciążeniem pionowym (skupionym lub rozłożonym) sił poziomych w dwóch kierunkach, to znaczy wektor obciążenia każdego punktu konstrukcji ma trzy składowe:  $ [H_x,H_y,V_z,]= V \cdot[ \theta_i ; \quad \theta_i ; \quad 1]$

b) Konstrukcję obciążoną jak w pkt a) poddaje się analizie drugiego rzędu. W rezultacie w każdym punkcie konstrukcji uzyskuje się siły przekrojowe drugiego rzędu: momenty zginające $M^{II}$ oraz siły osiowe $N^{II}$

c) imperfekcje łukowe $e_i = \theta_i l_0/2$  (rys. 9c) uwzględnia się jak dla elementu wydzielonego o długości efektywnej $l_0$ i zastępuje fikcyjnymi siłami imperfekcji

$$\begin{equation} q_i= \cfrac{8 N e_i}{l_o^2} = \cfrac{4N \theta_i}{l_0}\label {7} \end{equation}$$

W normie [1] imperfekcje łukowe  zastąpiono fikcyjnymi siłami skupionymi w środku długości $l_0$, które można otrzymać poprzez porównanie momentu zginającego w środku elementu wywołanego obciążeniem skupionym $M_H=H_i l_0/4$ z momentem wywołanym obciążeniem rozłożonym $M_q=q l_o^2/8$ czyli

$$\begin{equation} H_i= \cfrac{q_i \cdot l_o}{2}= 2 \theta_i N\label {8} \end{equation}$$

Powyższe oszacowania dotyczą elementów w montowanych w system w tak zwanym układzie usztywnionym.

W przypadku elementów nieusztywnionych, np wspornika analiza będzie odmienna i prowadzi do wniosku, że siła imperfekcji systemowych $(\ref {5})$ uwzględnia już imperfekcję łukową i dalsze obciążanie takich elementów nie jest potrzebne.

Oszacowanie długości efektywnej (wyboczeniowej) i smukłości pręta

Nie powinno się używać  oszacowań wynikających z rysunku 5.7 EC2, ani też z formuł (5.15) lub (5.16) tej normy, ze względu na ich zawodność w większości zastosowań praktycznych.  Wyłącznie w przypadku idealnych warunków brzegowych (przegubu lub utwierdzenia) długości wyboczeniowe są zgodne z podanymi na rys. 5.7 EC2. Problem w tym, że nigdy warunki brzegowe nie  są idealne. Nawet w przypadku pręta przegubowo-przegubowego $l_{0}<L$, a w przypadku wspornika $l_{0}>2L$.

Rozsądne oszacowanie długości efektywnej i smukłości pręta w systemie możliwe będzie dopiero po oszacowaniu mnożnika krytycznego $\Lambda_{cr} =\alpha_{cr}$, czyli takiego mnożnika konfiguracji obciążenia P,  że pod obciążeniem $\Lambda_{cr}$P  konstrukcja, jej część lub element traci stateczność.  W krytycznym stanie w elemencie (e) działa  krytyczna siła osiowa:

$$\begin{equation} N_B= \Lambda_{cr} \cdot N_{(e)} \label {10} \end{equation}$$

gdzie $N_{(e}}$ jest siła osiową wywołaną obciążeniem P.

Teraz z formuły Eulera [1], kl. (5.17)  można wyznaczyć długość efektywną (wyboczeniową) :

$$\begin{equation} l_0=\pi \sqrt{\cfrac{EI}{N_B}}\label {9} \end{equation}$$

Kryterium uwzględniania imperfekcji elementu (łukowych)

W konstrukcjach żelbetowych najczęściej mamy do czynienia z krępymi elementami i zgodnie z kryterium podanym niżej imperfekcji łukowych nie musimy uwzględniać.

Stosownie do kryterium normowego [1] – nie są wrażliwe na efekty II rzędu elementy ściskane o smukłości

$$\begin{equation} \lambda \le \lambda_{lim}\label {12} \end{equation}$$

Graniczną wartość smukłości określa się z zależności

$$\begin{equation} \lambda_{lim}=\cfrac{20 \cdot A \cdot B \cdot C}{\sqrt{n}} \label {13} \end{equation}$$

Współczynnik $ A=\cfrac{2}{1+0,2 \varphi_{ef}}$  – dla nieznanego $\varphi_{ef}$ można przyjmować o wartości A=0,7

Współczynnik $B=\sqrt{1+2 \omega}$ – dla nieznanej intensywności zbrojenia $\omega= \cfrac {A_s f_y}{A_c f_{cd}}$ można przyjmować B=1,1

Współczynnik $C=1,7 – r_m$,
gdzie $r_m=M_{01}/M_{02}$ – stosunku momentów pierwszego rzędu na końcach elementu. Przy wyznaczania stosunku momentów na końcu „01” i „02” elementu, należy je uporządkować tak, by $|M_{01}| \ge |M_{02}|$.
dla nieznanego  $r_m$ można przyjmować  C=0,7.

Sposób uwzględnienia imperfekcji łukowych

Do elementów konstrukcji żelbetowej, których smukłość nie spełnia warunku $( \ref {12})$ należy przyłożyć obciążenia międzywęzłowe zgodnie z formułą $(\ref{7})$ lub  $(\ref{8})$.

Nominalna i efektywna sztywność przekroju żelbetowego

Idea metody nominalnej sztywności polega na tym, by oszacować sztywność przekroju żelbetowego tak by w obliczeniach statycznych traktować go jako zintegrowaną sztywność przekroju jednorodnego z uwzględnieniem zarysowania oraz pełzania betonu.

Sztywność EI przekroju słupa żelbetowego zgodnie z [1] można oszacować z formuły

$$\begin{equation} EI =K_c E_{cd} I_c +K_s E_s I_s \label {14} \end{equation}$$

$I_c$  jest momentem bezwładności przekroju betonu,
$E_s$ jest obliczeniową wartością modułu sprężystości zbrojenia
$l_s$ jest momentem bezwładności pola przekroju zbrojenia względem środka ciężkości powierzchni betonu,
$K_c$ jest współczynnikiem zależnym od wpływów zarysowania, pełzania itd. betonu
$K_s$ jest współczynnikiem zależnym od udziału zbrojenia.

Obliczeniowy modułu sprężystości betonu wynosi

$$\begin{equation} E_{cd}=\cfrac {E_{c,m}} {\gamma_{cE}} \label {15} \end{equation}$$

gdzie współczynnik materiałowy $\gamma_{cE}$ zaleca się przyjmować o wartości 1,2, ale często przyjmuje się $\gamma_{cE}=\gamma_c=1,4$

Jeżeli stopień zbrojenia przekroju $\rho=A_s/A_c >0,002$, można stosować następujące współczynniki:

$$\begin{equation} K_s=1,0 \label {16} \end{equation}$$

$$\begin{equation} K_c= \cfrac{k_1 k_2}{1+\varphi_{ef}} \label {17} \end{equation}$$

Warunek stopnia zbrojenia  dotyczy w zasadzie każdego przekroju żelbetowego.

W przypadku mocno zbrojonego przekroju $\rho>$1% i tylko jako wstępne przybliżenie można stosować uproszczoną formułę $K_c=0,3/(1+0,5 \varphi_{ef})$.

Współczynnik $k_1$ zależy od klasy wytrzymałości betonu:

$$\begin{equation} k_1= \sqrt{ \cfrac{f_{ck}} {20}} \label {18} \end{equation}$$

Współczynnik $k_2$ zależy od względnej siły podłużnej $n=N_{Ed}/(A_c f_{cd})$ i smukłości słupa $\lambda$:

$$\begin{equation} k_2= min \{ n \cdot \cfrac{\lambda}{170} \, ; \, 0,2 \} \label {19} \end{equation}$$

Jeśli smukłość nie jest określona, to można przyjąć $k_2=min \{0,3 n \, ;\, 0,2 \}$.

Efektywny współczynnik pełzania $\varphi_{ef}$ oblicza się z wyrażenia:

$$\begin{equation} \varphi_{ef}= \varphi (\infty ;t_0) \cdot k_{0,qp} \label {20} \end{equation}$$

gdzie $k_{0,qp}=\cfrac{M_{0qp}} {M_{0Ed}}$ jest udziałem obciążeń prawie stałych w całkowitych obciążeniach, mierzonych momentami zginającymi:

$M_{0qp}$ jest momentem zginającym pierwszego rzędu wywołanym prawie stałą kombinacją obciążeń (SLS),

$M_{0 Ed}$ jest momentem zginającym pierwszego rzędu wywołanym obliczeniową kombinacją obciążeń (ULS).

Długotrwały współczynnik pełzania $\varphi (\infty ;t_0)$ można oszacować na podstawie tab.1 artykułu Belki żelbetowe (…) i współczynników korekcyjnych wg tab. 8 w tym artykule.

W przypadku jednoparametrowego obciążenia konstrukcji stosunek momentów zginających jest stosunkiem obciążeń prawie stałych (współczynnik redukcyjny $\psi_2$) i kombinacyjnych (współczynnik redukcyjny $\psi_0$). Dla często występującego w konstrukcjach żelbetowych stosunku obciążeń stałych (ciężaru własnego) i zmiennych 60% do 40% i dla struktury obciążeń zmiennych: 70% użytkowe (mieszkalne), 15% śnieg, 15% wiatr  mamy oszacowania:

$M_{0,qp} \sim 1,0 \cdot 0,6 + 1,0 \cdot 0,4 \cdot ( 0,3 \cdot 0,7 + 0,2 \cdot 0,15 +0,0 \cdot 0,15= 0,696$
$M_{0,Edp} \sim 1,35 \cdot 0,6+ 1,5 \cdot 0,4 \cdot ( 1,0 \cdot 0,7 + 0,5 \cdot 0,15 +0,6 \cdot 0,15= 1,329 $

$$\begin{equation}  k_{0,qp} \approx \cfrac {0,696}{1,329}=0,52 \approx 0,6 \label {21} \end{equation}$$

Często stosowanym oszacowaniem współczynnika pełzania jest  $\varphi (\infty, t_0)  \approx 2,5$. Stąd $\varphi_{ef}=2,5 \cdot 0,6= 1,5$.  Wartość ta może być stosowana w obliczeniach wstępnych i wymaga sprawdzenia dla każdego konkretnego przypadku.
Dla często stosowanego betonu C30/37 : $k_1=\sqrt{30/20}=1,22$  i dla $k_2=0,2$, mamy:

$$\begin{equation} K_c= \cfrac{1,22 \cdot 0,2}{1+1,5}=0,1 \label {22} \end{equation}$$

W konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych należy uwzględniać niekorzystne wpływy zarysowania elementów przylegających. Dla tych elementów stosowanie powyższych wyrażeń na ogół nie jest właściwe. Częściowe zarysowanie i współpracę betonu na odcinkach między rysami można uwzględniać w sposób stosowany przy ob liczaniu gieć, alejako uproszczenie zwykle przyjmuje, że przekroje są w pełni zarysowane, a sztywnośćnależy oprzeć na efektywnym module sprężystości betonu stosując wzór:

$$\begin{equation} E_{cd,ef}=\cfrac{E_{cd}}{1+\varphi_{ef}}\label {23} \end{equation}$$
w którym:
$E_{cd}$ jest obliczeniową wartością modułu sprężystości $(\ref {15})$,
$\varphi_{ef}$ jest efektywnym współczynnikiem pełzania $( \ref {20} )$.

Sztywność nominalną  ($\ref{14}$) w literaturze zagranicznej często  nazywa się sztywnością efektywną $K_{eff}$

$$\begin{equation} K_{eff} = EI_{eff}= k \cdot EI_c \label {24} \end{equation}$$

gdzie współczynnik redukcyjny $k=\cfrac{I_{eff}}{I_c}$ zależy od obciążenia słupa (względnej siły osiowej $n=\tfrac{N_{Ed}} {A_c \cdot f_{cd}}$ oraz stopnia zbrojenia $\rho=\tfrac{A_s}{A_c}$ co przedstawiono na rys. 10. Sztywność słupa wzrasta wraz ze wzrostem obciążenia oraz wraz ze wzrostem stopnia zbrojenia.

Rys. 10 Współczynnik redukcji sztywności słupa $k$ w zależności od obciążenia $n$ oraz stopnia zbrojenia $\rho$

Z rys. 10 wynika, że oszacowanie ($\ref{22}$) jest zbyt konserwatywne. Dla optymalnego zbrojenia słupa  ( stopnia zbrojenia $\rho=1$%) i obciążenia $n=0,25$ redukcja sztywności powinna wynosić $K_{eff}=0,42$.

Obliczanie zbrojenia podłużnego przekroju słupa

Na rys. 10 pokazano model przekroju betonowego dla dwóch przypadków wytężenia:

• przypadek CT – duży mimośród  (górne zbrojenie ściskane, dolne rozciągane), gdzie wysokość strefy ściskanej x ≤h,
• przypadek CC  -mały mimośród (oba zbrojenia ściskane), gdzie x>h

Rys.10 Model przekroju żelbetowego: x<h przyadek CT, x>h przypadek CC

Przekroje ściskane i zginane z dużym mimośrodem (przypadek CT) , czyli z przeważającym zginaniem są projektowane jak przekroje belek zgodnie z zasadami podanymi a artykule Belki żelbetowe. i nie są przedmiotem niniejszego artykułu.  Przytoczymy najważniejsze wyniki analizy przypadku CT.  Wypadkowa  bryły naprężeń w betonie dla przypadku CT , ale również CC, ale liczona wraz z bryłą „pozorną” wynosi:

$$\begin{equation}F^0_c= \dfrac{18}{23}\cdot b \cdot x \cdot f_{cd} \label {25} \end{equation}$$

a moment tej bryły względem środka przekroju betonowego (na ramieniu $d_0=h/2$) wynosi:

$$\begin{equation}M^0_{c,0}= F^0_c \cdot \left (d_0- \dfrac {693} {1666} \cdot  x \right)  \label {26} \end{equation}$$

Przekroje z małym mimośrodem rodzaju CC (oba zbrojenia ściskane), charakteryzują się tym, że wysokość strefy ściskanej x>h.  W tym przypadku  pod przekrojem (na odcinku x do h) naprężenia faktycznie nie działają, a były wliczone w wyrażenia dla przypadku x<h,.  Z tego powodu wyrażenia $(\ref{25})$ i $(\ref {26})$ należy skorygować, jak następuje:

$$\begin{equation}F_c= F^0_c -F_N \cdot(21+20 \overline x) \label{27}\end{equation}$$

$$\begin{equation}M_{c,0}=M^0_{c,0} + F_N \cdot h \cdot  ( 7+8 \overline x+9 \overline x^2) \label{28}\end{equation}$$

gdzie: $\overline x=x/h$ ,  $ F_N = \dfrac{10}{192} \dfrac{(1-\overline x)^2}{\overline x^2} \cdot b \cdot h\cdot f_{cd}$.

Wyprowadzenie powyższych wzorów zamieszczono w artykule  Krzywe interakcji M-N żelbetu.

Przykłady rachunkowe

Przykład 1 [ Dobór zbrojenia w przypadku CC]

[6], Przykład 13.3

Przekrój  600×400 z betonu C30/37-B500 jest zbrojony symetrycznie $A_{sl}=A_{su}=$ 7Ø28  ( przekrój ok 43 cm²)
i obciążony siłą ściskającą $N_{Ed}=7000 \, kN$.
Otulenie osiowe zbrojenia wynosi a=55 mm.

Obliczyć nośność przekroju mierzoną momentem zginającym $M_{y}.

Wynik przykładu oryginalnego

$M_{Rdy}=241,2 \, kNm$

Zastosowanie arkusza CHP-Ż, w 1.3

Na rys. 11 pokazano wyniki zastosowania arkusza. Przypadek jest CC, bo x=3392 mm > h=600 mm. Wykorzystanie przekroju w 100% uzyskano dla $M_y=329,5 \, kN$, to znaczy 329,5/241,2=1,36 razy więcej od klasycznych obliczeń [6], Przykład 13.3.

Rys. 11. Ekran arkusza do przykładu 4.1 (kliknij obraz, aby pobrać)

Przykład 2 [Sztywność nominalna przekroju słupa]

Dla wspornikowego słupa, pokazanego na rys. 12 obliczyć sztywność nominalną przekroju względem osi większej sztywności y-y (oś pionowa przekroju A-A).

Rys.12 Słup do przykładu 2 (Knauff, M., Golubińska, A., & Kryziak, P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z  przykładami obliczeń , Wydanie drugie., PWN)), rys.13.12

Dane podstawowe

Przekrój słupa ma wymiary 600×300 (rys.12).  Słup wykonano  z betonu C25/30: $f_{cd}=25/1,4=17,86 \, MPa$ oraz zbrojono stalą B500 $f_y=500/1,15=435 \, MPa$. Zbrojenie symetryczne słupa $A{sl}= A{su}=8,84 \, cm^2$  (5∅15 górą i dołem)- pręt ∅15 tylko teoretyczny, w celu uzyskania zgodności przekroju zbrojenia z przykładem oryginalnym.
Słup jest obciążony w głowicy siłą $V_{Ed}= 1768 \, kN$ na mimośrodzie zamierzonym (bez imperfekcji) $e=16 \, cm$

Moduł Younga betonu:
sieczny  $E_{cm}= 31,5 \, GPa$
obliczeniowy  $E_{cd}=31,5/1,4=22,5 \, GPa$, (przyjęto $\gamma_{cE}=1,4$ jak w programie Consteel)

Siły przekrojowe i współczynnik udziału prawie-stały

Obliczeniowa siła osiowa w słupie (bez ciężaru własnego) $N_{Ed}=V_{Ed}=1768 \, kN$; o
obliczeniowy moment zginający pierwszego rzędu $M_{Ed}=1768 \cdot 0,16=283 \, kNm$,
Z obliczeń statycznych wynika, że maksymalny moment zginający do kombinacji prawie stałej wynosi  $M_{Ed}=190,4 \, kNm$,

Współczynnik udziału obciążeń prawie stałych $k_{0,qp}=190,4/283=0,67$.
Nośność przekroju betonowego

Względna siła osiowa $n=\cfrac{1768}{30\cdot 60 \cdot 17,86\cdot 10^{-1}}=0,555$.

Współczynnik pełzania

Z tab.1 artykułu Belki żelbetowe (…) dla betonu C25/30 bazowy współczynnik pełzania (dla $t_0=28$ dni oraz  miarodajnego wymiaru $h_0=250 mm$) wynosi

$\varphi_0=2,56$.

Z tab. 8 w artykule jw. odczytano współczynniki korekcyjne:

• dla miarodajnego wymiaru słupa $h_0=(600\cdot 300)/(2\cdot 600+300)=120 \, mm$  z interpolacji otrzymujemy $n_h=1,15-(1,15-1,04)/(200-100)\cdot (120-100)=1,13$. (obwód słupa poddany wysychaniu obejmuje dwa boki dłuższe i jeden krótszy – od tyłu do słupa dochodzi ściana i zapobiega wysychaniu).
• dla  $t_0=28 dni$ mamy $n_t=1,0$

Ostatecznie  współczynnik pełzania trwały  $\varphi( \infty, t_0)= 2,56\cdot 1,0 \cdot 1,13=2,89$.

Współczynnik pełzania efektywny $(\ref {20}) \to $ $ \varphi_{ef}= 2, 89 \cdot 0,67=1,94$.

Smukłość słupa

Długość wyboczeniowa (efektywna) słupa w czystym przypadku wspornika idealnie utwierdzonego: $l_0=2 \cdot 5,0=10,0 \, m$

Smukłość słupa  $(\ref {2}) \to $ $\lambda=3,464 \cdot 10,0/0,6=57,7$

Stopień i intensywność zbrojenia

Pole przekroju betonu $A_c=60\cdot 30=1800 \, cm^2$

Pole przekroju stali $A_s=5,84+5,84=11,68 \, cm^2$.

Stopień zbrojenia $\rho=11,68/1800=0,649 > 0,2$.%.

Intensywność zbrojenia  $\omega= \cfrac {11,68 \cdot  435}{1800 \cdot 17,86}=0,158$

Smukłość i warunek graniczny $(\ref{13})$

$ A=\cfrac{2}{1+0,2 \cdot 1,94}=0,720$,

$B=\sqrt{1+2 \cdot 0,158}=1,147$,

Moment I rzędu jest stały na wysokości słupa, więc $r_m=1$,

$C=1,7 -1,0=0,7$,

$(\ref{13}) \to$  $\cfrac{20 \cdot 0,720 \cdot 1,147 \cdot 0,7}{\sqrt{0,555}}=15,5 < 57,7 \to$ słup jest wrażliwy na efekty II rzędu

Współczynniki udziału betonu i stali

Ponieważ stopień zbrojenia 0,00649 > 0,002, więc możemy stosować wzory $(\ref{18})$ oraz $(\ref{19})$:

$k_1= \sqrt{ \cfrac{25}{20} }= 1,12$,

$k_2= min \{ 0,555 \cfrac{57,7}{170} \, ; \, 0,2 \} =0,187$.

Współczynnik udziału betonu $K_c= \cfrac {1,12 \cdot 0,187}{1+1,94}=0,071$

Współczynnik udziału stali  $ K_s=1,0 $,

Sztywność nominalna  przekroju żelbetowego

Moment bezwładności betonu $I_c=\cfrac{30\cdot 60^3}{13}=540000 \, cm^4$,

Moment bezwładności stali $I_s= 2\cdot 8,84 \cdot (60/2-5)^2= 11050\, cm^4$,

Sztywność nominalna betonu $EI_c=540000\cdot 10^{-8}  \cdot 22,5\cdot 10^6=121500 \, kN m^2$,

Sztywność nominalna stali $EI_s=11050 \cdot 10^{-8}  \cdot 200 \cdot 10^6=22100 \, kN m^2$,

Sztywność nominalna  przekroju $(\ref{14})$  $EI =0,071 \cdot 121500+1,0\cdot 22100=8627+22100=30727 \, kN m^2$,

Teoretyczna siła krytyczna ze wzoru Eulera

$N_B=N_{cr}= \pi^2 \cfrac{30727}{10,0^2}=3033 \, kN > 1768 \, kN $.

Przykład 3 [Smukłość słupa w układzie ramowym – oszacowanie numeryczne]

Dokonano oszacowania długości wyboczeniowej (efektywnej)  słupa z przykładu 1 stanowiącego element ramy portalowej, pokazanej na rys. 13.  Słupy i rygiel ramy modelowano prętem betonowym zbrojonym jak w przykładzie 2 (5∅15 górą i dołem). Rama jest obciążona siłą pionową V=1768 kN na mimośrodzie 160 mm w stosunku do osi słupów. Ciężar własny rygla i słupa pominięto,

Słupy mają wysokość 5m, a rygiel rozpiętość 9 m (w osiach słupów). Oba słupy w pełni utwierdzono w fundamencie, a rygiel oparty jest na słupie poprzez podcięcie, w sposób pokazany na rys. 14

Rys.14 Węzeł rygiel-słup typu P

Najpierw przeprowadzono analizę wyboczeniową systemu z wyznaczaniem sztywności nominalnej przekroju żelbetowego dla  dla $K_c=0,071$ i $K_s=1,0$., $\varphi_{ef}= 1,94$.
Niestety nie uzyskano rozwiązania, bo proces iteracyjny był rozbieżny ze względu na zbyt dużą siłę osiową w słupach. Oznacza, to, że mnożnik krytyczny takiego systemu jest   znacznie mniejszy od jedności $\Lambda_{cr} \ll 1$, czyli siła krytyczna

$N_B \ll 1768$, to znaczy długość wyboczeniowa słupa $L_{cr} \gg 10 \, m$. Oznacza to, że błędne jest stosowanie metody wydzielonego elementu.

W obu przypadkach uzyskano takie same kształty własne ramy po wyboczeniu, a także siły osiowe w słupach ($N_{Ed}=1768 \, kN$, ale istotnie różne mnożniki krytyczne i wynikające z nich siły krytyczne $N_B$:

• dla rygla przegubowo-przegubowego P-P; $\Lambda_{cr}=1,15$ , $N_B=1,14\cdot 1768=2015,5 \, kN$,
• dla rygla utwierdzono-utwierdzonego U-U $\Lambda_{cr}=2,88$ , $N_B=2,88\cdot 1768=5091,8 \, kN$,

Z zależności $(\ref{9})$ uzyskujemy następujące długości efektywne słupa

• w przypadku  rygla P-P: $l_0=\pi \sqrt{\cfrac{14}{10}}=\pi \sqrt{ \cfrac{31577}{2015,5}}=12,43 \, m$
• w przypadku  rygla U-U: $l_0=\pi \sqrt{ \cfrac{31577}{5091,8}}=7,82 \, m$

Dla porównania przeprowadzono też obliczenia wyboczeniowe dla wspornika z przykładu 1 i uzyskano wynik identyczny jak dla rygla P-P, to znaczy długość wyboczeniowa słupa wynosi 12,43 m  (wsp. długości wyboczeniowej $\ni=12,43/5=2,49$ a nie 10 m $(\ni=2)$ jak przyjęto w przykładzie 1 na podstawie arbitralnej decyzji.

Przykład 4  [ Projekt ramy metodą imperfekcyjną ]

Metodą imperfekcyjną w odmianie równoważnych sił imperfekcji  zaprojektować słupy ramy z przykładu 3 w wariancie rygla P-P.

Przykład podlega  głębokiej rewizji. 

Równoważne siły imperfekcji systemowych

Bazowy parametr imperfekcji  $\theta_0=1/200$
Współczynnik redukcyjne ze względu na wysokość  elementu lub konstrukcji  $\alpha_h=2/\sqrt{9}=0,89 >2/3 \quad <1$
Współczynnik redukcyjny ze względu na liczbę elementów $\alpha_m=\sqrt{0,5\cdot(1+1/2)}=0,87$ (dla ramy z m=2 słupami) i $\alpha_m=1$ dla wspornika

Parametr imperfekcji  $(\ref{5})$ oraz równoważna, fikcyjna siła pozioma od imperfekcji $(\ref{5})$ przyłożona w głowicy słupa :

• dla wspornika $n_i=1/ \theta_i= 200 / (0,89\cdot 1)= 225$,  $H_i=1638/225=7,28 \, kN$
• dla ramy z ryglem U_U lub P-P: $n_i= 1/ \theta_i= 200 /(0,89\cdot 0,87)= 258$ ,  $H_i=1638/258=6,35 \, kN$

Równoważne siły imperfekcji lokalnych

Stosowane tylko dla układów usztywnionych (tutaj rama) i nie stosowane dla układów swobodnych (wspornik). Bazowy parametr imperfekcji $]theta_0=1/200$ i współczynnik redukcyjny $\alpha_h=0,89$ jak wyżej. Współczynnik redukcyjny $\alpha_m=1$. Parametr imperfekcji wynosi $n_i=1/ \theta_i= 200 / (0,89\cdot 1)= 225$

Obciążenie międzywęzłowe słupów $q_i$ $(\ref{7})$:  $q_i=  \cfrac{4\cdot 1638/225}{12,38}=2,353 \, kN/m$ ,

Rozwiązanie ramy metodą imperfekcyjną równoważnych obciążeń poziomych

Ramę portalową z rys. 15 dla przypadku rygla P-P obciążono siłami imperfekcji w sposób pokazany na rys. 15 w wariancie najniekorzystniejszym współdziałania obciążeń od imperfekcji systemowych oraz lokalnych .

W tab.1. zestawiono momenty zginające I i II rzędu w węzłach ramy obserwowane w różnych konfiguracjach obciążeń od imperfekcji. Nie stawiano sił osiowych, ponieważ ich zmiany w w stosunku do sił pierwszego rzędu przy obciążeniu pionowym $N_{Ed}= 1680 \, kN$ w poszczególnych schematach są niewielkie.

W schemacie najniekorzystniejszym „V+H(-)+q(+/+), to jest przy łącznym działaniu sił pionowych $V=1680 \,kN$ na mimośrodach 160 mm oraz sił poziomych $H=6,35 \,kN$ stowarzyszonych z V i skierowanych przeciwnie do zwrotu osi poziomej  oraz obciążeń rozłożonych słupów g=2,35 kN/m, skierowanych zgodnie z kierunkiem osi poziomych na obu słupach, $N^{II}_{Ed} \approx= -1768$ kN w obu słupach.

Tab.1 Momenty zginające w ramie portalowej

Rama nie jest wrażliwa na efekty II rzędu. W schemacie podstawowym „V” zwiększenie maksymalnego momentu zginającego wynosi  283,17/282,88=1,001, czyli tylko 1‰.

Rama jest  mocno wrażliwa na imperfekcje:

• efekt imperfekcji systemowowych na momenty zginające wynosi 367,76/283,17=1,30, czyli 30%. w stosunku do modelu bez imperfekcji
• efekt imperfekcji łukowych na momenty zginające wynosi 517,98/367,76=1,41, czyli 41% w stosunku do modelu tylko z imperfekcjami systemowymi

Zbrojenie podłużne słupów

Dolna cześć słupa (przekrój A lub B) : $N_{Ed}= 1768 \, kN$,  $M_{Edy}=517,98 \, kNm$
Górna cześć słupa (przekrój C lub D) : $N_{Ed}= 1768 \, kN$,  $M_{Edy}=283,86 \, kNm$

Na rys. 16 zamieszczono wyniki zbrojenia dolnej części słupa: 4∅16 (górą i dołem) . Tym samym arkuszem można dobrać zbrojenie części górnej 2∅12 (górą i dołem).

Rys.16 Ekran kalkulatora do przykładu 3 (naciśnij obraz , aby pobrać)

1. PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3:2008, Projektowanie konstrukcji z betonu – Część 1-1:  Reguły ogólne i reguły dla budynków
2. PN-EN 1992 1-2:2008/NA:2010, Eurokod 2: Projektowanie konstrukcji z betonu – część 1-2: Reguły ogólne – Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe
3. Knauff, M., Golubińska, A., & Kryziak, P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z  przykładami obliczeń , Wydanie drugie., PWN
4. Starosolski, W. (2013). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych, Tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN
5. Zybura (2015). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2: atlas rysunków, Wydawnictwo Naukowe PWN
6. Knauff, M., Golubińska, A., & Knyziak, P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN