Ścinanie elementów żelbetowych, a płaski stan naprężeń

Jednym z głównych problemów w konstrukcjach żelbetowych jest ścinanie ich przekrojów. Ponieważ elementy żelbetowe są krępe, a często są tarczami , a nie prętami, to problemem dla inżynierów jest poprawne  zbrojenie takich elementów jak: krótkie wsporniki, podcięcia belek, belki – ściany itd. Faktycznie zaś  elementy, których smukłość, liczona jako stosunek długości L do wysokości H jest mniejsza od L/H< 3 należy rozwiązać jako tarczę i normalnie zbroić. Klasyczny mechanizm kratownicowy Mōrscha (Morsch, 1929) ( wg normy (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008) mechanizm S-T) jest pomocniczy i tylko przybliżony, co wobec powszechnie stosowanej metody elementów skończonych ma już ograniczone znaczenie (tylko porównawcze).

Mechanizm zniszczenia przez ścinanie

Mechanizm zniszczenia belek

Na rys.1. pokazano mechanizm ścinania , obserwowany w belkach żelbetowych. Belka niszczy się na skutek powstania ukośnych rys., które są scalane przeciętym zbrojeniem podłużnym (siły $X_i$ oraz skierowane poprzecznie siły $Y_i$, nazywane siłami klockującymi , które mogą być przejęte przez zbrojenie pionowe w formie strzemion. Problemem podstawowym w mechanizmie zniszczenia jest wyznaczenie kąta pochylenia rys. W tradycyjnej analogii kratownicowej Mōrscha kąt pochylenia rys (i krzyżulców) przyjmowało się $\Theta=45^0$.  W procedurze wymiarowania Eurokodu 2 (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008) zaleca się, by ten kąt przyjmować w granicach:

$$\begin{equation} 1,0<ctg \Theta \le 2,5 \label{Theta} \end{equation}$$

czyli  $ 45^0 < \Theta \le 68,2^0$

Rys.1. Mechanizm ścinania belki żelbetowej

Rysy powstają poprzecznie do trajektorii naprężeń głównych rozciągających, które dla belki wolnopodpartej, obciążonej równomiernie, pokazano na rys.2

(Knauff, inni, 2006, rys.7 .7)

Rys.2 Przykład trajektorii naprężeń głównych w belce

(zmodyfikowany rys. (Pyrak, 2012))

Idea hybrydowego projektowania żelbetu

Mechanizm zniszczenia poprzez ścinanie jeszcze bardziej niejednoznaczny przy analizie takich elementów jak: krótkie wsporniki, podcięcia belek i płyt, połączenia i przeguby i ogólnie obszary nieciągłości rozumiane jako połączenie obszarów tarczowych z belkowymi lub płytowymi. Generalnie do tej pory nie sformułowano jednego wiarygodnego podejścia do analizy tych zagadnień projektowych. Metoda kratownicowa ST umożliwia proste rozwiązania, ale  też nie jest uniwersalna i prowadzi do zbyt zgrubnych oszacowań, podczas gdy wymagamy projektowania bezpiecznego, ale również oszczędnego.

We współczesnej dobie informatyzacji można połączyć oba warunki dobrego projektu poprzez stosowanie projektowania hybrydowego:

  • Etap I: wybrane miejsca konstrukcji analizujemy za pomocą oprogramowania inżynierskiego, najczęściej  z użyciem elementów tarczowych
  • Etap II: dla rozpoznanego mechanizmu zniszczenia i przebiegu naprężeń głównych konstruujemy zbrojenie (rozkład, kierunek prętów i ich liczbę) i sprawdzamy je rozciąganie.

Podobny sposób projektowania jest wdrożony w inżynierskim programie IDEA StatiCA (Navratil, Ševcik, Michalcík, 2017) i został już uznany jako poprawny.

Regiony konstrukcji typu B i D

Region konstrukcji typu B (od ang. Beam) jest to taki obszar, we którym zachowana jest zasada płaskich przekrojów (Bernoulliego-Naviera) w takich obszarach można stosować teorię belkową

Region typu D (od ang. Discontuity), czyli obszar nieciągłości (lub zaburzeń) jest regionem, w którym nie stosuje się zasadę Bernoulliego i nie można używać wzorów prętowych (belkowych).

Występowanie regionów B i D w typowej konstrukcji ramowej pokazano na rys. 3a. Obszary D są to: naroża ram, obszary wokół znacznych sił skupionych, krótkie wsporniki słupów, wsporniki belek, obciążenie siłami skupionymi blisko podpór, nagłą zmiana przekroju, otwory itp. Obszary D wystąpią również w belkach (ścianach) – rys.3b.

Rys.3. Obszary belkowe B oraz nieciągłości D: a) w ramie płaskiej, b) w belce ścianie (cały obszar)

(Navratil, Ševcik, Michalcík, 2017)

Krótki wspornik słupa

Za krótki wspornik słupa żelbetowego uważa się wspornik, którego wysięg (liczony od lica słupa do osi obciążenia pionowego $a_c$ jest co najwyżej rzędu wysokości wspornika $h_c$ w licu słupa , co w modelu ST według normy  (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008) przekłada się na warunek $a_c z_0$, gdzie |$z_0 < h_c$ może być wyznaczone dopiero po zbudowaniu kratownicowego modelu ST (rys. 4).

Rys.4 Model ST krótki wspornik żelbetowy

((Krówczyński, 2014, FIg 3) z drobną modyfikacją)

Budowa modelu ST jest  wymaga przeprowadzenia dodatkowych analiz, a dokładność jego jest ograniczona, wobec czego autor artykułu sugeruje by w każdym przypadku , gdy

$$\begin{equation} $h_c> 1,5  \cdot a_c \end{equation}$$

od razu przystąpić do budowy rozwiązania zadania pomocniczego tarczy i na podstawie uzyskanych kierunków głównych oraz naprężeń głównych zbroić wspornik standardowymi metodami.

Ponieważ uzyskane wyniki zależą od wielu czynników ( stosunku i wielkości obciążeń, stosunków wymiarowych słupa i wspornika, warunków brzegowych- w tym sprężystego zamocowania wspornika w słupie oraz sztywności słupa w części nad i pod-wspornikowej) , więc formułowanie ogólnych zaleceń nie jest możliwe ani wskazane. Poniżej podano przykład analizy dla znanego zadania z publikacji (Knauff, Golubińska, Kryziak, 2014, prz. 21.4) oraz (Urban, 2005).

Przykład 1 krótki wspornik żelbetowy

Zaprojektować zbrojenie wspornika, pokazanego na rys. 5.o szerokości b=400 mm

Rys. 5 Krótki wspornik do przykładu 1

Rozwiązanie tarczy-wspornika bez wzmocnienia naroży

W celu ustalenia pola naprężeń we wsporniku pokazanym na rys. 1, rozwiązano zadanie pomocnicze i wyniki przedstawiono na rys. 6 (naprężenia $\sigma_x, sigma_y, \tau_{xy}$). oraz 7 (kierunki naprężeń głównych$\sigma_1, \sigma_2$.

Rys.6 . Napręźenia proste wew sporniku żelbetowym

Rys.7 Kierunki główne i naprężenia główne we wsporniku żelbetowym

Obserwuje się dużą koncentrację naprężeń  głównych w narożach wklęsłych wspornika:

w narożu górnym $\sigma_1=12,65 \, MPa ( max – rozciągające)

w narożu dolnym #\sigma_2= -10,22 \, MPa$ (min -ściskające)

W związku z tym wzmocniono naroża niewielkimi skosami  $4 cm – 45^0$

Rozwiązanie tarczy-wspornika z niewielkimi  wzmocnieniami naroży

Na rys. 8  przedstawiono pole naprężeń głównych we wsporniku po wzmocnieniu naroży

Rys.. 8 Pole naprężeń głownych po zasklepieniu naroży

Wskutek wzmocnienia naroży istotnie spadły naprężenia główne wewnątrz wspornika i zostały skoncentrowane w elementach wzmocnień. Pole głównych naprężeń rozciągających przyjmuje małe wartości $\sigma_1< 4 \, MPa$ praktycznie w całym obszarze wspornika z wyłączeniem naroża i obszaru przy górnej powierzchni. Jest to naprężenie nico tylko większe od wytrzymałości betonu na rozciąganie, ale  jednak powoduje, że beton należy zbroić strzemionami pionowymi i poziomymi.

Obserwuje się również ścieżkę wędrówki naprężeń ściskających od powierzchni przyłożenia (podkładka) do słupa o szerokości poprzez pas (słup wspornika) o szerokości szacunkowo takiej, jak szerokość podkładki ( c=140 mm) i nachylonego p[od kątem ok. $\theta \approx 45^0$.  Naprężenia w przekrojach pośrednich słupa nie przekraczają naprężeń pod podkładka $\sigma_1=6,7 \, MPa$, przy czym są one w przybliżeniu naprężeniami docisku podkładki do betonu

(\sigma_y= V_{Ed}/ A_{podkładka}=400/ (14\cdot 34)\xcdot 10^1= 8,4 \, MPa$

Z kierunku naprężeń głównych wynika , że rozwarstwiają one naroże prostopadle do przekątnej. Wobec tego można zastosować standardowe zbrojenie naroża.

Idea zbrojenia wspornika żelbetowego

Rys. 9 Idea zbrojenia wspornika metodą hybrydową

Konstruowanie zbrojenia

Układ i detale zbrojenia w tym jego zakotwienie  przyjmuje się w sposób standardowy.

Pręty [1]  należy konstruować jako poziome pętle pionowo zakotwione w słupie, a pod płytką najczęściej mechanicznie (spawaniem do płytki lub kątownika narożnego, w sposób pokazany na rys. 9

Zaleca się, (Knauff, Golubińska, Kryziak, 2014), by rozstaw strzemion [4] nie przekraczał $0,35 h_c$  i $150 \, mm$.

Na rys. 9 pokazano wyłącznie ideę układu zbrojeniowego, a nie kompletny przykład.

Wymiarowanie zbrojenia

Wymiarowanie zbrojenia przeprowadzamy przy założeniu, że  pręty rozciągane  [1]  są nieskrępowane wskutek zarysowań betonu rozciąganego.  Wobec tego przekrój prętów [1]   można obliczyć wprost z naprężeń głównych $\sigma_1$:

$A_{s,[1]}= \dfrac{\sigma_1 \cdot b\cdot c_t}{ f_{yd}}$,

gdzie $c_t$ – wysokość strefy rozciąganej wokół pręta [1] – w przypadku rys. 8  $c_t= 2 \cdot40=80  \, mm $ (gdzie 40 mm -rozmiar elementu skończonego), $b=400 \, mm$ – szerokość wspornika

Dla  $\sigma_1=7,2 \, MPa$ (rys. 8)  i stali B500 ($f_{yd}=500/1,15=435 \, MPa mamy

$A_{s,1 } = 7,2 /435 \cdot 40 \cdot 8= 5,30 cm^2$. Przyjęto $ 3 \# 16 (A=6,0 \, cm^2 )$ (rozstaw poziomy 400/2=200 mm)

W przypadku pręta [3] otoczonego betonem ściskanym redukujemy naprężenia w pręcie ściskanym  o naprężenia w betonie wynikające z odkształceń stali, co można zapisać w postaci:

$\sigma_{s,c}= \sigma_s \cdot (1- E_c/E_s)$

Stosunek modułów sprężystości stali i betonu zależy od rodzaju betonu, a dla betonu C30/37, wynosi $33/200=0,165$, czyli $\sigma_s= \sigma_2 \cdot (1-0,165)=0,935\cdot  \sigma_2$

Stąd $ A_{s,2}= \dfrac { 0,935 \cdot \sigma_2 \cdot b\cdot c_c}{ f_{yd}}$,

gdzie  $c_c$ – wysokość strefy ściskanej wokół pręta [2] – $c_c\approx 8 cm$, $b=400 \, mm$ – szerokość wspornika

Dla  $ \sigma_2=7,1  \, MPa$ (rys. 8)   mamy:

$A_{s,2}= \dfrac { 0,935 \cdot 7,1 \cdot 40  \cdot 8} { 435} = 4,9 \, cm^2$. Przyjęto $ 3 \# 16 (A=6,0 \, cm^2 )$.

Naprężenia dociskowe do betonu w węźle (pod płytką)

Z rys. 8 odczytujemy, że naprężenia dociskowe $\sigma_y$ pod płytką wynoszą $\sigma_y= 6,7 \, MPa$

Zgodnie z (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, poz. 6.5.4. (4)) wytrzymałość betonu w wężle wynosi:

$$\begin{equation} \sigma_{Rd,max} =0,85\cdot \nu ^{,}  f_{cd} \label{smax_c} \end{equation}$$

gdzie

$$\begin{equation} \nu^{,} =1-f{ck}/250   \label{ni_prim} \end{equation}$$

Stąd dla C30/37 mamy:

$f_{cd}=30/1,4= 21,4  MPa$,

$\nu ^{,}=1-30/250= 0,88$,
$\sigma_{Rd,max} =0,85\cdot 0,88\cdot 21,4=16,0 \, MPa> \sigma_y=6,7 \, MPa.

Naprężenia w betonie słupa wspornika

$\sigma_2= 6,7 \le f_{cd}=30/1,4=21,4  \, MPa$

Strzemiona pionowe i poziome

Siła rozciągająca beton pochodząca od naprężeń $\sigma_1$, wynosi  $N_1 \approx \sigma_1\cdot  b = 4 \cdot 0,4 \cdot 10^3= 1600 kN/m $.

Siła $N_1$ powoduje  w przekroju pionowym wspornika – rozciąganie strzemion pionowych  siła $N_v$ i ściskanie strzemion poziomych siłą $N_h$ o wartości

$N_v=-N_h=N_1 \cdot cos\Theta=1600 \cdot cos 45^0=1131 \, kN/m$

Potrzebne pole przekroju strzemion pionowych $A_{v,link}=N_v /f_{yd}=1131/ 435 \cdot 10^1=2,6\, cm^/ m$, Przyjęto strzemiona #8, co 150 mm, ($A_{v, link}=0,50/0,15=\, 3,3 cm^2 /m$, czyli na długości wspornika $l_c=370 \, mm$ – $370/150 +1=3$ strzemiona

Strzemion poziomych możemy przyjąć mniej , ponieważ są ściskane i współpracują  z betonem ściskanym (p. wyżej) i wówczas $A_{h,link} =0,935 \cdot A_{v,link} =0,935 \cdot 2,6= 2,4 \, cm^2/m$ . Przyjęto 2 strzemiona #8 , czyli w rozstawie $400-2\cdot 30=340/(2+1)=113 \, mm$  ( $A_{h,link} =2 \cdot 0,50/0,34=2,6  \, cm^2/m$

Porównanie z wynikami z pracy (Knauff, Golubińska, Kryziak, 2014)

W takim samym przykładzie, w pracy (Knauff, Golubińska, Kryziak, 2014, prz. 21.4) przyjęto:

$A_{s,1}=9,87 \, cm^2$ ( w niniejszym artykule $ 5,3 \, cm^2$),

$A_{v,link}=4,598 \, cm^2$   ( w niniejszym artykule $2,6 \, cm^2$).

W pracy (Knauff, Golubińska, Kryziak, 2014, prz. 21.4) nie pzyjeto natomiast zbrojenia $A_{s,2}, ani tez nie zalecono osłabienia karbu w narożach wklęsłych wspornika.

Wspornik (podcięcie belki)

Podcięcia belek mogą mieć bardzo różny kształt (Knauff, inni, 2006, pkt.13.7.2), choć generalnie przyjmuje się (Knauff, Golubińska, Kryziak, 2014), że  przybliżoną metodę ST można stosować dla  podcięć spełniających warunki (oznaczenia wg rys. 10) :  $l_k \le h_k$ oraz $0,3h \le h_k \le 0,7 h$. Ryorystyczne stosowanie takiej geometrii podcięć, ograniczałoby  bezzasadnie możliwości kształtowania stref  podporowych belek , często wymuszonych konkretną sytuacją projektową. Z tego powodu zarówno norma (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008) jak i inne wytyczne nie zawierają szczegółowych wytycznych do projektowania całej klasy podcięć.

W metodzie ST  rozważa się  dwa mechanizmy zniszczenia (na rys.10 linie zniszczenia zaznaczono linią falistą) i stowarzyszone z nimi kratownice zgodnie (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, pkt 10.9.4.6).

Rys.10 Wspornik (podcięcie) belki. Oznaczenia

Sorry, no citation(s) found.

Ograniczone zastosowanie mają liczne badania eksperymentalne i numeryczne , bo dotyczą wybranych typów węzłów i nie da się ich roszerzyc na dowolne geometrie podcięć.

W celu zaprojektowania zbrojenia dowolnego kształtu podcięcia szerokie zastosowanie powinna znaleźć prezentowana metoda hybrydowa. W przykładzie 2 pokazano zastosowanie tej metody do podcięcia analizowanego w pracy (ECP ASBL, 2008, Example 6.11).

Przykład 2  Wspornik (podcięcie) belki

Zaprojektować zbrojenia wspornika (podcięcia ) belki  (rys.10) dla danych:  $h=1400 \, mm$ , $ b=800 \, mm$ $h_k=675  \, mm$, $l_k=500 \, mm$, $a_V=120 \, mm$,. długość belki  $l_{eff}=8000 \, mm$,, szerokość podkładki centrującej 200 mm, beton C25/30, stal B450C.

Obciążenia:  $Q_d= 250 \, kN/m$ , $V_{Ed}=250\cdot 8 /2=1000 \, kN$. Model belki (do osi symetrii) z podziałem na elementy skończone pokazano na rys.11, a na rys. 12 mapy naprężeń głównych: $\sigma_1$ z zaznaczonym prętem rozciąganym oraz $\sigma_2$ ze słupem ściskanym

Rys.11 Model belki-tarczy z podcięciem

 

Rys. 12 Mapy naprężeń głównych

Układ zbrojenia wynikąjący z analiz hybrydowych pokazano na  rys.13

Rys.13 Idea zbrojenia podcięcia z przykładu 2

 

Konstruowanie zbrojenia

Pręty zbrojenia [3] są standardowym zbrojeniem belki na zginanie. Podstawowym zbrojeniem odcięcia jest pręt [1], który może być ułożony pod różnym kątem w zależności od geometrii podcięcia i innych warunków brzegowych. W rozważanym przykładzie jest to kąt ok $\Theta \approx 45^0$. Pręt [2] (poziomy i pionowy domykają zbrojenie (są zbrojeniem wiążącym – podwieszającym)  i mogłyby by stanowić zbrojenie podstawowe, równoważne do pręta [1] (ale mniej ekonomicznym). Strzemiona 4 stosuje się w celu powiązania zbrojenia górengo i diolnego. Ważne jest prawidłowe zakotwienie pręta [1] . W pokazanym układzie zastosowano kotwiącą płytkę oporową.

Na rys. 13 pokazano wyłącznie ideę układu zbrojeniowego, a nie kompletny przykład.

Wymiarowanie zbrojenia

Wymiarowanie zbrojenia przeprowadzamy przy założeniu, że  pręty rozciągane  [1]  są nieskrępowane wskutek zarysowań betonu rozciąganego.  Wobec tego przekrój prętów [1]   można obliczyć wprost z naprężeń głównych $\sigma_1$:

$A_{s,[1]}= \dfrac{\sigma_1 \cdot b\cdot c_t}{ f_{yd}}$,

gdzie $c_t$ – wysokość strefy rozciąganej wokół pręta [1] – w przypadku rys. 8  $c_t= 150  \, mm $ $b=800 \, mm$ – szerokość belki

Dla  średniego $\sigma_1=8 \, MPa$ (rys. 8)  i stali B450 ($f_{yd}=450/1,15=391 \, MPa mamy

$A_{s,1 } = 8 /435 \cdot 80 \cdot 15= 22,1 cm^2$. Przyjęto $ 8 \# 20 (A=25,1 \, cm^2 )$

Naprężenia dociskowe do betonu w węźle (pod płytką)

Z rys. 13 odczytujemy, że naprężenia dociskowe $\sigma_y$ pod płytką wynoszą $\sigma_y= 6,2 \, MPa$

Wytrzymałość betonu w wężle dla C25/30 ($f_{cd}=25/1,4= 17,9  MPa$),

$\nu ^{,}=1-25/250= 0,90$,
$\sigma_{Rd,max} =0,85\cdot 0,90 \cdot 17,9=16,1 \, MPa> \sigma_y=6,2 \, MPa$.

Naprężenia w betonie słupa wspornika

$\sigma_2= 6,2 \le f_{cd}=17,9  \, MPa$

Strzemiona

Stosujemy konstrukcyjnie #8 w maksymalnym rozstawie co 150 mm

Artykuł w trakcie edycji

Literatura

ECP ASBL. (2008). Eurokocode 2. Woeked Examoples (rev A 31-03-2017). Brussels, Belgium: European Concrete Platform. Retrieved from http://www.europeanconcrete.eu/publications/eurocodes
Knauff, M., Golubińska, A., & Kryziak, P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetoych z  przykładami obliczeń (drugie). Warszawa: PWB.
Knauff, M., & inni. (2006). Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i sprężonych: według Eurokodu 2. Wrocław: Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne.
Krówczyński, M. M. (2014). Innovative analysis methods of reinforced concrete structures: the strut and tie method. Czasopismo Techncizne. Budonictwo, (5–B/2014), 143–148.
Morsch, E. (1929). Der Eisenbetonbau, seine Theorie  und Anwendung. Stuttgard: Verlag K. Wittwer.
Navratil, J., Ševcik, P., & Michalcík, L. (2017). A solution for walls and details of concrete structures. Presented at the 24. Czech Concrete Days (2017). Retrieved from https://resources.ideastatica.com/Content/03_Concrete/Verifications/Articles/A_solution_for_walls_and_details_of_concrete_structures_US.pdf
PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
Pyrak, S. (2012). Konstrukcje z betonu (VII, Vol. 5). WSiP.
Urban, T. (2005). Przykłady projektowania żelbetowych wsporników. Łódź: Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej.

 

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »