Momenty statystyczne wektorowych funkcji nieliniowych

Ścisłe formuły (Pugachev, 1984)

Przyjmijmy, że losowy wektor $Y$ (w ogólnym przypadku zespolony) jest funkcją rzeczywistego wektora losowego  $X$ z funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa $f(x)$. 
Wartości oczekiwane (średnie) wektora $X$ i  $Y$oznaczamy jako  $m_x \ , m_y$.

Często będziemy korzystali z wycentrowanych zmiennych losowych , które  powstają przez odjęcie od wartości zmiennej losowej jej wartości oczekiwanej. Wycentrowane zmienne będziemy oznaczali  górnym indeksem 0 (zero):

$X^0=X-m_x\qquad , \qquad Y^0=Y- m_y$  (1)

Funkcję $Y$ zapiszmy jako

$Y=\phi(X)$  (2)

Wartość oczekiwaną  $m_y$ ,  moment drugiego rzędu $\Gamma_y$ oraz kowariancję  $K_y$ losowego wektora  $Y$ można określić z ogólnych formuł:

$m_y=MY= M \phi (X)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} \phi (x) f(x) dx$  (3)
$\Gamma_y=MYY^*=M\phi(X)\phi^*(X)=\int \limits _{-\infty}^{\infty}\phi (x)\phi ^*(x) dx$  (4)
$K_y=MY^0Y^{0*}=M[\phi(X)- m_y][\phi^*(X)-m_y^*]$  (5)
$ \int \limits _ {-\infty}^{\infty}[\phi(x)-m_y][\phi(x)^*-m_y^*]f (x)dx$  (6)

indeksem- gwiazdka (*) oznaczono wartość sprzężoną wielkości lub funkcji zespolonej. W przypadku macierzy rzeczywistych wartość sprzężona jest macierzą transponowaną.

Podobnie określamy wzajemne drugie momenty i wzajemne macierze kowariancji dwóch wektorów losowych będących funkcjami wektora X. Dla 

$ Y=\phi(X)\qquad , \qquad Z=\psi(X)$  (7)
$\Gamma_{yz}=MYZ^*=M\phi(X)\psi^*(X)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} \ \phi(x)\psi^*(x) f(x)dx)$  (8)
$K_{yz}=MY^0Z^{0*}\int \limits_{-\infty}^{\infty} [\phi(x)-m_y][\psi^*(x)-m_z^*] f(x)dx)$  (9)

Powyższe formuły pokazują, że w celu obliczenia wartości oczekiwanej oraz kowariancji nieliniowej funkcji losowego wektora należy znać gęstość rozkładu prawdopodobieństwa argumentów.

Przykład 1
Pręty zbrojeniowe wykonuje się z określoną tolerancją promienia pręta R. Przyjmuje się, że R jest zmienną losową normalną z wartością oczekiwaną  $m_r$ oraz odchyleniem standardowym $\sigma_r$, czyli z funkcją gęstości:

$ f(R)=\dfrac{1}{\sigma_r \sqrt2\pi}\cdot exp \left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{R-m_r}{\sigma_r}\right)^2\right]$  (10)

Znajdźmy wartość oczekiwaną  oraz  odchylenie standardowe pola powierzchni pręta  $A=\pi R^2$
Korzystając z formuły (3), mamy:

$ m_A=\int \limits _{-\infty}^{\infty}\pi r^2 f(r) dr=\pi \dfrac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \qquad \int \limits _{-\infty}^\infty r^2\cdot exp \left[-\dfrac{1}{2} \left( \dfrac {r- m_r}{\sigma_r}\right)^2 \right]dr$  (11)

Ostatnia całka razem z mnożnikiem  $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ jest momentem drugiego rzędu losowego promienia R, który jest równy $ m_r^2+\sigma_r^2$.  W ślad za tym, otrzymujemy:

$ m_A=\pi(m_r^2+\sigma_r^2)$  (12a)

Z formuły (9) mamy:

$ \sigma^2_A=\pi^2 \dfrac {1}{\sigma_r \sqrt{2\pi}} \qquad \int \limits _{-\infty}^\infty (r^2- m^2_r-\sigma^2_r)^2\cdot exp -\left( \dfrac {r- m_r}{\sigma_r}\right)^2 dr$  (12b)

Po obliczaniu całki otrzymamy

$ \sigma^2_A=2\pi^2\sigma^2_r (2m^2_r+\sigma^2_r)$  (13)

Linearyzacja (Pugachev, 1984)

W celu ominięcia złożoności obliczeń wartości oczekiwanych, dyspersji kowariancji nieliniowych funkcji zmiennych losowych doprowadza do konieczności znajduje się rozwiązania przybliżone metodą linearyzacji.  W przypadku jednowymiarowego skalara  $X$ linearyzacja nieliniowej  funkcji $\varphi(x)$ polega na  zastąpieniu krzywej $y=\varphi (x)$ przez pewną prostą $y=ax+b$. Jeśli uda się dobrać prostą dostatecznie bliską krzywej w obszarze praktycznie możliwych zmian losowej zmiennej $X$ ( w przypadku normalnie rozłożonej zmiennej $X$ zwykle w obszarze  $(m_x-3\sigma_x \, ; \, m_x+3\sigma_x)$ , to można oczekiwać, że momenty statystyczne odpowiadającej funkcji liniowej zmiennej losowej $X$ będą bliskie momentom statystycznym funkcji nieliniowej. 

Punkt linearyzacji $x_L$, czyli punkt w którym do krzywej prowadzi się styczną należy  dobrać tak, by uzyskać jak najlepsze przybliżenie interesującej wielkości. W przypadku obliczania wartości momentów statystycznych punkt $x_L=m_x$ , ponieważ wokół  tej wielkości zmienne losowa $X$, będzie przyjmowała wartości najczęściej.
Styczna do krzywej w punkcie $m_x$ ma równanie

$ Y=\varphi(x)\approx \varphi (m_x)+\varphi^{‚} (m_x) X^0 $  (14)

o ile  wektorowa funkcja losowego wektora $X$ jest różniczkowalna w punkcie $m_x$ .

$\varphi^{‚}(m_x)$ należy rozumieć jako macierz cząstkowych pochodnych wszystkich współrzędnych wektora $\varphi(x)$ po wszystkich współrzędnych wektora $X$ w punkcie $m_x$:

 (15)

Po zamianie $\varphi(x)$ jej liniowym przybliżeniem (14) i zastosowaniu operatora wartości oczekieanej otrzymujemy przybliżone formuły na wartość oczekiwaną i macierz korelacji wektora $Y$:

$ m_y \approx \varphi(m_x) $  (16a)
$ K_y\approx \varphi^{‚} (m_x)K_x\varphi^{‚}(m_x)^{*}$  (16b)

Formuły (16) są słuszne zarówno dla zespolonych jak i dla rzeczywistych , skalarnych jak i wektorowych zmiennych losowych $X$  i  $Y$. 

Przykład 2 [Linaryzacja przykładu 1]

Dla danych z przykładu 1 , w którym ściśle obliczono wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe pola przekroju pręta, oszacujemy te parametry w sposób przybliżony poprzez linearyzację funkcji  

$ A=\varphi(R)=\pi R^2$  (17)

w otoczeniu wartości średniej promienia pręta $m_r$.

Ponieważ  $\varphi^{‚} (r)=2 \pi r$ , więc z formuł  (16) otrzymujemy

$ m_A\approx \varphi(m_r)=\varphi (r_0)=\pi {r^2}_0 $  (18a)
$ {\sigma^2}_A=4 \pi {r^2}_0 {\sigma^2}_r$  (18b)

Porównując formuły przybliżone (18) ze ścisłymi (13), widzimy, że metoda linearyzacji w tym przypadku daje dobrą aproksymację, jeśli  $\sigma_r \ll r_0$, to jest jeśli odchylenie standardowe jest małe w stosunku do wartości oczekiwanej.Na przykład przy $V_r=\dfrac{\sigma_r}{m_r}=10 \%$ , błąd oszacowania wartości oczekiwanej wynosi 1%, a odchylenia standardowego 0,5%.

Literatura

Pugachev, V. S. (1984). Probability Theory and Mathematical Statistics for Engineers. Oxford, New York: Pergamon Press.

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

*

Translate »