Współrzędna wycinkowa przekroju pręta cienkościennego

W analizie prętów cienkościennych występuje nowa współrzędna w przekroju pręta – współrzędna wycinkowa [1], [2]-pkt. 1.

Rozważmy przekrój pręta cienkościennego opisanego w układzie  współrzędnych kartezjańskich (x,y,z), gdzie x jest współrzędną po długości pręta z przekrojem poprzecznym,  opisanym linią środkową przekroju dla dowolnej  odciętej $x$ , zgodnie z rys.1.  

Rys.1 Współrzędne pręta cienkościennego (x,s,n) [1]

Lokalny krzywoliniowy układ współrzędnych $(x,s,n)$ w dowolnym punkcie powierzchni środkowej pręta definiujemy w ten sposób, że pierwszą oś układu określamy jako równoległą do osi $x$ o wersorze $e_x$, przyjmując dla niej to samo oznaczenie jak w układzie globalnym. Druga oś $s$ jest styczna do linii środkowej, definiuje ją wersor $e_s$. Oś trzecia $n$ jest wyznaczona wersorem $e_n=e_x \times e_s$. Początek osi parametru $s$ (współrzędnej łukowej) przyjmujemy w ustalonym punkcie $O$ na linii środkowej, zwanym początkiem przekroju. 

Obok zdefiniowanych wyżej współrzędnych w analizie prętów cienkościennych posługujemy się jeszcze współrzędną wycinkową. 

Rys.2. Definicja współrzędnej wycinkowej [1]

Współrzędne wersorów lokalnego układu, w dowolnym punkcie M(s) (rys.2) odniesione do układu globalnego zapiszemy w postaci:

gdzie; $y^{’}(s)=\dfrac{dy(s)}{ds}$, $z^{’}(s)=\dfrac{dz(s)}{ds}$ .
W dowolnym punkcie płaszczyzny przekroju poprzecznego przyjmiemy biegun $B(x_b,y_b)$. Rozważymy dolny punkt $M$ o wektorze wodzącym$\rho(s)$ zaczepionym w punkcie $B$ i utworzymy następujący iloczyn, który oznaczymy przez $d\omega_B(s)$:

Geometryczną interpretacją bezwzględnej wartości $|d\omega|$ jest podwojone pole powierzchni zawartej pomiędzy przyrostem drogi ds i promieniami wodzącymi $\rho(s)$ i  $\rho(s+ds)$, bowiem bezwzględna wartość iloczynu skalarnego przedstawia długość rzutu wektora $\rho(s)$ na normalną do krzywej, będącego wysokością wspomnianego trójkąta. Współrzędną wycinkową zdefiniujemy jako :

Jeśli współrzędna łukowa przebiega po kilku bokach, to wówczas powyższe możemy zapisać jako sumę całek

gdzie: $s_0^{’}$ i $s_E^{’}$  jest wartością współrzędnej łukowej punktu i-tej krawędzi początkowego (0) i końcowego (E) odpowiednio ,

Bezwzględna wartość każdego i-tego składnika sumy jest równa podwojonemu polu zawartemu pomiędzy wektorem wodzącym punktu $s_0^{’}$, i-tym bokiem linii środkowej i wektorem wodzącym punktu $s_E^{’}$.

Przy znajomości linii środkowej, położenia punktu $O$ i bieguna $B$ , współrzędna wycinkowa wyznacza w sposób jednoznaczny wyznacza położenie punktu $M$.  Wartość współrzędnej wycinkowej zależy zarówno od położenia bieguna B jak i punktu zerowej współrzędnej wycinkowej $O$.

Literatura

1. Piechnik, S. (2008). Pręty cienkościenne otwarte. Podręcznik dla studentów wyż-szych szkół technicznych. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków
2. Bogucki W. (1980), Poradnik projektanta konstrukcji metalowych: praca zbiorowa. Tom I, Arkady, Warszawa

________________________________