Wskaźnikiem niezawodności nazywamy prosty identyfikator stanu bezpieczeństwa konstrukcji budowlanych. Umożliwia on wprowadzenie wymaganych poziomów bezpieczeństwa systemów. Różnica pomiędzy wskaźnikami niezawodności Cornella $\beta_C$ polega na tym, że Hasofer i Lind uogólnili miarę niezawodności zaproponowaną przez Cornella na przypadki nieliniowych stanów granicznych, tak by ta miara $\beta_{H-L}$ była niezależna od postaci funkcji granicznej (wypukłości, wklęsłości). Miara (wskaźnik niezawodności) Cornella $\beta_C$ to po prostu współczynnik tolerancji $t$ przedziału ufności rozkłdu statystycznego, znany z klasycznych analiz normalnego rozkładu prawdopodobieństwa. W prostym przypadku liniowej funkcji stanu granicznego obie miary są tożsame. Natomiast w przypadku nieliniowej funkcji granicznej oryginalnie wskaźnik $\beta_C$ oblicza się dla punktu centralnego $x_C$ (średniego) gęstości rozkładu (czyli dla wartości oczekiwanych zmiennych losowych systemu). Hasofer i Lind pokazali, że taka procedura może prowadzić do kilku istotnie różniących się oszacowań tego samego systemu tylko ze względu na inny opis powierzchni granicznej. W celu wyeliminowania tego paradoksu zaproponowali, by wskaźnik obliczać dla innego niż centralny $x_C$ punktu rozkładu – dla punktu $x^*$ zwanego punktem obliczeniowym . Poszukiwanie punktu obliczeniowego prowadzi się w procedurze minimalizacji wskaźnika niezawodności: $\beta_{H-L}=min\{ \beta_C \}$ dla wszystkich możliwych położeń punktu linearyzacji powierzchni granicznej.
Indeksy niezawodności w analizie konstrukcji
Krótki rys historyczny
W latach 80-tych XX wieku dokonał się przełom w teorii niezawodności konstrukcji.
Trudne do przeliczenia wielowymiarowe operacje całkowanie gęstości prawdopodobieństwa funkcji losowych po obszarze awarii, zastąpiono problemem optymalizacji. W ogólności algorytmy optymalizacji są dużo efektywniejsze w realizacji numerycznej od problemu całkowania, a nawet od rozwiązywania układu równań liniowych. Obecnie dysponując opisem parametrów konstrukcji oraz identyfikując potencjalne sytuacje awaryjne (funkcje graniczne) można przy stosunkowo niedużym nakładzie obliczeniowym otrzymać dobre przybliżenie niezawodności za pomocą metody pierwszego rzędu (FORM), drugiego rzędu (SORM). Te przybliżone, inżynierskie metody operują miarami niezawodności w postaci wskaźników (indeksów) niezawodności:
- Cornella $\beta_C$ [1],
- Rosenbluetha – Estevy $\beta_{R-E}$, [2],
- Hasofera-Linda $\beta_{H-L}$ [3],
- Rackwitza -Fiesslera $\beta_{R-F}$ [4].
W XXI wieku następuje znaczący rozwój metod numerycznych szacowania niezawodności konstrukcji metodami optymalizacji, co nieuchronnie zastąpi system częściowych współczynników bezpieczeństwa, nadal stosowany zgodnie z normami projektowania konstrukcji.
Wraz z rozwojem mocy obliczeniowej komputerów, a także powstawaniem nowych technologii obliczeniowych, takich jak Szybkie Metody Monte Carlo oraz metod genetycznych (sieci neuronowych) , znaczenie linearyzacyjnych metod szacowania wskaźnika niezawodności w tym Hasofera-Linda spada i przewiduje się, że całkowicie zastąpi metody linearyzacyjne. Mierzenie niezawodności konstrukcji indeksem niezawodności $\beta=- \Phi^{-1}(p_f)$, jest ugruntowane i jest wyznaczane z oszacowanego prawdopodobieństwa zniszczenia $p_f$.
Powierzchnia graniczna i jej linearyzacja
Powierzchnię oddzielającą stany bezpieczne od stanów niebezpiecznych konstrukcji nazwiemy powierzchnią graniczną g(\mathbf{X}):
| $g(\mathbf {X}) =0 $ | (1) |
gdzie $\mathbf {X}$ jest wektorem podstawowych zmiennych losowych systemu.
Rys. 1. Obszar awarii $\Omega_f :g(X)<0$ , obszar bezpieczny $\Omega_s : g(X)>0$, funkcja graniczna i jej linearyzacja w punkcie $x*$ [5]
Na rys.1 pokazano funkcję graniczną (1) w przypadku dwóch losowych parametrów systemu #$X_1$ oraz $X_2$. Funkcja graniczna jest granicą pomiędzy obszarem bezpiecznym (dopuszczalnych stanów konstrukcji) $\Omega_s : g(X)>0$ oraz obszarem awarii (niebezpiecznych stanów) $\Omega_f :g(X)<0$.
Wybór zmiennych podstawowych, to jest takich losowych parametrów systemu, które są istotne z punktu widzenia niezawodności układu jest jednym z fundamentalnych zadań, które należy rozwiązać podczas wyznaczania niezawodności systemu.
Załóżmy, że zmienne podstawowe (istotne) zgromadzono w wektorze $\mathbf {X}$
| $\mathbf {X} = \left [ \begin {array} {c} X_1 \\X_2 \\ \vdots \\X_n \end {array} \right ] $ | (2) |
i znane są wartości średnie $\mathbf { \overline X } $ oraz macierz kowariancji $\mathbf {C_X}$ tego wektora:
| $\mathbf { \overline X} = \left [ \begin {array} {c} \overline X_1 \\\overline X_2 \\ \vdots \\\overline X_n \end {array} \right ] $ , $\mathbf { C_X} = \left [ \begin {array} {ccc} \sigma_1^2 & \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2 &\ldots & \rho_{1n} \sigma_1 \sigma_n \\ \rho_{21} \sigma_2\ \sigma_1 & \sigma_2^2 & \ldots & \rho_{2n}\sigma_2 \sigma_n \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \rho_{n1} \sigma_n\ \sigma_1 & \rho_{n2}\sigma_n \sigma_2 & \ldots & \sigma_n^2\end {array} \right] $ | (3a,b) |
gdzie: $ \overline X_i $ jest wartością średnią , $\sigma_i$ odchyleniem standardowym zmiennej $X_i$ ; $\rho_{ij}$ – współczynnikiem korelacji zmiennych $X_i$ oraz $X_j$.
Rozwijając funkcję g(X) w szereg Taylora wokół pewnego punktu $X^{*}$ oraz zachowując dwa pierwsze wyrazy rozwinięcia funkcja
graniczna (1) może być aproksymowana prostą styczną punktu $X^{*}$ :
| $g(X) \approx g (X^{*})+ \sum \limits _{i=1} \limits^n \dfrac {\partial g(X)}{ \partial X_i}|_{X=X^{*}} \cdot (X_i-X^{*}) $ | (4) |
Indeks niezawodności Cornella
Definicje wskaźnika Cornella $\beta_C$
Indeks niezawodności Cornella $\beta_C$ [1] jest często oznaczany jako $\beta^{MVFO}$, ponieważ jest uzyskiwany w drodze linearyzacji pierwszego rzędu powierzchni granicznej w otoczeniu wartości średnich, to znaczy z wykorzystaniem zależności (4) dla $ X^{*}=\overline X $ (3a). Ospowiadajaca metoda numeryczna jest nazywana metodą MVFO (z ang. Mean Value First Order).
Indeks niezawodności Cornella $\beta_C$ jest odwrotnością współczynnika zmienności $V_g$ funkcji granicznej $ g(X) $ w punkcie oczekiwanym $ \overline X $:
| $ \beta_C= \dfrac { 1}{V_g}$ | (5) |
gdzie:
$V_g=\dfrac {\mu_g} {\sigma_g}$ ; $\mu_g$- wartość oczekiwana (średnia) g, $\sigma_g$ – odchylenie standardowe $g$,
Indeks niezawodności $\beta_C$ jest klasycznym wskaźnikiem tolerancji $t$ przedziału ufności zmiennej losowej g() o gęstości rozkładu $f_g) $ rzędu $p_s= 1- p_f$, gdzie prawdopodobieństwo awarii systemu wynosi:
| $ p_f =\int \limits_{-\infty} \limits^0 f_g(x) dx= Pr \{ g(X)<0\}$ | (6) |
Rys. 2. Klasyczne przedstawienie indeksu niezawodności Cornella $/beta_C=\beta$ na reprezentatywnej funkcji gęstości prawdopodobieństwa $f_g(x)$ [5]
Na rys.2. indeks niezawodności $\beta= \beta_C$ podano bez indeksu. Przedział ufności zmiennej g $[\mu_g-\beta \sigma_g; \mu_g+\beta \sigma_g ]$ oznacza, że z prawdopodobieństwem $1-p_f$ zmienna X przyjmie wartości z tego przedziału.
Własność (6) jest często przyjmowana jako definicja wskaźnika niezawodności dla zastępczej zmiennej X rozłożonej normalnie:
| $ p_f= \Phi (-\beta)$ | (7) |
gdzie $\Phi$ jest dystrybuantą standaryzowanego rozkładu normalnego.
Paradoks indeksu Cornella
Stocki [6] przedstawił przykład rachunkowy ilustrujący istotną zależność indeksu niezawodności Cornella od matematycznej postaci funkcji granicznej g(x) dla takiej samej konstrukcji i w istocie takiego samego ograniczenia jakości systemu. Oszacowania dotyczyły prostej kratownicy, pokazanej na rys. 2,o długości $L=2l=8 m$ i wysokości $h=1,2 m$.
Za każdym razem ograniczano ugięcie, czyli przemieszczenie węzła 5:
$\delta_5 < \delta_{dop}= \dfrac {L}{200}= 4 \ cm$
Jako losowe zmienne istotne przyjęto pola przekrojów prętów $X_i = A_i (i=1,7)$ oraz parametr obciążenia $X_8=P=10 \ kN$.
Wartości oczekiwane, odchylenia standardowe oraz macierz współczynników korelacji przyjęto takie same dla każdego wariantu funkcji granicznej. współczynniki zmienności pola przekroju prętów wynoszą 10%, a obciążenia 20%. Przekroje pasów miedzy sobą są skorelowane w 80%, a obciążenie nie jest skorelowane z przekrojami pasów. Gradient $\dfrac {\partial g(X)}{ \partial X_i}|_{X= \overline X}$ obliczano numerycznie.
Rys. 2. Wspornik kratowy do wyznaczenia indeksu $\beta_C$ Stocki R. (1999), Niezawodnościowa optymalizacja konstrukcji prętowych w zakresie dużych przemieszczeń. Teoria i program komputerowy, Praca doktorska, IPPT PAN, [ http://bluebox.ippt.pan.pl/~rstocki/Dok.pdf ]))
Rozważono dwie równoważne postacie funkcji granicznej:
$g_1(X)= 1- dfrac {|\delta_5(X)}{\delta_{dop}}$
$g_2(X)=[g_1(X)^3$
Obie funkcje graniczne są róenoważne , ponieważ opisuj taki sam obszar stanów awarii $\Omega_f$ i system o takim samym prawdopodobieństwie awarii $p_f$, co powinno prowadzić do takiego damego indeksu niezwodności $\beta_C$.
Tymczasem uzyskano:
1 wariantu $g_1$: $\beta_c = 2,496 \to p_f=6,284\cdot 10^{-3}$,
2 wariant $g_2$: $\beta_c = 0,832 \to p_f=2,027\cdot 10^{-1}$.
Dla takiej samej konstrukcji i dla takich samych obszarów zniszczenia uzyskano rezultat różniący się prawie 100 razy. Ten rezultat oczywiście wskazuje na złe uwarunkowanie indeksu Cornella szacowanego metodą linearyzacji VFO. Ten efekt nazwiemy paradoksem indeksu Cornella.
Wskażmy, że rezultat dokładny (uzyskany metodą Monte Carlo) przy dodatkowym założeniu rozkładu Gumbela mnożnika obciążenia i lognormalnych rozkładach pola przekroju prętów wynosi
dokładny : $\beta = 1,972 \to p_f=2,36\cdot 10^{-2}$.
Indeks, a prawdopodobieństwo niezawodności
Definicja (7) podaje prosty sposób przeliczenia prawdopodobieństwa awarii sytemu $P_f$ lub niezawodności$ p_R=1-P_f$ na współczynnik niezawodności $\beta$ i odwrotnie.
W tab.1. podano wyznaczone z (4) wartości współczynnika $\beta$ dla danego prawdopodobieństwa niezawodności $p_R=1-p_f$. Na przykład
$\beta=\Phi^{-1}(p_R=0,99999996=0,9^7 6)=5,36753$
Tab.1. Indeks niezawodności dla danego prawdopodobieństwa niezawodności $p_R$
Tab2. Niezawodność $p_R$ w funkcji wskaźnika $\beta$
W tab.2. podano wyznaczone z (4) wartości prawdopodobieństwa niezawodności $p_R=1-p_f$. dla współczynnika $\beta$. Na przyykład
$p_R=\Phi^(-\beta=3,80)=0,9^4 2763$
W sytuacji , w której bezpośrednio wyznaczamy $p_R$ lub $p-F=1-p_R$ (na przykład w procedurze szybkich metod Monte Carlo), to zależność (4) i tab.1. służy do obliczenia indeksu niezawodności i porównania go z granicznym wskaźnikiem normowym.
Indeks Rosenbluetha – Esteva
Indeks Rosenbluetha – Esteva $\beta_{R-E}$, został zapoponowany w pracy [2] i jest on w istocie indeksem Cornella w formacji muliplikatywnej, a nie addytywnej.
Rozpatrzmy najprostszy przypadek dwóch zmiennych losowych: wytrzymałości $R$ i obciążenia $E$. systemu. Przyjmijmy , że nosność (wytrzymałość systemu konstrukcyjnego jest charakteryzowana losowym mnożnikiem parametrów nosności konstrukcji $\Lambda_R$, a obciążenie mnożnikiem konfiguracji obciżęnia konstrukcji $Lambda_E$ . Warunke bezpiec zeństwa z wykorzystaniem funkcji granicznej (1) można zapisać w postaci addytywnej żądaniem, by zapas nośności (margines bezpieczeństwa) był dodatni $Z_C$
| $ g= Z_C= (\Lambda_R- \Lambda_E)>0$ | (7a) |
Warunke bezpieczeństwa możemy rownież wyrazić stosunkiem mnożników
| $ Z_R= \dfrac{\Lambda_R}{\Lambda_E}>1$ | (7b) |
Po obustronnym zlogarytmowaniu (7b) uzyskamy:
| $ ({ln \Lambda_R}-ln{\Lambda_E})>0$ | (7c) |
to znaczy uzyskaliśmy warunek bezpieczeństwa w formacji addytywnej dla logarytmów zmiennych losowych. Normalne (gaussowskie) rozkłady prawdopodobieństwa oraz dystrybunty będą w tym przypadku zastąpione rozkładami lognormalnymi.
Zmienne standaryzowane, wartości średnie, odchylenia standardowe oraz współczynniki zmienności obu rozkładów są w prosty sposób wzajemnie przeliczalne. Stosowne wzory podał np. [7].
Wskażnik zmienności Rosenbluetha – Esteva przyjmie postać:
| $ \beta_{R-E}=\dfrac{\mu_{Z_R}}{\sigma_{Z_R}}$ | (8) |
Dalsze analizy, w tym paradoks indeksu będą analogiczne są analogiczne do pokazanych w pkt 2 dla wskaźnika Cornella.
Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda
Modyfikacja wskaźnika niezawodności z warunku niezmienniczości
Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda rozwiązuje problem braku niezmienniczości wskaźnika Cornella, który w pkt.2 nazwaliśmy paradoksem.
[3] zaproponowali rewolucyjną metodę stosowaną powszechnie do dziś w analizie niezawodności konstrukcji. Metoda m aprosta interpretację geometryczną, a jej istota polega na tym, że punkt linearyzacji powierzchni (funkcji) granicznej nie jest w pubkcie oczekiwanym (średnim), a w innym punkcie na tej powierzchni $x^{*}$, zwanym punktem obliczeniowym i pokazanym na rys.1.
Punkt obliczeniowy $X^{*}$ jest tak dobrany, by odległość $\beta$ od poczatku układu w prztrzeni standaryzowanych zmiennych normalnych $X$ była minimalna:
| $ \beta : ||\overline {OX^{*}}||=min $ | (9) |
Indeks $\beta$ spełniajacy warunek (8) jest indeksem Hasofera-Linad $\beta_{H-L}$
Punkt linearyzacji $X^{*}$, to punkt, któremu odpowiada największa wartość funkcji gęstości prawdopodobieństwa spośród wszystkich punktów leżących w obszarze awarii [8].
Z definicji (8) wynika, że operujemy w gaussowskiej przestrzeni standaryzowanej. Dowolną przestrzeń losową $X$ (ze zmiennymi rozłożonymi według różnych rozkładów prawdopodobieństwa: normalnego, lognormalnego, Gumbela, Weibulla, Frecheta itd.) należy przetransformować do przestrzeni normalnej i standaryzowanej $U$. Transformację zmiennych podstawowych opisano w można przeprowadzić metodą Rosenblata [9].
Jeśli znany jest tylko wektor wartości średnich oraz macierzy kowariancji, to transformacja przestrzeni $X$ do $U$ ma postać:
| $U=L^{-1 } D^ {-1}(X-\overline X) $ | (10) |
gdzie:
D- macierz diagonalna z odchyleniami standardowymi zmiennych losowych na przekątnej;
L- macierz trójkątna dolna otrzymywana z dekompozycji Cholesky’ego macierzy współczynników korelacji.
Paradoks indeksu Hasofera-Linda
Z definicji wskaźnika jako odległości od powierzchni granicznej (8) wynika jego podstawowa wada – większa wartość β nie zawsze oznacza mniejsze prawdopodobieństwo awarii. Jednak dokładność wyników otrzymywanych przy jego użyciu jest zazwyczaj wystarczająca dla praktycznych potrzeb. W związku z tym jest on popularny jako miara niezawodności, zwłaszcza w połączeniu z metodami transformacji wykorzystującymi pełną informację o rozkładach zmiennych podstawowych X.
Postęp w technologii obliczania niezawodności metodami symul;acyjnymi lub adaptacyjnymi, wypiera stosowanie indeksu Hasofera-Linda, między innymi ze wzhględu na przedstwiony wyżej pardoks w jego stosowaniu.
Ciekawe wyniki badań w zakresie zastosowania metod adaptacyjnych zawiera praca [10].
Wskaźnik niezawodności Fiesllera-Rackwitza
Rackwitz i Fiessler [4] w istocie nie zaproponowali nowego wkażnika niezawodności, tylko prosty i efektywny algorytm znajdowania punktu obliczeniowy $X^{*}$ podczas wyznaczenia indeksu Hasofera-Linda (pkt. 5.1 i rys.1)., co zapiszemy:
| $\beta_{R-F}=\beta_{H-L} $ w algorytmie iteracji R-F. | (11) |
Algorytm Rackwitz-Fiessler (R-F) wyróżnia się efektywnością w stosunku do wielu znanych metod programowania nieliniowego ze względu szczególną postać funkcji celu. Podstawowy schemat iteracji
| $u^{(k+1)} = \dfrac{1}{|\nabla G(u^{(k)}|^2} (\nabla G^T(u^{(k)})u^{(k)}-G(u^{(k)}) \nabla G(u^{(k)})$ | (12) |
stosowany przez Rackwitz i Fiessler zaaprobowali co prawda już [3], ale istotne było połączenie tej metody z transformacją niezależnych zmiennych losowych o dowolnych rozkładach prawdopodobieństwa do standardowych zmiennych normalnych oraz zaproponowali algorytm poszukiwania punktu projektowego. Obecnie do transformacji zależnych zmiennych losowych najczęściej stosowane są transformacje Rosenblatta, zaproponowane przez [11] oraz transformacje Natafa, zaproponowane przez [12].
W celu przyspieszenia zbieżności itercji algorytmu R-F wprowadzano szereg modyfikacji. Na przykład [13] poprawiają długość kroku iteracji metodami rekurencyjnego programowania kwadratowego.
Literatura
- Cornell, C. A. (1969). A Probability Based Structural Code. American Concrete Institute Journal, 66, 974–985
- Rosenbluth, E., Esteva, L. (1972). Reliability Bases of Some Mexican Codes (SP-31; ACI Publications, pp. 1–41). American Concrete Institute
- Hasofer, A. M., Lind, N. . C. (1974). Exact and invariant second-moment code for-mat. Journal of Engineering Mechanics Division ASCE, Vol.100(No EM1/1974), 111–121
- Rackwitz, R., Fiessler, B. (1978), Structural reliability under combined random loads sequences. Computers and Structures, 9, 489–494
- Winkelmann, K. (2013). Obliczanie niezawodności konstrukcji inżynierskich metodami symulacyjnymi oraz metodą powierzchni odpowiedzi, Praca doktorska, Politechnika Gdańska [ http://pbc.gda.pl/Content/34300/phd_winkelmann.pdf ]
- Stocki R. (1999), Niezawodnościowa optymalizacja konstrukcji prętowych w zakresie dużych przemieszczeń. Teoria i program komputerowy, Praca doktorska, IPPT PAN, [ http://bluebox.ippt.pan.pl/~rstocki/Dok.pdf ]
- Murzewski, J. (1989), Niezawodność konstrukcji inżynierskich. Arkady
- 7QCC8P4T
- Rosenblatt, M. (1952). M. . Remarks on multivariate transformation. The Annals of Mathematical Statistics, 23, 470+472
- Kolanek K. (2006), Analiza i optymalizacja niezawdności konstrukcji za pomocą ad-aptacyjnych metod symulacyjnych [Praca doktorska]. IPPT PAN , [ http://www.ippt.pan.pl/_download/doktoraty/Kolanek_doktorat.pdf ]
- Hohenbichler, M., & Rackwitz, R. (1981). Non-normal deoendent vectors in. Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, 107, 1227–1238
- Der Kiureghian, A., Liu, P. L. (1986), Structural reliability under incomplete probability information. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 112, 85–104
- Abdo, T., Rackwitz, R. (1990), A new beta-points algorithm for large time-invariant and time-variant reliability index. Der Kireghian A., Thoft-Christeinsen P.,(Edt) Relia-bility and Optimiztaion of Structurals Systems’90. Proceeedings, 1–11
________________________________
