Uogólnienie formuły Ayrton-Perry

Część 2-3 podręcznika
Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji ] ← spis treści |

Nawigacja: [2-2:  Geneza metod imperfekcyjnych ]  ⇐  ⊗   ⇒ [2:4 : Alternatywna amplituda imperfekcji ]

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 0 Czytelników
Uwagi i recenzje podręcznika  przesyłać na adres wydawnictwa: wydawnictwo@chodor-projekt.net


Formuła Ayrton-Perry (APF) [1] jest podstawą współczesnej formacji współczynników wyboczenia i zwichrzenia  mimo, że została sformowana dla prostego przypadku ściskanego osiowo pręta idealnie sprężystego, obarczonego zdeterminowaną imperfekcją w postaci łukowego wygięcia. Obecnie formułę tę uogólniono na przypadek łącznego działania wyboczenia i zwichrzenia, czym zastąpiono skomplikowany układ współczynników korelacji z normy Eurokod. 

Artykuł w opracowaniu

Uogólnienie formuły APF na zwichrzenie pręta

Podejście Eurokod

Maquoi i Janss (1991), [2] podjęli próbę uogólnienia formuły APF na przypadek zwichrzenia pręta w drodze skalibrowania formuły pierwotnej do wyników eksperymentalnych. W późniejszej wersji normy [3] zaimplementowano zmodyfikowaną wersję tej formuły w postaci przedstawionej w rozdziale postać Eurokod APF.. Wyprowadzenie teoretyczne formuły APF na przypadek skręcania i zwichrzenia prętów podali Chapman  i Buhagiar (1993) [4]. 

Modyfikacja Taras-Greiner

Tras i Greiner (2010) [5]  zaproponowali zmodyfikowaną postać współczynnika zwichrzenia , która jest dokładniejsza niż wyrażenia podane w EC3 [3] i jednocześnie bardziej spójna z innymi zasadami projektowania prętów. Zmodyfikowaną  postać uzyskano w drodze kalibracji numerycznej ogólnych krzywych normowych dla belek „testowych” pokazanych na rys. 2-4-1 . Kalibrację przeprowadzono metodą GMNiA (Geometrycznie i Materiałowo Nieliniowa Analiza  MES) dla belek jednoprzęsłowych zginanych równomiernie, obarczonych imperfekcją łukową $e_0 = L/1000) i wykonanych z dwuteowników europejskich, obarczonych naprężeniami resztkowymi.

Rys.2-4.1. Przypadek „benchmark”. Założenia przyjęte w analizie GMNiA [5]- fig. 5

Krzywe teoretyczne podobne do podanych w nomie Eurokod (2-3.13) i (2-3.14) dla przypadku zwichrzenia zaproponowano w zmodyfikowanej postaci

$$\begin{equation} \chi_{LT}=\cfrac{1}{\Phi_{LT} +\sqrt{\Phi_{LT}^2 –  \overline \lambda_{LT}^2}} \quad  \le 1 \label {2-4.1} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Phi_{LT}=1/2 \cdot \left ( 1+\alpha_{LT} \cdot(\overline\lambda_z -0,2) \cdot \sqrt{\cfrac{W_{y,el}}{W_{z,el}}} \cdot \cfrac{\overline \lambda ^2_{LT}}{\overline \lambda^2_z} + \overline \lambda_{LT}^2 \right )  \label{2-4.2}\end {equation}$$

W przypadku kształtowników półzwartych klasy 3 warunek należy dodatkowo sprawdzić:

$$\begin{equation} M_{Ed}< M_{Rd}= \cfrac{W_{y,el}\cdot f_y}{\gamma_{M1}}\label{2-4.3}\end {equation}$$

Zmodyfikowane współczynniki klasy imperfekcji dla kształtowników walcowanych należy przyjmować następująco:

$$\begin{equation} \alpha_{LT} = \begin {cases}
0,16 & \text { dla  } \cfrac{h}{b} \le 1,2\\
0,12 & \text { dla  } \cfrac{h}{b} > 1,2
\end{cases} \label{2-4.4} \end {equation}$$

Przypomnijmy, że według obecnej normy (PN-EN 1993-1-1+A1:2006, Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków)) granice pomiędzy klasami imperfekcji wyznacza stosunek wymiarów przekroju $h/b=2$, a współczynniki klasy imperfekcji wynosiły: $\alpha_{LT}=0,2$ (krzywa wyboczeniowa (a)) dla niższych przekrojów oraz  $\alpha_{LT}=0,2$ (krzywa wyboczeniowa (b)) dla wyższych przekrojów. Nadto w EC3 wprowadzono procedurę szczególn: $\alpha_{LT}=0,34$ (krzywa wyboczeniowa (a)) dla niższych przekrojów oraz $\alpha_{LT}=0,49$ (krzywa wyboczeniowa (b)) dla wyższych przekrojów. Modyfikacja Taras-Greiner nie przewiduje procedury szczególnej.

Uogólnienie formuły APF na interakcję wyboczenia i zwichrzenia

Formuła Szalai-Papp

Szalai i Papp  [6] przedstawili rozwiązanie fundamentalnego problemu korelacji ściskania ze zginaniem z uwzględnieniem wyboczenia giętnego oraz bocznego (zwichrzenia). Parametry tego problemu oznaczono indeksami BC ( Buckling-Compression). Formułę APF dla problemu BC zapisano jako zmodyfikowane równanie kwadratowe Eurokod (2-3.12) w postaci:

$$ \begin {equation}  \chi_{BC}^2 + \chi_{BC} \cdot \left [ – \, \beta_N \, – \cfrac{1}{ \overline \lambda_{BC}^2} \cdot  \left( 1-\Theta_{BC} \right )  \right ] +\cfrac{1}{ \overline \lambda_{BC}^2} \beta_N = 0 \label {2-4-5} \end {equation}$$

gdzie uogólniony parametr imperfekcji  $\Theta_{BC}$ wynosii:

$$ \begin {equation}  \Theta_{BC}= \cfrac{W_y}{W_\omega} \cdot  \left [ v_0 \cdot a_{ \Lambda,z }+ \varphi_0  \cdot a_{ \Lambda,x } \left( \cfrac{W_\omega }{W_z} – \cfrac{GI_T}{M_{cr}} \right ) \right ] \label {2-4.6}  \end {equation}$$

Współczynniki amplifikacji a_{\Lambda,x} oraz a_{\Lambda,z} można wyznaczyć ze zmodyfikowanych zależności (2-1.12):

$$ \begin {equation}  a_{\Lambda,x}= \cfrac{1}{1-1/\Lambda_{cr,x}} \quad ; \quad  a_{\Lambda,z}= \cfrac{1}{1-1/\Lambda_{cr,z}}\label {Papp5}  \end {equation}$$

gdzie mnożniki krytyczne (2-1.13) oblicza się z wyrażeń:
$\Lambda_{cr,x}=\cfrac{N_{cr,x}}{N}$ – mnożnik krytyczny przy czystym wyboczeniu skrętnym, $N_{cr,x}= \cfrac{1}{r_0^2}\left( \cfrac{EI_\omega \pi^2}{L^2}  +GI_T\right)$ ,
$\Lambda_{cr,z}=\cfrac{N_{cr,z}}{N}$ – mnożnik krytyczny przy czystym wyboczeniu giętnym względem osi z, $N_{cr,z}=\cfrac{EI_z \pi^2}{L^2}$,

Współczynnik interakcji zginania i ściskania $\beta_N$  został wyprowadzony  w sytuacji  równomiernego zginania  siłami drugiego rzędu (pochodzącymi z rozwiązania II rzędu):  momentem $M_y^{II} $ w kierunku głównej osi przekroju, $M_z^{II}$ w kierunku słabszej osi i ściskanych stałą siłą osiową $N_x$ , a także paczonych  bimomentem  $B^{II}$ . Naprężenia  w przekroju sprawczym  wynoszą:

$$ \begin {equation}  \sigma=\cfrac{M_y}{W_y}+ \cfrac {M_Z^{II}}{W_z}+\cfrac{B^{II}}{W_\omega}=f_y  \label {Papp1}  \end {equation}$$

gdzie $W_y$, $W_z$ oraz $W_\omega$ są wskaźnikami wytrzymałości przekroju względem osi „y” i „z” oraz wskaźnikiem wytrzymałości giętno- skrętnej „$\omega$”.

Zagadnieniem zwichrzenia rządzi formuła APF analogiczna do ($\ref{2-3.5}$) z rozwiązaniem ($\ref{2-3.6}$), ale konsekwentnie w miejsce współczynnika wyboczeniowego $\chi$ należy podstawić współczynnik zwichrzenia $\chi_{LT}= \cfrac{M_y}{M_R}$,a w miejsce smukłości względnej $\overline \lambda$ smukłość na zwichrzenie $\overline \lambda_{LT} =\sqrt{\cfrac{M_R}{M_{ce}}}$ , gdzie $M_R=W_y\cdot f_y$.

Parametr imperfekcji  ($\ref{2-3.2a}$) dla zwichrzenia wynosi

$$ \begin {equation}  \Theta_{LT}= \cfrac{W_y}{W_\omega} \cdot \left [ v_0 + \varphi_0 \left( \cfrac{W_\omega }{W_z} – \cfrac{GI_T}{M_{cr}} \right ) \right ] \label {Papp2}  \end {equation}$$

gdzie $v_0$ oraz $\varphi_0$ amplitudy imperfekcji : wygięcia bocznego oraz kąta skręcenia przekroju elementu.

Kompletną analizę zagadnienia APF dla słupów-belek przedstawiono w pracy [7] . Rozwiązanie [6] rozszerzono na dowolne rozkłady momentów zginających. Pokazano, że zaproponowana procedura projektowania jest lepsza od  formuł interakcji normy [3] (metoda 2).

Należy zwrócić uwagę, że z  formuły ($\ref{Papp2}$) można ocenić parametr imperfekcji w przypadku zwichrzenia dla znanych imperfekcji projektowych, wyznaczonych z tolerancji wykonawczych.

Współczynnik korelacji zginania ze ściskaniem (współczynnik udziału ściskania) wynosi:

$$ \begin {equation}   \beta_N =1-n+m_z^{II}+b^{II} \label {Papp6} \end {equation}$$

gdzie $n=\cfrac{N}{N_R}$, $m_z^{II} = \cfrac{M_z^{II}} {M_{R,z}}$, $b^{II}=\cfrac{B^{II}}{B_R}$ są względnymi siłami przekrojowymi: siłą osiową, zginającym momentem  względem osi „z” drugiego rzędu oraz bimomentem drugiego rzędu. Siły względne są odniesione do nośności przekroju: $N_R=N_{pl} A \cdot f_y$, $M_{R,z}=W_z\cdot f_y$, $B_R=W_\omega\cdot f_y$, gdzie $A$ – pole przekroju, $W_z$ – wskaźnik wytrzymałości względem osi słabszej, $W_\omega$ – wycinkowy wskaźnik wytrzymałości.

Współczynnik korelacji najprościej wyznaczać dla sił uzyskanych z rozwiązania drugiego rzędu od wymuszeń imperfekcji. Można też oszacować je w przybliżeniu z zależności:

$$ \begin {equation}    M_z^{II}=M_{z,0} \cdot a_{\Lambda,z} =N\cdot v_0\cdot a_{\Lambda,z} \label {2-3.50} \end {equation}$$

$$ \begin {equation}    B^{II}= \varphi_0\cdot a_{\Lambda,x} \cdot \left [ N\cdot r_0^2 -GI_T \cdot \left (1-\cfrac{1}{ a_{\Lambda,x}} \right )\right ]  \label {2-3.51} \end {equation}$$

Zalezności ($\ref{2-4-5}$) do $\ref{Papp5}$) są prawdziwe wówczas, gdy wygięcie wstępne $v_0$ oraz wstępny kąt skręcenia $\varphi_0$ spełniają zależność

$$ \begin {equation}    \cfrac{v_0}{\varphi_0}=\cfrac{M_{cr}}{N_{cr,z}}=r_0 \sqrt{\cfrac{N_{cr,x}}{N_{cr,z}}} \label {2-3.52} \end {equation}$$

gdzie $r_0$ jest biegunowym promieniem bezwładności przekroju.

Rozwiązaniem równania kwadratowego APF również w przypadku interakcji zginania i ściskania przedstawiają formuły ($\ref{2-3.6}$), w których należy podstawić odpowiednie smukłości i parametr imperfekcji.
Z przedstawionych zależności wynika,  parametr imperfekcji zależy od długości pręta oraz przekroju elementu. Funkcyjne zależności są dość złożone, co potwierdza, że zastosowanie teorii wyboczeniowej może prowadzić do słabych oszacowań wytężenia pręta. Z rys. 2-3.16 wynika, że przy interakcji zginania i ściskania zależność współczynnika wyboczeniowego od smukłości może przyjąć zupełnie inny kształt od krzywych normowych.

Rys.2-3.16. Współczynniki wyboczeniowe dla czystego zwichrzenia i interakcji zginania i ściskania.

Lepszym rozwiązaniem jest  wyznaczenie momentu krytycznego  $M_{cr,N}$ pręta,  zmniejszonego wskutek jednoczesnego ściskania i wichrzenia zgodnie z fromuła interakcji:

$$ \begin {equation}    M_{cr,N}=r_0\cdot \sqrt{(N_{cr,z}-N)\cdot (N_{cr,x}-N)}\label {2-3.53} \end {equation}$$

 

Hipoteza Papp dla zwichrzenia pręta

Papp [8] wyznaczył równoważną amplitudę dla postaci wyboczenia bocznego (zwichrzenia) poprzez uogólnienie podejścia [1] na sprzężony problem (ang. coupled) utraty stateczności pręta, tzn. wyboczenia giętnego sprzężonego z wyboczeniem skrętnym i wyboczeniem bocznym (zwichrzeniem). Matematycznie nie jest ściśle możliwe i praktycznie nie jest potrzebne rozdzielenie postaci wyboczenia giętnego, skrętnego oraz bocznego (zwichrzenia.

Rozwiązanie bazuje na fundamentalnym rozwiązaniu zagadnienia dla wyboczenia giętnego [9] , [9] i uogólnia je na przypadek zwichrzenia. [8] założył mianowicie, że imperfekcje boczne belki są proporcjonalne do funkcji bocznego wyboczenia sprężystego odpowiadającej postaci bocznego wyboczenia sprężystego $\nu_{cr} (x)$.

Zależność na równoważne wstępne wygięcie boczne preta (imperfekcję boczną)  $\nu_0(x)$ w funkcji obliczeniowej amplitudy bocznego wygięcia wstępnego (imperfekcji) $e_{0,z}$  oraz siły krytycznej (Eulera) dla przypadku wyboczenia z płaszczyzny pręta $N_{cr,z}$  zapisano w postaci:

$$ \begin {equation}  v_0(x) =e_{0,z} \cdot  \cfrac{N_{cr,z}}{EI_z \cdot {v^”}_{cr,max} } \cdot  v_{cr} (x) \label {2-3.54}  \end {equation}$$

Równoważne wstępne skręcenie wstępne (imperfekcja skręcenia) wynosi

$$ \begin {equation}  \varphi_0 (x)=  \cfrac{N_{cr,z} }{M_{cr}} \cdot v_0(x) \label {2-3.55}  \end {equation}$$

Formuła ($\ref{2-3.54}$) stanowi uogólnienie normowego wyrażenia na przypadek wyboczenia bocznego (zwichrzenia). Na Rys. 2-3.17 zilustrowano podstawowe zmienne modelu Pappa: – imperfekcje pręta: wygięcie boczne i kąt skręcenia odpowiednio; – wygięcie boczne i kąt skręcenia pręta po obciążeniu (w stosunku do kształtu z imperfekcjami).

W dobie powszechnej komputeryzacji, szczególnie interesujące jest zaproponowane iteracyjne ujęcie numeryczne zagadnienia.

Rys. 2-3.167 Model pręta Pappa w stanie zwichrzenia (opracowano na podstawie [8] )

Formuła Szalai

W pracy [6] przedstawiono postać formuły Ayrton-Perry (APF)  na przypadek zwichrzenia pręta. W 2017 roku Szalai zaprezentował formułę amplifikacji imperfekcji geometrycznych dla belki-słupa, czyli pręta ściskanego, zginanego  i skręcanego nieswobodnie podlegającego  jednoczesnemu wyboczeniu giętnemu  i zwichrzeniu. Uogólnioną formułę amplifikacji da się zapisać w postaci macierzowej [10], wzór (23) :

$$ \begin {equation}  [u](x) =a_\Lambda \cdot [u]_0(x) \label {2-3.56}  \end {equation}$$

gdzie:
$[u]_0(x) $  imperfekcje geometryczne pręta: wstępne skrócenia $u_0 (x)=0$, wygięcia w kierunku poprzecznym do pręta $v_0(x)$, ugięcia $ w_0(x)$ oraz skręcenia $\varphi_0(x)$ ujęte w wektor
$ [u]_0 (x)= \left [ \begin{array}{l}
0 \\
v_0(x)\\
w_0(x)\\
\varphi_0(x)
\end{array} \right] $

$[u](x)$ całkowite przemieszczenie pręta w stanie II rzędu   złożone z imperfekcji  $[u[_0(x)$ oraz ich przyrostu wywołanego działaniem sił przekrojowych
$ [u] (x)= \left [ \begin{array}{l}
u(x) \\
v(x)\\
w(x)\\
\varphi(x)
\end{array} \right] $

Współczynnik amplifikacji $a_{\Lambda}= \cfrac{1}{1-\tfrac{1}{\Lambda_{cr}}}$ zdefiniowano w  rozdziale „Imperfekcyjna metoda. Pojęcia podstawowe”  wzór (1-1.12),

przy czym mnożnik krytyczny $\Lambda_{cr}$ należy wyznaczać w analizie LBA całego ustroju na modelu uwzględniającym wszystkie badane postacie wyboczenia, czyli wyboczenie giętne, skrętne i giętno-skrętne (zwichrzenie). Takim modelem jest uogólniony pręt Własowa, to znaczy pręt o siedmiu stopniach swobody z paczeniem jako siódmym stopniem.

Formuła ($\ref{2-3.56}$) jest uogólnieniem klasycznej formuły amplifikacji ($\ref{2-3.22}$) i jest analogicznie wyprowadzona. Całość wyprowadzenia można znaleźć w pracy [10].

Rys. 2-3.18 Ilustracja do formuły Szalai [10]

Na rys. 2-3.18 pokazano ilustrację zagadnienia ściskania rzeczywistego pręta w nomenklaturze przyjętej w pracy [10] . Nośność $N_R$ jest nośnością przekroju na czyste ściskanie. Natomiast $N_{cr}$ jest nośnością pręta (Eulera). Definiuje się następujące mnożniki obciążenia $N$:
krytyczny  $\Lambda_{cr}=N_{cr}/N$ (1-1.13),
graniczny (spręzysto-plastyczny) $\Lambda_{lim}=N_{lim}/N$ (1-1.16)
przekroju (nośności plastycznej $N_R=A \cdot f_y$ , $\Lambda_R=N_R/N$
Odróżnienie tego podejścia od prezentowanego w podręczniku polega na tym, że w miejsc mnożnika plastycznego konstrukcji $\Lambda_{pl}$ (1-1.15) stosuje się nośność plastyczną przekroju $\Lambda_R$.


[ Alternatywna amplituda imperfekcji ]

Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło:
Leszek Chodor, (2017-2020), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki, Wydawnictwo Chodor-Projekt,
[ https://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]


Historia edycji artykułu:
Publikacja jest edytowana od roku 2017, pierwotnie jako podręcznik dla wydawnictwa PWN, Zakończenie edycji zostało przerwane na początku roku 2018 na skutek wypadku i rekonwalescencji autora podręcznika.  Obecnie cykl artykułów składający się na podręcznik jest w trakcie edycji internetowej i jest publikowany odcinkami.

(2019-04-08 do 15) wersja 1,0: wersja pierwotna
(2019-05-27) Wersja 2.0: dokonano podziału rozdziału na części w celu poprawy procesu wczytywania strony 

Bibliografia artykułu
  1. Ayrton W. E., & Perry J. (1886). On Struts. The Engineer, 464–513
  2. Maquoi R., Janss J., (1991), EC3 design model for lateral torsional buckling resistance. In: International conference on steel and aluminium structures, Singapore, 22-24 May 1991
  3. PN-EN 1993-1-1+A1:2006, Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
  4. Chapman J. C., Buhagiar D. (1993), Application of Young’s buckling equation to design against torsional buckling. Proc Instn Civ Engrs Structs and Bldgs, 99, 359–369
  5. Taras A., Greiner R., (2010), New design curves for lateral-torsional buckling-Proposal based on a consistent derivation, Journal of Constructional Steel Research 66, pp.648-663
  6. Szalai J., Papp F. (2010). On the theoretical background of the generalization of Ayrton-Perry type resistance formulas. Journal of Constructional Steel Research, 670–679
  7. Tankova T., Marques L., Simoes da Silva L., Andrade A. (2017), Development of a consistent methodology for the out- of- plane buckling resistance of prismatic beam-columns. Journal of Constructional Steel Research, 128, 839–852
  8. Papp F. (2016). Buckling assessment of steel members through overall imperfection method. Engineering Structures, 106, 124–136, [ https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2015.10.021 ]
  9. Chladny E., Stujberova M. (2013). Frames with unique global and local imperfection in the shape of the elastic buckling mode.Part 1. Stahlbau, 82(8), 609–617
  10. Szalai J. (2017). Complete generalization of the Ayrton-Perry formula for beam-column buckling problems. Engineering Structures, 153, 205–223
_______________
Koniec
Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »