Leszek Chodor, 5 grudnia 2018
07-02-2025 rewizja po dużej awarii portalu
W przypadku nieczytelnych treści, proszę powiadomić: leszek@chodor.co
Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 28 Czytelników
Słupy żelbetowe są głównym elementem konstrukcji szkieletowych lub płytowo-słupowych.
Slupy znamienne są tym, że mogą ulec utracie stateczności – wyboczeniu, a także tym, że są wrażliwe na efekty II rzędu, czyli na wpływ przemieszczeń na siły przekrojowe. Zjawiska te są obszernie analizowane w internetowym podręczniku „Imperfekcyjna metoda projektowania„.
Konstrukcja, zawierająca słupy powinna być analizowana metodami imperfekcyjnymi na modelu całego systemu. Tradycyjnie stosowana analiza wydzielonych elementów prowadzi do skomplikowanej procedury projektowania a jednocześnie przybliżonej i jest już uznana za metodę historyczną, więc nie będziemy się nią zajmować.
Metoda imperfekcyjna jest pojęciowo prosta, choć wymaga zastosowania programów komputerowych z analizą II rzędu. Praktycznie wszystkie współczesne programy komputerowe posiadają procedury analizy nieliniowej i drugiego rzędu, więc analizę II rzędu należy traktować jako metodę standardową, a metody I rzędu już tylko jako historyczne.
Konstrukcję jako całość należy obciążyć wymuszeniami od imperfekcji, czyli niedoskonałości geometrycznych. W praktyce oznacza to obciążenie konstrukcji równoważnymi, fikcyjnymi siłami poziomymi, stowarzyszonymi z obciążeniami grawitacyjnymi (pionowymi). Siły przekrojowe uzyskane z rozwiązania II rzędu idealnego geometrycznie systemu konstrukcyjnego obciążonego łącznie siłami zewnętrznymi i siłami imperfekcji zawierają w sobie siły drugiego rzędu (wyboczeniowe) i w rezultacie nie jest wymagana analiza wydzielonych elementów ściskanych wg [1], kl.5.8.3. W konsekwencji problem sprowadza się w istocie do analizy przekrojów, a nie elementów.
Specyfika konstrukcji żelbetowych w istocie sprowadza się do zdefiniowania metody wyznaczenia sztywności pręta betonowo-stalowego. Standardowo stosujemy metodę nominalnej sztywności, umożliwiającą analizę sił przekrojowych i stateczności statycznie niewyznaczalnych konstrukcji żelbetowych procedurami przewidzianymi dla konstrukcji wykonanych z materiałów jednorodnych (np stali).
Kształtowanie słupów żelbetowych
Słupy żelbetowe mają najczęściej przekrój prostokątny (rys.1) lub okrągły, a w przypadkach szczególnych (np w narożach) stosuje się słupy o innym przekroju (rys. 3d). Jako słupy uważa się elementy pionowe, których stosunek boków nie jest większy niż 4 (h/b ≤4 ). Elementy o stosunku boków większych niż (h/b >4 ) uznaje się za ścianę. Ta kwalifikacja jest istotna ze względów ochrony pożarowej zgodnie z normą [2].
Ze względu na dokładność metody analizy statycznej przyjmuje się, że wysokość słupa H, traktowanego jako pręt powinna być większa niż 3-krotny większy wymiar przekroju poprzecznego (H/h>3). Krótsze słupy należy analizować jak tarcze.
Zaleca się, aby smukłość słupa żelbetowego, wyznaczona z klasycznej zależności λ=l0ic nie była zbyt duża:
λ≤100
Długość obliczeniowa (wyboczeniowa) l0 dla słupa przegubowo-przegubowego wynosi l0=H. W obliczeniach wstępnych zwykle przyjmuje się długość obliczeniową jako wysokość słupa w świetle stropów (czyli l0≈H).
Promień bezwładności przekroju betonowego ic=√Ic/Ac jest obliczany dla przekroju niezarysowanego betonu bez uwzględnienia zbrojenia.
W przypadku przekroju prostokątnego o wymiarach (hxb) promień bezwładności wynosi ic=√(b⋅h3/12)/(b⋅h)=h/√12 i smukłość pręta wynosi
λ=√12l0h=3,464l0h
a ograniczenie (2) sprowadza się do
λc=l0h≤30
Warunki (2) lub (3) są tylko informacyjne (nie obowiązujące) i mają na celu ograniczenia nadmiernego wpływu niestateczności słupa na jego wymiary w przypadkach nie poddanych analizie stateczności ( dla konstrukcji spełniającyh ( 11)). We współczesnych konstrukcjach często potrzebne jest zastosowanie słupów o większej smukłości słupów, ale wówczas należy przeprowadzić dokładną analizę stateczności, ale też rozważyć, czy bardziej ekonomicznym rozwiązaniem nie będzie zastosowanie słupa zespolonego.
W każdym przypadku należy sprawdzić wymiary oraz smukłość słupa żelbetowego z warunku ochrony pożarowej zgodnie z [2].
Zbrojenie podłużne
Na rys.1 zilustrowano podstawowe zasady kształtowania zbrojenia w przekroju poprzecznym słupa. Średnica zbrojenia podłużnego nie powinna być mniejsza niż 8 mm (w Polsce 6 mm). W słupach o przekroju wielokątnym w każdym narożu należy umieścić co najmniej jeden pręt. W słupach o przekroju kołowym należy stosować co najmniej 4 pręty.
Suma przekroju zbrojenia podłużnego As powinna spełniać wymagania:
As≥0,002Ac oraz ≥0,10NEdfy oraz ≤0,04Ac
gdzie Ac – pole betonu.
Wymóg maksymalnego zbrojenia 4% może być dwukrotnie przekroczony na odcinkach, w których pręty są łączone na zakład, a także wówczas, gdy w drodze badań zostanie wykazane, że nie wpłynie to negatywnie na właściwości konstrukcyjne betonu i jego współpracę ze stalą (osiąga się pełną nośność przekroju).

Rys.1 Kształtowanie przekroju słupa [3], rys.22.21

Rys.2. Rozmieszczanie strzemion w słupie (opis w tekście) [4], rys. 13.98
Zbrojenie poprzeczne (strzemiona)
Wszystkie ściskane pręty podłużne powinny być objęte przez strzemiona, tak by każdy pręt umieszczony w narożu był trzymany w dwóch kierunkach. W strefie ściskanej odległości między dowolnym prętem, a prętem trzymanym nie powinna przekraczać 150 mm.
Długości zakładów wyznacza się na zasadach ogólnych przedstawionych w artykule „Belki żelbetowe” i oblicza za pomocą zamieszczonego tam arkusza kalkulacyjnego.
Średnica zbrojenia poprzecznego ( strzemion, siatek, spiral) w słupach okrągłych nie powinna być mniejsza od 6 mm i 0,25 największej średnicy zbrojenia podłużnego.
Podstawowy rozstaw strzemion s1 (rys.2) nie powinien przekraczać
- 400 mm
- długości mniejszego boku słupa
- 20 średnic zbrojenia podłużnego.
Podstawowy rozstaw strzemion s1 należy zmniejszyć do s2=0,6s1 w przypadkach:
- powyżej i poniżej belki lub płyty na odcinkach o długości l2=h (większego boku słupa)
- na odcinkach połączenia na zakład prętów o średnicy większej niż 14 mm. Wówczas wymaga się przynajmniej trzech strzemion rozmieszczonych równomiernie na długości zakładu.
W przypadku, gdy łączone odcinki słupa nad i pod belka (płytą) nie różnią się znacznie wymiarami, to pręty podłużne można złamać w sposób pokazany na rys 2, ale kąt załamania α powinien spełniać warunek tgα≤1/6. Ponadto w przypadku załamania prętów podłużnych należy zastosować dodatkowe strzemiona przejmujące siłę wypadkową z prętów załamanych. Siła to wynosi HEd=NEd⋅tgα, czyli średnica dodatkowych strzemion Øs≥tgα⋅Ø, gdzie Ø jest średnicą zbrojenia głównego.
Jeżeli łączone odcinki słupa znacznie różnią się wymiarami, to nie należy wyginać prętów połączeniu, lecz zastosować oddzielne pręty łączące, połączone na zakład z prętami podłużnymi lub zastosować połączenia spawane , bądź śrubowe.
Strzemiona pojedyncze (rys. 2) stosuje się tylko dla słupów o wymiarze przekroju nie przekraczającym 400 mm. W innych przypadkach stosuje się strzemiona wielokrotne (przykład rys. 3 b-d)

Rys.3. Szczególne przypadki zbrojenia przekroju słupa: a) słup z hakami lb,net, b) słup- ściana, c) podwójne strzemiona, d) słup narożny, 1– pręty montażowe (Starosolski, W. (2013). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych, Tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN)), rys. 13.96-97
W przypadku gdy w narożu słupa znajdują się więcej niż trzy pręty podłużne, to należy stosować strzemiona zamknięte z hakami prostopadłymi lb,net (rys.3a).
Przeguby. Styki czołowe elementów ściskanych
Przeguby w tym stopy lub głowice przegubowe słupów występują najczęściej w słupach prefabrykowanych. W przypadku słupów monolitycznych często projektuje się przegubowe głowice.
Prefabrykaty ( lub powierzchnie czołowe elementów wykonywanych na budowie) należy zawsze układać na łożyskach lub na warstwie zaprawy montażowej. łożyska bez warstwy pośredniej (łożyska suche) są dopuszczone jedynie w przypadku niewielkiego naprężenia ściskającego w styku wynoszącego nie więcej niż 0,4fcd [5], rozdział 13.18.2, W każdym jednak przypadku należy stosować przekładkę z materiału izolacyjnego.

Rys 4. Przeguby w żelbecie [6], fig.3.1
Rozróżnia się przeguby z miękkimi i twardymi łożyskami. W przypadku złącze z miękkim łożyskiem (rys 4 – 1-sza z lewej) -boczne przemieszczenie materiału łączącego prowadzą do powstania sił rozciągających blisko powierzchni czołowych. Powstałe boczne naprężenia rozciągające muszą zostać przeniesione przez zbrojenie przypowierzchniowe oraz strzemiona lub poprzez okucie końca elementu .
Złącze z twardym łożyskiem jest rodzajem złącza, w którym moduł sprężystości materiału przekładki jest równy co najmniej 70% modułu sprężystości elementu dochodzącego (betonu). Złącze z twardym łożyskiem i zmniejszonym przekrojem (rys. 4 środkowy) powoduje powstawanie rozciągania bocznego w wyniku przekierowania sił z całego przekroju na przekrój zredukowany. Siły boczne musi przejąć zbrojenie strzemionami w pewnej odległości od powierzchni czołowej (zasadniczo mniejszej od wymiaru boku elementu).
Twarde łożysko nieskrępowane (rys. 4 z prawej) uzyskuje się przez zmniejszenie tarcia na powierzchniach czołowych materiału przekładki twardej (kryterium wyżej). Boczne naprężenia rozciągające spowodowane przekierowanie składowej obciążenia w pręty podłużne są stosunkowo małe
Rozróżniamy dwa rodzaje detali połączeń doczołowych :
a) ze stalową podkładką (marką, okuciem), b) z siatkami zbrojeniowymi pod powierzchniami czołowymi. Zastosowanie blach stalowych na czołach słupów jest bardzo skutecznym sposobem zapobiegania naprężeniom bocznym. Obciążenie podłużne jest dobrze przenoszona przez zaprawę (podlewkę) lub łożysko elastomerowe, a w sąsiedztwie łożyska nie powstają naprężenia wynikające z zakotwienia końcowego zbrojenia podłużnego słupa,
b) z siatkami zbrojeniowymi pod powierzchnią czołową słupa. W tym przypadku , tylko część siły działającej na powierzchnię czołową
jest przekazywana na łożysko podporowe, co powoduje mniejsze obciążenie pionowe, ale większe poziome siły rozpychające podkładkę. Większe naprężenia poziome musza być przeniesione przez zbrojenie obwodowe (strzemiona).

Rys.5 Zbrojenie słupa nad przegubowym łożyskiem [7]
Na rys. 5 pokazano detal zbrojenia słupa pomad łożyskiem przegubowym [7] w wariancie b) wyżej (bez stalowego podkucia, z siatką zbrojeniową). W tym wariancie siatka zbrojeniowa jest mieszczona centalnie w osi słupa na całej powierzchni czołowej. Siatka jest wbudowana w słup bezpośrednio bez otuliny betonowej Siatka powinna być wykonana z prętów o średnicy średnicę prętów nie większą niż ds=12mm Zewnętrzne węzły siatki muszą być ustawione na zewnętrznych powierzchniach słupa, a miejsca przecięcia muszą być starannie zespawane. Rozstaw prętów powinien być mniejsze niż sM=50mm, a łączniki ścinane (strzemiona) powinny być rozmieszczone zgodnie z rysunkiem.
Niestandardowe siatki na czołowe ściany słupów nie są zazwyczaj łatwo dostępne i należy je przygotować indywidualnie.
Nie należy przekraczać maksymalnej dopuszczalnej grubości płyty pod łożyskiem typu butt-joins z twardym łożyskiem maxdm=20mm
Detal z rys.5 należy rozpatrywać łącznie z rys.2.
Dla najczęściej stosowanego betonu C30/37 (dla którego f_{ck,0,05 = \, 2 MPa) i stali B500 ( dla której γs⋅fyd=fyk=500MPa) zachodzi:
llink=(0,754⋅2,25=336)⋅dsfykfctk0,05=3/36⋅500/2⋅ds=20ds.
Przykładowo dla słupa 400×400 zbrojonego prętami ds=12mm mamy:
(rys. 5 ) → llink=20⋅12=240mm , hu=b–llink=400−240=160mm
(rys. 2) → długość odcinka zagęszczenia strzemion l2=h=400mm z rozstawem strzemion s2=0,6⋅max400;20⋅12;400=240mm
W rozważanym przypadku strzemiona należy zagęścić n a odcinku (powyżej otulenia a od czoła słupa licząc):
l2=max160;400=400mm
w rozstawie s2=min{240;240}=240mm
Odcinek l2 jest podzielony na trzy strefy , gdzie długości dwóch dolnych (powyżej otulenia a wynoszą
h1,2=llink/3=240/3=80mm . w każdej z tych stref umieszcza się strzemiona na granicy i połowie strefy, czyli o rozstawie slink=80/2=40mm
W trzeciej, najwyższej strefie o długości
h3=400−2⋅80=240mm rozmieszcza się strzemiona w rozstawie 240/2=120mm
Stopy słupów żelbetowych
Stosowane rodzaje stóp słupów pokazano na rys. 6

Rys.6: Stopy fundamentowe: a) monolityczna, b) kielichioowa w stopie, c) kielichowa w płycie, c) na łączniki mechaniczne [4], rys. 2.93
Słupy żelbetowe kotwione w fundamencie monolitycznie powinny być zakotwione na długość wynikającą z ogólnych warunków, przy czym należy zwrócić uwagę, że długość zakotwienia liczy się od środka fundamentu liczonego pomiędzy zbrojeniem górnym i dolnym. Jeśli długość zakotwienia L jest zbyt mała, to wówczas pręty należy odgiąć pod kątem 900, tak by łączna długość zakotwienia była wystarczająca (rys.7).
W praktyce chętnie stosuje się zakotwienie słupa w stopie kielichowej, w sposób pokazany na rys. 6b i c. Przykład rysunku warsztatowego stopy kielichowej pokazano na rys. 8. Należy zwrócić uwagę, że rysunek został wykonany zgodnie z danymi zasadami rysunkowi – współczesne zasady opisane w artykule Standard rysunku warsztatowego konstrukcji żelbetowej przewidują jako zasadę stosowanie kodów kształtów oraz nie umieszczanie „drabinek” z numerami prętów i umieszczanie tych informacji w systemie linii wymiarowych.

Rys.8 . Stopa kielichowa. Rysunek warsztatowy [8], rys. 10.3
Ze względów inżynierskich najciekawsze są stopy na łączniki mechaniczne z zastosowaniem śrub fundamentowych i rektyfikujących, które najczęściej są stosowane w konstrukcjach prefabrykowanych. Zwykle są to rozwiązania patentowe, np firmy Halfen- system HCC, Peikko- system HPKM (rys. 9.) i inne.

Rys. 9. Detale systemu Peikko HPKM [ wybrano z folderu reklamowego PEIKKO]
Głowice słupów żelbetowych
Głowice słupów żelbetowych są kształtowane w zależności od przebicia przez ścinanie płyty żelbetowej, co omówiono w artykule Przebicie płyty żelbetowej.
Krótkie wsporniki słupów
Krótkie wsporniki słupów żelbetowych należy analizować jako tarcze ( w płaskim stanie naprężenia, a nie wg teorii belkowej) w sposób pokazany w artykule: (…) Krótki wspornik. Jako uproszczenie można stosować teorię ST (metodę kratownicową) w sposób pokazany w artykule Model krótkiego wspornika i przykłady zbrojenia.
Na rys. 10a pokazano przykłady oparcia belki podciętym słupie żelbetowym , a na rys. 10b na krótkim wsporniku słupa.
Analiza wytrzymałościowa słupów
Zasady ogólne
W ogólności konstrukcje żelbetowe są mniej wrażliwe na efekty II rzędu od smukłych konstrukcji stalowych, ale kryteria normowe [1], kl. 5.8.2 (6) pomijania efektów drugiego rzędu w konstrukcjach żelbetowych są nieostre i w istocie odwołują się same do siebie. Mianowicie w celu pominięcia efektów II rzędu należy znać stopień wpływu tych efektów. Jeśli stopień wpływu jest mniejszy od 10% to można je pomijać. Współcześnie często konstruuje się nietypowe konstrukcje dla których nie można bez obliczeń stwierdzić, że efekty II rzędu są pomijalnie małe. Dlatego bezpiecznie jest przeprowadzić analizę II rzędu w każdym przypadku, tym bardziej, że stosowanie współczesnych programów obliczeniowych uczyniło rozwiązanie tego zadania procedurą standardową i szybką.
Podobnie anachroniczne są już uproszczone metody oceny efektów II rzędu podane w [1], kl.5.8.3, a w tym:
- kryterium smukłości elementów wydzielonych [1], kl. 5.8.3.1 zastosowane nie tylko do imperfekcji łukowych, ale również do systemowych,
- oszacowanie długości efektywnych elementów wydzielonych [1], kl. 5.8.3.2 z rys. 5.7. i wzorów uproszczonych,
- ocena globalnych efektów drugiego rzędu w budynkach [1], ,kl. 5.8.3.3.
Do współczesnych zastosowań wartościowe są natomiast zasady sformułowane do metod obliczeń konstrukcji żelbetowych [1], kl. 5.8.5, a w szczególności metoda nominalnej sztywności, opisana w ustępie Nominalna sztywność przekroju żelbetowego., a także zasady uwzględnienia pełzania [1], kl. 5.8.4,
Metoda imperfekcyjna w konstrukcjach żelbetowych
Układy konstrukcyjne i ich elementy są obarczone odchyleniami od kształtu idealnego, zwanymi imperfekcjami i nie da się tego wyeliminować.
Imperfekcja jest wymuszeniem geometrycznym i zasadniczo powinna być uwzględniona poprzez zmianę geometrii konstrukcji z modelu idealnego na system przechylony z wygiętymi elementami. Okazuje się, że żmudną zmianę systemu geometrycznego można zastąpić przez obciążenie konstrukcji idealnej przez siły równoważne od imperfekcji i przeprowadzeniu obliczeń z analizą drugiego rzędu. Dlatego często będziemy mówili o obciążeniu konstrukcji siłami imperfekcji.
Po przeprowadzeniu obliczeń metodą imperfekcyjną nie ma potrzeby analizy wydzielonych elementów konstrukcyjnych – wystarczy zwymiarować tylko krytyczne przekroje konstrukcji.
Możemy zapomnieć więc o długościach wyboczeniowych (efektywnych), a w przypadku stosowania obliczeń z uogólnionymi elementami skończonymi (o siedmiu stopniach swobody w każdym węźle – z paczeniem jako 7-mym stopniem) możemy zapomnieć również o zwichrzeniu smukłych (wysokich) belek.
Szeroki opis metody imperfekcyjnej projektowania konstrukcji budowlanych, w rym konstrukcji żelbetowych podano w podręczniku „Metoda imperfekcyjna projektowania konstrukcji”. Poniżej w skrócie podano wybrane informacje, specyficzne dla konstrukcji żelbetowych. W celu rozszerzenia wiedzy odsyłamy do podręcznika.
Imperfekcje geometryczne i równoważne siły imperfekcji
Imperfekcje (niedoskonałości) konstrukcji żelbetowej, stalowej, aluminiowej czy zespolonej dzieli się na (rys. 11) :
- globalne – układu (przechyłowe)
- lokalne (elementu – łukowe, a w konstrukcjach żelbetowych również niezamierzone mimośrody).
Miarą imperfekcji globalnych jest parametr imperfekcji θi, który reprezentuje kąt przechyłu systemu. Na rys. 11a kształt idealny konstrukcji oznaczono linia przerywaną. Po jej przechyleniu o niezmierzony kąta θi konstrukcja przyjmie kształt oznaczony linią ciągłą.
Parametr imperfekcji wyznacza się z zależności [1]:
θi=θ0⋅αh⋅αm
gdzie:
θ0=1/200 podstawowa (bazowa) wartość parametru imperfekcji,
αh=2/√h przy czym (2/3≤αh≤1) – współczynnik redukcyjny ze względu na wysokość (długość) h w m elementu lub konstrukcji,
alpham=√1/2⋅(1+1/m) – współczynnik redukcyjne ze względu na liczbę elementów „m” uczestniczących w przenoszeniu obciążenia imperfekcji (np. całkowitą liczbę słupów na kondygnacji)
W konstrukcjach żelbetowych stosuje się metodę imperfekcyjną z ideą przedstawioną na rys. 11, w której
a) imperfekcje układu (systemowe) θi (rys. 11a) zastępuje się równoważnymi, fikcyjnymi siłami imperfekcji Hi
Hi=θi⋅V
gdzie V jest symbolem obciążenia grawitacyjnego. Równoważne siły imperfekcji przykłada się do konstrukcji jako dodatkowe obciążenia i dla uzupełnionych wymuszeń przeprowadza się analizę II rzędu.
W praktyce polega to na stowarzyszeniu z każdym obciążeniem pionowym (skupionym lub rozłożonym) sił poziomych w dwóch kierunkach, to znaczy wektor obciążenia każdego punktu konstrukcji ma trzy składowe: [Hx,Hy,Vz,]=V⋅[θi;θi;1]
b) Konstrukcję obciążoną jak w pkt a) poddaje się analizie drugiego rzędu. W rezultacie w każdym punkcie konstrukcji uzyskuje się siły przekrojowe drugiego rzędu: momenty zginające MII oraz siły osiowe NII
c) imperfekcje łukowe ei=θil0/2 (rys. 11c) uwzględnia się jak dla elementu wydzielonego o długości efektywnej l0 i zastępuje fikcyjnymi siłami imperfekcji
qi=8Neil2o=4Nθil0
W normie [1] imperfekcje łukowe zastąpiono fikcyjnymi siłami skupionymi w środku długości l0, które można otrzymać poprzez porównanie momentu zginającego w środku elementu wywołanego obciążeniem skupionym MH=Hil0/4 z momentem wywołanym obciążeniem rozłożonym Mq=ql2o/8 czyli
Hi=qi⋅lo2=2θiN
Powyższe oszacowania dotyczą elementów w montowanych w system w tak zwanym układzie usztywnionym.
W przypadku elementów nieusztywnionych, np wspornika analiza będzie odmienna i prowadzi do wniosku, że siła imperfekcji systemowych (5) uwzględnia już imperfekcję łukową i dalsze obciążanie takich elementów nie jest potrzebne.
Oszacowanie długości efektywnej (wyboczeniowej) i smukłości pręta
Nie powinno się używać oszacowań wynikających z rysunku 5.7 EC2, ani też z formuł (5.15) lub (5.16) tej normy, ze względu na ich zawodność w większości zastosowań praktycznych. Wyłącznie w przypadku idealnych warunków brzegowych (przegubu lub utwierdzenia) długości wyboczeniowe są zgodne z podanymi na rys. 5.7 EC2. Problem w tym, że nigdy warunki brzegowe nie są idealne. Nawet w przypadku pręta przegubowo-przegubowego l0<L, a w przypadku wspornika l0>2L.
Rozsądne oszacowanie długości efektywnej i smukłości pręta w systemie możliwe będzie dopiero po oszacowaniu mnożnika krytycznego Λcr=αcr, czyli takiego mnożnika konfiguracji obciążenia P, że pod obciążeniem ΛcrP konstrukcja, jej część lub element traci stateczność. W krytycznym stanie w elemencie (e) działa krytyczna siła osiowa:
NB=Λcr⋅N(e)
gdzie N_{(e}} jest siła osiową wywołaną obciążeniem P.
Teraz z formuły Eulera [1], kl. (5.17) można wyznaczyć długość efektywną (wyboczeniową) :
l0=π√EINB
Kryterium uwzględniania imperfekcji elementu (łukowych)
W konstrukcjach żelbetowych najczęściej mamy do czynienia z krępymi elementami i zgodnie z kryterium podanym niżej imperfekcji łukowych nie musimy uwzględniać.
Stosownie do kryterium normowego [1] – nie są wrażliwe na efekty II rzędu elementy ściskane o smukłości
λ≤λlim
Graniczną wartość smukłości określa się z zależności
λlim=20⋅A⋅B⋅C√n
Współczynnik A=21+0,2φef – dla nieznanego φef można przyjmować o wartości A=0,7
Współczynnik B=√1+2ω – dla nieznanej intensywności zbrojenia ω=AsfyAcfcd można przyjmować B=1,1
Współczynnik C=1,7–rm,
gdzie rm=M01/M02 – stosunku momentów pierwszego rzędu na końcach elementu. Przy wyznaczania stosunku momentów na końcu „01” i „02” elementu, należy je uporządkować tak, by |M01|≥|M02|.
dla nieznanego rm można przyjmować C=0,7.
Sposób uwzględnienia imperfekcji łukowych
Do elementów konstrukcji żelbetowej, których smukłość nie spełnia warunku (11) należy przyłożyć obciążenia międzywęzłowe zgodnie z formułą (7) lub (8).
Nominalna i efektywna sztywność przekroju żelbetowego
Idea metody nominalnej sztywności polega na tym, by oszacować sztywność przekroju żelbetowego tak by w obliczeniach statycznych traktować go jako zintegrowaną sztywność przekroju jednorodnego z uwzględnieniem zarysowania oraz pełzania betonu.
Sztywność EI przekroju słupa żelbetowego zgodnie z [1] można oszacować z formuły
EI=KcEcdIc+KsEsIs
Ic jest momentem bezwładności przekroju betonu,
Es jest obliczeniową wartością modułu sprężystości zbrojenia
ls jest momentem bezwładności pola przekroju zbrojenia względem środka ciężkości powierzchni betonu,
Kc jest współczynnikiem zależnym od wpływów zarysowania, pełzania itd. betonu
Ks jest współczynnikiem zależnym od udziału zbrojenia.
Obliczeniowy modułu sprężystości betonu wynosi
Ecd=Ec,mγcE
gdzie współczynnik materiałowy γcE zaleca się przyjmować o wartości 1,2, ale często przyjmuje się γcE=γc=1,4
Jeżeli stopień zbrojenia przekroju ρ=As/Ac>0,002, można stosować następujące współczynniki:
Ks=1,0
Kc=k1k21+φef
Warunek stopnia zbrojenia dotyczy w zasadzie każdego przekroju żelbetowego.
W przypadku mocno zbrojonego przekroju ρ>1% i tylko jako wstępne przybliżenie można stosować uproszczoną formułę Kc=0,3/(1+0,5φef).
Współczynnik k1 zależy od klasy wytrzymałości betonu:
k1=√fck20
Współczynnik k2 zależy od względnej siły podłużnej n=NEd/(Acfcd) i smukłości słupa λ:
k2=min{n⋅λ170;0,2}
Jeśli smukłość nie jest określona, to można przyjąć k2=min{0,3n;0,2}.
Efektywny współczynnik pełzania φef oblicza się z wyrażenia:
φef=φ(∞;t0)⋅k0,qp
gdzie k0,qp=M0qpM0Ed jest udziałem obciążeń prawie stałych w całkowitych obciążeniach, mierzonych momentami zginającymi:
M0qp jest momentem zginającym pierwszego rzędu wywołanym prawie stałą kombinacją obciążeń (SLS),
M0Ed jest momentem zginającym pierwszego rzędu wywołanym obliczeniową kombinacją obciążeń (ULS).
Długotrwały współczynnik pełzania φ(∞;t0) można oszacować na podstawie tab.1 artykułu Belki żelbetowe (…) i współczynników korekcyjnych wg tab. 8 w tym artykule.
W przypadku jednoparametrowego obciążenia konstrukcji stosunek momentów zginających jest stosunkiem obciążeń prawie stałych (współczynnik redukcyjny ψ2) i kombinacyjnych (współczynnik redukcyjny ψ0). Dla często występującego w konstrukcjach żelbetowych stosunku obciążeń stałych (ciężaru własnego) i zmiennych 60% do 40% i dla struktury obciążeń zmiennych: 70% użytkowe (mieszkalne), 15% śnieg, 15% wiatr mamy oszacowania:
M0,qp∼1,0⋅0,6+1,0⋅0,4⋅(0,3⋅0,7+0,2⋅0,15+0,0⋅0,15=0,696
M0,Edp∼1,35⋅0,6+1,5⋅0,4⋅(1,0⋅0,7+0,5⋅0,15+0,6⋅0,15=1,329
k0,qp≈0,6961,329=0,52≈0,6
Często stosowanym oszacowaniem współczynnika pełzania jest φ(∞,t0)≈2,5. Stąd φef=2,5⋅0,6=1,5. Wartość ta może być stosowana w obliczeniach wstępnych i wymaga sprawdzenia dla każdego konkretnego przypadku.
Dla często stosowanego betonu C30/37 : k1=√30/20=1,22 i dla k2=0,2, mamy:
Kc=1,22⋅0,21+1,5=0,1
W konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych należy uwzględniać niekorzystne wpływy zarysowania elementów przylegających. Dla tych elementów stosowanie powyższych wyrażeń na ogół nie jest właściwe. Częściowe zarysowanie i współpracę betonu na odcinkach między rysami można uwzględniać w sposób stosowany przy obliczaniu ugięć, ale jako uproszczenie zwykle przyjmuje, że przekroje są w pełni zarysowane, a sztywnośćnależy oprzeć na efektywnym module sprężystości betonu stosując wzór:
Ecd,ef=Ecd1+φef
w którym:
Ecd jest obliczeniową wartością modułu sprężystości (14),
φef jest efektywnym współczynnikiem pełzania (19).
Sztywność nominalną (13) w literaturze zagranicznej często nazywa się sztywnością efektywną Keff
Keff=EIeff=k⋅EIc
gdzie współczynnik redukcyjny k=IeffIc zależy od obciążenia słupa (względnej siły osiowej n=NEdAc⋅fcd oraz stopnia zbrojenia ρ=AsAc co przedstawiono na rys. 12. Sztywność słupa wzrasta wraz ze wzrostem obciążenia oraz wraz ze wzrostem stopnia zbrojenia.

Rys. 12 Współczynnik redukcji sztywności słupa k w zależności od obciążenia n oraz stopnia zbrojenia ρ
Z rys. 12 wynika, że oszacowanie (21) jest zbyt konserwatywne. Dla optymalnego zbrojenia słupa ( stopnia zbrojenia ρ=1%) i obciążenia n=0,25 redukcja sztywności powinna wynosić Keff=0,42.
Obliczanie zbrojenia podłużnego przekroju słupa
Na rys. 13 pokazano model przekroju betonowego dla dwóch przypadków wytężenia:
Przekroje ściskane i zginane z dużym mimośrodem (przypadek CT) , czyli z przeważającym zginaniem są projektowane jak przekroje belek zgodnie z zasadami podanymi a artykule Belki żelbetowe. i nie są przedmiotem niniejszego artykułu. Przytoczymy najważniejsze wyniki analizy przypadku CT. Wypadkowa bryły naprężeń w betonie dla przypadku CT , ale również CC, ale liczona wraz z bryłą „pozorną” wynosi:
F0c=1823⋅b⋅x⋅fcd
a moment tej bryły względem środka przekroju betonowego (na ramieniu d0=h/2) wynosi:
M0c,0=F0c⋅(d0−6931666⋅x)
Przekroje z małym mimośrodem rodzaju CC (oba zbrojenia ściskane), charakteryzują się tym, że wysokość strefy ściskanej x>h. W tym przypadku pod przekrojem (na odcinku x do h) naprężenia faktycznie nie działają, a były wliczone w wyrażenia dla przypadku x<h,. Z tego powodu wyrażenia (24) i (25) należy skorygować, jak następuje:
Fc=F0c−FN⋅(21+20¯x)
Mc,0=M0c,0+FN⋅h⋅(7+8¯x+9¯x2)
gdzie: ¯x=x/h , FN=10192(1−¯x)2¯x2⋅b⋅h⋅fcd.
Wyprowadzenie powyższych wzorów zamieszczono w artykule Krzywe interakcji M-N żelbetu.
Przykłady rachunkowe
Przykład 1 [ Dobór zbrojenia w przypadku CC]
[9], Przykład 13.3
Przekrój 600×400 z betonu C30/37-B500 jest zbrojony symetrycznie Asl=Asu= 7Ø28 ( przekrój ok 43 cm2)
i obciążony siłą ściskającą NEd=7000kN.
Otulenie osiowe zbrojenia wynosi a=55 mm.
Obliczyć nośność przekroju mierzoną momentem zginającym $M_{y}.
Wynik przykładu oryginalnego
MRdy=241,2kNm
Zastosowanie arkusza CHP-Ż, w 1.3
Na rys. 14 pokazano wyniki zastosowania arkusza. Przypadek jest CC, bo x=3392 mm > h=600 mm. Wykorzystanie przekroju w 100% uzyskano dla My=329,5kN, to znaczy 329,5/241,2=1,36 razy więcej od klasycznych obliczeń [9], Przykład 13.3.
Przykład 2 [Sztywność nominalna przekroju słupa]
Dla wspornikowego słupa, pokazanego na rys. 15 obliczyć sztywność nominalną przekroju względem osi większej sztywności y-y (oś pionowa przekroju A-A).

Rys.15 Słup do przykładu 2 (Knauff, M., Golubińska, A., & Kryziak, P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z przykładami obliczeń , Wydanie drugie., PWN)), rys.13.12
Dane podstawowe
Przekrój słupa ma wymiary 600×300 . Słup wykonano z betonu C25/30: fcd=25/1,4=17,86MPa oraz zbrojono stalą B500 fy=500/1,15=435MPa. Zbrojenie symetryczne słupa Asl=Asu=8,84cm2 (5∅15 górą i dołem)- pręt ∅15 tylko teoretyczny, w celu uzyskania zgodności przekroju zbrojenia z przykładem oryginalnym.
Słup jest obciążony w głowicy siłą VEd=1768kN na mimośrodzie zamierzonym (bez imperfekcji) e=16cm
Moduł Younga betonu:
sieczny Ecm=31,5GPa
obliczeniowy Ecd=31,5/1,4=22,5GPa, (przyjęto γcE=1,4 jak w programie Consteel)
Siły przekrojowe i współczynnik udziału prawie-stały
Obliczeniowa siła osiowa w słupie (bez ciężaru własnego) NEd=VEd=1768kN; o
obliczeniowy moment zginający pierwszego rzędu MEd=1768⋅0,16=283kNm,
Z obliczeń statycznych wynika, że maksymalny moment zginający do kombinacji prawie stałej wynosi MEd=190,4kNm,
Współczynnik udziału obciążeń prawie stałych k0,qp=190,4/283=0,67.
Nośność przekroju betonowego
Względna siła osiowa n=176830⋅60⋅17,86⋅10−1=0,555.
Współczynnik pełzania
Z tab.1 artykułu Belki żelbetowe (…) dla betonu C25/30 bazowy współczynnik pełzania (dla t0=28 dni oraz miarodajnego wymiaru h0=250mm) wynosi
φ0=2,56.
Z tab. 8 w artykule jw. odczytano współczynniki korekcyjne:
- dla miarodajnego wymiaru słupa h0=(600⋅300)/(2⋅600+300)=120mm z interpolacji otrzymujemy nh=1,15−(1,15−1,04)/(200−100)⋅(120−100)=1,13. (obwód słupa poddany wysychaniu obejmuje dwa boki dłuższe i jeden krótszy – od tyłu do słupa dochodzi ściana i zapobiega wysychaniu).
- dla t0=28dni mamy nt=1,0
Ostatecznie współczynnik pełzania trwały φ(∞,t0)=2,56⋅1,0⋅1,13=2,89.
Współczynnik pełzania efektywny (19)→ φef=2,89⋅0,67=1,94.
Smukłość słupa
Długość wyboczeniowa (efektywna) słupa w czystym przypadku wspornika idealnie utwierdzonego: l0=2⋅5,0=10,0m
Smukłość słupa (2)→ λ=3,464⋅10,0/0,6=57,7
Stopień i intensywność zbrojenia
Pole przekroju betonu Ac=60⋅30=1800cm2
Pole przekroju stali As=5,84+5,84=11,68cm2.
Stopień zbrojenia ρ=11,68/1800=0,649>0,2.%.
Intensywność zbrojenia ω=11,68⋅4351800⋅17,86=0,158
Smukłość i warunek graniczny (12)
A=21+0,2⋅1,94=0,720,
B=√1+2⋅0,158=1,147,
Moment I rzędu jest stały na wysokości słupa, więc rm=1,
C=1,7−1,0=0,7,
(12)→ 20⋅0,720⋅1,147⋅0,7√0,555=15,5<57,7→ słup jest wrażliwy na efekty II rzędu
Współczynniki udziału betonu i stali
Ponieważ stopień zbrojenia 0,00649 > 0,002, więc możemy stosować wzory (17) oraz (18):
k1=√2520=1,12,
k2=min{0,55557,7170;0,2}=0,187.
Współczynnik udziału betonu Kc=1,12⋅0,1871+1,94=0,071
Współczynnik udziału stali Ks=1,0,
Sztywność nominalna przekroju żelbetowego
Moment bezwładności betonu Ic=30⋅60313=540000cm4,
Moment bezwładności stali Is=2⋅8,84⋅(60/2−5)2=11050cm4,
Sztywność nominalna betonu EIc=540000⋅10−8⋅22,5⋅106=121500kNm2,
Sztywność nominalna stali EIs=11050⋅10−8⋅200⋅106=22100kNm2,
Sztywność nominalna przekroju (13) EI=0,071⋅121500+1,0⋅22100=8627+22100=30727kNm2,
Teoretyczna siła krytyczna ze wzoru Eulera
NB=Ncr=π23072710,02=3033kN>1768kN.
REMANENT Przykłady poniżej w rewizji
Przykład 3 [Smukłość słupa w układzie ramowym – oszacowanie numeryczne]
Dokonano oszacowania długości wyboczeniowej (efektywnej) słupa z przykładu 1 stanowiącego element ramy portalowej, pokazany na rys. 15. Słupy i rygiel ramy modelowano prętem betonowym zbrojonym jak w przykładzie 2 (5∅15 górą i dołem). Rama jest obciążona siłą pionową V=1768 kN na mimośrodzie 160 mm w stosunku do osi słupów. Ciężar własny rygla i słupa pominięto,
Słupy mają wysokość 5m, a rygiel rozpiętość 9 m (w osiach słupów). Oba słupy w pełni utwierdzono w fundamencie, a rygiel oparty jest na słupie poprzez podcięcie, w sposób pokazany na rys. 16
Najpierw przeprowadzono analizę wyboczeniową systemu z wyznaczaniem sztywności nominalnej przekroju żelbetowego dla dla Kc=0,071 i Ks=1,0., φef=1,94.
Niestety nie uzyskano rozwiązania, bo proces iteracyjny był rozbieżny ze względu na zbyt dużą siłę osiową w słupach. Oznacza, to, że mnożnik krytyczny takiego systemu jest znacznie mniejszy od jedności Λcr≪1, czyli siła krytyczna
NB≪1768, to znaczy długość wyboczeniowa słupa Lcr≫10m. Oznacza to, że błędne jest stosowanie metody wydzielonego elementu.
W obu przypadkach uzyskano takie same kształty własne ramy po wyboczeniu, a także siły osiowe w słupach (NEd=1768kN, ale istotnie różne mnożniki krytyczne i wynikające z nich siły krytyczne NB:
- dla rygla przegubowo-przegubowego P-P; Λcr=1,15 , NB=1,14⋅1768=2015,5kN,
- dla rygla utwierdzono-utwierdzonego U-U Λcr=2,88 , NB=2,88⋅1768=5091,8kN,
Z zależności (10) uzyskujemy następujące długości efektywne słupa
- w przypadku rygla P-P: l0=π√1410=π√315772015,5=12,43m
- w przypadku rygla U-U: l0=π√315775091,8=7,82m
Dla porównania przeprowadzono też obliczenia wyboczeniowe dla wspornika z przykładu 1 i uzyskano wynik identyczny jak dla rygla P-P, to znaczy długość wyboczeniowa słupa wynosi 12,43 m (wsp. długości wyboczeniowej ∋=12,43/5=2,49 a nie 10 m (∋=2) jak przyjęto w przykładzie 1 na podstawie arbitralnej decyzji.
Przykład 4 [ Projekt ramy metodą imperfekcyjną ]
Metodą imperfekcyjną w odmianie równoważnych sił imperfekcji zaprojektować słupy ramy z przykładu 3 w wariancie rygla P-P.
Równoważne siły imperfekcji systemowych
Bazowy parametr imperfekcji θ0=1/200
Współczynnik redukcyjne ze względu na wysokość elementu lub konstrukcji αh=2/√9=0,89>2/3<1
Współczynnik redukcyjny ze względu na liczbę elementów αm=√0,5⋅(1+1/2)=0,87 (dla ramy z m=2 słupami) i αm=1 dla wspornika
Parametr imperfekcji (5) oraz równoważna, fikcyjna siła pozioma od imperfekcji (5) przyłożona w głowicy słupa :
- dla wspornika ni=1/θi=200/(0,89⋅1)=225, Hi=1638/225=7,28kN
- dla ramy z ryglem U_U lub P-P: ni=1/θi=200/(0,89⋅0,87)=258 , Hi=1638/258=6,35kN
Równoważne siły imperfekcji lokalnych
Stosowane tylko dla układów usztywnionych (tutaj rama) i nie stosowane dla układów swobodnych (wspornik). Bazowy parametr imperfekcji ]theta0=1/200 i współczynnik redukcyjny αh=0,89 jak wyżej. Współczynnik redukcyjny αm=1. Parametr imperfekcji wynosi ni=1/θi=200/(0,89⋅1)=225
Obciążenie międzywęzłowe słupów qi (7): qi=4⋅1638/22512,38=2,353kN/m,
Rozwiązanie ramy metodą imperfekcyjną równoważnych obciążeń poziomych
Ramę portalową z rys. 15 dla przypadku rygla P-P obciążono siłami imperfekcji w sposób pokazany na rys. 15 w wariancie najniekorzystniejszym współdziałania obciążeń od imperfekcji systemowych oraz lokalnych .
W tab.1. zestawiono momenty zginające I i II rzędu w węzłach ramy obserwowane w różnych konfiguracjach obciążeń od imperfekcji. Nie stawiano sił osiowych, ponieważ ich zmiany w w stosunku do sił pierwszego rzędu przy obciążeniu pionowym NEd=1680kN w poszczególnych schematach są niewielkie.
W schemacie najniekorzystniejszym „V+H(-)+q(+/+), to jest przy łącznym działaniu sił pionowych V=1680kN na mimośrodach 160 mm oraz sił poziomych H=6,35kN stowarzyszonych z V i skierowanych przeciwnie do zwrotu osi poziomej oraz obciążeń rozłożonych słupów g=2,35 kN/m, skierowanych zgodnie z kierunkiem osi poziomych na obu słupach, NIIEd≈=−1768 kN w obu słupach.
Tab.1 Momenty zginające w ramie portalowej
Rama nie jest wrażliwa na efekty II rzędu. W schemacie podstawowym „V” zwiększenie maksymalnego momentu zginającego wynosi 283,17/282,88=1,001, czyli tylko 1‰.
Rama jest mocno wrażliwa na imperfekcje:
- efekt imperfekcji systemowych na momenty zginające wynosi 367,76/283,17=1,30, czyli 30%. w stosunku do modelu bez imperfekcji
- efekt imperfekcji łukowych na momenty zginające wynosi 517,98/367,76=1,41, czyli 41% w stosunku do modelu tylko z imperfekcjami systemowymi
Zbrojenie podłużne słupów
Dolna cześć słupa (przekrój A lub B) : NEd=1768kN, MEdy=517,98kNm
Górna cześć słupa (przekrój C lub D) : NEd=1768kN, MEdy=283,86kNm
Na rys. 17 zamieszczono wyniki zbrojenia dolnej części słupa: 4∅16 (górą i dołem) . Tym samym arkuszem można dobrać zbrojenie części górnej 2∅12 (górą i dołem).
Literatura
- PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3:2008, Projektowanie konstrukcji z betonu – Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
- PN-EN 1992 1-2:2008/NA:2010, Eurokod 2: Projektowanie konstrukcji z betonu – część 1-2: Reguły ogólne – Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe
- Knauff, M., Golubińska, A., & Kryziak, P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z przykładami obliczeń , Wydanie drugie., PWN
- Starosolski, W. (2013). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych, Tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN
- DIN 1045-1, Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton – Teil 1: Bemessung und Konstruktion
- Bachmann H., Steinle S., Precast Concrete Strutures, Ernst & Sohn, Berlin 2011
- Konig G., Minnert J., Saleh H., Stumpf getsossene Fertigteilstuzen aus Noermalbeton , Beton+Fertigteil – Jahrbuch 2001, pp 110-121
- Zybura (2015). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2: atlas rysunków, Wydawnictwo Naukowe PWN
- Knauff, M., Golubińska, A., & Knyziak, P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN
________________________________