Leszek Chodor, 18 kwietnia 2016

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 37 Czytelników

Słup jest podstawowym elementem prętowej konstrukcji stalowej, stosowanym głównie w konstrukcjach szkieletowych: niskich (najczęściej halach) i wysokich (najczęściej wieżowcach).
W mechanice konstrukcji slup definiuje się jako element prętowy pionowy, obciążony ściskaniem. W praktyce obie okoliczności nie są zachowane: każdy rzeczywisty slup jest obciążony nie tylko ściskaniem, ale również zginaniem i często slupy są pochyłe w sposób zamierzony. Rzeczywisty słup jest elementem belka-słup (ang beam-column) [1], rozdz 7.
Interakcja ściskania i zginania jest sprężysta lub plastyczna zależnie od klasy przekroju. Rozpatruje się dwie sytuacje: wyboczenie słupa w płaszczyźnie systemu i wyboczenie z płaszczyzny. W każdej sytuacji może następować zginanie zewnętrznymi momentami zginającymi zarówno w płaszczyźnie jak i z  płaszczyzny systemu, a zwichrzenie uwzględnia się tylko dla zginania w głównej płaszczyźnie pręta. Interakcja zjawisk wyboczenia zwichrzenia i zginania jest w ogólności nieliniowa i sprzężona. W praktycznych formułach nieliniowość uwzględnia się poprzez współczynniki interakcji.

Na slupach hal opierają się dźwigary dachowe i inne urządzenia (np dźwignice) W pracach [2], [3] pokazano, że w takich konstrukcjach ekonomiczność nośnych slupów stalowych jest wątpliwa. Znacznie ekonomiczniejsze jest zastosowanie slupów żelbetowych. Elementy stalowe stosuje się w miejscach przeważającego zginania, np na słupki obudowy ściennej, które faktycznie pracują jak pionowe belki. Na słupach budynków opierają się belki stropowe.

Rodzaje słupów

• Słupy jednogałęziowe (pełnościenne)  mogą być wykonane jako stalowe lub zespolone (stalowo-betonowe lub żelbetowe).
  Takie słupy mogą mieć stały lub zmienny przekrój na długości. Zmienność przekroju może mieć charakter schodkowy lub ciągły (zbieżny przekrój),
• Słupy  wielogałęziowe, najczęściej dwugałęziowe lub trój- czterogałęziowe,
  Gałęzie są łączone wykratowaniem lub przewiązkami,
• Słupy o galęziach mieszanych: na części długości pełnościenne, a na części wielogałęziowe. Typowym przykładem jest słup podsuwnicowy z częścią nadsuwnicową pełnościenną i częścią podsuwnicową dwu-  lub cztero-gałęziową.

Najczęściej stosowane są słupy jednogałęziowe z profili dwuteowych: HEA, HEB, HEM (rys.1a) , HKS (rys.1e) lub rurowych: rury okrągłe RO (rys.1b), kwadratowe gięte na zimno (rys.1c), złożone z ceowników (rys.1 f), złożone z kątowników (rys. 1g) lub skrzynkowe (rys.1h), a także o przekroju złożonym z różnych profili i blach (rys. 1i).

Rys.1. Wybrane jednogałęziowe stalowe przekroje słupów [4]

Współcześnie ze względów ekonomicznych, chętnie stosuje się słupy zespolone stalowo – betonowe: z wkładkami stalowymi giętkimi, czyli prętami zbrojeniowymi (rys. 3) lub wkładkami sztywnymi – profilami stalowymi (rys.2.). Na rys. 2 pokazano przykłady przekroi zespolonych słupów stalowo-betonowych sklasyfikowanych w normie [5], a na rys. 3 typowe przekroje słupów żelbetowych zbrojone wkładkami giętkimi stosowane w konstrukcjach żelbetowych.

Rys.2. Przekroje słupów zespolonych stalowo-betonowych [5]: a) dwuteowy obetonowany, b) dwuteowy częściowo obetonowany , c) krzyżowy częściowo obetonowany, d) rura prostokątna wypełniona betonem, e) rura okrągła wypełniona betonem ze zbrojeniem giętkim, f) Rura ze zbrojeniem sztywnym

Rys.3. Słupy żelbetowe o przekroju: a) prostokątnym, b) teowym, c) okrągłym, d) pierścieniowym [6]

Na rys.4 pokazano wybrane przekroje słupów wielogałęziowych.

Rys.4 Przekroje słupów wielogałęziowych: a-c) dwugałęziowe; d-g) trójgałęziowe, h-i) czterogałęziowe [7]

Słupy jednogałęziowe lub wielogałęziowe mogą mieć na długości:

• stały przekrój (rys.5a,b),
• zmienny schodkowo, (rys.5 c,d,e)
• zmienny w sposób ciągły – słupy zbieżne (rys.6).

Słupy o przekroju schodkowym  stosuje się w halach z transportem podpartym. Na rys 5c pokazano słup z częścią nadsuwnicowa jednogałęziową , a poddsuwnicowa dwugałęziową z przewiązkami. Na rys 5d,e pokazano słup z częścią nadsuwnicową jednogałęziową, a podsuwnicową -dwugałęziową wykratowaną, przy czym na na rys, 5e belki podsuwnicowe występują po obu stronach słupa.

Słupy o przekroju zbieżnym stosuje się między innymi na słupy oświetleniowe, słupy wiatraków, elektroenergetyczne itp.

Rys.5. Słupy o przekroju na długości: a,b – stałym, c,de) – schodkowe [8]

Rys.6. Słupy kratowe o przekroju zbieżnym

 Konstrukcja słupów

Wymiary poprzeczne słupów h (wysokość przekroju) można wstępnie dobrać na podstawie ich długości L  w przedziale:

$$\begin{equation}h=\dfrac {L} {10} \div \dfrac {L} {25} \end{equation}$$

gdzie $L$- długość słupa (najczęściej wysokość hali), a $h$ – wymiar poprzeczny przekroju słupa.

W przypadku słupów podsuwnicowych (schodkowych) przy oznaczeniach naniesionych na rys.  16 (L₁, h₁ – długość i wysokość słupa w części podsuwnicowej; L₂, h₂ – długość i wysokość słupa w części nadsuwnicowej) przyjmuje się [9]:

$$\begin{equation}h_2 = \dfrac {L_2} {10} \div \dfrac {L_2} {12} \end{equation}$$

$$\begin{equation}h_1 = \dfrac {L_1+L_2} {20}\end{equation}$$

Trzon słupa

Rys.7. Gałęzie słupa połączone przewiązkami [10]

Gałęzie słupów złożonych mogą być łączone przewiązkami (rys.7) lub skratowaniem (rys.8). Zaleca się, by liczba przewiązek była nieparzysta, tak aby przewiązka nie wypadała w środku długości słupa (nie jest tam potrzebna), choć zalecenie to nie jest bezwzględne.

Rys.8. Gałęzie słupa połączone skratowaniem [10]

Trzony słupów wielogałęziowych można projektować i obliczać zgodnie z normą [11]. Zaleca się obliczanie trzonów słupów, przewiązek i wykratowania z analogii belki Timoshenko [12], [13] lub jako ramę (słup z przewiązkami) lub kratownicę (słup wykratowany) [14].

Głowice słupów

Głowice słupów jednogałęziowych w tym głowice części nadsuwnicowej słupa podsuwnicowego można kształtować w sposób pokazany na rys. 9. Płytkę centrującą stosuje się w przypadku dużych i średnich obciążeń. W  najczęstszym przypadku małych obciążeń – płytka centrująca nie występuje. Obecnie w miejsce stalowych łożysk stosuje się łożyska elastomerowe.

Rys.9. Głowica słupa jednogałęziowego z płytką centrującą: a, b) słup dwuteowy, c,d) słup rurowy, d) płytka centrująca okrągła [4]

Wsporniki podsuwnicowe

Wsporniki podsuwnicowe występują w miejscu połączenia części nad- z pod-suwnicową słupa . Połączenie to musi mieć charakterystykę sztywną.

Na rys. 10 pokazano kilka rozwiązań konstrukcyjnych, spełniających ten warunek. Połączenia pełnościennych części słupa (rys. 10a) powinno mieć wysokość nie mniejszą niż 20-30% szerokości osiowej słupa. Właściwe przenikanie elementów części nadsuwnicowej w belkę wspornika zapewniono poprzez wpuszczenie pasa części nadsuwnicowej na środnik słupa podsuwnicowego na długość ok 2x wysokość profilu i użebrowanie poziome.  Belkę podsuwnicową umieszczono w osi gałęzi zewnętrzn-ej (-ych) słupa, wykonanych z dwuteowników. Całość uzupełniono użebrowaniem w miejscu występowania znacznych sił skupionych.

W przypadku części podsuwnicowej wyk ratowanej, połączenie części słupa można poprzez blachy obejmujące gałęzie części nadsuwnicowej ( słup z jedną belką podsuwnicową), lub poprzez zastosowanie pełnościennej belki głowicowej (przykład słupa środkowego – z dwoma belkami podsuwnicowymi).

Rys.10a. Wspornik podsuwnicowy słupa: a) pełnościennego, b) z częścią podsuwnicową wykratowaną, c) o stałym przekroju [15]

Rys.10 b. Schemat statyczny i szczegół konstrukcyjnego połączenia części nad- i pod-suwnicowych słupa

Stopy słupów

Typy stóp słupów

Na rys.11 przedstawiono najprostsze podstawy słupa jednogałęziowego: a) przegubową , b) utwierdzoną

Rys.11. Proste stopy słupa stalowego: a) przegubowa, b) utwierdzona [16]

Stopy mogą być jednodzielne (rys.13a) lub dwudzielne (rys.13b), przy czym stopy dwudzielne należy traktować jako utwierdzone (integralnie), choć pojedyncze gałęzie są łączone jako przegubowe.  Stopy wielodzielne są stosowane dla słupów wielogałęziowych, lub w innych przypadkach w celu zdeterminowania stref docisku.

Wybrane konstrukcje stóp przegubowych

Przegubowe połączenie słupa z fundamentem przy małych i średnich obciążeniach realizuje się bez specjalnego centrowania reakcji, w sposób pokazany na rys. 11a. W przypadku znacznych reakcji lub konieczności „wymuszenia” przegubowej podpory stosuje się bardziej rozbudowane konstrukcje, np. pokazane na rys. 12.

Rys.12. Wybrane przegubowe konstrukcje stóp z płytką-kołyską centrującą mocowaną do : a) słupa , b) bloku fundamentowego [15]

Wybrane konstrukcje stóp utwierdzonych

Utwierdzenie słupa w fundamencie realizuje się poprzez takie wykonstruowanie stopy (rys.13), by przenieść podporowy moment zginający: ściskanie poprzez docisk do betonu , a rozciąganie za pomocą śrub fundamentowych.

Rys.13. Stopy utwierdzone: a) jednodzielna, b) dwudzielna [4]

Utwierdzenie słupów stalowych, podobnie jak żelbetowych, często realizuje się za pomocą stóp kielichowych w sposób pokazany na rys.14. Stopę należy projektować zgodnie z normą [17].

Rys.14. Stopa kielichowa słupa stalowego – analogicznie jak żelbetowego

Oparcie konstrukcji stalowej na słupie żelbetowym

Zgodnie z uwagą zawartą na wstępie do niniejszego artykułu słupy stalowe są obecnie coraz częściej zastępowane przez słupy żelbetowe. W takich konstrukcjach stopa słupa (słupka) konstrukcji stalowej jest umiejscowiona w głowicy słupa żelbetowego.

Na rys. 15 pokazano węzeł  podporowy przekrycia rusztowego MITEX. W tym przypadku stopa słupa nośnego żelbetowego jest mocowana w fundamencie zgodnie zasadami konstrukcji żelbetowych [17], najczęściej za pośrednictwem stopy kielichowej.

Rys. 15. Stopa słupka stalowego na głowicy słupa żelbetowego [18]

Stopy słupów podsuwnicowych

Stopy słupów podsuwnicowych są stopami utwierdzonymi i można je konstruować w sposób pokazany na rys. 12. Na rys. 16 pokazano w całości  słup z częścią podsuwnicową dwugałęziową, kratową systemie Mostostal, który jest utwierdzony w fundamencie stopą dwudzielną, pełnościenną, rozdetalowaną na rys 17. Słup taki może mieć też stopę dwudzielną kratową (rys.18).

Rys. 16. Słup podsuwnicowy w systemie Mostostal (z oznaczeniami wymiarów naniesionymi na niebiesko) [4]

Rys. 17. Przykład stopy dwudzielnej, pełnościennej słupa podsuwnicowego (kolorem żółtym dodano opcjonalną podlewkę, co prowadziłoby do stopy jednodzielnej) [4]

Rys. 18. Przykład stopy dwudzielnej, kratowej słupa podsuwnicowego [4]

Stopę dwudzielną, pełnościenną (z rys.16) możnaby wykonstruować w sposób pokazany na rys. 17 w opcji z podlewką wniesioną kolorem żółtym, czyli z podlewką na całej powierzchni przylegania  blachy poziomej stopy. Taką stopę  należałby traktować obliczeniowo jako jednodzielną.

Stopa dwudzielna charakteryzuje się tym, że siły pod każdą z gałęzi 1 lub 2 można wyznaczyć z prostej zależności:

$$\begin{equation}N_{1,2}= \dfrac {N_c} {2} \pm \dfrac {M} {h}\end{equation}$$

gdzie h- jest odległością osiową galęzi słupa – na rys. 18 jest h= 1,8 m ; N_c– siłą osiową w słupie, a M – momentem zginającym przypodporowym.

Na rys. 19 pokazano typową stopę utwierdzoną jednodzielną.

Rys. 19. Typowa utwierdzona stopa jednodzielna ze śrubami poza obrysem blachy [19]

W przypadku stopy jednodzielnej, w celu wyznaczenia sił w śrubach i docisku do betonu w stanie sprężystym należy rozwiązać zadanie nieliniowe (pkt.2.4.5.)

Wyznaczenie sił w śrubach stopy jednodzielnej w stanie sprężystym

Na rys. 20 pokazano schemat do wyznaczania sił w śrubach stopy jednodzielnej.

Rys. 20. Schemat rozkładu sił pod stopą słupa w stanie sprężystym [20]

Zagadnienie brzegowe przedstawione na rys. 20 ma trzy stopnie swobody (trzy niewiadome):
x- wysokość strefy docisku do betonu,
σ_c – naprężenia krawędziowe dociskowe,
F_t – siła rozciągająca śrubę,

Zadanie rozwiążemy zestawiając równania (b- szerokość blachy podstawy):

(a) równanie równowagi momentów ∑M (względem linii siły F_c):

$$\begin{equation} M-F_t \cdot(l-x/3)-N_c \cdot(l-z_t-x/3)=0\end{equation}$$

(b) równanie równowagi sił pionowych ∑X:

$$\begin{equation}N_c +F_t- \sigma_c \cdot x \cdot b/2 \end{equation}$$

Ponieważ zadanie jest statycznie niewyznaczalne, więc należy zdefiniować zależnosci kinematyczne i fizyczne:

c1)  zasada płaskich przekrojów :

$$\begin{equation}\dfrac {\Delta_c} {x}=\dfrac {\Delta_t}{l-x}\end{equation}$$

c2)  prawo Hooka
odkształcenie  betonu

$$\begin{equation}\Delta_c= \dfrac {\sigma_c}{E_c}\end{equation}$$

odkształcenie  śrub

$$\begin{equation}\Delta_t= \dfrac {\sigma_t}{E_s}= \dfrac{F_t}{n \cdot A_s \cdot E_s}\end{equation}$$

gdzie: E_c, E_s – moduł Younga odpowiednio betonu i stali, n – liczba śrub o przekroju jednej śruby A_s.

Po rozwiązaniu układu równań (a,b,c) uzyskamy równanie trzeciego stopnia do wyznaczenia wysokości strefy ściskanej x:

$$\begin{equation}x^3+3px^2+k(x-l)(l+p)=0 \label{Fischer}\end{equation}$$

gdzie:

$$\begin{equation}k=\dfrac{6n A_sE_s} {bE_c}\end{equation}$$

$$\begin{equation}p=e- \dfrac {a}{2}= \dfrac {M}{N_t}\end{equation}$$

Po rozwiązaniu równania ($\ref{Fischer}$)  dowolną metodą możemy wyznaczyć:

$$\begin{equation}F_t= \dfrac {N_c(p+x/3)} {l-x/3} \lt \ \ n \cdot N_{t, Rd}\end{equation}$$

gdzie N_{t, Rd} – nośność obliczeniowa śruby na rozciąganie, wyznaczona zgodnie z [11]:

$$\begin{equation}\sigma_c= \dfrac {2(N_c+F_t)}{xb} \lt f_{jd}\end{equation}$$

gdzie:

$f_{jd}=\alpha_{bf}\cdot \beta_j \cdot f_{cd}$

Wytrzymałość obliczeniowa betonu na docisk wyznaczona zgodnie z [17]; jeśli wytrzymałość podlewki ≥ 0,2×f_cd , to przyjmuje się  f_jd=f_cd [16].

Analiza stopy słupa zgodnie z normą europejską

Norma  europejskia [21] odchodzi od analizy pracy stopy w stanie sprężystym,  tak jak opisano  w pkt 2.4.6 i a stosowanie zależności (5 do 7) nie jest właściwe.  Projektowanie stopy należy prowadzić w stanie granicznym (plastycznym), analizując mechanizm pracy pokazany na rys.21. Wskutek odkształcalności elementów stopy. docisk do betonu następuję praktycznie w całości w niewielkiej strefie pod pasem ściskanym , a rozciąganie praktycznie w pełni przenoszą śruby.

W stanie granicznym stopa przenosi moment plastyczny M_j,Rd. Siła docisku do betonu F_c,M  i rozciągania śrub F_T,M, wywołana tym momentem  M_Ed jest równa:

$$\begin{equation}F_{T,M}=F_{c,M}= \dfrac {M_{Ed}}{z}\end{equation}$$

gdzie: z=z_T+z_c – odległość osi śrub od wypadkowej docisku, którą można umiejscowić w osi pasa dociskanego.

Rys.21. Mechanizm pracy stopy słupa: króćce teowe rozciągane i ściskane [22]

W ogólności należy uwzględnić podatności węzłów podporowych.

Rys. 22. Schemat statyczny układu poprzecznego hali [16]

Na rys. 22 przedstawiono ogólny schemat układu poprzecznego hali  z znaczonymi sztywnościami obrotowymi stóp słupów.

Sztywności obrotowe węzłów podporowych hali w ogólności są Sj <∞ (nie są sztywne), czyli są węzłami podatnymi.

W szczególnym przypadku podstawy słupów można przyjąć  jako sztywne, ale należy to uzasadnić.  Takie założenie można przyjąć wyłącznie  w przypadku [16],§5.2.2..5 (2):

w ramach, których układ stężeń redukuje poziomy przechył o min. 80% i w których wpływ deformacji może być pominięty, a ponadto:
gdy     $\overline \lambda_0 \le 0,5 $
gdy     $0,5 \le \overline \lambda_0 \le 3,93$ oraz  $S_{j,ini} >7(2 \overline \lambda_0-1) \dfrac {EI_c} {L_c}$
gdy      $\overline \lambda_0 \ge 3,93$ oraz  $S_{j,ini} \ \ge \ 48 \dfrac {EI_c} {L_c} $
w pozostalych przypadkach, gdy  $S_{j,ini} \ >\ 30 \dfrac {EI_c} {L_c}$
gdzie:
$\overline \lambda_0$ – smukłość względna słupa rozpatrywanego tak, jakby jego oba końce były przegubowe.
L_c, I_c  -wysokość i moment słupa rozpatrywanej kondygnacji.

Początkowa sztywność S_j,ini została zdefiniowana na rys. 23.

Rys. 23. Definicja początkowej sztywności obrotowej [16]

 Stałe sprężystości k_T i k_C do wyznaczenia S_j,ini szacuje się metodą składnikową zgodnie z zależnościami tab 6.11 [16].

Sztywność początkowa zależy od wielkości mimośrodu działania sił

$$\begin{equation}e_N= \dfrac {M_{j,Ed}}{N_{Ed}}\end{equation}$$

Mogą wystąpić sytuacje przedstawione na rys. 24 a, b.

Rys. 24a. Sytuacja dominującej siły rozciągającej lub ściskającej [16]

Rys. 24b. Sytuacja dominującego momentu zginającego [16]

W zależności od sytuacji obliczeniowej początkową sztywność węzła podporowego można wyznaczyć z [16], tab.6.12.

Zakotwienie słupów

W przypadku zakotwienia podstawy słupa lub mniej obciążonych śrub w stopach utwierdzonych obecnie powszechnie stosuje się zakotwienie z kotew chemicznych (wklejanych) , mechanicznych (rozporowych) lub wkręcanych (typu HUS prod. HILTI) . Dalsze informacje zawiera artykuł „Technika mocowań. Nowoczesne łączniki„.

Na rys.25 pokazano rodzaje konwencjonalnych śrub fundamentowych: fajkowych, młoteczkowych oraz płytkowych.

Rys. 25. Śruby fundamentowe: a,c) fajkowe, b) płytkowe, d) młoteczkowe [19]

Śruby fajkowe przy  małych i średnich siłach są kotwione w betonie na przyczepność (podobnie do zbrojenia wiotkiego), a przy większych siłach stosowaną profile kotwiące, wbudowane  w sposób pokazany na rys. 25a,c) oraz rys. 25-1 oraz 25-2.

Rys.25-1 Typowe zakotwienie słupa na śruby fajkowe z poprzeczką [23]

Rys.25-2 Typowe zakotwienie słupa na śruby fajkowe z płytką [23]

Płytki zakotwienia śrub rys. 25b) należy dobierać zgodnie z zasadami kotwienia zbrojenia w betonie, które opisano w artykule Belki żelbetowe. Kształtowanie.

Siłę rozciągającą kotew $N_R$ powiększa się 0 35% na przewidywane obciążenie wstępnego naprężenia (likwidacja luzów, itp).

Kotwy mogą być umieszczone w obrysie blachy poziomej stopy słupa ( przebijają blachę) (np. rys. 11b) lub poza obrysem blachy (np.  rys. 18 ). W przypadku dużych momentów zginających zalecane jest stosowanie śrub poza obrysem i konstruowanie belek stopowych przenoszących siły z tych śrub na trzon słupa.

Przepony słupów wielogałęziowych

Trzon słupa wielogałęziowego o długości większej niż h_p=5 m wymaga stosowania przepon w odległościach nie większych niż h_p, które zabezpieczają kształt przekroju przekroju przed zniekształceniem.  Na rys. 26 pokazano przykłady konstrukcji przepon.

Rys. 26. Przepony słupa wielogałęziowego: a) z blachy, b, c) z prętów [10]

Analiza belek-słupów

Mechanizm zniszczenia belek- słupów

Belka-słup jest definiowana jako element poddany jednoczesnemu działaniu zginania i ściskania. W zasadzie wszystkie elementy prętowe w rzeczywistych konstrukcjach są belkami-słupami, a belka (N=0) i słup (M=0) są szczególnymi przypadkami granicznymi.

Zachowanie się belki-słupa odkształcającego się wyłącznie w płaszczyźnie systemu xz (rys.27a) pokazano na rys.27b w postaci ścieżek równowagi przemieszczenie v – obciążenie (M,N).

Prosta (1) przedstawia liniowe zachowania sprężystego pręta, a prosta (6) nośność belki sztywno-plastycznej (nośność plastyczną M_pl). Rzeczywista ścieżka równowagi będzie zawarta pod tymi prostymi. Krzywa (2) pokazuje rzeczywiste przejście belki sprężysto-plastycznej ze stanu sprężystego (1) do plastycznego (6). Prosta (4) przedstawia górne ograniczenie dla słupa, wynikające ze sprężystej siły krytycznej (Eulera) N_cr . Krzywa (3) przedstawia interakcję zginania i wyboczenie sprężystego, a prosta (7)  interakcję  plastyczną momentu zginającego i siły osiowej M_pr. Zależności (3) i (7)  uwzględniają  dodatkowe wytężenie II rzędu, spowodowane przez obciążenie osiowe N na przemieszczeniu v , czyli dodatkowy moment ΔM=N·v. Faktyczne zachowanie się słupa-belki przedstawia krzywa (5), ograniczona z góry przez (7) i (3).

Linią czerwoną oznaczono poziom maksimum (M,N) ścieżki równowagi (5). Maksimum (5) wyznacza nośność graniczną belki-słupa M_R. Z  rys.27 widać różnice pomiędzy nośnością krytyczną N_cr (lub M_cr) , nośnością plastyczną M_pl (lub M_N), a nośnością graniczną M_R. Nośność krytyczna jest wartością własną sprężystego problemu idealnego, czyli problemu quasi nieliniowego geometrycznie  (nośnością na wyboczenie), nośność plastyczna jest nośnością dla problemu sztywno-plastycznego , a nośność graniczna jest maksimum na rzeczywistej ścieżce równowagi wyznaczoną z uwzględnieniem nieliniowości geometrycznych i materiałowych oraz imperfekcji elementu konstrukcyjnego.

Interakcja plastyczna (M,N) – przekrój klasy 1 i 2  [prosta (7)]

Do zrozumienia wykładu (pkt 3.2) , wymagana znajomość postawowych pojęć z inżynierskiej analizy plastyczności, które zostaly przedstawione w artykule Nośność plastyczna konstrukcji.

Nośność  plastyczna M_pr (rys.11) jest momentem plastycznym M_pl przekroju pręta zredukowanym wskutek działania siły osiowej, co oznaczamy jako M_N. Nośność interakcyjną możemy również  zmierzyć siłą osiową  N_M czyli nośnością plastyczną N_pl, zredukowaną wskutek działania momentu zginającego. Problem iterakcji ściskania i zginania dwuosiowego przekroju dwuteowego przedstawiono w artykule „Plastyczna interakcja ściskania i dwuosiowego zginania„.

W przypadku zginania jednokierunkowego (rys.28) przekroju klasy 1 lub 2 krzywe interakcji plastycznej można zapisać w postaci:

($\ref{inter_a}, \ref {inter_b}$) dla przypadku 28a)  –  oś obojętna w środniku  z_N ≤ (h-2·t_f)/2

$$\begin{equation}N_M=2 \cdot f_y \cdot t_w \cdot z_N \label{inter_a}\end{equation}$$

$$\begin{equation}M_N=f_y \cdot b \cdot t_f \cdot(h-t_f)+f_y \left [ \left ( \dfrac {h-2t_f} {2} \right )^2 – z_N^2 \right]\cdot t_w \label{inter_b}\end{equation}$$

($\ref{inter_c}, \ref {inter_d}$) dla przypadku 28b) – oś obojętna w pasie z_N > (h-2·t_f)/2

$$\begin{equation}N_M=f_y \cdot [ t_w \cdot (h-2t_f)+2b(t_f-h/2+z_N)] \label{inter_c}\end{equation}$$

$$\begin{equation}M_N=f_y b (h/2-z_N)(h-z_N)t_f \label{inter_d}\end{equation}$$

Na rys. 29 krzywe ścisłe interakcji ($\ref{inter_a}$ do $\ref{inter_d}$) porównano z aproksymacją normową [11],wzór (6.36):

$$\begin{equation}M_{Ny,Rd}=M_{pl,y}(1-n)/(1-a/2) \le M_{pl,y,Rd} \label {inter_norma}\end{equation}$$

gdzie:  $n= N_{Ed}/N_{pl,Rd}$,  $a= (A-2bt_f)$

Aproksymacja normowa ($\ref{inter_norma}$ ) jest dobrym przybliżeniem zależności ścisłych ($\ref{inter_a}$ do $\ref{inter_d}$). Jest  opisana jedną ciągłą krzywą, co znacznie ułatwia praktyczne rachunki, w tym zastosowania numeryczne.

W tab.1. zestawiono krzywe interakcji plastycznej (M,N) dla najczęściej stosowanych profili słupów.

Tab.1. Wyrażenia na moment plastyczną M_N zredukowany wskutek działania sily osiowej N
[22]

Interakcja sprężysta

Przekrój klasy 3

Interakcja sprężysta (M,N) podlega klasycznej superpozycji (rys.30).  Graniczny stan sprężysty wystąpi, wówczas , gdy w dowolnym punkcie przekroju (maksymalne naprężenie) osiągnie granicę plastyczności, a interakcja sprężysta będzie liniowa:

$$\begin{equation}\sigma_N+\sigma_b =\dfrac {f_y} { \gamma _{M0}}\label{interakcja_el}\end{equation}$$

gdzie:  $\sigma_N= \dfrac {N_{Ed}} {A}$  , $\sigma_b= \dfrac {M_{Ed}} {I} \cdot \dfrac {h} {2}$

Przekrój klasy 4 (cienkościenny)

Przekrój klasy 4  podlega interakcji sprężystej, ale charakterystyki geometryczne są obliczane przy użyciu szerokości efektywnych ściskanych ścianek  ( po wyeliminowaniu tych części ścianek, które uległy utracie stateczności miejscowej) i powinien spełniać kryterium ($\ref{interakcja_el}$) dla A=A_eff i I=I_eff.

Interakcja krytyczna (M,N) – [krzywa (3)]

Do zrozumienia wykładu (pkt 3.3) , wymagana znajomość postawowych pojęć z inżynierskiej analizy plastyczności, ktróre zostaly przedstawionew w artykule  Współczynnik wyboczeniowy. Geneza i mit )

W poprzednim punkcie rozpatrzyliśmy interakcję na poziomie przekroju, teraz rozpatrzymy interakcję na poziomie elementu, pokazanego na rys. 31, czyli belki-słupa , w którym moment zginający w stanie odkształconym składa się z dwóch składników:

• momentu pierwotnego  M,
• momentu drugiego rzędu ΔM= N·v.

[24], podali wyrażenie na amplitudę wygięcia II rzędu idealnie prostego pręta w stanie sprężystym:

$$\begin{equation}v_{max}= \dfrac {M} {N} sec {\dfrac {\pi}{2}} \sqrt {\dfrac{N} {N_{cr}}-1}\label{v_max}\end{equation}$$

gdzie:   $N_{cr}= \dfrac {\pi^2 \cdot EI_y} {L^2}$   jest klasyczną siła krytyczną Eulera.

Maksymalny moment zginający wynosi:

$$\begin{equation}M_{max}=M+\Delta M_{max}=M \cdot sec \dfrac {\pi}{2}\cdot \sqrt { \dfrac{N} {N_{cr}}} \label {M_max}\end{equation}$$

Element z przekrojem klasy 1 lub 2

Formuła normowa wytrzymałości elementu belki-słupa zginanego jednokierunkowo i zabezpieczonego przed zwichrzeniem jest następująca:

$$\begin{equation} \dfrac{N_{Ed}}{\chi_y \cdot A f_y} +\dfrac{k_y M_{y,Ed}}{W_{pl,y} f_y} \le 1  \label {N-My}\end{equation}$$
w której:
$\chi_y$ jest współczynnikiem wyboczeniowym słupa, wyznaczonym w stanie bezmomentowym,

$k_y$ jest współczynnikiem iterakcji, który można obliczać różnymi  metodami.  W normie [11] podano dwie metody: metodę 1 (załącznik A)  i metodę 2 (załącznik B).

Dopuszczalne jest stosowanie innych metod od sugerowanych metod normowych 1 i 2. Poniżej podajemy formuły nas współczynniki interakcji za [22]), które były podawane we wcześniejszej wersji (2001) normy Eurocode 3, Part 1.1 :

$$\begin{equation} k_y=1-\dfrac {\mu_y N_{Ed}}{\chi_yAf_y}\le1,5 \label{k_y} \end{equation}$$

który jest współczynnikiem interakcji zmodyfikowanym czynnikiem:

$$\begin{equation}\mu_y= \overline \lambda_y \cdot (2\beta_{M_y}-4)+\dfrac {W_{pl,y}}{W_{el,y}} \label {mu_y} \le \ 0,90\end{equation}$$

Współczynnik β_My jest współczynnikiem sprowadzającym rzeczywisty rozkład momentów zginających belkę do równoważnego, rozłożonego momentu zginającego i jest przyjmowany zgodnie z tab.2 ( dla belki stężonej w kierunku z i zginanej w kierunku y).

Tab.2. Współczynnik równoważnego stałego momentu  w równaniu ($\ref{mu_y}$)
[22]

Elementy z przekrojem klasy 3

Warunek nośności elementu ściskanego i zginanego z przekrojem klasy 3 jest następujący:

$$\begin{equation}\dfrac {N_{Ed}} {\chi_y \cdot Af_y}+\dfrac {k_y M_{y,Ed}} {W_{el,y} f_y }\le 1 \label{N-Mel}\end{equation}$$

Współczynnik interakcji k_y można obliczyć z zależności ($\ref {k_y}$), ale dla czynnika modyfikującego

$$\begin{equation} \mu_y= \overline \lambda_y \cdot (2\beta_{M_y}-4)\ \le \ 0,90\end{equation}$$

Element z przekrojem klasy 4

Elementy klasy 4 oblicza się w stanie sprężystym, ale na skutek redukcji ścianek przekroju efektywnego, może on mieć inne położenie osi głównych, centralnych i siła ściskająca N_Ed może działać na mimośrodzie  e_Nz, wywołując dodatkowe zginanie pręta momentem N_Ed·e_{Ez .} Formuła $(\ref{N-Mel})$ po dodaniu tego momentu daje warunek nośności

$$\begin{equation}\dfrac {N_{Ed}} {\chi_y \cdot A_{eff} \cdot f_y}+ \dfrac {k_y \cdot (M_{y,Ed}+ N_{Ed} \cdot e_{Nz})}{W_{eff,y}\cdot f_y }\le 1\end{equation}$$

gdzie:
k_y – współczynnik interakcji wg ($\ref {k_y}$) i dla mnożnika modyfikującego μ_y wg ($\ref{mu_y}$),
A_eff – pole przekroju efektywnego,
W_eff,y – wskaźnik wytrzymałości przekroju efektywnego względem osi y.

Idea współczynnika interakcji

Współczynnik interakcji ky ($\ref {k_y}$) dotyczy prostej sytuacji ściskania i jednokierunkowego zginania względem osi y.  W bardziej złożonych stanach wytężenia wystąpi  wiele kombinacji współczynników k_ij (i,j=y,x).

W każdym przypadku ich oszacowanie jest złożone, bowiem muszą ujmować wiele zjawisk. Współczynnik  k_y uwzględnia:

• poziom obciążenia osiowego mierzony współczynnikiem $\dfrac {N_{Ed}} {\chi_y \cdot A \cdot f_y} $
• smukłość elementu  λ_y,
• różnicę pomiędzy plastyczną i sprężystą nośnością (stosunek W_pl /W_el – tylko dla klasy 1 i 2 )
• kształt wykresu momentów zginających

W najniekorzystniejszej kombinacji wszystkich możliwości bezpieczną wartością jest k_y=1,5.

Na rys. 31 pokazano najprostszą sytuację zwiększania momentu zginającego wskutek  działania siły osiowej na ugięciu (efekt P-Δ, zagadnienie II rzędu). W bardziej złożonym przypadku, gdy przebieg momentów zginających po długości pręta jest inny, to efekt amplifikacji nie jest taki prosty, bowiem moment od obciążeń poprzecznych M i dodatkowy moment Nv nie wystąpią w tym samym miejscu na długości pręta.

Na rys. 35 przedstawiono natomiast bardziej złożoną sytuację w której zachodzi amplifikacja działania siły osiowej przy zginaniu  momentami przyłożonymi na końcach elementu o przeciwnych znakach dla ψ=-05. Największa amplifikacja występuje w przekroju pośrednim słupa. W ogólności maksymalne momenty pierwotne i wtórne nie muszą występować w tym samym miejscu, co należy uwzględnić w formule na współczynnik interakcji. Przedstawiona  na rys. 35 sytuacja jest mniej surowa od pokazanej na rys. 31 , choć wszystkie warunki są identyczne, z wyjątkiem wartości ψ.  Współczynnik interakcji zależy więc od stosunku ψ.

Dokładne określenie przebiegu momentów zginających, szczególnie podczas projektowania wstępnego może być kłopotliwe – pamiętajmy , że dla ψ=1,0 uzyskamy najmniej korzystną sytuację interakcyjną. Jeśli pierwotne momenty zginające są największe na końcach elementu, a wpływ wyboczenia jest największy w środku pręta, to należy sprawdzić nośność pręta na końcu bez wyboczenia i przekroju środkowym z wyboczeniem, ale z właściwym momentem (mniejszym od końcowego) Skojarzenie maksymalnego podporowego momentu zginającego z wyboczeniem w środku pręta mogłoby prowadzić do znacznego, nieuzasadnionego  przewymiarowania pręta.

Rys.35 . Interakcja zginania i wyboczenia dla nierównomiernego momentu [22]

Teoretyczne formuły interakcji

Interakcję sprężystego wyboczenia i zwichrzenia przy działaniu siły osiowej N i momentu zginającego M  w pracy[25] opisano zależnością:

$$\begin{equation}\dfrac {M^2}{i_0^2 \cdot N_{cr,z} \cdot N_{cr,o}}=\left ( 1- \dfrac {N} {N_{cr,z}}\right)\cdot \left ( 1- \dfrac {N} {N_{cr,o}}\right) \label{N-LT}\end{equation}$$

 gdzie:
biegunowy promień bezwładności  $i_o=\sqrt {\dfrac {I_y+I_z}{A}}$

siła krytyczna wyboczenia giętnego względem osi z (mniejszej bezwładności $N_{cr,z}=\dfrac {\pi^2 EI_z} {L^2}$

siła krytyczna wyboczenia skrętnego $N_{cr,o}=\dfrac {GI_t} {i_o^2} \cdot \left (1+\dfrac {\pi^2 EI_w} {GI_t \cdot L^2}\right )$

Równanie ($\ref{N-LT}$) opisuje  wyboczenie belki przy N → 0 i wyboczenie boczne (zwichrzenie) słupa $N_{cr,z}$ lub skrętne $N_{cr,o}$ , gdy M → 0. W pierwszym przypadku krytyczna wartość M wynosi:

$$\begin{equation}M_{cr}=\dfrac {\pi}{L}\sqrt {EI_z GI_t} \cdot \sqrt{1+\dfrac { \pi^2 EI_w} { L^ 2\cdot GI_t}}\end{equation}$$

gdzie:
EI_z – sztywność giętna względem osi słabszej,
GI_t – sztywność skrętna,
EIw- sztywność giętno-skrętna (paczenia).

Skutek działania siły osiowej na przemieszczeniu w planie,  podobnie jak wcześniej uwzględnimy współczynnikiem amplifikacji:

$$\begin{equation}\dfrac {M} {1- \dfrac{N}{N_{cr,y}}}\end{equation}$$

Równanie ($\ref{N-LT}$) możemy teraz zapisać w postaci

$$\begin{equation}\dfrac {M^2}{i_o^2 \cdot N_{cr,z} \cdot N_{cr,o}}=\left ( 1- \dfrac {N} {N_{cr,o}}\right) \cdot \left ( 1- \dfrac {N} {N_{cr,y}}\right)\cdot \left ( 1- \dfrac {N} {N_{cr,o}}\right)\end{equation}$$

Po przekształceniach formułę interakcji wyboczenia i zwichrzenia można zapisać w postaci [25]:

$$\begin{equation} \dfrac{N} {N_{cr,z}}+\dfrac {1} {1- \dfrac {N} {N_{cr,y}}\cdot \dfrac {M} {i_o \sqrt {N_{cr,z}\cdot N_{cr,o}}}}=1\end{equation}$$

lub

$$\begin{equation} \dfrac{N} {N_{cr,z}}+\dfrac {1} {1- \dfrac {N} {N_{cr,y}} }\cdot \dfrac {M} {M_{cr}}=1\end{equation}$$

 Interakcja wyboczenia i zwichrzenia w normach europejskich

Formuły normowe dla przypadku wyboczenia z płaszczyzny, uogólnione na zjawisko zwichrzenia mają postać:

Element z przekrojem klasy 1 lub 2 

$$\begin{equation}\dfrac {N_{Ed}} {\chi_z \cdot Af_y}+\dfrac {k_{LT} M_{y,Ed}} {\chi_{LT} W_{pl,y}f_y }\le 1\end{equation}$$

w której: $\chi_z$ – współczynnik wyboczenia z płaszczyzny zginania, $\chi_{LT}$ – wspólczynnik wyboczenia bocznego (zwichrzenia).

Współczynnik zwichrzenia oraz interakcji $k_{LT}$ można przyjąć wg [11] metoda 1 (załącznik A) lub metoda 2 (załącznik B) lub z innych technicznie uzasadnionych formuł, np. wg [22]:

$$\begin{equation}k_{LT}=1- \dfrac {\mu_{LT}M_{y,Ed}}{\chi_{LT}Af_y} \ \le 1,0\end{equation}$$

$$\begin{equation}\mu_y= 0,15 \overline \lambda_z \cdot (2\beta_{M_LT}-1) \le \ 0,90\end{equation}$$

gdzie β_M,LT  jest współczynnikiem równoważnego stałego momentu , który można przyjmować zgodnie z zależnościami tab.2.

Element z przekrojem klasy 3

$$\begin{equation}\dfrac {N_{Ed}} {\chi_z \cdot Af_y}+\dfrac {k_{LT} M_{y,Ed}} {\chi_{LT} W_{el,y}f_y }\le 1\end{equation}$$

Element z przekrojem klasy 4

$$\begin{equation}\dfrac {N_{Ed}} {\chi_z \cdot Af_y}+\dfrac {k_{LT} M_{y,Ed}+N_{Ed}\cdot e_{N,z}} {\chi_{LT} W_{eff,y}f_y }\le 1 \end{equation}$$

Idea współczynnika interakcji k_LT

Współczynnik korelacji k_LT zależy od:

• obciążenia osiowego     $$\dfrac {N_{Ed}} {\chi_z \cdot A \cdot f_y} $$
• smuklość elementu  λ_z ,
• kształt wykresu momentów zginających

Najbardziej niekorzystną wartością k_LT jest 1 , co odpowiada liniowej kombinacji wyboczenia i zwichrzenia. Ogranicza to zakres efektów amplifikacji, ponieważ obciążenie  N_Ed nie może przekroczyć χ_z·A·f_y , która z kolei może być znacznie mniejsza niż sprężyste obciążenia krytyczne w płaszczyźnie wyboczenia N_cr,y. Jest to, oczywiście, również zabezpieczenie przed możliwością uszkodzenia płaszczyźnie poprzez nadmierne ugięcie w płaszczyźnie, przy niższym obciążeniu niż podana przez równanie (29). Może to nastąpić, na przykład w sytuacjach, w których są przewidziane różne warunki usztywnienia i/lub stężenia w płaszczyźnie XY i XZ, jak pokazano na rys. 36. W takich przypadkach powinien być traktowany przez sprawdzenie , oprócz  (29), równanie w płaszczyźnie w postaci:

$$\begin{equation}\dfrac {N_{Ed}} {\chi_{min}\cdot Af_y}+\dfrac {k_{y} M_{y,Ed}} { W_{pl,y}f_y }\le 1\end{equation}$$

w którym χ_min jst minimalnym współczynnikiem wyboczenia w obu płaszczyznach belki-słupa.

Rys.36 . Wyboczenie pręta w płaszczyźnie i z płaszczyzny [22]

Uogólnienie na przypadek zginania ukośnego

Pręt konstrukcji może być w ogólnym przypadku obciążony zginaniem w obu kierunkach (w płaszczyźnie XY i ZX) (rys. 37). Wykres interakcji dla takiego ogólnego przypadku pokazano na rys.38.

Rys.37 Ukośne (dwukierunkowe) zginanie belki-słupa [22]

Rys. 38 Powierzchnia interakcji belki-słupa w przestrzeni [22]

Każdy punkt na i pod powierzchnią interakcji (rys.21)  odpowiada bezpiecznej kombinacji obciążeń.

Formuły projektowe dla ogólnego przypadku interakcji podano w pkt. 3.7.  na podstawie  normy europejskiej [11]

Normowe krzywe interakcji belki-słupa

Przedstawione w poprzednich rozdziałach krzywe interakcji pręta zginanego i ściskanego z uwzględnieniem wyboczenia i zwichrzenia można aproksymować normową [11]  formułą pseudoliniową:

$$\begin{equation}\sum \limits_i \ \ {\dfrac {F_{Ei}}{F_{bRi}}} \le 1 \end{equation}$$

gdzie składniki sumy pochodzą od działania zewnętrznych, obliczeniowych (indeks (_Ed) sił przekrojowych: siły podłużnej N_Ed, momentu zginającego względem osi y (większej sztywności) M_y,Ed, momentu zginającego względem osi z (mniejszej sztywności) M_z,Ed i są skorygowane  współczynnikami interakcji k_ij (ij= yy, yz, zy,zz) sił względem osi i oraz j. Rozpatrywane są dwie sytuacje: wyboczenie w planie (płaszczyźnie systemu) oraz wyboczenie z płaszczyzny i w każdej sytuacji sprzężone z nimi zjawiska.

Krzywe interakcji dla sytuacji projektowych

Y  sytuacja wyboczenia względem osi Y ( w płaszczyźnie systemu ZX)

(Y1) od ściskania  siłą N_Ed

$$\begin{equation} \dfrac {N_{Ed}} {N_{y,b,Rd}} \le 1 \end{equation}$$

$$\begin{equation}N_{y,b,Rd}=\chi_y \cdot\dfrac {N_{Rk}} {\gamma_{M1}}\end{equation}$$

χ_y – współczynnik wyboczeniowy w płaszczyźnie, γ_M1=1,0  – współczynnik materiałowy dla elementu

(Y2) od zginania w płaszczyźnie (momentem M_y,Ed)

$$\begin{equation}M_{y,Ed}= \chi_{LT} \cdot \dfrac {M_{y,b,Rd}} {\gamma_{M1}} \le 1\end{equation}$$

$$\begin{equation}M_{y,b,Rd}= \chi_{LT} \cdot \dfrac {M_{y,Rk}} {\gamma_{M1}}\end{equation}$$

χ_LT – współczynnik zwichrzenia, γ_M1=1,0  – współczynnik materiałowy dla elementu

(Y3) od zginania z płaszczyzny (momentem M_z,Ed)

$$\begin{equation} k_{yz} \cdot \dfrac {M_{z,Ed}+ {\Delta M_{z,Ed}}} {M_{z,b,Rd}} \le 1\end{equation}$$

$$\begin{equation}M_{z,b,Rd}= \dfrac {M_{z,Rk}} {\gamma_{M1}}\end{equation}$$

Z w sytuacji wyboczenia względem osi Z ( z płaszczyzny systemu XY)

(Z1) od ściskania  siłą N_Ed

$$\begin{equation}\dfrac {N_{Ed}} {N_{z,b,Rd}} \le 1\end{equation}$$

$$\begin{equation}N_{z,b,Rd}=\chi_z \cdot\dfrac {N_{Rk}} {\gamma_{M1}}\end{equation}$$

χ_z – współczynnik wyboczeniowy w płaszczyźnie,
γ_M1=1,0  – współczynnik materiałowy dla elementu

(Z2) od zginania w płaszczyźnie (momentem M_y,Ed)

$$\begin{equation}k_{zy} \cdot \dfrac {M_{y,Ed}+ \Delta M_{y,Ed}} {M_{y,b,Rd}} \le 1\end{equation}$$

$$\begin{equation}M_{y,b,Rd}= \chi_{LT} \cdot \dfrac {M_{y,Rk}} {\gamma_{M1}}\end{equation}$$

(Z3) od zginania z płaszczyzny (momentem M_z,Ed)

$$\begin{equation}k_{zz} \cdot \dfrac {M_{z,Ed}+ {\Delta M_{z,Ed}}} {M_{z,b,Rd}} \le 1\end{equation}$$

$$\begin{equation}M_{z,b,Rd}= \dfrac {M_{z,Rk}} {\gamma_{M1}}\end{equation}$$

gdzie:
składniki ΔM_y,Ed i ΔM_z,Ed stosuje się wyłącznie dla przekrojów klasy 4 w przypadku, gdy efektywny przekrój ma środek ciężkości przesunięty do przekroju pierwotnego i wystąpi mimośrodowe działanie siły osiowej N_Ed na ewentualnych mimośrodach e_N,y i\lub e_N,z ,
N_Ed, M_y,Ed, M_z,Ed – wartości obliczeniowe siły ściskającej i maksymalnych momentów zginających względem osi y i zχ_y, χz – współczynniki wyboczenia giętnego względem osi y i z wg [11], kl. 6.3.1
χ_LT – współczynnik zwichrzenia wg. [11], kl. 6.3.2.

k_yy, k_yz, k_zy, k_zz – współczynniki interakcji obliczone metodą 1 (załącznik A) lub metodą 2 (załącznik 2) [11].

Występujące w formułach (Y) i (Z) charakterystyki geometryczne oblicza się zgodnie z tab.3 w zależności od klasy przekroju pręta,

Tab.3. Definicje A_j, W_j oraz ΔM_j,Ed w zależności od klasy przekroju

Sprawdzenie przekroju

Jeśli element słup-belka  został zaprojektowany z określaniem współczynników interakcji k_ij , to w ogólnym przypadku należy jeszcze sprawdzić, czy przekroje krytyczne elementu mają zapewnioną nośnośc w złożonym stanie naprężenia.

Dla zginania ukośnego ze ściskaniem /rozciąganiem można stosować formułę [11], wzór(6.41):

$$\begin{equation}\left(\dfrac {M_{y,Ed}}{M_{Ny,Rd}} \right)^\alpha+ \left (\dfrac {M_{z,Ed}}{M_{Nz,Rd}}\right)^\beta \le 1\end{equation}$$

gdzie wykładniki potęg zależą od kształtu przekroju poprzecznego pręta dla najczęściej stosowanych przekrojów wynoszą:

dla przekroju dwuteowego (I lub  H):   α=2; β=5n ≥1

dla rury okrągłej: α=β=2

dla rury prostokątnej: α=β=1,66/(1-1,33n²) ≤6

Współczynniki interakcji wg metody 1 EC3 [11]

W tab 5 i tab 6 zamieszczono wyrażenia normowe na współczynniki interakcji wg metody 1 [11].

Widoczna jest złożoność formuł i stopień ich nieliniowości. Oczywiste jest więc, że formuły interakcji (34) są nieliniowe (lub pseudoliniowe wskutek „ukrycia ” nieliniowości we współczynnikach interakcji). Ze względu na złożoność formuł  wyrażenia te można uznać za użyteczne wyłącznie po opracowaniu i udostępnieniu inżynierom arkuszy lub procedur numerycznych.

Tab.5. Metoda 1: współczynniki interakcji k_ij
[11], tab A.1

Tab.6. Współczynniki równoważnego, stałego momentu C _mi,0
[11], tab A.2

Przykłady rachunkowe

Przykłady rachunkowe słupów-belek pokazanych na rys. 39, przedstawiono w pracy [1], pkt 7.7.

Rys.39. Schemat belki-słupa do przykładów rachunkowych

Belka-słup wykonany jest z uniwersalnego profilu dwuteowego 254×146 UB 37 – S275 o charakterystykach geometrycznych zestawionych na rys. 39a.

Przykłady te zamieszczamy poniżej  z porównaniem do wyników uzyskanych za pomocą współczesnego oprogramowania do projektowania konstrukcji stalowych.

Nośność w płaszczyźnie zginania (względem głównej – silniejszej  osi)

Sprawdzić nośność belki-słupa, pokazanego na rys. 39b. Element  jest ściskany siłą N=200 kN oraz zginany siłą V=20 kN w środku ropiętości oraz  na całej długości zabezpieczony przed przemieszczeniami $\nu$ oraz obrotami $\Phi$ stężony, to zmaczy zabezpieczony przed wyboczeniem bocznym (zwichrzeniem).

Maksymalny moment zginajacy belkę w przekroju środkowym wynosi:

$ M_{y,Ed}= \dfrac{VL}{4}=\dfrac{20\cdot 9}{4}=45,0 \, kNm$.

Współczynnik materiałowy $\varepsilon=\sqrt{\dfrac{235}{275}}=0,924$. [11], tab. 5.2

Sprawdzenie nośności przekroju

Zginany przekrój walcowany jest klasy 1 przy zginaniu. W przypadku ściskania lub ściskania ze zginaniem należy sprawdzić klasę przekroju zgodnie z zasadami podanymi w artykule Klasa przekroju stalowego  –[11], tab. 5.2.

Szerokość, smukłość i klasa pasa
$c_f=(146,4-6,3-2\cdot 7,7)/2=62,4 mm \,$
$\lambda_f=\dfrac{c_f}{t_f }=\dfrac{62,4}{10,9}=5,72 < 9 \cdot 0,924=8,32\to \, pas: klasa \,1 $.

Współczynnik strefy ściskanej środnika
$c_w=256,0-(2\cdot 10,9)-(2\cdot7,6)=219,0 \, mm$

$\alpha= \dfrac {h/2-(t_f+r)+ N_{Ed}/(2 t_w f_y)} {c_w}=\dfrac{256/2-(10,9+7,6)+1/2 \cdot (200 \cdot 10^3)/(6,3 \cdot 275)}{219,0}= 0,76 > 0,5$

Smukłość i klasa środnika
$\lambda_w=\dfrac{c_w}{t_w }=\dfrac{219,0}{6,3}=34,80 < \dfrac{396\varepsilon}{13\alpha-1}=41,3 \to \, $ środnik  klasa 1.

Przekrój w warunkach zadania 4.1. jest klasy 1.

Nośność przekroju na zginanie jednokierunkowe  (dla klasy 1,2) [11], pkt 6.2.5 (2) wzór (6.13):
$$M_{c,y, Rd}=M_{pl,Rd}= \dfrac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M0}}= \dfrac {483\cdot 275}{1,0} \cdot 10^{-3}= 132,8 \, kNm > 45,0 \, kNm$$

Nośność przekroju na ściskanie [11],pkt 6.2.4(2), wzór (6.10)
$N_{c,Rd}=N_{pl,Rd} = \dfrac{A f_y}{\gamma_{M0}}= \dfrac{47,2 \cdot 275}{1,0}\cdot 10^{-1}=1298 ,\ kN > 200\, kN$

Sprawdzenie wytrzymałości przekroju zginanego i ściskanego dokonamy dwoma sposobami:

1. Metoda prosta (liniowa interakcja – podejście konserwatywne) wg [11], kl. 6.2.1(7), wzór (6.2)

$ \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\dfrac{M_{y,Ed}}{M_{y,Rd}}+\dfrac{M_{z,Ed}}{M_{z,Rd}} \le 1$,
$\dfrac{200}{1298 }+\dfrac{45,0}{132,8}=0,493 \le 1 \to$ przekrój ma wystarczającą nośność.

     2. Metoda dokładna  (zredukowana nośność  w interakcji parabolicznej) dla klasy 1 przekroju wg [11], kl. 6.2.9.1(1), wzory (6.31-6.34)

$M_{N,Rd}=M_{pl, Rd} \left[ 1- \left( \dfrac {N_{Ed}}{N_{pl,Rd}} \right)^2 \right]$,

przy czym [11], kl. 6.2.9.4. o treści: („W przypadku dwuteowników bisymetrycznych można pomijać wpływ siły podłużnej na nośność plastyczną przy zginaniu, jeśli spełnione są następujące warunki” (…) „przy zginaniu względem osi y-y”):

$N_{Ed} \le 0,25 N_{pl,Rd}$,
$\to 200 \, kN \le 0,25 \cdot 47,2 \cdot 275 /1,0 \cdot 10^{-1}=324,5 \, kN$.

$N_{Ed}\le \dfrac{0,5 h_w t_w f_y}{\gamma_{M0}}$ ,
$\to 200 kN \le [(0,5 \cdot (25,6-2\cdot 1,09)\cdot 0,63 \cdot 275]/1,0 \cdot 10^{-1}=202,9 \, kN$.

Redukcja nośności plastycznej nie jest wymagana, czyli:

$M_{N,y.Rd}=M_{pl,y,Rd}=132,8 \, kNm > 45,0 \, kNm$.

Nośność elementu na wyboczenie

Ponieważ element jest zabezpieczony przed zwichrzeniem na całej długości, więc  nie trzeba sprawdzać wyboczenia bocznego belki oraz wyboczenia giętnego z płaszczyzny elementu.

Smukłość względna  elementu przegubowo-przegubowego [11], wzór (6.34):

$\overline \lambda_y = \sqrt{\dfrac{A f_y}{N_{cr,y}}}=\dfrac{L_{cr,y}}{i_y}\dfrac{1}{\lambda_1}= \dfrac{900}{10,8}\dfrac{1}{93,9\cdot 0,924}=0,960$ ,

Dla profilu walcowanego  $h/b>1,2$ oraz $t_f \le 40 mm$ i do wyboczenia wokół osi y-y, zastosujemy krzywą wyboczeniową „a” ($\alpha=0,21$) [11], tab. 6.1 i 6.2,

Współczynnik wyboczenia [11], kl. 6.3.1.2(1)
$\Phi=0,5[1+0,21(0,960-0,2)+0,960^2]=1,041$,
$\chi_y=\dfrac{1}{1,041+\sqrt{1,041^2-0,960^2})}=0,693$.

Nośność słupa na wyboczenie [11], pkt. 6.3.1.1(3)
$N_{b,y,Rd}=\chi_y A f_y/\gamma_{M1}=0,693\cdot 47,2 \cdot 275 /1,0 \cdot 10^{-1}=900 \, kN > 200 \, kN$

Nośność belki-słupa – Metoda uproszczona [11], Załącznik B

Współczynniki pomocnicze[11], tab. B1, B3

$\alpha_h=\dfrac{M_h}{M_s}=0,\psi=0$$ , $$C_{my}=0,90+0,1 \alpha_h =0,90$,

$C_{my} \cdot \left [ 1+( \overline \lambda_y -0,2) \dfrac{N_{Ed}}{\chi_y N_{Rk} / \gamma_{m1}} \right ]=0,90 \cdot \left [ 1+( 0,960 -0,2) \dfrac{200 \cdot 10^3}{0,693 \cdot 47,2 \cdot 10^2 \cdot 275 /1,0} \right ]=1,052$

$< C_{my} \left ( 1+0,8 \dfrac{N_{Ed}}{\chi_y N_{Rk} /\gamma_{M1}}\right)=0,90 \cdot \left( 1+0,8 \dfrac{200 \cdot 10^3}{0,693 \cdot 47,1 \cdot 10^2 \cdot 275 /1,0}\right)=1,060$,

tak, że $k_{yy}=1,052$

Warunek nośności [11], kl. 6.3.3(4):

$\dfrac{N_{Ed}}{N_{b,y,Rd}}+k_{yy}\dfrac{M_{y,Ed}}{M_{c,y,Rd}}=\dfrac{200}{900}+1,052\cdot\dfrac{45,0} {132,8}=0,222+0,356=0,579 <1$

Nośność belki-słupa – Metoda dokładna [11], Załącznik A

Parametry zadania [11],Tab. A1, A2:

$\overline \lambda_{max}=\overline \lambda_y =0,960$.

$N_{cr,y}= \dfrac{\pi^2 EI_y}{L_{cr}^2}=\pi^2 \cdot 210000 \cdot 5537 /900^2 \cdot 10^{-1}=1417 \, kN$

Ponieważ nie zajdzie zwichrzenie, to : $\overline \lambda_0=0$, $b_{LT}=0$, $C_{mLT}=1,0$.

$C_{my}=C_{my,0}=1-0,18 \dfrac{N_{Ed}}{N{cr,y}}=1-0,18 \cdot 200/1417= 0,975$,

$w_y=\dfrac{W_{pl.y}}{W_{el,y}}=483/433=1,115$,

$n_{pl}= \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rk} /\gamma_{M1}}=\dfrac{200}{47,2 \cdot 275 \cdot 10^{-1}/1,0}=0,154$.

$C_{yy}=1+(w_y -1) \left[ \left( 2- \dfrac{1,6}{w_y} C_{my}^2 \overline \lambda _{max} – \dfrac{1,6}{w_y} C_{my}^2 \overline \lambda_{max}^2\right) n_{pl}-b_{LT}\right]=$
$=1+(1,115 -1) \left [ \left ( 2- \dfrac{1,6}{1,115}\cdot 0,975^2 \cdot 0,960 – \dfrac{1,6}{1,115} \cdot 0,975^2 \cdot 0,960^2 \right) \cdot 0,154- 0 \right]=0,990 > \dfrac{W_{el,y}}{W{pl,y}}=\dfrac{1}{1,115}=0,896$.

$\mu_y=\dfrac{1-N_{ED}/N{cr,y}}{1- \chi_y N_{ED}/N{cr,y}}=1- \dfrac{1-200/1417}{1-0,693 \cdot 200/1417}=0,952$.

$k_{yy}=C_{my}C_{mLT} \cdot \dfrac{\mu_y}{1-N_{ED}/N_{cr,y}}\cdot \dfrac{1}{C_{yy}}=0,975 \cdot 1,0 \cdot \dfrac{0,952}{1-200/1417}\cdot \dfrac{1}{0,990}=1,091 $.

Warunek nośności [11], kl. 6.3.3(4)

$\dfrac{N_{Ed}}{N_{b,y,Rd}}+k_{yy}\dfrac{M_{y,Ed}}{M_{c,y,Rd}}=\dfrac{200}{900}+1,091\cdot\dfrac{45,0} {132,8}=0,222+0,370=0,592 <1$

Sprawdzenie nośności elementu za pomocą programu Consteel v10

Obliczenia belki-słupa, wykonywane ręcznie z wykorzystaniem formuł normowych  są bardzo uciążliwe i ze względu na swoją złożoność zawodne, a wręcz niewiarygodne.

Ten sam element sprawdzono za pomocą programu Consteel w schemacie pokazanym na rys. 40, gdzie mimośrodem „e” przyłożenia siły ściskającej modelowano imperfekcje globalne.Na rys. 43 przedsatawiono belkę słup z imperfekcjami łukowymi w kształcie jednej fali.

Przeprowadzano obliczenia II rzędu, czyli z uwzględnieniem wpływu przemieszczeń na siły przekrojowe (efekt $P-\Delta$),  w kilku wariantach:

Wariant A – rys. 41 bez uwzględnienia imperfekcji,

Wariant B – rys. 42 z uwzględnieniem imperfekcji globalnych (przechyłowych L/200),

Wariant C – rys. 44 z uwzględnieniem imperfekcji lokalnych (łukowych L/200)

Wariant D – rys. 45 z jednoczesnymi imperfekcjami globalnymi i lokalnymi

Rys, 40 Schemat belki-słupa z programu Consteel: e=0 dla wariantu A, e=45 mm dla wariantu B i D

Rys, 41. Wyniki obliczeń Consteel. Wariant A (bez imperfekcji)

Rys, 42. Wyniki obliczeń Consteel. Wariant B ( imperfekcje globalne )

Rys, 43. Schemat belki-słupa  Consteel z imperfekcjami łukowymi

Rys, 44. Wyniki obliczeń Consteel. Wariant C ( imperfekcje łukowe )

Rys, 45. Wyniki obliczeń Consteel. Wariant D ( imperfekcje globalne i lokalne )

W tabelach z obliczeń w programie Consteel podano wyniki:

• GE (Global Elastic)  – ogólna analiza sprężysta – wzór (6.1) PN-EN: hipoteza Hubera nośności sprężystej przekroju krytycznego,
• M-NPI (Moment-Normal Plastic Interaction) – plastyczna interakcja paraboliczna zginania z siłą podłużną
• LPI (Linear Plastic Interaction)- nośność konserwatywna w interakcji -wzór (6.2) PN-EN: interakcja liniowa plastyczna sił w przekroju klasy 1 lub 2
• GS nośność przy ocenie ogólnej stateczności – (wzór 6.63,6.64,6.66) PN-EN

Wnioski:

1. Sprawdzenie wg GE okazuje się się nazbyt ostrożne, ponieważ przekroje są klasy 1 i należy dopuścić uplastycznienie przekroju. Dlatego też reguły GE nie są wymiarujące w rozpatrywanym przypadku i nie będą wymiarujące w większości praktycznych przypadków  elementów klasy 1 lub 2 . Wniosek jest zgodny z ostrzeżeniem normowym [11], Uwaga 6.2.1(5),
2. Sprawdzenie w interakcji liniowej LPI jest konserwatywne dla przekroju, ale nie jest wymiarujące dla elementu przy uwzględnieniu niestateczności. W tym przypadku należy uwzględnić imperfekcje globalne i lokalne
3.  Nośność GS (Global Stability) oceniona za pomocą uogólnionego współczynnika wyboczenia  dla niestateczności sprężystej z płaszczyzny układu nie jest adekwatna, ponieważ element jest zabezpieczony  przed utratą stateczności z płaszczyzny, a ponadto należałoby przeprowadzić analizę wyboczeniową.
4. Uwzględnienie rezerw plastycznych przekroju i jednocześnie niestateczności elementu wymaga zadania imperfekcji i ocenę nośności po przeprowadzeniu obliczeń II rzędu z warunku zginania M-NPI . Odpowiada to wariantowi D i kryterium M_N PI, które dało stopień wytężenia 50,39%

Z porównania wyników obliczeń ręcznych  metodą 2 (57,9%) ; i metodą 1 (59,2%)  oraz numerycznych (50,39%) ,  wynika, że:

wg metody 2 w obliczeniach ręcznych uzyskano  $$ (1- 0,579/0,5039)$$= o 15% zawyżone wytężenie belki,

wg metody  1 w obliczeniach ręcznych uzyskano  $$ (1- 0,592/0,5039)$$ = o 18%% zawyżone wytężenie belki.

Nośność względem osi słabszej

Dwuprzęsłowa belka pokazana na rys. 49c poddana jest ściskaniu siłą N=200 kN  i zginana równomiernie rozłożonym obciążeniem q=3,2 kN/m. Sprawdzić nosność belki-słupa o przekroju UB 37 ułożonej środnikiem w poziomie.

Nośność przekroju

Maksymalny  moment zginający $M_{z,ED}=3,2 \cdot 4,5^2/8=8,1 \, kNm$,
(ujemny podporowy moment zginający w belce dwuprzęsłowej).

Pasy są klasy 1 przy ściskaniu oraz przy złożonym obciążeniu.

Klasa środnika przy ściskaniu [11],Tab.5.2,
$\lambda_w=\dfrac{c_w}{t_w \epsilon}=(256,0-2\cdot 10,9-2\cdot 7,6)/(6,3\cdot 0,924)=37,6$
$33 < 37,6< 38 \to$ klasa 2.

Wobec tego przekrój jest klasy 2 ( najniższa klasa ścianek składowych).

Nośność przekroju na zginanie [11], kl. 6.2.5(2)
$M_{c,z,Rd}=275 \cdot 119 \cdot 10^{-3} /1,0=32,7 \, kNm > 8,1 \, kNm$ .

Sprawdzenie wytrzymałości przekroju zginanego i ściskanego:

1. Metoda prosta (liniowa interakcja)

$\dfrac{8,1}{32,7}+\dfrac{200}{47,2 \cdot 275 \cdot 10^{-1}}=0,402 \le 1 \to$ przekrój ma wystarczającą nośność

     2. Metoda dokładna (zredukowanej nośności w interakcji parabolicznej)

Ponieważ przekrój jest klasy 2, więc zastosowano warunek [11], kl.6.2.9.1, dla: $h_w=256-2 \cdot 10,9=234 \, mm$, $A_w=23,4\cdot 0,63=14,74 \, cm^2$

Redukcja redukcja nośności plastycznej nie jest wymagana, ponieważ :$N_{Rd}= A_w f_y/\gamma_{M0}= 14,74 \cdot 275/ 1,0\cdot 10^{-1}=405,4 \, kN > 200 \, kN$, czyli:

$M_{N,z.Rd}=M_{pl,z,Rd}=32,7\, kNm > 8,1 \, kNm \to $ przekrój ma wystarczajacą nośność.

 Nośność elementu na wyboczenie

Współczynnik wyboczenia [11], tab. 6.1 i 6.2, kl. 6.3.1.2(1)

$\overline \lambda_z=\sqrt{\dfrac {Af_y}{N_{cr,z}}}=\dfrac{L_{cr,z}}{i_z}\cdot \dfrac{1}{\lambda_1}=\dfrac{450}{ (3,48)\cdot( 93,9 \cdot 0,924)}=1,490$.

Profil walcowany  $h/b>1,2$ oraz $t_f \le 40 mm$, wyboczenie wokół osi z-z,  $\to$ krzywa wyboczeniowa „b” ($\alpha=0,34$).

 $\Phi=0,5[1+0,34(1,490-0,2)+1,490^2]=1,829$,
$\chi_z=\dfrac{1}{1,829+\sqrt{1,829^2-1,490^2})}=0,343$

Nośność słupa na wyboczenie [11]. kl. 6.3.1.1(3)
$N_{b,z, Rd}=\chi_z A f_y/\gamma_{M1}=0,346\cdot 47,2 \cdot 275 /1,0/10^{-1}=449 \, kN > 200 kN$.

Nośność belki-słupa – Metoda uproszczona

[11], tab. B3, B1

Ponieważ element jest zabezpieczony przed zwichrzeniem, więc $e_{LT}=0$,
$M_h=-8,1\, kNm$, $M_s=9\cdot 3,2 \cdot 4,5^2/128=4,56 \, kNm$. $\psi=0$,
$\alpha_s=\dfrac{M_s}{M_h}=4,56/(-8,1)=-0,563$.

 $C_{mz}=0,1-0,8 \alpha_s=0,1-0,8\cdot(-0,563)=0,550 > 0,40$.

 $C_{mz} \left (1+ (2\overline \lambda_z-0,6)\dfrac{N_{Ed}}{\chi_z N_{Rk}/ \gamma_{M1}}\right)= 0,550\cdot\left( 1+(2\cdot 1,490-0,6)\cdot \dfrac{200}{0,346\cdot 47,2\cdot 275 /1 \cdot 10^{-1}}\right) = 1,133$
$> C_{mz} \left( 1+1,4 \dfrac{N_{Ed}}{\chi_z \cdot N_{Rk}/\gamma_{M1}}\right)=0,550\cdot \left( 1+1,4\dfrac{200}{0,346\cdot 47,2\cdot 275/1,0\cdot 10^{-1}}\right)=0,893$

tak, że $k_{zz}=0,893$

Warunek nośności [11],kl. 6.3.3(4):

 $\dfrac{N_{Ed}}{N_{b,z,Rd}}+k_{zz}\dfrac{M_{z,Ed}}{M_{c,y,Rd}}=\dfrac{200}{449}+0,893\cdot\dfrac{8,1} {32,7}=0,445+0,221=0,666 <1$

Nośność belki-słupa – Metoda dokładna

[11], tab. A1, A2

$\overline \lambda_y =0,960$, (z pkt. 4.1.2)

$\overline \lambda_{max}=\overline \lambda_z=1,490 ( pkt.4.2.2) >0,960$.

$N_{cr,z}= \dfrac{\pi^2EI_z}{L_{cr,z}^2}=\pi^2 \cdot 210000 \cdot 571 \cdot /450^2\cdot 10^{-1}=584,4 \, kN$,

$|\delta_x|=\dfrac{qL^4}{185EI_z}=\dfrac{3,2 \cdot 450^4}{185 \cdot 210000 \cdot 571}=5,9 \, mm$

$|M_{z,Ed}(x)|=8,1 \, kNm$

$C_{mz}=C_{mz,0}=1+\left( \dfrac{\pi^2EI_z |\delta_x|}{L^2 |M_{z.Ed}(x)|}-1\right)\dfrac{N_{Ed}}{N_{cr,z}}= 1+\left(\dfrac{\pi^2\cdot 210000 \cdot 571 \cdot 5,9\cdot 10^4}{4500^2\cdot 8,1\cdot 10^6}-1 \right)\cdot \dfrac{200}{584,4}=0,804$,

$w_z=\dfrac{W_{pl.z}}{W_{el,z}}=119/78=1,526 > 1,5$,

$n_{pl}= \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rk} / \gamma_{M1}}=\dfrac{200 }{47,2 \cdot 275 /1,0\cdot 10^{-1}}=0,154$.

$C_{zz}=1+(w_z -1) \left[ \left( 2- \dfrac{1,6}{w_z} C_{mz}^2 \overline \lambda _{max} – \dfrac{1,6}{w_z} C_{mz}^2 \overline \lambda_{max}^2\right) n_{pl}-e_{LT}\right] \ge \dfrac{W_{el,z}}{W_{pl,z}}$
$C_{zz}=1+(1,5 -1) \left [ \left ( 2- \dfrac{1,6}{1,5} 0,804^2 \cdot 1,490 – \dfrac{1,6}{1,5} \cdot 0,804^2 \cdot 1,490^2 \right) \cdot 0,154- 0 \right]=0,958 \ge \dfrac{1}{1,5}=0,667$

$\mu_z=\dfrac{1-N_{Ed}/N{cr,z}}{1- \chi_z N_{Ed}/N{cr,z}}=1- \dfrac{1-200/584,4}{1-0,346 \cdot 200/584,4}=0,746$.

$k_{zz}=C_{mz} \dfrac{\mu_z}{1-N_{Ed}/N_{cr,z}}\cdot \dfrac{1}{C_{zz}}=0,804 \cdot \dfrac{0,746}{1-200/584}\cdot \dfrac{1}{0,958}=0,952 $.

Warunek nośności [11], kl. 6.3.3(4):

$\dfrac{N_{Ed}}{N_{b,z,Rd}}+k_{zz}\dfrac{M_{y,Ed}}{M_{c,y,Rd}}=\dfrac{200}{449}+0,952\cdot\dfrac{8,1} {32,7}=0,445+0,236=0,681 <1$

Sprawdzenie nośności przy zwichrzeniu

Jednoprzęsłowa belka UB 37- S275, pokazana na rys. 39d poddana jest ściskaniu siłą N=200 kN  i zginana siłą V=20 kN oraz stężona bocznie i skrętnie w środku rozpiętości. Sprawdzić nośność belki-słupa.

Moment zginający $M_{y,Ed}=45,0 kNm$.

Nośność przekroju oraz zginanie belki względem osi większej sztywności bez utraty zwichrzenia sprawdzono w pkt. 4.1.

Sprawdzenie na zwichrzenie – Metoda uproszczona

Nośność belki na  proste zwichrzeniem (uzyskane w odrębnym zadaniu) $M_{bRd}=121,4 \,kNm$

Nośność słupa na ściskanie (pkt. 4.1. $N_{b,y,Rd}=900 /, kN$, $k_{yy}=1,052$

Sprawdzenie nośności wg [11], kl. 6.3.3.(4)

$\dfrac{N_{Ed}}{N_{b,y,Rd}}+k_{yy}\dfrac{M_{Ed}}{M_{b,Rd}}=\dfrac{200}{900}+1,052 \dfrac{45,0}{121,4}=0,222+0,390=0,612 < 1$

Nośność elementu z płaszczyzny wg  [11], wzór (6.62)

$N_{b,z,Rd}= 449 m\, kN$$, $$ \chi_z= 0,346$ , $\overline \lambda_z= \overline \lambda_{max}= 1,490$, $N_{cr,z} =584,4 \, kN$$ i $$w_z=1,5$ (pkt. 4.2).

$\psi=0$, $ C_{mLT}=0,6+0,4\psi=0,6 > 0,4 $

Współczynnik korelacji $k_{zy}$ [11], tab. B.1

$\left( 1- \dfrac{0,1\overline \lambda_z}{(C_{mLT}-0,25} \dfrac{N_{Ed}}{\chi_z N_{Ek}/\gamma_{M1}}\right)=\left( 1- \dfrac{0,1\cdot 1,490}{(0,6-0,35)} \cdot\dfrac{200}{0,346\cdot 47,2\cdot 275\cdot 10{_1}/1,0}=\right)0,810$

$\left( 1- \dfrac{0,1}{(C_{mLT}-0,25} \dfrac{N_{Ed}}{\chi_z N_{Ek}/\gamma_{M1}}\right)=\left( 1- \dfrac{0,1}{(0,6-0,25)} \cdot\dfrac{200}{0,346\cdot 47,2\cdot 275\cdot 10{_1}/1,0}=\right)0,873$,

czyli $k_{zy}=0.873$

Warunek nośności:

$\dfrac{N_{Ed}}{N_{b,z,Rd}}+k_{zy}\dfrac{M_{y,ED}}{M{b,Rd}}=\dfrac{200}{449}+0,873 \cdot \dfrac{45,0}{121,4}=0,445+0,324=0,769<1$

Sprawdzenie na zwichrzenie – Metoda dokładna

Boczne wyboczenie elementu jest sprawdzone w rozdz. 4.1., ale przy podejściu [11], wzór (6.61) należy sprawdzić zwichrzenie w miejsce wytrzymałości  na zginanie względem głównej osi przekroju., do czego jest wymagany współczynnik interakcji $k_{yy}$.

$\overline \lambda_y=0,960$, $\overline \lambda_{max}=\overline \lambda_z=1,490$

$M_z=111,2 \, kNm$

$\overline \lambda_o=\sqrt{132,8/111,2}=1,093$,

Ponieważ przekrój jest bisymetryczny , to mamy:

$i_p=\sqrt{\dfrac{I_y+I_z}{A}}=\sqrt{\dfrac{5537+571}{47,2}}=11,38 \, cm$
$N_{cr,T}=\dfrac{1}{i_p^2} \left( GI_t+\dfrac{\pi^2EI_w}{L_{cr,T}}^2\right)=\dfrac{1}{11,38^2}\left ( 81000\cdot 15,3\cdot 10^2+ \dfrac{\pi^2 \cdot 210000\cdot 0,0857 \cdot 10^8}{450^2}\right)=1636 \,kN$,

Dla $\beta_m=0 \to C_1=1,75$

$0,2 \sqrt{C_1} \sqrt[4]{\left( 1- \dfrac{N_{Ed}}{N_{cr,z}}\right) \left( 1-\dfrac{N_{Ed}}{N_{cr,T}}\right)} =0,2 \sqrt{1,75} \sqrt[4]{\left( 1- \dfrac{200}{584,4}\right) \left( 1-\dfrac{200}{1636}\right)}=0,231 < \overline \lambda_o =1,093$ ,

$\alpha_{LT}=1=\dfrac{I_t}{I_y}=1-15,4/5537=0,997 >0 $,

$\varepsilon_y= \dfrac{M_{y,Ed}}{N_{Ed}} \dfrac{A}{W_{el,y}}=\dfrac{45 \cdot 10^4}{200 \cdot 10^3} \dfrac{47,2 \cdot 10^2}{433 \cdot 10^3}=2,453$

$N_{cr,y}=1417$ kN,

$C_{my,0}=1-0,18 \dfrac{N_{Ed}}{N_{cr,y}}=1-0,18 \cdot 200/1417=0,975$,

$C_{my}= C_{my,0}+(1-C_{my,0})\dfrac{\sqrt{\varepsilon_y}\alpha_{LT}}{1+\sqrt{\varepsilon_y}\alpha_{LT}}=0,975+(1-0,975) \dfrac{\sqrt{2,453}\cdot 0,997}{1+\sqrt{2,453}\cdot 0,997}=0,990$

Uwagi i wnioski z przykładów

Ze względu na żmudne obliczenia ręczne słupów (elementów zginanych i ściskanych), a mimo to niewystarczającą dla praktyki dokładność obliczeń – zaleca się stosowanie sprawdzonych komputerowych arkuszy, procedur i programów  obliczeniowych.Literatura

1. Trahair N. S., Bradford M. A. (2008). The Behaviour and Design of Steel Structures to EC3 (4 Wydanie). http://library.magistersipil.janabadra.ac.id/wp-content/uploads/2015/05/The-Behaviour-And-Design-Of-Steel-Structures-To-EC3-4th-EDITION.pdf
2. Chodor, L., & Malik, Ł. (2014). Optymalizacja konstrukcji nośnej hali stalowej – Optimization of the supporting structure of steel hall. Short Papers, 195–198
3. Chodor, L. (2016). Przekrycia hal i galerii. In XXXI Ogólnopolskie Warsztaty Pracy Projektanta Konstrukcji: Vol. I (pp. 25–202). https://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/2016/03/Chodor_LPrzekrycia-hal-i-galerii-WPPK-2016.pdf
4. Włodarczyk, W. (2002). Konstrukcje stalowe. Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne
5. PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC: 2008, Eurokod 4 – Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo-betonowych – Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
6. Starosolski, W. (2013). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych Tom. 3, Wydawnictwo Naukowe PWN
7. Rykaluk, K. (2009)., Konstrukcje stalowe. Podstawy i elementy. Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne
8. Bogucki, W. (Ed.). (1982). Poradnik projektanta konstrukcji metalowych (1st ed., Vol. 2). Arkady
9. Tahtamyschev A. G. (1978)., Primery rascheta stalnych konstruktciy
10. Rykaluk, K. (2009). Konstrukcje stalowe. Podstawy i elementy. Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne
11. PN-EN 1993-1-1:2006, Eurokod 3- Projektowanie konstrukcji stalowych – Część 1-1, Reguły ogólne i reguły dla budynków
12. Pałkowski, S. (2009). Konstrukcje stalowe: wybrane zagadnienia obliczania i projektowania. Wydawnictwo Naukowe PWN
13. Chodor, L. (2016). Stalowe dżwigary kratowe. PiWiki – Inżynierowie i Architekci Chodor-Projekt. https://chodor-projekt.net/encyclopedia/stalowe-dzwigary-kratowe/
14. Grochowska, E., & Matysiak, A. (2014). Konstrukcje stalowe ze słupami dwugałęziowymi z przewiązkami projektowane wg norm PN i EN. Przegląd Budowlany, 9/2014, 41–43
15. Kurzawa, Z. (2012). Stalowe konstrukcje prętowe. Cz. I. Hale przemysłowe oraz obiekty użyteczności publicznej. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej
16. SKILLS, CTICM, PIKS, Politechnika Warszawska. (2012). Podstawy słupów.,  http://www.piks.com.pl/wp-content/uploads/2015/05/SKILLS-M04P-Podstawy-slupow.pdf
17. PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3:2008, Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1  Reguły ogólne i reguły dla budynków
18. Chodor L. (1999). Projekt konstrukcji przekrycia Centrum Handlowego w Radomiu. Biuro Projektów Budownictwa Chodor-Projekt, sp. z o.o.; Archiwum Biura Projektów Budownictwa BPB, sp z o.o. w Kielcach
19. Medwadowski, J. (Ed.). (1980). Konstrukcje metalowe i stalowe. PWN
20. PN-B-03215/1998 Konstrukcje stalowe – Połączenia z fundamentami – Projektowanie i wykonanie
21. PN-EN 1993-1-8 +Ap1+AC:2006, Eurokod 3 -Projektowanie konstrukcji stalowych -Część 1-8: Projektowanie węzłów
22. SSEDTA (2001). Course: Eurocode 3. Lecture 14 : Beam-columns, Structural Steelwork Eurocodes Development of A Trans-national Approach
23. Andrzejewski, E. (1969). Poradnik inżyniera. Mechanika. Tom II. Zagadnienia konstrukcyjne (Ed. Kocańda S,), Wydawnictwo Naukowo-Techniczne
24. Trahair N. S., Bradford M. A. (1988). The Behaviour and Design of Steel Structures to EC3 (2 Wydanie)
25. Chen W. F., Atsuta T. (1976). Theory of Beam-Columns (4 Wydanie , Tom 1,2 ). McGraw-Hill

________________________________