Przekroje prętów cienkościennych mogą być otwarte lub zamknięte. Przekrój zamknięty jest utworzony wówczas, gdy ścianka tworzy obwód zamknięty (rurę, komorę) [1], np. w sposób pokazany na rys.1. Przekroje zamknięte mogą być jedno- lub wielo-komorowe i charakteryzują się dużą odpornością na skręcanie, wielokrotnie większą od profili otwartych. W przypadku obciążenia pręta skręcaniem należy stosować profil o przekroju zamkniętym, a nie otwartym, czyli stosować rury a nie dwuteowniki. W każdym przypadku należy zwrócić uwagę na swobodę deplanacji przekroju i przy jej ograniczeniu, obok naprężeń od swobodnego skręcania (Saint Venanta) szacować naprężenia od momentu giętno-skrętnego.
Skręcanie swobodne
Ze skręcaniem swobodnym mamy do czynienia wówczas, gdy przekroje poprzeczne pręta mają swobodę deplanacji (paczenia). Taki przypadek zachodzi , gdy na końcach pręt jest obciążony równymi i przeciwnie skierowanymi momentami skręcającymi Mυ. Wówczas w przekroju pręta o profilu zamkniętym powstają tylko naprężenia styczne , które można traktować jako równomiernie rozłożone po grubości t ścianki.
Rys.1. Przekrój cienkościenny zamknięty. Oznaczenia [2]
Strumień naprężeń stycznych
| $q=\tau_v \cdot t $ | (1) |
ma stałą wartość, niezależnie od współrzędnej bieżącej przekroju s, określającej położenie punktów na konturze. Naprężenie styczne strumienia oblicza się ze wzoru Bredta:
| $\tau_v=\dfrac{M_v} {2 \Omega \cdot t} $ | (2) |
gdzie
| $ \Omega=\dfrac {1}{2}\oint h ds$ | (3) |
jest polem powierzchni ograniczonej konturem, to jest linią środkową ścianek (rys.1).
Dla pręta o nieodkształcalnym przekroju poprzecznym związek pomiędzy pochodną kąta skręcenia , czyli jednostkowym kątem skręcenia , a momentem skręcającym $M_v$ ma postać:
| $\Theta= \dfrac {M_v}{G \cdot I_v} $ | (4) |
gdzie:
$G$- współczynnik odkształcalności poprzecznej (Kirchoffa),
$I_v$ – moment bezwładności swobodnego skręcania zamkniętego przekroju cienkościennego, który wyznaczamy ze wzoru
| $ I_v=4 \Omega^2 \left ( \oint {\dfrac {ds} {t(s)}} \right)^{-1} =4\Omega^2 \cdot \dfrac {t_0} {\overline s_0} $ | (5) |
| $ \overline s_0=\oint \dfrac {t_0} {t(s)} $ | (6) |
gdzie: $t_0$ – grubość ścianki w dowolnie wybranym miejscu przekroju poprzecznego; $\overline s_0$ – sprowadzona długość obwodu przekroju.
Dla $t(s)=t=const$ : $I_v=\dfrac{t}{s_0}\cdot 4 \Omega^2$ ,
gdzie $s_0$ – rzeczywista długość obwodu przekroju .
W tab.1 zamieszczono charakterystyki kilku zamkniętych przekrojów cienkościennych [2].
Tab.1 Charakterystyki geometryczne wybranych, zamkniętych przekrojów cienkościennych
| Przekrój |  |  |  |
| xs | 0 | 0 | 0 |
| ys | 0 | 0 |  |
| Iv |  |  |  |
| Iw |  | 0 | 0 |
Skręcanie skrępowane
Ze skręcaniem skrępowanym mamy do czynienia w przypadku skrępowania deplanacji przekroju poprzecznego pręta. W wyniku tego w przekroju powstają naprężenia normalne $\sigma_{\overline \omega}$ oraz dodatkowe naprężenia styczne $\tau_{\overline \omega}$ . Naprężenia te wyznacza się ze wzorów:
| $\sigma_{\overline \omega}=\dfrac {B_{\overline \omega} \cdot \overline \omega} {I_{\overline \omega}}$ | (7) |
| $\tau_{\overline \omega}= – \dfrac {M_{\overline \omega} \cdot \overline S_{\overline\omega} } {I_{\overline \omega} \cdot t(s)}$ | (8) |
gdzie:
$\overline \omega$ – główne, uogólnione pole wycinkowe (współrzędna wycinkowa przekroju);
$I_{\overline \omega}$ – uogólniony wycinkowy moment bezwładności;
$ \overline S_{\overline \omega}$ – uogólniony wycinkowy moment statyczny przekroju.
Dodatnim naprężeniom $\tau_{\overline \omega}$ odpowiada zwrot zgodny z kierunkiem dodatniego przyrostu współrzędnej s.c
W odróżnieniu od prętów o przekrojów otwartym , giętno skrętne naprężenia styczne $\tau_{\overline \omega}$ stanowią samozrównoważone układy sił i tym samym cały moment skręcający $M_v$ przenoszą naprężenia styczne swobodnego skręcania $\tau_v$.
Całkowite naprężenie styczne w dowolnym punkcie przekroju znajduje się jako sumę $\tau_v+ \tau_{\overline \omega}$.
Wykresy uogólnionych współrzędnych wycinkowych oraz wycinkowych momentów statycznych dla zamkniętego przekroju prostokątnego o stałej grubości ścianki $t=const$ podano na rys.2.
Rys.2. Współrzędne wycinkowe oraz wycinkowe momenty statyczne w rurze prostokątnej [2]
Dla przekroju prostokątnego o dwóch różnych grubościach ścianek (t1,t2) znajduje się wg wzoru w tabeli 1.
Pręty o przekroju trójkątnym i inne w kształcie wieloboku foremnego, ale o stałej grubości ścianki (t=const) nie ulegają deplanacji i ich charakterystyki wycinkowe są równe zeru.
Uogólniony wycinkowy moment bezwładności dla dowolnego przekroju zamkniętego oblicza się ze wzoru
| $I_{\overline \omega}=\oint \overline \omega^2 dA$ | (9) |
w którym $\overline \omega$ oznacza uogólnione pole wycinkowe względem środka ścinania $S$ przekroju od głównego punktu początkowego $M$ , tj uogólnione pole wycinkowe.
Uogólnione pole wycinkowe względem dowolnego bieguna B , od dowolnego punktu początkowego M’ na konturze, oblicza się ze wzoru
| $\overline \omega’_B= \omega’_B -\dfrac {\overline s} {\overline s_0} \cdot 2 \Omega $ | (10) |
gdzie:
$\overline \omega’_B$ -pole wycinkowe względem bieguna $B$ od punktu $M’$, dla obszaru przeciętego w dowolnym punkcie $C$ (rys. 3)
$\overline s= \int \limits_0 \limits^s \dfrac {t_0} {t(s)} ds$ – sprowadzona współrzędna $s$ (długość konturu) liczona od punktu M’.
Rys.3. Wyznaczanie głównej współrzędnej wycinkowej przekroju zamkniętego [2]
Współrzędne środka ścinania (zwanego również środkiem skręcania) $S$ przekroju zamkniętego wyznacza się w układzie centralnych , głównych osi bezwładności, z następujących wzorów:
| $y_s=y_B+\dfrac{1}{I_y} \oint \overline \omega_B \cdot z \cdot dA $
$z_s=z_B+\dfrac{1}{I_z} \oint \overline \omega_B \cdot y \cdot dA $ |
(12) |
gdzie $y_B$, $z_B$ – współrzędne dowolnie przyjętego bieguna $B$ , który na ogół przyjmuje się na konturze; $y,z$ – współrzędne kartezjańskie dowolnego punktu na konturze; $I_y$, $I_z$ – główne momenty bezwładności przekroju poprzecznego względem głównej osi poziomej y i pionowej z odpowiednio.
Więcej o prętach cienkościennych ⇒ Wykład Leszka Chodor.
Literatura
- Brzoska Z. (1965), Statyka i stateczność konstrukcji prętowych cienkościennych, (Wyd. II, PWN, Warszawa
- Bogucki W. (1980), Poradnik projektanta konstrukcji metalowych: praca zbiorowa. Tom I. Arkady, Warszawa
________________________________
