Skręcanie prętów. Pręty cienkościenne

Leszek Chodor,  26 września 2014
15 czerwca 2025  scalenie kilku odrębnych artykułów
15 czerwca 2025  do nadal – naprawa awarii

W przypadku nieczytelnych treści, proszę powiadomić: leszek@chodor.co

 W ciągu ostatnich 24 godzin z artykułu korzystało  41 Czytelników

Artykuł  jest naprawiany po poważnej awarii portalu

Zagadnienie skręcania prętów jest ważnym problemem w projektowaniu konstrukcji budowlanych. Współczesne analizy wytrzymałości i stateczności systemów prowadzone są na modelach złożonych z prętów uogólnionych w stosunku do klasycznego modelu Bernoulliego. Pręt uogólniony ma dodatkowym stopień swobody węzła – paczenie (deplanację) przekroju. Uogólniona teoria belkowa Sapountzakis (2013) [1] zbudowana na dorobku kilku pokoleń inżynierów, a zapoczątkowana pracą Marguerre (1940) [2] umożliwia włączenie w proces obliczeniowy analizy wyboczenia giętno-skrętnego (w tym zwichrzenia) prętów. Analiza konstrukcji prętowych z zastosowaniem teorii zginania i skręcania skrępowanego prętów cienkościennych praktycznie w całości zastąpiła tradycyjną analizę z użyciem modelu pręta zwartego i jest stosowana w zasadzie we wszystkich nowoczesnych  programach obliczeniowych (program Consteel i szereg innych).

Naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia skręcanego pręta istotnie zależą od kształtu przekroju oraz od sposobu podparcia (warunków brzegowych ) końcowych (poprzecznych) ścianek i pośrednich przekrojów, a także od sposobu obciążenie pręta.  Ścisłe rozwiązanie zagadnienia skręcania możliwe  jest tylko w nielicznych przypadkach, a w zasadzie tylko dla pręta o przekroju okrągłym,  ze swobodnymi ściankami poprzecznymi, obciążonymi równomiernymi obciążeniami skręcającymi o takiej samej wartości ale o przeciwnych zwrotach na obu ściankach poprzecznych. W każdym innym przypadku mamy do czynienia z rozwiązaniem przybliżonym, ale akceptowanym w praktycznym wymiarowaniu prętów

Teoria prętów cienkościennych oryginalnie sformułowana przez Własowa (1959)  [3] znajduje zastosowanie w analizie nie tylko konstrukcji stalowych, ale również w analizie skręcania prętów i obiektów żelbetowych, mostów skrzynkowych lub budynków wysokich i wszędzie tam, gdzie wystąpi nieswobodne (skrępowane) skręcania prętów. W praktyce skręcanie nieswobodne występuje w każdym pręcie konstrukcji budowlanych, a skręcanie swobodne wystąpi tylko w nielicznych przypadkach, na przykład skręcania walów na łożyskach.
W prętach skręcanych swobodnie wytężenie przekrojów spowodowane jest tylko naprężeniami stycznymi, a podczas skręcania skrępowanego wystąpią również naprężenia normalne, które są  spowodowane przez powstanie nieznanej w klasycznej teorii zginania  prętów siłę przekrojową – bimoment $B_\omega$, stowarzyszony z deplanacją (spaczeniem) przekroju. Powstaną również dodatkowe naprężenia styczne wywołane przez działanie momentu giętno-skrętnego $M_\omega$.  Rozkład naprężeń ścinających po grubości ścianki zależy od tego, czy przekrój jest otwarty, czy też zamknięty.

Współczesne programy komputerowe, szczególnie ConSteel [4], [5] pozwalają na projektowanie ram złożonych z prętów stalowych z uwzględnieniem niestateczności ogólnej dowolnego typu (wyboczenie, zwichrzenie, wyboczenie giętno-skrętne) bez potrzeby wykorzystywania skomplikowanych formuł analitycznych i normowych. W 2002 roku opublikowano do powszechnego użytku inżynierów program LTBeam [6], który umożliwiał szybkie i łatwe obliczenie momentu krytycznego belek jedno- i wieloprzęsłowych o dowolnych przekrojach bi- i mono-symetrycznych ze stężeniami bocznymi niepodatnymi lub sprężystymi założonymi na dowolnej wysokości przekroju. Od wersji LTBeamN 2.02  za pomocą programu można obliczyć siły krytyczne dla belki zginanej momentem M i ściskanej siłą N.  Program został opracowany  przez  CTICM (Centre Technique Industriel de la Construction Metallique – France) w ramach europejskiego projektu  ECSC(European Community for Steel and Coal) – Project No 7210-PR183 : „Lateral torsional buckling of steel and composite beams” – 1999-2002).

Tablice projektowe

Charakterystyki przekrojów skręcanych

Tab.1 Charakterystyki geometryczne skrętne wybranych przekrojów zwartych stosowanych w budownictwie

W przypadku swobodnego  skręcania jednostkowy kąt skręcenia $\Theta$ wyznacza się z zależności ($\ref{7}$).

Tab.2  Współczynniki $\alpha$ wskaźnika wytrzymałości ($\ref{15}$) i $\beta$ momentu bezwładności ($\ref{13}$)na skręcanie dla różnych stosunków boku prostokąta (opracowano na podstawie [7] )

Tab.3 Charakterystyki geometryczne wybranych, zamkniętych przekrojów cienkościennych [8]

$A= \cfrac{b\cdot t_2\cdot (t_1\cdot cos 2\alpha+ t_2 \cdot cos \alpha) \cdot tg \alpha}{4 \cdot (t_1 \cdot  cos \alpha + t_2)\cdot (t_1+ t_2 \cdot cos \alpha}\\
B= \cfrac{b^3}{8} \cdot \cfrac{t_1 \cdot t_2 \cdot sin \alpha }{t_1 + t_2 \cdot cos \alpha}, \\
C= \cfrac{2 \cdot b^2 \cdot h^2 \cdot t_1 \cdot t_2}{b \cdot t_2 + h \cdot t_1},,\\
D= \cfrac{ b^2 \cdot h^2}{77}\cdot \cfrac{(b\cdot t_2 – h \cdot t_1)^2}{(b\cdot t_2 + h \cdot t_1)^2}\cdot (b\cdot t_1 + h \cdot t_2) $

Tab.4 Charakterystyki geometryczne wybranych, zamkniętych przekrojów cienkościennych – wg [8]

Sposób wyznaczania współrzędnych wycinkowych dla dwuteownika, ceownika i zetownika pokazano w przykładzie 1

Tab.5 Bimomenty $B_ω$, momenty giętno-skrętne $M_ω$, momenty swobodnego skręcania $M_s$ oraz kąty skręcenia $\varphi$ dla prętów cienkościennych [8], tab 1-2

Tab.6 Współczynniki   korekcyjne sztywności $k$ na skręcanie kształtowników stalowych

2) Wyniki badań Foplle przedstawiono w poradniku Birger i in (1998)  [7], 3)  Niezgodziński  (2004) [9]

Skręcanie czyste

Skręcanie czyste realizuje się podczas działania na ścianki poprzeczne (czołowe) pręta pryzmatycznego  specyficznie  dobranego obciążenia o gęstości $q_v =   [ \,  0 \, , \,  q_{vy} \, , \, q_{vz} \, ]$ (rys. 1a). Obciążenie $q_v$ można statycznie zredukować do pary momentów $M_s$ działającej w płaszczyźnie  przekroju poprzecznego początkowego A i końcowego pręta (w miejscu utwierdzenia S). Obciążenie zewnętrzne parą momentów $M_s$ wywołuje moment skręcający $M_x$ w przekrojach pręta.

$M_x$ jest całkowitym momentem skręcającym przekrój wokół osi x, wyznaczonym w drodze statycznej redukcji  obciążenia zewnętrznego  $M_s$ do rozpatrywanego przekroju pręta w którym jest zrównoważony przez składowe siły przekrojowe:  moment czystego skręcania (Saint Venanta)  $M_v$  i  moment giętno-skrętny $M_\omega$:

$$ \begin{equation} M_x = M_v + M_\omega  \label{1} \end{equation} $$

Moment $M_v$ powstaje przy  skręcaniu swobodnym, a przy skręcaniu nieswobodnym dodatkowo działa moment $M_\omega$

Można pokazać [10], że gęstość obciążenia $q_v$ ścianek czołowych pręta, prowadząca do czystego skręcania musi mieć rozkład

$$ \begin{equation} q_v =\begin {cases}
q_{vx}=0  \\
q_{vy}= \pm  \Theta \cdot G \cdot\left ( \cfrac{\partial \varphi}{\partial y} – z\right ) \\
q_{vz}= \pm  \Theta \cdot G \cdot\left ( \cfrac{\partial \varphi}{\partial z} +y\right ) \\
\end {cases} \label{2}  \end{equation} $$

gdzie $\Theta$ jest parametrem, a funkcja $\varphi= \varphi (y,z)$  – kąt skręcenia przekroju jest funkcją harmoniczną, czyli musi spełniać warunki  zagadnienia brzegowego Neumana

$$\begin {equation} \nabla \varphi^2 =0 \label {3} \end {equation}$$

i tak dobraną, że spełnia warunki równowagi  (statyczne warunki równowagi) na pobocznicy   oraz kinematyczne warunki brzegowe , a w tym przypadku zeruje się w punkcie utwierdzenia S (rys. 1a) .

Rys.1. Skręcanie: a) czyste, b) proste, c) swobodne, d) skrępowane – nieswobodne  (rysunek złożony  z ilustracji z pracy [10] )

Skręcanie proste

Skręcanie proste (rys. 1b) dotyczy problemu technicznego skręcania pręta obciążonego  na powierzchniach czołowych parą momentów skręcających $M_s$ (rys. 1b), czyli dowolnym (niekoniecznie spełniającym warunek ($\ref{2}$) )rozkładem obciążeń  $q_v$, które jest statycznie równoważne momentowi $M_s$,

Warunek równoważności obciążenia momentami skupionymi $M_s$ oraz obciążenia realizującego czyste skręcanie ($\ref{2}$) prowadzi do zależności

$$\begin {equation} M_s = \iint_A (q_{vz} y -q_{vy} z dA = \iint_A \left [ \Theta G \left (\cfrac{\partial \varphi}{\partial z}+y  \right) y  – \Theta G \left (\cfrac{\partial \varphi}{\partial y}-z  \right)z\right ] dA= \Theta G \iint_A \left ( \cfrac{\partial \varphi}{\partial z} y -\cfrac{\partial \varphi}{\partial y}z  +y^2 +z^2 \right ) = \Theta G \cdot I_v  \label{4}  \end {equation}$$

gdzie wprowadzono oznaczenie definiowane jako moment bezwładności przekroju na skręcanie (Saint Vennanta).

$$\begin {equation} I_v  \overset{def}{=} \Theta G \iint_A \left ( \cfrac{\partial \varphi}{\partial z} y -\cfrac{\partial \varphi}{\partial y}z  +y^2 +z^2 \right )  \label{5}  \end {equation}$$

Skręcanie swobodne

Przy skręcanie swobodnym pręta każdy przekrój poprzeczny może się swobodnie odkształcać w kierunku osi pręta, co wywołuje paczenie deplanację przekroju płaskiego przed obciążeniem (rys. 1c) . W praktyce oznacza to, że w przekroju występują tylko naprężenia styczne, a deplanacja na rozkład naprężeń. Taki przypadek zachodzi, gdy na końcach pręt jest obciążony równymi i przeciwnie skierowanymi momentami skręcającymi $M_s$ (rys. 1b).

Skręcanie nieswobodne

Skręcanie nieswobodne (skrępowane) to takie, w którym odebrano swobodę deplanacji przekroju (rys. 1c) i w rezultacie w pręcie oprócz naprężeń stycznych pojawiają się naprężenia normalne składające się na siłę przekrojową zwaną bimomentem.
W każdym przypadku skręcania  należy zwrócić uwagę na swobodę deplanacji przekroju , bo przy jej ograniczeniu, obok naprężeń od swobodnego skręcania (Saint Venanta) szacować naprężenia od momentu giętno-skrętnego, powstających przy nieswobodnym skręcaniu.

Deplanacja przekroju pręta skręcanego

Zasada sztywnego konturu i deplanacja przekroju

Skręcanie pręta  znamienne jest tym, że pręt ulega deplanacji  (spaczeniu) , to znaczy przekrój płaski przed odkształceniem nie zachowuje płaskości . Zjawisko deplanacji obserwuje się w pręcie skręcanym swobodnie, co pokazano na rys. 2 , ale także w pręcie skręcanym nieswobodnie , w którym ograniczenie swobody deplanacji wywołuje nowe siły przekrojowe .

Rys.2  Odkształcenia pręta swobodnie skręcanego

W rezultacie podczas skręcania nie jest zachowana zasada płaskich przekrojów -fundamentalna zasada stosowana  w technicznej teorii zginania,.  Założenie  teorii zginania ” odcinek prosty i prostopadły do osi pręta przed deformacją pozostaje prosty i prostopadły po deformacji, a  pręt nie doznaje odkształceń (od zginania)  na linii osi przekrojów” zastępuje zasada sztywnego konturu  „linie konturowa przekrojów poprzecznych pręta nie ulega odkształceniu (od skręcania), ale punktu zawarte wewnątrz konturu przemieszczają się  wzdłuż osi pręta”.

Zasada sztywnego konturu jest pierwszą, podstawową hipotezą, którą postawił Własow w teorii prętów cienkościennych.

Kratowy model skręcania

Analizę napreżeń w skręcanym pręcie  można przeprowadzić na kratowym modelu skręcania, pokazanym na rys.2 Model taki rozpatruje się przy analizie skręcania przekroju żelbetowego.  Na rys. 3  pokazano ten model z oznaczeniem kąta nachylenia krzyżulca  $\gamma$, podczas gdy w analizie konstrukcji żelbetowych kąt ten oznacza się jako $\Theta$ i utożsamia a kątem nachylenia krzyżulca betonowego tworzącego się  w pręcie betonowym w granicach  $ 1,0 \le ctg \Theta\le 2 $ .

Rys.3 Kratowy model skręcania

Na kratowym modelu skręcania  rys.3. możemy zaobserwować, że w przypadku odebrani swobody skręcania na dalszym końcu pręta w zbrojeniu podłużnym pojawia się rozciąganie w pasach górnych i dolnych, co  jest objawem deplanacji przekroju  (porównaj z rys.2)

Skręcanie swobodne

Ścisłe rozwiązanie zadania swobodnego skręcania  w przypadku dowolnego materiału i kształtu przekroju pręta jest zaskakująco złożone, mimo, że  w podstawowych podręcznika tematu zagadnienie swobodnego skręcania jest traktowane jako proste zadanie.

W 1853 roku Saint-Venant (p. np [11]) przedstawił  metodę półodwrotną rozwiązania zagadnienia swobodnego skręcania izotropowych sprężystych prętów pryzmatycznych. Zaproponował metodę, w której założył postać przemieszczeń pręta z możliwością spaczenia przekroju (identycznego dla wszystkich przekrojów poprzecznych) i wyprowadził, konsekwentnie w ramach liniowej sprężystości, równania opisujące zadanie swobodnego skręcania prętów pryzmatycznych. Rozkład obciążenia zewnętrznego na końcach pręta jest identyczny z  rozkładem naprężeń w każdym przekroju.  Wykazał, że sposób przyłożenia statycznie równoważnego obciążenia nie jest istotny w przekrojach dostatecznie  odległych od jego końców. Uogólnienie tej idei, którą nazywa się zasadą Saint-Venanta stosowaną w innych przypadkach wytrzymałościowych ciała stałego.

Na rys.2 pokazano postać odkształconą pręta o zwartym przekroju kwadratowym poddanego swobodnemu skręcaniu  parą momentów skręcających $M_s$ o przeciwnych zwrotach  przyłożonych do powierzchni czołowej

Saint Venant na podstawie wyników eksperymentów założył następujące pole przemieszczeń przekroju pręta skręcanego swobodnie ( u- przemieszczenie w kierunku osi pręta x; v- przemieszczenie wzdłuż osi y ; w-przemieszczenie pionowe wzdłuż osi z):

$$\begin {equation}  u=\Theta \cdot \Phi (y,z) \quad ; \quad  v= – \Theta \cdot x \cdot z  \quad ; \quad w= \Theta \cdot x \cdot y  \label{6}  \end {equation}$$

gdzie $\Phi(y,z)$ – funkcja paczenia zależna od rodzaju przekroju. Dla przekroju okrągłego (walca) $\Phi(y,z)=1$

Jednostkowy kąt skręcenia $\Theta= \cfrac{d \varphi}{dx}$  wyznacza się z zależności

$$\begin {equation}  \Theta =  \cfrac{M_v}{GI_v} \label{7}  \end {equation}$$

gdzie $M_v$ moment czystego skręcania Saint Venanta. Dla schematu z rys. 2 moment skręcający Saint Venanta przekrój pręta jest stały na długości pręta i  równy obciążeniu zewnętrznym momentem skręcającym $ M_s $ : $M_v = M_s $

Pręt o przekroju  zwartym

Z punktu widzenia praktyki istotne znaczenie ma problem czystego skręcania pręta o przekroju okrągłym oraz prostokątnym (rys.2).

Rys.4. Naprężenia w przekroju skręcanym : s) okrągłym, b) prostokątnym [10]

Przekrój okrągły

W przypadku przekroju kołowego rozwiązaniem zagadnienia Neumanna jest funkcja

$$\begin {equation} \varphi (y,z)=0 \label{8}  \end {equation}$$

W konsekwencji moment bezwładności przy skręcaniu  ($\ref{5}$) wynosi

$$\begin {equation} I_v= \iint \limits_A r^2 dA= \cfrac{\pi R^4}{2}=I_0 \label{9}   \end {equation}$$

Maksymalne naprężenia styczne (na obwodzie koła) wynoszą

$$\begin {equation} max \, \tau_v = \cfrac{M_v}{I_v} \cdot R \label{10}  \end {equation}$$

Przekrój prostokątny

W przypadku przekroju prostokątnego  o wymiarach bxh (h-wysokość)  (rys. 2b) funkcja paczenia może być przedstawiona w postaci szeregu [10]:

$$\begin {equation} \varphi (y,z)=y \cdot z-\sum \limits_{i=0}^\infty \cfrac {B_n}{k_n cosh(k_n h/2}\cdot sin(k_n y) cosh (k_n z) \label{11}  \end {equation}$$

gdzie

$$ \begin {equation} k_n=\cfrac { (2n+1) \pi}{b}  \quad ; \quad  B_n= (-1)^n \cfrac{8b}{(2b+1)^2 \pi^2} \label{12}  \end {equation}$$

W konsekwencji moment bezwładności skręcania ($\ref{5}$)  możemy zapisać w postaci

$$\begin {equation} I_v=\left [ \cfrac{1}{3} – \cfrac {67}{\pi^5} \cdot (h/b))^{-1} \sum \limits_{n=0}^\infty \cfrac{tgh (k_n h/2)}{(2n+1)^5}\right ] b^3 h= \beta (h/b) \cdot b^3 \cdot h \label{13}   \end {equation}$$

Wyrażenie na maksymalne naprężenia styczne  można zapisać w postaci:

$$\begin {equation} max \, \tau_{xz}= \cfrac{M_v} {\alpha (h/b)  \cdot b^2 h} \label{14}  \end {equation}$$

skąd wskaźnik wytrzymałości na skręcania

$$\begin {equation} W_v=\alpha (h/b) \cdot b^2 \cdot h \label{15} \end {equation}$$

Współczynniki $\alpha$ i $\beta$ są zależne jedynie od stosunku boków prostokąta i zestawiono je w tab.1

W literaturze podawane są jeszcze inne przybliżenia na współczynniki $\alpha$ i $\beta$. W pracy  [7] i w licznych podręcznikach teorii sprężystości lub wytrzymałości materiałó w zamieszcza się  przybliżone formuły:

$$\begin {equation} \beta \approx  \cfrac{1}{3} \left [ 1  –  \cfrac{0,63}{(h/b)}  + \cfrac{0,052}{(h/b)^5 }\right ]  \quad ; \quad  \alpha \approx   \left [ 1  –  \cfrac{8}{\pi^2}  + \sum \limits_{n = 1, 3, …}^\infty \cfrac{1}{ [n^2 cosh (n \pi h)/(2b)]}\right ] \label{16}   \end {equation}$$

Przybliżona formuła Saint-Venanta dla sztywności skrętnej

W praktyce inżynierskiej często  potrzebujemy szybkiego szacunku sztywności na skręcanie przekroju o złożonym kształcie w celu podjęcia  decyzji o wprowadzeniu przekroju do projektu konstrukcji, W tym przypadku można stosować formułe podaną przez Sait-Venanta w postaci

$$\begin {equation} I_v \approx \cfrac{A^4}{40 \cdot I_0}\label{17}  \end {equation}$$

gdzie:
A- pole przekroju pręta zwartego lub pole zawarte wewnątrz przekroju zamkniętego.
$I_0=I_y + I_z $ – osiowy moment bezwładności równy sumie momentów bezwładności względem osi głównych przekroju.

Formuła  ($\ref{17}$)  powstała po analizie wyrażenia na  sztywność elipsy:

$$\begin {equation} I_v =\pi \cfrac{a^3 b^3}{a^2+b^2}\label{18}  \end {equation}$$

gdzie $a$, $b$ – półosie elipsy, która ma pole przekroju $A= \pi a b$ oraz  $I_o= \cfrac{\pi a b}{4}(a^2+b^2)$.

Po uwzględnieniu tego, że $4 \pi^2 \approx 40$ z  ($\ref{18}$) uzyskujemy ($\ref{17}$) .

Formuła ($\ref{17}$) często jest stosowana do przybliżonego wyznaczenia sztywności na skręcanie prętów o dowolnym przekroju. Należy jednak wziąć pod uwagę, że  takie przybliżenie może prowadzić do zbyt dużych błędów. Na przykład  w przypadku pręta okrągłego z  nacięciem błąd (zawyżenie sztywności) może osiągnąć 80%  [7]

Przekrój cienkościenny

Definicja pręta cienkościennego

Pręt cienkościenny to cylindryczna lub pryzmatyczna powłoka, której trzy miarodajne wymiary są różnych rzędów: długość jest o rząd większa od szerokości (lub wysokości) przekroju, która z kolei jest o rząd większa od grubości ścianki powłoki [12]. Jak pokazuje doświadczenie, a także analiza statyczno-wytrzymałościowa oparta na hipotezach Wlasowa, pręt można uważać za cienkościenny, jeśli spełnione są warunki [3], [13], [14]:

$$\begin {equation} t \le \cfrac{l}{N_{th}} \quad ;  \quad  l \le \cfrac{L}{N_b}\label{19}  \end {equation}$$

gdzie: $N_{th} = N_b = 10$,
$t$ – grubość ścianki, $l$ – długość ścianki , $ L$ – długość pręta.
Drugi warunek wynika  z ogólnej definicji pręta (również o przekroju zwartym). Elementy o mniejszej smukłości w zasadzie powinny być analizowane jako tarcze.  W technice często ten warunek osłabia się i wymaga $N_b = 8$, a w konstrukcjach żelbetowych nawet $N_b = 4$.
Przy zmniejszaniu smukłości ścianek $l/t$ lub pręta  $L/l$  dokładność  rozwiązania zadania jest coraz gorsza.

Pręty cienkościenne dzieli się z uwagi na geometrię przekroju na:

1. otwarte, to znaczy takie, w których linia środkowa nie tworzy obwodów, czyli nigdzie nie zamyka się  (np. rys. 5, 6),
2. zamknięte, toznaczy takie, w których ścianka tworzy obwód zamknięty , rurę, komorę  (np. rys. 7) . Przekroje zamknięte mogą być jedno- lub wielokomorowe.
3. mieszane, które zawierają części otwarte i części zamknięte
4. quasi-zamknięte.(rys. 9 )  i rozdział  pręty wielogałęziowe oraz kratownice wielopasowe. 

Przekrój otwarty

Na rys. 5  przedstawiono często stosowane w konstrukcjach stalowych .

Rys.5 Przykłady przekrojów cienkościennych otwartych stosowane w konstrukcjach stalowych : a) dwuteownik walcowany, b) ceownik walcowany, c) teownik walcowany (1/2 I), d) ceownik gięty na zimno z zagiętymi pasami  (C+), e) kątownik gięty na zimno, f)  przekrój spawany złożony gwiaździsty , g)  przekrój prosty gwiaździsty; C- środek ciężkości, S- środek zginania ( ścinania) [15]

Rozważmy przekrój poprzeczny pokazany na rys.6,, który składa się z n elementów prostokątnych o długości $l_i$ o grubości $t_i$ elementu i-tego,  spełniających warunek ($\ref{27}$)..

Rys. 6 Przekrój otwarty cienkościenny złożony ze ścianek prostych [16]

Przyjmiemy następujące założenia upraszczające dotyczące otwartych profili cienkościennych [16]:
#1 jednostkowy kat skręcenia każdego elementu prostokątnego przekroju poprzecznego jest jednakowy,
#2 suma momentów skręcających poszczególne elementy M_υi jest równa momentowi skręcającemu przyłożonemu do całego profilu M_υ,

Jednostkowy kąt skręcenie  występujący w ($\ref{2}$) do ($\ref{5}$) zgodnie założeniem #1  możemy napisać w postaci 

$$\begin {equation} \Theta = \cfrac{M_v}{GI_v} =\cfrac{M_{vi}}{GI_{vi}} \label{20} \end {equation}$$

Moment bezwładności na skręcanie prostokąta i-tego (p.  $\ref{13}$) wynosi:

$$\begin {equation} I_{v,i}=\beta_i \cdot t_i^3 \cdot l_i\label{21} \end {equation}$$

gdzie współczynnik $\beta_i$ zależy od proporcji boków prostokąta poddanego czystemu skręcaniu , dla kwadratu ($t_i =l_i$) wynosi 0,141, a dla długiego prostokąta  ($ l_i / t_i  >10$) wynosi 1/3 , Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych. PWN)), dla innych wartości można je odczytać z tab.1.

Z założenia #2 mamy

$$\begin {equation} M_v=\sum \limits_{i=1}^n M_{v,i} \label{22} \end {equation}$$

skąd po podstawieniu wyrażeń na momenty skręcające z założenia Z1, otrzymujemy wyrażenie na moment bezwładności czystego skręcania całego przekroju

$$\begin {equation} I_v=\sum \limits_{i=1}^n I_{v,i}=\sum \limits_{i=1}^n \beta_i \cdot t_i^3 \cdot l_i\\ \approx \cfrac{k}{3}\sum \limits_{i=1}^n  t_i^3 \cdot l_i \label{23} \end {equation}$$

W oszacowaniu $I_v$ wprowadzono współczynnik korekcyjny $k$, uwzględniający zwiększenie momentu bezwładności przekroju otwartego ze względu na wyokrąglenia naroży oraz pochylenie stopek profili  wg.  tab.6.

W tab.1 zamieszczono charakterystyki kilku otwartych przekrojów cienkościennych [8]

Naprężenie styczne  czystego skręcania w złożonym, otwartego  przekroju cienkościennego wyzncza się z zależności 

$$\begin {equation} max \, \tau_i =  \pm \cfrac {M_v}{I_v}\cdot t_i \label{24} \end {equation}$$

przy czym minimalne i maksymalne naprężenia wystąpią na przy przeciwległych krawędziach ścianki zgodnie z rys. 6.

Przekroje zamknięte charakteryzują się dużą odpornością na skręcanie, wielokrotnie większą od profili otwartych. W przypadku obciążenia pręta skręcaniem należy stosować profile o przekroju zamkniętym, a nie otwartym, czyli stosować rury a nie dwuteowniki.

W ściankach przekroju zamkniętego (rys.7)  poddanego swobodnemu skręcaniu powstają tylko naprężenia styczne, które są równomiernie rozłożone po grubości t ścianki, czyli inaczej niż w przekroju otwartym (rys. 6), w którym zmieniają się liniowo i są zerowe w środku ścianki.    Strumień naprężeń stycznych w ściance profilu zamkniętego wynosi

$$\begin {equation} q_v =\tau_v \cdot t \label{25} \end {equation}$$

i ma stałą wartość, niezależnie od współrzędnej bieżącej przekroju s, określającej położenie punktów na konturze. Strumień naprężeń stycznych ($\ref{25}$)  oblicza się ze wzoru Bredta

$$\begin {equation} \tau_v  = \cfrac{M_v} { \Omega \cdot t} \label{26} \end {equation}$$

gdzie $\Omega$ jest podwojonym polem powierzchni ograniczonej konturem (linią  środkową ścianek) – rys.4 w ogólności wyznaczanym z formuły :

$$\begin {equation} \Omega=\cfrac {1}{2}\oint h ds \label{27} \end {equation}$$

Rys.7 Przekrój zamknięty: S- środek ścinania,  s -współrzędna bieżąca obwodu przekroju pręta, A- pole wewnątrz linii środkowej,  Ω – podwojone pole środkowe, [17]

Moment bezwładności swobodnego skręcania zamkniętego przekroju  cienkościennego $I_v$, występujący w ($\ref{23}$)  wyznaczamy z zależności

$$\begin {equation} I_v =  \Omega^2 \left ( \oint {\dfrac {ds} {t(s)}} \right)^{-1} =  \Omega^2 \cdot \dfrac {t_0} {\overline s_0} \label{28} \end {equation}$$

gdzie:
$t_0$ – grubośc ścianki  w dowolnie wybranym miejscu przekroju poprzecznego (grubość porównawcza),
$\overline s_0$ sprowadzona do $t_0$ długość obwodu przekroju:

$$\begin {equation}\overline s_0 =\oint \cfrac {t_0} {t(s)} \label{29} \end {equation}$$

Dla $t(s)=t=const$   $s_0 =s $ (s- rzeczywista długość obwodu przekroju ), moment bezwładności na skręcanie wynosi $I_v=\cfrac{t}{s}\cdot  \Omega^2$,.

W tab.2 zamieszczono charakterystyki kilku zamkniętych przekrojów cienkościennych za pracą [8].

Zastępczy moduł Yonga $\overline E$ pręta cienkościennego

Piechnik (2000)  [13] pokazał że analizę prętów cienkościennych należy prowadzić z zastosowaniem  zastępczego modułu Younga $\overline E$ a nie modułu Younga materiału E. Zastępczy  moduł Younga $ \overline {E}$ wynosi

$$\begin {equation} \overline {E} \overset {def}{=} \cfrac {E}{1 – \nu^2} \label{30} \end {equation}$$

i wiąże odkształcenia $ \varepsilom_x $ z  naprężeniami $\sigma_x$ wzdłuż osi pręta

$$\begin {equation} \sigma_x = \overline E \cdot \varepsilon_x \label{31} \end {equation}$$

gdzie $\nu$ – współczynnik Poissone’a materiału pręta. Dla stali $\nu= 0,3$ i  otrzymamy $\overline E = 1,01 \cdot E$, czyli jest 1% więkzy od modułu Younge’a materiału (stali).

Związki ($\ref{30}$) i ($\ref{30}$) można w prosty sposób wyprowadzić z układu uogólnionych równań Hooke’a  zestawionych dla pręta cienkościennego:

$$\begin {equation} \varepsilon_x = \cfrac{1}{E} \left [ \sigma_x -+ \nu ( \sigma_s + \sigma_n \right ] \quad ; \quad \varepsilon_s = \cfrac{1}{E} \left [ \sigma_s -+ \nu ( \sigma_x + \sigma_n\right ]\label{32} \end {equation}$$

Po uwzględnieniu tego, że zgodnie z trzecią hipotezą Własowa ($\ref{35}$)  $\sigma_n=0$ układ równań  ($\ref{32}$) można sprowadzić do równania  ($\ref{31} w którym wystąpi $\overline E$ ($\ref{30}$), Otrzymujemy róznież związek

$\sigma_s = \nu \sigma_x$

Skręcanie nieswobodne

Skręcanie nieswobodne (skrępowane)  przedstawimy według technicznej teorii prętów cienkościennych  Własowa (1959)  [3].

W większości praktycznych przypadków deplanacja przekrojów pręta skręcanego (rys. 1c i rys.6) nie może rozwijać się swobodnie, czyli skręcanie jest nieswobodne. Przykładem skręcanie skrępowanego jest zwykłe utwierdzenie końca pręta lub specyficzny, symetryczny sposób przyłożenia momentów skręcających, wymuszający płaskość przekroju leżącego w płaszczyźnie symetrii.

W technicznej teorii nieswobodnego skręcania przyjmuje się, że słuszne są zależności wyprowadzone dla czystego skręcania. Jednostkowy kąt skręcenia $\Theta$ definiuje się podług zależności ($\ref{7}$) w funkcji położenia przekroju na osi pręta  (x), proporcjonalnie do zmieniającego się po osi pręta momentu.  czystego skręcania $M_v(x)$, który jest częścią cąłkowitego momentu skręcającego przekrój $M_x$ ($\ref{1}$). Przemieszczenie podłużne punków przekroju pręta są różne zależnie od położenia punktu na konturze przekroju ( rys.1c); są nazywane przemieszczeniami paczenia. i są proporcjonalne do współrzędnej wycinkowej przekroju ze współczynnikiem proporcjonalności $\Theta$, określonego w zdaniu poprzednim , wg zależności:

$$\begin {equation} u(x.y.x)=-\Theta (x) \cdot \omega \label{33} \end {equation}$$

Współrzędna wycinkowa jest specyficzną współrzędną, określającą położenie punktu $P$ (p. rys. 11 dla przekroju otwartego rys. 13 dla przekroju zamkniętego).

Rozkład przemieszczeń ($\ref{30}$) jest odejściem od klasycznego założenia Bernoulliego o płaskim przekroju  na rzecz sztywnego konturu, który paczy się  (deplanuje). Paczenie przekroju jest stowarzyszone z nową siła przekrojową – bimomentem.

Hipotezy teorii Wlasowa

Pierwsza hipoteza Własowa (sztywnego konturu)

Bimoment – nowa siła przekrojowa o dyskusyjnej naturze matematycznej

Bimoment  jest  nową silą przekrojową specyficzną da prętów cienkościennych proporcjonalnyądo drugiej pochodnej kąta skręcenia przekroju podług zależności. ($\ref{51}$). Bimoment jest analogiem momentu zginajacego stowarzyszoego z krzywizną pręta w zagadneiniu zginania

W tradycyjnej mechanice przyjmuje się, że bimoment jest liczbą (np. [13], [14]), której można przyporządkować nieskończenie wiele bipar (par momentów o przeciwnym zwrocie), a tymi można obciążyć pręt. W pracy [18] przedstawiono twierdzenia dotyczące algebry układów wektorów sił przyłożonych do płaskiej, sztywnej jedynie w swej płaszczyźnie, linii materialnej, to jest przy założeniu sztywnego konturu przekroju pręta cienkościennego. Rozważania prowadzono w ramach klasycznej algebry wektorów, z której można wyciągnąć wniosek , że bimoment jest liczbą (skalarem).

Autor artykułu stoi na stanowisku, że zagadnienie mechaniki prętów cienkościennych oraz algebry sił w tym bimomentu należałoby rozpatrywać w ramach ogólniejszej algebry Clifforda [19]. Zgodnie z tą teorią  siła fizyczna jest trójką (skalar, wektor, biwektor), która jest nazywana pseudowektorem (qwaterionem lub auaterionem). Ta trójka obiektów posiada wszystkie cechy tradycyjnego wektora (wartość, kierunek i zwrot), skalara oraz biwekotra. Obiekty takie są analizowane  w algebrze  geometrycznej Clifforda [20], [21], [22], [23]. Algebra Clifforda jest szczególnie użyteczna w analizie dużych obrotów, a obecnie obserwuje się renesans jej zastosowań.

Bimoment nie jest ani skalarem , ani wektorem – jest  obiektem matematycznym o nazwie quaterion (lub pseudowektor).
W podejściu technicznym bimoment często przedstawia ię jako  „parą momentów” lub „momentem momentów”., a nigdy jako skalar, wektor lub para wektorów (moment).
W niniejszym artykule nie zajmujemy się sformalizowana, matematyczną   teorią bimomentów oraz z ich transformacją, a dla dalszych rozważań wystarczająca jest techniczna definicja bimomentu jako pary momentów.

Przy zginaniu nieswobodnym powstaje jeszcze jedna nowa siła przekrojowa – moment giętno-skrętny $M_\omega$ ($\ref{52}$).

Modelowanie pręta cienkościennego

Kontur przekroju cienkościennego jest sprowadzony do linii środkowych ścianek pręta, które są umieszczone w osiach ścianek  a   cała grubość odcinka skupia się  na linii środkowej. To znaczy  przekrój składa się z odcinków, o długości $l_i$ którym przypisano grubości $t_i$ Linię środkowąna rys. 6 oznaczono linią przerywaną. W takim modelu przekroju cienkościennego charakterystyki geometryczne przekroju (A, I_y, I_z, itd) różnią się od  wartości wyliczonych z klasycznych definicji (p. przykład 2).

Specyficznym typem podpory w analizie prętów cienkościennych jest podpora widełkowa, czyli taka w której nie jest możliwy kąt obrotu. Na rys. 8 pokazano jedną z możliwych realizacji podpory widełkowej, a obok pokazano stosowany symbol podpory i  warunki brzegowe generowane przez podporę widełkową.

Rys. 8 Podpora widełkowa pręta cienkościennego: a ) przykład realizacji podpory, b) symbol i warunki brzegowe ( uzupełniony rys. 4.13 (Bródka J., Broniewicz N., Giżejowski  M. , Kształtowniki gięte. Poradnik projektanta, PWT, Rzeszów , 2006))),

Pole przemieszczeń

Pole przemieszczeń liniowych pręta cienkościennego, opisanych formułą ($\ref{30}$),  zaprezentowano na rys.9. Znamienna dla prętów cienkościennych deplanacja przekroju objawia się różnicami przemieszczeń podłużnych punktów przekroju $u_1$ do  $u_5$z konfiguracji początkowej (przed odkształceniem) $\Omega^{(0)}$ do konfiguracji po odkształceniu $\Omega^{(N)}$. W celu zwiększenia czytelności na rys.9. nie wniesiono oznaczeń kątów obrotu oraz  paczenia.

Rys. 9  Pole przemieszczeń liniowych pręta o przekroju cienkościennym otwartym

Przemieszczenia poprzeczne do osi pręta: pionowe  $w$  oraz poziome $v$ rozpatruje się zgodnie z klasyczną teorią belki Bernoulliego.

Pole naprężeń

Naprężenia normalne

Naprężenia normalne w punkcie przekroju pręta cienkościennego $P(y^{(P)} ,  z^{(P)}, \omega^{(P)})$ wyznacza się z podstawowej zależności technicznej teorii prętów

$$\begin {equation} \sigma_x^{(P)} = \cfrac{N}{A} \cfrac{M_y }{I_y} z^{(P)} – \cfrac{M_z}{I_z} y^{(P)} + \cfrac{B_\omega^P }{I_\omega} \omega^{(P)} \label{36A} \end {equation}$$

gdzie:
$(x, y, \omega)$- układ współrzędnych przekroju w osiach głównych centralnych  (x,y) i głównego bieguna S oraz głównego punktu początkowego (B_\omega);
$N$, $M_y$, $M_z$, B_\omega$ -s siły przekrojowe : siła osiowa moment zginający względem osi y ,  osi z oraz bimoment
Dwa pierwsze składniki  wywołane są zginaniem pręta, a trzeci składnik wywołany jest skręcaniem skrępowanym i jest specyficzny dla prętów cienkościennych

W formule ($\{36A}$) nie uwzględniono efektów niestateczności pręta i przekroju. Efekty te sa przedmiotem innych artykułów: niestateczność przy ściskaniu ,   zginaniu pręta,  przekroju .

W przykładach pokazano technikę wyznaczania i sumowania naprężeń normalnych.

Naprężenia styczne

Naprężenia styczne wyznacza się z zależności

$$\begin {equation} \tau^{(P)} = \cfrac{V_z\cdot \overline S_y^{(P)}}{I_y \cdot t^{(P)}}+\cfrac{V_y\cdot \overline S_z^{(P)}}{I_z \cdot t^{(P)}} + \cfrac{M_\omega \cdot \overline S_\omega^{(P)}  }{I_\omega \cdot t^{(P)}}+ \tau_v  \label {XZ1}\end {equation}$$

gdzie:
$V_y$, $V_z$, $M_\omega$ – siły przekrojowe : siła poprzeczna wzdłuż osi y ,  osi z  oraz moment gięto-skrętny.
$I_y,I_z, I_\omega$ – momenty bezwładności jak w (\ref{36A}$)
$ \overline S_y$, $\overline S_y$, $\overline S_\omega$ momenty statyczne odciętej części przekroju w punkcie P: giętne względem osi y,z  oraz wycinkowy.

Dwa pierwsze składniki  ($\ref{XZ1}$) wywołane są ścinaniem pręta podczas zginania,  trzeci składnik wywołany jest skręcaniem skrępowanym i jest specyficzny dla prętów cienkościennych.
Ostatni składnik jest wywołany skręcaniem pręta momentem Saint-Venata $M_v$  wyznacza się w odmienny sposób zależnie od stopnia zamknięcia przekroju pręta. W przypadku przekroju otwartego wyznacza się je z zależności ($\ref{24}$) , w przypadku przekroju zamkniętego z zależności ($\ref{26}$) , w przekroju quasi-zamkniętego zgodnie z procedurą opisaną w rozdziale Prety wielogaleziowe

W przykładach pokazano technikę wyznaczania i sumowania naprężeń stycznych.

Podstawowe zależności różniczkowe

Równanie skręcania nieswobodnego

Równanie skręcania  pręta o przekroju cienkościennym (otwartym , zamkniętymi mieszanym), obciążonego rozłożonym wzdłuż jego osi $x$ momentem skręcającym o intensywności $m_s (x)$ ma następującą postać

$$\begin {equation} \overline E I\omega \cdot \cfrac{d^4 \varphi}{dx^4} \, – \, GI_v \cdot \cfrac{d^2 \varphi}{dx^2} = m_s (x) \label{36} \end {equation}$$

gdzie:
$\varphi(x)$ – kąt skręcenia przekroju pręta  wokół osi x,
$\overline E$ zastępczy moduł Youmge’a ($\ref{30}$)
$I_\omega$ – wycinkowy moment bezwładności,
($EI\omega$ – sztywność giętno-skrętna przekroju pręta),
G- moduł Kirchoffa,
$I_v$ – moment bezwładności czystego skręcania (Saint Venanta)
($GI_v$ – sztywność skrętna przekroju pręta) ,

czyli ma postać różniczkową podobną do klasycznego równania zginania względem osi y belki Timoshenko o zwartym przekroju,  sztywności giętnej $EI_y$ i  sztywności na ścinanie $kGA$ obciążonej rozłożonym, i pionowymi siłami $q_z$

$EI_y \cdot d^4 w /dx^4 + kGA \cdot (\cfrac{d^2 w}{dx^2} + \cfrac{d^2ψ}{dx^2}) = q_z (x)$ , gdzie $w(x)$ jest ugięciem pręta, wywołanym obciążeniem pręta $q_z(x)$.
Ugięcie $w(x)$  belki  i kąt obrotu zginania  ψ(x)w punkcie belki x zależą od sztywność zginania $EI_y$ i sztywności na ścinanie $kGA$  belki ( k to współczynnik uwzględniający kształt przekroju, G – moduł Kirchhoffa, A – pole przekroju poprzecznego).

Rozwiązanie równania skręcania nieswobodnego

Równaniem stanu pręta cienkościennego jest równanie  kąta skręcenia $\varphi (x,y)$. Inne zmienne stanu. w tym siły przekrojowe można wyznaczyć z formuł zależnych tylko od kąta skręcenia i jego pochodnych (patrz ($\ref{47}$), ($\ref{48}$), ($\ref{49}$)) .

Znajdziemy rozwiązanie równania ($\ref{36}$) zapisanego w postaci

$$\begin {equation}  \varphi^{(iv)} (x) –  \alpha^2  \varphi^{(ii)}(x) = \cfrac{m_s(x)}{EI_\omega}\label{37} \end {equation}$$

gdzie

$$\begin {equation} \alpha^2= \cfrac{GI_v}{EI_\omega} \label{38} \end {equation}$$

Rozwiązanie zwyczajnego  równania różniczkowego ($\ref{37}$)  jest sumą całek: ogólnej równania jednorodnego $\varphi_o (x)$ i szczególnej równania niejednorodnego.$\varphi_s (x)$

$$\begin {equation} \varphi (x)= \varphi_o (x) +\varphi_s (x) \label{39} \end {equation}$$

Zgodnie z metodą podaną przez Eulera poszukujemy rozwiązania równania jednorodnego

$$\begin {equation}  \varphi^{(iii)} (x) –  \alpha^2  \varphi^{(i)} (x) = 0 \label{40} \end {equation}$$

w postaci $e^{rx}$. Po podstawieniu przewidywanej postaci rozwiązania uzyskujemy następujące równanie charakterystyczne

$$\begin {equation}  r^4- \alpha^2  r^2 = 0 \label{41} \end {equation}$$

które ma cztery pierwiastki

$$\begin {equation}  r_1= 0  ; \quad r_2=0  ; \quad r_3=\alpha , \quad r_4 = -\alpha \label{42} \end {equation}$$

Całkę ogólną równania różniczkowego liniowego ($\ref{40}$) można zapisać więc jako kombinację liniową funkcji wykładniczych:

$$\begin {equation}   A e^0 + B e^0 + C e^{\alpha x} + D e^{-\alpha x} \label{43} \end {equation}$$

Po zastąpieniu funkcji wykładniczych ich liniową kombinacją funkcji wykładniczych, zdefiniowanych jako funkcje hiperboliczne
$sinh(\alpha x) = \cfrac {e^{\alpha x}- e^{- \alpha x}}{2}$ oraz
$cosh(\alpha x) = \cfrac {e^{k\alpha }+ e^{- k \alpha}}{2}$

$$\begin {equation}  \varphi_o(x) =  C_1 + C_2 \cdot sinh (\alpha x) + C_3 \cdot cosh (\alpha x) +C_4  \label{44} \end {equation}$$

Całka ogólna  metody parametrów początkowych

Całkę ogólną ($\ref{44}$) można przekształcić do postaci dogodnej do obliczeń metodą parametrów początkowych:

$$\begin {equation}  \varphi_o(x) =  C_1 + C_2 \cfrac{1}{\alpha} sinh (\alpha x) + C_3 \cfrac{1}{\alpha^2 \overline E I_\omega} \left [ 1-  cosh (\alpha x) \right]   + C_4 \cfrac{1}{ \alpha^3 \overline E I_\omega} \left [  \alpha x – sinh(\alpha x) \right ] \label{45} \end {equation}$$

Całka szczególna $\varphi_s(x)$ zależy od rozkładu momentów skręcających $m_s (x)$ po długości pręta  i zwykle przyjmuje się ją metodą przewidywania.

Na przykład w przypadku pręta  obciążonego momentem skręcającym $m_s =const$ stałym na całej długości pręta (schemat 1.3.5.7 w tab. 4) całkę szczególną można zapisać w postaci

$$\begin {equation}  \varphi (x) =  \cfrac{ -m_s}{\alpha^4 \overline E I_\omega} \left [ \cfrac{1}{2} (\alpha x)^2 +1 – cosh (\alpha x) \right ]\label{46} \end {equation}$$

Warunki brzegowe a stałe całkowania

Stałe całkowania $C_1, \, C_2 \,  , \, C_3 , \, C_4$ w rozwiązaniu ($\ref{45}$ wyznacza się ze statycznych i kinematycznych  warunków brzegowych.

W tab. 4 zapisano warunki dla najczęściej spotykanych schematów belek cienkościennych.

W innych przypadkach  dobór warunków brzegowych przebiega z uwzględnieniem zasad:

• $C_1$ jest kątem obrotu $\varphi (x=0) $ na początku belki (x=0),
•  $C_2$ jest pochodną kąta skręcenia $\varphi (x=0),$
• $C_3$ jest bimomentem  $B_{\varphi}(x=0)$ ,
• $C_4$ jest momentem skręcającym $M_x (x=0)$

przy czym:

• przy braku obrotu $\varphi=0$  i swobodzie skręcania $M_x=0$, warunek brzegowy; $\varphi^{(iii)} – \alpha^2 \cdot \varphi^{(i)}= 0$
• dla swobodnego końca obciążonego momentem $M_s$ warunek; $ \overline E I_\omega  \sim  \varphi^{(iii)} – \alpha^2  \varphi^{(i)}- M_x$
• w przypadku swobodnego paczenia $B_\omega=0$, czyli $\varphi^{(ii)}=0$
• przy braku spaczenia końcowego przekroju $u=0$, czyli $\varphi^{(i)}=0$

Analizy prowadzone w pracy [13] pozwalają postawić warunki brzegowe dla bardziej złożonych przypadków z dokładnością pozwalającą uwzględniać pojedyncze więzi składających się na deplanację przekroju.

Siły przekrojowe w skręcanym pręcie cienkościennym

Skręcanie pręta cienkościennego  wywołuje siły przekrojowe, które  można wyznaczyć po wyznaczeniu funkcji kąta skrecenia pręta $\varphi(x)$  ($\ref{39}$)  z zależności różniczkowych:

moment czystego skręcania (Saint Venanta)

$$\begin {equation}   M_v(x) = GI_v \varphi ^{i} (x) \label{47} \end {equation}$$

bimoment

$$\begin {equation}   B_\omega (x)  = – EI_\omega \varphi ^{ii} (x) \label{48} \end {equation}$$

moment giętno- skrętny

$$\begin {equation}   M_\omega (x)  = – EI_\omega \varphi ^{iii} (x) \label{49} \end {equation}$$

Praktycznie w każdej sytuacji  pręty skręcane są jednocześnie zginane i ścinane, Siły przekrojowe od obciążenia zginającego (poprzecznego do pręta w płaszczyżnie i z płaszczyzny zginania określa się w sposób standardowy, znany z  podstawowego kursu mechaniki prętów,

Charakterystyki geometryczne przekroju cienkościennego

Przekrój cienkościenny otwarty

Współrzędna wycinkowa

Lokalny krzywoliniowy układ współrzędnych $(x,s,n)$ w dowolnym punkcie powierzchni środkowej pręta (rys. 10) definiujemy w ten sposób, że pierwszą oś układu określamy jako równoległą do osi globalnej $x$, przyjmując dla niej to samo oznaczenie (rys 5a) o wersorze $\overset{\to}{e_x}$. Druga oś $s$ jest styczna do linii środkowej, definiuje wersor $\overset {\to}{e_s}$. Oś trzecia $n$ jest wyznaczona wersorem $\overset {\to}{e_n}= \overset {\to}{e_x} \times \overset{\to}{e_s}$ Początek osi  spółrzędnej łukowej $s$ przyjmujemy w ustalonym punkcie $O$ na linii środkowej, zwanym początkiem przekroju. Punkt B  jest dowolnie przyjętym biegunem z którego prowadzi się promienie $\rho(s)$ do punktu bieżącego $M(s)$ i promień  $ \rho (s+ds)$ do punktu bieżącego po przyroście współrzędnej łukowej s.
Obok zdefiniowanych wyżej współrzędnych w analizie prętów cienkościennych posługujemy się jeszcze współrzędną wycinkową $\omega$. Przy znajomości linii środkowej, położenia punktu początkowego (O) i bieguna (B) – współrzędna wycinkowa w sposób jednoznaczny wyznacza położenie dowolnego punktu (P). Wartość współrzędnej wycinkowej punktu (P) zależy zarówno od położenia bieguna (B) jak i punktu początkowego (O) – najczęściej punktu zerowej współrzędnej wycinkowej.

Rys. 10 Współrzędne  przekroju cienkościennego  otwartego (s, n, $\omega$), gdzie $\omega$ – współrzędna wycinkowa: a)  układ globalny (x,y,z)  i lokalny  (x,n,s) współrzędnych punktu, b) współrzędna wycinkowa $\omega$ zmodyfikowane [24]

Współrzędne wersorów lokalnego układu, w dowolnym punkcie $P(s)$ odniesione do układu globalnego  zapiszemy w postaci macierzy [C]:

$$ \begin{equation} [C]= \left[ \begin{array}{cc}
y^{’}(s) \vec{e_x}  &   z^{’}(s) \vec{e_x} \\
– z^{’}(s) \vec{e_n}  & y^{’}(s) \vec{e_n}
\end{array} \right ] \label {50} \end{equation}$$

gdzie: $ y^{’}(s) = \cfrac{dy(s)}{ds}$, $z^{’}(s) =\cfrac{dz(s)}{ds}$

Na linii środkowej przekroju poprzecznego pręta przyjmiemy dowolny punkt (P) o wektorze wodzącym $\overset {\to}{\rho} (s)$ zaczepionym biegunie B o współrzędnych  $B (0 \ , \,  y_b \ , \, z_b)$ oraz utworzymy iloczyn skalarny, który oznaczymy przez $ [d \omega_B](s)$:

$$\begin {equation} [d \omega_B] = \vec {\rho}(s) · \vec { e_n}(s)  ds \label{51} \end {equation}$$

Geometryczną interpretacją bezwzględnej wartości $ || [ d_\omega](s) ||$  jest podwojone pole powierzchni zawartej pomiędzy promieniami wodzącymi $\overset{\to}{\rho} (s)$ i  $\overset{\to}{\rho}(s+ds)$, bowiem bezwzględna wartość iloczynu skalarnego przedstawia długość rzutu wektora $\rho(s)$ na normalną do krzywej, będącego wysokością wspomnianego trójkąta.

Współrzędną wycinkową względem biegunu (B) definiujemy jako :

$$\begin {equation} \omega_B(s) = \int \limits_0^s [ d \omega_B] (s)= \int \limits _0^s \vec{\rho}(s)\cdot \vec{e}_n ds\label{52} \end {equation}$$

Jeśli współrzędna łukowa przebiega po kilku ściankach(bokach linii środkowej), to wówczas powyższe możemy zapisać jako sumę całek

$$\begin {equation} \omega_B(s)=\int_{0}^{s}\vec{\rho}(s) \cdot \vec{ e_n} ds =\sum \limits _{{i=1}}^{j-1}\int \limits_{s_O^{’}}^{s_M^{’}} \vec{\rho}(s) \cdot \vec{e_n} ds+\int \limits_{s_0^j}^{s}\vec{\rho}(s) \cdot \vec{ e_n} ds\label{53} \end {equation}$$

gdzie: $s_O^{’}$ i $s_M^{’}$  jest wartością współrzędnej łukowej punktu i-tej krawędzi początkowego (O) i końcowego (P) na odcinku linii środkowej odpowiednio,

Bezwzględna wartość każdego i-tego składnika sumy jest równa podwojonemu polu zawartemu pomiędzy wektorem wodzącym punktu $s_O^{’}$, i-tym bokiem linii środkowej oraz  wektorem wodzącym punktu $s_M^{’}$.

Zależność  ($\ref{52}$) można zapisać we współrzędnych globalnych (y,z) w postaci;

$$\begin {equation} \omega_B = \int_0^s ( z – z_B) dy – (y – y_B)dz = \int_o^s (z dy – y dz)  –  z_B \int_0^s dy + y_B \int_0^s dz = \omega_O (s) – z_B [y(s) – y_O ] +y_B [z(s) -z_O] \label{54} \end {equation}$$

Ponieważ $\omega_B$ jest współrzędna wycinkową dla bieguna w punkcie (B), a $\omega_O$ dla bieguna we wcześniejszym punkcie (O), to wzór ($\ref{54}$) określa zależność pomiędzy współrzędnymi wycinkowymi przy zmianie bieguna z dowolnego punktu (O) na dowolny punkt(B). Formuła ($\ref{54}$) jest w praktyce stosowana do obliczania współrzędnych wycinkowych przekroju dla znanego puntu początkowego (O) (w którym współrzędna jest znana i zerowa $\omega_O = 0$).

Środek zginania (ścinania) i główne charakterystyki przekroju

Biegun (B) (rys.5b) bęzie środkiem zginania (S) (w literaturze nazywany również środkiem ścinania lub skręcania), jeśli zerują się wycinkowe momenty odśrodkowe wyznaczone względem tego bieguna:

$$\begin {equation} I_{\omega,y} \overset {df}=  \int_c\omega (s) y(s) t(s) ds  = \iint_A \omega (s) y(s) dA = 0 \\
I_{\omega,z} \overset {df}= \int_c\omega (s) z(s) t(s)  ds = \iint_A \omega (s) z(s) dA = 0\label{55} \end {equation}$$

Po przekształceniu ($\ref{55}$) z zastosowaniem z formuły transformacji współrzędnej wycinkowej- zamiany bieguna ($\ref{54}$) można uzyskać formuły do wyznaczania  współrzędnych środka zginania (s). Najprostsze  formuły na współrzędne środka zginania (S) $ S (y_S\, , \, z_S)$ uzyskuje się w układzie głównych centralnych osi bezwładności czyli w układzie osi (y,z) przechodzących przez środek ciężkości (C) $ S(y_C\, , \, z_C)$ i w którym moment bezwładności $I_y$ jest największy a moment bezwładności $I_z$ najmniejszy.

$$\begin {equation} y_S = y_B +\cfrac{1}{I_y} \int_A \omega^{’}_B  z \, dA  \quad ; \quad  z_S = z_B +\cfrac{1}{I_z} \int_A \omega^{’}_B  y \, dA \label{56} \end {equation}$$

gdzie $\omega^{’}_B$ współrzędna wycinkowa punktu (P) wyznaczona z dowolnego (pomocniczego) bieguua  (B) zliczana  od dowolnego (pomocniczego) punktu początkowego (O’).

Do wyznaczenia głównej współrzędnej wycinkowej oprócz ustalenia  głównego bieguna, którym jest środek zginania (S) z zależności ($\ref{56}$) należy ustalić jeszcze główny punkt początkowy (O) z zależności

$$\begin {equation} \omega_S = \omega_S^{’} – \cfrac{1}{A} \cdot \int_A \omega_S^{’} dA \label{57} \end {equation}$$

gdzie $\omega_S^{’}$ jest polem wycinkowym względem środka zginania  (S) od pomocniczego punktu początkowego (O’)

Technika obliczania charakterystyk geometrycznych przekroju cienkościennego otwartego

Obliczanie charakterystyk geometrycznych przekroju cienkościennego jest w praktyce prowadzone  graficzną c metodą ałkowania iloczynu funkcji  (zwaną również metodaąWereszczagina). Jest to technika obliczania  całęk iloczynu $ f \cdot g$ dwóch funkcji $f$(s) i $g(s) $ poprzez  „mnożenie” pola $A_f$ pod wykresem funkcji $f$ przez rzędną $s_g$ funkcji g pod środkiem pola pola $A_f$
Wyznaczanie charakterystyk dotyczy  przekroju cienkościennego sprowadzonego do konturu złożonego z linii środkowych ścianek ( p. modelowanie pręta cienkościennego).

Pole powierzchni

Pole  przekroju pręta cienkościennego wyznaczane jest w sposób odmienny od przekroju zwartego. W konsekwencji modelem przekroju #1 pole powierzchni jest sumą iloczynów długości i grubości każdego odcinka

$$\begin {equation} A = \sum_i  l_i \cdot t_i \cdot 1 \label{58} \end {equation}$$

Wyrażenie ($\ref{58}$) ma następującą interpretację całkowania geometrycznego: na odcinku  (ściance) „i”  funkcja $ f(s) = l_i \cdot t_i$,  a  funkcja $g(s)≡1$  jest stała na całym odcinku, więc rzędna w środku prostokąta $l_i x t_i$ wynosi $s_g=1$.

Momenty statyczne  w układzie globalnym

$$\begin {equation} S_Y  = \sum_i  l_i \cdot t_i \cdot  Z_i  \label{59} \end {equation}$$

$$\begin {equation} S_Z = \sum_i  l_i \cdot t_i \cdot  Y_i  \label{60} \end {equation}$$

gdzie: $Y_i = ( Y_{i,1}+ Y_{i,2} )/2 /, ; /, $ Z_i= (Z_{i,1}+ Z_{i,2)/2 $ są współrzędnymi środka ciężkości ścianki „i” w układzie globalnym (X,Y)

Środek ciężkości przekroju (C)

$$\begin {equation}  Y_c=\cfrac{ S_Z}{A} \label{61} \end {equation}$$

$$\begin {equation}  Z_c=\cfrac{ S_Y}{A} \label{62} \end {equation}$$

Centralne momenty bezwładności w układzie globalnym

Pokażemy różnicę w wyznaczaniu momentu bezwładności przekroju zwartego i cienkościennego na przykładzie przekroju dwuteowego  z rys 5  o  całkowitej wysokości h oraz szerokości półki b. Wysokość środnika wynosi  $h_w=h-2\cdot t_f$

Dla przekroju dwuteownika $(h_w ×  t_w)/(b  ×  t_f)$ traktowanego jako zwarty moment bezwładności (z pominięciem wyokrąglę naroży) względem osi poziomej $I_y$ oraz pionowej $I_z$, a także moment dewiacji $I_{yz}$ wynoszą:

$$\begin {equation}  I_{Y,zwarty} = 2 \cdot \left [ \cfrac{b\cdot t_f^3}{12 } + (b\cdot t_f ) \cdot \left ( \cfrac{(h_w – t_f)}{2} \right)^2 \right]  + \left [ \cfrac{t_w \cdot h_w^3}{12} + (h_w \cdot t_w) \cdot 0^2 \right ]\label{63} \end {equation}$$

$$\begin {equation}  I_{Z,zwarty} = 2 \cdot \left [ \cfrac{t_f \cdot b ^3}{12 } + (b\cdot t_f ) \cdot  0^2 \right]  + \left [ \cfrac{h_w \cdot t_w^3}{12} + (h_w \cdot t_w) \cdot 0^2  \right ]\label{64} \end {equation}$$

$$\begin {equation}  I_{YZ, zwarty} = 2 \cdot \left [ 0 + ( b \cdot t_f)  \cdot \cfrac{ h_w – t_f}{2} \cdot  0   \right ]  + \left [ 0  + (h_w \cdot t_w) \cdot 0 \cdot 0 \right ]  = 0 \label{65} \end {equation}$$

Dla przekroju cienkościennego w wyrażeniach na momenty bezwładności  pomijamy  składniki, w których występuje grubość ścianki podniesiona do trzeciej potęgi, o to dlatego, że  cała grubość odcinka skupiona jest na jego linii środkowej.  W rezultacie dla dwuteownika otrzymujemy

$$\begin {equation}  I_{Y,cienko} = 2 \cdot \left [  (b\cdot t_f) \cdot \left ( \cfrac{(h_w -t_f)}{2} \right)^2 \right]  + \left [ \cfrac{t_w \cdot h_w^3}{12} +( h_w \cdot t_w)  \cdot 0^2 \right ]\label{66} \end {equation}$$

$$\begin {equation}  I_{Z,cienko} = 2 \cdot \left [ \cfrac{t_f \cdot b ^3}{12 } + (b\cdot t_f ) \cdot  0^2 \right]  + \left [ ( h_w \cdot t_w)  \cdot 0^2  \right ]\label{67} \end {equation}$$

$$\begin {equation}  I_{YZ, cienko} = \label{68} \end {equation}$$

$2 \cdot \left [ 0 + ( b \cdot t_f )  \cdot \cfrac{ h_w – t_f} {2} \cdot  0   \right ] $

$+ \left [ 0  + (h_w \cdot t_w) \cdot 0 \cdot 0 \right ]  = 0$

Kąt nachylenia osi głównych  $\alpha$

$$\begin {equation} tg (2 \alpha) (=T) =  – \cfrac{I_{YZ}}{I_Y – I_Z}   \to \alpha = \cfrac {arctg(T)}{2} \label{69}\end {equation}$$

Główne  centralne momenty bezwładności

Podstawowe  zależności z kursu wytrzymałości materiałów dla przekrojów zwartych są ważne również dla przekrojów cienkościennych

$$\begin {equation} I_m= \cfrac{I_{yc} +I{zc}}{2} \label{70}\end {equation}$$

$$\begin {equation} I_\Delta=  \sqrt {\left ( \cfrac{I_{yc} -I_{zc}}{2} \right )^2 + I_{yc,zc}^2 }\label{71}\end {equation}$$

$$\begin {equation} I_y = I_{max}=I_m + I_\Delta =\label{72}\end {equation}$$

$$\begin {equation} I_z = I_{min}=I_m – I_\Delta \label{73}\end {equation}$$

Dla przekrojów cienkościennych można też przeprowadzić całkowanie graficzne poprzez „mnożenie” wykresów (p. przykład 2),

Przekrój cienkościenny zamknięty

Współrzędna wycinkowa

Zamknięty przekrój cienkościenny  jest niewyznaczalny w schemacie rzeczywistym i w celu wyznaczenia głównych współrzędnych wycinkowych i związanych z nimi charakterystyk należy utworzyć schemat podstawowy – przekrój otwarty)  przez przecięcie przekroju w dowolnym punkcie (k) –  rys. 11.

Rys. 11. Wyznaczanie głównej współrzędnej wycinkowej przekroju zamkniętego [8]

Uogólniony wycinkowy moment bezwładności dla dowolnego przekroju zamkniętego oblicza się ze wzoru

$$\begin {equation} I_{\overline \omega}=\oint \overline \omega^2 dA \label{74}\end {equation}$$

w którym $\overline \omega$ oznacza uogólnione pole wycinkowe względem środka ścinania $S$ przekroju od głównego punktu początkowego $O$.

W celu wyznaczenia ($\ref{74}$) najpierw oblicza się pomocnicze współrzędne wycinkowe  $\overline \omega’_B$ w podstawowym przekroju otwartym  (dla obszaru przeciętego w dowolnym punkcie (K)  – rys. 13 ) względem przyjętego (tego samego) bieguna pomocniczego (B) od doolnego pomocniczego pubktu począgtkowego (O.)

Pole wycinkowe względem bieguna $B$ od dowolnego punktu początkowego O’ na konturze, oblicza się  ze wzoru

$$\begin {equation}  \overline \omega’_B=  \omega’_B  -\cfrac{\overline s}{\overline s_0} \cdot 2 \Omega \label{75}\end {equation}$$

gdzie:

$\overline s= \int \limits_0 \limits^s \dfrac {t_0} {t(s)} ds$ – sprowadzona współrzędna $s$ (długość konturu) liczona od punktu O’.

Środek zginania (ścinania)

Współrzędne środka ścinania (skręcania) (S) przekroju  zamkniętego  wyznacza się w układzie  centralnych , głównych osi bezwładności, (y, z) z następujących wzorów:

$$\begin {equation}  y_S =  y_B +  \cfrac{ I_{\overline \omega, y} }{I_y} \quad ; \quad  z_S = z_B + \cfrac{ I_{\overline \omega, z} }{I_z} \label{76}\end {equation}$$

gdzie:
$y_B$, $z_B$ – współrzędne dowolnie przyjętego bieguna $B$, który na ogół przyjmuje się na konturze,
$I_{\overline \omega, y}= \oint \ovyerline \omega_B \cdot z  \, dA $ ,
$I_{\overline \omega, z}= \oint \ovyerline \omega_B \cdot y \, dA $,
$I_y$, $I_z$ –  główne momenty bezwładności przekroju poprzecznego  względem głównej osi poziomej y i pionowej z odpowiednio.

Pręty o przekroju trójkątnym i inne w kształcie wieloboku foremnego, ale o stałej grubości ścianki (t=const) nie ulegają deplanacji i ich charakterystyki wycinkowe  są równe zeru.

Stan naprężeń

Naprężenia

Brak swobody deplanacji wywołuje naprężenie normalne do przekroju równe

$$\begin {equation} \sigma_\omega=E \cfrac {du} {dx}=-E \frac {d^2\varphi} {dx^2} \label{77} \end {equation}$$

gdzie $E$- moduł odkształcalności podłużnej (Younga),  a $\varphi$ jest kątem skręcenia przekroju.  Zachodzi

Można pokazać, że naprężenia normalne $\sigma_\omega$ można wyrazić za pomocą nowej siły przekrojowej bimomentu $B_\omega$ w postaci [16]:

$$\begin {equation} \sigma_{\omega}=\cfrac {B_{\omega}}{I_{\omega}} \cdot \omega \label{78} \end {equation}$$

Moment giętno-skrętny wywołuje naprężenia styczne  $\tau_\omega$ o stałej wartości po grubości ścianki, które można wyznaczyć z zależności:

$$\begin {equation} \tau_\omega= \frac {M_\omega \cdot S_\omega}{I_\omega \cdot t} \label{79} \end {equation}$$

gdzie:  $S_\omega$ – wycinkowy moment statyczny przekroju, $t$ – grubość ścianki przekroju., przy czym

$$\begin {equation} M_x= M_\upsilon + M_\omega \label{80} \end {equation}$$

Naprężenie styczne od momentu czystego skręcania wyznaczamy ze wzoru[25]:

$$\begin {equation} \tau_\upsilon= \cfrac {M_\upsilon }{W_\upsilon}\label{81} \end {equation}$$

gdzie:

$$\begin {equation} W_\upsilon= \cfrac {I_\upsilon }{max \, t_i } \label{82} \end {equation}$$

jest wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie, równym stosunkowi momentu bezwładności na skręcanie i maksymalnej grubości ścianki.

Dla przekroju cienkościennego przekroju cienkościennego otwartego, złożonego moment bezwładności na skręcanie można oszacować z zależności ($\ref{29}$)

W przypadku przekroju zamkniętego o powierzchni $\Omega$ zamkniętej wewnątrz linii środkowych przekroju, wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie, wynosi

$$\begin {equation} W_\upsilon = 2 \cdot \Omega \cdot min \{t_i \} \label{83} \end {equation}$$

gdzie występuje minimalna grubość $t$ ścianki przekroju.

Sztywność na skręcanie przekroju zamkniętego jest wielokrotnie większa od przekroju otwartego i jest proporcjonalna do podwojonego pola zawartego wewnątrz przekroju.

Ze skręcaniem skrępowanym mamy do czynienia w przypadku skrępowania deplanacji przekroju poprzecznego pręta. W wyniku tego w przekroju powstają naprężenia normalne $\sigma_{\overline \omega}$ oraz dodatkowe naprężenia styczne  $\tau_{\overline \omega}$ . Naprężenia te wyznacza się ze wzorów:

$$\begin {equation} \sigma_{\overline \omega}=\cfrac {B_{\overline \omega} \cdot \overline \omega} {I_{\overline \omega}} \label{84} \end {equation}$$

$$\begin {equation} \tau_{\overline \omega}= – \dfrac {M_{\overline \omega} \cdot \overline S_{\overline\omega} } {I_{\overline \omega} \cdot t(s)} \label{85} \end {equation}$$

gdzie:
$\overline \omega$ – główne, uogólnione pole wycinkowe (współrzędna wycinkowa przekroju);
$I_{\overline \omega}$ – uogólniony wycinkowy moment bezwładności;
$ \overline S_{\overline \omega}$ – uogólniony wycinkowy moment statyczny przekroju.
Dodatnim naprężeniom $\tau_{\overline \omega}$ odpowiada zwrot zgodny z kierunkiem dodatniego przyrostu współrzędnej s.c
W odróżnieniu od prętów o przekrojów otwartym , giętno skrętne naprężenia styczne $\tau_{\overline \omega}$ stanowią samozrównoważone układy sił i tym samym cały moment skręcający $M_v$ przenoszą naprężenia styczne swobodnego skręcania  $\tau_v$.

Całkowite naprężenie styczne w dowolnym punkcie przekroju znajduje się jako sumę  $\tau_v+ \tau_{\overline \omega}$.

Charakterystycznym punktem przekroju cienkościennego jest środek zginania (zwany czasami środkiem skręcania lub środkiem ścinania). Jest to  punkt położony w przekroju lub poza nim,  taki, że obciążenie przechodzące przez ten punkt  nie powoduje skręcania pręta, a tylko jego zginanie poprzeczne. W takim przypadku pozostaje słuszna zasada płaskich przekrojów Bernulliego i pręt jest poddany zginaniu bez udziału skręcania.

Pręty wielogałęziowe oraz kratownice wielopasowe

Pręty (kratownice) wielopasowe można przystosować do przenoszenia momentu skręcającego poprzez stosowny dobór zamykającego skratowania lub przewiązek. Przykładem skręcanych kratownic są galerie przenośnikowe, bramki nad autostradami lub słupy energetyczne. W ścianach takich kratownic powstają  siły typowe dla swobodnego skręcania prętów o przekroju zamkniętym [8].

Pręty wielogałęziowe

Na rys.12 pokazano cienkościenny przekrój quasi-zamknięty oraz przykłady prętów o dwu gałęziach, które mogą być łączone skratowaniem lub przewiązkami w sposób często stosowany przy konstruowaniu dwugałęziowych slupów. Przekrój pozornie zamknięty skratowaniem lub przewiązkami można zamodelować zastępczym przekrojem cienkościennym i zastosować analogię prętową.

Rys. r2 Pręty wielogałęziowe: a) przekrój  b), c) skratowany, d) z przewiązkami [8]

Sztywność przekroju na czyste skręcanie bez uwzględnienia pozornego zamknięcia wyznacza się standardowo z zależności ($\ref {23}$). Oznaczymy go jako  moment bezwładności czystego skręcania przekroju otwartego

$$\begin {equation} I_{v,open} =k/3\sum_i l_i \cdot t_i^3 \label{86} \end {equation}$$

Zwiększenie sztywności przekroju na skutek zamknięcia go skratowaniem lub przewiązkami można oszacować  z zależności [8]:

$$ \begin{equation} \overline  I_{v,close}  =\begin {cases}
\cfrac{E}{G}\left ( \cfrac{\Omega}{b} \right )^2 \cdot \ A_k \cdot  \ sin^2\alpha\cos\alpha ,  & \text { dla skratowania typu N (bezsłupkowe)  – rys. 14c }\\
\cfrac{E}{G} \left( \cfrac{\Omega}{b} \right )^2 \cdot \cfrac {A_s \cdot A_k \cdot \ sin^2\alpha \cdot cos\alpha} {A_s + A_k \ sin^3\alpha},  & \text {dla skratowania typu V –  rys. 14b }\\
24 \cfrac{E}{G} \cdot \left ( \cfrac{\Omega}{b} \right )^2\cdot \cfrac{I_f}{a^2}\left ( 1+2\cfrac{b_1\cdot I_f}{a \cdot I_p}+28,8 \cdot \cfrac{E}{G} \cfrac{I_f}{ab_1 A_p} \right )^{-1} ,  & \text { dla przewiązek – rys. 14d }\\
\end {cases} \label{87}  \end{equation} $$

gdzie:
$E, \, G$ – moduł Younga i moduł Kirchoffa materiału;
$\Omega= 2 \cdot b \cdot h$
$b, b_1$- prześwit i odległość osiowa między gałęziami pręta;
$a$- odległość osiowa między przewiązkami lub węzłami skratowania.
$A_k$, $A_s$ , $A_f$ – pole przekroju krzyżulca, słupka, gałęzi;
$I_f$- moment bezwładności giętnej pojedynczej gałęzi

Całkowity moment bezwładności czystego skręcania przekroju quasi-zamkniętego jest szacunkowo sumą powyższych części

$$\begin {equation} I_v = I_{v,open} +I_{V,close} \label{88} \end {equation}$$

Równanie  różniczkowe pręta ($\ref{88}$) należy rozwiązać dla

W wyniku uzyskujemy siły przekrojowe $B$, $M_\omega$ $M_v$  ($\ref{48}$) do ($\ref{50}$), przy czym należy uwzględnić, że uzyskany moment $M_v$ odpowiada swobodnemu skręcaniu pręta quasi-zamkniętego o zwiększonej sztywności w stosunku do pręta nie zamkniętego skratowaniem lub przewiązkami. W4

W celu obliczenia naprężeń stycznych swobodnego skręcania należy moment $M_v$ podzielić na część odpowiadającą przekrojowi otwartemu $M_{v,open} = $M_v \cdot \cfrac{{I_{v,open}}{I_v}$ oraz zamkniętemu $ M_{v,close}= M_v- M_{v,open}$. Dla tak obliczonych momentów można stosować  wyrażenia  odpowiednie dla danego typu przekroju, ro znaczy ($\ref{24}$) dla części odpowioqadajaćej przekorjowi otwartemu i wg zależnosći  ($\ref{26}$) dla części odpowoadajacej przekrojowi zamkniętemu.

Siły w prętach skratowań zamykających przekrój pręta  (rys. 14 b,c) wyznacza się uwzględniając fakt, że są wywołane przez rozłożone obciążenie działające na ściankę o wartości

$$\begin {equation} q_v = \cfrac{I{v,close} }{I_v} \cdot \cfrac{M_v}{\Omega} \label{89} \end {equation}$$

W przypadku stężenia przewiązkami (rys. 14d) należy ponadto uwzględnić  wpływ miejscowych momentów zginających

$$\begin {equation} M_1 = \cfrac{1}{4} q_v \cdot a \cdot b_1\label{90} \end {equation}$$

gdzie $g_v$ wg ($\ref{89}$).

Kratownice wielopasowe

Metoda analogii pręta cienkościennego może by stosowana do wstępnego zaprojektowania skręcanej  kratownicy wielopasowej w sposób pokazany na rys. 2.

Do wstępnego wymiarowania prętów kratownic przestrzennych można pomijać zmniejszający wpływ quasi-zamknięcia prea  skratowaniem  i przyjmować $k_v$ ($\ref{ XY}$0 równe jedności. Przy takim założeniu dla kratownicy czteropasowej lub trójpasowej pokazanych na rys. 15, mamy:

a wówczas kraty płaskie kratownic przestrzennych pokazanych na rys. 3 sa poddane równomiernie rozłożonemu obciążeniu zewnętrznemu Q :

$$ \begin{equation}   Q=\begin {cases}
\cfrac{M_v\cdot a }{2ab}=\cfrac{M_v }{2b} ,  & \text { dla kraty pionowej K1 i K2 kratownicy czteropasowej }\\
\cfrac{M_v\cdot b }{2ab}=\cfrac{M_v }{2a} ,  & \text { dla kraty poziomej  K3 i K4 kratownicy czteropasowej }\\
\cfrac{M_v }{a\cdot\sqrt{3}} ,  & \text { dla krat K1, K2 i K3 kratownicy trójpasowej}\\
\end {cases} \label{91}  \end{equation} $$

Rys.13. Typowe przekroje kratownic wielopasowych

Obciążenia poprzeczne $Q$ są przyłożone do wydzielonej kratownicy płaskiej zgodnie z przebiegiem momentu skręcającego $M_v(x) $ po długości pręta x. Siły w prętach kratownicy wyznacza się poprzez rozwiązanie kratownic płaskich pod takim obciążeniem. Należy pamiętać o sumowaniu sił w pasach od poszczególnych kratownic składowych z uwzględnieniem kierunku obciążenia Q, skąd wynika, że w szczególności, że   przypadku przekroju kwadratowego a=b siły osiowe w pasach będą zerowe, a całkowity moment skręcający przenosi skratowanie ścian.

Kratownica przestrzenna, przenosząca skręcanie powinna być skratowana na wszystkich płaszczyznach bocznych oraz powinna być wyposażona w poprzeczne przepony w miejscach przyłożenia momentów (w tym w zamocowaniu) oraz nie rzadziej niż co 8-me pole kratownicy. Do wyznaczania przemieszczeń kratownicy od wpływu skręcania należy uwzględniać współczynnik $k_v <1$. Analizując kratownice w modelu zastępczym pręta w złożonym stanie obciążenia (zginanie, ścinanie, skręcanie) należy stosować element Timoshenko.

Przykłady rachunkowe

Przykłady w przygotowaniu

Przykład 1 [Współrzędne wycinkowe dla  typowych przekrojów otwartych prętów stalowych  ; I, C, Z]

Na podstawie pracy Rykaluk (20126) [15].
Wyznaczyć główne współrzędne wycinkowe $\omega$, moment bezwładności na skreęanie $I_v$ oraz główny wycinkowy moment bezwładności $i_\omega$
dla dwuteownika, ceownika i zetownika.

Wykresy głównych współrzędnych wycinkowym  podsumowano na rys

Dwuteownik I (H)

Analizowany jest model cienkościennego przekroju (  złożony z linii środkowych  ścianek). Wysokość  przekroju wynosi $h$, szerokość stopki $b$, grubość stopek $t_f$, a grubość środnika $t_w$.

Przekrój jest bisymetryczny , więc środek zginania (ścinania) $S$ pokrywa się ze środkiem ciężkości $C$

Główne współrzędne wycinkowe  wyznacza się z bieguna, którym jest środek zginania jako podwojone pole zakreślone przez promień wodzący, jak następuje:

punkt  $P_0 \to$  $\omega_{P0}= 2\cdot  h/2 \cdot 0 = 0$
punkt $2 \to $ : $\omega_2 = + 2 \cdot 1/2 \cdot  h/2 \cdot b/2 = + \cfrac{b h }{4}$ (znak + , bo promień wodzący zakreślił w prawo),
punkt $1 \to $ : $\omega_1 = – 2 \cdot 1/2 \cdot  h/2 \cdot b/2 = – \cfrac{b h }{4}$ (znak – , bo promień wodzący zakreślił w lewo),
analogiczne rzędne na stopce dolnej 2ynoszą $\omega= +/- bh/4$

Moment bezwładności na skręcanie
$ (\ref{23}) \to I_v = \cfrac{1}{3} \left (2 b t_f^3 + h t_w^3 \right)$

Główny wycinkowy moment bezwładności:
$I_\omega = \cfrac{b}{6} \cdot \left [ \right ] = \cfrac{h^2}{4} \cdot \cfrac{2 t_f b^3}{12}$

Rys P1-1. Współrzędne wycinkowe dla dwuteownika, ceownika i zetownika [15]

Przykład 2 [Charakterystyki geometryczne przekroju otwartego ]

Przykład na podstawie opracowania [26]

Wyznaczyć charakterystyki geometryczne $ I_y$, $I_z$, $I_v$, $I_\omega$ , oraz $\overline S_y$, $\overline S_z$, $\overline S_\omega$ odciętej części przekroju  w punkcie C wg rys P2-1 . Układ globalny osi (Y,Z) jest prostopadły so osi pręta X.

Rys. P2-1 Przekrój cienkościenny, otwarty wg [26]

Dane

Na rys. P2-1 przekrój w liniach środkowych ścianek oznaczono  linią grubą

Węzły przekroju:
(1)  $(y_1 = 20 \, ;\, z_1= 0)$ cm,
(2) $(0\, ;\, 0)$ cm,
(3) $(0\, ; , -30)$ cm,

Ścianki przekroju:
[1] =(1)-(2) $l_1= 20 \, cm$, $t_1= 2 \, cm$
[2]=(2)-(3) $l_2= 30 \, cm$, $t_2= 3 \, cm$
[3]=(3)- (4) $l_3= 13 \, cm$ $t_3= 1,3 \, cm$

Środek ciężkości, osie centralne, osie główne

Na rys. P2-2 osie centralne (przechodzące prze środek ciężkości) naniesiono liniami niebieskimi, a osie główne (osie centrale, ale nachylone pod kątem $\alpha$, względem których momenty bezładności przyjmują wartości ekstremalne, a moment dewiacji jest zerowy) oznaczono liniami bordowymi .

Rys.P2-2 Osie centralne i główne przekroju

$A= 20 \cdot 2,0 + 30 \cdot 3,0 + 13\cdot 1,3 = 146,9 \, cm^2$

Momenty statyczne  w układzie głównym (X,Y)

$S_Y=20 \cdot 2,0 \cdot 0 + 30 \cdot 3,0 \cdot \cfrac{-30}{2} +13\cdot 1,3\cdot  (- 30)= – 1 857 \, cm^3$

$S_Z = 20 \cdot 2,0 \cdot \cfrac {20}{2} + 30 \cdot 3,0 \cdot 0 +13\cdot 1,3\cdot \cfrac{13}{2}= 509,9 \, cm^3$

Współrzędne środka ciężkości

($\ref{62}$) $\to Y_c =\cfrac{509,9}{146,9}= 3,47 \, cm$

($\ref{63}$) $\to Z_c =$z_c=\cfrac{-1 857}{146,9}= – 12,64 \, cm$

Centralne momenty bezwładności

$I_{yc} = 20 \cdot 2,0 \cdot  (-12,64)^2 + \cfrac{3,0 \cdot 30^3}{12}+ 30 \cdot 3,0 \cdot (30/2 – 12,64) ^2 +13 \cdot 1,3 \cdot (30 – 12,64)^2 = 18735 cm^4$.

$I_{zc} =\cfrac{2,0 \cdot 20^3}{12}+ 20\cdot 2.0 \cdot (20/2- 3,47)^2 +30 \cdot 3,0 \cdot (3,47)^2 + \cfrac{1,3 \cdot 13^3}{12}+13 \cdot 1,3 \cdot (12/2 -3,47)^2= 4516 \, cm^4$

$I_yc,zc}= 20\cdot 2,0 \cdot (-12,64)\cdot (20/2-3,47)+ 30\cdot 3,0 \cdot (30/2-12,64)\cdot (-3,47)+13 \cdot 1,3 \cdot (30 – 12,64)\cdot (13/2 -3,47)=-3150 \\, cm^4$

Kąt nachylenia osi głównych

$tg (2 \alpha) = – \cfrac{-3150}{18 735-4516}= 0,143$  $\to \alpha = 11,95^0$

Główne  centralne momenty bezwładności

Stosujemy podstawowe zależności wytrzymałości materiałów dla przekrojów zwartych

$I_m= \cfrac{I_{yc} + I_{zc}}{2} = \cfrac{ 18735+4516 }{2}= 11625,5\,cm^2$

$I_\Delta  = \sqrt{\left( \cfrac{I_{yc} – I_{zc}}{2}\right)^2 +I_{85}c,zc}^2}= \sqrt{\left( \cfrac{18735 – 4516}{2}\right)^2 +3150^2}= 7776,1 \, cm^4 $

$I_y = I_{max}=I_m+I_\Delta = 11625,5+7776,1 =19402 \, cm^4$

$I_z = I_{min}=I_m – I_\Delta = 11625,5- 7776,1 =3849 \, cm^4$

Współrzędne punktów przekroju

Na rys. P2-3 przedstawiono wykresy współrzędnych głównych y, z oraz współrzędnej wycinkowej względem dowolnego bieguna pomocniczego (B) oraz początkowego punktu zliczania (O). Biegun pomocniczy (B) przyjęto w górnym lewym narożu przekroju, a punku (O) w dolnym lewym narożu przekroju

Rys. P2-3 Wykresy współrzędnych przekroju

Współrzędne y, z

sin (11,95^o) =0,2071
cos (11,95^o) =0,9783

$y_{(1)} = (20- 3,47) \cdot 0,9783 +(0-12,64) \cdot 0,2071 = 13,55 \, cm$,
$z_{(1)} = (20- 3,47) \cdot 0,2071 – (0-12,64) \cdot 0,9783 = – 15,79 \, cm$,

$y_{(2)} = (0- 3,47) \cdot 0,9783 +(0-12,64) \cdot 0,2071 = – 6,01 \, cm$,
$z_{(2)} = (0- 3,47) \cdot 0,2071 – (0-12,64) \cdot 0,9783 = 11,65 \, cm$,

$y_{(3)} = (0- 3,47) \cdot 0,9783 +(30-12,64) \cdot 0,2071 = 0,20 \, cm$,
$z_{(3)} = (0- 3,47) \cdot 0,2071 – (30-12,64) \cdot 0,9783 = = -17,7  \, cm$,

$y_{(4)} = (13 – 3,47) \cdot 0,9783 +(30-12,64) \cdot 0,2071 = – 12,92  \, cm$,
$z_{(4)} = (13 – 3,47) \cdot 0,2071 – (30-12,64) \cdot 0,9783 = =-15,01 \, cm$,

Pomocnicze współrzędne wycinkowe

$\omega_{B, (1)} =0$,  $\omega{B, (2)} =  0$, $\omega_{B.(3)}=0$, $\omega_{B, (4)} =- (2 \cdot 1/2 \cdot 30 \cdot 13 =-  380$

 Momenty bezwładności v z mnożenia wykresów

Ponieważ odcinki  konturu przekroju są ukośne w stosunku do układu współrzędnych , więc stosuje się wzory trapezów.

$I_y =\\ \cfrac{20}{6} \left [ 2 \cdot  \left ( 15,79^2 +1,65^2 \right )+ 2 \cdot 15,79 \cdot 11,65 \right ] \cdot 2,0  + \cfrac{29}{6} \left [ 2 \cdot \left ( 11,65^2 + (-17,70)^2 \right ) + 2 \cdot 11,65 \cdot (-17,70 ) \right ] \cdot 3,0 + \\ \cfrac{13}{6} \left [ 2 \cdot \left ( (-17,10)^2  + (-15,01)^2 \right ) + 2 \cdot (-17,70 ) \cdot (-15,01) \right ] \cdot 1,3 = 10402 \, cm^4$

$I_y =\\ \cfrac{20}{6} \left [ 2 \cdot  \left ( 13,35^2 + (-6.01)^2 \right ) + 2 \cdot 13,35 \cdot (-6,01) \right ] \cdot 2,0  +\\  \cfrac{29}{6} \left [ 2 \cdot \left ( (-6,01) ^2 + (0,20)^2 \right ) + 2 \cdot (-6,01) \cdot 0,20 \right ] \cdot 3,0 + \\ \cfrac{13}{6} \left [ 2 \cdot \left ( 0,20)^2  + 12,92^2 \right ) + 2 \cdot 0,20 \cdot 12,92 \right ] \cdot 1,3 = \\ 3849 \, cm^4$

$ (\ref{23}) \to  I_v= \cfrac{1}{3} (20 \cdot 2,0^3+ 30 \cdot 3,0^3 + 13 \cdot 1,4^3 )= 332,9 \, cm^4$

Przykłąd 3 [ Charakterystyki geometryczne przekroju zamkniętego]

Rys.P3-1  Współrzędne wycinkowe oraz wycinkowe momenty statyczne w rurze prostokątnej [8]

Wykresy uogólnionych współrzędnych wycinkowych oraz wycinkowych momentów statycznych dla zamkniętego przekroju prostokątnego o stałej grubości ścianki  $t=const$ podano na rys.7.

Dla przekroju prostokątnego o dwóch różnych grubościach ścianek (t₁,t₂)  znajduje się wg wzoru w tabeli 1.

Przykład 4 [Siły przekrojowe w pręcie cienkościennym]

Przykład 1-2 z pracy [8]

Znaleźć kąt skręcenia i siły przekrojowe w pręcie o schemacie statycznym podanym w wrs 6. tab.4,  ale dla obciążenia skupionym momentem $M_s$ przyłożonego do dowolnego miejsca po długości pręta, jak pokazano na rys. P4-1

Rys. P4-1 Schemat belki do przykładu [8]

Rozwiązanie  belki znajdujemy w postaci ($\ref{45}$).

Z warunków brzegowych dla x=0 : $\varphi =0$ ; $B_\omega=0$ wynika wprost $C_1=0$ ; $C_3=0$ , a stąd kąt obrotu w przedziale (I)  ($0 le x < a$)  opisuje zależność

$\varphi_I = C_2 \cfrac{1}{k sinh (kx)} +C_4 \cfrac{1}{k^3 \overline E I_\omega} [kx – sinh (kx)]

 Literatura

1. Sapountzakis, E. J., Bars under Torsional Loading: A Generalized Beam Theory Approach. Review Article. ISRN Civil Engineering, 2013, pp.1–39, [  http://dx.doi.org/10.1155/2013/916581]
2. Marguerre M., K., Torsion von voll-und hohlquerschnitten,  Der Bauingenieur, vol. 21, pp. 317–322, 1940
3. Vlasov, V. Z., Tonkostiennyje uprugije stierzni, Gos. Izd. Fiz Mat. Literat., Moskva 1959 / Thin-Walled Elastic Beams.  Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, Israel, 1961
4. STRENCO. (2016, 2019). Consteel, Oprogramowanie dla budownictwa, [http://www.strenco.pl/strenco ]
5. Consteel Software. (2020), ConSteel 14 Manual , [ http://www.consteelsoftware.com/en/downloads/manuals-documents ]
6. CTICM. (2013). LTBeam Software (1.011), [ http://www.cesdb.com/ltbeam.html ]
7. Birger I., A., Panovko J., G., Spravochnik. Prochnost, ustojchivost, kolebania, Moschinostrojenie, Moskva 1968
8. Niewiadomski Z., Wytrzymałość prętów cienkościennych – w pracy Bogucki W. (Red.), Poradnik projektanta konstrukcji metalowych: praca zbiorowa. Tom I., cz.1.1. Arkady, Warszawa), 1980
9. Niezgodziński  M., E., Niezgodziński T., Wzory, wykresy i tablice obliczeń wytrzymałościowych , IX Wyd. WNT  2004
10. Piechnik S,. Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, PWN, Warszawa-Kraków 1980
11. Timoshenko S., Goodier J.N.: Teoria sprężystości, Arkady, Warszawa 1962
12. Birger, I. A., & Panowko, J. G.,Procnost, ustojcivost, kolebanija, Spravocnik (Vol. 1). Mosinostroejnije, 1968
13. Piechnik, S. Pręty cienkościenne otwarte. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2000
14. Piechnik S. Mechanika techniczna ciała stałego, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków, 2007
15. Rykaluk  K., Zagadnienia stateczności konstrukcji metalowych, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne , Wrocław 2012
16. Piechnik S., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, PWN, Warszawa-Kraków 1980
17. (Niewiadomski Z., Wytrzymałość prętów cienkościennych – w pracy Bogucki W. (Red.), Poradnik projektanta konstrukcji metalowych: praca zbiorowa. Tom I., cz.1.1. Arkady, Warszawa), 1980
18. Piechnik, S. (2006). Algebra of systems of forces applied to the flat material line. JTAM, 44(1), 107–125
19. Clifford, W. K. (1873). Preliminary sketch of bi-quaternions. Proc. London Math. Soc., 4, 381–395
20. Jancewicz, B., & Brzeski, P. (2005). Magnetic field surfaces. European Journal of Physics, 26, 617–634.
21. Perwass, C. (2009). Geometric algebra with applications in engineering. Springer
22. Gull, S., Lasenby, A., , Doran, C. (1993). Imaginary Numbers are not Real – the Geometric Algebra of Spacetime. Found. Phys., 23(9), 1175–1201
23. Jancewicz, B. (2011). Pseudowektory. Foton, 115(Zima 2011), 31–43
24. Gawłowski, S. (2006). Podejście statyczne do oceny nośności granicznej prętów cienkościennych otwartych, Praca doktorska, Politechnika Krakowska
25. Brzoska Z., Statyka i stateczność konstrukcji prętowych cienkościennych, (Wyd. II, PWN, Warszawa, 1965
26. Kasprzyk T., Zadanie 5- rozwiązanie przykładowe, Politechnika wrocławska KMBiIM ZWM, Wrocław maj 2021

________________________________