Z punktu widzenia praktyki istotne znaczenie ma problem czystego skręcania pręta o przekroju prostokątnym (rys.1). Można pokazać [1], że zagadnienie brzegowe skręcania swobodnego pręta o dowolnym przekroju jest zagadnieniem Neumanna
$$\begin {equation} \nabla \varphi^2 =0 \end {equation}$$
gdzie
$$\begin {equation} \varphi (y,z) \end {equation}$$
jest funkcją skręcania (paczenia) niezależną od współrzędnej długości pręta x, Jest więc dowolną funkcją harmoniczną spełniającą statyczne warunki brzegowe na pobocznicy pręta.
W przypadku przekroju kołowego rozwiązaniem zagadnienia Neumanna jest funkcja
$$\begin {equation} \varphi (y,z)=0 \end {equation}$$
W konsekwencji moment bezwładności przy skręcaniu wynosi
$$\begin {equation} I_v= \iint \limits_A r^2 dA= \cfrac{\pi r^4}{2}=I_0 \end {equation}$$
Maksymalne naprężenia styczne (na obwodzie koła) wynoszą
$$\begin {equation} max \tau_v= \cfrac{M_v}{I_0} \cdot r \end {equation}$$
Rys.1. Przekrój prostokątny skręcany
W przypadku przekroju prostokątnego o wymiarach bxh (h-wysokość) funkcja paczenia może być przedstawiona w postaci szeregu:
$$\begin {equation} \varphi (y,z)=y \cdot z-\sum \limits_{i=0}^\infty \cfrac {B_n}{k_n cosh(k_n h/2}\cdot sin(k_n y) cosh (k_n z)\end {equation}$$
gdzie
$$ \begin {equation} k_n=\cfrac { (2n+1) \pi}{b} \quad ; \quad B_n= (-1)^n \cfrac{8b}{(2b+1)^2 \pi^2} \end {equation}$$
W konsekwencji moment bezwładności skręcania możemy zapisać w postaci
$$\begin {equation} I_v=\left [ \cfrac{1}{3} – \cfrac {64}{\pi^5} \cdot (h/b))^{-1} \sum \limits_{n=0}^\infty \cfrac{tgh (k_n h/2)}{(2n+1)^5}\right ] b^3 h= \beta (h/b) \cdot b^3 \cdot h \end {equation}$$
Wyrażenie na maksymalne naprężenia styczne można zapisać w postaci:
$$\begin {equation} max \, \tau_{xz}= \cfrac{M_v} {\alpha (h/b) \cdot b^2 h} \end {equation}$$
skąd wskaźnik wytrzymałości na skręcania
$$\begin {equation} W_v=\alpha (h/b) \cdot b^2 \cdot h \end {equation}$$
Współczynniki $\alpha$ i $\beta$ są zależne jedynie od stosunku boków prostokąta i zestawiono je w tab.1
Tab.1. Współczynniki wskaźnika wytrzymałości i momentu bezwładności na skręcanie dla różnych stosunków boku prostokąta
Literatura
- Piechnik, S. (2008). Pręty cienkościenne otwarte. Podręcznik dla studentów wyż-szych szkół technicznych. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej
________________________________
