Chodor L., Belki żelbetowe,, Encyklopedia πWiki, www.chodor-projekt.net,
13 lipca 2018 – 9 czerwca 2020 – ( publikacja kompletna)
22-02-2025 rewizja po dużej awarii portalu>
W przypadku nieczytelnych treści, proszę powiadomić: leszek@chodor.co
Arkusz LCżelbet zawiera oryginalny kod – © wszelkie prawa zastrzeżone.
Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 24 Czytelników
Część R
Belki żelbetowe. Rysy i ugięcia
Nawigacja: [ P: Pełzanie i skurcz ] ⇐ ⊗ ⇒ [ S: Ścinanie i skręcanie]
Stany graniczne użytkowalności żelbetu
Stosowane w artykule charakterystyczne okresy podczas budowy i eksploatacji elementu żelbetowego pokazano rys. R-1 Stany graniczne użytkowalności, a mianowicie: zarysowania, ugięcia , i drgania konstrukcji należy sprawdzać pod działaniem obciążeń w kombinacjach charakterystycznych. Na użytek szacowania zarysowań oraz ugięć konstrukcji z wykorzystaniem pola sił przekrojowych uzyskanych dla stanu granicznego nośności SGN wprowadza się indeksy SGU1/SGN wzór (P-4) i SGU2/SGN wzór (P-5).
Zarysowania elementu żelbetowego
W artykule Model graniczny żelbetu analizowano bryłę naprężeń rys. Z-1 w przekroju żelbetowym znajdującym się w stanie granicznym nośności. Stany graniczne użytkowalności należy analizować w poprzedzających fazach pracy w których fundamentalnym zjawiskiem jest rysowanie się przekroju, a w dłuższym okresie czasu zjawiska pełzania i skurczu betonu, przedstawione w rozdz. Pełzanie i skurcz betonu.
Graniczne (dopuszczalne) rozwarcie rys
Powstawanie rys w betonie jest podstawowym mechanizmem niszczenia betonu oraz czynnikiem, który wymusza stosowanie zbrojenia. Zarysowania powodują znaczne zmniejszenie sztywności betonu i ochrony zbrojenia przed ekspozycją środowiska, ale również mogą być nieakceptowane wizualnie. Całkowite usunięcie rys w betonie jest praktycznie niemożliwe i każda rzeczywista konstrukcja betonowa jest porysowana rysami o rozwartości wk, które jednak są ograniczane do wielkości akceptowanej ze względu na ogólne wrażenie wzrokowe.
Szerokość rozwarcia rys wk jest ograniczana w sposób następujący:
wk≤wmax={0,4mm,dla klasy ekspozycji XC0 i XC1 0,3mm,dla XC2 do 4, XD1 do 3 oraz XS1 do 3
Dla innych klas ekspozycji (XF, XA) graniczne szerokości rys należy ustalać indywidualnie z warunku ochrony betonu i stali przed korozją w wymaganym okresie trwałości budowli i jej elementu konstrukcyjnego.
Mechanizm rysy i fazy pracy przekroju
Zarysowania przekroju żelbetowego istotnie zależą od współpracy betonu i stali zależnej od stosunku modułów odkształcalności:
αe={αe,m=Es/Ecmw sytuacji doraźnej ( po 28 dniach)αe,ef=Es/Ecef w sytuacji długotrwałej z uwzględnieniem pełzania
Mechanizm powstawania rysy
Rysy na powierzchni betonu inicjują się w sposób pokazany na rys. R-1. Model mechanizmu powstawania rysy przedstawiono na rys. R-2. Rysa powstaje na skutek różnicy pomiędzy odkształceniem stali εs oraz betonu εc skoncentrowanym na odcinku po s0 w obie strony od potencjalnego miejsca pojawienia się rysy.

Rys. R-2. Mechanizm powstawania rysy w elemencie żelbetowym (opracowane na podstawie [1]

Rys. 3 Naprężenia wstali w regionie pojedynczej rysy [2]
W rezultacie układu odkształceń w obszarze rysy zobrazowanego na rys.R-2 naprężenia w betonie in stali układają się w sposób przedstawiony na rys. R-3. W tym przypadku nie ma zastosowania zasada kontinuum ciała, bowiem lokalna nieciągłość betonu w postaci rysy przenosi się na stal wskutek przyczepności betonu i w rezultacie lokalne odkształcenie i naprężenie pręta znacznie wzrasta.
Fazy pracy przekroju żelbetowego
Pokazany na rys . Z-1 rozkład naprężeń w przekroju żelbetowym dotyczy stanu granicznego, który jest ostatnią fazą pracy przekroju. W fazach poprzedzających rozkład naprężeń będzie inny – silnie związany z zarysowaniem przekroju. Powstawanie rysy jest uzależnione od współpracy betonu i stali zbrojeniowej. Współpracę tę w krótkim okresie czasu można podzielić na III etapy pokazane na rys.R-4 przy czym fazę II (powstawania rys) rozbijemy na fazę IIa ( inicjacja pękania) , IIb (blokadę mechaniczną), IIc (zarysowanie). W każdej z faz obowiązuje założenie płaskich przekrojów (Z-47), (Z-48) oraz prawo fizyczne (Z-39), (Z-43).
Z zasady płaskich przekrojów dla znanego granicznego odkształcenia włókna rozciąganego w betonie εct=fctm/Ec pozostałe odkształcenia wyznaczymy z zależności:
εcu=εct⋅xII/xII,t,
εsu=εct⋅(xII−au)/xII,t,
εsl=εct⋅(h−xII−al)/xII,t,
εcl=εct⋅(h−xII)/xII,t.
Jeśli natomiast znane jest odkształcenie dolnego pręta zbrojeniowego εsl=σsl/Es, to pozostałe wyznaczymy z zależności (Z-47).
Faza I sprężysta – beton niespękany – rys. Z-4a
Na tym etapie beton przenosi rozciąganie (σct<fct,m). Przy niskich naprężeniach w spojeniu betonu i stali (0,2 do 0,8 fct) nie obserwuje się pękania, a poślizg pręta jest niewielki. Zapewnione jest spojenie stali i betonu głównie przez adhezję chemiczną, a częściowo przez interakcje mikromechaniczne związane z mikroskopijną chropowatością powierzchni stali.
Rozkład naprężeń jest w przybliżeniu liniowy, zgodny z teorią belek wykonanych z materiału jednorodnego, a oś obojętna przekroju symetrycznie zbrojonego pokrywa się z osią geometryczną przekroju
Faza II – beton spękany – rys Z-4b
Fazę II (pękania betonu) podzielimy na kilka etapów , zależnie od zjawisk jakie w nich zachodzą.
Etap IIa: (inicjacja pęknieć). Naprężenie w spojeniu stali i betonu jest wyższe, a przyczepność chemiczna rozkłada się, i żebra prętów wywołują naprężenia rozciągające w betonie, co powoduje poprzeczne mikropęknięcia. Klinujący efekt promieniowy zostaje powoduje, że jeszcze nie dochodzi do rozłupywania betonu.
Etap Ib (blokada mechaniczna): Naprężenie w spojeniu jest większe niż wytrzymałość betonu na rozciąganie i wskutek działania klinującego powstają podłużne pęknięcia (zarysowania) w betonie. Jest to związane głównie ze skośnymi siłami ściskającymi wychodzące z pręta żebrowanego, które są zrównoważone przez obwodowe naprężenia rozciągające w betonie otaczającym pręt. Na tym etapie, siłę wiązania zapewnia przede wszystkim blokada mechaniczna na zbrojeniu.
Etap IIc: W elementach betonowych z gładkimi prętami etap ten następuje bezpośrednio po zerwanie wiązania z betonem. Siła jest przenoszona przez tarcie i podlega wpływowi nacisku poprzecznego, skurczu betonu i chropowatości pręta. W przypadku prętów z żebrami przy niewielkim zbrojeniu poprzecznym powstają pęknięcia podłużne przez całe otulenie, a wiązanie ma tendencję do gwałtownego zerwania. Rozerwanie otulenia nie wystąpi przy silnym zbrojeniu poprzecznym. Mechanizm przenoszenia siły zmienia się z oporu żebra na tarcie, a odporność na ścinanie staje się dominująca. W rezultacie powstaje pękniecie otulenia i pojawia się rysa.
Fazę II szczegółowo omówiono w wielu pracach, m.in. [2] oraz [3]. W niniejszym artykule poprzestaniemy na uproszczonym podejściu, w którym stan ten modeluje się rozkładem naprężeń, w którym beton nie przenosi rozciągania, a w strefie ściskania rozkład naprężeń jest trójkątny. Przyjmuje się, że odkształcenie dolnego włókna betonu εcl=fct,m/Ec , gdzie moduł betonu Ec jest wartością umowną i w zależności od okresu dla którego rozpatrujemy zjawisko Ec=(Ecm÷Ec,ef). Długotrwałe obciążenie zwiększają poślizg i redystrybucję naprężeń wiązania (prawdopodobnie z powodu pełzania). Zerwanie wiązania pod trwałymi obciążeniami, zwiększa szerokości pęknięć, rysy wydają się być bardziej równoległe. W tym przypadku stosuje się Ec=Ec,ef.
Faza III – graniczna rys. R-4c
Faza III, jest opisana modelem rys. Z-1 i jest przedmiotem analiz w rozdziale Belki żelbetowe. Zginanie .
Warunek zarysowania i sztywność przekroju w fazie I (niespękanego)
Warunek zarysowania i moment rysujący
Moment rysujący przekrój Mcr jest to taki moment zginający, który powoduje powstanie pierwszej rysy w betonie. Pierwsza rysa powstanie na koniec pracy przekroju w fazie I (rys. R-3a), to znaczy w fazie pracy sprężystej. wówczas, gdy naprężenia na dolnej krawędzi betonu osiągną wytrzymałość na rozciąganie fc,t,ef≈fctm, gdzie fctm jest średnią wytrzymałością betonu na rozciąganie osiągnięta w chwili, w której – jak się oczekuje – powstaną rysy. Gdy można oczekiwać, że zarysowanie nastąpi wcześniej niż po 28 dniach, wytrzymałość fc,t,ef można przyjąć mniejszą fc,t,ef=fctm(t).
Warunek zarysowania można zapisać w postaci:
σcl≥fctm
ME,k≥Mcr
gdzie: ME,k – moment zginający od charakterystycznych obciążeń zewnętrznych, działających na konstrukcję.
Mcr=fctm⋅Wcr
gdzie wskaźnik wytrzymałości przekroju tuż przed zarysowaniem
Wcr=Icr/z0 ;
z0=(h−xI) jest odległością włókna dolnego od osi obojętnej przekroju.
Ponieważ moment rysujący odpowiada końcowemu etapowi fazy I , to Wcr=WI=Icr/z0 , przy czym Icr=II, które wyznaczono w kolejnym punkcie.
Wysokość strefy ściskanej i moment bezwładności w fazie I
W fazie I przekrój nie jest jeszcze zarysowany, a rozkład odkształceń i naprężeń przyjmuje się w sposób zaprezentowany na rys. 4a, czyli w sposób wynikający z klasycznej teorii zginania sprężystego.
Odległość osi obojętnej od górnej krawędzi jest wysokością strefy ściskanej xI. Z podstawowej zależności (e=M/A) mamy :
xI=b⋅h2/2+αe⋅(Asl⋅dl+Asu⋅au)b⋅h+αe⋅(Asl+Asu)
Moment bezwładności przekroju niezarysowanego sprowadzony do betonu wynosi więc
II=bh312+b⋅h⋅(h/2–xI)2+αe⋅{Asl⋅(dl–xI)2+Asu⋅(xI−au)2)}
Często do wyznaczenia momentu rysującego pomija się wzmocnienie przekroju stalą (np. [4] ) i wówczas moment rysujący
Mcr=b⋅h26⋅fctm
Naprężenia w stali zbrojeniowej przed zarysowaniem
Naprężenia w stali zbrojeniowej przed zarysowaniem zgodnie z klasyczną teorią zginania belek wynosiłyby
σs,cr=kt⋅αe⋅McrII⋅(dl−xI)=kt⋅αe⋅fctm⋅dl−xIh−xI
gdzie współczynnik kt uwzględnia czas trwania obciążenia i wynosi
kt<{0,6dla obciążeń krótkotrwałych 0,4dla obciążeń długotrwałych
W eksperymentach uzyskuje się jednak inne wartości niż określa (9), co wynika z ograniczonej współpracy betonu i stali do niewielkiego obszaru betonu otaczającego pręt rozciągany, , zgodnie z formułami (11) do (13), a w rezultacie oszacowania naprężeń w stali zbrojeniowej przed zarysowaniem formułą (14).
Przyjmuje się, bowiem że przed zarysowaniem rozciągany jest pręt betonowo- stalowy otaczający stal o wysokości hc,ef w sposób pokazany na rys. R-5.

Rys. 5 Wysokość i pole efektywne uczestniczące podczas zarysowania: a) belka, b) płyta – elementy zginane, c) element rozciągany [5], Rys.7.1
Wysokość rozciąganego przekroju betonu, efektywnie współpracującego z prętem zbrojeniowym wynosi
hc,ef=λc,ef⋅h
Współczynnik efektywnej wysokości dobiera się z zależności :
λc,ef={min{1−ξII⋅δl3;2,5⋅(1−δl)}, zginanie – rozciągana dolna „l” krawędź min{1/2;2,5⋅(1−δ∗)}, rozciąganie – dolna (*= l) i górna (*= u) krawędź
gdzie:
ξII wg (18) – względna wysokość strefy ściskanej odniesiona do wysokości użytecznej przekroju,
δ∗=d∗h – względna wysokość użyteczna odniesiona do wysokości przekroju,
d∗=h−a∗ – użyteczna wysokość przekroju ,
a∗=c∗+Φ∗/2 – osiowe otulenie pręta,
c∗ – otulenie pręta do jego krawędzi,
Φ∗ – średnica pręta zbrojeniowego,
(* =.l . u) – indeks krawędzi dolnej (lower) i górnej(upper) przekroju
Poziom rozciągania (stopień zbrojenia rozciąganego przekroju betonu otaczającego pręty zbrojeniowe) szacujemy z formuły :
ρp,ef=As+ξ21⋅A′pAc,efA′p=0=AsAc,ef=ρsl⋅δlλc,ef
A′p=0 przy braku cięgien sprężających,
ξ1 – współczynnik sił przyczepności – bez znaczenia w problemie zginania bez udziału cięgien sprężających,
Ac,ef=b⋅hc,ef jest efektywnym polem betonu rozciąganego otaczającego zbrojenie lub cięgno sprężające As,
ρs=As/Ac – stopień zbrojenia belki.
Przy braku cięgien i strun sprężających – naprężenia w zbrojeniu przed zarysowaniem szacuje się z formuły
σs,cr=kt⋅fctm⋅(1ρp,ef+αe)
Sztywność przekroju w fazie II (beton spękany)
W fazie II przekrój jest w pełni zarysowany.
Wysokość górnej strefy rozciąganej
Zależność na wysokość strefy rozciąganej xII,t, pokazanej na rys. R-5 – wyznaczymy z warunku równowagi rzutów sił na oś poziomą :
ΣX=Scc–Sct+Ssu–Ssl–NE=0
gdzie NE jest przekrojową siłą osiową (od obciążeń), przy czym siła ściskająca ma znak plus, a rozciągająca minus.
Sumy sił z bryły naprężeń w betonie ściskanym Scc, rozciąganym Sct, pręcie stalowym górnym Ssu i dolnym Ssl wynoszą:
Scc=Ec⋅(b⋅εcu⋅xF)/2,
Sct=Ec⋅(b⋅εcl⋅(h−xF)/2,
Ssu=Es⋅εsu⋅Asu,
Ssl=Es⋅εsl⋅Asl.
Po podstawieniu wyżej zdefiniowanych zmiennych i po rozwiązaniu równania (15) względem wysokości rozciąganej strefy przekroju, otrzymujemy :
ξII,t=√ξII+n2E,t−2⋅αe⋅[(1−δu/l)⋅ρsl−(ξII]−δu/l)⋅ρs]–nE,t
gdzie:
nE,t=NEb⋅dl⋅fctm,
względna wysokość strefy ściskanej ξII=xII/dl,
względna wysokość strefy rozciąganej ξII,t=xII,t/dl,
użyteczny stopień zbrojenia dolnego ρsl=Asl/(b⋅dl),
użyteczny stopień zbrojenia górnego ρsu=Asu/(b⋅dl),
użyteczny stopień zbrojenia przekroju ρs=ρsl+ρsu=(Asl+Asu)/(b⋅dl),
stosunek ramion zbrojenia górnego i dolnego δu/l=au/dl=δu/δl,
Wysokość strefy ściskanej
W klasycznym podejściu (np. [3], [6] i in. ) zakłada się, że poniżej strefy ściskanej beton nie przenosi rozciągania, więc wysokość strefy ściskanej wyznaczymy z równania
ξII,t=0
Z rozwiązania tego równania względem ξII otrzymujemy
ξII=√ρs,e⋅(ρs,e+2⋅klu)–ρs,e
gdzie wprowadzono oznaczenia:
sprowadzonego do betonu stopnia zbrojenia przekroju,
ρs,e=αe⋅ρs
a także zmniejszającego współczynnika zbrojenia przekroju podwójnie zbrojonego, uwzględniającego mniejszy wpływ zbrojenia górnego na efektywny współczynnik zbrojenia przekroju belki :
klu=(ρsl+δu/l⋅ρsu)/ρs
Jak wynika z zależności (18) wysokość strefy ściskanej xII=ξII⋅dl , w przypadku braku betonu rozciąganego, nie zależy od wielkości sił przekrojowych.
Taki sam wynik uzyskamy z warunku równowagi momentów [7] :
–b⋅x2II2+αe⋅{Asl⋅(dl−xII)+Asu⋅(au−xII)}=0
Założenie o tym, że pękniecie betonu sięga aż do początku strefy ściskanej (braku strefy rozciąganej) nie jest potwierdzone badaniami doświadczalnymi ani numerycznymi. Wbrew przeciwnie z szerokich analiz numerycznych [8] wynika, że w fazie II wysokość strefy niezarysowanej wynosi ok ξII=0,6, co wskazywało, że istnieje obszar niezarysowanego, rozciąganego betonu. Analiza tego problemu nie jest przedmiotem niniejszego artykułu.
Moment bezwładności przekroju spękanego
Moment bezwładności przekroju w fazie II wynosi :
III=b⋅x3II3+αe⋅{Asl⋅(dl−xII)2+Asu⋅(xII−au)2}
Naprężenia w stali zbrojeniowej po zarysowaniu
Naprężenie w rozciąganym w pręcie zbrojeniowym w przekroju o współrzędnej bieżącej osi pręta x , obciążonym momentem zginającym ME(x) obliczone przy założeniu, że przekrój jest zarysowany można oszacować z zależności
σs(x)=αe⋅ME,k(x)III⋅(dl−xII)
Zwracamy uwagę, że siły przekrojowe ME,k(x) należy redukować do osi obojętnej przekroju, a ponadto są one wywołane obciążeniami z kombinacji charakterystycznej.
Rozstaw rys
Maksymalny rozstawu rys sr.max zależy od średnicy pręta zbrojeniowego i jego otulenia oraz od szeregu czynników zgodnie z empiryczną zależnością [5],(7.11) :
sr,max=k3⋅c+k1k2k4Φρp,ef
w którym:
c- nominalne otulenie pręta podłużnego o średnicy Φ,
ρp,ef wg (13).
k1,k2,k3,k4 – zestaw współczynników, przyjmowanych jak następuje:
k1 jest współczynnikiem zależnym od przyczepności zbrojenia:
0,8 dla prętów o dobrej przyczepności
1,6 dla prętów o gładkiej powierzchni (np. pręty gładkie lub cięgna sprężające),
k2 jest współczynnikiem zależnym od rozkładu odkształceń, obliczanym z zależności :
k2=ε1+ε22ε1
gdzie ε1 jest większym a ε2 mniejszym z odkształceń na krawędziach rozważanego przekroju, obliczonych przy założeniu. że przekrój jest zarysowany.
W przypadku elementów zginanych (belek i płyt) , czyli takich w których wysokość strefy ściskanej jest niezerowa x>0 przyjmuje się
ε2=0 i z definicji (25) mamy k2=0,5.
W przypadku elementów rozciąganych:
- przy czystym rozciąganiu σ2=σ1→k2=1,
- przy rozciąganiu mimośrodowego z mimośrodowym z mimosrodem e=ME/NE przekroju prostokątnego bxh symetrycznie zbrojonego:
ε1=σNEc⋅(1+6⋅e/h) , ε2=σNEc⋅(1−6⋅e/h) , gdzie σN=NAc,
czyli k2=ε1+ε22ε1=1/(1+6⋅e/h),
Pozostałe współczynniki korekcyjne przyjmuje się o wartościach:
k3=3,4 , k4= 0,425.
Jeżeli rozstaw zbrojenia mającego przyczepność przekracza 5⋅a (a=c+Φ/2) , albo jeżeli w strefie rozciąganej nie ma zbrojenia z przyczepnością do betonu, to górną granicę szerokości rys nożna obliczyć, zakładając że maksymalny rozstaw rys wynosi :
sr,max=1,3⋅(h–xII)
W płycie – jeżeli kąt Θ nachylenia kierunków naprężeń głównych do zbrojenia ortogonalnego przekracza 150, to
sr,max=1cosΘ/sr,max,y+sinΘ/sr,max,z
w którym sr,max,y oraz sr,max,z są rozstawami rys w dwóch ortogonalnych kierunkach płyty liczonymi wg wzorów (24)
Rozwarcie rysy
Metody sprawdzania rys
W zwykłych sytuacjach w celu ograniczenia szerokości rys do wartości granicznych (1) poprzestaje się na zastosowaniu średnic i rozstawu zbrojenia mniejszego od wartości przedstawionych w tab. R-5, a omówionych w rozdziale dotyczącym minimalnego zbrojenia belek. Metodę uproszczoną stosuje się w większości praktycznych sytuacji projektowych na etapie wstępnym – koncepcji.
Ostatecznie zaprojektowaną belkę z konkretnymi warunkami brzegowymi sprawdza się metodą ogólną opisaną niżej z zastosowaniem programów komputerowych. W kalkulatorze żelbetu LCŻelbet wdrożono obie wersje metody ogólnej :
wk=sr,max⋅εcr
gdzie odkształcenie pękania εcr jest różnicą odkształceń stali i betonu przy której inicjuje się pękniecie :
εcr=εsm−εcm
- Metoda UO [odkształceń uogólnionych] z fundamentalnej zależności normowej [5], (7.18) :
α=αI+ζ(αII–αI)
zalecanej do prognozy uogólnionych odkształceń α spękanego betonu, głównie elementów zginanych
Współczynnik dystrybucji ζ szacuje się z zależności
ζ=1−β(σsrσs)2
w której:
β=1 dla obciążenia krótkotrwałego; β=1/2 dla obciążeń długotrwałych i wielokrotnie powtarzanych (prawie – stałych).
Naprężenia w stali są wyznaczane w dwóch stanach :
- σsr – naprężenie w zbrojeniu dolnym (rozciąganym), obliczone przy założeniu, że przekrój jest zarysowany obciążeniem powodującym powstanie pierwszej rysy (tzn momentem rysującym wyznaczonym w końcowym etapie fazy I)
- σs – naprężenie w zbrojeniu dolnym (rozciąganym, obliczone przy założeniu, że przekrój jest w pełni zarysowany (tzn w fazie II) momentem zginającym od obciążeń charakterystycznych
Stosunek naprężeń σsrσs można zastąpić przez:
Mcr/ME(x), przy czystym zginaniu,
Ncr/NE(x) , przy czystym rozciąganiu,
gdzie Mcr i Ncr oznacza odpowiednio rysujący moment lub siłę osiową, a ME(x) oraz NE(x) siły przekrojowe działające w przekroju o współrzędnej bieżącej x.
Metoda KO [odkształceń krytycznych ] wyznaczania rozwartości rysy
Po przekształceniu wyrażenia z normy [5], (7.9) odkształcenia rysujące w betonie możemy oszacować z zależności :
εcr=ΔσEs
gdzie
Δσ=max{σs−σs,cr;0,6⋅σs}
w którym:
σs wg (23)
σs,cr (14).
Metoda UO [odkształceń uogólnionych ] wyznaczania rozwartości rysy
W metodzie odkształceń uogólnionych analizuje się odkształcenie betonu po przekroczeniu odkształcenia sprężystego αI (po pojawieniu się pierwszej rysy) i osiągnięciem odkształcenia w stanie w pełni zarysowanym αII wg formuły (30), która dotyczy odkształceń uogólnionych, więc krzywizny ψ, przemieszczenia, obrotu, ale także szerokości rozwarcia rys wk.
Na rys. R-6 zależność (30) zilustrowano na przykładzie przemieszczeń prostej belki,

Rys. 6 Metoda odkształceń uogólnionych w elemencie żelbetowym (opracowane na podstawie [1]
εs=εsI+ζΔεs,
εc=εcI+ζΔεc,
a po odjęciu obu równań stronami i uwzględnieniu, że w fazie I występuje pełna współpraca betonu i stali ( $ \varepsilon_{sI,I}= \varepsilon_{cI,I} ) mamy :
(εs−εc)=ζ(Δεs−Δεc)
Po uwzględnieniu tego, że beton zarysowany w strefie efektywnej nie przenosi rozciągania, czyli εcl,II=0 i ponownie (εsI,I=εcI,I) z zależności (35) uzyskujemy:
(εs−εc)=ζεsII=ζσsEs
Otrzymujemy stąd wyrażenie na rozwartość rysy w postaci
wk=sr,max⋅ζσsEs=sr,max⋅[1–β⋅(McrME)2]⋅σsEs
Uzyskaliśmy wyrażenie (36) na szerokość rysy niezależne od parametrów betonu fctm oraz Ec (doraźnych lub efektywnych).
Ugięcia belek
Ugięcia graniczne
Odmiennie od projektowania według historycznych norm (p. artykuł Kombinacje obciążeń w Eurokodach) obecnie ( wg [9] ) fundamentalną zasadą jest to, że graniczne ugięcia konstrukcji powinny wynikać z wymagań użytkowych ustalanych z inwestorem i przyszłym użytkownikiem danej inwestycji, a nie z wymagań norm ogólnych.
W normie do projektowania konstrukcji żelbetowych [5], kl. 7.4.1. zasugerowano ugięcia graniczne, których przekroczenie może (ale nie musi) doprowadzić do utraty własności budowli ważnych ze względów konstrukcyjnych (a nie użytkowych), a do szczegółów odsyła do normy [zotpressInText item=”{BIH2F9IP . Ograniczenie dotyczy ugięć pod obciążeniami quasi-stałymi. Wartość quasi-stała oddziaływania zmiennego , wynosi ψ2 ·Qk , gdzie ψ2 jest współczynnikiem określającym stosunek części quasi-stałej (czyli takiej, dla której okres jej przekraczania stanowi znaczną część okresu odniesienia) do całkowitej wartości charakterystycznej obciążenia. Podano tylko dwa ograniczenia :
δlim={L/200,dla zapewnienia estetyki i ogólnej użyteczności L/500,w celu uniknięcia uszkodzenia współpracujących elementów budowli
gdzie L jest odległością pomiędzy dwoma punktami A i B konstrukcji, a δ jest strzałką ugięcia pomiędzy tymi punktami, czyli
δ=vmax−(vA+vB)/2, gdzie vA i vB są przemieszczaniami pionowymi odpowiednio punktu A i B, a vmax – maksymalnym przemieszczeniem pomiędzy tymi punktami.
Współpracującymi elementami budowli są najczęściej ściany działowe ( w tym murowane), ustawione na uginającej się płycie stropowej.
W przypadku współpracujących elementów elementów wrażliwych (np. ścian szklanych) należy zastosować specjalne ograniczenia lub dylatacje kompensacyjne, tak aby elementy wrażliwe nie zostały zmiażdżone uginającym się stropem, a limit dotyczy stropu i belek na których są postawione.
W praktyce kontrolę ugięć belek żelbetowych stosuje się przy następujących ograniczeniach:
δlim={L/250,max ugięcie efektywne w okresie użytkowania od kombinacji charakterystycznej”czestej”L/500,przyrost ugięcia w okresie przyrostu obciążenia od kombinacji charakterystycznej „prawie stałej
Sprawdzanie ugięć elementów konstrukcyjnych
Podstawowym problemem przy obliczaniu ugięć elementów i konstrukcji żelbetowych jest uwzględnienie czynników, które wpływają istotnie na zwiększenie deformacji konstrukcji żelbetowej w stosunku do odkształcenia konstrukcji sprężystej , takiej jak konstrukcja stalowa, a mianowicie:
- efekty skurczu i pełzania betonu w czasie,
- zmniejszania sztywności elementów na skutek narastającego zarysowania wraz ze wzrostem wytężenia przekroju, w sytuacji różnego zarywania przekrojów w różnych miejscach konstrukcji
Efekty skurczu i pełzania betonu uwzględnia się poprzez zastosowanie efektywnego modułu odkształcenia betonu Ec,ef zgodnie z formułą (R-33).
Natomiast zmniejszenie sztywności żelbetu wskutek zarysowania betonu dokonuje się w sposób analogiczny do przyjętego w metodzie ogólnej szacowania rozwartości rys.
Jeśli element nie ulegnie zarysowaniu, to nie trzeba sprawdzać szerokości rys, a ugięcia oblicza się jak dla ustroju sprężystego.
W przypadku przeważającego zginania zarysowanie wystąpi, gdy moment zginający jest większy od momentu rysującego przekrój Mcr (5), Przy obciążeniu mimośrodowym wartością porównawczą do stwierdzenia okoliczności początku zarysowania przekroju jest rysująca siła osiowa Ncr
Ncr=fctme/WI±1/Ac
gdzie:
e=M/N – mimośród siły osiowej (p. również poprzedni punkt artykułu),
WI=II/(h−xI), II (7), xI (6)
Znak „+” stosuje się przy rozciąganiu, „-” przy ściskaniu.
Metody sprawdzania ugięć
Stan graniczny ugięć może być sprawdzony na dwa sposoby:
1) uproszczony – wskaźnikowy – polegający na ograniczeniu stosunku rozpiętości do wysokości L/h zgodnie z [5],kl. 7.42. .
2) ogólny przez porównanie ugięcia obliczonego według [5], kl. 7.4.3. z wartością graniczną
Ze względu na złożoność /metody ogólnej do zastosowań praktycznych zaleca się sposób wskaźnikowy sprawdzania ugięć belek i płyt żelbetowych.
Metoda wskaźnikowa nie jest jednak uniwersalna, bo dotyczy zamkniętego katalogu schematów belek. Ponadto metodą wskaźnikową uzyskuje się rezultaty różniące się znacznie od rzeczywistych Na rys. R-7 porównano metodę wskaźnikową z ogólną (ścisłą) dla belki swobodnie podpartej. Błąd metody wskaźnikowej, liczony indeksem L/h jest największy dla rozpiętości belek do 6 m lub dla stosunkowo dużych obciążeń i wynosi ok 30%. W przypadku belki o rozpiętości 6 m i dla obciążeń stropów mieszkalnych Q=2,5 kN/m2 , wynosi 30/27-1 =11%. Ze względu na to, że wyniki z metody wskaźnikowej obarczone są znaczącymi błędami , to w niniejszym artykule odchodzi się od metody wskaźnikowej na rzecz metody ogólnej i obliczeń w podręcznym arkuszu obliczeniowym. Metody uproszczonej nie przedstawia się w szczegółach.

Rys. 7 Porównanie sposobu wskaźnikowego ze ścisłym dla belki wolnopodpartej (zmodyfikowane [1]
Metoda ogólna
Zastosowanie zależności ogólnej (30) do szacowania krzywizny belki ψ prowadzi do zależności :
ψ=ψI+ζΔψ
gdzie Δψ=ψII−ψI
Współczynnik dystrybucji ζ szacuje się z zależności :
ζ={0,dla x : M(x)≤M∗,cr (w I fazie pracy przekroju) 1−β(M∗,crM(x))2, dla x : M(x)>Mcr
gdzie : x jest współrzędną bieżącą belki, M(x) – moment zginający belkę w miejscu o współrzędnej x. ∗=(u,l) – indeks krawędzi przekroju ( górna, dolna).
Współczynnik czasu trwania obciążenia przyjmuje się jak w (31), tzn.: β=1 dla obciążenia krótkotrwałego; β=1/2 dla obciążeń długotrwałych i wielokrotnie powtarzanych (prawie – stałych).
Z elementarnych zasad wytrzymałości materiałów wiemy, że w stanie zgięciowym zachodzi zależność :
ψ=−MEEI
Krzywizna określona ścisłym wzorem (42) jest zmienna po długości belki w związku ze zmiennym momentem bezwładności przekroju , powodującym rożny stopień zarysowania przekroju I. Przyjmuje się że moduł odkształcalności E=Ec,ef.
Na długości belki mogą wystąpić odcinki z rozciąganym włóknem górnym „u”(np nad podporami belek ciągłych )oraz z rozciąganym włóknem dolnym „l” . Odpowiadające moment y rysujące oznaczamy jako Mcr,u i Mcr,lodpowiednio. Na odcinku z rozciąganym włóknem górnym może wystąpić część na której |M|>Mcr,u oraz część , gdzie |M|≤Mcr,u. Na odcinku z rozciąganym włóknem dolnym może wystąpić część na której M>Mcr,l oraz część , gdzie M≤Mcr,l
Odpowiadające sztywności przekroju wynoszą :
EI={E⋅III,u, jeśli |M|>Mcr,uE⋅II,u, jeśli |M|≤Mcr,uE⋅II,l, jeśli M≤Mcr,lE⋅III,l, jeśli M>Mcr,l
Wpływ skurczu na ugięcia belek
Do ugięć wywołanych zewnętrznymi obciążeniami dodaje się ugięcia wywołane różnicą skurczu włókien belki, spowodowanych przede wszystkim różnicami w zbrojeniu dolnym i górnym. Wygięcie belki wywołane skurczem postępuje tak, że wypukłość powstaje w kierunku silniejszego zbrojenia.
Obliczeniowo uwzględnia się to poprzez dodanie do momentu zginającego M(x) momentu Mcs równoważnego krzywiźnie osi belki spowodowanej skurczem :
ψcs=εcs⋅αe⋅45IF
gdzie:
εcs ( R-7) – całkowite odkształcenie od skurczu ,
F=(I,II) -faza pracy rozpatrywanego przekroju,
SI , SII momenty statyczne zbrojenia względem osi obojętnej przekroju odpowiednio w fazie I i II.
αe (3)
Składając wyrażenie (44) i (42) uzyskujemy moment równoważny od skurczu Mcs(x) w przekroju o współrzędnej x , :
Mcs,F(x)=Es⋅SF(x)⋅εcs(x)
SF=Axl⋅(dl−xF)−Asu⋅(xF–au)=b⋅d2l⋅[ρsl⋅(1−ξF)–ρsu⋅(ξF–au/dl)]
Przyjmuje się , że momenty równoważne działają na rozpatrywany element zginany w ten sposób, że przekrojowy moment zginający, M_E (x) pochodzący od obciążeń zewnętrznych jest zwiększany o moment Mcs(x), (45), odpowiedni dla zbrojenia tego przekroju., tak że wartość momentu zginającego miarodajna do obliczania ugięcia wynosi
M(x)=ME(x)+Mcs(x)
Obliczanie ugięcia belki z zależności różniczkowej
Przemieszczenie pionowe w(x) (x – współrzędna pozioma, osi pręta) wewnątrz elementu jest związane z krzywizną Ψ(x)=1/R(x) pręta zależnością różniczkową [10], (4.58) :
Ψ=|w”(x)|[1+(w′(x))2]3/2
którą dla małych przemieszczeń w(x)< L/100 można zlinearyzować do postaci
Ψ≈|w”(x)|
Wówczas można zapisać podstawowe równanie różniczkowe zginania pręta o sztywności giętnej EI(x) wywołane przez momenty zginające M(x) w postaci:
w”(x)=−M(x)EI(x)
Poprzez dwukrotne całkowanie tego wyrażenia, otrzymamy
w=x∬0–M(x)EI(x)dx+C1x+C2
gdzie C1 i C2 są stałymi zależnymi od warunków brzegowych na końcach elementu, a x jest bieżącą współrzędną osi pręta.
Wyznaczanie ugięcia belki żelbetowej metodą różnic skończonych
W przypadku, gdy interesuje nas ugięcie, a nie przemieszczenia wyraz ze stałą całkowania C2 można pominąć. Ugięcie będzie maksymalnym przemieszczeniem wmax na badanym odcinku [0,x].
Całkowanie wyrażenia (51) można przeprowadzić dowolną metodą, w tym metodą różnic skończonych, którą zaimplementowano w załączonym arkuszu kalkulacyjnym. Korzystamy z zasadniczego twierdzenia rachunku różnicowego (rys. R-8) :
∬x0f”(x)dxdx=x∑0Δ2f(x)
Δ2f(x)=fi−1−2fi+fi+1Δx2
Można pokazać [11] , że centralny operator różnicowy drugiego rzędu (56) daje błąd aproksymacji rzędu Δx2/12. to znaczy zmniejsza się wraz z kwadratem długości elementów Δx=h na które zdyskretyzowano belkę.
W modelu dyskretnym wprowadzone są dwa węzły pozorne „0 ” i „n+1”. Ugięcia w tych węzłach w−1, wn+1 są związane z ugięciami w węzłach rzeczywistych poprzez warunki brzegowe.
M0=–EI1w0–2w1+w2h2→w0=–M0⋅h2EI1+2⋅w1−w2
ML=–EInwn−1−2wn+wn+1h2→wn+1=–ML⋅h2EIn+2⋅wn−wn−1
Powyższe dwa równania uzupełniają układ równań uzyskany z (51) dla każdego z węzłów „1” do „n” . W przypadku znanych przemieszczeń na końcach elementu w1=wn=0 wykorzystywanie powyższych warunków brzegowych jest zbędne,
Kanoniczny układ równań problemu można zapisać w postaci macierzowej .
[A]⋅||w||=||Fr||
gdzie:
||w||=|w1,w2,…,wn| – kolumnowy wektor przemieszczeń węzłów (1 …n),
[A]nxn – macierz współczynników różnicowych.
Kolumnowy wektor obciążeń różnicowych ||Fr|| wynosi :
||Fr||=–h2/Ec⋅||M/I||
gdzie:
h=Δx,
||M/I|| – wektor ilorazów momentu zginającego i momentu bezwładności przekroju w i-tym węźle.
Moment zginający w przekroju uwzględnia skurcz betonu zgodnie z zależnością (46).
Macierz współczynników różnicowych jest niezależna od wartości obciążeń i buduje się ją z wektora współczynników |1,−2,1| rozmieszczanego w macierzy w prosty sposób analogiczny do pokazanego w tab. R-1 dla liczby elementów N=10, tj dla liczby węzłów n=N+1 =11 i liczby nietrywialnych równań 11-2=9. Uwzględnienie warunków brzegowych nastąpiło poprzez wykreślenie wierszy i kolumn 1 oraz n=11 (dla węzłów podporowych).
Tab. 1 Macierz współczynników różnicowych dla n=10 (dx=L/10)
Rozwiązanie równania (53) możemy zapisać w postaci
|w|=–[A]−1⋅||Fr||
gdzie A−1 -macierz odwrotna do macierzy współczynników różnicowych. Macierz A−1 jest również niezależna od obciążenia belki oraz rozkładu jej sztywności w tym zarysowania i stła dla danej liczby węzłów. (tab. R-2 ):
Tab. 2 Odwrotna macierz współczynników różnicowych dla n=10
Ze struktury macierzy odwrotnej wynika, że największy wspływ na strzałkę ugięcia belki ma zachowanie przekrojów w węzłach środkowych.. Wiersz współczynników wpływu na strzałkę ugięcia belki (węzeł 6 ) wyróżniono na żółtym tle. Jeśli wiersz ten oznaczymy jako [A_6], to strzałka ugięcia belki wyniesie
δ=h2/Ec⋅[A6]⋅||M/I||
Z wykorzystaniem formuły (57) w szyki sposób można oszacować ugięcie belki w stanie zarysowanym. Ponieważ moment bezwładności przekroju w stanie zarysowanym stanowi ok 60% momentu bezwładności sprężystego, to szacunkowy wzrost strzałki ugięcia a na skutek zarysowania dla stałego w czasie modułu Younga wyniesie
[(0,5+1+0,5+1)+(1,5+2+2,5+2+1,5)/0,6)/(0,5+1+1,5+2+2,5+2+1,5+1+0,5] /12,5= 1,5.
W przypadku uwzględnienia modułu końcowego zamiast doraźnego różnica ta może zwiększyć się prawie dwukrotnie i przekroczyć 3. W szybkich oszacowaniach zwykle przyjmuje się, ze w celu oszacowania ugięcia końcowego belki zarysowanej na podstawie ugięcia sprężystego należy je powiększyć 3x.
Wyznaczenie ugięcia belki wyodrębnionej z konstrukcji
Belka wyodrębniona z konstrukcji może być przedstawiona jako belka swobodnie podparta ze skupionymi momentami zginającymi M0 oraz ML przyłożonymi nad podporami, jak przedstawiono na rys. R-9.
Dowolnie przyłożone obciążenie w przęśle można zastąpić równomiernie rozłożonym obciążeniem zastępczym qz=αq⋅Q/L, gdzie Q=ΣZ jest sumą sił pionowych przyłożonych w przęśle,. Obciążenie zastępcze można uzyskać na wiele sposobów zależnie od celu do jakiego aproksymacja ma służyć , w tym:
a) sposobu statycznego poprzez porównanie maksymalnego momentu zginającego Mmax wywołanego rzeczywistym obciążeniem i sumy na którą składają się momenty zginające wywołane obciążeniem belki zastępczej :
αq=8Q⋅L⋅[Mmax−ΔM(xmax)]
gdzie: xmax – rzędna dla której rzeczywisty moment zginający jest maksymalny i osiąga wartość Mmax.
Na przykład dla belki swobodnie podpartej obciążonej jedną siłą skupioną w środku rozpiętości:
Q=F , xmax=L/2, ΔM=0, Mmax=F⋅L/4, więc αq=2
b) sposobu kinematycznego poprzez porównanie ugięcia δq wywołanego przez obciążenie zastępcze qzast z ugięciem δF wywołanym obciążeniem rzeczywistym F, tzn
αq≻δF=δq
Na przykład w przypadku przęsła belki o stałej po długości sztywności początkowej EI obciążonej jedną siła skupioną F w środku rozpiętości – strzałka ugięcia belki swobodnie popartej wynosi δF=F⋅L348⋅EI=Q⋅L448EI. Porównawcze ugięcie wyniesie δq=αq⋅5384q⋅L4EI, gdzie q=QL, czyli αq=384/(5⋅48)=1,6.
W przypadku przekroju żelbetowego współczynnik αq będzie nieco większy, co pokazano w tab. R-3 dla belki żelbetowej obciążonej żebrami w liczbie n na długości przęsła, Ugięcia wyznaczano metoda efektywnej sztywności dla belki żelbetowej prostokątnej 30×30 cm zbrojoną Ø16 x 3 góra i doł i wykonaną z betonu C30/37 ze współczynnikiem pełzania φ=2,8 i współczynnikiem udziału betonu Kc=0,5.
Rozbieżności między współczynnikami oszacowanymi metodą statyczną i kinematyczną są znaczne. Metoda kinematyczna daje wyniki dokładniejsze, choć wymaga większego nakładu pracy w rozwiązanie zadania pomocniczego. Nie stanowi to jednak problemu w dobie obliczeń numerycznych.
W arkuszu LCżelbet zastosowano metodę statyczną wg wzorów zamieszczonych na rys. R-9
Tab.R-3. Szacunkowe współczynniki αq dla belki żelbetowej obciążonej w przęśle „n” siłami skupionymi
Wyprowadzenie podanych zależności zaczynamy od zapisania pola momentów na belce. Reakcja lewej podpory (dla ξ=x/L=0 ) wynosi
V0=ML–M0L+qz⋅L2
Rozkład momentów zginających jest następujący:
M(ξ)=M0+ΔM⋅ξ+qz⋅L22⋅ξ⋅(1−ξ)
gdzie ΔM=ML−M0
Pierwsza pochodna (61) wynosi
dM(ξ)/dξ=ΔML+qz⋅L2⋅(1−2⋅ξ)
Przyrównując (62) do zera otrzymujemy miejsce ξmax ekstremalnego momentu zginającego na belce zastępczej
ξmax=12+ΔMqz⋅L2
Ekstremalny moment zginający w belce zastępczej (w miejscu ξmax) wynosi:
M(ξmax)=12⋅[(ML+M0)+(ΔM)2q⋅L2+q⋅L28]
Porównując moment (64) z ekstremalnym momentem zginającym belkę rzeczywistą Mmax i rozwiązując otrzymane równanie ze względu na qz, otrzymamy dwa pierwiastki, różniące się znakiem przy Mw:
qz=2L2[2⋅(Mmax±Mw–(M0+ML)]
gdzie Mw=√[(Mmax−M0)⋅(Mmax−ML]
Obciążenie zastępcze realizujące podobne do rzeczywistego pole momentów zginających uzyskuje się najczęściej dla znaku „+” przed średnia geometryczną Mw odchyleń momentów podporowych od momentu maksymalnego Mmax.
Procedura oszacowania ugięć pręta przeważająco zginanego składa się z następujących kroków:
1) dyskretyzacja belki poprzez podział na n równych elementów o długości h (rys.8).
W kalkulatorze CH-P Ż zastosowano podział belki na dwadzieścia elementów o długości h=L/20.
2) w każdym węźle (i=1 ,… n) wyznaczany jest iloraz fi=Mi/Ii, przy czym każdorazowo wyznaczana jest sztywność przekroju w węźle z warunku (43)
3) rozwiązywany jest utworzony układ równań (54). Ugięcie belki jest maksymalnym przemieszczeniem belki.
Metodę wyczerpująco przedstawiono w Przykład R-4 Linia ugięcia belki obciążonej odcinkowo.
Przykłady rachunkowe
Kontrola zarysowania
Przykład R-1 [Zarysowanie przekroju pojedynczo zbrojonego]
Dane wg [12], przykład 18.1 gdzie obliczenia przeprowadzono metodą KO
Obliczyć szerokość rysy w przekroju prostokątnym
wysokość h=500mm, szerokość b=300mm, zbrojenie jednostronne Asl=12,57cm2 (4 Ø 20)
otulenie c=40mm, a=40+20/2=50mm, wysokość użyteczna dl=500−50=450mm
beton C 25/30 → tab. W-1: fck=25MPa, fct,ef=fctm=2,6MPa, Ecm=31GPa
stal B490 → tab. W-2: fyd=420MPa , Es=200GPa
Moment zginający od kombinacji obciążeń quasi-stałej: ME,k2=124,4kNm
W obliczeniach w arkuszu LCŻelbet przyjęto MEd=124,4kNm i indeksy (R-1) oraz (R-2) równe jedności SGU1/SGN=SGU2/SGN=1,0 .
Przyjęto Ec=Ecm=31GPa, a nie Ec,ef, to znaczy rozpatruje się przypadek doraźny, co jest niespójne z obciążeniami quasi-stałymi dla których przyjmowano współczynnik kt=0,4 (10),
(3) → αe=200/31=6,452
użyteczny stopień zbrojenia dolnego ρsl=12,57/(30⋅45)=0,931%
użyteczny stopień zbrojenia górnego ρsu=0 %
użyteczny stopień zbrojenia belki ρs=0,931+0=0,931%
względna wysokość użyteczna δl=450/500=0,9
Obliczenie szerokości rysy metodą KO
I faza pracy
(6)→ wysokość strefy ściskanej xI=30⋅502/2+6,452⋅(0+12,57⋅45)30⋅50+6,452⋅(12,57+0)=26,025cm
(7)→ moment bezwładności przekroju w I fazie II=30⋅50312+30⋅50⋅(50/2−26,025)2+6,452⋅[0+12,57⋅(45−26,025)2]=343276,6cm4
odległość włókna skrajnego (betonu) z0,I=h−xI=50–26,025=23,975cm,
wskaźnik wytrzymałości w I fazie WI=343276,623.975=14318,11cm3
Kryteria zarysowania przekroju:
Uwaga:
(8)→ moment rysujący przy pominięciu sztywności stali Mcr=(30⋅502)/6⋅2,6⋅10−3=32,5/,kNm.
Oszacowanie w przykładzie jest o 37,23/32,5= 15% mniejsze od wartości z uwzględnieniem zbrojenia w sztywności przekroju.
(4)→ ME=124,4>Mcr=37,23kNm,
lub alternatywnie
(5)→ σcl=124,4/14318,11⋅103=8,7>fctm=2,6MPa,
→ przekrój ulegnie zarysowaniu.
II faza pracy
Parametry pomocnicze:
(19)→ ρs,e=6,452⋅0,00931= 0,06007
(20)→ klu=(0,931+0⋅0)/0,931=1
(18)→ wysokość strefy ściskanej przy założeniu braku betonu rozciąganego ξII=√0,06007⋅(0,06007+2⋅1)–0,06007=0,291709
xII=0,2917109⋅45=13,127cm
Naprężenia w zbrojeniu tuż przed pęknięciem
(12)→ Współczynnik efektywnej wysokości λc,ef=min[1−0,291709⋅0,9)/3;2,5⋅(1−0,9)]=0,2458,
(11)→ Wysokość efektywna betonu rozciąganego hc,ef=0,2458⋅500=122,9mm
Uwaga: W pracy Knauff,… obliczono hc,ef=123mm
(13)→ Stopień zbrojenia strefy rozciąganej: ρp,ef=12,5730⋅12,29=0,00931⋅0,90,2458=0,03409
(14)→ naprężenia w zbrojeniu tuż przed zarysowaniem : σs,cr=0,4⋅2,6⋅(10,03409+6,452)=37,22MPa
Uwaga: w pracy Knauff,… σs,cr oznaczono przez σ0 i uzyskano wynik 37,7 MPa
Sprawdzenie wartości naprężeń wg formuły (9) → σs,cr=0,4⋅6,452⋅2,6⋅(45−26,026)/(50−26,026)=5,31MPa
Naprężenia z formuły eksperymentalnej 14) są znacznie większe od naprężeń teoretycznych (9).
(22)→ moment bezwładności przekroju w II fazie: III=30⋅13,1273/3+6,452⋅12,57⋅(45−13,127)2+0=105010/,cm4
(23)→ naprężenia w pręcie zbrojeniowym po zarysowaniu przekroju:
σs=6,452⋅124,4/105010⋅(45–13,127)⋅103=243,6MPa
Uwaga: w pracy Knauff,… metodą uproszczoną uzyskano σs=258,7MPa, czyli o 6% więcej.
Przyrost naprężeń w zbrojeniu
(32)→ Δσ=max{243,6–37,2;0,6⋅243,6}=206,4MPa
Odkształcenie pękania
(33)→ Odkształcenie pękania : εcr=206,4200⋅103=1,032⋅10−3
Rozstaw rys
Dla danych: pręt Φ=20mm, otulenie c=40mm, k1=0,8 – pręty żebrowane, k2=0,5 – zginanie, k3=3,4 , k4= 0,425:
(24)→ Rozstaw rys: sr,max=3,4⋅40+0,8⋅0,5⋅0,425⋅200,0341=235,7mm
Uwaga: w pracy Knauff,… uzyskano wynik 237,4 mm
Rozwarcie rys
(24)→ wk=206,4⋅1,032⋅10−3=0,243mm < wmax(1→)=0,3mm
Uwaga: w pracy Knauff,… uzyskano wynik 0,262 mm
Obliczenie szerokości rysy metodą UO
Powyżej obliczono:
rozstaw rys sr,max=235,7mm
moment rysujący Mcr=32,91kNm
naprężenie w stali σs=243,62MPa
pod (31)→ β=1/2 dla obciążeń prawie stałych
(36)→ wk=235,7⋅{–1/2⋅(32,91124,4)2}⋅243,62200⋅10−3=0,232mm
Metodą UO uzyskano szerokość rysy o 0,243/0,232=5% więcej. Taka różnica wystąpiła przy obliczeniach dwoma metodami według jednej normy . Większe różnice, ponad dwukrotne, występują pomiędzy różnymi normami narodowymi (np. [3], [13]) ).
Moduł sprężystości betonu w szczególnych warunkach pełzania
Wysokość zastępcza belki do oszacowania współczynnika pełzania h0=(h⋅b/(2⋅h+b)=400⋅600/(2∗600+400)=150mm
Ponieważ belka będzie eksploatowana w szczególnych warunkach pełzania: w środowisku o wilgotności RH=88,3% i przez 5 lat, więc końcowy współczynnik pełzania należy obliczyć z ogólnych zależności. Zastosowano kalkulator CH-P, którego ekran pokazano na rys. 58. wyniku otrzymano :
φ(5lat,28dni)=1,476., czyli:
(P-33) → E_{c,ef} = 33/(1+1,476)= 13,33 \, GPa(3)\to\alpha_e= \alpha_{e,ef} = 200/13,33= 15 $
Uwaga:
W warunkach normalnych t0=28dni h0=120mm dlaC30/37współczynnikpełzaniakońcowego \varphi( \infty, 28)=2,545$
(P-33) → Ec,ef=33/(1+2,545)=9,31GPa , αe=200/9,31=21,5
Parametry pomocnicze:
ρsl=2714/(400⋅548)=0,01238,
ρsu=452/(400⋅548)=0,00206,
ρs=0,01238+0,00206=0,01444,
δl=548/600=0,9133
δu/l=46/548=0,08394
(19) → ρs,e=15⋅0,01444= 0,2168
(20) → klu=(0,01238+0,00206⋅0,08394)/0,01444=0,87
Wysokość strefy ściskanej w II fazie
(18) → ξII=√0,2168⋅(0,2168+2⋅0,87)–0,2168=0,4344
xII=0,4344⋅548=238mm
Uwaga: W pracy [7],Example 7.3, 7.4 uzyskano xII=237,8mm , odnosząc stopień zbrojenia przekroju do wysokości przekroju h, a nie do wysokości użytecznej dl
Naprężenie w zbrojeniu przed zarysowaniem
(12) → Współczynnik efektywnej wysokości λc,ef=min[1−0,4344⋅0,9133)/3;2,5⋅(1−0,9133)]=0,2411,
(11) → Wysokość efektywna betonu rozciąganego: hc,ef=0,201⋅600=120,6mm
(13) → Stopień zbrojenia strefy rozciąganej: ρp,ef=27,1440⋅12,06=0,01238⋅0,9130,2011=0,0562
(14) → naprężenia w zbrojeniu tuż przed zarysowaniem : σs,cr=0,6⋅2,9⋅(10,0562+15)=57,1MPa
Moment bezwładności w fazie II i naprężenie w zbrojeniu po zarysowaniu
(22)→ III=40⋅23,833+15⋅[27,14⋅(54,8−23,8)2+4,52⋅(13,58−4,6)2]=595967cm4
(23) → naprężenia w pręcie zbrojeniowym po zarysowaniu przekroju:
σs=15⋅300/595967⋅(54,8–23,8)⋅103=234,1MPa
Zarysowanie przekroju
przyrost naprężeń w stali (32) → Δσ=max{234,1–57,1;0,6⋅234,1}=177MPa
odkształcenie pękania (33) → : εcr=177200⋅103=0,885⋅10−3,
rozstaw rys (23) → sr,max=3,4⋅40+0,8⋅0,5⋅0,425⋅240,0562=208,6mm,
rozwarcie rys (24) → wk=208,6⋅0,885⋅10−3=0,185mm <wmax1=0,3mm..
Obliczenie szerokości rysy kalkulatorem LCŻelbet
W kalkulatorze LCżelbet zaimplementowano opisane procedury szacowania szerokości rys. Arkusz można pobrać z rys. W-1 artykułu Belki żelbetowe.
Kontrola ugięć w stanie zarysowanym
W kalkulatorze LCżelbet zaimplementowano opisane procedury szacowania ugięć elementów żelbetowych w stanie zarysowanym . W-1 artykułu Belki żelbetowe.
Literatura
- MPA, The Concrete Centre, (2017). Crack Control and Deflection. Lecture 6. EC2 Webinar – Autumn, [ https://www.concretecentre.com/TCC/media/TCCMediaLibrary/PDF%20attachments/Lecture-6-Deflection-and-Crack-Control-cg-26-Oct-17.pdf ]
- Gilbert R. I., Ranzi G. (2011), Time-dependent behaviour of concrete structures. Spon
- Nejadi S. (2005), Time- dependent cracking and crack control in reinforced concrete structures [PhD Thesis]. University of New South Wales Sydney, Australia
- ACI 318-14 (2014), Building Code Requirements for Structural Concret
- PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3: 2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
- Knauff M. (2015). Obliczanie konstrukcji żelbetowych według Eurokodu 2: zasady ogólne i zasady dotyczące budynków. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
- CH GoodChild, (2009), Worked Examples to Eurocode 2.: Volume 1. The Concrete Centre
- Kachlakev D. I., Miller T., Yim S., Chansawat K., Potisuk T. (2001). Finite Element Modeling of Reinforced Concrete Structures Strengthened with FRP Laminates,. California Polytechnic State University and Oregon State University for Oregon De-partment of Transportation
- PN-EN 1990:2004, Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji
- Piechnik S. (1980). Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, PWN, Warszawa
- Strikwerda J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equa-tions (2nd ed). Society for Industrial and Applied Mathematics.
- Knauff, M., Golubińska, A., Knyziak P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN.Warszawa
- Jaromska E. (2011), Obliczanie szerokości rys w zginanych elementach żelbeto-wychwg EC2:2008 i DIN 1045-1:2008. Czasopismo Techniczne, 1-B/2011(Zeszyt 3. Rok 108
________________________________