Ścisłe formuły [1]
Przyjmijmy, że losowy wektor $Y$ (w ogólnym przypadku zespolony) jest funkcją rzeczywistego wektora losowego $X$ z funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa $f(x)$.
Wartości oczekiwane (średnie) wektora $X$ i $Y$oznaczamy jako $m_x \ , m_y$.
Często będziemy korzystali z wycentrowanych zmiennych losowych , które powstają przez odjęcie od wartości zmiennej losowej jej wartości oczekiwanej. Wycentrowane zmienne będziemy oznaczali górnym indeksem 0 (zero):
| $X^0=X-m_x\qquad , \qquad Y^0=Y- m_y$ | (1) |
Funkcję $Y$ zapiszmy jako
| $Y=\phi(X)$ | (2) |
Wartość oczekiwaną $m_y$ , moment drugiego rzędu $\Gamma_y$ oraz kowariancję $K_y$ losowego wektora $Y$ można określić z ogólnych formuł:
| $m_y=MY= M \phi (X)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} \phi (x) f(x) dx$ | (3) |
| $\Gamma_y=MYY^*=M\phi(X)\phi^*(X)=\int \limits _{-\infty}^{\infty}\phi (x)\phi ^*(x) dx$ | (4) |
| $K_y=MY^0Y^{0*}=M[\phi(X)- m_y][\phi^*(X)-m_y^*]$ | (5) |
| $ \int \limits _ {-\infty}^{\infty}[\phi(x)-m_y][\phi(x)^*-m_y^*]f (x)dx$ | (6) |
indeksem- gwiazdka (*) oznaczono wartość sprzężoną wielkości lub funkcji zespolonej. W przypadku macierzy rzeczywistych wartość sprzężona jest macierzą transponowaną.
Podobnie określamy wzajemne drugie momenty i wzajemne macierze kowariancji dwóch wektorów losowych będących funkcjami wektora X. Dla
| $ Y=\phi(X)\qquad , \qquad Z=\psi(X)$ | (7) |
| $\Gamma_{yz}=MYZ^*=M\phi(X)\psi^*(X)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} \ \phi(x)\psi^*(x) f(x)dx)$ | (8) |
| $K_{yz}=MY^0Z^{0*}\int \limits_{-\infty}^{\infty} [\phi(x)-m_y][\psi^*(x)-m_z^*] f(x)dx)$ | (9) |
Powyższe formuły pokazują, że w celu obliczenia wartości oczekiwanej oraz kowariancji nieliniowej funkcji losowego wektora należy znać gęstość rozkładu prawdopodobieństwa argumentów.
Przykład 1
Pręty zbrojeniowe wykonuje się z określoną tolerancją promienia pręta R. Przyjmuje się, że R jest zmienną losową normalną z wartością oczekiwaną $m_r$ oraz odchyleniem standardowym $\sigma_r$, czyli z funkcją gęstości:
| $ f(R)=\dfrac{1}{\sigma_r \sqrt2\pi}\cdot exp \left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{R-m_r}{\sigma_r}\right)^2\right]$ | (10) |
Znajdźmy wartość oczekiwaną oraz odchylenie standardowe pola powierzchni pręta $A=\pi R^2$
Korzystając z formuły (3), mamy:
| $ m_A=\int \limits _{-\infty}^{\infty}\pi r^2 f(r) dr=\pi \dfrac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \qquad \int \limits _{-\infty}^\infty r^2\cdot exp \left[-\dfrac{1}{2} \left( \dfrac {r- m_r}{\sigma_r}\right)^2 \right]dr$ | (11) |
Ostatnia całka razem z mnożnikiem $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ jest momentem drugiego rzędu losowego promienia R, który jest równy $ m_r^2+\sigma_r^2$. W ślad za tym, otrzymujemy:
| $ m_A=\pi(m_r^2+\sigma_r^2)$ | (12a) |
Z formuły (9) mamy:
| $ \sigma^2_A=\pi^2 \dfrac {1}{\sigma_r \sqrt{2\pi}} \qquad \int \limits _{-\infty}^\infty (r^2- m^2_r-\sigma^2_r)^2\cdot exp -\left( \dfrac {r- m_r}{\sigma_r}\right)^2 dr$ | (12b) |
Po obliczaniu całki otrzymamy
| $ \sigma^2_A=2\pi^2\sigma^2_r (2m^2_r+\sigma^2_r)$ | (13) |
Linearyzacja [1]
W celu ominięcia złożoności obliczeń wartości oczekiwanych, dyspersji kowariancji nieliniowych funkcji zmiennych losowych doprowadza do konieczności znajduje się rozwiązania przybliżone metodą linearyzacji. W przypadku jednowymiarowego skalara $X$ linearyzacja nieliniowej funkcji $\varphi(x)$ polega na zastąpieniu krzywej $y=\varphi (x)$ przez pewną prostą $y=ax+b$. Jeśli uda się dobrać prostą dostatecznie bliską krzywej w obszarze praktycznie możliwych zmian losowej zmiennej $X$ ( w przypadku normalnie rozłożonej zmiennej $X$ zwykle w obszarze $(m_x-3\sigma_x \, ; \, m_x+3\sigma_x)$ , to można oczekiwać, że momenty statystyczne odpowiadającej funkcji liniowej zmiennej losowej $X$ będą bliskie momentom statystycznym funkcji nieliniowej.
Punkt linearyzacji $x_L$, czyli punkt w którym do krzywej prowadzi się styczną należy dobrać tak, by uzyskać jak najlepsze przybliżenie interesującej wielkości. W przypadku obliczania wartości momentów statystycznych punkt $x_L=m_x$ , ponieważ wokół tej wielkości zmienne losowa $X$, będzie przyjmowała wartości najczęściej.
Styczna do krzywej w punkcie $m_x$ ma równanie
| $ Y=\varphi(x)\approx \varphi (m_x)+\varphi^{’} (m_x) X^0 $ | (14) |
o ile wektorowa funkcja losowego wektora $X$ jest różniczkowalna w punkcie $m_x$ .
$\varphi^{’}(m_x)$ należy rozumieć jako macierz cząstkowych pochodnych wszystkich współrzędnych wektora $\varphi(x)$ po wszystkich współrzędnych wektora $X$ w punkcie $m_x$:
| (15) |
Po zamianie $\varphi(x)$ jej liniowym przybliżeniem (14) i zastosowaniu operatora wartości oczekieanej otrzymujemy przybliżone formuły na wartość oczekiwaną i macierz korelacji wektora $Y$:
| $ m_y \approx \varphi(m_x) $ | (16a) |
| $ K_y\approx \varphi^{’} (m_x)K_x\varphi^{’}(m_x)^{*}$ | (16b) |
Formuły (16) są słuszne zarówno dla zespolonych jak i dla rzeczywistych , skalarnych jak i wektorowych zmiennych losowych $X$ i $Y$.
Przykład 2 [Linaryzacja przykładu 1]
Dla danych z przykładu 1 , w którym ściśle obliczono wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe pola przekroju pręta, oszacujemy te parametry w sposób przybliżony poprzez linearyzację funkcji
| $ A=\varphi(R)=\pi R^2$ | (17) |
w otoczeniu wartości średniej promienia pręta $m_r$.
Ponieważ $\varphi^{’} (r)=2 \pi r$ , więc z formuł (16) otrzymujemy
| $ m_A\approx \varphi(m_r)=\varphi (r_0)=\pi {r^2}_0 $ | (18a) |
| $ {\sigma^2}_A=4 \pi {r^2}_0 {\sigma^2}_r$ | (18b) |
Porównując formuły przybliżone (18) ze ścisłymi (13), widzimy, że metoda linearyzacji w tym przypadku daje dobrą aproksymację, jeśli $\sigma_r \ll r_0$, to jest jeśli odchylenie standardowe jest małe w stosunku do wartości oczekiwanej. Na przykład przy $V_r=\dfrac{\sigma_r}{m_r}=10 \%$ , błąd oszacowania wartości oczekiwanej wynosi 1%, a odchylenia standardowego 0,5%.
Literatura
________________________________
