Momenty statystyczne wektorowych funkcji nieliniowych ⋆ Chodor-Projekt ⋆ Architekci i Inżynierowie. Encyklopedia PiWiki

A B D E F G H I K Ł M N O P R S T U W Z

Me Mo

Mod Mom

Momenty statystyczne wektorowych funkcji nieliniowych

Ścisłe formuły [1]

Przyjmijmy, że losowy wektor $Y$ (w ogólnym przypadku zespolony) jest funkcją rzeczywistego wektora losowego $X$ z funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa $f(x)$ .
Wartości oczekiwane (średnie) wektora $X$ i $Y$ oznaczamy jako $m_x \ , m_y$ .

Często będziemy korzystali z wycentrowanych zmiennych losowych , które powstają przez odjęcie od wartości zmiennej losowej jej wartości oczekiwanej. Wycentrowane zmienne będziemy oznaczali górnym indeksem 0 (zero):

$X^0=X-m_x\qquad , \qquad Y^0=Y- m_y$

(1)

Funkcję $Y$ zapiszmy jako

$Y=\phi(X)$

(2)

Wartość oczekiwaną $m_y$ , moment drugiego rzędu $\Gamma_y$ oraz kowariancję $K_y$ losowego wektora $Y$ można określić z ogólnych formuł:

$m_y=MY= M \phi (X)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} \phi (x) f(x) dx$

(3)

$\Gamma_y=MYY^*=M\phi(X)\phi^*(X)=\int \limits _{-\infty}^{\infty}\phi (x)\phi ^*(x) dx$

(4)

$K_y=MY^0Y^{0*}=M[\phi(X)- m_y][\phi^*(X)-m_y^*]$

(5)

$\int \limits _ {-\infty}^{\infty}[\phi(x)-m_y][\phi(x)^*-m_y^*]f (x)dx$

(6)

indeksem- gwiazdka (*) oznaczono wartość sprzężoną wielkości lub funkcji zespolonej. W przypadku macierzy rzeczywistych wartość sprzężona jest macierzą transponowaną.

Podobnie określamy wzajemne drugie momenty i wzajemne macierze kowariancji dwóch wektorów losowych będących funkcjami wektora X. Dla

$Y=\phi(X)\qquad , \qquad Z=\psi(X)$

(7)

$\Gamma_{yz}=MYZ^*=M\phi(X)\psi^*(X)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} \ \phi(x)\psi^*(x) f(x)dx)$

(8)

$K_{yz}=MY^0Z^{0*}\int \limits_{-\infty}^{\infty} [\phi(x)-m_y][\psi^*(x)-m_z^*] f(x)dx)$

(9)

Powyższe formuły pokazują, że w celu obliczenia wartości oczekiwanej oraz kowariancji nieliniowej funkcji losowego wektora należy znać gęstość rozkładu prawdopodobieństwa argumentów.

Przykład 1
Pręty zbrojeniowe wykonuje się z określoną tolerancją promienia pręta R. Przyjmuje się, że R jest zmienną losową normalną z wartością oczekiwaną $m_r$ oraz odchyleniem standardowym $\sigma_r$ , czyli z funkcją gęstości:

$f(R)=\dfrac{1}{\sigma_r \sqrt2\pi}\cdot exp \left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{R-m_r}{\sigma_r}\right)^2\right]$

(10)

Znajdźmy wartość oczekiwaną oraz odchylenie standardowe pola powierzchni pręta $A=\pi R^2$
Korzystając z formuły (3), mamy:

$m_A=\int \limits _{-\infty}^{\infty}\pi r^2 f(r) dr=\pi \dfrac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \qquad \int \limits _{-\infty}^\infty r^2\cdot exp \left[-\dfrac{1}{2} \left( \dfrac {r- m_r}{\sigma_r}\right)^2 \right]dr$

(11)

Ostatnia całka razem z mnożnikiem $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ jest momentem drugiego rzędu losowego promienia R, który jest równy $m_r^2+\sigma_r^2$ . W ślad za tym, otrzymujemy:

$m_A=\pi(m_r^2+\sigma_r^2)$

(12a)

Z formuły (9) mamy:

$\sigma^2_A=\pi^2 \dfrac {1}{\sigma_r \sqrt{2\pi}} \qquad \int \limits _{-\infty}^\infty (r^2- m^2_r-\sigma^2_r)^2\cdot exp -\left( \dfrac {r- m_r}{\sigma_r}\right)^2 dr$

(12b)

Po obliczaniu całki otrzymamy

$\sigma^2_A=2\pi^2\sigma^2_r (2m^2_r+\sigma^2_r)$

(13)

Linearyzacja [1]

W celu ominięcia złożoności obliczeń wartości oczekiwanych, dyspersji kowariancji nieliniowych funkcji zmiennych losowych doprowadza do konieczności znajduje się rozwiązania przybliżone metodą linearyzacji. W przypadku jednowymiarowego skalara $X$ linearyzacja nieliniowej funkcji $\varphi(x)$ polega na zastąpieniu krzywej $y=\varphi (x)$ przez pewną prostą $y=ax+b$ . Jeśli uda się dobrać prostą dostatecznie bliską krzywej w obszarze praktycznie możliwych zmian losowej zmiennej $X$ ( w przypadku normalnie rozłożonej zmiennej $X$ zwykle w obszarze $(m_x-3\sigma_x \, ; \, m_x+3\sigma_x)$ , to można oczekiwać, że momenty statystyczne odpowiadającej funkcji liniowej zmiennej losowej $X$ będą bliskie momentom statystycznym funkcji nieliniowej.

Punkt linearyzacji $x_L$ , czyli punkt w którym do krzywej prowadzi się styczną należy dobrać tak, by uzyskać jak najlepsze przybliżenie interesującej wielkości. W przypadku obliczania wartości momentów statystycznych punkt $x_L=m_x$ , ponieważ wokół tej wielkości zmienne losowa $X$ , będzie przyjmowała wartości najczęściej.
Styczna do krzywej w punkcie $m_x$ ma równanie

$Y=\varphi(x)\approx \varphi (m_x)+\varphi^{’} (m_x) X^0$

(14)

o ile wektorowa funkcja losowego wektora $X$ jest różniczkowalna w punkcie $m_x$ .

$\varphi^{’}(m_x)$ należy rozumieć jako macierz cząstkowych pochodnych wszystkich współrzędnych wektora $\varphi(x)$ po wszystkich współrzędnych wektora $X$ w punkcie $m_x$ :

$\varphi^{'}(\mu_x)= \left[ \begin{matrix} \frac{\partial\varphi_1}{\partial x_1}& \frac{\partial\varphi_1}{\partial x_2}& . . .& \frac{\partial\varphi_s}{\partial x_n}& \\ .&.&.&.\\ \frac{\partial\varphi_s}{\partial x_1}& \frac{\partial\varphi_s}{\partial x_2}& . . .& \frac{\partial\varphi_1}{\partial x_n}& \\ \end{matrix} \right]_{x=\mu_x}$

(15)

Po zamianie $\varphi(x)$ jej liniowym przybliżeniem (14) i zastosowaniu operatora wartości oczekieanej otrzymujemy przybliżone formuły na wartość oczekiwaną i macierz korelacji wektora $Y$ :

$m_y \approx \varphi(m_x)$

(16a)

$K_y\approx \varphi^{’} (m_x)K_x\varphi^{’}(m_x)^{*}$

(16b)

Formuły (16) są słuszne zarówno dla zespolonych jak i dla rzeczywistych , skalarnych jak i wektorowych zmiennych losowych $X$ i $Y$ .

Przykład 2 [Linaryzacja przykładu 1]

Dla danych z przykładu 1 , w którym ściśle obliczono wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe pola przekroju pręta, oszacujemy te parametry w sposób przybliżony poprzez linearyzację funkcji

$A=\varphi(R)=\pi R^2$

(17)

w otoczeniu wartości średniej promienia pręta $m_r$ .

Ponieważ $\varphi^{’} (r)=2 \pi r$ , więc z formuł (16) otrzymujemy

$m_A\approx \varphi(m_r)=\varphi (r_0)=\pi {r^2}_0$

(18a)

${\sigma^2}_A=4 \pi {r^2}_0 {\sigma^2}_r$

(18b)

Porównując formuły przybliżone (18) ze ścisłymi (13), widzimy, że metoda linearyzacji w tym przypadku daje dobrą aproksymację, jeśli $\sigma_r \ll r_0$ , to jest jeśli odchylenie standardowe jest małe w stosunku do wartości oczekiwanej. Na przykład przy $V_r=\dfrac{\sigma_r}{m_r}=10 \%$ , błąd oszacowania wartości oczekiwanej wynosi 1%, a odchylenia standardowego 0,5%.

Literatura

Pugachev V. S. (1984). Probability Theory and Mathematical Statistics for Engineers. Pergamon Press

________________________________

13 paź 14

By : Leszek Chodor

Comments : 0

O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.