Przyjmijmy, że losowy wektor $Y=\varphi(X)$ jest znaną, w ogólności zespoloną (z częścią nierzeczywistą) funkcją $\varphi$ zmiennej losowej X, która ma funkcję gęstości probabilistycznego rozkładu $f(X)$ . Momenty losowe funkcji Y: wartość oczekiwaną $EY=\mu_y$ , wariancję $VarY$ oraz odchylenie standardowe $\sigma_y$ można oszacować ze ścisłych zależności [1]:

$\mu_y=EY=E \varphi(X)=\int \limits_{-\infty}^\infty \varphi(x) f(x) dx$ ,

(1)

$VarY=\sigma_y^2=E[\varphi(X)-\mu_y][\varphi(X)^*-\mu_y^*]=\int \limits_{-\infty}^\infty [\varphi(X)-\mu_y][\varphi(X)^*-\mu_y^*] f(x) dx$ ,

(2)

Kowariancja wzajemna $C_{yz}=Cov(y,Z)$ dwóch losowych wektorów $Y$ i $Z$ , będących funkcjami $Y=\varphi(X)$ i $Z=\psi(X)$ wektora $X$ , wynosi:

$Cov(Y,Z)==C_{yz}=E[\varphi(X)-\mu_y][\psi(X)^*-\mu_z^*]=\int \limits_{-\infty}^\infty [\varphi(X)-\mu_y][\psi(X)^*-\mu_z^*] f(x) dx$ ,

(3)

W przypadku, gdy, $\psi(X) \equiv X$ , to z (3) uzyskujemy wyrażenie na kowariancję $C_{xy}$ wektora $X$ i $Y$ :

$Cov(X,Y)=C_{xy}=E[X-\mu_x] [\varphi(X)^*-\mu_y^*]=\int \limits_{-\infty}^\infty [X-\mu_x][\varphi(X)^*-\mu_y^*] f(x) dx$ ,

(4)

Formuły (1) do (4) dotyczą zarówno rzeczywistych lub zespolonych zmiennych skalarnych lub wektorowych. Znak (*) oznacza macierz sprzężoną zespoloną, a w przypadku macierzy rzeczywistych jest to znak transpozycji macierzy (*=T).

Współczynnik korelacji zmiennych losowych $X$ i $Y$ o wartościach oczekiwanych $\mu_x=E X$ i $\mu_y=E Y$ oraz odchyleniach standardowych $\sigma_x=\sqrt {Var X}$ i $\sigma_y=\sqrt {Var Y}$ , oraz kowariancji zmiennych $C_{xy} = Cov (X, Y)$ , jest wartością oczekiwaną iloczynu standaryzowanych zmiennych [2]:

$\rho_{xy}= \rho \{X , Y \}= E \left \{ \dfrac {X-\mu_x}{\sigma_x} \cdot \dfrac {Y-\mu_y}{\sigma_y} \right\}= \dfrac {C_{xy }} {\sigma_x \cdot \sigma_y}$

(5)

Współczynnik korelacji określa siłę sprzężenia zmiennych i przyjmuje wartości w przedziale

$-1 \le \rho_{xy}\le 1$

(6)

Wartość $\rho_{xy}=0$ oznacza brak związku (sprzężenia), a dla zmiennych rozłożonych normalnie – niezależność zmiennych. Dla $\rho_{xy} = 1$ sprzężenie jest silnie dodatnie, to znaczy wzrost (lub zmniejszenie) $X$ najczęściej prowadzi do wzrostu (lub zmniejszenia) $Y$ . Na odwrót dla $\rho_{xy}= – 1$ relacja jest odwrotnie proporcjonalna.

1.2.Przykłady zastosowania ścisłych formuł

1.2.1. Pole powierzchni pręta zbrojeniowego o losowej średnicy D

Metodą ścisłą wyznaczymy parametry pola powierzchni pręta zbrojeniowego o losowej średnicy D (lub promieniu R=D/2). Zmienne losowe oznaczymy dużymi literami D, R, a ich realziacje (wartości ) małymi literami d, r – wartość zmiennej.

Pręty zbrojeniowe są walcowane z błędami promienia R, rozłożonymi podług normalnego rozkładu prawdopodobieństwa z wartością oczekiwaną

$ER= \mu_r=r_o$ oraz odchyleniem standardowym

$\sigma_r$ ,

Z punktu widzenia wytrzymałościowego istotne jest pole przekroju zbrojenia

$A= \varphi(R)= \pi R^2$ ,

(7)

które jest nieliniową funkcją

$\varphi()$ losowego promienia R (lub średnicy D=2R).

Do wyznaczenia momentów losowych funkcji (7) : wartości średniej $\mu_A$ oraz odchylenia standardowego $\sigma_A$ zastosujemy najpierw ścisłe formuły (1), (2) . Z zależności (1) mamy:

$\mu_A=\int \limits_{-\infty}^\infty \pi r^2 f(r)dr =\pi \dfrac{1}{\sigma_r \sqrt{2 \pi}}\int \limits_{-\infty}^\infty r^2 e^{- \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r-r_o}{\sigma_r}\right)^2}dr$ ,

(8)

Ostatnia całka wraz z mnożnikiem $\pi \dfrac{1}{\sigma_r \sqrt{2 \pi}}$ z definicji jest momentem drugiego rzędu losowej wielkości R, który oczywiście jest równy $r_o^2+\sigma_r^2$ . Stąd otrzymujemy:

$\mu_A= \pi (r_o^2+\sigma_r^2)$ ,

(9)

Z formuły (2) mamy:

$VarA=\pi^2\dfrac{1}{\sigma_r \sqrt{2 \pi}}\int \limits_{-\infty}^\infty (r^2-r_o^2-\sigma_r^2)^2 \cdot e^{- \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r-r_o} {\sigma_r}\right)^2}dr$ ,

(10)

Po obliczeniu tej całki [1], otrzymamy:

$VarA=2 \pi^2 \sigma_r^2 (2r_o^2+ {\sigma_r}^2)$ ,

(11)

1.2.2. Ugięcie wspornikowej belki Timoshenko o losowej długości L

Wyznaczymy momenty losowego ugięcie $Y$ końca wspornikowej belki Timoshenko (z uwzględnieniem sztywności postaciowej) o losowej długości $L$ i innych parametrach nielosowych, w tym o sztywności giętnej $EI$ oraz postaciowej $S_v$ .

1.2.2.1. Postawienie zadania

Przemieszczenie $Y$ końca wspornika (pod siłą P) można wyznaczyć ze znanej zależności:

$Y=\int \limits_0^L \left( \dfrac{M \overline M}{EI} + \dfrac{T \overline T}{S_v} \right ) dx$

(12)

Rys.1. Zginanie i ścinanie wspornika Timoshenko

Po „przemnożeniu wykresów sił”,pokazanych na rys.1. otrzymujemy formułę na ugięcie $Y$ , które jest funkcją losowego argumentu $L$ :

$Y=\dfrac {PL^3}{3EI} +\dfrac{PL}{S_v}= \dfrac{P }{3 EI}( L^3+ 3 k L)$ ,

(13)

gdzie współczynnik podatności na ścinanie $k = \dfrac{EI}{S_v}$ .

1.2.2.2. Parametry losowej długości belki

Przyjmijmy, że losowa długość pręta X=L ma jednostajny rozkład prawdopodobieństwa z gęstością prawdopodobieństwa
$\dfrac{1}{2\cdot \Delta L}$ w przedziale $(L-\Delta L ; L+\Delta L)$ , a poza tym przedziałem jest równa zero.
Rozkład ten pokazano na rys. 1. Tak przyjęty rozkład oznacza, że w przedziale możliwych wartości długości belki $L \pm \Delta L$ , gdzie $\Delta L$ jest dopuszczalną tolerancją może przyjąć każdą wartość z tym samym prawdopodobieństwem

$p= Prob\{X=x\}= \dfrac{1}{2 \Delta L}$ ,

a kontrola jakości wyklucza wartości spoza tego przedziału.

Rys.1 Rozkład równomierny losowej długości belki

Z własności rozkładu jednostajnego, wynika że wartość oczekiwana długości belki wynosi
$\mu_x= \dfrac{(L-\Delta L)+(L+\Delta L)}{2}=L$ ,
a wariancja
$Var X= \dfrac{[(L- \Delta L)-(L+ \Delta L)]^2}{12}= \dfrac {\Delta^2 L} {3}$ .

1.2.2.3. Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe ugięcia

Wartość oczekiwana (1) ugięcia (12) wynosi:

$\mu_y= C p \int \limits_{L- \Delta}^{L+ \Delta}\ (x^3 + 3k x) dx= C L (L^2 +\Delta^2 +3k)$ ,

(14)

gdzie wprowadzono oznaczenia

$\Delta=\Delta L$ ,

$C=\dfrac{P}{3 EI}$ ,

$p=\dfrac{1}{2 \Delta}$

(15a,b,c)

Porównując (14) z funkcją (13) widzimy zgodność zapisu dla $\Delta=0$ , to znaczy dla długości belki wykonanej bez odchyłki wymiarowej. Do porównania wrócimy jeszcze podczas omawiania metody linearyzacji.

Wariancja (2) ugięcia (12) wynosi:

$VarY = C^2 p \int \limits_{L- \Delta}^{L+ \Delta}(x^3 + 3k x)^2 dx = C^2 \Delta^2 \left ( 3L^4 +2L^2 \Delta^2 +3k^2 +\dfrac{6k}{5} (5 L^2 +\Delta^2) +\dfrac{\Delta^4}{7} \right)$

(16)

Dla długości belki wykonanej bez odchyłki wymiarowej $\Delta=0$ wariancja jest zerowa.

Kowariancja (4) ugięcia (13) z losową długością $L$ wynosi:

$Cov _{YL}= C p \int \limits_{L- \Delta}^{L+ \Delta}(x^3 + 3k x) \cdot (x-L) dx = C \Delta^2 \left ( L^2+k+\dfrac {\Delta^2}{5} \right)$ ,

(17)

$\rho_{YL}=\dfrac{L^2+k +\dfrac{\Delta^2}{5}} {\sqrt{ (k+L^2)^2+ \dfrac {14}{105} (3k+5 L^2)\Delta^2 +\dfrac{\Delta^4}{21}}}$ .

(18)

Dla $\Delta=0$ korelacja jest pełna ( $\rho_{YL}=1$ ).

Dla $k=0$ (dla klasycznej belki Bernoulliego) formuły (14 do 18) upraszczają się do postaci (19):

$\mu_y= C L (L^2 +\Delta^2)$

$VarY == C^2 \Delta^2 \left ( 3L^4 +2L^2 \Delta^2 +\dfrac{\Delta^4}{7} \right)$

$Cov \{ Y, L \}=C \Delta^2 \left ( L^2\dfrac {\Delta^2}{5} \right)$

$\rho_{YL}=\dfrac{L^2+\dfrac{\Delta^2}{5}} {\sqrt{ L^4+ \dfrac {14}{21}\Delta^2L^2 +\dfrac{\Delta^4}{21}}}$ .

(19a-d)

2. Metoda linearyzacji

2.1. Podstawy

Obliczanie momentów funkcji losowych ze ścisłych zależności (62, 63, 64) jest zadaniem złożonym rachunkowo, a wynik analityczny udaje się znaleźć w nielicznych przypadkach prostych funkcji oraz rozkładów probabilistycznych argumentów funkcji (przykłady 1.2. są takimi wyjątkowymi przypadkami). W celu umożliwienia oszacowania momentów złożonych funkcji, w praktyce inżynierskiej, stosuje się metodę linearyzacji, która polega na tym , że nieliniową funkcję $\varphi(x)$ , zastępuje się linią prostą w punkcie najbardziej prawdopodobnym, czyli w punkcie oczekiwanym $\mu_x$ argumentu x, tak jak pokazano na rys. 16Rys.16 Linearyzacja funkcji losowej w punkcie oczekiwanym $\mu_x$ [1]

Zależność zmiennej $Y$ od $X$ zgodnie z prostą pokazaną na rys. 16 przyjmuje postać:

$Y \approx \varphi ( \mu_x ) + \varphi^{’} (\mu_x ) (X- \mu_x )$ ,

(20)

W przypadku , gdy X jest wektorem, to pochodną $\varphi^{’} (\mu_x )$ należy traktowac jako macierz wrażliwości – pochodne wszystkich współrzędnych wektora $\varphi (x )$ podług współrzędnych wektora x w punkcie $x= \mu_x$ :

$\varphi^{’} (\mu_x ) = \left[\begin{array} {cccc} \dfrac{\partial \varphi_1} {\partial x_1} & \dfrac {\partial \varphi_1} {\partial x_2} & \ldots & \dfrac {\partial \varphi_1} {\partial x_n} \\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\ \dfrac {\partial \varphi_r} {\partial x_1} & \dfrac{\partial \varphi_r}{\partial x_2} & \ldots &\dfrac{\partial \varphi_s}{\partial x_n} \end{array} \right]_{x=\mu_x}$

(21)

gdzie n – rozmiar wektora $X$ , r- rozmiar wektora $Y$ . Do funkcji liniowej (17) możemy zastosować standardowe procedury wyznaczenia wartości oczekiwanej oraz macierzy kowariancji wektora $Y$ [1], a w rezultacie otrzymamy formuły linearyzacji probabilistycznej:

$\mu_y \approx \varphi ( \mu_x )$ ,

(22a)

$C_y \approx \varphi ^{’} ( \mu_x ) C_x \varphi ^{’} ( \mu_x )^*$ ,

(22b)

gdzie $C_x=Cov X$ , $C_y=Cov Y$ są macierzami kowariancji odpowiednio wektora X i Y. W przypadku zmiennej skalarnej kowariancja staje się wariancją: $CovX=Var X=\sigma_x^2$ , gdzie $\sigma_x$ jest odchyleniem standardowym zmiennej X.

Formuły (14a, b) dotyczą zarówno rzeczywistych lub zespolonych zmiennych skalarnych lub wektorowych. Znak (*) oznacza macierz sprzężoną zespolona, a w przypadku macierzy rzeczywistych jest to znak transpozycji macierzy (*=T).

Dokładność metody linearyzacji zależy od rozproszenia losowego zmiennej wejściowej. Jeśli $\sigma_x \ll \mu_x$ . to dokładność aproksymacji jest dobra i zmniejsza się wraz ze zmniejszaniem się nieliniowości funkcji.

2.2. Przykłady metody linearyzacji i ocena dokładności

2.2.1. Pole powierzchni pręta zbrojeniowego o losowej średnicy D

Rozwiążemy zadanie z przykładu 1.2.1. metodą linearyzacji.

Pochodna cząstkowa funkcji $\varphi(x)$ (7) przy oznaczeniu $x=R$ wynosi:

$\varphi(x)^{’}= \dfrac {\partial \varphi(x)}{\partial x}= 2\pi r$ ,

(23)

Z (22 a,b) otrzymujemy:

$\mu_A \approx \tilde {\mu_A}= \varphi(\mu_r)=\varphi(r_0)=\pi r_o^2$ ,

(24a)

$Var A \approx \tilde {VarA}= |\varphi^{’} (\mu_r)|^2 \cdot \sigma_r^2=|\varphi^{’} (r_0)|^2 \cdot \sigma_r^2=4 \pi^2 r_0^2 \sigma_r^2$ ,

(24b)

Porównując oszacowania (24a,b) z wartościami ścisłymi (9), (11) , otrzymujemy:

$\dfrac {\mu_A} {\tilde{\mu_A}}=1+ \dfrac {\sigma_r^2} {r_o^2}$ ,

(25a)

$\dfrac {Var A} {\tilde{Var A}}=1+\dfrac { \sigma_r^2} {2 r_o^2}$ ,

(25b)

W prezentowanym przykładzie dla $\sigma_r=0,1 r_0$ błąd oszacowania średniej wynosi 1%, a wariancji 0,5% .

2.2.2. Ugięcie wspornikowej belki Timoshenko o losowej długości L

Rozwiążemy zadanie z przykładu 1.2.2. metodą linearyzacji.

Pochodna cząstkowa funkcji $Y(x)$ (12) przy oznaczeniu $x=L$ wynosi:

$Y(x)^{’}= \dfrac {\partial Y (x)}{\partial x}= 3C ( x^2+k)$ ,

(26)

Z (22 a,b) otrzymujemy:

$\mu_A \approx \tilde {\mu_Y}= \varphi(\mu_x)=3C(L^2+k)$ ,

(27a)

$Var Y \approx \tilde {VarY}= |\varphi^{’} (\mu_x)|^2 \cdot \sigma_x^2=|\varphi^{’} (L)|^2 \cdot \sigma_L^2=C^2 \Delta^4(k+L^2)^2$ ,

(27b)

Porównując oszacowania (27a,b) z wartościami ścisłymi (14), (16) , otrzymujemy:

$\dfrac {\mu_Y} {\tilde{\mu_Y}}=1+ \dfrac {\Delta^2} {L^2+3k}$ ,

(28a)

$\dfrac {Var Y} {\tilde{Var Y}}=1+….$ ,

(28b)

W prezentowanym przykładzie dla $k=0$ (belka Bernoulliego) i dla spotykanego w praktyce $\dfrac {\Delta}{L} \approx 3 \%$ błąd oszacowania średniej i wariancji jest zaniedbywalny.

Literatura

Pugachev V. S. (1984). Probability Theory and Mathematical Statistics for Engineers. Pergamon Press
Korn T., M. (1983). Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów (Tom 1, 2). PWN, Warszawa

________________________________

30 sie 16

By : Leszek Chodor

Comments : 0

O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.