Wzbudzenie wirowe kominów stalowych

Leszek Chodor, 4 listopada 2014
2026 -04-21  dodano tablice do projektowania, rozbudowano oraz  opatrzono w przykład analityczny.
W przypadku nieczytelnych treści, proszę powiadomić: leszek@chodor.co

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 17 Czytelników

Kominy stalowe, konstruowane najczęściej jako cylindry o średnicy $D$ znacznie mniejszej od wysokości komina $h$ ($h > 6D$), mogą zostać poddane działaniu wzbudzenia wirowego – drgań parametrycznych prostopadłych do kierunku wiatru. W przypadku gdy częstotliwość odrywania się wirów wiatrowych zrówna się z częstotliwością drgań własnych, komin wpada w rezonans, co może prowadzić do awarii na skutek nadmiernej amplitudy drgań lub postępującego zmęczenia stali. Drgania parametryczne często nazywa się wzbudzeniem wirowym, flaterem wirowym, drganiami Kármána lub Bénarda-Kármána.
W artykule omówiono fizykę zjawiska, tradycyjną procedurę projektową oraz zaproponowano nowoczesną procedurę analizy dynamicznej i projektowania kominów z wykorzystaniem komercyjnego oprogramowania. Procedury tradycyjne dotyczą idealnego wspornika – modelu rzadko spotykanego w praktyce – jednak ich wartość polega na przedstawieniu istoty zjawiska oraz roli poszczególnych zmiennych w procedurze projektowej.

Podstawowe pojęcia i zależności

Rys historyczny i ewolucja metod projektowania

Początki i fundamenty fizyczne

Fenomen drgań wywołanych przepływem płynu był badany eksperymentalnie już w 1878 roku przez Strouhala, który powiązał częstotliwość odrywania się wirów z prędkością przepływu i wymiarami przeszkody [1]. Dalsze prace Rayleigh’a ugruntowały fizyczne podstawy emisji dźwięku i drgań strun. Jednak pierwszą teoretyczną pracę na temat mechanizmu powstawania ścieżki wirowej za ciałem nieopływowym opublikował von Kármán w 1911 roku [2]. To właśnie od jego nazwiska pochodzi nazwa zjawiska „ścieżki wirów Kármána”, które stanowi główną przyczynę wzbudzenia poprzecznego smukłych kominów.

Parametryzacja zjawiska i rozwój norm

Współczesna parametryzacja wzbudzenia wirowego, w tym kluczowa definicja liczby Scrutona ($Sc$) oraz mechanizmu korelacji sił wiatrowych na wysokości konstrukcji, opiera się w głównej mierze na modelach opracowanych przez Sedlacka [3]. Prace te, wraz z analizą porównawczą przepisów krajowych [4], stanowią fundament merytoryczny obecnych przepisów europejskich zawartych w normie [5]. Połączenie tych modeli aerodynamicznych z nieliniową analizą stateczności pozwala na rzetelną ocenę trwałości zmęczeniowej zgodnie z wytycznymi Sedlacka i Feldmanna [6].

Prezentowane podejście projektowe

Przesntowane w aerykule podejście projektowe dostrzega głęboką analogię między analizą komina a procedurami stateczności ram stalowych, znanymi jako „Metoda Ogólna” (General Method) według normy [7]. Wdrożenie tej metody do praktyki inżynierskiej było wynikiem prac Chladnego, który sformułował teorię imperfekcji uogólnionej opartej na postaciach własnych [8], [9].

Matematyczną implementację tych założeń do środowiska MES opracowali Szalai i Papp. Szalai stworzył sformułowanie elementu skończonego i nieliniowego modelu numerycznego [10], co pozwoliło na precyzyjne śledzenie mechaniki pręta o siedmiu stopniach swobody. Z kolei Papp dokonał adaptacji tych procedur do wymagań Eurokodu 3, wprowadzając praktyczną implementację nieliniowej analizy GMNIA [11], [12].

W prezentowanym ujęciu amplituda wzbudzenia wirowego $y_{max}$ przestaje być traktowana wyłącznie jako wynik drgań, a zaczyna pełnić rolę projektowej imperfekcji geometrycznej. Podobnie jak w teorii Chladnego, kształt tej „niedoskonałości” jest narzucony przez pierwszą postać drgań własnych $\phi(s)$. W smukłych konstrukcjach pionowe obciążenie grawitacyjne ($G$) działające na wychylony wierzchołek generuje dodatkowe momenty zginające. Zastosowanie algorytmów Pappa i Szalaia (zaimplementowanych m.in. w silniku Consteel [13]) pozwala na nieliniową amplifikację naprężeń (efekt P-Delta), co jest niezbędne dla rzetelnej weryfikacji Stanu Granicznego Nośności (SGN) kominów stalowych.

Wzbudzenie wirowe i drgania parametryczne

Drgania występujące w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku wiatru powstają wskutek odrywających się periodycznych, naprzemiennych wirów Karmana ( rys. 1, 2 i 3) na stronie zawietrznej trzonu komina. [14].

Rys. 1. Ścieżka wirowa Karmana za kominem cylindrycznym [15]

Rys. 2 Tworzenie ścieżki wirowej Karmana [15]

Rys, 3 Ścieżka wirowa Karmana [14]

Wzbudzenie wirowe (ang. vortex shedding) w literaturze rosyjskiej określane jest jako drgania parametryczne, czyli drgania wywołane okresową zmianą parametrów układu (np. sztywności lub siły osiowej), a w tym przypadku odrywaniem się wirów wiatrowych (Rys.1).

Częstotliwość $f$ liczona w Hz i częstotliwość kątowa $\omega$ odrywania się wirów od cylindra o średnicy $D$ wyrażają się wzorami:

\[ f = \cfrac{St \cdot v}{D} \quad [Hz] \Rightarrow \omega = 2\pi  f = \cfrac{2\pi \cdot St \cdot v}{D} \quad [rad/s] \tag{1} \label{1} \]

gdzie:
$v$ – prędkość strugi (wiatru) [m/s];
$D$ – średnica cylindra [m];
$St$ – liczba Strouhala, zależna od kształtu konstrukcji. Zgodnie z tab. E.1 [5]. Dla cylindra można przyjąć $St = 0,18$ niezależnie od turbulencji wiatru (dla wszystkich liczb Reynoldsa $Re$). Dla bardzo gładkich cylindrów przy wysokich liczbach Reynoldsa ($Re > 10^6$) liczba ta może wprawdzie wzrosnąć, co wpływa na wyższą prędkość krytyczną, ale przyjęcie $0,18$ jest bezpiecznym i standardowym założeniem projektowym.

W rezultacie odrywania się wirów na cylinder działa dynamiczne obciążenie F, prostopadłe do kierunku wiatru, zmienne w czasie zgodnie z formułą [15]:

\[  F(t) = c_k \cdot \cfrac {\rho \cdot v^2 } {2}A_y \cdot sin(\omega t) \tag{2} \label {2} \]

gdzie:
$A_y$  – rzut powierzchni konstrukcji na płaszczyznę prostopadłą do kierunku wiatru;
$c_k$ – współczynnik naporu,  dla walcowego cylindra można przyjąć $c_k=1$;
ρ – gęstość strugi (w tym przypadku powietrza). Wartością zalecaną gęstości powietrza  jest  $\rho = 1,25\, kg/m^3$ [5].

Z formuły ($\ref{2}$) wynika, że siła wiatru $F$ zwiększa się proporcjonalnie wraz ze zwiększaniem gęstości otoczenia obmywającego konstrukcję. Konstrukcja zanurzona w wodzie podczas drgań parametrycznych będzie poddana wielokrotnie większym siłom. Drgania parametryczne łodzi w wodzie można zaobserwować już przy prędkości łodzi 8 km/h, a amplitudy drgań mogą być nawet 30 razy większe od średnicy łódki.

Wzbudzenie wirowe i zjawiska niestateczności aeroelastycznej przedstawiono w Załączniku E do normy obciążenia wiatrem [5]. Średnicę komina oznacza się konsekwentnie jako $D$, podczas gdy w normie [5] używa się oznaczenia $b$.

Średnicę komina oznacza się konsekwentnie jako $D$, podczas gdy w normie [5] używa się oznaczenia $b$.

Rezonans wiatrowy i prędkość krytyczna wiatru

Rezonans wiatrowy (wirowy) występuje wówczas, gdy częstotliwość odrywania wirów ($\ref{1}$) zrówna się z $i$-tą częstotliwością drgań własnych komina $n_{i,y}$ w płaszczyźnie $Y$, prostopadłej do kierunku działania wiatru w terenie $X$. Odpowiadająca jej prędkość wiatru $v_{crit,i}$ nazywana jest „$i$-tą prędkością krytyczną” i można ją wyznaczyć z formuły ($\ref{3}$).

Częstotliwość drgań własnych stowarzyszona jest z postaciami drgań pokazanymi na Rys. 4 według polskiej normy [16] oraz na Rys. 5 według Eurokodu [5].

Rys.4 Postacie drgań własnych komina wolnostojącego: a) pierwsza posrać, b)druga postać drgań

Rys.4 Postacie drgań własnych komina wolnostojącego: a) pierwsza postać, b) druga postać drgań [16]

Rys. 5. Postacie drgań komina i odcinki korelacyjne [5]

W przypadku umiarkowanych drgań parametrycznych, mierzonych amplitudą $y_{F,max} < 0,12 \cdot D$, występuje zgodność pomiędzy starą normą polską i Eurokodem. Długości korelacyjne $L_1$ i $L_2$ wynoszą bowiem $6D$. Jest to najczęściej spotykany przypadek. Dla schematów statycznych kominów innych niż wspornikowy (np. z odciągami) lub przy większych amplitudach należy korzystać z wytycznych [5], pkt E.1.5.2.

Krytyczna prędkość wiatru

Krytyczną prędkość wiatru związaną z $i$-tą wartością własną $v_{crit,i}$ uzyskamy po zrównaniu częstotliwości odrywania się wirów $f$ (wzór $\ref{1}$) z częstotliwością drgań własnych $n_{i,y}$ (w płaszczyźnie $y$ prostopadłej do kierunku wiatru). Stosowną formułę z normy [5], oznaczoną jako (E.2), można zapisać w postaci:

\[ v_{crit,i} = \cfrac{D \cdot n_{i,y}}{St} \tag{3} \label{3} \]

gdzie: Liczba Strouhala $St$  dla przekroju kołowego kominów wynosi standardowo $St = 0,18$.

Oddziaływanie wirów Karmana na komin zależy od liczby Reynoldsa $Re$ w sposób pokazany na Rys. 2.  Przy krytycznej prędkości wiatru $v_{crit.i}$ ($\ref{3}$)  liczbę Reynoldsa można wyznaczyć z formuły [5]:

\[ R_e(v_{crit,i}) =\cfrac {b \cdot  v_{crit,i}}{\nu} \tag{4} \label {4} \]

gdzie $\nu$ – lepkość kinematyczna powietrza  $\nu= =15\cdot 10^{-6} \, m^2/s$

Kryterium rezonansu wiatrowego

W praktyce kryterium rezonansu wiatrowego przyjmuje się w następujący sposób:

\[ \begin{cases}
\text { Jeśli } v_{crit} > 1,25 \cdot  v_m  \Rightarrow &  \text{ rezonans mało prawdopodobny }\\
\text { Jeśli } v_{crit} \le 1,25 \cdot  v_m \Rightarrow &  \text{ rezonans wystąpi }\\
\end {cases} \tag{5} \label{5} \]

gdzie $v_m$ – średnia prędkość wiatru  PN-EN.3

Kryterium ($\ref{5}$) jest wstępne i uproszczone. Nie uwzględnia intensywności turbulencji wiatru ($I_v$), która w naturze jest kluczowa, ale pozwala szybko ocenić niebezpieczęństwo wystapienia rezonansu wirowgo komina.

Jeśli $v_{crit}$ jest znacznie wyższe niż prędkość wiatru w danej lokalizacji ($v_m$), sprawa jest zamknięta, ale w przeciwenym przypadku należy stosować uściślone kryterium, stosowane już przy znajomośći większości parametró komina  przedstawiono jako kryterium projektowe w postaci formuły ($\ref{46}$).

Kryterium ($\ref{46}$) jest fizycznie bardziej poprawne, ponieważ zawiera składnik fluktuacji $(1 + 0,7 \cdot I_v)$. Rezonans nie występuje w jednym, idealnym punkcie prędkości wiatru. Ze względu na turbulencję ($I_v$), obszar „niebezpiecznych” prędkości jest rozmyty. Współczynnik $0,7$ wewzorze ($\ref{46}$) jest bezpiecznym buforem, który rozszerza zakres częstotliwości, dla których sprawdzamy konstrukcję. Wymuszenie zwiększenia prędkości krytycznej o 25% (mnożnik 1,25) względem $v_{max}$ z uwzględnieniem turbulencji ma na celu „wypchnięcie” piku rezonansowego poza zakres wiatrów występujących najczęściej w danej lokalizacji.

Częstotliwość drgań własnych komina

Poniżej przedstawiono uproszczoną procedurę normową do wyznaczania pierwszej częstotliwości drgań własnych komina z formuły ($\ref{6}$), wyprowadzonej dla idealnego wspornika. W praktyce stosuje się segmentową zmianę grubości ścianek (zmniejszenie sztywności $EI$ w górnych partiach) oraz uwzględnia podatność fundamentowania i posadowienie komina na odkształcalnym podłożu, więc formułę ($\ref{6}$) należy zmodyfikować w kierunku mniejszej wartości o (2–10)%.

Dla częściej stosowanych, bardziej złożonych konstrukcji kominów (Kominy stalowe), jako procedurę podstawową zaleca się wyliczenie częstotliwości $n_i$ za pomocą oprogramowania MES, z uwzględnieniem rzeczywistego schematu statycznego, zmian sztywności, sprężystego zamocowania w bloku fundamentowym, podatności podłoża gruntowego oraz zawieszonych dodatkowych mas (galerii, drabin itp.).

Z punktu widzenia projektowego ważne jest wyznaczenie kilku częstotliwości drgań własnych $n_i$ ($i = 1, 2, 3, \ldots$). Rezonans wiatrowy (po przejściu przez drgania związane z pierwszą wartością własną) może doprowadzić do awarii przy kolejnych postaciach drgań. Kolejne drgania parametryczne powstają bowiem przy coraz większych prędkościach wiatru i rośnie wytężenie w kierunku wiatru $X$. Łączne działanie quasistatyczne w kierunku $X$ i dynamiczne w kierunku $Y$ (prostopadłym do kierunku wiatru) może być bardziej niekorzystne niż złożenie działań przy pierwszej postaci drgań własnych. To samo dotyczy zmęczenia, gdyż zmienia się także liczba cykli obciążenia ($\ref{14}$).

Pierwsza częstość drgań własnych, Formuła uproszczona dla komina wspornikowego

Wiatr przy zwiększaniu prędkości spowoduje najpierw drgania własne zgodne z pierwszą postacią drgań ($i=1$). Pierwszą częstotliwość $n_1$ drgań własnych kominów wspornikowych, pokazanych na Rys. 6, można wyznaczyć ze wzoru (F.2) [5]:

\[  n_1 = \cfrac{\varepsilon_1 \cdot D}{h^2_{eff}} \sqrt{\cfrac{m_s}{m_t}} \tag{6} \label{6} \]

gdzie:
$\varepsilon_1$ – współczynnik liczbowy (1000 dla kominów stalowych, 700 dla kominów żelbetowych i murowanych);
$D$ – średnica komina przy wierzchołku;
$h_1 = h$ – wysokość komina;
$h_{eff} = h_1 + h_2/3$ – efektywna wysokość komina ($h_1$ i $h_2$ wg Rys. 6);
$m_s$ – liniowa masa konstrukcyjna [kg/m], która odpowiada za sztywność giętną konstrukcji (tutaj rury stalowej);
$m_t$ – całkowita masa komina, suma mas konstrukcyjnych oraz wszystkich mas niekonstrukcyjnych (izolacja, blacha osłonowa, drabiny, masa wkładu, jeśli opiera się na płaszczu) zliczona na tym samym odcinku komina co $m_s$. .

Rys. 6. Parametry geometryczne komina [17]

Masy $m_s$ lub $m_t$ przyjmowane do wyznaczenia częstotliwości to masy w obszarach o największej amplitudzie dla całego komina, skorelowane z odcinkami korelacyjnymi przedstawionymi na rys. 5.

Masa  równoważna do częstotliwości

Jeśli częstotliwość drgań własnych nie została wyznaczona w programie komputerowym, dla komina wspornikowego można zastosować uproszczenie normowe ($\ref{6}$). W przypadku podziału komina na segmenty o różnej sztywności $S_i$ ($i=1, \dots, s$ – liczba segmentów), w miejsce $m_s$ i $m_t$ należy zastosować masę równoważną, dla skrócenia zapisu oznaczaną łącznie jako $m_{s,t,eq}$. Masę równoważną wylicza się jako średnią ważoną kwadratem postaci drgań (masa na górze ma większy wpływ na częstotliwość niż masa przy fundamencie).

Dla komina podzielonego na $s$ segmentów $S_i$, formułę do wyznaczenia masy równoważnej można sprowadzić do postaci dyskretnej:

\[ m_{(s,t),eq} \approx \cfrac{ \sum \limits_{i=1}^s w_i \cdot m_{(s,t,i)}}{\sum \limits_{i=1}^s w_i } =\sum \limits_{i=1}^s \bar w_i \cdot m_{(s,t,i)} \tag{7} \label{7} \]

Wagę segmentu $i$ komina na odcinku $[z_1, z_2]$ wyznaczamy z całki:

$$ w_i = \int \limits_{z_1}^{z_2} \phi_1(z)^2 dz \tag{8} \label{8} $$

Po podstawieniu pierwszej postaci własnej z aproksymacji ($\ref{13}$) i po scałkowaniu, otrzymamy $w_i = \cfrac{1}{5} \cdot \left[ \cfrac{z^5}{h^4} \right]_{z_1}^{z_2}$. Stąd unormowana waga $\bar w_i$ segmentu komina rozciągniętego na odcinku $[z_1; z_2]$ wynosi:

$$ \bar w_i = \left[ \cfrac{z^5}{h^4} \right]_{z_1}^{z_2} \tag{9} \label{9} $$

Normą jest suma wag $\sum \bar w_i$ ($i=1, \dots, s$), która wynosi $1$, a normalizacja polega na operacji $\bar w_i = \cfrac{w_i}{1/5}$.

Przy podziale komina na trzy segmenty o równej długości otrzymano (numeracja od góry komina):

\[ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text{Segment} & \text{Położenie } [z/h] & \text{Waga } \bar w_i \\
\hline \text{S1 (góra)} & 0,67 – 1,00 & 0,868 \\
\text{S2 (środek)} & 0,33 – 0,67 & 0,128 \\
\text{S3 (dół)} & 0,00 – 0,33 & 0,004 \\
\hline\end{array} \tag{10} \label{10} \]

Przy podziale komina na cztery segmenty o równej długości otrzymano:

\[ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text{Segment} & \text{Położenie } [z/h] & \text{Waga } \bar w_i \\
\hline \text{S1 (góra)} & 0,75 – 1,00 & 0,763 \\
\text{S2 (góra-środek)} & 0,50 – 0,75 & 0,206 \\
\text{S3 (środek-dół)} & 0,25 – 0,50 & 0,030 \\
\text{S4 (dół)} & 0,00 – 0,25 & 0,001 \\
\hline \end{array} \tag{11} \label{11} \]

W każdym przypadku zachodzi: $\sum \bar w_i = 1$.

Oddziaływania wzbudzenia wirowego

Siły dynamiczne prostopadłe do kierunku wiatru

Drgania parametryczne powodują działanie dynamicznych sił prostopadłych do kierunku wiatru ($\ref{2}$), które przy prędkości krytycznej wiatru można obliczyć z sił bezwładności $F_w(s)$, działających na jednostkę długości w miejscu $s$ komina, zgodnie z zależnością (E.6) [5]:

\[  F_w(s) = m(s) \cdot (2 \pi n_{i,y})^2 \cdot \phi_{i,y}(s) \cdot y_{F,max} \tag{12} \label{12} \]

gdzie:
$m(s)$ – masa drgająca na jednostkę długości [kg/m]. W przypadku zmiennej grubości ścianek, do obliczenia siły $F_w(s)$ w konkretnym punkcie używamy masy rzeczywistej tego segmentu $m(s)$, ale do wyznaczenia samej amplitudy $y_{F,max}$ (która jest stała dla całej postaci drgań) należy najpierw wyliczyć $m_e$ (masę równoważną);
$\phi_{i,y}$ – postać drgań własnych konstrukcji unormowana do $1$ w punkcie maksymalnego przemieszczenia;
$y_{F,max}$ – maksymalne przemieszczenie w czasie, w miejscu w którym $\phi_{i,y}=1$.

Podstawową postać drgań własnych komina można przyjąć zgodnie z [5], załącznik F.2, w formie:

$$ \phi_1 (z) = \left( \cfrac {z}{h} \right)^\varsigma \tag{13} \label{13} $$

gdzie:
$z = s$ (współrzędna bieżąca);
$\varsigma$ – wykładnik potęgowy, który dla wież i kominów przyjmuje się jako $\varsigma=2,0$, a dla stalowych wież kratowych $\varsigma=2,5$.

Liczba cykli obciążenia

Liczbę cykli obciążenia wywoływanych drganiami parametrycznymi można obliczyć zgodnie z normą [5], (E.10):

$$ N = 2 \cdot T \cdot n_y \cdot \varepsilon_0 \cdot k_{crit} \cdot e^{-k^2_{crit}} \tag{14} \label{14} $$

gdzie:
$k_{crit} = \cfrac{v_{crit}}{\nu_0}$;
$v_{crit}$ – krytyczna prędkość wiatru ($\ref{3}$);
$\nu_0$ – $20\%$ wartości charakterystycznej średniej prędkości wiatru $v_m(z)$ według zależności PN-EN (prędkość wiatru przyjmowana dla standardowego obciążenia wiatrem);
$n_y$ – częstotliwość drgań własnych w poprzek kierunku wiatru według wzoru ($\ref{6}$);
$\varepsilon_0$ – współczynnik szerokości pasma (przyjmuje się $\varepsilon_0 = 0,3$);
$T$ – przewidywany czas użytkowania komina w sekundach (czas użytkowania w latach należy przemnożyć przez $3,2 \cdot 10^7$).

We wzorze ($\ref{14}$) występuje częstotliwość własna w kierunku poprzecznym do wiatru $n_y$. Jeśli komin ma przekrój kołowy, to $n_{i,x} = n_{i,y}$ (częstotliwości w obu kierunkach są identyczne). Jeśli jednak komin znajduje się np. w grupie lub posiada konstrukcję wsporczą, wartości te mogą się różnić.

Formuła ($\ref{14}$) uwzględnia statystyczny czas występowania prędkości krytycznej $v_{crit}$ w danej lokalizacji zgodnie z rozkładem Weibulla. Liczba cykli drgań parametrycznych w okresie eksploatacji (np. 50 lat) może sięgać rzędu $10^6 \div 10^8$, co oznacza wystąpienie mechanizmu zmęczenia wysokocyklowego. 

Amplituda drgań poprzecznych

Amplitudę drgań $y_{F,max}$ w poprzek kierunku wiatru można wyznaczać zgodnie z zał. E.1.5.2 [5] wg zależności:

$$ y_{F,max} = D \cdot \cfrac{1}{St^2} \cdot \cfrac{1}{Sc} \cdot K \cdot K_w \cdot c_{lat} \tag{15} \label{15} $$

gdzie:
$D$ – średnica komina;
$St = 0,18$ – liczba Strouhala dla walca;
$K$ – współczynnik efektywnej długości korelacyjnej. Dla komina wspornikowego $K = 0,13$ wg tab. E.5 [5];
$K_w$ – współczynnik postaci drgań. Dla komina wspornikowego wg tab. E.5 [5]:

$$ K_w = 3 \cdot k_w \cdot \left(1 – k_w + \cfrac{k_w^2}{3}\right) \tag{16} \label{16} $$

gdzie:
$k_w = \cfrac{L_j/D}{\lambda}$;
$L_j/D = 6$ wg Rys. 6 dla najczęściej występujących przypadków;
$\lambda = h/D$ ($h$ – wysokość, $D$ – średnica komina);
$c_{lat}$ – współczynnik siły bocznej.

Dla prędkości krytycznej wiatru $v_{crit} < 83\%$ średniej prędkości wiatru $v_m$ przyjmuje się $c_{lat} = c_{lat,0}$, gdzie podstawowy współczynnik siły bocznej $c_{lat,0}$ dla walca kołowego można odczytać z Rys. 7 w zależności od liczby $Re$.

Rys. 7. Podstawowy współczynnik siły bocznej walca kołowego [5]

Kominy z izolacją z blachy trapezowej będą miały inną charakterystykę niż gładkie kominy malowane. Współczynnik siły bocznej $c_{lat,0}$ zależy bowiem nie tylko od $Re$, ale również od chropowatości powierzchni ($k/D$).

Wielkość $y_{F,max}$ ($\ref{15}$) to amplituda drgań, czyli maksymalne wychylenie od położenia równowagi (jednostronne). W analizie zmęczeniowej kluczowe znaczenie ma zakres naprężeń (stress range), który wynika z pełnego wychylenia konstrukcji, czyli z wartości od $-y_{F,max}$ do $+y_{F,max}$. Oznacza to, że do obliczeń zmęczeniowych przyjmuje się zakres przemieszczenia równy $2 \cdot y_{F,max}$.

Liczba Scrutona i tłumienie

Liczbę Scrutona ($Sc$)  jest kluczowym parametrem decydującym o amplitudzie drgań i można ją wyliczyć z zależności:

$$ Sc = \cfrac{2 \cdot \delta_s \cdot m_{e,i}}{\rho \cdot D^2} \tag{17} \label{17} $$

gdzie: $\delta_s$ – logarytmiczny dekrement tłumienia konstrukcyjnego, czyli miara zdolności konstrukcji do rozpraszania energii drgań (zqykle  $0,01 \div 0,02$);
$m_{e,i}$ – masa równoważna na jednostkę długości masa przypadająca na metr bieżący dla $i$-tej postaci drgań, (szczegóły niżej);
$\rho = 1,25 \,  kg/m^3$.
$D\, [m]$ – Średnica zewnętrzna trzonu: szerokość przekroju poprzecznego w miejscu, gdzie dochodzi do odrywania się wirów (zazwyczaj w górnej części komina).

Masa równoważna do wzbudzenia wirowego

Zgodnie z teorią dynamiki budowli równoważną masę drgającą wyznacza się jako iloraz całek z rozkładu masy oraz kwadratu postaci drgań własnych na całej wysokości konstrukcji:

$$ m_e = \cfrac{\int \limits_{0}^{h} m(s) \phi^2(s) ds}{\int \limits_{0}^{h} \phi^2(s) ds} \tag{18} \label{18} $$

Zmienna $h$ w ($\ref{18}$) oznacza całkowitą wysokość komina, $m(s)$ jest rozkładem masy jednostkowej, natomiast $\phi(s)$ reprezentuje funkcję postaci drgań, którą dla pierwszej postaci drgań można aproksymować funkcją potęgową ($\ref{13}$). Postać drgań własnych powinna być unormowana do jedności na wierzchołku komina ($ z = h$).

Formułę ($\ref{18}$) można przedstawić w reprezentacji dyskretnej:

• Węzłowej – dogodnej do obliczeń w modelu z dyskretnymi węzłami ($i=1, \dots, n$) z masami skupionymi $M_i$ oraz przemieszczeniami modalnymi $\phi_i$ uzyskanymi z analizy modalnej w węzłach modelu MES. Reprezentacja ta jest stosowana przy eksporcie danych z modelu MES, gdzie masa jest skupiona w węzłach modelu. W przypadku korzystania z rzeczywistych wyników z modelu MES nie stosujemy już aproksymacji wielomianowej ($\ref{13}$), ale wykorzystujemy rzeczywiste wartości wektora własnego $\phi_i$ wyznaczone przez solver dla każdego węzła. W tej reprezentacji mianownik (całka z kwadratu postaci) musi zostać zastąpiony sumowaniem iloczynów kwadratu przemieszczenia modalnego i długości odcinka przypisanego do węzła ($\Delta z_i$), aby zachować sens fizyczny masy na jednostkę długości:

$$ m_e = \cfrac{\sum \limits_{i=1}^{n} M_{i} \cdot \phi_i^2}{\sum \limits_{i=1}^{n} \phi_i^2 \cdot \Delta z_i} \tag{19} \label{19} $$

2. Segmentowej – dogodnej do obliczeń tradycyjnych komina wspornikowego podzielonego na $s$ segmentów o masie $m_s$ oraz długości $\Delta s_s$, z zastosowaniem aproksymacji ($\ref{13}$) [$\phi_1 = (z/h)^2$]. Reprezentacja stosowana w obliczeniach tradycyjnych dla komina podzielonego na segmenty o masie jednostkowej $m_s$:

$$ m_e = \sum \limits_{s=1}^{k} m_s \cdot \bar w_s \tag{20} \label{20} $$

gdzie unormowana waga segmentu ($\ref{9}$) $\bar w_s$ wyznaczana jest z różnicy rzędnych potęgowych:

$$ \bar w_s = \cfrac{z_{s+1}^5 – z_s^5}{h^5} \tag{21} \label{21} $$Porównanie masy równoważnej w analizie częstotliwości i wzbudzenia wirowegoTożsamość matematyczna mas równoważnych

Z przeprowadzonej analizy wynika istotny wniosek: masa równoważna stosowana do uproszczonego wyznaczania częstotliwości drgań własnych ($m_{s,t,eq}$) oraz masa efektywna do analizy wzbudzenia wirowego ($m_e$) są pojęciami tożsamymi, o ile przyjmuje się tę samą aproksymację postaci drgań $\phi(z)$.

W obu przypadkach stosuje się zasadę średniej ważonej kwadratem przemieszczenia modalnego. Po podstawieniu aproksymacji $\phi_1(z) = (z/h)^2$, unormowane wagi segmentowe $\bar w_i$ dla obu zagadnień przyjmują identyczną postać [porównanie wzorów ($\ref{9}$) oraz ($\ref{21}$)]. Wykazana zgodność pozwala na stosowanie jednolitego modelu masowego dla obu etapów obliczeń, co istotnie upraszcza algorytmizację obliczeń.

Tożsamość mas  równoważnych do częstotliwoxi oraz do wzbudzenia wirowego  pozwala również w tym przypaku  stosowwać wagi  zestawione w tabeli ($\ref{10}$) dla trzech segmentów lub ($\ref{11}$) dla czterech bez dostępu do zaawansowanych solverów MES, to znaczy wykorzystanie reprezentacji segmentowej ($\ref{20}$) z unormowanymi wagami ($\ref{21}$) pozwala na precyzyjne wyznaczenie liczby Scrutona, eliminując błąd zawyżania bezpieczeństwa przez dolne, masywne części trzonu i fundamentu, które w rzeczywistości prawie nie uczestniczą w procesie rozpraszania energii drgań własnych.

Dotychczasowa praktyka projektowa często wprowadzała nieuzasadnione rozróżnienie między masą przyjmowaną do wyznaczania parametrów dynamicznych (częstotliwości), a masą do obliczeń aerodynamicznych. Prowadziło to do błędów, a przede wszystkim:

• Zawyżanie bezpieczeństwa (przecenianie $m_e$): Tradycyjne przyjmowanie masy średniej z całej wysokości lub masy z górnej $1/3$ wysokości jako stałej wartości $m_e$ często nie doceniało wpływu ciężkiego wyposażenia (np. drabin, galerii) znajdującego się nieco poniżej wierzchołka, ale wciąż w strefie wysokich amplitud.
• Ignorowanie bezwładności wyposażenia: Częstym błędem było uwzględnianie masy wyposażenia w statyce, a pomijanie jej w mianowniku liczby Scrutona ($Sc$). Tymczasem masa osprzętu, o ile jest trwale połączona z trzonem, działa korzystnie – zwiększa energię kinetyczną układu i „zakotwicza” go dynamicznie, co redukuje amplitudę wzbudzenia wirowego $y_{max}$.

Obszary wzbudzenia i długości korelacyjne

W schematach wieloprzęsłowych (np. komin wsparty na ruszcie) drgania poprzeczne mogą być wzbudzane niezależnie w każdym przęśle. Obszar wzbudzenia to każdy odcinek, na którym spełniony jest warunek:

\[  |\phi(s)| \ge 0,85 \cdot \phi_{max, przęsło} „>$$ |\phi(s)| \ge 0,85 \cdot \phi_{max, przęsło} \tag{22} \label{22} \]

Jeśli komin ma stałą średnicę na dużej wysokości, odcinki korelacyjne mogą się sumować, co drastycznie zwiększa siłę wzbudzenia.

Współczynnik konstrukcyjny (dynamiczny)

Wartość współczynnika konstrukcyjnego $(c_s c_d)$ wg normy [5] dla kominów stalowych jest niemal zawsze wyższa niż 1,0 ze względu na ich dużą smukłość i niskie tłumienie. Oblicza się go zgodnie z zasadami przedstawionymi w załączniku D normy.

Współczynnik $(c_s c_d)$ jest iloczynem dwóch składowych:

• Współczynnik rozmiaru ($c_s$): Zazwyczaj wynosi ok. $0,9 \div 0,95$. Kominy są „wąskie”, więc poryw wiatru uderza w niemal całą szerokość konstrukcji jednocześnie (mała redukcja ze względu na rozmiar).
• Współczynnik dynamiczny ($c_d$): Dla stali jest wysoki, często powyżej $1,1 \div 1,2$, ponieważ stal ma bardzo niski logarytmiczny dekrement tłumienia. Konstrukcja słabo wygasza energię przekazaną przez wiatr.

Iloczyn $(c_s c_d) \approx (0,9 \div 0,95) \cdot (1,1 \div 1,2) = 1,0 \div 1,15$.

Inżynierskie wartości współczynnika konstrukcyjnego dla kominów stalowych

W praktyce inżynierskiej, dla wolnostojących kominów stalowych, wartości te kształtują się następująco:

$$ (c_s c_d) \approx \begin{cases} 1,0 \div 1,05, & \text{dla kominów sztywnych (niskich i krępych)} \\ 1,05 \div 1,15, & \text{dla standardowych kominów stalowych ($h = 20 \div 40$ m)} \\ 1,2, & \text{dla kominów smukłych i wiotkich} \end{cases} \tag{23} \label{23} $$

Dla kominów bardzo smukłych wartości $(c_s c_d)$ mogą przekraczać $1,2$. Jednak przy tak wysokim współczynniku konstrukcja zazwyczaj wymaga przeprojektowania (zwiększenia sztywności) lub zastosowania tłumików, ponieważ amplitudy drgań stają się niebezpieczne.

Dla kominów stalowych, dla których nie stosuje się uproszczeń (wzór $\ref{23}$), należy wykonać obliczenia według algorytmu:

1. Określenie częstotliwości drgań własnych ($n_{1,x}$): Im niższa częstotliwość (bardziej wiotki komin), tym wyższe $(c_s c_d)$.
2. Obliczenie odpowiedzi rezonansowej ($R^2$): Zależy od gęstości widmowej mocy wiatru dla częstotliwości komina.
3. Przyjęcie tłumienia ($\delta$): Dla kominów stalowych spawanych bez wykładziny przyjmuje się $\delta \approx 0,012$, a z izolacją i płaszczem ok. $\delta \approx 0,02$. Im mniejsze tłumienie, tym wyższy wynik końcowy.

Przy wstępnych założeniach dla typowego komina stalowego o wysokości ok. $30$ m można przyjąć $(c_s c_d) = 1,1$, ale finalny projekt musi zostać zweryfikowany obliczeniami dynamicznymi uwzględniającymi konkretną masę i sztywność rury spawanej.

Współczynnik konstrukcyjny a wzbudzanie wirami

Należy wyraźnie rozróżnić dwie sytuacje:

• Współczynnik $(c_s c_d)$: Odnosi się do drgań wzdłużnych, zgodnych z kierunkiem wiatru (buffeting).
• Wzbudzanie wirami (vortex shedding): Odnosi się do drgań poprzecznych.

Dla kominów stalowych to właśnie wzbudzanie wirami (zjawisko rezonansu poprzecznego) jest zazwyczaj decydujące i powoduje znacznie większe siły niż te wynikające z samego współczynnika $(c_s c_d)$.

Kryteria projektowe i weryfikacyjne  kominów

Warunek wytrzymałości w naprężeniach i przemieszczeniach quasistatycznych (w kierunku wiatru X)

Warunek wytrzymałości w naprężeniach na kierunku wiatru X

Warunek wytrzymałości na obciążenia quasistatyczne wiatru (w kierunku X) można zapisać w postaci:

$$ \sigma_X \le f_y \tag{24} \label{24} $$

gdzie: $\sigma_X = \sigma_{HMH}^{II}$ – naprężenia zastępcze według hipotezy HMH (Hubera-Misesa-Hencky’ego) z uwzględnieniem efektów nieliniowych:

1. globalnych: analiza II rzędu z imperfekcjami lub zastosowanie współczynników wyboczenia i zwichrzenia;
2. lokalnych: uwzględnienie niestateczności miejscowej płaszcza ściskanego obwodowo i wzdłuż pobocznic, wywołanej parciem quasistatycznym;$f_y$ – granica plastyczności (wytrzymałość stali); dla najczęściej stosowanej stali S355 $f_y = 355 \text{ MPa}$.

Warunek ($\ref{24}$) dla parcia maksymalnego musi być spełniony przed analizą rezonansu. Jeśli rezonans nie występuje, warunki ($\ref{24}$) oraz ($\ref{25}$) są wystarczające dla oceny trzonu w kierunku X. W przeciwnym razie należy przejść do analizy poprzecznej (kierunek Y).

Po dodaniu turbulizatorów należy skorygować współczynnik oporu $c_f$ i powrócić do początku procedury, aby ponownie sprawdzić warunki parcia quasistatycznego ($\ref{24}$ i $\ref{25}$). Dla przekrojów z turbulizatorami (helisami) przyjmuje się $c_f$ w zakresie $1,2 \div 1,5$, a w praktyce inżynierskiej najczęściej $1,4$.

Warunek wytrzymałości w przemieszczeniach quasistatycznych na kierunku wiatru X

Ograniczenie strzałki ugięcia od parcia statycznego wynika z wymagań funkcjonalnych obiektu i można je zapisać w postaci:

\[ f_X \le \delta_{X,dop} \tag{25} \label{25} \]

gdzie: dopuszczalna strzałka wygięcia (maksymalne przemieszczenie trzonu komina w kierunku X od parcia quasistatycznego) jest przyjowna jako ułamek wysokości komina $h$

\[f_{X,dop}\begin{cases}
\cfrac{h}{100} & \mathbf{warunek\, ostry} \to \text {kominy z osprzętem wrażliwym}\\
\cfrac{h}{50} &\mathbf {warunek\, łagodny} \to \text { kominy  niewrażliwe} ( głównie wymogi etstyczne)} \\
\end{cases} \tag{25a} \label{25a} \]

w zależności od przeznaczenia obiektu:

• warunek ostry jest stosowany dla kominów z osprzętem wrażliwym (anteny, systemy CEMS) oraz dla układów z wkładami wewnętrznymi (ochrona izolacji i zachowanie szczelin);
• warunek łagodny jest dopuszczany dla prostych kominów jednoprzewodowych bez wyposażenia, gdzie kryterium jest głównie estetyczne.

Przemieszczenia dopuszczalne mogą przyjmować wartości pośrednie i zgodnie z ogólną zasadą ustalane są przez technologa oraz ostatecznie przez projektanta konstrukcji po przeprowadzeniu analizy specyfiki komina i wymagań dla elementów wyposażenia.

Obciążenie quasistatyczne wiatru

Obciążenie quasistatyczne wiatru rozłożone liniowo po wysokości osi komina $w_e(z)$, które wywołuje naprężenia $\sigma_X$, wyznacza się z zależności:

$$ w_e(z) = q_p(z) \cdot D \cdot \underbrace{(c_{f,0} \cdot \psi_\lambda)}_{\text{Aerodynamika}} \cdot \underbrace{(c_s c_d)}_{\text{Dynamika}} \tag{26} \label{26} $$

gdzie:
$q_p(z)$ – ciśnienie prędkości wiatru w porywach w kierunku X, wyznaczone zgodnie z procedurą normową PN-EN.9;
$D$ – średnica komina;
$c_f$ – współczynnik siły uwzględniający rozkład ciśnienia na obwodzie rury oraz realną, skończoną długość komina $h$ PN_EN.14;
$c_s c_d$ – współczynnik konstrukcyjny (dynamiczny) PN-EN.17.

Współczynniki $c_f$ oraz $c_s c_d$ są niezależne, ale oba związane są z tą samą geometrią komina ($\lambda = h/D$). Aby nie dublować tego wpływu, należy pilnować, by $c_f$ uwzględniało tylko parametry przepływu, a $c_s c_d$ tylko parametry drgań.

Współczynnik siły dla komina – cylindra

Współczynnik siły $c_f$ jest iloczynem współczynnika siły aerodynamicznej dla cylindra o nieskończonej długości ($c_{f,0}$) oraz współczynnika smukłości ($\psi_\lambda$):

$$ c_f = (c_{f,0} \cdot \psi_\lambda) \tag{27} \label{27} $$

Współczynnik $c_{f,0}$ odnosi się do czystego profilu kołowego i wynika z całkowania rozkładu ciśnienia zewnętrznego ($c_{pe}$):

$$ c_{f,0} = \cfrac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} c_{pe}(\alpha) \cdot \cos(\alpha) \, d\alpha \tag{28} \label{28} $$

Oznacza to, że projektant nie powinien całkować rozkładu ciśnenia zewnętrznego, bo współczynnik   siły podawany w normie jest już wynikiem całkowania.
Wartości $c_{f,0}$ są zintegrowane i dostępne w normie w formie wykresów w funkcji liczby Reynoldsa ($Re$) oraz chropowatości względnej ($k/D$). W typowych warunkach nadkrytycznych dla kominów $c_{f,0}$ oscyluje w granicach $0,6 \div 0,8$.

Dane dotyczące współczynnika smukłości $\psi_\lambda$:

• Jeśli $h < 15 \text{ m}$: $\lambda = 2,0 \cdot h/D$.
• Jeśli $h \ge 15 \text{ m}$: $\lambda = 1,4 \cdot h/D$.

Współczynnik $\psi_\lambda$ dąży do $1,0$ wraz ze wzrostem smukłości. Dla kominów o dużej smukłości (zwykle $\lambda > 30$) można przyjąć $\psi_\lambda \approx 1,0$, co oznacza, że efekt „ucieczki” wiatru nad wierzchołkiem jest pomijalny w stosunku do całkowitej siły parcia.

Warunek zmęczeniowy w amplitudzie naprężeń a liczba cykli drgań

Współczesne kominy stalowe rzadko ulegają awarii z powodu przekroczenia nośności statycznej pod wpływem maksymalnego parcia wiatru ($v_{max}$). Większość katastrof budowlanych wynika ze zmęczenia materiału, będącego skutkiem długotrwałych drgań o dużej amplitudzie, wywołanych rezonansem wiatrowym ($v_{crit}$) lub innymi zjawiskami. W przypadku zmęczenia na skutek rezonansu wiatrowego, gdy zachodzi warunek ($\ref{5}$), jedynym skutecznym rozwiązaniem – poza drastycznym zwiększaniem masy – jest zastosowanie przerywaczy (turbulizatorów, helis) lub tłumików masowych (TMD). Zastosowanie urządzeń dodatkowych zmienia charakterystykę aerodynamiczną i mechaniczną komina, co wymusza korektę obliczeń statycznych i dynamicznych.

Warunek zmęczeniowy

Najogólniejszym i najostrzejszym warunkiem sprawdzenia wytrzymałości komina jest warunek zmęczeniowy sformułowany w odniesieniu do amplitud naprężeń:

$$ \eta_\sigma \cdot \Delta\sigma_\bullet \le \cfrac{\Delta\sigma_c}{\gamma_{Mf}} \tag{29} \label{29} $$

gdzie:
$\eta_\sigma$ – sprawność przerywacza/tłumika ($\ref{34}$). Dla komina bez urządzeń aerodynamicznych (lub w fazie przed ich montażem) przyjmuje się $\eta_\sigma = 1$;
$\Delta\sigma_\bullet$ – amplituda naprężeń od oddziaływań zewnętrznych, gdzie
$\bullet=X$ oznacza kierunek X (quasistatyczne: buffeting, galloping, zmęczenie niskocyklowe), a
$\bullet=Y$ oznacza drgania poprzeczne w warunkach rezonansu wiatrowego (wzbudzenia wirowe);
$\Delta\sigma_c$ – wytrzymałość zmęczeniowa (dopuszczalna amplituda naprężeń), zależna od liczby cykli drgań $N$;
$\gamma_{Mf}$ – współczynnik bezpieczeństwa, zależny od konsekwencji zniszczenia oraz przyjętej strategii projektowej.

Dobór współczynnika $\gamma_{Mf}$ zależy od przyjętej strategii:

W strategii bezpiecznego zniszczenia (Safe Life) zależnie od konsekwencji zniszczenia współczynnik bezpieczeństwa wynosi:

Niskie konsekwencje uszkodzeń: $\gamma_{Mf} = 1,15$;
Wysokie konsekwencje uszkodzeń: $\gamma_{Mf} = 1,35$.

Strategia ta zakłada, że konstrukcja musi przetr`wać cały planowany okres użytkowania (np. 50 lat) bez powstania pęknięć, nawet przy braku szczegółowych inspekcji. Stosowana jest dla elementów o utrudnionym dostępie (np. wnętrze trzonu komina, spoiny pod izolacją) lub obiektów, w których pęknięcie jednego elementu powoduje natychmiastową katastrofę (brak redundancji). Konstrukcja jest cięższa i grubsza, ale cechuje się niższymi kosztami utrzymania.

W strategii dopuszczalnych uszkodzeń  (Damage Tolerant) zależnie od konsekwencji zniszczenia współczynnik bezpieczeństwa wynosi:

Niskie konsekwencje uszkodzeń: $\gamma_{Mf} = 1,00$;
Wysokie konsekwencje uszkodzeń: $\gamma_{Mf} = 1,15$.

Strategia dopuszcza możliwość powstania mikropęknięć przy założeniu, że zostaną one wykryte i naprawione, zanim zagrożą stabilności komina. Bezpieczeństwo opiera się na regularnym monitorowaniu (badania NDT).

Metody szacowania liczby cykli $N$ dla róznych rodzajów drgań

Wyznaczenie wytrzymałości zmęczeniowej $\Delta\sigma_c$ wymaga poprawnego oszacowania liczby cykli obciążeń $N$ w zależności od charakteru wzbudzenia:

• Wzbudzenie wirowe (wiry Karmana): Rozpatruje się drgania w kierunku poprzecznym ($Y$). Liczbę cykli odrywania się wirów w projektowym okresie użytkowania oblicza się z formuły ($\ref{14}$), co odpowiada sytuacji zmęczenia wysokocyklowego.
• Buffeting (porywistość wiatru): Wywołuje drgania wzdłużne ($X$) i poprzeczne ($Y$) o charakterze losowym. Liczbę cykli szacuje się metodą zliczania płatów (np. algorytm Rainflow counting) na podstawie syntetycznych szeregów czasowych parcia wiatru.
• Galopowanie: Dotyczy głównie kominów z osprzętem o przekroju niekołowym. Liczba cykli wynika z czasu trwania wiatrów o prędkościach powyżej prędkości startowej zjawiska.
• Obciążenia parasejsmiczne: Przypadek zmęczenia niskocyklowego ($10^1 \div 10^3$ cykli), gdzie o zniszczeniu decyduje duża amplituda odkształceń w krótkim czasie.

Po montażu przerywaczy (helis) komin przestaje drgać poprzecznie w rezonansie, ale staje się bardziej podatny na buffeting. Zwiększony współczynnik oporu powoduje, że każde wahnięcie od porywu wiatru generuje znacznie większy zakres naprężeń $\Delta\sigma_X$. Należy to sprawdzić szczególnie w spoinach podstawy.

Niezależnie od źródła drgań, końcowa weryfikacja polega na sprawdzeniu warunku wytrzymałości zmęczeniowej ($\ref{29}$) dla detali spawalniczych (kategorii karbu). Jeśli analiza wykaże przekroczenie dopuszczalnych naprężeń, niezbędna jest modyfikacja parametrów dynamicznych komina poprzez zastosowanie tłumików masowych (TMD) lub innych rozwiązań projektowych.

W niniejszym artykule nie zajmujemy się rodzajami drgań innymi niż wywołane wzbudzeniem wirowym.

Warunek przemieszczeń podczas rezonansu (w kierunku Y)

Relacja amplitudy drgań poprzecznych $y_{max} = y_{F,max}$ ($\ref{15}$) w stosunku do średnicy zewnętrznej komina (wyznaczonej w strefie korelacji, tj. ok. $1/3\,h$ od wierzchołka) decyduje o dalszym postępowaniu przy weryfikacji projektu:

\[ y_{max} \begin{cases}
\le \cfrac{D}{50} & \mathbf{ mała} \to \text {analiza zmęczeniowa jest zazwyczaj } \mathbf{ zbędna} \\
> \cfrac{D}{50} \, \wedge \, \le \cfrac{D}{20} &\mathbf { średnia} \to \text { weryfikacja detali spawalniczych jest } \mathbf{ obligatoryjna} \\
> \cfrac{D}{20} \, \wedge \, \le \cfrac{D}{10} &\mathbf { duża} \to \text { montaż urządzeń tłumiących jest } \mathbf{ konieczny} \\
> \cfrac{D}{10} & \mathbf{ wielka} \to \text { konstrukcja jest w } \mathbf{ stanie \, awaryjnym}
\end{cases} \tag{31} \label{31} \]

Rygorystycznym warunkiem zapewniającym stabilność aerodynamiczną (uniknięcie zjawiska lock-in) oraz ochronę przed utratą stateczności dynamicznej na skutek efektów II rzędu jest $\mathbf{D/10}$.Przekroczenie tej wartości uznaje się za stan zagrożenia konstrukcji.

W warunkach dużych wychyleń (powyżej $\mathbf{D/50}$ stal może wchodzić w zakres plastyczny, co w konsekwencji prowadzi do wystąpienia zmęczenia niskocyklowego.

Uzasadnienie kryterium stabilności i granicy geometrycznej

Przyjęcie limitu D/50  (kryterium stabilności) jako bezpiecznego „bufora” wynika z następujących przesłanek:

• Liniowość modelu aerodynamicznego: Modele normowe wg PN-EN 1991-1-4 zachowują ważność, dopóki drgania nie zdezorganizują przepływu (uniknięcie zjawiska lock-in).
• Efekty II rzędu: Przy wychyleniu rzędu $D/50$ dodatkowy moment od ciężaru własnego ($P-\Delta$) staje się istotny; większe ugięcia grożą utratą stateczności dynamicznej.
• Zmęczenie niskocyklowe: Limit ten chroni konstrukcję przed wejściem stali w zakres pracy plastycznej (szczególnie w strefie przyfundamentowej) po kilku gwałtownych incydentach wiatrowych.
• Uszkodzenia instalacji: Zapobiega mechanicznemu uszkodzeniu drabin, podestów oraz rozszczelnieniu połączeń wkładów wewnętrznych.

Limit D/10 (granica geometryczna)  (10% średnicy) jest  absolutnym maksimum, powyżej którego konstrukcja znajduje się w stanie bezpośredniego zagrożenia zniszczeniem. Przekroczenie tej wartości uznaje się za błąd projektowy wymagający natychmiastowego zastosowania tłumików.

Wymagania technologiczne (luz technologiczny)

Wymóg zachowania odstępu między płaszczem a wkładem (np. cegła, stal kwasoodporna, izolacja wewnętrzna), czyli luzu technologicznego $\Delta_{gap}$, prowadzi do ustalenia limitu $\delta_{dop,gap}$, który uwzględnia rozszerzalność cieplną oraz tolerancje montażowe:

$$ y_{max} \le \cfrac{\Delta_{gap}}{\gamma_M} \tag{32} \label{32} $$

gdzie:

• $y_{max}$ – maksymalne wychylenie wierzchołka w dowolnej sytuacji (X, Y, drgania);
• $\Delta_{gap}$ – wymagany luz wokół wkładu;
• $\gamma_M = 1,5$ – współczynnik pewności (zapasu).

Jeśli komin jest „czysty” (bez wkładek, np. stalowy komin jednoprzewodowy), stosuje się standardowe kryterium $D/50$. Jeśli na szczycie znajdują się systemy CEMS, anteny czy kamery, wartość $y_{dop}$ często musi zostać zaostrzona przez technologa odpowiedzialnego za te urządzenia (np. do $D/100$), aby zapewnić ciągłość pomiarów lub transmisji danych.

Weryfikacja komina w dwóch kierunkach wiatru (X i Y)

Projektowanie kominów stalowych poddanych działaniu wiatru wymaga jednoczesnego uwzględnienia dwóch odmiennych zjawisk fizycznych: statycznego naporu wiatru w kierunku wzdłużnym ($X$) oraz dynamicznego wzbudzenia wirowego działającego w kierunku poprzecznym ($Y$). Ze względu na dużą smukłość tych konstrukcji, kryteriami projektowymi są warunki nośności i użytkowalności w kierunkach $X$, $Y$ oraz kombinacji $X+Y$. Ponadto bezpieczeństwo jest weryfikowane nie tylko w odniesieniu do naprężeń, ale i przemieszczeń, których analiza często stosowana jest zamiennie do sprawdzania klasycznej trwałości zmęczeniowej zgodnie z normą PN-EN 1993-1-9.

Ze względu na statyczną niezależność parcia wiatru ($X$) i wzbudzenia wirowego ($Y$), sumowanie naprężeń w obu kierunkach odbywa się wektorowo. Obliczenia II rzędu są obligatoryjne ze względu na znaczną smukłość kominów, gdzie efekt $P-\Delta$ istotnie amplifikuje siły wewnętrzne przy dużych wychyleniach.

Interakcja zabezpieczeń (wpływ urządzeń przeciwwirowych)

Wybór metody tłumienia drgań indukowanych wirami Karmana jest decyzją rzutującą na cały model obliczeniowy komina. Projektant musi wyważyć korzyści dynamiczne względem „kosztu” aerodynamicznego, jaki generują wybrane zabezpieczenia.

Rozwiązanie problemu w fazie rezonansu (Etap $\ref{A}.4$) poprzez montaż turbulizatorów spiralnych wiąże się z istotnym pogorszeniem parametrów w fazie parcia maksymalnego (Etap $\ref{A}.1$). Turbulizatory skutecznie zakłócają przepływ, aby zapobiec odrywaniu się wirów, jednak odbywa się to kosztem zwiększenia oporu statycznego. W konsekwencji należy przyjąć zmodyfikowany współczynnik oporu ($c_{f, mod}$):

$$ c_{f, mod} = c_f \cdot (1 + \Delta c_f) \tag{33} \label{33} $$

gdzie przyjmuje się $\Delta c_f$ w zakresie $10\% \div 50\%$ (wartość zalecana $\approx 40\%$). Zastosowanie tak skorygowanego parametru wymusza powrót do etapu analizy statycznej ($\ref{A}.7$). Wzrost siły parcia statycznego może skutkować koniecznością przeprojektowania elementów konstrukcyjnych (w szczególności fundamentów oraz połączeń śrubowych segmentów montażowych). Skuteczność turbulizatorów w redukcji siły bocznej ($c_{lat}$) wynosi zazwyczaj $60 \div 80\%$.

Tłumiki masowe (TMD – Tuned Mass Dampers) stanowią alternatywę, która nie modyfikuje aerodynamiki komina, lecz zmienia jego odpowiedź mechaniczną. TMD montowany wewnątrz konstrukcji pozwala utrzymać współczynnik oporu ($c_f$) na poziomie nominalnym, co stanowi istotną przewagę w sytuacjach, gdy nośność fundamentu jest ograniczona. Zasada działania TMD polega na sztucznym podniesieniu logarytmicznego dekrementu tłumienia układu. W obliczeniach przyjmuje się wartość efektywną $\delta_{eff}$, znacznie wyższą od tłumienia materiałowego stali ($\delta_s \approx 0,012$). Wzrost ten redukuje amplitudę ($y_{max}$) zgodnie z równaniem ($\ref{15}$).

Wspólna miara skuteczności ($\eta_\sigma$)

Niezależnie od wybranej metody (turbulizatory czy TMD), celem obliczeń jest sprowadzenie odpowiedzi konstrukcji do zakresu bezpiecznego zmęczeniowo. Stosuje się uniwersalny współczynnik skuteczności $\eta_\sigma$, zdefiniowany jako stosunek zredukowanej amplitudy naprężeń do naprężeń bazowych:

$$ \eta_\sigma = \cfrac{\Delta\sigma_{po}}{\Delta\sigma_{przed}} \tag{34} \label{34} $$

W zakresie sprężystym (model liniowy) zachodzi relacja:

$$ \eta_\sigma = \cfrac{y_{po}}{y_{przed}} = \cfrac{M_{po}}{M_{przed}} = \cfrac{\Delta\sigma_{po}}{\Delta\sigma_{przed}} $$

Weryfikacja skuteczności przerywaczy powinna opierać się na wiarygodnych danych z badań modelowych publikowanych w:

• publikacjach naukowych  głównie Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics (JWEIA).
• raportach technicznych: publikacje International Committee on Industrial Chimneys (CICIND).
• certyfikatach wyrobów : producenci są zobowiązani do publikacji wyników badań tunelowych dla swoich wyrobów.

Dla tłumików (TMD) oraz okładzin skuteczność wyraża się wzorem:

$$ \eta_\sigma \approx \cfrac{\delta_s}{\delta_{total}} \tag{35} \label{35} $$

gdzie sumaryczny logarytmiczny dekrement tłumienia wynosi:

$$ \delta_{total} = \delta_s + \delta_{TMD} + \delta_{str} \tag{36} \label{36} $$

gdzie:
$\delta_s$ – tłumienie strukturalne samej konstrukcji stalowej ($\approx 0,02 \div 0,05$);
$\delta_{TMD}$ – efektywny dekrement tłumienia wniesiony przez TMD;
$\delta_{str}$ – tłumienie od okładzin i izolacji.

Im wyższe $\delta_{total}$, tym mniejsza będzie amplituda drgań poprzecznych od wiatru. Sprawność $\eta_\sigma$ tłumika TMD drastycznie spada, gdy tłumik jest rozstrojony (detuning), dlatego projekt musi zawierać informacje o poprawnym dostrojeniu urządzenia.

Uzupełniające zasady

Rezonans wirowy kominów w grupie

Rezonans wirowy kominów usytuowanych w grupie lub rzędzie należy sprawdzać zgodnie z zasadami podanymi w pkt E.1.5.2.7 normy PN-EN 1991-1-4.

Zjawisko „Lock-in” (Synchronizacja)

W rezonansie wirowym to nie tylko wiatr narzuca częstotliwość, ale drgający komin „zmusza” wiry do odrywania się z jego częstotliwością drgań własnych w pewnym zakresie prędkości wokół $v_{crit}$. Powoduje to, że rezonans trwa dłużej, niż wynikałoby to z czystej statystyki prędkości wiatru. Zjawisko to nazywane jest przechwytywaniem częstotliwości (lock-in) lub synchronizacją.

Zmęczenie stali

Przy dużej liczbie cykli $N$ wyliczonej ze wzoru ($\ref{14}$), samo sprawdzenie nośności (SGN) nie wystarcza. Należy wykonać analizę zmęczeniową wg normy PN-EN 1993-1-9, uwzględniając karby spawalnicze przy podstawie komina oraz przy włazach.

Naddatki korozyjne ($t_c$)

Przy projektowaniu kominów stalowych należy uwzględnić naddatki korozyjne na grubości blach zgodnie z wymaganiami norm: PN-EN 1993-3-2 oraz PN-EN ISO 12944-2 dla przyjętej klasy korozyjności środowiska.

Dla kominów stalowych najczęściej przyjmuje się klasę korozyjności C5 (środowisko przemysłowe o „bardzo dużej” korozyjności, np. obszary o dużej wilgotności i agresywnej atmosferze, w tym obecność związków siarki). Dla projektowego okresu użytkowania $T=50$ lat w klasie C5 przy szczelnym zabezpieczeniu malarskim, naddatek $t_c = 1,0 \text{ mm}$ jest wartością normatywną wynikającą z interpretacji szybkości korozji pod degradującą powłoką. Naddatek ten przypisany jest do każdej eksponowanej powierzchni blachy:

$$ t_c = \begin{cases} 1,0 \text{ mm}, & \text{dla rury uszczelnionej (korozja jednej powierzchni)} \\ 2,0 \text{ mm}, & \text{przy braku szczelności (korozja obu powierzchni)} \end{cases} \tag{37} \label{37} $$

Dla kominów stalowych dwupłaszczowych (z rurą wewnętrzną), jeśli przestrzeń między płaszczem a wkładem jest wentylowana lub narażona na kondensację, również przyjmuje się naddatek $t_c = 2,0 \text{ mm}$ ($1,0 + 1,0$).

Gdy przewidywana korozja może wpłynąć na nośność (SGN) lub sztywność konstrukcji (SGU/Dynamika), do obliczeń należy stosować właściwości przekrojów netto, czyli grubości płaszcza:

$$ t_{netto} = t – t_c \tag{38} \label{38} $$

Algorytm procedury projektowej i weryfikacyjnej

W celu uporządkowania procesu obliczeniowego, parametry wejściowe oraz kroki decyzyjne zestawiono w Tab. 1 i 2.Etykiety $(\ref{A}.x)$ odnoszą się do kolejnych etapów procedury inżynierskiej, natomiast symbole $(\ref{P}.x)$ oznaczają parametry modyfikujące model podstawowy.

Tab. 1 Algorytm procedury projektowej i weryfikacyjnej

\[ \begin{array}{|c|l|l|l|c|}
\hline \textbf{Etap} & \textbf{Nazwa fazy} & \textbf{Istota etapu} & \textbf{Kryterium akceptacji} & \textbf{Ref.} \\
\hline \text{(A.1)} & \text{Statyka } v_{max} & \text{Analiza II rzędu} & \sigma_X \le f_y, f_X \le f_{X,dop} & (\ref{24}), (\ref{25}), (\ref{25a})\\
\text{(A.2)} & \text{Podatność } v_{crit} & \text{Warunek rezonansu} & v_{crit} > 1,25 \cdot v_{max} \to \text{KONIEC} & (\ref{5}) \\
\text{(A.3)} & \text{Dynamika } y_{max} & \text{Amplitudy poprzeczne} & y_{max} \le D/50 & (\ref{31}) \\
\text{(A.4)} & \text{Modyfikacja} & \text{Dobór: Przerywacze / TMD} & \text{Jeśli } y_{F,max} > y_{dop} \to \eta_\sigma & (\ref{34})\\
\text{(A.5)} & \text{Zmęczenie } Y & \text{Rezonans (wiry)} & \eta_\sigma \cdot \Delta\sigma_Y \le \Delta\sigma_c / \gamma_{Mf} & (\ref{29}) \\
\text{(A.6)} & \text{Zmęczenie } X & \text{Porywistość} & \Delta\sigma_X \le \Delta\sigma_c / \gamma_{Mf} & (\ref{29}) \\
\text{(A.7)} & \text{Re-statyka} & \text{Weryfikacja SGN} & \sigma_{mod} \le f_y \text{ (tylko przerywacze)} & (\ref{33}) \\
\hline \end{array} \tag{A} \label{A}\]

Wybór strategii zabezpieczeń determinuje parametry wejściowe do globalnego modelu obliczeniowego, co przedstawiono w tab. 2.

Tab. 2. Parametry modyfikujące model (Parametryzacja )

\[ \begin{array}{|c|l|c|c|l|c|} \hline
\textbf{Etykieta} & \textbf{Strategia} & \textbf{Parametr} & \textbf{Wartość / Wzór} & \textbf{Wpływ na model} & \textbf{Ref.} \\
\hline \text{(P.1)} & \text{gładki (bazowy)} & c_f & 0,6 \div 1,2 & \text{zależny od } Re & (\ref{27}) \\
\text{(P.2)} & \text{przerywacze} & c_{f,mod} & 1,4 \cdot c_f & \text{wzrost parcia } F_w & (\ref{33}) \\
\text{(P.3)} & \text{tłumiki (TMD)} & \delta_{eff} & \delta_s + \delta_{TMD} & \text{wzrost } Sc, \text{ redukcja } y_{max} & (\ref{36}) \\
\text{(P.4)} & \text{izolacja / osprzęt} & \delta_{total} & \delta_s + \delta_{str} & \text{tłumienie systemowe} & (\ref{36}) \\
\hline \end{array} \tag{P} \label{P} \]

W procesie weryfikacji konstrukcji komina kluczowe jest zdefiniowanie limitów przemieszczeń, które gwarantują zarówno bezpieczeństwo strukturalne (SGN), jak i przydatność użytkową (SGU). Dlatego wartości graniczne przemieszczeń dla różnych kryteriów dodatkowo zebranow odrębnej  tab.3.

Tab. 3 Dopuszczalne przemieszczenia i kryteria stabilności

\[ \begin{array}{|c||l|c|c|l|c|}
\hline \textbf{Etykieta} & \textbf{Kryterium} & \textbf{Kier.} & \textbf{Formuła graniczna} & \textbf{Cel sprawdzenia} & \textbf{Ref.} \\
\hline \text{(D.1)} & \text{Statyka SGU} & X & \delta_{X, dop,} = \cfrac{h}{50 \div 100} & \text{Sztywność trzonu przy parciu } q_p & (\ref{25}) \\
\hline \text{(D.2)} & \text{Stabilność SGN} & Y & y_{F,max,dop} < \cfrac{D}{50} & \text{Granica stabilności i liniowości} & (\ref{15}, \ref{31}) \\
\hline \text{(D.3)} & \text{Integralność} & Y & y_{F,max} < \cfrac{D}{10} & \text{Absolutna granica geometryczna} & (\ref{31}) \\
\hline \text{(D.4)} & \text{Luz technol.} & Y & y_{max} < \cfrac{\Delta_{gap}}{1,5} & \text{Ochrona wkładu wewnętrznego} & (\ref{31}) \\
\hline \text{(D.5)} & \text{Zmęczenie} & Y & \Delta\sigma(y) \le \cfrac{\Delta\sigma_c}{\gamma_{Mf}} & \text{Kryterium trwałości strukturalnej} & (\ref{29})\\
\hline \end{array}\tag{D} \label{D}\]

Proponowana metoda komputerowa analizy kominów

Wprowadzenie

Nowoczesne, smukłe kominy stalowe często wykraczają poza uproszczony schemat wspornika, dla którego opracowano klasyczne wzory analityczne na częstotliwość drgań ($n_{1,x}$) oraz przemieszczenia w stanie krytycznym. W przypadku konstrukcji wieloprzęsłowych lub z odciągami, założenie o „masie wierzchołkowej” jest nieadekwatne. W takich układach obszary wzbudzenia (długości korelacyjne) mogą występować w każdym przęśle, spełniając warunek:

\[ |\phi(s)| \ge 0,85 \cdot \phi_{max} \tag{42} \label{42}\]

Współczesna inżynieria pozwala na automatyzację wyznaczania obciążeń wirowych poprzez wykorzystanie systemów posiadających zintegrowane moduły CFD (Computational Fluid Dynamics) lub dedykowane nakładki normowe. Do wiodących rozwiązań w tym zakresie należą:

ANSYS (Fluent / Discovery): Oferuje najbardziej zaawansowane narzędzia do symulacji FSI (Fluid-Structure Interaction). Pozwala na bezpośrednie wyznaczenie sił wzbudzających poprzez modelowanie przepływu powietrza wokół trzonu komina i analizę odrywania się wirów w czasie rzeczywistym.

DLUBAL (RFEM + RWIND): Program RWIND wykorzystuje numeryczny tunel aerodynamiczny do symulacji przepływu wiatru wokół obiektów o dowolnych kształtach. Wyniki parcia i ssania (w tym siły poprzeczne) są automatycznie eksportowane do programu RFEM jako przypadki obciążenia.

SCIA Engineer: Posiada moduły dedykowane do analizy dynamicznej konstrukcji wg Eurokodów, w tym procedury do automatycznego generowania obciążeń od wzbudzenia wirowego dla smukłych konstrukcji cylindrycznych.

Midas Gen: Szeroko stosowany w analizie wież i kominów, oferuje zaawansowane funkcje analizy modalnej i odpowiedzi spektralnej, niezbędne przy wyznaczaniu parametrów dynamicznych konstrukcji poddanej działaniu wiatru.

Wybór oprogramowania zależy od stopnia skomplikowania obiektu. Podczas gdy programy typu ConSteel w połączeniu z Excelem doskonale sprawdzają się przy weryfikacji normowej $y_{max}$ i $F_w$ dla typowych kominów stalowych, systemy klasy ANSYS są niezastąpione przy projektowaniu obiektów o nietypowej geometrii lub w przypadkach, gdy konieczna jest precyzyjna analiza zmęczeniowa oparta na pełnej historii czasowej obciążenia.

OpenFOAM  Darmowe rozwiązania klasy Open-Source. Jest to wiodący na świecie darmowy pakiet oprogramowania CFD. W przeciwieństwie do programów komercyjnych z zamkniętym kodem, OpenFOAM oferuje pełną swobodę w modyfikacji solverów, co jest kluczowe przy niestandardowych analizach wzbudzenia wirowego.Słuzy do modelowanie przepływów turbulencyjnych wokół trzonów kominów, analiza ścieżki wirów Karmana oraz wyznaczanie współczynników oporu ($c_f$) i siły bocznej ($c_{lat}$) dla nietypowych przekrojów.

Również w programie COnsteel wprowadzono innowacyjne podejście do analizy wiatrowej, oferując integrację, która pozwala na wykorzystanie potęgi OpenFOAM bezpośrednio w procesie projektowania konstrukcji stalowej. Narzędziem łączącym te dwa światy jest wtyczka Pangolin oraz dedykowany moduł Cloud-based Wind Simulation, atakżę etyczka FALCON.
Wtyczka CFD do Consteel umożliwia transfer modelu obliczniowego konstrukcji z Consteel i precyzyjne obliczenie współczynnikó ciśnień $c_p$, analizę komina stojący przed drugim (tzw. interference effects),  Silnik OpenFOAM w każdym kroku czasowym całkuje ciśnienia na powierzchni komina i podaje wypadkową siłę w kierunku poprzecznym do wiatru. Wykorzystanie modułu FALCON pozwala na numeryczne wyznaczenie współczynników aerodynamicznych dla przekrojów nietypowych (np. z gęstym osprzętem), co umożliwia precyzyjne zdefiniowanie składowej statycznej obciążenia $W_x(v_{crit})$ w kombinacji ($\ref{43}$), redukując niepewność projektową wynikającą z uproszczeń normowych.

Algorytm projektowy Consteel+Excel

Poniżej przedstawiono propozyxcję „półautomatycznej ” metody komputerowej projektowania kominóę stalowych z uwzglęnieniem potencjalnego obciążęnia wirami Karmana.  Metoda pozwala na podejmowanie najważniejszych decyzji projektowych przez projektanta, co powinno prowadzić do optymalnych , indyidualnych projektów złożónych kosntrukcji koimnów. Projektant  kontrolujree proces obliczeń, ajednocześnie posiada narzęzie umożłiwjące indywidualne całkowanie masy dla każdej istotnej postaci drgań własnych poprzez  zastosowanie metod numerycznych (MES/FEM), które umożliwiają przeprowadzenie analizy częstotliwościowej oraz wyboczeniowej (LBA – Linear Buckling Analysis), dostarczając:

• Mnożników krytycznych (wartości własnych): Uogólnienie częstotliwości drgań na dowolny schemat statyczny konstrukcji.
• Postaci własnych osi odkształconej: Uogólnienie przemieszczeń na dowolny komin (znormalizowane do maksymalnego ugięcia).

Schemat blokowy przedstawiony na rys. C.1 oraz tab. 4 łącznie  opisują ścieżkę projektową z zastosowaniem nowoczesnego, komercyjnego programu do projektowania konstrukcji stalowych ConSteel [18] oraz arkusza kalkulacyjnego Excel. Nie wyklucza to użycia oprogramowania, które posiada moduły do obciążenia komina wirami Karmana. w takich programach jak ANSYS lub DLUBAL.

Rys. C.1 Schemat blokowy metody komputerowej analizy kominów wzbudzanych wirami Karmana (oprcowanie własne z pomocą AI)

Tab. 4. Algorytm projektowy z wykorzystaniem programu ConSteel i Excel

\[ \begin{array}{|c|l|l|l|l|}
\hline \textbf{Etykieta} & \textbf{Etap} & \textbf{Narzędzie} & \textbf{Czynność / Operacja} & \textbf{Wynik} \\
\hline \text{(C.1)} & \text{Model geometryczny}^{(1)} & \text{Consteel} & \text{Budowa modelu 3D (geometria i sztywność)} & \text{Model sztywności} \\
\text{(C.2)} & \text{Model mas}^{(2)} & \text{Consteel} & \text{Zamiana obciążeń na masy} & \text{Model masy} \\
\text{(C.3)} & \text{Dynamika}^{(3)} & \text{Consteel} & \text{Analiza modalna (LBA / Modal Analysis)} & n_1, \mathbf{\Phi}, \mathbf{m} \\
\text{(C.4)} & \text{Eksport danych}^{(4)} & \text{Consteel} & \text{Eksport wyników do plików *.csa} & \text{Dane do Excela} \\
\text{(C.5)} & \text{Normalizacja}^{(4)} & \text{Excel} & \text{Normowanie postaci: } \bar{\phi}i = \phi_i / \phi{max} & \text{Wektor } \bar{\Phi} \\
\text{(C.6)} & \text{Integracja} & \text{Excel} & m_e = \left[\sum (m_i \bar{\phi}i^2)\right] / \left[\sum (\bar{\phi}i^2 \Delta s_i)\right] & m_e \text{ [kg/m]} \\
\text{(C.7)} & \text{Aerodynamika} & \text{Excel} & \text{Wyznaczenie } Sc, v{crit} \text{ oraz amplitudy } y{max} & y_{max} \text{ [m]} \\
\text{(C.8)} & \text{Obciążenia} & \text{Excel} & F_{w,i} = m_i (2\pi n_1)^2 \bar{\phi}i y{max} & \text{Wektor } \mathbf{F_w} \\
\text{(C.9)} & \text{Implementacja} & \text{Consteel} & \text{Wklejenie sił } F_{w,i} \text{ do przypadku obciążenia} & \text{Obciążenie w MES} \\
\text{(C.10)} & \text{Kombinatoryka} & \text{Consteel} & 1.0 \cdot G + 1.0 \cdot W(v_{crit}) + 1.0 \cdot F_w & \text{Kombinacja SGN} \\
\text{(C.11)} & \text{Finał SGN} & \text{Consteel} & \text{Overall Method} & \sigma_{tot, II}, \eta \\
\text{(C.12)} & \text{Zmęczenie} & \text{Excel/CS} & \text{Wyznaczenie } \Delta\sigma \text{ z wyników II rzędu} & \text{Trwałość } N \\
\hline \end{array} \tag{C} \label{C} \]

Szczegółowe uwagi do algorytmu:

1. Model geometryczny: Komin należy podzielić na elementy (pręty) o długościach nieprzekraczających $0,5 \div 1,0$ m, co jest niezbędne do poprawnego odwzorowania postaci drgań $\phi(z)$ oraz precyzyjnego wyeksportowania mas węzłowych do Excela. Każda zmiana grubości blachy lub średnicy musi być odzwierciedlona nowym przekrojem przypisanym do odpowiedniego odcinka. Do modelu należy dodać blok fundamentowy oraz podporę sprężystą na gruncie.
2. Model mas: W kroku ($\ref{C}.2$) należy zamienić model fizyczny 3D na model masowy. Masę własną program generuje automatycznie. Masy dodatkowe (wyposażenie, drabiny, pomosty, galeria wierzchołkowa, izolacja, wkłady) należy dodać ręcznie (jako masy skupione lub liniowe). Należy zdecydować, czy wkład (liner) drga razem z płaszczem (połączenie sztywne), czy jest niezależny – w tym drugim przypadku jego masę pomija się w analizie drgań własnych płaszcza, ale należy ją uwzględnić w analizie efektów $P-\Delta$.
3. Analiza modalna: Liczbę postaci drgań należy ustawić na $5 \div 10$, co wystarcza do zidentyfikowania podstawowych postaci giętnych dla obu osi przekroju. Należy upewnić się, że program uwzględnia zdefiniowane przypadki mas. Po uruchomieniu obliczeń rozwiązujemy zagadnienie własne ($\mathbf{K} – \omega^2 \mathbf{M} = 0$). Szukamy $n_1$ (podstawowej częstotliwości giętnej) na podstawie analizy wektorów własnych ($\mathbf{\Phi}_j$). Należy wizualnie sprawdzić, czy pierwsza postać drgań jest globalnym wygięciem wspornika. Trzeba wyeliminować postacie lokalne (np. drgania drabiny), które zafałszowałyby wynik częstotliwości podstawowej.
4. Eksport i normalizacja: Tabele rzędnych węzłów, częstotliwości drgań oraz wektory postaci drgań $\phi_i$ eksportuje się do arkusza. Dla procedury obliczeniowej istotne jest, aby postać drgań była unormowana (zazwyczaj do jedności na wierzchołku, czyli $\phi_{max} = 1,0$).
5. Integracja (Masa równoważna): Obliczenie masy równoważnej $m_e$ jest kluczowe dla sprowadzenia rzeczywistego systemu o wielu stopniach swobody (MDOF) do modelu o jednym stopniu swobody (SDOF). Pozwala to na zastosowanie klasycznych wzorów aerodynamicznych dla drgań poprzecznych. Wartość $m_e$ musi być wyznaczona zgodnie z kształtem pierwszej postaci drgań własnych, co zapewnia poprawność energetyczną modelu.
6. Aerodynamika: W tym etapie oblicza się parametry wzbudzenia wirowego w oparciu o wyznaczoną w ($\ref{C}.3$) częstotliwość $n_1$. Wyznaczenie prędkości krytycznej $v_{crit}$ oraz liczby Scrutona ($Sc$) pozwala na oszacowanie maksymalnej amplitudy drgań $y_{max}$ (wg odpowiednich załączników normy PN-EN 1991-1-4). Należy weryfikować, czy $v_{crit}$ mieści się w zakresie prędkości wiatru występujących w danej lokalizacji.
7. Obciążenia (Siły równoważne): Wyznaczoną amplitudę $y_{max}$ przelicza się z powrotem na statyczne siły węzłowe $F_{w,i}$. Rozkład tych sił wzdłuż wysokości komina musi być zgodny z postacią drgań $\mathbf{\Phi}$ (rozkład bezwładnościowy). Dzięki temu, zamiast analizy dynamicznej w czasie, możemy zastosować analizę statyczną, co jest dopuszczalne w ramach liniowo-sprężystej teorii drgań rezonansowych.
8. Implementacja: Wygenerowane w Excelu siły $F_{w,i}$ należy wprowadzić do programu ConSteel jako nowy przypadek obciążenia, np. o nazwie „Wind_Vortex”. Ważne jest, aby siły te były przyłożone w węzłach modelu w kierunku poprzecznym do osi komina (kierunek Y).
9. Kombinatoryka: W module kombinacji należy zdefiniować przypadek obliczeniowy dla SGN, sumujący obciążenie stałe, parcie wiatru (kierunek X) oraz wyznaczone obciążenie równoważne od wirów (kierunek Y). Zgodnie z zasadami inżynierskimi, dla weryfikacji zmęczeniowej oraz SGN, przyjmuje się współczynniki bezpieczeństwa właściwe dla stanów granicznych.
10. Finał SGN (Overall Method): Wykorzystanie metody ogólnej (Overall Method) w ConSteel pozwala na sprawdzenie nośności całego trzonu z uwzględnieniem efektów II rzędu ($P-\Delta$) oraz imperfekcji geometrycznych. Wynik w postaci współczynnika $\eta \le 1,0$ stanowi ostateczne potwierdzenie bezpieczeństwa konstrukcji.
11. Zmęczenie: Obliczenia zmęczeniowe dla detali konstrukcyjnych (np. spoiny obwodowe trzonu, połączenia kołnierzowe) opierają się na amplitudzie naprężeń $\Delta\sigma$ uzyskanej z analizy II rzędu dla wyznaczonego obciążenia wiatrem. Weryfikację przeprowadza się zgodnie z regułą Palmgrena-Minera, uwzględniając sumaryczną liczbę cykli drgań w przewidywanym okresie eksploatacji.

Zasady analizy po stronie programu analitycznego MES (Consteel)

Przy analizie kominów w zaawansowanych programach FEM (typu Consteel) należy przestrzegać zasad:

1. Analiza modalna: Wyznaczenie $n_1$ (i ewentualnie $n_2$ dla wysokich kominów) z uwzględnieniem rzeczywistej sztywności segmentów i podatności podłoża.\ należy prowadzić w module Analiza modalna.
2. Obciążenie „wirami: Programy inżynierskie często nie generują automatycznie obciążeń wirowych (np Co nsteel). Wówczas należy ręcznie przyłożyć siłę harmoniczną lub statyczną siłę zastępczą $F_w(s)$  ($\ref{11}$)  rozłożoną zgodnie z postacią drgań w osi $y$. i obciązęnie prszyłożyć ręcznie w wydzilonym przypadku obciążenia
3. Analiza II rzędu. Naprężenia do sprawdzenia warunku $\sigma_{tot}$ muszą pochodzić z analizy uwzględniającej deformację konstrukcji (efekt P-Delta). Moment dodatkowy od ciężaru własnego na ramieniu $y_{max}$ jest często czynnikiem decydującym o „być albo nie być” spoiny przy fundamencie lub nad podporą pośrednią.5
4. Luz. Sprawdzenie luzu $\Delta_{gap}$ musi być wykonane w przekroju o największej wypadkowej amplitudzie $A = \sqrt{u_x^2 + y_y^2}$. $\Delta_{gap}$ w kominach wieloprzęsłowych: ugięcie statyczne $x$ i dynamiczne $y$ mogą mieć maksima w różnych punktach.
5. Naprężenia do sprawdzenia warunku $\sigma_{tot}$ muszą pochodzić z analizy uwzględniającej deformację konstrukcji (efekt P-Delta). Moment dodatkowy od ciężaru własnego na ramieniu $y_{max}$ jest często czynnikiem decydującym o „być albo nie być” spoiny przy fundamencie lub nad podporą pośrednią.
6. Analiza zmęczeniowa. W analizie zmęczeniowej pełny zakres naprężeń $\Delta\sigma$ w przekroju (np. przy fundamencie) wyznacza się jako różnicę naprężeń między skrajnymi położeniami komina ($+y_{F,max}$ oraz $-y_{F,max}$). Przy założeniu symetrii drgań względem pozycji równowagi, przyjmuje się:[\ \Delta\sigma = \sigma_{max} – \sigma_{min} = 2 \cdot \sigma_{max} \]gdzie $\sigma_{max}$ odpowiada naprężeniom wywołanym maksymalnym wychyleniem $y_{F,max}$, wyznaczonych  metodą II rzędu

Operacje w Excelu

Excel służy do wykonania operacji na tablicach wyników wyprowadzanych z programu MES, takich jak:

1. Masy węzłowe $m_i$ [kg].
2. Przemieszczenia węzlowe $\phi_i$ [-] (mogą być jeszcze nieunormowane).

Funkcje arkusza stosuje się do wyznaczenia parametrów dynamicznych, których programy MES nie liczą automatycznie:

• Numeryczne obliczenie masy równoważnej:
  $m_e = \cfrac{\sum m_i \phi_i^2 \Delta s_i}{\sum \phi_i^2 \Delta s_i}$,
  czyli z zależnośći  ($\ref{19}$)  ($M_i = m_i\cdot \Delta s_i$) – masy skupione w weźle z  przynależnej długości przyległyych segmentów)
• Obliczenie liczby Scrutona ($Sc$) ($\ref{17}$) i prędkości krytycznej ($v_{crit}$) ($\ref{3}$)
• Wyznaczenie sił statycznie zastępczych z zależnosći

\[ F_{w,i} = m_i \cdot (2\pi n_1)^2 \cdot \phi_i \cdot y_{max} \tag{44} \label{44} \]

Po powrocie z siłami $F_w$ do modelu następuje uruchomienie nieliniowej analizy statycznej (GNA) dla kombinacji:

$$1.0 \cdot G + 1.0 \cdot W_x(v_{crit}) + 1.0 \cdot F_{w,y} \tag{45} \label{45}$$

gdzie poszczególne składniki definiuje się w układzie globalnym modelu:
$G$ – obciążenie stałe (ciężar własny konstrukcji i wyposażenia).
$W_x(v_{crit})$ – statyczne parcie wiatru działające wzdłuż osi $X$, wyznaczone dla prędkości krytycznej $v_{crit}$,
$F_{w,y}$ – równoważna siła wzbudzenia wirowego działająca poprzecznie do kierunku wiatru, czyli w osi $Y$.

Sumowanie wektorowe odbywa się bezpośrednio w modelu MES poprzez przyłożenie sił do odpowiednich węzłów w różnych kierunkach. Program w analizie GNA wyznaczy wypadkowe przemieszczenie $u_{tot} = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$ oraz odpowiadające mu naprężenia II rzędu. Wynikowe naprzężenia zredukowane $\sigma_{tot, II}$ stanowią ostateczną podstawę do weryfikacji nośności i stateczności ogólnej konstrukcji.

Dzięki takiemu zapisowi kombinacji ($\ref{45}$) momenty dodatkowe od ciężaru własnego $G$ są liczone na ramieniu wynikającym z jednoczesnego ugięcia statycznego (od parcia wiatru) oraz dynamicznego (od rezonansu wirowego) (efekt II rzędu).

W przypadku kominów o przekroju kołowym analizę należy przeprowadzić dla najbardziej niekorzystnego kierunku wiatru, uwzględniając ewentualną niesymetrię wyposażenia (np. drabin), która może wpływać na sztywność w osiach $X$ i $Y$

Masa równoważna $m_{eq}$ ($\ref{7}$) nie jest wyznaczana, bo częstotiwości drgań własnych zostały już w sposób ścisły wyznaczone w programie Consteel.

Urządzenia zapobiegające drganiom parametrycznym

Metody ograniczania wzbudzania wirowego i drgań parametrycznych

Jeśli analiza wykaże przekroczenie dopuszczalnych amplitud lub zagrożenie zmęczeniowe, projektant ma do dyspozycji trzy główne strategie:

1. Modyfikacja parametrów konstrukcji: Zwiększenie masy lub sztywności tak, aby prędkość krytyczna $v_{crit}$ była o ok. 25% większa od prędkości występujących na danym terenie,
2. Montaż przerywaczy (spoilerów aerodynamicznych): Instalacja turbulizatorów spiralnych lub nakładek perforowanych, które zaburzają synchronizację odrywania się wirów,
3. Zastosowanie tłumików masowych (TMD): Montaż układów rozpraszających energię (wahadłowych, cieczowych lub sprężynowych) pod galerią lub na wierzchołku.

Ważne: Uurządzenia aerodynamiczne (np. przerywacze Scrutona) zaleca się stosować głównie wtedy, gdy liczba Scrutona jest większa od 8. Dla kominów stalowych $Sc$ jest zazwyczaj niższa, dlatego najskuteczniejszym rozwiązaniem stają się współcześnie tłumiki masowe.

Sprawdzenie warunku 1. wyżej realizuje się  podług kryterium

\[ v_{crit} > 1,25 \cdot v_{max} \cdot (1 + 0,7 \cdot I_v) \tag{46} \label{46} \]

gdzie:
$I_v$  – intensywność trubulencji PN-EN.7.
$v_{max}=v_p $ to prędkość maksymalna (podmuchowa) przyjmowana do obliczeń konstrukcyjnych (stowarzyszaona z ciśnieniem $q_p$ PN-EN.9

Warunek ($\ref{46}$) stosuje się na tym etapie „Projektowania i wersyikacji. Na etapie koncepcji i projektu wstępnego stosowano  uproszczone kryterium prędkości krytycznej ($\ref{5}$) w celu szybkiej oceny konieczności analizy dynamicznej.

W tab. 5 zestawiono stosowane metody ochrony komina przed draganiami parametrycznymi.

Tab. 5 Porównanie metod ochrony

\[ \begin{array}{|l|l|l|}
\hline \text{\textbf{Cecha}} & \text{\textbf{Turbulizatory (Aerodynamika)}} & \text{\textbf{Tłumiki (TMD)}} \\
\hline \text{Mechanizm} & \text{Zaburzenie przepływu wiatru} & \text{Mechaniczne rozproszenie energii} \\
\hline \text{Opór wiatru} & \text{Zwiększony } (c_{f,mod} \approx 1,4 \cdot c_f) & \text{Bez zmian} \\
\hline \text{Skuteczność} & \text{Wysoka przy } Sc > 8 & \text{Wysoka w pełnym zakresie } Sc \\
\hline \text{Konserwacja} & \text{Minimalna} & \text{Wymagane przeglądy okresowe} \\
\hline \text{Zastosowanie} & \text{Nowe i istniejące obiekty} & \text{Głównie wysokie i smukłe obiekty} \\
\hline\end{array} \]

Przerywcze wirów (turbulizatory)

Zwiększenie chropowatości powierzchni trzonu wymusza zrywanie wirów Karmana, ale jednocześnie zwiększa opór aerodynamiczny (współczynnik $c_f$).

Najczęstsze typy turbulizatorów (wg rys. 8 i 9), to:

• Helisowe (Scrutona): Najskuteczniejsze. Wykonywane jako trzy spirale o skoku 5D i wysokości żebra 0,1D. Montowane zazwyczaj na odcinku 0,4–0,5 $H_k$ od głowicy.
• Skrzydełkowe / Schodkowe: Łatwiejsze w montażu (odcinki blachy prostokątnej), ale o nieco niższej skuteczności przy zmianach kierunku wiatru.
• Pręty okrągłe: Trzy druty o średnicy D/200 nawinięte pod kątem 11° (rozwiązanie lżejsze, stosowane przy mniejszych zagrożeniach).

Współczynnik redukcyjny siły bocznej $\alpha$ dla odcinka z przerywaczami wyznacza się ze wzoru:

\[ \alpha=(1- \cfrac {l_s}{h})^3 \tag{47} \label{47} \]

gdzie $l_s$ to długość odcinka z turbulizatorami. Rzeczywisty zasięg instalacji wynosi zazwyczaj od 1/3 do 2/3 wysokości komina, licząc od góry.

Rys.8 Turbulizatory: a) spiralny z odcinków pierścienia, b) skrzydełkowy, c) z nakładek pionowych, d) z prętów okrągłych [19]

Rys.9 Urządzenie aeorodynamiczne: a) nakładka rurowa, b)-e) turbulizatory [20] – str. 1019

Według Petersena [20] z rozwiązań pokazanych na rys. 9 skuteczne są: a) i b), a nie potwierdzono pełnej skuteczności pozostałych.

Dobór typu turbulizatora

Wybór odpowiedniego urządzenia aerodynamicznego (turbulizatora) jest kluczowy dla ustabilizowania konstrukcji. W przypadku kominów stalowych o przekroju kołowym najskuteczniejszym rozwiązaniem są helisy (helical strakes), czyli spiralne żebra (nawijki) zwiększające turbulencję strugi powietrza. Helisy wymuszają trójwymiarowy charakter opływu, co uniemożliwia powstanie zorganizowanej, dwuwymiarowej ścieżki wirowej Karmana. Zamiast tego, wibracje są wygaszane poprzez rozproszenie energii w podłużnych wirach o mniejszej skali.

Dobór r przebiega  z uwzglęnieniem wytycznych literaturowych, a głównie:

• PN-EN 1991-1-4 [5], Załącznik E (informacyjny) w którym określa skuteczność urządzeń aerodynamicznych.
• Scruton, C. (1963)Scruton, C. (1963) [21]
• Zdravkovich, M. M. (1981): [22]

przy czym wytyczne normowe powinny być wytraczające dla prjektanta konstrukcji.

Tłumiki drgań

Jeśli modyfikacja aerodynamiki jest niewystarczająca (przy $Sc < 8$), stosuje się mechaniczne rozpraszanie energii.

Urządzenia, montowane na kominie w celu zmiany częstotliwości drgań własnych najczęściej realizowane są poprzez umieszczenie przy głowicy słupa wahadeł (rys.10a) lub umieszczenie na galerii skrzynek z tłumikami (rys.10b).

Rys.10 Tłumiki umieszczone przy głowicy komina: a) wahadła, b) skrzynki z układem tłumiącym. 1- trzon komina, 2- galeria, 3-tłumiki wahadłowe 4- podkłady gumowe , tłumiące dźwięki uderzeń whadeł, 5- tłumiki w skrzynce, 6 – głowica komina, 7- drabina wejściowa.  [19]

Tanim wypełnieniem skrzynek tłumików jest woda. Cieczowe tłumiki drgań pokazano na rys. 11.

Rys.11. Cieczowy tłumik drgań parametrycznych  [23]

Strojenie tłumików

Zastosowanie tłumika o masie $m_{TMD}$ powoduje rozbicie pojedynczego piku rezonansowego konstrukcji na dwa mniejsze piki o niższych amplitudach. Aby uzyskać optymalne rozproszenie energii, tłumik musi „spóźniać się” względem ruchu komina, co wymusza nastrojenie go na częstotliwość nieco niższą niż częstotliwość wymuszenia.

W projektowaniu kominów stalowych stosunek mas

$ \mu = \cfrac{m_{TMD}}{m_{e,1}} $, gdzie:
$m_{TMD}$ – masa fizyczna urządzenia tłumiącego (np. masa wahadła lub cieczy).
$m_{e,1}$ – masa równoważna (modalna) komina dla pierwszej postaci drgań ($\ref{19}$)  (wyliczona  w tab. 1 C.6).

powinien wynosić  zazwyczaj od 0,01 do 0,05 (1% do 5%).

Tłumiki  TMD należy stroić na  częstotliwość $f_{TMD}$ nieco niższą niż częstotliwość komina. Optymalne strojenie tłumika TMD (według klasycznej teorii Den Hartoga) opisuje formuła:

\[  \cfrac{f_{TMD}}{f_1} \approx \cfrac{1}{1+\mu} \tag{48} \label{48} \]

gdzie:
$f_{TMD}$ [Hz] – częstotliwość drgań własnych tłumika (częstotliwość, na którą nastrojone jest urządzenie).
$f_1$ [Hz] – pierwsza częstotliwość drgań własnych komina (wyznaczona dla konstrukcji bez tłumika, np. w module analizy modalnej programu ConSteel).
$\mu$ [–] – stosunek mas (mass ratio), definiowany jako:

Dostrojenie według reguły ($\ref{48}$) pozwala na zminimalizowanie odpowiedzi rezonansowej konstrukcji głównej poprzez odpowiednie „odstrojenie” urządzenia tłumiącego.

Przykładowo, jeśli $\mu = 0,02$, to optymalne strojenie wynosi:

$$ f_{TMD} = f_1 \cdot \cfrac{1}{1 + 0,02} \approx 0,98 \cdot f_1 $$

Oznacza to, że tłumik powinien być nastrojony na 98% częstotliwości drgań własnych komina.

Tłumik musi posiadać również optymalne tłumienie wewnętrzne $\zeta$ (np. lepkościowe), które wyznacza się ze wzoru:

$$ \zeta_{opt} = \sqrt{\cfrac{3\mu}{8(1+\mu)^3}} $$

Przykłady

[ Przykład 1: Analiza inżynierska. Komin stalowy 25 m  ]

Postawienie zadania

Zaprojektować komin stalowy o wysokości $h = 25 \, m$ i średnicy $D = 800 \, mm$, przeznaczony do budowy na terenie miasta Busko-Zdrój (I strefa wiatrowa, kategoria terenu IV). Konstrukcja wykonana ze stali S355.

Ze względów technologicznych komin podzielono na trzy segmenty po 1/3 wysokości:

S1 (góra): 16,67 m do 25 m
S2 (środek): 8,33 m do 16,67 m
S3 (dół): 0 do 8,33 m
Przyjęto nominalne grubości płaszcza:

S1: $t_1 = 6 \, mm$
S2: $t_2 = 8 \, mm$
S3: $t_3 = 10 \, mm$

Wariant A  Komin bazowy ( bez korozji, bez ocieplenia,bez barierek bez turbulizatorów)

Masa rozłożona segmentów i masa równoważna

Obliczenia masy liniowej dla stali ($\rho_s = 7850 \, kg/m^3, D = 0,8 \, m$):

S1: $m_{s,1} = 7850 \cdot \pi \cdot 0,8 \cdot 0,006 \approx 118,37 \, kg/m$
S2: $m_{s,2} = 7850 \cdot \pi \cdot 0,8 \cdot 0,008 \approx 157,83 \, kg/m$
S3: $m_{s,3} = 7850 \cdot \pi \cdot 0,8 \cdot 0,010 \approx 197,29 \, kg/m$
Wagi całkowe segmentów: S1 = 0,868; S2 = 0,128; S3 = 0,004.

Masa równoważna ($m_{s,eq}$):

$(\ref{7})\to m_{s,eq} = (0,868 \cdot 118,37) + (0,128 \cdot 157,83) + (0,004 \cdot 197,29) = 123,74 \, kg/m$
Przy braku dodatkowych mas ($m_{c,eq} = m_{s,eq} = 123,74 \, kg/m$).

Częstotliwość drgań własnych ($n_1$)

Oszacowanie z formuły uproszczonej ($\varepsilon_1 = 1000$):

$(\ref{6})\to n_1 = \cfrac{1000 \cdot 0,8}{25^2} \cdot \sqrt{\cfrac{123,74}{123,74}} = 1,28 \, Hz$

Weryfikacja metodą MES (model schodkowy, uwzględniający zmienną sztywność płaszcza oraz podatność posadowienia przy $K = 20 \, kN/(m^2 \cdot mm)$) wykazała wartość skorygowaną:

$$n_{1,y} = 1,25 \, Hz$$

Liczba Scrutona ($Sc$)

Dla odcinka korelacyjnego $6D = 4,8 \, m$ znajdującego się w sekcji S1, masa efektywna $m_e = m_{s,1} = 118,37 \, kg/m$.

Przy tłumieniu konstrukcyjnym $\delta_s = 0,012$:

$(\ref{17})\to Sc = \cfrac{2 \cdot 0,012 \cdot 118,37}{1,25 \cdot 0,8^2} = 3,55$

Prędkość krytyczna i amplituda drgań poprzecznych ($y_{max}$)

Prędkość krytyczna (dla liczby Strouhala $St = 0,18$):

$(\ref{6}) \to v_{crit} = \cfrac{0,8 \cdot 1,25}{0,18} = 5,56 \, m/s$

Amplituda drgań poprzecznych:

$(\ref{15})\to  y_{max} = 0,8 \cdot \cfrac{1}{0,18^2 \cdot 3,55} \cdot 0,13 \cdot 0,6 \approx 0,084 \, m = 84 \>  $D/10 = 800/10=80 \, mm$

Wniosek z wariantu A

Obliczona amplituda $y_{max} = 84 \, mm$ przekracza dopuszczalną wartość graniczną $D/10 = 80 \, mm$. Konstrukcja jest niestabilna aerodynamicznie.
Wymagane zastosowanie urządzeń aerodynamicznych 

Wariant B Komin dociążony 1 ( komin z korozją i ociepleniem)

Założenia:

[ Przykłady zabezpieczenia komina]

Przykład zabezpieczenia komina przed rezonansem wiatrowym podano w pracy [24].

Drgania parametryczne mogą doprowadzić do zmęczenia niskocyklowego komina, co pokazano w pracy [25].Literatura

1. Strouhal V. (1878), Uber eine besondere Art der Tonerregung. Annalen Der Physik Und Chemie, Band V (Heft 10), 216–251
2. v. Karman T. (1911). Ueber den Mechanismus des Widerstandes, den ein bewegter Körper in einer Flüssigkeit erfährt. Nachrichten von Der Gesellschaft Der Wissenschaften Zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 547–556
3. Sedlacek, G., Gilsanz, R., Grotmann, D. (1995). Vortex shedding of chimneys and slender structures. In: Proceedings of the 9th International Conference on Wind Engineering, New Delhi, India
4. Sedlacek, G., Wolf, J. P. (1996). Wind-induced vibrations of chimneys: A comparison of code provisions. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, Vol. 65, pp. 275–286
5. PN-EN 1991-1-4:2008, Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje, Część 1-4: Oddziaływania ogólne. Oddziaływania wiatru
6. Sedlacek, G., Feldmann, M. (1999). Background information on the fatigue design rules in Eurocode 3. In: Steel Structures – Eurocode 3 – Design of Steel Structures, Vol. 1, Part 1-9.
7. PN-EN 1993-1-9, Projektowanie konstrukcji stalowych – Część 1-9: Zmęczenie
8. Chladný, I. (2000). Determination of the design value of the equivalent generalized imperfection. In: Steel and Aluminium Structures, ICSAS 2000, Helsinki, Finland, pp. 209–216.
9. Chladný, I., Baláž, I. (2013). The method of equivalent member and the general method in EN 1993-1-1. Pollack Periodica, Vol. 8, No. 2, pp. 3–14.
10. Szalai, L., Papp, F. (2005). General method for the analysis of bar structures by finite element method. Periodica Polytechnica Civil Engineering, Vol. 49, No. 1, pp. 53–70.
11. Papp, F., Szalai, L. (2011). General method for the stability analysis of steel structures. In: Proceedings of the 6th European Conference on Steel and Composite Structures (Eurosteel 2011), Budapest, Hungary, pp. 1197–1202.
12. Papp, F. (2016). General method for the stability design of steel structures by GMNIA analysis. Steel Construction, Vol. 9, No. 3, pp. 204–211.
13. Konyves, C., ConSteel Solutions, (2024), ConSteel(Wersja 19) [Oprogramowanie komputerowe]
14. Wikipedia. (2015), Karman vortex street, [https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=K%C3%A1rm%C3%A1n_vortex_street&oldid=684714132 ]
15. Sovremennyje koncepcii, paradoksy i ošibki (4th ed.), Nauka, Moskva
16. PN-93/B-03201: 1993, Konstrukcje stalowe – Kominy – Obliczenia i projektowanie
17. PN-EN 1991-1-4:2008, Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje, Część 1-4: Oddziaływania ogólne. Oddziaływania wiatru
18. Konyves, C., ConSteel Solutions, 2024, ConSteel Wersja 19
19. Bogucki W. (red.), (1982), Poradnik projektanta konstrukcji metalowych (Wydanie 1., Tom 2), Arkady, Warszawa
20. Petersen C. (2013), Stahlbau: Grundlagen der Berechnung und baulichen Ausbildung von Stahlbauten (4 Wydanie- überarb. und aktualisierte Aufl). Springer Vieweg
21. Scruton, C. (1963). „On the wind-excited oscillations of stacks, masts and towers.” Proceedings of the Symposium on Wind Effects on Buildings and Structures, National Physical Laboratory, Teddington, United Kingdom
22. Zdravkovich, M. M. (1981). „Review and classification of various aerodynamic and hydrodynamic means for suppressing vortex shedding.” Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 7(1-2), 145–189
23. Delta Camino, (2015), Cieczowe tłumiki drgań stalowych kominów przemysłowych, [ http://www.deltacamino.pl/ ]
24. Chlewicki, K., Chodor, L., Kowal, Z., & Malec, M. (1989). Zabezpieczenie cylindrycznego komina stalowego przed rezonansem wiatrowym. Inżynieria i Budownictwo, 2/89, 63–66
25. Chodor, L., Kowal, Z., Sendkowski, J., & Zając, Z. (1991), Awaria komina stalowego w warunkach zmęczenia niskocyklowego. 105–111, [ https://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/1991-Chodor-Kowal-Awaria-komina-Szczecin.pdf ]

________________________________