Wzbudzenie wirowe kominów stalowych

Zmienna $h$ w ($\ref{18}$) oznacza całkowitą wysokość komina, $m(s)$ jest rozkładem masy jednostkowej, natomiast $\phi(s)$ reprezentuje funkcję postaci drgań, którą dla pierwszej postaci drgań można aproksymować funkcją potęgową ($\ref{13}$).  Postać drgań własnych powinna być unormowana  do jedności na wierzchołku komina ($z=h$).

Formulę  (${18}$)  można przedstawić  w reprezentacji dyskretnej:

(1) węzłowej  dogodnej do obliczeń w mpdelu z dyskretnymi węzłami $(i=1, \dots, n)$  z masami skupionych $M_i$ oraz przemieszczeniami modalnymi  $\phi_i $ uzyskanymi z analizy modalnej w węzłach  modelu MES.  Reprezentacja stosowana jest przy eksporcie danych z modelu MES, gdzie masa jest skupiona w węzłach modelu. W przypadku korzystania z rzeczywistych wyników z modelu MES, nie stosujemy już aproksymacji wielomianowej ($\ref{13}$), ale wykorzystujemy rzeczywiste  wartości wektora własnego $\phi_i$ wyznaczone przez solver dla każdego węzła.

W tej reprezentacji mianownik (całka z kwadratu postaci) musi zostać zastąpiony sumowaniem iloczynów kwadratu przemieszczenia modalnego i długości odcinka przypisanego do węzła ($\Delta z_i$), aby zachować sens fizyczny masy na jednostkę długości:

\[ m_e = \cfrac{\sum \limits_{i=1}^{n} M_{i} \cdot \phi_i^2}{\sum \limits_{i=1}^{n} \phi_i^2 \cdot \Delta z_i} \tag{19} \label {19}\]

(2) segmentowej  dogodnej do obliczeń tradycyjnych  obliczeń wspornikowego komina podzielonego na „s” segmentów o masie m_i oraz  długości $\Delta s_i$  zastosowaniem aproksymacji($\ref{13}$) [ $\phi_1 = (z/h)^2$]. Reprezentacja stosowana jest w obliczeniach tradycyjnych dla  komina podzielonego jest na segmenty o masie jednostkowej m_s:

\[ m_e = \sum \limits_{s=1}^{k} m_s \cdot \bar w_s \tag{20} \label{20}\]

gdzie unormowana waga segmentu (${9}$) $\bar w_s$ (tutaj indeks s zamiast i ) wyznaczana jest z różnicy rzędnych potęgowych:

Porównanie masy równoważnej w analizie częstotliwości i wzbudzenia wirowego

Tożsamość matematyczna mas równoważnych

Z przeprowadzonej analizy wynika istotny wniosek: masa równoważna stosowana do uproszczonego wyznaczania częstotliwości drgań własnych ($m_{s,t,eq}$) oraz masa efektywna do analizy wzbudzenia wirowego ($m_e$) są pojęciami tożsamymi, o ile przyjmuje się tę samą aproksymację postaci drgań $\phi(z)$.

W obu przypadkach stosuje się zasada średniej ważonej kwadratem przemieszczenia modalnego. Po podstawieniu aproksymacji $\phi_1(z) = (z/h)^2$, unormowane wagi segmentowe $\bar w_i$ dla obu zagadnień przyjmują identyczną postać ($\ref{9})=($\ref{21}$).
Wykazana zgodność pozwala na stosowanie jednolitego modelu masowego dla obu etapów obliczeń, co upraszcza algorytmizację obliczeń

Komentarz do dotychczasowej praktyki inżynierskiej

Dotychczasowa praktyka projektowa często wprowadzała nieuzasadnione rozróżnienie między masą przyjmowaną do wyznaczania parametrów dynamicznych (częstotliwości), a masą do obliczeń aerodynamicznych. Prowadziło to błędów, a przede wszytkim :

• zawyżanie bezpieczeństwa (Przecenianie $m_e$): Tradycyjne przyjmowanie masy średniej z całej wysokości lub masy z górnej 1/3 wysokości jako stałej wartości $m_e$ często nie doceniało wpływu ciężkiego wyposażenia (np. drabin, galerii) znajdującego się nieco poniżej wierzchołka, ale wciąż w strefie wysokich amplitud,
• ignorowanie bezwładności wyposażenia: Częstym błędem było uwzględnianie masy wyposażenia w statyce, a pomijanie jej w mianowniku liczby Scrutona ($Sc$). Tymczasem masa osprzętu, o ile jest trwale połączona z trzonem, działa korzystnie – zwiększa energię kinetyczną układu i „zakotwicza” go dynamicznie, co redukuje amplitudę wzbudzenia wirowego $y_{max}$.

Implementacja w praktyce (wagi segmentowe)

Dzięki zastosowaniu wag zestawionych w tabeli ($\ref{10}$) dla trzech segmentów lub ($\ref{11}$) dla czterech, projektant może w sposób rzetelny i szybki wyznaczyć $m_e$ bez dostępu do zaawansowanych solverów MES.
Wykorzystanie reprezentacji segmentowej ($\ref{20}$) z unormowanymi wagami ($\ref{21}$) pozwala na precyzyjne wyznaczenie liczby Scrutona, eliminując błąd zawyżania bezpieczeństwa przez dolne, masywne części trzonu i fundamentu, które w rzeczywistości prawie nie uczestniczą w procesie rozpraszania energii drgań własnych.

•  w strategii dopuszczalnych uszkodzeń (Damage Tolerant)
  – przy niskich konsekwencjach uszkodzeń  = 1,00
  – przy wysokich konsekwencjach uszkodzeń = 1,15

•  w strategii bezpiecznego zniszczenia (Safe Life)
  – przy niskich konsekwencjach uszkodzeń  = 1,15
  – przy wysokich konsekwencjach uszkodzeń = 1,35

1)  wzbudzenie wirowe  (wiry Karmana). Rozpatruje się drgania kierunek poprzecznym $Y$ do kierunku wiatru, a liczbę cykli odrywania się wirów w przyjętym projektowym okresie użytkowania (np 50 lat)  oblicza się z formuły $(\ref{14})$,  co odpowiada sytuacji zmęczenia wysokocyklowego.
2) bufetowanie (porywistość wiatru) . Wywołuje drgania wzdłużne ($X$)  i poprzeczne ($Y$) o charakterze losowym. Liczbę cykli szacuje się tu metodą zliczania płatów (np. algorytm Rainflow counting) na podstawie syntetycznych szeregów czasowych parcia wiatru.
3) galopowanie (drgania wzbudzane ruchem w kirunku $X$ ) dotyczy głównie kominów z osprzętem o niekołowym przekroju. Tutaj liczba cykli wynika z czasu trwania wiatrów o prędkościach powyżej prędkości startowej galopowania.
4)  parasejsmiczne są  przypadkami zmęczenia niskocyklowego (liczba cykli $10^1 \div 10^3$), gdzie o zniszczeniu decyduje bardzo duża amplituda odkształceń w krótkim czasie dla których liczbę cykli drgań można oszacować na podstwie artykułu  Zmęczenie niskocyklowe elementowkonstrukcji

Sytuacje  bufetowania, galopowania i drgań parasejsmicznych nie ejst przedmiotem niniejszego artykułu,

Tab.1. Algorytm procedury projektowej i weryfikacyjnej

Uwagi tabeli algorytmu:

(1) Zmęczenie wzdłużne (Kierunek X). Po montażu przerywaczy (helis)  (Etap$(\ref{E}.4)$) , komin przestaje drgać poprzecznie, ale staje się podatny na porywistość wiatru (buffeting). Zwiększony współczynnik oporu $(\ref{P}.2)$ powoduje, że każde wahnięcie od porywu wiatru generuje znacznie większy zakres naprężeń $ \Delta\sigma_X $. Należy to sprawdzić szczególnie w spoinach podstawy.
(2) Szacowanie liczby cykli N .
– dla wirów Karmana (Kierunek Y): Wyznaczane z wzoru $(\ref{14})$ na podstawie statystyki prędkości krytycznej.
– dla porywistości (Kierunek X): Wyznaczane metodami spektralnymi lub zliczaniem płatów (np. Rainflow), biorąc pod uwagę porywy wiatru z różnych kierunków ($ c_{dir} $).
(3) Interakcja zabezpieczeń: Turbulizatory aerodynamiczne (helisy) „psują” przepływ, co wymusza powrót do etapu statycznego $(\ref{36}.7)$, przy zmodyfikowanych parametrach
– siła parcia statycznego na trzon i fundament wzrasta o ok. 40%.
– jeśli fundament nie ma zapasu nośności, jedynym wyjściem jest tłumik TMD $(\ref{P}.3)$, który nie zwiększa oporu statycznego,
rozwiązanie problemu w fazie rezonansu (Etap $(\ref{36}.4)$) poprzez montaż turbulizatorów spiralnych (helis) bezpośrednio pogarsza sytuację w fazie parcia maksymalnego (Etap $(\ref{36}.1)$). Zastosowanie parametru $(\ref{P}.2)$  wymusza ponowne przeliczenie nośności fundamentu na moment wywracający zwiększony o ok. 40%.
Przewaga TMD: Tłumik masowy (Tuned Mass Damper) jest rozwiązaniem optymalnym w przypadku braku zapasu nośności fundamentu, ponieważ poprzez parametr (\ref{P}.3) redukuje amplitudy drgań bez zwiększania współczynnika oporu $ c_f $.
(4) Skuteczność helis: Rozwiązania aerodynamiczne redukują współczynnik siły bocznej $ c_{lat} $ (często o 60-80%), co zazwyczaj czyni etap $(\ref{36}.5)$ formalnością, o ile spełnione są warunki ich poprawnego montażu na górnej 1/3 wysokości komina. Zgodnie z wytycznymi, turbulizatory aerodynamiczne są najbardziej efektywne przy liczbie Scrutona $ Sc > 8 $. Dla kominów stalowych (gdzie często $ Sc < 8 $) ich skuteczność powinna być poparta badaniami w tunelu aerodynamicznym lub stosowaniem konserwatywnych współczynników redukcji siły bocznej.
(5) Zmęczenie niskocyklowe: Duże wychylenia (powyżej $ D/50 $) grożą wejściem stali  w zakres plastyczny. Limit ten chroni przed nagłym pęknięciem zmęczeniowym po wystąpieniu zaledwie kilku ekstremalnych wichur.
(6)

(10) Rezonans wiatrowy  Sprawdzenie, czy prędkość krytyczna $v_{crit}$ mieści się w zakresie prędkości projektowych. Jeśli rezonans nie występuje, warunki (2) i (3) są wystarczające dla oceny trzonu w kierunku $X$. W przeciwnym razie należy przejść do analizy poprzecznej (kierunek $Y$).
(11)Granica stabilności przy rezonansie – Amplituda drgań poprzecznych $y_{F,max}$ ograniczona jest limitem $D/50$. Jest to rygorystyczny warunek zapewniający stabilność aerodynamiczną (uniknięcie zjawiska lock-in) oraz ochronę przed utratą stateczności dynamicznej na skutek efektów II rzędu. Przekroczenie tej wartości uznaje się za stan zagrożenia konstrukcji.
(12) Kryterium pominięcia zmęczenia – W praktyce inżynierskiej, jeśli wyznaczona amplituda $y_{F,max}$ jest ekstremalnie mała (np. poniżej $D/150$), zakresy naprężeń mogą spaść poniżej progu zmęczeniowego, co pozwala na uproszczenie procedury. Przy amplitudach bliskich $D/50$ analiza zmęczeniowa jest jednak obligatoryjna.
(13) Zmęczenie stali – Najczęstsza przyczyna awarii kominów. Analiza polega na weryfikacji zakresów naprężeń $\Delta\sigma$ w krytycznych detalach (podstawa komina, zmiany przekrojów) dla prognozowanej liczby cykli w całym okresie eksploatacji (np. 50 lat). Jeśli warunek nie jest spełniony, konieczne jest zastosowanie tłumików lub usztywnienie trzonu.
(14) Luz technologiczny $\Delta_{gap}$ – Dla kominów z wkładami, amplituda musi być dodatkowo ograniczona, aby zapobiec uderzeniom rozgrzanego wkładu o płaszcz
ewnętrzny. Uwzględnia się tu rozszerzalność cieplną oraz tolerancje montażowe. Współczynnik $1,5$ pełni rolę marginesu bezpieczeństwa dla przemieszczeń rezonansowych.
(15) Wytężenie złożone i analiza II rzędu – Ze względu na statyczną niezależność parcia wiatru (X) i wzbudzenia wirowego (Y), sumowanie naprężeń odbywa się wektorowo. Obliczenia II rzędu są obligatoryjne ze względu na znaczną smukłość kominów, gdzie efekt $P-\Delta$ istotnie amplifikuje siły wewnętrzne przy dużych wychyleniach.

Warunek  wytrzymałości na obciążenia quasistatyczne wiatru (w kieunku X)

\[\sigma_X \le f_y \tag {31} \label{31} \]

gdzie:

$\sigma_X = \sigma_{HMH}^{II}$ – naprężenia zastępcze wg hiotezy HMH (Hubera-Misesa-Hencky} z uwzględnieniem efektów nieliniowych:
1) globalnych: albo analiza II rzędu z imperfekcjami, albo  współczynniki wyboczenia i zwixhrzenia: 2) lokalnych – uwzględnienie nistateczności miejscowej płaszcza ściskanego obwodow i wzfłuż pobocznic, wywołane parciem quasistatycznym ($\ref{25}$),

$f_y$ granica plstycznośći (wytrzymałosc stali) dla naczęściej stosoanej stali S355  $f_y= 355 \, MPa$

Warunek ($\ref{31}$ dla parcia maksymalnego musi być spełniony  przed analizą rezonansu.
Po dodaniu turbulizatorów, należy skorygować współczynnik oporu$c_f$ . Dla przekrojów z helisami przyjmuje się $c_f$ w zakresie 1,2 – 1,5,a w praktyce inżynierskiej nqjczęściej 1,4

Warunek przemieszczenia maksymalne w kierunku X

Parametryzacja modelu

Wybór strategii zabezpieczeń determinuje parametry wejściowe do globalnego modelu obliczeniowego, co przedtawiono w tab.2.

Tab. 2. Parametry modyfikujące model (Parametryzacja )

$$\begin{array}{|c|l|c|c|l|} \hline
\hline \textbf{Etykieta} & \textbf{Strategia} & \textbf{Parametr} & \textbf{Wartość / Wzór} & \textbf{Wpływ na model obliczeniowy} \\
\text{(P.1)} & \text{Gładki (Bazowy)} & c_f & 0,6 \div 1,2 & \text{Zależny od liczby Reynoldsa (Re)} \\
\text{(P.2)} & \text{Turbulizatory} & c_{f,mod} & 1,4 \cdot c_f & \text{Wzrost parcia } F_w \text{ i zmęczenia w osi X} \\
\text{(P.3)} & \text{Tłumiki (TMD)} & \delta_{eff} & \delta_s + \delta_{TMD} & \text{Wzrost Sc i redukcja amplitud } y_{max} \\
\text{(P.4)} & \text{Izolacja / Osprzęt} & \delta_{total} & \delta_s + \delta_{str} & \text{Zwiększenie tłumienia systemowego} \\
\hline  \tag{P}\label{P}\end{array}$$

Dopuszczalne przemieszczenia i kryterium stabilności

Tab.3. Dopuszczalne przemieszczenia i kryteria stabilności

$$\begin{array}{|l|c|c|l|} \hline \textbf{Kryterium} & \textbf{Kier.} & \textbf{Formuła graniczna} & \textbf{Opis i cel sprawdzenia} \\ \hline \text{Statyka SGU}^{(1)} & X & f_{dop,x} = \cfrac{h}{50 \div 100} & \text{Sztywność trzonu przy parciu } q_p \\ \hline \text{Stabilność SGN}^{(2)} & Y & y_{F,max,dop} = \cfrac{D}{50} & \text{Granica stabilności i liniowości aero.} \\ \hline \text{Integralność}^{(3)} & Y & y_{F,max,dop} = \cfrac{D}{10} & \text{Absolutna granica geometryczna} \\ \hline \text{Luz technol.}^{(4)} & Y & y_{adm,dop} = \cfrac{\Delta_{gap}}{1,5} & \text{Ochrona wkładu wewnętrznego} \\ \hline \text{Zmęczenie}^{(5)} & Y & \Delta\sigma(y) \le \cfrac{\Delta\sigma_c}{\gamma_{Mf}} & \text{Kryterium trwałości strukturalnej} \\ \hline \end{array} $$

Uwagi do tab.2
(1) Sztywność w kierunku wiatru $ f_{dop,x} $ – Ograniczenie strzałki ugięcia od parcia statycznego wynika z wymagań funkcjonalnych obiektu:
– warunek ostry  h/100 stosowany przy instalacji urządzeń wrażliwych (systemy monitoringu emisji CEMS, anteny) oraz w celu ochrony izolacji termicznej wkładów wewnętrznych przed zgnieceniem.
– warunek łagodny h/50 stosowany dla prostych kominów przemysłowych bez dodatkowego wyposażenia; limit ten chroni głównie walory estetyczne i komfort psychiczny użytkowników.
(2) Granica stabilności  D/50 . Przyjęcie limitu 2% średnicy jako bezpiecznego „bufora” wynika z następujących przesłanek:
– liniowość modelu aerodynamicznego: Modele normowe wg PN-EN 1991-1-4 zachowują ważność, dopóki drgania nie zdezorganizują przepływu (uniknięcie zjawiska lock-in),
-efekty II rzędu: Przy wychyleniu rzędu $ D/50 $ dodatkowy moment od ciężaru własnego ($ P-\Delta $) staje się istotny; większe ugięcia grożą utratą stateczności dynamicznej.
-zmęczenie niskocyklowe: Limit ten chroni konstrukcję przed wejściem stali w zakres pracy plastycznej (szczególnie w strefie przyfundamentowej) po kilku gwałtownych incydentach wiatrowych.
– instalacje: Zapobiega mechanicznemu uszkodzeniu drabin, podestów oraz rozszczelnieniu połączeń wkładów.
(3) Granica geometryczna D/10 – Absolutne maksimum (10% średnicy średniej), powyżej którego konstrukcja znajduje się w stanie bezpośredniego zagrożenia zniszczeniem. Przekroczenie tej wartości uznaje się za błąd projektowy wymagający natychmiastowego zastosowania tłumików.
(4) Luz technologiczny $ \Delta_{gap} $ – Wymóg zachowania odstępu między płaszczem a wkładem. Przy określaniu $ y_{adm,dop} $ uwzględnia się rozszerzalność cieplną oraz tolerancje montażowe. Współczynnik 1,5 gwarantuje, że przy drganiach rezonansowych nie dojdzie do uderzeń wkładu o konstrukcję wsporczą.
(5) Relacja stabilności do zmęczenia . W praktyce inżynierskiej często przyjmuje się, że spełnienie rygorystycznego kryterium stabilności ($ D/50 $) przy dużej rezerwie sztywności pozwala na uproszczenie lub pominięcie analizy zmęczeniowej. Jednak w przypadku optymalizacji przekrojów lub stosowania detali o niskiej klasie karbu, należy stosować bezpośredni warunek naprężeniowy

Jest to najbardziej miarodajne kryterium trwałości, gdyż większość awarii kominów stalowych wynika właśnie ze zmęczenia materiału w strefach połączeń.

Urządzenia zapobiegające drganiom parametrycznym

Metody ograniczania wzbudzania wirowego i drgań parametrycznych

Jeśli obliczenia wykażą przekroczenie dopuszczalnych amplitud lub zagrożenie zmęczeniowe, projektant ma trzy główne drogi wyjścia:

• Zwiększenie masy konstrukcji (łącznie konstrukcji stalowej, drabin, obudowy itp) tak, aby  preśosć krytyczna $v_{crit}$ ($\ref{3}$)  była większa ( ok 25%) od prędkości występujących na danym terenie zgodnie z kryterium  ($\ref{9}$). Efekt można uzyskać przez zwiększeniew średnicy lub grubości płaszcza komina, ale  najczęściej jest to nieekonamiczne i stosuje się turbulizatory lub tłumiki masowe.
• montaż tzw. przerywaczy Scrutona (spoilerów aerodynamicznych) lub  perforowane nakładki rurowe, które zaburzają one synchronizację odrywania się wirów,
• zastosowanie tłumików masowych (TMD) montowanych pod galerią lub na wierzchołku komina.

Urządzenia aerodynamiczne dezorganizujące odrywanie się wirów Karmana (turbulizatory spiralne, spollery lub skrzela, – rys. 8 , 9) można stosować tylko w specjalnych warunkach, np gdy jeżeli wartości liczby Scrutona są większe od 8.  Liczba Scrutona, obliczona z wyrażenia ($\ref{17}$) jest dla kominów stalowych zwykle mniejsza od 8.

Dlatego współcześnie zaleca się stosowanie rozwiązania 2 poprzez instalowanie tłumików na kominie, który może wejść w rezonans wiatrowy. W przypadku zastosowania urządzenia aerodynamicznych w tym turbulizatorów dla liczby Scrutona mniejszej od 8 ich skuteczność powinna być potwierdzona niezależnymi badaniami, takimi jak badania tunelowe.

Przerywcze wirów

Zwiększenie chropowatości powierzchni komina prowadzi do zrywania wrów Karmana, ale też zwiększa opó aerodynamiczny lkonstrukcji. Jako urządzenia aerodynamiczne stosuje się:

• turbulizatory,
• nakładki rurowe perforowane,
• inne urządzenie (często wystarczają galerie , urządzenia reklamowe, antenowe, itd. instalowane przy wierzchołku komina.

Na rys. 8 pokazano podstawowe typy turbulizatorów. Turbulizatory (przerywacze) mają za zadanie zaburzyć regularność odrywania się wirów Karmana w górnej strefie komina. Zaleca się wykonywać je w postaci trzech spiral o skoku 5D i wysokości całkowitej 0,4Hk, licząc od głowicy. Turbulizatory wykonuje się z pierścieniowych odcinków blachy grubości 5 mm o odpowiednim promieniu i długości łuku wewnętrznego (rys. 8a). Turbulizator spiralny można też wykonać w postaci odcinków blachy prostokątnej ustawionych pionowo tak, aby środek boku dłuższego prostokąta znalazł się na linii spiralnej płaszcza, jako tzw. turbulizator skrzydełkowy (rys. 8b) lub w postaci nakładek pionowych (rys. 8c). skuteczne są turbulizatory nawinięte spiralnie z trzech drutów okrągłych o średnicy D/200, pod kątem 11º względem tworzącej (rys. 8d).

Rys.8 Turbulizatory: a) spiralny z odcinków pierścienia, b) skrzydełkowy, c) z nakładek pionowych, d) z prętów okrągłych [19]

Rys.8 Turbulizatory: a) spiralny z odcinków pierścienia, b) skrzydełkowy, c) z nakładek pionowych, d) z prętów okrągłych [19]

Turbulizator typ ) a) i d), to przerywacze helisowe (Scrutona, nqajcześciej stosowane w praktyce:

typ a): k lasyczna formę z trzema żebrami nawiniętymi śrubowo na trzon komina. w przykładzie skok helisy równy $5D$ (pięciokrotność średnicy) oraz wysokość żebra wynoszącą 0,1D$. Jest to najskuteczniejsza konfiguracja tłumiąca drgania poprzeczne.

typ d): To uproszczona wersja helisy, gdzie pokazano kąt pochylenia żebra względem osi (na rysunku $11^\circ$) oraz zasięg montażu na kominie, który wynosi $0,4 H_k$ (czyli górne 40% wysokości komina).

Warianty a i d są najczęściej spotykane w praktyce inżynierskiej, ponieważ:
-działają niezależnie od kierunku wiatru: Dzięki owinięciu wokół całego trzonu, helisa zawsze „spotyka” wiatr pod odpowiednim kątem.
-skutecznie niszczą synchronizację: Wymuszają odrywanie się wirów w różnych fazach na całej długości trzonu, co sprawia, że wypadkowa siła wzbudzająca staje się bliska zeru.

Pozostałe widoczne na rysunku rozwiązania to:
typ b) – przerywacze schodkowe (uproszczona technologia wykonania),
typ c) – przerywacze listwowe (pionowe), które są mniej skuteczne przy zmianach kierunku wiatru niż helisy.

Wartość podstawową efektywnej siły   bocznej $c_{lat}$ (rys.7) można  pomnożyć przez współczynnik $\alpha$ obliczany ze wzoru [17]:

\[ \alpha=(1- \cfrac {l_s}{h})^3 \tag{36} \label{36} \]

gdzie:
$l_s$ – teoretyczna  długość powłoki z przerywaczami (np 4D), często przyjmuje $ l_s \approx$ 1/3 całkowita wysokość komina, a łącznie z często wymaganym przedlużeniem odcinka instalowania przerywaczy $l_s$nie mniej niż $ 0,3 \cdot h$ – rzczywista długość odcinka od wierzchołka komina licząc wynosi  ok. 2/3 h.

Na rys. 9 przedstaawiono zestaw urzażeń aerodynamicznych prezentoweanych w pracy Petersen (2013) [20]. Rys 9a przedtawia perforowaną nakładkę rurową, a kolejne to trubulizatory, kolejna: 9b= 8a, 9c=8c, 9d= 8d, 9e= 8b. Nsa rys. 9f pokazano turbulizator naniesioney na linii śrubowej.

Rys.9 Urządzenie aeorodynamiczne: a) nakładka rurowa, b)-e) turbulizatory [20] – str. 1019

Według Petersena [20] z rozwiązań pokazanych na rys. 9 skuteczne są: a) i b), a nie potwierdzono pełnej skuteczności pozostałych.

Ze względów praktycznych ( łątwośći montażu) często stosuje się  płaskowniki o wysokosći wysokość 0,1 do 0,12 D.ułożne w ksztalt linii spiralnej (rys. 8b, 9e) na długości 4,5 do 5 D.

Tłumiki drgań

Zmianę częstotliwości drgań własnych komina lub rozpraszania energii (tłumienie drgań) uzsykuje się przez zainstalowanie tłumików na kominie, w punkcie stałym (tłumienie bezpośrednie) lub na odciągach.

Urządzenia, montowane na kominie w celu zmiany częstotliwości drgań własnych najczęściej realizowane są poprzez umieszczenie przy głowicy słupa wahadeł (rys.10a) lub umieszczenie na galerii skrzynek z tłumikami (rys.10b).

Rys.10 Tłumiki umieszczone przy głowicy komina: a) wahadła, b) skrzynki z układem tłumiącym. 1- trzon komina, 2- galeria, 3-tłumiki wahadłowe 4- podkłady gumowe , tłumiące dźwięki uderzeń whadeł, 5- tłumiki w skrzynce, 6 – głowica komina, 7- drabina wejściowa

Rys.10 Tłumiki umieszczone przy głowicy komina: a) wahadła, b) skrzynki z układem tłumiącym. 1- trzon komina, 2- galeria, 3-tłumiki wahadłowe 4- podkłady gumowe , tłumiące dźwięki uderzeń whadeł, 5- tłumiki w skrzynce, 6 – głowica komina, 7- drabina wejściowa.  [19]

Tanim wypełnieniem skrzynek tłumików jest woda. Cieczowe tłumiki drgań pokazano na rys. 11.

Rys.11. Cieczowy tłumik drgań parametrycznych  [21]

Rys.11. Cieczowy tłumik drgań parametrycznych  [21]Przerywacze z tłumikami

Zastosowanie obu sposobów jednocześnie (przerywaczy z tłumikami) wymaga specjalistycznych analiz i nie powinno być bez uzasadnienia stosowane w zwykłym procesie projektowania kominów.

Konsekwencje zastosowania urządzeń  przeciwwirowych

Turbulizatory działają aerodynamicznie – „psują” przepływ, aby zapobiec rezonansowi, ale robią to kosztem zwiększenia oporu statycznego. W konsekwencji nastąpi wzrost współczynnika oporu ($c_f$). Zamiast standardowego współczynnika dla gładkiego walca, należy przyjąć wartość zmodyfikowaną:

[\  c_{f, mod} = c_f \cdot (1 + \Delta c_f) \tag {37} \label{37}\]

gdzie
$\Delta c_f $  =10 \%   \div  50 \% $\approx  40 \%$

Tłumiki masowe (ang. Tuned Mass Dampers) nie zmieniają aerodynamiki komina, lecz jego odpowiedź mechaniczną. Konsekwencją ich zastosowania jest:

• Wzrost tłumienia ($\delta_s$)
  To najważniejsza zmiana. Tłumik masowy sztucznie podnosi logarytmiczny dekrement tłumienia układu. Zamiast niskiej wartości dla stali ($\delta_s \approx 0,012$), w obliczeniach można przyjąć wartość efektywną $\delta_{eff}$, która może być kilkukrotnie wyższa.
• Spadek liczby Scrutona ($Sc$)
  Ponieważ $Sc$ ($\ref {17}$) jest wprost proporcjonalna do tłumienia, jej wartość znacząco rośnie.
• Redukcja amplitudy ($y_{max}$)
  Wyższa liczba Scrutona drastycznie obniża wyliczoną amplitudę drgań poprzecznych zgodnie ze wzorem ($\ref{15}$) .
• Brak zmian w $c_f$
  W przeciwieństwie do turbulizatorów (np helis), TMD jest montowany wewnątrz komina lub pod galerią, więc parcie statyczne wiatru ($F_w$) w fazie $v_{max}$ pozostaje bez zmian.

Nowoczesne podejście do analizy dynamicznej kominów stalowych

Wstęp i algorytm pojektowy

Projektowanie nowoczesnych, smukłych kominów stalowych wymaga wyjścia poza proste analizy statyczne. Kluczowym wyzwaniem jest poprawne ujęcie wzbudzenia wirowego (drgań poprzecznych) oraz ich korelacja z ugięciem statycznym. Poniższa tabela opisuje ścieżkę  projektową, integrującą wymagania Stanów Granicznych Nośności (SGN) i Użytkowalności (SGU) przy zastosowaniu nowoczesnehgo lomercyjnego programu do projektowania konstrukcji stalowych Consteel [13] oraz popularcnego programu Excel.

Tab.2 Algorytm projektowy z wykorzystaniem programu Cnsteel i Excel

\[\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline\textbf{Etap} & \textbf{Narzędzie} & \textbf{Czynność / Operacja} & \textbf{Wynik / Output} \\ \hline
\text{1. Modelowanie geom.} & \text{Consteel} & \text{Budowa modelu 3D (geometria i sztywność)} & \text{Model sztywności} \\ \hline
\text{2. Modelowanie mas} & \text{Consteel} & \text{ Zamiana obciążeń na masy} & \text{Model masy} \\ \hline
\text{3. Dynamika} & \text{Consteel} & \text{Analiza modalna (LBA / Modal Analysis)} & n_1, \mathbf{\Phi}, \mathbf{m} \\ \hline
\text{4. Eksport danych} & \text{Consteel} & \text {Drukowwanie  tabeli węło mas i przemieszczeńdo pliku *.csa} & \text{Dane do Excela} \\ \hline
\text{5. Normalizacja} & \text{Excel} & \text{Normowanie postaci: } \bar{\phi}_i = \phi_i / \phi_{max} & \text{Wektor } \bar{\Phi} \\ \hline
\text{6. Integracja} & \text{Excel} & m_e = \frac{\sum (m_i \bar{\phi}_i^2)}{\sum (\bar{\phi}_i^2 \Delta s_i)} & m_e \text{ [kg/m]} \\ \hline
\text{7. Aerodynamika} & \text{Excel} & \text{Wyznaczenie } Sc, v_{crit} \text{ oraz amplitudy } y_{max} & y_{max} \text{ [m]} \\ \hline
\text{8. Obciążenia} & \text{Excel} & F_{w,i} = m_i (2\pi n_1)^2 \bar{\phi}_i y_{max} & \text{Wektor } \mathbf{F_w} \\ \hline
\text{9. Implementacja} & \text{Consteel} & \text{Wklejenie sił } F_{w,i} \text{ do przypadku obciążenia} & \text{Obciążenie w MES} \\ \hline
\text{10. Kombinatoryka} & \text{Consteel} & 1.0 \cdot G + 1.0 \cdot W(v_{crit}) + 1.0 \cdot F_w & \text{Kombinacja SGN} \\ \hline
\text{11. Finał SGN} & \text{Consteel} & \text{Analiza II rzędu (GNA) – Overall Method} & \sigma_{tot, II}, \eta \\ \hline
\text{12. Zmęczenie} & \text{Excel/CS} & \text{Wyznaczenie } \Delta\sigma \text{ z wyników II rzędu} & \text{Trwałość } N \\ \hline
\end{array} \]

Uwagi:
(1) Tworzenie modelu 3D mas w programie Consteel w kroku „Modelowanie” wymaga zmiany modelu fizycznego  3D  na model mas.
Komin należy podzilić na elemty  (pręty) o długościach nie większych niż 0,5 – 1,0 m, co jest biezbędbne do poprawnego odwzorowania postaci drgań $\phi(z)$ oraz do precyzyjnego wyeksportowania mas węzłowych do Excela. Każda zmiana grubości blachy lub średnicy musi być odzwierciedlona nowym przekrojem przypisanym do odpowiedniego odcinka. Do komina należy dodać blok fundamentowy oraz podporę sprężystą na gruncie.

(2) Z modelu geometrycznego nalezy wygerenowć przypadki mas (Mass Cases), przy czym masę własną program genereuje automatycznie na podstawie przekrojów stalowych.Masy dodatkowe (skupione/liniowe. Masę  wyposażenia (drabiny, pomosty, galeria wierzchołkowa) oraz izolacji i wkładów nalezy dodać ręcznie.
Należy zdecydować, czy wkład (liner) drga razem z płaszczem (sztywne połączenie), czy jest niezależny (wtedy jego masa może być pominięta w analizie drgań płaszcza, ale musi być uwzględniona w analizie P-Delta).

(3) Krok 3. „Dynamika” należy przprowadzić analzię modalną (Modal Analysis). Liczba postaci drgań ustawić na 5-10., co  wystarcza do zidentyfikowania  pierwszej postać giętną dla obu osi). Należy upewnić się, że program uwzględnia wcześniej zdefiniowane przypadki mas (Mass Cases)i czy obciązęnia stałe też zostały przekonwertowane na masy. Po uruchomieniu  obliczń program rozwiązuje zagadnienie własne ($\mathbf{K} – \omega^2 \mathbf{M} = 0$)i wyznacza częstotliwości drgań własnych ($n_i$): Szukamy $n_1$ (podstawowej częstotliwości giętnej) na podstawie analizy wektorów własnych ($\mathbf{\Phi}_j$).
Należy sprawdzić wizualnie, czy pierwsza postać drgań jest globalnym wygięciem wspornika. Należy wyeliminować postacie lokalne (np. drgania samej drabiny lub pomostu), które mogłyby zafałszować wynik częstotliwości podstawowej.
Wynik kroku: Precyzyjna wartość $n_1$ oraz zestaw rzędnych $\phi_i$, które w następnym kroku przeniesiemy do Excela w celu obliczenia masy równoważnej $m_e$ i sił $F_w$.
(4) Tabele rzędnych węzłów, częstości drgań , rzędnycvh $\phi_i$  dukujemy do tabel i wczytujemy do Excel

(5) (Normalizacja) Dla procedury Excelowej istotne jest, aby postać drgań była unormowana (zazwyczaj do jedności na wierzchołku, czyli $\phi_{max} = 1,0$). Stosoenie do wymagania modyfikujemy tabelę

Krok 4 (Całkowanie w Excelu):

To najważniejszy moment „pomostowy”. W Excelu nie musisz znać analitycznej funkcji $\phi(z)$. Po prostu używasz danych z Consteel:

• Masz kolumnę z masami węzłowymi $m_i$ [kg].

• Masz kolumnę z unormowanymi przemieszczeniami $\phi_i$ [-].

• Wynik $m_e$ [kg/m] uzyskujesz dzieląc sumę energii przez sumę kwadratów przemieszczeń ważoną długością segmentów.

Krok 9 (Dlaczego GNA w Consteel?):

Uruchomienie analizy nieliniowej (GNA) w Consteel pozwala automatycznie uwzględnić to, o czym pisali Papp i Szalai – dodatkowy moment zginający od ciężaru własnego $G$ na ramieniu wychylenia poprzecznego $y_{max}$. Excel sam w sobie tego nie zrobi bez ekstremalnie złożonych makr, a Consteel robi to natywnie w swoim silniku II rzędu.

Krok 10 (Analiza zmęczeniowa):

Zamiast brać naprężenia z „ręcznych” wzorów, bierzesz różnicę naprężeń w przekroju (np. przy fundamencie) z analizy II rzędu przy maksymalnym wychyleniu $y_{max}$. Daje to znacznie rzetelniejszy obraz pracy spoiny, ponieważ uwzględnia rzeczywistą redystrybucję sił w smukłej konstrukcji.

Co to zmienia w Twoim artykule?

Takie przedstawienie sprawy pokazuje, że Excel nie jest tylko kalkulatorem, ale procesorem danych modalnych, a Consteel nie jest tylko programem do statyki, ale nieliniowym weryfikatorem SGN. To połączenie zamyka proces projektowy w profesjonalną pętlę obliczeniową.

__________________________________

Tab.  3 Zbiorcze kryteria i parametryzacja dynamiczna kominów

[\ \begin{array}{|l|c|l|l|} \hline \textbf{Kryterium / Parametr} & \textbf{Kier.} & \textbf{Warunek / Metoda} & \textbf{Uwagi dla dowolnego schematu} \\ \hline \text{Częstotliwość } n_1 & – & n_1 = \text{FEM / Wzór uproszczony} & \text{Uwzględnić: fundament, } EI(z), m_t(z) \\ \hline \text{Statyczne (SGU)} & x & u_{max,x} \le h / 50 \div 100 & \text{Analiza II rzędu dla wiatru } v_{max} \\ \hline \text{Geometryczne (SGN)} & y & y_{max,y} \le 0,1 \cdot D & \text{Limit stabilności płaszcza przy } v_{crit} \\ \hline \text{Eksploatacyjne (SGU)} & y & y_{max,y} \le \Delta_{gap} / 1,5 & \text{Dla kominów z wkładem; } \Delta_{gap} = \text{luz} \\ \hline \text{Wytrzymałościowe (SGN)} & x+y & \sigma_{tot} = \sqrt{\sigma_{x,II}^2 + \sigma_{y,II}^2} & \text{Sumowanie geom.; obowiązkowy II rząd} \\ \hline \text{Szczegółowe zmęczenie} & y & \Delta\sigma(y) \le \Delta\sigma_c / \gamma_{Mf} & \text{Analiza } N \text{ zależna od } v_{crit} \text{ i } Sc \\ \hline \end{array}\]

2. Analiza masy równoważnej ($m_{eq}$ vs $m_e$)

W nowoczesnej analizie dynamicznej kluczowe jest rozróżnienie dwóch parametrów masowych, które matematycznie opierają się na tej samej zasadzie uśredniania energią kinetyczną (kwadratem postaci drgań $\phi^2$).

Masa $m_{eq}$ (do częstotliwości): Służy do wyznaczenia $n_1$. Rozdzielamy ją na masę konstrukcyjną ($m_s$ – odpowiadającą za sztywność) i całkowitą ($m_t$).
Masa $m_e$ (do wzbudzenia wirowego): Definiuje liczbę Scrutona ($Sc$), decydującą o amplitudzie drgań. Jest to masa całkowita drgająca.
Procedura całkowania wagowego

Przyjmując przybliżoną postać drgań komina wspornikowego $\phi(z) = (z/h)^2$, wagę segmentu $i$ na odcinku $[z_1, z_2]$ wyznaczamy jako:

$$\bar w_i = \left[ \frac{z^5}{h^4} \right]_{z_1}^{z_2}$$

Dla komina podzielonego na równe segmenty (licząc od góry), otrzymujemy następujące udziały masy w dynamice układu:

Podział na 3 segmenty: S1 (Góra) = 0,868; S2 = 0,128; S3 (Dół) = 0,004.
Podział na 4 segmenty: S1 (Góra) = 0,763; S2 = 0,206; S3 = 0,030; S4 (Dół) = 0,001.
Wniosek: Masa górnej 1/3 wysokości komina w blisko 87% decyduje o odpowiedzi dynamicznej. Masa przy fundamencie ma wpływ znikomy.

3. Integracja z Metodą Ogólną (Analogia Chladný, Papp, Szalai)

Dostrzega się głęboką analogię między analizą komina a procedurami stateczności ram stalowych (Metoda Ogólna wg normy [22].,

Imperfekcja dynamiczna: Amplituda wzbudzenia wirowego $y_{max}$ pełni rolę projektowej imperfekcji geometrycznej. Podobnie jak u Chladnego, kształt tej „niedoskonałości” jest narzucony przez pierwszą postać drgań własnych $\phi(s)$.
Efekty II rzędu (P-Delta): W smukłych konstrukcjach pionowe obciążenie grawitacyjne ($G$) działające na wychylony wierzchołek generuje dodatkowe momenty zginające. Zastosowanie algorytmu Pappa i Szalaia (znanego z silnika Consteel) pozwala na nieliniową amplifikację naprężeń, co jest niezbędne dla rzetelnej weryfikacji SGN.

4. Praktyczny Workflow: Consteel – Excel

Najskuteczniejszą obecnie metodą inżynierską jest połączenie precyzji silnika MES z elastycznością arkusza kalkulacyjnego.

Krok 1: Analiza Modalna (Consteel)

Wyznaczenie częstotliwości $n_1$ oraz eksport wektora mas ($m_i$) i postaci drgań ($\phi_i$) z węzłów modelu.

Krok 2: Przetwarzanie (Excel)

Wykorzystanie funkcji arkusza do wyznaczenia parametrów dynamicznych, których programy MES nie liczą automatycznie:

Numeryczne obliczenie masy równoważnej: $m_e = \frac{\sum m_i \phi_i^2 \Delta s_i}{\sum \phi_i^2 \Delta s_i}$
Obliczenie liczby Scrutona ($Sc$) i prędkości krytycznej ($v_{crit}$).
Wyznaczenie sił statycznie zastępczych: $F_{w,i} = m_i \cdot (2\pi n_1)^2 \cdot \phi_i \cdot y_{max}$
Krok 3: Analiza II rzędu (Consteel)

Powrót z siłami $F_w$ do modelu. Uruchomienie nieliniowej analizy statycznej (GNA) dla kombinacji:

$$1.0 \cdot G + 1.0 \cdot \text{Wiatr}(v_{crit}) + 1.0 \cdot \text{Vortex}(y_{max})$$

Wynikowe naprzężenia zredukowane $\sigma_{tot, II}$ stanowią ostateczną podstawę do weryfikacji nośności i stateczności ogólnej konstrukcji.

5. Uwagi o schematach złożonych

Dla kominów wieloprzęsłowych lub z odciągami należy porzucić uproszczenie o „masie wierzchołkowej”. W takich układach obszary wzbudzenia (długości korelacyjne) mogą występować w każdym przęśle, gdzie $|\phi(s)| \ge 0,85 \cdot \phi_{max}$. Wymaga to indywidualnego całkowania masy dla każdej istotnej postaci drgań własnych.

Przykłady

[ Przykład 1:  Studium Przypadku: Analiza Inżynierska Komina Stalowego $h = 25 m ]Dane

h = 25 m,
D = 800 mm,

Komin podzielono na trzy segmenty po 1/3 wysokści
S1 (góra) : 50/3 m do 25 m
S2 (środek): 25/3 do 50/3 m
S3 (dół): 0 do  25/3

Lokalizacja: Busko-Zdrój (I strefa wiatrowa, kategoria terenu IV

Wariant 1 : Model postawowy

Założono grubości:
S1  $t_1 = 6 \,mm$
S2 $t_2 = 8 \, mm$
$3  $t_3 = 10 \, mm$

Wariant 1A „Bazowy” (S235, bez korozji, bez ocieplenia, bez wkładu)

Analiza dynamiki „gołego” płaszcza stalowego.

Masa rozłożona segmentów komina  i masa równoważna

Masyy liniow segmentów (stal S235; $\rho_s = 7850 \, kg/m^3$,  $D = 0,8 \, m$):

S1 (góra, $t_1 = 6 \, mm$):
$m_{s,1} = 7850 \cdot 3,1415 \cdot 0,8 \cdot 0,006 = \mathbf{118,37 \, kg/m}$
S2 (środek, $t_2 = 8 \, mm$):
$m_{s,2} = 7850 \cdot 3,1415 \cdot 0,8 \cdot 0,008 = \mathbf{157,83 \, kg/m}$
S3 (dół, $10 \, mm$):
$m_{s,3} = 7850 \cdot 3,1415 \cdot 0,8 \cdot 0,010 = \mathbf{197,29 \, kg/m}$

Komin jest podzielony na trzy segmenty o równej dlugości.

($\ref{9}$) Wagi całkowe segmentów:
S1  – 0,868 ; S2  – 0,128 ; S3  – 0,004

($\ref{7}$ $\to m_{s,eq} = (0,868 \cdot 118,37) + (0,128 \cdot 157,83) + (0,004 \cdot 197,29)= \mathbf{123,74 \, kg/m}$

Ponieważ na komimie nie zawieszono  żadnych dodatkowych mas, więc $m_{c,eq} = $m_{s,eq} = 123,74 \, kg/m}$Częstotliwość drgań własnych ($n_1$)

Częstotliwośc qwyznaczono z analiztycznej formuły uproszczonej ($\ref{6}$)  i sprawdzono metoda MES.

Przyjmując $h_{eff} = 25 \, m$ oraz współczynnik $\varepsilon_1 = 1000$ (dla stali):

$($\ref{6}$) $\to n_1 = \cfrac{1000 \cdot 0,8}{25^2} \cdot \sqrt{\cfrac{123,74}{123,74}} = \cfrac{800}{625} \cdot 1 = \mathbf{1,28 \, Hz}$

Po sprawdzeniu metodą MES  na schemacie schodkowym o zmiennej sztywnosći po wysiokości komina i posadowieniu na podłożu   ze stała sprężystości K=20 /, kN/(m^2 mm)$  stwierdzono że częstotliwośc dragąń własnych wynosi

$n_1 = 1,25 =Hz$ , czyli jest niższa od oszacowanej ze wzoru normowego o  2%.

4. Liczba Scrutona ($Sc$)

Masa efektywna $m_e$ dla odcinka korelacyjnego $6D = 4,8 \, m$. Ponieważ cały odcinek $6D$ znajduje się w górnej sekcji S1 (o długości $8,33 \, m$), masa efektywna jest tożsama z masą S1:

$m_e = m_{s,1} = 118,37 \, kg/m$$$Sc = \cfrac{2 \cdot \delta_s \cdot m_e}{\rho_a \cdot D^2} = \cfrac{2 \cdot 0,012 \cdot 118,37}{1,25 \cdot 0,8^2} = \mathbf{3,55}$$Częstotliwość drgań własnych $n_1$:

($\ref{6}$) $\to n_1 = \cfrac{1000 \cdot 0,8}{25^2} \sqrt{\cfrac{118,3}{118,3}} =  \cfrac{800}{625} \cdot 1= 1,28 Hz $

gdzie:
współczynnik postaci $\varepsilon_1=1000$:,
Wysokość efektywna $h_{eff}=$h_{eff} = h = 25 \, m$
Masa konstrukcji m_s = 118,3 \, kg/m
Jest to masa płaszcza stalowego w górnej części komina (kluczowa dla energii drgań).
Masa całkowita  $m_t = m_s = 118,3 \, kg/m$

Wyliczona wartość $1,28 \, Hz$ jest wartością teoretyczną dla idealnego wspornika. W rzeczywistości, z uwagi na segmentową zmianę grubości ścianek (zmniejszenie sztywności $EI$ w górnych partiach) oraz podatność fundamentowania, wartość ta ulega nieznacznemu obniżeniu. Dlatego w dalszej analizie dynamicznej przyjmujemy wartość skorygowaną:

$n_{1,y} = 1,25 \, Hz$

Potwierdzają to dokładne obliczenia MES.

Prędkość krytyczna i liczba Scrutona

($\ref{3}$) Prędkość krytyczna $\to$ $v_{crit} = \cfrac{0,8 \cdot 1,25}{0,18} = 5,56 \, m/s$

gdzie $ S_t = 0,18$ – liczba Strouhala dla walca,

($\ref{17}$)  Liczba Scrutona: $ \to Sc = \frac{2 \cdot 0,012 \cdot 118,3}{1,25 \cdot 0,8^2} = 3,55$

Amplituda drgań poprzecznych ($y_{max}$)

Przy braku tłumików, dla $Sc = 3,55$:

($\ref{15}$) Amplituda  $\to  y_{max} = y_{F,max} = 0,8 \cdot \cfrac{1}{0,18^2 \cdot 3,55} \cdot 0,13 \cdot 0,6 = 0,084 \, m = 84  > D/10 = 800/10= 80  mm$

Konstrukcja niestabilna aerodynamicznie !
Ze względu na niestabilność  zdecydowano o zasrosowaniu przerywaczy (turbulzatotów helis)

Wariant B1  „Realny” (S355, Korozja C5, z wkładem,przerywacze)

W wariancie B1 zstosowano:

• Stal  S355 (stanowiącą obecnie standard konstrukcji stalowych),
  ($f_{y} = 355 \, \text{MPa}$).
• trubukizatoey (w związku z biestatwczniością komina podddanego drganiom parametrycznym),
• dodatki korozyjne dla komina zabezpieczonego zewnętrznie powłoką epksydowo-poliuretanową (korozyjnośc środowka C5).
  ($\ref{\[14}) $to  t_c =1,0 \, mm$ ( korzja jednej wewnętrznej powirzchni)
  W kosekwencji  do obliczeń przyjęto grubości netto blachy płaszcza:
  ($\ref{\[15}) $to$
  $t_{net,1}= t_1 -t_c =  6-1 =5 \,mm$
  $t_{net,2}= t_2 -t_c =  8-1 = 7 \,mm$
  $t_{net,3}= t_3 -t_c =  10-1 = 9 \,mm$
•  przyjęto komin z wkładem

Masa jednostkowa netto ($m_{net}$)
Wyliczenie masy dla górnego, najcieńszego segmentu (który ma kluczowe znaczenie dla dynamiki wierzchołka):

$m_{net} = 7850 \, kg/m^3 \cdot \pi \cdot 0,8 \, m \cdot 0,005 \, m = \mathbf{98,64 \, kg/m}$

Mniejsza masa przy tej samej średnicy (wariant A1 – B1) oznacza mniejszą bezwładność, co pogarsza odporność na drgania.

Częstotliwość drgań własnych ($n_{1,net}$)

$n_{1,net} = \cfrac{1000 \cdot 0,8}{25^2} \cdot \sqrt{\cfrac{98,64}{98,64}} \cdot 0,92 (korekta \, EI) = 1,18 \, Hz$

Liczba Scrutona netto
$Sc_{net} = \cfrac{2 \cdot 0,012 \cdot 98,64}{1,25 \cdot 0,8^2} = 2,96$

2.3. Amplituda z helisami (redukcja 80%)

0,8 \cdot \cfrac{1}{0,18^2 \cdot 3,55} \cdot 0,13 \cdot 0,6 = 0,084 \, m = 84 \, mm$ **Status:** $84 \, mm > 80 \, mm$ ($0,1D$) $\to$ **FAIL (Niestabilność)**
$y_{max,helisa} = (0,8 \cdot \cfrac{1}{0,18^2 \cdot 2,96} \cdot 0,13 \cdot 0,6) \cdot 0,2 = 0,0184 \, m = 18,4 \, mm$

### 2.4. Warunek eksploatacyjny (Wkład $\Delta_{gap} = 60mm$)
$y_{max} \le 60 / 1,5 \to 18,4 \, mm \le 40 \, mm$
**Status:** **OK**

—

## 3. Wariant C: Izolowany (S355, C5, Wełna 6cm + Blacha, helisy)

### 3.1. Geometria i masa całkowita ($D_{aero} = 0,922m$)
$m_{36} = 175 (stal) + 16 (wełna) + 12 (blacha) = 203 \, kg/m$

### 3.2. Liczba Scrutona izolowana
$Sc_{iso} = \cfrac{2 \cdot 0,012 \cdot 203}{1,25 \cdot 0,922^2} = 4,59$

### 3.3. Naprężenia zastępcze u podstawy ($M_t$ od helis, II rząd)
$\sigma_{zast} = \sqrt{(\cfrac{8,5 \cdot 10^3}{4,37 \cdot 10^{-3}})^2 + (\cfrac{32,0 \cdot 10^3}{4,37 \cdot 10^{-3}})^2 + 3 \cdot 0,72^2} = 9,21 \, MPa$
**Status:** $9,21 \, MPa \le 355 \, MPa$ $\to$ **OK (Zapas 97%)**

—

## 4. Porównanie wszystkich wariantów (Tabela zbiorcza)

| Parametr | Jedn. | Wariant A1 | Wariant B | Wariant C |
| :— | :—: | :—: | :—: | :—: |
| Stal | – | S235 | S355 | S355 |
| Korozja C5 (naddatek) | mm | 0 | 1,0 | 1,0 |
| Izolacja wełną | – | Brak | Brak | 60 mm |
| Masa $m_e$ | kg/m | 118,37 | 98,64 | 203,00 |
| Liczba Scrutona $Sc$ | – | 3,55 | 2,96 | 4,59 |
| Prędkość $v_{crit}$ | m/s | 5,56 | 5,24 | 5,89 |
| Amplituda $y_{max}$ | mm | 84,0 | 18,4 | 19,5 |
| Naprężenia $\sigma_{zast}$ | MPa | ~65,0 | 7,64 | 9,21 |
| **Status końcowy** | – | **FAIL** | **OK** | **OK** |

—

### Wnioski końcowe dla studenta:
1. **Wariant A1** upada, bo amplituda przekracza limit geometryczny $0,1D$.
2. **Wariant B** pokazuje, że mimo mniejszej masy (korozja), helisy ratują konstrukcję i spełniają warunek ochrony wkładu.
3. **Wariant C** jest najbezpieczniejszy dynamicznie (najwyższe $Sc$), ale generuje największe parcie statyczne na fundament ze względu na średnicę $D_{aero}$.

## 2. Wariant B: „Realny” (S355, Korozja C5, bez ocieplenia, z wkładem)
*Cel: Wpływ naddatków korozyjnych i obecności wkładu (luz $\Delta_{gap}$).*

### 2.1. Charakterystyka netto (C5)
* Grubości ścianek: $t_{net} = t_{nom} – 1,0mm$ (Dół: 9mm, Środek: 7mm, Góra: 5mm)
* Masa jednostkowa (góra): $m_{net} = 7850 \cdot 3,14 \cdot 0,8 \cdot 0,005 \approx 98,6 \, kg/m$
* Spadek sztywności powoduje: $n_{1,y} = 1,18 \, Hz$

### 2.2. Dynamika i limity eksploatacyjne
* Prędkość krytyczna: $v_{crit} = \frac{0,8 \cdot 1,18}{0,18} = 5,24 \, m/s$
* Liczba Scrutona: $Sc = \frac{2 \cdot 0,012 \cdot 98,6}{1,25 \cdot 0,8^2} = 2,96$ (Bardzo mała stabilność)
* Amplituda (z helisami – redukcja 80%): $y_{max} = 92 \, mm \cdot 0,2 = 18,4 \, mm$

### 2.3. Warunek wkładu ($\Delta_{gap}$)
* Założony luz: $\Delta_{gap} = 60 \, mm$
* Limit: $y_{max} \le \frac{60}{1,5} = 40 \, mm$
* **Wniosek:** $18,4 < 40$. Warunek spełniony.

—

## 3. Wariant C: „Ciężki” (S355, Korozja C5, Ocieplenie 6cm + Blacha, bez wkładu)
*Cel: Wpływ masy izolacji na tłumienie drgań poprzecznych.*

### 3.1. Charakterystyka aerodynamiczna i masowa
* Średnica zewnętrzna: $D_{aero} = 0,8 + 2 \cdot (0,06 + 0,001) = 0,922 \, m$
* Masa całkowita: $m_{36} \approx 175 (stal) + 16 (wełna) + 12 (blacha) = 203 \, kg/m$
* Liczba Scrutona: $Sc = \frac{2 \cdot 0,012 \cdot 203}{1,25 \cdot 0,922^2} = 4,59$

### 3.2. Analiza naprężeń stycznych i II rzędu
* Moment skręcający od helis ($M_t$): Generuje $\tau = \frac{M_t}{2 \cdot A_m \cdot t_{net}} \approx 0,72 \, MPa$
* Moment zginający wypadkowy ($M_{total}$): $\sqrt{M_{x,II}^2 + M_{y,II}^2}$
* Naprężenie zastępcze (Huber-Mises): $\sigma_{zast} = \sqrt{\sigma_{tot}^2 + 3\tau^2} \approx 9,21 \, MPa$ (Dla $v_{crit}$)

—

## 4. Wariant D: „Wysoki Rezonans” (S355, t=12/10/8mm, bez helis)
*Wariant teoretyczny: Czy można uniknąć helis poprzez zwiększenie masy i sztywności?*

### 4.1. Obliczenia
* Zwiększenie grubości ścianek podnosi $n_{1,y} \to 1,45 \, Hz$.
* $v_{crit} = \frac{0,8 \cdot 1,45}{0,18} = 6,44 \, m/s$
* Przy wyższej prędkości siła wzbudzenia rośnie kwadratowo ($F \sim v^2$).
* **Efekt:** Mimo większej sztywności, amplituda bez helis nadal wynosi ok. $75 \, mm$ ($0,09D$).
* **Wniosek:** Samo zwiększanie grubości stali rzadko eliminuje problem wzbudzenia wirowego w kominach smukłych.

—

## 5. Tabela porównawcza wariantów

\[
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Parametr} & \textbf{Jedn.} & \textbf{Wariant A} & \textbf{Wariant B} & \textbf{Wariant C} & \textbf{Wariant D} \\
\hline
\text{Stal} & – & S235 & S355 & S355 & S355 \\
\hline
\text{Izolacja / Wkład} & – & \text{Brak} & \text{Wkład} & \text{Wełna} & \text{Brak} \\
\hline
\text{Stan korozyjny} & – & \text{Nominal} & \text{Netto (C5)} & \text{Netto (C5)} & \text{Nominal} \\
\hline
\text{Masa } m_e & kg/m & 118,3 & 98,6 & 203,0 & 148,0 \\
\hline
\text{Liczba Scrutona } Sc & – & 3,55 & 2,96 & 4,59 & 4,44 \\
\hline
\text{Amplituda } y_{max} & mm & 84,0 & 18,4^{(1)} & 19,5^{(1)} & 75,0 \\
\hline
\sigma_{zast} \text{ (SGN)} & MPa & \approx 65,0 & 7,64 & 9,21 & \approx 110,0 \\
\hline
\text{Status projektu} & – & \text{FAIL} & \text{OK} & \text{OK} & \text{RISKY} \\
\hline
\end{array}
\]
*(1) Wartość po redukcji przez helisy.*

—

## Podsumowanie i wnioski dla studenta:

1. **Rola masy:** Wariant C (z ociepleniem) wykazuje najwyższą liczbę Scrutona ($4,59$), co oznacza, że jest „najcięższy” do rozbujania przez wiatr. Paradoksalnie, dodanie izolacji poprawia warunki dynamiczne.
2. **Rola stali:** Zmiana S235 na S355 (Wariant B) nie pomaga na drgania (amplituda zależy od sztywności $EI$ i masy $m$, a nie od granicy plastyczności $f_y$), ale daje niezbędny zapas przy sumowaniu naprężeń wektorowych i analizie II rzędu.
3. **Naprężenia styczne:** W każdym przypadku są niskie ($< 1 \, MPa$), jednak ich obecność (zwłaszcza skręcanie od helis) musi być odnotowana w pełnym operacie obliczeniowym.
4. **Kryterium decydujące:** W wariantach z wkładem (B) o projekcie decyduje SGU (luz $\Delta_{gap}$). W wariantach bez wkładu (C) decyduje SGN i zmęczenie spoin u podstawy.

Komin stalowy izolowany (Busko-Zdrój)
1. Dane konstrukcyjne i materiałowe (Netto C5)
Lokalizacja: Busko-Zdrój ($v_{b,0} = 22 \, \text{m/s}$, kategoria terenu IV).
Materiał: Stal S355 ($f_y = 355 \, \text{MPa}$).
Struktura: Płaszcz nośny $D=0,8 \, \text{m}$, ocieplenie wełną $60 \, \text{mm}$, obudowa z blachy fałdowej (fałdy pionowe).
Redukcja korozyjna C5: Przyjęto naddatek $t_c = 1,0 \, \text{mm}$.
Charakterystyka przekroju u podstawy (netto):

Średnica aerodynamiczna: $D_{aero} = 0,8 + 2 \cdot (0,06 + 0,001) \approx 0,922 \, \text{m}$.
Grubość ścianki netto: $t_{net} = 10 – 1 = 9 \, \text{mm}$.
Pole przekroju netto: $A \approx 2,23 \cdot 10^{-2} \, \text{m}^2$.
Wskaźnik wytrzymałości netto: $W_{el} \approx 4,37 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3$.
2. Analiza dynamiczna
Dzięki dodatkowej masie izolacji i blachy, wzrasta bezwładność konstrukcji, co wpływa na liczbę Scrutona.

Masa jednostkowa (netto): $m_e \approx 203 \, \text{kg/m}$.
Częstotliwość drgań własnych: $n_{1,y} \approx 1,15 \, \text{Hz}$.
Prędkość krytyczna:

$v_{crit} = \frac{D_{aero} \cdot n_{1,y}}{St} = \frac{0,922 \cdot 1,15}{0,18} \approx 5,89 \, \text{m/s}$.
Liczba Scrutona:

$Sc = \frac{2 \cdot \delta_s \cdot m_e}{\rho_a \cdot D_{aero}^2} = \frac{2 \cdot 0,012 \cdot 203}{1,25 \cdot 0,922^2} \approx 4,59$.

3. Zestawienie kryteriów dopuszczalnych (Tablica Wyników)
Wartości obliczone uwzględniają montaż helis (redukcja amplitudy o $80\%$).

Tab. 1. Weryfikacja parametrów geometrycznych i eksploatacyjnych

Kryterium
Kierunek
Warunek MathJax
Obliczone
Status
Statyczne (SGU)
$X$
$u_{max,x} \le h/50$
$42 \, \text{mm}$
OK
Geometryczne (SGN)
$Y$
$y_{max,y} \le 0,1 \cdot D$
$19,5 \, \text{mm}$
OK
Uproszczone zmęcz.
$Y$
$y_{max,y} \le 0,02 \cdot D$
$19,5 \, \text{mm}$
Przekroczone
Eksploatacyjne
$Y$
$y_{max,y} \le \Delta_{gap}/1,5$
Brak wkładu
N/A

4. Analiza wytężenia (Huber-Mises + II Rząd)
Obliczenia uwzględniają naprężenia od zginania dwukierunkowego oraz naprężenia styczne od momentu skręcającego wywołanego przez helisy na obudowie.

Tab.2.1

\[
\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline \textbf{Etap} & \textbf{Narzędzie} & \textbf{Czynność / Operacja} & \textbf{Wynik / Output} \\
\hline \text{1. Modelowanie} & \text{Consteel} & \text{Budowa geometrii segmentowej, definicja podpór i mas} & \text{Model sztywności i masy} \\
\hline \text{2. Dynamika} & \text{Consteel} & \text{Analiza modalna (Linear Buckling/Modal)} & n_1, \mathbf{\Phi} \text{ (postać), } \mathbf{m} \text{ (masy)} \\
\hline \text{3. Transport} & \text{Clipboard} & \text{Kopiowanie tabeli węzłów (masy i przemieszczenia)} & \text{Dane wejściowe do Excela} \\
\hline \text{4. Integracja} & \text{Excel} & \text{Obliczenie całkowe } m_e = \frac{\sum m_i \phi_i^2 \Delta s_i}{\sum \phi_i^2 \Delta s_i} & m_e \text{ (masa równoważna)} \\
\hline \text{5. Aerodynamika} & \text{Excel} & \text{Wyznaczenie } Sc, v_{crit} \text{ oraz amplitudy } y_{max} & y_{max} \text{ (imperfekcja dyn.)} \\
\hline \text{6. Obciążenia} & \text{Excel} & \text{Generowanie sił } F_{w,i} = m_i (2\pi n_1)^2 \phi_i y_{max} & \text{Wektor sił zastępczych } \mathbf{F_w} \\
\hline \text{7. Implementacja} & \text{Consteel} & \text{Wklejenie sił } F_{w,i} \text{ do nowego przypadku obciążenia} & \text{Model z obciążeniem wirowym} \\
\hline \text{8. Kombinatoryka} & \text{Consteel} & \text{Złożenie: } 1.0 \cdot G + 1.0 \cdot W(v_{crit}) + 1.0 \cdot F_w & \text{Kombinacja krytyczna SGN} \\
\hline \text{9. Finał SGN} & \text{Consteel} & \text{Analiza II rzędu (GNA) – Overall Method} & \sigma_{tot, II} \text{ i wytężenie } \eta \\
\hline \text{10. Zmęczenie} & \text{Excel/CS} & \text{Wyznaczenie } \Delta\sigma \text{ z wyników II rzędu dla } y_{max} & \text{Trwałość zmęczeniowa } N \\
\hline
\end{array}
\]

Tab. 2. 2 Zestawienie naprężeń w przekroju u podstawy

Rodzaj naprężenia
Symbol
Formuła MathJax
Wartość
Normalne (wiatr X)
$\sigma_{x,II}$
$M_{x,II} / W_{el}$
$2,45 \, \text{MPa}$
Normalne (drgania Y)
$\sigma_{y,II}$
$M_{y,II} / W_{el}$
$8,85 \, \text{MPa}$
Styczne (skręcanie)
$\tau$
$M_{t} / (2 \cdot A_m \cdot t_{net})$
$0,72 \, \text{MPa}$
Zastępcze (SGN)
$\sigma_{zast}$
$\sqrt{(\sigma_x^2 + \sigma_y^2) + 3\tau^2}$
$\mathbf{9,21 \, \text{MPa}}$
Weryfikacja warunku nośności:

$\sigma_{zast} = 9,21 \, \text{MPa} \le f_y / \gamma_{M0} = 355 \, \text{MPa}$ (Zapas: 97%).

5. Uwagi merytoryczne i konstrukcyjne
Naprężenia styczne ($\tau$): Choć ich wartość ($0,72 \, \text{MPa}$) jest niska w skali nośności stali S355, ich uwzględnienie jest konieczne przy weryfikacji połączeń blachy fałdowej z płaszczem nośnym. Moment skręcający od helis musi zostać bezpiecznie przeniesiony przez konsole wsporcze.
Brak wkładu wewnętrznego: Rezygnacja z wymurówki/wkładu znacząco ułatwia spełnienie warunków eksploatacyjnych, jednak wymusza rygorystyczne podejście do zabezpieczenia antykorozyjnego (C5) wewnątrz płaszcza (skropliny).
Analiza II rzędu: Dla ugięcia wypadkowego $u_{tot} = \sqrt{42^2 + 19,5^2} \approx 46 \, \text{mm}$ dodatkowy moment od ciężaru własnego wynosi ok. $12\%$ momentu I rzędu. Zostało to uwzględnione w wartościach $\sigma_{II}$.
Wniosek końcowy: Komin w wariancie izolowanym z blachą fałdową pionową charakteryzuje się bardzo wysokim bezpieczeństwem statycznym. Ze względu na przekroczenie progu $0,02 \cdot D$, zaleca się okresowe przeglądy spoin u podstawy, mimo że obliczeniowy zakres naprężeń zmęczeniowych $\Delta\sigma \approx 17,7 \, \text{MPa}$ jest znacznie poniżej granicy wytrzymałości dla klasy detalu 80.

[ Przykład 2  przykłady zabezpieczenia komina ]

Przykład zabezpieczenia komina przed rezonansem wiatrowym podano w pracy [23].

Drgania parametryczne mogą doprowadzi do zmęczenia niskocyklowego komina, co pokazano w pracy [24].