Uogólnienie formuły Ayrton-Perry [R2-4]

Spis treści

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 0 Czytelników
[Imperfekcje projektowe z odchyłek wykonawczych] [poprzednie R2-3]  ⇐  ⊗   ⇒ [następne R3-1] [Imperfekcje konstrukcji, a współczynniki bezpieczeństwa]

Formuła Ayrton i Perry (AFP) (Ayrton, Perry, 1886) jest podstawą współczesnej formacji współczynników wyboczeniowych mimo, że została sformowana  dla specyficznego przypadku pręta idealnie sprężystego, obarczonego zdeterminowaną imperfekcją w postaci łukowego wygięcia. Najnowsze badania uogólniają formułę AFP w teorii alternatywnej amplitudy imperfekcji. Ponadto Rzeczywiste konstrukcje pracują w zakresie sprężysto-plastycznym, a imperfekcje mają charakter losowy.

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 0 Czytelników
[Imperfekcje projektowe z odchyłek wykonawczych] [poprzednie R2-3]  ⇐  ⊗   ⇒ [następne R3-1] [Imperfekcje konstrukcji, a współczynniki bezpieczeństwa]

Alternatywna amplituda imperfekcji

Skalowanie pierwszej postaci wyboczenia sprężystego

Wielu badaczy (Gu, Chan, 2005),(Kim, Lee, 2002), (Mahendran, 2007),[ zotpressInText item=”{EKVJ7CVX}”] przyjmuje, imperfekcje w kształcie pierwszej formy wyboczenia sprężystego. W tym celu najpierw jest prowadzona klasyczna analiza LBA na idealnym modelu konstrukcji (w konfiguracji nieodkształconej i niezaburzonej imperfekcjami), a następnie odbywa się skalowanie kształtu wyboczenia otrzymanego dla pierwszej wartości krytycznej, tak, aby utworzyć początkową imperfekcję. Koncepcja tej teorii wynika z hipotezy, że najniekorzystniejsza geometria imperfekcji jest najbliższa pierwszej postaci krytycznej, ponieważ wymaga najmniejszej energii odkształcania i najkrótszą drogą prowadzi do ostatecznego zniszczenia.

W większości przypadków pierwsza postać wyboczenia może reprezentować kształt zniszczenia i imperfekcje zgodne z tym kształtem wspomagają zniszczenie. Jednakże są też pewne systemy, dla których postać zniszczenia różni się od pierwszej formy wyboczenia. Ponadto szerokie badania statystyczne wskazują, że rzeczywiste kształty imperfekcji prawie zawsze różnią się od krzywych wynikających ze sprężystych postaci wyboczenia, czyli w uproszczeniu od kształtu sinusoidy (np. (Bjerhovde, 1972; Bjerhovde, Tall, 1971)).

Wskazuje się, że taka metoda nie jest wiarygodna we wszystkich przypadkach, ponieważ na poprawność modelu nie przeprowadzono niebudzącego wątpliwości dowodu. Nie pokazano, że na dającym się zaakceptować poziomie prawdopodobieństwa zniszczenia metoda skalowania pierwszej postaci wyboczenia, będzie prowadziła do poprawnego oszacowania obliczeniowej nośności konstrukcji.

(Alveranga, Silveira, 2009)  zaproponowali, by kształt imperfekcji łukowej określać z uwzględnieniem zachowania konstrukcji w zakresie plastycznym ze względu na istotny wpływ naprężeń resztkowych i faktyczne zniszczenie plastyczne, zapoczątkowane wyboczeniem sprężystym (p. pkt 2-3.1.4). W tym ujęciu sprawczy kształt imperfekcji jest wyznaczany w trakcie rozwiązania problemu, a krytyczny kształt sprężysty jest tylko pierwszą iteracją. W istocie rozróżnia się, więc dwa pojęciowo różne rodzaje wstępnych imperfekcji konstrukcji:

  • rzeczywiste, wyznaczone w drodze pomiarów
  • obliczeniowe, to znaczy takie zastępcze imperfekcje nierzeczywiste, które są przyjmowane w obliczeniach, i które sprawiają, że wyznaczona nośność graniczna konstrukcji przybliża się do nośności rzeczywistej. Imperfekcje sprężyste zgodne z postacią wyboczenia mogą być wstępnym punktem startu w analizie nieliniowej, podczas której przekształcą się w inny kształt, odpowiadający mechanizmowi zniszczenia sprężysto-plastycznego.

Hipoteza Chladný

Eugen Chladný w pracy doktorskiej (Chladny, 1958)  i habilitacyjnej (Chladny, 1974) opracował podstawy Alternatywnej Metody Imperfekcji Geometrycznych (AIM) i w 2000 roku zaproponował tę metodę w bardziej ogólnej formie do zastosowania w normie Eurokod 3. Metoda została zaakceptowana w projekcie prEN1993-1-1 (czerwiec 2002) i wprowadzona w pkt 5.3.2 (11) do oficjalnej wersji EN1993-1-1 (2005). Rozszerzona wersja metody AIM  jest stosowana w narodowej normie słowackiej STN EN 1993-1-1 /NA (2007), a także w pkt. 5.3.2 (11) normy europejskiej do projektowania konstrukcji aluminiowych.

Metoda jest wyczerpująco opisana w pracach (Balaz, Aroch, Chladny, Kmet, Vican, 2007), (Sedlacek, Eisel, Hensen, Kühn, Paschen, 2004).

W literaturze można spotkać się z nazwą metody UGLI (Unique Global and Local Initial imperfection)  (Balaz, Kolekova, 2012) lub EUGLI (Equivalent Unique Global and Local Initial imperfection”) (Sedlacek et al., 2004).  Metoda pierwotnie opracowana na przypadek elementów o stałym przekrojów, ściskanych stałą siła osiową, jest stopniowo uogólniana na:

  • elementy o zmiennym przekroju i sile osiowej po długości (Balaz, Kolekova, 2012) ,
  • łuki trójpunktowe (basket handle arch type) w słowackim aneksie normy ,
  • klasę 4-tą przekroju elementu Brodniansky J., Rudolf Ároch R. , (2014), Unique global and local initial imperfection in the shape of the elastic buckling mode (Application of “UGLI” imperfection method for frames with class 4 cross-sections), IASS-SLTE Symposium 2014: Shells, Membranes and Spatial Structures, Brasilia, Brazil, Sep 2014,

W podejściu AIM przyjmuje się hipotezy Chladný AIM 1 i AIM 2:

AIM 1 Kształt wstępnych imperfekcji  $\eta_{ini}$ jest proporcjonalny do postaci wyboczenia sprężystego systemu $\eta_{cr}$:

$$ \begin {equation}  \eta_{ini} (x) = A_m \cdot \overline \eta_{cr} (x) \label {2-4.1}  \end {equation}$$

gdzie  $ A_m$ jest zastępczą (równoważną, alternatywną) amplitudą imperfekcji, podczas gdy $\overline \eta_{cr}(x)$ jest funkcją postaci wyboczenia elementu unormowaną w taki sposób, że jej amplituda jest jednostkowa $|\overline \eta_{cr,max}|=1$. Z wielu postaci wyboczenia systemu należy stosować najniekorzystniejszą, którą najczęściej jest pierwszą postacią wyboczenia (Balaz, Kolekova, 2012), (Dallemule, 2015) .

AIM 2 Imperfekcje alternatywne ($\ref{2-4.1}$)  opisują łącznie lokalne i globalne (zintegrowane) imperfekcje.

Wbrew temu co postulują prace (Shayan, Rasmussen, Zhang, 2014), (Giżejowski, Szczerba, Gajewski, Stachura, 2016),  przyjmujemy że jednocześnie nie wystąpią różne formy wyboczenia konstrukcji i nie należy tych postaci kombinować. Zasadę można uzasadnić w sposób niebudzący wątpliwości w języku prawdopodobieństwa zdarzeń wykluczających.

Alternatywna amplituda imperfekcji  $ A_m$ jest taką zastępczą (nierzeczywistą) amplitudą imperfekcji, która stanowi mnożnik (skalę) dla funkcji sprężystej postaci wyboczenia elementu.

Ideę metody AIM przedstawiono na przykładzie pręta utwierdzono-przegubowego o długości L i stałych po długości charakterystykach $A, \, I_y, \, E$  , ściskanego stałą siłą osiową $N_{Ed} $ . Na Rys. 2-4.1 zilustrowano zasadnicze pojęcia metody alternatywnej w odniesieniu do м-tego przekroju sprawczego o współrzędnej $x_m$.

Rys. 2-4.1. Metoda alternatywna AIM: a) schemat pręta, b) postać wyboczenia , c) imperfekcje alternatywne , d) wykres momentów zginających . Linia przerywana (podstawa efektywna) łączy punkty przegięcia , czyli określa długość efektywną elementu . Imperfekcja (normowa, statystyczna) jest przyrównywana do rzędnej ugięcia w przekroju sprawczym м nad podstawą efektywną

(opracowano na podstawie (Dallemule, 2015))

Na rys. 2-4.1b wykreślono funkcję$ \overline \eta_{cr}(x)$, która jest unormowaną funkcją postaci sprawczej wyboczenia sprężystego układu (pręta lub systemu prętów). Postacią sprawczą jest podstawowa (pierwsza) postać wyboczenia, którą obserwuje się przy najmniejszym krytycznym mnożniku konfiguracji obciążenia. Inna postać wyboczenia, (ale również pierwsza) może dotyczyć innej konfiguracji obciążenia (lub innego schematu pręta, np. po utworzeniu przegubu plastycznego). Unormowanie funkcji polega na takim przeskalowaniu funkcji, by amplituda $|\eta_{cr,max}|=1$.

Na rys. 2-4.1c wykreślono funkcję , która jest alternatywną (zastępczą, równoważną) zintegrowaną (łącznie globalną i lokalną) funkcją imperfekcji układu o amplitudzie $A_m$, odmierzaną od efektywnej podstawy, którą naniesiono linią przerywaną. Podstawa efektywna łączy punkty przegięcia funkcji imperfekcji, czyli punkty zerowe momentu zginającego, odpowiadające tej linii ugięcia.

Normowa (statystycznie określona) amplituda imperfekcji $e_0$ jest amplituda $A_m$.

Na rys. 2-4.1d, wykreślono funkcję momentu zginającego, odpowiadającą kształtowi wyboczenia. Wartość bezwzględna momentu w przekroju „m” jest wartością ekstremalną. Z tego warunku wyznacza się położenie punktu sprawczego „m”.

Metoda AIM uwzględniania geometrycznych imperfekcji konstrukcji jest metodą alternatywną w stosunku do stosowania współczynników wyboczeniowych oraz tak zwanej metody ogólnej (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) i staje się podstawową metodą w projektowaniu konstrukcji.
Idee metody AIM są ważne dla  projektantów.

Analiza LBA (rozwiązania problemu własnego) zaimplementowana we wszystkich pakietach numerycznych jest efektywna (mało kosztowna) i może być zastosowana do dowolnie złożonej konstrukcji. Analiza całego układu bez wydzielania elementów pozwala ujawnić wszystkie możliwe postacie wyboczenia, a w szczególności postacie globalne (przechyłowe lub przeskok) i lokalne (łukowe) w tym ich fizycznie możliwe kombinacje. W zależności od typu elementów skończonych ujawnia też rozmaite rodzaje utraty stateczności (wyboczenie giętne, boczne (zwichrzenia), skrętne, płytowe, powłokowe, itd.) oraz ich fizycznie możliwe kombinacje (interakcję). W istocie postacie i rodzaje utraty stateczności są sprzężone i nie należy dążyć do ich rozprzężenia często tylko po to, by nazwać je, a następnie zastosować uproszczone, normowe zasady interakcyjne.

Uogólnienie formuły Ayrton-Perry

Uogólnienie na zwichrzenie pręta

W 1991 roku w pracy zotpressInText item=”{QVU3L9BH}”] podjęto próbę uogólnienia formuły Ayrton-Perry APF  na przypadek zwichrzenia pręta w drodze skalibrowania  formuły pierwotnej do wyników eksperymentalnych. W późniejszej wersji Eurokod (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) zaimplementowano zmodyfikowaną wersję tej formuły. W pracy (Chapman, Buhagiar, 1993; PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) wyprowadzono teoretycznie formułę APF na  przypadek skręcania i zwichrzenia prętów.

W pracy (Szalai, Papp, 2010) ustalono niezbędne warunki dla spójnego uogólnienia APF dla problemu zwichrzenia belek zginanych i ściskanych stałą siłą.

Naprężenia w przekroju sprawczym zginanym momentem zginającym $M_y$ względem osi większej sztywności, momentem drugiego rzędu $M_z^{II}$ względem osi słabszej  oraz paczonych bimomentem drugiego rzędu $B^{II}$ wyznaczano z ogólnej zależności:

$$ \begin {equation}  \sigma=\cfrac{M_y}{W_y}+ \cfrac {M_Z^{II}}{W_z}+\cfrac{B^{II}}{W_\omega}=f_y  \label {Papp1}  \end {equation}$$

gdzie $W_y$, $W_z$ oraz $W_\omega$ są wskaźnikami wytrzymałości przekroju względem osi „y” i „z” oraz wskaźnikiem wytrzymałości giętno- skrętnej „$\omega$”.

Zagadnieniem zwichrzenia rządzi formuła APF analogiczna do ($\ref{2-3.5}$) z rozwiązaniem ($\ref{2-3.6}$), ale konsekwentnie w miejsce współczynnika wyboczeniowego $\chi$ należy podstawić współczynnik zwichrzenia $\chi_{LT}= \cfrac{M_y}{M_R}$,a w miejsce smukłości względnej $\overline \lambda$ smukłość na zwichrzenie $\overline \lambda_{LT} =\sqrt{\cfrac{M_R}{M_{ce}}}$ , gdzie $M_R=W_y\cdot f_y$.

Parametr imperfekcji  ($\ref{2-3.2a}$) dla zwichrzenia wynosi

$$ \begin {equation}  \Theta_{LT}= \cfrac{W_y}{W_\omega} \cdot \left [ v_0 + \varphi_0 \left( \cfrac{W_\omega }{W_z} – \cfrac{GI_T}{M_{cr}} \right ) \right ] \label {Papp2}  \end {equation}$$

gdzie $v_0$ oraz $\varphi_0$ amplitudy imperfekcji : wygięcia bocznego oraz kąta skręcenia przekroju elementu.

Kompletną analizę zagadnienia APF dla słupów-belek przedstawiono w pracy (Tankova, Marques, Simoes da Silva, Andrade, 2017). Rozwiązanie (Szalai, Papp, 2010) rozszerzono na dowolne rozkłady momentów zginających. Pokazano, że zaproponowana procedura projektowania jest lepsza od  formuł interakcji normy (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) (metoda 2).

Należy zwrócić uwagę, że z  formuły ($\ref{Papp2}$) można ocenić parametr imperfekcji w przypadku zwichrzenia dla znanych imperfekcji projektowych, wyznaczonych z tolerancji wykonawczych.

Formuła APF przy jednoczesnym wyboczeniu i zwichrzeniu

W pracy (Szalai, Papp, 2010) przedstawiono rozwiązanie problemu fundamentalnego: korelacji ściskania ze zginaniem z uwzględnieniem wyboczenia giętnego oraz bocznego (zwichrzenia). Parametry tego problemu oznaczono indeksami BC( Buckling-Compression)

Formułę APF dla problemu BC można zapisać w postaci

$$ \begin {equation}  \chi_{BC}^2 + \chi_{BC} \cdot \left [ -\beta_N – \cfrac{1}{ \overline \lambda_{BC}^2} \left( 1-\Theta \right)  \right ] +\cfrac{1}{ \overline \lambda_{BC}^2} \beta_N = 0 \label {Papp3} \end {equation}$$

gdzie uogólniony parametr imperfekcji jest parametrem ($\ref{Papp2}$)  zmodyfikowanym przez współczynniki amplifikacji:

$$ \begin {equation}  \Theta_{LT}= \cfrac{W_y}{W_\omega} \cdot  \left [ v_0 \cdot a_{\Lambda,z}+ \varphi_0  \cdot a_{\Lambda,x} \left( \cfrac{W_\omega }{W_z} – \cfrac{GI_T}{M_{cr}} \right ) \right ] \label {Papp4}  \end {equation}$$

Współczynniki amplifikacji można wyznaczyć z zależności:

$$ \begin {equation}  a_{\Lambda,x}= \cfrac{1}{1-1/\Lambda_{cr,x}} \quad ; \quad  a_{\Lambda,z}= \cfrac{1}{1-1/\Lambda_{cr,z}}\label {Papp5}  \end {equation}$$

gdzie:
$\Lambda_{cr,x}=\cfrac{N_{cr,x}}{N}$ – mnożnik krytyczny przy czystym wyboczeniu skrętnym,
$\Lambda_{cr,z}=\cfrac{N_{cr,z}}{N}$ – mnożnik krytyczny przy czystym wyboczeniu giętnym względem osi z,
$N_{cr,z}=\cfrac{EI_z \pi^2}{L^2}$,
$N_{cr,x}= \cfrac{1}{r_0^2}\left( \cfrac{EI_\omega \pi^2}{L^2} +GI_T\right)$

Współczynnik korelacji zginania ze ściskaniem (współczynnik udziału ściskania) wynosi:

$$ \begin {equation}   \beta_N =1-n+m_z^{II}+b^{II} \label {Papp6} \end {equation}$$

gdzie $n=\cfrac{N}{N_R}$, $m_z^{II} = \cfrac{M_z^{II}} {M_{R,z}}$, $b^{II}=\cfrac{B^{II}}{B_R}$ są względnymi siłami przekrojowymi: siłą osiową, zginającym momentem  względem osi „z” drugiego rzędu oraz bimomentem drugiego rzędu. Siły względne są odniesione do nośności przekroju: $N_R=N_{pl} A \cdot f_y$, $M_{R,z}=W_z\cdot f_y$, $B_R=W_\omega\cdot f_y$, gdzie $A$ – pole przekroju, $W_z$ – wskaźnik wytrzymałości względem osi słabszej, $W_\omega$ – wycinkowy wskaźnik wytrzymałości.

Współczynnik korelacji najprościej wyznaczać dla sił uzyskanych z rozwiązania drugiego rzędu od wymuszeń imperfekcji. Można też oszacować je w przybliżeniu z zależności:

$$ \begin {equation}    M_z^{II}=M_{z,0} \cdot a_{\Lambda,z} =N\cdot v_0\cdot a_{\Lambda,z} \label {2-3.50} \end {equation}$$

$$ \begin {equation}    B^{II}= \varphi_0\cdot a_{\Lambda,x} \cdot \left [ N\cdot r_0^2 -GI_T \cdot \left (1-\cfrac{1}{ a_{\Lambda,x}} \right )\right ]  \label {2-3.51} \end {equation}$$

Zalezności ($\ref{Papp3}$) do $\ref{Papp5}$) są prawdziwe wówczas, gdy wygięcie wstępne $v_0$ oraz wstępny kąt skręcenia $\varphi_0$ spełniają zależność

$$ \begin {equation}    \cfrac{v_0}{\varphi_0}=\cfrac{M_{cr}}{N_{cr,z}}=r_0 \sqrt{\cfrac{N_{cr,x}}{N_{cr,z}}} \label {2-3.52} \end {equation}$$

gdzie $r_0$ jest biegunowym promieniem bezwładności przekroju.

Rozwiązaniem równania kwadratowego APF również w przypadku interakcji zginania i ściskania przedstawiają formuły ($\ref{2-3.6}$), w których należy podstawić odpowiednie smukłości i parametr imperfekcji.
Z przedstawionych zależności wynika,  parametr imperfekcji zależy od długości pręta oraz przekroju elementu. Funkcyjne zależności są dość złożone, co potwierdza, że zastosowanie teorii wyboczeniowej może prowadzić do słabych oszacowań wytężenia pręta. Z rys. 2-3.16 wynika, że przy interakcji zginania i ściskania zależność współczynnika wyboczeniowego od smukłości może przyjąć zupełnie inny kształt od krzywych normowych.

Rys.2-3.16. Współczynniki wyboczeniowe dla czystego zwichrzenia i interakcji zginania i ściskania.

Lepszym rozwiązaniem jest  wyznaczenie momentu krytycznego  $M_{cr,N}$ pręta,  zmniejszonego wskutek jednoczesnego ściskania i wichrzenia zgodnie z fromuła interakcji:

$$ \begin {equation}    M_{cr,N}=r_0\cdot \sqrt{(N_{cr,z}-N)\cdot (N_{cr,x}-N)}\label {2-3.53} \end {equation}$$

Hipoteza Papp dla zwichrzenia pręta

(Papp, 2016) wyznaczył równoważną amplitudę dla postaci wyboczenia bocznego (zwichrzenia) poprzez uogólnienie podejścia (Ayrton, Perry, 1886) na sprzężony problem (ang. coupled) utraty stateczności pręta, tzn. wyboczenia giętnego sprzężonego z wyboczeniem skrętnym i wyboczeniem bocznym (zwichrzeniem). Matematycznie nie jest ściśle możliwe i praktycznie nie jest potrzebne rozdzielenie postaci wyboczenia giętnego, skrętnego oraz bocznego.

Rozwiązanie bazuje na fundamentalnym rozwiązaniu zagadnienia dla wyboczenia giętnego (Chladny, Stujberova, 2013) , (Chladny, Stujberova, 2013) i uogólnia je na przypadek zwichrzenia. (Papp, 2016) założył mianowicie, że imperfekcje boczne belki są proporcjonalne do funkcji bocznego wyboczenia sprężystego odpowiadającej postaci bocznego wyboczenia sprężystego $\nu_{cr} (x)$.

Zależność na równoważne wstępne wygięcie boczne preta (imperfekcję boczną)  $\nu_0(x)$ w funkcji obliczeniowej amplitudy bocznego wygięcia wstępnego (imperfekcji) $e_{0,z}$  oraz siły krytycznej (Eulera) dla przypadku wyboczenia z płaszczyzny pręta $N_{cr,z}$  zapisano w postaci:

$$ \begin {equation}  v_0(x) =e_{0,z} \cdot  \cfrac{N_{cr,z}}{EI_z \cdot {v^”}_{cr,max} } \cdot  v_{cr} (x) \label {2-3.54}  \end {equation}$$

Równoważne wstępne skręcenie wstępne (imperfekcja skręcenia) wynosi

$$ \begin {equation}  \varphi_0 (x)=  \cfrac{N_{cr,z} }{M_{cr}} \cdot v_0(x) \label {2-3.55}  \end {equation}$$

Formuła ($\ref{2-3.54}$) stanowi uogólnienie normowego wyrażenia na przypadek wyboczenia bocznego (zwichrzenia). Na Rys. 2-3.17 zilustrowano podstawowe zmienne modelu Pappa: – imperfekcje pręta: wygięcie boczne i kąt skręcenia odpowiednio; – wygięcie boczne i kąt skręcenia pręta po obciążeniu (w stosunku do kształtu z imperfekcjami).

W dobie powszechnej komputeryzacji, szczególnie interesujące jest zaproponowane iteracyjne ujęcie numeryczne zagadnienia.

Rys. 2-3.167 Model pręta Pappa w stanie zwichrzenia

(opracowano na podstawie (Papp, 2016))

Formuła Szalai

W 2017 roku Szalai zaprezentował formułę amplifikacji imperfekcji geometrycznych dla belki-słupa, czyli pręta ściskanego, zginanego  i skrecanego nieswobodnie podlegającego  jednoczesnemu wyboczeniu giętnemu  i zwichrzeniu. Uogólnioną formułę amplifikacji da się zapisać w postaci macierzowej (Szalai, 2017, wzór (23)):

$$ \begin {equation}  [u](x) =a_\Lambda \cdot [u]_0(x) \label {2-3.56}  \end {equation}$$

gdzie:
$[u]_0(x) $  imperfekcje geometryczne prąta: wstępne skrócenia $u_0 (x)=0$, wygięcia w kierunku poprzecznym do pręta $v_0(x)$, ugięcia $ w_0(x)$ oraz skręcenia $\varphi_0(x)$ ujęte w wektor
$ [u]_0 (x)= \left [ \begin{array}{l}
0 \\
v_0(x)\\
w_0(x)\\
\varphi_0(x)
\end{array} \right] $

$[u](x)$ całkowite przemieszczenie pręta w stanie II rzędu   złożone z imperfekcji  $[u[_0(x)$ oraz ich przyrostu wywołanego działaniem sił przekrojowych
$ [u] (x)= \left [ \begin{array}{l}
u(x) \\
v(x)\\
w(x)\\
\varphi(x)
\end{array} \right] $

Współczynnik amplifikacji $a_{\Lambda}= \cfrac{1}{1-\tfrac{1}{\Lambda_{cr}}}$ zdefiniowano w  rozdziale „Imperfekcyjna metoda. Pojęcia podstawowe”  wzór (1-1.12),

przy czym mnożnik krytyczny $\Lambda_{cr}$ należy wyznaczać w analizie LBA całego ustroju na modelu uwzględniającym wszystkie badane postacie wyboczenia, czyli wyboczenie giętne, skrętne i giętno-skrętne (zwichrzenie). Takim modelem jest uogólniony pręt Własowa, to znaczy pręt o siedmiu stopniach swobody z paczeniem jako siódmym stopniem.

Formuła ($\ref{2-3.56}$) jest uogólnieniem klasycznej formuły amplifikacji ($\ref{2-3.22}$) i jest analogicznie wyprowadzona. Całość wyprowadzenia można znaleźć w pracy

Szalai, J. (2017). Complete generalization of the Ayrton-Perry formula for beam-column buckling problems. Engineering Structures, 153, 205–223.
.


Rys. 2-3.18 Ilustracja do formuły Szalai

(Szalai, 2017)

Na rys. 2-3.18 pokazano ilustrację zagadnienia ściskania rzeczywistego pręta w nomenklaturze przyjętej w pracy (Szalai, 2017). Nośność $N_R$ jest nośnością przekroju na czyste ściskanie. Natomiast $N_{cr}$ jest nośnością pręta (Eulera). Definiuje się następujące mnożniki obciążenia $N$:
krytyczny  $\Lambda_{cr}=N_{cr}/N$ (1-1.13),
graniczny (spręzysto-plastyczny) $\Lambda_{lim}=N_{lim}/N$ (1-1.16)
przekroju (nośności plastycznej $N_R=A \cdot f_y$ , $\Lambda_R=N_R/N$
Odróżnienie tego podejścia od prezentowanego w podręczniku polega na tym, że w miejsc mnożnika plastycznego konstrukcji $\Lambda_{pl}$ (1-1.15) stosuje się nośność plastyczną przekroju $\Lambda_R$.

W pracy (Szalai, Papp, 2010) przedstawiono postać formuły Ayrton-Perry (APF)  na przypadek zwichrzenia pręta.

Wyboczeniowe teorie sprężysto-plastyczne

Klasyczne koncepcje Engesser-Karman

Do opisu sprężysto-plastycznego mimośrodowego ściskania pręta (zginania osiowego) (Engesser, 1895) zaproponował metodę modułu stycznego, polegającą na zamianie w formułach Eulera moduł Younga  przez moduł styczny $E_*=\cxfrac{e \sigma}{ e \varepsilon}, przy czym pierwotna propozycja dotyczyła dla całego przekroju.

W dalszych pracach wskazano na błędne założenie, że moduł styczny dotyczy całego przekroju. Faktycznie część przekroju odciąża się i tam powinno być zachowane klasyczne prawo Hooka i zasada płaskich przekrojów (Rys. 2-3.9). (Karman von, 1910) w miejsce $E_*$ wprowadził moduł zastępczy (zredukowany) $E_{**}= \nu E(1+\nu)$, gdzie $\nu$ – współczynnik modułu zastępczego.

Rys. 2-3.9. Zmiana odkształceń i naprężeń wg Engessera: a) wykres σ-ε, b) zmiana odkształceń, c) zmiana naprężeń

(opracowano na podstawie (Panovko, Gubanova, 1967))

Hipoteza Rankine-Merchant

Prostą formułę na krzywą „przejściową” podali Rankine i Merchant (Merchant, 1954). Na podstawie badań eksperymentalnych, stwierdzili, że dobrą zgodność uzyskuje się przy przyjęciu interakcji:

$$ \begin {equation}  \cfrac{1}{ \sigma_{cr}}= \cfrac {1} {f_y} + \cfrac {1} { \sigma_E} \label {2-4.1a} \end {equation}$$

Formuły  prostego sumowania odwrotności mnożników nośności (ogólniej sztywności) analogiczne do ($\ref{3-4.1} $) są coraz częściej stosowane w rozmaitych zagadnieniach mechaniki i wytrzymałości konstrukcji.

Koncepcja Shanley

Współczesne koncepcje wyboczenia słupów pojawiły się wraz z opublikowaniem prac  (Shanley, 1946),(Shanley, 1947), który wskazał, że przy wyprowadzeniu teorii zastępczego modułu Engessera-Karmana dokonano założeń, które nie mogą być utrzymane. W szczególności nie jest słuszne założenie, że słup pozostaje prosty podczas zwiększania siły osiowej aż do wartości siły krytycznej – dopiero po przekroczeniu, której słup wygina się. Uwzględnienie wyginania słupa od początku procesu prowadzi do mniejszych i bardziej realistycznych obciążeń krytycznych niż wynikające z klasycznej teorii modułu stycznego lub zastępczego.

Rys. 2-3.10. Wpływ zmiany modułu odciążenia: a) biliniowa krzywa deformacji, b) krzywe Shanley’a

(opracowano na podstawie (Panovko, Gubanova, 1967))

Na Rys. 2-3.10 pokazano analizę ścieżki równowagi pręta ściskanego siłą N, wykonanego ze sprężysto-plastycznego materiału o biliniowej charakterystyce; w jest bocznym przemieszczeniem sprawczym. Siła  wynika z teorii zastępczego modułu (Engessera-Karmana) i jest asymptotą obciążenia krytycznego pręta. Siła odpowiada sile krytycznej wg teorii modułu stycznego Engessera. Na skutek zmiany modułu sprężystości w punktach przekroju podczas zmiany dociążania na odciążenie (pkt A na Rys. 2-3.10a) uzyskujemy siłę krytyczną Shanleya ( punkty na linii ciągłej Rys. 2-3.10 i Rys. 2-3.11). Siłą krytyczną pręta ściskanego osiowo nie jest ani siła , ani , dlatego, że po osiągnięciu przez obciążenie siły Engessera  następuje wychylenie pręta ze stanu prostoliniowego i jest to stan stateczny, który utrzymuje się przy dalszym zwiększaniu obciążenia, a zwiększanie obciążenia prowadzi do zwiększania przemieszczenia.

Rys. 2-3.11. Ścieżki równowagi prostego wspornika ściskanego osiowo: – najmniejsza siła, przy której możliwe jest stan równowagi wygiętego pręta

(opracowano na podstawie (Panovko, Gubanova, 1967) )

Koncepcja Shanleya (Shanley, 1947) dobrze koresponduje z niezależnie ogłoszoną teorią, w której pokazano, że przyczyna szeregu niepowodzeń konstrukcyjnych oraz wielokrotnie stwierdzanych „błędów” eksperymentalnych tkwi w niedocenianiu wagi problematyki stanów pokrytycznych, to znaczy utrzymywania się statecznej ścieżki równowagi), po przekroczeniu pewnego poziomu obciążeń, który nie wyczerpuje jeszcze nośności pręta.

Teoria Shanleya pokazuje, że nie można mówić o ścisłej wartości siły krytycznej (granicznej). W zależności od okoliczności można przyjąć za siłę krytyczną obciążenie z przedziału , ale . Wskazuje również, że w problemie stateczności należy mówić o „ścieżce równowagi słupa” i zakończyć pytania o utratę stateczności i siłę krytyczną, nawet w przypadku pręta prostego, osiowo ściskanego!

Wagę koncepcji Shanleya dobrze widać w zadaniu mimośrodowego ściskania, które prowadzi do rozwiązań, schematycznie przedstawionych na Rys. 2-3.12 i z których wynikają następujące wnioski:

  • Powyżej krzywej Shanleya nie są możliwe stany równowagi. Krzywa Shanleya stanowi ograniczenie od góry wszystkich ścieżek równowagi prętów rzeczywistych z mimośrodami i imperfekcjami,
  •  Wygięcia boczne pręta rzeczywistego (mimośrodowo ściskanego lub z imperfekcjami) przebiegają od początku ścieżki równowagi, a nie od momentu osiągnięcia siły krytycznej zgodnie z teorią modułu stycznego. Poszukiwanie klasycznej siły krytycznej nie jest potrzebne przy analizie rzeczywistych prętów. Wymagana jest analiza konstrukcji obarczonej imperfekcjami wg teorii geometrycznie nieliniowej – dla systemów nie przechyłowych wystarcza analiza 2 rzędu (P-Δ). Na podstawie tej analizy uzyskujemy nośności ułożone na krzywej 2

Probabilistyczna podejście do stateczności konstrukcji

Już w roku 1950 Dutheil (Dutheil, 1950) wskazał na konieczność opisu stateczności słupów w języku probabilistycznym, ale efektywne rozwiązanie problemu probabilistycznego napotykało na przeszkodę związaną z brakiem zamkniętego deterministycznego opisu problemu sprężysto-plastycznej utraty stateczności (Bolotin, 1968), a zastosowanie metody Monte-Carlo spotykało się z przeszkodą w postaci małej mocy komputerów.

Jedną z pierwszych prób probabilistycznego opisu problemu stateczności niesprężystego słupa były prace (Chung, 1969), (Chung, Lee, 1971) w których jako zmienne losowe traktowano styczny moduł sprężystości, co prowadziło do złożonej, wielokrotnej całki. W pracy (Ravindra, Galambos, 1972) zaproponowano rozwiązanie tej całki aproksymacyjną metodą FORM (First-Order Reliability Method). Podejście sugerowane przez  (Dutheil, 1950), (Dutheil, 1952)  zastosowano w pracy (Augusti, Barattta, 1971) . Przyjęto, że zmiennymi losowymi są wstępne wygięcia (imperfekcje), granica plastyczności i smukłość pręta. Wspólną cechą wspomnianych rozwiązań było założenie o losowej niezależności losowych zmiennych, co jest w ogólności nieprawdziwe.

Szerokie badania problemu prowadził Elishakoff, zarówno metodą Monte-Carlo, jak i metodami analitycznymi (Elishakoff, 2016). Szeroko stosowaną obecnie ((Kala, 2003) , (Kala, 2007) ) metodą modelowania losowych modelowania imperfekcji jest metoda zbiorów rozmytych rozmyte, w której zakłada się, że zarówno kształt jak wielkość imperfekcji, jako przypadkowe.

W analizach losowych imperfekcji najczęściej (np. (Marek, Krivy, 2006), (Omishore, 2010)(Omishore, Kala, 2009) ) tylko amplituda jest uważana za zmienną losową i to o rozkładzie normalnym lub lognormalnym, a jej przebieg na długości pręta przyjmuje się w kształcie sinusoidy. Parametry rozkładu dobiera się tak, by z prawdopodobieństwem 95% imperfekcja pozostawała w przedziale określonym tolerancją normową.

Koncepcja Bj¢rhovde

(Bjerhovde, 1972) przyjmuje, że losowa amplituda imperfekcji  ma rozkład prawdopodobieństwa Gumbela I typu dla najmniejszych wartości (p. Załącznik A). Przyjęty rozkład ma dystrybuantę (A.33) i funkcję gęstości (A.34) ze standaryzowaną zmienną:

$ y=\cfrac{e_0 -\alpha}{\beta}$

gdzie  $\alpha$ i $\beta$ są parametrami rokładu, które Bj¢rhovde wyznaczył z warunków brzegowych problemu. Przyjął mianowicie, że maksymalna dopuszczalna strzałka wstępnego wygięcia  $e_{max}=e_0=L/1000$  może wystąpić z prawdopodobieństwem 2,5%, co jest zgodne z wytycznymi norm światowych (AISC, 1993), (AS4100, 2004) i co było zgodne z dawną propozycją europejską. (Obecnie Eurokod przyjmuje $e_0 \approx L/300$.

Z zależności (A.36) dla standaryzowanego rozkładu Gumbela ($\alpha= \beta= 0$) mamy kwantyl $t_{max}=0+1\cdot ln [-ln(0,025)]=1,3$, który jest poziomem tolerancji dla przekroczenia maksymalnej amplitudy imperfekcji  $e_{max} = e_0$. Zatem

$$ \begin {equation}  e_0=\alpha+1,3 \cdot \beta \label {2-3.57}  \end {equation}$$

Ponadto przyjęto, że minimalna strzałka wstępnego wygięcia wynosi $e_{min}=0$ (dla idealnego pręta) oraz założono, że może ona nie być utrzymana z prawdopodobieństwem 1%, co odpowiada współczynnikowi tolerancji $t_{min} =ln [ -ln (1-0,01)]=-4,6 , czyli

$$ \begin {equation}  e_{min}=0 =\alpha -4,6 \cdot \beta \label {2-3.58}  \end {equation}$$

Z układu równań ($\ref{2-3.57}$) i ($\ref{2-3.58}$) otrzymano:

$\beta=\cfrac{e_0}{5,9}$ ,   $\alpha= 0,78 \cdot e_0$,

Uzyskany rozkład prawdopodobieństwa pokazano na rys. 2-3.19.

Rys. 2-3.19. Ilustracja założeń i wyników pracy Bj¢rhovde (1972)

(opracowano na podstawie (Shanley, 1947) )

Na podstawie  formuł (A.35) i (A.28) wartość średnia $\overline e_0$ i odchylenie standardowe $\sigma_{e_0}$ amplitudy imperfekcji wynosi:

$$ \begin {equation} \overline e_0 = (0,78-0,5772/5,9) \cdot e_0 = 0,682 \cdot e_0= L/1470 \quad ; \quad \sigma_{e_0}= 1,283 \beta =1,283/5,9 \cdot e_0 = L/4600 \label {2-3.59}  \end {equation}$$

Dla parametrów losowej amplitudy imperfekcji {$\ref{2-3.59}$) w pracy (Bjerhovde, 1972) sporządzono krzywe wyboczeniowe i porównano z krzywymi deterministycznymi. Oba typy krzywych są podobne, co świadczy o tym, że spośród wielu zmiennych losowych problemu ( w tym naprężeń resztkowych) imperfekcje łukowe są najbardziej znaczące. Metodą probabilistyczną uzyskano większe o kilka procent nośności krytyczne słupów.

Koncepcja Murzewskiego

Murzewski (Murzewski, 1976), a za nim Gwóźdź (Gwóźdź, 1997) przedstawili interesującą, probabilistyczną interpretację współczynnika wyboczeniowego , wyznaczonego na podstawie losowej nośność granicznej $\Lambda_{lim}$  zdefiniowanej jako minimum z losowej nośności krytycznej  $\Lambda_{cr}$ (wyboczenia sprężystego) oraz losowej nośności plastycznej $\Lambda_{pl}$ :

$$ \begin {equation} \min {[ \Lambda_{cr} \quad , \Lambda_{pl}]}  \label {2-3.60}  \end {equation}$$


[następne R3-1] [Imperfekcje konstrukcji, a współczynniki bezpieczeństwa]


Niniejszy artykuł jest częścią 3. rozdziału 2. podręcznika Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji

Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło:
Leszek Chodor, (2019), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki, Wydawnictwo πPress, [ http://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]

Historia edycji artykułu:
Publikacja jest edytowana od roku 2017, pierwotnie jako podręcznik dla wydawnictwa PWN, Zakończenie edycji zostało przerwane na początku roku 2018 na skutek wypadku i rekonwalescencji autora podręcznika.  Obecnie cykl artykułów składający się na podręcznik jest w trakcie edycji internetowej i jest publikowany odcinkami.

(2019-04-08 do 15) wersja 1,0: wersja pierwotna
(2019-05-27) Wersja 2.0: dokonano podziału rozdziału na części w celu poprawy procesu wczytywania strony 

Proszę społeczność Inżynierów w internecie o przesyłanie recenzji podręcznika  na moje ręce: biuro@chodor-projekt.net
Leszek Chodor


Literatura cytowana w rozdziale

AISC. Load and resistance factor design specification, 2nd Ed (1993). Chicago: American Institute of Steel Construction.
AS4100. Australian Standard AS4100, Steel Structures. Standards Australia (2004). North Sydney, New South Wales, Australia.
Alveranga, A. R., & Silveira, E. A. (2009). Second-order plastic-zone analysis of steel frames- Part II effects of initial geometric imperfection and residual stress. Latin American Journal of Solids and  Structures, 6(4), 323–342.
Augusti, G., & Barattta, A. (1971). Theorie probabiliste de la resistnce des barres comprimees. Constructiion Metallique, (2).
Ayrton, W. E., & Perry, J. (1886). On Struts. The Engineer, 464–513.
Balaz, I., Aroch, R., Chladny, E., Kmet, S., & Vican, J. (2007). Design of Steel Structures according o Eurocodes STN-EN 1993-1:2006 a STN-EN-1993-1-8:2007 (in Slovak) (1st, 2nd ed.). Bratislava: Slovak Chmaber of CIvil Engineers (SKS).
Balaz, I., & Kolekova, Y. (2012). Structures with UGLI imperfections  (in Slovak). In Proceedings (pp. 61–86). Svratka,- Bratislava, Czech  Republic.
Bjerhovde, R. (1972). Deterministic and probabilistic approaches to the strength of steel columns (Ph D. Dissertation No. 1933). Lehigh: Lehigh University.
Bjerhovde, R., & Tall, L. (1971). Maximum column strength and the multiple column curve concept (Fritz Laboratory Reports No. 337.29). Lehigh: , Fritz Engineering Laboratory, Lehigh University.
Bolotin, V. V. (1968). Metody statystyczne w mechanice budowli, Wydawnictwo Arkady, Warszawa 1968. Warszawa: Arkady.
Chapman, J. C., & Buhagiar, D. (1993). Application of Young’s buckling equation to design against torsional buckling. Proc Instn Civ Engrs Structs and Bldgs, 99, 359–369.
Chladny, E. Nosnosť tlačených pásov otvorených mostov (Buckling resistance of compressed chords of open truss bridges), PhD thesis (1958). Bratislava: SVŠT (Slovak Technical University of technology).
Chladny, E. Vzper pruzne podopretych tlacenych prutov (Buckling of elastically supported compressed members). Habilitation thesis (1974). Bratislava: SVST.
Chladny, E., & Stujberova, M. (2013). Frames with unique global and local imperfection in the shape of the elastic buckling mode.Part 1. Stahlbau, 82(8), 609–617.
Chung, B. T. K. (1969). Random-Parameter Analysis of the Stability of Inelastic Structures, Ph.D. Dissertation. Buffalo, N. Y.: State University of New York.
Chung, B. T. K., & Lee, G. C. (1971). Buckling Strength of Columns Based on Random Parameters. Journal Structural DIv, ASCE, 97(ST7).
Dallemule, M. (2015). Equivalent imperfections in arched structures. Slovak Journal of Civil Engineering, 23(3), 9–15.
Dutheil, J. (1950). Le Flambement et le Deversement. Bulletin Bimestriel de La Societe Royale Des Ingenieurs et Des Industriels, (3).
Dutheil, J. (1952). The Theory of Instability through Disturbance of Equilibrium. Presented at the 4th Congress of I.A.B.S.E., , Cambridge.
Elishakoff, I. (2016). Probabilistic Methods in the Theory of Structures: Random Strength of Materials, Random Vibration, and Buckling. Singapore: World Scientific.
Engesser, F. R. (1895). Uber Knickfragen. Schweizerische Bauzeitung, 36(4), 24–26.
Giżejowski, M. A., Szczerba, R. B., Gajewski, M. D., & Stachura, Z. (2016). Beam-Column In-Plane Resistance Based On The Concept Of Equivalent Geometric Imperfections. Archives of Civil Engineering, LXII(4 (2)), 35–71.
Gu, J. X., & Chan, S. L. (2005). Second-order analysis and design of steel structures allowing for member and frame imperfections. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 62(5), 601–615.
Gwóźdź, M. Zagadnienia nośności losowej prętów metalowych. Praca doktorska, Pub. L. No. Zeszyt Naukowy 69 (1997). Kraków: Politechnika Krakowska.
Kala, Z. (2003). The influence of initial curvature of the axis upon the member ultimate strength. Journal of Structural Mechanics, 36(1), 3–14.
Kala, Z. (2007). Stability problems of steel structures in the presence of stochastic and fuzzy uncertainty. Thin-Walled Structures, 45(10–11), 861–865.
Karman von, T. (1910). Untersuchungen Uber Knickfestigkeit (Mitteilung und Forschungsareiten -Arb. Geb. Ing. -Wes. No. Heft 81).
Kim, S. E., & Lee, D. H. (2002). Second-order distributed plasticity analysis of space steel frames. Journal of Engineering Mechanics, (24), 735–744.
Mahendran, M. (2007). Applications of Finite Element Analysis in Structural Engineering. In Proceedings. Chennai, India.
Marek, P., & Krivy, V. (2006). Probabilistic reliability assessment of a steel frame applying the SBRA method. Presented at the 3rd ASRANet International Colloquium, Glagow , UK.
Merchant, W. (1954). The Failure Loads of Rigidly Jointed  Frameworks as Influenced by Stability. The Structural Engineer, 32(7), 185–190.
Murzewski, J. (1976). Teoria nońsności losowej konstrukcji prętowych. Warszawa: PWN.
Omishore, A. (2010). Sensitivity analysis of structures, problems and applications. In Proceeding (pp. 120–125). Athens (Greece.
Omishore, A., & Kala, Z. (2009). Reliability Analysis of Steel Structures with Imperfections (pp. 540–545). Presented at the Nordic Steel Construction Conference, Malmo, Sweden.
PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
Panovko, J. G., & Gubanova, I. I. (1967). Ustojčivost i kolebnija uprugich system. Sovremennyje koncepcii, paradoksy i ošibki (4th ed.). Moskva: Nauka.
Papp, F. (2016). Buckling assessment of steel members through overall imperfection method. Engineering Structures, 106, 124–136. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2015.10.021
Ravindra, M. K., & Galambos, T. V. (1972). Discussion of “Buckling Strength of Columns Based on Random Parameters”  by B. T. K. Chung and G. C.Lee. Journal, ASCE Str. Div., 98(ST1), 215.
Sedlacek, G., Eisel, H., Hensen, W., Kühn, B., & Paschen, M. (2004). Leitfaden zum Fachbericht DIN 103. Stahlbrücken. Ernst & Sohn, A Wiley.
Shanley, F. R. (1946). The Column Paradox. Journal of the Aeronautical Sciences, 13(12), 678–678.
Shanley, F. (1947). Inelastic column theory. Journal of the Aeronautical Sciences, 14(5), 261–268.
Shayan, S., Rasmussen, K. J. R., & Zhang, H. (2014). On the modelling of initial geometric imperfections of steel frames in advanced analysis. Journal of Constructional Steel Research, (98), 167–177.
Szalai, J. (2017). Complete generalization of the Ayrton-Perry formula for beam-column buckling problems. Engineering Structures, 153, 205–223.
Szalai, J., & Papp, F. (2010). On the theoretical background of the generalization of Ayrton-Perry type resistance formulas. Journal of Constructional Steel Research, 670–679.
Tankova, T., Marques, L., Simoes da Silva, L., & Andrade, A. (2017). Development of a consistent methodology for the out- of- plane buckling resistance of prismatic beam-columns. Journal of Constructional Steel Research, 128, 839–852.

Klasyczna teoria współczynnika wyboczeniowego Ayrton-Perry

Formuła  Ayrton-Perry (APF)

W roku 1886 eksperci z dziedziny elektryczności i magnetyzmu William Ayrton i John Perry przedstawili jedną z najdłużej stosowanych teorii w wymiarowaniu konstrukcji budowlanych – teorię ściskania słupa z imperfekcjami. Na przestrzeni lat przedstawiane były rozmaite zapisy postacie tej formuły u wynikającego z niej współczynnika wyboczeniowego. Przedstawiamy kilka równoważnych postaci formuły Ayrton-Perry APF, której wyprowadzenie zaprezentowano poniżej.

Klasyczna postać

Teoria Perry-Robertson jest dzisiaj podstawą obliczania współczynników wyboczeniowych (Dwight, 1975) w postaci zaprezentowanej w roku 1920 przez  (Robertson, 1925) na naprężenia równowagi  $\sigma_s$ w przekrojach ściskanego pręta obarczonego imperfekcją:

$$ \begin {equation} \sigma_s =1/2 \cdot  \left \{ f_y+ \sigma_{cr} (1+\Theta)-\sqrt{[f_y+ \sigma_{cr} (1+\Theta)]^2 – 4 f_y \sigma_{cr} }  \right \} \label{2-3.2} \end {equation}$$

gdzie parametr imperfekcji:

$$ \begin {equation} \Theta= e_0 \cdot \cfrac{A}{W }\label{2-3.3} \end {equation}$$

$e_0$ jest amplitudą początkowego wygięcia pręta,  $A$- polem przekroju pręta, $W$ – wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na zginanie. Formuła ($\ref{2-3.2}$) może być zapisana dla każdego kierunku wyboczenia pręta (y, z), a w każdym przypadku należy brać odpowiednie do tego kierunku wartości $e_0$ oraz $W$.

Zwarta postać

Po przekształceniach formalnych oryginalny zapis ($\ref {2-3.2}$) formuły APF można przedstawić w zwartej formie

$$ \begin {equation} (\sigma_{cr} -\sigma_s)\cdot (f_y-\sigma_s)=\sigma_s\cdot \sigma_{cr}\cdot \Theta \label{2-3.4} \end {equation}$$

Klasyczne wyrażenie na współczynnik wyboczeniowy

Definicja smukłości względnej elementu (1-1.3)  może być zapisana w naprężeniach, co uzyskujemy  poprzez  podstawienia: $N_{cr}=\sigma_{cr} \cdot A$ oraz $N_R=f_y \cdot A$. w postaci:

$$ \begin {equation}  \overline \lambda = \sqrt{\cfrac{f_y}{\sigma_{cr} }} \label{2-3.5} \end {equation}$$

Z definicji ($\ref{2-3.5}$}) naprężenia krytyczne można zapisać jako:

$$ \begin {equation}  \sigma_{cr}=\cfrac {f_y}{\overline \lambda^2} \label{2-3.6} \end {equation}$$

Współczynnik wyboczeniowy $\chi$ występujący w formule ($\ref{2-3.5}$) zdefiniowany w naprężeniach jest stosunkiem naprężeń w pręcie z imperfekcjami $\sigma_s$ do wytrzymałości materiału $f_y$:

$$ \begin {equation}  \chi = \cfrac{\sigma_s}{f_y}\label{2-3.7} \end {equation}$$

Po podzieleniu obu stron ($\ref{2-3.2}$) przez granicę plastyczności $f_y$ i uwzględnieniu, ($\ref{2-3.6}$)  oraz ($\ref{2-3.7}$)  otrzymamy zależność  współczynnika wyboczeniowego   od smukłości pręta  ($\ref{2-3.5}$) lub (1-1.3) w postaci

$$\begin {equation} \chi= 1/2 \cdot \left [ (1+\overline \Theta) – \sqrt{ (1+\overline \Theta)^2 – \cfrac{4}{ \overline \lambda^2} } \right ] \label {2-3.8} \end {equation}$$

gdzie wprowadzono względny parametr imperfekcji

$\overline \Theta=\cfrac{1+\Theta}{\overline \lambda^2}$

Postać da Silva

Formuła ($\ref{2-3.8}$)może być przekształcona  do zwartej, choć uwikłanej postaci (da Silva, Simoes,, Gervasio, 2010)

$$ \begin {equation} (1-\chi)\cdot (1-\chi^{\overline \lambda^2}) =\Theta \cdot \chi \label{2-3.9} \end {equation}$$

a parametr imperefekcji ($\ref{2-3.3}$) może być zapisany w postaci

$$ \begin {equation}  \Theta=\alpha \cdot (\overline \lambda -\overline \lambda_0) \to  e_0=\alpha \cdot (\overline \lambda -\overline \lambda_0) \cdot \cfrac{W}{A} \label{2-3.10} \end {equation}$$

skąd otryzmujemy strałkę wygięcia mimperfekcji łukowej

$$ \begin {equation}   e_0=\alpha \cdot (\overline \lambda -\overline \lambda_0) \cdot \cfrac{W}{A} \label{2-3.11} \end {equation}$$

Zapis współczynnika wyboczeniowego da Silva ($\ref{2-3.9}$) parametru imperfekcji ($\ref{2-3.10}$) oraz  imperfekcji łukowej ($\ref{2-3.11}$) jest przydatny w opisie alternatywnej metody imperfekcyjnej AIM.

Postać Eurokod

Po przekształceniach można uzyskać standardową postać formuły APF,  stosowaną w normach Eurokod  do projektowania konstrukcji budowlanych:

$$ \begin {equation} \chi^2+\chi\cdot\left[ -1-\cfrac{1}{ \overline \lambda^2}( 1-\Theta) \right ] +\cfrac{1}{ \overline \lambda^2}=0 \label{2-3.12} \end {equation}$$

Z rozwiązania równania kwadratowego ($\ref{2-3.12}$) względem współczynnika wyboczeniowego $\chi=\cfrac{N}{A\cdot f_y}$ otrzymujemy znaną formułę stosowaną w w normie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006):

$$ \begin {equation}  \chi=\cfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2+\overline \lambda^2}} \label{2-3.13}\end {equation}$$

gdzie współczynnik pomocniczy:

$$ \begin {equation}  \Phi= 0,5 (1+\Theta+\overline \lambda^2) \label{2-3.14}\end {equation}$$

Modyfikacja

Wyprowadzenie formuły APF

Na Rys. 2-3.1 pokazano model pręta analizowany przez Ayrton i Perry. W połowie rozpiętości pręta założono amplitudy wygięcia : początkową (imperfekcję pręta) $e_0=w_0(L/2)$, a po obciążeniu (ugięciu) $e=w(L/2)$.

Rys. 2-3.1 Model pręta Ayrton-Perry

(opracowano na podstawie (Butterworth, 2005))

Teorię Ayrton-Perry przedstawimy w ujęciu klasycznym. Analizę problemu belki-słupa z imperfekcją łukową według teorii wyższych rzędów przedstawiono w pracach, (Frish-Fay, 1962), (Godoy, Mook, 1996), (Shaw, 1972) i in.

Moment zginający przekrój o współrzędnej  $x$ wynosi: w stanie początkowym $M_0 (x)=P\cdot w_0 (x)$, a po obciążeniu pręta

$$ \begin {equation} M(x)=P\cdot[w_0(x)+w(x)] \label {2-3.14a} \end {equation}$$

Moment zginający jest jednocześnie przeskalowaną krzywizną pręta zgodnie z zależnością:

$$ \begin {equation} M(x)=-EI \cfrac{d^2 w(x)}{dx} \label {2-4.1} \end {equation}$$

Układ równań ($\ref{2-3.8}$), ($\ref{2-3.9}$)  można sprowadzić do jednego równania różniczkowego zagadnienia

$$ \begin {equation}  EI w”(x) +Pw(x) = -Pw_0 (x) \label {2-3.16} \end {equation}$$

Przyjmijmy, że wygięcia wstępne są dowolną funkcją, spełniającą warunki brzegowe $w_0(0)=w_0 (L)=0$, $w_0 (L/2)=e_0$ . Po rozwinięciu tej funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera i zachowaniu pierwszego wyrazu, otrzymamy

$$ \begin {equation} w_0 (x) =e_0 \sin{\cfrac{\pi x}{L}} \label {2-3.17} \end {equation}$$

Z rozwiązania Eulera wynika, że kształt taki odpowiada pierwszej postaci wyboczonej idealnego pręta przegubowo-przegubowego. Po podstawieniu ($\ref{2-3.17}$) do ($\ref{2-3.16}$) i wprowadzeniu oznaczenia

$$ \begin {equation} \alpha^2 =\cfrac {P}{EI} \label {2-3.18} \end {equation}$$

otrzymamy równanie różniczkowe ściskania pręta z imperfekcjami:

$$ \begin {equation} w” +\alpha^2 \cdot w = -\alpha^2 \cdot e_0 \cdot \sin{ \cfrac{\pi x}{L}}\label {2-3.19} \end {equation}$$

Całką ogólną tego równania jest:

$$ \begin {equation} w_o (x) = A \sin{ \alpha x} + B \cos { \alpha x}  \label {2-3.20} \end {equation}$$

a całką szczególną:

$$ \begin {equation} w_s (x)= C \sin{ \cfrac{\pi x}{L}} \label {2-3.21} \end {equation}$$

Po wykonaniu różniczkowania ($\ref{2-3.19}$) i podstawieniu do ($\ref{2-3.20}$), otrzymamy wyrażenie na stałą C w postaci:

$$ \begin {equation} C=\cfrac{e_0}{ (\tfrac{\pi} {\alpha L})^2-1}= \cfrac{e_0}{\tfrac{P}{P_{cr}} -1} \label {2-3.22} \end {equation}$$

gdzie uwzględniono tożsamość:

$$ \begin {equation}  \left ( \cfrac{\pi} {\alpha L} \right )^2= \left (\cfrac{\pi^2 EI} {L^2} \right ) / (EI \alpha^2) =\cfrac {P_{cr}}{P}\label {2-3.23} \end {equation}$$

Siłę krytyczną $P_{cr}$ zdefiniowano w  (1-1.5) (przy oznaczeniu $N_{cr}$) i jest ona obliczana dla $L_{cr}=L$ , a $P=EI \alpha^2$  z definicji ($\ref{2-3.18}$).

Kompletne rozwiązanie równania ($\ref{2-3.16}$) jest sumą całki ogólnej ($\ref{2-3.20}$) i szczególnej ($\ref {2-3.21}$) i po uwzględnieniu ($\ref{2-3.22}$), wynosi:

$$ \begin {equation} w(x)=A \sin{\alpha x}+B \cos{\alpha x}+\cfrac{e_0}{\tfrac{P_{cr}}{P}-1}\cdot \sin{\pi x/L}   \label {2-3.24} \end {equation}$$

Warunki brzegowe zapiszemy w postaci:

$$ \begin {equation}  w(0)=0 \to B=0 \, ; \quad w(L)=0 \to A\cdot \sin{kL}=0  \label  {2-3.25} \end {equation}$$

Jeśli $A \neq 0$ , to $kL = n \pi$  i mamy zbiór rozwiązań, prowadzących do klasycznego wyniku Eulera, a kolejne obciążenia krytyczne wynoszą:

$$ \begin {equation}  P_{cr,1}=\cfrac{\pi^2 EI}{L^2} \, ; \quad P_{cr,2}=\cfrac {4\pi^2 EI}{L^2} \, \quad itd \label {2-3.20a} \end {equation}$$

W rozważanym przypadku interesuje nas obciążenie $P_{cr,1}$ , co zachodzi dla $A =0$ , skąd po uwzględnieniu  ($\ref{2-3.17}$) otrzymujemy:

$$\begin {equation} w(x)= \cfrac { e_0 \sin {\pi x/L} } { \tfrac{P_{cr}}{P} -1}=\cfrac{w_0(x)} { \Lambda_{cr} -1} \label {2-3.21a} \end {equation}$$

gdzie $\Lambda_{cr}=\cfrac{P_{cr}}{P}$ – mnożnik obciążenia krytycznego zdefiniowany zdefiniowano w  rozdziale „Imperfekcyjna metoda. Pojęcia podstawowe”  wzór (13).

Z przekształcenia ($\ref{2-3.21}$ ) można uzyskać znane wyrażenie na całkowite ugięcie belki z imperfekcjami:

$$\begin {equation} w= w(x)+w_0 (x) = w_0 (x) \cdot \left ( 1+ \cfrac{1} { \Lambda_{cr}-1} \right )= \cfrac{w_0(x)}{1- \tfrac{1}{\Lambda_{cr}}}=a_\Lambda \cdot w_0(x) \label {2-3.22a} \end {equation}$$

gdzie współczynnik amplifikacji $a_{\Lambda}= \cfrac{1}{1-\tfrac{1}{\Lambda_{cr}}}$ zdefiniowano w  rozdziale „Imperfekcyjna metoda. Pojęcia podstawowe”  wzór (1-1.12) .

Amplituda całkowitego ugięcia wynosi:

$$\begin {equation} e =a_{\Lambda} \cdot e_0 \label {2-3.23a} \end {equation}$$

Ponieważ w najbardziej wytężonym (środkowym) przekroju pręta siły przekrojowe  wynoszą: siła osiowa $N=P$, moment zginający $M_{max} = P \cdot e = P \cdot a_{\Lambda} \cdot  e_0$, więc naprężenia w środkowym przekroju pręta wynoszą

$$\begin {equation}\sigma_{max}=\cfrac {N}{A}+ a_\Lambda \cfrac{P\cdot e_0}{W} \label {2-3.24a} \end {equation}$$

Po wprowadzeniu parametru $\Theta$ ($\ref{2-3.2a}$) i oznaczeniu $\sigma=N/A$, oraz $\sigma_{cr}=N_{cr}/A$ zależność ($\ref{2-3.24a}$) można zapisać w postaci:

$$\begin {equation}\sigma_{max}=\sigma \cdot  [ 1+ \Theta \cdot  ( 1- \tfrac{\sigma}{\sigma_{cr}} ) ]  \label {2-3.25a} \end {equation}$$

Stąd po uporządkowaniu, w granicznym stanie plastycznym (dla $\sigma_{max}= f_y$ ) otrzymamy równanie kwadratowe ze względu na naprężenie w pręcie $\sigma$

$$\begin {equation} \sigma^2- \sigma [f_y + \sigma_{cr} (\Theta +1) ] + f_y \cdot \sigma_{cr}=0 \label {2-3.26a} \end {equation}$$

Po rozwiązaniu algebraicznego równania ($\ref{2-3.26}$) jako pierwiastek  $\sigma_s$, czyli punkt równowagi równania kanonicznego pręta z imperfekcją, uzyskujemy formułę Ayrton-Perry ($\ref{2-3.2}$) .

Efekt P-δ

Formuła ($\ref{2-3.23}$) wyraża prawo amplifikacji ugięcia przy ściskaniu, to znaczy zwiększanie przemieszczenia poprzecznego przez ściskanie, który jest często nazywany efektem P-δ (lub P-„małe delta”).

$$\begin {equation} w(x)=a_{\Lambda}  \cdot w_o(x) \label {2-3.27a} \end {equation}$$

gdzie   $w_0(x)$ jest ugięciem pod obciążeniem oszacowanymi wg teorii 1. rzędu, to znaczy  nie musi być imperfekcją lecz ugięciem przed „zadziałaniem siły osiowej”. Zależność ($\ref {2-3.27}$) pokazano na Rys. 2-3.2b dla $ \delta =w(L/2)$

Rys. 2-3.2 Oznaczenia, b) Wykres P-δ, c) Wykres Southwella

(opracowano na podstawie (Butterworth, 2005))

 Wykres Southwella

Ciekawe zastosowanie ma wykres, pokazany na Rys. 2-3.2c. Przedstawia on zależność uzyskaną z ($\ref {2-3.24}$),  przekształconą do postaci parametrycznej, jak następuje:

$$\begin {equation} \delta = \left [ a \cdot \left ( \cfrac{P_{cr}}{P}-1 \right) \right ] \quad \to \quad \left [\delta \left ( \cfrac{P_{cr}}{P}-1 \right) -\delta =a \right ]   \quad \to \quad \left [  \left ( \cfrac{P_{cr}}{P} \right ) = \left ( \cfrac{1}{P_{cr}} \right ) \cdot \delta + \left ( \cfrac{1}{P_{cr}} \right ) \right ] \label {2-3.28a} \end {equation}$$

Wykres znany, jako wykres Southwella pozwala wyznaczyć siłę krytyczną  na podstawie serii pomiarów siły obciążającej pręt P i odpowiadających ugięć δ przed utratą stateczności, czyli bez doprowadzania pręta do wyboczenia.

W pracy (Rykaluk, 2012) zamieszczono  zależności metody Southwella dla pręta ściskanego siłami na mimośrodzie.

Formuła Robertson

(Robertson, 1925) zaproponował, aby wstępne imperfekcje w formule Perry ($\ref{2-3.2}$ ) przyjmować o wartości:

$$\begin {equation} \Theta=0,003 \lambda \label {2-3.29a} \end {equation}$$

gdzie smukłość pręta $\lambda$ jest zależna od warunków brzegowych (zamocowania końców) pręta.

Propozycja ($\ref{2-3.29}$) była arbitralna. W rzeczywistości zależy od szeregu czynników, takich jak: typ przekroju (spawany, walcowany, itp.), ustawienie osi przekroju, symetrii przekroju, dokładność wytwórczych, naprężeń resztkowych, itd. W kolejnych latach w dużej liczbie prowadzonych pomiarów lepsze dopasowanie do wyników uzyskiwano dla:

$$\begin {equation} \Theta=0,0003 \lambda^2  \label {2-3.2a0} \end {equation}$$

Formuła ($\ref {2-3.2}$) z hipotezą ($\ref{2-3.2a0}$) jest podstawą zastosowania współczynnika wyboczeniowego we współczesnych normach konstrukcyjnych w postaci analogicznej do pokazanej na Rys. 2-3.2a, na którym  pokazano przykładowo dwie krzywe wyboczeniowe Perry-Robertson, obie dla słupa ściskanego siłą , z przekrojem o takiej o nośności $P_R$ , wykonanego ze stali $ f_y=300 \, MPa$, ale dla różniących się parametrów imperfekcji: $\Theta= 0,00002 \lambda^2$ lub $\theta=0,0004 \lambda^2$ . Zwróćmy uwagę, że niewielka różnica parametru imperfekcji prowadzi do znacznych różnic między krzywymi wyboczeniowym

Rys. 2-3.2a. Krzywe wyboczeniowe Perry-Robertson

(opracowano na podstawie (Butterworth, 2005))

Teoria Perry-Robertsona oprócz hipotecznego doboru parametru imperfekcji jest obarczona większą wadą: dotyczy prętów sprężystych, a rzeczywiste słupy mają smukłości tak małe, że teoria Eulera, a w ślad za nią również teoria Perry-Robertsona – nie obowiązuje.

Krzywe wyboczeniowe w normach światowych na tle eksperymentów

Krzywe wyboczeniowe zarówno prętów ściskanych (wyboczenie gietne) jak i belek (wyboczenie boczne – zwichrzenie) były przedmiotem licznych badań dobrej jakości  i są gromadzone w międzynarodowych bazach danych. Na Rys. 2-3.4 pokazano przykładowe wyniki badań doświadczalnych stalowych słupów (a) i belek (b), zgromadzone w japońskiej bazie danych (Fukumoto, 1982), opracowane na podstawie  447 eksperymentów na słupach oraz 418 na belkach o przekroju HE oraz IPE walcowanych i spawanych. Zaczernione kółka oznaczają eksperymentalną wartość średnią  współczynnik wyboczenia giętnego  lub współczynnika zwichrzenia  zebranych z szerokości podstawy strzałki, czyli przedziału smukłości względnej . Rozrzut obserwowanych współczynników wynoczeniowych oznaczono słupkiem. Podstawa strzałki sięga do wartości charakterystycznej współczynnika wyboczeniowego, obliczonej jako kwantyl rozkładu normalnego , gdzie jest odchyleniem standardowym pomiarów w klasie (współczynniki zmienności współczynnika wyboczeniowego wynosiły od kilku do 15%.

Rys. 2-3.4. Normowe krzywe wyboczeniowe na tle danych doświadczalnych:a) wyboczenie giętne słupów, b) wyboczenie boczne (zwichrzenie) belek

(opracowano z wykorzystaniem danych z pracy (Fukumoto, 1982))

Na tle wyników badań wrysowano europejskie krzywe wyboczeniowe EC3 oraz japońską krzywą wyboczenia giętnego JRA. W każdym przypadku krzywe wyboczeniowe są bezpiecznym, dolnym oszacowaniem współczynnika wyboczeniowego.

Nie obserwuje się statystycznie istotnej potrzeby różnicowania na typy krzywych wyboczeniowych, a wystraczająca wydaje się być krzywa JRA położona pomiędzy europejskim typem „b” i „c”.

Na Rys. 2-3.5 porównano krzywe wyboczenia bocznego (zwichrzenia)  prezentowane w innych normach światowych: amerykańskiej (AISC, 1993), australijskiej(AS4100, 2004) oraz kanadyjskiej na tle normy europejskiej EC3  Różnice pomiędzy nimi występują szczególnie w zakresie prętów o smukłości . W tym  niesprężystym obszarze pracuje większość rzeczywistych prętów. Na przykład dla  różnica między normą europejską EC3 a amerykańską AISC wynosi 28%. W przypadku pręta ściskanego (wyboczenia giętnego) różnice między wytycznymi norm świata są mniejsze (Galambos, Surovek, 2008), choć przekraczają wymaganą dokładność obliczeń wytrzymałościowych, która zwyczajowo wynosi 2%.

Z analizy zagadnienia wynika, że złożoność zjawiska utraty stateczności wymaga dokładniejszych metod od dostarczanych przez normowe formacje współczynników wyboczeniowych. Współczesne metody powinny być zgodne z fizyką zjawiska, a mniej z zaleceniami norm, które z natury rzeczy są kompromisem bezpieczeństwa, uniwersalności i prostoty wytycznych. Metoda współczynników wyboczeniowych jest obecnie zastępowana bezpośrednimi metodami imperfekcyjnymi, opisanymi w niniejszej pracy.

Rys.2-3.5 Porównanie normowych, światowych krzywych wyboczeniowych przy zwichrzeniu

(opracowano na podstawie (Galambos, Surovek, 2008))

Pręt poprzecznie zginany i ściskany

W praktyce mamy do czynienia z prętami poprzecznie zginanymi i ściskanymi (lub rozciąganymi). Przewaga takich prętów nad tylko ściskanymi zwiększyła się potężnie wraz z komputerową analizą modeli, w których eliminuje się przeguby fizyczne w konstrukcji, a połączenia między prętami traktuje, jako sztywne lub podatne. W takim modelu praktycznie nie wystąpią pręty tylko ściskane, choć w konstrukcji, w której: 1) obciążenia są przyłożone tylko do węzłów, 2) pręty łączą się osiowo (bez mimośrodów węzłowych), tworzą się przeguby logiczne o niewielkich momentach zginających.

Klasyczna koncepcja osiowego zginania wydzielonego pręta

W klasycznej koncepcji zagadnienia pręta zginanego i ściskanego przyjmuje się, że siła ściskająca N wywołuje moment zginający , gdzie  jest poszukiwanym ugięciem pręta. Najpierw rozważmy słup pokazany na Rys. 2-3.6, w którym obciążenie N działa na mimośrodzie , co skutkuje zginaniem słupa stałym momentem zginającym $M=N\cdot e$.

Rys. 2-3.6. Słup mimośrodowo ściskany

(opracowano na podstawie (Butterworth, 2005))

Równanie różniczkowe zginania ($\ref{2-3.9}$ ) można w tym przypadku zapisać w postaci:

$$\begin {equation} EI_y w” = – M(x)=- N(e+w) \label {2-3.2a2} \end {equation}$$

Rozwiązaniem równanie ($\ref{2-3.2a2}$) jest:

$$\begin {equation} w=e\cdot \left ( \cos kx +\cfrac{1- \cos kL}{\sin kL} \right ) \sin kx -1 \label {2-3.2a3} \end {equation}$$

Po przekształceniach ugięcie ($\ref{2-3.2a3}$ ) w środku pręta (dla x=L/2) można zapisać w postaci

$$\begin {equation} e = e \cdot \left ( \cfrac { \sec{kL}}{2} -1 \right ) = e \cdot    \sec{ \left ( \cfrac{\pi}{2}\cdot \sqrt{\cfrac{N}{N_{cr}}} \right )} \label {2-3.2a4} \end {equation}$$

Ugięcie  silnie nieliniowo zwiększa się wraz ze zbliżaniem się siły osiowej $N$ do $N_{cr}$.

Całkowite naprężenie  w środku słupa wynosi:

$$\begin {equation}  \sigma_{max} = \sigma_N+ \sigma_M = \cfrac{N}{A}+ \cfrac{N\cdot e}{I_y} \cdot z_{max} = \sigma_N \cdot \cfrac{e \cdot z_{max}}{ \cos { \left ( \cfrac{\pi}{2}\cdot \sqrt{\cfrac{N}{N_{cr}}} \right )} \cdot i_y^2}\label {2-3.2a5} \end {equation}$$

Porównanie ścisłej formuły ($\ref{2-4.1}$) z inżynierską formuła projektową ($\ref{2-3.2}$) wskazuje na różnice, które dla wartości liczbowych wskazują, że formuła inżynierska jest tylko przybliżeniem rozwiązania dokładnego. Dokładność przybliżenia przez wiele lat była wystarczająca w obliczeniach inżynierskich, prowadzonych metodami „ręcznymi”. Uogólnienie zagadnienia na przypadek jednoczesnego zginania poprzecznego ( zginania z udziałem sił poprzecznych) i ściskania pręta nic nie zmieni z punktu widzenia formalizmu matematycznego, a prowadzi do jeszcze większych rozbieżności.

W dobie informatycznej jest szansa na stosowanie rozwiązań poprawnych matematycznie na gruncie teorii geometrycznie nieliniowej NLG. Obliczenia nieliniowe 2 rzędu są standardem współczesnych programów komputerowych. W ten właśnie sposób przechodzimy do przedmiotu niniejszej pracy, czyli teorii imperfekcyjnej,  ideowo omówionej w pracy (Chodor, 2016).

Osiowe zginanie pręta w konstrukcji statycznie niewyznaczalnej

Rozkład sztywności w statycznie niewyznaczalnych konstrukcjach wpływa na rozdział sił praktycznie we wszystkich rzeczywistych systemach. Dotyczy to również kratownic, które konstruuje się i współcześnie oblicza jak system prętów sztywno połączonych w węzłach.

Załóżmy, że w dowolnej, statycznie niewyznaczalnej konstrukcji pręt [e] uległ wyboczeniu podczas wzrostu obciążenia całej konstrukcji. Ponieważ wskutek wyboczenia sztywność osiowa elementu [e] zmniejsza się, to również siła przekrojowa ulega zmniejszeniu. Wobec tego nowa siła może być niewystarczającą do tego, by utrzymywać pręt w stanie wyboczenia. Taką sytuację nazwiemy „ucieczką” pręta przed wyboczeniem. W numerycznych procedurach geometrycznie nieliniowych opisane zjawisko można w prosty sposób poprawnie uwzględnić. W obliczeniach klasycznych i normowych zjawisko „ucieczki pręta przed wyboczeniem” jest pomijane. Można wykazać, że w niektórych przypadkach podejście takie jest zbyt konserwatywne (prowadzi do nieuzasadnionego przewymiarowania pręta).

Osiowe zginanie niesprężystych konstrukcji

Zakres ważności teorii Eulera i Perry-Robertson

W 1845 roku belgijski inżynier (Lamarle, 1845) pokazał, że teoria Eulera wyboczenia prętów dotyczy przypadków, które dość rzadko występują w praktyce. Słupy rzeczywiste mają smukłość mniejszą od 100, a dla nich wzór Eulera zawodzi (Rys. 2-3.8) i wobec tego Lamarle zaproponował po prostu, aby krytyczne naprężenie rzeczywistych prętów przyjmować równe granicy plastyczności .

W ślad za pracą Lamarle, teoria Eulera była badana doświadczalnie przez J. Bauschingera i L. von Tetmajera. Bauschinger (Bauschinger, 1887) przeprowadził pierwsze wiarygodne testy na słupach. (Tetmajer, 1890) przeprowadził badania stateczności prętów o różnych przekrojach. Bardziej wszechstronny materiał został opracowany w pracy (Jasiński, 1895) oraz (Tetmajer, 1890), którzy zaproponowali empiryczny wzór liniowy do obliczenia naprężeń krytycznych. Na Rys. 2-3.7 pokazano prostą Tetmajera oraz zalecenia normowe DIN z 1952 roku.

Rys. 2-3.7. Ograniczenie ważności formuły Eulera (na przykładzie stali S235)

(opracowano na podstawie (Herzog, 2010))

Punkt przecięcia krzywej Eulera z wytrzymałością materiału $f_ty$ ma współrzędną $\lambda_{lim}=\pi \aqrt{\tfrac{E}{f_y}} i przykładowo dla stali S355 (E=210 GPa, fy=355 MPa) wynosi$\lambda_{lim}=76,4.

Hipotezy przejścia z krzywej Eulera w prostą fy

W rzeczywistości przejście z krzywej Eulera na prostą fy nie jest ostre i w obszarze „przejściowym” jest aproksymowane arbitralnie przyjętą, gładką krzywą pokazaną na Rys. 2-3.8.

Rys. 2-3.8. Teoria Eulera jest prawdziwa tylko dla smukłych słupów

(opracowano na podstawie (Butterworth, 2005))

Sprężysto-plastyczne zginanie osiowe

Klasyczne koncepcje Engesser-Karman

Do opisu sprężysto-plastycznego mimośrodowego ściskania pręta (zginania osiowego) (Engesser, 1895) zaproponował metodę modułu stycznego, polegającą na zamianie w formułach Eulera moduł Younga  przez moduł styczny $E_*=\cxfrac{e \sigma}{ e \varepsilon}, przy czym pierwotna propozycja dotyczyła dla całego przekroju.

W dalszych pracach wskazano na błędne założenie, że moduł styczny dotyczy całego przekroju. Faktycznie część przekroju odciąża się i tam powinno być zachowane klasyczne prawo Hooka i zasada płaskich przekrojów (Rys. 2-3.9). (Karman von, 1910) w miejsce $E_*$ wprowadził moduł zastępczy (zredukowany) $E_{**}= \nu E(1+\nu)$, gdzie $\nu$ – współczynnik modułu zastępczego.

Rys. 2-3.9. Zmiana odkształceń i naprężeń wg Engessera: a) wykres σ-ε, b) zmiana odkształceń, c) zmiana naprężeń

(opracowano na podstawie (Panovko, Gubanova, 1967))

Hipoteza Rankine-Merchant

Prostą formułę na krzywą „przejściową” podali Rankine i Merchant (Merchant, 1954). Na podstawie badań eksperymentalnych, stwierdzili, że dobrą zgodność uzyskuje się przy przyjęciu interakcji:

$$ \begin {equation}  \cfrac{1}{ \sigma_{cr}}= \cfrac {1} {f_y} + \cfrac {1} { \sigma_E} \label {2-4.1} \end {equation}$$

Próby teoretycznego i eksperymentalnego rozwiązania problemu stateczności prętów ściskanych są nadal kontynuowane, a zasady wprowadzone do norm projektowania nie są jedyne.

Koncepcja Shanley

Współczesne koncepcje wyboczenia słupów pojawiły się wraz z opublikowaniem prac  (Shanley, 1946),(Shanley, 1947), który wskazał, że przy wyprowadzeniu teorii zastępczego modułu Engessera-Karmana dokonano założeń, które nie mogą być utrzymane. W szczególności nie jest słuszne założenie, że słup pozostaje prosty podczas zwiększania siły osiowej aż do wartości siły krytycznej – dopiero po przekroczeniu, której słup wygina się. Uwzględnienie wyginania słupa od początku procesu prowadzi do mniejszych i bardziej realistycznych obciążeń krytycznych niż wynikające z klasycznej teorii modułu stycznego lub zastępczego.

Rys. 2-3.10. Wpływ zmiany modułu odciążenia: a) biliniowa krzywa deformacji, b) krzywe Shanley’a

(opracowano na podstawie (Panovko, Gubanova, 1967))

Na Rys. 2-3.10 pokazano analizę ścieżki równowagi pręta ściskanego siłą N, wykonanego ze sprężysto-plastycznego materiału o biliniowej charakterystyce; w jest bocznym przemieszczeniem sprawczym. Siła  wynika z teorii zastępczego modułu (Engessera-Karmana) i jest asymptotą obciążenia krytycznego pręta. Siła odpowiada sile krytycznej wg teorii modułu stycznego Engessera. Na skutek zmiany modułu sprężystości w punktach przekroju podczas zmiany dociążania na odciążenie (pkt A na Rys. 2-3.10a) uzyskujemy siłę krytyczną Shanleya ( punkty na linii ciągłej Rys. 2-3.10 i Rys. 2-3.11). Siłą krytyczną pręta ściskanego osiowo nie jest ani siła , ani , dlatego, że po osiągnięciu przez obciążenie siły Engessera  następuje wychylenie pręta ze stanu prostoliniowego i jest to stan stateczny, który utrzymuje się przy dalszym zwiększaniu obciążenia, a zwiększanie obciążenia prowadzi do zwiększania przemieszczenia.

Rys. 2-3.11. Ścieżki równowagi prostego wspornika ściskanego osiowo: – najmniejsza siła, przy której możliwe jest stan równowagi wygiętego pręta

(opracowano na podstawie (Panovko, Gubanova, 1967) )

Koncepcja Shanleya (Shanley, 1947) dobrze koresponduje z niezależnie ogłoszoną teorią, w której pokazano, że przyczyna szeregu niepowodzeń konstrukcyjnych oraz wielokrotnie stwierdzanych „błędów” eksperymentalnych tkwi w niedocenianiu wagi problematyki stanów pokrytycznych, to znaczy utrzymywania się statecznej ścieżki równowagi), po przekroczeniu pewnego poziomu obciążeń, który nie wyczerpuje jeszcze nośności pręta.

Teoria Shanleya pokazuje, że nie można mówić o ścisłej wartości siły krytycznej (granicznej). W zależności od okoliczności można przyjąć za siłę krytyczną obciążenie z przedziału , ale . Wskazuje również, że w problemie stateczności należy mówić o „ścieżce równowagi słupa” i zakończyć pytania o utratę stateczności i siłę krytyczną, nawet w przypadku pręta prostego, osiowo ściskanego!

Wagę koncepcji Shanleya dobrze widać w zadaniu mimośrodowego ściskania, które prowadzi do rozwiązań, schematycznie przedstawionych na Rys. 2-3.12 i z których wynikają następujące wnioski:

        1. Powyżej krzywej Shanleya 1 nie są możliwe stany równowagi. Krzywa Shanleya stanowi ograniczenie od góry wszystkich ścieżek równowagi prętów rzeczywistych z mimośrodami i imperfekcjami
        2.  Wygięcia boczne pręta rzeczywistego (mimośrodowo ściskanego lub z imperfekcjami) przebiegają od początku ścieżki równowagi, a nie od momentu osiągnięcia siły krytycznej zgodnie z teorią modułu stycznego. Poszukiwanie klasycznej siły krytycznej nie jest potrzebne przy analizie rzeczywistych prętów. Wymagana jest analiza konstrukcji obarczonej imperfekcjami wg teorii geometrycznie nieliniowej – dla systemów nie przechyłowych wystarcza analiza 2 rzędu (P-Δ). Na podstawie tej analizy uzyskujemy nośności ułożone na krzywej 2

    Rys. 2-3.12. Ścieżki równowagi ściskanego pręta: 1 – pręt osiowo ściskany (Shanleya), 2 – pręt mimośrodowo ściskany

    (opracowano na podstawie (Panovko, Gubanova, 1967) )

    Koncepcja Shanleya jest krytyką idei siły krytycznej, klasycznie rozumianej, jako obciążenie bifurkacyjne prostego pręta ściskanego.

    Koncepcja Hutchinson

    W pracach (Hutchinson, 1974), (Hutchinson, Koiter, 1971) pokazano, że w odniesieniu do plastycznej utraty stateczności konstrukcji obarczonych imperfekcjami, można stosować oszacowania asymptotyczne, uzyskiwane w duchu teorii(Koiter, 1945)  układów sprężystych.

    Rys. 2-3.13. Porównanie teorii Shanleya i Hutchinsona: a) klasyczny model Shanley, b), model przy dużych nieliniowościach c) teoria Hutchinsona – punkt bifurkacji symetryczny, d) teoria Hutchinsona – punkt bifurkacji niesymetryczny.

    (opracowano na podstawie (Hutchinson, 1974))

    Na Rys. 2-3.13a, b linią przerywaną oznaczono linię nośności  $n^{**}$ wg teorii zredukowanego modułu, a symbolami $∧$ oznaczono punkty na ścieżce równowagi odpowiadające zapoczątkowaniu odciążenia sprężystego, Liniami ciągłymi oznaczono ścieżki równowagi $P- e$, wynikające z teorii Shanleya dla pręta bez imperfekcji ($\Theta=0$ ) i z imperfekcjami ($\Theta>0 ).

    Rys. 2-3.13 c, d przedstawiono ścieżki równowagi $\lambda – e$ przy zniszczenia elementu w zakresie plastycznym na skutek utworzenie przegubów plastycznych po utracie stateczności w zakresie sprężystym, analizowane przez Hutchinsona w pracach  (Hutchinson, 1974), (Hutchinson, Koiter, 1971).

     Zmienna  jest mnożnikiem obciążenia zewnętrznego, proporcjonalnie, do którego rośnie obciążenie P. Do celów porównawczych teorii Shanley i Hutchinson można przyjąć  $\lambda=N$, – $\lambda_E$ – klasyczny mnożnik obciążenia Eulera, $\lambda_{cr}$ – mnożnik obciążenia bifurkacyjnego przy symetrycznym punkcie bifurkacji (Rys. 2-3.13 c) i przy niesymetrycznym punkcie bifurkacji (Rys. 2-3.13 d). Liniami ciągłymi oznaczono fragment sprężystej ścieżki równowagi, obserwowany do momentu utworzenia przegubu plastycznego (lub przegubów), który oznaczono kreską poprzeczną na styku z plastycznym fragmentem ścieżki równowagi, (linia przerywana). Praca elementu po utworzeniu mechanizmu plastycznego następuje na silnie opadającej ścieżce równowagi, to znaczy nawet przy zmniejszającym się obciążeniu następuje przyrost przemieszczeń $e$.

    Nośność graniczna, czyli maksimum ścieżki równowagi może wystąpić (zależnie od rodzaju punktu bifurkacyjnego) na sprężystej lub plastycznej części ścieżki równowagi.

    Nośność graniczna jest dość dobrze przewidywana, gdy maksymalne obciążenie zachodzi bardzo blisko punktu bifurkacji sprężystej, choć amplituda postaci wyboczenia jest słabo określona. Jeśli natomiast maksymalne obciążenie znacznie przekracza obciążenie bifurkacji to dokładność oszacowania nośności gwałtownie pogarsza się.

    Proces tworzenia się przegubów plastycznych konstrukcji obarczonych imperfekcjami geometrycznymi w analizie GMNIA badano w pracy (Alveranga, Silveira, 2009), gdzie pokazano, że krytyczne (prowadzące do zniszczenia plastycznego) imperfekcje geometryczne występują z udziałem naprężeń resztkowych i trwałych, wstępnych imperfekcji geometrycznych

    Krzywe wyboczeniowe a dokładne rozwiązanie sprężysto-plastyczne

    W pracy  (Henricsson, Panarelli, 2017) przeprowadzono testy zależności Eurokod  z wykorzystaniem programu ABAQUS i  pokazano, że obliczenia prowadzone z uwzględnieniem modelu plastycznego materiału – systematycznie  prowadzą do większych współczynników wyboczeniowych  od analizy sprężystej, szczególnie w zakresie sprężysto-plastycznego wyboczenia dla prętów o smukłości $\overline \lambda <1$ . Różnica dochodzi do kilkudziesięciu procent. Na rys. 2-3.14 pokazano przykładowe wyniki dla prętów z rur kwadratowych KKR oraz dwuteowników szerokostopowych H.

     

    Rys.2-3.14. Porównanie współczynników wyboczeniowych ze ścisłej  imperfekcyjnej analizy sprężystej i plastycznej oraz normowej krzywej wyboczeniowej „c”.


  1. Alternatywna amplituda imperfekcji

    Skalowanie pierwszej postaci wyboczenia sprężystego

    Wielu badaczy (Gu, Chan, 2005),(Kim, Lee, 2002), (Mahendran, 2007),[ zotpressInText item=”{EKVJ7CVX}”] przyjmuje, imperfekcje w kształcie pierwszej formy wyboczenia sprężystego. W tym celu najpierw jest prowadzona klasyczna analiza LBA na idealnym modelu konstrukcji (w konfiguracji nieodkształconej i niezaburzonej imperfekcjami), a następnie odbywa się skalowanie kształtu wyboczenia otrzymanego dla pierwszej wartości krytycznej, tak, aby utworzyć początkową imperfekcję. Koncepcja tej teorii wynika z hipotezy, że najniekorzystniejsza geometria imperfekcji jest najbliższa pierwszej postaci krytycznej, ponieważ wymaga najmniejszej energii odkształcania i najkrótszą drogą prowadzi do ostatecznego zniszczenia.

    W większości przypadków pierwsza postać wyboczenia może reprezentować kształt zniszczenia i imperfekcje zgodne z tym kształtem wspomagają zniszczenie. Jednakże są też pewne systemy, dla których postać zniszczenia różni się od pierwszej formy wyboczenia. Ponadto szerokie badania statystyczne wskazują, że rzeczywiste kształty imperfekcji prawie zawsze różnią się od krzywych wynikających ze sprężystych postaci wyboczenia, czyli w uproszczeniu od kształtu sinusoidy (np. (Bjerhovde, 1972; Bjerhovde, Tall, 1971)).

    Wskazuje się, że taka metoda nie jest wiarygodna we wszystkich przypadkach, ponieważ na poprawność modelu nie przeprowadzono niebudzącego wątpliwości dowodu. Nie pokazano, że na dającym się zaakceptować poziomie prawdopodobieństwa zniszczenia metoda skalowania pierwszej postaci wyboczenia, będzie prowadziła do poprawnego oszacowania obliczeniowej nośności konstrukcji.

    (Alveranga, Silveira, 2009)  zaproponowali, by kształt imperfekcji łukowej określać z uwzględnieniem zachowania konstrukcji w zakresie plastycznym ze względu na istotny wpływ naprężeń resztkowych i faktyczne zniszczenie plastyczne, zapoczątkowane wyboczeniem sprężystym (p. pkt 2-3.1.4). W tym ujęciu sprawczy kształt imperfekcji jest wyznaczany w trakcie rozwiązania problemu, a krytyczny kształt sprężysty jest tylko pierwszą iteracją. W istocie rozróżnia się, więc dwa pojęciowo różne rodzaje wstępnych imperfekcji konstrukcji:

    • rzeczywiste, wyznaczone w drodze pomiarów
    • obliczeniowe, to znaczy takie zastępcze imperfekcje nierzeczywiste, które są przyjmowane w obliczeniach, i które sprawiają, że wyznaczona nośność graniczna konstrukcji przybliża się do nośności rzeczywistej. Imperfekcje sprężyste zgodne z postacią wyboczenia mogą być wstępnym punktem startu w analizie nieliniowej, podczas której przekształcą się w inny kształt, odpowiadający mechanizmowi zniszczenia sprężysto-plastycznego.

    Hipoteza Chladný

    Eugen Chladný w pracy doktorskiej (Chladny, 1958)  i habilitacyjnej (Chladny, 1974) opracował podstawy Alternatywnej Metody Imperfekcji Geometrycznych (AIM) i w 2000 roku zaproponował tę metodę w bardziej ogólnej formie do zastosowania w normie Eurokod 3. Metoda została zaakceptowana w projekcie prEN1993-1-1 (czerwiec 2002) i wprowadzona w pkt 5.3.2 (11) do oficjalnej wersji EN1993-1-1 (2005). Rozszerzona wersja metody AIM  jest stosowana w narodowej normie słowackiej STN EN 1993-1-1 /NA (2007), a także w pkt. 5.3.2 (11) normy europejskiej do projektowania konstrukcji aluminiowych.

    Metoda jest wyczerpująco opisana w pracach (Balaz et al., 2007), (Sedlacek et al., 2004).

    W literaturze można spotkać się z nazwą metody UGLI (Unique Global and Local Initial imperfection)  (Balaz, Kolekova, 2012) lub EUGLI (Equivalent Unique Global and Local Initial imperfection”) (Sedlacek et al., 2004).  Metoda pierwotnie opracowana na przypadek elementów o stałym przekrojów, ściskanych stałą siła osiową, jest stopniowo uogólniana na:

    • elementy o zmiennym przekroju i sile osiowej po długości (Balaz, Kolekova, 2012) ,
    • łuki trójpunktowe (basket handle arch type) w słowackim aneksie normy ,
    • klasę 4-tą przekroju elementu Brodniansky J., Rudolf Ároch R. , (2014), Unique global and local initial imperfection in the shape of the elastic buckling mode (Application of “UGLI” imperfection method for frames with class 4 cross-sections), IASS-SLTE Symposium 2014: Shells, Membranes and Spatial Structures, Brasilia, Brazil, Sep 2014,

    W podejściu AIM przyjmuje się hipotezy Chladný AIM 1 i AIM 2:

    AIM 1 Kształt wstępnych imperfekcji  $\eta_{ini}$ jest proporcjonalny do postaci wyboczenia sprężystego systemu $\eta_{cr}$:

    $$ \begin {equation}  \eta_{ini} (x) = e_{0,m} \cdot \eta_{cr} (x) \label {2-4.1}  \end {equation}$$

    gdzie  $ e_{0,m}$ jest zastępczą (równoważną, alternatywną) amplitudą imperfekcji, podczas gdy $\eta_{cr}(x)$  jest funkcją postaci wyboczenia elementu unormowaną w taki sposób, że jej amplituda jest jednostkowa $|\eta_{cr,max}|=1$. Z wielu postaci wyboczenia systemu należy stosować najniekorzystniejszą, którą najczęściej jest pierwsza postać wyboczenia (Balaz, Kolekova, 2012), (Dallemule, 2015) .

    AIM 2 Imperfekcje alternatywne (2.49) opisują łącznie lokalne i globalne (zintegrowane) imperfekcje.

    Wbrew temu co postulują prace (Shayan, Rasmussen, Zhang, 2014), (Giżejowski et al., 2016),  przyjmujemy że jednocześnie nie wystąpią różne formy wyboczenia konstrukcji i nie należy tych postaci kombinować. Zasadę można uzasadnić w sposób niebudzący wątpliwości w języku prawdopodobieństwa zdarzeń wykluczających.

    Alternatywna amplituda imperfekcji  $ e_{0,m} $ jest taką zastępczą (równoważną rzeczywistej) amplitudą imperfekcji, która stanowi mnożnik (skalę) dla funkcji sprężystej postaci wyboczenia elementu.

    Ideę metody AIM przedstawiono na przykładzie pręta utwierdzono-przegubowego o długości L i stałych po długości charakterystykach $A, \, I_y, \, E$  , ściskanego stałą siłą osiową $N_{Ed} $ . Na Rys. 2-4.1 zilustrowano zasadnicze pojęcia metody alternatywnej w odniesieniu do м-tego przekroju sprawczego o współrzędnej $x_m$.

    Rys. 2-4.1. Metoda alternatywna AIM: a) schemat pręta, b) postać wyboczenia , c) imperfekcje alternatywne , d) wykres momentów zginających . Linia przerywana (podstawa efektywna) łączy punkty przegięcia , czyli określa długość efektywną elementu . Imperfekcja (normowa, statystyczna) jest przyrównywana do rzędnej ugięcia w przekroju sprawczym м nad podstawą efektywną

    (opracowano na podstawie (Dallemule, 2015))

    Na rys. 2-3.14b wykreślono funkcję$ \eta_{cr}(x)$ , która jest unormowaną funkcją postaci sprawczej wyboczenia sprężystego układu (pręta lub systemu prętów). Postacią sprawczą jest podstawowa (pierwsza) postać wyboczenia, którą obserwuje się przy najmniejszym krytycznym mnożniku konfiguracji obciążenia. Inna postać wyboczenia, (ale również pierwsza) może dotyczyć innej konfiguracji obciążenia (lub innego schematu pręta, np. po utworzeniu przegubu plastycznego). Unormowanie funkcji polega na takim przeskalowaniu funkcji, by amplituda

    Na rys. 2-3.14c wykreślono funkcję , która jest alternatywną (zastępczą, równoważną) zintegrowaną (łącznie globalną i lokalną) funkcją imperfekcji układu o amplitudzie . Linią przerywaną oznaczono podstawę efektywną, łączącą punkty przegięcia funkcji imperfekcji, czyli punkty zerowe momentu zginającego , odpowiadające tej linii ugięcia. Z warunku proporcjonalności (2.49) wynika, że punkty przegięcia sprawczej funkcji wyboczenia występują dla tych samych rzędnych i długość efektywną można oszacować na podstawie

    Normowa (statystycznie określona) amplituda imperfekcji jest strzałką linii ugięcia , liczoną, jako odległość od podstawy efektywnej do linii ugięcia.

    Na rys. 2-3.14d, wykreślono funkcję momentu zginającego , odpowiadającą kształtowi wyboczenia . Wartość bezwzględna momentu w przekroju m jest wartością ekstremalną . Z tego warunku wyznacza się położenie punktu м. Oczywiście odpowiada ono również ekstremum momentu wynikającego z krzywej postaci wyboczenia: .

    Metoda AIM uwzględniania geometrycznych imperfekcji konstrukcji jest metodą alternatywna w stosunku do stosowania współczynników wyboczeniowych oraz tak zwanej metody ogólnej (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) i staje się podstawową metodą w projektowaniu konstrukcji, dlatego jej idee są ważne dla projektantów.  W metodzie AIM imperfekcje geometryczne (globalne i lokalne) odpowiadają skalowanej formie sprężystego wyboczenia, stowarzyszonego z wektorem własnym uzyskanym z liniowej analizy wyboczeniowej (LBA) całego układu konstrukcyjnego. Metoda alternatywna AIM bazuje więc na omówionej w punkcie 2-3.2.1 metodzie  skalowania pierwszej postaci wyboczenia sprężystego.

    Analiza LBA (rozwiązania problemu własnego) zaimplementowana we wszystkich pakietach numerycznych jest efektywna (mało kosztowna) i może być zastosowana do dowolnie złożonej konstrukcji. Analiza całego układu bez wydzielania elementów pozwala ujawnić wszystkie możliwe postacie wyboczenia, a w szczególności postacie globalne (przechyłowe lub przeskok) i lokalne (łukowe) w tym ich fizycznie możliwe kombinacje. W zależności od typu elementów skończonych ujawnia też rozmaite rodzaje utraty stateczności (wyboczenie giętne, boczne (zwichrzenia), skrętne, płytowe, powłokowe, itd.) oraz ich fizycznie możliwe kombinacje (interakcję). W istocie postacie i rodzaje utraty stateczności są sprzężone i nie należy dążyć do ich rozprzężenia często tylko po to, by nazwać je, a następnie zastosować uproszczone, normowe zasady interakcyjne.

    Uogólnienie formuły Ayrton-Perry

    Uogólnienie na zwichrzenie pręta

    W 1991 roku w pracy zotpressInText item=”{QVU3L9BH}”] podjęto próbę uogólnienia formuły Ayrton-Perry APF  na przypadek zwichrzenia pręta w drodze skalibrowania  formuły pierwotnej do wyników eksperymentalnych. W późniejszej wersji Eurokod (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) zaimplementowano zmodyfikowaną wersję tej formuły. W pracy (Chapman, Buhagiar, 1993; PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) wyprowadzono teoretycznie formułę APF na  przypadek skręcania i zwichrzenia prętów.

    W pracy (Szalai, Papp, 2010) ustalono niezbędne warunki dla spójnego uogólnienia APF dla problemu zwichrzenia belek zginanych i ściskanych stałą siłą.

    Naprężenia w przekroju sprawczym zginanym momentem zginającym $M_y$ względem osi większej sztywności, momentem drugiego rzędu $M_z^{II}$ względem osi słabszej  oraz paczonych bimomentem drugiego rzędu $B^{II}$ wyznaczano z ogólnej zależności:

    $$ \begin {equation}  \sigma=\cfrac{M_y}{W_y}+ \cfrac {M_Z^{II}}{W_z}+\cfrac{B^{II}}{W_\omega}=f_y  \label {Papp1}  \end {equation}$$

    gdzie $W_y$, $W_z$ oraz $W_\omega$ są wskaźnikami wytrzymałości przekroju względem osi „y” i „z” oraz wskaźnikiem wytrzymałości giętno- skrętnej „$\omega$”.

    Zagadnieniem zwichrzenia rządzi formuła APF analogiczna do ($\ref{2-3.5}$) z rozwiązaniem ($\ref{2-3.6}$), ale konsekwentnie w miejsce współczynnika wyboczeniowego $\chi$ należy podstawić współczynnik zwichrzenia $\chi_{LT}= \cfrac{M_y}{M_R}$,a w miejsce smukłości względnej $\overline \lambda$ smukłość na zwichrzenie $\overline \lambda_{LT} =\sqrt{\cfrac{M_R}{M_{ce}}}$ , gdzie $M_R=W_y\cdot f_y$.

    Parametr imperfekcji  ($\ref{2-3.2a}$) dla zwichrzenia wynosi

    $$ \begin {equation}  \Theta_{LT}= \cfrac{W_y}{W_\omega} \cdot \left [ v_0 + \varphi_0 \left( \cfrac{W_\omega }{W_z} – \cfrac{GI_T}{M_{cr}} \right ) \right ] \label {Papp2}  \end {equation}$$

    gdzie $v_0$ oraz $\varphi_0$ amplitudy imperfekcji : wygięcia bocznego oraz kąta skręcenia przekroju elementu.

    Kompletną analizę zagadnienia APF dla słupów-belek przedstawiono w pracy (Tankova et al., 2017). Rozwiązanie (Szalai, Papp, 2010) rozszerzono na dowolne rozkłady momentów zginających. Pokazano, że zaproponowana procedura projektowania jest lepsza od  formuł interakcji normy (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) (metoda 2).

    Należy zwrócić uwagę, że z  formuły ($\ref{Papp2}$) można ocenić parametr imperfekcji w przypadku zwichrzenia dla znanych imperfekcji projektowych, wyznaczonych z tolerancji wykonawczych.

    Formuła APF przy jednoczesnym wyboczeniu i zwichrzeniu

    W pracy (Szalai, Papp, 2010) przedstawiono rozwiązanie problemu fundamentalnego: korelacji ściskania ze zginaniem z uwzględnieniem wyboczenia giętnego oraz bocznego (zwichrzenia). Parametry tego problemu oznaczono indeksami BC( Buckling-Compression)

    Formułę APF dla problemu BC można zapisać w postaci

    $$ \begin {equation}  \chi_{BC}^2 + \chi_{BC} \cdot \left [ -\beta_N – \cfrac{1}{ \overline \lambda_{BC}^2} \left( 1-\Theta \right)  \right ] +\cfrac{1}{ \overline \lambda_{BC}^2} \beta_N = 0 \label {Papp3} \end {equation}$$

    gdzie uogólniony parametr imperfekcji jest parametrem ($\ref{Papp2}$)  zmodyfikowanym przez współczynniki amplifikacji:

    $$ \begin {equation}  \Theta_{LT}= \cfrac{W_y}{W_\omega} \cdot  \left [ v_0 \cdot a_{\Lambda,z}+ \varphi_0  \cdot a_{\Lambda,x} \left( \cfrac{W_\omega }{W_z} – \cfrac{GI_T}{M_{cr}} \right ) \right ] \label {Papp4}  \end {equation}$$

    Współczynniki amplifikacji można wyznaczyć z zależności:

    $$ \begin {equation}  a_{\Lambda,x}= \cfrac{1}{1-1/\Lambda_{cr,x}} \quad ; \quad  a_{\Lambda,z}= \cfrac{1}{1-1/\Lambda_{cr,z}}\label {Papp5}  \end {equation}$$

    gdzie:
    $\Lambda_{cr,x}=\cfrac{N_{cr,x}}{N}$ – mnożnik krytyczny przy czystym wyboczeniu skrętnym,
    $\Lambda_{cr,z}=\cfrac{N_{cr,z}}{N}$ – mnożnik krytyczny przy czystym wyboczeniu giętnym względem osi z,
    $N_{cr,z}=\cfrac{EI_z \pi^2}{L^2}$,
    $N_{cr,x}= \cfrac{1}{r_0^2}\left( \cfrac{EI_\omega \pi^2}{L^2} +GI_T\right)$

    Współczynnik korelacji zginania ze ściskaniem (współczynnik udziału ściskania) wynosi:

    $$ \begin {equation}   \beta_N =1-n+m_z^{II}+b^{II} \label {Papp6} \end {equation}$$

    gdzie $n=\cfrac{N}{N_R}$, $m_z^{II} = \cfrac{M_z^{II}} {M_{R,z}}$, $b^{II}=\cfrac{B^{II}}{B_R}$ są względnymi siłami przekrojowymi: siłą osiową, zginającym momentem  względem osi „z” drugiego rzędu oraz bimomentem drugiego rzędu. Siły względne są odniesione do nośności przekroju: $N_R=N_{pl} A \cdot f_y$, $M_{R,z}=W_z\cdot f_y$, $B_R=W_\omega\cdot f_y$, gdzie $A$ – pole przekroju, $W_z$ – wskaźnik wytrzymałości względem osi słabszej, $W_\omega$ – wycinkowy wskaźnik wytrzymałości.

    Współczynnik korelacji najprościej wyznaczać dla sił uzyskanych z rozwiązania drugiego rzędu od wymuszeń imperfekcji. Można też oszacować je w przybliżeniu z zależności:

    $$ \begin {equation}    M_z^{II}=M_{z,0} \cdot a_{\Lambda,z} =N\cdot v_0\cdot a_{\Lambda,z} \label {2-3.50} \end {equation}$$

    $$ \begin {equation}    B^{II}= \varphi_0\cdot a_{\Lambda,x} \cdot \left [ N\cdot r_0^2 -GI_T \cdot \left (1-\cfrac{1}{ a_{\Lambda,x}} \right )\right ]  \label {2-3.51} \end {equation}$$

    Zalezności ($\ref{Papp3}$) do $\ref{Papp5}$) są prawdziwe wówczas, gdy wygięcie wstępne $v_0$ oraz wstępny kąt skręcenia $\varphi_0$ spełniają zależność

    $$ \begin {equation}    \cfrac{v_0}{\varphi_0}=\cfrac{M_{cr}}{N_{cr,z}}=r_0 \sqrt{\cfrac{N_{cr,x}}{N_{cr,z}}} \label {2-3.52} \end {equation}$$

    gdzie $r_0$ jest biegunowym promieniem bezwładności przekroju.

    Rozwiązaniem równania kwadratowego APF również w przypadku interakcji zginania i ściskania przedstawiają formuły ($\ref{2-3.6}$), w których należy podstawić odpowiednie smukłości i parametr imperfekcji.
    Z przedstawionych zależności wynika,  parametr imperfekcji zależy od długości pręta oraz przekroju elementu. Funkcyjne zależności są dość złożone, co potwierdza, że zastosowanie teorii wyboczeniowej może prowadzić do słabych oszacowań wytężenia pręta. Z rys. 2-3.16 wynika, że przy interakcji zginania i ściskania zależność współczynnika wyboczeniowego od smukłości może przyjąć zupełnie inny kształt od krzywych normowych.

    Rys.2-3.16. Współczynniki wyboczeniowe dla czystego zwichrzenia i interakcji zginania i ściskania.

    Lepszym rozwiązaniem jest  wyznaczenie momentu krytycznego  $M_{cr,N}$ pręta,  zmniejszonego wskutek jednoczesnego ściskania i wichrzenia zgodnie z fromuła interakcji:

    $$ \begin {equation}    M_{cr,N}=r_0\cdot \sqrt{(N_{cr,z}-N)\cdot (N_{cr,x}-N)}\label {2-3.53} \end {equation}$$

    Hipoteza Papp dla zwichrzenia pręta

    (Papp, 2016) wyznaczył równoważną amplitudę dla postaci wyboczenia bocznego (zwichrzenia) poprzez uogólnienie podejścia (Ayrton, Perry, 1886) na sprzężony problem (ang. coupled) utraty stateczności pręta, tzn. wyboczenia giętnego sprzężonego z wyboczeniem skrętnym i wyboczeniem bocznym (zwichrzeniem). Matematycznie nie jest ściśle możliwe i praktycznie nie jest potrzebne rozdzielenie postaci wyboczenia giętnego, skrętnego oraz bocznego.

    Rozwiązanie bazuje na fundamentalnym rozwiązaniu zagadnienia dla wyboczenia giętnego (Chladny, Stujberova, 2013) , (Chladny, Stujberova, 2013) i uogólnia je na przypadek zwichrzenia. (Papp, 2016) założył mianowicie, że imperfekcje boczne belki są proporcjonalne do funkcji bocznego wyboczenia sprężystego odpowiadającej postaci bocznego wyboczenia sprężystego $\nu_{cr} (x)$.

    Zależność na równoważne wstępne wygięcie boczne preta (imperfekcję boczną)  $\nu_0(x)$ w funkcji obliczeniowej amplitudy bocznego wygięcia wstępnego (imperfekcji) $e_{0,z}$  oraz siły krytycznej (Eulera) dla przypadku wyboczenia z płaszczyzny pręta $N_{cr,z}$  zapisano w postaci:

    $$ \begin {equation}  v_0(x) =e_{0,z} \cdot  \cfrac{N_{cr,z}}{EI_z \cdot {v^”}_{cr,max} } \cdot  v_{cr} (x) \label {2-3.54}  \end {equation}$$

    Równoważne wstępne skręcenie wstępne (imperfekcja skręcenia) wynosi

    $$ \begin {equation}  \varphi_0 (x)=  \cfrac{N_{cr,z} }{M_{cr}} \cdot v_0(x) \label {2-3.55}  \end {equation}$$

    Formuła ($\ref{2-3.54}$) stanowi uogólnienie normowego wyrażenia na przypadek wyboczenia bocznego (zwichrzenia). Na Rys. 2-3.17 zilustrowano podstawowe zmienne modelu Pappa: – imperfekcje pręta: wygięcie boczne i kąt skręcenia odpowiednio; – wygięcie boczne i kąt skręcenia pręta po obciążeniu (w stosunku do kształtu z imperfekcjami).

    W dobie powszechnej komputeryzacji, szczególnie interesujące jest zaproponowane iteracyjne ujęcie numeryczne zagadnienia.

    Rys. 2-3.167 Model pręta Pappa w stanie zwichrzenia

    (opracowano na podstawie (Papp, 2016))

    Formuła Szalai

    W 2017 roku Szalai zaprezentował formułę amplifikacji imperfekcji geometrycznych dla belki-słupa, czyli pręta ściskanego, zginanego  i skrecanego nieswobodnie podlegającego  jednoczesnemu wyboczeniu giętnemu  i zwichrzeniu. Uogólnioną formułę amplifikacji da się zapisać w postaci macierzowej (Szalai, 2017, wzór (23)):

    $$ \begin {equation}  [u](x) =a_\Lambda \cdot [u]_0(x) \label {2-3.56}  \end {equation}$$

    gdzie:
    $[u]_0(x) $  imperfekcje geometryczne prąta: wstępne skrócenia $u_0 (x)=0$, wygięcia w kierunku poprzecznym do pręta $v_0(x)$, ugięcia $ w_0(x)$ oraz skręcenia $\varphi_0(x)$ ujęte w wektor
    $ [u]_0 (x)= \left [ \begin{array}{l}
    0 \\
    v_0(x)\\
    w_0(x)\\
    \varphi_0(x)
    \end{array} \right] $

    $[u](x)$ całkowite przemieszczenie pręta w stanie II rzędu   złożone z imperfekcji  $[u[_0(x)$ oraz ich przyrostu wywołanego działaniem sił przekrojowych
    $ [u] (x)= \left [ \begin{array}{l}
    u(x) \\
    v(x)\\
    w(x)\\
    \varphi(x)
    \end{array} \right] $

    Współczynnik amplifikacji $a_{\Lambda}= \cfrac{1}{1-\tfrac{1}{\Lambda_{cr}}}$ zdefiniowano w  rozdziale „Imperfekcyjna metoda. Pojęcia podstawowe”  wzór (1-1.12),

    przy czym mnożnik krytyczny $\Lambda_{cr}$ należy wyznaczać w analizie LBA całego ustroju na modelu uwzględniającym wszystkie badane postacie wyboczenia, czyli wyboczenie giętne, skrętne i giętno-skrętne (zwichrzenie). Takim modelem jest uogólniony pręt Własowa, to znaczy pręt o siedmiu stopniach swobody z paczeniem jako siódmym stopniem.

    Formuła ($\ref{2-3.56}$) jest uogólnieniem klasycznej formuły amplifikacji ($\ref{2-3.22}$) i jest analogicznie wyprowadzona. Całość wyprowadzenia można znaleźć w pracy

    Szalai, J. (2017). Complete generalization of the Ayrton-Perry formula for beam-column buckling problems. Engineering Structures, 153, 205–223.
    .


    Rys. 2-3.18 Ilustracja do formuły Szalai

    (Szalai, 2017)

    Na rys. 2-3.18 pokazano ilustrację zagadnienia ściskania rzeczywistego pręta w nomenklaturze przyjętej w pracy (Szalai, 2017). Nośność $N_R$ jest nośnością przekroju na czyste ściskanie. Natomiast $N_{cr}$ jest nośnością pręta (Eulera). Definiuje się następujące mnożniki obciążenia $N$:
    krytyczny  $\Lambda_{cr}=N_{cr}/N$ (1-1.13),
    graniczny (spręzysto-plastyczny) $\Lambda_{lim}=N_{lim}/N$ (1-1.16)
    przekroju (nośności plastycznej $N_R=A \cdot f_y$ , $\Lambda_R=N_R/N$
    Odróżnienie tego podejścia od prezentowanego w podręczniku polega na tym, że w miejsc mnożnika plastycznego konstrukcji $\Lambda_{pl}$ (1-1.15) stosuje się nośność plastyczną przekroju $\Lambda_R$.

    W pracy (Szalai, Papp, 2010) przedstawiono postać formuły Ayrton-Perry (APF)  na przypadek zwichrzenia pręta.

    Probabilistyczna podejście do stateczności konstrukcji

    Już w roku 1950 Dutheil (Dutheil, 1950) wskazał na konieczność opisu stateczności słupów w języku probabilistycznym, ale efektywne rozwiązanie problemu probabilistycznego napotykało na przeszkodę związaną z brakiem zamkniętego deterministycznego opisu problemu sprężysto-plastycznej utraty stateczności (Bolotin, 1968), a zastosowanie metody Monte-Carlo spotykało się z przeszkodą w postaci małej mocy komputerów.

    Jedną z pierwszych prób probabilistycznego opisu problemu stateczności niesprężystego słupa były prace (Chung, 1969), (Chung, Lee, 1971) w których jako zmienne losowe traktowano styczny moduł sprężystości, co prowadziło do złożonej, wielokrotnej całki. W pracy (Ravindra, Galambos, 1972) zaproponowano rozwiązanie tej całki aproksymacyjną metodą FORM (First-Order Reliability Method). Podejście sugerowane przez  (Dutheil, 1950), (Dutheil, 1952)  zastosowano w pracy (Augusti, Barattta, 1971) . Przyjęto, że zmiennymi losowymi są wstępne wygięcia (imperfekcje), granica plastyczności i smukłość pręta. Wspólną cechą wspomnianych rozwiązań było założenie o losowej niezależności losowych zmiennych, co jest w ogólności nieprawdziwe.

    Szerokie badania problemu prowadził Elishakoff, zarówno metodą Monte-Carlo, jak i metodami analitycznymi (Elishakoff, 2016). Szeroko stosowaną obecnie ((Kala, 2003) , (Kala, 2007) ) metodą modelowania losowych modelowania imperfekcji jest metoda zbiorów rozmytych rozmyte, w której zakłada się, że zarówno kształt jak wielkość imperfekcji, jako przypadkowe.

    W analizach losowych imperfekcji najczęściej (np. (Marek, Krivy, 2006), (Omishore, 2010)(Omishore, Kala, 2009) ) tylko amplituda jest uważana za zmienną losową i to o rozkładzie normalnym lub lognormalnym, a jej przebieg na długości pręta przyjmuje się w kształcie sinusoidy. Parametry rozkładu dobiera się tak, by z prawdopodobieństwem 95% imperfekcja pozostawała w przedziale określonym tolerancją normową.

    Koncepcja Bj¢rhovde

    (Bjerhovde, 1972) przyjmuje, że losowa amplituda imperfekcji  ma rozkład prawdopodobieństwa Gumbela I typu dla najmniejszych wartości (p. Załącznik A). Przyjęty rozkład ma dystrybuantę (A.33) i funkcję gęstości (A.34) ze standaryzowaną zmienną:

    $ y=\cfrac{e_0 -\alpha}{\beta}$

    gdzie  $\alpha$ i $\beta$ są parametrami rokładu, które Bj¢rhovde wyznaczył z warunków brzegowych problemu. Przyjął mianowicie, że maksymalna dopuszczalna strzałka wstępnego wygięcia  $e_{max}=e_0=L/1000$  może wystąpić z prawdopodobieństwem 2,5%, co jest zgodne z wytycznymi norm światowych (AISC, 1993), (AS4100, 2004) i co było zgodne z dawną propozycją europejską. (Obecnie Eurokod przyjmuje $e_0 \approx L/300$.

    Z zależności (A.36) dla standaryzowanego rozkładu Gumbela ($\alpha= \beta= 0$) mamy kwantyl $t_{max}=0+1\cdot ln [-ln(0,025)]=1,3$, który jest poziomem tolerancji dla przekroczenia maksymalnej amplitudy imperfekcji  $e_{max} = e_0$. Zatem

    $$ \begin {equation}  e_0=\alpha+1,3 \cdot \beta \label {2-3.57}  \end {equation}$$

    Ponadto przyjęto, że minimalna strzałka wstępnego wygięcia wynosi $e_{min}=0$ (dla idealnego pręta) oraz założono, że może ona nie być utrzymana z prawdopodobieństwem 1%, co odpowiada współczynnikowi tolerancji $t_{min} =ln [ -ln (1-0,01)]=-4,6 , czyli

    $$ \begin {equation}  e_{min}=0 =\alpha -4,6 \cdot \beta \label {2-3.58}  \end {equation}$$

    Z układu równań ($\ref{2-3.57}$) i ($\ref{2-3.58}$) otrzymano:

    $\beta=\cfrac{e_0}{5,9}$ ,   $\alpha= 0,78 \cdot e_0$,

    Uzyskany rozkład prawdopodobieństwa pokazano na rys. 2-3.19.

    Rys. 2-3.19. Ilustracja założeń i wyników pracy Bj¢rhovde (1972)

    (opracowano na podstawie (Shanley, 1947) )

    Na podstawie  formuł (A.35) i (A.28) wartość średnia $\overline e_0$ i odchylenie standardowe $\sigma_{e_0}$ amplitudy imperfekcji wynosi:

    $$ \begin {equation} \overline e_0 = (0,78-0,5772/5,9) \cdot e_0 = 0,682 \cdot e_0= L/1470 \quad ; \quad \sigma_{e_0}= 1,283 \beta =1,283/5,9 \cdot e_0 = L/4600 \label {2-3.59}  \end {equation}$$

    Dla parametrów losowej amplitudy imperfekcji {$\ref{2-3.59}$) w pracy (Bjerhovde, 1972) sporządzono krzywe wyboczeniowe i porównano z krzywymi deterministycznymi. Oba typy krzywych są podobne, co świadczy o tym, że spośród wielu zmiennych losowych problemu ( w tym naprężeń resztkowych) imperfekcje łukowe są najbardziej znaczące. Metodą probabilistyczną uzyskano większe o kilka procent nośności krytyczne słupów.

    Koncepcja Murzewskiego

    Murzewski (Murzewski, 1976), a za nim Gwóźdź (Gwóźdź, 1997) przedstawili interesującą, probabilistyczną interpretację współczynnika wyboczeniowego , wyznaczonego na podstawie losowej nośność granicznej $\Lambda_{lim}$  zdefiniowanej jako minimum z losowej nośności krytycznej  $\Lambda_{cr}$ (wyboczenia sprężystego) oraz losowej nośności plastycznej $\Lambda_{pl}$ :

    $$ \begin {equation} \min {[ \Lambda_{cr} \quad , \Lambda_{pl}]}  \label {2-3.60}  \end {equation}$$


    [następne R3-1] [Imperfekcje konstrukcji, a współczynniki bezpieczeństwa]


    Niniejszy artykuł jest częścią 3. rozdziału 2. podręcznika Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji

    Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło:
    Leszek Chodor, (2019), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki, Wydawnictwo πPress, [ http://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]

    Historia edycji artykułu:
    Publikacja jest edytowana od roku 2017, pierwotnie jako podręcznik dla wydawnictwa PWN, Zakończenie edycji zostało przerwane na początku roku 2018 na skutek wypadku i rekonwalescencji autora podręcznika.  Obecnie cykl artykułów składający się na podręcznik jest w trakcie edycji internetowej i jest publikowany odcinkami.

    (2019-04-08 do 15) wersja 1,0: wersja pierwotna
    (2019-05-27) Wersja 2.0: dokonano podziału rozdziału na części w celu poprawy procesu wczytywania strony 

    Proszę społeczność Inżynierów w internecie o przesyłanie recenzji podręcznika  na moje ręce: biuro@chodor-projekt.net
    Leszek Chodor


    Literatura cytowana w rozdziale

    AISC. Load and resistance factor design specification, 2nd Ed (1993). Chicago: American Institute of Steel Construction.
    AS4100. Australian Standard AS4100, Steel Structures. Standards Australia (2004). North Sydney, New South Wales, Australia.
    Alveranga, A. R., & Silveira, E. A. (2009). Second-order plastic-zone analysis of steel frames- Part II effects of initial geometric imperfection and residual stress. Latin American Journal of Solids and  Structures, 6(4), 323–342.
    Augusti, G., & Barattta, A. (1971). Theorie probabiliste de la resistnce des barres comprimees. Constructiion Metallique, (2).
    Ayrton, W. E., & Perry, J. (1886). On Struts. The Engineer, 464–513.
    Balaz, I., Aroch, R., Chladny, E., Kmet, S., & Vican, J. (2007). Design of Steel Structures according o Eurocodes STN-EN 1993-1:2006 a STN-EN-1993-1-8:2007 (in Slovak) (1st, 2nd ed.). Bratislava: Slovak Chmaber of CIvil Engineers (SKS).
    Balaz, I., & Kolekova, Y. (2012). Structures with UGLI imperfections  (in Slovak). In Proceedings (pp. 61–86). Svratka,- Bratislava, Czech  Republic.
    Bauschinger, J. (1887). Zerknickungs-Versuche (Mitteilung an das No. Heft 15, Mitteilung XVII) (p. 11). Munchen: Mechanische-Technologie Laboratorium, Munchen.
    Bjerhovde, R. (1972). Deterministic and probabilistic approaches to the strength of steel columns (Ph D. Dissertation No. 1933). Lehigh: Lehigh University.
    Bjerhovde, R., & Tall, L. (1971). Maximum column strength and the multiple column curve concept (Fritz Laboratory Reports No. 337.29). Lehigh: , Fritz Engineering Laboratory, Lehigh University.
    Bolotin, V. V. (1968). Metody statystyczne w mechanice budowli, Wydawnictwo Arkady, Warszawa 1968. Warszawa: Arkady.
    Butterworth, J. W. (2005, August). Column Buckling. Lecture, The University of Auckland New Zeland. Faculty of Engineering. Retrieved from http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~jbut030/Courses/CIVIL211/Column_Buckling_Notes.pdf
    Chapman, J. C., & Buhagiar, D. (1993). Application of Young’s buckling equation to design against torsional buckling. Proc Instn Civ Engrs Structs and Bldgs, 99, 359–369.
    Chladny, E. Nosnosť tlačených pásov otvorených mostov (Buckling resistance of compressed chords of open truss bridges), PhD thesis (1958). Bratislava: SVŠT (Slovak Technical University of technology).
    Chladny, E. Vzper pruzne podopretych tlacenych prutov (Buckling of elastically supported compressed members). Habilitation thesis (1974). Bratislava: SVST.
    Chladny, E., & Stujberova, M. (2013). Frames with unique global and local imperfection in the shape of the elastic buckling mode.Part 1. Stahlbau, 82(8), 609–617.
    Chodor, L. (2016). Przekrycia hal i galerii. In XXXI Ogólnopolskie Warsztaty Pracy Projektanta Konstrukcji (Vol. I, pp. 25–202). Katowice-Szczyrk. Retrieved from http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/2016/03/Chodor_LPrzekrycia-hal-i-galerii-WPPK-2016.pdf
    Chung, B. T. K. (1969). Random-Parameter Analysis of the Stability of Inelastic Structures, Ph.D. Dissertation. Buffalo, N. Y.: State University of New York.
    Chung, B. T. K., & Lee, G. C. (1971). Buckling Strength of Columns Based on Random Parameters. Journal Structural DIv, ASCE, 97(ST7).
    Dallemule, M. (2015). Equivalent imperfections in arched structures. Slovak Journal of Civil Engineering, 23(3), 9–15.
    Dutheil, J. (1950). Le Flambement et le Deversement. Bulletin Bimestriel de La Societe Royale Des Ingenieurs et Des Industriels, (3).
    Dutheil, J. (1952). The Theory of Instability through Disturbance of Equilibrium. Presented at the 4th Congress of I.A.B.S.E., , Cambridge.
    Dwight, J. B. (1975). Use of Perry formula to represent the new European strut curves (IABSE reports of the working commissions = Rapports des commissions de travail AIPC = IVBH Berichte der Arbeitskommissionen No. 23 (1975)). Retrieved from http://dx.doi.org/10.5169/seals-19829
    Elishakoff, I. (2016). Probabilistic Methods in the Theory of Structures: Random Strength of Materials, Random Vibration, and Buckling. Singapore: World Scientific.
    Engesser, F. R. (1895). Uber Knickfragen. Schweizerische Bauzeitung, 36(4), 24–26.
    Frish-Fay, R. (1962). Flexible Bars , Lecturer of Civil Engineering University of New South Wales,. Butterworth & Co (Publisher)  London.
    Fukumoto, Y. (1982). Numerical Data Bank for the Ultimate Strengths Steel Structures. Der Stahlbau, (1).
    Galambos, T. V., & Surovek, A. E. (2008). Structural stability of steel: Concepts and Applications for structural engineers. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., Hoboken.
    Giżejowski, M. A., Szczerba, R. B., Gajewski, M. D., & Stachura, Z. (2016). Beam-Column In-Plane Resistance Based On The Concept Of Equivalent Geometric Imperfections. Archives of Civil Engineering, LXII(4 (2)), 35–71.
    Godoy, L. A., & Mook, D. T. (1996). Higher-order sensitivity to imperfections in bifurcation buckling analysis. Int.J.Solid Struct., 33(4), 511–520.
    Gu, J. X., & Chan, S. L. (2005). Second-order analysis and design of steel structures allowing for member and frame imperfections. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 62(5), 601–615.
    Gwóźdź, M. Zagadnienia nośności losowej prętów metalowych. Praca doktorska, Pub. L. No. Zeszyt Naukowy 69 (1997). Kraków: Politechnika Krakowska.
    Henricsson, A., & Panarelli, J. (2017). Initial bow imperfection for flexural buckling of steel members. Verification and optimisation regarding analysis of columns and beam-columns. Chalmers University of Technology.  Department of Civil and Environmental Engineering, Gothenburg, Sweden.
    Herzog, M. A. M. (2010). Kurze Geschichte der Baustatik und Baudynamik in der Praxis (1. Aufl). Berlin: Bauwerk.
    Hutchinson, J. W. (1974). Plastic Buckling (Vol. 14). New York, San Francisco, London: Academic Press Inc.
    Hutchinson, J. W., & Koiter, W. T. (1971). Post buckling theory. Applied Mechanics, (24), 1353–1366.
    Jasiński, F. (1895). Noch ein Wert zu den Knickfragen. Schweizerische Bauzeitung, 25(25), 172–175.
    Kala, Z. (2003). The influence of initial curvature of the axis upon the member ultimate strength. Journal of Structural Mechanics, 36(1), 3–14.
    Kala, Z. (2007). Stability problems of steel structures in the presence of stochastic and fuzzy uncertainty. Thin-Walled Structures, 45(10–11), 861–865.
    Karman von, T. (1910). Untersuchungen Uber Knickfestigkeit (Mitteilung und Forschungsareiten -Arb. Geb. Ing. -Wes. No. Heft 81).
    Kim, S. E., & Lee, D. H. (2002). Second-order distributed plasticity analysis of space steel frames. Journal of Engineering Mechanics, (24), 735–744.
    Koiter, W. T. The stabillity od elastic equilibrium, Pub. L. No. PhD Thesis (1945). Amsterdam.
    Lamarle, E. (1845). Memoire sur la flexion du l.elsticite des corps. Ann Trwav, 3, 1–64.
    Mahendran, M. (2007). Applications of Finite Element Analysis in Structural Engineering. In Proceedings. Chennai, India.
    Marek, P., & Krivy, V. (2006). Probabilistic reliability assessment of a steel frame applying the SBRA method. Presented at the 3rd ASRANet International Colloquium, Glagow , UK.
    Merchant, W. (1954). The Failure Loads of Rigidly Jointed  Frameworks as Influenced by Stability. The Structural Engineer, 32(7), 185–190.
    Murzewski, J. (1976). Teoria nońsności losowej konstrukcji prętowych. Warszawa: PWN.
    Omishore, A. (2010). Sensitivity analysis of structures, problems and applications. In Proceeding (pp. 120–125). Athens (Greece.
    Omishore, A., & Kala, Z. (2009). Reliability Analysis of Steel Structures with Imperfections (pp. 540–545). Presented at the Nordic Steel Construction Conference, Malmo, Sweden.
    PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
    Panovko, J. G., & Gubanova, I. I. (1967). Ustojčivost i kolebnija uprugich system. Sovremennyje koncepcii, paradoksy i ošibki (4th ed.). Moskva: Nauka.
    Papp, F. (2016). Buckling assessment of steel members through overall imperfection method. Engineering Structures, 106, 124–136. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2015.10.021
    Ravindra, M. K., & Galambos, T. V. (1972). Discussion of “Buckling Strength of Columns Based on Random Parameters”  by B. T. K. Chung and G. C.Lee. Journal, ASCE Str. Div., 98(ST1), 215.
    Robertson, A. (1925). The Strength of Struts. London: The Institution of Civil Engineers.
    Rykaluk, K. (2012). Zagadnienia stateczności konstrukcji metalowych. Wrocław: Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne.
    Sedlacek, G., Eisel, H., Hensen, W., Kühn, B., & Paschen, M. (2004). Leitfaden zum Fachbericht DIN 103. Stahlbrücken. Ernst & Sohn, A Wiley.
    Shanley, F. R. (1946). The Column Paradox. Journal of the Aeronautical Sciences, 13(12), 678–678.
    Shanley, F. (1947). Inelastic column theory. Journal of the Aeronautical Sciences, 14(5), 261–268.
    Shaw, F. S. (1972). Virtual displacements and analysis of structures. Englewood Cliffs, N.J: Prentice-Hall.
    Shayan, S., Rasmussen, K. J. R., & Zhang, H. (2014). On the modelling of initial geometric imperfections of steel frames in advanced analysis. Journal of Constructional Steel Research, (98), 167–177.
    Szalai, J. (2017). Complete generalization of the Ayrton-Perry formula for beam-column buckling problems. Engineering Structures, 153, 205–223.
    Szalai, J., & Papp, F. (2010). On the theoretical background of the generalization of Ayrton-Perry type resistance formulas. Journal of Constructional Steel Research, 670–679.
    Tankova, T., Marques, L., Simoes da Silva, L., & Andrade, A. (2017). Development of a consistent methodology for the out- of- plane buckling resistance of prismatic beam-columns. Journal of Constructional Steel Research, 128, 839–852.
    Tetmajer, L. von. (1890). Die Gesetze der Knickungs und der Zusammeng-Esetzten Druckfestigkeit der Technisch Wichtigsten Baustoffe (Mitteilung der Material Anstalt auf Schweizer Polytechnikum in Zurich No. Heft k, 1890, Heft 8, I896.). Zurich: Polytechnikum in Zurich.
    da Silva, L. S., Simoes, R., & Gervasio, H. (2010). Design of Steel Structures: Eurocode 3: Designof Steel Structures, Part 1-1: General Rules and Rules for Buildings (Eccs Eurocode Design Manuals). EU: Wiley.
Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »