Elementarz niezawodności konstrukcji. Oszacowania dla struktur złożonych

Niniejszy artykuł stanowi Część 4  cyklu Elementarz niezawodności konstrukcji. W całym cyklu artykułów zachowano ciągłość numeracji wzorów i ilustracji, ale numeracja rozdziałów jest odrębna.

Ścisłe wyznaczenie niezawodności mieszanych (złożonych ) struktur z punktu widzenia niezawodności jest trudne nawet z wykorzystaniem komputera i w praktyce nie jest konieczne. Zamiast dokonywania rachunków na iloczynach splotowych dystrybuant, korzysta się z oszacowań górnego i dolnego prawdopodobieństwa zniszczenia lub niezawodności. W artykule przedstawiono klasyczne oszacowania, przydatne w obliczeniach ręcznych, oraz oszacowania dokładniejsze, możliwe w obliczeniach numerycznych, wymagające znajomości łącznego rozkładu statystycznego zniszczenia elementów systemu lub przynajmniej informacji o rozkładach  brzegowych oraz o jak największej liczbie parametrów tych rozkładów i korelacji między rozkładami.

Oszacowania dla skorelowanych struktur niezawodnościowych

Ścieżki i cięcia (przekroje) struktury

Struktury niezawodnościowe są skorelowane, ponieważ najczęściej posiadają elementy wspólne. Uzyskanie ścisłych wyrażeń na niezawodność lub prawdopodobieństwo zniszczenia dowolnych struktur jest zadaniem złożonym, dlatego ważne są oszacowania górne i dolne prawdopodobieństwa zniszczenia.

Mechanizm zniszczenia struktury polega na zniszczeniu tylu elementów w strukturze, by cała struktura uległa zniszczeniu.

W pracy (Barlow, Proschan, 1974) wprowadzono następujące definicje:

Ścieżka  (ścieżka zdatności) systemu, jest takim podzbiorem elementów systemu, że przy zdatności wszystkich elementów należących do tego zbioru, system jest w stanie zdatności. Ścieżkę nazywamy minimalną, gdy nie zawiera żadnej innej ścieżki jako podzbioru. Ścieżkę nazywa się krytyczną ze względu na element, gdy utrata zdatności przez ten element powoduje utratę zdatności przez system. Każda minimalna ścieżka jest krytyczna ze względu na dowolny swój element.
Struktura szeregowa jest więc minimalną ścieżką, w którym zniszczenie jednego elementu prowadzi do zniszczenia układu.

Cięcie  (przekrój) systemu, jest takim podzbiorem elementów systemu takim, że niezdatność wszystkich elementów należących do tego zbioru, prowadzi do niezdatności systemu. Cięcie nazywamy minimalnym, gdy nie zwiera jako podzbioru żadnego innego cięcia.
Struktura równoległa jest cięciem systemu.

Na rys. 9 zilustrowano mechanizm struktury szeregowo-równoległej: rys.9a, minimalne ścieżki 9b, oraz minimalne ciecia 9c.

Ry.9 Minimalne cięcia b) i minimlne ścieżki c) dla systemu złożonego a)

(Migdalski, 1982, rys.3.17)

System z rys. 9a ma następujące ścieżki zdatności systemu: {1,2,3,4}, }{1,2,3}, {1,2,4}, {1,2}, {1,3,4}, , z których dwie ostatnie (pogrubione) są ścieżkami minimalnymi, pokazanymi na ry. 9b). Cięcia systemu, to: {1,2,3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {1}, z których trzy ostetnie (pogrubione) są cięciami minimalnymi.

W ogólnym przypadku należy wyznaczyć cięcie (przekrój) struktury, takie, że zniszczenie wszystkich elementów z tych zbiorów prowadzi do zniszczenia konstrukcji.

Na takim k-tym cięciu  może być uruchomiony mechanizm zniszczenia $M_k$. Zdarzenie polegające na uruchomienia mechanizmu $M_k \ (k=1,…,n)$ oznaczmy przez $Z_k$, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przez

${ Prob \{Z_k\}=p_k \ , (k=1,2,..,n) }$  (28)

 Zdarzenie polegające na uruchomieniu dowolnego mechanizmu  i w konsekwencji zniszczenia oznaczymy przez $Z$, a prawdopodobieństwo jego wystąpienia przez

$ { Prob \{Z\} } =p_f $  (29)

Jeśli n mechanizmów jest możliwych, to zniszczenie struktury nastąpi, jeśli uruchomi się dowolny mechanizm, czyli:

$ { p_f\ = Prob \{ Z\} = Prob \{ Z_1 \cup Z_2 \cup … \cup Z_n \} – Prob \{Z_1 \cap Z_2 \} – Prob \{Z_1\cap Z_3\} – … + Prob\{Z_1\cap Z_2 \cap Z_3\} +… }$  (30)

Struktury progowe

Istnieje szereg strutur niezawodnościowych, których nie da się przedstawić za pomoca schematu blokowego, czyli nie jest strukturą szeregowo rónoległą lub równoległo szeregową. Takie struktury nazywa się progowymi. Przykład struktury progowej „2 z 3” pokazano na rys. 10, Struktura progowa „2 z 3” oznacza , że system jest w stanie zdatności, gdy sporód trzech jefgo elementów przynjamniej dwa są w stanie zdatności.

Rys.10. Przykład struktury progowej: a) Struktura „2 z 3”, b) minimalne ścieżki, c) minimalne cięcia

(Migdalski, 1982, rys.3.18)

W konstrukcjach budowlanych statycznie niewyznaczalnych mamy w ogólności do czynienia z systemami progowymi „k z n”, to znaczy takimi systemami , w których n-elementowy system jest zdatny, jeśli zdatnych jest k elementów, przy czym $1 \le k \le n$. Na rys.11 pokazano przykłady uogólnionych struktur progowych

Rys.11. Struktura progowa uogólniona: a) typowa struktura rezerwy nieobciążonej, b) struktura szeregowa, c) struktura równoległa, d) struktura „k z n” (opis w tekście)

(Migdalski, 1982, rys.3.22)

W modelu uogólnionej struktury progowej oprócz parametrów: „n” – liczba elementów struktury, „k”- liczba tych elementów systemu, które muszą być zdatne , jeśli system ma być zdatny, wprowadzamy parametr „m”- liczba elementów czynnych systemu $m \le n$. Pozostałe elementy systemu $n-m$ stanowią rezerwę nieobciążoną.

Pokazane na rys. 11 struktury progowe ilusttrują przypadki szczególne:

$k=m=n$ – struktura szeregowa,
$k=1$, $m=n$ – struktura równoległa<
$m= n < k$ – struktura $k z n$ w węższym sensie,
$k=m=1$, $n>1$ – typowa struktura nieobciązona (rys. 11a),
$k=m ,n$ – struktura szeregowa z wędrującą rezerwą nieobciążoną (ryz.11c),
$k<m<n$ – struktura „k z n”  z wędrującą rezerwą nieobciążoną (ryz.11d),
 

Proste oszacowania niezawodności struktury

Dla nieskorelowanych zdarzeń $Z_i$ oraz $Z_j$ mamy:

$ { p_f= p_1+p_2+…+p_n – p_1 \cdot p_2 – p_1 \cdot p_3 -…+ p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 + … } $  (31)

Niestety w praktyce inżynierskiej mechanizmy są rzadko nieskorelowane, więc potrzebne są  oszacowania górne i dolne prawdopodobieństwa zniszczenia systemu $p_f$, z których najprostsze podał (Cornell, 1969) (również (Augusti, Barattta, 1972), (Barlow, Proschan, 1974) i in):

$ p_{max}\, (=\max \limits_{i=1} \limits^{n} p_i ) \le p_f \, \le \, \sum \limits_{i=1} \limits^{n} p_i \, (=p_1 + p_2 + … +p_{max} + …)$  (32)

Bardziej dokładne oszacowania podał  (Ditlevsen, 1979):

oszacowanie dolne
$p_f \ge p_{max}+\sum \limits_{i=2} \limits^{n} \max \limits_{j<i} \{ \ (\ p_i – \sum \limits_{j=1} \limits^{i-1} p_{ij} ) , \ 0 \} \ge 0$
 (33a)
oszacowanie górne
$ p_f \le \sum \limits_{i=1} \limits^{n} p_i – \sum \limits_{i=2} \limits^n \ \max \limits _{j < i}\, p_{ij} \le 1 $
 (33b)

gdzie: $p_{ij}$ jest prawdopodobieństwem jednoczesnego uruchomienia mechanizmu i oraz j.

W celu wyznaczenia $p_{ij}$ należałoby znać dystrybuantę łączną dwuwymiarowego rozkładu marginesów bezpieczeństwa dla zdarzeń $Z_i$ i $Z_j$. Można też posłużyć się kolejnymi oszacowaniami (Żukowski, 2006):

$ p_{ij} \ge \max \{p_i \cdot p_{j|i} , p_j \cdot p_{i|j} \}$, gdy $\rho_{ij}>0$

$ p_{ij} \le p_i \cdot p_{j|i}+p_j\cdot p_{i|j}$, gdy $\rho_{ij}>0$

$ p_{ij} \le \min \{p_i \cdot p_{j|i} , p_j \cdot p_{i|j} \}$, gdy $\rho_{ij}<0$

(34a)

(34b)

(34c)

gdzie:
$ \rho_{ij}=\dfrac {Cov (Z_i , Z_j)}{\sigma_{Z_i}\cdot \sigma_{Z_j}}$, $Cov(Z_i, Z_j)$, $\sigma_{Z_i}$, $\sigma_{Z_j}$ – odpowiednio współczynnik korelacji, kowariancja oraz odchylenia standardowe zdarzeń $Z_i$ oraz $Z_j$.
Warunkowe prawdopodobieństwa zniszczenia można oszacować z zależności:

$p_{i|j}=\dfrac{p_j-\rho_{ij}\cdot p_i}{\sqrt{1-\rho_{ij}^2}}$,
$p_{j|i}=\dfrac{p_i-\rho_{ij}\cdot p_j}{\sqrt{1-\rho_{ij}^2}}$
 (35a)
(35b)

Wykorzystanie oszacowań (33) jest możliwe w obliczeniach numerycznych. Natomiast w obliczeniach ręcznych pozostajemy przy (32), które w większości przypadków praktycznych daje wystarczające przybliżenie dla wysoko niezawodnych systemów, czyli takich jakie występują w budownictwie, a zawężenie granic (33)stosujemy przy możliwości wiarygodnego oszacowania prawdopodobieństw łącznych (34), czyli korelacji mechanizmów zniszczenia i warunkowych prawdopodobieństw awarii (35).

 

W przypadku posługiwania się wskaźnikiem niezawodności \beta, należy skorzystać z definicji

$ p_f \stackrel {def}{=} \Phi(-\beta) $,  (36)

gdzie; $\Phi()$ jest standaryzowaną dystrybuantą normalnego rozkładu prawdopodobieństwa.

Po podstawianiu (36) do zależności (31) do (35) uzyskamy stosowne zależności dla inżynierskich miar niezawodności:

Z własności dystrybuanty rozkładu normalnego $\Phi()$ (całki błędu lub Gaussa) wynika, że wraz ze zwiększaniem się  wartości bezwzględnej współczynnika niezawodności $|\beta|$ monotonicznie zmniejsza się prawdopodobieństwo awarii $p_f$, czyli można zachować znaki nierówności. Korzystając z własności addytywności operatora dystrybuanty (35) można na przykład warunkowe wskaźniki niezawodności zapisać w postaci  (Żukowski, 2006):

$\beta_{i|j}=\dfrac{\beta_j-\rho_{ij}\cdot \beta_i}{\sqrt{1-\rho_{ij}^2}}$,
$\beta_{j|i}=\dfrac{\beta_i-\rho_{ij}\cdot \beta_j}{\sqrt{1-\rho_{ij}^2}}$
(37a)
(37b)

Elementy stowarzyszone i systemy monotoniczne

(Barlow, Proschan, 1974) podają kilka ważnych oszacowań dla prawdopodobieństwa zniszczenia $p_f$ systemu złożonego defniując zmienne stowarzyszone, czyli takie zmienne losowe $X_1,… X_n$ dla których zachodzi:

$ Cov \{ \Phi (X_1,… X_n), \Psi (X_1,… X_n) \}\ \ge 0 $,  (38)

gdzie $\Phi$  i  $\Psi$  funkcje zmiennych losowych $X_1,… X_n$, stanowiących  dowolne pary niemalejące ze względu na każdy z argumentów tych funkcji. Cov jest symbolem kowariancji.

Rozpatrujemy sytuacje, w których każda ze zmiennych $X_1,… X_n$ jest binarna, tzn przyjmuje wartość [1 = element struktury jest sprawny ; 0=element uszkodzony]. Wówczas w definicji (38) wystarcza, by funkcje $\Phi$ i  $\Psi$ były binarne.

Dwie zmienne losowe binarnych $X$ i $Y$ są stowarzyszone, jeśli są dodatnio skorelowane, to znaczy zwiększeniu wartości $X$ na ogół towarzyszy zwiększenie wartości $Y$:

$ Cov \{ X,Y\} \ge 0$,  (39)

Systemy spełniające warunek (39) dla awarii dowolnych dwóch elementów lub ich zbioru (mechanizmu zniszczenia) nazywa się systemami monotonicznymi, to znaczy takimi, w których zwiększenie niezawodności jednego elementu powoduje zwiększenie niezawodności mechanizmu, w którym on uczestniczy, a w wyniku zwiększenie niezawodności całego systemu. To samo dotyczy zmniejszenia niezawodności.
Z oszacowań podanych w pkt. 2.5.2, wynika, ze również zwiększanie korelacji pomiędzy elementami zwiększa niezawodność mechanizmu i całego systemu.

Dość oczywiste jest, że w konstrukcjach budowlanych elementy krytyczne (przekroje bądź elementy konstrukcyjne) są stowarzyszone, choć niekoniecznie muszą być losowo niezależne. Przykładem może być rama sprężysto-plastyczna, w której mogą być uruchomione mechanizmy plastyczne na skutek utworzenia się wymaganej liczby przegubów plastycznych, albo sprzężone systemy przekryć obiektów wskutek połączenia stężeniami konstrukcyjnymi.

Rozpatrujemy takie systemy, w których monotoniczne jest bezpieczeństwo i niezawodność.

Oszacowania zależne od ilości posiadanych informacji

Ulepszanie oszacowań niezawodności systemu następuje wraz ze zwiększaniem się informacji o zachowaniu poszczególnych elementów systemu i o powiązaniach miedzy elementami.

Pełną informację zawiera łączna funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennych podstawowych s systemu. Takiej informacji na próżno oczekiwać. Najczęściej nie mamy wystarczających informacji statystycznych, by estymować (szacować) parametry rozkładów nawet na bardzo niewielkim poziomie wiarygodności. Posiadane, wiarygodne informacje pozwalają oszacować zwykle tylko kilka parametrów i to niektórych tylko rozkładów brzegowych.

O niektóre parametrach wnioskujemy z natury zagadnienia, na przykład z centralnego twierdzenia granicznego oraz natury cech (np. nieujemności fizycznych wielkości, sprawczych wartości ekstremalnych , itd.).

Istnieją trzy typy oszacowań niezawodności zależne od posiadanych informacji o: 1) ścieżkach i cięciach systemu, 2) stowarzyszeniu , niezależności lub  dowolnej korelacji elementów. Po wprowadzeniu oznaczenia prawdopodobieństwa niezawodności $r$:

    $ r=1-p_f$, dla elementu (zdarzenia) $r_i$, a dla systemu $r_s$  (40)

dla poszczególnych sytuacji mamy oszacowania (Bobrowski, 1985):

A  nie są znane ścieżki minimalne  i cięcia minimalne

elementy stowarzyszone    $ \underset {i =1} {\stackrel {n} {\sqcap}} \, r_i \le r_s \le \, \underset {i =1} {\stackrel {n} {\sqcup}} \, r_i$,  (41)

B  znane są ścieżki minimalne S (1,…s)  i cięcia minimalne C (1,.. c)

elementy dowolne    $\max \limits _{ 1 \le j \le s} \{Pr( \min \limits _{i \in S_j} (Z_i>0) \} \le r_s \le \min \limits_{ 1 \le j \le c} \{ Pr( \max \limits _{i \in C_j} (Z_i>0) \}$,  (42a)
elementy stowarzyszone    $\max \limits _{ 1 \le j \le s} \, \underset {{i \in S_j}} {\sqcap} \, r_i \le r_s \le \min \limits_{ 1 \le j \le c} \, \underset {{i \in C_j}} {\sqcup} \, r_i$,  (42b)

 Informacja lub założenie o tym, że elementy stryktury systemu są stowarzyszone pozwala istotnie polepszyć oszacowania (33) lub (42a). To samo dotyczy informacji o minimalnych cięciach lub ścieżkach.
Przykłady rachunkowe zamieszczono w części kolejnej artykułu.

Projektowanie niezawodnościowe systemów konstrukcyjnych

Projektowanie konstrukcji to  w istocie dobór elementów systemu dla z góry zadanej niezawodności $\beta$  lub $p_r$ (lub prawdopodobieństwa awarii $p_f=1-p_s $) całego systemu. Tylko wówczas, gdy system składa się z jednego elementu, to projektujemy ten element do wymaganego poziomu niezawodności.

Zadanie optymalizacji niezawodności systemu nie jest pierwszorzędne, bo w istocie poziom niezawodności zależny od konsekwencji zniszczenia i innych znormalizowanych czynników jest znany : zarówno przekroczenie , jak i zaniżenie tego poziomu ponad lub obiektywnie uzasadniony poziom (ale jak najmniejszy) poziom – nie jest akceptowane. Oba odstępstwa są uważane za równie ważny błąd. Wyłącznie w przypadku systemów równie materiało -energo- chłonnych, czyli równie kosztochłonnych, wybierzemy ten dla którego niezawodność jest największa, ale nie mniejsza od dopuszczalnej.

W projektowaniu konstrukcji o niezawodności $p_s$, złożonej z n elementów (1,2,…i,..n) z których każdy charakteryzowany niezawodnością $p_{si}$  w najprostszym przypadku zamiany (wzmocnienia lub zoptymalizowania – zmniejszenia) tylko jednego elementu korzystamy z następujących zasad (Bobrowski, 1985):

  • W systemie o strukturze szeregowej przyrost niezawodności systemu jest proporcjonalny do względnego przyrostu niezawodności elementu i nie jest zależny od tego , który element zostaje zastąpiony elementem o wyższej (ew. niższej) niezawodności,
$ \Delta p_s = p_s \dfrac{\Delta p_{si}}{p_{si}}$ (i=1,2,…n).  (43)
  • W systemie o strukturze równoległej maksymalną zmianę  niezawodności systemu uzyskujemy przez zmianę niezawodności elementu, który jest najbardziej niezawodny, przy czym
$ \Delta p_s=(1-p_s) \dfrac{\Delta p_{si}}{1-p_{si}}$ (i=1,2,…n).  (44)

Krótki przegląd zagadnień związanych z istotnością elementu we systemie niezawodnościowym podano w pracy (Załęska-Fornal, 2006).

Miary niezawodnościowej istotności elementów zostały wprowadzone dla prostych systemów, dla których analityczny sposób funkcji systemu nie stanowi problemu.  Natomiast dla systemów złożonych lub dla przypadków bardziej realistycznych (zależne i naprawialne elementy, realistyczne rozkłady prawdopodobieństwa  stosować należy metody numeryczne lub eksperymentalne.  Zarówno metody analityczne jak i numeryczne są oparte na zasadzie wyznaczania minimalnych cięć.

Metoda uogólnionej korelacji

Granice oszacowań i podstawowe wyrażenie na niezawodność systemu

W pracy (Kudzys, 1985) przedstawiono praktyczny, uproszczony sposób szacowania niezawodności systemu niezawodnościowego złożonego ze skorelowanych elementów. Wprowadzono pojęcie uogólnionego współczynnika korelacji,to znaczy takiego zastępczego (integralnego) współcztynnika korelacji, który jeden ujmuje efekt wielu wzajemnych współczynników korelacji elementów . Uogólniony współczynnik korelacji $\rho$ można zapisać w postaci :

$ \rho= \dfrac {\Delta P} {\Delta P_{max}}$  (45)

gdzie:
$\Delta P$ – poprawka oszacowania niezawodności, uwzględniająca błąd obliczeń, wskutek nie uwzględnienia korelacji (lub stochastycznej zależności) elementów,
$\Delta P_{max} $ – maksymalna wartość poprawki oszacowania niezawodności,

a niezawodność systemu złożonego z $r=n \cdot m$ elementów można obliczyć jak dla szeregowo połączonych wszystkich elementów, ale z poprawką $\Delta P$:

$ p_s= \prod\limits_{i=1}^r p_{s,i} +\Delta P $  (46)

gdzie (rys. 5 i 7):
n – liczba elementów połączonych szeregowo,
m- liczba elementów połączonych równolegle,
$p_{s,i}$ – niezawodność elementu i-tego $(i=1,.., r)$.

Maksymalny błąd obliczeń niezawodności systemu, w którym wytrzymałość i obciążenia są nieskorelowane, można oszacować z zależności (Izdatelstvo standartov, 1976):

$ \Delta P_{max}= \min\limits_i p_{s,i} – [1- \sum \limits_{i=1}^r (1-p_{s,i})] $  (47)

gdzie
$ \min\limits_i p_{s,i}$ – minimalna niezawodność elementu spośród r elementów systemu.

Z wyrażenia  (47) mamy oszacowanie niezawodności systemu $p_s$  (Kudzys, 1985):

$ \prod\limits_{i=1}^r p_{s,i} \le p_s \le \prod\limits_{i=1}^r p_{s,i} + \min\limits_i p_{s,i} – [1- \sum\limits_{i=1}^r (1-p_{s,i})] $  (48)

Z oszacowania (48) wynika, że uogólniony współczynnik korelacji (45) można wyznaczyć z formuły:

$\rho=\dfrac {\Delta P} { \min\limits_i p_{s,i} – [1-\sum\limits_{i=1}^r (1-p_{s,i})]} $  (49)

przy czym można zastosować przybliżenie , wynikające z odwrócenia (23):

$ [1-\sum\limits_{i=1}^r (1-p_{si})] \approx \prod\limits_{i=1}^r p_{s,i}$

Po podstawieniu $\Delta P$ uzyskanego z (49) do (46), uzyskujemy podstawowe wyrażenie metody uogólnionej korelacji, do oszacowania niezawodności systemu złożonego z dowelnych elementów powiązanych w strukturę mieszaną:

$ p_s \approx\rho \cdot \min\limits_i p_{s,i}+(1-\rho) [1- \prod\limits_{i=1}^r (1-p_{s,i})]$  (50)

Podstawowym problemem metody uogólnionej korelacji jest wyznaczenie współczynnika $\rho$ (45). Dla normalnie rozłożonych funkcji granicznych $g_i()$, miarodajną wartość uogólnionego współczynnika korelacji sytemu można wyznaczyć z formuły (Kudzys, 1985):

$ \rho \approx \rho_m \{ 2-[\rho_m + \dfrac {(1-\rho_m) \cdot (3-log\ r)} {1-0,1 {\rho^2}_m \cdot (3-log\ r)^2 } ] \}$  (51)

gdzie:

$\rho_m= \dfrac {2}{r\cdot (r-1)} \sum\limits_{i<j} \rho_{i,j}$  (52)

jest średnią wartością współczynników korelacji wzajemnej $\rho_{i,j}$ elementu (i) z (j), uyskaną przez uśrednianie po wszystkich r-elementach systemu, w ogólności skorelowanych, czyli statystycznie lub funkcjonalnie zależnych.
Każdy blok (podsystem) rozpatrywany jest przy tym jako samoistny element systemu (wliczany jest w liczbę $r$), włączając w to elementy połączeń oraz stężenia konstrukcji.

Przykłady liczbowe oszacowania uogólnionego współczynnika korelacji systemu

Przykład 3 [Zginana belka żelbetowa]

Wyznaczyć niezawodność belki żelbetowej , pokazanej na rys. 12. Uwzględnić mechanizm zniszczenia zbrojenia (przekrój-warstwa 1), a także betonu (przekrój-warstwa 2) oraz mechanizm ścięcia przekroju przypodporowego 3. Zmiennymi losowymi zadania są własności materiałów: stali $ f_y $ oraz betonu $f_c$, a także rozstaw zbrojenia $s$ oraz obciążenia stałe $G$ oraz zmienne $Q$. Pomiędzy wytrzymałością stali i betonu zachodzi korelacja statystyczna mierzona współczynnikiem korelacji $\rho_{b,s}=0,8$.
Przykład 3 Niezawodność

Rys. 12 Belka żelbetowa do przykładu 3 (Kudzys, 1985)

Nośności przekroju belki dla poszczególnych mechanizmów zniszczenia są następujące:

  1. nośność zbrojenia w zginanym przekroju 1:  $R_1=b \cdot x_{eff}(d-0,5x_{eff})$, gdzie $x_{eff}= \dfrac {A_s \cdot f_y}{b \cdot f_c}$;
  2. nośność betonu w zginanym przekroju 2:     $R_2=0,42 \cdot b \cdot d^2 f_c$;
  3. nośność przekroju 3 na ścinanie:                   $R_3 = \sqrt{ 8 \cdot b \cdot d^2 \cdot A_{s,w} \cdot f_{y,w} \cdot f_{c,t}}$.

W zadaniu liczba wyżej wymienionych mechanizmów jest liczbą elementów systemu,

Siły przekrojowe wynoszą:

moment zginający w środku rozpiętości                   $ S_1=\dfrac {(G+Q) \cdot l^2} {8}$;

siła poprzeczna                                                             $ S_3=\dfrac {(G+Q) l}{2}$

W przykładzie mamy:

$r=3$

Powyższe związki funkcyjne prowadzą do skorelowania nośności oraz sił przekrojowych, nawet jeśliby zmienne wejściowe były niezależne. Po przeprowadzeniu obliczeń pierwszego rzędu (linearyzacji), otrzymano wartości parametrów statystycznych, zestawione w tab. 1. Szczegółowych obliczeń w tym zakresie nie przeprowadza się, ponieważ nie są one przedmiotem przykładu. Ze względu na silnie nieliniowe związki pomiędzy zmiennymi sugerujemy, by obliczenia prowadzić metodami symulacyjnymi za pomocą ogólnie dostępnych generatorów liczb losowych i procedur numerycznych, a nie w drodze  przekształceń wzorów.

Tab.1. Parametry statystyczne zmiennych do przykładu 3.

Średni współczynnik uogólnionej korelacji (52) wynosi: $\rho_m= \dfrac{2(0,332+0,371+0,580)}{3\cdot (3-1)}=0,428$

Miarodajny współczynnik korelacji (51) wynosi:

$ \rho = 0,428 \{ 2-[0,428 + \dfrac {(1-0,428) \cdot (3-log3)} {1-0,1 \cdot 0,428^2 \cdot (3-log3)^2 } ] \} \approx 0$

W przykładzie założymy, że zapasy bezpieczeństwa dla poszczególnych mechanizmów $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$ mają normalny rozkład prawdopodobieństwa.

Wówczas indeksy niezawodności wynoszą:
$\beta_1=\dfrac {\mu_{Z_1}}{\sigma_{Z_1}} =\dfrac{109}{51,9}=2,10$,
$\beta_2= \dfrac{474}{132}=3,59$,
$\beta_3= \dfrac{127}{55,5}=2,29$.

Z tablic rozkładu normalnego uzyskujemy prawdopodobieństwo niezawodności dla poszczególnych mechanizmów zniszczenia:

$ p_{s1}=\Phi (2,10)= 0,98214$,
$ p_{s2}=\Phi (3,59)=0,99983$,
$ p_{s3}=\Phi (2,29)=0,98899$.

Niezawodność systemu (50), wynosi:

$ p_s \approx 0,0 \cdot \min \{ p_{s1} ; p_{s2} ; p_{s3} \}+(1-0,0) [1- (1-p_{s1}) \cdot (1-p_{s2}) \cdot (1-p_{s3})]=0,0 +1,0[1-(1-0,98214)(1-0,99983)(1-0,98899)]=0,9999$

Można wykazać, ze niezawodność systemu jest nieco mniejsza wynosi 0,9918, ponieważ niezawodności poszczególnych mechanizmów są jedynie bliskie normalnemu i opisuje się je krzywymi  Gram-Charlier z uwzględnieniem ekscesu i skośności rozkładu (Kudzys, 1985).

 Przykład 4 [Ściany stężenia budynku wielokondygnacyjnego]

Wyznaczyć niezawodność systemu 3-ch przepon- ścian pionowych budynku wielokondygnacyjnego poddanego działaniu wiatru, jeśli niezawodność przepon wynosi $p_{s,i}= [0,98 ; 0,972; 0,984]$, a uogólniony współczynnik korelacji wynosi 0,63.

Zgodnie z (50) niezawodność systemu wynosi:

$ p_s \approx 0,63 \cdot 0,984+(1-0,63) \cdot[1-(1-0,98)(1-0,972)(1-0,984)]=0,9904=99,04%$

Przykład 5 [Rama portalowa, żelbetowa]

Wyznaczyć niezawodność ramy portalowej (rys.13) , złożonej z 8-miu elementów: 1- mechanizm zniszczenia dolnego zbrojenia rygla, 2- mechanizm zniszczenia ściskanego betonu, 3- mechanizm zniszczenia przekroju na ścinanie, 4 – słup,  5, 6 – stopa słupa, 7- kielich słupa, 8- podłoże gruntowe.

Kudzys RamaRys.13. Żelbetowa rama portalowa , poddana działaniu wiatru i obciążeń pionowych: A- rygiel, B-słup, C-fundament.

Niezawodności poszczególnych elementów wynoszą: [$p_{s1};…; p_{s8} $]=[99,8; 99,9; 99,6; 95,1; 92; 95,9; 99,9; 99,7]%, a współczynniki korelacji  [$\rho_{1,2};…\rho_{7,8}$]=[0,38; 0,34; 0,58; 0,8; 0,7; 0,9; 0,8].

Dla poszczególnych podsystemów mamy:

podsystem A (rygiel):
(52) → $\rho_m=(0,39+0,35+0,58)/3=0,44$,
(51) → $\rho \approx 0$,
(50) → $p_{sA}=0,998\cdot 0,999\cdot 0,996=0,993$

podsystem B (słup):
(52) → $\rho_m=(0,8+0,7+0,93)/3=0,81$,
(51) → $\rho \approx 0,81\{ 2-[0,81+ dfrac{(1-0,81)(3-log3)}{1-0,1\cdot 0,81^2(3-log2)^2}]\}=0,21$,
(50) → $p_{sB} \approx 0,21 \cdot 0,92+(1-0,21)[1-(1-0,951)(1-0,92)(1-0,959)] \approx 0,9831$

podsystem C (fundamenty):
(51) → $\rho \approx 0,8\{ 2-[0,8+ dfrac{(1-0,8)(3-log 2)}{1-0,1\cdot 0,8^2(3-log2)^2}]\}=0,59$,
(50) → $p_{sB} \approx 0,59\cdot 0,997+(1-0,59)\cdot 0,999 \cdot 0,997 \approx 0,9966$

System (Rama=A+B+C):

Podsystemy są losowo niezależne, więc należy je traktować jako system szeregowy z punktu widzenia niezawodności. Na podstawie formuły (20) mamy:

$p_s=0,993 \cdot 0,9831 \cdot 0,9966=0,9729$.


W kolejnej części artykułu zamieszczono   inne  przykłady rachunkowe  w tym dla układu konstrukcyjnego przekrycia hal z udziałem stężeń dachowych w zwiększaniu niezawodności konstrukcji .


Leszek Chodor (23-05-2016), (18,19-06-2016, 27,29-07-2016)

Literatura

Augusti, G., & Barattta, A. (1972). Limit analysis of structures with stochastic strengths variations. Journal of Structural Mechanics, 1(1), 43–62.
Barlow, R. E., & Proschan, F. (1974). Statistical theory of reliability and life testing: probability models. New York: Holt, Rinehart and Winston.
Bobrowski, D. (1985). Modele i metody matematyczne niezawodności. Warszawa: Wydawnictwo Naukowo-Techncizne.
Cornell, C. A. (1969). A  Probability Based  Structural  Code. American  Concrete  Institute Journa, 66, 974–985.
Ditlevsen, O. (1979). Narrow reliability bounds for structural systems. Journal of Structural Mechanics., 7(4), 453–472.
Izdatelstvo standartov. (1976). Metodyka rasceta nadeznosti izdelij z ucetom postepennych otkazov. Moskva: Izdatelstvo standartov.
Kudzys, A. P. (1985). Ocenka nadeznosti zelezobetonnych konstrukcxjij ( Relaibility estimation of reinforced concrete structures. Vilnius: Mosklas Publisher.
Migdalski, J. (Ed.). (1982). Poradnik niezawodności. Podstawy matematyczne. Warszawa: Wydawnictwa Przemysłu Maszynowego WEMA.
Załęska-Fornal, A. (2006). Miary niezawodnościowej i strukturalnej istotności elementów, Rok XLVII(3(166)), 137–150. Retrieved from http://yadda.icm.edu.pl/yadda/element/bwmeta1.element.baztech-article-BWM9-0001-0010/c/Zaleska-Fornal_A.pdf
Żukowski, S. (2006). Ocena bezpieczeństwa płaskich konstrukcji prętowych w aspekcie teorii przystosowania. Wrocław: Oficyna  Wydawnicza  Politechniki  Wrocławskiej. Retrieved from http://direct.dbc.wroc.pl/Content/1462/zukowski_ocena_bezpieczenstwa.pdf

Related Hasła

Comments : 0
O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum „Manufaktura” w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji „Cersanit” ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »