Elementarz niezawodności konstrukcji. Wprowadzenie i definicje

Niniejszy artykuł stanowi Część 1  cyklu Elementarz niezawodności konstrukcji.W całym cyklu artykułów zachowano ciągłość numeracji:  wzorów i ilustracji. Numeracja rozdziałów jest odrębna dla każdej części.

Omówiono  podstawowe pojęcia z teorii niezawodności konstrukcji potrzebne do analizy dyskretnych struktur niezawodnościowych. Przedstawiono podstawowe definicje i miary niezawodności konstrukcji dla funkcji stanu granicznego z normalnym rozkładem prawdopodobieństwa, a także numeryczne wyznaczanie wartości dystrybuant rozkładu normalnego w „ogonach rozkładu”, co jest istotne dla konstrukcji budowlanych, których niezawodność  jest bardzo duża.

Wprowadzenie

Definicje i oznaczenia wielkości podstawowych

Stosować będziemy oznaczenia i definicje zgodnie z normami (PN-EN 1990, 2004) oraz (PN-ISO 2394, 2000):

Element konstrukcyjny – fizycznie wyróżnialna cześć konstrukcji, np. słup, belka, płyta, pal fundamentowy.

Konstrukcja – uporządkowany zespół połączonych ze sobą części, zaprojektowanych w celu przenoszenia obciążeń i zapewnienia odpowiedniej sztywności.

Ustrój konstrukcyjny – elementy nośne obiektów budowlanych oraz sposób, w jaki te elementy ze sobą współpracują.

Zgodność – spełnienie określonych wymagań.

Niezawodność – zdolność konstrukcji lub elementu konstrukcyjnego do spełnienia określonych wymagań, łącznie z uwzględnieniem projektowanego okresu użytkowania na który została zaprojektowana. Niezawodność wyraża się zwykle miarami Probabilistycznymi. Niezawodność obejmuje nośność, użytkowalność i trwałość konstrukcji.

Klasa niezawodności konstrukcji – klasa konstrukcji lub elementów konstrukcyjnych, dla których wymagany jest określony stopień niezawodności.

Oddziaływanie $F$ 
a) zbiór sił przyłożonych do konstrukcji (oddziaływania bezpośrednie)
b) zbiór wymuszonych odkształceń lub przyspieszeń, zasadniczo spowodowanych innymi wpływami niż wymienionymi w pkt a)

Efekt oddziaływania $E$ 
Efekt oddziaływań (lub oddziaływania) na element konstrukcji (np. siła wewnętrzna, moment, naprężenie, odkształcenie) lub na całą konstrukcję (np. ugięcie, obrót)

$p_f$- prawdopodobieństwo zniszczenia
$p_s$- prawdopodobieństwo przetrwania,
$Prob \{.\}$ – prawdopodobieństwo,
$g$- funkcja stanu granicznego,
$\Phi$- funkcja rozkładu prawdopodobieństwa standaryzowanego rozkładu normalnego,
$\beta$ – współczynnik niezawodności,
$\mu_x$ – wartość średnia zmiennej losowej X,
$\sigma_X$- odchylenie standardowe zmiennej losowej X,
$v_X$- współczynnik zmienności zmiennej losowej X,
$R$ – nośność,
$E$- obciążenie (efekt oddziaływania, np. siła osiowa w pręcie).

Przy oznaczeniach jak wyżej definiuje się pojęcia::

funkcja stanu granicznego

$g=R-E$  (1)

prawdopodobieństwo zniszczenia  

$p_f=Prob\{g \le 0\}$  (2)

współczynnik niezawodności  $\beta$, wynikający z równania stanu granicznego $ \mu_g-\beta \sigma_g=0 $:

$ \beta= \dfrac {\mu_g} {\sigma_g} $  (3)

prawdopodobieństwo zniszczenia

$ p_f=Prob \{ g \le \mu_g- \beta \sigma_g \} $  (4)

prawdopodobieństwo przeżycia (sukcesu)

$p_s=1-p_f$  (5)

Dla innych rozkładów $g$ niż normalny  $\beta$ jest tylko umowną miarą niezawodności.

W niniejszym artykule będziemy używać również określeń i oznaczeń jak następuje:

Metoda Probabilistyczna– oznacza, że konstrukcja została tak obliczona, aby prawdopodobieństwo zniszczenia $p_f$ nie przekroczyło granicznej wartości  $p_{f,lim}$ w określonym okresie czasu:

$p_f \le p_{f,lim}$  (6)

 Zawodność– jest związana z przejściem stanu granicznego od stanu pożądanego do stanu niepożądanego.

System konstrukcyjny lub układ konstrukcyjny lub model konstrukcji – idealizacja ustroju konstrukcyjnego, stosowana w celu analizy, w tym przypadku analizy niezawodnościowej.

$\Omega_i$- zdarzenie, polegające na tym , że i-ty element systemu pracuje bez uszkodzenia,
$p_{si}=Prob\{ \Omega_i\}$ – prawdopodobieństwo niezawodności i-tego elementu ( be
zawaryjnej pracy elementu),
$ \overline Omega_i$ – zdarzenie, polegające na tym, że i-ty element ulegnie awarii (uszkodzeniu)
$p_{fi}=Prob \{ \overline \Omega_i\}=1-p_{si} $ –  prawdopodobieństwo zniszczenia (awaryjności, zawodności, usterkowości, uszkodzenia ) i-tego elementu

Odpowiadające wielkości dla całego systemu będziemy oznaczać bez indeksu : $ \Omega$,c$p_s$, $\overline \Omega$, $p_f$ .

Niezawodność elementu

Prawdopodobieństwo $ p_{fi}$  zniszczenia  i-tego elementu konstrukcji  (awaryjność) wynosi

$p_{fi} =Prob \{ R_i-E_i \}=Prob\{g_i<0\}$  (7)

Prawdopodobieńśtwo niezawodności (krótko nazywane niezawodnością) jest jest to prawdopodobieństwo przeciwne, czyli

$p_{si} =1- p_{fi} $.  (8)

Niezawodność może być też mierzona współczynnikiem niezawodności $\beta$, który jest  po prostu odmierany w innej skali i jest wprost przeliczalny z prawdopodobieństwa zniszczenia lub niezawodności:

$\beta_i = \Phi^{-1} (p_{fi}) $  (9)

 W powyższych wyrażeniach zastosowano symbole:
$R_i$ -nośność i-tego elementu,

$E_i$ -efekt oddziaływania w i-tym  elemencie (obciążenie)  – siła przekrojowa (siła osiowa, moment zginający, bimoment, itd)

Z Probabilistycznego punktu widzenia można przyjąć, że element ma jedną określoną postać niespełnienia niezawodności. Ustrój może mieć więcej niż jedną postać, a może także składać się z dwóch lub więcej elementów, charakteryzujących się jedną postacią niespełnienia. Zakładamy, że  rozkład prawdopodobieństwa nośności ${\cal N}(\mu_{Ri},\sigma_{Ri})$ oraz obciążenia ${\cal N}(\mu_{Ei},\sigma_{Ei})$ są normalne z parametrami: wartość oczekiwana (średnia) $\mu_{Ri}$, $\mu_{Ei}$  i  odchylenie standardowe $\sigma_{Ri}$, $\sigma_{Ei}$ odpowiednio. Z własności addytywności rozkładu normalnego wynika, że w sposób ścisły również liniowa funkcja stanu granicznego (margines bezpieczeństwa)  ma rozkład normalny ${\cal N}(\mu_{gi},\sigma_{gi})$ z parametrami:

 wartość średnia 

$\mu_{gi}=\mu_{Ri}-\mu_{Ei}$  (10)

odchylenie standardowe ( zgodnie z zasadą sumowania  kwadratów): 

$\sigma_{gi}^2=\sigma_{Ri}^2+\sigma_{Ei}^2$  (11)

Normalny rozkład prawdopodobieństwa, a współczynnik niezawodności

Na rys. 1 pokazano rozkład normalny zmiennej $X$. Kolorem żółtym oznaczono dystrybuantę dla wartości  $x$ tej zmiennej.

$p=Prob \{X<x\}= \Phi_X(x)= \int \limits_{-\infty} \limits^x f_X dx$  (12)

Dystrybuanta jest  równa prawdopodobieństwu p tego , że zmienna X przyjmie wartości mniejsze od x.

Rys.1. Rozkład normalny zmiennej losowej X (x-wartość zmiennej X)

Wartość $x$  zmiennej $X$ o rozkładzie $\Phi_X$ nazywamy kwantylem rzędu $p$, gdzie  $0\le p<1$.  Oznacza to, że kwantylem rzędu $p$ jest taka wartość  $x$ zmiennej losowej $X$, że wartości mniejsze lub równe od $x$ są przyjmowane z prawdopodobieństwem co najmniej $p$, zaś wartości większe lub równe od $x$ są przyjmowane z prawdopodobieństwem co najmniej $1-p$.

Dystrybuantę rozkładu normalnego  zmiennej $X$ o wartości średniej  $\mu_X$ z odchyleniem standardowym $\sigma_X$  można  wyznaczyć w arkuszu kakulacyjnym  Excel  za pomocą polecenia:

$F_N (x)={\small ROZKL.NORMALNY} (x ; \mu_X; \sigma_X; k )$  (13)

gdzie: k jest parametrem o wartości k=1 w przypadku, gdy chcemy wyznaczyć dystrybuantę (rozkład skumulowany)  $\Phi_X $  i o wartości k=0 , gdy wyznaczamy funkcję gęstości (rozkładzie) $f_X$ w punkcie $X=x$.  

W dalszym ciągu będziemy potrzebować zarówno wartości dystrybuanty jak i funkcji gęstości rozkładu, a ponieważ wyznaczenie tych wartości w arkuszu kalkulacyjnym jest współcześnie podstawową umiejętnością , więc do techniki (13) będziemy często odwoływać się, ale już bez wskazywania na funkcję Excela.   Z zależności (13) wynika , że w celu otrzymania dystrybuanty  standaryzowanego rozkładu normalnego ${ \cal N }(0,1)$,  tj rozkładu zmiennej losowej o wartości oczekiwanej $\mu=0$ i odchyleniu standardowym  $\sigma=1$ dla wartości $x$ zmiennej $X$ należy użyć polecenia:

$ p(0,1)= {\small ROZKL.NORMALNY } (x ; 0 ; 1; 1) $  (14)

W celu otrzymania wartości dystrybuanty dla dowolnego rozkładu normalnego ${ \cal N } (\mu,\sigma)$  ${ \cal N } (\mu,\sigma)$ (o danych  wartościach średniej $\mu$ i odchylenia standardowego $\sigma$ ), wystarczy znajomość rozkładu standaryzowanego ${ \cal N } (0,1)$, bowiem

Jeśli  $X$  ma rozkład $ { \cal N } (\mu_X, \sigma_X)$, to $ \dfrac {X-\mu_X} {\sigma_X} $ ma rozkład standaryzowany $ { \cal N } (0, 1) $  (15)

Wyznaczenie dystrybuanty funkcją arkusza Excel jest bowiem wystarczająco dokładne również w zagadnieniach niezawodności budowlanych układów konstrukcyjnych, które charakteryzują się wysoką niezawodnością systemu, ale również elementów i potrzebą wyznaczania dystrybuanty w „ogonach” rozkładu prawdopodobieństwa.

Na znaczeniu straciły tablice rozkładu, dla inżynierów budownictwa, potrzebne dla zakresu dużych niezawodności.

Dla tych przypadków, w których należy przeprowadzić indywidualne obliczenia numeryczne bez możliwości wywołania funkcji arkusza Excel, na podstawie pracy (Korn, 1983) podajemy numeryczne formuły aproksymacyjne dystrybuanty  standaryzowanego rokladu normalnego (13) :

$\Phi(-t) \cong 1- \dfrac{1}{2} \small (+0,0498673470t + 0,0211410061t^2+0,0032776263t^3 + 0,0000380036t^4 +0,0000488906t^5+ 0,0000053830t^6)^{-16} \rm$  (16)

z dokładnością 1,5 10-7; dla t<0 zmienić  znak.

$\Phi(-t) \cong\sqrt {\dfrac {2}{\pi}} e^{-\dfrac{t^2}{2}} \left ( \dfrac {0,3193815} {t_z}-\dfrac{0,3565638} {t_z^2} + \dfrac{1,7814779} {t_z^3} – \dfrac{1,8212560}{t_z^4}+\dfrac{1,33027448} {t_z^5}\right ) $  (17)

gdzie zmienna pomocnicza  ${\small t_z=1+0,2316419t }. $

Literatura

Do niniejszej Części 1 artykułu:

Korn, T., M. (1983). Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów (Vol. 1, 2). Warszawa: PWN.
PN-EN 1990. Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji (2004). UE: PKN.
PN-ISO 2394. Ogólne zasady niezawodności konstrukcji budowlanych (2000). UE: PKN.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum „Manufaktura” w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji „Cersanit” ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »