Kominy stalowe konstruowane najczęściej jako cylindry o średnicy D znacznie mniejszej od wysokości komina H (H>6D) mogą zostać poddane działaniu drgań parametrycznych prostopadłych do kierunku wiatru , a w przypadku gdy częstotliwość odrywania się wirów wiatrowych zrówna się z częstotliwością drgań własnych komin wpadnie w rezonans i w konsekwencji  może wydarzyć się katastrofa na skutek nadmiernej amplitudy drgań, lub postępujące zmęczenie stali . Drgania parametryczne często nazywa się drganiami wirowymi, drganiami Karmana, Benarda-Karmana lub flaterem wirowym [1].

Wprowadzenie

Fenomen drgań parametrycznych był badany eksperymentalnie już w 1878 roku  przez Strouhal’a [2], a następnie Rayleigh’a. Pierwszą teoretyczną pracę na temat opublikował  von Karman już w 1991 roku [3] i od jego nazwiska pochodzi nazwa zjawiska.

Drgania występujące w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku wiatru powstają wskutek odrywających się periodycznych, naprzemiennych wirów Karmana (rys. 1, 2 i 3) na odwietrznej powierzchni trzonu komina. [4].

Rys. 1. Ścieżka wirowa Karmana za kominem cylindrycznym

 [1]

Rys. 2. Mechanizm tworzenia ścieżki wirowej Karmana

 [1]

Rys. 3. Ścieżka wirowa Karmana

 [4]

Częstotliwość kątowa ω  i czętotliwość  f  odrywania się wirów od cylindra o średnicy D, wynosi:

$$\begin{equation} \omega= \cfrac{S_t \cdot v}{2\pi D} \Rightarrow f=\omega \cdot 2 \pi=\cfrac{S_t \cdot v} {D} Hz \label {1} \end{equation}$$

gdzie:
υ  – prędkość strugi (wiatru) m/s; D- średnica cylindra [m];
S_t liczba Strouhala,zależna od kształtu konstrukcji. Zgodnie z tab.E.1 [5]. Dla cylindra można przyjąć S_t=0,18 niezależnie od turbulencji wiatru (dla wszystkich liczb Reynoldsa R_e)

W rezultacie odrywania się wirów na cylinder działa dynamiczne obciążenie F, prostopadłe do kierunku wiatru, zmienne w czasie zgodnie z formułą [1]:

$$\begin{equation} F(t)=c_k \cdot \cfrac {\rho \cdot v^2 } {2}A_y \cdot sin(\omega t) \label {2} \end{equation}$$

gdzie: A_y– rzut powierzchni konstrukcji na płaszczyznę prostopadłą do kierunku wiatru; c_k– współczynnik naporu,  dla walcowego cylindra można przyjąć c_k=1); ρ – gęstość strugi ( w tym przypadku powietrza). Wartością zalecaną gętości powietrza  jest ρ = 1,25 kg/m³ [5].

Z formuły (2) wynika, że siła F zwiększa się proporcjonalnie wraz ze zwiększaniem  gęstości obmywającego konstrukcję otoczenia. Konstrukcja zanurzona w wodzie podczas drgań parametrycznych będzie poddana wielokrotnie większym siłom. Drgania parametryczne łodzi w wodzie można zaobserwować  już przy prędkości łodzi 8 km/godz, a amplitudy drgań mogę być nawet 30  razy większe od średnicy łódki.

Drgania parametryczne

Wzbudzenie wirowe i zjawiska niestateczności aeroelastycznej przedstawiono w Załączniku E do normy obciążenia wiatrem  [5].

Prędkość krytyczna wiatru

Jeśli częstotliwość odrywania się wirów ω (1) przy  określonej prędkości wiatru υ, nazywanej prędkością krytyczną,   zrówna się z i-tą częstotliwością drgań własnych konstrukcji n_i,y w płaszczyźnie y prostopadłej do działania wiatru, to wystąpi rezonans, nazywany rezonansem wiatrowym. Częstotliwość drgań własnych stowarzyszona jest z postaciami drgań, pokazanych na rys.4 wg  polskiej normy [6] i na rys. 5 wg Eurokodu [5].

Rys. 4. Postacie drgań komina i obciążenia równoważne

[6]

Rys. 5. Postacie drgań komina i odcinki korelacyjne

[5]

W przypadku umiarkowanych drgań parametrycznych , mierzonych amplitudą y_F,max=y_F(s_j)< 0,1D mamy zgodność pomiędzy starą normą polską i Eurokodem. Długości korelacyjne L₁ i L₂ wynoszą bowiem 6D .Jest to najczęściej spotykany przypadek. W innych przypadkach: schematów statycznych kominów innych niż wspornikowy (np. z odciągami) lub przy większych amplitudach należy korzystać z wytycznych [5], zawartych w pkt E.1.5.2.

Krytyczną prędkość wiatru υ_crit,i uzyskamy po zrównaniu f wg (1) z i-tą częstotliwością drgań własnych n_i,y (w płaszczyźnie y prostopadłej do kierunku wiatru) w postaci formuły (E.2) [5]:

Wiatr przy zwiększaniu prędkości spowoduje najpierw pierwszą postać drgań (i=1). Pierwszą częstotliwość n₁ drgań własnych kominów wspornikowych, pokazanych na rys. 6 można wyznaczać ze wzoru (F.3) [5]:

gdzie:
ε₁ – współczynnik liczbowy, wynoszący 1000 dla kominów stalowych i 700 dla kominów żelbetowych i murowanych,
b=D – średnica komina przy wierzchołku,
h₁ =H – wysokość komina,
h_eff=h₁+h₂/3 – efektywna wysokość komina ; h1 i h2 wg rys. 6,
W_s – masa elementów konstrukcyjnych komina, nadających sztywność,
W_t – całkowita masa komina.

Uwaga: w normie

Rys. 6. Parametry geometryczne komina

[5]

Oddziaływanie odrywania się wirów Karmana zależy od liczby Reynoldsa Re w sposób pokazany na rys. 2.  Przy krytycznej prędkości wiatru υ_crit,i (3)  liczbę Reynoldsa można wyznaczyć z formuły (5) [5]:

gdzie ν – lepkość kinematyczna powietrza ν =15·10^-6 [m²/s].

Oddziaływania wzbudzenia wirowego

Drgania parametryczne powodują działanie dynamicznych sił prostopadłych do kierunku wiatru (2), które przy prędkości krytycznej wiatru można obliczyć z isł bezwładności F_w(s), działających na jednostkę długości w miejscu s komina, wg zależności (E.6)[5]:

gdzie: m(s) – masa drgająca na jednostkę długości[kg/m],
Φ_i,y -postać drgań własnych konstrukcji , unormowana do 1 w punkcie maksymalnego przemieszczenia,
y_F,max – maksymalne przemieszczenie w czasie, w miejscu w którym Φ_i,y jest równe 1.

Podstawową postać drgań własnych komina można przyjąć zgodnie z zał F.2.[5] w formie:

gdzie : z=s (współrzędna bieżąca), wykładnik potęgi ς=2,0 dla wież i kominów (ς=2,5 dla stalowych wież kratowych),

Amplitudę drgań y_F,max w poprzek kierunku wiatru można wyznaczać zgodnie z zał E.1.5.2 [5] wg zależności:

gdzie: b=D – średnica komina,
St =0,18 – liczba Strouhala dla walca,
K – współczynnik efektywnej długości korelacyjnej. Dla komina wspornikowego K= 0,13 wg tab E.5 [5],
K_w– współczynnik postaci drgań,  Dla komina wspornikowego wg tab E.5 [5]:

gdzie wprowadzono oznaczenie:
$k_w= \frac {L_j/b}{\lambda}$ ,
gdzie:
Lj/b =6  wg rys.6, dla najczęściej występujących przypadków,  λ=l/b,   l=H, b=D – wysokość(H) i średnica (D) komina,
c_lat – współczynnik siły bocznej.

Dla prędkości krytycznej wiatru υ_crit,i <83% średniej prędkości wiatru  mamy c_lat= c_lat,0, gdzie podstawowy współczynnik siły bocznej c_lat,0 dla walca kołowego można odczytać z rys. 7 w zależności od liczby Re:

Rys. 7. Podstawowy współczynnik siły bocznej walca kołowego

[5]

Sc  – liczba Scrutona, którą można wyliczyć z zależności

gdzie: δ_s – logarytmiczny dekrement tłumienia – dla stalowych kominów spawanych bez wykładziny i bez zewnętrznej izolacji cieplnej  δ_s=0,012; w innych przypadkach przyjmować wg tab F.2. [5],
m_i,e – masa równoważna konstrukcji na jednostkę długości i-tej postaci drgań. W przypadku konstrukcji wspornikowych można przyjąć m_e jako średnią z odcinka h/3 centrowanego wokół punktu konstrukcji w którym Φ(s) jest największe.
ρ – gęstość powietrza (2),
b=D – średnica komina.

Liczba cykli obciążenia

Liczba cykli obciążenia wywoływanych drganiami parametrycznymi można obliczyć z wyrażenia (E.10) [5]:

gdzie wprowadzono oznaczenie:
$k_{crit}=\frac {v_{crit}}{\nu_0}$,
gdzie υ_^crit – krytyczna prędkość wiatru (3); ν₀ – 20% wartości charakterystycznej średniej prędkości wiatru υ_^m(z) wg (4.3) [5] (prędkość wiatru przyjmowana dla standardowego obciążenia wiatrem);

n_y –  częstotliwość drgań własnych w poprzek kierunku wiatru wg wzoru  (4),
ε₀ – współczynnik szerokości pasma, który można przyjmować ε₀=0,3,
T – przewidywany czas użytkowania komina w sekundach. Czas użytkowania w latach należy przemnożyć przez 3,2 ×10⁷ , by uzyskać czas w sekundach.

Rezonans wirowy kominów w grupie

Rezonans wirowy kominów w grupie lub rzędzie należy sprawdzać zgodnie z zasadami podanymi w pkt. E.1.5.2.7 [5].

Urządzenia zapobiegające drganiom parametrycznym

Amplitudy drgań wywołanych wzbudzeniem wirowym można zmniejszać przez zastosowanie [7]:

1. urządzeń dezorganizujących odrywanie się wirów Karmana (zmianę częstotliwości wirów), zwanych urządzeniami aerodynamicznymi, takie jak turbulizatory spiralne, spollery lub skrzela,
2. zmianę częstotliwości drgań własnych komina lub rozpraszania energii (tłumienie drgań) przez zainstalowanie tłumików na kominie, w punkcie stałym (tłumienie bezpośrednie) lub na odciągach.

Sposób 1, czyli urządzenia aerodynamiczne można stosować tylko w specjalnych warunkach, np gdy jeżeli wartości liczby Scrutona są większe od 8.  Liczba Scrutona, obliczona z wyrażenia (10) jest dla kominów stalowych zwykle mniejsza od 8 i dlatego współcześnie zaleca się stosowanie rozwiązania 2 poprzez instalowanie tłumików na kominie, który może wejść w rezonans wiatrowy. W przypadku zastosowania urządzenia aerodynamicznych w tym turbulizatorów dla liczby Scrutona mniejszej od 8 ich skuteczność powinna być potwierdzona niezależnymi badaniami, takimi jak badania tunelowe.

Po zastosowania urządzeń aerodynamicznych przy wierzchołku komina – współczynnik oporu komina, przeciwko parciu wiatru wzdłuż jego kierunku może wzrosnąć do 1,4. W przypadku zastosowania turbulizatorów spiralnych spełniających warunki: a) występują trzy przerywacze, b) rozstaw przerywaczy 4,5 do 5D. c) wysokość przerywaczy 0,1 do 0,12 D (b), d) przedłużenie przerywaczy ponad długość powłoki z przerywaczami l_s wynosi nie mniej niż 0,3 h (h- całkowita wysokość komina),
wartość podstawową efektywnej siły   bocznej c_lat (rys.7) można  pomnożyć przez współczynnik α obliczany ze wzoru [7]:

gdzie: l_s – długość powłoki z przerywaczami h – całkowita wysokość komina

Zastosowanie obu sposobów jednocześnie wymaga specjalistycznych analiz i nie powinno być bez uzasadnienia stosowane w zwykłym procesie projektowania kominów.

Urządzenia aerodynamiczne

Urządzenia aerodynamiczne to w istocie zwiększenie chropowatości komina i ogólnie zwiększeni oporu na działanie wiatru. Jako urządzenia aerodynamiczne stosuje się:

• turbulizatory,
• nakładki rurowe perforowane,
• inne urządzenie (często wystarczają galerie , urządzenia reklamowe, antenowe, itd. instalowane przy wierzchołku komina.

Na rys. 8 pokazano podstawowe typy turbulizatorów. Turbulizatory (przerywacze) mają za zadanie zaburzyć regularność odrywania się wirów Karmana w górnej strefie komina. Zaleca się wykonywać je w postaci trzech spiral o skoku 5D i wysokości całkowitej 0,4Hk, licząc od głowicy. Turbulizatory wykonuje się z pierścieniowych odcinków blachy grubości 5 mm o odpowiednim promieniu i długości łuku wewnętrznego (rys. 5a). Turbulizator spiralny można też wykonać w postaci odcinków blachy prostokątnej ustawionych pionowo tak, aby środek boku dłuższego prostokąta znalazł się na linii spiralnej płaszcza, jako tzw. turbulizator skrzydełkowy (rys. 5b) lub w postaci nakładek pionowych (rys. 5c). skuteczne są turbulizatory nawinięte spiralnie z trzech drutów okrągłych o średnicy D/200, pod kątem 11º względem tworzącej (rys. 5d).

Rys.8 Turbulizatory: a) spiralny z odcinków pierścienia, b) skrzydełkowy, c) z nakładek pionowych, d) z prętów okrągłych [8]

Według [9] z rozwiązań pokazanych na rys. 9 skuteczne są: a) i b), a nie potwierdzono skuteczności pozostałych. W przypadku płaskowników ułoóznych w ksztalt linii śrubowej stosuje się ją na długości 4,5 do 5 D, a płaskownik ma wysokosć 0,1 do 0,12 D.

Rys.9 Urządzenie aeorodynamiczne: a) nakładka rurowa, b)-e) turbulizatory [9] – str1019

Tłumiki

Urządzenia, montowane na kominie w celu zmiany częstotliwości drgań własnych najczęściej realizowane są poprzez umieszczenie przy głowicy słupa wahadeł (rys.10a) lub umieszczenie na galerii skrzynek z tłumikami (rys.10b). Tanim wypełnieniem skrzynek tłumików jest woda. Cieczowe tłumiki drgań pokazano na rys. 11.

Rys.10 Tłumiki umieszczone przy głowicy komina: a) wahadła, b) skrzynki z układem tłumiącym. 1- trzon komina, 2- galeria, 3-tłumiki wahadłowe 4- podkłady gumowe , tłumiące dźwięki uderzeń whadeł, 5- tłumiki w skrzynce, 6 – głowica komina, 7- drabina wejściowa

.  [8]

Rys.11. Cieczowy tłumik drgań parametrycznych  [10]

Uwagi końcowe

Przykład zabezpieczenia komina przed rezonansem wiatrowym podano w pracy [11].

Drgania parametryczne mogą doprowadzi do zmęczenia niskocyklowego komina, co pokazano w pracy [12].Literatura

1. Sovremennyje koncepcii, paradoksy i ošibki (4th ed.), Nauka, Moskva
2. Strouhal V. (1878), Uber eine besondere Art der Tonerregung. Annalen Der Physik Und Chemie, Band V (Heft 10), 216–251
3. v. Karman T. (1911). Ueber den Mechanismus des Widerstandes, den ein bewegter Körper in einer Flüssigkeit erfährt. Nachrichten von Der Gesellschaft Der Wissen-schaften Zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 547–556, [http://gdz.sub.uni-oettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002502755&IDDOC=63082 ]
4. Wikipedia. (2015), Karman vortex street, [https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=K%C3%A1rm%C3%A1n_vortex_street&oldid=684714132 ]
5. PN-EN 1991-1-4:2008, Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje, Część 1-4: Oddziaływania ogólne. Oddziaływania wiatru
6. PN-93/B-03201: 1993, Konstrukcje stalowe – Kominy – Obliczenia i projektowanie
7. PN-EN 1993-3-2+Ap1:2008, Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 3-2: Wieże, maszty i kominy. Kominy
8. Bogucki W. (red.), (1982), Poradnik projektanta konstrukcji metalowych (Wydanie 1., Tom 2), Arkady, Warszawa
9. Petersen C. (2013), Stahlbau: Grundlagen der Berechnung und baulichen Ausbildung von Stahlbauten (4 Wydanie- überarb. und aktualisierte Aufl). Springer Vieweg
10. Delta Camino, (2015), Cieczowe tłumiki drgań stalowych kominów przemysłowych, [ http://www.deltacamino.pl/ ]
11. Chlewicki, K., Chodor, L., Kowal, Z., & Malec, M. (1989). Zabezpieczenie cylindrycznego komina stalowego przed rezonansem wiatrowym. Inżynieria i Budownictwo, 2/89, 63–66
12. Chodor, L., Kowal, Z., Sendkowski, J., & Zając, Z. (1991), Awaria komina stalowego w warunkach zmęczenia niskocyklowego. 105–111, [ https://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/1991-Chodor-Kowal-Awaria-komina-Szczecin.pdf ]

________________________________