Model żelbetu My-Mz-N

W pracy przedstawiono  algorytm obliczania żelbetowego przekroju mimośrodowo zginanego i ściskanego lub rozciąganego, który jest uogólnieniem nieliniowego kalkulatora żelbetu M-N .   W typowym przypadku słupów dwukierunkowo zginanych algorytm pozwala na oszczędności  dochodzące do 30% zbrojenia. W kalkulatorze zastosowano metodę półodwrotną (np. (Ross, Yen, 1986)), polegającą na wyznaczeniu krzywych interakcji na podstawie wyznaczonych nośności przekroju przy założonych lokalizacjach osi obojętnej (granicy strefy ściskanej betonu).

Model żelbetowego przekroju  dwuosiowo zginanego

Osie charakterystyczne

Zakładamy położenie osi obojętnej przekroju żelbetowego (przekroju zespolonego stalowo-betonowego), na której odkształcenia są zerowe. Na rys. 1 założoną oś obojętną OO oznaczono czerwoną linią kreska-kropka.
Odległość najdalej położonego ściskanego punktu betonu od osi obojętnej oznaczono przez $x$, zgodnie  tradycyjnym oznaczeniem wysokości strefy ściskanej betonu, a  odległość dowolnego puntu (włókna) przekroju od osi obojętnej oznaczono przez $r$.  Wyróżniono, następujące charakterystyczne osie przekroju żelbetowego:

  • $OO$  z odkształceniami $\varepsilon_{c}$ =0,0 ‰.  Jest to oś obojętna ($\ref{odcinkowa}$),
  • $LL$   z odkształceniami $\varepsilon_{cl}$ = 2,0 ‰ . Oś graniczna (limit) LL , oddziela strefę $A_{c1}$ parabolicznego przebiegu naprężeń w betonie  od strefy $A_{c2}$ ze stałymi naprężeniami $\sigma_c=f_{cd}$
  • $UU$  z odkształceniami $\varepsilon_{cu}$ = 3,5 ‰. Oś brzegowa (unlimit),  zawiera punkty najdalej oddalone od od osi obojętnej ( na rys.1 oś UU przechodzi  przez górny prawy wierzchołek przekroju).

Osie charakterystyczne są do siebie równoległe, a odległości między nimi wynoszą:

$\delta_{oo-uu}=x$  – z zalożenia,
$\dfrac{\delta_{oo-ll}}{\varepsilon_{cl}}= \dfrac{x}{\varepsilon_{cu}} \to {\delta_{oo-ll}}= \dfrac{2}{3,5} x= \dfrac{4}{7} x$   –  ze stosunków odkształceń i z zasady płaskich przekrojów ($\ref{dźwignia}$).

Dźwignia punktu osi charakterystycznej  wsparta na osi obojętnej wynosi:

$$\begin{equation} \overline r = \begin {cases}
\overline  r_o = 0 , & \text {dla osi OO}\\
\overline  r_l = 4/7, & \text {dla osi LL} \\
\overline  r_u = 1 , & \text {dla osi UU}\\
\end {cases} \label{s_c}\end{equation}$$

Rys.1. Model żelbetowego przekroju zginanego ukośnie

Zasada płaskich przekrojów

Z zasady płaskich przekrojów pokazanej na rys. 1 wynika, że odkształcenie $\varepsilon$ dowolnego włókna przekroju wynosi

$$ \begin{equation} \varepsilon= \varepsilon_{cu} \cdot \overline r \label{zasada} \end{equation}$$

gdzie:
$\varepsilon_{cu}=$3,5‰  – największe (ultimate) odkształcenie włókna betonowego (zgodnie z (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008)).
Dźwignia analizowanego włókna oparta na osi obojętnej przekroju żelbetowego O-O, wynosi

$$ \begin{equation} \overline r = \dfrac{r}{x} \label{dźwignia} \end{equation}$$

Zasada ($\ref{zasada}$) dotyczy każdego włókna przekroju: zarówno betonowego jak i stalowego.

Naprężenia w betonie i stali

Nieliniowy rozkład naprężeń w strefie ściskanej betonu zgodnie z normą (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008) zapisuje się  następująco:

$$\begin{equation}\sigma_c = f_{cd} \cdot \begin {cases}
1, & \text {jeśli  $ \varepsilon_{cl} \le\varepsilon_c \le\varepsilon_{cu}$} \\
1-  (1- \varepsilon_c/\varepsilon_{cl})^2, & \text {jeśli  $\varepsilon_c <\varepsilon_{cl}$ }
\end {cases} \label{sigma_c}\end{equation}$$

Ponieważ $\dfrac {\varepsilon_{cl}}{\varepsilon_{cu}}=\dfrac {\text{2,0‰}}{\text{3,5‰}} =\dfrac{4}{7}$, to dźwignia $\dfrac{\varepsilon_{c}}{\varepsilon_{cl}}=\dfrac{ \varepsilon_{c}}{4/7 \cdot \varepsilon_{cu}}$,  a  po uwzględnieniu zasady ($\ref{zasada}$) mamy  $\dfrac{\varepsilon_{c}}{\varepsilon_{cl}}=7/4  \cdot \overline r$, czyli:

$$\begin{equation}\sigma_c (\overline r)= f_{cd} \cdot \begin {cases}
1, & \text {jeśli  $ \overline r_{ll} \le \overline r \le \overline r_{uu}$} \\
1-  (1-  7/4 \cdot \overline r )^2, & \text {jeśli  $\overline r  < \overline r _{ll}$ }
\end {cases} \label{sigma_r}\end{equation}$$

Naprężenia w pręcie stalowym  „i” , zgodnie z prawem Hooka wynoszą

$$ \begin{equation}\sigma_i=\varepsilon_i\cdot e\end{equation}$$

gdzie dla stali moduł odkształcalności opisują zależności (17) i (18) przedstawione w artykule Nieliniowy kalkulator żelbetu M-N.

Równanie osi obojętnej

W układzie współrzędnych głównych, centralnych osi ( Y,Z ) przekroju betonowego równanie osi obojętnej można przedstawić w postaci odcinkowej:

$$ \begin{equation}\dfrac { \overline z}{\alpha}+ \dfrac{\overline y}{\beta}=1 \label{odcinkowa} \end{equation}$$

gdzie: $\overline y = \dfrac {y}{b}$ , $\overline z = \dfrac {z}{h}$  – współrzędne względne.

Zauważmy ,  że na rys. 1 $\alpha$ i $\beta$ są ujemne.

Równanie ($\ref{odcinkowa}$) można zapisać w postaci kierunkowej

$$ \begin{equation} \overline z = m \cdot \overline y + t \label {kierunkowa}\end {equation}$$

gdzie współczynnik kierunkowy  $m = tg  \varphi_y$ jest tangensem kąta nachylenia prostej do osi  współrzędnych Y , a $t$ jest współrzędną odciętą przez prostą na  Y .
Dla osi obojętnej parametry prostej kierunkowej, wynoszą

$$\begin{equation} m=m_o = – \dfrac{\alpha}{\beta}\end {equation}$$
$$\begin{equation} t=t_o=\alpha\end {equation}$$

Równanie ($\ref{odcinkowa}$) można zapisać w postaci normalnej:

$$ \begin{equation} \overline y  \cdot cos \varphi+\overline z \cdot sin \varphi – p=0  \label{normalna} \end {equation}$$

gdzie:
$p$ -odległość prostej od początku układu współrzędnych,
$\varphi =\varphi_z $ – kąt nachylenia prostej w stosunku do osi rzędnych Z

Zachodzą następujące zależności pomiędzy parametrami prostej w postaci odcinkowej  ($\ref{odcinkowa}$) i normalnej ($\ref{normalna}$):

$cos \varphi=\alpha\cdot \mu$,
$sin \varphi=\beta\cdot \mu$
$p =\alpha \cdot\beta \cdot \mu$

Czynnik normujący $\mu$ wynosi

$$ \begin{equation} \mu=\dfrac{\epsilon_n}{\sqrt{ \alpha^2+\beta^2}}\label{normujący} \end {equation}$$

Znak czynnika normującego określamy zgodnie ze standardem (Bronsztejn, Semendaev, 2014): $\epsilon_n$= +1, gdy $\alpha \cdot \beta>0$  (przypadek C1 i C4) i $\epsilon_n $= -1, gdy $\alpha \cdot \beta<0$ (przypadek C2 i C3).  Przypadki C1 do C4 położenia osi obojętnej zdefiniowano na rys. 2.

Równanie normalne ($\ref{normalna}$), umożliwia znakowanie odległości punktów przekroju od tej osi bez potrzeby stosowania wartości bezwzględnych, co umożliwia efektywne przeprowadzenie całkowania symbolicznego  i uzyskanie zamkniętych formuł podanych w dalszej części artykułu.

Prosta (\ref{odcinkowa}$) lub ($\ref{kierunkowa}$) przebiega powyżej początku układu(0,0) przy $t= \alpha>0$) , a poniżej przy $t= \alpha< 0$).

Równanie osi granicznej

Oś graniczna   LL ( rys.1 ) jest równoległa do osi obojętnej, więc ma taki sam jak oś obojętna współczynnik kierunkowy $m$.

Równanie osi granicznej ma postać kierunkową ($\ref{kierunkowa}$) z parametrami

$$\begin{equation} m_L=m_o\end {equation}$$

$$\begin{equation} t_L=t_o+ \dfrac{2}{7}\epsilon_r (1-\alpha(2-\epsilon_n/ \beta) \label{tL}\end {equation}$$

Formułę ($\ref{tL}$)  uzyskano z uwzględnieniem znaków $\epsilon_n$ w formule ($\ref{normujący}$) i $\epsilon_r$ w formule ($\ref{odległość}$), które są zależne od pokazanych na rys.2  sytuacji obliczeniowych C1 do C4  i wynoszą:

$$\begin{equation}\epsilon \to \begin {cases}
C1, &  \epsilon_n= +1, \epsilon_r= +1, \\
C2, &  \epsilon_n= -1, \epsilon_r= +1, \\
C3, &  \epsilon_n= -1, \epsilon_r= -1, \\
C4, &  \epsilon_n= +1, \epsilon_r= -1,
\end {cases} \label{epsilon}\end{equation}$$

Przypadki położenia osi obojętnej

W zależności od umiejscowienia osi obojętnej w przekroju wyróżnimy cztery przypadki, pokazane na rys.2

Rys.2. Przypadki położenia osi obojętnej

Przypadki położenia osi obojętnej przekroju żelbetowego

Najbardziej oddalony od osi obojętnej punkt przekroju jest wierzchołkiem górnym o współrzędnych U($\overline y, \overline z$)=($\epsilon_u \cdot 1/2, 1/2$), gdzie znak współrzędnej wierzchołka górnego $\epsilon_u= \epsilon_n$ ($\ref{epsilon}$).

Dźwignie i odkształcenia włókna przekroju

Odległość $r$ punktu $P(\overline y_P,\overline z_P)$  od prostej ($\ref{normalna}$) możemy wyznaczyć z podstawowych zależności planimetrii przy wykorzystania równania prostej w postaci normalnej ($\ref{normalna}$):

$$ \begin{equation}  r= \epsilon _r \cdot (\overline y_P \cdot cos \varphi+\overline z_P \cdot sin \varphi – p) =\dfrac{\epsilon_r \cdot \alpha \beta \cdot  (\overline z_P/ \alpha+\overline y_P / \beta – 1)}{\mu}\label{odległość} \end {equation}$$

gdzie znak $\epsilon_r$ jest dobierany zgodnie z zasadą (Bronsztejn, Semendaev, 2014):  dodatni (+ 1), gdy punkt P  i początek układu O(0,0) leżą po przeciwnych stronach danej prostej lub ujemny (-1), gdy P i O leżą po tej samej stronie danej prostej. Dla poszczególnych sytuacji obliczeniowych znaki te zestawiono w ($\ref {epsilon}$).

Odległość $x$ naroża $(\epsilon_n \cdot 1/2, 1/2)$ – najdalszego od osi obojętnej (rys.2) wynosi:

$$ \begin{equation}  x= \epsilon _r \cdot ( \epsilon_n \cdot 1/2 cos \varphi+1/2 \cdot sin \varphi – p)= \dfrac{\epsilon_r \cdot \alpha \beta \cdot  (1/ \alpha+\epsilon_n/ \beta – 2)}{2 \mu} \label{x} \end {equation}$$

Dźwignia  dowolnego punktu przekroju wyrażona stosunkiem ($\ref{odległość}$) i ($\ref{x}$) wynosi więc:

$$ \begin{equation} \overline r (\overline y, \overline z)= \dfrac { r}{x} = 2 \cdot \dfrac{ \overline z_P / \alpha +\overline y_P /\beta -1}{ 1/\alpha + \epsilon_n /\beta -2}\label {rx} \end {equation}$$

Po podstawieniu ($\ref{rx}$) do ($\ref{zasada}$) otrzymamy odkształcenie dowolnego włókna przekroju, w tym odkształcenia pręta zbrojeniowego „i”. Znaki odkształceń określamy w ten sposób, że odkształcenie włókna znajdującego się w strefie ściskanej betonu jest dodatnie (skrócenie), a poza tą strefą jest ujemne (wydłużenie).

Siły w ściskanym betonie

Siła oporu betonu

Wypadkowa bryły naprężeń w betonie wynosi

$$\begin{equation}F_c=  \int \limits _{A_c + A_t} \sigma _c \cdot dA=   f_{cd}\cdot b\cdot h  \cdot \left ( \int \limits _{A_{c1}}  [ 1-  ( 1-  \varepsilon_{c}/\varepsilon_{cl} )^2] dA  + \int \limits _{A_{c2}} dA  \right ) \end{equation} $$

Całkę po polu $A_{c1}$ i $ A_{c2}$ obliczymy jak następuje:

$$\begin{equation}\int \limits _{A_{c1}} (…) dA  = \int  \limits_{-1/2}^{1/2} \left (  \int \limits _{m_o \overline y +t_o} ^{m_L \overline y +t_L} [1-(1- 7/4 \cdot \overline r)^2] d\overline z \right) d \overline y =  (\epsilon_r -3) \cdot \dfrac{2 \alpha}{21}\cdot(2-1/\alpha-\epsilon_n/ \beta)\end{equation}$$

$$\begin{equation}\int \limits _{A_{c2}} (…) dA  = \int  \limits_{-1/2}^{1/2} d\overline y \int \limits _{m_L \overline y +t_L} ^{1/2} 1 \cdot d\overline z  = (1/2-\alpha) + \dfrac{2\epsilon_r}{7}\cdot (2\alpha-1-\epsilon_n \alpha/ \beta) \end{equation}$$

Po wykonaniu stosownych przekształceń mamy:

$$\begin{equation} F_c= \left [(1-2 \alpha)\cdot \dfrac { 33 – 16 \epsilon_r}{42}+\dfrac{\alpha \epsilon_n }{21 \beta}(6 – 8 \epsilon_r) \right ]  \cdot  f_{cd}\cdot b\cdot h \label {Nc} \end{equation} $$

W przypadkach granicznych z formuły ($\ref{Nc}$) uzyskujemy:

  • dla zginania tylko wokół osi Y (przypadek)  [ $ \beta \to \infty $ ]

$$\begin{equation} \ lim F_c \{ \beta \to \infty \}= \dfrac { 1 – 2 \alpha} {42} \cdot (33 – 16 \epsilon_r) \cdot  f_{cd}\cdot b\cdot h \label {NcY} \end{equation} $$

Ponieważ w tym przypadku $\epsilon_r$ = + 1  oraz  $ \alpha= (1/2-x$ ), gdzie x – wysokość strefy ściskanej,  to otrzymujemy wynik zgodny z klasycznym wynikiem zaprezentowanym na przykład w pracy (PAN, KILiW, Sekcja Konstrukcji Betonowych, 2006) lub w artykule  Nieliniowy kalkulator żelbetu , a mianowicie

$N_c= \dfrac{17}{21}\cdot  f_{cd}\cdot b\cdot x$

  • dla zginania tylko wokół osi Z (przypadek)  [ $ \alpha \to \infty $ ]

Jako jedyny przypadek w modelu prowadzi do nieoznaczoności, ponieważ w rozwiązaniu korzystano z równania kierunkowego prostej ($\ref{kierunkowa}$), które w takim przypadku daje nieoznaczone wartości rzędnych. Ten szczególny przypadek zaleca się analizować w sytuacji obróconego przekroju (tzn po obróceniu układu współrzędnych – zamianie osi Y na Z  i wzajemnie). Wówczas ważne są rozwiązania podane wyżej.

Moment oporu betonu

Moment  bryły naprężeń w betonie liczony względem osi obojętnej $M_c$ wynosi:

$$\begin{equation}M_c=  \int \limits _{A_c + A_t} \sigma _c \cdot r_c  \cdot dA=   f_{cd}\cdot b\cdot h  \cdot \left ( \int \limits _{A_{c1}}  [ 1-  ( 1-  \varepsilon_{c}/\varepsilon_{cl} )^2] \cdot r_c \cdot dA  + \int \limits _{A_{c2}}  r_c \cdot dA  \right ) \end{equation} $$

gdzie r_c jest odległością włókna betonowego od osi obojętnej, którą można obliczyć z zależności  ($\ref {odległość}$) ($ r_c =r(\overline y, \overline z ) $).

Całkę po polu $A_{c1}$ i $ A_{c2}$ obliczymy jak następuje:

$$\begin{equation}\int \limits _{A_{c1}} (…) dA  = \int  \limits_{-1/2}^{1/2} \left (  \int \limits _{m_o \overline y +t_o} ^{m_L \overline y +t_L} [1-(1- 7/4 \cdot \overline r)^2] \cdot r \cdot d\overline z \right) d \overline y = \dfrac{ \epsilon_n  (\beta-2 \alpha \beta +\alpha \epsilon_n)^2 \cdot (8+3 \epsilon_r)}{147 \beta \sqrt{\alpha^2 +\beta^2}}\end{equation}$$

$$\begin{equation}\int \limits _{A_{c2}} (…) dA  = \int  \limits_{-1/2}^{1/2} \left (  \int \limits _{m_o \overline y +t_o} ^{m_L \overline y +t_L} r \cdot d \overline z \right) d \overline y = \dfrac{ \epsilon_r \epsilon_n \cdot [49 (\alpha^2+3(1-2 \alpha)^2 \beta^2 -48 (\beta -2 \alpha \beta- \alpha \epsilon_n)^2]}{1176 \beta \sqrt{\alpha^2 +\beta^2}}\end{equation}$$

Po wykonaniu sumowania całek i powrotu z zamiany zmiennych otrzymamy:

$$\begin{equation} M_{co}= \dfrac { f_{cd}\cdot b\cdot h }{\sqrt{\alpha^2 +\beta^2}}  \cdot \left( \dfrac{\epsilon_n \epsilon_r \alpha^2 }{24 \beta}+ \dfrac{2 \alpha (1-2 \alpha)  (8-9 \epsilon_r)}{147} +\dfrac{\epsilon_n (1-2\alpha)^2 \cdot (64+75 \epsilon_r) \beta }{1176}\right) \end {equation}$$

Kalkulator żelbetu

Kalkulator żelbetu realizujący obliczenia według opisano algorytmu nie jest udostępniany publicznie do czasu opublikowania algorytmu w czasopiśmie.

Literatura

Bronsztejn, I., Nikolajevic, & Semendaev, K. A. (2014). Matematyka: poradnik encyklopedyczny. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN SA.
PAN, KILiW, Sekcja Konstrukcji Betonowych. (2006). Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i sprężonych: według Eurokodu 2. Wrocław: Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne.
PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
Ross, D. A., & Yen, J. R. (1986). Interactive Design of Reinforced Concrete Columns with Biaxial Bending. ACI Journal, 83(6), 988–993.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »