Dekorelacja wektora losowego [N]

Typowym zadaniem niezawodności systemów konstrukcyjnych, jest poszukiwanie współczynnika niezawodności systemu  złożonego ze skorelowanych elementów. Korelacja może być natury statystycznej (wynika z badań statystycznych)  lub natury funkcjonalnej, np w przypadku niezawodnościowego układu mieszanego, szeregowo-równoległego. Zadanie istotnie upraszcza się po sprowadzeniu go do analizy układu zmiennych losowo niezależnych. W przypadku losowych zmiennych normalnych wystarczy  znaleźć równoważne zmienne nieskorelowane, czyli rozwiązać znane zadanie algebry liniowej – przekształcenia  macierzy do postaci diagonalnej.

Jeśli wektor losowy jest normalnie rozłożony (ma normalną łączną funkcję gęstości) , to z braku korelacji pomiędzy jego współrzędnymi, wynika ich losowa niezależność. Po sprowadzeniu (transformacji) zmiennych o rozkładach innych niż normalny do rozkładu normalnego, a następnie po dekorelacji macierzy wariancji sprowadzany zadanie do zadania z losowo niezależnymi zmiennymi.  Operowanie wektorami  z losowo niezależnymi  współrzędnymi, dramatycznie upraszcza  i uogólnia  algorytmy numeryczne.
Dlatego ważnym zadaniem jest dekorelacja współrzędnych wektora losowego, to znaczy taka transformacja dowolnego wektora losowego, by jego współrzędne były nieskorelowane. Zadanie to jest równoważne do zadania przekształcenia macierzy kowariancji wektora do postaci diagonalnej.

Diagonalizacja macierzy jest znana w algebrze liniowej jako rozwiązanie zagadnienia własnego macierzy, to znaczy znalezienia wartości i wektorów własnych. Tak więc z rozwiązania standardowego zadania własnego macierzy korelacji, możemy wyrazić wektor $X$ w formie kanonicznego rozkładu jako liniową funkcję niekorelowanych wielkości losowych.

1. Skorelowane i niekorelowane zmienne losowe

Związek pomiędzy zmiennymi losowymi nazywa się korelacją.  Warunkiem wystarczającym do tego, by zmienne losowe $X$ i $Y$ były  nieskorelowane jest symetryczność ich łącznego rozkładu prawdopodobieństwa w stosunku do dowolnej prostej równoległej do jednej z osi współrzędnych.

Przykład:Kowariancja zmiennych losowych$X$ i $Y$ związanych zależnością funkcyjną

$Y=X^2$  (1)

w przypadku równomiernego rozkładu $X$  wprzedziale (-a,a)jest równa (Pugachev, 1984):

$Cov \{X,Y\}= \int \limits_{-a}^a \cfrac{x(x^2-\mu_x)} {2a}dx=0$  (2)

Wobec tego współczynnik korelacji $X$ i $Y$:

$\rho_{xy}= \cfrac{Cov \{X,Y\}}{\sigma_x \sigma_y}=0$,  (3)

gdzie: $\sigma_x=\sqrt{Var X}$, $\sigma_y=\sqrt{Var Y}$ – odchylenia standardowe zmiennej $X$ i $Y$ odpowiednio.

Z własności (3) wynika , że zmienne $X$ i $Y$ są nieskorelowane, bo ich rozkład łączny jest symetryczny. Zachodzi tak mimo silnego związku funkcyjnego (1).

Generalnie  związek korelacji jest niezależny od związku funkcyjnego pomiędzy zmiennymi i jest definiowany poprzez bezwymiarowy współczynnik korelacji (3), który przyjmuje wartości w przedziale

$-1 \lt \rho_{xy} \lt 1$,  (4)

Zmienne są nieskorelowane przy $\rho=0$, dla $\rho=1$ silnie dodatnio skorelowane, a dla $\rho=-1$ skorelowane ujemnie. Korelacja dodatnia oznacza, że przy wzroście jednej zmiennej najczęściej wzrasta druga zmienna, a korelacja ujemna oznacza, że wraz ze wzrostem jednej zmiennej najprawdopodobniej zmaleje druga zmienna.

Oczywiście, kowariancja zmiennej losowej z samą sobą jest równa wariancji $Cov\{X,X \}=Var X$, czyli współczynnik korelacji $\rho_{xx}=1$.

2. Kanoniczny rozkład wektora losowego

2.1. Rozkład podług wektorów własnych

Zadanie własne znane z algebry liniowej jest  obecne praktycznie w każdej bibliotece numerycznej, np. programu Matlab lub Octave, a za pomocą tych procedur można znaleźć główne naprężenia lub odkształcenia lub momenty bezwładności. Mniej znany jest natomiast fakt, że zadanie własne zastosowane do macierzy kowariancji sprowadza skorelowany wektor losowy do wektora o współrzędnych nieskorelowanych.

Najstarszą metodą rozwiązywania problemu własnego jest metoda obrotów Jacobiego (Korn, 1983, cz.2 pkt 20.3.5 (d)).

Pokażemy jej zastosowanie do dekorelacji wektora losowego $X=[X_z, …, X_2,…,X_n]^T$ z macierzą korelacji $K_x$. Macierz $K_x$ jest rzeczywista i symetryczna.

Wybieramy element $k_{pq}$ $(p<q)$, który jest największym (po wartości bezwzględnej) elementem macierzy korelacji  $K_x$. Obrócimy osie współrzędnych do płaszczyzny z wersorami $e_p$, $e_k$, tak, by nowe wersory $e^{‚}_p$ i $e^{‚}_q$ były skierowane zgodnie z osiami elipsoidy $ u^TK_x u=const$, to znaczy tak, aby rzuty $X^{‚}_p$ i $X^{‚}_q$ wektora $X$ na nowe wersory były nieskorelowane. Oznaczając kąt obrotu przez $\Theta$, mamy:

$X^{‚}_p=X_p cos\Theta – X_q sin \Theta$ ,
$X^{‚}_q=X_qcos\Theta + X_p sin \Theta$
 (5)

Wyrazy macierzy kowariancji $k_{pp}$,  $k_{qq}$, $k_{pr}$, $k_{qr}$, $(r \neq q)$ przekształcają się zgodnie z formułami (Pugachev, 1984, pkt 4.2.):

$k^{‚}_{pq}=k_{pq}cos 2 \Theta + \frac{1}{2}(k_{pp} -k_{qq}) sin 2 \Theta$ ,
$k^{‚}_{pp}=\frac{1}{2}(k_{pp} + k_{qq})+\frac{1}{2}(k_{pp} -k_{qq}) cos 2 \Theta – k_{pq} sin 2 \Theta$.

$k^{‚}_{qq}=\frac{1}{2}(k_{pp} + k_{qq})+\frac{1}{2}(k_{pp} -k_{qq}) cos 2 \Theta + k_{pq} sin 2 \Theta$,
$k^{‚}_{pr}=k_{pr} cos \Theta-k_{qr} sin \Theta$,
$k^{‚}_{qr}=k_{pr} cos \Theta + k_{qr} cos \Theta$,

 (6)

 a pozostałe wyrazy nie zmieniają się. Wersorami nowego układu współrzędnych po obrocie są:

$e^{‚}_p=e_p cos\Theta – e_q sin \Theta$ ,
$e^{‚}_q=e_qcos\Theta + e_p sin \Theta$
 (7)

 Z warunku $k^{‚}_{pq}=0$, uzyskamy wyrażenie na kąt $\Theta$

$tg 2 \Theta= -\cfrac{2k_{pq}}{k_{pp}-k_{qq}}$.  (8)

Na skutek obrotu suma kwadratów pozadiagonalnych elementów macierzy korelacji $v^2=2 \sum \limits_{s=2}^n \sum \limits_{r=1}^{s-1}k_{rs}^2$  zmniejsza się o $k_{pq}^2$. Zachodzi tak ponieważ przy dowolnym $r \ne p$, q mamy $k^{‚2}_{pr}+k^{‚2}_{qr}=k^{2}_{pr}+k^{2}_{qr}$. Wynika stąd , że przy powtarzaniu obrotów kolejno dla największych wg modułu pozadiagonalnych elementów macierzy, suma kwadratów tych elementów będzie się zmniejszała i wreszcie osiągnie wartość 0. W ten sposób uzyskamy macierze kowariancji nieskorelowanego wektora, której kolumny są wektorami własnymi. W takim razie metoda Jacobiego daje możliwość uzyskać wartości własne i wektory własne z dowolną dokładnością.

2.2. Dowolny rozkład kanoniczny macierzy kowariancji

Rozwiązanie problemu własnego, w szczególności metodą Jacobiego (pkt.2.1) wiąże się z koniecznością przeprowadzenia dużej liczby przekształceń.  Macierz może być doprowadzona do diagonalnej nieskończoną liczba innych przekształceń , jeśli tylko odstąpić od wymagania znormalizowania przekształcenia.

Rozkładem kanonicznym losowego wektora $X$ nazywa się jego reprezentacja w postaci liniowej funkcji niekorelowanych losowych wielkości:

$-X=m_x+ \sum V_p x_p$,  (9)

 Literatura

Korn, T., M. (1983). Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów (Vol. 1, 2). Warszawa: PWN.
Pugachev, V. S. (1984). Probability Theory and Mathematical Statistics for Engineers. Oxford, New York: Pergamon Press.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum „Manufaktura” w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji „Cersanit” ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »