Belki żelbetowe. Kompedium wiedzy

Przedstawiono kompedium wiedzy, a także komplet arkuszy kalkulacyjnych do projektowania belek żelbetowych metodą uproszczoną oraz metodą nieliniową.

Rys.1 Belka żelbetowa: a) zarysowana w konstrukcji jako rygiel ramy, b) rysunek zbrojenia

Na rys. 1 przedstawiono belkę żelbetową na dwa sposoby: a) obraz z projektu wykonawczego zarysowanej belki zastosowanej jako rygiel ramy, b) rysunek warsztatowy zbrojenia belki

Rysunki warsztatowe są opracowywane przez wykonawców i ich technologów na podstawie wytycznych Projektanta zgodnie z zasadami opisanymi w artykułach Rysunek warsztatowy a projekt wykonawczyStandard rysunku warsztatowego konstrukcji żelbetowej. W niniejszym artykule przedstawiono kompedium wiedzy potrzebnej do zaprojektowania belki żelbetowej, ale także najważniejsze informacje dotyczące detali zbrojeniowych, zakotwienia i uciąglania belek, które w istocie stanowią wiedzę wymaganą od technologów i kreślarzy wykonawcy, opracowujących rysunki warsztatowe i powinny uzupełniać informacje zawarte w warunkach wykonania i odbioru konstrukcji betonowych (PN-EN 13670, 2011).

Zaprezentowano algorytm projektowania przekroju prostokątnego oraz teowego zbrojonego dołem i górą, poddanego dwukierunkowemu zginaniu $M_y$, $M_z$ oraz siły osiowej $N_x$ ściskającej lub rozciągającej dla modeli betonu i stali, opisanych w normie (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008): 1) uproszczonego CU, (prostokątnego) rozkładu naprężeń w ściskanej strefie betonu  lub nieliniowego CN (parabolicznego) rozkładu naprężeń w ściskanej strefie betonu oraz 2) modelu stali  Prandtla SP (idealnie sprężysto-plastycznego) lub SWL (sprężysto-plastycznego ze wzmocnieniem liniowym). Opublikowano arkusz kalkulacyjny realizujący opisany algorytm, w którego kolejnych zakładkach zamieszczono arkusze do projektowania przekrojów okrągłych, teowych, kątowych i o kształtach definiowanych, a w dalszych również do projektowania zbrojenia poprzecznego na ścinanie i skręcanie.

Rys. 2 Kalkulator zbrojenia belek  „Belka żelbetowa CH-P zbrojenie”

(kliknij w obraz, aby pobrać)

Spis treści

Beton i stal

W tab.1 zestawiono parametry betonów potrzebne do analizy zagadnienia, opracowane na podstawie (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, tab. 3.1.) i (Pędziwiatr, 2010)

Tab. 1. Parametry betonów (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008) 

W dalszej części artykułu stosuje się podział betonów na betony (BZ) i wysokiej wytrzymałości (BWW). W tab.1 podział jest zaznaczony czerwoną linią przerywaną.

W tab.2 zestawiono najczęściej stosowane stale zbrojeniowe.

Tab.2. Najczęściej stosowane stale zbrojeniowe 

Konstruowanie belek

System konstrukcyjny, a belka żelbetowa

Belki obok płyt są najczęściej stosowanymi elementami konstrukcji żelbetowych. Klasyczna definicja belki jest w przypadku konstrukcji żelbetowych osłabiona i obejmuje również stosunkowo krótkie pręty długości $L \approx 3h$.

Elementy krępe (dla $L\le 3h$) są nazywane belkami-ścianami i należy je analizować jako tarcze – nie są bowiem spełnione podstawowe założenia teorii belkowej ( w tym założenie Bernoulliego o płaskich przekrojach i założenie o małych naprężeniach stycznych), co w wyniku uniemożliwia stosowanie wzorów belkowych oraz  wnioskowania dotyczącego położenia osi obojętnej przekroju  oraz rozkładu naprężeń po wysokości belki-ściany. Może się zdarzyć, że w poziomej osi symetrii belki-ściany naprężenia normalne będą największe, choć zgodnie z  teorią belkową powinny być zerowe. W takich przypadkach zaleca się stosowanie metody kratownicowej (modele S-T wg (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008)). Belki są zginanymi poprzecznie elementami konstrukcyjnymi. W praktyce jednak zginanie przekroju jest stowarzyszone z działaniem siły osiowej- ściskającej lub rozciągająca, a elementy są belkami-słupami. Rozróżnienia między belką a słupem w istocie zależy od zjawisk niestateczności : w belce zwichrzenia, a w słupie wyboczenia. Zginanie i siły osiowe są przenoszone w belce poprzez zbrojenie podłużne. Ścinanie natomiast przez zbrojenie poprzeczne : strzemiona oraz pręty odgięte. W przypadku skręcania często daje się dodatkowe zbrojenie podłużne.

W konstrukcjach żelbetowych, powszechnie siły przekrojowe uzyskuje się z rozwiązania systemu konstrukcyjnego złożonego z klasycznych prętów (Bernoulliego), przy czym zawsze zaleca się zastosowanie teorii 2-rzędu, to znaczy uwzględnianie wpływu przemieszczeń na siły przekrojowe. Teoria 2-rzędu jest zaimplementowana praktycznie we wszystkich współczesnych programach. Ograniczenie do klasycznej teorii 1-rzędu powinno być uzasadnione- należy wykazać, że w prętach występują małe siły ściskające $N$ , to znaczy takie, które nie mają istotnego wpływu na stateczność systemu konstrukcyjnego, oraz nie generują momentów zginających drugiego rzędu $M_{II}= N\cdot e$, gdzie $e$ jest wygięciem pręta.

Jeśli system konstrukcyjne będzie obciążony poziomymi siłami od imperfekcji, to elementy prętowe , w tym belki (i słupy) można wymiarować bez wyznaczania długości wyboczeniowej oraz współczynników wyboczeniowych elementów ściskanych lub zginanych (zjawisko zwichrzenia belek). Do tego celu konstrukcję żelbetową wystarczy obciążyć poziomo siłami (równoważnymi od imperfekcji, poprzez stowarzyszenie do każdego obciążenia pionowego $Q_V$ – obciążeń poziomych $Q_H$ w kierunkach obu osi poziomych:

$$\begin{equation} Q_{Hx}=Q_V/200 \qquad  i \qquad Q_{Hx}=Q_V/200 \label {QH} \end{equation}$$

Symbol $Q_V$ oznacza obciążenie grawitacyjne (pionowe) zarówno powierzchniowe, liniowe jak i skupione- obejmuje więc również ciężar własny $G$.

Belki są konstrukcyjnymi elementami zginanymi, przy czym najczęściej występuje w nich również siła osiowa, i z tego powodu  element prętowy nazywa się belką-słupem (ang. beam-column). Tylko w szczególnym przypadku, przy braku siły osiowej (w praktyce rzadko spotykanym) mamy do czynienia z klasyczną belką.

W każdym przypadku konstrukcje żelbetowe znamienne są tym, że istotne jest w nich ścinanie elementów i przekrojów. Siły przekrojowe w belkach należałoby więc wyznaczać zgodnie z teorią Timoschenko, którą krótko opisano w artykule Belka Timoschenko na sprężystym podłożu. Niestety algorytm uwzględniania sztywności ścinania  zwykle nie jest obecny w inżynierskich programach komputerowych. Dlatego w praktyce projektowej siły przekrojowe w konstrukcji żelbetowej wyznacza się z użyciem klasycznych elementów prętowych. W przypadku elementów skręcanych (np. skrzynki mostów) lub trzony budynków wysokich stosuje się analogię teorii prętów cienkościennych (p. artykuł Pręty cienkościenne i artykuły związane)

W niniejszym opracowaniu zakładamy, że z rozwiązania  statyki znane są siły przekrojowe (N, M, Q)=(siła osiowa, moment zginający, siła poprzeczna) w przekrojach belki. Na podstawie sił w konkretnym przekroju można dobrać wymagane zbrojenie w tym punkcie belki, a na podstawie rozkładu sił po długości belki można skonstruować zbrojenie całego elementu.

W normie (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008)  podano reguły projektowania belek żelbetowych w następujących punktach: klauzula kl. 6.1. – nośność na zginanie z siłą podłużną ;  kl.  9.2.1.1 (1), wzór (9.1.N) – minimalne zbrojenie ; kl.  9.2.1.1 (3) – maksymalne zbrojenie; kl.  6.2.2.(1), wzór (6.2a), (6.2b) – nośność na ścinanie; kl.  6.3.2 (6), (6.3.1) – interakcja ścinania i skręcania. Wymienione zasady stanowią komplet reguł projektowych, umożliwiających zaprojektowanie belki zginanej, ściskanej, ścinanej i skręcanej.

Ponadto norma podaje szereg zasad konstruowania zbrojenia, które są spójne z regułami projektowymi, ale są  adresowane raczej do autorów rysunków warsztatowych, czyli wykonawców i ich technologów: kl. 8 – konstruowanie zbrojenia;  kl.  9.2 , 9.3 oraz 9.4  – konstruowanie belek i płyt pełnych oraz płaskich.

Geometria belek żelbetowych

Projektowanie geometrii belek żelbetowych wynika z warunków funkcjonalno-architektonicznych oraz prostych zasad optymalnego doboru wymiarów szalunkowych i  jest dobierana praktycznie niezależnie od zbrojenia belek. Na etapie doboru zbrojenia, w szczególnych przypadkach konieczna jest korekta szalunków (zbrojenie jest zbyt duże). Często jednak w takich sytuacjach korekt dokonuje się bez  zwiększania szalunków poprzez wstawienie zbrojenia sztywnego – skonstruowanie przekroju zespolonego.

Przekroje belek i długość obliczeniowa

Na rys. 3 pokazano schemat belki wieloprzęsłowej o teoretycznych długościach przęseł $l_1, l_2, l_3$. Przy oznaczeniu długości belki  w świetle murów $l_i$, długość obliczeniową $l_{eff}$ zgodnie z (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008) można wyznaczyć z zależności

$$\begin{equation} l_{eff}=l_i+a_l+a_r  \label{l_eff}\end{equation}$$

gdzie: $a_l$ i $a_r$ są odległościami od lica muru odpowiednio lewej i prawej podpory przęsła do obliczeniowej osi podpory $a=min \. [t/2/, ;/, h/2] (h- wysokość płyty, t-szerokość podpory (ściany lub słupa). W przypadku podpory środkowej z łożyskiem przyjmuje się os podpory obliczeniowej w osi teoretycznej systemu. Łożysko powoduje wycentrowanie reakcji, a w pozostałych przypadkach położenie reakcji przesuwa się w głąb ściany lub słupa.

Rys. 3 Belka: schemat, przekroje (P1 do P5) i podpory (S1 do S5)

(opracowano na podstawie (Pyrak, 2012))

Belki żelbetowe mają najczęściej przekrój prostokątny P1, teowy P2, dwuteowy P3 lub rzadziej  przekroje o innych kształtach (P4,P5,P6).

Belki najczęściej występują w układach płytowo -słupowych lub są stosowane jako odrębne elementy. Na rys. 4 pokazano typowy układ płytowo-belkowo-słupowy, w którym zastosowano dwa poziomy belek: podciągi B1 oraz żebra B2

Rys. 4. Strop płytowo-belkowo-słupowy. Belki: B1 (podciąg) i B2 (żebra)

(opracowano na podstawie (Pyrak, 2012, rys.4-28a))

Wysokość belki $h$

Najważniejszym parametrem belki jest jej wysokość $h$, którą należy liczyć wraz z grubością płyty, którą podpiera (rys. 5).

Rys.5  Wysokość h i szerokość b belki

Wymiary belek zależą w ogólności od: rozpiętości, sposobu podparcia, obciążenia, warunków pożarowych oraz środowiskowych (wymaganego otulenia zbrojenia).

Wstępnie (na etapie koncepcji) wysokość belki h przyjmuje się jako część jej długości:

$$\begin{equation} h \approx \dfrac{l}{n_h} \ge 250  \text{  mm, co 50 mm } \label {h} \end{equation}$$

gdzie $n_h=10 \div 20$

przy czym w przypadku braku dokładniejszych informacji przyjmuje się $n_h=20$.

Znajomość dodatkowych cech konstrukcji pozwala na dokładniejsze przyjęcie podzielnika $n_h$ ((PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, tab.7.4.N) oraz praktyka):

$$\begin{equation} n_h= \begin {cases}
10 \div 12, & \textrm { podciagi silnie obciazone} \\
12 \div 15, & \textrm { podciagi slabo obciazone} \\
12 \div 18, & \text { zebra silnie obciazone} \\
14 \div 20, & \text { belki i płyty swobodnie podparte} \\
17 \div 24, & \text { stropy bezbelkowe (plaskie) na słupach } \\
18 \div 20, & \text { belki dachowe i inne słabo obciazone} \\
18 \div 26, & \text { skrajne przesła belek lub plyt ciąglych} \\
20 \div 30, & \text { wewnetrzne przesla belek lub plyt ciaglych} \\
\end {cases} \label{n_h}\end{equation}$$

Dla wsporników długość $l$ zwiększa się dwukrotnie.
Większe dzielniki $n_h$ dotyczą elementów słabo ściskanych ( stopień zbrojenia $\rho$=0,5%), a mniejsze elementów silnie ściskanych ($\rho$=1,5%).

Szerokość belki $b$

Szerokość belki przyjmuje się w zależności od wysokości w granicach:

$$\begin{equation} b \approx \dfrac{h}{2 \div 2,5 } \ge 150  \text{  mm, co 50 mm } \label {b} \end{equation}$$

Wstępny dobór zbrojenia przekroju

Oszacowanie sił przekrojowych

W obliczeniach wstępnych, koncepcyjnych siły momenty zginające przekrój belki wyznacza się z szacunkowych formuł analitycznych bez uruchomienia programu komputerowego.

Miarodajny moment zginający $M_y$  w belce o długości obliczeniowej $l_{eff}$ i obciążonej w płaszczyźnie zginania równomiernie rozłożonym obciążeniem $Q_z$ można wstępnie oszacować z formuły

$$\begin{equation} M_y=\dfrac{Q_z \cdot l_{eff}^2}{n_M}  \label {My} \end{equation}$$

gdzie $n_M=8 \div 12$  zależnie od schematu statycznego belki (1P- belka jednoprzęsłowa, 2P-belka dwuprzęsłowa, 3P-belka trójprzęsłowa):

$$\begin{equation} n_M= \begin {cases}
8, & \text {moment przesłowy  1P lub  moment podporowy 2P} \\
10, & \text { moment utwierdzenia 1P sprezyscie zamocowanej i moment podporowy 3P} \\
12, & \text { moment podporowy  1P utwierdzono-utwierdzonej i szacunkowo przęsłowy 3P}
\end {cases} \label{n_M}\end{equation}$$

Koncepcyjny dobór zbrojenia

Koncepcyjny wstępny dobór zbrojenia przekroju można dokonać praktycznie bez wykonywania żmudnych obliczeń.

W przypadku przekroju symetrycznie podwójnie zbrojonego $A_{su}=A_{sl}$, nośność przekroju o wysokości h i otuleniu osiowym prętów $a$  wynosi

$$\begin{equation} M_{Rd}=\Sigma A_s \cdot f_{yd} \cdot (h-2a)\label {Mpl} \end{equation}$$

Mamy stąd oszacowanie pola przekroju sumy zbrojenia górnego i dolnego $\Sigma A_s=A_{su}+A_{sl}$ :

$$\begin{equation}  \Sigma A_s \approx \dfrac {M_y} {f_{yd} \cdot (h-2a)} \label {SAs} \end{equation}$$

W oszacowaniu $(\ref{SAs})$ nie występują parametry betonu , ani też informacje o kształcie przekroju. To znaczy formuła ta jest ważna dla każdego betonu i przekroju o dowolnym kształcie.

W przypadku przekroju zbrojonego pojedynczo możemy stosować analogiczne oszacowanie z warunku

$$\begin{equation} A_s \approx \dfrac{M_y} {f_{yd} \cdot z } \label {Asl} \end{equation}$$

gdzie

z – jest ramieniem sił wewnętrznych $z=\zeta d$

d – użyteczna wysokość przekroju $d=h-a$

$\zeta=[1 \, ; \, 0,5]$ – parametr  zależny od udziału betonu w przenoszeniu momentu zginającego.  W wymiarowaniu wstępnym można przyjąć $\zeta=0,85$.

Alternatywnie w projektowaniu wstępnym możemy zastosować tablice. Obszerne tablice do wymiarowania zginanych elementów żelbetowych zawiera praca (Gąćkowski, 2013).

W żadnym przypadku nie można poprzestać na wymiarowaniu wstępnym. Jest ono wymagane jedynie po to by zbudować model konstrukcji, przeznaczony do analizy w programie komputerowym, gdzie dokonuje się iteracyjnej korekty zbrojenia z warunku spełnienia stanów granicznych nośności (w stanie zarysowanym betonu)  i użytkowalności, ale także optymalności z warunku kosztów całej konstrukcji.

Może się okazać, że optymalizacja elementu po elemencie nie daje rozwiązania optymalnego dla całej konstrukcji statycznie niewyznaczalnej – opłaca się przewymiarować kilka elementów, by odciążyć pozostałą część konstrukcji.  We współczesnych programach obliczeniowych iteracje dokonywane są w krótkim czasie i sprawnie, co powoduje, że nie opłaca się poświęcać zbyt wiele czasu na projektowanie wstępne – zbrojenie elementów „podawane”do programu należy dobrać z grubsza.

W projektowaniu koncepcyjnym pomija się dobór zbrojenia na ścinanie, (oprócz doboru grubości  płyt w stropach belko-płytowych lub fundamentowych ze względu na ścinanie przy przebiciu.

Kształtowanie układu zbrojenia w przekroju

Otulenie zbrojenia

Otulenie pręta powinno zapewniać przyczepność i dobre zagęszczenie betonu, ochronę przed korozją zbrojenia oraz temperaturą w warunkach pożarowych. Wymagane otulenie zbrojenia belek podlega ogólnym wymogom dla elementów żelbetowych.

Rys. 6 Otulenie o odstępy prętów

(zmodyfikowany rys (Gąćkowski, 2013, rys.3.1))

Wstępnie można przyjmować otulenie $c$ (odległość od krawędzi belki do pobocznicy zbrojenia) dla założonej średnicy zbrojenia $\Phi$ z formuły

$$\begin{equation} c\approx max \, [\Phi \, ; \, c_{dur} \, ; \, 10 ]+10 mm \label {c} \end{equation}$$

gdzie $c_{dur}$ jest otuleniem wymaganym ze względu na klasę ekspozycji.Dla typowych konstrukcji w klasie wykonania S4 i okresie użytkowania 50 lat dla najczęściej występujących klas ekspozycji możemy przyjąć

$c_{dur}$= 25 mm (XC2/XC3), 30 mm (XC4), 35 mm (XD1/XS1), 40 mm (XD2/XS2), 45 mm (XD3/XS3).

Na przykład dla minimalnej średnicy zbrojenia ściskanego w belkach $\Phi=10$ mm, elementów konstrukcyjnych instalowanych wewnątrz zwykłych pomieszczeń  (klasa ekspozycji XC2), mamy

$c=max \, [10 \, ; \, 25 \, ; \, 10 ]+10 mm=35$ mm

W warunkach pożarowych otulenie definiuje się jako

$$\begin{equation} a=c+\Phi/2 \label {a} \end{equation}$$

czyli nieco większe od klasycznie definiowanego otulenia $c$.

W przykładzie $a=35+10/2=40$ mm,

Również w obliczeniach stosuje się otulenie osiowe $a$.

Odstępy między prętami

Odstępy między prętami w warstwie $a_h$ oraz odstępy między warstwami $a_v$  (rys. 6) powinny spełniać warunek

$$\begin{equation} $a_{h,v} \ge \max [\Phi \, ; \, 20 mm \, ; \, d_g +5 mm] \label {a_h,v} \end{equation}$$

gdzie $\Phi$ – maksymalna średnica prętów zbrojenia w warstwie lub warstwach, a $d_g$ – wymiar ziarna kruszywa betonu.

Wymaganie $(\ref{a_h,v} )$ w strefie zakładu prętów (na długości zakładu pręty można układać na styk).  Jeżeli pręty rozmieszcza się w kilku warstwach, to należy je rozmieszczać jeden nad drugim, a nie mijankowo w celu dostępu urządzeń wibracyjnych do zagęszczania betonu.

Wymagania pożarowe

Już na wstępie projektowania belki należy uwzględnić wymogi pożarowe. W normie (PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2, 2008) określono minimalne szerokości belek i otulenia zbrojenia ze względu na wymagana odporność ogniową elementu. Klasy odporności ogniowej Rx zdefiniowano w artykule Odporność ogniowa konstrukcji budynku.

W tab.4 podano minimalne szerokości belek swobodnie podpartych lub ciągłych w zależności od wymaganej klasy odporności ogniowej belki. Szerokość belki jest skorelowana z otuleniem zbrojenia $a$, liczonym jako odległość osi zbrojenia od krawędzi belki. Ze względów pożarowych- przy większym otuleniu można stosować mniejsze belki, a belki ciągłe są bardziej korzystne od  swobodnie podpartych.

Tab.4. Minimalne wymiary belek w zależności od odporności ogniowej
(wg (PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2, 2008, tab.5.5. 5.6)

Minimalne i maksymalne zbrojenie belki (oraz płyty)

Pole przekroju podłużnego zbrojenia rozciąganego w przekroju belki lub płyty żelbetowej nie powinno być mniejsze niż $A_{s,min,britle}$, a jeśli jest mniejsze, to taki przekrój  należy rozpatrywać jako niezbrojony. Minimalne zbrojenie zasadniczo wynosi:

$$\begin{equation} A_{s,min,britle}=ρ_{min,b} \cdot b_t \cdot d \label {A_s,min} \end{equation}$$

gdzie

$$\begin{equation}  ρ_{min,b}= max[0,013\, ; \,0,26 f_{ctm}/f_{yk}] \label {k_bmin} \end{equation}$$

d- wysokość użyteczna przekroju (wysokość przekroju pomniejszona o osiowe otulenie zbrojenia ściskanego- górnego),

$b_t$ -średnia szerokość strefy rozciąganej. W belkach teowych z półką w strefie ściskanej bierze się pod uwagę tylko szerokość środnika.

$f_{ctm}$ – średnia  wytrzymałość betonu na rozciąganie.

Minimalne stopnie zbrojenia ($ρ_{min,b}$ dla betonów zbrojonych stalą B500 podano w tab.1.

Zbrojenie minimalne $A_{s,min,britle}$, ma zapewnić, że nie nastąpi kruche zniszczenie betonu , to znaczy nagłe zniszczenie betonu, nie poprzedzone wyraźnie rosnącymi ugięciami. i widocznymi rysowaniem betonu.

W elementach drugorzędnych, jeśli można zaakceptować pewne ryzyko kruchego zniszczenia, zbrojenie minimalne $A_{s,min}$ można przyjąć 120% zbrojenia wymaganego ze względu na stan graniczny ULS (nośności), to znaczy element zbroimy na 120% zbrojenia obliczeniowego. Zdaniem autora dotyczy to w szczególności płyt fundamentowych, spoczywających na podłożu gruntowym, w miejscach, gdzie przekroje rozciągane są skrępowane odporem i tarciem gruntu , czyli przekrojów przęsłowych płyt i ław fundamentowych. Przekroje podporowe takich płyt najczęściej należy zbroić ze względu na przebicie, które omówiono w artykule „Przebicie płyty żelbetowej„.

Ustala się również minimalne zbrojenie  $A_{s,min,crack}$ ze względu na zarysowanie w strefie rozciąganej:

$$\begin{equation} A_{s,min,crack} = k_c \cdot k \cdot f_{ct,eff} \cdot A_{ct} \cdot σ_{s,lim}  \label {As,min,crack} \end{equation}$$

Średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie w chwili spodziewanego zarysowania $f_{ct,eff}$ przyjmuje się zwykle jako  $f_{ctm}$ (p. tab.1).  Jeśli beton jest młodszy niż 28 dni, należy przyjąć  zależny od czasu dojrzewania $f_{ctm} (t)$.

Pole rozciąganej strefy betonu $A_{ct}$ w chwili poprzedzającej zarysowanie wynosi:

  • przy rozciąganiu osiowym $A_{ct}=A_c$ (pole całego przekroju betonu),
  • przy zginaniu $A_{ct} \approx A_c/2$ (pole betonu powyżej osi obojętnej).

Naprężenia $σ_{s,lim}$ w zbrojeniu rozciąganym tuż po zarysowaniu można przyjmować równe $f_{yd}$, ale jeżeli wymaga się nieprzekroczenia granicznej szerokości rysy , to naprężenia można przyjmować wg tab. 5 , odpowiednio dla największej średnicy pręta lub maksymalnego rozstawu.

Tab.5.  Ograniczenia rys – maksymalna średnica prętów $\Phi_{s,max}$ i rozstaw prętów $a_{s,max}
(wg (Gąćkowski, 2013, ta. 2.8))

Współczynnik $k_c$ uwzględnia rozkład naprężeń w przekroju w chwili poprzedzającej zarysowanie oraz wielkość ramienia sił wewnętrznych dla fazy II, i wynosi:

  • przy rozciąganiu osiowym $k_c$=1,
  • przy czystym zginaniu lub zginaniu z udziałem siły osiowej
    a) dla przekrojów prostokątnych i środników belek teowych i skrzynkowych $k_c=0,4⋅[1−\sigma_c/(k_1⋅h/h^∗⋅f_{ct,eff}] ≤1$,
    b) dla półek przekrojów teowych i skrzynkowych $k_c=0,9⋅(F_{cr}/(A_{ct} \cdot f_{ct,eff} \le 0,5 k_c$.

Współczynnik k uwzględnia wpływ nierównomiernych naprężeń samorównoważących się w ustroju, prowadzących do zmniejszenia sił od odkształceń wymuszonych:

  • k= 1,0 dla  środników oraz dla półek krótszych od 300 mm,
  • k=0,65 dla środników oraz dla półek większych  od 800 mm.
  • wartości pośrednie należy interpolować.

Współczynnik $k_1$ uwzględnia  wpływ znaku siły podłużnej $N_{Ed}$ na rozkład naprężeń:

  • $k_1=1,5$ dla siły dodatniej (ściskającej),
  • $k_1=1,0$ dla siły rozciągającej.

Naprężenie $\sigma_c$ jest średnim naprężeniem w betonie w rozpatrywanej części przekroju $\sigma_c =N_{Ed}/(bh)$, gdzie $N_{Ed} – charakterystyczna siła podłużna, działająca na rozpatrywaną część przekroju, dodatnia- ściskająca.

Siła $F_{cr}$ jest bezwzględną wartością siły osiowej w półce bezpośrednio przez zarysowaniem, wywołanym przez moment rysujący, obliczony przy założeniu, że wytrzymałość na rozciąganie wynosi $f_{ct,efff}$.

Zastępcza wysokość przekroju $h^∗ = h$ dla $h <1,0m$ lub  $h^*=1,0$ m dla $h \ge 1,0 \,m$

Poza miejscami zakładów pole przekroju zbrojenia rozciąganego lub ściskanego nie powinno być większe niż $A_{s,max}$:

$$\begin{equation} A_{s,max}=0,4 A_c \label {A_s,max} \end{equation}$$

gdzie $A_c$ -pole przekroju betonowego, na przykład w przypadku przekroju prostokątnego o wysokości h i szerokości b – $A_c=bh$. Projektanci często przyjmują się $A_c=bd$. Zdaniem autora artykułu ograniczenie dotyczy sumy zbrojenia przekroju  $\Sigma A_s$ i powinno odnosić się do całego przekroju betonu, choć może  dotyczyć wyraźnie wyodrębnianych części przekroju, np. środnika w belkach teowych i wówczas trzeba brać odpowiednie pole zbrojenia i betonu w tej części.

W miejscach zakładów zbrojenia ilość maksymalna może w belkach i płytach być wyższa niż $(\ref {A_s,max})$ i wynosić  $A_{s,max}=0,8 A_c$.

Kształtowanie zbrojenia po długości belki

Siły przekrojowe w prętach , w tym w belkach zmieniają się po długości, więc istotną rolę odgrywa optymalne dostosowanie układu zbrojenia do obwiedni momentów zginających M, sił osiowych N oraz sił poprzecznych. W każdym przekroju powinny być spełnione warunki minimalnego i maksymalnego stopnia zbrojenia

Zbrojenie dostrajane do obwiedni sił

Na rys. 7 przedstawiono zasadę układania prętów zbrojeniowych przez dostrojenie do obwiedni sił przekrojowych

Rys. 7. Dostrajanie układu prętów do obwiedni sił przekrojowych

(opracowano na podstawie )

Moment zginający przekrój $M_{Ed}$ jest zastąpiony parą sił w betonie $F_c$ i w stali rozciąganej $F_s$ na ramieniu z – stąd $F_s=M_{Ed}/z$.

Natomiast przydzielenie całej siły osiowej $N_{Ed}$ do pręta rozciąganego jest bardzo grubym szacunkiem, który zajdzie w sytuacji, gdy siła w betonie $F_c$ zaniknie na skutek jej pomniejszenia przynależnym rozciąganiem.  Wówczas w stali będzie działała siła $F_s$=$N_{Ed}- F_{Rc}$, gdzie $F_Rc$ jest nośnością betonu na ściskanie.
W celu dokładniejszego rozdziału siły $N_{Ed}$ pomiędzy $F_s$ i $F_c$ należy uwzględnić odkształcalność betonu i stali, zgodnie z zasadami podanymi w poniższych rozdziałach. Zalecenie normowe, zobrazowane na rys. 7 dotyczy najniekorzystniejszego przypadku dla rozciągającej siły N_[Ed}, co jest wystarczającym przybliżeniem dla belek poddanych przeważającemu zginaniu.

Zgodnie z  metodą kratownicową z ilustrowaną na rys 25 siła poprzeczna $V_{Ed}$ przenosi krzyżulec betonowy ułożony pod kątem $21,8^o \le \Theta \le 45|^o$,wydzielony rysami ukośnymi . Na skutek zarysowania  siły w pręcie rozciąganym i w betonie zwiększą się o  połowę składowej  poziomej w krzyżulcu betonowym  $V_{Ed}\cdot ctg \Theta$, czyli $\Delta F_{td}= V_{Ed} \cdot ctg \Theta$, a w przypadku prętów odgiętych lub strzemion nachylonych pod kątem $\alpha$ mamy (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, (6.18)):

$$\begin{equation} \Delta F_{td}= 0,5 \cdot V_{Ed} \cdot (ctg \Theta- ctg \alpha ) \label{DF_td} \end{equation}$$

W elementach, które nie wymagają zbrojenia na ścinanie  wpływ siły poprzecznej można estymować  rozsuwając wykres momentów o odległość $a_l=d$  zgodnie z zasadą/przyjmując:

$$\begin{equation} a_l= 0,5 \cdot z \cdot V_{Ed} \cdot (ctg \Theta- ctg \alpha ) \label{a_l} \end{equation}$$

Naprężenia styczne od skręcania przekroju momentem skręcającym $T{Ed}$ również spowodują zwiększenie sił osiowych w zbrojeniu zgodnie z formułą normową (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, (6.28)). Formułę na gruncie teorii prętów cienkościennych można uogólnić na inne niż zamknięte przekroje prętów.

Zagięcia prętów

Krzywizna zagięć prętów nie może być zbyt mała. Normuje się wewnętrzną średnicę zagięcia, czyli średnicę trzpienia $\Phi_m$ na który jest nawijany pręt (rys. 8). Minimalna średnica zaginania  $\Phi_{m,min}$ wynosi

$$\begin{equation} \Phi_{m,min} = \begin {cases}
4 \Phi, & \text {jeśli  $ \Phi \le$ 16 mm} \\
6 \Phi, & \text {jeśli  $ \Phi$ > 16 mm }
\end {cases} \label{Fi_m,min}\end{equation}$$

Rys.8 Średnica zagięcia pręta

Odcinek prosty pręta powinien być wyprowadzony poza zagięcie przynajmniej na $5\Phi$.

W przypadku zaginania pręta obok spoiny łączącej pręt poprzeczny (rys. 9 d), f), h) średnica minimalna średnica zagięcia powinna wynosi $\Phi_{m.min}=5 \Phi$.

Rys. 9 Zagięcia prętów zbrojenia podłużnego

Kotwienie strzemion wymaga spełnienia warunków pokazanych na rys. 10.

Rys.10. Kotwienie strzemion

W celu uniknięcia zniszczenia betonu w zagięciu pręta z siła $F_{bt}$ na początku zagięcia wynosi

$$\begin{equation} \Phi_{m,min}= F_{bt} \left( \dfrac{1}{a_b}+\dfrac {1} {2 \Phi} \right)  \label{Fi_mmin} \end{equation}$$

gdzie: $a_b$ d jest połową odległości między osiami prętów równoległych, sąsiednich zagiętych prętów, a w przypadku pręta sąsiadującego z powierzchnią elementu $a_b =\Phi/2$.

Średnica zagięcia nie musi być sprawdzana z warunku $(\ref{Fi_mmin})$ , jeżeli:
a) zakotwienie nie wymaga więcej niż 5 $\Phi$ prostego odcinka od zakończenia gięcia , lub
b) 
pręt nie jest najbliższy krawędzi i wewnątrz zagięcia jest ułożony pręt poprzeczny $\ge \Phi$.

W przypadku haków i pętli (rys. 9a), b),e))   należy zachować podstawowy wymiar zakotwienia $l_{bd}$, omówiony  w kolejnym punkcie artykułu.

Zakotwienie prętów zbrojeniowych

Zakotwienie pręta  zbrojeniowego powinno wynosić $l_{bd}$ i zależy od długości bazowej (wymaganej) $l_{bd,rqd}$ (rys. 11) oraz zestawu współczynników $\alpha_1$ do $\alpha_5$ zgodnie z zależnością (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, kl. 8.4):

$$\begin{equation} l_0 = \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 l_{b,rqd} \ge \max[0,3 \alpha_6 l_{b,rqd}\, ; \, 10 \Phi \, ; \, 100 \, mm]  \label{l_bd} \end{equation}$$

przy ograniczeniu iloczynu $(\alpha_2 \alpha_3  \alpha_5) \le 0,7$

Rys. 11 Zakotwienia pręta liczy się po osi: lbd– wymagane , lb,rqd>lbd – bazowe

Długość bazowa zależy od średnicy pręta $\Phi$ , naprężeń w pręcie $\sigma_{sd}$ i przyczepności betonu do pręta $f_{bd}$:

$$\begin{equation} l_{brqd} = \Phi/4 \cdot \dfrac{\sigma_{sd}} {f_{b d}} \label{l_brqd} \end{equation}$$

Długości bazowe dla szeregu przypadków zagięć prętów zilustrowano  na rys. 9.

Przyczepność betonu do pręta można wyznaczyć z formuły:

$$\begin{equation} f_{bd} = 2,15 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot f_{ctd} \label{f_bd} \end{equation}$$

Wytrzymałość betonu $f_{ctd}=\alpha_{ct} \cdot f_{ctk,0,05} /\gamma_c = 1,0 \cdot 0.7 \cdot 0.3 f_{ck}^{2/3}/1,4= 0,15 f_{ck}^{2/3}$ jest limitowana wytrzymałością betonu C60/75., dla którego mamy górną granicę przyczepności $max f_{ctd}=4,9 \, MPa$.

Kryteria kwalifikacji przyczepności do dobrych warunków, a także sposób wyznaczania współczynników $\alpha_i \, i=1..,5$ podano w załączonym do artykułu arkuszu kalkulacyjnym (link pod tab.6).

Kształtowanie zakładów prętów zbrojeniowych

Łączenie prętów zbrojeniowych na zakład jest w Polsce podstawową techniką uciąglania zbrojenia betonu. Coraz częściej stosuje się jednak łączniki mechaniczne, opisane w artykule Systemy zbrojenia betonu.

Zakład łączonych prętów powinien wynosić

$$\begin{equation} l_0 = \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5\alpha_6  l_{b,rqd} \ge \max[0,3 \alpha_6 l_{b,rqd}\, ; \, 15 \Phi \, ; \, 200 \, mm]  \label{l_0} \end{equation}$$

gdzie długość bazową $l_{b,rqd}$ oraz współczynniki $\alpha_i$ (i=1,..5) są zdefiniowane w rozdziale wyżej (zakotwienie prętów).

Współczynnik $\alpha_6$ wynosi

$$\begin{equation} \alpha_6 = \sqrt{\rho_1/25} \text{ , przy czym $ 1,0 \le \alpha_6 \le 1,5$} \label{a_6} \end{equation}$$

Współczynnik $\rho_1$ jest określany w procentach i oznacza liczbę prętów łączonych zakładami w efektywnym pasie po $0,65 l_0$ od osi przekroju, (w przykładzie na rys. 9 pokrywającej się z osią zakładu 1)  do liczby wszystkich prętów przecinających przekrój. Na rys. 12  pokazano przekrój z 4-roma prętami, z których tylko dwa zakłady zmieszczono w efektywnym pasie. W tym przypadku współczynnik zakładów $\rho_1$=50%, a współczynnik $\alpha_6=\sqrt{50/25}=1,4$.

Rys.12. Kształtowanie zakładów prętów zbrojeniowych

W tab.6.  zestawiono podstawowe długości zakotwień oraz zakładów jako wielokrotność średnicy pręta ze stali B500 maksymalnie wytężonego. Dane zawarte w tej tabeli b. 6 są szacunkowe. Dokładniejsze oszacowania zakotwień oraz zakładów prętów zbrojeniowych można dokonać w arkuszu  „Zakotwienia” zbioru arkuszy , stanowiących załącznik do artykułu, który można pobrać poprzez kliknięcie na tabelę 6 (rys.13).

Tab.6 Zakotwienia i zakłady prętów zbrojeniowych. Podstawowe długości

Rys.13. Link do arkusza kotwienia i zakładów prętów zbrojeniowych (kliknij aby pobrać)

Kotwienie zbrojenia na podporach skrajnych

Na podporach, skrajnych gdzie moment zginający jest niewielki (lub teoretycznie zerowy) wymaga się, by doprowadzić i odpowiednio zakotwić 25% zbrojenia przęsłowego w belkach, a w  płytach 50%.

Zginanie z udziałem siły osiowej

Zginanie z drugorzędnym  udziałem siły osiowej jest podstawowym sposobem wytężenia belek ze zbrojeniem podłużnym.

W tab.2 zestawiono parametry betonów potrzebne do analizy zagadnienia, opracowanej na podstawie (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, tab. 3.1.) i innych zaleceń normowych.

Model zginania żelbetu z udziałem sił osiowych opisany jest rozkładem ściskających naprężeń w strefie ściskanej betonu oraz modelem odkształcania stali zbrojeniowej. Rozkład naprężeń ściskających w betonie jest w ogólności nieliniowy (rys. 8), ale z dokładnością wystarczającą dla praktyki może być aproksymowany liniowo (rys. 9).

Poniżej omówiono klasyczne techniki wymiarowania zbrojenia podłużnego zginanego przekroju żelbetowego, a następnie uogólniono je w celu  opracowania procedury do optymalnego doboru zbrojenia, to znaczy takiego, gdy $\Sigma A_s=A_{sl}+A_{su}$ jest minimalna.

Model przekroju zginanego z udziałem siły osiowej

Podstawowe oznaczenia

W niniejszym artykule stosuje się następujące podstawowe oznaczenia, dotyczące wielkości względnych (unormowanych) dla zginania belek żelbetowych:

  • unormowany moment zginający

$$\begin{equation} m_* =\dfrac {M_*}{b d^2 f_{cd}} \label {m_*} \end{equation}$$

gdzie  *= u – graniczny (ultimate) el – sprężysty(elastic) ; Ed (obliczeniowy od obciążeń zewnętrznych)  ;  Rd (obliczeniowa nośność), itd.

  • współczynnik $\delta$ redystrybucji naprężeń w przekroju jest równy stosunkowi momentowi po redystrybucji do momentu sprężystego:

$$\begin{equation}  \delta= \dfrac{\mu_u}{\mu_{el}} \end{equation}$$

  • unormowana siła osiowa

$$\begin{equation} n_* =\dfrac{N_*}{b d f_{cd}} \label {n_*} \end{equation}$$

  • unormowana wysokość strefy ściskanej

$$\begin{equation} \xi_*=\dfrac{x_*}{d} \label {xi_*} \end{equation}$$

gdzie  *= u – wartość granicznej,  *=red- zredukowana współczynnikiem redukcji $\lambda$ (efektywna)

  • unormowane ramię sił

$$\begin{equation} \zeta_*=\dfrac{z_*}{d} \label {zeta_*} \end{equation}$$

  • stopień zbrojenia (unormowane pole zbrojenia)

$$\begin{equation} \rho_*=\dfrac{A_{s*}}{A_c} \label {r_*} \end{equation}$$

gdzie  *= l (lower) – dla zbrojenia dolnego (rozciąganego, *= u (upper) – dla zbrojenia górnego (ściskanego),
$A_c=b\cdot h$

Model nieliniowy CN

W zagadnieniu zginania ze ściskaniem/rozciąganiem przekroju żelbetowego poszukujemy trzy niewiadome (p. rys. 14) : wysokość strefy ściskanej betonu $x$, pole przekroju zbrojenia dolnego (rozciąganego) $A_{sl} $ oraz pola przekroju zbrojenia górnego $A_{su}$, umieszczonego w strefie ściskanej betonu.

Model rozkładu naprężeń na wysokości $x$ strefy ściskanej betonu jest paraboliczny dla odkształcenia betonu $0<\varepsilon_c \le varepsilon_{c2}$ i prostokątny dla $0<\varepsilon_c > varepsilon_{c2} \varepsilon_{cu}=3,5$‰ (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, kl.3.1.7(1)) (wykładnik potęgi $n=2$ dla betonu zwykłego  BZ i n wg tab. 1 dla betonów dużej wytrzymałości BWW).

Rys. 14. Nieliniowy CN rozkład naprężeń w strefie ściskanej betonu

Nieliniowy (paraboliczny) model betonu CN  z rys. 14, można opisać formułami[ zotpressInText item=”{3D37SI87,wzory (3.17)-(3.18)}”]:

$$\begin{equation}\sigma_c (z)= f_{cd} \cdot \begin {cases}
1, & \text {jeśli  $ \varepsilon_{c2} \le\varepsilon_c \le \varepsilon_{cu2}$} \\
1-  (1- \varepsilon_c/\varepsilon_{c2})^n, & \text {jeśli  $ \varepsilon_c <\varepsilon_{c2}$ }
\end {cases} \label{s_cz}\end{equation}$$

gdzie wykładnik potęgi zgodnie z tab. 1 (dla betonu BZ  n=2),

$\varepsilon_{cu2}$ – graniczne (maksymalne) odkształcenie betonu

$\varepsilon_{c2}$ – najmniejsze odkształcenie, przy którym w betonie wystąpią naprężenia $f_{cd}$

Model uproszczony CU

Zgodnie z klauzulą (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, kl.3.1.7(3)) w obliczeniach inżynierskich dopuszcza się założenia upraszczające, polegające na aproksymacji parabolicznej bryły naprężeń w modelu CN  przez bryłę prostokątną CU, w sposób pokazany na rys. 15.

Rys.15  Uproszczony  CU rozkład naprężeń w przekroju zginanym

W  uproszczonym CU modelu zmniejsza się wartość naprężeń w betonie do $\eta f_{cd}$ i wysokość bryły naprężeń do $\lambda x$ , zgodnie z wartościami zamieszczonymi w tab. 1. W celu uproszczenia formuł zredukowana wysokość strefy ściskanej betonu jest oznaczana przez $x_{eff} = \lambda x$.

Graniczne odkształcenia betonu w modelu CN $\varepsilon_{cu2}$ i  w modelu CU  $\varepsilon_{cu3}$ są takie same i wynoszą 3,5‰. Natomiast odkształcenia betonu BZ  na początku strefy prostokątnej (dla $\sigma_c=f{cd}$) w modelu CN wynoszą $\varepsilon _{c2}$=2‰, a  w modelu CU $\varepsilon _{c3}$=1,75‰ . Dla betonów BWW stosowne wartości podano w  tab. 1.

Model CU przedstawiony na rys. 15, definiują wzory (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, wzory (3.19)-(3.22)), opisujące współczynnik $\lambda$, określający efektywną wysokość strefy ściskanej oraz  współczynnik $\eta$, określający efektywną wytrzymałość:

$$\begin{equation} \lambda= \begin {cases}
0,8 , & \text {dla BZ} \\
0,8-\dfrac{f_{ck}-50}{400} , & \text {dla BWW}
\end {cases} \label{lambda}\end{equation}$$

$$\begin{equation} \eta= \begin {cases}
1,0 , & \text {dla BZ} \\
1,0-\dfrac{f_{ck}-50}{200} , & \text {BWW}
\end {cases} \label{eta}\end{equation}$$

Graniczna wysokość strefy ściskanej $x_u$, a zniszczenie kruche betonu

Wysokość strefy ściskanej betonu jest ograniczona poprzez dopuszczalną redystrybucję naprężeń w przekroju zgodnie zasadami dotyczącymi sprężystej analizy betony z ograniczoną redystrybucją. Redystrybucja naprężeń w zakresie nieliniowym dotyczy nie tylko punktów wzdłuż konstrukcji statycznie niewyznaczalnych, ale także redystrybucji naprężeń po wysokości przekroju. W przypadku redystrybucji naprężeń na wysokości przekroju również mają zastosowanie wyrażenia z klauzuli  (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, kl.5.5(4)), zalecanej dla analizy liniowo-sprężystej z ograniczoną redystrybucją belek lub płyt statycznie niewyznaczalnych, a mianowicie:

$$\begin{equation} \delta \ge \begin {cases}
0,44+1,25 \cdot \xi_u, & \text {dla BZ} \\
0,54+k_4 \cdot \xi_u.,  & \text {dla BWW} \\
0,7  , & \text {dla stali B lub C} \\
0,8  , & \text {dla stali A}
\end {cases} \label {delta}\end{equation}$$

Współczynnik $k_4=1,25(0,6+0,0014/\varepsilon_{cu2}$ podano w tab.1.

Dla powszechnie stosowanej plastycznej stali klasy B lub C  – $\delta_{max}= 0,7$ (30% redystrybucji) i z równań $(\ref{delta})$, otrzymujemy:

$$\begin{equation} \xi_u \le \begin {cases}
0,208, & \text {dla  BZ } \\
0,160 & \text {dla BWW } \\
\label {xi_uR} \end {cases} \end{equation}$$

W wielu pacach polskich (m.in. (Knauff, Golubińska, Knyziak, 2015, pkt 10.2)(Starosolski, 2013) i in.)  przedstawia się odmienną interpretacje granicznej wysokości strefy ściskanej, a mianowicie taką  dla której  w zbrojeniu rozciąganym osiąga się granicę plastyczności. Z tego kryterium wyprowadza się formułę $\xi_{uS}= \dfrac{E_s \varepsilon_{cu2}}{E_s \varepsilon_{cu2}+f_{yd}}$. Dla najczęściej stosowanej stali B500 i BZ  otrzymujemy stąd

$$\begin{equation} \xi_{uS}= 0,617 \label {xi_uS} \end{equation}$$

Porównanie wartości $(\ref{xi_uS})$ (wynikającej z uplastycznienia stali) z wynikiem, $(\ref {xi_uR})$ uzyskanym dla granicznej redystrybucji wskazuje, że stosowanie pierwszego warunku prowadzi do znaczącego przekroczenia dopuszczalnej redystrybucji naprężeń w betonie, co w konsekwencji może prowadzić do zawyżenia nośności przekroju poprzez dopuszczenie przypadków w których beton ulegnie kruchemu zniszczenia. Interpretacja $(\ref {xi_uS})$ jest pozostałością historycznego podejścia i korzystania ze starych układów tablic i w dobie Eurokodów nie powinna być już stosowana.

Doświadczeni inżynierowie zalecają przyjmowanie $\xi_u$< 0,45., co jest powszechnie uznane za dobrą praktykę, prowadzącą do uniknięcia zjawiska „nadmiernego wzmocnienia” i kruchego zniszczenia betonu, a nie ciągliwego.  Takie ograniczenie nie jest wymagane przez normę pośrednio w wymogach dotyczących analizy plastycznej – zgodnie z klauzulą (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, kl.5.6(2)) wynosi ono dla BZ  $\xi_{u,pl}  \le 0,25$, a dla BWW  $\xi_{u,pl} \le 0,15$.  W przypadku przeważającego ściskania (czyli w słupach) stosuje się momenty zginające wywołane obciążeniami zewnętrznymi, obliczone przy założeniu sprężystości bez jakiejkolwiek redystrybucji.

W celu ilustracji powyższego wywodu, w  tab 6 zestawiono zależność stopnia redystrybucji od wysokości strefy ściskanej dla betonu zwykłego.

Tab.6

Wysokość strefy ściskanej $\xi=0,45$ wystąpi przy pełnej redystrybucji naprężeń, a $\xi=0,617$ jest fizycznie niemożliwe, bo oznaczałoby  hiperredystrybucję naprężeń w przekroju .

W niniejszym artykule zalecamy stosowanie wartości odpowiadającej stopniowi redystrybucji $\delta=$0,9, czyli

$$\begin{equation} \xi_u = \begin {cases}
(0,9-0,44)/1,25=0,368, & \text {dla BZ } \\
(0,9-0,54)/k_4 & \text {dla BWW }
\end {cases} \label{xi_u0,9}  \end{equation}$$

Założenie $(\ref{xi_u0,9})$ o wysokości strefy ściskanej dotyczy zarówno modelu CN  jak i CU i zmniejsza ryzyko zniszczenia przekroju zginanego poprzez kruche pękniecie betonu, co w konsekwencji prowadzi do zapewnienia odpowiedniej niezawodności przekrojów żelbetowych z przeważającym udziałem zginania.

Wartości graniczne $(\ref{xi_u0,9})$ dotyczą rzeczywistej wysokości strefy ściskanej, a nie zredukowanej współczynnikiem $\lambda$ (efektywnej).

W Wielkiej Brytanii (MPA The Concrete Centre, 2016) od lat zaleca się stosowanie do wymiarowania przekrojów zginanych współczynnika redystrybucji $\delta=0,85$, które jest nieco bezpieczniejsze od postulowanego w niniejszym artykule $\delta=0,9$  , ale będzie prowadziło do nieco większego zbrojenia.

Klasyczna technika projektowania zbrojenia podłużnego

W projektowaniu podłużnego  zbrojenia  przekroju zginanego (bez udziału siły podłużnej) stosuje się  trzy podejścia:

  • metodą bezpośrednią stosowaną do wyznaczania zbrojenia belki pojedynczo zbrojonej (dla $A_{su}=0$),
  • metodą tabelaryczną lub graficznie z wykresów,
  • iteracyjne stosowane w  arkuszach kalkulacyjnych lub procedurach numerycznych.

W klasycznej technice stosuje się uproszczony, prostokątny rozkład z rys. 15.

Graniczna nośność przekroju i kryterium zbrojenia podwójnego

Graniczna nośność przekroju pojedynczo zbrojonego $\mu_u$ odpowiada nośności przekroju bez stali ściskanej $A_u=0$ i w sytuacji osiągnięcia przez bryłę ściskaną granicznej, maksymalnej wartości $\xi_u$, określonej wyżej. Przekrój będzie mógł przenieść większy moment dopiero po wspomożeniu strefy betonu poprzez zbrojenie strefy ściskanej przekrojem $A_u>0$.

Moment wokół osi zbrojenia rozciąganego $F_{sl}$ bez udziału zbrojenia ściskanego $F_{su}$  wynosi:

$$\begin{equation} M_c= F_c \cdot z= b \cdot \eta f_{cd} \cdot  x_{eff} \cdot z= b \cdot  \eta  f_{cd} \cdot  x_{eff} (d-x_{eff}/2)  \label {SM_l} \end{equation}$$

Po unormowaniu moment zginający przenoszony przez beton, równy momentowi przenoszonemu przez rozciąganą stal ( i w konsekwencji przez cały przekrój,) czyli nośność przekroju  pojedynczo zbrojonego można obliczyć z formuły

$$\begin{equation} m_{R1}=\eta \cdot \left (  \xi_{eff} – \dfrac{ \xi_{eff}^2}{2} \right) \label {m_R1}\end{equation}$$

gdzie $\xi_{eff}=\lambda \xi $
($\lambda$ wg tab. 1 zależy od klasy betonu, a $\xi=x/d$ jest rzeczywistą, względną wysokością strefy ściskanej)

Nośność graniczną przekroju pojedynczo zbrojonego uzyskamy z $(\ref{m_R1})$ po podstawieniu granicznej wysokości strefy ściskanej $\xi=\xi_u$  ($\xi_{eff,u}=\lambda \xi_u$), czyli

$$\begin{equation} \xi_{eff,u} = \begin {cases}
0,8 \cdot 0,368 = 0,2944, & \text {dla BZ } \\
0,32 \lambda , & \text {dla BWW }
\end {cases} \label{xi_effu}  \end{equation}$$

$$\begin{equation} m_u = \begin {cases}
0,2944-0,2944^2 /2=0,251, & \text {dla BZ } \\
0,32 \lambda(1-0,16 \lambda), & \text {dla BWW }
\end {cases} \label{m_lim}  \end{equation}$$

Można pokazać, że identyczny rezultat uzyskamy operując rzeczywistymi ( anie efektywnymi) wysokościami strefy ściskanej.

Warunek na zbrojenie pojedyncze/podwójne przekroju można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} \text{Jeżeli} \begin {cases}
m_{Ed} \le m_{u}, & \text {to wystarczy pojedyncze zbrojenie ($A_{su}=0$) } \\
m_{Ed} > m_{u}, & \text {to należy zastosować zbrojenie podwójne ($A_{su}>0$)}
\end {cases} \label{l-u}  \end{equation}$$

Zbrojenie pojedyncze

W przypadku, gdy zbrojenie ściskane nie jest wymagane, zbrojenie rozciągane $A_{sl}$ najłatwiej wyznaczyć bezpośrednio z równania kwadratowego $(\ref{m_R1})$ dla $m_{R1}=m_{Ed}$, które po rozwiązaniu podług $\xi$ daje pierwiastki:

$$\begin{equation} \xi_{equ}=  1 \pm \sqrt{1- 2 m_{Ed}/ \eta} \end{equation}$$

Ponieważ $\xi_{equ}>1$ nie ma sensu fizycznego , więc dla zbrojenia pojedynczego  pozostaje pierwiastek $\xi_1$

$$\begin{equation} \xi_1= 1 – \sqrt{1 – 2m_{Ed}/ \eta} \label {xi_1} \end{equation}$$

Często posługuje się ramieniem sił wewnętrznych  $ z= d-  x_{eff}/2$ , czyli po unormowaniu $\zeta =1- \xi_{eff}/2$, co dla pierwiastka $(\ref{xi_1})$ wynosi:

 $$\begin{equation} \zeta_1= \tfrac{1}{2}(1+\sqrt{1-2m_{Ed}/ \eta})  \label{zeta_1} \end{equation}$$

Z warunku równowagi  momentów względem wypadkowej siły w betonie $F_c$, bezpośrednio wyznaczamy siłę w zbrojeniu dolnym $F_{sl}=M_{Ed}/z$, a następnie teoretyczne pole przekroju zbrojenia:

$$\begin{equation}  A_{sl,1} = \dfrac{M_{Ed}} {\zeta_1 \cdot d \cdot f_{yd}}=\dfrac{m_{Ed} \cdot (bd f_{cd})}{\zeta_1 f_{yd}}\label {A_sl1} \end{equation}$$

Zbrojenie podwójne

W przypadku, gdy z kryterium $(\ref {l-u})$ wynika, że  nośność ściskanej strefy betonu jest za mała, należy zwiększyć wymiary przekroju lub w szczególnych, lokalnych  sytuacjach  można zastosować zbrojenie podwójne  ( zbrojenie w strefie ściskanej $A_{su}$ .

Teoretyczna procedura wyznaczenia zbrojenia $A_{su}$ polega na takim zaprojektowaniu zbrojenia ściskanego , by przeniosło one nadwyżkę momentu zginającego  $\Delta m$

$$\begin{equation}  \Delta m= m_{Ed}-m_u \label {Dm} \end{equation}$$

Warunek równowagi momentów względem osi zbrojenia rozciąganego, ale z udziałem siły $F_{su}$ zapisujemy w postaci: $M_{Ed}= F_c \cdot z+F_{su} \cdot (d-a_u)$, i po unormowaniu otrzymujemy

$$\begin{equation}   A_{su,2}= \dfrac { \Delta m  \cdot (b d f_{cd}) } {(1-a_u/d) f_{yd}} \label {A_su2} \end{equation}$$

W celu zachowania równowagi sił poziomych  przekrój $A_{sl,1}$  $(\ref{A_sl1})$ należy zwiększyć o zbrojenie ściskane:

$$\begin{equation} A_{sl,2}= A_{sl,1}+A_{su,2} \label {A_sl2} \end{equation}$$

Uwagi krytyczne o klasycznej technice projektowania przekrojów zginanych

Klasyczna technika projektowania przekrojów zginanych nie uwzględnia się relacji odkształceń w betonie i stali, oraz prawa fizycznego, betonu i stali.

W każdym rzeczywistym przypadku zbrojenia żelbetowego przekroju zginanego metodami klasycznymi – nie są nawet spełnione podstawowe warunki równowagi sił., również z tego względu , że każdy przekrój żelbetowy jest w rzeczywistości, a nie uwzględnia się sił przenoszonych przez to zbrojenie, zakładając że ono nie występuje.

W rezultacie nie są spełnione równania $(\ref{R1_1})$, co oznacza, że wyznaczone rozwiązanie jest nie tylko nierzeczywiste, ale nawet nie jest statycznie dopuszczalne.

W celu wyznaczenia rozwiązania spełniającego warunki równowagi oraz warunki fizyczne, należy przeprowadzić analizę pokazaną niżej dla zginania z udziałem siły osiowej.

Postawienie zagadnienia  zginania i ściskania belki żelbetowej

Zagadnienie żelbetu  polega na poszukiwaniu  pięciu niewiadomych:  wysokości strefy ściskanej $x$, pola zbrojenia dolnego ${A}_{sl}$,  górnego$A_{su}$, a także naprężeń w stali $\sigma_{sl}$, $\sigma_{su}$.

Do dyspozycji mamy tylko dwa warunki równowagi sił:  $\Sigma X=0 \, ; \Sigma M_i =0$  względem osi  $i = O$, $l$ lub $u$= (oś przekroju betonowego, oś dolnego zbrojenia, oś górnego zbrojenia)”. Wybór osi jest dowolny, ale tylko jeden z warunków ΣM jest niezależny.

Trzeci warunek jest określony przez prawo fizyczne betonu $(\ref{Hook_c})$, a czwarty i piąty przez prawo fizyczne $(\ref{Hook_s})$dla zbrojenia rozciąganego (l)  i ściskanego (u), określone formułami analogicznymi do klasycznych równań Hooka, ale opisującymi związki nieliniowe poprzez  przyjęcie nieliniowych modułów sprężystości.

Dodatkowy warunkiem rozwiązania jest prawo płaskich przekrojów Bernoulliego, które jest w istocie wnioskiem z rozwiązania zagadnienia brzegowego czystego zginania,  a wynika  z pola przemieszczeń określonych przez równania geometryczne Cauchego  na podstawie odkształceń związanych z naprężeniami równania fizycznymi Hooke’a (Piechnik, 1980, 148).

Ponadto ograniczane są maksymalne odkształcenia betonu do wartości granicznej $\varepsilon_u$=3,5‰ dla BZ i do wartości podanych w tab. 1 dla BWW.

Rozwiązanie zagadnienia polega na zestawieniu wskazanych wyżej zależności i rozwiązaniu utworzonego układu równań. Układ równań rządzący zagadnieniem jest w ogólności nieliniowy i w zasadzie nie da się  sformułować prostego rozwiązania analitycznego w „kwadraturach”. Znane rozwiązania (np (Knauff, Golubińska, Kryziak, 2014)(Starosolski, 2013)) są dość skomplikowane, wielowątkowe i wprowadzają niepotrzebne definiowanie różnych przypadków projektowych. Rozwiązania numeryczne najefektywniej jest uzyskać z zastosowaniem powszechnie dostępnych arkuszy kalkulacyjnych, a jeden algorytm obejmuje wszystkie przypadki projektowe wraz z zadaniami optymalizacji.

Równania równowagi przekroju

Na rys. 14 i 15 pokazano siły działające w przekroju z przyjętą konwencją znakowania sił zewnętrznych:  zewnętrzny moment  zginający $M_{Ed}$ jest dodatni jeśli rozciąga dolne włókna przekroju, zewnętrzna siła osiowa$N_{Ed}$ jest dodatnia, jeśli ściska przekrój. Założono też dodatnie zwroty sił wewnętrznych: siły  $F_c$ i $F_{su}$ są ściskające, siła $F_{sl}$ jest rozciągająca. Jeśli z rozwiązania zadania uzyskamy znaki ujemne, to będzie oznaczało, że w danej sytuacji obliczeniowej siła działa przeciwnie do założonego zwrotu.

W celu skrócenia zapisu wprowadzamy parametry zwane użytecznymi wysokościami przekroju i $d_i$, które zależnie od osi do której są odmierzane, wynoszą:

$$\begin{equation} d_i = \begin {cases}
h/2,  & (i=O)\\
h – a_l,  & (i=l) \\
a_u,  & (i=u)\\
h – a_l – a_u, & (i=lu)
\end {cases} \label {d_i} \end{equation}$$

Równania równowagi przekroju odczytane bezpośrednio z rys. 14 można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} \begin {cases}
\Sigma X=0 \to  N_{Ed} – F_c – F_{su}  + F_{sl}=0\\
\Sigma M_0=0 \to  M_{Ed} – M_{c,0} – F_{su} \cdot (d_0 – a_u) – F_{sl} \cdot (d_0 – a_l)=0
\end {cases} \label {R2}\end{equation}$$

Ponieważ spełnione powinny być oba warunki  $(\ref {R2})$ jednocześnie, więc złożenie (suma) obu warunków powinna być stateczna. Po przemnożeniu pierwszego równania obustronnie przez $- d_0$ i dodaniu obu równań skonsolidowany warunek równowagi przyjmuje postać:

$$\begin{equation} R=(M_{Ed} – M_{c,0}) – (N_{Ed}+2F_{sl} – F_c)\cdot d_0 + (F_{sl} \cdot  a_l+ F_{su} \cdot  a_u) = 0 \label {R1_1} \end{equation}$$

Po przekształceniach skonsolidowany warunek równowagi  żelbetu możemy zapisać w postaci przydatnej do wyznaczania sumy zbrojenia przekroju:

$$\begin {equation} R_1= (F_{sl} +F_{su})=\dfrac {2 (M_{Ed}-M_{c,0})} {d_s}+ (N_{Ed}-F_c) \label {R1_2} \end {equation}$$

Porównanie metody nieliniowej CN i uproszczonej CU

W równaniu równowagi $R$ $(\ref{R1_1})$ występuje  wypadkowa bryły naprężeń w betonie $F_c$ oraz moment tej bryły $M_{c,0}$ liczony względem osi y-y przekroju betonowego, które są funkcją wysokości strefy ściskanej $x$. W przypadku rozpatrywanego w tym artykule przeważającego zginania (rys.18c)  wysokość strefy ściskanej  $x\le h$. W takim przypadku  wypadkowa i moment bryły naprężeń w betonie wynosi:

  • dla modelu CU  (uproszczonego – prostokątnego)

$$\begin{eqnarray}
F_c=\eta f_{cd} b \lambda x \\
M_{c,0}= F_c (d_0 – \lambda x /2)
\label {F_U}\end{eqnarray}$$

  • dla modelu CN (nieliniowego – parabolicznego)

$$\begin{eqnarray}
F_c=\dfrac {17}{21} \cdot b \cdot x \cdot f_{cd} \\
M_{c,0}=F_c  (d_0- \dfrac {693} {1666} x)
\label {F_N}\end{eqnarray}$$

Siły $F_c$ oraz $M_{c,0}$ dla modelu nieliniowego uzyskano poprzez symboliczne całkowanie rozkładu $(\ref{s_cz})$.

Dla znanych sił przekrojowych  $M_{Ed}$ oraz $N_{Ed}$ oraz siły w zbrojeniu dolnym $F_{sl}$ oraz górnym $F_{su}$ skonsolidowany warunek równowagi $(\ref{R1_1})$ staje się kwadratowym równaniem  $R(x)=0$, które nazwiemy podstawowym równaniem żelbetu i które ma tylko jeden pierwiastek dodatni, co jest zgodne z naturą ($x>0$);. Pierwiastek ten można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} x= \alpha_M  \cdot  \sqrt{ \dfrac{ (N_{Ed}+2 F_{sl})\cdot d_0 -M_{Ed}-a_l F_{sl} -a_u F_{su}} {b f_{cd}}} \label {XR}\end{equation}$$

Współczynnik $\alpha_M$ zależy od modelu betonu:

$$\begin{equation}  \alpha_M= \begin {cases}
\dfrac{\sqrt{2/\eta}}{\lambda} &  \text {dla modelu U} \\
\sqrt{\dfrac{98}{33}}= 1,723 & \text {dla modelu N}
\end {cases} \label{a_M}  \end{equation}$$

Dla modelu uproszczonego U wyniki są mniej dokładne. Przedstawiamy je wyłącznie w celach porównawczych. Dla BZ w modelu uproszczonym CU $\alpha_M=\sqrt{2/1} /0,8 = 1,768$, czyli różni się o $1,768/1,723-1= 2,6$ % od współczynnika $\alpha_M$ w modelu nieliniowym CN. Wynika stąd, że korzystanie z obu modeli jest w praktyce równoważne, ale model CN jest uniwersalny, bo dotyczy wszystkich betonów (również wysokiej wytrzymałości), co upraszcza algorytmy numeryczne oraz interpretację wyników.

W dalszym ciągu stosujemy wyłącznie model nieliniowy CN.  Zadanie żelbetu jest sprzężone, to znaczy siły w zbrojeniu  dolnym $F_{sl}$ oraz górnym $F_{su}$  zależą od wysokości strefy ściskanej $x$. Do wyznaczania  $x$ nie wykorzystujemy więc wprost  równania $(\ref{XR})$ , ale poszukujemy punktu stabilności $R=0$ warunku  $(\ref {R1_1})$. w zadaniu nieliniowym, gdzie do wyznaczenia odkształceń zbrojenia stosowna jest zasada płaskich przekrojów $\ref{Proporcje}$) anaprężenia w stali i betonie wyznacza się z prawa fizycznego  $(\ref{Hook_s})$.

Nośność przekroju

Z równań  $(\ref{R2})$  bezpośrednio wyznaczamy nośność przekroju mierzoną siłami przekrojowymi: czystym momentem zginającym $M_{Rd}$ oraz czystą siła osiową $N_{Ed}$:

$$\begin{equation} \begin {cases}
M_{Rd} = M_{c,0} + F_{su} \cdot (d_0 – a_u) + F_{sl} \cdot (d_0 – a_l) \\
N_{Rd} = F_c + F_{su}  – F_{sl}
\end {cases} \label {Nosnosc}\end{equation}$$

W przypadku współdziałania obu sił nośność przekroju jest redukowana ze względu na interakcję obu składowych sił.

Równania interakcji $(\ref{Interakcja})$ jest oszacowaniem interakcji dla przypadku ukośnego zginania ze ściskaniem. W przypadku jednokierunkowego zginania ze ściskaniem należy skonstruować dokładniejsze zależności interakcji, na przykład w sposób pokazany na rys. 16.

Rys.16. Konstrukcja krzywej interakcji przekroju zginanego i ściskanego

(opracowano  na podstawie (Wight, MacGregor, 2012, Fig.11-13) )

W obliczeniach praktycznych zwykle przyjmuje się (Wight, MacGregor, 2012, (11-16)), że obie składowe nośności zmniejszane są tym samym współczynnikiem redukcyjnym $k_{M-N}$:

$$\begin{equation} F_{Rd,M-N}= k_{M-N} \left \{ M_{Rd} \, ; \, N_{Rd} \right \} \label{F_M-N} \end{equation}$$

Współczynniki interakcji $k_{M-N}$ można przyjąć analogicznie do zaleceń normy amerykańskiej w zależności od obszaru interakcji, określonej na podstawie odkształcenia zbrojenia dolnego (rozciąganego) $\varepsilon_{sl}$ (American Standard Institute, 2002):

$$\begin{equation} k_{M-N} = \begin {cases}
0,65, &  \text {dla }  \varepsilon_{sl}\le \varepsilon_{sy} \\
0,65+ (\varepsilon_{sl}-\varepsilon_{sy}) 0,29 / \varepsilon_{cu}, & \text {dla } \varepsilon_{sy} < \varepsilon_{sl} < \varepsilon_{su} \\
0,90,  & \text {dla }  \varepsilon_{sl} \ge \varepsilon_{su}
\end {cases} \label{k_M-N}  \end{equation}$$

gdzie:
$\varepsilon_{sy}=E_s / f_{yk}$ – odkształcenie plastyczne stali,
$\varepsilon_{su}$ – odkształcenie graniczne stali (odpowiadające granicy wytrzymałości),
$\varepsilon_{cu}$=3,5% – odkształcenie graniczne betonu

W załączonym  arkuszu kalkulacyjnym interakcja momentu zginającego oraz siły osiowej jest uwzględniana dokładnie bez potrzeby stosowania formuł $(\ref{F_M-N})$ oraz $(\ref{k_M-N})$.

Prawo fizyczne betonu

Prawo fizyczne betonu wiąże odkształcenia w betonie $\varepsilon_c$ z naprężeniami $\sigma_c$ i jest zapisywane w postaci analogicznej do wzoru Hooka:

$$\begin{equation}\sigma_c=E_c \cdot \varepsilon_c \label{Hook_c}\end{equation}$$

przy czym moduł odkształcalności  betonu Ecc, t) jest w ogólności nieliniową funkcją odkształceń betonu oraz czasu $t$ i zmniejsza się istotnie wraz ze wzrostem pełzania betonu (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, Rys.3.2.), a prawo $(\ref{Hook_c})$ jest w istocie nieliniowe.

Obliczeniowy moduł odkształcalności betonu jest modułem siecznym i jest minimalny  dla włókna skrajnego (tam, gdzie odkształcenie εccu2 lub \varepsilon_{cu3}). Nazwiemy go modułem granicznym:

$$\begin{equation}E_{cu}=f_{cd}/\varepsilon_{cu2} \label{E_cu}\end{equation}$$

Na przykład dla betonu C30/37  graniczny moduł odkształcalności wynosi Ecu=(30/1,4)/3,5‰=6,1 GPa. Dla porównania: średni moduł styczny dla  betonu C30/37 wynosi Ecm=32 GPa, a moduł długotrwały (z uwzględnieniem pełzania) Ec,eff=Ecm/[1+φ(∞,t0)]≈Ecm/(1+2)=32/3=10,7 MPa. Pomiędzy modułami betonu Ecu, Ecm  oraz Ec,eff  w istocie nie ma związku z punktu widzenia rozpatrywanego zagadnienia.

Jak już wspomniano wcześniej w mechanice prętów żelbetowych model $(\ref{Hook_c})$ można przyjąć w równoważnej, niezależnej od czasu postaci (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008) przedstawionej   na rys. 14 (model nieliniowy) lub rys 15 (model uproszczony).

Prawo fizyczne stali zbrojeniowej

Prawo fizyczne dla zbrojenia górnego i dolnego (*=u,l):

$$\begin{equation}\sigma_{s,*}=E_s \cdot \varepsilon_{s*} \label{Hook_s}\end{equation}$$

gdzie moduł Younga w zakresie sprężystym i w temperaturach $30^o C \le t \le 100^o C$ przyjmuje się $E_s=200 GPa$,
a po przekroczeniu przez naprężenia granicy plastyczności $f_yd$, czyli przy odkształceniu większym  $\varepsilon_{yd}=f_{yd} / E_s$  moduł odkształcalności jest modułem stycznym, zależnym od modelu stali. Dla najczęściej stosowanego modelu idealnie sprężysto-plastycznego (Prandtla) moduł styczny stali wynosi $E_s=f_yd/ \sigma_s$, gdzie $\sigma_s$ jest aktualnym naprężeniem w stali.

Stal zbrojeniowa może mieć  klasę  plastyczną stali ( A- mała ciągliwość , B – średnia ciągliwość . C – duża ciągliwość ), a zaleca się  stosować stal klasy B lub C.
Podział stali dokonuje się ze względu wartość:
współczynnika $k=f_t/f_y$ (= granica wytrzymałości w próbie rozciągania /granica plastyczności),
graniczne odkształcenia charakterystyczne $\varepsilon_{ul}$ , obserwowane przy zerwaniu próbki (przy naprężeniach $f_t$):

$$\begin{equation} \varepsilon_{uk} (f_{tk}) \in \begin {cases}
[2,5 \, ; 5) \% , & \text{dla stali klasy A}\\
[5\, ; 7,5) \% , & \text{dla stali klasy B}\\
[7,5 \% , & \text{dla stali klasy C}
\end {cases} \label {e_uk} \end{equation}$$

$$\begin{equation} k=f_t/f_y  \begin {cases}
\ge 1,05 \% , & \text{dla stali klasy A}\\
\ge  1,08 \% , & \text{dla stali klasy B}\\
>1,15 \% ,\le 1,35 \% & \text{dla stali klasy C}
\end {cases} \label {k}\end{equation}$$

W tab. 2 zestawiono najczęściej stosowane stale zbrojeniowe.

Na rys. 17 pokazano modele stali przyjmowane w analizie żelbetu. Powszechnie stosuje się model idealnie sprężysto-plastyczny (model Prandtla), a w dokładniejszych analizach model ze wzmocnieniem liniowym. Mimo tego , że współczynnik k jest niewielki dla stosowanych stali zbrojeniowych, to w modelu stali ze wzmocnieniem można uzyskać nośności nawet o 10% wyższe niż dla modelu Prandtla.

W modelu ze wzmocnieniem liniowym naprężenia w zbrojeniu wyznacza się z zależności:

$$\begin{equation} \sigma_s = \begin {cases}
E_s\cdot \varepsilon_s , & \text {dla  $\varepsilon_s \le \varepsilon_{yd}$} \\
f_{yd} \cdot [ 1+k_w \cdot ( \varepsilon_s-\varepsilon_{yd})] , & \text { dla $ \varepsilon_{yd} <\varepsilon_s \le \varepsilon_{ud}$ } \\
f_{ud}=f_{uk}/1,15 , & \text{ dla $\varepsilon_s > \varepsilon_{ud}$}
\end {cases} \label {Ss}\end{equation}$$

gdzie $\varepsilon_{yd}$ oraz $k_w$ zestawiono w tab. 2 . Graniczne obliczeniowe odkształcenie stali $\varepsilon_{ud}=0,9\cdot\varepsilon_{uk}$, przyjęto jako wartość graniczną, wynikającą z   definicji rodzajów stali $(\ref{e_uk})$.

Rys. 17 Modele stali zbrojeniowej

Zasada płaskich przekrojów

 Odkształcenia podlegają  zasadzie płaskich przekroi Bernoulliego , wyrażonej formułami  ($\ref{Proporcje}$) wynikającymi z  rys. 14:

$$\begin {equation} \dfrac{\varepsilon_{sl}}{d_l-x}= \dfrac{\varepsilon_{su}}{x – d_u}=\dfrac{\varepsilon_{cu}}{x} \label {Proporcje} \end {equation}$$

gdzie: $\varepsilon_{cu}=$3,5‰  =$\varepsilon_{cu3}$ dla modelu prostokątnego i $\varepsilon_{cu2}$ dla modelu CN.

Z zależność $(\ref{Proporcje})$ można uzyskać jawną postać odkształcenia zbrojenia górnego (u) i dolnego (l):

$$\begin {equation} \varepsilon_{sl}=\varepsilon_{cu} \cdot (d_l /x-1) \qquad \varepsilon_{su}=\varepsilon_{cu} \cdot (1 – d_u/x) \label {eslu} \end {equation}$$

Z $(\ref{eslu})$ wynika, że zależnie od relacji wysokości strefy ściskanej $x$ oraz wysokości użytecznych zbrojenia zachodzą następujące przypadki wytrzymałościowe:

TT (ang. Tension) $x=0$ – przypadek dla którego odkształcenia w stali są nieokreślone. Odpowiada to jednorodnemu rozciąganiu przekroju, w którym w całym przekroju (w betonie i stali) mamy odkształcenia rozciągające, a przekrój podlega analizie prętów zespolonych . Takim przypadkiem nie zajmujemy się w niniejszym artykule – jest on przedmiotem artykułu Konstrukcje zespolone stalowo-betonowe.

CC (ang. Compresion-Compresion) $  x > d_u \,  x \le d_l \to $  $\varepsilon_{su} > 0$,  $\varepsilon_{sl} > 0$, oba zbrojenia są ściskane – jest to przypadek małego mimośrodu.

CT (ang. Compresion-Tension) $  x > d_l  \to $\varepsilon_{su} > 0$,  $\varepsilon_{sl} < 0$, czyli zbrojenie górne jest ściskane, a zbrojenie dolne rozciągane  – jest to przypadek dużego mimośrodu, obejmujący również klasyczne zginanie belek.

Do przypadku CT zaliczymy też  $ x \le d_u  \to$  $\varepsilon_{su}\le 0$,  $\varepsilon_{sl} > 0$, dla którego  zbrojenie górne jest rozciągane, a dolne ściskane. Wystarczy analizować przekrój odwrócony o 900 .

Uogólnienie granicznej wysokości strefy ściskanej

W przypadku pręta obciążonego w przeważającym stopniu ściskaniem z towarzyszącym zginaniem rozkład odkształceń po wysokości przekroju może przyjmować  rozkłady pokazane na rys. 17.

Rys. 18 Rozkład odkształceń na wysokości przekroju: a) ściskanego czysto, b) przeważająco ściskanego, c) przeważająco zginanego, d) ogólna zależność. Odkształcenia  εc= 2‰  dla modelu CN  i 1,75‰ – dla modelu CU.

Rozkład odkształceń, pokazany na rys. 14 odpowiada przypadkowi $x\le h$ z rys. 18c. W przypadku czystego ściskania (rys. 18a)  maksymalne odkształcenia ściskające w betonie BZ wynoszą  $\varepsilon_c=2$‰ dla modelu CN  i 1,75‰ dla CU. W przypadku przeważającego ściskania (rys.18b) $x>h$ odkształcenia w betonie na górnej  krawędzi przekroju wyniosą $ min \varepsilon_c = \dfrac{\varepsilon_c}{1-h/(2x)}

Graniczna wysokość strefy ściskanej, określona w pkt. 3.2. dla przypadku rys. 18c) nie dotyczy przypadku a) i b).

Ponieważ graniczna wysokość strefy ściskanej ma zabezpieczyć przed kruchym pękaniem betonu, więc należy ją skojarzyć  z gradientem (szybkością spadku odkształceń po wysokości

$$\begin{equation} \nabla xi_u= \dfrac{ \Delta \varepsilon }{  \Delta \xi_u}  \begin {cases}
(0,0035-0)/ 0,368  = 9,5 \text{‰},  & \text {dla BZ } \\
(0,0035-0)/ 0,32  = 10,9 \text{‰}, & \text {dla BWW}
\end {cases} \label{nabla_u0,9}  \end{equation}$$

gdzie przyrost $ \Delta \xi_u$ przyjęto za $(\ref{xi_u0,9})$.

W obu przypadkach czystego i przeważającego ściskania wartości $\nabla \xi_u$ nie ostaną przekroczone, więc w tych przypadkach nie formułuje się warunku na graniczną wysokość strefy ściskanej. To samo dotyczy przeważającego rozciągania.

Dwukierunkowe zginanie My-Mz z udziałem N

Powierzchnia interakcji My-Mz-N

W przypadku dwukierunkowego (ukośnego) zginania najprościej zastosować krzywe interakcji, można zapisać w postaci (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, (5.6.3)):

$$\begin {equation} \left( \dfrac{M_{Edz}}{M_{Rdz}}\right)^a + \left( \dfrac{M_{Edy}}{M_{Rdy}}\right)^a \le 1 \label {Interakcja} \end {equation}$$

gdzie:
$M_{Edz}, M_{Edy}$- momenty zginające przekrój w dwóch kierunkach,
$M_{Rdz}, M_{Rdy}$- nośności przekrojów, wyznaczone zgodnie $(\ref{Nosnosc})$

Powierzchnię interakcji, opisaną zależnością $(\ref{Interakcja})$ pokazano na rys. 19.

Rys.19 Krzywe interakcji My-Mz-N

Wykładnik potęgi zależy od kształtu przekroju oraz wielkości siły osiowej  $N_Ed$.

Dla przekroju kołowego lub eliptycznego $a=2,0$

Dla przekroju prostokątnego wykładnik potęgi można przyjmować zgodnie z  tab.7

Tab. 7 Wykładnik krzywej interakcji My-Mz dla przekroju prostokątnego

Stosowanie krzywej interakcji $(\ref{Interakcja})$ jest wystarczające do zastosowań praktycznych, co zostało potwierdzono wieloma badaniami eksperymentalnymi i numerycznymi, a dramatycznie upraszcza obliczenia projektowe.

Formułę $(\ref{Interakcja})$ zaproponował (Bresler, 1960), który wskazał, że a=1,15 do 1,5.  W przypadku przekrojów kwadratowych proponuje się a=1,5 do 2,0. W komercyjnym programie STAAD stosuje się a=1,24 dla wszystkich kształtów przekroju, co daje wyniki bezpieczne.

Algorytm rozwiązania zagadnienia dwukierunkowego zginania ze ściskaniem

W przypadku dwukierunkowego zginania przekroju momentami $M_{Ed,y}$ oraz $M_{Ed,z} z udziałem siły osiowej $N_Ed$ zmodyfikujemy skonsolidowane równanie równowagi $(\ref {R1_1})$.

Algorytm rozwiązania jest taki sam dla  każdego przekroju zginanego i ściskanego  w belce lub słupie i sprowadza się do iteracyjnego rozwiązania nieliniowego układu równań, przedstawionego w poprzednich punktach.

W arkuszu kalkulacyjnym wyznaczana jest nośności przekroju o znanych wymiarach, i cechach wytrzymałościowych,  i dla ustalonej konfiguracji obciążenia F, a projektant wspomagając się tymi wynikami przeprowadza proces projektowy, tak aby ukształtować przekrój optymalny z punktu widzenia ograniczeń .

Rozwiązaniem problemu  jest  nośność przekroju określona parametrem $\Lambda$ , który jest mnożnikiem obciążenia do ustalonej konfiguracji, odniesienia $F_0=[M_0,N_0]$:

$$\begin{equation} \Lambda_R = (F_R= [M_R,N_R)]/(F_0=[M_0, N_0]) \label{Lambda}\end{equation}$$

Zastosowanie oprogramowania do rozwiązania zagadnienia zginania żelbetu z udziałem siły osiowej

Zadanie zginania żelbetu z udziałem siły osiowej w dobie informatyzacji powinno być rozwiązywane z wykorzystaniem oprogramowania w miejsce tradycyjnego stosowani tablic. Zadanie jest żmudne rachunkowo, ale bardzo proste  numerycznie i z powodzeniem może być rozwiązane z użyciem arkuszy kalkulacyjnych.

Arkusz kalkulacyjny do wymiarowania prostokątnych przekrojów zginanych z uwzględnieniem materiałowej nieliniowości betonu oraz stali opublikowano  w artykule (Chodor, 2017) Krzywe interakcji M-N żelbetu” , a ulepszony jest opublikowany w niniejszym artykule. Współczesne programy komputerowe, , a w tym DLUBAL (moduł Concrete), Sofistik, Revit v. 2018, Consteel v.12 i inne. mają wdrożone procedury wymiarowania żelbetu.

Przekroje teowe

Efektywna szerokość półek przekrojów teowych

Belki (podciągi i żebra) w stropie płytowo-belkowym (rys. 4) rozpatruje się jako teowe z górną półką utworzoną przez współpracującą szerokość płyty.

Szerokość współpracująca płyty zależy od efektywnej długości przęsła $L_0$ ,która jest odległością pomiędzy punktami zerowymi momentu zginającego. W najczęściej spotykanych przypadkach długość $L_0$ można przyjmować zgodnie z rys. 20.

Rys. 21. Długości efektywne przęseł belek

(Gąćkowski, 2013, rys.3.3)

Szerokość współpracującej płyty z belką o szerokości $b_{w,i}$  oraz połowie odległości w świetle z sąsiednim żebrem $b_i$ wynosi (rys. 22):

$$\begin{equation} b_{eff,i} = 0,2b_i+0,1L_{0,i} ≤ 0,2L_{0,i} \, oraz ≤ b_i \label {b_eff,i} \end{equation}$$

Szerokośc półki przekroju zastępczego przekroju teowego, złożonego z żebra środkowego i półki wynosi:

$$\begin{equation} b_{eff}= b_w+b_{eff,1}+b_{eff,2}  \label{b_eff}\end{equation}$$

Rys 22. Szerokość współpracująca przekroju teowego

Dla żeber skrajnych szerokość efektywna żebra wyznacza się zgodnie z rys, 22.

Ścinanie przekrojów żelbetowych

Przekroje betonowe w odróżnieniu od stalowych są bardzo wrażliwe na ścinanie, które jest nieodłącznie związane ze zginaniem.

Zbrojenie na ścinanie wykonuje się w formie zamkniętych strzemion. Rzadziej stosuje się również pręty odgięte zbrojenia podłużnego.

Nośność przekroju nie zbrojonego na ścinanie

Nośność na ścinanie elementu betonowego $V_{Rd}$ ogólnie o zbieżnym przekroju oblicza się jako sumę (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, wzór (6.1)):

$$\begin{equation} V_{Rd} = V_{Rd,c} +V_{ccd}+V_{td} \label{V_Rd} \end{equation}$$

gdzie (rys. 23) :
$V_{Rd,c}$ – nośność elementu bez zbrojenia na ścinanie (ale ze zbrojeniem podłużnym na zginanie),
$V_{ccd}$ –  obliczeniowa składowa siła  w w nachylonym pasie ściskanym (górnym),
$V_{td}$ – obliczeniowa siła w nachylonym zbrojeniu rozciąganym (dolnym)

Rys.23 Składowe siły poprzecznej w przekroju zbieżnym

(PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, rys.6.2)

W tych miejscach elementu, w których obliczeniowa siła poprzeczna wywołana obciążeniami zewnętrznymi $V_{Ed} spełnia warunek

$$\begin{equation} V_{Ed} \le V_{Rd}  \label{N_Rd} \end{equation}$$

zbrojenie na ścinanie nie jest wymagane, ale w takim przypadku w belkach należy zastosować zbrojenie minimalne na ścinanie, to znaczy zbrojenie podłużne należy wiązać strzemionami o maksymalnym rozstawie $s_{t,max}$ (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, wzór (9.8N)):

$$\begin{equation} s_{t,max} =0,75 \cdot d  \le 600 \, mm  \label{s_tmax} \end{equation}$$

o polu przekroju poprzecznego spełniającym warunek  stopnia zbrojenia (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, wzór (9.5N)):

$$\begin{equation} \rho_{w,min} =0,08 \cdot  \sqrt{f_{ck}} /f_{yk} \label{r_wmin} \end{equation}$$

Minimalne zbrojenie na ścinanie nie jest wymagane w płytach (pełnych, z żebrami lub kanałami), w których możliwa  jest poprzeczna redystrybucja obciążeń. lub mniej ważnych belkach (np nadproża o rozpietości mniejszej niż 2 m) , które nie wpływają w istotny sposób na ogólną nośność i stateczność konstrukcji.

Nośność przekroju nie zbrojonego na ścinanie $V_{Rd,c}$ można wyznaczyć  z zależności 

$$\begin{equation} V_{Rd,c}=max  \left [ (C_{Rd,c} \cdot k \cdot (100  \rho_l f_{ck})^{1/3}+k_1 \sigma_{cp}) \, ; \, (\nu_{min} +k_1 \sigma_{cp}) \right] \cdot b_w \cdot d \label{VRdc} \end{equation}$$

gdzie obliczeniowy współczynnik korelacji pomiędzy wytrzymałością na ścinanie i  ściskanie wynosi:  $C_{Rd,c}=C_{Rk,c}/\gamma_c = 0,18/1,4=0,129$

We wzorze ($\ref{VRdc}$) występują ponadto współczynniki:

$k=1+\sqrt{200/d} \le 2,0$, gdzie d- wysokość użyteczna przekroju w mm,

$\nu_{min}= 0,035 \cdot k^{3/2} \cdot {f_{ck}}^{1/2}$,

$k_1=0,15 \cdot \nu_{min}$,

$\sigma_{cp}=\dfrac{N_{Ed}}{A_c} \le 0,2 f_{cd}$ ($A_c$ jest pole przekroju betonu)

Stopień zbrojenia na zginanie (i ew. rozciąganie) $\rho_l=\dfrac{A_{sl}}{b_w d}\le 0,02$,  wyznacza się z pola przekroju zbrojenia rozciąganego $A_{sl}$ , które sięga na odległość nie mniejszą niż  $l_{bd}+d$ poza rozważany przekrój, gdzie $l_{bd}$ jest wymagana długością zakotwienia rozciąganego pręta zbrojeniowego. Warunek uwzględnienia zbrojenia podłużnego do stopnia zbrojenia jest klasyczny jak dla zbrojenia na zginanie i został zilustrowany na rys. 24 na przykładzie belki lub płyty zginanej.

Rys. 24. Określenie pola przekroju zbrojenia As do wyznaczenia stopnia zbrojenia przekroju na zginanie. lbd – wymagana długość zakotwienia pręta

(PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, rys 6.3)

W przypadku różnych stopni zbrojenia w dwóch prostopadłych kierunkach wyznacza się średnią geometryczną

$$\begin{equation}\rho_l=\sqrt{\rho_{ly}\cdot \rho_{lz}} \label {rol} \end{equation}$$

Nośność  przekroju ze zbrojeniem na ścinanie

Nośność przekroju zbrojonego na ścinanie, wynosi :

$$\begin{equation}V_{Rd,s} = \min \left [ \dfrac {A_{sw}}{s}  f_{ywd} \sin\alpha  \, ; \, \alpha_{cw} b_w  \nu_1 f_{cd} \right ] \cdot z \cdot (ctg \Theta+ ctg \alpha)  \label{V_Rds} \end{equation}$$

gdzie:
$\alpha$ – kąt nachylenia zbrojenia na ścinanie (krzyżulców lub prętów ukośnych) do osi belki- dodatni przy pochyleniu zbrojenia w lewo (lewoskrętny)
$\Theta$ – kąt nachylenia do osi belki ściskanego krzyżulca betonowego równoważącego się w zbrojeniu na ścinanie , czyli pochylonego w prawo,
$z$ ramię sił podłużnych: ściskających $F_{cd}$ oraz rozciągających $F_{td}$ w przekroju, które zwykle w przekrojach bez działania siły osiowej, przyjmuje się $z=0,9d$.

Przyjmuje się, że graniczne wartości kata $\Theta$ wynoszą:

$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta \le 2,5 \label{Teta} \end{equation}$$

czyli  $21,8^o \le \Theta \le 45|^o$.

Na rys. 25 zilustrowano powyżej zdefiniowane pojęcia.

Rys. 25. Kratownica ścinania belki żelbetowej

Najczęściej przyjmuje się $\alpha=\Theta=45^o$. równe nachyleniu naprężeń głównych w belce zginanej i ścinanej bez udziału siły osiowej. Taki kąt jest najskuteczniejszy dla zbrojenia ukośnego, ale ze względów technologicznych strzemiona najczęściej daje się pionowe, czyli  $\alpha=90^o$.

W przypadku szczególnym strzemion pionowych nośność przekroju wynosi

$$\begin{equation}V_{Rd,s} = \min \left [ \dfrac {A_{sw}}{s}  f_{ywd}  \, ; \, \alpha_{cw} b_w  \nu_1 f_{cd} / cos^2 \Theta \right ] \cdot z \cdot  ctg \Theta  \label{V_RdsP} \end{equation}$$

Wymiar $b_w$ jest szerokością strefy rozciąganej belki. Dla przekrojów teowych jest grubością środnika.

$A_{sw}$ jest polem przekroju zbrojenia na ścinanie.

Obliczeniowa wytrzymałość ścinanej zbrojenia  na rozciąganie $f_{ywd}=f_{yk}/\gamma_s=f_{yk}/1,15$.

Współczynnik  naprężeń dla pola ściskanego $\alpha_{cw}=1,0$.

Współczynnik redukcji naprężeń w betonie zarysowanym przy ścinaniu (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, wzór (6.6N)):

$$\begin{equation}  \nu_1= \label{ni_1}=0,6\cdot (1-\dfrac{f_{ck}}{250}) \end{equation}$$

Zarysowania belek

Graniczne (dopuszczalne) rozwarcie rys

Powstawanie rys w betonie jest podstawowym mechanizmem niszczenia betonu oraz czynnikiem, który wymusza stosowanie zbrojenia. Zarysowania powodują znaczne zmniejszenie sztywności betonu i ochrony  zbrojenia przed ekspozycją środowiska, ale również mogą być nieakceptowane wizualnie. Całkowite usunięcie rys w betonie jest praktycznie niemożliwe i każda rzeczywista konstrukcja betonowa jest porysowana rysami o rozwartości $w_k$ , które jednak są ograniczane do wielkości akceptowanej ze względu na ogólne wrażenie wzrokowe.

Szerokość rozwarcia rys $w_k$ jest ograniczana zgodnie z formułą:

$$\begin{equation} w_k \le w_{max}= \begin {cases}
0,4  \, mm, & \text {dla klasy ekspozycji XC0 i XC1 } \\
0,3 \, mm, & \text {dla XC2 do 4,  XD1 do 3 oraz XS1 do 3}
\end {cases} \label{w_max}  \end{equation}$$

Dla innych klas ekspozycji ( XF, XA) graniczne szerokości rys należy ustalać indywidualnie z warunku ochotny betonu i stali przed korozją i wymaganego okresu trwałości budowli i jej elementu konstrukcyjnego .

Moduł długotrwały i współczynnik pełzania

Istotnym czynnikiem wpływającym na zwiększanie szerokości rozwarcia rysy jest pełzanie betonu,  największe tuz po ułożeniu betonu i zmniejszające się wraz z upływem czasu. W celu uproszczenia analizy wprowadza się zastępczy (długotrwały, efektywny  moduł odkształcalności betonu E_{c,eff}, a analizę prowadzi się jak dla liniowo sprężystego betonu i stali, po zamianie modułu sprężystości $E_c$ przez $E_{c,eff}$. Moduł efektywny (zastępczy) zależy od współczynnika pełzania zgodnie z formułą zgodnie z (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, (5.28)):

$$\begin{equation}  E_{c,eff}= \dfrac{E_{cm}}{1+\varphi(\infty, t_0)}\label{E_eff}\end{equation}$$

w którym $\varphi(\infty, t_0)$  jest współczynnikiem pełzania, to znaczy stosunkiem odkształceń wywołanych pełzaniem do odkształceń sprężystych.. Odkształcenia pełzania kumuluje się w czasie od momentu obciążenia $t_0$ do  do $infty$.  Współczynnik pełzania zależy od szeregu czynników, a w tym wilgotności powietrza HR oraz wielkości elementu żelbetowego.

W tab 1 podano wartości porównawcze  $\varphi_0$ współczynnika pełzania dla wilgotności RH=50% , czasu $t_0= 28 \, dni$ oraz wymiaru efektywnego elementu $h_0=\dfrac{A_c}{u}250 \, mm$. $A_c$ jest polem przekroju betonu, $u$ – częścią obwodu belki wystawionej na bezpośrednie działanie atmosfery; dla belki z ułożoną płytą u=2h+b.

Średnia wilgotność powietrza zewnętrznego w regionie nadmorskim (wg PN-EN 12831:2006) wynosi 52%, a w pozostałych regionach 48%. Oczekiwana wilgotność w pomieszczeniach do pobytu ludzi wynosi 40-60%. Dlatego w tab.1 przyjęto RH=50%.  Dla innych niż  porównawcze $t_0=28 \, dni$ oraz $h_0=250 \, mm$  należy zastosować poprawki:

zgodnie z zależnością

$$\begin{equation}  \varphi(t_0 \, ; \, h_0)= \varphi_0 \cdot n_t \cdot n_h \label {Fi_t,h}\end{equation}$$

Dla przykładu dla belki 400×250  mm wykonanej z betonu C30/37 , obciążonej po 14 dniach, mamy: $n_h=(400\cdot 250)/(2*400+250)=120

Dla szczególnych warunków współczynnik pełzania należy obliczyć zgodnie z procedurą normową zotpressInText item=”{3D37SI87,kl. 3.1.4}”].

Mechanizm powstawania rysy

Na rys. 26 pokazano mechanizm powstawania rysy wskutek różnicy pomiędzy odkształceniem stali $\varepsilon_s$ oraz betonu $\varepsilon _c$ skoncentrowanym na odcinku po $s_0$ w obie strony od potencjalnego miejsca pojawienia się rysy.

Wynika stąd , że rozwartość rysy można oszacować ze wzoru

$$\begin{equation} w_k=s_{r,max} \cdot \varepsilon_{cr}  \label {w_k}\end{equation}$$

gdzie odkształcenia pękania $\varepsilon_{cr} są różnicą odkształceń stali i betonu przy której inicjuje się pękniecie:

$$\begin{equation}  \varepsilon _{cr}= \varepsilon _{sm}-\varepsilon _{cm} \label {e_cr}\end{equation}$$

Rys. 26 Mechanizm powstawania rysy

(opracowane na podstawie (MPA The Concrete Centre, 2017))

Rozstaw rys

Podstawą obliczenia jest wyznaczenie $s_{r.max}$, czyli maksymalnego rozstawu rys, który zależy od średnicy pręta i szeregu czynników zgodnie z empiryczną zależnością (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, (7.11)):

$$\begin{equation}  s_{r,max}=k_3 \cdot c +k_1 k_2 k_4 \dfrac{\Phi}{\rho_{p,eff}} \label {s_rmax}\end{equation}$$

w którym:

c- nominalne otulenie pręta podłużnego o średnicy $\Phi$,

$k_1, k_2,k_3, k_4$ – zestaw współczynników, przyjmowanych jak następuje:

$k_1$ jest współczynnikiem zależnym od przyczepności zbrojenia:
0,8 dla prętów o dobrej przyczepności
1,6 dla prętów o gładkiej powierzchni (np. pręty gładkie lub cięgna sprężające),

$k_2$  jest współczynnikiem zależnym od rozkładu odkształceń:
1,0 dla rozciągania
0,5 dla zginania
$ \dfrac { \varepsilon_1+\varepsilon_2 }{ 2 \varepsilon_1}$, gdzie $\varepsilon_1$ jest większym a $\varepsilon_2$ mniejszym z odkształceń na krawędziach rozważanego przekroju, obliczonych przy założeniu. że przekrój jest zarysowany .

$k_3$=3,4

$k_4$= 0,425

Poziom rozciągania przekroju  $\rho_{p,eff}=\dfrac {A_s}{A_{c,eff}}$,

gdzie $A_{c,eff}$ jest  efektywnym polem betonu rozciąganego otaczającego zbrojenie lub cięgno sprężające  Wysokość pola $h_{c,eff} w elementach zginanych wynosi:

$$\begin{equation}  h_{c,eff}= \min \{  h/2 \, ; \, (h-x)/3 \, ; \, 2,5 (c+\Phi/2) \} \label {l_ceff}\end{equation}$$

Wyrażenie $( \ref {s_rmax})$ dotyczy przypadków, gdy rozstaw osiowy zbrojenia nie przekracza $5 \cdot (c+\Phi/2).

Jeśli rozstaw jest większy, to

$$\begin{equation}  s_{r,max}= 1,3 \cdot (h-x_{II}) \label {s_rmax2}\end{equation}$$

Nadto w płycie – jeżeli kąt $\Theta$ nachylenia kierunków naprężeń głównych do zbrojenia ortogonalnego przekracza $15^0$, to

$$\begin{equation}  s_{r,max}=\dfrac{1 }{ \tfrac{ \cos \Theta}{s_{r,max,y}}+\tfrac{ \sin \Theta}{s_{r,max,z}} } \label {s_rmax3}\end{equation}$$

w którym $s_{r,max,y}$ oraz  $s_{r,max, z}$ są rozstawami rys  w dwóch ortogonalnych kierunkach płyty liczonymi wg wzorów $(\ref{s_rmax})$

Ogólna  metoda prognozy odkształceń betonu spękanego

Przedstawiona w tym punkcie metoda oszacowania odkształcenia pękania $(\ref{e_cr})$ bazuje na fundamentalnej zależności normowej (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, (7.18)):

$$\begin{equation}  \alpha= \zeta \alpha_{II}+(1-\zeta)\alpha_I  \label {alfa}\end{equation}$$

zalecanej do prognozy uogólnionych odkształceń $\alpha$ spękanego betonu, głównie elementów zginanych

Analizuje się odkształcenie betonu po przekroczeniu odkształcenia sprężystego $\alpha_I$ (po pojawieniu się pierwszej rysy), a osiągnięciem odkształcenia  w stanie w pełni zarysowanym $\alpha_{II}$. Formuła dotyczy odkształceń uogólnionych, więc również krzywizny $\psi$  oraz szerokości rozwarcia rys $w_k$, ale także przemieszczenie, obrót  itd.

Parametr $\zeta$ jest  nazywany współczynnikiem dystrybucji szacowanym z zależności:

$$\begin{equation}  \zeta= 1- \beta \dfrac{\sigma_{sr}}{\sigma_s} \label {zeta}\end{equation}$$

w którym:
$\beta=1$ dla obciążenia krótkotrwałego; $\beta=1/2$ dla obciążeń długotrwałych i wielokrotnie powtarzanych (prawie – stałych)
$\sigma_s$ jest naprężeniem w stali, oszacowanym przy założeniu pełnego zarysowania przekroju (braku betonu w strefie rozciąganej)
$\sigma_{sr}$ jest naprężeniem w stali w przekrojach niezarysowanych (pozostających w stanie sprężystym)

Przy zginaniu $\dfrac {\sigma_{sr}}{\sigma_s}$ można zastąpić przez $\dfrac{M_{cr}}{M_E}$, a przy czystym rozciąganiu przez $\dfrac{ N_{cr}}{N_E}$ , gdzie $M_{cr}$ i $N_{cr}$ oznacza odpowiednio rysujący moment i siłę osiową.

Odkształcenia uogólnione $(\ref{alfa})$ można szacować  dla  wytrzymałości betonu a rozciąganie$f_{ctm}$ i długotrwałego modułu sprężystości betonu $(\ref{E_eff})$.

Na rys. 27 zagadnienie zilustrowano na przykładzie prostej belki, przy czym zależność $\ref{alfa})$ przedstawiono po przekształceniach w postaci prostej do interpretacji geometrycznej:

$$\begin{equation}  \alpha=\alpha_I+ \zeta \Delta \alpha \label {alfaG}\end{equation}$$

gdzie $\Delta \alpha=\alpha_{II}-\alpha_I$

Rys.27 Wpływ zarysowania na uogólnione odkształcenia belki

(opracowane na podstawie (MPA The Concrete Centre, 2017))

Rozwartość rysy

Zastosowanie zależności ogólnej  $(\ref {alfaG})$ do szacowania odkształceń w stali i rozciąganym betonie prowadzi do zależności:

$\varepsilon_s=  \varepsilon_{sI}+\zeta \Delta \varepsilon_s$,

$\varepsilon_c=  \varepsilon_{cI}+\zeta \Delta \varepsilon_c$,

a po dojęciu obu równań  stronami mamy:

$$\begin{equation} (\varepsilon_s-\varepsilon_c)=\zeta (\Delta \varepsilon_s- \Delta \varepsilon_c)  \label {e_sc}\end{equation}$$

Po uwzględnieniu dwóch faktów

(a) beton w pełni zarysowany nie przenosi rozciągania, czyli $ \varepsilon_{cII}=0$,

(b) w I fazie występuje pełna  przyczepność stali do betonu, czyli $ \varepsilon_{sI}=\varepsilon_{cI}$.

Z $(\ref{e_sc})$ uzyskujemy:

$$\begin{equation} (\varepsilon_s-\varepsilon_c)=\zeta \varepsilon_{sII}=\zeta \dfrac{\sigma_s}{E_s}  \label {e_scOK}\end{equation}$$

Na podstawie formuły $(\ref{w_k})$  otrzymujemy stąd wyrażenie na rozwartość rysy w postaci

$$\begin{equation} w_k=s_{r,max} \cdot \zeta \dfrac{\sigma_s}{E_s}   \label {w_kOK}\end{equation}$$

Uproszczona metoda sprawdzania rys

W zwykłych sytuacjach w celu ograniczenia szerokości rys do wartości granicznych $(\ref{w_max})$  poprzestaje się na zastosowaniu średnic i rozstawu zbrojenia mniejszego od wartości przedstawionych w tab. 5, a omówionych w rozdziale dotyczącym minimalnego zbrojenia belek.

Metodę uproszczoną stosuje się w większości praktycznych sytuacji projektowych. Natomiast dość złożona metoda ogólna stosowana jest do sprawdzenia wykonanego projektu z zastosowaniem programów komputerowych.

Ugięcia belek

Ugięcia graniczne

Odmiennie od projektowania według obowiązujących norm (p. artykuł Kombinacje obciążeń w Eurokodach) obecnie ( [wg zotpressInText item=”{FPIRSR5F}”]fundamentalną zasadą jest to, że graniczne ugięcia konstrukcji powinny wynikać z wymagań  użytkowych ustalanych  z inwestorem i przyszłym użytkownikiem danej inwestycji, a nie z wymagań norm ogólnych.

W normie do projektowania konstrukcji żelbetowych (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, kl. 7.4.1.) zasugerowano ugięcia graniczne , których przekroczenie może (ale nie musi) doprowadzić do utraty własności  budowli ważnych ze względów konstrukcyjnych (anie użytkowych), a do szczegółów odsyła do normy . Ograniczenie dotyczy ugieć pod  obciążeniami quasi-stałymi. Wartość quasi-stała oddziaływania zmiennego , wynosi ψ2 ·Qk , gdzie ψ2 jest współczynnikiem określającym stosunek części quasi-stałej (czyli takiej,  dla której okres jej  przekraczania stanowi znaczną część okresu odniesienia) do całkowitej wartości charakterystycznej obciążenia. Podano tylko da ograniczenia:

$$\begin{equation} \delta_{lim} = \begin {cases}
L/200,  & \text {dla zapewnienia estetyki i ogólnej użyteczności } \\
L/500, & \text {w celu uniknięcia uszkodzenia współpracujących elementów budowli}
\end {cases} \label{d_lim}  \end{equation}$$

gdzie $L$ jest odległością pomiędzy dwoma punktami  A i B konstrukcji, a $\delta$ jest strzałką ugięcia pomiędzy tymi punktami, czyli

$\delta=\v_{max}- (v_A+v_B)/2$, gdzie $v_A$ i $v_B$ są przemieszczaniami pionowymi odpowiednio punktu A i B, a $v_{max}$ – maksymalnym przemieszczeniem pomiędzy tymi punktami.

Współpracującymi elementami budowli są najczęściej ściany działowe ( w tym murowane), ustawione na uginającej się płycie stropowej.

W przypadku współpracujących elementów elementów wrażliwych (np. ścian szklanych) należy zastosować specjalne ograniczenia lub dylatacje kompensacyjne, tak aby elementy wrażliwe nie zostały zmiażdżone uginającym się stropem.

Sprawdzanie ugięć elementów konstrukcyjnych

Stan graniczny ugięć może być sprawdzony na dwa sposoby:

1) uproszczony – wskaźnikowy  – polegający na ograniczeniu stosunku rozpiętości do wysokości L/h zgodnie z  (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, kl. 7.42.).

2) ogólny przez porównanie ugięcia obliczonego według (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, kl. 7.4.3.) z wartością graniczną

Ze względu na złożoność /metody ogólnej do zastosowań praktycznych zaleca się sposób wskaźnikowy   sprawdzania ugięć belek i płyt żelbetowych.

Metoda wskaźnikowa nie jest jednak uniwersalna, bo dotyczy zamkniętego katalogu schematów belek. Ponadto metodą wskaźnikową uzyskuje się rezultaty różniące się znacznie od rzeczywistych Na rys. 28 porównano metodę wskaźnikową z ogólną (ścisłą) dla belki wolnopodpartej. Błąd metody wskaźnikowej, liczony indeksem L/h  jest największy dla rozpiętości belek do 6 m lub  dla stosunkowo dużych obciążeń i wynosi ok 30%. W przypadku belki o rozpiętości 6 m i dla obciążeń stropów mieszkalnych Q=2,5 kN/m2 , wynosi  30/27-1 =11%. Z tych powodów w niniejszym artykule odchodzi się od metody wskaźnikowej na rzecz metody ogólnej i obliczeń w podręcznym arkuszu obliczeniowym. Metody uproszczonej nie przedstawia się w szczegółach.

Rys.28 Porównanie sposobu wskaźnikowego ze ścisłym dla belki wolnopodpartej

(zmodyfikowane (MPA The Concrete Centre, 2017))

Metoda ogólna

Podstawowym problemem przy obliczaniu ugięć elementów i konstrukcji żelbetowych jest uwzględnienie czynników, które wpływają istotnie na zwiększenie deformacji  konstrukcji żelbetowej w stosunku do  odkształcenia konstrukcji sprężystej , takiej jak konstrukcja stalowa, a mianowicie:

  1. efekty skurczu i pełzania betonu w czasie,
  2. zmniejszania sztywności elementów na skutek narastającego zarysowania wraz ze wzrostem  wytężenia przekroju, w sytuacji różnego zarywania przekrojów w różnych miejscach konstrukcji

Efekty skurczu i pełzania betonu uwzględnia się poprzez zastosowanie efektywnego modułu odkształcenia betonu $E_{c,eff}|$ zgodnie z formułą (\ref{E_eff})$.

Natomiast zmniejszenie sztywności żelbetu wskutek zarysowania betonu dokonuje się w sposób analogiczny do przyjętego w metodzie ogólnej szacowania rozwartości rys.

Zastosowanie zależności ogólnej  $(\ref {alfaG})$ do szacowania krzywizny  belki $\psi$prowadzi do zależności:

$$\begin{equation}  \psi=\psi_I+ \zeta \Delta \psi \label {psiG}\end{equation}$$

gdzie $\Delta \psi=\psi_{II}-\psi_I$

Z elementarnych zasad wytrzymałości materiałów wiemy, że w stanie zgięciowym zachodzi zależność:

$$\begin{equation}  \psi=-\dfrac{M_E}{EI} \label {psiM}\end{equation}$$

Krzywizna określona ścisłym wzorem $(\ref{psiM})$ jest zmienna po długości belki (rys.25) w związku ze zmiennym momentem bezwładności przekroju $I$. Przyjmuje się że moduł odkształcalności $E=E_{c,eff}$.

Wyrażenia na momenty bezwładności przekroju żelbetowego będą odmienne dla przekroju niezarysowanego ( faza I) i przekroju w pełni zarysowanego (faza II)

Rys. 29 Rozkład naprężeń  granicznych w fazie I i II

Moment bezwładności przekroju betonowo-stalowego w fazie I i II

W fazie I beton nie został jeszcze zarysowany, więc moment bezwładności przekroju można obliczyć z klasycznych zależności dla zespolonych przekrojów stalowo-betonowych.  \Natomiast w fazie drugiej beton w części zarysowanej wyłączamy z rozciągania (rys. 29).

Wprowadzamy oznaczenie:

$$\begin{equation} \alpha_E=\dfrac{E_s}{E_{cm}} \label {a_E}\end{equation}$$

indeks (f=I, II)

Z rys. 19 otrzymujemy  ( uwaga  poprawiono wyrażenia (Gąćkowski, 2013, rys.53.3)):

  • Sprawdzone  do stali zastępcze pole przekroju $A_f$

$$\begin{equation} A_f= \begin {cases}
A_c+A_{sE}, & \text {dla f = I } \\
bx_{II}+A_{sE}, & \text {dla f = II}
\end {cases} \label{A_f}  \end{equation}$$

gdzie:
$A_{sE}= \alpha_E (A_{sl}+A_{su})$
$A_c=bh$

  • Sprowadzony do stali moment statyczny względem górnej krawędzi przekroju

$$\begin{equation} S_f= \begin {cases}
S_c+S_{sE}, & \text {dla f=I } \\
b x_{II}^2/2 +S_{sE}, & \text {dla f=II}
\end {cases} \label{S_f}  \end{equation}$$

gdzie

$S_{sE}=\alpha_E (A_{sl} \cdot d_l +A_{su} \cdot a_u)$
$S_c=bh^2/2$

  • Położenie osi obojętnej przekroju: $x_F = S_f/A_f$.

W przypadku wyznaczenia $x_{II}$ należy rozwiązać równanie kwadratowe, a wynik jest następujący:

$$\begin{equation} x_f= \begin {cases}
\dfrac{ S_{sE} + S_c} {A_{sE}+A_c}, & \text {dla f=I } \\
\dfrac{ \sqrt{A_{sE}^2+ 2b S_{sE}}-A_{sE}} {b}, & \text {dla f=II } \\
\end {cases} \label{x_f}  \end{equation}$$

  • Sprowadzony do stali moment bezwładności względem osi obojętnej przekroju żelbetowego „f”:

$$\begin{equation} I_f= \begin {cases}
I_c+ A_c \cdot (x_I-h/2)^2+\alpha_E \cdot [ A_{sl}(d_l-x_I)^2+A_{su} (x_l-a_u)^2], & \text {dla f=I } \\
\dfrac{b x_{II} ^3}{3}+ \alpha_E \cdot [ A_{sl}(d_l-x_{II})^2+A_{su} (x_{lI}-a_u)^2], & \text {dla f=II } \\
\end {cases} \label{I_f}  \end{equation}$$

gdzie $I_c= bh^3 /12$

Jednocześnie należy zredukować moment zginający M_E, który  w procedurze obliczeń statycznych jest wyznaczany względem osi obojętnej przekroju betonowego, czyli dla osi przechodzącej w odległości $z=h/2$ od górnej krawędzi przekroju:

$$\begin{equation} M_{Ef}= M_E \pm N_E\cdot e_f \label {M_Ef}\end{equation}$$

gdzie $e_f=h/2-x_f$ – odległość między osiami obojętnymi przekroju betonowego i żelbetowego.

Znak plus stosuje się dla siły rozciągającej a minus dla ściskającej przekrój.

Moment i siła rysujące M_{cr}

Moment rysujący przekrój, to znaczy taki pod działaniem którego w przekroju powstaje pierwsza rysa wynosi:

$$\begin{equation} M_{cr}=f_{ctm} \cdot W_I \label {M_cr}\end{equation}$$

gdzie $W_I=I_I/(h-x_I)

Przy obciążeniu mimośrodowym wartoaścią porównawczą jest rysująca siła osiowa

$$\begin{equation} N_{cr}= \dfrac {f_{ctm}} {e/W_I \pm 1/A_c} \label {N_cr}\end{equation}$$

Znak „+” stosuje się przy rozciąganiu, „-” przy ściskaniu.

Jeśli element nie ulegnie zarysowaniu, to nie trzeba sprawdzać szerokości rys, a ugięcia oblicza się jak dla ustroju sprężystego.

Obliczanie ugięcia belki w arkuszu obliczeniowym

Przemieszczenie  pionowe $w(x)$ (x – współrzędna pozioma, osi pręta) wewnątrz elementu  jest związane z krzywizną $\Psi(x)=1/R(x) pręta zależnością różniczkową (Piechnik, 1980, (4.58)) :

$$\begin{equation} \Psi= \dfrac{|w”(x)|}{[1+(w'(x))^2}]^{3/2}\label {psi2}\end{equation}$$

którą zlinearyzujemy w założeniu małych przemieszczeń do postaci

$$\begin{equation} \Psi \approx |w”(x)|\label {psi1}\end{equation}$$

Wówczas można zapisać podstawowe równanie różniczkowe zginania pręta o sztywności giętnej $EI(x)$ wywołane przez momenty zginające M(x):

$$\begin{equation} w”(x)=-\dfrac{M(x)}{EI(x)}\label {w1}\end{equation}$$

Poprzez dwukrotne całkowanie tego wyrażenia, otrzymamy

$$\begin{equation} w =\iint \limits_0^x – \dfrac{M(x)}{EI(x)} dx  +C_1x+C_2\label {calka2}\end{equation}$$

gdzie $C_1$ i $C_2$ są stałymi zależnymi od warunków brzegowych na końcach elementu, a x jest bieżącą współrzędną osi pręta.

W przypadku, gdy interesuje nas ugięcie, a nie przemieszczenia wyrazy ze stałymi całkowania można odrzucić, a ugięcie będzie maksymalnym przemieszczeniem $w_{max}$ na badanym odcinku [0,x]. Całkowanie można przeprowadzić dowolną metodą, w tym metodą różnic skończonych, którą zaimplementowano w załączonym arkuszu kalkulacyjnym.

W arkuszu korzystamy z zasadniczego twierdzenia rachunku różnicowego:
$$\begin{equation} \iint_a ^bf”(x)= \sum_{a}^{b}\Delta^2 f(x) \label {calka=suma}\end{equation}$$
gdzie operator różnicowy
$$\begin{equation}\Delta^2 f(x) = \dfrac{f_{i-1}-2 f_i +f_{i+1}}{\Delta x^2} \label {D2}\end{equation}$$
Można pokazać (Strikwerda, 2004), że centralny operator różnicowy drugiego rzędu $(\ref{D2})$ daje błąd aproksymacji rzędu $\Delta x^2/12$. to znaczy zmniejsza się wraz z kwadratem  długości elementów $\Delta x = h $ na które zdyskretyzowano belkę.

Rys. 30 Dyskretyzacja belki do obliczenia ugięcia

Procedura oszacowania ugięć pręta przeważająco zginanego składa się z następujących kroków:

1) dyskretyzacja belki poprzez podział na n równych elementów o długości $h$ (rys.30).

Liczba wszystkich utworzonych węzłów wynosi N=n+1, gdzie pierwszy ma symbol „0”, a ostatni „L”. Oba węzły „0” i „L” są punktami pomocniczymi, do wyliczenia wartości $f_0$ oraz $f_{N+1}, czyli liczba węzłów z ocenianymi przemieszczeniami wynosi N=n-1

2) w każdym węźle (i=0 ,… N+1) wyznaczany jest iloraz $f_i=M_i/ EI_i$, przy czym każdorazowo badany jest warunek $M_i\le M_cr$.

Przykłady rachunkowe  obliczania belek żelbetowych

Podano kilka przykładów obliczania belek metodą ręczną i następnie te same przekroje sprawdzono za pomocą programu Consteel v.12

Przykład 1 [Zbrojenie podłużne – metoda klasyczna, model CU i CN]

przykład (Pyrak, 2012, Przykład 4-1)

Zaprojektować zbrojenie  belki żelbetowej swobodnie podpartej o przekroju prostokątnym obciążonej równomiernie pod długości, pokazanej na rys. 31

Klasa ekspozycji XC2, klasa odporności ogniowej R60, klasa konstrukcji S4.

Rys. 31 Strop płytowo-belkowy: a) rzut, b) przekrój, c) belka stropowa

(Pyrak, 2012, Rys. 4-35)

Dane ogólne

Beton   C20/25: $(tab.1) \to$  $f_{ck}=20 \, MPa$ , $f_{cd}=20/1,4=14,3 \, MPa$

Stal B500: $(tab.2) \to$  $f_{yk}= 500 , MPa$, $f_yd=500/1,15=435 \, MPa$

Długość belki w świetle murów $l_n=5,0 \, m$,
Grubość muru z lewej $t_l=500 \,$mm
Grubość muru z prawej $t_p=500 \,$mm

Długość obliczeniowa belki $(\ref{l_eff}) \to$ $l_{eff} =5,0+((300+300)/2)/1000=5,3 \, m$.

Maksymalny moment przęsłowy

$M_y= 182,8 \, kNm$

Dobór wstępny przekroju i zbrojenia belki

Wysokość belki  $(\ref {h}) \to$  $h=l_{eff}/12=442 \to 450 \, mm$

Szerokość belki  $(\ref {b}) \to$ $b=h/2=450/2=225 \to 250 \, mm$

Przyjęto pręty zbrojeniowe $\Phi=18 \, mm (A_{s1}=2,54 \, cm^2 ) $

Otulenie zbrojenia
$c_{min}=\Phi=18 \, mm$,
$c_{dur}= 25 \, mm$ dla klasy ekspozycji XC2,
$\Delta c_{dev}=10 \,mm $.

$(\ref{c}) \to $ $c_{nom}=max [18 ;25]+10=35 \, mm$

$(\ref{a}) \to $ $a =35+18/2=44 \, mm$

Wysokość użyteczna przekroju $d=450-44=406 \, mm$

Wstępne szacunki pola przekroju zbrojenia:

$(\ref{SAs}) \to $ dla zbrojenia podwójnego  (górą i dołem)
$\Sigma A_s=A_{su}+A_{sl}\approx \dfrac {182,8} {435 \cdot (0,45-2\cdot 0,044)} \cdot 10^1=11,6  \, cm^2$= 5 $\Phi 18$,

$(\ref{Asl}) \to $dla przekroju pojedynczo zbrojonego
$A_{sl} \approx \dfrac{182,8} {435 \cdot 0,9 \cdot (0,45-0,044) }\cdot 10^1=11,5 \, cm^2$= 5 $\Phi 18$,.

Dobór zbrojenia metodą klasyczną CU

$(\ref{m_*}) \to $  unormowany moment zginający $m_y= \dfrac{182,8}{ 0,25 \cdot 0,406^2 \cdot 14,3 \cdot 10^3}=0,310$,

$(\ref{xi_1}) \to $  względna wysokość strefy ściskanej   $\xi= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,310} / 1,0=0,384$,

$(\ref{zeta_1}) \to $ względne ramie sił wewnętrznych    $\zeta = \tfrac{1}{2}(1+\sqrt{1-2 \cdot 0,310 / 1,0})=0,808$,

  • Zbrojenie dolne  (pojedyncze)

$(\ref{A_sl1}) \to  $  $A_{sl,1} = \dfrac {0,310 \cdot 25 \cdot 40,6  \cdot 14,3} {0,808 \cdot  435}= 12,8 \, cm^2 = 6  \Phi 18$,

  • Czy potrzebne zbrojenie podwójne

$(\ref{m_lim}) \to  $ względny moment graniczny dla betonu zwykłego  $m_u=0,251$,

$( \ref{l-u}) \to $ warunek zbrojenia podwójnego  $m_y= 0,310 >m_u=0,251 \to $ należy zastosować zbrojenie górne.

Warunek na zbrojenie pojedyncze/podwójne przekroju można zapisać w postaci:

  • Zbrojenie górne

$(\ref{Dm}) \to $ nadwyżka momentu zginającego  $\Delta m= 0,310- 0,251=0,059$,

$(\ref{A_su2}) \to $ zbrojenie górne  $A_{su,2}= \dfrac {0,059  \cdot 25 \cdot 40,6 \cdot 14,3}{ (1-44/406) \cdot 435} =0,15  \, cm^2 = 1  \Phi 18$,

$(\ref{A_sl2}) \to $ zbrojenie dolne przy występowaniu górnego   $A_{sl,2}= 12,8+1 \cdot 2,54=15,34 \, cm^2 = 7 \Phi 18$.

Dobór zbrojenia kalkulatorem  „Belka żelbetowa CH-P zbrojenie”

Dobór metodą  CN  ( w kalkulatorze domyślna) pokazano na rys. 32. Czytelnik może sam sprawdzić obliczenia w arkuszu – rys. 2.

Rys. 32 Wynik obliczeń przykładu 1  z użyciem kalkulatora

W wyniku obliczeń kalkulatorem wykazano, że zbrojenie dolne można wykonać z $4 \Phi 18$, a zbrojenie górne $2 \Phi 18$ – konstrukcyjnie.

Wytężenie tak zbrojonego przekroju wynosi 92,5%. Uzyskano oszczędności zbrojenia (1+7)/(2+4)-1=33%.

Przykład 2 [ Przekrój zginany i ściskany]

(Knauff, Golubińska, Knyziak, 2015, Przykład 12.1) ( obliczanie momentu granicznego przypadek CT)

Dane ogólne

C30/37, B500

h=600 mm, b=400 mm

$a_u=a_l=55$ mm

$N_{Ed}=2803$ kN

 

 

Literatura

American Standard Institute. (2002). Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-14) (No. ACI 318-14).
Bresler, B. (1960). Design Criteria for Reinforced Concrete Columns Under Axial Load and Biaxial Loading. Journal of the American Concrete Institute, 57(5), 481–490.
Chodor, L. (2017, May 15). Krzywe interakcji M-N żelbetu. Retrieved November 23, 2015, from http://chodor-projekt.net/encyclopedia/krzywe-interakcji-m-n-zelbetu/
Gąćkowski, R. (2013). Tablice i algorytmy do wymiarowania zginanych elementów żelbetowych. Warszawa: Verlag Dashöfer.
Knauff, M., Golubińska, A., & Knyziak, P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN.
Knauff, M., Golubińska, A., & Kryziak, P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetoych z  przykładami obliczeń (drugie). Warszawa: PWB.
MPA The Concrete Centre. (2016). Bending and Shear in Beams. Lecture 3. Retrieved from https://www.concretecentre.com/TCC/media/TCCMediaLibrary/Presentations/Lecture-5-Slabs-and-Flat-Slabs-PHG-N-Rev13-15-Oct-16.pdf
MPA The Concrete Centre. (2017). Crack Control and Deflection. Lecture 6. Retrieved from https://www.concretecentre.com/TCC/media/TCCMediaLibrary/Presentations/Lecture-5-Slabs-and-Flat-Slabs-PHG-N-Rev13-15-Oct-16.pdf
PN-EN 13670. Wykonywanie konstrukcji z betonu (2011). UE: PKN.
PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-2:  Reguły ogólne - Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe (2008). UE: PKN.
Piechnik, S. (1980). Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych. Warszawa, Kraków: PWN.
Pyrak, S. (2012). Konstrukcje z betonu (VII, Vol. 5). WSiP.
Pędziwiatr, J. (2010). Wstęp do projektowania konstrukcji żelbetowych wg PN-EN 1992-1-1:2008. Wrocław: Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne.
Starosolski, W. (2013). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych, T 3 (Vol. 3). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
Strikwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations (2nd ed). Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics.
Wight, J. K., & MacGregor, J. G. (2012). Reinforced concrete: mechanics and design (6th ed). Upper Saddle River, N.J: PEARSON PRENTICE HALL.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »