Belki żelbetowe. Wprowadzenie

Spis treści

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 57 Czytelników

Chodor L., Belki żelbetowe,, Encyklopedia πWiki, www.chodor-projekt.net,  13 lipca 2018 – marzec 2020

Przedstawiono kompedium wiedzy na temat projektowania i obliczania belek żelbetowych, a także komplet arkuszy kalkulacyjnych do obliczeń  metodą nieliniową MN oraz porównanie z powszechnie stosowaną metodą uproszczoną MU. Arkusz Excel CHP-Ż można pobrać poprzez kliknięcie na rys. 1. Stosowano spójną teorię żelbetu w autorskim ujęciu. Arkusz CHP-Ż w wersji na rys. 1 i przykłady w niniejszym artykule) opublikowano w opcji „free”. Uogólnienie arkusza dla innych kształtów przekrojów niż prostokątny oraz dla zbrojenia wielowarstwowego będzie wdrożony w kolejnych – komercyjnych wydaniach arkusza.  W najbliższym czasie w związku z licznymi problemami Użytkowników nastąpi zakodowanie arkusza przed wprowadzaniem do niego niekontrolowanych modyfikacji.

Rys. 1. Ekran arkusza CHP-Ż-1.5 (kliknij w obraz, aby pobrać)

Rys. 2. Przypadki wytrzymałościowe w pręcie żelbetowym

Pręty w konstrukcji są obciążone zginaniem i siłą osiową, dlatego nazywa się je belkami-słupami. W zależności od stopnia udziału zginania i ściskania można wydzielić przypadki pokazane na rys. 2 :

a) CC∞  (Compression-Compression ∞) – odkształcenia górnej krawędzi i dolnej są tego samego znaku, a oś obojętna przekroju znajduje się w nieskończoności .
Jest to przypadek czystego ściskania przy braku zginania. Bryłę odkształceń oznaczono kolorem żółtym. Przypadek jest czysto teoretyczny, dotyczy słupów osiowo ściskanych i należy go rozpatrywać jako przekrój zespolony betonowo-stalowy.

b) CC x>h  – odkształcenia górnej i dolnej krawędzi  (górnego i dolnego zbrojenia) są tego samego znaku, a oś obojętna przekroju znajduje się  poza przekrojem.
Jest to przypadek czystego ściskania z dodatkiem niewielkiego zginania.  Bryłę odkształceń od zginania oznaczono kolorem czerwonym (ściskanie) i niebieskim (rozciąganie). Miejsce zerowe odkształceń (i naprężeń ) od zginania – umowny przegub oznaczono kółkiem. Naprężenia od ściskania i zginania sumują się, a  wskutek tego powstaje pozorna bryła odkształceń i naprężeń poniżej dolnej krawędzi przekroju. Oś obojętna jet również pozorna. Wysokość strefy ściskanej x>h.
Taki przypadek często nazywa się małym mimośrodem, czyli przeważającym ściskaniem i dotyczy on większości słupów rzeczywistych – jest przedmiotem artykułu Słupy żelbetowe.

c) CT (Compression-Tension) – odkształcenia górnej krawędzi jest skróceniem a dolnej wydłużeniem (zbrojenie górne ściskane, dolne rozciągane). Wysokość strefy ściskanej mieści się w przekroju x≤ h. Taki przypadek nazywa się dużym mimośrodem, czyli przeważającym zginaniem i jest przedmiotem niniejszego artykułu.

d) TT (Tension-Tension) -oba zbrojenia rozciągane – powinno być rozważane jako rozciągany przekrój zespolony.

Niniejszy artykuł zilustrowano przykładami projektowania belki o przekroju prostokątnym :

  • zginanej jednoosiowo – przykłady: 1.11.2 ;
  • zginanej jednoosiowo i ściskanej przypadek CT1 – przykłady 2.1 , 2.2 ;
  • zginanej ukośnie  (dwuosiowo) i ściskanej przypadek CT2 – przykłady 3.1, 3.2 ;
  • długości zakotwienia – przykład 4
  • ścinanej poprzecznie – przykłady 5.1, 5.2, 5.3
  • ścinanej podłużnie – przykład 5.4
  • zarysowanej – przykłady: 6.1 , 6.2 , 6.3
  • ugiętej – przykład 7.1

Przedstawiono kompedium wiedzy potrzebnej do zaprojektowania belki żelbetowej, ale także najważniejsze informacje dotyczące detali zbrojeniowych, zakotwienia i uciąglania belek, które w istocie stanowią wiedzę wymaganą od technologów i kreślarzy wykonawcy, opracowujących rysunki warsztatowe i powinny uzupełniać informacje zawarte w warunkach wykonania i odbioru konstrukcji betonowych (PN-EN 13670, 2011). Projektowanie właściwe nie obejmuje umiejętności wykonywania rysunków roboczych (warsztatowych) , które przyjmują formę pokazaną na rys. 8.
Rysunki warsztatowe są opracowywane przez wykonawców i ich technologów na podstawie wytycznych Projektanta zgodnie z zasadami opisanymi w artykułach Rysunek warsztatowy a projekt wykonawczyStandard rysunku warsztatowego konstrukcji żelbetowej.

Projektowanie  zbrojenia przekroju żelbetowego poddanego dwukierunkowemu zginaniu $M_y$, $M_z$ oraz siły osiowej $N_x$ dla modelu MN betonu (nieliniowego-parabolicznego) oraz modelu stali SP (Prandtla – idealnie sprężysto-plastycznego) można przeprowadzić w arkuszach kalkulacyjnych, który można pobrać poprzez kliknięcie na obraz rys. 1. W kolejnych zakładkach skoroszytu zamieszczono arkusze do projektowania zbrojenia podłużnego oraz długości zakładów i zakotwienia prętów.

Beton i stal

W tab.1 zestawiono parametry betonów potrzebne do analizy zagadnienia opracowane na podstawie (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, tab. 3.1.) i (Pędziwiatr, 2010)

Tab. 1. Parametry betonów (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010) W dalszej części artykułu stosuje się podział betonów na betony zwykłe (BZ) i wysokiej wytrzymałości (BWW). W tab.1 podział jest zaznaczony czerwoną linią przerywaną. Wartości współczynnika pełzania $\varphi_{100}^{2)}$ uzyskano z własnego kalkulatora.

W tab.2 zestawiono najczęściej stosowane stale zbrojeniowe.

Tab.2. Najczęściej stosowane stale zbrojeniowe

Belki żelbetowe

System konstrukcyjny, a belka żelbetowa

Belki obok płyt są najczęściej stosowanymi elementami konstrukcji żelbetowych. Klasyczna definicja belki – w przypadku konstrukcji żelbetowych jest osłabiona i obejmuje również stosunkowo krótkie pręty długości $L \approx 3h$.

Elementy krępe (dla $L\le 3h$) są nazywane belkami-ścianami i należy je analizować jako tarcze – nie są bowiem spełnione podstawowe założenia teorii belkowej ( w tym założenie Bernoulliego o płaskich przekrojach i założenie o małych naprężeniach stycznych), co w wyniku uniemożliwia stosowanie wzorów belkowych oraz  wnioskowania dotyczącego położenia osi obojętnej przekroju  oraz rozkładu naprężeń po wysokości belki-ściany. Może się zdarzyć, że w poziomej osi symetrii belki-ściany naprężenia normalne będą największe, choć zgodnie z  teorią belkową powinny być zerowe. W takich przypadkach zaleca się stosowanie metody kratownicowej (modele S-T wg (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010)). Belki są zginanymi poprzecznie elementami konstrukcyjnymi. W praktyce jednak zginanie przekroju jest stowarzyszone z działaniem siły osiowej- ściskającej lub rozciągająca, a elementy są belkami-słupami. Rozróżnienia między belką a słupem w istocie zależy od zjawisk niestateczności : w belce zwichrzenia, a w słupie wyboczenia. Zginanie i siły osiowe są przenoszone w belce poprzez zbrojenie podłużne. Ścinanie natomiast przez zbrojenie poprzeczne : strzemiona oraz pręty odgięte. W przypadku skręcania często daje się dodatkowe zbrojenie podłużne.

W konstrukcjach żelbetowych,siły przekrojowe powszechnie uzyskuje się z rozwiązania systemu konstrukcyjnego złożonego z klasycznych prętów (Bernoulliego), przy czym zawsze zaleca się zastosowanie teorii 2-rzędu, to znaczy uwzględnianie wpływu przemieszczeń na siły przekrojowe. Teoria 2-rzędu jest zaimplementowana praktycznie we wszystkich współczesnych programach. Ograniczenie do klasycznej teorii 1-rzędu powinno być uzasadnione- należy wykazać, że w prętach występują małe siły ściskające $N$ , to znaczy takie, które nie mają istotnego wpływu na stateczność systemu konstrukcyjnego, oraz nie generują momentów zginających drugiego rzędu $M_{II}= N\cdot e$, gdzie $e$ jest wygięciem pręta.

Jeśli system konstrukcyjny będzie obciążony poziomymi siłami od imperfekcji, to elementy prętowe, w tym belki (i słupy) można wymiarować bez wyznaczania długości wyboczeniowej oraz współczynników wyboczeniowych elementów ściskanych lub zginanych (zjawisko zwichrzenia belek). Do tego celu konstrukcję żelbetową wystarczy obciążyć poziomo siłami (równoważnymi od imperfekcji, poprzez stowarzyszenie do każdego obciążenia pionowego $Q_V$ – obciążeń poziomych $Q_H$ w kierunkach obu osi poziomych:

$$\begin{equation} Q_{Hx}=Q_{Hy}= \cfrac{Q_V}{200} \label {1} \end{equation}$$

Symbol $Q_V$ oznacza obciążenie grawitacyjne (pionowe) zarówno powierzchniowe, liniowe jak i skupione- obejmuje więc również ciężar własny $G$.

W każdym przypadku konstrukcje żelbetowe znamienne są tym, że istotne jest w nich ścinanie elementów i przekrojów. Siły przekrojowe w belkach należałoby więc wyznaczać zgodnie z teorią Timoschenko, którą krótko opisano w artykule Belka Timoschenko na sprężystym podłożu. Niestety algorytm uwzględniania sztywności ścinania  zwykle nie jest obecny w inżynierskich programach komputerowych. Dlatego w praktyce projektowej siły przekrojowe w konstrukcji żelbetowej wyznacza się z użyciem klasycznych elementów prętowych. W przypadku elementów skręcanych (np. skrzynki mostów) lub trzonów budynków wysokich stosuje się analogię teorii prętów cienkościennych (p. artykuł Pręty cienkościenne i artykuły związane)

W niniejszym opracowaniu zakładamy, że z rozwiązania  statyki znane są siły przekrojowe (N, M, Q)=(siła osiowa, moment zginający, siła poprzeczna) w przekrojach belki. Na podstawie sił w konkretnym przekroju można dobrać wymagane zbrojenie w tym punkcie belki, a na podstawie rozkładu sił po długości belki można skonstruować zbrojenie całego elementu.

W normie (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010)  przedstawiono reguły projektowania belek żelbetowych w następujących klauzulach: klauzula kl. 6.1. – nośność na zginanie z siłą podłużną ;  kl.  9.2.1.1 (1), wzór (9.1.N) – minimalne zbrojenie ; kl.  9.2.1.1 (3) – maksymalne zbrojenie; kl.  6.2.2.(1), wzór (6.2a), (6.2b) – nośność na ścinanie; kl.  6.3.2 (6), (6.3.1) – interakcja ścinania i skręcania. Wymienione zasady stanowią komplet reguł projektowych, umożliwiających zaprojektowanie belki zginanej, ściskanej, ścinanej i skręcanej.

Ponadto norma podaje szereg zasad konstruowania zbrojenia, które są spójne z regułami projektowymi, ale są  adresowane raczej do autorów rysunków warsztatowych, czyli wykonawców i ich technologów, a nie do projektantów: kl. 8 – konstruowanie zbrojenia;  kl.  9.2 , 9.3 oraz 9.4  – konstruowanie belek i płyt pełnych oraz płaskich.

Geometria belek żelbetowych

Projektowanie geometrii belek żelbetowych wynika z warunków funkcjonalno-architektonicznych oraz prostych zasad optymalnego doboru wymiarów szalunkowych i  jest praktycznie niezależnie od zbrojenia belek. Na etapie doboru zbrojenia, w szczególnych przypadkach konieczna jest korekta szalunków (zbrojenie. Często jednak w takich sytuacjach korekt dokonuje się bez zwiększania szalunków poprzez wstawienie zbrojenia sztywnego, to znaczy skonstruowanie przekroju zespolonego betonowo-stalowego.

Przekroje belek i długość obliczeniowa

Na rys. 3 pokazano schemat belki wieloprzęsłowej o teoretycznych długościach przęseł $l_1, l_2, l_3$. Przy oznaczeniu długości belki  w świetle murów $l_i$, długość obliczeniową $l_{eff}$ zgodnie z (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010) można wyznaczyć z zależności

$$\begin{equation} l_{eff}=l_i+a_l+a_r  \label{2}\end{equation}$$

gdzie: $a_l$ i $a_r$ są odległościami od lica muru odpowiednio lewej i prawej podpory przęsła do obliczeniowej osi podpory $a=min [ t/2 \quad ; \quad h/2 ]$ (h- wysokość płyty, t-szerokość podpory (ściany lub słupa). W przypadku podpory środkowej z łożyskiem przyjmuje się os podpory obliczeniowej w osi teoretycznej systemu. Łożysko powoduje wycentrowanie reakcji, a w pozostałych przypadkach położenie reakcji przesuwa się w głąb ściany lub słupa.

Rys. 3 Belka: schemat, przekroje (P1 do P5) i podpory (S1 do S5)

(opracowano na podstawie (Pyrak, 2012))

Oparcie belek na słupach realizuje się najczęściej poprzez podcięcie słupa lub na krótkim wsporniku  w sposób pokazany w artykule Słupy żelbetowe.

Belki żelbetowe mają najczęściej przekrój prostokątny P1, teowy P2, dwuteowy P3 lub rzadziej  przekroje o innych kształtach (P4,P5,P6).

Belki najczęściej występują w układach płytowo -słupowych lub są stosowane jako odrębne elementy. Na rys. 4 pokazano typowy układ płytowo-belkowo-słupowy, w którym zastosowano dwa poziomy belek: podciągi B1 oraz żebra B2

Rys. 4. Strop płytowo-belkowo-słupowy. Belki: B1 (podciąg) i B2 (żebra)

(opracowano na podstawie (Pyrak, 2012, rys.4-28a))

Wysokość belki $h$

Najważniejszym parametrem belki jest jej wysokość $h$, którą należy liczyć wraz z grubością podpieranej płyty (rys. 5).

Rys.5 Wysokość h i szerokość b belki

Wymiary belek zależą w ogólności od: rozpiętości, sposobu podparcia, obciążenia, warunków pożarowych oraz środowiskowych (wymaganego otulenia zbrojenia).

Wstępnie (na etapie koncepcji) wysokość belki h przyjmuje się jako część jej długości $l$:

$$\begin{equation} h \approx \dfrac{l}{n_h} \ge 250  \text{  mm, co 50 mm } \label {3} \end{equation}$$

gdzie $n_h=10 \div 20$

przy czym w przypadku braku dokładniejszych informacji przyjmuje się $n_h=20$.

Znajomość dodatkowych cech konstrukcji pozwala na dokładniejsze przyjęcie podzielnika $n_h$ ((PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, tab.7.4.N) oraz praktyka):

$$\begin{equation} n_h= \begin {cases}
10 \div 12, & \textrm { podciagi silnie obciazone} \\
12 \div 15, & \textrm { podciagi slabo obciazone} \\
12 \div 18, & \text { zebra silnie obciazone} \\
14 \div 20, & \text { belki i płyty swobodnie podparte} \\
17 \div 24, & \text { stropy bezbelkowe (plaskie) na słupach } \\
18 \div 20, & \text { belki dachowe i inne słabo obciazone} \\
18 \div 26, & \text { skrajne przesła belek lub plyt ciąglych} \\
20 \div 30, & \text { wewnetrzne przesla belek lub plyt ciaglych} \\
\end {cases} \label{4}\end{equation}$$

Dla wsporników długość $l$ zwiększa się dwukrotnie.
Większe dzielniki $n_h$ dotyczą elementów słabo ściskanych ( stopień zbrojenia $\rho$=0,5%), a mniejsze elementów silnie ściskanych ($\rho$=1,5%).

Szerokość belki $b$

Szerokość belki $b$ przyjmuje się w zależności od wysokości $h$ w granicach:

$$\begin{equation} b \approx \dfrac{h}{2 \div 2,5 } \ge 150  \text{  mm, co 50 mm } \label {5} \end{equation}$$

Wstępny dobór zbrojenia przekroju

Oszacowanie sił przekrojowych

W obliczeniach wstępnych, koncepcyjnych – momenty zginające przekrój belki wyznacza się z szacunkowych formuł analitycznych bez uruchomiania programu komputerowego.

Miarodajny moment zginający $M_y$  w belce o długości obliczeniowej $l_{eff}$ i obciążonej w płaszczyźnie zginania równomiernie rozłożonym obciążeniem $Q_z$ można wstępnie oszacować z formuły

$$\begin{equation} M_y=\dfrac{Q_z \cdot l_{eff}^2}{n_M}  \label {6} \end{equation}$$

gdzie $n_M=8 \div 12$  zależnie od schematu statycznego belki (1P – belka jednoprzęsłowa, 2P – belka dwuprzęsłowa, 3P- belka trójprzęsłowa):

$$\begin{equation} n_M= \begin {cases}
8, & \text {moment przęsłowy  1P lub  moment podporowy 2P} \\
10, & \text { moment utwierdzenia 1P sprężyście zamocowanej i moment podporowy 3P} \\
12, & \text { moment podporowy  1P utwierdzono-utwierdzonej i szacunkowo przęsłowy 3P}
\end {cases} \label{7}\end{equation}$$

Koncepcyjny dobór zbrojenia

Koncepcyjny wstępny dobór zbrojenia przekroju można dokonać praktycznie bez wykonywania żmudnych obliczeń.

W przypadku przekroju symetrycznie podwójnie zbrojonego $A_{su}=A_{sl}$, nośność przekroju o wysokości h i otuleniu osiowym prętów $a$  wynosi

$$\begin{equation} M_{Rd}=\Sigma A_s \cdot f_{yd} \cdot (h-2a)\label {8} \end{equation}$$

Mamy stąd oszacowanie pola przekroju sumy zbrojenia górnego i dolnego $\Sigma A_s=A_{su}+A_{sl}$ :

$$\begin{equation}  \Sigma A_s \approx \dfrac {M_y} {f_{yd} \cdot (h-2a)} \label {9} \end{equation}$$

W oszacowaniu $(\ref{9})$ nie występują parametry betonu, ani też informacje o kształcie przekroju. To znaczy formuła ta jest ważna dla każdego betonu i przekroju o dowolnym kształcie.

W przypadku przekroju zbrojonego pojedynczo możemy stosować analogiczne oszacowanie z warunku

$$\begin{equation} A_s \approx \dfrac{M_y} {f_{yd} \cdot z } \label {10} \end{equation}$$

gdzie

z – jest ramieniem sił wewnętrznych $z=\zeta d$

d – użyteczna wysokość przekroju $d=h-a$

$\zeta=[1 \, ; \, 0,5]$ – parametr  zależny od udziału betonu w przenoszeniu momentu zginającego.  W wymiarowaniu wstępnym można przyjąć $\zeta=0,85$.

Alternatywnie w projektowaniu wstępnym możemy zastosować tablice. Obszerne tablice do wymiarowania zginanych elementów żelbetowych zawiera praca (Gąćkowski, 2013).

W żadnym przypadku nie można poprzestać na wymiarowaniu wstępnym. Jest ono wymagane jedynie po to, by zbudować model konstrukcji, przeznaczony do analizy w programie komputerowym, gdzie dokonuje się iteracyjnej korekty zbrojenia z warunku spełnienia stanów granicznych nośności (w stanie zarysowanym betonu)  i użytkowalności, ale także optymalności z warunku kosztów całej konstrukcji.

Może się okazać, że optymalizacja elementu po elemencie nie daje rozwiązania optymalnego dla całej konstrukcji statycznie niewyznaczalnej – opłaca się przewymiarować kilka elementów, by odciążyć pozostałą część konstrukcji.  We współczesnych programach obliczeniowych iteracje dokonywane są w krótkim czasie i sprawnie, co powoduje, że nie opłaca się poświęcać zbyt wiele czasu na projektowanie wstępne – zbrojenie elementów „podawane” do programu należy dobrać z grubsza.

W projektowaniu koncepcyjnym pomija się dobór zbrojenia na ścinanie, (oprócz doboru grubości  płyt w stropach belko-płytowych lub fundamentowych ze względu na ścinanie przy przebiciu – artykuł Przebicie płyty żelbetowej ).

Kształtowanie układu zbrojenia w przekroju

Otulenie zbrojenia

Otulenie pręta $c_{nom}$ (rys.6) powinno zapewniać przyczepność i dobre zagęszczenie betonu, ochronę przed korozją zbrojenia oraz temperaturą w warunkach pożarowych. Wymagane otulenie zbrojenia belek podlega ogólnym wymogom dla elementów żelbetowych.

Rys. 6 Otulenie oraz odstępy prętów

(zmodyfikowany rys (Gąćkowski, 2013, rys.3.1))

Wstępnie można przyjmować otulenie $c$ (odległość od krawędzi belki do pobocznicy zbrojenia) dla założonej średnicy zbrojenia $\Phi$ z formuły

$$\begin{equation} c\approx max \, [\Phi \, ; \, c_{dur} \, ; \, 10 ]+10 mm \label {11} \end{equation}$$

gdzie $c_{dur}$ jest otuleniem wymaganym ze względu na klasę ekspozycji.Dla typowych konstrukcji w klasie wykonania S4 i okresie użytkowania 50 lat dla najczęściej występujących klas ekspozycji możemy przyjąć

$c_{dur}$= 25 mm (XC2/XC3), 30 mm (XC4), 35 mm (XD1/XS1), 40 mm (XD2/XS2), 45 mm (XD3/XS3).

Na przykład dla minimalnej średnicy zbrojenia ściskanego w belkach $\Phi=10$ mm, elementów konstrukcyjnych instalowanych wewnątrz zwykłych pomieszczeń  (klasa ekspozycji XC2), mamy

$c=max \, [10 \, ; \, 25 \, ; \, 10 ]+10 mm=35$ mm

W warunkach pożarowych otulenie definiuje się jako

$$\begin{equation} a=c+\Phi/2 \label {12} \end{equation}$$

czyli nieco większe od klasycznie definiowanego otulenia $c$.

W przykładzie $a=35+10/2=40$ mm,

Również w obliczeniach stosuje się otulenie osiowe $a$.

Odstępy między prętami

Odstępy między prętami w warstwie $a_h$ oraz odstępy między warstwami $a_v$  (rys. 6) powinny spełniać warunek

$$\begin{equation} a_{h,v} \ge \max [\Phi \, ; \, 20 mm \, ; \, d_g +5 mm] \label {13} \end{equation}$$

gdzie $\Phi$ – maksymalna średnica prętów zbrojenia w warstwie lub warstwach, a $d_g$ – wymiar ziarna kruszywa betonu.

Wymaganie $(\ref{13} )$ w strefie zakładu prętów (na długości zakładu pręty można układać na styk).  Jeżeli pręty rozmieszcza się w kilku warstwach, to należy je rozmieszczać jeden nad drugim, a nie mijankowo w celu dostępu urządzeń wibracyjnych do zagęszczania betonu.

Wymagania pożarowe

Już na wstępie projektowania belki należy uwzględnić wymogi pożarowe. W normie (PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2, 2008) określono minimalne szerokości belek i otulenia zbrojenia ze względu na wymaganą odporność ogniową elementu. Klasy odporności ogniowej Rx zdefiniowano w artykule Odporność ogniowa konstrukcji budynku.

W tab.3 podano minimalne szerokości belek swobodnie podpartych lub ciągłych w zależności od wymaganej klasy odporności ogniowej belki. Szerokość belki jest skorelowana z otuleniem zbrojenia $a$, liczonym jako odległość osi zbrojenia od krawędzi belki. Ze względów pożarowych- przy większym otuleniu można stosować mniejsze belki, a belki ciągłe są bardziej korzystne od  swobodnie podpartych.

Tab.3. Minimalne wymiary belek w zależności od odporności ogniowej
(wg (PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2, 2008, tab.5.5. 5.6)

Minimalne i maksymalne zbrojenie belki (oraz płyty)

Pole przekroju podłużnego zbrojenia rozciąganego w przekroju belki lub płyty żelbetowej nie powinno być mniejsze niż $A_{s,min,britle}$, a jeśli jest mniejsze, to taki przekrój  należy rozpatrywać jako niezbrojony. Minimalne zbrojenie zasadniczo wynosi:

$$\begin{equation} A_{s,min,britle}=ρ_{min,b} \cdot b_t \cdot d \label {14} \end{equation}$$

gdzie

$$\begin{equation}  ρ_{min,b}= max[0,013\, ; \,0,26 f_{ctm}/f_{yk}] \label {15} \end{equation}$$
d – wysokość użyteczna przekroju (wysokość przekroju pomniejszona o osiowe otulenie zbrojenia ściskanego- górnego),
$b_t$ – średnia szerokość strefy rozciąganej. W belkach teowych z półką w strefie ściskanej bierze się pod uwagę tylko szerokość środnika.
$f_{ctm}$ – średnia  wytrzymałość betonu na rozciąganie.

Minimalne stopnie zbrojenia ($ρ_{min,b}$ dla betonów zbrojonych stalą B500 podano w tab.1.

Zbrojenie minimalne $A_{s,min,britle}$, ma zapewnić, że nie nastąpi kruche zniszczenie betonu, to znaczy nagłe zniszczenie betonu, nie poprzedzone wyraźnie rosnącymi ugięciami. i widocznym rysowaniem betonu.

W elementach drugorzędnych, jeśli można zaakceptować pewne ryzyko kruchego zniszczenia, zbrojenie minimalne $A_{s,min}$ można przyjąć jako 120% zbrojenia wymaganego ze względu na stan graniczny ULS (nośności), to znaczy element zbroimy na 120% zbrojenia obliczeniowego. Zdaniem autora dotyczy to w szczególności płyt fundamentowych, spoczywających na podłożu gruntowym, w miejscach, gdzie przekroje rozciągane są skrępowane odporem i tarciem gruntu , czyli przekrojów przęsłowych płyt i ław fundamentowych. Przekroje podporowe takich płyt najczęściej należy zbroić ze względu na przebicie, które omówiono w artykule „Przebicie płyty żelbetowej„.

Ustala się również minimalne zbrojenie  $A_{s,min,crack}$ ze względu na zarysowanie w strefie rozciąganej:

$$\begin{equation} A_{s,min,crack} = k_c \cdot k \cdot f_{ct,eff} \cdot A_{ct} \cdot σ_{s,lim}  \label {16} \end{equation}$$

Średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie w chwili spodziewanego zarysowania $f_{ct,eff}$ przyjmuje się zwykle jako  $f_{ctm}$ (p. tab.1).  Jeśli beton jest młodszy niż 28 dni, należy przyjąć  zależny od czasu dojrzewania $f_{ctm} (t)$.

Pole rozciąganej strefy betonu $A_{ct}$ w chwili poprzedzającej zarysowanie wynosi:

  • przy rozciąganiu osiowym $A_{ct}=A_c$ (pole całego przekroju betonu),
  • przy zginaniu $A_{ct} \approx A_c/2$ (pole betonu powyżej osi obojętnej).

Naprężenia $σ_{s,lim}$ w zbrojeniu rozciąganym tuż po zarysowaniu można przyjmować równe $f_{yd}$, ale jeżeli wymaga się nieprzekroczenia granicznej szerokości rysy , to naprężenia można przyjmować wg tab. 4, odpowiednio dla największej średnicy pręta lub maksymalnego rozstawu.

Tab.4.  Ograniczenia rys – maksymalna średnica prętów $\Phi_{s,max}$ i rozstaw prętów $a_{s,max}$
(wg (Gąćkowski, 2013, tab. 2.8))

Współczynnik $k_c$ uwzględnia rozkład naprężeń w przekroju w chwili poprzedzającej zarysowanie oraz wielkość ramienia sił wewnętrznych dla fazy II, i wynosi:

  • przy rozciąganiu osiowym $k_c$=1,
  • przy czystym zginaniu lub zginaniu z udziałem siły osiowej
    a) dla przekrojów prostokątnych i środników belek teowych i skrzynkowych $k_c=0,4⋅[1−\sigma_c/(k_1⋅h/h^∗⋅f_{ct,eff}] ≤1$,
    b) dla półek przekrojów teowych i skrzynkowych $k_c=0,9⋅(F_{cr}/(A_{ct} \cdot f_{ct,eff} \le 0,5 k_c$.

Współczynnik k uwzględnia wpływ nierównomiernych naprężeń samorównoważących się w ustroju, prowadzących do zmniejszenia sił od odkształceń wymuszonych:

  • k= 1,0 dla  środników oraz dla półek krótszych od 300 mm,
  • k=0,65 dla środników oraz dla półek większych  od 800 mm.
  • wartości pośrednie należy interpolować.

Współczynnik $k_1$ uwzględnia  wpływ znaku siły podłużnej $N_{Ed}$ na rozkład naprężeń:

  • $k_1=1,5$ dla siły dodatniej (ściskającej),
  • $k_1=1,0$ dla siły rozciągającej.

Naprężenie $\sigma_c$ jest średnim naprężeniem w betonie w rozpatrywanej części przekroju $\sigma_c =N_{Ed}/(bh)$, gdzie $N_{Ed}$ – obliczeniowa siła podłużna, działająca na rozpatrywaną część przekroju, dodatnia – ściskająca.

Siła $F_{cr}$ jest bezwzględną wartością siły osiowej w półce bezpośrednio przez zarysowaniem, wywołanym przez moment rysujący, obliczony przy założeniu, że wytrzymałość na rozciąganie wynosi $f_{ct,eff}$.

Zastępcza wysokość przekroju $h^∗ = h$ dla $h <1,0m$ lub  $h^*=1,0$ m dla $h \ge 1,0 \,m$

Poza miejscami zakładów pole przekroju zbrojenia rozciąganego lub ściskanego nie powinno być większe niż $A_{s,max}$:

$$\begin{equation} A_{s,max}=0,4 A_c \label {17} \end{equation}$$

gdzie $A_c$ -pole przekroju betonowego, na przykład w przypadku przekroju prostokątnego o wysokości h i szerokości b – $A_c=bh$. Projektanci często przyjmują się $A_c=bd$. Zdaniem autora artykułu ograniczenie dotyczy sumy zbrojenia przekroju  $\Sigma A_s$ i powinno odnosić się do całego przekroju betonu, choć może  dotyczyć wyraźnie wyodrębnianych części przekroju, np. środnika w belkach teowych i wówczas trzeba brać odpowiednie pole zbrojenia i betonu w tej części.

W miejscach zakładów zbrojenia ilość maksymalna w belkach i płytach może być wyższa niż $(\ref {17})$ i wynosić  $A_{s,max}=0,8 A_c$.

Kształtowanie zbrojenia po długości belki

Siły przekrojowe w prętach , w tym w belkach zmieniają się po długości, więc istotną rolę odgrywa optymalne dostosowanie układu zbrojenia do obwiedni momentów zginających M, sił osiowych N oraz sił poprzecznych. W każdym przekroju powinny być spełnione warunki minimalnego i maksymalnego stopnia zbrojenia.

Zbrojenie dostrajane do obwiedni sił

Na rys. 7 przedstawiono zasadę układania prętów zbrojeniowych przez dostrojenie do obwiedni sił przekrojowych.

Rys. 7. Dostrajanie układu prętów do obwiedni sił przekrojowych

(opracowano na podstawie (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, rys.9.2))

Moment zginający przekrój $M_{Ed}$ jest zastąpiony parą sił w betonie $F_c$ i w stali rozciąganej $F_s$ na ramieniu z – stąd $F_s=M_{Ed}/z$.

Natomiast przydzielenie całej siły osiowej $N_{Ed}$ do pręta rozciąganego jest bardzo grubym szacunkiem, który zajdzie w sytuacji, gdy siła w betonie $F_c$ zaniknie na skutek jej pomniejszenia przynależnym rozciąganiem. Wówczas w stali będzie działała siła $F_s$=$N_{Ed}- F_{Rc}$, gdzie $F_Rc$ jest nośnością betonu na ściskanie. W celu dokładniejszego rozdziału siły $N_{Ed}$ pomiędzy $F_s$ i $F_c$ należy uwzględnić odkształcalność betonu i stali, zgodnie z zasadami podanymi w poniższych rozdziałach. Zalecenie normowe, zobrazowane na rys. 7 dotyczy najniekorzystniejszego przypadku dla rozciągającej siły $N_{Ed}$, co jest wystarczającym przybliżeniem dla belek poddanych przeważającemu zginaniu.

Zgodnie z  metodą kratownicową zilustrowaną na rys.27 siłę poprzeczną $V_{Ed}$ przenosi krzyżulec betonowy ( rys 26 ) ułożony pod kątem $21,8^o \le \Theta \le 45|^o$,wydzielony rysami ukośnymi . Na skutek zarysowania  siły w pręcie rozciąganym i w betonie zwiększą się o  połowę składowej  poziomej w krzyżulcu betonowym  $V_{Ed}\cdot ctg \Theta$, czyli $\Delta F_{td}= V_{Ed} \cdot ctg \Theta$, a w przypadku prętów odgiętych lub strzemion nachylonych pod kątem $\alpha$ mamy (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, (6.18)):

$$\begin{equation} \Delta F_{td}= 0,5 \cdot V_{Ed} \cdot (ctg \Theta- ctg \alpha ) \label{18} \end{equation}$$

W elementach, które nie wymagają zbrojenia na ścinanie  wpływ siły poprzecznej można estymować  rozsuwając wykres momentów o odległość $a_l=d$ , przyjmując:

$$\begin{equation} a_l= 0,5 \cdot z \cdot V_{Ed} \cdot (ctg \Theta- ctg \alpha ) \label{19} \end{equation}$$

Naprężenia styczne od skręcania przekroju momentem skręcającym $T_{Ed}$ również spowodują zwiększenie sił osiowych w zbrojeniu zgodnie z formułą normową (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, (6.28)), którą na gruncie teorii prętów cienkościennych można uogólnić na inne niż zamknięte przekroje prętów.

Rysunki warsztatowe żelbetu nie są Projektem

Na rys. 8 pokazano przykładowe ułożenie zbrojenia w belce z rys.7. Rysunek warsztatowy 8 jest wykonany w historycznej konwencji – poszczególne figury zbrojeniowe zostały szczegółowo zobrazowane, a powinno stosować się kody kształtów prętów zgodnie zasadą przedstawioną w artykule Standard rysunku warsztatowego konstrukcji żelbetowej.

Zgodnie z  europejską zasadą rysunki warsztatowe konstrukcji żelbetowej typu 8  opracowuje Wykonawca jako wstępny etap swoich robót budowlanych i  uzgadnia z Projektantem pod względem zgodności z Projektem, czyli projektem budowlanym i wykonawczym.  Rysunki warsztatowe bezwzględnie należy wykonać zgodnie z projektem budowlanym i wykonawczym a projekt właściwy nie powinien zawierać zbyt wielu detali (przede wszystkim typowych), tak by nie ograniczać Wykonawcy do określonej technologii (np do łączenia prętów na zakład zamiast na łączniki mechaniczne, itd, do systemu szalowania itp).

Pokazany rysunek warsztatowy nie jest elementem Projektu belki, a jedynie jego konsekwencją.  Jako element Projektu belki można natomiast uznać detal zbrojenia nadpodporowego (rys. 9), który Projektant może zamieścić jako szkic projektowy, stanowiący wytyczną do wykonania belki, w tym opracowania rysunku warsztatowego. Ponieważ jednak detal ten pokazuje rozwiązanie typowe, to w zasadzie nie powinien być przedstawiany w projekcie – wystarczy opis.

Rys.8 Przykład historycznego rysunku warsztatowego zbrojenia belki

(Zybura, 2015, rys. 1.4)

Rys. 9. Zbrojenie poprzeczne belki z rys. 8: strzemiona:1- pojedyncze, 2- podwójne.

(Zybura, 2015, rys. 1.5)

Zagięcia prętów

Krzywizna zagięć prętów nie może być zbyt mała. Normuje się wewnętrzną średnicę zagięcia, czyli średnicę trzpienia $\Phi_m$ na który jest nawijany pręt (rys. 10). Minimalna średnica zaginania  $\Phi_{m,min}$ wynosi

$$\begin{equation} \Phi_{m,min} = \begin {cases}
4 \Phi, & \text {jeśli  $ \Phi \le$ 16 mm} \\
6 \Phi, & \text {jeśli  $ \Phi$ > 16 mm }
\end {cases} \label{20} \end{equation}$$

Rys.10 Średnica zagięcia pręta

Odcinek prosty pręta powinien być wyprowadzony poza zagięcie przynajmniej na $5\Phi$.

W przypadku zaginania pręta obok spoiny łączącej pręt poprzeczny (rys. 11 d), f), h) średnica minimalna średnica zagięcia powinna wynosi $\Phi_{m.min}=5 \Phi$.

Rys. 11 Zagięcia prętów zbrojenia podłużnego

Kotwienie strzemion wymaga spełnienia warunków pokazanych na rys. 12.

Rys.12. Kotwienie strzemion

W celu uniknięcia zniszczenia betonu w zagięciu pręta wytężonego na początku zagięcia siłą $F_{bt}$  minimalna średnica zgięcia wynosi:

$$\begin{equation} \Phi_{m,min}= F_{bt} \left( \dfrac{1}{a_b}+\dfrac {1} {2 \Phi} \right)  \label{21} \end{equation}$$

gdzie: $a_b$ d jest połową odległości między osiami prętów równoległych, sąsiednich zagiętych prętów, a w przypadku pręta sąsiadującego z powierzchnią elementu $a_b =\Phi/2$.

Średnica zagięcia nie musi być sprawdzana z warunku $(\ref{21})$ , jeżeli:
a) zakotwienie nie wymaga więcej niż 5 $\Phi$ prostego odcinka od zakończenia gięcia , lub
b) 
pręt nie jest najbliższy krawędzi i wewnątrz zagięcia jest ułożony pręt poprzeczny $\ge \Phi$.

W przypadku haków i pętli (rys. 11 a), b),e))   należy zachować podstawowy wymiar zakotwienia $l_{bd}$, omówiony  w kolejnym punkcie artykułu.

Zakotwienie prętów zbrojeniowych

Zakotwienie pręta  zbrojeniowego powinno wynosić $l_{bd}$ i zależy od długości bazowej (wymaganej) $l_{bd,rqd}$ (rys. 13) oraz zestawu współczynników $\alpha_1$ do $\alpha_5$ zgodnie z zależnością (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, kl. 8.4):

$$\begin{equation} l_0 = \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot \alpha_3 \cdot \alpha_4 \cdot \alpha_5 \cdot l_{b,rqd} \ge \max { \{ 0,3 \alpha_6 l_{b,rqd}\, ; \, 10 \Phi \, ; \, 100 \, mm \}} \label{22} \end{equation}$$

przy ograniczeniu iloczynu $(\alpha_2 \cdot \alpha_3  \cdot \alpha_5) \le 0,7$

Rys. 13 Zakotwienia pręta liczy się po osi: lbd – wymagane , lb,rqd>lbd – bazowe

Długość bazowa zależy od średnicy pręta $\Phi$ , naprężeń w pręcie $\sigma_{sd}$ i przyczepności betonu do pręta $f_{bd}$:

$$\begin{equation} l_{brqd} = \Phi/4 \cdot \cfrac{\sigma_{sd}} {f_{b d}} \label{23} \end{equation}$$

Długości bazowe dla szeregu przypadków zagięć prętów zilustrowano  na rys. 11.

Przyczepność betonu do pręta można wyznaczyć z formuły:

$$\begin{equation} f_{bd} = 2,15 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot f_{ctk 5 \%} / \gamma_c \label{24} \end{equation}$$

gdzie:
$\eta_1=1$ dla dobrych  i $\eta_1=0,7$ dla innych warunków przyczepności w zależności o umiejscowienia pręta zbrojeniowego w elemencie ( p. informacje w kalkulatorze  CH-Ż),
$\eta_2=1$ dla średnicy pręta w strefie zakładu  $\Phi_z \le 32 ,\ mm$ i $\eta_2= 1,32- \Phi_z/100 )$ dla większych średnic,
$f_{ctk 5 \%}=0,7 \cdot f_{ctm}$ ($f_{ctm}= 0,3 \cdot f_{ck}^{2/3}$ wg tab.1)
$\gamma_c=1,4$ częściowy współczynnik bezpieczeństwa (materiałowy) dla betonu.

Górna granica przyczepności jest ograniczona wytrzymałością betonu C60/75., dla którego $f_{ctd}=4,9 \, MPa$.

W załączonym do artykułu arkuszu kalkulacyjnym (link pod tab.6) podano kryteria kwalifikacji przyczepności do dobrych warunków, a także sposób wyznaczania współczynników $\alpha_i \, i=1..,5$.

Kształtowanie zakładów prętów zbrojeniowych

Łączenie prętów zbrojeniowych na zakład jest w Polsce podstawową techniką uciąglania zbrojenia betonu. Coraz częściej stosuje się jednak łączniki mechaniczne, opisane w artykule Systemy zbrojenia betonu.

Zakład łączonych prętów powinien wynosić

$$\begin{equation} l_0 = \alpha_1  \cdot \alpha_2 \cdot \alpha_3 \cdot \alpha_4 \cdot \alpha_5 \cdot \alpha_6 \cdot l_{b,rqd} \ge \max { \{ 0,3 \cdot  \alpha_6 \cdot l_{b,rqd} \, ; \, 15 \Phi \, ; \, 200 \, mm \} } \label{25} \end{equation}$$

gdzie długość bazową $l_{b,rqd}$ oraz współczynniki $\alpha_i$ (i=1,..5) są zdefiniowane w rozdziale wyżej (zakotwienie prętów).

Współczynnik $\alpha_6$ wynosi

$$\begin{equation} \alpha_6 = \sqrt{\rho_1/25} \text{ , przy czym $ 1,0 \le \alpha_6 \le 1,5$} \label{26} \end{equation}$$

Współczynnik $\rho_1$ jest określany w procentach i oznacza liczbę prętów łączonych zakładami w efektywnym pasie po $0,65 l_0$ od osi przekroju, (w przykładzie na rys. 14 pokrywającej się z osią zakładu 1)  do liczby wszystkich prętów przecinających przekrój. Na rys. 14  pokazano przekrój z 4-roma prętami, z których tylko dwa zakłady zmieszczono w efektywnym pasie. W tym przypadku współczynnik zakładów $\rho_1$=50%, a współczynnik $\alpha_6=\sqrt{50/25}=1,4$.

Rys.14. Kształtowanie zakładów prętów zbrojeniowych

W tab.5.  zestawiono podstawowe długości zakotwień oraz zakładów jako wielokrotność średnicy pręta ze stali B500 maksymalnie wytężonego. Dane zawarte w tej tabeli są szacunkowe.
Dokładniejsze oszacowania zakotwień oraz zakładów prętów zbrojeniowych można dokonać w arkuszu  „Zakotwienia”, stanowiącym załącznik do artykułu,.

Tab.5 Zakotwienia i zakłady prętów zbrojeniowych. Podstawowe długości

( kliknij w tabelę, aby pobrać arkusz )

Kotwienie zbrojenia na podporach skrajnych

Na podporach, skrajnych gdzie moment zginający jest niewielki (lub teoretycznie zerowy) wymaga się, by doprowadzić i odpowiednio zakotwić 25% zbrojenia przęsłowego w belkach, a w  płytach 50%.

Zginanie z udziałem siły osiowej

W niniejszym artykule zajmujemy się przypadkiem CT przeważającego zginania (dużego mimośrodu), czyli  przypadkiem rozkładu odkształceń po wysokości przekroju pokazanym na rys.2c.  dla wysokości strefy ściskanej $x\le h$. Taki sposób wytężenia  nazwiemy zginaniem belki żelbetowej, którą należy zbroić podłużnie. Parametry betonów potrzebne do analizy zagadnienia zestawiono w tab.1.  Rozkład naprężeń ściskających w betonie jest w ogólności nieliniowy (rys. 15), ale z dokładnością wystarczającą dla praktyki może być aproksymowany liniowo (rys. 16).

Poniżej omówiono klasyczne techniki wymiarowania zbrojenia podłużnego zginanego przekroju żelbetowego, a następnie uogólniono je w celu  opracowania procedury umożliwiającej optymalny dobór zbrojenia, z warunku  $\Sigma A_s=A_{sl}+A_{su}= min$.

Model przekroju zginanego z udziałem siły osiowej

Podstawowe oznaczenia

W niniejszym artykule stosuje się następujące podstawowe oznaczenia, dotyczące wielkości względnych (unormowanych) dla zginania belek żelbetowych:

  • unormowany moment zginający

$$\begin{equation} m_* =\dfrac {M_* }{b d^2 f_{cd}} \label {27} \end{equation}$$

gdzie  *= u – graniczny (ultimate) el – sprężysty(elastic) ; Ed (obliczeniowy od obciążeń zewnętrznych)  ;  Rd (obliczeniowa nośność), itd.

  • współczynnik $\delta$ redystrybucji naprężeń w przekroju jest równy stosunkowi momentowi po redystrybucji do momentu sprężystego:

$$\begin{equation}  \delta= \dfrac{\mu_u}{\mu_{el}} \label {28} \end{equation}$$

  • unormowana siła osiowa

$$\begin{equation} n_* =\dfrac{N_* }{b d f_{cd}} \label {29} \end{equation}$$

  • unormowana wysokość strefy ściskanej

$$\begin{equation} \xi_*=\dfrac{x_* }{d} \label {30} \end{equation}$$

gdzie  *= u – wartość granicznej,  *=red- zredukowana współczynnikiem redukcji $\lambda$ (efektywna)

  • unormowane ramię sił

$$\begin{equation} \zeta_*=\dfrac{z_*}{d} \label {31} \end{equation}$$

  • stopień zbrojenia (unormowane pole zbrojenia)

$$\begin{equation} \rho_*=\dfrac{A_{s*}}{A_c} \label {32} \end{equation}$$

gdzie  *= l (lower) – dla zbrojenia dolnego (rozciąganego), *= u (upper) – dla zbrojenia górnego (ściskanego), *=s dla sumy zbrojenia,
$A_c=b\cdot h$

Model nieliniowy MN

W zagadnieniu zginania ze ściskaniem/rozciąganiem przekroju żelbetowego poszukujemy trzy niewiadome (p. rys. 15) : wysokość strefy ściskanej betonu $x$, pole przekroju zbrojenia dolnego (rozciąganego) $A_{sl} $ oraz pola przekroju zbrojenia górnego $A_{su}$, umieszczonego w strefie ściskanej betonu.

Model rozkładu naprężeń na wysokości $x$ strefy ściskanej betonu jest paraboliczny dla odkształcenia betonu $0 < \varepsilon_c \le \varepsilon_{c2}$ i prostokątny dla $0 < \varepsilon_c > \varepsilon_{c2} < \varepsilon_{cu}=3,5$ ‰ (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, kl.3.1.7(1)) (wykładnik potęgi $n=2$ dla betonu zwykłego  BZ i n wg tab. 1 dla betonów wysokiej wytrzymałości BWW).

Rys. 15. Nieliniowy MN rozkład naprężeń w strefie ściskanej betonu

Nieliniowy (paraboliczny) model betonu MN  z rys. 15, można opisać formułami (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzory (3.17)-(3.18)) :

$$\begin{equation}\sigma_c (z)= f_{cd} \cdot \begin {cases}
1, & \text {jeśli  $ \varepsilon_{c2} \le\varepsilon_c \le \varepsilon_{cu2}$} \\
1-  (1- \varepsilon_c/\varepsilon_{c2})^n, & \text {jeśli  $ \varepsilon_c <\varepsilon_{c2}$ }
\end {cases} \label{33}\end{equation}$$

gdzie wykładnik potęgi zgodnie z tab. 1 (dla betonu BZ  n=2),

$\varepsilon_{cu2}$ – graniczne (maksymalne) odkształcenie betonu

$\varepsilon_{c2}$ – najmniejsze odkształcenie, przy którym w betonie wystąpią naprężenia $f_{cd}$

Model uproszczony MU

Zgodnie z klauzulą (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, kl.3.1.7(3)) w obliczeniach inżynierskich dopuszcza się założenia upraszczające, polegające na aproksymacji parabolicznej bryły naprężeń w modelu MN  przez bryłę prostokątną MU, w sposób pokazany na rys. 16.

Rys.16  Uproszczony  MU rozkład naprężeń w przekroju zginanym

W  uproszczonym MU modelu zmniejsza się wartość naprężeń w betonie do $\eta f_{cd}$ i wysokość bryły naprężeń do $\lambda x$ , zgodnie z wartościami zamieszczonymi w tab. 1. W celu uproszczenia formuł zredukowana wysokość strefy ściskanej betonu jest oznaczana przez $x_{eff} = \lambda x$.

Graniczne odkształcenia betonu w modelu MN $\varepsilon_{cu2}$ i  w modelu MU  $\varepsilon_{cu3}$ są takie same i wynoszą 3,5‰. Natomiast odkształcenia betonu BZ  na początku strefy prostokątnej (dla $\sigma_c=f{cd}$) w modelu MN wynoszą $\varepsilon _{c2}$=2‰, a  w modelu MU $\varepsilon _{c3}$=1,75‰ . Dla betonów BWW stosowne wartości podano w  tab. 1.

Model MU przedstawiony na rys.16 definiują formuły (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzory (3.19)-(3.22)), opisujące współczynnik $\lambda$, określający efektywną wysokość strefy ściskanej oraz  współczynnik $\eta$, określający efektywną wytrzymałość:

$$\begin{equation} \lambda= \begin {cases}
0,8 , & \text {dla BZ} \\
0,8-\dfrac{f_{ck}-50}{400} , & \text {dla BWW}
\end {cases} \label{34}\end{equation}$$

$$\begin{equation} \eta= \begin {cases}
1,0 , & \text {dla BZ} \\
1,0-\dfrac{f_{ck}-50}{200} , & \text {BWW}
\end {cases} \label{35}\end{equation}$$

Graniczna wysokość strefy ściskanej $x_u$, a zniszczenie kruche betonu

Wysokość strefy ściskanej betonu jest ograniczona poprzez dopuszczalną redystrybucję naprężeń w przekroju zgodnie zasadami dotyczącymi sprężystej analizy betony z ograniczoną redystrybucją. Redystrybucja naprężeń w zakresie nieliniowym dotyczy nie tylko punktów wzdłuż konstrukcji statycznie niewyznaczalnych, ale także redystrybucji naprężeń po wysokości przekroju. W przypadku redystrybucji naprężeń na wysokości przekroju również mają zastosowanie wyrażenia z klauzuli  (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, kl.5.5(4)), zalecanej dla analizy liniowo-sprężystej z ograniczoną redystrybucją belek lub płyt statycznie niewyznaczalnych, a mianowicie:

$$\begin{equation} \delta \ge \begin {cases}
0,44+1,25 \cdot \xi_u, & \text {dla BZ} \\
0,54+k_4 \cdot \xi_u.,  & \text {dla BWW} \\
0,7  , & \text {dla stali B lub C} \\
0,8  , & \text {dla stali A}
\end {cases} \label {36}\end{equation}$$

Współczynnik $k_4=1,25(0,6+0,0014/\varepsilon_{cu2}$ dla poszczególnych betonów zestawiono w tab.1.

Otrzymujemy stąd:

$$\begin{equation} \xi_u < \begin {cases}
(\delta – 0,44)/1,25, & \text {dla BZ } \\
(\delta – 0,54)/k_4 & \text {dla BWW }
\end {cases} \label{37}  \end{equation}$$

Dla powszechnie stosowanej plastycznej stali klasy B lub C  – $\delta_{max}= 0,7$ (30% redystrybucji) i z równań ($\ref{37}$) otrzymujemy:

$$\begin{equation} \xi_u <  \begin {cases}
0,208, & \text {dla  BZ } \\
0,160/k_4 & \text {dla BWW } \\
\label {38} \end {cases} \end{equation}$$

W wielu polskich podręcznikach (m.in. (Knauff, Golubińska, Knyziak, 2015, pkt 10.2)(Starosolski, 2013) i in.)  przedstawia się odmienną interpretacje granicznej wysokości strefy ściskanej, a mianowicie taką  dla której  w zbrojeniu rozciąganym osiąga się granicę plastyczności. Z tego kryterium wyprowadza się formułę $\xi_{uS}= \dfrac{E_s \varepsilon_{cu2}}{E_s \varepsilon_{cu2}+f_{yd}}$. Dla najczęściej stosowanej stali B500 i BZ  otrzymujemy stąd

$$\begin{equation} \xi_{uS}= 0,617 \label {39} \end{equation}$$

Porównanie wartości $(\ref{39})$ (wynikającej z uplastycznienia stali) z wynikiem, $(\ref {38})$ uzyskanym dla granicznej redystrybucji wskazuje, że stosowanie pierwszego warunku prowadzi do znaczącego przekroczenia dopuszczalnej redystrybucji naprężeń w betonie, co w konsekwencji może prowadzić do zawyżenia nośności przekroju poprzez dopuszczenie przypadków w których beton ulegnie kruchemu zniszczenia. Interpretacja $(\ref {39})$ jest pozostałością historycznego podejścia i korzystania ze starych układów tablic i w dobie Eurokodów nie powinna być już stosowana.

Doświadczeni inżynierowie zalecają przyjmowanie $\xi_u$< 0,45., co jest powszechnie uznane za dobrą praktykę, prowadzącą do uniknięcia zjawiska „nadmiernego wzmocnienia” i kruchego zniszczenia betonu. Takie ograniczenie jest wymagane przez normę pośrednio w rozdziale  dotyczącym analizy plastycznej. Zgodnie z klauzulą (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, kl.5.6(2)) wynosi ono dla BZ  $\xi_{u,pl}  \le 0,25$, a dla BWW  $\xi_{u,pl} \le 0,15$.  W przypadku przeważającego ściskania (czyli w słupach) stosuje się momenty zginające wywołane obciążeniami zewnętrznymi, obliczone przy założeniu sprężystości bez jakiejkolwiek redystrybucji.

W celu ilustracji powyższego wywodu, w  tab 6 zestawiono zależność stopnia redystrybucji od wysokości strefy ściskanej dla betonu zwykłego.

Tab.6

Wysokość strefy ściskanej $\xi=0,45$ wystąpi przy pełnej redystrybucji naprężeń, a $\xi=0,617$ jest fizycznie niemożliwe, bo oznaczałoby  hiperredystrybucję naprężeń w przekroju .

W niniejszym artykule zalecamy stosowanie wartości odpowiadającej stopniowi redystrybucji $\delta=$ 0,9, czyli

$$\begin{equation} \xi_u = \begin {cases}
(0,9-0,44)/1,25=0,368, & \text {dla BZ } \\
(0,9-0,54)/k_4= 0,36/k_4 & \text {dla BWW }
\end {cases} \label{40}  \end{equation}$$

Wartości współczynnika $k_4$ podano w tab.1.

Założenie $(\ref{40})$ o wysokości strefy ściskanej dotyczy zarówno modelu MN  jak i MU i zmniejsza ryzyko zniszczenia przekroju zginanego poprzez kruche pękniecie betonu, co w konsekwencji prowadzi do zapewnienia odpowiedniej niezawodności przekrojów żelbetowych z przeważającym udziałem zginania.

Wartości graniczne $(\ref{40})$ dotyczą rzeczywistej wysokości strefy ściskanej, a nie zredukowanej współczynnikiem $\lambda$ (efektywnej).

W Wielkiej Brytanii (MPA The Concrete Centre, 2016) od lat zaleca się stosowanie do wymiarowania przekrojów zginanych współczynnika redystrybucji $\delta=0,85$, które jest nieco bezpieczniejsze od postulowanego w niniejszym artykule $\delta=0,9$ , ale będzie to prowadziło do nieco większego zbrojenia.

Klasyczna technika projektowania zbrojenia podłużnego

W projektowaniu podłużnego  zbrojenia  przekroju zginanego (bez udziału siły podłużnej) stosuje się  trzy podejścia:

  • metodą bezpośrednią stosowaną do wyznaczania zbrojenia belki pojedynczo zbrojonej (dla $A_{su}=0$),
  • metodą tabelaryczną lub graficznie z wykresów,
  • iteracyjne stosowane w  arkuszach kalkulacyjnych lub procedurach numerycznych.

W klasycznej technice stosuje się uproszczony, prostokątny rozkład z rys. 16.

Graniczna nośność przekroju i kryterium zbrojenia podwójnego

Graniczna nośność przekroju pojedynczo zbrojonego $\mu_u$ odpowiada nośności przekroju bez stali ściskanej $A_u=0$ i w sytuacji osiągnięcia przez bryłę ściskaną granicznej, maksymalnej wartości $\xi_u$, określonej wyżej. Przekrój będzie mógł przenieść większy moment dopiero po wspomożeniu strefy betonu poprzez zbrojenie strefy ściskanej przekrojem $A_u>0$.

Moment wokół osi zbrojenia rozciąganego $F_{sl}$ bez udziału zbrojenia ściskanego $F_{su}$  wynosi:

$$\begin{equation} M_c= F_c \cdot z= b \cdot \eta f_{cd} \cdot  x_{eff} \cdot z= b \cdot  \eta  f_{cd} \cdot  x_{eff} (d-x_{eff}/2)  \label {41} \end{equation}$$

Po unormowaniu moment zginający przenoszony przez beton, równy momentowi przenoszonemu przez rozciąganą stal ( i w konsekwencji przez cały przekrój,) czyli nośność przekroju  pojedynczo zbrojonego można obliczyć z formuły

$$\begin{equation} m_{R1}=\eta \cdot  \xi_{eff} \cdot \left (  1 – \xi_{eff}/2 \right) \label {42}\end{equation}$$

gdzie $\xi_{eff}=\lambda \xi $
($\lambda$ wg tab. 1 zależy od klasy betonu, a $\xi=x/d$ jest rzeczywistą, względną wysokością strefy ściskanej)

Nośność graniczną przekroju pojedynczo zbrojonego uzyskamy z $(\ref{42})$ po podstawieniu granicznej wysokości strefy ściskanej $\xi=\xi_u$  ($\xi_{eff,u}=\lambda \xi_u$), czyli:

$$\begin{equation} \xi_{eff,u} = \begin {cases}
0,8 \cdot 0,368 = 0,2944, & \text {dla BZ } \\
0,32 \lambda , & \text {dla BWW }
\end {cases} \label{43}  \end{equation}$$

$$\begin{equation} m_u = \begin {cases}
0,2944-0,2944^2 /2=0,251, & \text {dla BZ } \\
0,32 \lambda(1-0,16 \lambda), & \text {dla BWW }
\end {cases} \label{44}  \end{equation}$$

Można pokazać, że identyczny rezultat uzyskamy operując rzeczywistymi ( anie efektywnymi) wysokościami strefy ściskanej.

Warunek na zbrojenie pojedyncze/podwójne przekroju można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} \text{Jeżeli} \begin {cases}
m_{Ed} \le m_{u}, & \text {to wystarczy pojedyncze zbrojenie ($A_{su}=0$) } \\
m_{Ed} > m_{u}, & \text {to należy zastosować zbrojenie podwójne ($A_{su}>0$)}
\end {cases} \label{45}  \end{equation}$$

Zbrojenie pojedyncze

W przypadku, gdy zbrojenie ściskane nie jest wymagane, zbrojenie rozciągane $A_{sl}$ najłatwiej wyznaczyć bezpośrednio z równania kwadratowego $(\ref{42})$ dla $m_{R1}=m_{Ed}$, które po rozwiązaniu podług $\xi$ daje pierwiastki:

$$\begin{equation} \xi_{equ}=  1 \pm \sqrt{1- 2 m_{Ed}/ \eta}  \label {46} \end{equation}$$

Ponieważ $\xi_{equ}>1$ nie ma sensu fizycznego , więc dla zbrojenia pojedynczego  pozostaje pierwiastek $\xi_1$

$$\begin{equation} \xi_1= 1 – \sqrt{1 – 2m_{Ed}/ \eta} \label {47} \end{equation}$$

Często posługuje się ramieniem sił wewnętrznych  $ z= d-  x_{eff}/2$ , czyli po unormowaniu $\zeta =1- \xi_{eff}/2$, co dla pierwiastka $(\ref{46})$ daje:

 $$\begin{equation} \zeta_1= \tfrac{1}{2}(1+\sqrt{1-2m_{Ed}/ \eta})  \label{48} \end{equation}$$

Z warunku równowagi  momentów względem wypadkowej siły w betonie $F_c$, bezpośrednio wyznaczamy siłę w zbrojeniu dolnym $F_{sl}=M_{Ed}/z$, a następnie teoretyczne pole przekroju zbrojenia:

$$\begin{equation}  A_{sl,1} = \dfrac{M_{Ed}} {\zeta_1 \cdot d \cdot f_{yd}}=\dfrac{m_{Ed} \cdot (bd f_{cd})}{\zeta_1 f_{yd}}\label {49} \end{equation}$$

Zbrojenie podwójne

W przypadku, gdy z kryterium $(\ref {45})$ wynika, że  nośność ściskanej strefy betonu jest za mała, należy zwiększyć wymiary przekroju lub w szczególnych, lokalnych  sytuacjach  można zastosować zbrojenie podwójne  ( zbrojenie w strefie ściskanej $A_{su}$ .

Teoretyczna procedura wyznaczenia zbrojenia $A_{su}$ polega na takim zaprojektowaniu zbrojenia ściskanego , by przeniosło one nadwyżkę momentu zginającego  $\Delta m$

$$\begin{equation}  \Delta m= m_{Ed}-m_u \label {50} \end{equation}$$

Warunek równowagi momentów względem osi zbrojenia rozciąganego, ale z udziałem siły $F_{su}$ zapisujemy w postaci: $M_{Ed}= F_c \cdot z+F_{su} \cdot (d-a_u)$, i po unormowaniu otrzymujemy

$$\begin{equation}   A_{su,2}= \dfrac { \Delta m  \cdot (b d f_{cd}) } {(1-a_u/d) f_{yd}} \label {51} \end{equation}$$

W celu zachowania równowagi sił poziomych  przekrój $A_{sl,1}$  $(\ref{49})$ należy zwiększyć o zbrojenie ściskane:

$$\begin{equation} A_{sl,2}= A_{sl,1}+A_{su,2} \label {52} \end{equation}$$

Uwagi krytyczne o klasycznej technice projektowania przekrojów zginanych

Klasyczna technika projektowania przekrojów zginanych nie uwzględnia się relacji odkształceń w betonie i stali, oraz prawa fizycznego, betonu i stali.

W każdym rzeczywistym przypadku zbrojenia żelbetowego przekroju zginanego metodami klasycznymi – nie są nawet spełnione podstawowe warunki równowagi sił., również z tego względu , że każdy przekrój żelbetowy jest w rzeczywistości, a nie uwzględnia się sił przenoszonych przez to zbrojenie, zakładając że ono nie występuje.

W rezultacie nie są spełnione fundamentalne równania żelbetu, w tym $(\ref{56})$, co oznacza, że wyznaczone rozwiązanie jest nie tylko nierzeczywiste, ale nawet nie jest statycznie dopuszczalne.

W celu wyznaczenia rozwiązania spełniającego warunki równowagi oraz warunki fizyczne, należy przeprowadzić analizę pokazaną niżej dla zginania z udziałem siły osiowej.

Postawienie zagadnienia  zginania i ściskania belki żelbetowej

Zagadnienie żelbetu  polega na poszukiwaniu  pięciu niewiadomych:  wysokości strefy ściskanej $x$, pola zbrojenia dolnego $A_{sl}$,  górnego $A_{su}$, a także naprężeń w stali $\sigma_{sl}$, $\sigma_{su}$.

Do dyspozycji mamy tylko dwa warunki równowagi sił:  $\Sigma X=0 \, ; \Sigma M_i =0$  względem osi  $i = O$, $l$ lub $u$= (oś przekroju betonowego, oś dolnego zbrojenia, oś górnego zbrojenia)”. Wybór osi jest dowolny, ale tylko jeden z warunków ΣM jest niezależny.

Trzeci warunek jest określony przez prawo fizyczne betonu $(\ref{65})$, a czwarty i piąty przez prawo fizyczne $(\ref{69})$ dla zbrojenia rozciąganego (l)  i ściskanego (u), określone formułami analogicznymi do klasycznych równań Hooka, ale opisującymi związki nieliniowe poprzez przyjęcie nieliniowych modułów sprężystości.

Dodatkowym warunkiem rozwiązania jest prawo płaskich przekrojów Bernoulliego $(\ref{73})$, które jest w istocie wnioskiem z rozwiązania zagadnienia brzegowego czystego zginania, a wynika  z rozkładu pola przemieszczeń określonych przez równania geometryczne Cauchego  na podstawie odkształceń związanych z naprężeniami równania fizycznymi Hooke’a (Piechnik, 1980, 148).

Ponadto ograniczane są maksymalne odkształcenia betonu do wartości granicznej $\varepsilon_u$=3,5‰ dla BZ i do wartości podanych w tab. 1 dla BWW.

Rozwiązanie zagadnienia polega na zestawieniu wskazanych wyżej zależności i rozwiązaniu utworzonego układu równań. Układ równań rządzący zagadnieniem jest w ogólności nieliniowy i w zasadzie nie da się  sformułować prostego rozwiązania analitycznego w „kwadraturach”. Znane rozwiązania (np (Knauff, Golubińska, Kryziak, 2014)(Starosolski, 2013)) są dość skomplikowane, wielowątkowe i wprowadzają niepotrzebne definiowanie różnych przypadków projektowych. Rozwiązania numeryczne najefektywniej jest uzyskać z zastosowaniem powszechnie dostępnych arkuszy kalkulacyjnych, a jeden algorytm obejmuje wszystkie przypadki projektowe wraz z zadaniami optymalizacji.

Rozwiązaniem problemu jest nośność przekroju określona parametrem $\Lambda$ – mnożnikiem obciążenia do ustalonej konfiguracji odniesienia $F_0=[M_0,N_0]$:

$$\begin{equation} \Lambda_R = (F_R= [M_R,N_R)]/(F_0=[M_0, N_0]) \label {53}\end{equation}$$

Równania równowagi przekroju

Na rys. 15 i 16 pokazano siły działające w przekroju z przyjętą konwencją znakowania sił zewnętrznych:  zewnętrzny moment  zginający $M_{Ed}$ jest dodatni jeśli rozciąga dolne włókna przekroju, zewnętrzna siła osiowa$N_{Ed}$ jest dodatnia, jeśli ściska przekrój. Założono też dodatnie zwroty sił wewnętrznych: siły  $F_c$ i $F_{su}$ są ściskające, siła $F_{sl}$ jest rozciągająca. Jeśli z rozwiązania zadania uzyskamy znaki ujemne, to będzie oznaczało, że w danej sytuacji obliczeniowej siła działa przeciwnie do założonego zwrotu.

W celu skrócenia zapisu wprowadzamy parametry zwane użytecznymi wysokościami $d_i$ przekroju „i”, zależnymi od współrzędnej osi do której są odmierzane, wynoszącymi:

$$\begin{equation} d_i = \begin {cases}
h/2,  & (i=O)\\
h – a_l,  & (i=l) \\
a_u,  & (i=u)\\
h – a_l – a_u, & (i=lu)
\end {cases} \label {54} \end{equation}$$

Równania równowagi przekroju odczytane bezpośrednio z rys. 15 można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} \begin {cases}
\Sigma X=0 \to  N_{Ed} – F_c – F_{su}  + F_{sl}=0\\
\Sigma M_0=0 \to  M_{Ed} – M_{c,0} – F_{su} \cdot (d_0 – a_u) – F_{sl} \cdot (d_0 – a_l)=0
\end {cases} \label {55}\end{equation}$$

Ponieważ spełnione powinny być oba warunki  $(\ref {55})$ jednocześnie, więc złożenie (suma) obu warunków powinna być stateczna. Po przemnożeniu pierwszego równania obustronnie przez $- d_0$ i dodaniu obu równań skonsolidowany warunek równowagi przyjmuje postać:

$$\begin{equation} R=(M_{Ed} – M_{c,0}) – (N_{Ed}+2F_{sl} – F_c)\cdot d_0 + (F_{sl} \cdot  a_l+ F_{su} \cdot  a_u) = 0 \label {56} \end{equation}$$

Po przekształceniach skonsolidowany warunek równowagi  żelbetu możemy zapisać w postaci przydatnej do wyznaczania sumy zbrojenia przekroju:

$$\begin {equation} (F_{sl} +F_{su})=\dfrac {2 (M_{Ed}-M_{c,0})} {d_{lu}}+ (N_{Ed}-F_c) \label {57} \end {equation}$$

Porównanie metody nieliniowej MN i uproszczonej MU

W fundamentalnym równaniu żelbetu $R=0$ $(\ref{56})$ występuje  wypadkowa bryły naprężeń w betonie $F_c$ oraz moment tej bryły $M_{c,0}$ liczony względem osi y-y przekroju betonowego, które są funkcją wysokości strefy ściskanej $x$. W przypadku rozpatrywanego w tym artykule przeważającego zginania (rys.2c)  wysokość strefy ściskanej  $x\le h$. W takim przypadku  wypadkowa i moment bryły naprężeń w betonie wynosi:

  • dla modelu MU  (uproszczonego – prostokątnego)

$$\begin {equation} F_c=\eta f_{cd} b \lambda x \qquad ;  M_{c,0}= F_c (d_0 – \lambda x /2) \label {58} \end {equation}$$

  • dla modelu MN (nieliniowego – parabolicznego)

$$\begin {equation} F_c=\dfrac {17}{21} \cdot b \cdot x \cdot f_{cd}  \qquad;  M_{c,0}=F_c \cdot \left( d_0- \dfrac {693} {1666} x \right) \label {59} \end {equation}$$

Siły $F_c$ oraz $M_{c,0}$ dla modelu nieliniowego uzyskano poprzez całkowanie rozkładu $(\ref{33})$.

Dla znanych sił przekrojowych  $M_{Ed}$ oraz $N_{Ed}$ oraz siły w zbrojeniu dolnym $F_{sl}$ oraz górnym $F_{su}$ skonsolidowany warunek równowagi $(\ref{56})$ staje się kwadratowym równaniem  $R(x)=0$, które nazwiemy podstawowym równaniem żelbetu i które ma tylko jeden pierwiastek dodatni, co jest zgodne z naturą ($x>0$);. Pierwiastek ten można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} x= \alpha_M  \cdot  \sqrt{ \dfrac{ (N_{Ed}+2 F_{sl})\cdot d_0 -M_{Ed}-a_l F_{sl} -a_u F_{su}} {b f_{cd}}} \label {60}\end{equation}$$

Współczynnik $\alpha_M$ zależy od modelu betonu:

$$\begin{equation}  \alpha_M= \begin {cases}
\dfrac{\sqrt{2/\eta}}{\lambda} &  \text {dla modelu U} \\
\sqrt{\dfrac{101}{33}}= 1,723 & \text {dla modelu N}
\end {cases} \label{61} \end{equation}$$

Dla modelu uproszczonego U wyniki są mniej dokładne. Przedstawiamy je wyłącznie w celach porównawczych. Dla BZ w modelu uproszczonym MU $\alpha_M=\sqrt{2/1} /0,8 = 1,768$, czyli różni się o $1,768/1,723-1= 2,6$ % od współczynnika $\alpha_M$ w modelu nieliniowym MN. Wynika stąd, że korzystanie z obu modeli jest w praktyce równoważne, ale model MN jest uniwersalny, bo dotyczy wszystkich betonów (również wysokiej wytrzymałości), co upraszcza algorytmy numeryczne oraz interpretację wyników.

W dalszym ciągu stosujemy wyłącznie model nieliniowy MN.  Zadanie żelbetu jest sprzężone, to znaczy siły w zbrojeniu  dolnym $F_{sl}$ oraz górnym $F_{su}$  zależą od wysokości strefy ściskanej $x$. Do wyznaczania  $x$ nie wykorzystujemy więc wprost  równania $(\ref{60})$ , ale poszukujemy rozwiązania nieliniowego równania $R=0$ ($\ref {56}$), gdzie do wyznaczenia odkształceń zbrojenia stosowana jest zasada płaskich przekrojów ($\ref{73}$) a naprężenia w stali i betonie wyznacza się z prawa fizycznego ($\ref{65}$) i ($\ref{66}$).

Nośność przekroju

Z równań  $(\ref{55})$  bezpośrednio wyznaczamy nośność obliczeniową przekroju $M_{Rd} (=M_{Ed})$, $N_{Rd}(=N_{Ed})$ mierzoną siłami przekrojowymi: czystym momentem zginającym oraz czystą siła osiową dla wyznaczonego zbrojenia oraz wyznaczonej wysokości strefy ściskanej $x$:

$$\begin{equation} \begin {cases}
M_{Rd} = M_{c,0} + F_{su} \cdot (d_0 – a_u) + F_{sl} \cdot (d_0 – a_l) \\
N_{Rd} = F_c + F_{su}  – F_{sl}
\end {cases} \label {62}\end{equation}$$

Współdziałania (interakcja) kilku sił redukuje nośność przekroju mierzoną czystą siłą (bez działania pozostałych). Dla przypadku jednokierunkowego zginania ze ściskaniem zależności interakcji pokazano na rys. 17.

Rys.17. Konstrukcja krzywej interakcji przekroju zginanego i ściskanego

(opracowano  na podstawie (Wight, MacGregor, 2012, Fig.11-13) )

W obliczeniach praktycznych zwykle przyjmuje się (Wight, MacGregor, 2012, (11-16)), że składowe nośności zmniejszane są tym samym współczynnikiem redukcyjnym $k_{M-N}$:

$$\begin{equation} F_{Rd,M-N}= k_{M-N} \left \{ M_{Rd} \, ; \, N_{Rd} \right \} \label{63} \end{equation}$$

Współczynniki interakcji $k_{M-N}$ można wyznaczyć szacunkowo z zaleceń normy amerykańskiej w zależności od obszaru interakcji, określonej na podstawie odkształcenia zbrojenia dolnego (rozciąganego) $\varepsilon_{sl}$ (ACI 318-14, 2014):

$$\begin{equation} k_{M-N} = \begin {cases}
0,65, &  \text {dla }  \varepsilon_{sl}\le \varepsilon_{sy} \\
0,65+ (\varepsilon_{sl}-\varepsilon_{sy}) 0,29 / \varepsilon_{cu}, & \text {dla } \varepsilon_{sy} < \varepsilon_{sl} < \varepsilon_{su} \\
0,90,  & \text {dla }  \varepsilon_{sl} \ge \varepsilon_{su}
\end {cases} \label{64} \end{equation}$$

gdzie:
$\varepsilon_{sy}=E_s / f_{yk}$ – odkształcenie plastyczne stali,
$\varepsilon_{su}$ – odkształcenie graniczne stali (odpowiadające granicy wytrzymałości),
$\varepsilon_{cu}$=3,5% – odkształcenie graniczne betonu

W załączonym  arkuszu kalkulacyjnym interakcja momentu zginającego oraz siły osiowej jest uwzględniana dokładnie bez potrzeby stosowania uproszczonych formuł $(\ref{63})$ z $(\ref{64})$.

Prawo fizyczne betonu. Moduł materiału, a moduł górnego lub dolnego włókna belki

Prawo fizyczne betonu wiąże odkształcenia w betonie $\varepsilon_c$ z naprężeniami $\sigma_c$ i jest zapisywane w postaci analogicznej do wzoru Hooka:

$$\begin{equation}\sigma_c=E_c \cdot \varepsilon_c \label{65}\end{equation}$$

przy czym moduł odkształcalności  betonu Ecc, t) jest w ogólności nieliniową funkcją odkształceń betonu oraz czasu $t$ i zmniejsza się istotnie wraz ze wzrostem pełzania betonu (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, Rys.3.2.), a prawo $(\ref{65})$ jest w istocie nieliniowe.

Jak już wspomniano wcześniej w mechanice prętów żelbetowych model $(\ref{65})$ można zastąpić równoważną, niezależną od czasu postacią (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010) przedstawioną na rys. 15 (model nieliniowy) lub na rys 16 (model uproszczony).

Obliczeniowy moduł odkształcalności betonu jest modułem siecznym i jest minimalny  dla włókna skrajnego (tam, gdzie odkształcenie jest maksymalne εccu2 lub εcu3). Nazwiemy go modułem włókna górnego :

$$\begin{equation}E_{cu}=f_{cd}/\varepsilon_{cu2} \label{66}\end{equation}$$

Na przykład dla betonu C30/37  moduł włókna górnego wynosi Ecu=(30/1,4)/3,5‰=6,1 GPa. Dla porównania: średni moduł styczny dla  betonu C30/37 wynosi Ecm=32 GPa, a moduł długotrwały (z uwzględnieniem pełzania) Ec,eff=Ecm/[1+φ(∞,t0)] ≈ Ecm/(1+2)=32/3=10,7 MPa.

Moduł włókna dolnego $E_{cl}$ zależy od fazy pracy przekroju., przy czym w każdej fazie obowiązuje założeni płaskich przekrojów  Z proporcji płaskiego przekroju mamy możemy wyznaczyć odkształcenie betonu na podstawie odkształcenia pręta stalowego, jak następuje:

$$\begin{equation}  \varepsilon_{cl}= \varepsilon_{sl} \cdot \cfrac{h}{d_l}=\varepsilon_{sl} \cfrac{1}{1-a_l /h }\label{67}\end{equation}$$

Z prawa fizycznego ($\ref{65}$) moduł  włókna dolnego $E_{cl}$ dla $\sigma_{cl}=f_{ctm}$ wynosiłby na przykład

$$\begin{equation} E_{cl} =\cfrac{\sigma_{cl}} {\varepsilon_{cl}}= \cfrac {f_{ctm}}{\varepsilon_{sl}} \cdot \cfrac{1}{1-a_l /h } \label{68}\end{equation}$$

Moduły $E_{cu}$, $E_cl$  oraz $E_{cm}$ i $E_{c,ef}$  są innymi wielkościami jakościowo, bowiem $E_{cm}$ i $E_{c,ef}$ dotyczą materiału, a $E_{cu}$ i $E_{cl}$  włókien konstrukcji.

Problem odkształceń i naprężeń w betonie w strefie zarysowanej jest zagadnieniem, rozpatrywanym w ramach teorii lokalnych nieciągłości, w którym integralny moduł  odkształcalności $E$ ma specyficzne znaczenie, omówione w rozdziale Zarysowania-belek.

Prawo fizyczne stali zbrojeniowej

Prawo fizyczne dla zbrojenia górnego i dolnego (*=u,l):

$$\begin{equation}\sigma_{s,*}=E_s \cdot \varepsilon_{s*} \label{69}\end{equation}$$

gdzie moduł Younga w zakresie sprężystym i w temperaturach $30^o C \le t \le 100^o C$ przyjmuje się $E_s=200 GPa$,
a po przekroczeniu przez naprężenia granicy plastyczności $f_yd$, czyli przy odkształceniu większym  $\varepsilon_{yd}=f_{yd} / E_s$  moduł odkształcalności jest modułem stycznym, zależnym od modelu stali. Dla najczęściej stosowanego modelu idealnie sprężysto-plastycznego (Prandtla) moduł styczny stali wynosi $E_s=f_yd/ \sigma_s$, gdzie $\sigma_s$ jest aktualnym naprężeniem w stali.

Stal zbrojeniowa może mieć  klasę  plastyczną stali ( A- mała ciągliwość , B – średnia ciągliwość . C – duża ciągliwość ), a zaleca się  stosować stal klasy B lub C.
Podział stali dokonuje się ze względu wartość:
współczynnika $k=f_t/f_y$ (= granica wytrzymałości w próbie rozciągania /granica plastyczności),
graniczne odkształcenia charakterystyczne $\varepsilon_{ul}$ , obserwowane przy zerwaniu próbki (przy naprężeniach $f_t$):

$$\begin{equation} \varepsilon_{uk} (f_{tk}) \in \begin {cases}
[2,5 \, ; 5) \% , & \text{dla stali klasy A}\\
[5\, ; 7,5) \% , & \text{dla stali klasy B}\\
[7,5 \% , & \text{dla stali klasy C}
\end {cases} \label {70} \end{equation}$$

$$\begin{equation} k=f_t/f_y  \begin {cases}
\ge 1,05 \% , & \text{dla stali klasy A}\\
\ge  1,08 \% , & \text{dla stali klasy B}\\
>1,15 \% ,\le 1,35 \% & \text{dla stali klasy C}
\end {cases} \label {71}\end{equation}$$

W tab. 2 zestawiono najczęściej stosowane stale zbrojeniowe.

Na rys. 18 pokazano modele stali przyjmowane w analizie żelbetu. Powszechnie stosuje się model idealnie sprężysto-plastyczny (model Prandtla), a w dokładniejszych analizach model ze wzmocnieniem liniowym. Mimo tego , że współczynnik k jest niewielki dla stosowanych stali zbrojeniowych, to w modelu stali ze wzmocnieniem można uzyskać nośności nawet o 10% wyższe niż dla modelu Prandtla.

W modelu ze wzmocnieniem liniowym naprężenia w zbrojeniu wyznacza się z zależności:

$$\begin{equation} \sigma_s = \begin {cases}
E_s\cdot \varepsilon_s , & \text {dla  $\varepsilon_s \le \varepsilon_{yd}$} \\
f_{yd} \cdot [ 1+k_w \cdot ( \varepsilon_s-\varepsilon_{yd})] , & \text { dla $ \varepsilon_{yd} <\varepsilon_s \le \varepsilon_{ud}$ } \\
f_{ud}=f_{uk}/1,15 , & \text{ dla $\varepsilon_s > \varepsilon_{ud}$}
\end {cases} \label {72}\end{equation}$$

gdzie $\varepsilon_{yd}$ oraz $k_w$ zestawiono w tab. 2 . Graniczne obliczeniowe odkształcenie stali $\varepsilon_{ud}=0,9\cdot\varepsilon_{uk}$, przyjęto jako wartość graniczną, wynikającą z   definicji rodzajów stali $(\ref{70})$.

Rys. 18 Modele stali zbrojeniowej

Zasada płaskich przekrojów

 Odkształcenia podlegają  zasadzie płaskich przekroi Bernoulliego , wyrażonej formułami  ($\ref{73}$) wynikającymi z  rys. 15:

$$\begin {equation} \dfrac{\varepsilon_{sl}}{d_l-x}= \dfrac{\varepsilon_{su}}{x – d_u}=\dfrac{\varepsilon_{cu}}{x} \label {73} \end {equation}$$

gdzie: $\varepsilon_{cu}=$3,5‰  =$\varepsilon_{cu3}$ dla modelu prostokątnego MU i $\varepsilon_{cu2}$ dla modelu MN.

Z zależność $(\ref{73})$ można uzyskać jawną postać odkształcenia zbrojenia górnego (u) i dolnego (l):

$$\begin {equation} \varepsilon_{sl}=\varepsilon_{cu} \cdot (d_l /x-1) \qquad \varepsilon_{su}=\varepsilon_{cu} \cdot (1 – d_u/x) \label {74} \end {equation}$$

Z $(\ref{74})$ wynika, że zależnie od relacji wysokości strefy ściskanej $x$ oraz wysokości użytecznych zbrojenia zachodzą następujące przypadki wytrzymałościowe:

TT (ang. Tension-Tension) $x=0$ – przypadek dla którego odkształcenia w stali są nieokreślone. Odpowiada to jednorodnemu rozciąganiu przekroju, w którym w całym przekroju (w betonie i stali) mamy odkształcenia rozciągające, a przekrój podlega analizie prętów zespolonych . Takim przypadkiem nie zajmujemy się w niniejszym artykule – jest on przedmiotem artykułu Konstrukcje zespolone stalowo-betonowe.

CC (ang. Compresion-Compresion) $  x > d_u \,  x \le d_l \to $  $\varepsilon_{su} > 0$,  $\varepsilon_{sl} > 0$, oba zbrojenia są ściskane – jest to przypadek małego mimośrodu.

CT (ang. Compresion-Tension) $  x > d_l  \to \, \varepsilon_{su} > 0 \, , \, \varepsilon_{sl} < 0$, czyli zbrojenie górne jest ściskane, a zbrojenie dolne rozciągane  – jest to przypadek dużego mimośrodu, obejmujący również klasyczne zginanie belek.

Do przypadku CT zaliczymy też  $ x \le d_u  \to$  $\varepsilon_{su}\le 0$,  $\varepsilon_{sl} > 0$, dla którego  zbrojenie górne jest rozciągane, a dolne ściskane. Wystarczy analizować przekrój odwrócony o 900 .

Uogólnienie granicznej wysokości strefy ściskanej

Graniczna wysokość strefy ściskanej, określona w pkt. 3.2. dla przypadku rys. 2c) nie dotyczy przypadku a) i b).

Ponieważ graniczna wysokość strefy ściskanej ma zabezpieczyć przed kruchym pękaniem betonu, więc należy ją skojarzyć  z gradientem (szybkością spadku odkształceń po wysokości

$$\begin{equation} \nabla \xi_u= \dfrac{ \Delta \varepsilon }{  \Delta \xi_u}  \begin {cases}
(0,0035-0)/ 0,368  = 9,5 \text{‰},  & \text {dla BZ } \\
(0,0035-0)/ 0,32  = 10,9 \text{‰}, & \text {dla BWW}
\end {cases} \label{75}  \end{equation}$$

gdzie przyrost $ \Delta \xi_u$ przyjęto za $(\ref{39})$.

W obu przypadkach czystego i przeważającego ściskania wartości $ \nabla \xi_u$ nie ostaną przekroczone, więc w tych przypadkach nie formułuje się warunku na graniczną wysokość strefy ściskanej. To samo dotyczy przeważającego rozciągania.

Dwukierunkowe zginanie My-Mz z udziałem N

Problem dwukierunkowego (ukośnego zginania z udziałem siły osiowej występują praktycznie we wszystkich elementach słupowych, a w belkach najczęściej bez udziału siły osiowej. 

Równania równowagi dla dwukierunkowego zginania

W przypadku dwukierunkowego zginania przekroju momentami $M_{Ed,y}$ oraz $M_{Ed,z}$ z udziałem siły osiowej $N_Ed$ skonsolidowane równanie równowagi $(\ref {56})$.stawiamy odrębnie dla obu kierunków

$$\begin{equation} R_y=(M_{Ed,y} – M_{c0,y}) – (N_{Ed,y}+2F_{sl,y} – F_{cy}) \cdot d_{0,y} + (F_{sl,y} \cdot  a_{l,y} + F_{su,y} \cdot  a_{u,y}) = 0 \label {76} \end{equation}$$

$$\begin{equation} R_z=(M_{Ed,z} – M_{c0,z}) – (N_{Ed,z}+2F_{sl,z} – F_{c,z}) \cdot d_{0,z} + (F_{sl,z} \cdot  a_{l,z} + F_{su,z} \cdot  a_{u,z}) = 0 \label {77} \end{equation}$$

W równaniach $(\ref{76})$ oraz $(\ref{77})$ występują dwie dodatkowe siły $N_{Ed,y}$ i $N_{Ed,z}$, które stanowią część całkowitej siły ściskającej przekrój $N_{Ed}$ przypadającej do zginania wokół  osi  $y$ momentem $M_{Ed,y}$  oraz wokół  osi  $z$ momentem $M_{Ed,z}$ składające  się na całkowitą siłę ściskającą

$$\begin{equation}  N_{Ed,y}+N_{Ed,z}=N_{Ed} \label {78} \end{equation}$$

Równanie $(\ref{78})$ sprzęga zginania jednoosiowe  w zagadnieniu zginania ukośnego.

Powierzchnia interakcji ukośnego zginania  przekroju żelbetowego

Na rys. 19 pokazano powierzchnię interakcji przekroju żelbetowego zginanego ukośnie .

Rys. 19 Powierzchnia interakcji N-My-Mz

Na powierzchni interakcji można wydzielić izobary powstałe przez przekrój powierzchni interakcji płaszczyzną prostopadłą do osi sił N (równoleżnik). Aproksymacja powstałej w ten sposób krzywej interakcji dla ustalonej siły osiowe  nazywana jest Metodą Konturu (MK) i  jest opisana formułą $(\ref{87} )$ stosowaną w normie europejskiej (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010).

Przekrojem pionowym na powierzchni interakcji można wydzielić izokliny, ten sposób aproksymacji nazywany jest Metodą Odwrotności (MO) ze względu na postać formuły interakcji ($\ref{84}$). Metoda odwrotności została wprowadzona do normy amerykańskiej  ACI 318-05,11. 

Stosowanie uproszczonych formuł interakcji ($\ref{84}$) oraz  ($\ref{87}$)  uzasadnione jest  trudnościami rachunkowymi w ścisłym ujęciu zagadnienia, a także uzyskiwaniem bezpiecznych rozwiązań, co zostało potwierdzona wieloma badaniami eksperymentalnymi i numerycznymi. W szeregu przypadkach zyskiwane rozwiązania są jednak zbyt konserwatywne, więc nieoptymalne (Di Ludovico, Lignola, Prota, Cosenza, 2010).

Rozprzężenie  zginania ukośnego

Wyznaczenie przekrojowych  sił osiowych $N_{Ed,y}$ i $N_{Ed,z}$, występujące w równaniach $(\ref{76})$ do $(\ref{78})$ jest podstawowym problemem zginania ukośnego, powalającym  rozdzielić problem sprzężony na dwa problemy proste. W zadaniu rozprzężenia poszukiwać będziemy współczynników rozdziału:

$$\begin {equation}  r_y=N_{Edy}/N_{Ed} \quad ; \quad r_z=N_{Edz}/N_{Ed} \label {79} \end {equation}$$

Z warunku $(\ref{78})$, otrzymujemy oczywiście $r_y+ r_z=1$

Rozprzężenie zginania ukośnego można dokonać na wiele sposobów, z których omówimy trzy:

  • S – proporcjonalnej sztywności.
  • R  proporcjonalnej nośności,
  • MO – odwrotności nośności (metoda krzywej interakcji MO).

Metoda S rozprzężenia – proporcjonalnie do sztywności

Zgodnie z podstawową zasadą rozdziału sił przekrojowych proporcjonalnie do sztywności, przyjmujemy rozdzielniki sił $r_y$ oraz $r_z$ w dwóch kierunkach proporcjonalnie do sztywności przekroju:

$$\begin{equation} r_y =\dfrac{s_y}{S} \quad ; r_z =\dfrac{s_z}{S} \quad \label{80} \end {equation} $$

gdzie:

$ S =E_{cm} \cdot ( A_c +\alpha_e \cdot \Sigma A_s) $  – sztywność osiowa całego przekroju,
$s_y =E_{cm} \cdot (A_{cy} +\alpha_e \cdot A_{sy})$,
$s_z =E_{cm} \cdot (A_{cz} +\alpha_e \cdot A_{sz})$,

w których występuje  stosunek modułów sztywności stali i betonu $\alpha_e=E_s/E_{cm}$  $(\ref{136})$,

Przyjmiemy założenie że ze ze zbrojeniem w danym kierunku współpracuje beton proporcjonalnie do pola przekroju danego zbrojenia:

$A_{cy}/A_{cz}=A_{sy}/A_{sz}$

Przy takim założeniu stosunek współczynników rozdziału (równy stosunkowi sztywności) jest równy stosunkowi przekroju zbrojenia

$$\begin{equation} r_{yz,S}=\dfrac{r_y}{r_z} =\dfrac{s_y}{s_z} =\dfrac{ A_{sy}} {A_{sz}} \label{81}\end {equation} $$

W rezultacie otrzymamy:

$$\begin{equation} r_{y,S} =\dfrac{r_{yz,S}}{1+r_{yz,S}} \label{82}\end {equation} $$

Metoda R rozprzężenia – proporcjonalnie do nośności

Dla $N_{Ed} > N_{Rdx}/3$  metoda MO jest zawodna (p. niżej). W takim przypadku rozdział siły osiowej $N_{Ed}$ przeprowadzimy proporcjonalnie do zbalansowanych nośności $N_{Rdy(N)}$ oraz $N_{Rdz(N)}$,  uzyskanych z pomocniczego  rozwiązaniu równań równowagi odrębnie dla każdego kierunku zginania, przy chwilowym założeniu, że przypadają na nie siły $(\ref{82})$ wyznaczone metodą S.

Nośności zbalansowane (zbilansowane) są wyznaczane z pełnego układu równań problemu, więc również z uwzględnieniem rozkładu odkształceń zgodnie z geometrycznym założeniem płaskich przekrojów. W wyniku otrzymamy:

$$\begin{equation} r_{y,R} =\dfrac{r_{yz,R}}{1+r_{yz,R}} \label{83} \end {equation} $$

gdzie $r_{yz,R}=\dfrac{N_{Rdy(N)}}{N_{Rdz(N)}}$

Metoda MO rozprzężenia – odwrotności nośności

Krzywą interakcji metody odwrotności MO jest określona przez trzy punkty na powierzchni interakcji (na rys.19) i można zapisać w postaci:

$$\begin {equation}  \dfrac{1}{N_{Rd}} \approx  \dfrac{1}{N_{Rdy}} + \dfrac{1}{N_{Rdz}} – \dfrac{1}{N_{Rdx}} \label {84} \end {equation}$$

gdzie:
$N_{Rd} $  – Nośność przekroju mierzona siłą osiową w stanie zginania ukośnego,
$N_{Rd,y}$ – nośność przekroju  zginanego wokół osi y (bez ściskania i zginania wokół osi z),
$N_{Rd,z}$ – nośność przekroju  zginanego wokół osi z (bez ściskania i zginania wokół osi y),
$N_{Rd,x}$   – nośność przekroju  w stanie czystego ściskania (przy pominięciu zginania).

W stanie granicznym $N_{Rd}=N_{Ed}$ , $N_{Ed,y}=N_{Rd,y}$ i $N_{Edz}=N_{Rd,z}$, a z równania interakcji $(\ref{84})$ po uwzględnieniu definicji $(\ref{79})$ i po przekształceniach można otrzymać:

$$\begin{equation} r_y \cdot (1-r_y)=\dfrac{n_{Ed}}{1+n_{Ed}} \label {85} \end {equation}$$

gdzie: $n_{Ed}=N_{Ed}/N_{Rdx}$.

Po rozwiązaniu tego równania względem $r_y$, otrzymujemy pierwiastek metody MO:

$$\begin{equation} r_{y,R1} =\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{ \dfrac{1}{1+n_{Ed}}-\dfrac{3}{4}} \label{86} \end {equation}$$

Rozwiązanie powyższe ma fizyczny sens dla wyrażenia podpierwiastkowego większego od zera , czyli dla $n_{Ed}<1/3$. Oznacza to, że może być stosowane dla siły osiowej $N_{Ed}< N_{Rdx}/3$.

W granicy dla $N_{Ed}=0$ mamy $r_{y,R1} =0$ lub 1, co odpowiada $r_{z,R1}$=1 lub 0, to znaczy zginaniu jednokierunkowemu przekroju. W przypadku  $N_{Ed}= N_{Rdx}/3$, mamy $r_{y,R1}=r_{z,R1}=1/2$

  Metoda rozprzężenia zginania ukośnego stosowana w arkuszu

Omówione wyżej metody  są metodami przybliżonym i i każda z nich prowadzi do innego rezultatu, przy czym najbardziej odlegle wyniki uzyskuje się w metodzie MO.

Metody S i R prowadzą do formuł $(\ref {82})$ i $(\ref{83})$ o podobnej budowie, co pozwalałoby na ich łączne rozpatrzenie.  Najprostsza jest metoda S i w proponowanym algorytmie w pierwszym kroku stosujemy tą metodę w celu wyznaczenia zbalansowanych nośności przekroju, na podstawie których prowadzi się ponowny rozdział sił metodą R, który przyjmuje się za wystarczające przybliżenie rozprzężenia problemu.

Powierzchnia interakcji My-Mz-N w Eurokodzie 2

Norma do projektowania na obciążenia sejsmiczne  (PN-EN 1998-1, 2005) sugeruje traktowanie dwuosiowego zginania poprzez przeprowadzanie kontroli osobno w każdym kierunku, z jednoosiową wytrzymałością na zginanie zmniejszoną o 30%. Takie podejscie jest zbyt konserwatywne.  Dokładniejsze jest podejście prezentowane w normie podstawowej (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, (Kl. 5.8.9)) poprzez stosowanie  krzywych interakcji metodą MK  (Metodą Konturu), czyli przekrojami poziomymi-izobarami powierzchni interakcji) aproksymowanych formułą (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, (5.39)):

$$\Lambda_R=\begin{equation}  \left ( \dfrac{M_{Edy}}{M_{Rdy}} \right )^{\alpha_y} + \left ( \dfrac{M_{Edz}}{M_{Rdz}} \right )^{\alpha_z}  \le 1 \label{87} \end{equation}$$

Momentom zginającym przekrój w dwóch kierunkach  $M_{Edz}, M_{Edy}$ i odpowiadają nośności przekroju  $M_{Rdz}, M_{Rdy}$ wyznaczone zgodnie z $(\ref{62})$  odrębnie dla stosownych kierunków zginania .

Normowy wykładnik powierzchni interakcji

Wykładniki interakcji w (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010) przyjmuje się jednakowe dla obu kierunków $ \alpha_y= \alpha_z = a $,. Dla przekroju prostokątnego wykładnik potęgi $a$  można przyjmować zgodnie z tab.7 w zależności od względnej siły osiowej$n_{Ed}=N_{Ed}/N_{Rdx}$, gdzie nośność  odniesienia $N_{Rdx} wyznacza się z formuły:

$$\begin {equation} N_{Rdx}= A_c \cdot f_{cd} + ΣA_s \cdot f_{yd} \label {88} \end {equation}$$

Tab. 7 Wykładnik krzywej interakcji My-Mz dla przekroju prostokątnego (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010)

Dla przekroju kołowego lub eliptycznego $a=2,0$. Formułę $(\ref{87})$ zaproponował (Bresler, 1960), który wskazał, że a=1,15 do 1,5.  W przypadku przekrojów kwadratowych zaproponował a=1,5 do 2,0. W komercyjnym programie STAAD stosuje się a=1,24 dla wszystkich kształtów przekroju.

Wartości pośrednie wykładnika interakcji należy aproksymować. Na rys. 20 pokazano wykres wykładnika a w funkcji względnej siły osiowej i aproksymacyjny wielomian drugiego stopnia przechodzący przez punkty z tab.7

Rys. 20 Wykres wykładnika interakcji z tab. 7 i krzywa interpolacyjna

Zmodyfikowane wykładniki powierzchni interakcji

W niniejszym artykule przyjmuje się, że wykładniki powierzchni interakcji $(\ref{87})$ są różne w zależności od kierunku zginania: $\alpha_y \neq \alpha_z$ i są wyznaczane z rys. 20 dla względnych  sił:

$n_{Ed,•}=N_{Ed,•}/N_{Rdx}$,
gdzie indeks •=y,z

to znaczy podług zależności korelacyjnej

$$\begin {equation} \alpha_•=0,98 + 0,093 \cdot n_{Ed,•} + 0,926 {n_{Ed,•}}^2  \label {89} \end {equation}$$

Przekroje teowe

Efektywna szerokość półek przekrojów teowych

Belki (podciągi i żebra) w stropie płytowo-belkowym (rys. 5) rozpatruje się jako teowe z górną półką utworzoną przez współpracującą szerokość płyty.

Szerokość współpracująca płyty zależy od efektywnej długości przęsła $L_0$ ,która jest odległością pomiędzy punktami zerowymi momentu zginającego. W najczęściej spotykanych przypadkach długość $L_0$ można przyjmować zgodnie z rys. 21.

Rys. 21. Długości efektywne przęseł belek

(Gąćkowski, 2013, rys.3.3)

Szerokość współpracującej płyty z belką o szerokości $b_{w,i}$  oraz połowie odległości w świetle z sąsiednim żebrem $b_i$ wynosi (rys. 22):

$$\begin{equation} b_{eff,i} = 0,2b_i+0,1L_{0,i} ≤ 0,2L_{0,i} \, oraz ≤ b_i \label {90} \end{equation}$$

Szerokość półki przekroju zastępczego przekroju teowego, złożonego z żebra środkowego i półki wynosi:

$$\begin{equation} b_{eff}= b_w+b_{eff,1}+b_{eff,2}  \label{91}\end{equation}$$

Rys 22. Szerokość współpracująca przekroju teowego

Dla żeber skrajnych szerokość efektywna żebra wyznacza się zgodnie z rys, 22.

Ścinanie przekrojów żelbetowych

Przekroje betonowe w odróżnieniu od stalowych są bardzo wrażliwe na ścinanie, które jest nieodłącznie związane ze zginaniem.

Zbrojenie na ścinanie wykonuje się w formie zamkniętych strzemion, najczęściej pionowych.

Rzadziej stosuje się również pręty odgięte zbrojenia podłużnego lub strzemiona ukośne.

W zagadnieniu ścinania przekrojów żelbetowych posługuje się pojęciem obliczeniowych, poprzecznych sił przekrojowych $V_{Ed}$ i  nośnosci przekroju $V_{Rd}$ lub naprężeń stycznych $v_{Ed}$ i wytrzymałości przekroju na ścinanie $v_{Rd}$:

$$\begin{equation}  v_{Ed}=\cfrac {V_{Ed}}{A_v}  \quad ; \quad  v_{Rd}=\cfrac {V_{Rd}}{A_v} \label{92} \end{equation}$$

gdzie pole przekroju ścinania $A_v= b_w \cdot z$.

Ramię sił wewnętrznych, występujące w $(\ref {10})$ przyjmuje się w $(\ref {92} )$ jako $z=0,9 d$ , gdzie d jest wysokością użyteczną przekroju d=h-a.

Wymagania konstrukcyjne

Minimalne zbrojenie poprzeczne na ścinanie

W tych miejscach elementu, w których obliczeniowe naprężenia styczne $v_{Ed}$ wywołane obciążeniami zewnętrznymi  spełniają warunek

$$\begin{equation} v_{Ed} \le v_{Rd,c}  \label{93} \end{equation}$$

gdzie $v_{Rd,c}$ – wytrzymałość przekroju nie zbrojonego na ścinanie ($\ref {102}$),

zbrojenie na ścinanie nie jest wymagane, ale w takim przypadku w belkach należy zastosować zbrojenie minimalne na ścinanie, służące do wiązania zbrojenia podłużnego, o polu przekroju spełniającym warunek stopnia zbrojenia (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (9.4)):

$$\begin{equation} \rho_w=\cfrac{A_{sw}}{s b_w sin \alpha} \ge \rho_{w,min}\label{94} \end{equation}$$

gdzie:
$A_{sw}$ jest polem przekroju pojedynczego zestawu zbrojenia na ścinanie (np. dwóch strzemion , jeśli zastosowano podwójne),
$b_w$ – szerokośc żebra (środnika) lub belki,
$s$- rozstaw zestawów zbrojenia po długości pręta.
$\alpha$ – kąta nachylenia zestawu zbrojenia do poziomu.

Minimalny stopień zbrojenia wyznacza się  z zależności (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (9.5N)):

$$\begin{equation} \rho_{w,min} =0,08 \cdot  \sqrt{f_{ck}} /f_{yk} \label{95} \end{equation}$$

Poprzeczne zbrojenie minimalne należy więc stosować na całej długości belki i zagęszczać w obszarach nie spełniających warunku $(\ref{N_Rd})$. Minimalne zbrojenie na ścinanie nie jest wymagane w płytach (pełnych, z żebrami lub kanałami), w których możliwa  jest poprzeczna redystrybucja obciążeń. lub mniej ważnych belkach (np nadproża o rozpiętości mniejszej niż 2 m) , które nie wpływają w istotny sposób na ogólną nośność i stateczność konstrukcji.

Maksymalny rozstaw zbrojenia na ścinanie

Maksymalny rozstaw zbrojenia jest unormowany niezależnie od wymogu minimalnego pola przekroju zestawu zbrojenia $(\ref{94})$ i wynosi (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (9.6N)):

$$\begin{equation} s_{l,max}= 0,75 d(1+ctg \alpha) \label{96} \end{equation}$$

W przypadku prętów odgiętych ich maksymalny rozstaw podłużny powinien wynosić (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (9.7N)):

$$\begin{equation} s_{l,max}= 0,6 d(1+ctg \alpha) \label{97} \end{equation}$$

Normuje się również maksymalny rozstaw ramion strzemion (pionowy) (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (9.8N)):

$$\begin{equation} s_{t,max} =0,75 \cdot d  \le 600 \, mm  \label{98} \end{equation}$$

Z wymagań dotyczących minimalnego zbrojenia poprzecznego wynika, że podłużny rozstaw zestawów powinien spełniać warunek:

$$\begin{equation} s \le 12,5 \cdot \cfrac{A_{sw}\cdot f_y}{b_w sin \alpha \cdot \sqrt{f_{ck}}} \label{99} \end{equation}$$

Warunek $(\ref{95})$ powinien być spełniony na całej długości elementu. Dla najczęściej stosowanego żelbetu C30/37-B500 i strzemion pionowych mamy stąd

$$\begin{equation} s_N \le 1141 \cdot \cfrac{A_{sw}}{b_w } \label{100} \end{equation}$$

Wytrzymałość przekroju nie zbrojonego na ścinanie

Nośność na ścinanie elementu betonowego $V_{Rd}$ ogólnie o zbieżnym przekroju oblicza się jako sumę (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (6.1)):

$$\begin{equation} V_{Rd} = V_{Rd,c} +V_{ccd}+V_{td} \label{101} \end{equation}$$

gdzie (rys. 23) :
$V_{Rd,c}$ – nośność elementu bez zbrojenia na ścinanie (ale ze zbrojeniem podłużnym na zginanie),
$V_{ccd}$ –  obliczeniowa składowa siła  w w nachylonym pasie ściskanym (górnym),
$V_{td}$ – obliczeniowa siła w nachylonym zbrojeniu rozciąganym (dolnym)

Rys.23 Składowe siły poprzecznej w przekroju zbieżnym

(PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, rys.6.2)

Wytrzymałość  przekroju nie zbrojonego na ścinanie  $v_{Rd,c}$ można wyznaczyć  z zależności 

$$\begin{equation} v_{Rd,c}=max  \left [ (C_{Rd,c} \cdot k \cdot (100  \rho_l f_{ck})^{1/3}+k_1 \sigma_{cp}) \, ; \, (\nu_{min} +k_1 \sigma_{cp}) \right]  \label{102} \end{equation}$$

gdzie obliczeniowy współczynnik korelacji pomiędzy wytrzymałością na ścinanie i  ściskanie wynosi:  $C_{Rd,c}=C_{Rk,c}/\gamma_c = 0,18/1,4=0,129$

We wzorze ($\ref{98}$) występują ponadto współczynniki:

$k=1+\sqrt{200/d} \le 2,0$, gdzie d- wysokość użyteczna przekroju w mm,

$\nu_{min}= 0,035 \cdot k^{3/2} \cdot {f_{ck}}^{1/2}$,

$k_1=0,15 \cdot \nu_{min}$,

$\sigma_{cp}=\dfrac{N_{Ed}}{A_c} \le 0,2 f_{cd}$ ($A_c$ – pole przekroju betonu)

Stopień zbrojenia na zginanie (i ew. rozciąganie) $\rho_l=\dfrac{A_{sl}}{b_w d}\le 0,02$,  wyznacza się z pola przekroju zbrojenia rozciąganego $A_{sl}$ , które sięga na odległość nie mniejszą niż  $l_{bd}+d$ poza rozważany przekrój, gdzie $l_{bd}$ jest wymagana długością zakotwienia rozciąganego pręta zbrojeniowego. Warunek uwzględnienia zbrojenia podłużnego do stopnia zbrojenia jest klasyczny jak dla zbrojenia na zginanie i został zilustrowany na rys. 24 na przykładzie belki lub płyty zginanej.

Rys. 24. Określenie pola przekroju zbrojenia As do wyznaczenia stopnia zbrojenia przekroju na zginanie. lbd – wymagana długość zakotwienia pręta

(PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, rys 6.3)

W przypadku różnych stopni zbrojenia w dwóch prostopadłych kierunkach wyznacza się średnią geometryczną

$$\begin{equation}\rho_l=\sqrt{\rho_{ly}\cdot \rho_{lz}} \label {103} \end{equation}$$


W tab.8  zestawiono wytrzymałości betonu na ścinanie $v_{Rdc}$ $(\ref{98})$ dla najczęściej stosowanego betonu C30/37.

Tab.8 Wytrzymałość na ścinanie  $v_{Rd,c}$ [MPa]  $(\ref{98})$ betonu C30/37

W przypadku belek wykonanych z innych betonów należy wytrzymałość odczytaną z tabeli 8 należy przemnożyć przez współczynnik korekcyjny $k_v$ z tab. 9

Tab. 9 Współczynnik korekcyjny dla wytrzymałości betonu na ścinanie wg tab. 8

Z tab. 9 wynika, że klasa betonu ma niewielki wpływ na wytrzymałość betonu belki na ścinanie.

Strefy zbrojenia na ścinanie

Przekroje belki, ścinane siłami poprzecznymi $V_{Ed}$ , takimi że

$$\begin{equation}V_{Ed} > V_{Rd,c} \label {104} \end{equation}$$

powinny być zbrojone wkładkami stalowymi.  Odpowiadający temu odcinek belki na rys. 25  wyróżniono symbolami I_II i podzielono na trzy strefy: A,B,C. Zbrojenie na ścinanie rozpoczyna się od wytrzymałości przekroju nie zbrojonego na maksymalną siłę poprzeczną w licu podpory (lub konserwatywnie  siłę teoretyczną nad podporą $V_{Ed,c}$.

Jeśli warunek $(\ref{100})$ nie jest spełniony to należy zastosować zbrojenie, które najpierw wyznacza się dla odcinka   A o długości $z\cdot ctg \Theta$ na siłę $V_{Ed}=V_{Ed,s}$, czyli minimalnej na odcinku o długości d od lica podpory. Często na tym poprzestaje się i wyznaczone zbrojenie rozkłada na całym odcinku I-II. Jeśli ten odcinek jest długi, to w celu zoptymalizowania ilości stali zbrojenie zmienia się w taki sposób, że na odcinku C o długości $z\cdot ctg \Theta$ wyznacza się zbrojenie na minimalną siłę na tym odcinku ( czyli dla minimalnego zbrojenie na ścinanie), a na pozostałym odcinku B zbrojenie wyznacza się na minimalną siłę na tym odcinku (na rys. $V_{Ed}$).

Rys. 25 Strefy A,B,C zbrojenia na ścinanie

(opracowano z wykorzystaniem fragmentów rysunku (Knauff, Golubińska, Knyziak, 2015, rys 14.11))

Ścinanie poprzeczne (pionowe) belek

W normie  (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010)  wprowadzono  metodę wyznaczania nośności przekroju na zginanie z uwzględnieniem działania krzyżulca betonowego nachylonego pod kątem $\Theta$.  Kąt nachylenia krzyżulca betonowego  zmienia się w zależności od siły ścinającej stosowane w sposób pokazany na rys. 26.

Rys. 26. Ściskany krzyżulec betonowy tworzony podczas ścinania belki

(Bond, Brooker, Harris, Harrison, Moss, Narayanan, 2006, fig 4)

Maksymalna wytrzymałość betonu na ścinanie  $v_{Rd,max}$ na podstawie (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (6.14)) wynosi

$$\begin{equation} v_{Rd,max} =  \alpha_{cw} \cdot \nu_1  \cdot f_{cd} \cdot \cfrac { ctg \Theta + ctg \alpha } {1+ctg^2 \Theta} \label {105} \end{equation}$$

$v_{Rd,max}$ dla pionowego zbrojenia ($\alpha=90^o$) , wynosi

$$\begin{equation} v_{Rd,max} =  \alpha_{cw} \cdot \nu_1 \cdot f_{cd} \cdot \cfrac{1}{ ctg\Theta+tg\Theta} \label{106} \end{equation}$$

Graniczne wartości kąta nachylenia krzyżulca betonowego $\Theta$  (rys.26) zawierają się w przedziale:

$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta \le 2,5 \label{107} \end{equation}$$

czyli  $21,8^o \le \Theta \le 45|^o$.

Maksymalne  wytrzymałości betonu belki na ścinanie zestawiono w tab.10.

Najkorzystniejsze jest nachylenie krzyżulca betonowego pod kątem $45^o$w  ($ctg \Theta=1$,) a dla $ctg \Theta=2,5$ nachylenie jest najmniej korzystne.  Ze względów technologicznych strzemiona najczęściej daje się jednak  pionowe,


Tab.10 Maksymalna nośność betonu na ścinanie $v_{Rd,max}$  [MPa] $( \ref{102})$ przy zastosowaniu pionowego zbrojenia na ścinanie
w zależności od kąta nachylenia krzyżulca betonowego (dla $\gamma_c=1,4$) 

Wytrzymałość zbrojenia na ścinanie $v_{Rd,s}$ na podstawie (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (6.13)) wynosi

$$\begin{equation} v_{Rd,s} =  \cfrac {A_{sw}} {s \cdot b_w} \cdot  f_{ywd} \cdot \sin\alpha  \label{108} \end{equation}$$

Wytrzymałość  przekroju zbrojonego na ścinanie jest mniejszą z powyższych wartości

$$\begin{equation} v_{Rd} = min \left \{ v_{Rd,s} \quad ; \quad v_{Rd,max} \quad \right  \}  \label{109} \end{equation}$$

W wyrażeniach powyżej występują:

$\alpha$ – kąt nachylenia zbrojenia na ścinanie (krzyżulców lub prętów ukośnych) do osi belki- dodatni przy pochyleniu zbrojenia w lewo (lewoskrętny),

$\Theta$ – kąt nachylenia do osi belki ściskanego krzyżulca betonowego równoważącego się w zbrojeniu na ścinanie , czyli pochylonego w prawo,

$z$ – ramię sił podłużnych: ściskających $F_{cd}$ oraz rozciągających $F_{td}$ , które zwykle w przekrojach bez działania siły osiowej, przyjmuje się $z=0,9d$.

$b_w$ – szerokość strefy rozciąganej belki. Dla przekrojów teowych jest grubością środnika, a belce o przekroju prostokątnym $b_w=b$,

$A_{sw}$ pole przekroju zbrojenia na ścinanie.,

$f_{ywd}= f_{yd}$ – obliczeniowa wytrzymałość ścinanego zbrojenia  na rozciąganie (obliczeniowa granica plastyczności stali)

$\alpha_{cw}=1,0$ – współczynnik  naprężeń dla pola ściskanego

Współczynnik redukcji naprężeń w betonie zarysowanym przy ścinaniu (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (6.6N)):

$$\begin{equation}  \nu_1= \nu= 0,6 \cdot (1-\cfrac {f_{ck}} {250} )  \label{110} \end{equation}$$

Na rys. 27 zilustrowano powyżej zdefiniowane pojęcia.

Rys. 27. Model kratownicowy ścinania belki żelbetowej

W przypadku, gdy wymagane jest zbrojenie na ścinanie,  kąt nachylenia krzyżulca betonowego, zawiera się w przedziale granicznym $(\ref{103})$.  W sytuacji zastosowania pionowego zbrojenia wyznaczymy go z $(\ref {102})$ w stanie granicznym, to znaczy dla $v_{Rd,max}= v_{Ed}$.  Po zastosowaniu tożsamości trygonometrycznych: $(ctg \Theta + tg \Theta=1/ (sin \Theta\cdot cos \Theta)= 2/ sin(2 \Theta)$, uzyskamy wyrażenie

$v_{Ed} =  \nu_1 \cdot f_{cd} \cdot 0,5 \cdot sin (2 \Theta)$, czyli

$$\begin{equation} \Theta= 0,5 \cdot arcsin \left ( \cfrac{2 \cdot v_{Ed}}{ \nu_1 \cdot f_{cd}}\right) \label{111} \end{equation}$$

Dla znanego kąta nachylenia krzyżulca betonowego potrzebny przekrój zbrojenia poprzecznego $A_{sw}$ rozmieszczony na długości $s$ (rozstawie zestawów wynosi

$$\begin{equation} \cfrac{A_{sw}}{s}= \cfrac{v_{Ed}\cdot b_w}{f_{ywd} \cdot ctg \Theta} \label{112} \end{equation}$$

Procedurę wyznaczania zbrojenia belek na ścinanie można przedstawić w postaci schematu blokowego (rys.28).

Rys.28. Schemat blokowy projektowania przekroju strzemion pionowych  Asw

( (Bond et al., 2006, fig 2) dostosowane do polskiej normy)

Ścinanie podłużne

Ścinanie podłużne występuje na skutek działania sił rozwarstwiających płytę od żebra. Na rys. 29 przedstawiono wycinek $\Delta x$ płyty z żebrem. Na końcu A-A siły ściskające płytę (od zginania) wynoszą $F_d$, a na końcu przeciwnym $F_d + \Delta F_d$. Różnica tych sił wywołuje siły rozwarstwiające, które ścinają przekrój podłużny płyty i zbrojenie $A_{sf}$.

Rys. 29 Ścinanie podłużne przekroju teowego

(Bond et al., 2006, fig 13)

Badania wykazują, że kąt nachylenia krzyżulca betonowego $\Theta_f$ zależy od tego, czy półka (płyta) jest ściskana , czy rozciągana.

Jeżeli półka jest ściskana, to przyjmuje się

$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta_f \le 2,0 \label{113} \end{equation}$$

Jeżeli półka jest rozciagana , to przujmuje się

$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta_f \le 1,25 \label{114} \end{equation}$$

Mechanizm zmiażdżenia ściskanych krzyżulców betonowych w półce prowadzi do warunku granicznego (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (6.22))

$$\begin{equation} v_{Ed} \le \nu \cdot f_{cd} \cdot sin \Theta_f \cdot cos \Theta_f \label{115} \end{equation}$$

przy czym zachodzi tożsamość trygonometryczna: $(sin \Theta_f \cdot cos \Theta_f) = \cfrac {ctg \Theta_f}{1+ ctg^2 \Theta_f}$.

Zbrojenie poprzeczne na jednostkę długości wyznacza sie z zależności

$$\begin{equation} \cfrac{A_{sf}}{169} > \cfrac{v_{Ed} \cdot h_f}{f_{yd} \cdot ctg \Theta_f} \label{116} \end{equation}$$

Wyznaczenie zbrojenia $A_{sf}$ przeprowadza się według schematu, który pokazano na rys. 30.

Rys. 30 Schemat blokowy do wyznaczania zbrojenia Asf na siły rozwarstwiające

((Bond et al., 2006, fig 14) dostosowane do polskiej normy)

Przykłady numeryczne projektowania zbrojenia na ścinanie podłużne podano w artykule dotyczącym płyt żelbetowych.

Ścinanie przez przebicie

Ścinanie przez przebicie przedstawiono w artykule Przebicie płyty żelbetowej.

Pełzanie i skurcz

Pełzanie oraz skurcz betonu można oszacować wg formuł normy (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, kl. 3.1.4).

Kalkulator pełzania i skurczu jest opublikowany w zakładce „Pełzanie” kalkulatora żelbetu CHP-Ż .

Odkształcenie skurczowe

Całkowite odkształcenie skurczowe $\varepsilon_{cs}$ składa się z dwóch składników: odkształcenia skurczowego spowodowanego wysychaniem  $\varepsilon_{cd}$ i autogenicznego (samorodnego) odkształcenia skurczowego $\varepsilon_{ca}$.

$$\begin{equation}  \varepsilon_{cs}= \varepsilon_{cd} +\varepsilon_{ca}\label{117}\end{equation}$$

Skurcz  wywołany przez przyczyny wewnętrzne (autogeniczny) zależy od wytrzymałości betonu i czasu $t$  po którym oceniamy skurcz zgodnie z zależnością:

$$\begin{equation}  \varepsilon_{ca}(t)= \beta_{as}(t) \cdot  \varepsilon_{ca}( \infty)  \label{118}\end{equation}$$

gdzie:

$$\begin{equation}  \varepsilon_{ca}( \infty) = 2,5 \cdot ( f_{ck} -10) \cdot 10^{-6} \label{119}\end{equation}$$

$$\begin{equation}  \beta_{as}(t)= 1- \exp { (-0,2 \cdot \sqrt{t})} \label{120}\end{equation}$$

Skurcz spowodowany wysychaniem wyznacza się zależy okresu wysychania i klasy betonu oraz rodzaju cementu i wyznacza się z zależności

$$\begin{equation}  \varepsilon_{cd}( \Delta)= \beta_{ds}(\Delta t)  \cdot  k_h \cdot \varepsilon_{cd,0} \label{121}\end{equation}$$

gdzie $\Delta t=t-t_s$ czas który upłynął od chwili $t_s$ rozpoczęcia wysychania (zakończenia pielęgnacji) betonu.

Współczynnik czasu \beta_{ds}(\Delta t)  oblicza się z zależności

$$\begin{equation} \beta_{ds}(\Delta t) =\cfrac{\Delta t}{\Delta t + 0,4 \cdot \sqrt{h_0^3} \label{122}\end{equation}$$

Podstawowe odkształcenie skurczu od wysychania wyznacza się z zależności empirycznej

$$\begin{equation}  \varepsilon_{cd,0}=1,318 \cdot (220+110 \cdot \alpha_{ds1})\cdot [1- (0,01 \cdot RH )^3 \cdot \exp{(-0,1 \cdot  \alpha_{ds2} \cdot f_{cm}] \cdot 10^{-6})} \label{123}\end{equation}$$

Współczynniki skurczu wynoszą:

$$\begin{equation} \alpha_{ds}= \begin {cases}
\text {dla cementu klasy S} & \alpha_{ds1}= 3 , & \alpha_{ds2}=0,13\\
\text {dla cementu klasy N} & \alpha_{ds1}= 4 , & \alpha_{ds2}=0,12\\
\text {dla cementu klasy N} & \alpha_{ds1}= 6 , & \alpha_{ds2}=0,11\\
\end {cases} \label{124}\end{equation}$$

Miarodajny wymiar elementu $h_0$ wyznacza się z zależności

$$\begin{equation}h_0=\dfrac{A_c}{U} \label{125} \end{equation}$$

gdzie $A_c$ jest polem powierzchni betonu elementu ( w szalunkach), a $U$ obwodem wystawionym na wysychanie (na bezpośrednie działanie atmosfery). Na przykład dla belki z ułożoną na niej płytą U=2h+b.

Wilgotność atmosfery $RH$ zależy od wielu czynników. Można w uproszczeniu przyjąć, że średnia wilgotność powietrza zewnętrznego w regionie nadmorskim (wg PN-EN 12831:2006) wynosi 52%, a w pozostałych regionach 48%. Oczekiwana wilgotność w pomieszczeniach do pobytu ludzi wynosi 40-60%. Dlatego najczęściej przyjmuje się wilgotność RH=50%.

Moduł efektywny i końcowy współczynnik pełzania

Istotnym czynnikiem wpływającym na zwiększanie szerokości rozwarcia rysy jest pełzanie betonu, największe tuz po ułożeniu betonu i zmniejszające się wraz z upływem czasu. W celu uproszczenia analizy wprowadza się zastępczy (długotrwały, efektywny  moduł odkształcalności betonu $E_{c,ef}$, a analizę prowadzi się jak dla liniowo sprężystego betonu i stali, po postawieniu $E_c = E_{c,ef}$. Moduł efektywny (zastępczy) zależy od współczynnika pełzania zgodnie z formułą  (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, (5.28)):

$$\begin{equation}  E_{c,ef}= \dfrac{E_{cm}}{1+\varphi(\infty, t_0)}\label{126}\end{equation}$$

w którym $\varphi(\infty, t_0)$  jest końcowym współczynnikiem pełzaniem, obserwowanym w okresie od momentu obciążenia $t_0$ do czasu $t=\infty$, przy czym $\infty$ nalezy traktowac jako symbol pznaczający końcowy czas $t_final$ życia konstrukcji (rys. 31).

Współczynnik pełzania jest stosunkiem odkształcenia konstrukcji obserwowanym w przyszłości (po czasie $t=\infty$ do doraźnych odkształceń sprężystych. Współczynnik pełzania zależy od szeregu czynników, a w tym wilgotności powietrza HR oraz wielkości elementu żelbetowego.

W tab 1 podano wartości bazowe  współczynnika pełzania $\varphi_0$  dla wilgotności RH=50% , czasu $t_0= 28 \, dni$ oraz miarodajnego wymiaru  elementu $(\ref{125}$) $h_0= 100 \, mm$.
Dla innych parametrów niż wzorcowe zalecamy skorzystanie z dedykowanych kalkulatorów, bowiem zależności są nieliniowe zarówno względem klasy betonu jak i  rozmiarów elementu oraz czasu ekspozycji.

W tab.11 zestawiono końcowe współczynniki pełzania dla betonów zwykłych BZ,  przekrojów obciążonych po $t_0= 7 ; 14 ; 28$ dniach  o efektywnej wysokości $h_0=A_c/u= 80 \, do \, 400], mm$. Współczynnik pełzania maleje dla lepszych betonów, wraz ze wzrostem wymiarów przekroju i przy późniejszym czasie obciążenia.

Tab.11. Końcowy współczynnik pełzania  $ \varphi(\infty, t_0)$ dla wybranych betonów, czasu obciążenia $t_0$ oraz rozmiarów przekroju $h_0$

Efektywna sztywność belek

Efektywna sztywność przekroju betonowego uwzględniająca  zarysowanie przekroju oraz pełzanie pręta jet żmudna do ścisłego wyznaczenia.
W praktyce inżynierskiej stosuje się  oszacowania, które można sprowadzić do wyrażenia na sztywność nominalną w postaci normowej (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, (5.21)), opisanej w artykule Słupy żelbetowe: sztywność :

$$\begin{equation} EI_{ef}= EI  =K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c +K_s \cdot E_s \cdot I_s \label {127} \end{equation}$$

gdzie:

$I_c$  – moment bezwładności przekroju betonu (w normie amerykańskiej (ACI 318-11, 2011)  $I_g$ -„gross area” -moment bezwładności przekroju brutto)
$E_s =200 \,GPa$ – obliczeniowy modułu sprężystości zbrojenia
$l_s$  – momentem bezwładności pola przekroju zbrojenia względem środka ciężkości powierzchni betonu,
$K_c$  – współczynnik zależny od wpływów zarysowania, pełzania itd. betonu
$K_s$  -współczynnik zależny od udziału zbrojenia,
$E_{cd}=\cfrac {E_{c,m}} {\gamma_{cE}}$  ; $E_{cm}$ wg tab.1.
Obliczeniowy moduł sprężystości betonu; współczynnik materiałowy $\gamma_{cE}$ zaleca się przyjmować o wartości 1,2, ale często przyjmuje się $\gamma_{cE}=\gamma_c=1,4$;
$K_s=1,0$  dla stopnia zbrojenia przekroju $\rho=A_s/A_c >0,002$, ( czyli praktycznie dla wszystkich przekrojów )

Zgodnie z procedurami dedykowanymi dla słupów – w przypadku siły osiowej $N_{Ed}=0$ współczynniki  $K_c= 0 $,. Taki przypadek mamy dla belek  zginanych. Prowadzi to do błędnych wyników procedur numerycznych. Dlatego postulujemy zastosowanie zalecanych przez normy wielu krajów wartości współczynnika redukcji sztywności :

$$\begin{equation} K_{ef} =\cfrac{EI_{ef}}{EI_c} \begin {cases}
0,35 & \text {wg ACI 318-11, ACI 318-14 ; LATBSDC ; CSA A 33.3-14} \\
0,5 & \text { wg PN-EN 1998-3 ; FEMA 356 ; PEER TBI } \\
0,40  & \text { wg NZS 3101 ; TS 500-2000}
\end {cases} \label{128}\end{equation}$$

W wykazie zastosowano skróty opracowań:
ACI 318-11  (ACI 318-11, 2011) ;
ACI 318-14 (ACI 318-14, 2014) ;
LATBSDC  (LATBSDC, 2017) ;
LATBSDC (PN-EN 1998-1, 2005) ;
CSA A23 (CSA A23, 2015) ;
PN-EN 1998-3 (PN-EN 1998-1, 2005) ;
FEMA 356 (FEMA 356, 2000);
PEER TBI (PEER/ATC, 2010);
NZS 3101 (PEER/ATC, 2010);
TS 500 (TS 500, 2000).

Istnieje prosta zależność pomiędzy $K_c$ i $K_{ef}$ (dla $E=E_{cd}$):

$$\begin{equation} K_c=  K_{ef}  – K_s \cdot \cfrac{E_s I_s}{E_{cd} I_c} \label {129} \end{equation}$$

W typowym przypadku betonu C30/37: $E_s/E_{cd}=200/(33/1,2)= 7,2$,
Dla przekroju prostokątnego bxh: $I_c=b h^3/12= A_c \cdot \tfrac{h^2}{12}$, zbrojonego symetrycznie zbrojeniem o łącznym przekroju $A_s$
$I_s= A_s \cdot \tfrac {(h-a)^2}{4} \stackrel {a=0} { = } A_s \cdot \tfrac {h^2}{4}$,

czyli $I_s/I_c \approx \rho/3$.

Dla optymalnego stopnia zbrojenia belek $\rho=A_s/A_c=0,5$% mamy

$K_c=K_{ef}- 0,012$ – z zależności ($\ref{128}$) dla belek otrzymujemy $K_c= 0,35-0,012 \approx 1/3 $

Wartość 1/3 współczynnika redukcji sztywności belek żelbetowych stosuje się powszechnie w praktyce inżynierskiej. Oznacza to, że ugięcie belki w stanie zarysowanym jest ok 3-krotnie większe od ugięcia belki sprężystej.

Znaczenie pełzania i skurczu w konstrukcjach

Pełzanie ma wpływ przede wszystkim na przemieszczenia konstrukcji, w tym ugięcia belek, a na siły przekrojowe w konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych, w których następuj redystrybucja sił w funkcji sztywności części składowych konstrukcji. Szczególne znaczenie mają konstrukcje prefabrykowane lub mieszane, powstające wskutek wzmacniania istniejących konstrukcji prefabrykowanych.

Skurcz istotnie zwiększa siły przekrojowe w przypadku ograniczenia swobody odkształceń (skrepowania konstrukcji lub jej fragmentu). Dlatego podstawową metoda ograniczenia efektów skurczu są zabiegi technologiczne, zmierzające do zapewnienia swobody odkształceń  w początkowym okresie wykonawstwa (np betonowanie płyt w szachownicę lub naprzemiennego wykonywania przęseł belek  )

Mogą ponadto wystąpić zjawiska:

  1. różnica skurczów elementów budowanych w różnym czasie. Dotyczy to między innymi: płyty lub nadbetonu nad belką lub węzłów uciąglających belki prefabrykowane, albo też technologicznego fazowania na budowę konstrukcji odcinkami w różnym czasie
  2. ograniczenie swobody swobody odkształceń pełzania (skrępowanie) poszczególnych elementów konstrukcji i powstaniem  dodatkowych sił wewnętrznych,
  3.  zmiany schematu statycznego w różnych fazach budowy
  4. pełzania od sprężenia i związanych z nim reologicznych strat sił naciągu strun prefabrykatów zachodzących w belkach pracujących w układzie ciągłym.

W celu uwzględnienia skurczu i pełzania konstrukcji żelbetowych w ogólności należy prowadzić analizy na wszystkich etapach wykonawstwa konstrukcji z uwzględnieniem obciążeń, które mogą wystąpić na danym etapie z uwzględnieniem odkształceń i sił „zastanych” z poprzedniego etapu.

Kombinacje charakterystyczne  w stanach granicznych użytkowalności

Stany granicznych użytkowalności, a mianowicie :  zarysowania, ugięcia , i drgania konstrukcji należy  sprawdzać w sytuacjach charakterystycznych.

Rozwój ugięć i zarysowania w czasie życia konstrukcji

Ugięcia i związane z nimi pełzanie oraz skurcz betonu są zależne od czasu „t”. Na rys. 31 wyróżniono trzy zasadnicze etapy zachowania konstrukcji żelbetowych :

  • okres pielęgnacji betonu $ [ 0, t_s] $,
  • okres budowy $ [ 0, t_m] $, (okres pielęgnacji betonu jest w n im zawarty),
  • okres przygotowania do oddania do użytkowania $[t_m  \,; t_0]$,
  • okres eksploatacji  $[t_0, \infty]$ , gdzie symbol $\infty$ oznacza projektowy okres użytkowania zgodnie z (PN-EN 1990, 2004)   zależny od klasy konstrukcji: zwykle $\infty=50 \, lat$, ale dla konstrukcji rolniczych może wynosić  $\infty=15 \, lat$, a dla konstrukcji monumentalnych $\infty=100 \, lat$ .

Rys.31. Rozwój pełzania i skurczu w życiu budowli żelbetowej

W okresie pielęgnacji betonu od rozpoczęcia wykonywania elementu (prace szalunkowe, zbrojarskie, układanie betonu)  aż do zakończenia utrzymywania warunków dojrzewania – przyjmuje się, że  element jest utrzymywany na  rusztowaniach w szczególnych warunkach minimalnych obciążeń. W tym okresie beton jest jeszcze plastyczny – skurcz nie powoduje naprężeń w betonie,a odkształcenia i przemieszczenia od skurczu są nieokreślone . Okres $[ 0, t_s]$ pomijamy w analizach.

Pierwszym okresem który analizujemy,  jest okres budowy $[t_s \, , t_m]$ , po którym następuje okres  przygotowania budynku do użytkowania (np zasiedlania budynku mieszkalnego) $[t_m \, , t_0]$. W chwili $t_0$ rozpoczyna się normalne użytkowanie obiektu.

W każdym okresie na konstrukcję działają inne obciążenia, charakteryzowane kombinacją obciążeń:

  • w okresie budowy – kombinacja montażowa, zależna od fazy budowy, ale zasadniczo ciężar własny i ograniczone obciążenia montażowe, przy praktycznym wyeliminowaniu obciążeń klimatycznych ( śnieg i  wiatr),
  • w okresie przygotowania do użytkowania: co najwyżej charakterystyczna kombinacja  „prawie stała”
  • w okresie eksploatacji – charakterystyczna kombinacja „częsta”

Zwykle okres  użytkowania (eksploatacji) składa się z wielu podokresów, w których być może działają podobne obciążenia, ale zmieniają się warunki wilgotnościowe oraz temperatura, w której użytkowany jest element.

Kombinacje charakterystyczne omówiono w kolejnym punkcie artykułu. W arkuszu CH-P Ż  przy wyznaczaniu współczynników pełzania, skurczu oraz ugięć stosuje się podział na okresy zdefiniowane na rys. 31 i podane tam kombinacje obciążeń , wartości skurczu oraz pełzania.

 

Formacje kombinacji charakterystycznych

Kombinacje charakterystyczne obciążeń rozpatruje się według dwóch formuł kombinacyjnych:

a) kombinacje   charakterystyczne  „częste ” (dla odwracalnych stanów granicznych, np. przemieszczenia rysy)  zgodnie z  (PN-EN 1990, 2004, ((6.15b))

$$\begin{equation} F_{częste}= \sum \limits_{j \ge 1}  G_{k,j } \text {„+”} \psi_{1,1} \cdot Q_{k,1}  \text{„+”}  \sum \limits_{ i>1} \psi_{2,i} \cdot Q_{k,i} \label{130} \end{equation}$$

Kombinacji  „częstych jest tyle, ile rodzajów obciążeń zmiennych (każde z nich może być obciążeniem wiodącym „1” redukowanym współczynnikiem wartości częstej $\psi_1$ , pozostałe obciążenia zmienne są redukowane współczynnikami wartości „prawie stałej” $\psi_2$.

a) kombinacja   charakterystyczna  „prawie stała ” (dla nieodwracalnych stanów granicznych, np. przemieszczenia rysy)  zgodnie z  (PN-EN 1990, 2004, ((6.16b))

$$\begin{equation} F_{prawie stałe} = \sum \limits_{j \ge 1}  G_{k,j } \text {„+”}  \sum \limits_{ i \ge > 1} \psi_{2,i} \cdot Q_{k,i} \label{131} \end{equation}$$

Kombinacja „prawie stała” jest jedna – wszystkie obciążenia zmienne są redukowane współczynnikiem $\psi_2$.

Więcej informacji na temat kombinacji obciążeń można znaleźć w artykule Kombinacje obciążeń w Eurokodach.

Indeks kombinacji SGU1/SGN i SGU2/SGN

Na użytek szacowania zarysowań oraz ugięć konstrukcji z wykorzystaniem pola sił przekrojowych uzyskanych dla stanu granicznego nośności SGN wprowadza się ndeksy SGU1/SGN i SGU2/SGN:

$$\begin{equation}  SGU_1/SGN =\cfrac{F_{częste}}{F_d} \label{132} \end{equation}$$

czyli iloraz sprawczej siły przekrojowej  $F$  z najniekorzystniejszej kombinacji charakterystycznej częstej ($\ref{130}$) do siły $F_d$ z kombinacji obliczeniowej

$$\begin{equation}  SGU_2/SGN =\cfrac{F_{prawie stałe}} {F_d} \label{133} \end{equation}$$

czyli  iloraz sprawczej siły przekrojowej  $F$  z kombinacji charakterystycznej „prawie stałej”  ($\ref{131}$) do siły $F_d$ z kombinacji obliczeniowej.

Przekrojową siłą sprawczą jest:
* w przypadku przeważającego zginania belek – maksymalny moment zginający $F=M$,
* w przypadku przeważającego zginania belek – maksymalna siła osiowa $F=N$,
* w ogólnej sytuacji, w tym w przypadku zginania M ze ściskaniem N, – mnożnik  sił $F= \Lambda=\cfrac{ [M,N]_{komb} }{[M,N]_{ref}}$, gdzie siły odniesienia przyjmuje się  dla współczynników obciążeń $\gamma_F$  oraz redukcyjnych $ \psi_0 , \psi_1, \psi_2$ równych 1.

Zarysowania belek

Dotychczas analizowana bryła naprężeń w przekroju żelbetowym zobrazowana na rys. 16  posłużyła do sprawdzania stanu granicznego nośności, zaś stany graniczne użytkowalności należy analizować w poprzedzających fazach pracy w których fundamentalnym zjawiskiem jest rysowanie się przekroju, a w dłuższym okresie czasu zjawiska pełzania i skurczu betonu, przedstawione w  rozdz. 4.

Graniczne (dopuszczalne) rozwarcie rys

Powstawanie rys w betonie jest podstawowym mechanizmem niszczenia betonu oraz czynnikiem, który wymusza stosowanie zbrojenia. Zarysowania powodują znaczne zmniejszenie sztywności betonu i ochrony  zbrojenia przed ekspozycją środowiska, ale również mogą być nieakceptowane wizualnie. Całkowite usunięcie rys w betonie jest praktycznie niemożliwe i każda rzeczywista konstrukcja betonowa jest porysowana rysami o rozwartości $w_k$ , które jednak są ograniczane do wielkości akceptowanej ze względu na ogólne wrażenie wzrokowe.

Szerokość rozwarcia rys $w_k$ jest ograniczana zgodnie z formułą:

$$\begin{equation} w_k \le w_{max}= \begin {cases}
0,4  \, mm, & \text {dla klasy ekspozycji XC0 i XC1 } \\
0,3 \, mm, & \text {dla XC2 do 4,  XD1 do 3 oraz XS1 do 3}
\end {cases} \label{134} \end{equation}$$

Dla innych klas ekspozycji ( XF, XA) graniczne szerokości rys należy ustalać indywidualnie z warunku ochrony betonu i stali przed korozją w wymaganym okresie trwałości budowli i jej elementu konstrukcyjnego.

Mechanizm rysy i fazy pracy przekroju

Zarysowania przekroju żelbetowego istotnie zależą od współpracy betonu i stali zależnej od stosunku modułów odkształcalności:

$$\begin{equation} \alpha_e= \begin {cases}
\alpha_{e,m} = E_s /  E_{cm} & \text {w sytuacji doraźnej ( po 28 dniach)} \\
\alpha_{e,ef} = E_s / E_{cef} & \text { w sytuacji długotrwałej  z uwzględnieniem pełzania} \\
\end {cases} \label{135} \end{equation}$$

Mechanizm powstawania rysy

Rysy na powierzchni betonu inicjują się w sposób pokazany na rys. 32. Model mechanizmu powstawania rysy przedstawiono na rys. 33. Rysa powstaje na skutek różnicy pomiędzy odkształceniem stali $\varepsilon_s$ oraz betonu $\varepsilon _c$ skoncentrowanym na odcinku po $s_0$ w obie strony od potencjalnego miejsca pojawienia się rysy.

Rys. 32. Inicjowanie rysy w belce żelbetowej

Rys.33. Mechanizm powstawania rysy w elemencie żelbetowym

(opracowane na podstawie (MPA The Concrete Centre, 2017))

W rezultacie układu odkształceń w obszarze rysy zobrazowanego na rys.33 naprężenia w betonie in stali układają się w sposób przedstawiony na rys. 34. W tym przypadku nie ma zastosowania zasada kontinuum ciała, bowiem lokalna nieciągłość betonu w postaci rysy przenosi się na stal wskutek przyczepności betonu i w rezultacie lokalne odkształcenie i naprężenie pręta  znacznie wzrasta

Rys. 34 Naprężenia  wstali w regionie pojedynczej rysy

(Gilbert, Ranzi, 2011)

Fazy pracy przekroju żelbetowego

Rozkład naprężeń w przekroju żelbetowym , pokazany na rys. 15 dotyczy stanu granicznego,  który jest ostatnią fazą pracy przekroju. W fazach poprzedzających rozkład naprężeń będzie inny – silnie związany z zarysowaniem przekroju. Powstawanie rysy jest uzależnione od współpracy betonu i stali zbrojeniowej. Współpracę tę w krótkim okresie czasu  można podzielić na III etapy pokazane na rys. 35, przy czym fazę II (powstawania rys) rozbijemy na fazę IIa ( inicjacja pękania) , IIb (blokadę mechaniczną), IIc (zarysowanie).  każdej z faz  obowiązuje założenie płaskich przekrojów ($\ref{73}$), ($\ref{74}$) oraz prawo fizyczne ($\ref{65}$), ($\ref{72}$).

Rys. 35 Rozkład odkształceń i naprężeń w fazach pracy przekroju żelbetowego

W każdej fazie pracy przekroju odkształcenia spełniają  zasadę płaskich przekrojów , zgodnie z którą dla znanego granicznego odkształcenia włókna rozciąganego w betonie $\varepsilon_{ct}=f_{ctm}/E_c$ pozostałe wyznaczymy z zależności:

$\varepsilon_{cu}=\varepsilon_{ct}\cdot x_{II}/x_{II,t}$,
$\varepsilon_{su}=\varepsilon_{ct}\cdot (x_{II}-a_u) / x_{II,t}$,
$\varepsilon_{sl}=\varepsilon_{ct}\cdot (h-x_{II}-a_l) / x_{II,t}$,
$\varepsilon_{cl}=\varepsilon_{ct}\cdot (h-x_{II}) / x_{II,t}$.

Jeśli natomiast znane jest odkształcenie dolnego pręta zbrojeniowego $\varepsilon_{sl}=\sigma_{sl} /E_s$, to pozostałe wyznaczymy z zależności ($\ref{73}$).

Faza I sprężysta – beton niespękany – rys. 35a

Na tym etapie beton przenosi rozciąganie ($\sigma_{ct}< f_{ct,m}$). Przy niskich naprężeniach w spojeniu betonu i stali (0,2 do 0,8 $f_{ct}$) nie obserwuje się pękania, a poślizg pręta jest niewielki. Zapewnione jest spojenie stali i betonu głównie przez adhezję chemiczną, a częściowo przez interakcje mikromechaniczne związane z mikroskopijną chropowatością powierzchni stali.
Rozkład naprężeń jest w przybliżeniu liniowy, zgodny z teorią belek wykonanych z materiału jednorodnego, a oś obojętna przekroju symetrycznie zbrojonego pokrywa się z osią geometryczną przekroju

Faza II – beton spękany – rys 35b

Fazę II (pękania betonu) podzielimy na kilka etapów , zależnie od zjawisk jakie w nich zachodzą.

Etap IIa: (inicjacja pęknieć). Naprężenie w spojeniu stali i betonu jest wyższe, a przyczepność chemiczna rozkłada się, i żebra prętów wywołują naprężenia rozciągające w betonie, co powoduje poprzeczne mikropęknięcia. Klinujący efekt promieniowy zostaje powoduje, że jeszcze nie dochodzi do rozłupywania betonu.

Etap Ib (blokada mechaniczna): Naprężenie w spojeniu jest większe niż wytrzymałość betonu na rozciąganie i wskutek działania klinującego powstają podłużne pęknięcia (zarysowania) w betonie. Jest to związane głównie ze skośnymi  siłami ściskającymi wychodzące z pręta żebrowanego, które są zrównoważone przez obwodowe naprężenia rozciągające w betonie otaczającym pręt. Na  tym etapie, siłę wiązania zapewnia przede wszystkim blokada mechaniczna na zbrojeniu.

Etap IIc: W elementach betonowych z gładkimi prętami etap ten następuje bezpośrednio po zerwanie wiązania z betonem. Siła jest przenoszona przez tarcie i podlega wpływowi nacisku poprzecznego, skurczu betonu i chropowatości pręta. W przypadku prętów z żebrami przy niewielkim zbrojeniu poprzecznym powstają pęknięcia podłużne przez całe otulenie, a wiązanie ma tendencję do gwałtownego zerwania. Rozerwanie otulenia nie wystąpi przy silnym zbrojeniu poprzecznym. Mechanizm przenoszenia siły zmienia się z oporu żebra na tarcie, a odporność na ścinanie staje się dominująca. W rezultacie powstaje pękniecie otulenia i pojawia się rysa.

Fazę II szczegółowo omówiono w wielu pracach, m.in. (Gilbert, Ranzi, 2011) oraz (Nejadi, 2005). W niniejszym artykule poprzestaniemy na uproszczonym podejściu, w którym stan ten modeluje się rozkładem naprężeń, w którym beton nie przenosi rozciągania, a w strefie ściskania rozkład naprężeń jest trójkątny. Przyjmuje się, że odkształcenie dolnego włókna betonu $\varepsilon_{cl}=f_{ct,m}/E_c$ , gdzie moduł betonu $E_c$ jest wartością umowną i w zależności od okresu dla którego rozpatrujemy zjawisko $E_c = (E_{cm} \div E_{c,ef}$). Długotrwałe obciążenie zwiększają poślizg i redystrybucję naprężeń wiązania (prawdopodobnie z powodu pełzania). Zerwanie wiązania pod trwałymi obciążeniami, zwiększa szerokości pęknięć, rysy wydają się być bardziej równoległe. W tym przypadku stosuje się $E_c= E_{c,ef}$.

Faza III – graniczna rys.35c

Faza III, opisana modelem z rys. 16 jest przedmiotem analiz w  rozdziale 5 artykułu.

Warunek zarysowania  i sztywność przekroju w fazie I (niespękanego)

Warunek zarysowania i moment rysujący

Moment  rysujący przekrój $M_{cr}$ jest to taki moment zginający, który powoduje powstanie pierwszej rysy w betonie. Pierwsza rysa powstanie na koniec pracy przekroju w fazie I (rys.34a), to znaczy w fazie pracy sprężystej. wówczas, gdy naprężenia na dolnej krawędzi betonu osiągną wytrzymałość na rozciąganie $f_{c,t,ef}\approx f_{ctm}$, gdzie $ f_{ctm}$  jest średnią wytrzymałością betonu na rozciąganie osiągnięta w chwili, w której – jak się oczekuje – powstaną rysy.  Gdy można oczekiwać, że zarysowanie nastąpi wcześniej niż po 28 dniach, wytrzymałość $f_{c,t,ef}$ można przyjąć mniejszą $f_{c,t,ef}= f_{ctm}(t) $.

Warunek zarysowania  można zapisać w postaci:

$$\begin{equation}  \sigma_{cl} \ge  f_{ctm} \label {136} \end{equation}$$

Warunek zarysowania przekroju zginanego można zapisać w postaci alternatywnej do ($\ref{136}$):

$$\begin{equation}  M_{E,k} \ge  M_{cr} \label {137} \end{equation}$$

gdzie: $M_{E,k}$ – moment zginający od charakterystycznych obciążeń zewnętrznych, działających na konstrukcję.

Moment rysujący wynosi:

$$\begin{equation}  M_{cr}= f_{ctm} \cdot W_{cr} \label {138} \end{equation}$$

gdzie wskaźnik wytrzymałości przekroju tuż przed zarysowaniem
$W_{cr} = I_{cr} / z_0 $ ;
$ z_0=(h -x_I) $ jest odległością włókna dolnego od osi obojętnej przekroju.

Ponieważ moment rysujący odpowiada końcowemu etapowi  fazy I , to  $W_{cr}=W_{I}=I_{cr}/z_0$ , przy czym $I_{cr}=I_{I}$, które wyznaczono w kolejnym punkcie.

Wysokość strefy ściskanej i moment bezwładności w fazie I

W fazie I przekrój nie jest jeszcze zarysowany, a rozkład odkształceń i naprężeń przyjmuje się w sposób zaprezentowany na rys. 34a., czyli w sposób wynikający z klasycznej teorii zginania sprężystego.

Odległość osi obojętnej od górnej krawędzi jest wysokością strefy ściskanej $x_I$. Z podstawowej zależności (e=M/A) mamy:

$$\begin{equation} x_{I} =\cfrac{  b\cdot h^2  / 2   + \alpha_e \cdot ( A_{sl} \cdot d_l \,  + \, A_{su} \cdot a_u )  }{ b\cdot h + \alpha_e \cdot (A_{sl}+A_{su}) }  \label {139}\end{equation}$$

Moment bezwładności przekroju niezarysowanego  sprowadzony do betonu wynosi więc

$$\begin{equation} I_{I}= \cfrac{bh^3}{12} +b \cdot h \cdot (h/2 – x_I)^2 +\alpha_e \cdot \left[ A_{sl} \cdot (d_l – x_I )^2 +A_{su} \cdot (x_I-a_u)^2) \right] \label{140} \end{equation}$$

Często do wyznaczenia momentu rysującego pomija się wzmocnienie przekroju stalą (np. (ACI 318-14, 2014) ) i wówczas moment rysujący

$$\begin{equation} M_{cr}= \cfrac{b \cdot h^2}{6} \cdot f_{ctm} \label{141} \end{equation}$$

Naprężenia w stali zbrojeniowej  przed zarysowaniem

Naprężenia w stali zbrojeniowej przed zarysowaniem zgodnie z klasyczną teorią zginania belek wynosiłyby

$$\begin{equation}  \sigma_{s,cr} = k_t \cdot \alpha_e \cdot \cfrac{M_{cr}}{I_I } \cdot (d_l-x_I) = k_t \cdot \alpha_e \cdot f_{ctm} \cdot \cfrac{d_l- x_I} {h- x_I }\label{142} \end{equation}$$

Współczynnik $k_t$ uwzględnia czas trwania obciążenia i wynosi

$$\begin{equation} k_t<  \begin {cases}
0,6 & \text {dla  obciążeń krótkotrwałych } \\
0,4 & \text {dla  obciążeń długotrwałych } \\
\label {143} \end {cases} \end{equation}$$

W eksperymentach uzyskuje się jednak inne wartości, co wynika z ograniczonej współpracy betonu i stali do niewielkiego obszaru betonu otaczającego pręt rozciągany, , zgodnie z formułami ($\ref{144}$) do ($\ref{146}$), a  w rezultacie oszacowania naprężeń w stali zbrojeniowej przed zarysowaniem formułą ($\ref{147}$).
Przyjmuje się, bowiem że przed zarysowaniem rozciągany jest pręt betonowo- stalowy otaczający stal  o wysokości $h_{c,eff}$  w sposób pokazany na rys. 36.

Rys. 36 Wysokość i pole efektywne uczestniczące podczas zarysowania: a) belka, b) płyta – elementy zginane, c) element rozciągany

(PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, Rys.7.1)

Wysokość rozciąganego przekroju betonu,  efektywnie współpracującego z prętem  zbrojeniowym wynosi

$$\begin{equation}  h_{c,ef}= \lambda_{c,ef}  \cdot h  \label {144}\end{equation}$$

Współczynnik efektywnej wysokości dobiera się z zależności:

$$\begin{equation} \lambda_{c,ef}= \begin {cases}
\min \left[  \cfrac {1- \xi_{II} \cdot \delta_l}{3} \, ; \, 2,5 \cdot (1-\delta_l) \right], & \text {element zginany przy dolnej „l” krawędzi } \\
\min  \left[  1/2 \, ; \, 2,5\cdot (1-\delta_*) \right[, & \text { element rozciągany przy dolnej (*= l) lub górnej (*= u) krawędzi} \\
\end {cases} \label{145} \end{equation}$$

gdzie:
$\xi_{II}$ wg  ($\ref{151}$) – względna wysokość strefy ściskanej odniesiona do wysokości użytecznej przekroju,
$ \delta_{*} = \cfrac{d_{*}}{h}$  – względna wysokość użyteczna odniesiona do wysokości przekroju,
$d_*=h-a_*$ – użyteczna wysokość przekroju ,
$a_*= c_*+\Phi_*/ 2$ – osiowe otulenie pręta,
$c_*$ – otulenie pręta do jego krawędzi,
$\Phi_*$ – średnica pręta zbrojeniowego,
(* =.l . u) – indeks krawędzi dolnej (lower) i górnej(upper) przekroju

Poziom rozciągania (stopień zbrojenia rozciąganego przekroju betonu otaczającego pręty zbrojeniowe) szacujemy z formuły:

$$\begin{equation} \rho_{p,ef}= \cfrac{A_s+\xi_1^2 \cdot A_p^{‚}}{ A_{c,ef}} \stackrel{A_p^{‚}=0} {=} \cfrac{A_s}{A_{c,ef}} = \cfrac{ \rho_{sl} \cdot \delta_l} {\lambda_{c,ef}} \label {146} \end{equation}$$

$A_p^{‚}=0$ przy braku cięgien sprężających,
$\xi_1$ – współczynnik sił przyczepności – bez znaczenia w problemie zginania bez udziału cięgien sprężających,
$A_{c,ef} =b\cdot h_{c,ef} $  jest  efektywnym polem betonu rozciąganego otaczającego zbrojenie lub cięgno sprężające $A_s$,
$\rho_s=A_s/ A_c $ – stopień zbrojenia belki.

Przy braku cięgien i strun sprężających – naprężenia w zbrojeniu tu przed zarysowaniem szacuje się z formuły

$$\begin{equation}  \sigma_{s,cr}=k_t \cdot f_{ctm }\cdot \left( \cfrac{1}{ \rho_{p,ef}}+ \alpha_e \right ) \label {147}\end{equation}$$

Sztywność przekroju w fazie II (beton spękany)

W fazie II przekrój jest w pełni zarysowany, a rozkład odkształceń i naprężeń przyjmuje się w sposób zaprezentowany na rys. 36b..

Wysokość górnej strefy rozciąganej

Zależność na wysokość strefy rozciąganej $x_{II,t}$, pokazanej na rys.36 – wyznaczymy z warunku równowagi rzutów sił na oś poziomą:

$$\begin{equation} \Sigma X = S_{cc} – S_{ct} + S_{su} – S_{sl} – N_E= 0\label{148}\end{equation}$$

gdzie  $N_E$  jest przekrojową siłą osiową (od obciążeń), przy czym siła ściskająca ma znak plus, a rozciągająca minus.

Sumy sił z bryły naprężeń w betonie ściskanym $S_{cc}$, rozciąganym $S_{ct}$, pręcie stalowym górnym $S_{su}$ i dolnym $S_{sl}$ wynoszą:

$ S_{cc} = E_c\cdot(b \cdot \varepsilon_{cu} \cdot x_F)/ 2$,
$ S_{ct} =  E_c \cdot ( b \cdot \varepsilon_{cl} \cdot (h-x_F)/ 2$,
$S_{su} = E_s \cdot \varepsilon_{su} \cdot A_{su}$,
$ S_{sl} = E_s \cdot \varepsilon_{sl} \cdot A_{sl}$.

Po podstawieniu wyżej zdefiniowanych zmiennych i po rozwiązaniu równania ($\ref{148}$) względem wysokości rozciąganej strefy przekroju, otrzymujemy :

$$\begin{equation}   \xi_{II,t} = \sqrt{\xi_{II} +n_{E,t}^2 -2\cdot \alpha_e \cdot [(1-\delta_{u/l})\cdot \rho_{sl}-(\xi_{II}]-\delta_{u/l}) \cdot \rho_s ] } – n_{E,t} \label{149} \end{equation}$$

gdzie:
$n_{E,t} =\cfrac{N_E}{b \cdot d_l \cdot f_{ctm}}$,
względna wysokość strefy ściskanej   $\xi_{II} = x_{II} /d_l$,
względna wysokość strefy rozciąganej   $\xi_{II,t} = x_{II,t}/d_l$,
użyteczny stopień zbrojenia dolnego $ \rho_{sl}=A_{sl} / (b\cdot d_l)$,
użyteczny stopień zbrojenia górnego $\rho_{su}=A_{su} / (b\cdot d_l)$,
użyteczny stopień zbrojenia przekroju $\rho_s=\rho_{sl}+\rho_{su}= (A_{sl}+A_{su})/ (b\cdot d_l)$,
stosunek ramion zbrojenia górnego i dolnego  $ \delta_{u/l} =a_u / d_l= \delta_u / \delta_l$,

Wysokość strefy ściskanej

W klasycznym podejściu (np. (Nejadi, 2005), (Knauff, 2015) i in. ) zakłada się, że poniżej strefy ściskanej beton nie przenosi rozciągania, więc wysokość strefy ściskanej  wyznaczymy z równania

$$\begin{equation} \xi_{II,t} = 0 \label {150}\end{equation}$$

Z rozwiązania tego równania  względem $\xi_{II}$ otrzymujemy

$$\begin{equation} \xi_{II}= \sqrt{  \rho_{s,e}\cdot ( \rho_{s,e} + 2 \cdot k_{lu}) }  \, –  \rho_{s,e} \label {151}\end{equation}$$

gdzie wprowadzono oznaczenia:

sprowadzonego  do betonu stopnia zbrojenia przekroju,

$$\begin{equation} \rho_{s,e}= \alpha_e \cdot \rho_s \label {152}\end{equation}$$

a także zmniejszającego współczynnika zbrojenia przekroju podwójnie zbrojonego, uwzględniającego mniejszy wpływ zbrojenia górnego na efektywny współczynnik zbrojenia przekroju belki:

$$\begin{equation} k_{lu}= (\rho_{sl} +\delta_{u/l} \cdot \rho_{su}) /  \rho_s \label{153} \end{equation}$$

Jak wynika z zależności ($\ref{151}$) wysokość strefy ściskanej $x_{II}=\xi_{II} \cdot d_l $ , w przypadku braku betonu rozciąganego, nie zależy od wielkości sił przekrojowych.

Taki sam wynik uzyskamy z warunku równowagi momentów (CH GoodChild, 2009):

$$\begin{equation} – \cfrac{b \cdot x_{II}^2}{2}+\alpha_e  \cdot [ A_{sl} \cdot (d_l- x_{II}) +  A_{su} \cdot (a_u- x_{II})]= 0  \label{154} \end{equation}$$

Założenie o tym, że pękniecie betonu sięga aż do początku strefy ściskanej (braku strefy rozciąganej) nie jest potwierdzone badaniami doświadczalnymi ani numerycznymi. Wbrew przeciwnie z szerokich analiz numerycznych (Kachlakev, Miller, Yim, Chansawat, Potisuk, 2001) wynika, że w fazie II wysokość strefy niezarysowanej wynosi  ok $\xi_{II}=0,6$, co wskazywało, że istnieje obszar niezarysowanego, rozciąganego betonu. Analiza tego problemu nie jest przedmiotem niniejszego artykułu.

Moment bezwładności przekroju spękanego

Moment bezwładności przekroju w fazie II wynosi:

$$\begin{equation} I_{II}=  \cfrac { b \cdot x_{II}^3}{3 } + \alpha_e \cdot  \left [ A_{sl} \cdot (d_l-x_{II} )^2+  A_{su} \cdot (x_{II}-a_u)^2 \right ] \label{155} \end{equation}$$

Naprężenia w stali zbrojeniowej  po zarysowaniu

Naprężenie w rozciąganym w pręcie zbrojeniowym w przekroju o współrzędnej bieżącej osi pręta x , obciążonym momentem zginającym $M_E (x)$ obliczone przy założeniu, że przekrój jest zarysowany   można oszacować z zależności

$$\begin{equation} \sigma_s (x) =\alpha_e \cdot \cfrac{M_{E,k} (x) } {I_{II}} \cdot (d_l-x_{II}) \label{156} \end{equation}$$

Zwracamy uwagę, że siły przekrojowe M_{E,k}(x) należy redukować do osi obojętnej przekroju, a ponadto są one wywołane obciążeniami z kombinacji charakterystycznej.

Rozstaw rys

Maksymalny rozstawu rys $s_{r.max}$ zależy od średnicy pręta zbrojeniowego i jego otulenia oraz od szeregu czynników zgodnie z empiryczną zależnością (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, (7.11)):

$$\begin{equation}  s_{r,max}=k_3 \cdot c +k_1 k_2 k_4 \dfrac{\Phi}{\rho_{p,ef}} \label {157}\end{equation}$$

w którym:
c- nominalne otulenie pręta podłużnego o średnicy $\Phi$,
$\rho_{p,ef}$ wg ($\ref{146}$).

$k_1, k_2,k_3, k_4$ – zestaw współczynników, przyjmowanych jak następuje:

$k_1$ jest współczynnikiem zależnym od przyczepności zbrojenia:
0,8 dla prętów o dobrej przyczepności
1,6 dla prętów o gładkiej powierzchni (np. pręty gładkie lub cięgna sprężające),

$k_2$  jest współczynnikiem zależnym od rozkładu odkształceń, obliczanym z zależności:

$$\begin{equation}  k_2= \cfrac { \varepsilon_1+\varepsilon_2 }{ 2 \varepsilon_1} \label {158}\end{equation}$$

gdzie $\varepsilon_1$ jest większym a $\varepsilon_2$ mniejszym z odkształceń na krawędziach rozważanego przekroju, obliczonych przy założeniu. że przekrój jest zarysowany.

W przypadku elementów zginanych: belek (rys. 33a) i płyt (rys. 33b) , czyli takich w których wysokość strefy ściskanej jest niezerowa $x>0$ przyjmuje się

$\varepsilon_2=0$ i z definicji ($\ref{158}$) mamy $k_2=0,5$.

W przypadku elementów rozciąganych (rys. 33c) dla czystego rozciągania:  $\sigma_2=\sigma_1 \to k_2=1$.

W przypadku rozciągania mimośrodowego z mimośrodem $e=M_E/N_E$ w przypadku przekroju prostokątnego bxh symetrycznie zbrojonego:
$\varepsilon_1= \cfrac{\sigma_N}{E_c} \cdot  \left (1+6 \cdot e/h \right )$ , $\varepsilon_2= \cfrac{\sigma_N}{E_c} \cdot  \left (1-6 \cdot e/h \right )$ , czyli $k_2= \cfrac { \varepsilon_1+\varepsilon_2 }{ 2 \varepsilon_1} = 1 / \left( 1+ 6 \cdot e/h \right) $

Pozostałe współczynniki korekcyjne przyjmuje się o wartościach:

$k_3$=3,4 , $k_4$= 0,425.

Jeżeli rozstaw zbrojenia mającego przyczepność przekracza $5\cdot a$ ($a=c + \Phi/2$) , albo jeżeli w strefie rozciąganej nie ma zbrojenia z przyczepnością do betonu, to górną granicę szerokości rys nożna obliczyć, zakładając że maksymalny rozstaw rys wynosi:

$$\begin{equation}  s_{r,max}= 1,3 \cdot (h – x_{II}) \label {159} \end{equation}$$

W płycie – jeżeli kąt $\Theta$ nachylenia kierunków naprężeń głównych do zbrojenia ortogonalnego przekracza $15^0$, to

$$\begin{equation}  s_{r,max}=\cfrac{1}{ cos \Theta / s_{r,max,y}+ sin \Theta / s_{r,max,z} } \label {160}\end{equation}$$

w którym $s_{r,max,y}$ oraz  $s_{r,max, z}$ są rozstawami rys  w dwóch ortogonalnych kierunkach płyty liczonymi wg wzorów $(\ref{157})$

Rozwarcie rysy

Metody sprawdzania rys

W zwykłych sytuacjach w celu ograniczenia szerokości rys do wartości granicznych $(\ref{134})$ poprzestaje się na zastosowaniu średnic i rozstawu zbrojenia mniejszego od wartości przedstawionych w tab. 5, a omówionych w rozdziale dotyczącym minimalnego zbrojenia belek. Metodę uproszczoną stosuje się w większości praktycznych sytuacji projektowych na etapie wstępnym – koncepcji.
Ostatecznie zaprojektowaną belkę z konkretnymi warunkami brzegowymi sprawdza się metodą ogólną opisaną niżej z zastosowaniem programów komputerowych. W kalkulatorze żelbetu CHP-Ż w 1.4 wdrożono obie wersje metody ogólnej :

  • Metoda KO [odkształceń krytycznych) polegająca na bezpośrednim zastosowaniu zależności

$$\begin{equation} w_k=s_{r,max} \cdot \varepsilon_{cr}  \label {161}\end{equation}$$

gdzie odkształcenie pękania $\varepsilon_{cr}$ jest różnicą odkształceń stali i betonu przy której inicjuje się pękniecie:

$$\begin{equation}  \varepsilon _{cr}= \varepsilon _{sm}-\varepsilon _{cm} \label {162}\end{equation}$$

$$\begin{equation}  \alpha= \alpha_I + \zeta ( \alpha_{II} – \alpha_I)  \label {163}\end{equation}$$

zalecanej do prognozy uogólnionych odkształceń $\alpha$ spękanego betonu, głównie elementów zginanych

Współczynnik dystrybucji $\zeta$ szacuje się z zależności

$$\begin{equation}  \zeta= 1- \beta \left( \cfrac{\sigma_{sr}}{\sigma_s} \right )^2 \label {164}\end{equation}$$

w której:
$\beta=1$ dla obciążenia krótkotrwałego; $\beta=1/2$ dla obciążeń długotrwałych i wielokrotnie powtarzanych (prawie – stałych).

Naprężenia w stali są wyznaczane w dwóch stanach :

  • $\sigma_{sr}$ – naprężenie w zbrojeniu dolnym (rozciąganym), obliczone przy założeniu, że przekrój jest zarysowany (tzn w fazie II) , spowodowany obciążeniem powodującym powstanie pierwszej rysy (tzn momentem rysującym wyznaczonym w końcowym etapie fazy I)
  • $\sigma_s$  – naprężenie w zbrojeniu dolnym (rozciąganym, obliczone przy założeniu, że przekrój jest zarysowany (tzn w fazie II) , spowodowany momentem zginającym od obciążeń charakterystycznych

Stosunek naprężeń $\cfrac {\sigma_{sr}}{\sigma_s}$  można zastąpić przez:
$M_{cr} / M_E(x)$, przy czystym zginaniu,
$N_{cr} / N_E(x) $ , przy czystym rozciąganiu,
gdzie $M_{cr}$ i $N_{cr}$ oznacza odpowiednio rysujący moment lub siłę osiową, a $M_E(x) $ oraz $N_E(x) $ siły przekrojowe działające w przekroju o współrzędnej bieżącej x.

Metoda KO [odkształceń krytycznych ] wyznaczania rozwartości rysy

Po przekształceniu wyrażenia z normy (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, (7.9)) odkształcenia rysujące  w betonie możemy oszacować z zależności:

$$\begin{equation}  \varepsilon _{cr}= \cfrac{\Delta \sigma}{E_s} \label {165} \end{equation}$$

gdzie

$$\begin{equation}  \Delta \sigma= \max { \{ \sigma_s -\sigma_{s,cr} \, ; \, 0,6 \cdot \sigma_s \} } \label {166}\end{equation}$$

gdzie:
$\sigma_s$ wg ($\ref{156}$)
$\sigma_{s,cr}$ ($\ref{147}$).

Metoda UO [odkształceń uogólnionych ] wyznaczania rozwartości rysy

W metodzie odkształceń uogólnionych analizuje się odkształcenie betonu po przekroczeniu odkształcenia sprężystego $\alpha_I$ (po pojawieniu się pierwszej rysy) i osiągnięciem odkształcenia  w stanie w pełni zarysowanym $\alpha_{II}$ wg formuły ($\ref{163}$), która dotyczy odkształceń uogólnionych, więc krzywizny $\psi$, przemieszczenia, obrotu, ale także szerokości rozwarcia rys $w_k$.

Na rys. 37  zależność ($\ref{163}$) zilustrowano na przykładzie przemieszczeń prostej belki,

Rys.37.  Metoda odkształceń uogólnionych  w elemencie żelbetowym

(opracowane na podstawie (MPA The Concrete Centre, 2017))

Zastosowanie zależności ogólnej  $(\ref {163})$ do szacowania odkształceń stali $\varepsilon_s$ i rozciąganego betonu  $\varepsilon_c$ prowadzi do zależności:

$\varepsilon_s=  \varepsilon_{sI}+\zeta \Delta \varepsilon_s$,

$\varepsilon_c=  \varepsilon_{cI}+\zeta \Delta \varepsilon_c$,

a po odjęciu obu równań  stronami i uwzględnieniu, że w fazie I występuje pełna współpraca betonu i stali ( $varepsilon_{sI,I}= \varepsilon_{cI},I) mamy:

$$\begin{equation} (\varepsilon_s-\varepsilon_c)=\zeta (\Delta \varepsilon_s- \Delta \varepsilon_c)  \label {167} \end{equation}$$

Po uwzględnieniu tego, że beton zarysowany w strefie efektywnej nie przenosi rozciągania, czyli $ \varepsilon_{cl,II}=0$ i ponownie ($varepsilon_{sI,I} = \varepsilon_{cI,I}$) z zależności ($\ref{168}$) uzyskujemy:

$$\begin{equation} (\varepsilon_s-\varepsilon_c)=\zeta \varepsilon_{sII}=\zeta \cfrac{\sigma_s}{E_s}  \label {168}\end{equation}$$

Otrzymujemy stąd wyrażenie na rozwartość rysy w postaci

$$\begin{equation} w_k=s_{r,max} \cdot \zeta \cfrac{\sigma_s}{E_s}  = s_{r,max} \cdot \left[ 1 -\beta \left( \cfrac{M_(cr)}{M_E} \right)^2\right ] \cdot \cfrac{\sigma_s}{E_s} \label {169}\end{equation}$$

Uzyskaliśmy wyrażenie ($\ref{169}$)  na szerokość rysy niezależne od parametrów betonu  $f_{ctm}$ oraz $E_{c}$  (doraźnych lub efektywnych).

Ugięcia belek

Ugięcia graniczne

Odmiennie od projektowania według historycznych norm (p. artykuł Kombinacje obciążeń w Eurokodach) obecnie ( wg (PN-EN 1990, 2004) fundamentalną zasadą jest to, że graniczne ugięcia konstrukcji powinny wynikać z wymagań  użytkowych ustalanych  z inwestorem i przyszłym użytkownikiem danej inwestycji, a nie z wymagań norm ogólnych.

W normie do projektowania konstrukcji żelbetowych (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, kl. 7.4.1.) zasugerowano ugięcia graniczne, których przekroczenie może (ale nie musi) doprowadzić do utraty własności  budowli ważnych ze względów konstrukcyjnych (a nie użytkowych), a do szczegółów odsyła do normy . Ograniczenie dotyczy ugięć pod  obciążeniami quasi-stałymi. Wartość quasi-stała oddziaływania zmiennego , wynosi ψ2 ·Qk , gdzie ψ2 jest współczynnikiem określającym stosunek części quasi-stałej (czyli takiej,  dla której okres jej  przekraczania stanowi znaczną część okresu odniesienia) do całkowitej wartości charakterystycznej obciążenia. Podano tylko dwa ograniczenia:

$$\begin{equation} \delta_{lim} = \begin {cases}
L/200,  & \text {dla zapewnienia estetyki i ogólnej użyteczności } \\
L/500, & \text {w celu uniknięcia uszkodzenia współpracujących elementów budowli}
\end {cases} \label{170}\end{equation}$$

gdzie $L$ jest odległością pomiędzy dwoma punktami  A i B konstrukcji, a $\delta$ jest strzałką ugięcia pomiędzy tymi punktami, czyli

$\delta= v_{max}- (v_A+v_B)/2$, gdzie $v_A$ i $v_B$ są przemieszczaniami pionowymi odpowiednio punktu A i B, a $v_{max}$ – maksymalnym przemieszczeniem pomiędzy tymi punktami.

Współpracującymi elementami budowli są najczęściej ściany działowe ( w tym murowane), ustawione na uginającej się płycie stropowej.

W przypadku współpracujących elementów elementów wrażliwych (np. ścian szklanych) należy zastosować specjalne ograniczenia lub dylatacje kompensacyjne, tak aby elementy wrażliwe nie zostały zmiażdżone uginającym się stropem.

Sprawdzanie ugięć elementów konstrukcyjnych

Podstawowym problemem przy obliczaniu ugięć elementów i konstrukcji żelbetowych jest uwzględnienie czynników, które wpływają istotnie na zwiększenie deformacji  konstrukcji żelbetowej w stosunku do  odkształcenia konstrukcji sprężystej , takiej jak konstrukcja stalowa, a mianowicie:

  1. efekty skurczu i pełzania betonu w czasie,
  2. zmniejszania sztywności elementów na skutek narastającego zarysowania wraz ze wzrostem  wytężenia przekroju, w sytuacji różnego zarywania przekrojów w różnych miejscach konstrukcji

Efekty skurczu i pełzania betonu uwzględnia się poprzez zastosowanie efektywnego modułu odkształcenia betonu $E_{c,ef}$ zgodnie z formułą $(\ref{126})$.

Natomiast zmniejszenie sztywności żelbetu wskutek zarysowania betonu dokonuje się w sposób analogiczny do przyjętego w metodzie ogólnej szacowania rozwartości rys.

Jeśli element nie ulegnie zarysowaniu, to nie trzeba sprawdzać szerokości rys, a ugięcia oblicza się jak dla ustroju sprężystego.

W przypadku przeważającego zginania zarysowanie wystąpi, gdy moment zginający jest większy od momentu rysującego przekrój $M_{cr}$ ($\ref{138}$), Przy obciążeniu mimośrodowym wartością porównawczą do stwierdzenia okoliczności początku zarysowania przekroju jest rysująca siła osiowa $N_{cr}$

$$\begin{equation} N_{cr}= \cfrac {f_{ctm}} {e/W_I \pm 1/A_c} \label {171}\end{equation}$$

gdzie:
$e=M/N$ – mimośród siły osiowej (p. również poprzedni punkt artykułu),
$W_I=I_I/(h-x_I) $,  $I_I$ ($\ref{140}$), $x_I$ ($\ref{139}$)

Znak „+” stosuje się przy rozciąganiu, „-” przy ściskaniu.

Metody sprawdzania ugięć

Stan graniczny ugięć może być sprawdzony na dwa sposoby:

1) uproszczony – wskaźnikowy  – polegający na ograniczeniu stosunku rozpiętości do wysokości L/h zgodnie z  (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, kl. 7.42.).

2) ogólny przez porównanie ugięcia obliczonego według (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, kl. 7.4.3.) z wartością graniczną

Ze względu na złożoność /metody ogólnej do zastosowań praktycznych zaleca się sposób wskaźnikowy   sprawdzania ugięć belek i płyt żelbetowych.

Metoda wskaźnikowa nie jest jednak uniwersalna, bo dotyczy zamkniętego katalogu schematów belek. Ponadto metodą wskaźnikową uzyskuje się rezultaty różniące się znacznie od rzeczywistych Na rys. 38 porównano metodę wskaźnikową z ogólną (ścisłą) dla belki swobodnie podpartej. Błąd metody wskaźnikowej, liczony indeksem L/h  jest największy dla rozpiętości belek do 6 m lub  dla stosunkowo dużych obciążeń i wynosi ok 30%. W przypadku belki o rozpiętości 6 m i dla obciążeń stropów mieszkalnych Q=2,5 kN/m2 , wynosi  30/27-1 =11%. Ze względu na to, że wyniki z metody wskaźnikowej obarczone są znaczącymi błędami , to w niniejszym artykule odchodzi się od metody wskaźnikowej na rzecz metody ogólnej i obliczeń w podręcznym arkuszu obliczeniowym. Metody uproszczonej nie przedstawia się w szczegółach.

Rys. 38. Porównanie sposobu wskaźnikowego ze ścisłym dla belki wolnopodpartej

(zmodyfikowane (MPA The Concrete Centre, 2017))

Metoda ogólna

Zastosowanie zależności ogólnej  $(\ref {163})$ do szacowania krzywizny  belki $\psi$ prowadzi do zależności:

$$\begin{equation}  \psi=\psi_I+ \zeta \Delta \psi \label {172}\end{equation}$$

gdzie $\Delta \psi=\psi_{II}-\psi_I$

Współczynnik dystrybucji $\zeta$ szacuje się z zależności:

$$\begin{equation} \zeta= \begin {cases}
0, & \text {dla x :  }  M(x) \le M_{*,cr}  \text { (w I fazie  pracy przekroju) }\\
1- \beta \left( \cfrac{M_{*,cr}}{M(x)} \right )^2, & \text  { dla x : } M(x) > M_{cr} \\
\end {cases} \label{{173}}\end{equation}$$

gdzie : $x$ jest współrzędną bieżącą  belki, M(x) – moment zginający belkę w miejscu o współrzędnej $x$. $*=(u,l)$ – indeks krawędzi przekroju ( górna, dolna).

Współczynnik czasu trwania obciążenia przyjmuje się jak w ($\ref{164}$), tzn.: $\beta=1$ dla obciążenia krótkotrwałego; $\beta=1/2$ dla obciążeń długotrwałych i wielokrotnie powtarzanych (prawie – stałych).

Z elementarnych zasad wytrzymałości materiałów wiemy, że w stanie zgięciowym zachodzi zależność:

$$\begin{equation}  \psi=-\cfrac{M_E}{EI} \label {174}\end{equation}$$

Krzywizna określona ścisłym wzorem $(\ref{174})$ jest zmienna po długości belki w związku ze zmiennym momentem bezwładności przekroju , powodującym rożny stopień zarysowania przekroju $I$. Przyjmuje się że moduł odkształcalności $E=E_{c,eff}$.

Na długości belki mogą wystąpić odcinki z rozciąganym włóknem górnym „u”(np nad podporami belek ciągłych )oraz z rozciąganym włóknem dolnym „l” . Odpowiadające moment y rysujące oznaczamy jako  $M_{cr,u}$  i $M_{cr,l} odpowiednio$. Na odcinku z rozciąganym włóknem  górnym może wystąpić część na której $|M|>M_{cr,u}$ oraz część , gdzie $|M| \le M_{cr,u}$. Na odcinku z rozciąganym włóknem  dolnym może wystąpić część na której $M>M_{cr,l}$ oraz część , gdzie $M \le M_{cr,l}$

Odpowiadające sztywności przekroju wynoszą:

$$\begin{equation}  EI = \begin{cases}
E\cdot I_{II,u}, & \text { jeśli }  |M| >M_{cr,u} \\
E \cdot I_{I,u}, & \text { jeśli }  |M| \le M_{cr,u} \\
E \cdot I_{I,l}, & \text { jeśli }  M \le M_{cr,l} \\
E \cdot I_{II,l}, & \text { jeśli }  M > M_{cr,l} \\
\end{cases}\label {175}\end{equation}$$

Wpływ skurczu na ugięcia belek

Do ugięć wywołanych  zewnętrznymi obciążeniami  dodaje się ugięcia wywołane różnicą skurczu włókien belki, spowodowanych przede wszystkim różnicami w zbrojeniu dolnym i górnym. Wygięcie belki wywołane skurczem postępuje tak, że wypukłość powstaje w kierunku silniejszego zbrojenia.

Obliczeniowo uwzględnia się to poprzez dodanie do momentu zginającego M(x)  momentu  $M_{cs}$ równoważnego krzywiźnie osi belki spowodowanej skurczem:

$$\begin{equation}  \psi_{cs} =  \varepsilon _{cs} \cdot \alpha_e \cdot \cfrac{178}{I_F}\label {176}\end{equation}$$

gdzie:
$\varepsilon_{cs}$ ($\ref{117}$) – całkowite odkształcenie od skurczu ,
$F=(I, II)$ -faza pracy rozpatrywanego przekroju,
$S_I$ , $S_{II}$ momenty statyczne zbrojenia względem osi obojętnej przekroju odpowiednio w fazie I i II.
$\alpha_e$ ($\ref{136}$)

Składając wyrażenie ($\ref{176}$)  i ($\ref{174}$)  uzyskujemy moment równoważny od skurczu $M_{cs}(x)$  w przekroju o współrzędnej x ,:

$$\begin{equation}  M_{cs,F} (x) = E_s \cdot  S_F(x)  \cdot \varepsilon _{cs}(x)  \label {177} \end{equation}$$

gdzie:

$$\begin{equation}  S_F= A_{xl} \cdot ( d_l -x_F) -A_{su} \cdot (x_F – a_u)  = b \cdot d_l^2 \cdot [ \rho_{sl} \cdot ( 1-\xi_F ) – \rho_{su} \cdot ( \xi_F – a_u / d_l )] \label {178} \end{equation}$$

Przyjmuje się , że momenty równoważne  działają na rozpatrywany element zginany  w ten sposób, że  przekrojowy moment zginający, M_E (x) pochodzący od obciążeń zewnętrznych jest zwiększany  o moment $ M_{cs}(x)$, ($\ref{177}$), odpowiedni dla zbrojenia tego przekroju., tak  że wartość momentu zginającego miarodajna do obliczania ugięcia wynosi

$$\begin{equation}  M(x) =M_E(x)+M_{cs}(x) \label {179} \end{equation}$$

Obliczanie ugięcia belki  z zależności różniczkowej

Przemieszczenie  pionowe $w(x)$ (x – współrzędna pozioma, osi pręta) wewnątrz elementu  jest związane z krzywizną $\Psi(x)=1/R(x) $ pręta zależnością różniczkową (Piechnik, 1980, (4.58)) :

$$\begin{equation} \Psi= \dfrac{|w”(x)|}{[1+(w'(x))^2}]^{3/2 }\label {180}\end{equation}$$

którą zlinearyzujemy w założeniu małych przemieszczeń do postaci

$$\begin{equation} \Psi \approx |w”(x)| \label {181}\end{equation}$$

Wówczas można zapisać podstawowe równanie różniczkowe zginania pręta o sztywności giętnej $EI(x)$ wywołane przez momenty zginające M(x) ($\ref{178}$){:

$$\begin{equation} w”(x)=-\dfrac{M(x)}{EI(x)} \label {182}\end{equation}$$

Poprzez dwukrotne całkowanie tego wyrażenia, otrzymamy

$$\begin{equation} w =\iint \limits_0^x – \cfrac{M(x)}{EI(x)} dx  +C_1x+C_2 \label {183}\end{equation}$$

gdzie $C_1$ i $C_2$ są stałymi zależnymi od warunków brzegowych na końcach elementu, a x jest bieżącą współrzędną osi pręta.

Wyznaczanie ugięcia belki żelbetowej metodą różnic skończonych

W przypadku, gdy interesuje nas ugięcie, a nie przemieszczenia wyraz ze stałą całkowania $C_2$ można pominąć. Ugięcie będzie maksymalnym przemieszczeniem $w_{max}$ na badanym odcinku [0,x].

Całkowanie wyrażenia ($\ref{183}$) można przeprowadzić dowolną metodą, w tym metodą różnic skończonych, którą zaimplementowano w załączonym arkuszu kalkulacyjnym. Korzystamy z zasadniczego twierdzenia rachunku różnicowego (rys. 39):

$$\begin{equation} \iint_0 ^x f”(x) dx dx = \sum_{0}^{x }\Delta^2 f(x) \label {184}\end{equation}$$
gdzie operator różnicowy
$$\begin{equation}\Delta^2 f(x) = \cfrac{f_{i-1}-2 f_i +f_{i+1}}{\Delta x^2} \label {185}\end{equation}$$
Można pokazać (Strikwerda, 2004), że centralny operator różnicowy drugiego rzędu $(\ref{188})$ daje błąd aproksymacji rzędu $\Delta x^2/12$. to znaczy zmniejsza się wraz z kwadratem  długości elementów $\Delta x = h $ na które zdyskretyzowano belkę.

Rys. 39 Dyskretyzacja belki do obliczenia ugięcia

W modelu dyskretnym wprowadzone są dwa węzły pozorne „0 ” i „n+1”. Ugięcia w tych węzłach $w_{-1}$, $w_{n+1}$ są związane z ugięciami w węzłach rzeczywistych poprzez warunki brzegowe.

$ M_0= \, –  EI_1 \cfrac{ w_{0} – 2 w_1 + w_2 }{h^2} \quad \to w_{0} = \, – \, \cfrac{M_0 \cdot h^2}{EI_1} + 2 \cdot w_1- w_2 $

$M_L=\, –  EI_n \cfrac{w_{n-1}-2 w_n +w_{n+1}} {h^2} \quad \to  w_{n+1} =\,  – \, \cfrac{M_L \cdot h^2}{EI_{n}} + 2\cdot w_n -w_{n-1}$

Powyższe dwa równania uzupełniają układ równań uzyskany z ($\ref{183}$) dla każdego z węzłów „1” do „n”  po podstawieniu ($\ref{183}$). W przypadku znanych przemieszczeń na końcach elementu $w_1=w_n = 0$ wykorzystywanie powyższych warunków brzegowych jest zbędne,

Kanoniczny  układ równań  problemu można zapisać w postaci macierzowej.

$$\begin{equation}   [A] \cdot  |w| = |F_r| \label{186} \end {equation}$$

gdzie:
$|w|= | w_1, w_2 , …,w_n|$ – kolumnowy wektor przemieszczeń węzłów (1 …n),
$[A]_{n x n}$ –  macierze współczynników różnicowych.

Kolumnowy wektor obciążeń różnicowych  $|F_r|$ wynosi:

$$\begin{equation}   |F_r| = – h^2/ E_c \cdot |M / I|   \label{187} \end {equation}$$

gdzie:
$h=\Delta x$,
$|M/I | $ – wektor ilorazu momentu zginającego i momentu bezwładności  przekroju w i-tym węźle.
Moment zginający w przekroju uwzględnia skurcz betonu zgodnie z zależnością ($\ref{178} $).

Macierz buduje się  z wektora współczynników $ |1, -2, 1 |$ rozmieszczanego w tablicy  w prosty sposób analogiczny do pokazanego na rys. 38. Uwzględnienie warunków brzegowych następuje poprzez wykreślenie  wierszy i kolumn  1 oraz n (węzłów podporowych). Na rys. 40 pokazano utworzoną macierz pasmową dla liczby elementów N=10, tj dla liczby węzłów n+1 =11  i liczby nietrywialnych równań 11-2=9.

Rys. 40 Macierz współczynników różnicowych dla n=10 (dx=L/10)

Rozwiązanie równania ($\ref{183}$) możemy zapisać w postaci

$$\begin{equation}  |w| = – [A]^{-1} \cdot  |F_r|  \label{188} \end {equation}$$

gdzie $A^{-1}$ -macierz odwrotna do macierzy współczynników różnicowych jest stała (niezależna od obciążenia belki oraz rozkładu jej sztywności w tym zarysowania i wynosi (rys. 41):

Rys. 41 Odwrotna macierz współczynników różnicowych dla n=10

Ze struktury macierzy odwrotnej wynika, że największy wspływ na strzałkę ugięcia belki ma zachowanie przekrojów w węzłach środkowych.. Wiersz współczynników wpływu na strzałkę ugięcia belki  (węzeł 6 ) wyróżniono na żółtym tle. Jeśli wiers ten oznaczymy jako [A_6], to strzałka ugięcia belki wyniesie

$$\begin{equation}  \delta = h^2/ E_c \cdot [ A_6 ]  \cdot |M / I|  \label{189} \end {equation}$$

Z wykorzystaniem formuły ($\ref{189}$) w szyki sposób można oszacować ugięć cie belki w stanie zarysowanym.  Ponieważ moment bezwładności przekroju w stanie zarysowanym stanowi ok 60% momentu bezwładności sprężystego, to  szacunkowy wzrost strzałki ugięcia ana skutek zarysowania dla stałego w czasie modułu Younga wyniesie  ((0,5+1+0,5+1)+(1,5+2+2,5+2+1,5)/0,6)/(0,5+1+1,5+2+2,5+2+1,5+1+0,5) /12,5= 1,5.  W przypadku uwzględnienia modułu końcowego zamiast doraźnego  różnica ta może zwiększyć się prawie dwukrotnie i przekroczyć 3. W szybkich oszacowaniach zwykle przyjmuje się, ze w celu oszacowania ugięcia końcowego  belki zarysowanej na podstawie ugięcia sprężystego należy je powiększyć  3x.

Wyznaczenie ugięcia belki wyodrębnionej z konstrukcji

Belka wyodrębniona z konstrukcji może być przedstawiona jako belka swobodnie podparta ze skupionymi momentami zginającymi $M_0$ oraz $M_L$ przyłożonymi nad podporami, jak przedstawiono na rys. 42.

Rys. 42 Żelbetowa belka zastępcza do wyznaczenia ugięcia w stanie zarysowanym

Dowolnie przyłożone obciążenie w przęśle można zastąpić równomiernie rozłożonym obciążeniem zastępczym $q_z = \alpha_q \cdot Q / L$, gdzie $Q=\Sigma Z$ jest sumą sił pionowych znajdujących się na przęśle, uzyskanych na wiele sposobów zależnie od celu do jakiego aproksymacja ma służyć , w tym:

a) sposobu statycznego poprzez porównanie maksymalnego momentu zginającego $M_max$ wywołanego rzeczywistym obciążeniem i  sumy na którą składają się momenty zginające wywołane momentu $\cfrac{q_z \cdot L^2}{8}$ wywołanego równomiernie rozłożonym obciążeniem $q_z$, pokazanym na rys. 38:

$$\begin{equation} \alpha_q  = \cfrac{8} {Q\cdot L} \cdot [M_{max} -\Delta M( x_{max})] \label {190} \end{equation}$$

gdzie: $x_{max}$ – rzędna dla której rzeczywisty moment zginający  jest maksymalny i osiąga wartość $M_{max}$.

Na przykład dla belki swobodnie podpartej obciążonej jedną siłą skupioną w środku rozpiętości:
$Q = F$ , $x_{max} = L / 2 $, $ \Delta_M = 0 $, $M_max=F \cdot L / 4 $, więc $ \alpha_q=2$

b) sposobu kinematycznego poprzez porównanie ugięcia $\delta_q$ wywołanego przez obciążenie zastępcze $q_{zast}$ z ugięciem $ \delta_F$ wywołanym obciążeniem rzeczywistym $F$, tzn

$$\begin{equation} \alpha_q  \succ  \delta_F =\delta_q  \label {191} \end{equation}$$

Na przykład w przypadku przęsła belki o stałej po długości sztywności początkowej EI obciążonej jedną siła skupioną F w środku rozpiętości – strzałka ugięcia belki swobodnie popartej wynosi $\delta_F= \tfrac {F \cdot L^3}{48 \cdot EI}= \tfrac {Q \cdot L^4}{48 EI}$. Porównawcze ugięcie wyniesie $\delta_q=  \alpha_q \cdot \tfrac{5}{384} \tfrac{q\cdot L^4}{EI}$, gdzie $q=\tfrac{Q}{L}$, czyli $\alpha_q= 384/(5\cdot 48) = 1,6$.

W przypadku przekroju żelbetowego  współczynnik $\alpha_q$ będzie nieco większy, co pokazano w tab.12 dla belki żelbetowej obciążonej żebrami w liczbie n na długości przęsła, Ugięcia wyznaczano metoda efektywnej sztywności dla belki żelbetowej prostokątnej 30×30 cm zbrojonej f16 x 3 góra i dołem wykonaną z betonu C30/37 ze współczynnikiem pełzania $\varphi=2,8$ i współczynnikiem udziału betonu$K_c=0,5$.

Rozbieżności między współczynnikami oszacowanymi metodą statyczną i kinematyczną są znaczne . Metoda kinematyczna daje wyniki dokładniejsze, choć wymaga większego nakładu pracy w rozwiązanie zadania pomocniczego. Nie stanowi to jednak problemu w dobie obliczeń numerycznych.

Szacunkowe współczynniki

Tab.12. Szacunkowe współczynniki $\alpha_q$ dla belki żelbetowej obciążonej w przęśle „n” siłami skupionymi

Procedura oszacowania ugięć pręta przeważająco zginanego składa się z następujących kroków:

1) dyskretyzacja belki poprzez podział na n równych elementów o długości $h$ (rys.37).
W kalkulatorze CH-P Ż zastosowano podział belki na dwadzieścia elementów o długości $h=L/20$.

2) w każdym węźle (i=1 ,… n) wyznaczany jest iloraz $f_i=M_i/ I_i$, przy czym każdorazowo wyznaczana jest sztywność przekroju w węźle z warunku ($\ref{175}

3) rozwiązywany jest utworzony układ równań ($\ref {168a}$). Ugięcie belki jest maksymalnym przemieszczeniem belki.

Metodę wyczerpująco przedstawiono w przykładzie 7.1.

Zwichrzenie belek (wyboczenie boczne)

W przypadku smukłych (wysokich) belek może nastąpić utrata stateczności płaskiej postaci zginania,  sposób pokazany na rys. 43.

Rys.43 Zwichrzenie smukłej belki żelbetowej

(Bachmann, Steinle, 2011, rys. 2.171)

Zgodnie ze współczesną wiedzą i możliwościami współczesnych programów komputerowych zagadnienie zwichrzenia belek żelbetowych powinno się analizować metodą imperfekcyjną, podobnie do zagadnienia słupów.

Wstępną analizę można dokonać na podstawie zależności normowych (Bachmann, Steinle, 2011; PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010), gdzie wskazano, że efekty drugiego rzędu związane z niestatecznością poprzeczną można pominąć, gdy spełnione są następujące warunki:

  • w sytuacjach trwałych

$$\begin{equation} \cfrac{l_{0t}}{5} \le  \cfrac {65} {(h/b)^{1/3}} \text {  i  } \cfrac{3}{5}< 2,5\label {192}\end{equation}$$

  • w sytuacjach przejściowych

$$\begin{equation} \cfrac{l_{0t}}{5} \le  \cfrac {72} {(h/b)^{1/3}} \text {  i  } \cfrac{3}{5}< 3,5\label {193}\end{equation}$$

gdzie:
$l_{0t}$- długość zwichrzenia – odległość pomiędzy podporami widełkowymi (na skręcenie i boczne przesunięcie),
$b$- szerokość ściskanego pasa,
$h$ – całkowita wysokość belki w środkowej części $l_{0t}$

W innych przypadkach należy przeprowadzić sprawdzenie stateczności i wytrzymałości belek zadając imperfekcję geometryczną jako ugięcie poprzeczne $u_i= l/300$ , gdzie l  jest  całkowitą długość belki). Na skutek obciążenia imperfekcją $u_i$ w belce powstaje skręcanie oraz drugorzędowe zginanie ( od bimomentu), które mogą istotnie zamplifikować się podczas obliczeń drugiego rzędu.

Widełkowe podparcie belek żelbetowych na słupach można uzyskać poprzez specjalne przygotowanie głowicy słupa, na przykład w sposób pokazany na rys. 44.

Rys. 44 Przykład podparcia widełkowego belki na słupie

(Buczkowski, 2009, rys.3.217)

Literatura

ACI 318-11. Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary (2011). Michigan, USA: American Concrete Institute.
ACI 318-14. Building Code Requirements for Structural Concrete, Pub. L. No. ACI 318-14 (2014). Michigan, USA: American Concrete Institute.
Bachmann, H., & Steinle, A. (2011). Precast concrete structures. Berlin: Ernst & Sohn : John Wiley & Sons, Inc.
Bond, A. J., Brooker, O., Harris, A. J., Harrison, C., Moss, R. M., & Narayanan, R. S. (2006). How to Design Concrete Structures using Eurocode 2 (A cement and concrete industry publication). Camberley: The Concrete Centre.
Bresler, B. (1960). Design Criteria for Reinforced Concrete Columns Under Axial Load and Biaxial Loading. Journal of the American Concrete Institute, 57(5), 481–490.
Buczkowski, W. (Ed.). (2009). Budownictwo ogólne. T.  4  Konstrukcje. Warszawa: Arkady.
CH GoodChild. (2009). Worked Examples to Eurocode 2.: Volume 1. The Concrete Centre.
CSA A23. Concrete materials and methods of concrete construction/Test methods and standard practices for concrete (2015). Toronto,Canada: Standards Council of Canada.
Di Ludovico, M., Lignola, G. P., Prota, A., & Cosenza, E. (2010). Nonlinear Analysis of Cross Sections under Axial Load and Biaxial Bending. ACI Structural Journal, 107(4), 390–399.
FEMA 356. Prestandard and commentary for the Seismic rehabilitation of buildings (2000). Reston, Virginia: Federal emergency management agency.
Gilbert, R. I., & Ranzi, G. (2011). Time-dependent behaviour of concrete structures. London ; New York: Spon.
Gąćkowski, R. (2013). Tablice i algorytmy do wymiarowania zginanych elementów żelbetowych. Warszawa: Verlag Dashöfer.
Kachlakev, D. I., Miller, T., Yim, S., Chansawat, K., & Potisuk, T. (2001). Finite Element Modeling of Reinforced Concrete Structures Strengthened with FRP Laminates,. San Luis Obispo, CA; Corvallis, OR: California Polytechnic State University and Oregon State University for Oregon Department of Transportation.
Knauff, M. (2015). Obliczanie konstrukcji żelbetowych według Eurokodu 2: zasady ogólne i zasady dotyczące budynków. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
Knauff, M., Golubińska, A., & Knyziak, P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN.
Knauff, M., Golubińska, A., & Kryziak, P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z  przykładami obliczeń (drugie). Warszawa: PWN.
LATBSDC. An alternative procedure for seismic analysis and Design of tall buildings located in the Los Angeles region. 2017 Edition with 2018 Supplements (2017). Los Angeles,USA: Los Angeles Tall Buildings Structural Design Council.
MPA The Concrete Centre. (2016). Bending and Shear in Beams. Lecture 3. Retrieved from https://www.concretecentre.com/TCC/media/TCCMediaLibrary/Presentations/Lecture-5-Slabs-and-Flat-Slabs-PHG-N-Rev13-15-Oct-16.pdf
MPA The Concrete Centre. (2017). Crack Control and Deflection. Lecture 6. Retrieved from https://www.concretecentre.com/TCC/media/TCCMediaLibrary/PDF%%20attachments/Lecture-6-Deflection-and-Crack-Control-cg-26-Oct-17.pdf
Nejadi, S. (2005). Time- dependent cracking and crack control in reinforced concrete structures (PhD Thesis). Sydney, Australia: University of New South Wales Sydney, Australia.
PEER/ATC. (2010). Modelling and acceptance criteria for seismic design and analysis of tall buildings (PEER/ATC  Report No. 72–1). Redwood City, CA: Applied Technology Council.
PN-EN 13670. Wykonywanie konstrukcji z betonu (2011). UE: PKN.
PN-EN 1990. Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji (2004). UE: PKN.
PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1:  Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-2:  Reguły ogólne - Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe (2008). UE: PKN.
PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E. Eurokod 5 -- Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-1: Postanowienia ogólne - Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków (2010). UE: PKN.
PN-EN 1998-1. Eurokod 8: Projektowanie konstrukcji poddanych oddziaływaniom sejsmicznym  -  Część 1 : Reguły ogólne, oddziaływania sejsmiczne i reguły dla budynków (2005). UE: PKN.
Piechnik, S. (1980). Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych. Warszawa, Kraków: PWN.
Pyrak, S. (2012). Konstrukcje z betonu (VII, Vol. 5). WSiP.
Pędziwiatr, J. (2010). Wstęp do projektowania konstrukcji żelbetowych wg PN-EN 1992-1-1:2008. Wrocław: Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne.
Starosolski, W. (2013). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych, Tom 2 (Vol. 2). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
Strikwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations (2nd ed). Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics.
TS 500. Requirements for design and construction of reinforced concrete structures (2000). Ankara Turkey: CIVIL Engineering AKÜ.
Wight, J. K., & MacGregor, J. G. (2012). Reinforced concrete: mechanics and design (6th ed). Upper Saddle River, N.J: PEARSON PRENTICE HALL.
Zybura, A. (Ed.). (2015). Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2: atlas rysunków. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN SA.

Related Hasła

Comments : 4
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
  1. Pingback: Rewelacyjny kalkulator żelbetu ⋆ Chodor-Projekt⋆projekty oraz ekspertyzy architektoniczne i inżynieryjne

  2. Mariusz Szczepanik

    Dzień dobry.
    Czy kalkulatora żelbetu można używać w projektach komercyjnych?

  3. Marcin

    Dzień dobry,
    Jak w takim razie można uzyskać dostęp do kalkulatora?
    Pozdrawiam
    PS. Interesuje mnie najbardziej zagadnienie ukośnego zginania.

    • Dostęp do kalkulatora jest wolny. Należy pobrać arkusz przez Excel poprzez kliknięcie na obraz. Kalkulator pracuje w środowisku arkusza Excel z zainstalowanym dodatkiem Solver.

Translate »