Skręcanie pręta

Leszek Chodor,  26 września 2014
15 czerwca 2025  naprawa awarii i scalenie artykułów

W przypadku nieczytelnych treści, proszę powiadomić: leszek@chodor.co

 W ciągu ostatnich 24 godzin z artykułu korzystało  9 Czytelników

Zagadnienie skręcania prętów jest  ważnym problemem praktycznym w projektowaniu konstrukcji budowlanych. Naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia skręcanego pręta istotnie zależą od kształtu przekroju oraz od sposobu podparcia (warunków brzegowych ) końcowych (poprzecznych) ścianek  i pośrednich przekrojów  , a także od sposobu obciążenie pręta.  Ścisłe rozwiązanie zagadnienia skręcania jest możliwe  jest tylko w nielicznych przypadkach, a w zasadzie tylko dla pręta o przekroju okrągłym,  ze swobodnymi ściankami poprzecznymi , obciążonymi równomiernymi obciążeniami skręcającymi o takiej samej wartości  ale o przeciwnych zwrotach na obu ściankach poprzecznych. W każdym innym przypadku mamy do czynienia z rozwiązaniem przybliżonym, ale akceptowanym w praktycznym wymiarowaniu prętów.
Skręcanie wywołuje  naprężenia ścinające $\tau_{xz}$ w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny działania obciążeń, które redukują się do momentu skręcającego $M_v$.

Artykuł w naprawie po dużej awarii portalu

Skręcanie czyste, proste, swobodne i skrępowane

Skręcanie czyste

Skręcanie czyste  realizuje się podczas działania na ścianki poprzeczne (czołowe) pręta pryzmatycznego  specyficznie  dobranego obciążenia o gęstości q_v =[0, q_vy, q_vz] (rys. 1a) . Obciążenie można statycznie zredukować do pary momentów $M_s$ działającej w płaszczyźnie  przekroju poprzecznego początkowego A i końcowego pręta (w miejscu utwierdzenia S).Można pokazać [1], że gęstość obciążenia $q_v$ musi mieć rozkład

$$\begin{equation} q_v =\begin {cases} q_{vx}=0  \\ q_{vy}= \pm  \Theta \cdot G \cdot\left ( \cfrac{\partial \varphi}{\partial y} – z\right ) \\ q_{vz}= \pm  \Theta \cdot G \cdot\left ( \cfrac{\partial \varphi}{\partial z} +y\right ) \\ \end {cases} \label{1}  \end{equation}$$

gdzie funkcja $\varphi= \varphi (y,z)$ jest funkcją harmoniczną, czyli spełnia warunek  zagadnienia brzegowego Neumana

$$\begin {equation} \nabla \varphi^2 =0 \label {2} \end {equation}$$

i tak dobraną, że spełnia warunek   rzutowania (p. [1]))   i zeruje się w punkcie S ($\varphi (S)= 0$ .

Skręcanie proste

Skręcanie proste dotyczy problemu technicznego skręcania pręta obciążonego  na powierzchniach czołowych parą momentów skręcających $M_s$ (rys. 1b), czyli dowolnym (niekoniecznie spełniającym warunek ($\ref{1}$) )rozkładem obciążeń  $q_v$, które jest statycznie równoważne momentowi $M_s$,

Skręcanie swobodne

Przy skręcanie swobodnym pręta każdy przekrój poprzeczny może się swobodnie odkształcać w kierunku osi pręta, co wywołuje paczenie deplanację przekroju płaskiego przed obciążeniem (rys. 1c) . W praktyce oznacza to, że w przekroju występują tylko naprężenia styczne, a deplanacja na rozkład naprężeń. Taki przypadek zachodzi, gdy na końcach pręt jest obciążony równymi i przeciwnie skierowanymi momentami skręcającymi $M_s$ (rys. 1b).

Skręcanie nieswobodne

Skręcanie nieswobodne (skrępowane) to takie, w którym odebrano swobodę deplanacji przekroju i w rezultacie w pręcie oprócz naprężeń stycznych pojawiają się naprężenia normalne składające się na siłę przekrojową zwaną bimomentem.

Skręcanie pręta o przekroju  okrągłym i prostokątnym

Z punktu widzenia praktyki istotne znaczenie ma problem czystego skręcania pręta o przekroju okrągłym oraz prostokątnym (rys.1). Można pokazać [2]. Pręty cienkościenne otwarte. Podręcznik dla studentów wyż-szych szkół technicznych. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej)), że zagadnienie brzegowe skręcania swobodnego pręta o dowolnym przekroju jest zagadnieniem Neumanna

gdzie

$$\begin {equation} \varphi (y,z) \label{3}  \end {equation}$$

jest funkcją skręcania (paczenia) niezależną od współrzędnej długości pręta x, Jest więc dowolną funkcją harmoniczną spełniającą statyczne warunki brzegowe na pobocznicy pręta.

W przypadku przekroju kołowego rozwiązaniem zagadnienia Neumanna jest funkcja

$$\begin {equation} \varphi (y,z)=0 \label{4}  \end {equation}$$

W konsekwencji moment bezwładności przy skręcaniu wynosi

$$\begin {equation} I_v= \iint \limits_A r^2 dA= \cfrac{\pi r^4}{2}=I_0 \label{5}   \end {equation}$$

Maksymalne naprężenia styczne (na obwodzie koła) wynoszą

$$\begin {equation} max \, \tau_v = \cfrac{M_v}{I_0} \cdot r \label{6}  \end {equation}$$

W przypadku przekroju prostokątnego  o wymiarach bxh (h-wysokość) funkcja paczenia może być przedstawiona w postaci szeregu:

$$\begin {equation} \varphi (y,z)=y \cdot z-\sum \limits_{i=0}^\infty \cfrac {B_n}{k_n cosh(k_n h/2}\cdot sin(k_n y) cosh (k_n z) \label{7}  \end {equation}$$

gdzie

$$\begin {equation} k_n=\cfrac { (2n+1) \pi}{b}  \quad ; \quad  B_n= (-1)^n \cfrac{8b}{(2b+1)^2 \pi^2} \label{8}  \end {equation}$$

W konsekwencji moment bezwładności skręcania możemy zapisać w postaci

$$\begin {equation} I_v=\left [ \cfrac{1}{3} – \cfrac {64}{\pi^5} \cdot (h/b))^{-1} \sum \limits_{n=0}^\infty \cfrac{tgh (k_n h/2)}{(2n+1)^5}\right ] b^3 h= \beta (h/b) \cdot b^3 \cdot h \label{9}   \end {equation}$$

Wyrażenie na maksymalne naprężenia styczne  można zapisać w postaci:

$$\begin {equation} max \, \tau_{xz}= \cfrac{M_v} {\alpha (h/b)  \cdot b^2 h} \label{10}  \end {equation}$$

skąd wskaźnik wytrzymałości na skręcania

$$\begin {equation} W_v=\alpha (h/b) \cdot b^2 \cdot h \label{11} \end {equation}$$

Współczynniki $\alpha$ i $\beta$ są zależne jedynie od stosunku boków prostokąta i zestawiono je w tab.1

Tab.1. Współczynniki wskaźnika wytrzymałości  i momentu bezwładności na skręcanie dla różnych stosunków boku prostokąta

Skręcanie swobodne pręta

Przekrój cienkościenny otwarty

Przyjmiemy następujące założenia upraszczające dotyczące otwartych profili cienkościennych [1]:
1) jednostkowy kat skręcenia każdego elementu prostokątnego przekroju poprzecznego jest jednakowy,
2) suma momentów skręcających poszczególne elementy M_υi jest równa momentowi skręcającemu przyłożonemu do całego profilu M_υ,

Rozważmy przekrój poprzeczny, który składa się z n elementów prostokątnych o długości $l_i$ o grubości $t_i elementu i-tego, przy czym (rys.3)

$$\begin {equation} t_i \ll l_i \quad  (i=\, 1,\, 2,\,..\, n) \label{12} \end {equation}$$

Na rys.3. pokazano przekrój pręta cienkościennego, złożony z trzech elementów.

Jednostkowy kąt skręcenie jest zdefiniowany tak jak dla czystego skręcania pręta o przekroju litym zgodnie założeniem 1) możemy napisać

$$\begin {equation} \Theta = \cfrac{M_v}{GI_v}=\cfrac{M_{vi}}{GI_{vi}} \label{13} \end {equation}$$

Moment bezwładności na skręcanie prostokąta i-tego wynosi – p.  ($\ref{9}$) wynosi:

$$\begin {equation} I_{v,i}=\beta_i \cdot t_i^3 \cdot l_i\label{14} \end {equation}$$

gdzie współczynnik $\beta_i$ zależy od proporcji boków prostokąta poddanego czystemu skręcaniu , dla kwadratu ($t_i =l_i$) wynosi 0,141, a dla długiego prostokąta  ($l_i / t_i  >10$) wynosi 1/3 , Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych. PWN)), dla innych wartości można je odczytać z tab.1.

Z założenia 2) mamy

$$\begin {equation} M_v=\sum \limits_{i=1}^n M_{v,i} \label{15} \end {equation}$$

skąd po podstawieniu wyrażeń na momenty skręcające z założenia 1), otrzymujemy wyrażenie na moment bezwładności czystego skręcania całego przekroju

$$\begin {equation} I_v=\sum \limits_{i=1}^n I_{v,i}=\sum \limits_{i=1}^n \beta_i \cdot t_i^3 \cdot l_i \approx \cfrac{1}{3}\sum \limits_{i=1}^n  t_i^3 \cdot l_i \label{16} \end {equation}$$

Z zależności, określającej maksymalne naprężenia styczne w skręcanym prostokącie , otrzymamy wyrażenie na naprężenie styczne w złożonym, otwartym przekroju cienkościennym:

$$\begin {equation} max \, \tau_i = \cfrac {M_v}{I_v}\cdot t_i \label{17} \end {equation}$$

Przekrój zamknięty

W przekroju pręta o profilu zamkniętym poddanego swobodnemu skręcaniu powstają tylko naprężenia styczne, które są równomiernie rozłożone po grubości t ścianki (rys. 3a), czyli inaczej niż  w przekroju otwartym (rys.3), w którym zmieniają się liniowo i są zerowe w środku ścianki.

W ściance przekroju zamkniętego definiujemy strumień naprężeń stycznych

$$\begin {equation} q=\tau_v \cdot t \label{17A} \end {equation}$$

który ma stałą wartość, niezależnie od współrzędnej bieżącej przekroju s, określającej położenie punktów na konturze (rys.4).

Skręcanie nieswobodne (skrępowane)

W większości praktycznych przypadków deplanacja przekrojów pręta skręcanego nie może rozwijać się swobodnie. Taki stan  określamy skręcaniem nieswobodnym lub skrępowanym. Przykładem skręcanie skrępowanego jest zwykłe utwierdzenie końca pręta lub specyficzny, symetryczny  sposób przyłożenia momentów skręcających, wymuszający płaskość przekroju leżącego w płaszczyźnie symetrii. W technicznej teorii nieswobodnego skręcania przyjmuje się, że słuszne są zależności wyprowadzone dla czystego skręcania. Jednostkowy kąt skręcenia  definiuje się podług zależności ($\ref{13}$).

Z teorii prętów cienkościennych przedstawionej przez Własowa [3]  jest bimoment stowarzyszony z deplanacją (spaczeniem) występują nowe, nieznane w klasycznej teorii zginania  prętów,  charakterystyki geometryczne przekroju $I_\omega$, $S_\omega$,  oraz  siły przekrojowe $B_\omega$, $M_\omega$.

Bimoment – nowa siła przekrojowa

Z tradycyjnej algebry wektorów, wynika  że bimoment z definicji jest liczbą (np. [2]), której można przyporządkować nieskończenie wiele bipar (par momentów o przeciwnym zwrocie), a tymi można obciążyć pręt.

Tymczasem bimoment podobnie jak siła poprzeczna jest pojęciem fikcyjnym. ( np. [4], [5],[6]). Podejście bardziej ogólne od tradycyjnego [2], polega na zastosowaniu algebry geometrycznej Clifforda  (np. [4], [5],[6]). W ramach tej teorii bimoment jest składową „biwektor” pseudowektora siły przekrojowej , to znaczy trójki obiektów [skalar, wektor, biwektor] i posiada wszystkie cechy tradycyjnego wektora (wartość, kierunek i zwrot)  a ponadto  umożliwia w elegancki sposób rozpatrywać zagadnienie dużych obrotów.

Przemieszczenie podłużne przekroju pręta jest proporcjonalne do współrzędnej wycinkowej przekroju ze współczynnikiem proporcjonalności $\Theta$:

$$\begin {equation} u(x.y.x)=-\Theta (x) \cdot \omega \label{18} \end {equation}$$

gdzie współrzędna wycinkowa jest specyficzną współrzędną, określającą położenie punktu $M$ w przekroju i jest podwojonym polem zakreślonym przez promień wodzący od pewnego punktu początkowego punktu $B$ przekroju (rys.4).

Brak swobody deplanacji wywołuje naprężenie normalne do przekroju równe

$$\begin {equation} \sigma_\omega=E \frac {du} {dx}=-E \frac {d^2\varphi} {dx^2} \label{19} \end {equation}$$

gdzie $E$- moduł odkształcalności podłużnej (Younga),  a $\varphi$ jest kątem skręcenia przekroju.  Zachodzi

$$\begin {equation} \Theta=\frac{d\varphi}{dx} \label{20} \end {equation}$$

Można pokazać, że naprężenia normalne $\sigma_\omega$ można wyrazić za pomocą nowej siły przekrojowej bimomentu $B_\omega$ w postaci [1]:

$$\begin {equation} \sigma_{\omega}=\frac {B_{\omega}}{I_{\omega}} \cdot \omega \label{21} \end {equation}$$

gdzie $I_\omega$ jest wycinkowym bezwładności przekroju. Bimoment $B_\omega$ jest wyznaczany analogicznie do momentu zginającego w pręcie. Oprócz bimomentu definiuje się siłę przekrojową – moment giętno-skrętny $M_\omega$,  który jest pochodną bimomentu po długości pręta [3]:

$$\begin {equation} M_\omega=\frac {dB_\omega}{dx} \label{22} \end {equation}$$

Całkowity moment skręcający przekrój $M_x$ jest sumą momentu giętno-skrętnego $M_\omega$ oraz momentu czystego skręcania  $M_v$ (momentu Saint-Venanta).

$$\begin {equation} M_x= M_\upsilon +M_\omega \label{23} \end {equation}$$

Moment giętno-skrętny wywołuje naprężenia styczne  $\tau_\omega$ o stałej wartości po grubości ścianki, które można wyznaczyć z zależności:

$$\begin {equation} \tau_\omega= \frac {M_\omega \cdot S_\omega}{I_\omega \cdot t} \label{24} \end {equation}$$

gdzie:  $S_\omega$ – wycinkowy moment statyczny przekroju, $t$ – grubość ścianki przekroju., przy czym

$$\begin {equation} M_x= M_\upsilon + M_\omega \label{25} \end {equation}$$

Naprężenie styczne od momentu czystego skręcania wyznaczamy ze wzoru [7], np. w sposób pokazany na rys.1. Przekroje zamknięte mogą być jedno- lub wielo-komorowe i charakteryzują się dużą odpornością na skręcanie, wielokrotnie większą od profili otwartych. W przypadku obciążenia pręta skręcaniem należy stosować profil o przekroju zamkniętym, a nie otwartym, czyli stosować rury a nie dwuteowniki. W każdym przypadku należy zwrócić uwagę na swobodę deplanacji przekroju i przy jej ograniczeniu, obok naprężeń od swobodnego skręcania (Saint Venanta) szacować naprężenia od momentu giętno-skrętnego.

Skręcanie swobodne

. Naprężenie styczne strumienia oblicza się ze wzoru Bredta:

$\tau_v=\dfrac{M_v} {2 \Omega \cdot t}$

(2)

gdzie

$\Omega=\dfrac {1}{2}\oint h ds$

(3)

jest polem powierzchni ograniczonej konturem, to jest linią  środkową ścianek (rys.1).
Dla pręta o nieodkształcalnym przekroju poprzecznym  związek pomiędzy pochodną kąta skręcenia , czyli  jednostkowym kątem skręcenia , a momentem skręcającym $M_v$ ma postać:

$\Theta= \dfrac {M_v}{G \cdot I_v}$

(4)

 gdzie:
$G$- współczynnik odkształcalności poprzecznej (Kirchoffa),
$I_v$ – moment bezwładności swobodnego skręcania zamkniętego przekroju  cienkościennego, który wyznaczamy ze wzoru

$I_v=4 \Omega^2 \left ( \oint {\dfrac {ds} {t(s)}} \right)^{-1} =4\Omega^2 \cdot \dfrac {t_0} {\overline s_0}$

(5)

$\overline s_0=\oint \dfrac {t_0} {t(s)}$

(6)

gdzie:  $t_0$ – grubość ścianki w dowolnie wybranym miejscu przekroju poprzecznego;   $\overline s_0$ – sprowadzona długość obwodu przekroju.

Dla $t(s)=t=const$ : $I_v=\dfrac{t}{s_0}\cdot 4 \Omega^2$ ,
gdzie $s_0$ – rzeczywista długość obwodu przekroju .

W tab.1 zamieszczono charakterystyki kilku zamkniętych przekrojów cienkościennych [8].

Tab.1 Charakterystyki geometryczne wybranych, zamkniętych przekrojów cienkościennych

Przekrój
xs	0	0	0
ys	0	0
Iv
Iw		0	0

Skręcanie skrępowane

Ze skręcaniem skrępowanym mamy do czynienia w przypadku skrępowania deplanacji przekroju poprzecznego pręta. W wyniku tego w przekroju powstają naprężenia normalne $\sigma_{\overline \omega}$ oraz dodatkowe naprężenia styczne  $\tau_{\overline \omega}$ . Naprężenia te wyznacza się ze wzorów:

$\sigma_{\overline \omega}=\dfrac {B_{\overline \omega} \cdot \overline \omega} {I_{\overline \omega}}$

(7)

$\tau_{\overline \omega}= – \dfrac {M_{\overline \omega} \cdot \overline S_{\overline\omega} } {I_{\overline \omega} \cdot t(s)}$

(8)

gdzie:
$\overline \omega$ – główne, uogólnione pole wycinkowe (współrzędna wycinkowa przekroju);
$I_{\overline \omega}$ – uogólniony wycinkowy moment bezwładności;
$\overline S_{\overline \omega}$ – uogólniony wycinkowy moment statyczny przekroju.
Dodatnim naprężeniom $\tau_{\overline \omega}$ odpowiada zwrot zgodny z kierunkiem dodatniego przyrostu współrzędnej s.c
W odróżnieniu od prętów o przekrojów otwartym , giętno skrętne naprężenia styczne $\tau_{\overline \omega}$ stanowią samozrównoważone układy sił i tym samym cały moment skręcający $M_v$ przenoszą naprężenia styczne swobodnego skręcania  $\tau_v$.

Całkowite naprężenie styczne w dowolnym punkcie przekroju znajduje się jako sumę  $\tau_v+ \tau_{\overline \omega}$.

Wykresy uogólnionych współrzędnych wycinkowych oraz wycinkowych momentów statycznych dla zamkniętego przekroju prostokątnego o stałej grubości ścianki  $t=const$ podano na rys.2.

Dla przekroju prostokątnego o dwóch różnych grubościach ścianek (t₁,t₂)  znajduje się wg wzoru w tabeli 1.
Pręty o przekroju trójkątnym i inne w kształcie wieloboku foremnego, ale o stałej grubości ścianki (t=const) nie ulegają deplanacji i ich charakterystyki wycinkowe  są równe zeru.

Uogólniony wycinkowy moment bezwładności dla dowolnego przekroju zamkniętego oblicza się ze wzoru

$I_{\overline \omega}=\oint \overline \omega^2 dA$

(9)

w którym $\overline \omega$ oznacza uogólnione pole wycinkowe względem środka ścinania $S$ przekroju od głównego punktu początkowego $M$ , tj uogólnione pole wycinkowe.

Uogólnione pole wycinkowe względem dowolnego bieguna B , od dowolnego punktu początkowego M’ na konturze, oblicza się  ze wzoru

$\overline \omega’_B= \omega’_B -\dfrac {\overline s} {\overline s_0} \cdot 2 \Omega$

(10)

gdzie:
$\overline \omega’_B$ -pole wycinkowe względem bieguna $B$ od punktu $M’$, dla obszaru przeciętego w dowolnym punkcie $C$ (rys. 3)
$\overline s= \int \limits_0 \limits^s \dfrac {t_0} {t(s)} ds$ – sprowadzona współrzędna $s$ (długość konturu) liczona od punktu M’.

 Współrzędne środka ścinania (zwanego  również środkiem  skręcania) $S$ przekroju  zamkniętego  wyznacza się w  układzie  centralnych , głównych osi bezwładności,  z  następujących wzorów:

$y_s=y_B+\dfrac{1}{I_y} \oint \overline \omega_B \cdot z \cdot dA$ $z_s=z_B+\dfrac{1}{I_z} \oint \overline \omega_B \cdot y \cdot dA$

(12)

gdzie $y_B$, $z_B$ – współrzędne dowolnie przyjętego bieguna $B$ ,  który na ogół przyjmuje się na konturze; $y,z$ – współrzędne  kartezjańskie dowolnego punktu na konturze;  $I_y$, $I_z$ –  główne momenty bezwładności przekroju poprzecznego  względem głównej osi poziomej y i pionowej z odpowiednio.

 Więcej o prętach cienkościennych ⇒ Wykład Leszka Chodor.

 Literatura

1. Piechnik S., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, PWN, Warszawa-Kraków 1980
2. Piechnik, S. Pręty cienkościenne otwarte. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2008
3. Vlasov, V. Z. (1959). Tonkostiennyje uprugije stierzni | Thin-Walled Elastic Beams. PWF-ML | Israel Program for Scientific Translations
4. Jancewicz, B., & Brzeski, P. (2005). Magnetic field surfaces. European Journal of Physics, 26, 617–634.
5. Perwass, C. (2009). Geometric algebra with applications in engineering. Springer
6. Gull, S., Lasenby, A., & Doran, C. (1993). Imaginary Numbers are not Real – the Ge-ometric Algebra of Spacetime. Found. Phys., 23(9), 1175–1201
7. Brzoska, Z.  Statyka i stateczność konstrukcji prętowych cienkościennych (Wyd. II). PWN), 1965):
   $$\begin {equation} \tau_\upsilon= \frac {M_\upsilon }{W_\upsilon}\label{26} \end {equation}$$

   gdzie:

   $$\begin {equation} W_\upsilon= \frac {I_\upsilon }{max \{t_i \}} \label{27} \end {equation}$$

   jest wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie., równym stosunkowi momentu bezwładności na skręcanie i maksymalnej grubości ścianki.

   Dla przekroju cienkościennego przekroju cienkościennego otwartego, złożonego moment bezwładności na skręcanie można oszacować z zależności ($\ref{16}$)

   W przypadku przekroju zamkniętego o powierzchni $\Omega$ zamkniętej wewnątrz linii środkowych przekroju, wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie, wynosi

   $$\begin {equation} W_\upsilon = 2 \cdot \Omega \cdot min \{t_i \} \label{29} \end {equation}$$

   gdzie występuje minimalna grubość $t$ ścianki przekroju.

   Sztywność na skręcanie przekroju zamkniętego jest wielokrotnie większa od przekroju otwartego i jest proporcjonalna do podwojonego pola zawartego wewnątrz przekroju.

   Skręcanie pręta o przekroju zamkniętym

   Przekroje prętów cienkościennych mogą być otwarte lub zamknięte. Przekrój zamknięty jest utworzony wówczas, gdy ścianka tworzy obwód zamknięty (rurę, komorę) ((Brzoska Z. (1965), Statyka i stateczność konstrukcji prętowych cienkościennych, (Wyd. II, PWN, Warszawa

8. Bogucki W. (1980), Poradnik projektanta konstrukcji metalowych: praca zbiorowa. Tom I. Arkady, Warszawa

________________________________