Przyjmiemy następujące założenia upraszczające dotyczące otwartych profili cienkościennych [1]: 1) jednostkowy kat skręcenia każdego elementu prostokątnego przekroju poprzecznego jest jednakowy,
2) suma momentów skręcających poszczególne elementy Mυi jest równa momentowi skręcającemu przyłożonemu do całego profilu Mυ,
Rozważmy przekrój poprzeczny, który składa się z n elementów prostokątnych o długości li o grubości ti elementu i-tego, przy czym (rys.1)
| $ t_i \ll l_i $ (i=1,2,..n) | (1) |
Na rys.1. pokazano przekrój pręta cienkościennego, złożony z trzech elementów (o wymiarach oznaczonych jako: h-długość, b-grubość)
Rys.1. Przekrój pręta cienkościennego otwartego [1]
Jednostkowy kąt skręcenie jest zdefiniowany tak jak dla czystego skręcania pręta o przekroju litym i zgodnie założeniem 1) możemy napisać
| $ \Theta = \dfrac{M_v}{GI_v}=\dfrac{M_{vi}}{GI_{vi}} $ | (2) |
Moment bezwładności na skręcanie prostokąta wynosi:
| $ I_{vi}=\beta_i t_i^3 l_i $ | (3) |
gdzie współczynnik $\beta_i$ zależy od proporcji boków prostokąta poddanego czystemu skręcaniu , dla kwadratu (ti=li) wynosi 0,141, a dla długiego prostokąta (li/ti>10) wynosi 1/3 [1], dla innych wartości można je odczytać z artykułu.
Z założenia 2) mamy
| $ M_v=\sum \limits_{i=1}^n M_{vi}$ | (4) |
skąd po podstawieniu wyrażeń na momenty skręcające z założenia 1), otrzymujemy wyrażenie na moment bezwładności czystego skręcania całego przekroju
| $ I_v=\sum \limits_{i=1}^n I_{vi}=\sum \limits_{i=1}^n \beta_i \cdot t_i^3 l_i \approx \dfrac{1}{3}\sum \limits_{i=1}^n t_i^3 l_i $ | (5) |
Z zależności , określającej maksymalne naprężenia styczne w skręcanym prostokącie , otrzymamy wyrażenie na naprężenie styczne w złożonym, otwartym przekroju cienkościennym:
| $ max \tau_i = \dfrac {M_v}{I_v}t_i$ | (6) |
Literatura
________________________________
