Pręty cienkościenne są ważną klasą prętów współczesnych konstrukcji, szczególnie konstrukcji stalowych oraz w analizie globalnej obiektów żelbetowych: mostów skrzynkowych lub budynków wysokich. Analiza konstrukcji prętowych z użyciem teorii prętów cienkościennych praktycznie w całości zastąpiła tradycyjną analizę z użyciem modelu pręta zwartego, wspomaganych rozwiązaniami analitycznymi zagadnień niestateczności, zwłaszcza zwichrzenia. Autorem teorii prętów cienkościennych jest Własow [1].

Wprowadzenie

Analiza prętów cienkościennych znamienna jest uwzględnieniem skręcania skrępowanego.  w której występują nowe, nieznane w klasycznej teorii zginania  prętów,  charakterystyki geometryczne przekroju I_ω : wycinkowy moment bezwładności przekroju , Sω – wycinkowy moment statyczny oraz  siły przekrojowe Bω – bimoment,  Mω – moment giętno-skrętny. Teoria prętów cienkościennych często jest nazywana uogólnioną teorią belkową [2], a  współczesne programy komputerowe , szczególnie ConSteel [3], [4]  pozwalają na projektowanie ram złożonych z prętów stalowych z uwzględnieniem niestateczności ogólnej dowolnego typu (wyboczenie, zwichrzenie, wyboczenie giętno-skrętne) bez potrzeby wykorzystywania skomplikowanych formuł analitycznych i normowych.

W 2002 roku opublikowano do powszechnego użytku inżynierów program LTBeam [5], który umożliwiał szybkie i łatwe obliczenie momentu krytycznego belek jedno- i wieloprzęsłowych o dowolnych przekrojach bi- i mono-symetrycznych ze stężeniami bocznymi niepodatnymi lub sprężystymi założonymi na dowolnej wysokości przekroju. Od wersji LTBeamN 2.02  za pomocą programu można obliczyć siły krytyczne dla belki zginanej momentem M i ściskanej siłą N.  Program został opracowany  przez  CTICM (Centre Technique Industriel de la Construction Metallique – France) w ramach europejskiego projektu  ECSC(European Community for Steel and Coal) – Project No 7210-PR183 : „Lateral torsional buckling of steel and composite beams” – 1999-2002).

Podstawowe definicje

Pręt cienkościenny to cylindryczna lub pryzmatyczna powłoka, której trzy miarodajne wymiary są różnych rzędów: długość jest o rząd większa od szerokości (lub wysokości) przekroju, która z kolei jest o rząd większa od grubości ścianki powłoki [6].

Jak pokazuje doświadczenie , a także analiza statyczno-wytrzymałościowa oparta na hipotezach Vlasowa, pręt można uważać za cienkościenny, jeśli grubość ścianki  δ  jest co najmniej 8-krotnie mniejsza niż najdłuższa droga ς mierzona po linii środkowej pomiędzy dwoma skrajnymi punktami tej linii A i B (rys.1): [1],  [7], [8] :

Z kolei , z definicji pręta (również o przekroju zwartym) wynika, że powinien być spełniony również warunek , by ścieżka $s$ była co najmniej 8-krotnie mniejsza niż długość pręta L  [1] :

Pręty cienkościenne dzieli się z uwagi na geometrię przekroju na otwarte, zamknięte i mieszane. Dodatkowo wyróżnimy pręty quasi-zamknięte.

Rys.1. Przekrój poprzeczny pręta cienkościennego otwartego, d- grubości ścianki, A,B- punkty początku i końca inii środkowej  [9]

Rys.2. Przykłady otwartych profili cienkościennych

 Na rys.1. pokazano przekrój otwarty pręta cienkościennego, na którym linia przerywana oznacza linię środkową przekroju.

Linia środkowa przekroju jest krzywą położoną  pomiędzy krawędziami ścianek i jest  równoodległa od obu krawędzi pręta.

Geometria profilu cienkościennego sprawia, iż przedstawia się go jako krzywą materialną o „gęstości” δ, to znaczy sprowadza do linii środkowej.
Przekrój cienkościenny jest „otwarty”, jeśli jego  linia środkowa nie tworzy obwodów, czyli nigdzie nie zamyka się. Przykłady przekrojów otwartych pokazano na rys.2. (kątownik, dwuteownik, ceownik, teownik).

Przekrój cienkościenny jest zamknięty, jeśli jego linia środkowa zawiera obwody zamknięte. Przykładem profilu zamkniętego jest rura okrągła, kwadratowa lub prostokątna.

Przekrój cienkościenny ma przekrój mieszany , jeśli jego linia środkowa tworzy obwody zamknięte , ale też zawiera odcinki nie zamknięte.

Pole przemieszczeń

Rys.3. Pole deformacji pręta quasizamkniętego [10]

Na rys.3. przedstawiono przekrój cienkościenny quasi zamknięty . Charakteryzuje się on tym, że linia środkowa, tworząca obwód jest przecięta wąską szczeliną.

Na rysunku pokazano pole odkształceń przekroju pręta cienkościennego w przestrzeni (e₁,e₂,e₃). Punkt z  konfiguracji początkowej Ω⁽⁰⁾ z wektorem wodzącym R_o(s) układu lokalnego (E₁,E₂,E₃) pod wpływem obciążenia ulega przemieszczeniu o wektor u_o(s) do konfiguracji odkształconej Ω^(N), z wektorem wodzącym r_o(s)początku odkształconego układu lokalnego (t₁, t₂, t₃). 

Można pokazać, że zagadnienie brzegowe, rządzące rozwiązaniem pręta cienkościennego otwartego jest szczególnym przypadkiem zagadnienia brzegowego dla pręta zamkniętego (a jeszcze ogólniej mieszanego).

Jednakże ze względu na konieczność wprowadzenia dość złożonego aparatu formalnego (matematycznego) do ogólnej analizy pręta o przekroju zamkniętym najczęściej prowadzi się analizę  aspektów fizycznych zagadnienia: skręcania skrępowanego oraz zwichrzenia i niestateczności giętno-skrętnej. Do tego wystarcza prostsza analiza prętów cienkościennych o przekroju otwartym.

Deplanacja przekroju i bimoment

Odkształcenia przekroju pręta cienkościennego objawiają się deplanacją (spaczeniem) przekroju, to znaczy przekrój płaski przed odkształceniem nie zachowuje płaskości (rys.4).  Nie jest więc zachowana zasada płaskich przekrojów -fundamentalna zasada zginania pręta o przekroju zwartym. Podczas deplanacji punkty odkształconego przekroju pozostają nie na płaszczyźnie, ale na pewnej krzywoliniowej powierzchni.

Rys.4. Deplanacja (spaczenie) przekroju dwuteowego

Charakterystycznym punktem przekroju cienkościennego jest środek zginania (zwany czasami środkiem skręcania lub środkiem ścinania). Jest to  punkt położony w przekroju lub poza nim,  taki, że obciążenie przechodzące przez ten punkt  nie powoduje skręcania pręta, a tylko jego zginanie poprzeczne. W takim przypadku pozostaje słuszna zasada płaskich przekrojów Bernulliego i pręt jest poddany zginaniu bez udziału skręcania.

Skręcanie pręta zawsze wywołuje deplanację przekroju. Jeśli deplanacja nie jest swobodna (jest ograniczona więzami nałożonymi na przekrój), to wskutek różnicy wydłużeń włókien  przekroju powstają naprężenia normalne. Wprowadza się dodatkową siłę przekrojową, która opowiada za te naprężenia normalne. Nazywa się ją bimomentem.

Bimoment z definicji jest liczbą [8], której można przyporządkować nieskończenie wiele bipar (par momentów o przeciwnym zwrocie), a tymi można obciążyć pręt. Bimoment podobnie jak siła poprzeczna jest pojęciem fikcyjnym.

W pracy [11] przedstawiono twierdzenia dotyczące algebry układów wektorów sił przyłożonych do płaskiej, sztywnej jedynie w swej płaszczyźnie, linii materialnej, to jest przy założeniu sztywnego konturu przekroju pręta cienkościennego. Rozważania prowadzono w ramach klasycznej algebry wektorów, z której można wyciągnąć wniosek , że bimoment jest liczbą (skalarem).

Tymczasem zagadnienie mechaniki prętów cienkościennych oraz algebry sił w tym bimomentu należałoby rozpatrywać w ramach ogólniejszej algebry Clifforda [12]. Siła fizyczna jest trójką (skalar, wektor, biwektor), która jest nazywana pseudowektorem [13], a bimoment jest składową pseudowektora siły momentu zginającego  i można go nazwać „parą momentów” lub „momentem momentów”. Algebra Clifforda jest szczególnie użyteczna w analizie dużych obrotów, a obecnie obserwuje się renesans jej zastosowań ( np. [14], [15], [16]

Więcej o prętach cienkościennych → Wykład Leszka Chodor

Literatura

1. Vlasov, V. Z. (1959). Tonkostiennyje uprugije stierzni | Thin-Walled Elastic Beams. PWF-ML | Israel Program for Scientific Translations
2. Sapountzakis, E. J. (2013). Bars under Torsional Loading: A Generalized Beam The-ory Approach. Review Article. ISRN Civil Engineering, 2013(Article ID 916581), 1–39, [ http://dx.doi.org/10.1155/2013/916581 ]
3. STRENCO. (2016, 2019). Consteel, Oprgramowanie dla budownictwa, [http://www.strenco.pl/strenco ]
4. Consteel Software. (2020), ConSteel 14 Manual , [ http://www.consteelsoftware.com/en/downloads/manuals-documents ]
5. CTICM. (2013). LTBeam Software (1.011), [ http://www.cesdb.com/ltbeam.html ]
6. Birger, I. A., & Panowko, J. G. (1968). Procnost, ustojcivost, kolebanija, Spravocnik (Vol. 1). Mosinostroejnije
7. Piechnik, S. (2008). Pręty cienkościenne otwarte. Podręcznik dla studentów wyż-szych szkół technicznych. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej
8. Piechnik S. (2007), Mechanika techniczna ciała stałego, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków
9. Gawłowski, S. (2006). Podejście statyczne do oceny nośności granicznej prętów cienkościnnych otwartych, Praca doktorska, Politechnika Krakowska
10. Bijak, R., Chodor, L., Kołodziej, G., & Kowal, Z. (1997). Sensitivity of Cross-Section Shape for Nonlinear Thin-Walled Bars. Proceeedings of Conference of Computer Methods in Mechanics, Poznań 1997, 175–182, [ https://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/1997-Bijak-Chodor-i-in,Sensitivity-Cross-Shape,Poznan.pdf ]
11. Piechnik, S. (2006). Algebra of systems of forces applied to the flat material line. JTAM, 44(1), 107–125
12. Clifford, W. K. (1873). Preliminary sketch of bi-quaternions. Proc. London Math. Soc., 4, 381–395
13. Jancewicz, B. (2011). Pseudowektory. Foton, 115(Zima 2011), 31–43
14. Jancewicz, B., Brzeski, P. (2005). Magnetic field surfaces. European Journal of Physics, 26, 617–634
15. Perwass, C. (2009). Geometric algebra with applications in engineering. Springer
16. Gull, S., Lasenby, A., & Doran, C. (1993). Imaginary Numbers are not Real – the Geometric Algebra of Spacetime. Found. Phys., 23(9), 1175–1201

________________________________