Nośność graniczna, a nośność krytyczna i plastyczna

Współczesne podejście do projektowania konstrukcji odchodzi od klasycznych zasad liniowej sprężystości w kierunku wykorzystania zapasów nośności w stanach nadkrytycznych oraz zniszczenia plastycznego, to znaczy teorii nośności granicznej.
Konstrukcje smukłe , a przede wszystkim  konstrukcje stalowe wrażliwe są na utratę stateczności, jednakże klasyczna nośność krytyczna (Eulera), wyprowadzona przy założeniu sprężystej pracy  nie jest przydatna do  stosowania wprost.  Konieczne jest uwzględnienie zjawisk nieliniowości materiałowej, a w konstrukcjach stalowych plastyczności [1].
Szeroko znana i  wykorzystywana jest prosta formuła Rankine-Merchant „sumowania podatności”, wiążąca nośność graniczną Λ_R z nośnością krytyczną Λ_cr i nośnością plastyczną Λ_pl w postaci [2]:

 Rys.1. Aproksymacje ścieżki równowagi konstrukcji: zależności nośności (mnożnika obciążenia) od deformacji [3]

Prosta OA (1)  na rys. 1 odpowiada idealnie liniowemu  zachowaniu elementu, to jest analizie liniowej analizie sprężystej, w której pomija się nieliniowości fizyczne  i geometryczne.
Krzywe OC,C’,C” (3) są wynikiem analizy II  elementu sprężystego w z uwzględnieniem efektu P-Δ, to znaczy z uwzględnieniem wpływu przemieszczeń na siły przekrojowe. Nieliniowości geometryczne mogą generować rozmaite ścieżki równowagi: ze wzmocnieniem (3a), z osłabieniem (3c) lub pośrednie (3b) . Asymptotą zachowania sprężystego elementu jest linia Λ_cr (2), która odpowiada obciążeniu Eulera, przy którym idealnie prosty pręt ulega wyboczeniu na skutek ściskania tą siłą.
Krzywe B-E (4) odpowiadają mechanizmom plastycznym, których może być wiele i które mogą generować ścieżki (4a), (4b). Możliwe jest kruche zachowanie materiału, odpowiadające istotnie osłabiającej się ścieżce równowagi (6). ścieżki (4), (6) uwzględniają fizyczne nieliniowości konstrukcji.  Obserwowane maksymalne wartości mnożnika obciążenia  na ścieżkach fizycznie nieliniowych oznaczymy przez Λ_pl (5)_.

Element sprężysto-plastyczny analizowany w ramach teorii geometrycznej II rzędu (czyli rzeczywisty element z nieliniowościami fizycznymi i geometrycznymi), ma ścieżkę równowagi   O-G-F-D (7), gdzie po drodze powstają kolejne przeguby plastyczne. Nośność Λ_pl jest omówiona w artykule Nośność plastyczna konstrukcji.

Maksimum na ścieżce równowagi (7) jest graniczną nośnością pręta Λ_R.

Przy wyznaczaniu rzeczywistej ścieżki równowagi O-D należy uwzględnić: skończone strefy uplastycznienia wokół przegubów plastycznych;  wpływ  naprężeń i początkowych niedoskonałości geometryczne, a także wzmocnienie materiału.

Zauważmy, że pierwszy przegub plastyczny utworzy się przy obciążeniu Λ₁ mniejszym od obciążenia krytycznego Λ_cr. Gdy obciążenie jest zwiększane powyżej Λ₁,  to ulega zmianie schemat pręta na skutek stałego obrotu w tym przegubie. dla tak zmienionego schematu pręta należałoby wyznaczyć nowe obciążenie krytyczne Λ_cr,1, które będzie oczywiście mniejsze od Λ_cr. 

Literatura

1. Chodor L. (2016). Współczynnik-wyboczeniowy. Geneza i mit, Encyklopedia Inżyniera i Architekta πPiWiki, [ https://chodor-projekt.net/encyclopedia/wspolczynnik-wyboczeniowy-geneza/ ]
2. Rankine W. J. M. (1866). Useful Rules and Tables, McGraw-Hill, London
3. Livesley R. K. (1975), Matrix methods of structural analysis. Pergamon Press, [ http://books.google.com/books?id=tYsoAQAAMAAJ ]

________________________________