Część 3-2

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało  1 Czytelników
Uwagi i recenzje podręcznika  przesyłać na adres wydawnictwa:wydawnictwo@chodor-projekt.net
spis treści prodręcznika: [ Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji ]
Nawigacja:  [ 3-1: Imperfekcje konstrukcji a współczynniki bezpieczeństwa ]  ⇐  ⊗  ⇒ [ 3-3: Imperfekcje konstrukcji żelbetowych ] 

W normie do projektowania konstrukcji stalowych Eurokod 3 [1] zdefiniowano oryginale zasady, stanowiące podstawę metod imperfekcyjnych. W normie tej dopuszczono jeszcze stosowanie historycznych metod wyboczeniowych, a zasady metody imperfekcyjnej były udoskonalane w normach publikowanych w kolejnych latach dla konstrukcji żelbetowych, zespolonych i aluminiowych.

Zgodnie z [1]-kl. 5.2.3(3), w celu uwzględnienia systemowych imperfekcji geometrycznych konstrukcji stalowych wrażliwych na efekty drugiego rzędu (w tym ram przechyłowych) można stosować uproszczoną metodę zastępczych imperfekcji geometrycznych przechyłowych i łukowych. Za dokładniejszą uznaje się metodę alternatywną, przedstawioną w dalszej części podręcznika, zgodnie z którą imperfekcje geometryczne określane są ze zintegrowanej postaci wyboczenia sprężystego. Wśród postaci wyboczenia sprężystego można wydzielić postać przechyłową lub łukową, symetryczną lub niesymetryczną, giętną lub skrętną itd., choć w ogólności jest to trudne ze względu na sprzężenie postaci wyboczenia i przy zastosowaniu współczesnych metod  projektowaniu  jest niepotrzebne.

Zaczniemy od przedstawienia zasad oryginalnych i w kolejnych punktach będziemy przedstawiali udoskonalenia metody, tak by w konkluzjach wskazać na syntezę zasad, które stanowią punkt wyjścia do uogólnień wprowadzanych w podręczniku.

Imperfekcje przechyłowe

Na Rys. 1 pokazano model przyjmowany w Eurokod 3 do analizy globalnych imperfekcji systemów konstrukcyjnych. W modelu zakłada się, że na skutek niezamierzonych odchyłek, budowla o wysokości h pochyli się w kierunku poprzecznym o kąt $\Phi$ , ale też pochyli się o taki kąt w kierunku podłużnym – w płaszczyźnie rzędu słupów.

Rys.1 Imperfekcje przechyłowe UPI, [1],rys. 5.2

Podstawowa  i jednocześnie największa możliwa wartość pochylenia wynosi:

$$\begin{equation}\Phi_0=\cfrac{1}{200} \to n_{\Phi,0}=200 \label {1} \end{equation}$$

Przechył ($\ref{1}$) może być zredukowany współczynnikami redukcyjnymi $\alpha_h$ oraz $\alpha_m$:

$$\begin{equation}  \alpha_h = \cfrac{2}{\sqrt{h}},  \quad  \text{lecz  } \, 2/3 \le \alpha_h \le \, 1  \label {2} \end{equation}$$

$$\begin{equation}  \alpha_m =\sqrt{\cfrac{m+1}{2m}}   \label {3} \end{equation}$$

gdzie:
$h$ – wysokość budowli lub długość elementu,
$m$ – liczba słupów w rzędzie, które przenoszą obciążenie $N_{Ed}$  nie mniejsze niż 50% przeciętnego obciążenia słupa w rozpatrywanej płaszczyźnie pionowej.

Współczynnik  $\alpha_m$ powinien być obliczony dla liczby słupów stabilizowanych w kilku rzędach, a nie tylko w jednej ścianie [1],kl. (5.5) , [2] . Współczynniki redukcyjne przyjmują maksymalne możliwe wartości 1,0 odpowiednio dla h= 4 metry i dla m = 1.

Zredukowany przechył wynosi
$$\begin{equation}  \Phi=\Phi_0 \cdot \alpha_h \cdot \alpha_m  \to n_G= n_{\Phi} =n_{\Phi,0}/ (\alpha_h \cdot\alpha_m) \label {4} \end{equation}$$

Na skutek geometrycznej imperfekcji przechyłowej na głowice i stopy słupów (Rys. 2b) i na stropy między kondygnacyjne (Rys.2a) działają równoważne siły imperfekcji

$$\begin{equation}  H_{Ed} =\Phi \cdot N_{Ed}  =\cfrac{N_{Ed}}{n_G}\label {5} \end{equation}$$

Ry.s. 2  Równoważne, poziome siły fikcyjne od imperfekcji przechyłowych: a) na stropy międzykondygnacyjne, b) na głowice i stopy słupów

Siła $N_{Ed}$ jest unormowaną osiową siłą przekrojową w danym słupie. Zwykle przyjmuje się, że jest to maksymalna siła ściskająca z długości słupa. W przypadkach uzasadnionych dużym wpływem sił $H_{Ed}$  na stan przemieszczeń i naprężeń, jako normę przyjmuje się średnią ważoną, proporcjonalną do odcinków długości słupa (w granicy, jako całkę po długości pręta, podzieloną przez jego długość h).  Jeśli zewnętrzna siła pozioma przekracza 15% całkowitej siły pionowej, to można pominąć siły od imperfekcji ($\ref{5}$), wynikające z modelu Rys.1.

W przypadku linii słupów spiętych belką wezgłowiową do głowicy najczęściej pierwszego słupa przykłada się sumaryczną siłę od imperfekcji wszystkich słupów w szeregu $\sum H_{Ed}= \Phi \sum N_{Ed}$_. Taki zabieg uogólnia się na całą kondygnację budynku wielokondygnacyjnego w przypadku baterii słupów spiętych tarczą stropową, ponieważ w praktycznie spotykanych przypadkach wpływ sił imperfekcji na zwiększenie wytężenia początkowego nie jest zbyt istotny, a siły imperfekcji spełniają pożyteczną, obliczeniową rolę, bo prowadzą do wytrącenia systemu z idealnego położenia, więc w celu uproszczenia procedur dla zwykłych przypadków przyjmuje się zwykle najniekorzystniejszą wartość ($\ref{1}$) (bez redukcji).

Przechyły $\Phi$ układu na danej wysokości układu mogą powodować zwykłą translację (Rys.3a) o odcinek $\Phi \cdot x$  (x- wysokość rozpatrywanego punktu nad poziom zerowy), albo obrót (Rys.3b ) $\Phi\cdot b/2 \cdot x/h$ (b, h – szerokość i wysokość budowli). Wartość translacji lub obrotów zmienia się po wysokości od zera (dla x=0) do maksymalnej wartości ($\ref{4}$) (dla x=h).

Rys. 3. Przechyły układu: a) translacyjne Λh  , b) skrętne Λφ

Zasada ($\ref{5}$) dotyczy wszystkich obciążeń grawitacyjnych, również rozłożonych (liniowych lub powierzchniowych), co można zapisać formułą:

$$\begin{equation} q_x= q_y = \Phi \cdot q_z = \cfrac{q_z}{n_G} \label {6} \end{equation}$$

Imperfekcje łukowe

Zastępcze imperfekcje łukowe elementów modelowane są wstępnym wygięciem elementu o amplitudzie (strzałce wygięcia)  $e_0$ w sposób pokazany na Rys. 4b. Amplituda  $e_0$ jest proporcjonalna do długości elementu oraz zależy od rodzaju prowadzonej analizy (sprężysta, plastyczna).

Klasę imperfekcji pręta stalowego , czyli typ krzywej wyboczeniowej zależy od rodzaju profilu i dobiera się  z tab.1 przy wyboczeniu giętnym i z tab.2 przy wyboczeniu bocznym (zwichrzeniu).

Tab 1 Klasy imperfekcji (krzywe wyboczeniowe) wyboczenia giętnego [1], tab. 6.2.

Tab. 2 Klasy imperfekcji (krzywe wyboczeniowe)

przy wyboczeniu bocznym (zwichrzeniu) [1], tab 6.4 i 6.5

Przypadek ogólny zwichrzenia, wymieniony w tab.2 dotyczy wszystkich przekrojów zgodnie z klauzulą normową [1],kl. 6.3.2.2 . Natomiast przypadek szczególny dotyczy przekrojów dwuteowych walcowanych i ich spawanych odpowiedników zgodnie z [1],kl. 6.3.2.3 . Zastosowanie zaleceń normowych „przypadku „szczególnego” daje możliwość oszczędniejszego projektowania konstrukcji, ponieważ wartości współczynników zwichrzeniowych są większe od analogicznych wartości wyznaczanych dla przypadku ogólnego. W przypadku szczególnym współczynniki zwichrzenia wyznacza się z zależności ogólnych (2-2.13) do (2-2.15), modyfikowanych współczynnikiem $\beta=0,75$ i dla smukłości progowej $\lambda_0=0,4$.

Na podstawie klasy imperfekcji (krzywej wyboczeniowej) można dobrać wartość imperfekcji łukowej z tab.1-1.1 w zależności od typu prowadzonej analizy (sprężysta, czy plastyczna).  W poprawce do polskiej wersji [1] zaleca się, by imperfekcję łukową dla wszystkich rodzajów analiz przyjmować jak dla analizy sprężystej.

Obciążenie równoważne od imperfekcji lokalnych (elementu) przyjmuje się zgodnie [1],kl. 5.3-2.2.(6) , rys.3b i zależnością:

$$\begin{equation}q_d=\cfrac{8 N_{Ed} \cdot e_0}{L^2} = \cfrac{8N_{Ed}}{n_L \cdot L} \label {7} \end{equation}\\$$

gdzie $e_0$ – obliczeniowa imperfekcja łukowa. Oznaczenie imperfekcji jest zgodne z nomenklaturą normy [3] , gdzie pominięto indeks „d”, który jest stosowany w normie [1] ( tzn. $e_0=e_{0d}$).Względną imperfekcję łukową należy przyjmować z Tab. 3-2.1. Siła jest obliczeniową siłą osiową działającą w elemencie o długości L, którą należy szacować, uwzględniając uwagi pod formułą ($\ref{5}$).

Równoważne siły imperfekcji od wstępnego skręcenia belki będą momentami skręcającymi $m_T=m_x$ równomiernie rozłożonymi po długości belki, . Postępując analogicznie do procedury szacowania równoważnych sił ($\ref{7}$), otrzymamy następujące wyrażenie na równoważne momenty skręcające od imperfekcji skrętnych:

$$\begin{equation} m_T= M_{Ed} \cdot \cfrac{8 \varphi_0}{L_T}  \label {8} \end{equation}$$

gdzie: $M_{Ed}$  – obliczeniowy moment zginający,  $L_T$ – efektywna długość belki, miarodajna do szacowania zwichrzenia elementu.

Rys. 4. Zastąpienie wstępnych imperfekcji równoważnymi siłami poziomymi : a) imperfekcje przechyłowe (globalne), b) imperfekcje łukowe (lokalne) [1],rys. 5.4.

Uwaga
W dalszej części pracy pokazano, że bezkrytyczne stosowanie fikcyjnych sił dla każdego schematu statycznego prętów zgodnie z formułą ($\ref{8}$), może prowadzić do grubych błędów. Formuła jest słuszna wyłącznie dla pręta przegubowo-przegubowego.

Równoważność imperfekcji od obciążeń i od sił przekrojowych

Fikcyjne siły imperfekcji $(\ref{5})$ są uzależnione od osiowych sił przekrojowych $N_{Rd}$ występujących w danym elemencie. Na użytek szacowania sił imperfekcji można przyjąć, że w układzie konstrukcyjnym, siły przekrojowe są proporcjonalne do mnożnika obciążeń zewnętrznych $\Lambda$ i wówczas formuła $(\ref{5})$ przyjmie równoważną postać

$$\begin{equation}   H = \Phi \cdot \Lambda \cdot V \label {9} \end{equation}$$

gdzie V oznacza obciążenie grawitacyjne (pionowe) w ustalonej konfiguracji, złożone z obciążeń konstrukcji (skupionych, rozłożonych liniowo lub powierzchniowo) .

W tym ujęciu siły fikcyjne siły od imperfekcji są poziomymi obciążeniami od imperfekcji stowarzyszonymi z każdym obciążeniem grawitacyjnym, niezależnie od miejsca jego przyłożenia.

Przykłady rachunkowe

Przykład 3-2.1 [Stalowa rama portalowa ]

Postawienie zadania i dane ogólne

Oszacować przechyłowe oraz łukowe imperfekcje geometryczne oraz zastępcze obciążenia poziome dla ramy portalowej, pokazanej na rys.5. Rama portalowa
o rozpiętości
$L= 6 \,m$
oraz wysokości
h=4,5 \, m
wykonana jest z profili: rygiel [2] – IPE 270, słup lewy [1] – HEA 260, słup prawy [3] – HEB 300. Pręty obciążone są obciążeniami równomiernie rozłożonymi:  rygiel  $q_{z,[2]}= – 15 kN/m$; słupy  $q_{x, [1] , [3]} = 6 \, kN/m$.

Rys. 5 Schemat ramy do przykładu 3-2.1.

Imperfekcje geometryczne przechyłowe

Podstawowa imperfekcja przechyłowa
$( \ref{1} )  \to$  $ \Phi_0=\cfrac{1}{200} \to n_{\Phi,0}=200 $

Współczynniki redukcyjne:
wysokości  $(\ref{2}) \to$  $ \alpha_h= \cfrac{2} {\sqrt{4,5}}= 0,943 \quad ( 2/3 \le 0,943 \le 1) $
liczby słupów dla $m=2$ , $(\ref{3}) \to $ $\alpha_m =\sqrt{\cfrac{2+1} {2 \cdot 2}}= 0,866$

Imperfekcja przechyłowa
$(\ref{4}) \to$ $ \Phi=1/200 \cdot 0,943 \cdot 0,866=0,00408 = 1/245$
$n_{\Phi} = \cfrac{ 200 }{0,943 \cdot 0,866}= 245$.

Po sporządzeniu wykresu sił przekrojowych (rys. 6) okazuje się, że:

Suma sił osiowych w słupach wynosi $\Sigma N_{Ed}=24,75+65,25=90 \, kN$, więc siła w słupie [1] $ N_{Ed, [1]} =24,75 \, kN $  < 50% $ \Sigma N_{Ed} / m = 90/2 = 45 \, kN $.
Zgodnie z zaleceniem normowym  słup [1] powinno wykluczyć się z liczby słupów $m$ w wyrażeniu ($\ref{3}$), czyli :
$m=1 \to  \alpha_m =\sqrt{\cfrac{1+1} {2 \cdot 1}}= 1,00 $.
$n_{\Phi} = \cfrac{ 200 }{0,943 \cdot 1,00}= 212 $.

Dalsze obliczenia w przykładzie prowadzi się dla $n_{\Phi} = 245$

Fikcyjne siły poziome od imperfekcji przechyłowych

Fikcyjne siły jako wynik sił osiowych w słupach zgodnie z  ($\ref{5}$):

$H_{Ed[1]} = 24,75/245= 0,1010 kN$

$H_{Ed[2]} = 65,25/245= 0,266 kN$

$\Sigma H_{Ed}= 0,010+0,266=90/245= 0,367 \ , kN$

Rys. 6 Wykres sił osiowych w prętach systemu z rys. 3-2.3.a

Zewnętrzna siła pozioma $H_{Ed[1]} =6 \cdot 4,5= 27 kN > 15 \text {% } \cdot 24,75 =3,71 \, kN; \quad \text {oraz } >15 \text {% } \cdot 65,25= 9,78 \, kN$, wiec zgodnie z zaleceniami normowymi , to można pominąć siły od imperfekcji ($\ref{5}$).

Dalsze obliczenia w przykładzie prowadzi się dla wyznaczonych wyżej sił fikcyjnych

Fikcyjne siły jako wynik obciążeń grawitacyjnych

$\Sigma V_{Ed}= 6 \cdot 15=90 \, kN$

($\ref{9}$) to \Sigma H_{Ed} = 90/245= 0,367 \ , kN$

Imperfekcje geometryczne łukowe

Strzałki imperfekcji łukowych przyjęto z tab 1. i tab.1-1.1 i zestawiono w tab.3-2.3

Tab. 3. Parametry geometrycznych
imperfekcji łukowych do przykładu 3-2.1.

Fikcyjne obciążenia od imperfekcji łukowych

W kolumnie (7) tab.3. podano wartości fikcyjnych obciążęń od imperfekcji łukowych $q_d$ wyliczone z formuły normowej ($\ref{8}$).

W dalszym ciągu podręcznika przeprowadzono dyskusję formuły ($\ref{8}$) i wykazano, ze obowiązuje ona wyłącznie dla prętów przegubowo-przegubowych. Pokazano metodę plastyczną i kinematyczną, umożliwiające uzyskanie poprawnych aproksymacji.

Wnioski z przykładów

1. Z analizy zadania w zakresie współczynnika korygującego imperfekcje przechyłowe w zależności od liczby słupów, wynika , że:

(a) wymóg ograniczenia liczby słupów uczestniczących w przenoszeniu obciążeń pionowych do celów wyliczenia współczynnika redukcyjnego $\alpha_h$, komplikuje obliczenia, bo wymaga wcześniejszego wyznaczenia rozkładu sił osiowych w słupach potencjalnie uczestniczących w przenoszeniu obciążeń pionowych,
(b) ograniczenie liczby słupów (a) prowadzi do zwiększenia imperfekcji przechyłowej konstrukcyjnego w stopniu nieistotnym statystycznie wobec niepewnej i arbitralnie przyjętej wartości imperfekcji przechyłowej.

(c) umożliwienie ograniczenia obliczeń imperfekcyjnych w przypadku, gdy zewnętrzne siły poziome przekraczają 15% obciążeń pionowych pozornie tylko upraszczaj obliczenia, bowiem sprawdzenie tego warunku wymaga wcześniejszego wyznaczenia rozkładu sił osiowych w słupach potencjalnie oraz wyznaczenie segregowanie obciążeń poziomych.

(d) z wniosku (a) i (b) wynika, że  w obliczeniach praktycznych można pomijać redukcję liczby słupów $m$ z warunku ich obciążenia. „N< 50%H”.
Z wniosku (c) wynika, że w obliczeniach praktycznych można nie sprawdzać warunku „N<15%H” i procedurę wyznaczania sił imperfekcji prowadzić w każdym przypadku.

2. Zastąpienie imperfekcji przechyłowych fikcyjnymi siłami poziomymi od obciążeń grawitacyjnych jest proste i daje dokładne wyniki,

3. Zastąpienie imperfekcji łukowych fikcyjnymi siłami poziomymi od obciążeń grawitacyjnych jest złożone i nie poddaje się prostym uniwersalnym algorytmom. Zaleca się stosowanie współczesnych programów obliczeniowych, w których  imperfekcje łukowe  są bezpośrednio w sposób geometryczny

Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło:
Leszek Chodor, (2019), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki,
[ https://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]

Historia edycji:
(2019-04-19, 30) Wersja 1.0 Literatura

1. PN-EN 1993-1-1+A1:2006, Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
2. Ravindra M. K., Galambos T. V. (1972), Discussion of “Buckling Strength of Columns Based on Random Parameters” by B. T. K. Chung and G. C.Lee. Journal, ASCE Str. Div., 98(ST1), 215
3. PN-EN 1999-1-1:2010, Eurokod 9: Projektowanie konstrukcji aluminiowych, Część 1-1: Reguły ogólne

________________________________