Belka w inżynierii. Część II: Nieliniowość geometryczna

Leszek Chodor, 26 października 2014
26.10.2025 – nadal naprawa po poważnej awarii portalu.
W przypadku nieczytelnych treści, proszę powiadomić: leszek@chodor.co

W ciągu ostatnich 24 godzin z artykułu korzystało 22 Czytelników

CZĘŚC II: NIELINIOWOŚĆ I IMPERFEKCJE geometryczne oraz podstawy MES

Wprowadzenie

W teorii imperfekcyjnej wprowadzono mnożnik obciążenia konstrukcji $\Lambda$, definiowany względem przyjętej konfiguracji obciążeń odniesienia $\mathbf{F}_0$. Dla dowolnego poziomu obciążenia $\mathbf{F}$ zachodzi zależność

\[ \mathbf{F}=\Lambda \mathbf{F}_0 \]

Wartość krytyczna mnożnika $\Lambda_{cr}$ odpowiada stanowi utraty stateczności konstrukcji. Wygodną miarą stopnia wykorzystania nośności wyboczeniowej jest bezwymiarowa wielkość

\[ \bar{\Lambda}=\frac{\Lambda}{\Lambda_{cr}} \tag{II.1} \label{II.1} \]

która osiąga wartość równą jedności w stanie krytycznym.

Uogólnienie teorii belki Bernoulli-Euler o ściskanie. Nieliniowości geometryczne

Teoria zginania Bernoulli-Euler może zostać rozszerzona na przypadek elementów poddanych jednocześnie zginaniu oraz ściskaniu osiowemu. W dalszej części rozważony zostanie szczególny przypadek konstrukcji złożonej z pojedynczego elementu prętowego ściskanego jedną siłą osiową $F$. Nie ogranicza to ogólności rozważań dotyczących nieliniowości geometrycznych, natomiast pozwala przedstawić ich podstawowe własności w postaci analitycznej.

Model elementu $[e]$ przedstawiono na rys. II.1. Siła przekrojowa jest stała na całej długości elementu i wynosi $ N=F$. Obciążenie krytyczne konstrukcji sprowadza się w tym przypadku do klasycznego obciążenia krytycznego Eulera

\[ F_{cr}=N_{cr} = \frac{\pi^2EI}{L^2} \tag{II.2} \label{II.2} \]

Stopień wykorzystania nośności wyboczeniowej (\ref{II.1}) można więc w tym przypadku zapisać w postaci 

\[ \bar{\Lambda} = \frac{F}{F_{cr}} = \frac{N}{N_{cr}}\tag{II.3} \label{II.3} \]

Dalsze rozważania prowadzone są dla tego szczególnego przypadku, przy zachowaniu notacji zgodnej z ogólną teorią stateczności oraz imperfekcji konstrukcji.

Na rys. II.1a przedstawiono model elementu belki-słupa $[e]$, na rys. II.1b belkę obciążoną poprzecznie i ściskaną, natomiast na rys. II.1c słup wspornikowy zginany i ściskany. Układy takie prowadzą do zagadnień geometrycznie nieliniowych związanych z efektem drugiego rzędu oraz utratą stateczności.

Rys. II.1 . Belka-słup Bernoulli zginana poprzecznie i ściskana: a) model elementu [e]; b) belka-słup poziomy; c) słup-belka pionowy

Na rys. II.1a przedstawiono lokalny układ współrzędnych elementu oraz przyjęte dodatnie zwroty przemieszczeń i sił węzłowych. Wektor stopni swobody elementu przyjmuje postać

\[ \{q\}^{[e]}= \begin{Bmatrix} u_1\\ w_1\\ \varphi_1\\ u_2\\ w_2\\ \varphi_2 \end{Bmatrix},\]

natomiast odpowiadający mu wektor sił węzłowych

\[ \{F\}^{[e]}= \begin{Bmatrix} N_1\\ V_1\\ M_1\\ N_2\\ V_2\\ M_2 \end{Bmatrix}. \]

Przyjęta konwencja znaków obowiązuje w całej dalszej części pracy.

Ścisła macierz sztywności elementu belki-słupa

Nieliniową macierz sztywności ściskanego elementu prętowego [e], pokazanego na rys. II.1a, wyznaczymy przez rozwiązanie równania różniczkowego belki-słupa bez obciążenia poprzecznego $q_z=0$ (I.33), przedstawionego w I części artykułu, uzupełnionego o wyraz geometrycznej nieliniowości wynikający z działania osiowej siły ściskającej $N$.

\[ 0= EI_y\cfrac{d^4w}{dx^4} + N\cfrac{d^2w}{dx^2} \tag{II.4} \label{II.4} \]

Wprowadzamy bezwymiarową współrzędną osi pręta $ \xi=\cfrac{x}{L}$  oraz parametr ściskania $ \mu^2=\cfrac{NL^2}{EI}$

Ponieważ dla rozważanego przypadku zachodzi $\bar{\Lambda} = \frac{N}{N_{cr}}$ oraz $ N_{cr} =\frac{\pi^2EI}{L^2}$, to parametr ściskania można zapisać w postaci $\mu^2 = \pi^2\bar{\Lambda}$

czyli

\[ \mu = \pi\sqrt{\bar{\Lambda}}. \tag{II.5} \label{II.5}\]

W granicznym stanie krytycznym zachodzi $\bar{\Lambda}=1$, a zatem $\mu=\pi$. Po podstawieniu powyższych zależności do równania (\ref{II.4}) otrzymujemy jego postać bezwymiarową

\[ \cfrac{d^4w}{d\xi^4} + \mu^2 \cfrac{d^2w}{d\xi^2} = 0 \tag{II.6} \label{II.6} \]

której rozwiązaniem jest funkcja ugięcia

\[ w(\xi) = C_1 + C_2\mu\xi + C_3\cos(\mu\xi) + C_4\sin(\mu\xi) \tag{II.7} \label{II.7} \]

oraz funkcja obrotów

\[ \cfrac{dw(\xi)}{d\xi} = \mu \left[ C_2 – C_3\sin(\mu\xi) + C_4\cos(\mu\xi) \right] \tag{II.8} \label{II.8} \]

Warunki brzegowe przyjmują postać

\[ w(0)=w_1, \qquad w(1)=w_2, \qquad \cfrac{dw(0)}{d\xi}=\varphi_1L, \qquad \cfrac{dw(1)}{d\xi}=\varphi_2L.\tag{II.9} \label{II.9} \]

i mogą zostać zapisane w postaci macierzowej

\[ [D] \begin{Bmatrix} C_1\\ C_2\\ C_3\\ C_4 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} w_1\\ \varphi_1L\\ w_2\\ \varphi_2L \end{Bmatrix} \tag{II.10} \label{II.10}  \]

gdzie

\[ [D] = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 0\\
0 & \mu & 0 & \mu\\
1 & \mu & \cos\mu & \sin\mu\\
0 & \mu & -\mu\sin\mu & \mu\cos\mu
\end{bmatrix} \tag{II.11}  \label{II.11} \]

której wyznacznik wynosi

\[ \det[D] = \mu^2\left[\,2(1-\cos\mu)-\mu\sin\mu\,\right].\tag{II.12} \label{II.12}\]

lub w postaci zwartej:

\[ \det[D] = \mu^2(2\beta-\varepsilon). \tag{II.13} \label{II.13} \]

którą uzyskano po wprowadzeniu  parametrów:

\[ \beta=1-\cos\mu, \qquad \varepsilon=\mu\sin\mu, \tag{II.14} \label{II.14} \]

Po odwróceniu macierzy D otrzymamy (wynik maszynowy w postaci rozwiniętej):

\[ [D]^{-1} = \frac{1}{2(1-\cos\mu)-\mu\sin\mu} \begin{bmatrix}
1-\cos\mu-\mu\sin\mu & \dfrac{\mu\cos\mu-\sin\mu}{\mu} & -(1-\cos\mu) & \dfrac{\mu-\sin\mu}{\mu} \\[3mm]
-\sin\mu & \dfrac{1-\cos\mu}{\mu} & \sin\mu & \dfrac{1-\cos\mu}{\mu} \\[3mm]
-(1-\cos\mu) & -\dfrac{\mu\cos\mu-\sin\mu}{\mu} & 1-\cos\mu & -\dfrac{\mu-\sin\mu}{\mu} \\[3mm]
\sin\mu & \dfrac{1-\cos\mu-\mu\sin\mu}{\mu} & -\sin\mu & -\dfrac{1-\cos\mu}{\mu} \end{bmatrix}. \tag{II.15} \label{II.15} \]

lub w postaci zwartej 

\[ [D]^{-1}=
\frac{1}{\mu(2\beta-\varepsilon)} \begin{bmatrix}
\mu\gamma & \delta & -\mu\beta & \eta \\[2mm]
-\varepsilon & \beta & \varepsilon & \beta \\[2mm]
-\mu\beta & -\delta & \mu\beta & -\eta \\[2mm]
\varepsilon & \gamma & -\varepsilon & -\beta
\end{bmatrix}.\tag{II.16} \label{II.16}\]

gdzie wprowadzono  parametry

\[ \beta = 1-\cos\mu, \qquad \gamma = 1-\cos\mu-\mu\sin\mu, \qquad \delta = \mu\cos\mu-\sin\mu, \] \[ \eta = \mu-\sin\mu, \qquad \varepsilon = \mu\sin\mu. \tag{II.17} \label{II.17}\]

Siły przekrojowe wyznaczymy z zależności

\[ M = EIw^{(II)} = -\cfrac{EI}{L^2} \cfrac{d^2w}{d\xi^2} = \mu^2 \cfrac{EI}{L^2} \left[ C_3\cos(\mu\xi) + C_4\sin(\mu\xi) \right] \tag{II.18} \label{II.18} \]

\[ V = M^{(I)} = -\cfrac{EI}{L^3} \cfrac{d^3w}{d\xi^3} = \mu^3 \cfrac{EI}{L^3} \left[ -C_3\sin(\mu\xi) + C_4\cos(\mu\xi) \right] \tag{II.19} \label{II.19} \]

Równania (\ref{II.18}) oraz (\ref{II.19}) określają rozkład momentów zginających i sił poprzecznych wzdłuż elementu w funkcji stałych całkowania $C_3$ i $C_4$. Stałe te nie są jednak niezależne, lecz wynikają z warunków brzegowych (\ref{II.10}).

Przy znajomości odwróconej macierzy $[D]$ zależność (\ref{II.10}) można zapisać w postaci

\[ \begin{Bmatrix} C_1\\ C_2\\ C_3\\ C_4 \end{Bmatrix} = [D]^{-1} \begin{Bmatrix} w_1\\ \varphi_1L\\ w_2\\ \varphi_2L \end{Bmatrix}. \tag{II.20} \label{II.20} \]

Podstawienie $\xi=0$ oraz $\xi=1$ do zależności (\ref{II.18})–(\ref{II.19}) prowadzi bezpośrednio do sił przekrojowych na końcach elementu
$ M_1=M(\xi=0), \qquad V_1=V(\xi=0), $
$ M_2=M(\xi=1), \qquad V_2=V(\xi=1). $

Wartości te odpowiadają siłom wewnętrznym działającym na przekroje końcowe elementu. Aby zachować zgodność z konwencją dodatnich sił węzłowych przyjętą na rys. II.1a, należy uwzględnić zmianę znaków siły poprzecznej i momentu na prawym końcu elementu. Ostatecznie wektor sił węzłowych części zginanej przyjmuje postać

\[ \{F_b\}^{[e]}= \begin{Bmatrix} V(\xi=0)\\ M(\xi=0)\\ -V(\xi=1)\\ -M(\xi=1) \end{Bmatrix} \label{II.21} \tag{II.21} \]

Zmiana znaków wynika z przejścia od sił przekrojowych do odpowiadających im sił węzłowych i zapewnia symetrię macierzy sztywności wynikającą z twierdzenia Maxwella-Bettiego.

Korzystając z trzeciego i czwartego wiersza macierzy odwrotnej (\ref{II.16}) wyrażamy stałe całkowania $C_3$ i $C_4$ przez stopnie swobody elementu. Po uporządkowaniu otrzymanych zależności względem przemieszczeń i obrotów węzłowych uzyskujemy równanie kanoniczne elementu

\[ \{F\}^{[e]} = [k]^{[e]} \{q\}^{[e]}. \tag{II.22} \label{II.22} \]

Po wyeliminowaniu stałych całkowania oraz przekształceniu powyższych zależności otrzymujemy ścisłą macierz sztywności geometrycznie nieliniowego elementu belki-słupa

\[ [k]^{[e]} = \left[\begin{array}{cccccc}
\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 \\
& \dfrac{12EI}{L^3}\Psi_1 & \dfrac{6EI}{L^2}\Psi_2 & 0 & -\dfrac{12EI}{L^3}\Psi_1 &\dfrac{6EI}{L^2}\Psi_2 \\
& & \dfrac{4EI}{L}\Psi_3 & 0 & -\dfrac{6EI}{L^2}\Psi_2 & \dfrac{2EI}{L}\Psi_4 \\
&&& \dfrac{EA}{L}&0&0\\
& \mathrm{SYM} & & & \dfrac{12EI}{L^3}\Psi_1 & -\dfrac{6EI}{L^2}\Psi_2\\
& & & & & \dfrac{4EI}{L}\Psi_3 \end{array} \right] \tag{II.23} \label{II.23}\]

Współczynniki \(\Psi_i\) są bezwymiarowymi funkcjami statecznościowymi opisującymi wpływ siły osiowej na sztywność zginania elementu i wynoszą:

\[ \begin{cases} \Psi_1=\alpha_c\Psi_2\\
\Psi_2=\cfrac{\alpha^2}{3(1-\alpha_c)}\\
\Psi_3=\cfrac{3}{4}\Psi_2+\cfrac{\alpha_c}{4}\\
\Psi_4=\cfrac{3}{2}\Psi_2-\cfrac{\alpha_c}{2}
\end{cases}  \tag{II.24} \label{II.24} \]

\[ \alpha_c=\alpha\operatorname{ctg}\alpha,
\qquad \alpha=\frac{\mu}{2} =\frac{\pi}{2}\sqrt{\bar{\Lambda}}.
\tag{II.25}
\label{II.25} \]

Dla rozważanego przypadku pojedynczego pręta zachodzi bowiem $ \bar{\Lambda}=\frac{N}{N_{cr}}$

Macierz sztywności belki-słupa (\ref{II.23}) wykorzystująca funkcje statecznościowe $\Psi_i$ należy do klasycznych rezultatów teorii stateczności konstrukcji prętowych. Jej rozwój związany jest przede wszystkim z pracami R. K. Livesleya i D. B. Chandlera (1956) [1] oraz późniejszą systematyzacją teorii przeprowadzoną przez J. S. Przemienieckiego (1968) [2]. Od czasu opublikowania tych prac macierz była wielokrotnie analizowana, weryfikowana oraz implementowana w programach wykorzystujących metodę sztywności i metodę elementów skończonych. Wieloletnie stosowanie tego modelu w analizie drugiego rzędu konstrukcji prętowych stanowi silne potwierdzenie jego poprawności teoretycznej i przydatności praktycznej.

W dalszej części przeprowadzona zostanie analiza asymptotyczna funkcji statecznościowych oraz wyznaczone zostaną współczynniki rozwinięć Taylora w funkcji parametru $\bar{\Lambda}$. Pozwoli to bezpośrednio porównać ścisłą teorię belki-słupa z kolejnymi przybliżeniami stosowanymi w analizie drugiego rzędu i teorii imperfekcyjnej.

Analiza asymptotyczna funkcji statecznościowych

W przypadku znajomości siły osiowej $N$ funkcje statecznościowe (\ref{II.25}) pozwalają wyznaczyć ścisłą sztywność elementu, a w konsekwencji również ścisłą sztywność geometrycznie nieliniową całego układu konstrukcyjnego. W klasycznych algorytmach MES siły osiowe są wielkościami poszukiwanymi, dlatego funkcje $\Psi_i$ wprowadzają nieliniowość i konieczność iteracyjnego rozwiązywania układu równań konstrukcji. W tym celu wygodnie jest rozwinąć funkcje statecznościowe w szereg Taylora względem parametru obciążenia. Klasyczne rozwinięcie jest podawane względem kwadratu parametru ściskania $\mu^2$ w postaci

\[  \begin{equation} \Psi_i \approx \sum_{j=0}^{4} C_{i,j} (\mu^2)^j \tag{II.26} \label{II.26} \end{equation} \]

gdzie:
$(i=1,2,3,4)$ – numer funkcji statecznościowej,
$(j=0,1,2,3,4)$ – numer wyrazu szeregu

Po pozostawieniu dwóch pierwszych wyrazów rozwinięcia w pobliżu $\alpha=0$ otrzymujemy

\[  \begin{cases}
\Psi_1 = 1-\cfrac{1}{10}\mu^2,\\
\Psi_2 = 1-\cfrac{1}{60}\mu^2,\\
\Psi_3 = 1-\cfrac{1}{30}\mu^2,\\
\Psi_4 = 1+\cfrac{1}{60}\mu^2.
\end{cases} \tag{II.27} \label{II.27} \] 

Wyrażenia (\ref{II.27}) stanowią pierwsze niezerowe przybliżenie ścisłych funkcji statecznościowych. Po podstawieniu ich do macierzy (\ref{II.23}) otrzymuje się klasyczną macierz geometryczną elementu prętowego stosowaną w analizie drugiego rzędu.

W analizach stateczności konstrukcji bardziej użyteczne jest przedstawienie funkcji statecznościowych jako funkcji globalnego mnożnika obciążenia $\bar{\Lambda}=\frac{\Lambda}{\Lambda_{cr}}$dla którego w rozważanym przypadku zachodzi zależność  $ \mu^2=\pi^2\bar{\Lambda}.$

W zależności od liczby zachowanych członów rozwinięcia (\ref{II.26}) mówimy o stopniu analizy MES. Człony zerowego rzędu ($j=0$) odpowiadają analizie I rzędu. Człony pierwszego rzędu ($j=1$) odpowiadają klasycznej analizie II rzędu (LBA), często nazywanej analizą P–Δ. Uwzględnienie kolejnych członów rozwinięcia prowadzi do analiz wyższych rzędów.

Rozwinięcia funkcji statecznościowych bezpośrednio względem mnożnika obciążenia konstrukcji $\bar{\Lambda}$ można zapisać w postaci

\[ \Psi_i \approx \sum_{j=0}^{4} D_{i,j}\,\bar{\Lambda}^{j}. \tag{II.28} \label{II.28}  \]

Ponieważ zachodzi zależność $\mu^2=\pi^2\bar{\Lambda}$, to współczynniki obu rozwinięć są związane relacją:

\[ D_{i,j}=C_{i,j}\pi^{2j}. \tag{II.29} \label{II.29} \]

Współczynniki $C_{i,j}$ odnoszą się do rozwinięcia względem parametru ściskania $\mu^2$, natomiast współczynniki $D_{i,j}$ do rozwinięcia względem globalnego mnożnika obciążenia $\bar{\Lambda}$. Funkcje statecznościowe mogą być interpretowane bezpośrednio jako funkcje stopnia wykorzystania nośności wyboczeniowej konstrukcji. Parametr $\bar{\Lambda}$ posiada jednoznaczną interpretację fizyczną i jest naturalnym parametrem stosowanym w analizie statecznościowej, analizie imperfekcyjnej oraz procedurach oceny nośności konstrukcji.

Współczynniki rozwinięcia można wyznaczyć przez rozwinięcie funkcji (\ref{II.25}) w szereg Taylora w punkcie $\bar{\Lambda}=0$. Otrzymane szeregi stanowią lokalne przybliżenie ścisłych funkcji statecznościowych i pozwalają analizować wpływ kolejnych rzędów nieliniowości geometrycznej na sztywność elementu. 
W tab. II.1 zestawiono współczynniki rozwinięcia Taylora funkcji statecznościowych $\Psi_i$ względem stopnia wykorzystania nośności wyboczeniowej $\bar{\Lambda}$. Dla pojedynczego pręta rozwinięcia te są równoważne rozwinięciom względem parametrów $\mu^2=\pi^2\bar{\Lambda}$ oraz $\alpha=\frac{\pi}{2}\sqrt{\bar{\Lambda}}$.

Tab. II.1. Współczynniki rozwinięcia Taylora funkcji statecznościowych $\Psi_i$ względem potęg mnożnika obciażenie $\bar{\Lambda}$

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline j & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
\hline \Psi_1 & 1 & -\dfrac{\pi^2}{10} & -\dfrac{\pi^4}{8400}
& -\dfrac{\pi^6}{75600} & -\dfrac{37\pi^8}{2328480000} \\
\hline \Psi_2 & 1 & -\dfrac{\pi^2}{60} & -\dfrac{\pi^4}{8400} & -\dfrac{\pi^6}{75600} & -\dfrac{37\pi^8}{2328480000}\\
\hline \Psi_3 & 1 & -\dfrac{\pi^2}{30} & -\dfrac{11\pi^4}{25200} & -\dfrac{\pi^6}{108000} & -\dfrac{509\pi^8}{2328480000} \\
\hline \Psi_4 & 1 & +\dfrac{\pi^2}{60} & +\dfrac{13\pi^4}{25200} & +\dfrac{11\pi^6}{756000} & +\dfrac{907\pi^8}{2328480000}\\
\hline \end{array} \]

Uwagi:
(1) Pozostawienie wyłącznie wyrazu zerowego odpowiada klasycznej analizie I rzędu,
(2) Uwzględnienie wyrazu liniowego prowadzi do klasycznej macierzy geometrycznej stosowanej w analizie II rzędu (LBA, P–Δ),
(3) Kolejne wyrazy szeregu tworzą systematyczne przybliżenia ścisłych funkcji statecznościowych,
(4) Rozwinięcie jest poprawne w otoczeniu punktu $\bar{\Lambda}=0$,
(5) Dokładność rozwinięcia maleje wraz ze wzrostem parametru $\bar{\Lambda}$, szczególnie w pobliżu stanu krytycznego,
(6) W granicy $\bar{\Lambda}\rightarrow 1$ zaleca się stosowanie pełnych funkcji $\Psi_i$ lub ścisłej macierzy sztywności,
(7) Klasyczna macierz geometryczna jest jedynie pierwszym niezerowym wyrazem rozwinięcia ścisłej macierzy sztywności belki-słupa,
(8) Rozwinięcie Taylora tworzy formalny pomost pomiędzy analizą P–Δ a ścisłą teorią geometrycznie nieliniowej sztywności elementu,
(9) Ta sama interpretacja zachowuje ważność zarówno dla pojedynczego elementu, jak i dla wieloprętowych modeli MES, jeżeli parametr $\bar{\Lambda}$ pochodzi z globalnego zagadnienia stateczności konstrukcji.

Wniosek:

Rozwinięcie Taylora funkcji statecznościowych względem mnożnika obciążenia $\bar{\Lambda}$ tworzy naturalne połączenie pomiędzy klasyczną analizą I rzędu, analizą P–Δ oraz ścisłą teorią belki-słupa. Poszczególne wyrazy szeregu można interpretować jako kolejne przybliżenia geometrycznie nieliniowej sztywności elementu. Parametr $\bar{\Lambda}$ posiada przy tym jednoznaczną interpretację fizyczną jako stopień wykorzystania nośności wyboczeniowej konstrukcji, dzięki czemu stanowi dogodną zmienną zarówno w analizie statecznościowej, jak i w teorii imperfekcyjnej.

Ugięcie belki ściskanej przed i w momencie utraty stateczności Eulera

Z zależności (\ref{II.7}), po podstawieniu wyznaczonych stałych całkowania oraz uporządkowaniu wyrażenia względem stopni swobody węzłowych, funkcję ugięcia belki-słupa można zapisać w postaci interpolacyjnej

\[ w(\xi)= \begin{bmatrix}
N_1(\xi) & N_2(\xi) & N_3(\xi) & N_4(\xi) \end{bmatrix}
\begin{Bmatrix} w_1\\ \varphi_1L\\ w_2\\ \varphi_2L \end{Bmatrix},
\tag{II.30} \label{II.30}\]

gdzie funkcje kształtu mają postać:

\[ N_1(\xi)= \frac{ 1-\cos\mu+\cos(\mu\xi)-\cos[\mu(1-\xi)] -\mu(1-\xi)\sin\mu} {\Theta}, \]

\[ N_2(\xi)= \frac{ \mu\xi+\mu(1-\xi)\cos\mu -\mu\cos[\mu(1-\xi)] -\sin\mu+\sin(\mu\xi)+\sin[\mu(1-\xi)]} {\Theta}, \]

\[N_3(\xi)= \frac{ 1-\cos\mu-\cos(\mu\xi)+\cos[\mu(1-\xi)] -\mu\xi\sin\mu } {\Theta}, \]

\[ N_4(\xi)= \frac{ -\mu(1-\xi)-\mu\xi\cos\mu +\mu\cos(\mu\xi) +\sin\mu-\sin(\mu\xi)-\sin[\mu(1-\xi)] } {\Theta},\]

przy czym

\[ \Theta=2(1-\cos\mu)-\mu\sin\mu. \tag{II.31} \label{II.31} \]

Funkcje (\ref{II.30}) stanowią ścisłe funkcje kształtu belki-słupa uwzględniające wpływ siły osiowej poprzez parametr ściskania $\mu$. W granicy $\mu\rightarrow 0$ przechodzą one w klasyczne wielomianowe funkcje Hermite’a stosowane w liniowej teorii belek.

W granicznym stanie krytycznym Eulera zachodzi \(\mu=\pi\) oraz \(\Theta=4\). Po podstawieniu tych zależności do funkcji ugięcia (\ref{II.30}) otrzymujemy ścisłą postać linii ugięcia w punkcie bifurkacyjnym:

\[ w(\xi)= \frac{1}{4} \left[ 2\Sigma w +\pi L\Sigma\varphi\,(2\xi-1) +\left(\pi L\Sigma\varphi-2\Delta w\right)\cos(\pi\xi) -2L\Delta\varphi\sin(\pi\xi) \right] \tag{II.32} \label{II.32} \]

gdzie:$\Sigma w=w_1+w_2, \qquad \Delta w=w_2-w_1,$
$ \Sigma\varphi=\varphi_1+\varphi_2, \qquad \Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1.$

Odpowiadająca funkcja kąta obrotu przekroju, otrzymana przez różniczkowanie zależności (\ref{II.32}) względem współrzędnej bezwymiarowej \(\xi\), ma postać:

\[ \frac{dw}{d\xi} = \frac{L}{4} \left[ 2\pi\Sigma\varphi -\pi\left(\pi\Sigma\varphi-\frac{2\Delta w}{L}\right)\sin(\pi\xi) -2\pi\Delta\varphi\cos(\pi\xi) \right]. \tag{II.33} \label{II.33} \]

Ponieważ \(\xi=x/L\), rzeczywisty kąt obrotu przekroju wynosi

\[ \varphi(\xi) = \frac{1}{L}\frac{dw}{d\xi} = \frac{\pi}{2}\Sigma\varphi -\frac{\pi}{4} \left( \pi\Sigma\varphi-\frac{2\Delta w}{L} \right) \sin(\pi\xi) -\frac{\pi}{2}\Delta\varphi\cos(\pi\xi). \tag{II.34} \label{II.34} \]

Z zależności (\ref{II.30}) wynika, że nawet dla pręta początkowo prostego niezerowe przemieszczenia lub obroty węzłowe prowadzą do powstania ugięcia pomiędzy węzłami. W praktyce oznacza to, że każda rzeczywista konstrukcja wykazująca imperfekcje geometryczne lub wymuszone przemieszczenia podporowe przyjmuje postać zakrzywioną jeszcze przed osiągnięciem stanu krytycznego.

Równanie (\ref{II.32}) opisuje rodzinę funkcji spełniających równanie belki-słupa dokładnie w punkcie bifurkacyjnym Eulera. Zależność ta została otrzymana przez bezpośrednie podstawienie warunku krytycznego \(\mu=\pi\) do ścisłego rozwiązania (\ref{II.30}). Ostateczna postać linii ugięcia zależy od warunków brzegowych reprezentowanych przez przemieszczenia i obroty węzłowe.

Maksymalne ugięcie pręta, czyli strzałka wygięcia, wystąpi w punkcie o współrzędnej

\[ \xi_{sup} = \pm \cfrac{1}{\mu} \operatorname{arccos}(\pm\Gamma) \tag{II.35} \label{II.35} \]

\[ \Gamma=\cfrac{1}{\sqrt{(C_3/C_4)^2+1}}. \]

Wyrażenie uzyskano przez przyrównanie do zera pierwszej pochodnej funkcji (\ref{II.30}). W rezultacie otrzymuje się cztery pierwiastki odpowiadające wszystkim kombinacjom znaków. Po odrzuceniu pierwiastków ujemnych jako fizycznie niemożliwych i po podstawieniu dodatniej współrzędnej (\ref{II.35}) do wzoru (\ref{II.30}) otrzymujemy strzałkę ugięcia pręta w zależności od warunków brzegowych wyrażonych stałymi całkowania \(C_3\) i \(C_4\). W przypadku symetrycznych warunków brzegowych strzałka ugięcia wystąpi w środku pręta i wyniesie</p>

\[ f=w(\xi=0.5) = \cfrac{1}{2} \left[ \Sigma w – \cfrac{\operatorname{tg}(\mu/4)\,\Delta\varphi\,L}{\mu} \right] \tag{II.36} \label{II.36} \]

W granicznym stanie krytycznym, dla \(\bar{\Lambda}=1\) oraz \(\mu=\pi\), strzałka ugięcia (\ref{II.36}) osiąga wartość

\[ f_{cr} = \cfrac{\Sigma w}{2} – \cfrac{\Delta\varphi\,L}{2\pi} \tag{II.37} \label{II.37} \]

Równanie (\ref{II.37}) określa strzałkę ugięcia odpowiadającą postaci wyboczeniowej w punkcie bifurkacyjnym Eulera. Wartość ($f_{cr}$) pozostaje skończona, ponieważ zależy wyłącznie od zadanych przemieszczeń i obrotów węzłowych. Nie oznacza to jednak, że odpowiedź konstrukcji na obciążenie zewnętrzne pozostaje ograniczona. W zagadnieniu równowagi przemieszczenia i obroty węzłowe są wyznaczane z układu równań konstrukcji i w pobliżu obciążenia krytycznego mogą dążyć do nieskończoności wskutek osobliwości macierzy sztywności. Równanie (\ref{II.37}) opisuje zatem geometrię postaci wyboczeniowej, a nie amplitudę przemieszczeń wynikającą z rozwiązania konkretnego zadania obciążeniowego.

Dla zerowej siły osiowej \(N=0\) zachodzi \(\mu=0\), zatem

\[ f_0 = \lim_{\mu\to 0} (\ref{II.36}) = \frac{\Sigma w}{2} – \frac{\Delta\varphi\,L}{8} \tag{II.38} \label{II.38} \]

co jest zgodne z rezultatem teorii I rzędu.

W przykładzie 1 i 2 rozważono trzy przypadki szczególne belek-słupów.

Wnioseki

Wyrażenia (\ref{II.32}) i (\ref{II.37}) wskazują, że w granicznym stanie krytycznym Eulera:
(1)w punkcie bifurkacyjnym Eulera funkcja ugięcia jest kombinacją funkcji liniowych oraz trygonometrycznych. Oznacza to, że postać wyboczeniowa należy do przestrzeni funkcji generowanej przez składniki stałe, liniowe oraz harmoniczne. Własność ta ma istotne znaczenie przy budowie funkcji aproksymacyjnych w metodzie Ritza i metodzie elementów skończonych, ponieważ uzasadnia stosowanie baz wielomianowych, trygonometrycznych oraz ich kombinacji do opisu zachowania konstrukcji w pobliżu punktu bifurkacji.
(2) strzałka ugięcia pręta pozostaje wielkością skończoną i niezerową.
Równanie (\ref{II.37}) prowadzi do istotnego wniosku dotyczącego interpretacji klasycznej teorii stateczności. W punkcie bifurkacyjnym Eulera [3], odpowiadającym wartości (\bar{\Lambda}=1), strzałka ugięcia pozostaje wielkością skończoną i jest jednoznacznie określona przez przemieszczenia oraz obroty węzłowe. Oznacza to, że samo osiągnięcie obciążenia krytycznego nie prowadzi do matematycznej osobliwości funkcji ugięcia ani do nieskończonych przemieszczeń konstrukcji. Obciążenie Eulera wyznacza punkt bifurkacji, w którym układ traci jednoznaczność rozwiązania i pojawia się możliwość przejścia na nową gałąź równowagi, nie stanowi jednak dowodu utraty zdolności przenoszenia obciążenia przez pręt. Konstrukcja może nadal pozostawać w stanie równowagi i przenosić obciążenia osiowe przy zmienionej konfiguracji geometrycznej.|
(4) Wynik pozostaje w pełnej zgodności z teorią nośności nadkrytycznej konstrukcji oraz z licznymi obserwacjami eksperymentalnymi. Badania prowadzone od początku XX wieku wykazały, że wiele układów prętowych, płytowych i powłokowych zachowuje zdolność przenoszenia obciążeń również po osiągnięciu obciążenia krytycznego Eulera. Szczególne znaczenie miały prace Heinza Wagnera dotyczące pracy nadkrytycznej cienkościennych elementów konstrukcyjnych oraz późniejsze uogólnienia teorii bifurkacji i stateczności opracowane przez Koitera. W teoriach tych obciążenie krytyczne nie jest utożsamiane ze zniszczeniem konstrukcji, lecz z utratą stabilności dotychczasowej gałęzi równowagi i pojawieniem się nowych możliwych stanów równowagi. Heinz Wagner — już w 1931 r. [4] wykazał, że po wyboczeniu cienkie środniki i płyty mogą nadal przenosić obciążenie dzięki pracy w stanie nadkrytycznym (teoria pola rozciąganego).  Theodore von Kármán i Hsue-Shen Tsien [5] pokazali, że po osiągnięciu obciążenia krytycznego możliwe są dalsze gałęzie równowagi, a zachowanie konstrukcji zależy od charakteru bifurkacji. Warner T. Koiter [6]  w pracy doktorskiej z 1945 r. stworzył ogólną teorię stateczności i zachowania nadkrytycznego konstrukcji sprężystych.

Imperfekcje zastępcze a mimosród słupów wspornikowych

Na rys. II.2. przedstawiono przebieg bezwymiarowego mimośrodu równoważnego 

\[ \bar e_{eq}=\frac{e_{eq}}{L}, \tag{II.38a} \]

wyznaczonego z warunku zgodności wychyleń wspornika obciążonego siłą poprzeczną \(H\) oraz wspornika obciążonego mimośrodowo siłą osiową \(F\) na mimośrodzie $e$.

Rys. II.2 Bezwymiarowy mimośród równoważny \(\bar e_{eq}=e_{eq}/L\) odpowiadający równoważności wychyleń wspornika obciążonego siłą poziomą \(H\) oraz wspornika obciążonego mimośrodowo siłą osiową \(F\).

Dla słupa wspornikowego mimośród równoważny nie jest wielkością stałą, lecz funkcją poziomu obciążenia osiowego oraz parametrów statecznościowych opisujących nieliniową pracę układu \[

e_{eq}=e_{eq}(\bar\Lambda,\bar C_\varphi). \tag{II.38b} \]

Oznacza to, że nie istnieje pojedyncza wartość mimośrodu zdolna do odtworzenia wpływu rzeczywistego obciążenia poprzecznego lub imperfekcji geometrycznej w całym zakresie pracy konstrukcji. Ścisła równoważność pomiędzy obciążeniem mimośrodowym i poprzecznym może występować jedynie lokalnie, dla określonego stanu pracy odpowiadającego konkretnej wartości parametru obciążenia

\[\bar\Lambda=\frac{N}{N_{cr}}. \tag{II.38c}\]

Problem ten został szczegółowo przeanalizowany w przykładzie P2a, gdzie wykazano, że wraz ze zmianą poziomu obciążenia osiowego zmienia się również wartość mimośrodu równoważnego. W konsekwencji imperfekcja zastępcza nie może być traktowana jako stała cecha geometryczna wspornika.
</p>

<p style=”text-align: justify;”>
Wynik ten ujawnia zasadniczą różnicę pomiędzy słupami wspornikowymi a prętami swobodnie podpartymi. W przypadku wspornika odpowiedź konstrukcji zależy nie tylko od geometrii imperfekcji, lecz również od aktualnego poziomu obciążenia osiowego. Oznacza to, że wyniki uzyskane dla prętów swobodnie podpartych nie mogą być bezpośrednio przenoszone na wsporniki.

Prowadzi to do istotnego wniosku dotyczącego praktyki projektowej. W wielu procedurach obliczeniowych, w szczególności w konstrukcjach żelbetowych projektowanych według PN-EN 1992-1-1, wpływ imperfekcji geometrycznych reprezentowany jest przez zastępczy mimośród działania siły ściskającej

\[ M=N\,e. \tag{II.38d} \]

W praktyce projektowej mimośród ten bywa dodatkowo interpretowany jako tzw. „mimośród niezamierzony”, traktowany jako równoważnik początkowej krzywizny słupaoraz integrujący inne imperfekcji geometrycznych słupa. 
Przedstawiona analiza pokazuje jednak, że takie utożsamienie nie posiada uzasadnienia mechanicznego. Imperfekcja geometryczna jest cechą konstrukcji istniejącą przed przyłożeniem obciążenia, natomiast mimośród działania siły jest parametrem obciążenia. Są to dwa różne zjawiska fizyczne, które jedynie w szczególnych przypadkach mogą prowadzić do podobnych efektów statycznych.

W przypadku wsporników równoważność taka nie ma charakteru ogólnego. Jeżeli wartość mimośrodu zastępczego zależy od poziomu obciążenia osiowego $ e=e(\bar\Lambda)$, to nie może być uznana za rzeczywistą reprezentację imperfekcji geometrycznej. Wielkość opisująca geometrię konstrukcji nie powinna bowiem zależeć od wartości przyłożonego obciążenia.

Z tego punktu widzenia koncepcja „mimośrodu niezamierzonego” stosowana jako uniwersalny model imperfekcji wspornika budzi zasadnicze wątpliwości. Otrzymane wyniki pokazują, że pojedyncza wartość mimośrodu nie jest w stanie poprawnie opisać zachowania wspornika w całym zakresie pracy konstrukcji, a jej wartość zależy od aktualnego stanu naprężenia i poziomu obciążenia.

Pomiędzy wspornikami a prętami swobodnie podpartymi zachodzi różnica ideowa, która nie pozwala prznosic wyników uzyskanych dla przypadku podstawoweg – belki swobodnie podpartej. W przypadku wspornika zmiana poziomu obciążenia osiowego prowadzi do zmiany wymaganej wartości mimośrodu równoważnego, co oznacza, że imperfekcja zastępcza nie może być traktowana jako stała cecha geometryczna konstrukcji. W konsekwencji procedury projektowe wykorzystujące pojedynczy mimośród zastępczy powinny być stosowane z dużą ostrożnością. Dotyczy to w szczególności słupów wspornikowych projektowanych według normy PN-EN 1992-1-1, gdzie imperfekcje geometryczne są często reprezentowane przez zastępczy mimośród działania siły ściskającej.

Funkcjonał Lagrange’a belki-słupa  Bernoulli

Energia potencjalna belki-słupa w naprężeniach i przemieszczeniach

Przedstawimy rozwiązanie klasycznej belki Bernoulli-Euler obciążonej rozłożonym obciążeniem poprzecznym $q(x)$, a także ściskanej siłą osiową $N(x)$ oraz poddanej działaniu skupionych obciążeń poprzecznych $[V,H,M](x_k)$ zlokalizowanych w punkcie o współrzędnej $x_k$. Indeks $k$ oznacza, w zależności od kontekstu, miejsce przyłożenia podpory skupionej lub obciążenia skupionego.

Powszechnie znaną zależność na gęstość energii potencjalnej ciała sprężystego zapiszmy w postaci [7]:

\[ \Phi= \cfrac{1}{2E} \left\{ \sigma_x^2+\sigma_y^2+\sigma_z^2 -2\nu(\sigma_x\sigma_y+\sigma_x\sigma_z+\sigma_y\sigma_z) +2(1+\nu)(\tau_{xy}^2+\tau_{xz}^2+\tau_{yz}^2) \right\} \tag{II.39} \label{II.39} \]

gdzie w celu zwiększenia czytelności zastosowano symbole klasyczne $(x,y,z)$ zamiast zwykle stosowanego zapisu wskaźnikowego.

W przypadku zginania poprzecznego wzór ten znacznie upraszcza się. Ponieważ wpływ naprężeń $\sigma_y$, $\tau_{xz}$ oraz $\tau_{yz}$ jest pomijalnie mały, przyjmuje się, że różne od zera są jedynie naprężenia $\sigma_x$ oraz $\tau_{xy}$.

W podejściu klasycznym Bernoulli-Euler pomija się również wpływ naprężeń $\tau_{xy}$ na przemieszczenia i energię potencjalną. Wpływ naprężeń stycznych uwzględnimy w rozdziale dotyczącym belki Timoshenko. Przy poczynionych założeniach upraszczających energia potencjalna belki zginanej wynosi

\[ \Pi_\sigma = \iiint\limits_V \Phi\,dV = \cfrac{1}{2E} \iiint\limits_V \sigma_x^2\,dV \tag{II.40} \label{II.40} \]

Energię (\ref{II.40}) wyrazimy przez siły przekrojowe, a następnie przez przemieszczenia. Zachodzi

\[ \sigma_x = -\cfrac{N}{A} + \cfrac{M(x)}{I_y}\,z \tag{II.41} \label{II.41} \]

gdzie: $A$ – pole przekroju pręta, $I_y$ – moment bezwładności przekroju względem osi głównej $y$, $z$ – odległość punktu przekroju od osi głównej. Dalej moment bezwładności oznaczamy bez indeksu.

W przypadku przeważającego zginania wpływ energii od siły osiowej $N$ na minimum funkcjonału jest zwykle niewielki. Jednak wraz ze wzrostem stopnia wykorzystania nośności wyboczeniowej $\bar{\Lambda}$ wpływ siły ściskającej staje się dominujący i prowadzi do efektów drugiego rzędu oraz utraty stateczności. Zjawiska te zostaną uwzględnione w dalszej części opracowania.

Całkę w równaniu (\ref{II.40}) przekształcimy tak, aby otrzymać energię wyrażoną przez przemieszczenia.

Ponieważ zachodzi związek pomiędzy momentem zginającym a krzywizną

\[ M(x) = -EI\,w”(x) \tag{II.42} \label{II.42} \]

więc mamy

\[ \Pi_\sigma = \iiint\limits_V \cfrac{1}{2E} \left[ -\cfrac{EI\,w”(x)}{I}\,z \right]^2 dV = \cfrac{E}{2} \iiint\limits_V [w”(x)]^2 z^2\,dV = \]

\[ \cfrac{E}{2} \int\limits_0^L [w”(x)]^2\,dx \cdot \iint\limits_A z^2\,dA = \cfrac{EI_y}{2} \int\limits_0^L [w”(x)]^2\,dx \tag{II.43} \label{II.43} \]

Praca zewnętrznych sił poprzecznych

Praca zewnętrznych sił poprzecznych $q(x)$ oraz momentów zginających $m(x)$ rozłożonych na długości belki wynosi

\[L_q= \int\limits_0^L \left[ q(x)\,w(x) + m(x)\,w'(x) \right] dx \tag{II.44} \label{II.44} \]

Obciążenia skupione zlokalizowane w punkcie $x_k$ można zapisać za pomocą funkcji Diraca w postaci

\[ Q_k(x)=Q_k\,\delta(x-x_k), \qquad M_k(x)=M_k\,\delta(x-x_k) \tag{II.45} \label{II.45} \]

gdzie $\delta(x-x_k)$ jest funkcją Diraca reprezentującą siłę lub moment skupiony przyłożony w punkcie $x_k$. Formalnie funkcja Diraca  dla dowolnej funkcji ciągłej $f(x)$. pełnia zależność

\[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, \delta(x-x_k)\,dx = f(x_k) \tag{II.46} \label{II.46} \]

Własność (\ref{II.46}) powoduje, że całkowanie obciążenia skupionego po długości pręta prowadzi do wartości funkcji przemieszczeń obliczonej dokładnie w punkcie przyłożenia siły lub momentu.

Po uwzględnieniu obciążeń skupionych równanie pracy sił zewnętrznych przyjmuje postać

\[ L_q= \int\limits_0^L \left[ q(x)\,w(x) + m(x)\,w'(x) \right] dx + \sum_k \left[ Q_k\,w(x_k) + M_k\,w'(x_k) \right] \tag{II.47} \label{II.47} \]

Pierwsza całka opisuje pracę obciążeń ciągłych rozłożonych na długości elementu, natomiast suma uwzględnia pracę sił skupionych i momentów skupionych przyłożonych w punktach dyskretnych.

W dalszej części opracowania zapis z wykorzystaniem funkcji Diraca będzie wykorzystywany do reprezentacji obciążeń skupionych, podpór sprężystych oraz innych oddziaływań skoncentrowanych w pojedynczych punktach konstrukcji.

Efekt drugiego rzędu P-Δ. Praca siły ściskającej N

W przypadku belki obciążonej siłą osiową $N$ pojawia się dodatkowy składnik energii związany z geometryczną zmianą położenia osi pręta. Jest to tzw. efekt drugiego rzędu $P-\Delta$, wynikający z pracy wykonywanej przez siłę osiową podczas ugięcia elementu. W celu wyznaczenia tej pracy w niniejszym artykule rozważmy elementarny odcinek belki pokazany na rys. II.2.

Rys. II.3. Interpretacja geometryczna efektu drugiego rzędu P–Δ i pracy osiowej siły ściskające $N$

Analizujemy odcinek $dx$ belki. Ugięcie powoduje przemieszczenie punktów końcowych do położenia $dx’$. Pozioma odległość $\Delta(dx)$ pomiędzy punktem przed i po ugięciu, na której pracuje siła osiowa $N$, wynosi

\[ \Delta(dx) = dx-dx’ = dx-\sqrt{(dx)^2-\left(\cfrac{dw}{dx}dx\right)^2} = dx\left[1-\sqrt{1-(w’)^2}\right] \tag{II.48}\label{II.48} \]

Po rozwinięciu w szereg Maclaurina ostatniego pierwiastka w równaniu (\ref{II.48}) i pozostawieniu pierwszego nieliniowego wyrazu szeregu otrzymujemy aproksymację stanowiącą podstawę teorii drugiego rzędu całej mechaniki konstrukcji

\[ \Delta(dx) \approx dx \left[ 1- \left( 1-\cfrac{1}{2}(w’)^2 +\cfrac{1}{8}(w’)^4 -\ldots \right) \right] \approx \cfrac{1}{2}(w’)^2\,dx \tag{II.49} \label{II.49} \]

W rezultacie praca osiowej siły ściskającej wynosi

\[ L_N = \int\limits_0^L N\,\Delta(dx) = \int\limits_0^L \cfrac{N}{2} [w'(x)]^2\,dx \tag{II.50} \label{II.50} \]

Praca sił odporu podłoża i podpór sprężystych

Siły odporu $q_z(x)$ są reakcją podłoża $r(x)$ na nacisk belki. Z definicji zależą one bezpośrednio od przemieszczenia $w(x)$ zgodnie z zależnością

\[q_z(x) = -r(x) = -c(x)\,w(x) \tag{II.51} \label{II.51} \]

gdzie znak minus wynika z faktu, że siły odporu są przeciwnie skierowane do ugięcia.

Na rys. II.4pokazano odpór pionowy $v$ podłoża o stałej sprężystości $c^v$ (małe $c$) oraz odpór obrotowy $m$ podłoża o stałej sprężystości $c^m$. Analogicznie można zdefiniować odpór poziomy $h$ podłoża o stałej sprężystości $c^h$.

Rys. II,4 Siły odporu sprężystego podłoża

Reakcje skupionych podpór sprężystych otrzymujemy przez połączenie zależności (\ref{II.51}) z zapisem obciążeń skupionych za pomocą funkcji Diraca (\ref{II.45}). Dla podpory pionowej i obrotowej otrzymujemy

\[ q_k = -{C_k}^V\,w(x)\,\delta(x-x_k), \qquad m_k = -{C_k}^M\,w'(x)\,\delta(x-x_k) \tag{II.52} \label{II.52} \]

Rys. II.5 Reakcje od punktowej podpory sprężystej pionowej i obrotowej

Nadając przyrosty przemieszczenia $w(x)$, nadajemy jednocześnie przyrosty siłom odporu. Zapisując pracę wirtualną sił odporu w postaci

\[ \delta L_c = -\int\limits_0^L [-r(x)] \,\delta w(x)\,dx = -\int\limits_0^L c\,w(x)\,\delta w(x)\,dx \tag{II.53} \label{II.53} \]

widzimy, że nie ma możliwości wyłączenia znaku wariacji przed całkę. Można to zrobić dopiero po zapisaniu całki w postaci

\[ \delta L_c = -\int\limits_0^L c\cdot\cfrac{1}{2} \, \delta[w^2(x)] \,dx = -\delta \int\limits_0^L \cfrac{c}{2} \,w^2(x)\,dx \tag{II.54} \label{II.54} \]

Po opuszczeniu znaku wariacji otrzymujemy wyrażenie na energię potencjalną odkształcenia podłoża sprężystego

\[ L_c = \int\limits_0^L \cfrac{c}{2} \,w^2(x)\,dx \tag{II.55} \label{II.55} \]

Analogiczne wyrażenia dla skupionych podpór sprężystych otrzymujemy po podstawieniu zależności (\ref{II.52}) do wzoru (\ref{II.55}).\]

Analizujemy odcinek $dx$ belki. Ugięcie powoduje przemieszczenie punktów końcowych do położenia $dx’$. Pozioma odległość $\Delta(dx)$ pomiędzy punktem przed i po ugięciu, na której pracuje siła $N$, wynosi:

\[ \Delta(dx) = dx-dx’ = dx-\sqrt{(dx)^2-\left(\cfrac{d w}{d x}dx\right)^2} = dx\left[1-\sqrt{1-(w’)^2}\right] \tag{II.56}\label{II.56}\]

Po rozwinięciu w szereg Maclaurina ostatniego pierwiastka w ($\ref{61}$) i pozostawieniu pierwszego nieliniowego wyrazu szeregu otrzymujemy aproksymację, która jest podstawą teorii drugiego rzędu całej mechaniki konstrukcji:

\[ \Delta(dx) \approx dx \left[ 1- \left( 1-\cfrac{1}{2}(w’)^2+\cfrac{1}{8}(w’)^4-\ldots \right) \right] \approx \cfrac{1}{2}(w’)^2\,dx \\tag{II.57}\label{II.57}\]

W rezultacie praca siły podłużnej ściskającej wynosi:

\[ L_N = \int\limits_0^L N\cdot\Delta(dx) = \int\limits_0^L \cfrac{N}{2}[w'(x)]^2\,dx \tag{II.58}\label{II.58}\]

Funkcjonał Lagrange’a belki Bernoulli

Ostatecznie funkcjonał Lagrange’a dla belki Bernoulli ściskanej siłą osiową $N$, na podłożu sprężystym i podporach sprężystych zapiszemy w postaci:

\[ \Pi= \int\limits_0^L \left[ \cfrac{EI_y}{2}[w”(x)]^2 – \cfrac{N(x)}{2}[w'(x)]^2 + \cfrac{c^v(x)}{2}[w(x)]^2 – q(x)w(x) \right] dx + \sum_k \left[ \cfrac{{C_k}^v}{2}[w(x_k)]^2 + \cfrac{{C_k}^M}{2}[w'(x_k)]^2 – V_k w(x_k) – M_k w'(x_k) \right] \tag{II.59}\label{II.59} \]

Poszukiwanie punktu stacjonarnego funkcjonału (\ref{II.47}) można przeprowadzić dowolną metodą wariacyjną, na przykład metodą Ritza, również w postaci jej implementacji w metodzie elementów skończonych.

Minimalizacja funkcjonału Lagranga metodą Ritza

W metodzie Ritza poszukuje się funkcji realizującej minimum funkcjonału (\ref{II.59}) w pewnej klasie funkcji aproksymujących, najczęściej w postaci wielomianów lub szeregów Fouriera.

\[ w(x)=\varphi_0(x)+\sum \limits_{i=1} \limits ^{n} a_i \cdot \varphi_i(x) \tag {II,60} \label{II,60} \]

gdzie $a_i$ są nieznanymi współczynnikami aproksymacji, natomiast $\varphi_i(x)$ są funkcjami bazowymi. Funkcja $\varphi_0(x)$ uwzględnia niejednorodne warunki brzegowe, zaś funkcje bazowe $\varphi_i(x)$ powinny spełniać odpowiadające im jednorodne warunki kinematyczne. W przypadku jednorodnych warunków brzegowych można przyjąć $\varphi_0(x)=0$.

Ponadto funkcje bazowe powinny być liniowo niezależne. Oznacza to, że żadnej z funkcji $\varphi_i(x)$ nie można przedstawić jako kombinacji liniowej pozostałych funkcji zbioru. Formalnie warunek liniowej niezależności oznacza, że równość

\[ \sum \limits_{i=1} \limits^{n} c_i \varphi_i(x)=0 \tag {II,60a} \label{II,60a} \]

spełniona dla każdego punktu przedziału rozważania zachodzi wyłącznie wtedy, gdy $c_1=c_2=\ldots=c_n=0.$. Warunek ten gwarantuje, że każda funkcja bazowa wnosi do aproksymacji nową informację, a otrzymany układ równań Lagranga-Ritza posiada jednoznaczne rozwiązanie.

Układ kanoniczny równań Lagranga-Ritza dla belek

Funkcje bazowe $\varphi_i(x)$ w równaniu (\ref{II,60}) mogą być dobierane w sposób dowolny, pod warunkiem że są kinematycznie dopuszczalne, tj. spełniają kinematyczne warunki brzegowe zagadnienia.

Należy zauważyć, że oznaczenie $\varphi_i(x)$ funkcji bazowych jest podobne do oznaczenia obrotu przekroju $\varphi$. Symbol ten należy interpretować zależnie od kontekstu.

Podstawiając aproksymację (\ref{II,60}) do funkcjonału (\ref{II.59}), otrzymujemy funkcjonał energii całkowitej $\Pi$, który staje się funkcją nieznanych współczynników $a_i$. Warunek konieczny istnienia minimum funkcjonału ma postać

\[ \cfrac{\partial \Pi}{\partial a_j}=0 \quad , \quad (j=1,2,\ldots,n) \tag{II,61} \label{II,61} \]

Różniczkując funkcjonał (\ref{II.59}) z uwzględnieniem aproksymacji (\ref{II,60}) względem współczynników $a_j$ i przyrównując otrzymane pochodne do zera zgodnie z warunkiem (\ref{II,61}), po wykonaniu prostych przekształceń otrzymujemy układ równań liniowych

\[ \sum \limits_{i=1} \limits^{n} a_i \delta_{ij} = \Delta_{Fj} \quad , \quad (j=1,2,\ldots,n) \tag{II,62} \label{II,62} \]

gdzie współczynniki $\delta_{ij}$ określone są zależnością

\[ \delta_{ij} \stackrel{\rm def}{=} \int \limits_{0} \limits^{L} \left[ EI_y \left( \varphi”_{i}(x)\varphi”_{j}(x) + \cfrac{EI_y}{GA_z} \varphi”’_{i}(x)\varphi”’_{j}(x) \right) – N\,\varphi’_{i}(x)\varphi’_{j}(x) + c^{V}\varphi_{i}(x)\varphi_{j}(x) \right]dx +\\ \sum \limits_{k} \left[ C^{V}_{k}\varphi_{i}(x_k)\varphi_{j}(x_k) + C^{M}_{k}\varphi’_{i}(x_k)\varphi’_{j}(x_k) \right]
\tag{II,63} \label{II,63}\]

a wyrazy wolne określone są zależnością

\[ \Delta_{Fj} \stackrel{\rm def}{=} \int \limits_{0}^{L} q(x)\varphi_{j}(x)\,dx + \sum \limits_{k} V_k\varphi_{j}(x_k) + \sum \limits_{k} M_k\varphi’_{j}(x_k) \tag{II,64} \label{II,64}\]

Współczynniki $a_i$ stanowią uogólnione współrzędne przyjętej aproksymacji. W przypadku funkcji kształtu stosowanych w metodzie elementów skończonych mogą być one interpretowane jako przemieszczenia i obroty węzłów elementu, tj. przemieszczenia podłużne $u_i$, poprzeczne $w_i$ oraz obroty $\varphi_i$.

Przy tych oznaczeniach otrzymujemy układ równań liniowych

\[ \sum \limits_{i=1} \limits^{n} a_i \cdot \delta_{ij} = \Delta_{Fj} \quad , \quad (j=1,2,\ldots,n) \tag{II,65} \label{II,65} \]

gdzie:
$a_i$ – $i$-ty współczynnik aproksymacji (uogólniona współrzędna układu),
$\delta_{ij}$ – element macierzy współczynników układu równań,
$\Delta_{Fj}$ – $j$-ta składowa wektora obciążeń uogólnionych,
$i$ – indeks sumowania numerujący funkcje bazowe,
$j$ – indeks numerujący równania układu,
$n$ – liczba funkcji bazowych, a zarazem liczba niewiadomych współczynników aproksymacji.

Z układu (\ref{II,65}) wyznacza się współczynniki $a_i$.

Równania (\ref{II,65}) stanowią kanoniczny układ równań Lagranga-Ritza dla belek. Układ ten ma strukturę analogiczną do klasycznych równań mechaniki konstrukcji występujących w metodzie sił, metodzie przemieszczeń oraz metodzie elementów skończonych. Stanowi to teoretyczne uzasadnienie tych metod obliczeniowych oraz wyjaśnia ich wspólne podstawy energetyczne.

Macierzowe ujęcie  równań Lagranga-Ritza

Układ równań (\ref{II,65}) można przedstawić w zwartej postaci macierzowej

\[ [\delta] \{a\} =\{\Delta_F \} \tag{II,66} \label{II,66}\]

gdzie

$ [ \delta] = \begin{bmatrix} 
\delta_{11} & \delta_{12} & \cdots & \delta_{1n}\\
\delta_{21} & \delta_{22} & \cdots & \delta_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\delta_{n1} & \delta_{n2} & \cdots & \delta_{nn}\\
\end{bmatrix}\tag{II,67} \label{II,67}$
\[  \{a\}=\begin{Bmatrix} a_1\ a_2\ \vdots\ a_n \end{Bmatrix}\]
$ \{\Delta_F \}= \begin{Bmatrix} \Delta_{F1}\ \Delta_{F2}\ \vdots\ \Delta_{Fn} \end{Bmatrix}\tag{II,68} \label{II,68} $

Macierz $[\delta]$ jest macierzą sztywności uogólnionej metody Ritza. Jej elementy opisują wzajemne oddziaływanie funkcji bazowych poprzez energię odkształcenia układu. Wektor ${a}$ zawiera poszukiwane współczynniki aproksymacji, natomiast wektor ${\Delta_F}$ reprezentuje obciążenia uogólnione odpowiadające przyjętemu układowi funkcji bazowych. 
Jeżeli funkcjonał energii potencjalnej jest dodatnio określony, macierz $[\delta] $ jest symetryczna oraz nieosobliwa, dzięki czemu rozwiązanie układu jest jednoznaczne. Współczynniki aproksymacji wyznacza się z zależności

\[ \{a\}= [\delta]^{-1} \{\Delta_F \} \tag{II,68} \label{II,68}

Po wyznaczeniu wektora współczynników $\{a\}$ przybliżona linia ugięcia belki przyjmuje postać

\[ w(x)=\sum_{i=1}^{n} a_i \phi_i(x) \tag{II,69} \label{II,69}\]

Tak sformułowane równania są formalnie identyczne z układem równań równowagi stosowanym w metodzie elementów skończonych

$[K] \{q\}= \{P\}$ \tag{II,70} \label{II,70}

gdzie rolę macierzy sztywności konstrukcji $[K]$ pełni macierz $[\delta]$, rolę wektora przemieszczeń węzłowych ${q}$ pełni wektor współczynników aproksymacji ${a}$, natomiast rolę wektora obciążeń ${P}$ pełni wektor obciążeń uogólnionych ${\Delta_F}$. Pokazuje to, że metoda elementów skończonych może być interpretowana jako szczególny przypadek metody Ritza, w którym funkcje aproksymujące przyjmują postać funkcji kształtu elementów skończonych.

Interpretacja macierzy współczynników metody Ritza

W przypadku liniowej teorii sprężystości element macierzy współczynników określony jest zależnością

\[ \delta_{ij}=EI\int_0^L \phi_i”(x)\phi_j”(x),dx \tag{II,71} \label{II,71}\]

co pozwala zapisać macierz układu w postaci

\[ [\delta]=[K_e]\tag{II,72} \label{II,72}\]

gdzie $[K_e]$ jest macierzą sztywności sprężystej odpowiadającą energii odkształcenia przy zginaniu belki.

W zagadnieniach nieliniowych geometrycznie do funkcjonału energii potencjalnej dochodzi składnik związany z siłą osiową. Wówczas elementy macierzy układu można przedstawić jako sumę dwóch części

\[ \delta_{ij}=k_{e,ij}+k_{g,ij} \tag{II,73} \label{II,73} \]

gdzie

\[ k_{e,ij}=EI\int_0^L \phi_i”(x)\phi_j”(x),dx\tag{II,74} \label{II,74}\]

oraz

\[ k_{g,ij}=-N\int_0^L \phi_i'(x)\phi_j'(x),dx \tag{II,75} \label{II,75}\]

Po zgrupowaniu wszystkich współczynników otrzymujemy

\[  [\delta]=[K_e]+[K_g] \tag{II,76} \label{II,76}\]

gdzie:
$[K_e]$ – macierz sztywności sprężystej,
$[K_g]$ – macierz sztywności geometrycznej.

Układ równań Lagranga-Ritza przyjmuje wówczas postać

\[ ([K_e]+[K_g]){a}={\Delta_F}\tag{II,77} \label{II,77}\]

W przypadku zagadnienia stateczności, gdy obciążenie osiowe zapisuje się w postaci

$N=\Lambda N_0$

otrzymujemy

\[ [K_g]=-\Lambda[K_{g0}] \tag{II,78} \label{II,78}\]

a równanie równowagi można przedstawić jako

\[ ([K_e]-\Lambda[K_{g0}]){a}={\Delta_F}\tag{II,79} \label{II,79}\]

Dla zagadnienia wyboczenia klasycznego pomija się obciążenia poprzeczne, czyli

${\Delta_F}={0}$

co prowadzi do jednorodnego układu równań

$([K_e]-\Lambda[K_{g0}]){a}={0}$

Warunek istnienia rozwiązania niezerowego ma postać

$\det([K_e]-\Lambda[K_{g0}])=0$

Jest to równanie własne stateczności konstrukcji. Wartości własne $\Lambda$ wyznaczają mnożniki obciążenia krytycznego, natomiast odpowiadające im wektory ${a}$ określają postacie wyboczenia.

Takie przedstawienie pokazuje, że macierze sztywności sprężystej i geometrycznej pojawiają się w metodzie Ritza w sposób całkowicie analogiczny jak w metodzie elementów skończonych, a różnica sprowadza się jedynie do wyboru funkcji aproksymujących.

Uogólnienie teorii belki na elementy krzywoliniowe

Funkcjonał (\ref{II.47}) stanowi kompletne energetyczne sformułowanie belki Bernoulli-Eulera uwzględniające zginanie, ściskanie osiowe, efekt drugiego rzędu P–Δ, podłoże sprężyste oraz podpory sprężyste. Wyprowadzenie to opiera się jednak na założeniu, że oś elementu w stanie początkowym jest linią prostą.

Macierz podatności elementu z imperfekcją geometryczną

Przedstawione wcześniej sformułowanie energetyczne odnosi się do elementu o osi początkowo prostoliniowej. W praktyce inżynierskiej założenie takie stanowi jedynie idealizację, ponieważ rzeczywiste elementy konstrukcyjne zawsze wykazują pewne odchylenia od geometrii nominalnej.

Ogólna procedura wyznaczania macierzy podatności elementów krzywoliniowych została przedstawiona przez Livesleya [Livesley R.K. (1975), Matrix Methods of Structural Analysis, 2nd Edition, Pergamon Press, Oxford, rozdz. 3.6]. W najogólniejszym przypadku geometria elementu opisywana jest funkcjami parametrycznymi osi środkowej, natomiast współczynniki macierzy podatności wyznaczane są na podstawie energii odkształcenia oraz twierdzenia Castigliano.

Rys. II.6 Belka krzywoliniowa, b) sinusoidalna stanowiąca imperefekcję geometryczną (opracowano na podstawie pracy [8]

W teorii imperfekcyjnej pełne sformułowanie ogólne nie jest jednak konieczne. Znacznie bardziej interesujące jest prześledzenie tej samej procedury dla geometrii odpowiadającej początkowemu wygięciu pręta. Pozwala to bezpośrednio ocenić wpływ imperfekcji geometrycznej na podatność, sztywność oraz stateczność elementu.

W dalszych rozważaniach ograniczymy się do imperfekcji opisanej funkcją sinusoidalną zgodną z pierwszą postacią wyboczeniową pręta przegubowo podpartego. Wybór taki nie oznacza, że rzeczywiste imperfekcje mają przebieg sinusoidalny. Jest to model obliczeniowy odpowiadający składowej imperfekcji wywierającej największy wpływ na utratę stateczności.
Rzeczywiste imperfekcje geometryczne powstają w procesie produkcji, transportu, montażu oraz eksploatacji konstrukcji. Mają one charakter losowy i mogą przyjmować praktycznie dowolny przebieg geometryczny. W ogólnym przypadku imperfekcja rzeczywista stanowi superpozycję wielu składowych o różnych amplitudach i długościach fal. W analizie stateczności największe znaczenie posiada jednak składowa zgodna z pierwszą postacią wyboczeniową. To właśnie ona ulega najsilniejszemu wzmocnieniu pod wpływem ściskania i odpowiada kierunkowi najszybszego obniżania obciążenia krytycznego. Z tego względu w teorii imperfekcyjnej oraz w normach projektowych stosuje się imperfekcje zastępcze, których kształt nawiązuje do odpowiednich postaci wyboczeniowych konstrukcji.
Podejście takie stanowi świadome uproszczenie prowadzące do modeli konserwatywnych. Nie ma ono na celu wiernego odwzorowania rzeczywistej geometrii elementu, lecz uchwycenie dominującego mechanizmu odpowiedzialnego za utratę stateczności. W tym sensie przyjmowane w obliczeniach kształty imperfekcji są związane z postaciami własnymi układu.

Przykłady 

Przykład 1 [ Nieliniowa geometrycznie belka wolnodparta]

Przeprowadzić analizę nieliniową geometrycznie belki wolnopodpartej ze sprężystą podporą pionową w węźle 2 (rys. II.1b), ściskanej osiowo 

Warunki brzegowe i zmodyfikowana macierz sztywności

Warunki podporowe dla belki przedstawionej na rys. II.1b mają postać

\[ u_1=0, \qquad w_1=0, \qquad V_2=-C_{\Delta}w_2, \tag{II.P1.1}\]

gdzie \(C_{\Delta}\) oznacza sztywność pionowej podpory sprężystej w węźle 2.

Warunek \(u_1=0\) eliminuje przemieszczenie podłużne w podporze lewej, natomiast warunek \(w_1=0\) eliminuje przemieszczenie pionowe. Zależność $ V_2=-C_{\Delta}w_2$ opisuje reakcję podpory sprężystej zgodnie z prawem Hooke’a.  Wprowadza się bezwymiarowy parametr sztywności podpory

\[ \bar C_{\Delta}=\frac{C_{\Delta}L^3}{EI}. \tag{II.P1.2}\]

Dla \(\bar C_{\Delta}=0\) otrzymujemy klasyczną belkę wolnopodpartą, natomiast dla \(\bar C_{\Delta}\rightarrow\infty\) podpora zachowuje się jak podpora nieprzemieszczalna w kierunku pionowym.

Ponieważ analizowany system konstrukcyjny składa się z pojedynczego elementu belkowego, globalna macierz sztywności układu jest identyczna z macierzą sztywności elementu

\[ [K]=[k]^{(e)}, \tag{II.P1.3}\]

gdzie \([k]^{(e)}\) określono równaniem (\ref{II.23}).

Uwzględnienie warunków brzegowych można przeprowadzić poprzez  eliminację stopni swobody \(u_1\) oraz \(w_1\) ospowiadajacych podporom stałym . Warunek sprężystego podparcia prowadzi do zwiększenia współczynnika sztywności odpowiadającego przemieszczeniu \(w_2\) o dodatkowy składnik wynikający ze sztywności podpory. W konsekwencji wektor niewiadomych przemieszczeń przyjmuje postać

\[ \{q\} = \begin{Bmatrix} \varphi_1 & u_2 & w_2 & \varphi_2 \end{Bmatrix}^{T}, \tag{II.P1.4}\]

a zmodyfikowana macierz sztywności układu wynosi

\[ [\tilde K] = \frac{EI}{L^3} \begin{bmatrix} 4L^2\Psi_3 & 0 & -6L\Psi_2 & 2L^2\Psi_4 \\[3mm]
0 & \dfrac{EA\,L^2}{EI} & 0 & 0 \\[3mm]
&  & 12\Psi_1+\bar C_{\Delta} & -6L\Psi_2 \\[3mm]
& SYM  & -6L\Psi_2 & 4L^2\Psi_3 \end{bmatrix}. \tag{II.P1.5}\]

gdzie (\bar C_\Delta) jest bezwymiarową sztywnością podpory zdefiniowaną równaniem (II.P1.2).

Odwrotność macierzy zmodyfikowanej

W celu wyznaczenia przemieszczeń przywęzłowych od zadanych obciążeń konieczne jest odwrócenie zmodyfikowanej macierzy sztywności. Po wykonaniu operacji odwrócenia macierzy \([\widetilde K]\) oraz uporządkowaniu otrzymanych wyrażeń względem funkcji statecznościowych otrzymujemy macierz podatności układu w postaci

\[ [\widetilde K]^{-1} = \frac{L}{EI\,\Theta} \begin{bmatrix}
k_{11} & 0 & 3L \Psi_2 & k_{14}\\[2mm]
0 & \dfrac{\Theta}{EA} & 0 & 0\\[2mm]
&  & L^2(2\Psi_3+\Psi_4) & 3L\Psi_2\\[2mm]
 & SYM & & k_{11}
\end{bmatrix}, \tag{II.P1.7}\]

gdzie:
$ k_{11} = \cfrac{ -9\Psi_2^2+(\bar C_{\Delta}+12\Psi_1)\Psi_3} {2\Psi_3-\Psi_4},$
$ k_{14} = \cfrac{ 18\Psi_2^2-(\bar C_{\Delta}+12\Psi_1)\Psi_4 } {4\Psi_3-2\Psi_4},$
$ \Theta = 36\Psi_2^2 – (12\Psi_1+\bar C_{\Delta})(2\Psi_3+\Psi_4).$

Współczynnik \(\Theta\) jest wyznacznikiem bezwymiarowej części macierzy sztywności. Jego wyzerowanie prowadzi do osobliwości macierzy \([\widetilde K]\), co odpowiada utracie stateczności układu. Z tego względu równanie

\[ \Theta=0 \tag{II.P1.8}\]

stanowi warunek krytyczny analizowanej konstrukcji i będzie podstawą  analizy statecznościowej.

Siły węzłowe od obciążenia rozłożonego $q$ wynoszą 

\[  [F]_q =  \cfrac{qL}{2} [  L/6  \quad 0  \quad 1  \quad  – L/6  ] \tag{II.P1.9}\]

Strzałka ugiecia 

Po podstawieniu przemieszczeń i obrotów przywęzłowych, wyznaczonych z macierzy podatności  (II.P1.7) pod działaniem obciążenia równomiernie rozłożonego (\ref{II.P1.9}), do ogólnego wzoru na strzałkę ugięcia belki-słupa (\ref{II.36}), otrzymuje się następującą zależność opisującą ugięcie w środku rozpiętości $f$,  Strzałka $f$ jest  sumą części szczególnej $f_q$ (od obciążenia poprzecznego) oraz części jednorodnej (wzmacnianej przez siłę osiową).

W rozpatrywanym przypadku część szczególna rozwiązania równania belki–słupa dla obciążenia równomiernie rozłożonego ma postać

\[w_q(\xi)= \frac{qL^4}{24EI} \left( \xi-2\xi^3+\xi^4 \right). \tag{II.P1.13} \]

Po podstawieniu (\xi=0.5) otrzymuje się

\[ f_q= w_q(0.5) \frac{5qL^4}{384EI}. \tag{II.P1.14}\]

W rozpatrywanym przypadku część szczególna rozwiązania równania belki–słupa dla obciążenia równomiernie rozłożonego ma postać

\[w_q(\xi)= \frac{qL^4}{24EI} \left( \xi-2\xi^3+\xi^4 \right). \tag{II.P1.13} \]

Po podstawieniu (\xi=0.5) otrzymuje się

\[ f_q= w_q(0.5) \frac{5qL^4}{384EI}. \tag{II.P1.14}\]

Część ogólna wynika natomiast z przemnożenia macierzy podatności (II.P1.7) prze wektor równważników węzłowych (II.P1.9). Wyniku ich zsumowania otrzymujemy i zznorma;lizowania do $f_q$ otrzymujemy: 

\[ \bar f = \frac{f}{f_0} 1+ \cfrac{ -16 b_\Lambda^4+(4c_d-128) b_\Lambda^2+8c_d +8(4 b_\Lambda^2-c_d)\sec b_\Lambda } {5 b_\Lambda^2(4 b_\Lambda^2-c_d)}. \tag{II.P1.16} \]

gdzie:
$f_0=\frac{5qL^4}{384EI}$ – strzałka ugięcia klasycznej belki wolnopodpartej wywołanej równomiernie rozłożonym obciążeniem poprzecznym (q),
$ b_\Lambda=\frac{\pi}{2}\sqrt{\bar{\Lambda}}$ – bezwymiarowy parametr obciążenia osiowego,
$ \bar{\Lambda}=\frac{N}{N_E}$ – bezwymiarowy mnożnik obciążenia osiowego,
$ N_E=\frac{\pi^2EI}{L^2}$ – siła krytyczna Eulera dla belki wolnopodpartej,$
$c_d=\frac{C_D L^3}{EI}$ – bezwymiarowa sztywność podpory sprężystej,
$f$  – całkowita strzałka ugięcia belki w środku rozpiętości,
$ EI$ – sztyweność giętna przekroju belki.
$L$– rozpiętość belki,
$N$ – siła osiowa ściskająca.

Funkcja posiada osobliwość typu asymptoty pionowej w punkcie  \(a=\pi/2\), odpowiadającym klasycznemu stanowi krytycznemu Eulera.
Osobliwość rozwiązania w stanie krytycznym Eulera nie jest związana z przemieszczeniami węzłowymi, które pozostają skończone, lecz z nieograniczonym wzrostem obrotów końcowych elementu. Obroty f$\barphi_1$ i $\varphi_2$  dążą do nieskończoności z przeciwnymi znakami, co prowadzi do nieograniczonego wzrostu części jednorodnej rozwiązania i powstania asymptoty pionowej funkcji ugięcia.
Strefa gwałtownego wzrostu ugięcia jest bardzo wąska i występuje dopiero w bezpośrednim otoczeniu obciążenia krytycznego. Przykładowo dla $a=1{,}569$ uzyskano już wartość $\bar{f}\approx 362$, podczas gdy odpowiadający mnożnik obciążenia wynosi $\bar{\Lambda}\approx 0{,}9977$, a więc różni się od wartości krytycznej jedynie o około $0{,}23%$. Oznacza to, że asymptotyczny wzrost ugięcia rozwija się w niezwykle małym przedziale zmian obciążenia.

Należy podkreślić, że dla rozważanej konstrukcji stan graniczny wyznacza nośność plastyczna, osiągana przy obciążeniach mniejszych od idealnego obciążenia krytycznego Eulera. W konsekwencji asymptota nie stanowi rzeczywistej granicy nośności konstrukcji i ma głównie znaczenie teoretyczne. Opisuje ona własności idealnego modelu liniowo-sprężystego oraz wskazuje matematyczną granicę jego stosowalności.
W praktyce parametry konstrukcji, takie jak moduł sprężystości, geometria przekroju, imperfekcje wykonawcze, warunki podparcia czy mimośrody obciążenia, podlegają naturalnemu rozproszeniu. W pobliżu asymptoty nawet niewielkie odchylenia tych parametrów prowadzą do bardzo dużych zmian wartości obliczonego ugięcia. Oznacza to gwałtowny wzrost wariancji rozwiązania oraz utratę jego stabilności numerycznej i interpretacyjnej. W rezultacie, mimo że model matematyczny przewiduje nieograniczony wzrost ugięcia, uzyskiwane wartości stają się silnie zależne od losowych odchyleń parametrów wejściowych i tracą znaczenie praktyczne. Z inżynierskiego punktu widzenia skutkiem asymptoty jest więc nie tyle możliwość wystąpienia nieskończonych przemieszczeń, ile gwałtowny wzrost niepewności prognozowanych ugięć w bardzo wąskim otoczeniu obciążenia krytycznego.

Wraz ze wzrostem parametru (\bar{\Lambda}) mianownik wyrażenia maleje, co prowadzi do gwałtownego wzrostu ugięć i utraty stateczności po osiągnięciu stanu krytycznego.

Na rysunku II.P1.1 przedstawiono bezwymiarową strzałkę ugięcia belki $\bar f=\frac{fEI}{qL^4},$ wyznaczoną z zależności (II.P1.13), w funkcji bezwymiarowego mnożnika obciążenia $ \bar\Lambda=\frac{N}{N_{cr}},$ dla różnych wartości bezwymiarowej sztywności podpory sprężystej $\bar C_\Delta=\frac{C_\Delta L^3}{EI}.$ Krzywe odpowiadają kolejnym wartościom parametru (\bar C_\Delta). Linia pozioma oznacza wkład części szczególnej rozwiązania $ \bar f_q=\frac{5}{384}$, który jest niezależny od siły osiowej. Wraz ze wzrostem obciążenia osiowego rośnie udział części jednorodnej rozwiązania, powodując coraz szybszy wzrost strzałki ugięcia. Dla wartości obciążenia zbliżających się do obciążenia krytycznego ugięcia dążą do nieskończoności, co odpowiada utracie stateczności układu. Pionowe linie przerywane oznaczają wartości krytyczne (\bar\Lambda_{cr}) wyznaczone z równania stateczności (II.P1.8).

Literatura

1. R. K. Livesley, D. B. Chandler, Stability Functions for Structural Frameworks, Manchester University Press, Manchester, 1956
2. J. S. Przemieniecki, Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw–Hill Book Company, New York, 1968
3. Euler (1744), Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes. Lausanne and Geneva: Marc-Michel Bousquet
4. Wagner, H. (1931), Flat Sheet Metal Girders with Very Thin Metal Webs. Part I: General Theories and Assumptions. NACA Technical Memorandum TM-604
5. von Kaˊrmaˊn, T., Tsien, H. S. (1941), The Buckling of Thin Cylindrical Shells under Axial Compression, Journal of the Aeronautical Sciences, 8(8), 303–312
6. Koiter, W. T. (1945), Over de Stabiliteit van het Elastisch Evenwicht, Doctoral Dissertation, Delft University of Technology
7. Piechnik, St., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych. PWN, Warszawa-Kraków, 1980
8. Livesley R.K. (1975), Matrix Methods of Structural Analysis, 2nd Edition, Pergamon Press, Oxford, Chapter 3.6.
9. \bar C_\varphi=0)\) zależność (II.P2.14) upraszcza się do postaci

   \[ \frac{w_h}{w_H} = \frac{hL}{2H}, \]

   co odpowiada klasycznemu wynikowi liniowej teorii belki wspornikowej. Wraz ze wzrostem sztywności obrotowej podpory udział obciążenia równomiernie rozłożonego w całkowitym wychyleniu słupa maleje, ponieważ podpora coraz skuteczniej ogranicza obrót podstawy konstrukcji.

   Na rys. II.P1.2 przedstawiono przebieg bezwymiarowych wychyleń końca słupa wspornikowego wyznaczonych z zależności (II.P2.12) oraz (II.P2.13). Pokazano dwa pęki krzywych odpowiadające obciążeniu równomiernie rozłożonemu \(h\) oraz sile skupionej \(H\), dla różnych wartości bezwymiarowej sztywności obrotowej podpory \(\bar C_\varphi\). Oś pozioma przedstawia bezwymiarowy parametr obciążenia osiowego \(\bar\Lambda=N/N_{cr}\), natomiast oś pionowa odpowiada bezwymiarowemu wychyleniu końca wspornika. Pionowe linie przerywane oznaczają wartości krytyczne \(\bar\Lambda_{cr}\) wyznaczone z warunku stateczności \(\Theta=0\).

   

   Rys. II.P1.2. Bezwymiarowe wychylenie końca geometrycznie nieliniowego słupa wspornikowego w funkcji parametru obciążenia \(\bar\Lambda\) dla różnych wartości bezwymiarowej sztywności obrotowej podpory \(\bar C_\varphi\): a) obciążenie równomiernie rozłożone \(h\), b) siła skupiona \(H\).

   Dla małych wartości parametru obciążenia \(\bar\Lambda\) wpływ siły osiowej na wychylenie wspornika jest niewielki, a odpowiedź układu pozostaje zbliżona do rozwiązania liniowego. Wraz ze wzrostem obciążenia ściskającego obserwuje się stopniowe zmniejszanie efektywnej sztywności konstrukcji, czego efektem jest coraz szybszy wzrost wychyleń. W pobliżu obciążenia krytycznego tempo przyrostu przemieszczeń gwałtownie rośnie, a krzywe przyjmują charakter asymptotyczny. Odpowiada to utracie stateczności układu określonej warunkiem \(\Theta=0\). Dla każdej wartości parametru \(\bar C_\varphi\) punkt krytyczny występuje przy innej wartości \(\bar\Lambda_{cr}\), co ilustrują pionowe linie przerywane. Zwiększenie sztywności obrotowej podpory powoduje przesunięcie punktu krytycznego w kierunku większych wartości parametru \(\bar\Lambda\), a tym samym wzrost nośności statecznościowej wspornika. Jednocześnie maleją wychylenia odpowiadające temu samemu poziomowi obciążenia osiowego, co świadczy o korzystnym wpływie częściowego lub pełnego utwierdzenia podstawy.

   Porównanie obu pęków krzywych pokazuje ponadto, że jakościowy charakter odpowiedzi konstrukcji jest taki sam dla obciążenia skupionego \(H\) i obciążenia rozłożonego \(h\). W obu przypadkach dominujący wpływ na zachowanie układu wywierają parametr stateczności \(\bar\Lambda\) oraz sztywność obrotowa podpory \(\bar C_\varphi\).

   Należy jednak zauważyć, że obciążenie równomiernie rozłożone \(h\) nie jest statycznie równoważne sile skupionej \(H\) przyłożonej na końcu wspornika, nawet gdy spełniony jest warunek \(H=hL/2\). Warunek ten zapewnia jedynie zgodność wartości wypadkowej siły poprzecznej, natomiast rozkład momentów zginających wzdłuż pręta pozostaje odmienny. Z tego względu oba przypadki prowadzą do różnych wartości wychyleń, choć wykazują analogiczne tendencje zmian wraz ze wzrostem parametru obciążenia \(\bar\Lambda\) oraz sztywności podpory \(\bar C_\varphi\). 
   Otrzymany wynik wskazuje, że równoważność pomiędzy obciążeniem rozłożonym i skupionym nie ma charakteru uniwersalnego, lecz zależy od parametrów statecznościowych układu oraz warunków podparcia. Oznacza to, że w procedurach wykorzystujących imperfekcje zastępcze nie istnieje jedna wartość imperfekcji równoważna wszystkim rodzajom obciążeń poprzecznych.
   W szczególności przyjęcie imperfekcji zastępczej kalibrowanej na podstawie odpowiedzi konstrukcji na siłę skupioną nie musi prowadzić do identycznych efektów drugiego rzędu w przypadku obciążenia rozłożonego. Różnice te rosną wraz ze wzrostem wpływu nieliniowości geometrycznej oraz zmianą warunków podparcia.
   Wynik ten stanowi teoretyczne uzasadnienie obserwowanego w praktyce ograniczenia metod normowych opartych na pojedynczej imperfekcji zastępczej. Metody te zapewniają zwykle poprawne oszacowanie globalnych efektów statecznościowych, lecz nie zachowują ścisłej równoważności pomiędzy różnymi schematami obciążenia poprzecznego.

   Otrzymany wynik ma istotne znaczenie praktyczne dla metod wykorzystujących imperfekcje zastępcze. W projektowaniu konstrukcji często przyjmuje się wartości imperfekcji opracowane dla prętów ściskanych o schemacie belki swobodnie podpartej i stosuje je bez dodatkowej analizy również do słupów wspornikowych. Przeprowadzona analiza wskazuje jednak, że takie postępowanie nie posiada ścisłego uzasadnienia teoretycznego. Odpowiedź wspornika na obciążenie poprzeczne zależy nie tylko od wielkości obciążenia, lecz również od jego rozkładu, parametrów statecznościowych oraz warunków zamocowania. W konsekwencji nie istnieje uniwersalna imperfekcja zastępcza zapewniająca równoważność wszystkich schematów obciążenia. Oznacza to, że bezpośrednie przenoszenie wartości imperfekcji zastępczych wyznaczonych dla prętów swobodnie podpartych na słupy wspornikowe może prowadzić do błędnej oceny efektów drugiego rzędu oraz nośności statecznościowej. Problem ten staje się szczególnie istotny dla konstrukcji o dużej smukłości oraz dla układów o częściowo podatnym zamocowaniu.

   W dalszej części pracy zagadnienie to zostanie przeanalizowane szczegółowo na podstawie ścisłych rozwiązań równań stateczności. Zostanie pokazane, że dla wsporników klasyczne procedury imperfekcji zastępczych mogą prowadzić do wyników istotnie odbiegających od rzeczywistej odpowiedzi konstrukcji.

   Kąt obrotu w podstawie

   Kąt obrotu w podtawwoie wspornika wynosi (dla $h$ i $H$ odpwoiedni):

   \[ \varphi_{2,H} = \frac{HL^2}{EI} \, \frac{ \Psi_2(2\Psi_3-\Psi_4) } {\Theta}. \tag{II.P2.20} \]

   \[ \varphi_{2,h} = -\frac{hL^3}{6EI} \, \frac{ 3\Psi_2(\Psi_2-2\Psi_3+\Psi_4) -\Psi_1(2\Psi_3+\Psi_4) } {\Theta}. \tag{II.P2.21} \]

   \[ \frac{\varphi_{ 2,h}}{\varphi_{2,H}} = -\frac{hL}{6H} \,\frac{ 3\Psi_2(\Psi_2-2\Psi_3+\Psi_4) -\Psi_1(2\Psi_3+\Psi_4) } { \Psi_2(2\Psi_3-\Psi_4) }.\tag{II.P2.22} \]

   Iloraz kątów obrotu wywołąnych $h$ i $H$  (II.P2.22) wskazuje, że stosunek obrotów podstawy słupa wywołanych obciążeniem rozłożonym i skupionym nie zależy bezpośrednio od sztywności obrotowej podpory \(\bar C_\varphi\). Parametr ten wpływa wprawdzie na bezwzględne wartości obrotów poprzez współczynnik \(\Theta\), jednak jego wpływ znika po utworzeniu ilorazu. Oznacza to, że względna skuteczność obu schematów obciążenia w wywoływaniu obrotu podstawy jest określona wyłącznie przez funkcje statecznościowe \(\Psi_i\), a więc przez poziom obciążenia osiowego \(\bar\Lambda\).

   Wynik ten jest szczególnie interesujący w kontekście metod imperfekcji zastępczych. Pokazuje on bowiem, że nawet dla wspornika z podatnym utwierdzeniem nie istnieje stały współczynnik pozwalający zastąpić obciążenie rozłożone równoważną siłą skupioną. Współczynnik taki zależy od aktualnego stanu pracy konstrukcji i zmienia się wraz ze wzrostem siły ściskającej.

   Siły przekrojowe w utwierdzeniu 

   Oprócz przemieszczeń istotne znaczenie praktyczne mają siły przekrojowe powstające w podstawie słupa wspornikowego. Wielkości te decydują bezpośrednio o wymiarowaniu przekroju oraz o nośności konstrukcji. Po wyznaczeniu wektora przemieszczeń przywęzłowych z zależności

   \[ \{q\} = [\widetilde K]^{-1}\{F\}, \tag{II.P2.18} \]

   wektor sił przywęzłowych można obliczyć wykorzystując pierwotną macierz sztywności elementu

   \[ \{P\} = [k]^{(e)}\{q\}. \tag{II.P2.19} \]

   Szczególne znaczenie posiada moment zginający w utwierdzeniu \(M_2\), odpowiadający reakcji momentowej w podstawie słupa. Wartość ta uwzględnia zarówno wpływ obciążenia poprzecznego, jak i nieliniowych efektów drugiego rzędu wywołanych siłą osiową.

   W dalszej części zostaną wyznaczone ścisłe zależności opisujące moment utwierdzenia dla obciążenia skupionego \(H\) oraz dla obciążenia równomiernie rozłożonego \(h\). Umożliwi to ocenę wpływu parametrów statecznościowych \(\Psi_i\), sztywności obrotowej podpory \(\bar C_\varphi\) oraz obciążenia osiowego \(\bar\Lambda\) na rozwój sił przekrojowych w konstrukcji.

   \[ M_{2,H} = -\frac{HL\,\bar C_\varphi\,\Psi_2(2\Psi_3-\Psi_4)} {\Theta}. \tag{II.P2.23} \]

   \[ M_{2,h} = \frac{hL^2\,\bar C_\varphi} {6\,\Theta} \left[ 3\Psi_2(\Psi_2-2\Psi_3+\Psi_4) – \Psi_1(2\Psi_3+\Psi_4) \right]. \tag{II.P2.24} \]

   \[ \frac{M_{2,h}}{M_{2,H}} = -\frac{hL}{6H} \, \frac{ 3\Psi_2(\Psi_2-2\Psi_3+\Psi_4) – \Psi_1(2\Psi_3+\Psi_4) } { \Psi_2(2\Psi_3-\Psi_4) }. \tag{II.P2.25} \]

   Ponieważ moment utwierdzenia jest proporcjonalny do obrotu podstawy słupa, stosunek momentów wywołanych obciążeniem rozłożonym i skupionym jest identyczny jak stosunek odpowiadających im obrotów. Oznacza to, że brak ścisłej równoważności pomiędzy obciążeniem rozłożonym i skupionym dotyczy nie tylko przemieszczeń, lecz również sił przekrojowych. W szczególności

   Nie istnieje uniwersalny współczynnik pozwalający zastąpić obciążenie rozłożone równoważną siłą skupioną lub równoważną imperfekcją geometryczną niezależnie od poziomu obciążenia osiowego. Współczynnik taki zależy od funkcji statecznościowych \(\Psi_i\), a więc od aktualnego stanu pracy konstrukcji.

   Przykład 2a  [Wspornik z obciążeniem obciążeniem mimośrodowym]

   Rozpatrzyć wspornik z przykładu 2 obciążony wyłącznie siłą osiową \(F\) działającą na mimośrodzie \(e\). Obciążenia poprzeczne pomija się  $H=0, \qquad h=0$. Mimośrodowe przyłożenie siły osiowej jest równoważne przyłożeniu do głowicy słupa momentu

   \[ M=F\,e. \tag{II.P2a.2} \]

   Model taki odpowiada klasycznej procedurze imperfekcji zastępczych, w której wpływ początkowej krzywizny pręta zastępuje się równoważnym mimośrodem działania siły ściskającej. Ponieważ geometria układu, warunki podporowe oraz macierz sztywności pozostają identyczne jak w przykładzie 2, zachowują ważność równania (II.P2.5)–(II.P2.7). Analiza sprowadza się zatem do wyznaczenia odpowiedzi konstrukcji na moment skupiony przyłożony do głowicy wspornika.

   Wektor obciązenia mozna zapisać w postaci

   \[ {F}_e= \begin{Bmatrix} 0 & 0 & Fe & 0 \end{Bmatrix}^{T}. \tag{II.P2a.3} \]

   Po podstawieniu powyższego wektora do równania równowagi oraz wykorzystaniu wcześniej wyznaczonej macierzy podatności otrzymujemy przemieszczenie poziome głowicy słupa

   \[ w_e= \frac{eF L^2}{2EI}\, \frac{\Psi_2\left(\bar C_\varphi+4\Psi_3-2\Psi_4\right)} {\Theta}. \tag{II.P2a.4} \]

   Wielkość ta opisuje ugięcie wywołane wyłącznie mimośrodowym przyłożeniem siły osiowej. W celu dalszej analizy wygodnie jest przejść do postaci bezwymiarowej, eliminując wpływ parametrów geometrycznych i materiałowych.
   Po wprowadzeniu bezwymiarowego przemieszczenia 

   \[ \bar w_e= \frac{w_eEI}{eFL^2} = \frac{1}{2}\, \frac{\Psi_2\left(\bar C_\varphi+4\Psi_3-2\Psi_4\right)} {\Theta}. \tag{II.P2a.6} \]

   otrzymujemy funkcję zależną wyłącznie od parametrów statecznościowych układu. Intesujące jest porównanie uzyskanego rozwiązania z przypadkiem działania poziomej siły skupionej \(H\), analizowanym w przykładzie 2. Korzystając z zależności uzyskanych wcześniej dla obu przypadków obciążenia, można wyznaczyć stosunek odpowiadających im przemieszczeń głowicy słupa

   \[ \frac{w_e}{w_H} = \frac{3eF}{2HL}\, \frac{\Psi_2\left(\bar C_\varphi+4\Psi_3-2\Psi_4\right)} {\Psi_4^2-\Psi_3\left(\bar C_\varphi+4\Psi_3\right)}. \tag{II.P2a.7} \]

   Warunek równoważności obu modeli obciążenia otrzymuje się przyjmując identyczne przemieszczenie głowicy słup

   \[ w_e=w_H. \tag{II.P2a.8} \]

   Z równania tego można wyznaczyć mimośród zastępczy, który prowadzi do takiego samego efektu przemieszczeniowego jak działanie siły poziomej \(H\). Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy

   \[ e_{eq} = \frac{2HL}{3F}\, \frac{\Psi_4^2-\Psi_3(\bar C_\varphi+4\Psi_3)} {\Psi_2(\bar C_\varphi+4\Psi_3-2\Psi_4)}. \tag{II.P2a.9} \]

   Otrzymany mimośród zastępczy nie jest wielkością stałą, lecz zależy od poziomu obciążenia osiowego oraz sztywności obrotowej podpory. Można więc zapisa

   \[ e_{eq}=e_{eq}(\bar\Lambda,\bar C_\varphi). \tag{II.P2a.10} \]

   Zależność (II.P2a.9) stanowi pomost pomiędzy dwoma często stosowanymi sposobami uwzględniania imperfekcji geometrycznych: poprzez bezpośrednie wprowadzenie obciążenia poprzecznego lub poprzez zastosowanie mimośrodu zastępczego siły ściskającej. Dzięki temu możliwe jest ilościowe porównanie obu podejść oraz ocena zakresu ich wzajemnej równoważności w funkcji parametrów statecznościowych analizowanego układu.

   W celu oceny możliwości zastąpienia rzeczywistego obciążenia poprzecznego przez imperfekcję zastępczą przeanalizowano zmienność mimośrodu równoważnego \(e_{eq}\), określonego warunkiem zgodności wychyleń wspornika obciążonego siłą poziomą \(H\) oraz wspornika obciążonego mimośrodowo siłą osiową \(F\).

   Wprowadzając bezwymiarowy mimośród  

   \[ \bar e_{eq}=\frac{e_{eq}}{L}, \tag{II.P2a.11} \]

   oraz korzystając z zależności (II.P2a.10), otrzymujemy
   \[ \bar e_{eq} = \frac{2H}{3F} \, \frac{\Psi_4^2-\Psi_3\left(\bar C_\varphi+4\Psi_3\right)} {\Psi_2\left(\bar C_\varphi+4\Psi_3-2\Psi_4\right)}. \tag{II.P2a.12} \]

   Na rysunku II.2 w teksćie  przedstawiono przebieg bezwymiarowego mimośrodu równoważnego \(\bar e_{eq}\) w funkcji parametru obciążenia $ \bar\Lambda=\frac{N}{N_{cr}} dla różnych wartości bezwymiarowej sztywności obrotowej podpory $\bar C_\varphi=\frac{C^\varphi L}{EI}.$
   Dla przejrzystości wyników przyjęto normalizację \(H/F=1\).

   Przebieg krzywych pokazuje, że mimośród równoważny nie jest wielkością stałą, lecz zależy przede wszystkim od poziomu obciążenia osiowego \(\bar\Lambda\). Wpływ sztywności obrotowej zamocowania \(\bar C_\varphi\) jest natomiast stosunkowo niewielki. Oznacza to, że dominującym czynnikiem kształtującym wartość mimośrodu równoważnego są efekty drugiego rzędu związane z rozwojem nieliniowości geometrycznej.

   Dla małych wartości parametru \(\bar\Lambda\) wymagany mimośród gwałtownie rośnie i osiąga bardzo duże wartości. Wskazuje to, że w zakresie liniowym działanie siły poprzecznej \(H\) nie może być skutecznie zastąpione przez skończony mimośród działania siły osiowej. Oba modele obciążenia prowadzą w tym zakresie do jakościowo odmiennej odpowiedzi konstrukcji. Wraz ze wzrostem obciążenia osiowego znaczenie efektów drugiego rzędu staje się coraz większe, a wymagany mimośród równoważny maleje. Odpowiedź konstrukcji na oba rodzaje obciążenia staje się wtedy bardziej zbliżona, jednak uzyskana równoważność ma charakter wyłącznie lokalny i odnosi się do określonego poziomu obciążenia. Nie można więc wskazać jednej uniwersalnej wartości mimośrodu zastępczego poprawnej dla całego zakresu pracy wspornika.

   Wnioski

   (1) Dla słupów wspornikowych nie istnieje pojedyncza uniwersalna wartość imperfekcji zastępczej równoważna działaniu rzeczywistego obciążenia poprzecznego. W przeciwieństwie do prętów swobodnie podpartych wartość mimośrodu równoważnego jest funkcją parametrów statecznościowych oraz warunków zamocowania.
   (2) Klasyczne procedury imperfekcji zastępczych, opracowane głównie dla prętów swobodnie podpartych, mają ograniczoną przydatność w analizie słupów wspornikowych. W przypadku konstrukcji o istotnych efektach drugiego rzędu bardziej uzasadnione jest stosowanie bezpośredniej analizy nieliniowej geometrycznie z rzeczywistą postacią imperfekcji początkowej.

   Przykład 3 [ Belka krzywoliniowa w kształcie sinusoidy]

   Równanie osi elementu

   Oś elementu jest  opisana ogólną zależnością parametryczną

   $$\begin{equation}  x=x(s) \quad y=y(s)  \label {110} \end {equation} $$

   Macierz podatności elementu

   Macierz podatności (odwrotność macierzy sztywności) elementu opisanego równaniem paramteryczym )$\ref{110}$) , otrzymana po przprowadzeniu algorytmu opisanego w tekście wynosi

   $$\begin{equation} [  K]^{-1} =\begin{bmatrix}
   \int \limits_0^L \left ( \cfrac{(dx/dy)^2}{EA}+\cfrac{y^2}{EI} \right ) ds & \int \limits_0^L \left ( \cfrac{(dx/dy) (dy/ds)} {EA}- \cfrac{xy}{EI} \right ) ds & \int \limits_0^L \cfrac{y}{EI} ds \\
   &  \int \limits_0^L \left ( \cfrac{(dy/ds)^2} {EA}- \cfrac{x^2}{EI} \right ) ds & – \int \limits_0^L \cfrac{x}{EI} ds  \\
   & SYM  &  \int \limits_0^L \cfrac{1}{EI} ds \\
   \end{bmatrix} \label {111} \end {equation} $$

   gdzie: $A(s)$ i $I(s)$ – pole przekroju i moment bezwładności sa znanymi funkcjami współrzędnej bieżącej s

   Wyrażenie ($\ref{111}$) jest zgodne z podanym w pracy ((Livesley R. K. (1975), Matrix methods of structural analysis, Pergamon Press [http://books.google.com/books?id=tYsoAQAAMAAJ ]

________________________________

Related Baza wiedzy

• Belki stalowe w podejściu normowym
• Stalowe dźwigary kratowe (+)