Kalkulator zbrojenia przekrojów zginanych i ściskanych lub rozciąganych, wykorzystujący nieliniowe krzywe interakcji przekroju żelbetowego  można bez opłat i rejestracji pobrać poprzez kliknięcie na rys.1. 

Opublikowano już rewelacyjny kalkulator  żelbetu umożliwiający  obliczenie zbrojenia ściskanego i zginanego przekroju prostokątnego  bez konieczności budowy krzywych interakcji. 

Kalkulator dotyczy  jednokierunkowo mimośrodowo ściskanego lub rozciąganego żelbetowego przekroju prostokątnego bxh zbrojonego podwójnie, pokazanego na rys. 2. Pręt żelbetowy jest nieliniowy konstrukcyjnie, ponieważ: 1) rozkład naprężeń w ściskanej strefie betonu jest nieliniowy, 2) stal zbrojenia jest materiałem sprężysto-plastycznym ze wzmocnieniem , 3) teoretyczna wysokość strefy ściskanej $x$ może przekroczyć wysokość przekroju $h$ i obejmować naprężenia pozorne. Nowy algorytm  projektowania przekroju żelbetowego opracowano z zastosowaniem nieliniowego modelu betonu [1] i modelu stali ze wzmocnieniem plastycznym [2] .  Projekty wykonane z użyciem kalkulatora, pozwalają na oszczędności  dochodzące do 30% zbrojenia, co przekracza oszczędności, które można uzyskać przy zastosowaniu standardowych procedur minimalizacji kosztu elementu żelbetowego (np. praca [3]) ).

Zaleca się, aby zestawy sił przekrojowych szacować  metodą imperfekcyjną  (teoria II rzędu z zadanymi  siłami imperfekcji) a jednocześnie pomijać współczynniki niestateczności. Wówczas obliczenia zbrojenia przekroju są zbrojeniem elementu (np słupa).

Udostępniona wersja arkusza ma chronioną treść i strukturę. Uwagi dotyczące udoskonalenia arkusza lub dostrzeżonych usterek proszę zgłaszać do autora na adres: leszek.chodor@chodor-projekt.net.

Postawienie problemu

Zagadnienie żelbetu  polega na poszukiwaniu  pięciu niewiadomych: wysokości strefy ściskanej $x$, pola zbrojenia dolnego ${A}_{sl}$ ,  górnego$A_{su}$_, a także naprężeń w stali $\sigma_{sl}$, $\sigma_{su}$ przy ograniczeniu maksymalnego odkształcenia betonu do wartości ε_cu2=3,5‰. Poszukiwane zmienne zilustrowano na rys.1. Do dyspozycji mamy tylko dwa warunki równowagi sił:  ΣX=0,  ΣM_i względem osi  „i= O, l lub u=(oś przekroju betonowego, oś dolnego zbrojenia, oś górnego zbrojenia)”. Wybór osi jest dowolny, ale tylko jeden z warunków ΣM jest niezależny. Trzeci i czwarty warunek określa fizyczne prawo dla zbrojenia górnego i dolnego. Piąty warunek jest określony przez prawo fizyczne betonu, które można zapisać w postaci:

$$\begin{equation}\sigma_c=E_c \cdot \varepsilon_c \label{s_cE}\end{equation}$$

gdzie moduł odkształcalności  E_c(ε_c, t) jest nieliniową funkcją odkształceń betonu oraz czasu $t$ i zmniejsza się istotnie wraz ze wzrostem pełzania betonu [1],Rys.3.2. .

W przypadku analizy przekrojów prętów model $(\ref{s_cE})$ można przyjąć w postaci równoważnej, niezależnej od czasu  $(\ref{s_cz})$ [1],wzory (3.17)-(3.18) :

$$\begin{equation}\sigma_c (z)= f_{cd} \cdot \begin {cases} 1, & \text {jeśli  $ \varepsilon_{c2} \le\varepsilon_c \le \varepsilon_{cu2}$} \\ 1-  (1- \varepsilon_c/\varepsilon_{c2})^n, & \text {jeśli  $ \varepsilon_c <\varepsilon_{c2}$ } \end {cases} \label{s_cz}\end{equation}$$

gdzie wykładnik modelu n=2 ,  f_cd – wytrzymałość obliczeniowa betonu na ściskanie.

Z zależności normowej $(\ref{s_cz})$, wynika, że obliczeniowy moduł odkształcalności betonu jest minimalny  dla włókna skrajnego (tam, gdzie odkształcenie ε_c=ε_cu2) i wynosi:

$$\begin{equation}E_{cu}=f_{cd}/\varepsilon_{cu2} \label{E_cu}\end{equation}$$

Moduł E_cu $(\ref{E_cu})$ zastosujemy w prezentowanym algorytmie jako parametr klasy betonu.
Na przykład dla betonu C30/37  graniczny moduł odkształcalności wynosi E_cu=(30/1,4)/3,5‰=6,1 GPa.
Dla porównania: średni moduł styczny dla  betonu C30/37 wynosi E_cm=32 GPa, a moduł długotrwały (z uwzględnieniem pełzania) E_c,eff=E_cm/[1+φ(∞,t₀)]≈E_cm/(1+2)=32/3=10,7 MPa. Pomiędzy modułami betonu E_cu, E_cm  oraz E_c,eff  w istocie nie ma związku z punktu widzenia rozpatrywanego zagadnienia.

Model obliczeniowy przekroju żelbetowego

Wypadkowa i moment naprężeń w betonie

Na rys.1. pokazano bryłę naprężeń w betonie, opisaną zależnością $(\ref{s_cz})$. Wymaga się [1], Tab.3.1. , by maksymalne odkształcenie betonu nie przekroczyło ε_cu2, a na granicy prosto-  i krzywo-liniowego  przebiegu naprężeń  odkształcenie betonu wynosi ε_c2.  W analizie   modelu z paraboliczną bryłą  naprężeń odkształcenia te wynoszą:

$$\begin{equation}  \varepsilon_{c2}=2,0 \text{%} \qquad  , \qquad \varepsilon_{cu2}=3,5 \text{%} \label{e_c2} \end{equation}$$

Po przekształceniu formuły $(\ref{s_cz})$ do postaci dogodnej od obliczeń numerycznych otrzymamy

$$\begin{equation}\sigma_c (z)= f_{cd} \cdot \begin {cases} 1 , & \text {jeśli  $z \ge (x-x_0) $} \\ 1- [ 1- z/(x-x_0) ] ^n , & \text {jeśli  $ z < (x-x_0)$} \end {cases} \end{equation}$$

gdzie długość wykresu prostoliniowego  x₀:

$$\begin{equation} x_0=\left (1-\varepsilon_{c2}/\varepsilon_{cu2}\right) \cdot x \end{equation}$$

Naprężenie σ_c  w odległości  „z” od osi obojętnej przekroju (od linii ε=0) działa na ramieniu:

$$\begin{equation}  r_i= d_i – x + z , \quad  (i=O,l,u) \end{equation}$$

gdzie efektywne ramię $d_i$ zależnie od osi do której jest odmierzane, wynosi:

$$\begin{equation}d_i = \begin {cases} h/2,  & (i=O)\\ h-a_l,  & (i=l) \\ a_u,  & (i=u) \label {signM_c} \end {cases} \end{equation}$$

uwaga ($\ref {signM_c}$):  moment o wartości $M_c=\sigma_c\cdot r_i$ jest lewoskrętny dla $i=O, l$, to znaczy ma zwrot  reakcji $M_{Rd}$ (jest przeciwny do obciążenia zewnętrznego $M_{Ed}$), a jest prawoskrętny dla $i=u$.

Rozpatrzymy  dwa przypadki wysokości strefy ściskanej, pokazane na rys.1.:
 X<h dla wysokości strefy ściskanej x ≤ h 
 X>h dla wysokości strefy ściskanej x > h

W przypadku X_<h wypadkowa bryły naprężeń w betonie wynosi

$$\begin{equation}F_c^{x<h}= b \cdot \int \limits _0^x\sigma _c \cdot dz= b \cdot f_{cd} \cdot \left( \int \limits _0^{x_0} \left \{ 1- \left [1- z/(x-x_0) \right ]^2 \right \} \cdot dz + \int \limits _{x_0}^x dz \right )= \dfrac{17}{21}\cdot b \cdot x \cdot f_{cd} \label {Nc<} \end{equation}$$

a moment tej bryły:

$$\begin{equation}M_{c,i}^{x<h}= b \cdot \int \limits _0^x\sigma _c \cdot dz= b \cdot f_{cd} \cdot \left( \int \limits _0^{x_0} \left \{ 1- \left [ 1- z/(x-x_0) \right ]^2 \right \} r_i \cdot dz + \int \limits _{x_0}^x r_i \cdot dz \right )= F_c \cdot d_i- M_c(x^2)  \label {Mc<} \end{equation}$$

gdzie $M_c (x^2) = \dfrac {33} {98} \cdot b \cdot  x^2 \cdot f_{cd}$.

przy czym zwroty tych momentów zdefiniowano w uwadze ($\ref {signM_c}$).

Siły przekrojowe od obciążeń zewnętrznych $(N,M)_{Ed}$ uzyskuje się z rozwiązania problemu mechaniki budowli sprowadzone do osi przekroju betonowego, a w przypadku przekroju prostokątnego do osi „0”. Dlatego z punktu widzenia prezentowanego algorytmu najważniejszy jest przypadek „i=0”, czyli dla $d_i=d_0=h/2$.  W tradycyjnym podejściu często wykorzystywało się warunki dla „i=L”, co w szczególnych przypadkach prowadzi do uproszczenia formuł obliczeniowych. Takich uproszczeń nie wykorzystujemy, ze względu na brak ich ogólności.

W przypadku X_>h  na skutek tego, że pod przekrojem (na odcinku x do h) naprężenia faktycznie nie działają, a były wliczone w wyrażenia dla przypadku X_<h,  wyrażenia $(\ref{Nc<})$ i $(\ref {Mc<})$ należy skorygować:

$$\begin{equation} \begin {cases} F_c^{x>h}= F_c^{x<h} -\Delta F_c^{x>h}\\ M_{c,i}^{x>h}=M_{c,i}^{x<h} -\Delta M_c^{x>h} \end {cases} \label {N,Mc>}\end{equation}$$

Fragment bryły naprężeń dla z∈ [0; x-h] na rys.1. oznaczono kolorem lekko czerwonym. Daje on następujące „nadmiarowe”:  siłę Δ F_c^x>h  oraz  moment Δ M_c^x>h bryły naprężeń w betonie:

$$\begin{equation}\Delta F_c^{x>h}=b \cdot f_{cd} \cdot \int \limits _0^{x-h} \left \{ 1- \left [1- z/(x-x_0) \right ]^2 \right \} \, dz = F_N \cdot(21+20 \overline x) \label{dF_c>}\end{equation}$$

$$\begin{equation}\Delta M_{c,i}^{x>h}=b \cdot f_{cd} \cdot \int \limits_0^{x-h} \left \{ 1- \left [1-z/(x-x_0) \right ]^2 \right \} \cdot r_i \, dz= F_N\cdot h \cdot \begin {cases} – (\, 7+8 \overline x+9 \overline x^2 \,) \text { : (i=O)}\\ [\, 7+2 \overline x – 9 \overline x^2 –  4 \overline a_l (7+5\overline x)\, ] \text { : (i=l)}\\ [ \, 21+18 \overline x + 9 \overline x^2 – 4 \overline a_u (7+5\overline x)\, ]  \text { : (i=u)} \end {cases} \label{dM_c>}\end{equation}$$

gdzie: $\overline x=x/h$ ,  $\overline a_l=a_l/h$ , $\overline a_u=a_u/h$ , $F_N = \dfrac{7}{192} \dfrac{(1-\overline x)^2}{\overline x^2} \cdot b \cdot h\cdot f_{cd}$.

Przypadek X_>h  w praktyce zachodzi rzadko, jednakże w celu wyznaczenia  krzywych interakcji w całym zakresie pracy pręta, korektę $(\ref{dF_c>})$,$(\ref{dM_c>})$ należy stosować.

Model stali zbrojeniowej

Na rys. 3 pokazano  nieliniowy model stali [2] ,  opisany formułą :

$$\begin{equation}\overline\sigma_s =k\cdot \overline\varepsilon_s + \dfrac{(1-k)\cdot {\overline\varepsilon_s}} {\left (1+{\overline\varepsilon_s}^R \right)^{1/R}}\label {s_s}\end{equation}$$

Sieczny moduł odkształcalności stali zdefiniujemy jako

$$\begin{equation}E_{si}=k_{si}\cdot E_s \text{ (i=l, 2)} \label {E_si}\end{equation}$$

gdzie

$$\begin{equation}k_{si} = k+\dfrac{1-k}{ \left (1+{\overline \varepsilon_s}^R \right)^{1/R}} \label{k_si} \end{equation}$$

Można przyjąć, że pręt rozciągany ($\varepsilon_{sc}>0$)  jest nieskrępowany na skutek zarysowań betonu rozciąganego.  Wobec tego naprężenie  w pręcie rozciąganym „i=t” wynosi

$$\begin{equation} \sigma_{st}= E_{sc}\cdot \varepsilon_{st} \label {s_st} \end {equation}$$ .

W przypadku pręta otoczonego betonem ściskanym redukujemy naprężenia w stali ściskanej „i=c” o naprężenia w betonie, co można zapisać

$$\begin{equation} \sigma_{sc}= E_{si} \cdot \varepsilon_{sc} -\sigma_c (\varepsilon_{c}=\varepsilon_{sc}) \label {s_sc}\end {equation}$$

gdzie $\sigma_c$ wyznacza się z zależności ($\ref{s_cz}$).

W obu stanach wytężenia pręta ($\ref{s_st}$) i  ($\ref{s_sc}$)  ograniczamy odkształcenia pręta $\varepsilon_s < \varepsilon_{uk}/\gamma_s$  ($\ref{k_s}$) , co skutkuje ograniczeniem naprężeń (choć dopuszcza naprężenia w stali większe od  $f_{yd}$).

Siły w prętach zbrojenia wyznaczamy w sposób standardowy:

$$\begin{equation} F_{si}=\sigma_{si}\cdot  A_{si} \label{N_si} \end{equation}$$

Równowaga przekroju i równanie żelbetu

Warunki równowagi przekroju

Na rys.1 pokazano siły działające w przekroju z przyjętą konwencją znakowania sił zewnętrznych:  zewnętrzny moment  zginający $M_{Ed}$ jest dodatni jeśli rozciąga dolne włókna przekroju, zewnętrzna siła osiowa$N_{Ed}$ jest dodatnia, jeśli ściska przekrój. Założono też dodatnie zwroty sił wewnętrznych: siły  $F_c$ i $F_{su}$ są ściskające, siła $F_{sl}$ jest rozciągająca. Jeśli z rozwiązania zadania uzyskamy znaki ujemne, to będzie oznaczało, że w danej sytuacji obliczeniowej siła działa przeciwnie do założonego zwrotu.

Warunki równowagi przekroju zapiszemy w postaci :

$$\begin{equation} \begin {cases} \Sigma X        :  N_{Ed} = F_c + F_{su}  – F_{sl}\\ \Sigma M_0  :  M_{Ed} = M_{c,0} + F_{su} \cdot (d_0 – a_u) + F_{sl} \cdot (d_0 – a_l) \end {cases} \label {R1}\end{equation}$$

Warunki równowagi  ($\ref{R1}$) można zapisać w postaci równoważnej  w drodze wyeliminowania z $\Sigma X$  kolejno F_sl lub F_su  i podstawieniu do $\Sigma M_0$:

$$\begin{equation} \begin {cases} M_{Ed} = M_{c,0}  – (N_{Ed}- F_c) \cdot (d_0 – a_l )  + F_{su}\cdot d_s \\ M_{Ed}  = M_{c,0} +  ( N_{Ed}- F_c) \cdot (d_0 – a_u)  +F_{sl}\cdot d_s \end {cases}  \label {R2}\end{equation}$$

gdzie $d_s=h-a_l-a_u$.

Równanie żelbetu

Po dodaniu stronami  obu równań $(\ref{R2})$ i po przekształceniach otrzymamy podstawowe równanie żelbetu:

$$\begin {equation} F_{sl} +F_{su}= \dfrac {2 (M_{Ed}-M_{c,0})} {d_s}+ (N_{Ed}-F_c) \label {Rzelbet} \end {equation}$$

Równanie żelbetu $(\ref{Rzelbet})$ zawiera ogólne informacje o modelu i w zależności od sytuacji obliczeniowej może stanowić układ równań z jednym z równań  równowagi $(\ref{R1})$ lub $(\ref{R2})$.

Równanie $x^2$

Dla przypadku X_<h po podstawieniu  wyrażeń na  $F_c (\ref {Nc<})$  i  $M_c  ( \ref {Mc<})$  do  równania żelbetu $(\ref{Rzelbet})$ otrzymamy równanie drugiego  stopnia ze względu na $x$:

$$\begin{equation}Ax^2+Bx+C=0 \label {X2}\end{equation}$$

gdzie:
$A=33/49$,
$B= -17/21\cdot (h+d_s)$,
$C= (C_1+C_2) /(b\cdot f_{cd})$,
$C_1= – (A_{sl}\cdot \sigma_{sl} + A_{su} \cdot \sigma_{su}) \cdot d_s$
$C_2= 2 M_{Ed}+N_{Ed}\cdot d_s$,

Założenie płaskich przekroi i przypadki wytrzymałościowe

Równanie $(\ref{X2})$ jest tylko pozornie kwadratowe, ponieważ współczynnik  C₂ zależy od σ_si, (i=l,u) , a naprężenie w stali zbrojeniowej jest funkcją odkształcenia zgodnie z $(\ref{s_s})$. Odkształcenia z kolei podlegają  zasadzie płaskich przekroi Bernoulliego , wyrażonej formułami  ($\ref{Proporcje}$) wynikającymi z  rys. 1:

$$\begin {equation} \dfrac{\varepsilon_{sl}}{d_l-x}= \dfrac{\varepsilon_{su}}{x – d_u}=\dfrac{\varepsilon_{cu2}}{x} \label {Proporcje} \end {equation}$$

Z zależność $(\ref{Proporcje})$ można uzyskać jawną postać odkształcenia zbrojenia górnego (u) i dolnego (l):

$$\begin {equation} \varepsilon_{sl}=\varepsilon_{cu2} \cdot (d_l /x-1) \qquad \varepsilon_{su}=\varepsilon_{cu2} \cdot (1 – d_u/x) \label {eslu} \end {equation}$$

Z $(\ref{eslu})$ wynika, że zależnie od relacji wysokości strefy ściskanej $x$ oraz wysokości użytecznych zbrojenia zachodzą następujące przypadki wytrzymałościowe:

T (ang. Tension)$x=0$ – przypadek dla którego odkształcenia w stali są nieokreślone. Odpowiada to jedorodnemu rozciąganiu przekroju, w którym w całym przekroju (w betonie i stali) mamy odkształcenia rozciągające, a przypadek  należy rozpatrywać w języku przekrojów zespolonych. Takim przypadkiem nie zajmujemy się w niniejszym artykule.

SE (ang. Small Eccentricity) $x > d_u \,  x \le d_l \to$  $\varepsilon_{su} > 0$,  $\varepsilon_{sl} > 0$, oba zbrojenia są ściskane – jest to przypadek małego mimośrodu.

LE (ang. Large Eccentricity) $x > d_l  \to$\varepsilon_{su} > 0$,$\varepsilon_{sl} < 0$, czyli zbrojenie górne jest ściskane, a zbrojenie dolne rozciągane  – jest to przypadek dużego mimośrodu,

Do przypadku LE zaliczymy też $x \le d_u  \to$  $\varepsilon_{su}\le 0$,  $\varepsilon_{sl} > 0$, dla którego  zbrojenie górne jest rozciągane, a dolne ściskane. Wystarczy analizować przekrój odwrócony o 90⁰ .

Przypadki X_>h  oraz   X_<h są w istocie jednym z SE lub LE.

Równanie $x^3$

Po podstawieniu do $(\ref{X2})$ formuł zasady płaskich przekroi ($\ref{Proporcje}$) oraz prawa fizycznego $\sigma_{si}=E_{si}\varepsilon_{si}$ warunek  równowagi można zapisać w  postaci równania sześciennego (zwanego równaniem $x^3$):

$$\begin{equation} Ax^3+Bx^2+Cx+D=0 \label {X3}\end{equation}$$

gdzie:
$A=33/49$,
$B= -17/21\cdot (h+d_s)$,
$C= (C_1+C_2) /(b\cdot f_{cd})$,
$C_1= – (A_{sl}\cdot n_{El} + A_{su} \cdot n_{Eu}) \cdot d_s \cdot f_{cd}$
$C_2= 2 M_{Ed}+N_{Ed}\cdot d_s$,
$D= [A_{sl}\cdot n_{El}\cdot (h-a_l) + A_{su}\cdot n_{Eu}\cdot a_u]\dfrac{d_s}{b}$

Algorytm wyznaczania nośności (interakcji) przekroju

Dwuparametrową nośność przekroju zginanego i ściskanego lub rozciąganego $(M,N)_{Rd}$  wyznaczają równania równowagi ($\ref{R1}$) po zamianie indeksów $Ed$ na $Rd$:

$$\begin{equation} \begin {cases} N_{Rd} =  F_c + F_{su} –  F_{sl}\\ M_{Rd}= M_{c,0}+ F_{su} \cdot (d_0 – a_u) + F_{sl} \cdot (d_0 – a_l) \end{cases} \label {Interakcja} \end{equation}$$

Warunki nośności przekroju są zachowane, gdy spełniona jest nierówność

$$\begin{equation} (M,N)_{Ed} \le (M,N)_{Rd} \label{E<R} \end{equation}$$

Na rys. 3 pokazano przykład krzywych interakcji  (linie w kolorze czerwonym) i obszarów interakcji (wewnątrz obszaru objętego czerwonymi liniami) dla konkretnneg o przekroju żelbetowego. Kółkami oznaczono dwie pary sił zewnętrznych $(N,M)_{Ed}$  dla których przekrój ma wystarczającą nośność ( punkty wypadają wewnątrz obszaru interakcji).

W celu wyznaczenia krzywych interakcji , przykładowo pokazanych na rys.3 stosujemy procedurę zastosowaną w arkuszach obliczeniowych [5] , sprowadzona do następujących kroków:

1. Przyjąć przedział wysokości strefy ściskanej [$x_{min}$ ; $x_{max}$] i podzielić go na kilkadziesiąt przedziałów o szerokości $\Delta x$
2. Dla kolejnych wartości $x_i=x_{i-1}+\Delta x$ wyznaczyć kolejno:
   2.1. odkształcenia w stali ($\ref{Proporcje}$),
   2.2. naprężenia ($\ref{s_st}$), ($\ref{s_sc}$) i siły w zbrojeniu ($\ref{N_si}$),
   2.3. wypadkową ($\ref {Nc<}$) i moment ($\ref {Mc<}$) naprężeń w betonie, a jeśli $x>h$ skorygowane ($\ref {N,Mc>}$),
   2.4. nośność przekroju ($\ref {Interakcja}$),
3. Uzyskane punkty obwiedni nośności nanieść  na wykres i połączyć liniami prostymi lub funkcjami sklejanymi.

Kalkulator żelbetu

Struktura informatyczna  prezentowanego arkusza kalkulacyjnego –  rys.1. jest wzorowana na [5] (obliczenia wg normy angielskiej i uproszczonej procedury) i jest dostosowana do obliczeń wg Eurokod 2 oraz nieliniowych modeli stali oraz betonu.

Uwaga do ukośnego zginania i ściskania

Rozszerzenie zadania na ukośne (dwukierunkowe) zginanie ze ściskaniem/rozciąganiem przedstawiono w artykule Model żelbetu My-Mz-N. Rozszerzony algorytm , obejmuje praktycznie wszystkie spotykane w praktyce przypadki projektowania belek lub słupów o przekroju prostokątnym.

 Literatura

1. PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3: 2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
2. Menegotto M., Pinto P., E. (1973). Method of analysis of cyclically loaded RC plane frames including changes in geometry and non-elastic behavior of elements under normal force and bending. [Preliminary Report IABSE]
3. Mohammad F. A., Seyan D. A. (2016). Optimum design of reinforced concrete rec-tangular columns subjected to axial compression and biaxial bending mo-ments. Athens Journal of Technology and Engineering, 3 (2
4. Filippou F., C., Popov E. P., Bertero V. V. (1983), Effects of Bond Deterioration on Hysteretic Behavior of Reinforced Concrete Joints [Report EERC]. Earthquake Engi-neering Research Center, University of California, Berkeley
5. The Concrete Centre. (1999). RC Spreadsheets (1999). MPA The Concrete Center, UK London, [ http://www.concretecentre.com/Publications-Software/RC-Spreadsheets-v4B-2.aspx ]

________________________________