Współrzędna wycinkowa przekroju pręta cienkościennego

W analizie prętów cienkościennych wystepuje nowa współrzędna w przekroju preta – współrzędna wycinkowa (Piechnik, 2008), (Bogucki, 1980, pkt. 1).

Rozważmy przekrój pręta cienkościennego opisanego w układzie  współrzędnych kartezjańskich (x,y,z), gdzie x jest współrzędną po długości pręta z przekrojem poprzecznym , opisanym linią środkową przekroju dla dowolnej  odciętej $x$ , zgodnie z rys.1.  

Współrzędne pręta cienkościennego

Rys.1. Współrzędne pręta cienkościennego (x,y,z) oraz (x,s,n)

(Piechnik, 2008)

Lokalny krzywoliniowy układ współrzędnych $(x,s,n)$ w dowolnym punkcie powierzchni środkowej pręta definiujemy w ten sposób, że pierwszą oś układu określamy jako równoległą do osi $x$ o wersorze $e_x$, przyjmując dla niej to samo oznaczenie jak w układzie globalnym. Druga oś $s$ jest styczna do linii środkowej, definiuje ją wersor $e_s$. Oś trzecia $n$ jest wyznaczona wersorem $e_n=e_x \times e_s$. Początek osi parametru $s$ (współrzędnej łukowej) przyjmujemy w ustalonym punkcie $O$ na linii środkowej, zwanym początkiem przekroju. 

Obok zdefiniowanych wyżej współrzędnych w analizie prętów cienkościennych posługujemy się jeszcze współrzędną wycinkową

Definicja współrzędnej wycinkowej

Rys.2. Definicja współrzędnej wycinkowej

(Piechnik, 2008)

Współrzędne wersorów lokalnego układu, w dowolnym punkcie M(s) (rys.2) odniesione do układu globalnego zapiszemy w postaci:

$ e_x [y^{‚}(s) ,\,z^{‚}(s)]$
$ e_n [-z{‚}(s), \,y^{‚}(s)]$
 (1)

gdzie; $y^{‚}(s)=\dfrac{dy(s)}{ds}$, $z^{‚}(s)=\dfrac{dz(s)}{ds}$ .
W dowolnym punkcie płaszczyzny przekroju poprzecznego przyjmiemy biegun $B(x_b,y_b)$. Rozważymy dolny punkt $M$ o wektorze wodzącym$\rho(s)$ zaczepionym w punkcie $B$ i utworzymy następujący iloczyn, który oznaczymy przez $d\omega_B(s)$:

$ d\omega_B(s)=\rho(s)\cdot e_n(s) ds $,  (2)

Geometryczną interpretacją bezwzględnej wartości $|d\omega|$ jest podwojone pole powierzchni zawartej pomiędzy przyrostem drogi ds i promieniami wodzącymi $\rho(s)$ i  $\rho(s+ds)$, bowiem bezwzględna wartość iloczynu skalarnego przedstawia długość rzutu wektora $\rho(s)$ na normalną do krzywej, będącego wysokością wspomnianego trójkąta. Współrzędną wycinkową zdefiniujemy jako :

$ \omega_B(s)=\int \limits_0^s d \omega_B(s)=\int \limits _0^s \vec{\rho}(s)\cdot \vec{e}_n ds$,  (3)

Jeśli współrzędna łukowa przebiega po kilku bokach, to wówczas powyższe możemy zapisać jako sumę całek

$ \omega_B(s)=\int_{0}^{s}\vec{\rho}(s) \cdot \vec{ e}_n ds=\sum \limits _{{i=1}}^{j-1}\int \limits_{s_0^{‚}}^{s_R^{‚}} \vec{\rho}(s) \cdot \vec{ e}_n ds+\int \limits_{s_0^j}^{s}\vec{\rho}(s) \cdot \vec{ e}_n ds$,  (4)

gdzie: $s_0^{‚}$ i $s_E^{‚}$  jest wartością współrzędnej łukowej punktu i-tej krawędzi początkowego (0) i końcowego (E) odpowiednio ,

Bezwzględna wartość każdego i-tego składnika sumy jest równa podwojonemu polu zawartemu pomiędzy wektorem wodzącym punktu $s_0^{‚}$, i-tym bokiem linii środkowej i wektorem wodzącym punktu $s_E^{‚}$.

Przy znajomości linii środkowej, położenia punktu $O$ i bieguna $B$ , współrzędna wycinkowa wyznacza w sposób jednoznaczny wyznacza położenie punktu $M$.  Wartość współrzędnej wycinkowej zależy zarówno od położenia bieguna B jak i punktu zerowej współrzędnej wycinkowej $O$.

Literatura

Bogucki, W. (1980). Poradnik projektanta konstrukcji metalowych: praca zbiorowa. T. I. Warszawa: Arkady.
Piechnik, S. (2008). Pręty cienkościenne otwarte. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych. Kraków: Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum „Manufaktura” w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji „Cersanit” ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »