Utrata stateczności pręta przy rozciąganiu

Powszechny jest pogląd, że pręt rozciągany nie może utracić stateczności. Tymczasem pręt rozciągany, wykonany z dowolnego materiału, również liniowo-sprężystego –  traci stateczność, co pokazano na rys.1. Można to wykazać przy analizie dużych odkształceń pręta, przy czym nie jest to utrata stateczności w sensie Eulera.

rozc-statecznosćRys.1. Stateczność peta rozciąganego: a) schemat pręta i oznaczenia, b) – ścieżka równowagi; Pcr – obciążenie krytyczne (Panovko, Gubanova, 1967)

Odksztalcenie liniowe definuje się klasycznie (przy malych oskształceniach $\varepsilon$ w postaci:

$ \varepsilon= \dfrac{\Delta l}{l_0}$,  (1)

gdzie: $l_0$ – początkowa długość włókna (rys.1a), $\Delta l=l-l_0$ – bezwzględne wydłużenie; $l$ – długosdc włókna po wydłuzeniu. Na rys. 1a $v=\Delta l$).

Definicja (1) nie wyjaśnia zjawisk zachodzących podczas procesu obciążania badanych próbek, gdzie długość pręta narasta od $l_0$ do $l$ w sposób ciągły i jest sumą przyrostów odkształcenia w poszczególnych krokach (ocinkach czasu) $\varepsilon=\sum \Delta \varepsilon$. W zapisie ciągłym mamy

$ d\varepsilon = \dfrac {dz}{z}$,
$\varepsilon= \int \limits _{l_0}^l \dfrac {1}{z} dz=ln \dfrac {l}{l_0}=ln \left( \dfrac{\Delta l}{l_0}\right )$
 (2)

gdzie: z- jest zmienną długością pręta a różniczka dz – przyrostem tej zmiennej w danej chwili. Wyrazenie na duże odkształcenie (2) (odkształcenie logarytmiczne) różni się od (1) tym bardziej im większy jest stosunek $\dfrac{\Delta l}{l_0}$.  Z rozwinięcia w szereg Taylora mamy bowiem:

$ln \dfrac{l}{l_0}=ln \left(1+ \dfrac{\Delta l}{l_0}\right ) \approx \dfrac{\Delta l}{l_0}-1 \dfrac {1}{2}(\dfrac{\Delta l})^2 +…-$  (3)

Miary małych deformacji Cauchy (1) i dużych deformacji Hencky (2) nie są jedynymi. Inne definicje są następujace:

Almansi $ \varepsilon = \dfrac{1}{2} \left( 1- \dfrac{1}{\lambda^2}\right)$  (4)
Koerber- Schaiger $ \varepsilon = 1- \dfrac{1}{\lambda}$  (5)
Kun $ \varepsilon = \dfrac{1}{3} \left( \lambda^2- \dfrac{1}{\lambda}\right)$  (6)
Green $ \varepsilon = \dfrac{1}{2} ( \lambda^2- 1)$  (7)

gdzie:

$\lambda=\dfrac{l}{l_0}=\dfrac{l_0 + \Delta l}{l_0}$  (8)

Na rys.2 porównano krzywe dla etgo samego materiału, ale inncyh definicji odkształceń. Różnice są duże. Stąd spostrzeżenie Reissnera, który stwierdził, ze za miaręd efomacji można przyjąc dowolną bezwymaiarową  funkcję $\lambda$ (8), jeśli tylko dla $\lambda \to 1$ dąży ona do miary Cauchy (1).

rozc-3Rys.2. Krzywe odksztalceń, uzyskane dla tych samych pomiarów, ale innych definicji odkształcenia: 1- Almansi, 2- Koerber- Schaiger , 3 -Hencky, 4-Couchy, 5-Kun, 6-Green (Panovko, Gubanova, 1967)

Równanie krzywej utraty stateczności preta rozciąganego, zobrazowanej na rys.1. uzyskamy z analizy prawa Hooka w odkształceniach logarytmicznych. Klasyczne prawo Hooka zapiszmwy w postaci:

$\sigma=E\varepsilon$  (9)

gdzie E- moduł Younga, $\varepsilon$ – odkształcenie logarytmiczne (2), $\sigma= \dfrac{P}{A}$ jest naprężeniem w przekroju pręta o powierzchni A. Oczywiście w stanie dużych odkształceń za pole przekroju $A$ weźmiemy rzeczywiste pole mniejsze od pola początkowego $A_0$:

$A=A_0 \dfrac{l_0}{l}$  (10)

gdzie l – rzeczywista długość pręta w stosownym momencie rozciągania. Rozpatrzmy nieskończenie mały przedział tego procesu, podczas którego siła $P$ wzrośnie o $dP$, a naprężenie o $d \sigma$:

$d \sigma= \dfrac{AdP-PdA}{A^2}$,  (11)

gdzie z (10) mamy:

$d A=- \dfrac{A_0 \cdot l_0)}{l^2}dl$,  (12)

skad (11) przyjmuje postać:

$d \sigma=\dfrac{dP+\dfrac{P}{l}dl}{A-) \dfrac{l_0}{l}}$,  (13)

Z drugiej strony z (9) mamy przyrost naprężenia

$d \sigma=E d\varepsilon=E \dfrac{dl}{l}$,  (14)

Z porównania (13) i (14) otrzymujemy podstawowe równanie różniczkowe problemu:

$\dfrac {dP}{dt}+\dfrac{P}{l}-\dfrac{EA_0 l_0}{l^2}$,  (15)

Rozwiązanie równania (15) dla warunku początkowego $l=l_0$ dla $P=0$ ma postać

$P=\dfrac{EA_0l_0}{l} ln\dfrac{l}{l_0}$,  (16)

które po przekształceniu można zapisaćw postaci:

$P=\dfrac{EA_0l_0}{1+\dfrac{v}{l_0}} ln\left(1+\dfrac{v}{l_0} \right) $,  (17)

Wykres (17) przedstawiono na rys.1.

Podczas badań ze sterowaniem siłą, zadaje się wzrost siły z określoną prędkością. Po osiągnieciu wartości siły $ P_cr $ dalszy jej wzrost jest już niemożliwy – długość pręta rożnie bez przyrastania siły. To znaczy, że opadająca gałąź ścieżki równowagi, poprzekreślana na rys.1 – nie jest osiągana – przedstawia stany niestateczne. Wartość siły przy której nastąpi krytyczny stan otrzymujemy z warunku $\dfrac {dP}{dv}=0$, czyli:

$P_{cr}=\dfrac{EA_0}{e}$,  (18)

gdzie e- jest podstawą logarytmu naturalnego. Obciążeniu  (18) odpowiada wydłużenie

$v_{cr}=l_0(e-1) \approx 1,72 l_0$,  (19)

po osiągnieciu którego przemieszczenia nieograniczenie wzrastają.

Obciążenie  (18) nazywa się obciążeniem krytycznym pręta rozciąganego, a (19) krytycznym wydłużeniem.

Podobne wyniki uzyska się dla materiału dowolnie nieliniowo sprężystego, lub ciała plastycznego (współczynnik Poissona równy 0,5), a także dla doświadczenia ze sterowaniem przemieszczeniem.

W doświadczeniu ze sterowaniem przemieszczeniem mamy obciążenie krytyczne

 

$P_{cr}=\dfrac{E(A_0-\Delta A_0}{e}$,  (20)

przed  osiągnięciu którego obciążenie będzie się zmniejszało i $P_{cr}$ nigdy nie będzie osiągnięte.

Opisane zjawiska potwierdzają badania eksperymentalne, które jednak często tłumaczone są mechanizmami  plastycznych odkształceń struktury materiału, bo prawdopodobnie eksperymentatorzy nie znają analiz przedstawionych w niniejszym artykule za pracą (Panovko, Gubanova, 1967).

Literatura

Panovko, J. G., & Gubanova, I. I. (1967). Ustojčivost i kolebnija uprugich system. Sovremennyje koncepcii, paradoksy i ošibki (4th ed.). Moskva: Nauka.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum „Manufaktura” w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji „Cersanit” ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »