Skręcanie pręta o przekroju zamkniętym

Przekroje prętów cienkościennych mogą być otwarte lub zamknięte. Przekrój zamknięty jest utworzony wówczas, gdy ścianka tworzy obwód zamknięty (rurę, komorę) (Brzoska, 1965), np. w sposób pokazany na rys.1. Przekroje zamknięte mogą być jedno- lub wielo-komorowe i charakteryzują się dużą odpornością na skręcanie, wielokrotnie większą od profili otwartych. W przypadku obciążenia pręta skręcaniem należy stosować profil o przekroju zamkniętym, a nie otwartym, czyli stosować rury a nie dwuteowniki. W każdym przypadku należy zwrócić uwagę na swobodę deplanacji przekroju i przy jej ograniczeniu, obok naprężeń od swobodnego skręcania (Saint Venanta) szacować naprężenia od momentu giętno-skrętnego.

Skręcanie swobodne

Ze skręcaniem swobodnym mamy do czynienia wówczas, gdy przekroje poprzeczne pręta mają swobodę deplanacji (paczenia). Taki przypadek zachodzi , gdy na końcach pręt jest obciążony równymi i przeciwnie skierowanymi momentami skręcającymi Mυ. Wówczas w przekroju pręta o profilu zamkniętym powstają tylko naprężenia styczne , które można traktować jako równomiernie rozłożone po grubości t ścianki.

Rys.1. Przekrój cienkościenny zamknięty. Oznaczenia

(Bogucki, 1980)

Strumień naprężeń stycznych

$q=\tau_v \cdot t $  (1)

ma stałą wartość, niezależnie od współrzędnej bieżącej przekroju s, określającej położenie punktów na konturze. Naprężenie styczne strumienia oblicza się ze wzoru Bredta:

$\tau_v=\dfrac{M_v} {2 \Omega \cdot t} $  (2)

gdzie

$ \Omega=\dfrac {1}{2}\oint h ds$  (3)

jest polem powierzchni ograniczonej konturem, to jest linią  środkową ścianek (rys.1).
Dla pręta o nieodkształcalnym przekroju poprzecznym  związek pomiędzy pochodną kąta skręcenia , czyli  jednostkowym kątem skręcenia , a momentem skręcającym $M_v$ ma postać:

$\Theta= \dfrac {M_v}{G \cdot I_v} $  (4)

 gdzie:
$G$- współczynnik odkształcalności poprzecznej (Kirchoffa),
$I_v$ – moment bezwładności swobodnego skręcania zamkniętego przekroju  cienkościennego, który wyznaczamy ze wzoru

$ I_v=4 \Omega^2 \left ( \oint {\dfrac {ds} {t(s)}} \right)^{-1} =4\Omega^2 \cdot \dfrac {t_0} {\overline s_0} $  (5)
$ \overline s_0=\oint \dfrac {t_0} {t(s)} $  (6)

gdzie:  $t_0$ – grubość ścianki w dowolnie wybranym miejscu przekroju poprzecznego;   $\overline s_0$ – sprowadzona długość obwodu przekroju.

Dla $t(s)=t=const$ : $I_v=\dfrac{t}{s_0}\cdot 4 \Omega^2$ ,
gdzie $s_0$ – rzeczywista długość obwodu przekroju .

W tab.1 zamieszczono charakterystyki kilku zamkniętych przekrojów cienkościennych (Bogucki, 1980).

Tab.1 Charakterystyki geometryczne wybranych, zamkniętych przekrojów cienkościennych

Przekrój
xs000
ys00
Iv
Iw00

Skręcanie skrępowane

Ze skręcaniem skrępowanym mamy do czynienia w przypadku skrępowania deplanacji przekroju poprzecznego pręta. W wyniku tego w przekroju powstają naprężenia normalne $\sigma_{\overline \omega}$ oraz dodatkowe naprężenia styczne  $\tau_{\overline \omega}$ . Naprężenia te wyznacza się ze wzorów:

$\sigma_{\overline \omega}=\dfrac {B_{\overline \omega} \cdot \overline \omega} {I_{\overline \omega}}$  (7)
$\tau_{\overline \omega}= – \dfrac {M_{\overline \omega} \cdot \overline S_{\overline\omega} } {I_{\overline \omega} \cdot t(s)}$  (8)

gdzie:
$\overline \omega$ – główne, uogólnione pole wycinkowe (współrzędna wycinkowa przekroju);
$I_{\overline \omega}$ – uogólniony wycinkowy moment bezwładności;
$ \overline S_{\overline \omega}$ – uogólniony wycinkowy moment statyczny przekroju.
Dodatnim naprężeniom $\tau_{\overline \omega}$ odpowiada zwrot zgodny z kierunkiem dodatniego przyrostu współrzędnej s.c
W odróżnieniu od prętów o przekrojów otwartym , giętno skrętne naprężenia styczne $\tau_{\overline \omega}$ stanowią samozrównoważone układy sił i tym samym cały moment skręcający $M_v$ przenoszą naprężenia styczne swobodnego skręcania  $\tau_v$.

Całkowite naprężenie styczne w dowolnym punkcie przekroju znajduje się jako sumę  $\tau_v+ \tau_{\overline \omega}$.

Wykresy uogólnionych współrzędnych wycinkowych oraz wycinkowych momentów statycznych dla zamkniętego przekroju prostokątnego o stałej grubości ścianki  $t=const$ podano na rys.2.

Rys.2. Współrzędne wycinkowe oraz wycinkowe momenty statyczne w rurze prostokątnej

(Bogucki, 1980)

Dla przekroju prostokątnego o dwóch różnych grubościach ścianek (t1,t2 znajduje się wg wzoru w tabeli 1.
Pręty o przekroju trójkątnym i inne w kształcie wieloboku foremnego, ale o stałej grubości ścianki (t=const) nie ulegają deplanacji i ich charakterystyki wycinkowe  są równe zeru.

Uogólniony wycinkowy moment bezwładności dla dowolnego przekroju zamkniętego oblicza się ze wzoru

$I_{\overline \omega}=\oint \overline \omega^2 dA$  (9)

w którym $\overline \omega$ oznacza uogólnione pole wycinkowe względem środka ścinania $S$ przekroju od głównego punktu początkowego $M$ , tj uogólnione pole wycinkowe.

Uogólnione pole wycinkowe względem dowolnego bieguna B , od dowolnego punktu początkowego M’ na konturze, oblicza się  ze wzoru

$\overline \omega’_B= \omega’_B -\dfrac {\overline s} {\overline s_0} \cdot 2 \Omega $  (10)

gdzie:
$\overline \omega’_B$ -pole wycinkowe względem bieguna $B$ od punktu $M’$, dla obszaru przeciętego w dowolnym punkcie $C$ (rys. 3)
$\overline s= \int \limits_0 \limits^s \dfrac {t_0} {t(s)} ds$ – sprowadzona współrzędna $s$ (długość konturu) liczona od punktu M’.

Rys.3. Wyznaczanie głównej współrzędnej wycinkowej przekroju zamkniętego

(Bogucki, 1980)

 Współrzędne środka ścinania (zwanego  również środkiem  skręcania) $S$ przekroju  zamkniętego  wyznacza się w  układzie  centralnych , głównych osi bezwładności,  z  następujących wzorów:

$y_s=y_B+\dfrac{1}{I_y} \oint \overline \omega_B \cdot z \cdot dA $

$z_s=z_B+\dfrac{1}{I_z} \oint \overline \omega_B \cdot y \cdot dA $

 (12)

gdzie $y_B$, $z_B$ – współrzędne dowolnie przyjętego bieguna $B$ ,  który na ogół przyjmuje się na konturze; $y,z$ – współrzędne  kartezjańskie dowolnego punktu na konturze;  $I_y$, $I_z$ –  główne momenty bezwładności przekroju poprzecznego  względem głównej osi poziomej y i pionowej z odpowiednio.

 Więcej o prętach cienkościennych  Wykład Leszka Chodor.

Literatura

Brzoska, Z. (1965). Statyka i stateczność konstrukcji prętowych cienkościennych (Wyd. II). Warszawa: PWN.
Bogucki, W. (1980). Poradnik projektanta konstrukcji metalowych: praca zbiorowa. T. I. Warszawa: Arkady.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »