Kopuła siatkowa

Kopuła siatkowa (inaczej kopuła prętowa) jest efektownym przekryciem dwukrzywiznowym, aproksymowanym siatką prętów. Taka kopuła składa się z węzłów oraz „reszty kopuły”. Najczęściej wykonana jest  ze stali, a jej rozpiętość dochodzi do kilkuset metrów. Po opatentowaniu  w roku 1947 przez Fullera sposobów podziału sfery na trójkąty sferyczne – kopuły siatkowe w typie geodezyjnym, prawie zupełnie wyparły stosowanie innych typów kopuł, a w szczególności zwartych kopuł powierzchniowych, w tym żebrowych, ale współcześnie największe rozpiętości kopuł siatkowych uzyskuje się dla innego niż geodezyjny układu siatki.

 Na rys. 1 pokazano jedną z najbardziej znanych i złożonych kopuł siatkowych – przekrycie  obiektu „Złote Tarasy” w Warszawie.

Rys.1a. Przekrycie „Złote Tarasy” – jedna z najbardziej efektownych realizacji kopuł siatkowych. Widok z zewnątrz obiektu [foto włąsne]

Rys.1a. Przekrycie „Złote Tarasy” – jedna z najbardziej efektownych realizacji kopuł siatkowych. Widok z zewnątrz obiektu (foto własne)

Rys.1b. Przekrycie „Złote Tarasy”. Widok z wewnątrz obiektu [foto własne]

Rys.1b. Przekrycie „Złote Tarasy”. Widok z wewnątrz obiektu (foto własne)

Wprowadzenie

Definicja kopuł siatkowych. Powierzchnie bazowe, a siatka prętów

Przyjmiemy definicję, ze kopuła siatkowa jest to dowolna siatka spójnych linii, ułożonych na dowolnie zakrzywionej powierzchni klasy przynajmniej C1 (tzn gładkiej i spójnej). Nieograniczona jest różnorodność zarówno rodzajów zakrzywionych, bazowych powierzchni, jak i rodzajów siatek linii (krawędzi, prętów), tym bardziej, że powierzchnie można składać poprzez klejenie kopuł prostych, czego wynikiem może być powierzchnia z rys.1. Nazwa „siatkowe” (przekrycia (w tym kopuły), pochodzi od siatki prętów oplatających aproksymowaną powierzchnię.
Stosujemy rozszerzoną- nowoczesną definicję kopuł siatkowych w stosunku do definicji historycznej (Bryła, 1910), (Foppl, 1892) zgodnie z którą miały to być przestrzenne konstrukcje  prętowe powstałe przez przekręcenia pasa dolnego w stosunku do węzłów górnych i koniecznie o nieparzystej liczbie boków podstawy (dla parzystej otrzymywano kopułę chwiejną).

Geometria powierzchni bazowych ma decydujące wpływ na niemal wszystkich cechy struktury: jej nośność i sztywność, technologiczność (prostotę wykonania), a także estetykę, czyli generalnie na jakość  konstrukcji i architektury.

Optymalne powierzchnie  zakrzywione wykształciła sama natura. Są wśród nich krople wody – sfery lub napięte błony ułożone na powierzchni, pancerze żółwi i pancerników, muszle morskie,  spiralne muszle ślimaków (Pawlikowski,, 2015) lub liście i kwiaty roślin (Pawlikowski, 2015).  Z bogactwa kształtów powierzchni natury oraz z wszechobecnego w naturze, złotego podziału – od wieków czerpie architektura: nurt historyczny architektury organicznej- modernizm organiczny, ale przede wszystkim  nurty współczesne: biomitektura, architektura bioekstensywna i blobitektura (Sikora, 2012).

W każdym przypadku kształtowania powłok siatkowych należy rozpocząć od poprawnego, matematycznego  zdefiniowania powierzchni na której powłoka ma być rozpięta. Powierzchnie naturalne najczęściej da się opisać prostymi wyrażeniami matematycznymiPostać funkcji bazowych najlepiej dobrać na podstawie doświadczenia, tak by w konfiguracji zadanych ograniczeń geometrycznych i dla dominujących obciążeń, zachowywała dobrą sztywność i stateczność (mała wrażliwość na lokalne przeskoki – przenicowanie). Na przykład  sfera kulista jest optymalna do przejęcia równomiernego ciśnienia ; sfera paraboloidalna do obciążeń grawitacyjnych. Kształt optymalny powierzchni bazowej odpowiada stanowi błonowemu , to znaczy takiemu, w którym w powłoce wstępują wyłącznie siły rozciągające bez udziału zginania i z niewielkim udziale ściskania.  Często w celu doboru kształtu powierzchni prostych przeprowadza się doświadczenia lub symulacje numeryczne poprzez badanie zachowania łańcucha (liny sznurka), lub gumowej membrany, lub bańki mydlanej. Jeśli w podobnych warunkach brzegowych (kształcie brzegu, podporach i obciążeniu) łańcuch lub membrana układa się w określony kształt, to jest to właśnie kształt optymalny i stosownie do tego dobiera się bazowe powierzchnie aproksymacyjne. Zestawienie najczęściej stosowanych bazowych powierzchni aproksymacyjnych podano w  tab.1.

Prawidłowy dobór powierzchni bazowych (prostych) jest warunkiem koniecznym do tego , by  można było zastosować powłokę prętową w jednej warstwie. W przypadku znaczącego zginania, w tym zaburzeń brzegowych należy stosować sztywne dźwigary brzegowe lub siatkę dwuwarstwowową.  Pomimo tego,że powierzchnie zakrzywione na których rozpięte są siatki jedno- lub dwu-warstwowe są takie same, to analiza konstrukcyjna i detale połączeń są zupełnie inne. Jednowarstwową powłokę konstruuje się zwykle ze sztywnymi węzłami, a w dwuwarstwowej powłoce stosuje się przegubowe połączenia węzłów. Połączenia sztywne prętów powłoki jednowarstwowej zapobiegają przeskokowi węzłów i drastycznie zwiększają sztywność powłoki, co jest szczególnie ważnie w przypadku obciążeń dynamicznych, np obciążenia wiatrem. W przypadku wystarczającego zbadania zjawiska przeskoku (stateczności globalnej ) częstotliwości drgań własnych oraz odporności na skręcanie powłoki siatkowej – można zastosować przegubowe połączenia prętów również w powłoce jednowarstwowej. 

Generalnie, rozpięta na powłoce siatka linii (prętów, krawędzi)  powinna zapewnić geometryczną niezmienność systemu, charakteryzować się małą wrażliwością na przeskok węzłów, a także posiadać optymalne własności technologiczno-ekonomiczne: składać się z jak najmniejszej liczby różnych elementów (prętów i węzłów) i zużywać mało materiału (stali, drewna lub  betonu).

Podstawowe, bazowe powierzchnie aproksymacyjne

Podstawowe powierzchnie bazowe na których można rozpiąć siatkę prętów, zestawiono w tab.1.

Tab.1. Podstawowe powierzchnie bazowe sklepień i kopuł  (oprac. własne)  

NazwaRysunekFormuła
Uwagi
Powierzchnie II stopnia (kwadryki)
ElipsoidaElipsoida A3wzor-elipsoida
postać parametryczna
elipso-param,
gdzie:
promienie:
rx  po osi x, 
rpo osi y, 
r po osi z,
wsp. geograficzne:
φ szerokość, 
 λ  długość. 

jeśli rx =ry < rz, to elipsoida obrotowa wydłużona;
jeśli rx=ry > rz , to elipsoida obrotowa spłaszczona;

powierzchnia nierozwijalna na płaszczyznę
SferaSfera A3
jśli rx=ry rz = r, to sfera o promieniu r;

linie geodezyjne : okręgi (koła wielkie)
Paraboloida
eliptyczna
Paraboloida eliptyczna A3
wzror- parabo
postać parametryczna
wzor-parabo-param



inna postać

wzor-parabo-inna

powierzchnia translacyjna
Paraboloida
hiperboliczna
Paraboloida hiperboliczna A3wzor-hiperbo inna postać
z=a \cdot xy
lub
wzor-parabo-hiper-inna

powierzchnia translacyjna i prostokreślna
Hiperboloida
dwupowłokowa
Hiperboloida A3
wzor-hiperb
postać parametryczna
wzor-hiperbo-param

dla rx =ry, hiperboloida dwupowłokwa obrotowa ;
wierzchołki (0,0, ± r z)
Powierzchnie prostokreślne
Cykloid
powierzchnia
Catalana
Cykloid Catalana A3wzor-catalana
Inne, bardziej znane powierzchnie
TorusTorus A3wzor-torus
HelikoidaHelikoida A3wzor-helikoida
Konoid
Plückera
Konoid Pluckera A3wzor-pluckera
Kuboida
Ennepera
Kuboida Ennepera A3renderwzor-ennepera
Powierzchnia
Scherka
Sherka A3wzor-scherka
Powierzchnia
Peano
Peano A3wzor-peano
Powierzchnia
Kopiec
Kopiec A3wzor-kopiec

Paraboloida hiperboliczna

Ważną kwadryką  wymienioną w tab 1 jest paraboloida hiperboliczna, której płat jest często nazywany hyparem. Hypar jest powierzchnią translacyjną powstałą  przez równoległy ruch paraboli wklęsłej (tworzącej) po grzbiecie innej paraboli (prowadzącej), zwanej kierownicą, która jest prostopadła do tworzącej  (rys.2a). 

paraboloida-hiper A4

Rys.2 Hypar jest powierzchnią: a) translacyjną, b) prostokreślną

Przekroje pionowe hypara są parabolami, a poziome hiperbolami. Taka powierzchnia może być również utworzona przy przesuwaniu linii prostej wzdłuż dwóch innych prostych ustawionych skośnie do siebie i tworzącej, tak jak pokazano na rys. 2b. Jedną z głównych zalet hyparu jest właśnie to, że podwójna krzywizna może być zbudowana wyłącznie za pomocą liniowych elementów konstrukcyjnych (prętów), które tworzą w planie projekcję siatek z rombów.  W ten sposób jednowarstwowe hypary mogą być wykonane z prostych prętów, a dwuwarstwowych z kratownic o prostej osi.  Pojedyncze, rombowe oczko hypar nadaje się do zastosowania do budowy powłok w planie prostokątnym lub eliptycznym . W praktyce istnieje nieskończenie wiele sposobów łączenia elementów  hyparów w złożone kopuły.

Siatkowe  sklepienia beczkowe (ang. barrel vaults)

Początki kopuł siatkowych sięgają starożytności, gdy zaczęto stosować sklepienia beczkowe (inaczej kolebkowe) (ang. barrel vaults)Rzymianie rozwinęli sklepienia beczkowe do konstrukcji sklepień krzyżowych, a właśnie żebra w tych sklepieniach są prototypem prętów siatki sklepień oraz kopuł (powłok) siatkowych. 

Sklepienia beczkowe są rozpięte na jednokrzywiznowej powierzchni cylindrycznej. Krzywa poprzeczna jest najczęściej wycinkiem okręgu, choć stosuje się również parabole, elipsy lub krzywe łańcuchowe.
Typowe konstrukcje sklepień beczkowych zestawiono w tab.2 , a w tab.3. pokazano najczęściej stosowane typy siatek w sklepieniach.

Tab.2.  Konstrukcja sklepień beczkowych (opracowano na podstawie  (Lan, 2005)  

NazwaRysunekUwagi
Sklepienia długie

L/f > 5


Powłoka długa

L- długość sklepienia
f- strzałka wyniesienia (wysokość) sklepienia


Dla sklepień długich =(L/f>5), a nawet średnio długich (L/f>3) można stosować analogię belkową i traktować sklepienie jako belkę o długości L i zakrzywionym przekroju poprzecznym. Najczęściej jednak wprowadza się dźwigary brzegowe wzdłuż linii podporowych sklepienia, które odgrywają pierwszorzędną rolę w przenoszeniu obciążeń. Dźwigary brzegowe są kratownicami o długości L, które obciąża się reakcjami pionowymi ze sklepienia, które jest traktowane jako krótkie, czyli kształtowane w analogii łukowej. Reakcje poziome łuków (rozpór) należy przenieść przez sztywne słupy, posadzkę lub przypory, albo też zastosować ściągi bądź przepony sklepienia.
W przypadku stosowania analogii belkowej należy też zwrócić, uwagę czy zachowane są warunki: zakres liniowo sprężystej pracy powłoki oraz symetryczne obciążenia poprzeczne i stały przekrój poprzeczny powłoki po długości belki- sklepienia.
Sklepienia średnie

5/3  > L/f < 5

Powłoka średniaDla sklepień średnich zachowanie konstrukcji jest skomplikowane: oba kierunki (podłużny-liniowy i poprzeczny -łukowy ) są równie ważne. W takim przypadku zaleca się stosowanie analiz dokładnych (za pomocą przestrzennych modeli komputerowych).
Wprowadzanie brzegowych belek podłużnych najczęściej jest w tym przypadku nieoptymalne, a analogia belkowa w kierunku podłużnym lub łukowa w kierunku poprzecznym nie daje zadowalających rezultatów
Sklepienia krótkie

1/4  > L/f < 5/3

Powłoka krótkaKrótkie sklepienia mogą być traktowane jak łuk, który w tym przypadku przejmuje  pierwszorzędną rolę w przenoszeniu obciążeń Zachowanie się łuków zależy od ich geometrycznych proporcji i objawia się przede wszystkim siłą rozporową, która powinna być przejęta przez przypory, ściągi lub posadzkę. Ciąg krótkich sklepień można uzyskać poprzez zagęszczenie przepon opartych na słupach (tak jak pokazano na szkicu wyżej), lub poprzez zwiększenie wyniesienia klucza łuku, czyli zwiększenie wysokości sklepienia f ( tak jak pokazano na szkicu obok).

Tab.3.  Typy siatek sklepień beczkowych (opracowano na podstawie  (Lan, 2005) 

NazwaRysunekUwagi
Ortogonalna
typ Warren
Typ WarrenPierwsze trzy rodzaje siatkowych sklepień (ortogonalne) powstawały poprzez różnicowanie ułożenia krzyżulców. Dopiero w roku 1892 Föppl dokonał istotnej modyfikacji, proponując siatkę trójdrożną (patrz niżej).


Typ Warren nazwę zawdzięcza inżynierowi, który go opatentował w roku 1848 i jest znamienny tym, że krzyżulce są nachylone naprzemiennie i tak by największe siły wywoływały rozciąganie, a nie ściskanie.
Ortogonalna
typ Pratt
Typ Pratt

Typ Pratt nazwę zawdzięcza inżynierowi, który go opatentował w roku 1844 i jest znamienny tym, że krzyżulce są nachylone w tą samą stronę,
Ortogonalna typ XTyp X

W wykratowaniu typu X jeden z krzyżulców jest rozciągany, a drugi ściskany. Najczęściej dopuszcza się do wyboczenia krzyżulca ściskanego i przejęcia wszystkich sił przez krzyżulce rozciągane. Taki typ wykratowania jest inteligentny, ale kratownica jest statycznie niewyznaczalna z nieliniowością strukturalną i wymaga bardziej złożonych analiz mechanicznych.
LamellaTyp lamellaPopularne gwiaździste sklepienie tworzy siatkę w kształcie rombu.. Sklepienia lamella początkowo były wykonywane  z drewna, lecz wraz ze wzrostem rozpiętości, stosowano bardziej wytrzymałą stal. W celu zwiększenia stabilności sklepienia i zmniejszenia ugięcia od niesymetrycznych obciążeń zastosowano płatwie (podłużne kratownice). Stworzyło to bardzo popularny trójdrożny typ siatki  (poniżej ).
Trójdrożna
Föppl
Typ trójdrożny
Siatka  Föppla składa się z prętów równoległych do osi sklepienia  rozpiętych pomiędzy przeponami szczytowymi. Pręty te podparte są bocznie przez krzyżulce, które łączą sąsiednie pręty podłużne, tworząc sklepienie siatkowe.
Trójdrożny typ sitaki sklepienia zapewnia równomierny rozkład naprężeń i znacznie mniejsze ugięcia w przypadku niesymetrycznego obciążenia w stosunku do ugięć obserwowanych  przy innych typach siatki.  Przy dużych rozpiętościach siatkowe sklepienia jednowarstwowe  mają do niestabilności węzłów, zwłaszcza pod działaniem dużych niesymetrycznych obciążeń i dlatego należy stosować sztywne, a nie przegubowe węzły siatki.
Trójdrożny typ siatki umożliwia budowę sklepienia przy wykorzystaniu równobocznych trójkątów złożonych z jednostek modułowych o identycznej długości krawędzi i ze stosunkowo  prostymi węzłami, co jest szczególnie chętnie wykorzystywane w przekryciach prefabrykowanych.

(Makowski, 2006) przedstawił współczesny stan  teorii i praktyki sklepień beczkowych w zastosowaniu do nowoczesnych konstrukcji siatkowych.

Kopuła siatkowa

Rodzaje siatek i plan kopuł

Uogólnieniem sklepień beczkowych na drugi wymiar są kopuły, które były stosowane od najdawniejszych czasów. Kopuły są obiektem zainteresowania architektów i inżynierów, bo umożliwiają osiągnięcie dużych rozpiętości przekrycia przy  małym zużyciu materiału. Taka optymalizacja jest możliwa poprzez przeważający udział naprężeń błonowych, co świadczy o tym, że są wynikiem ewolucji natury.

Stosowane są dwie formy powierzchniowe: lokalnie wypukłe (synklastyczne) oraz lokalnie siodłowe  (antyklastyczne). Kształty syklastyczne  mają powłoki: kuliste, paraboliczne lub eliptyczne. Kształty antyklastyczne mają powłoki hiperboloidalne. 

Siatki prętów rozpięte na kopułach mogą mieć rozmaite układy, ale w praktyce stosuje się sześć typów, pokazanych w tabeli 4, a mianowicie: kopuły żebrowane, Schwedlera, trójdrożne , lamella (równoległe i krzywoliniowe) oraz  geodezyjne.

Tab.4. Rodzaje siatek  kopuł  (opracowano  na podstawie (Lan, 2005)

NazwaRysunekOpis
ŻebroweżebroweNajwcześniejszy typ usztywnionej kopuły, Składa się z wielu identycznych południkowych sztywnych łuków pełnościennych lub kratownicowych, połączonych w wierzchołku pierścieniem zaciskowym. Równoleżniki są elementami drugorzędnymi ukształtowanymi w formie koncentrycznych pierścieni. W rezultacie kształt sieci jest trapezowy.
Może być wykonana ze stali, drewna lub żelbetu.
Chętnie i często stosowana w historii architektury i konstrukcji ze względu na czysty układ - podział na łuki nośne i stężające pręty równoleżnikowe.
SchwedleraschwedleraPopularny typ sieci, wprowadzony przez Schwedlera już w 1863 roku. Składa się z prętów południkowych połączonych równoleżnikami, jak w kopułach żebrowych, ale z dodatkowym, ukośnym wykratowaniem każdego trapeza na trójkąty powłokowe. Stosuje się również wykratowanie krzyżowe trapezów powłokowych. W tym przypadku siatka prętów jest statycznie niewyznaczalna. Stosowane obecnie numeryczne metody analiz umożliwiają prostą analizę takich sieci, jak również sieci z węzłami sztywnymi , czyli systemu prętowego, w którym pręty przenoszą nie tylko siły osiowe ale również zginanie i skręcanie.
Dodatkowe wykratowanie prowadzi do dużej odporności na działanie obciążeń niesymetrycznych. W przypadku wykratowania krzyżowego istotnie zwiększamy niezawodności kopuły o raz zmniejszamy wrażliwość na przeskok węzłów.
TrójdrożnetrójdrożneSieć trójdrożna w kopułach jest uogólnieniem siatki trójkierunkowej w sklepieniach. Jest stosowana zarówno w kopułach jednowarstowych jak i dwuwarstwowych. System trójdrożny został rozwinięty i opatentowany przez japońską firmę Tomoegumi Iron Works pod nazwą ‘‘Diamond Dome’’ ("Diamentowa kopułka '')
Chętnie stosowane ze względu na równomierny rozkład sił (i materiału) w przypadku niesymetrycznego obciążenia. Wdrożono kilka praktycznych systemów kopuł trójdrożnych.
Lamella równoleglelamella równoległeSieć Lamelia tworzy przecinające się dwukierunkowo pręty ukośne, tworząc siatkę w kształcie rombu, podobnie jak w siatce Lamella w sklepieniach kolebkowych (pkt.2). Każdy element rombowy ma dwa boki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego.
'Siatki Lamella mogą być rówolegle lub zakrzywione. Siatka równoległa jest konstruowana na planie kołowym, podzielonym jest na kilka sektorów ( zwykle sześć lub osiem) , a każdy sektor jest podzielony równolegle do żeber siatki rombu o tej samej wielkości.
Elementy tworzą diamentowy wzór, zastosowany w dwóch pierwszych wielkich stadionach sportowych USA: Houston Astrodome (1962/64) , o rozpiętości 196 m i Superdome w Nowym Orleanie (1973) , o średnicy 207 m. Typ kopuł Lamella bardzo popularny w USA i nazywany Kiewitt ,
Lamella zakrzywione lamella zakrzywioneW zakrzywionej sieci Lamella zastosowano sieć rombów o różnych rozmiarach , stopniowo
wzrastających od środka kopuły. Oczka rombowe są tworzone przez ukośne żebra wzdłuż linii promieniowych. czasami poprzez wprowadzanie płatwi opartych na koncentrycznych pierścieniach są tworzone oczka trójkątne.
Ponieważ pręty w każdym pierścieniu równoleżnikowym są równe, więc czas wytwarzania jest krótki, a montaż łatwy. Powszechnie uważa się, że ze względu na swoje piękno - nie są dostatecznie docenione w architekturze i niesłusznie wyparte przez kopuły geodezyjne.
GeodezyjnegeodezyjnaSiatki geodezyjne zostały opracowane B. Fullera, który uwypuklił zalety kopuł siatkowych,
w których elementy główne leżą na dużym okręgu sfery i wprowadził nazwę geodezyjne.
Powierzchnią bazową jest sfera, na której rozpięto siatkę trójdrożną złożoną z trójkątów sferycznych.
Oryginalne kopuły Fullera były tworzone z dwudziestościanu jako bryły wyjściowej do aproksymacji sfery.
Fuller opracował kilka metod podziału sfery na trójkąty sferyczne, które krótko omówiono w kolejnym rozdziale pracy
Praktyka pokazuje, że układ sieci uzyskany z podziału geodezyjnego nie jest wystarczający, ponieważ prowadzi do przenicowania elementów i są wymagane pręty dodatkowe. W wyniku wprowadzenia dodatkowych prętów powstałe trójkąty nie są już równoboczne. Wraz ze wzrostem stopnia aproksymacji sfery i zmniejszaniem boków krawędzi, zwiększa się liczba różnych prętów i węzłów, co wpływa na wzrost kosztów kopuły.
Kopuły geodezyjne są bardzo ekonomiczne dla mniejszych rozpiętości z powodu małej liczby różnych prętów i węzłów. Dla dużych rozpiętości często stosuje się inne typy siatek.

Kopuły buduje się na planie  koła,elipsy, prostokąta lub wielokąta. W tab. 5 pokazano kilka często stosowanych układów.

Tab.5.  Plan kopuł (opracowano  na podstawie  

NazwaRysunekUwagi
Plan koła
Kopuła średniowyniosła
Koło średniowyniosła
Najczęściej stosowany plan kopuł. Przy planie centralnym wykostruoawany jest otwór pod latarnię.
Plan koła
Kopuła wyniosła
Koło wyniosła
Kopuła wyniosła zachowuje się lepiej od małowyniosłej , ze wzgledu na lepsze wykorzystanie "efektu kopuły" i małą wrażliwość na przeskok węzłów.
Plan elipsy
Kopuła porcelankowa
CeramikPlan kopuł chętnie stosowany współcześnie wraz z nadaniem dynamicznego kształtu kopule
Plan prostokąta
Kopuła płaska
Prosto płsskiPlan dostosowany do kształtu przekrywanego obszaru. Wrażliwa na przeskok węzłów i praktycznie nie jest stosowana jako jednopowłokowa, a jeśli, to jako ruszt z zakrzyowionych belek *łuków)
Plan sześciokąta
Kopuła płaska
SześciokątKonstrukcja umożłiwiająca zmianę planu z kołowego na wielokątny, w przykładzie na sześciokątny
Plan wielokąta
Kopuła cykloidalna
Żagielkowa ośmioKopuła cykloidalna jako wynik sklejenia kopuł walcowych (patrz niżej) lub jako wynik przejścia z planu kołowego na wielokątny.
 

 Ważną realizacją kopuły siatkowej  jest kopuła pawilonu  na  pierwsze Międzynarodowe Targi Maszynowe w Brnie  zrealizowana już w 1959 roku (konstrukcja: Ferdynand Lederer) (Chodor, 2013) . Na rys.3 pokazano fotografię obiektu (3a) i oryginalny projekt (3b).  Kopuła jest rozpięta na czaszy kulistej o średnicy zewnętrznej 122 m i wysokości (poziom świetlika) 46 m. Kopułę wieńczy okulis o średnicy 18 m.

Kopuła Lederera Brno (1958)

Rys. 3a Kopuła Lederera Brno (1958)   (Wikipedia, 2015)

Kopuła Lederera Brno (1958)Rys 3b. Kopuła pawilonu Z w Brnie (Lederer, 1958)

Kopuła geodezyjna

Na rys. 3 i 4 pokazano jedne z pierwszych kopuł geodezyjnych zrealizowanych w połowie XX wieku po spopularyzowaniu idei ich stosowania przez R. B. Fullera (Weston, 2011), a mianowicie:
1) Climatron, gigantyczny klimatyzowany ogród botaniczny  w St. Louis w stanie Missouri, wybudowany w konstrukcji stalowej w roku 1960 (rys.3 ),
2)  Sports Arena Astrodome w Houston w Teksasie, wybudowany w roku 1965 (rys.4 ).

Pierwsza kopuła geodezyjna.  Botaniczny ogród Climatron, St Louis USA

Rys.3. Pierwsza kopuła geodezyjna. Botaniczny ogród Climatron, St Louis USA (1960) (Wikipedia, 2014)

Reliant_Astrodome_in_January_2014

Rys.4. Sports Arena Astrodome Houston USA (1965) (Wikipedia, 2015)

Dalsze informacje podano w artykule kopuły geodezyjne.

Przecięcia i sklejanie kopuł

Podstawowymi formami siatkowych kopuł są powłoki jednokrzywiznowe (sklepienia) oraz powłoki dwukrzywiznowe  najczęściej  o krzywiźnie sfery  lub paraboloidy hiperbolicznej (pkt. 1.3). Ciekawe, nowe kształty można uzyskać poprzez łączenia tych podstawowych form.  Umiejętność  kombinacji kopuł w celu uzyskania założonych kształtów architektonicznych lub funkcjonalnych jest jednym z najważniejszych narzędzi w projektowaniu kopuł siatkowych. Należy przy tym brać pod uwagę  wytrzymałość i stabilność konstrukcji jako całości.

Cylindryczne sklepienia (łupiny) mogą być łączone po liniach  ukośnych  BOC i AOD (rys. 5a), a  uzyskane wycinki można sklejać w kopuły na planie kwadratu (rys.  5b i 5c)  lub wielokąta (rys. 5d).

Rys.5 Przekroje i sklejenia sklepień cylindrycznych <a title='Chodor (2013). Kopuły w architekturze.' id='zotpress-023a940e41f7ce3d14948b995257fdf2' class='zp-ZotpressInText' href='#zp-8111-4KPR9HVN'>(Chodor, 2013)</a> [10]

Rys.5 Przekroje i sklejenia sklepień cylindrycznych(Lan, 2005)

Sklejane kopuły dają jeszcze większe możliwości pod względem różnorodności przekrywanych rzutów od możliwości kopuł prostych (tab 5), co pokazano na kilku przykładach planów:  trójkąta (rys.6a), prostokąta (rys. 6b) oraz wielokąta   (rys 6c,d).

Plan kopuł  sklejanych

Rys. 6 Pokrycie planu wielokątnego kopułami sklejanymi (Lan, 2005)

Na rys. 7 pokazano chętnie stosowane przekrycie pól torowych oraz lodowisk, ukształtowane z przekrycia siatkowego sklejonego ze sklepienia walcowego z czaszami kulistymi w ścianach szczytowych

Rys.7 Przykład sklejenia sklepienia i kopuł siatkowych

Rys.7 Przykład sklejenia sklepienia i kopuł siatkowych (Lan, 2005)
Hiperstruktury sklejane

Rys.8. Warianty sklejenia hypar na planie kwadratu (Lan, 2005)

Warianty sklejania hypar w celu przekrycia planu kwadratowego pokazano na rys.8 . Kombinacja czterech jednakowych elementów hypar prowadzi do różnych  rodzajów bloków przekrycia ze słupami centralnymi lub dwoma lub czterema wokół zewnętrznego obwodu. Te podstawowe bloki można z kolei łączyć w superbloki w sposób nieograniczony tylko możliwościami terenowymi.

Generacja złożonych powierzchni prowadzona jest najczęściej poprzez dobór sklejanej powierzchni złożonej z wielomianu dostatecznie wysokiego stopnia powierzchni bazowych. Współczynniki aproksymacji dobiera się metodami regresji średniokwadratowej (Korn, 1983) z warunku najlepszego dopasowania matematycznej powierzchnia regresji do znanego kształtu granicy i znanego położenia niektórych punktów we wnętrzu powłoki, wymaganych ze względów funkcjonalnych i architektonicznych.

(Makowski, 1984) wyczerpująco przedstawił zagadnienia kształtowania i obliczania kopuł siatkowych.

Literatura

Bryła, W. (1910). Obliczanie kopuł płaszczowych. Czasopismo Techniczne, (2).
Chodor, L. (2013). Kopuły w architekturze. Lecture-Wykład presented at the Wykład 4 z przedmiotu Konstrukcje budowlane 2 dla Architektów, Politechnika Świętokrzyska, Kielce. Retrieved from http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Wyklady/KB2/4-(2015)-KB2-Kopuly-w-architekturze.pdf
Foppl, A. (1892). Das Fachwerk im Raume.
Korn, T., M. (1983). Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów (Vol. 1, 2). Warszawa: PWN.
Lan, T. T. (2005). Space Frame Structures. In W.-F. Chen & E. M. Lui (Eds.), Handbook of Structural Engineering (2nd ed.). CRC Press.
Makowski, Z. S. (1984). Analysis, Design and Construction of Braced Domes. NY: Nichols Publishing Company, Granada Publishing.
Makowski, Z. S. (2006). Analysis, Design and Construction of Braced Barrel Vaults. London: Taylor&Francis, Elsevier Applied Science Publishers Ltd, Chapman & Hall Publishers.
Pawlikowski, P. (2015, February 13). Pięciokąty foremne w ogrodzie [Accessed 2015-08-08]. Retrieved August 8, 2015, from http://www.matematyka.wroc.pl/matematykawsztuce/zloty-podzial-w-przyrodzie
Pawlikowski, P. (2015, February 19). Spiralny świat muszli. Retrieved August 8, 2015, from http://www.matematyka.wroc.pl/matematykawsztuce/spiralny-swiat-muszli
Sikora, A. (2012, April 20). Architektura organiczna, cz.(iV), Blobitektura. Retrieved August 8, 2015, from http://progg.eu/architektura-bioekstensywna/
Weston, R. (2011). 1000 Ideas that Changed Architecture. London: Lurence King Publishing Ltd.
Wikipedia. (2014, March 11). Climatron. In Wikipedia, the free encyclopedia. Retrieved from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Climatron&oldid=599090514
Wikipedia. (2015). Astrodome. In wikipedia.org. Retrieved from https://en.wikipedia.org/wiki/Astrodome#/media/File:Reliant_Astrodome_in_January_2014.jpg

Related Hasła

Comments : 0
O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum „Manufaktura” w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji „Cersanit” ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »