Kombinacje obciążeń w Eurokodach

Od 1994 r stosowanie Polskich Norm jest dobrowolne, co dramatycznie zmieniło wcześniejszą zasadę, zgodnie z którą Polskie Normy (PN) były obowiązujące do stosowania, pełniły rolę bezwzględnych przepisów i ich nieprzestrzeganie było naruszeniem prawa. Przy tym do końca 2002 roku istniała i była stosowana możliwość, nakładania przez właściwych ministrów obowiązku stosowania PN. Od 2003 roku  stosowanie PN jest już całkowicie dobrowolne, z wyjątkiem norm „obciążeniowych”, a w szczególności kombinacji obciążeń, co jest przedmiotem artykułu.

Wyjątkowo obowiązek bezwzględnego stosowania  norm Eurokod dotyczy działań wykonywanych ze środków publicznych, podlegających ustawie „prawo zamówień publicznych„.
Zdaniem części społeczności inżynierów budownictwa, obowiązek stosowania PN może być też nałożony przez inne ustawy i rozporządzenia ministrów. Zdaniem autora niniejszego artykułu takie narzucanie PN dla inwestycji innych niż publiczne (finansowane z podatków), jest niezgodne z nadrzędną Ustawą o Normalizacji oraz duchem dyrektyw Unii Europejskiej i nie powinno mieć miejsca. Zgodnie z aktem akcesyjnym Polski do Unii Europejskiej – podstawowym zadaniem  rządu i ministrów  powinna być harmonizacja polskiego systemu norm technicznych z normami i zasadami europejskimi. W tym sensie szczególną rolę w normalizacji europejskiej pełnią Europejskie normy zharmonizowane (PN-EN lub EC-Eurokody ) które wspomagają legislację w ramach tzw. Nowego Podejścia, ale zgodnie z fundamentalną zasadą ich stosowanie przez Projektanta jest całkowicie dobrowolne. To właśnie Projektant wytycza zakres i tryb stosowania norm, a także to On może nałożyć obowiązek ich stosowania na Wykonawcę i/lub Inwestora.

Inwestor ma prawo opracować swoje standardy lub założenia i zwrócić się do Projektanta o ich wdrożenie w projektowanym przedsięwzięciu. Jeśli standardy Inwestora nie są zgodne ze stosowanymi przez Projektanta zasadami i normami, to obie strony na wniosek Projektanta , obowiązane są osiągnąć konsens. Inwestor nie może zmienić warunków technicznych wprowadzonych ustawami lub rozporządzeniami,a w przypadku niezgodności standardów Inwestora z takimi warunkami, Projektant ma obowiązek przywrócić stan obowiązujący, informując o tym Inwestora w przypisanym terminie.

Szczególne znaczenie w systemie norm europejskich mają normy obciążeń konstrukcji budowlanych. W zasadzie harmonizacji przyjęto, że „normy obciążeniowe” są obowiązkowe i projektowanie konstrukcji budowlanych w Unii Europejskiej musi być prowadzone na obciążenia przewidziane normach PN-EN 1990 i 1991.

Wprowadzenie

Eurokody „obciążeniowe”  stanowią zestaw norm:

(PN-EN 1990, 2004) Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji
(PN-EN 1991-1-1, 2004)  Ciężar objętościowy, ciężar własny, obciążenia użytkowe
(PN-EN 1991-1-2, 2006)  Oddziaływania na konstrukcje w warunkach pożaru
(PN-EN 1991-1-3, 2005) Obciążenie śniegiem
(PN-EN 1991-1-4, 2008) Oddziaływania wiatru
(PN-EN 1991-1-5, 2005)  Oddziaływania termiczne
(PN-EN 1991-1-6, 2007) Oddziaływania w czasie wykonywania konstrukcji
(PN-EN 1991-1-7, 2008)  Oddziaływania wyjątkowe
(PN-EN 1991-2, 2008) Obciążenia ruchome mostów
(PN-EN 1991-3, 2009)  Oddziaływania wywołane dźwignicami i maszynami
(PN-EN 1991-4, 2008)  Silosy i zbiorniki

 

Eurokod 0 (EC0) zawiera istotne postanowienia, które są przedmiotem niniejszego artykułu.

Do sprawdzania stanu granicznego nośności ( symbol STR ) należy przyjmować kombinacje oddziaływań jako najmniej korzystne spośród wyznaczonych z zależności ($\ref{K1}$) i ($\ref{K2}$):

$$\begin {equation} \sum \limits_{j=1} (\gamma_{G,j}\cdot G_{k,j}) + \sum \limits_{i=1} (\gamma_{Q,i}\cdot \psi_{0,i} \cdot Q_{k,i} \label{K1})\end {equation}$$

$$\begin {equation} \sum \limits_{j=1} \, (\xi_j \cdot \gamma_{G,j}\cdot G_{k,j}) +\gamma_{Q,1}\cdot Q_{k,1}+\sum \limits_{i>1} (\gamma_{Q,i} \cdot \psi_{0,,i} \cdot Q_{k,i} )\label{K2}\end {equation}$$

gdzie:
Gk,j – j-te  charakterystyczne (indeks k) obciążenie stałe (symbol G),
Qk,1 – 1-sze (zwane wiodącym) charakterystyczne obciążenia zmienne (symbol Q),
Qk,i – i-te (zwane towarzyszącym) charakterystyczne obciążenia zmienne,

$\gamma_{G,j}$, $\gamma_{Q,1}$, $\gamma_{Q,i}$ – współczynniki obciążenia: stałego j-tego, zmiennego wiodącego i zmiennych towarzyszących odpowiednio,
$\xi_j$ – współczynnik redukcyjny obciążenia stałego j-tego,
$\psi_{0,1}$, $\psi_{0,i}$współczynnik dla wartości kombinacyjnej obciążenie zmiennego (w skrócie współczynnik „kombinacyjny”), odpowiednio wiodącego i towarzyszącego. Te współczynniki w Eurokodzie oznaczane są jako $\psi_0$.

Sumowanie rozciąga się na wszystkie obciążenia stale (j) oraz na obciążenia zmienne (i), oprócz obciążenia wiodącego ($\ref{K1}$).

Formuły ($\ref{K1}$) i ($\ref{K2}$) można słownie wyrazić następująco:

Obciążenie stałe nie podlega redukcji  (ξj=1), ale jednocześnie redukcji podlegają wszystkie obciążenia zmienne (wiodące oraz towarzyszące) ($\ref{K1}$)
Obciążenie stałe podlega redukcji (ξj=0,85), ale obciążenie zmienne wiodące Q1 nie podlega redukcji, choć redukowane są obciążenia zmienne towarzyszące Qi. ($\ref{K2}$)

Obciążenie zmienne towarzyszące muszą być możliwe fizycznie. W jednej kombinacji nie można uwzględniać jednocześnie wykluczających się obciążeń. Na przykład jeśli uwzględniamy wiatr z jednego kierunku, to nie bierzemy pod uwagę wiatru z drugiego kierunku.

Jako miarodajne należy sprawdzić następujące stany graniczne:

STR: Zniszczenie wewnętrzne lub nadmierne odkształcenia konstrukcji lub elementów konstrukcji, łącznie ze stopami fundamentowymi, palami, ścianami części podziemne, itp.,  w przypadku których decydujące znaczenie ma wytrzymałość materiału konstrukcji

EQU : Utrata równowagi statycznej konstrukcji lub jakiejkolwiek jej części, uważanej za ciało sztywne , wówczas gdy :

  • małe zmiany wartości lub rozkładu w przestrzeni oddziaływań, wywołanych przez jedną przyczynę mogą być znaczące (najczęściej stan wyporu przez wodę gruntową)
  • wytrzymałość materiałów konstrukcji lub podłoża na ogół jest bez znaczenia

GEO – zniszczenie lub nadmierne odkształcenie podłoża, kiedy istotne znaczenie dla nośności konstrukcji ma wytrzymałość podłoża lub skały
FAT –zniszczenie zmęczeniowe konstrukcji lub elementu konstrukcji,

W niniejszym opracowaniu zajmujemy się wyznaczaniem obciążeń kombinacyjnych ( charakterystycznych i obliczeniowych) w stanie STR, a jako poboczne również EQU oraz GEO

Stan graniczny zmęczenia FAT omówiono w artykule  Oddziaływania dynamiczne i zmęczeniowe suwnic na przykładzie oddziaływań suwnic i urządzeń.

Częściowe współczynniki bezpieczeństwa

Współczynniki obciążeń

Wartości współczynników występujących w formułach kombinacyjnych ($\ref{K1}$) oraz ($\ref{K2}$) wynoszą:

dla obciążeń stałych        $ \gamma_G =$ 1,35

dla obciążeń zmiennych  $ \gamma_Q =$ 1,5

Wartości obliczeniowe oddziaływania F oznaczane są indeksem (d – design):

$$\begin {equation} F_d=\gamma_F \cdot F_{rep} \label{F_d}\end {equation}$$
(F= G lub Q) jest iloczynem wartości reprezentatywnej  $F_{rep}$ i współczynnika obciążeń $\gamma_F$.

Wartością reprezentatywną oddziaływania $F_{rep}$  może  być wartość charakterystyczna $F_k$ lub wartość towarzysząca ψ $\cdot F_k$.

Wartość charakterystyczna oddziaływania $F_k$ jest podstawową reprezentatywną wartością oddziaływania. Można ją ustalić na podstawie danych statycznych; dobiera się je w taki sposób żaby odpowiadała ona zadanemu prawdopodobieństwu nieprzekroczenia w niekorzystną stronę w trakcie  okresu czasu zwanego ”okresem odniesienia”. W okresie odniesienia uwzględnia się przewidywany okres użytkowania konstrukcji i czas trwania sytuacji obliczeniowej. Wartość charakterystyczną nazywa się zwykle wartością nominalną lub miarodajną . W ogólności nie  jest to wartość średnia, ale  kwantyl zmiennej losowej, to znaczy wartość oczekiwana powiększona (lub pomniejszona) o iloczyn współczynnika niezawodności $\beta$ i odchylenia standardowych na zadanym poziomie ufności. Zwykle w  budownictwie i architekturze przyjmuje się $\beta=3,8$, oraz „okres odniesienia”  $T= 50$ lat.

Do obliczeń należy przyjmować wartości obliczeniowe z uwzględnieniem współczynników kombinacyjnych, to jest „sumę” obciążeń z uwzględnieniem redukcji obciążeń w sytuacjach kombinacyjnych. Brak uwzględnienia redukcji współczynnikami kombinacyjnymi jest błędny i prowadzi do znacznego zawyżenia wartości oddziaływań, co jest nieakceptowalne w dobie projektowania zrównoważonego i optymalizacji wydatków energetycznych, czyli przede wszystkim materiałowych !

Podane wyżej wartości współczynników obciążeń dotyczą sytuacji, gdy obciążenie działa niekorzystnie (to znaczy wzmagają efekt oddziaływania F ; Przykładem jest sytuacja, w której efekt F (np reakcja podpory)  jest zwiększany przez ciężar wasny konstrukcji i przez oddziaływanie wiatru, bo wiatr napiera na połać z góry – wówczas oba obciążenia są niekorzystne dla efektu F i należy stosować podane wyżej współczynniki obciążeń.

Natomiast w przypadku działania korzystnego (odciążającego) należy przyjmować:

dla obciążeń stałych        $\gamma_G=$ 1,0

dla obciążeń zmiennych  $\gamma_Q =$ 0,0

Uwaga:

1. Rozpowszechniona jest opinia , że w przypadku działania korzystnego obciążenia stałego stosujemy formułę ($\ref{K2}$), ale bez redukcji obciążenia stałego, a jednocześnie wśród obciążeń zmiennych wybieramy obciążenie wiodące (bez redukcji), a pozostałe (towarzyszące) obciążenia zmienne redukujemy.
2. Powyższa zasada jest nieprawidłowa, ponieważ w warunkach rzeczywistych wartość losowego obciążenia stałego może być mniejsze od wartości nominalnej (reprezentacyjnej) i zastosowanie współczynnika redukcji 0,85 jest uzasadnione. Oznacza to, że również w w przypadku korzystnego obciążenia stałego formuły kombinacyjne ($\ref{K1}$) i ($\ref{K2}$) stosujemy bez modyfikacji.

Ogólną zasadą jest to , że działanie korzystne lub niekorzystne obciążenia oceniamy na poziomie efektów oddziaływań F, a nie na poziomie obciążeń G, Q. To samo oddziaływanie może być bowiem niekorzystne  dla jednego efektu (np reakcji podpory 1) , a korzystne dla innego efektu (np dla reakcji podpory 2). 

Współczynniki redukcyjne

Współczynnik redukcyjny należy przyjmować o następujących wartościach:

dla obciążenie stałego $\xi_j$ =0,85,

a dla obciążeń zmiennych zależnie od ich natury ψQi wg tab. 1.

Tab. 1. Współczynniki redukcyjne obciążeń zmiennych

Zaleca się aby efekty oddziaływań, które ze względów fizycznych bądź z uwagi na przewidywane użytkowanie nie mogą wystąpić równocześnie, nie były uwzględniane łącznie w jednej kombinacji  (przykład: wiatr z lewej i wiatr z prawej jednocześnie – nie kombinujemy).  Wartości charakterystyczne wszystkich oddziaływań stałych, pochodzących z jednego źródła mnoży się przez $\gamma_G= 1,35$, jeżeli cały wynikający stąd efekt jest niekorzystny, a przez $\gamma_G= 1,00$ jeśli jest korzystny (przykład: wszystkie oddziaływania pochodzące od ciężaru własnego konstrukcji można uważać za pochodzące z jednego źródła; dotyczy to również przypadku, kiedy materiały są różne).

Oszacowanie obliczeniowych sił w konstrukcji

Podstawową zasadą wykorzystaną w przedstawionej metodzie obliczeniowej jest zasada superpozycji skutków słuszna w zakresie sprężysto-liniowej pracy konstrukcji, którą można sformułować następująco:

Gdy działa kilka przyczyn, skutek jest równy sumie skutków od pojedynczych przyczyn.

W przypadku konstrukcji nieliniowych zasada superpozycji nie działa i wyznaczanie kombinacyjnego efektu oddziaływań kilku obciążeń należy przeprowadzić dla wielu wariantów (sytuacji obliczeniowych), a także przeprowadzić analizę dopuszczalności korzystności / niekorzystności każdego obciążenia w danej sytuacji na efekt F w badanym miejscu konstrukcji. Najpierw należy założyć, że każde obciążenie proste może  być  zarówno niekorzystne  jak i korzystne w zależności od analizowanego punktu w konstrukcji . Liczba rozszerzonych obciążeń prostych wyłącznie z tego warunku wyniesie  N=2xn, gdzie n jest liczbą obciążeń prostych. Na przykład dla zbioru obciążeń prostych: { G(stały), S(śnieg), W (wiatr) }, mamy n=3 i należy rozpatrzyć zbiór rozszerzony obciążeń prostych o liczebności N=2·3=6 : { G+(stały niekorzystny), G(stały korzystny), S+(śnieg niekorzystny), S(śnieg korzystny), W(wiatr niekorzystny – nie mylić z kierunkiem wiatru), W (wiatr korzystny – nie mylić z kierunkiem wiatru)}. Badanie korzystności/niekorzystności  obciążeń prostych przeprowadza się w kolejnych krokach standardowych numerycznych procedur analizy nieliniowej , najczęściej prowadzonych przyrostowo lub iteracyjnie (np. metodą Newtona-Raphsona). W niniejszym opracowaniu ograniczamy się do konstrukcji liniowych.

W celu wyznaczenia efektu F  (siły przekrojowej lub reakcji lub przemieszczenia, itd) konstrukcji liniowej od kilku obciążeń prostych wykonamy następujące kroki:

Krok 1:  Obciążenia proste tej samej natury (o tych samych współczynnikach obliczeniowych oraz redukcyjnych) oznaczamy kolejnymi numerami, np.:
#1 – obciążenie stałe,
#2 – obciążenie śniegiem,
#3 – obciążenie wiatrem-schemat 1,
#4  – obciążenie wiatrem-schemat 2,
#5  -obciążenie użytkowe – kat H,
#6  – obciążenie użytkowe – kat B,
# n …

Krok 2:  Wyznaczamy poszukiwaną siłę przekrojową lub reakcję Xk dla poszczególnych schematów obciążeń charakterystycznych wyznaczonych w kroku 1. Indeks (k) oznacza rekcję wywołaną obciążeniem prostym charakterystycznym.

Wyznaczamy więc kolejno  X#1k,…, X#nk.
Sposoby wyznaczania X są standardowe

Krok 3:  Wartości obliczeniowe Xd siły lub reakcji X, wyznaczamy z formuł kombinacyjnych (a): i (b): , podstawiając w miejsce G lub Q odpowiednie siły wyznaczone w kroku 2. Siły te stowarzyszone są ze współczynnikami obciążenia i współczynnikami redukcyjnymi stosownie do swej natury i rozpatrywanej sytuacji obliczeniowej.

Podsumowując:  najpierw wyznaczamy siły przekrojowe lub reakcji od obciążeń prostych charakterystycznych , a wartości kombinacyjne (zredukowane obliczeniowe) wyznaczamy, stosując współczynniki obciążeń i współczynniki redukcyjne dla wyznaczonych reakcji prostych.
W dobie Eurokodów nie wykonujemy zestawienia obciążeń obliczeniowych – poprzestajemy na zestawieniu wartości charakterystycznych.

Przykłady rachunkowe

Przykład 1

Uwaga:
W dobie Eurokodów wyznaczanie kombinacji obciążeń na poziomie obciążenia obiektu nie jest podejściem zalecanym i należy je stosować ostrożnie, przede wszystkim z tego względu, że na poziomie obciążeń trudno ocenić, które obciążenia są niekorzystne, a które korzystne.Najczęściej bowiem to samo obciążenie (np wiatr ssący) jest korzystny na dany efekt oddziaływania i w określonym miejscu konstrukcji (np reakcję w jednym miejscu konstrukcji), a niekorzystny na efekt oddziaływania (np moment zginający w innym miejscu konstrukcji). Dlatego, w celu manifestacji tego faktu, poniżej przekreślono takie postawienie zadania, sposób rozwiązania oraz wynik obliczeń. Podany przykład może służyć tylko do wstępnego ćwiczenia definicji obciążeń prostych oraz techniki wyznaczania wartości kombinacyjnej tych obciążeń.

Wyznaczyć obciążenia kombinacyjne działające na połać dachową budynku, przy wyznaczonych obciążeniach prostych:

Oddziaływania stałe:
#1 Ciężar własny konstrukcji                         0,40 kN/m2,
#2 Ciężar pokrycia dachowego                      0,35 kN/m2,

Oddziaływania zmienne
#3 Obciążenia podwieszone                            0,5 kN/m2   (przyjęte jako zmienne  elementy instalacji oraz architektury),
#4  Obciążenie użytkowe                                0,4 kN/m2  (obsługa  dachu kat. H),
#5 Śnieg                                                             0,72 kN/m2,
#6 Wiatr ssanie na połać                                  0,4 kN/m2,
#7 Wiatr parcie  na połać (otwarte bramy)   0,2 kN/m2.

Rozwiązanie

Przyjęto następując kombinacje:

  • dla działania niekorzystnego obciążenia stałego
    ($\ref{K1}$):   K1 = 1,35·(#1+ #2) +1,5·(0,7#3+ 0,0#4 + 0,5#5 + 0,6#7),
    ($\ref{K2}$):  K2 =1,35*0,85(#1+#2)+1,5*#4+1,5*(0,7#3+0,5#5+0,6#7),
          K3 =1,35*0,85(#1+#2) +1,5#5+1,5*(0,7#3+0,0#4+0,6#7), 
  • dla działania korzystnego obciążenia stałego dla sytuacji obliczeniowej maksymalnego odrywania dachu – ssania wiatru
    ($\ref{K2}$): K4 = 1,0·0,85·(#1+#2)+1,5#6+0,0·(0,7#3+0,0#4+0,5#5).

Przykład 2

Wyznaczyć obliczeniową (kombinacyjną) reakcję MA belki stropowej A-D w budynku biurowym ze wspornikiem balkonowym C-D , o schemacie statycznym i obciążeniu pokazanym na rys.1.

Schemat-P2

Rys.1. Schemat do przykładu 2

Rozwiązanie:

Krok 1: Definicja obciążeń prostych

Moment utwierdzenia MA wywołany jest następującymi obciążeniami prostymi:

#1  obciążenie stałe G = [ siła skupiona 100 kN w przegubie B;  obciążenie rozłożone 2  kN/m na długości wspornika C-D ]
Uwaga: obciążenie o tej samej naturze ( w tym przypadku obciążenie stałe G), nawet jeśli działa na konstrukcję w różnych miejscach i w rozmaitych typach mechanicznych (skupione, rozłożone, itd – jest traktowane jako jedno obciążenie proste.
#2 śnieg S = 3 kN/m,
#3 obciążenie zmienne Q kat C2 =  50 kN.
#4 wiatr 1 (W+) = + 10 kN/m,
#5 wiatr 2 (W-) = – 10 kN/m,

Uwaga: obciążenie o jednej naturze ( w tym przypadku wiatr W), jest traktowane jako dwa obciążenia proste, bowiem należy przypuszczać, że w jednej konfiguracji będzie niekorzystne , a w drugiej korzystne , więc należy zastosować inne współczynniki obciążeń.

Krok 2: Wyznaczenie momentu  utwierdzenia  od prostych obciążeń

Przez R oznaczono reakcję podpory C nachylonej pod kątem α=45°. Rozwiązujemy belkę obciążoną TYLKO jednym obciążeniem prostym. Inne obciążenia pomijamy. Na rys. 1 zdefiniowano podporową reakcję ( symbol momentu naniesiony linią przerywaną) jako moment prawoskrętny. Poszukiwać będziemy maksymalnego i minimalnego momentu o zwrocie zdefiniowanym na rysunku ( największego i najmniejszego z uwzględnieniem znaku).


#1 : obciążenie stałe   G

Schemat-P2-G

Rys.2a. Schemat do przykładu 2 dla obciążenia #1= G

Podpory zastąpiliśmy siłami reakcjami. Na lewy koniec belki działa moment MA przeciwnie skierowany do reakcji utwierdzenia.

Do wyznaczenia MA potrzebujemy znajomości reakcji R.  Podpora jest ustawiona pod kątem α=45° i jest przesuwna, co powoduje, że kierunek reakcji R jest ustalony, a składowe pozioma Rx oraz pionowa Ry są związane ścisłymi zależnościami, pokazanymi na rysunku. Wystarczy wyznaczyć dowolną składową (R lub Rx lub Ry ). Zauważmy ponadto, że składowa Rx nie daje momentu względem osi belki. Składową nietrywialną jest Ry i tą będziemy wyznaczać. W rozważanym zadaniu pochylenie podpory nie wpływa na sposób rozwiązania.

Równania równowagi belki dają zapisujemy w postaci układu równań [(a), (b), (c), (d)]:
(a): ∑X=0 ;
(b):  ∑Y=0 ;
(c): ∑MO=0, gdzie (O) jest dowolnym punktem na płaszczyźnie;
(d): równanie przegubu  ∑MC [prawa lub lewa] =0

W rozważanym przypadku mamy:
$ (a) \to H_A + R_x=0$, gdzie  $H_A$ jest poziomą reakcją podpory A (nie zobrazowana ma szkicu, bo nie uczestniczy w zadaniu),
$ (b) \to V_A +R_y=0$, gdzie   $V_A$ jest pionową reakcją podpory  (nie zobrazowana ma szkicu, bo nie uczy w zadaniu),
(c)(A) (suma momentów względem punktu A)  $\to M_A+100 \cdot 4- R_y \cdot 8+2 \cdot 5 \cdot(8+2,5)=0$,
(d) $\to R_y\cdot 4 – 2\cdot 5\cdot (4+2,5)=0$

Równaniem właściwym do wyznaczenia $R_y$ jest (d), to znaczy warunek, że w przegubie moment, liczony jak siła przekrojowa (suma momentów po prawej lub lewej strony przegubu) musi być zerowy, natomiast  równania (a), (b) i (c) nie są właściwe i wystarczające do wyznaczenia reakcji:

(d) $\to R_y =16,25 kN$.

Stąd moglibyśmy wyznaczyć $R=\frac {R_y}{cos \alpha}$ oraz $R_x=R sin \alpha$, lecz jest to zbyteczne, znamy już bowiem wszystkie siły z lewej strony podpory i moment podporowy obliczymy sumując momenty lewostronnie:

+ MA+100·4-16,25·8+2·5·(8+2,5)=0 ⇒ MA=-375 kNm.


#2  śnieg S

Schemat-P2-s

Rys,2b Schemat dla #2=S

(d): Ry·4-3 · 5 ·(4+2,5)=0 ⇒ Ry=1/4 · 3 · 5 · 6,5=24,375 kN,

+ MA-24,75·8 – 3·5·(4+2,5)=0 ⇒ MA=+37,5 kNm.

 


#3  Q kat C2

Schemat-P2-C2

Rys. 2c Schemat dla #3= Q (C2)

(d): Ry·4-=0 ⇒ Ry= 0 kN,

+ MA+50·4=0 ⇒ MA=-200 kNm.

 


#4  W+

Schemat-P2-W+

Rys. 2d Schemat dla #4= W+

(d): Ry·4-10=0 ⇒ Ry= 2,5 kN,
+MA-2,5·8+10=0 ⇒  MA=10 kNm.

 


#5  W-

Schemat-P2-W-

Rys. 2e Schemat dla #4= W-

(d): Ry·4-010=0 ⇒ Ry= -2,5 kN,
+MA+2,5·8+10 ⇒  MA=-30 kNm.

 


Zestawienie momentów podporowych od prostych obciążeń:

#1 (stałe G)             -375 kNm
#2 (śnieg S)           +37,5 kNm
#3 (Qkat C2)          -200 kNm
#4 (wiatr W+10)      +10 kNm
#5 (wiatr W-10)         -30 kNm

Krok 3Wyznaczenie momentu obliczeniowego (w sytuacjach kombinacyjnych)

Maksymalny moment MA: #2, #4 – niekorzystne; #1,, #3 ,#5 – korzystne, nie uwzględniamy jednocześnie #4 i #5 (nie jest możliwe jednoczesne oddziaływanie wiatru w dwóch kierunkach)

K1  wg formuły ($\ref{K1}$) – #1 bez redukcji:
1,0·(-375)+1,5·[0,5·37,5+0,6·10]+0,0·[0,7·(-200)]=-337,9 kNm
K2  wg formuły ($\ref{K2}$) Qkat C2 – wiodące :
1,0·0,85·(-375)+1,5·37,5+1,5·0,6·10+0,0·[0,7·(-200)]=-253.5 kNm
K3  wg formuły ($\ref{K2}$) W+ – wiodące :
1,0·0,85·(-375)+1,5·10 1,5·0,5·37,5+0,0·[0,7·(-200)]=-275,6 kNm

MA,d,max=max{ -337,9; -253.5; -275,6}= -253.5 kNm.

Minimalny moment MA: #1,, #3 ,#5 – niekorzystne; #2, #4 – korzystne

K4 wg formuły ($\ref{K1}$) : #1 bez redukcji:
1,35·(-375)+1,5·[0,7·(-200)+0,6·(-30)]+0,0·[0,5·37,5]=-743,3 kNm

K5 : wg formuły ($\ref{K2}$)#1 z redukcją; #3 – wiodące
1,35·0,85·(-375)+1,5·(-200)+1,5·[0,6·(-30)]+0,0·[0,5·37,5]=-757,3 kNm

K6 : wg formuły ($\ref{K2}$)#1 z redukcją, #5 -wiodące
1,35·0,85·(-375)+1,5·(-30)+1,5·[0,7·(-200)]+0,0·[0,5·37,5]=-685,3 kNm

MA,d,min=min { -743,3; -757,3; -885,3}= -757.3 kNm.

Wynik: Maksymalny, obliczeniowy  moment utwierdzenia MA,d wynosi -253.5, a minimalny -757.3 kNm.

Przykład 3

Wyznaczyć maksymalny i minimalny, obliczeniowy przekrojowy moment zginający M w  belce pokazanej na rys.3.

Schemat-P3

Rys.3. Schemat do przykładu 3

Rozwiązanie:

Krok 1: Definicja obciążeń prostych

Belka obciążona jest obciążeniami prostymi o różnej naturze, które oznaczymy następująco:
#1  obciążenie stałe G = 5 kN/m,
#2 obciążenie zmienne Q kat E= 6 kN/m,
#3 obciążenie zmienne Q kat H=  300 kN,
#4 śnieg S = 3 kN/m,
#5 wiatr1 W+ = + 2 kN/m,
#6 wiatr2 W-  = – 2 kN/m.

Obciążenia #2 i #3 rozróżniamy, ponieważ mają inne współczynniki redukcyjne. Obciążenia #5 i #6 rozróżniamy, ponieważ mogą mieć inne współczynniki obciążeń (działanie korzystne-niekorzystne), a ponadto mogą wystąpić winnych fizycznie możliwych sytuacjach.

Krok 2: Wyznaczenie momentu zginającego od prostych obciążeń

#1 G         :
V=1/8·5·4·2=+5 kN ,  M=V·4=5·4=+20 kNm,
#2 Q kat E :
V=1/8·6·4·2=+6 kN ,  M=6·4=+24 kNm,
#3 Q kat H :
V=1/8·300·11=+412,5 kN ,  M=412,5·4-300·7=-450 kNm,
#4 S     :
V=1/8·3·3·(1,5+8)=+10,7 kN ,  M=10,7·4-3·3·(1,5+4)=-6,75 kNm,
#5 W+ :
V=1/8·2·3·(1,5+8)=+7,13 kN ,  M=7,13·4-2·3·(1,5+4)=-4,5 kNm,
#6 W-  :
V=1/8·(-2)·3·(1,5+8)=-7,13 kN , M=(-7,13)·4-2·3·(1,5+4)=-61,5 kNm.

Krok 3Wyznaczenie momntu zginajacego w sytuacjach kombinacyjnych

Maksymalny moment zginający:

K1: kombinacja wg formuły ($\ref{K1}$): #1 i #2 działanie niekorzystne, pozostałe – działanie korzystne:
Md= 1,35·20+1,5·1,0·24+0,0·[0,0· (-450)+ 0,5·(-6,75)+0,6·(-4,5)]=63,0 kNm

K2: kombinacja wg formuły ($\ref{K2}$):#1,#2 działanie niekorzystne, pozostałe korzystne, wiodące #2 :
Md=0,85·1,35·20+1,5·24 0,0 + 0,0·[0,0· (-450)+ 0,5·(-6,75)+0,6·(-4,5)]=59,0 kNm

Md,max=max{ 63,0; 59,0}=63,0 kNm.

Minimalny moment zginający
K3: korzystne działanie G, Q kat E, niekorzystne pozostałe , wiodące Q kat H
Md=1,0·0,85· 20+1,5·(-450)+1,5[ 0,5·(-6,75)+0,6·(-61,5)]+ 0,0· (korzystne towarzyszące)=-718,4 kNm

Md,min=min{ -718,4; 0}= -718,4 kNm.

Wynik: Maksymalny, obliczeniowy moment zginający  Md wynosi +63,0, a minimalny -718.4 kNm.

Przykład 4

Wyznaczyć maksymalną i minimalną, obliczeniową reakcję V ramy, pokazanej na rys.4. Ramy rozstawione są co a= 2 m po długości budynku.

Schemat-P4

Rys.4. Schemat do przykładu 4

Rozwiązanie:

Krok 1: Definicja obciążeń prostych

#1 obciążenie stałe G=200 kN,
#2 obciążenie zmienne Q kat H = 300 kN,
#3 śnieg S  = 1,5 kN/m2 ·2m=3 kN/m,
#4 rygiel W+  =+0,8 kN/m2·2m=+1,6 kN/m,
#5 rygiel W- (-0,8 kN/m2 ·2m=-1,6 kN/m),
#6 słup W+ (+0,2 kN/m2 ·2m=+0,4 kN/m),
#7 słup W- (-0,2 kN/m2 ·2m= – 0,4 kN/m)

Uwaga:
Wiatr może jednocześnie działać tak, że mamy kilka sytuacji obliczeniowych : 1) parcie na słup #6 + [parcie na rygiel #4 lub ssanie na rygiel #5] , lub 2) ssanie na słup #7 + [ parcie na rygiel #4 lub ssanie na rygiel #5], czyli możliwe są wszystkie kombinacje działania wiatru słup-rygiel.

Krok 2: Wyznaczenie reakcji V od prostych obciążeń

#1 (stałe)         V=+200 kN,
#2 (kat. H)      V=+300 kN,
#3 (śnieg)      V=1/5 ·3·5·2,5=+7,5 kN,
#4 (wiatr 1- rygiel parcie)  V= $\frac{}{1,6 \cdot 5}{2}=$+4,0 kN,
#5 (wiatr 1- rygiel ssanie )  V=-4,0 kN,
#6 (Wiatr 1 – słup parcie)    V= 1/5 · 0,4·7·3,5=+1,96 kN,   
#7
(Wiatr 1 – słup ssanie)    V= 1/5 · (-0,4)·7·3,5=-1,96 kN,

Krok 3Wyznaczenie reakcji  w sytuacjach kombinacyjnych

Maksymalna reakcja: #1, #2, #3 , (#4+#6) – niekorzystne; (#5+#7)- korzystne;  pomijamy (#4+#7), (#5+#6); wiatr działa jednocześnie i na rygiel i na słup (nie wystąpi samodzielnie #4 do #7); nie mieszamy schematów działania wiatru (nie wystąpi np (#4+#6) i (#5+#7) lub inne).

K1: Formuła ($\ref{K1}$)
Vd= 1,35·200+1,5· [0,0· 300+0,5· 7,5+0,6· (4,0+1,96)] 0,0·(korzystne) = 281,0 kN
K2: Formuła ($\ref{K2}$): #2- wiodące
Vd= 0,85·1,35·200+1,5·300+1,5·[0,5· 7,5+0,6·(4,0+1,96)]= 690,5kN
K3: Formuła ($\ref{K2}$):  #3- wiodące
Vd= 0,85·1,35·200+1,5·7,5+1,5·[0,0· 300+0,6·(4,0+1,96)]= 246,1 kN
K4: Formuła ($\ref{K2}$):  (#4+#6)- wiodące
Vd= 0,85·1,35·200+1,5·(4,0+,96) + 1,5·[0,0· 300+0,5*7,5]= 244,1 kN

Maksymalna reakcja obliczeniowa Vd, max=max{281,0; 690,5;246,1 ;244,1}=690,5 kN

Minimalna reakcja: (#5+#7)- niekorzystne;  #1, #2, #3 -korzystne; ;  pomijamy (#4+#6) i inne sytuacje obciążenia wiatrem, ponieważ  wykluczają schemat niekorzystny, a nie mogą współistnieć (np. nie może być obciążony wiatrem tylko słup bez rygla).

K5: Formuła ($\ref{K1}$)
Vd= 1,00·0,85· 200+1,5· [0,6· (-4,0-1,96) ]+ 0,0·(0,0· 300+0,5· 7,5)] = 164,6 kN
K6: Formuła ($\ref{K2}$): (#5+#7)- wiodące
Vd= 1,00·0,85·200+ 1,5· [-4,0-1,96] + 0,0·(0,0· 300+0,5· 7,5) = 161,1 kN

Minimalna reakcja obliczeniowa Vd, min=min{164,6; 161,1}=161,1 kN

Wynik: Maksymalna, obliczeniowa reakcja  Vd wynosi +690,5, a minimalna +161,1 kN.

Oprogramowanie

Kalkulator oddziaływań normowych EN SPECBUD

pakiet-specbud[Kliknij na obrazek – przejdziesz na stronę SPECBUD]

Inne, wybrane kalkulatory obciążeń

Kalkulator obciążeń normowych 1.5

Kalkulator obciazeń 2.05. pl

Kalkulator obciązeń 0.9 ComputerWorld

Programy do obliczeń konstrukcji

Programy do obliczeń konstrukcji  wyposażone są w moduły do których należy wpisać wartości obciążeń oraz wartości współczynników bezpieczeństwa lub zawierają pełne automatyczne wyznaczanie obciążeń.

Do projektowania konstrukcji stalowych zalecane są programy:

LTBEAM do wyznaczania sił krytycznych zginanych i ściskanych prętów,
CONSTEEL -komercyjny program do obliczeń statycznych i projektowania konstrukcji stalowych i zespolonych z elementami prętymi Własowa i obliczeniami przekrojów klasy 4 na podstawie szerokości efektywnych.
Zestaw programów Arcelor Mittal:

Do projektowania konstrukcji żelbetowych zalecane są programy:

ABC płyta
ABC tarcza,
Tekla Teeds
i inne.

Kombinacje charakterystyczne

Kombinacje charakterystyczne stosuje się do oszacowania obciążeń w celu sprawdzenia stanu granicznego użytkowalności ( pkt A1.4 EC0.(PN-EN 1990, 2004)).

W stanie granicznym użytkowalnosci sprawdzeniu podlegają w szczególności odkształcenia i przemieszczenia poziome , ugięcia pionowe, drgania oraz zarysowania (np. w konstrukcjach żelbetowych).

Charakterystyczna formuła kombinacyjna

Współczynniki obciążeń przyjmowane są równe  1 , to znaczy $\gamma_{G,j}=1$ i $\gamma_{Q,i}=1$, więc nie występują w formule kombinacyjnej:

$$\begin {equation} \sum \limits_{j=1} G_j + „P” + \psi_{1,1} \cdot Q_1 + \sum \limits_{i>1} ( \psi_{2,i} \cdot Q_i) \label{K3}\end {equation}$$

gdzie  „P” oznacza siły od sprężenia.

W formule ($\ref{K3}$) występują inne niż w kombinacjach obliczeniowych współczynniki redukcyjne,  zestawione w tab.1:
$\psi_1$  
– współczynnik dla wartości częstej oddziaływania zmiennego (w skrócie zwany „częsty”) ,
$\psi_2$ – współczynnik dla wartości prawie stałej obciążenie zmiennego ( w skrócie zwany „prawie stały”).

Charakterystyczną formułę kombinacyjną można słownie wyrazić następująco:

Obciążenie stałe i siły od sprężenia  nie podlegają  redukcji ;
Obciążenie zmienne wiodące redukowane jest przez współczynnik wartości częstej  
$\psi_1$, a pozostałe obciążenia zmienne przez współczynnik wartości prawie stałej  $\psi_1$
($\ref{K3}$)

 

Przykład wyznaczania obciążeń charakterystycznych

Wyznaczyć obciążenia charakterystyczne  działające na połać dachową budynku, przy wyznaczonych obciążeniach prostych:

Oddziaływania stałe:
#1 Ciężar własny konstrukcji                         0,40 kN/m2,
#2 Ciężar pokrycia dachowego                      0,35 kN/m2,

Oddziaływania zmienne
#3 Obciążenia podwieszone w slepie             0,5 kN/m2   (przyjęte jako zmienne  elementy instalacji oraz architektury),
#4  Obciążenie użytkowe                                0,4 kN/m2  (obsługa  dachu kat. H),
#5 Śnieg                                                          0,72 kN/m2,
#6 Wiatr ssanie na połać                                 0,4 kN/m2,
#7 Wiatr parcie  na połać (otwarte bramy)   0,2 kN/m2.

Rozwiązanie

$K0_1$ wiodące obciążenie śniegiem

$K0_1$ = (#1+ #2) + 0,2· #5+ (0,6· #3+0,0· #4+0,0· #7) = (0,40+0,35)+ 0,2· 0,72+ (0,6· 0,5+ 0,0· 0,4+ 0,0· 0,2)=1,19 kN/m2,

$K0_2$ wiodące obciążenie wiatrem

$K0_2$ = (#1+ #2) + 0,2· #7+ (0,6· #3+0,0· #4+0,0· #5) = (0,40+0,35) + 0,2· 0,2+(0,2· 0,72+ 0,6· 0,5+ 0,0· 0,4)= 1,59 kN/m2,

Kombinacje w stanie równowagi EQU

W stanie granicznym równowagi EQU , np. w przypadku wyporu obiektu przez wodę gruntową do wyznaczenia wartości obliczeniowych stosuje się formule kombinacyjną ($\ref{K1}$) , to znaczy bez redukcji obciążenia stałego i z redukcją wszystkich obciążeń zmiennych

Współczynniki w formule kombinacyjnej są specyficzne i zdefiniowane w tab. A1.2 (PN-EN 1990, 2004).

Wartości współczynników kombinacyjnych

Siły stabilizujące

w najczęściej występującymi przypadku stanu EQU – wyporu obiektu przez wodę gruntową, stabilizujące obciążenia są obciążeniami grawitacyjnymi  ( działają pionowo w dół) i są korzystne,

Wartości współczynników obciążeń w przypadku obciążeń korzystnych s następujące:

dla obciążeń stałych        $ \gamma_G =0,9$

dla obciążeń zmiennych  $ \gamma_Q =0,0 $

W takim przypadku nieistotne są współczynniki redukcyjne do obciążeń zmiennych.

Siły destabilizujące

W stanie wyporu wody, obciążenia destabilizujące, czyli dzielimy na:
cześć stałą $ G_{H_2O} $ ,  czyli siły wyporu przy ustabilizowanym zwierciadle wody gruntowej
część zmienna $ Q_{H_2O} $, czyli siły wyporu wynikające z wahań stanu wody ponad poziom ustabilizowany

W formule stanu granicznego EQU stosuje się współczynniki obciążeń :
$ \gamma_{G_{H_2O}} =1,0$
$ \gamma_{Q_{H_2O}} =1,5$

Destabilizujących obciążeń stałych nie redukuje się, a również do części zmiennej nie stosuje się współczynników redukcyjnych.

Przykład wyznaczania obciążeń w stanie EQU

Wyznaczyć obciążenia stabilizujące i destabilizujące w staniu EQU wyporu przez wodę gruntową budynku z częścią podziemną zanurzona poniżej zwierciadła wody gruntowej

Obciążenia stabilizujace

Oddziaływania stałe:
#1 Ciężar własny konstrukcji         1000 kN
#2 Grunt lub inna dociążenie            90  kN
(nie może być przemieszczony do czasu spełnienia warunku nośności bez jego uwzględnienia) !

Oddziaływania zmienne ( stan bez śniegu i wiatru)
#3 Grunt dociążający                    120 kN
(może być usunięty w trakcie eksploatacji)

Obciążenia destabilizujące

#4 wypór wody przy ustalonym zwierciadle   800 kN
#5 wypór wody wynikający z wahań poziomu $\pm 120 $ kN

Rozwiązanie

Obciążenie stabilizujące  $F_stb$ = 0,9· (#1+#2)+0,0· #3= 0,9· (1000+90)+0,0· 120=981 kN

Obciążenie destabilizujące  $F_dst$ = 1,0·#4+1,5· #5= 1,0· 800+1,5· 120=980 kN

Wyjątkowe i sejsmiczne kombinacje oddziaływań

Wartości współczynników częściowych dla oddziaływań (współczynniki obciążeń) w stanach granicznych nośności w wyjątkowych i sejsmicznych sytuacjach obliczeniowych były przyjmowane równe 1,0 i formuła kombinacyjna $\ref{K3}$) zostaje rozbudoawana o efelty obciązeń wyjątkowych „$A_d$”, jak następuje

$$\begin {equation} \sum \limits_{j=1} G_j + „P”+ „A_d”+( \psi_{1,1} \text { lub } \psi_{2,1} ) \cdot Q_1 + \sum \limits_{i>1} ( \psi_{2,i} \cdot Q_i) \label{K4}\end {equation}$$

gdzie:
„P” oznacza charakterystyczne siły od sprężenia.
„$A_d$” – charakterystyczne obciążenia wyjątkowe

Wybór między $\psi_{1,1}$  i $\psi_{2,1}$, a także wybór zmiennego obciążenia wiodącego $Q_1$ dokonuje się odpowiednio do miarodajnej sytuacji obliczeniowej (uderzenie, pożar, stan konstrukcji po wydarzeniu wyjątkowym). Zalecenia do wyboru zawierają normy przedmiotowe.
W praktyce formułę ($\ref{K4}$) stosuje się najczęściej w postaci ($\ref{K5}$) (bezalternatywnej), a obciążenie wiodące  wybiera się z koszyka wszystkich obciążeń zmiennych i przebiega przez wszystkie  $Q_i$.

$$\begin {equation} \sum \limits_{j=1} G_j + „P”+ „A_d”+  \psi_{1,1} \cdot Q_1 + \sum \limits_{i>1} ( \psi_{2,i} \cdot Q_i) \label{K5}\end {equation}$$

Wartości współczynników redukcyjnych przyjmuje się również z tab.1.

W przypadku sytuacji sejsmicznej formuła ($\ref{K4}$) ulega drobnej korekcie, polegającej na tym, że w miejsce  obciążenia  wyjątkowego „$A_d$” wstawiamy obciążenia sejsmiczne „$A_{Ed}$”  i zmienne obciążenie wiodące redukuje się współczynnikiem $\psi_{2,1}$ ()bez wyboru).

Kombinacje w stanie geotechnicznym GEO

W stanie granicznym geotechnicznym GEO, do sprawdzanie stanu granicznego elementów konstrukcji poddanych oddziaływaniom geotechnicznym (stóp fundamentowych, pali, części podziemnej ścian, itp.). dokonuje się jednym z kilku możliwych podejść, uzupełnionych w zakresie oddziaływań geotechnicznych i nośności gruntu, wyznaczonej zgodnie Eurokodem 7 (PN-EN 1997-1+AC+Ap1+Ap2, 2008).

W każdym podejściu, stosuje się różne kombinacje współczynników obciążeń i współczynników redukcyjnych, ale reguły kombinacyjne są standardowe ($\ref{K1}$) lub\i ($\ref{K2}$).

W niniejszym opracowaniu wskażemy jedynie na dwa najczęściej spotykane zadania, opisane niżej. Inne podejścia należy stosować zgodnie z przedmiotowymi normami

 Fundamenty budowli

Wymiarowanie fundamentów przeprowadza się zwykle na kombinacje

$$\begin {equation} \sum \limits_{j=1} (\gamma_{G,j}\cdot G_{k,j}) + \gamma_{Q_1}\cdot Q_{k, 1 } +  \sum \limits_{i>1} (\gamma_{Q,k, j}\cdot \psi_{0,i} \cdot Q_{k,i} \label{K6})\end {equation}$$.

przy czym:
$\gamma_{G,j} =1,00$,
$\gamma_{Q,j} =1,30$ (jeśli niekorzystne) ; $\gamma_{G,j} =1,00$ (jeśli korzystne)

Współczynniki przyjmuje się redukcyjne wg tab.1

Nośność konstrukcji, obciążonej  geotechnicznie

Wymiarowanie konstrukcji , obciążonej geotechnicznie przeprowadza się  na zwykłe kombinacje ($\ref{K1}$) oraz ($\ref{K2}$) oraz współczynniki obciążeń i redukcyjne, przy czym do oddziaływanie  getechniczne  parciem gruntu (np na ściany części podziemnej budynku), traktuje się jako trwałe (stałe) i zalicza do obciążeń G

 

Literatura

PN-EN 1990. Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji (2004). UE: PKN.
PN-EN 1991-1-1. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-1: Oddziaływania ogólne. Ciężar objętościowy, ciężar własny, obciążenia użytkowe w budynkach (2004). UE: PKN.
PN-EN 1991-1-2. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-2: Oddziaływania ogólne. Oddziaływania na konstrukcje w warunkach pożaru (2006). UE: PKN.
PN-EN 1991-1-3. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-3: Oddziaływania ogólne- Obciażenie śniegiem (2005). UE: PKN.
PN-EN 1991-1-4. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-4: Oddziaływania ogólne. Oddziaływania wiatru (2008). UE: PKN.
PN-EN 1991-1-5. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-5: Oddziaływania ogólne. Oddziaływania termiczne (2005). UE: PKN.
PN-EN 1991-1-6. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-6: Oddziaływania ogólne - Oddziaływania w czasie wykonywania konstrukcji (2007). UE: PKN.
PN-EN 1991-1-7. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-7: Oddziaływania ogólne - Oddziaływania wyjątkowe (2008). UE: PKN.
PN-EN 1991-2. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 2: Obciażenia ruchome mostów (2008). UE: PKN.
PN-EN 1991-3. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 3: Oddziaływania wywołane dźwignicami i maszynami (2009). UE: PKN.
PN-EN 1991-4. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 4: Silosy i zbiorniki (2008). UE: PKN.
PN-EN 1997-1+AC+Ap1+Ap2. Projektowanie geotechniczne - Część 1: Zasady ogólne (2008). UE: PKN.
Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »